【历年高一数学期末试题】福建省龙岩一中10-11学年高一上学期期末试题数学

福建省龙岩市福建中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （多选题）下列函数既是偶函数，又在(－∞,0)上单调递减的是（）A. B.C. D.参考答案：AD【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间上的单调性，由此判断正确选项.【详解】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.对于C选项，为奇函数，不符合题意.对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.故选：AD.2. 若∈（），且3cos2=sin（），则sin2的值为A．一 B． C．一 D.参考答案：A3. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四队截面中彼此平行的一对是（）A．A1BC1与ACD1 B．B1CD1与BDC1 C．B1D1D与BDA1 D．A1DC1与AD1C参考答案：A【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据几何体中的线段特征确定平行关系，再确定线面的平行关系，AC∥面ACD1，A1B∥面ACD1，即可得出确定的平行平面．【解答】解：∵AC∥A1C1，AC?面ACD1，A1C1?面ACD1，∴AC∥面ACD1，∵A1B∥D1C，D1C?面ACD1，A1B?面ACD1，∴A1B∥面ACD1，∵A1B∩A1B1=A1，∴面ACD1∥面A1BC1故选：A【点评】本题考查了空间几何体的中的线面平行问题，确定直线的平行问题是解题关键，属于中档题．4. 已知A、B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π参考答案：C【分析】如图所示，当平面时，三棱锥的体积最大，求出的值，再代入球的表面积公式，即可得答案.【详解】如图所示，当平面时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积.故选：C.【点睛】本题考查球的表面积和锥体的体积计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力.5. 函数是偶函数，且在上递减，，则满足的的取值范围是（）A < -1 或>2B > 2或-1<<0C -1<<2 D < -3或>3参考答案：B6. 设f（x）是定义在R上奇函数，且当x＞0时，等于（）A．－1 B．C．1D．－参考答案：A略7. 为了得到函数y＝sin(3x＋)的图像，只需把函数y＝sin3x的图像 ( )A. 向左平移B. 向左平移C. 向右平移D. 向右平移参考答案：B略8. 已知，，且，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解．【详解】，即：又，向量与向量的夹角的余弦为，向量与向量的夹角为：故选：B【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力．9. 已知A={x|3﹣3x＞0}，则有（）A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．﹣1?A参考答案：C【考点】元素与集合关系的判断． 【专题】常规题型．【分析】先根据一元一次不等式的解法化简集合A ，然后可判断元素与集合的关系，从而得到正确的结论．【解答】解：A={x|3﹣3x ＞0}={x|x ＜1} 则3?A ，1?A ，0∈A，﹣1∈A 故选C ．【点评】本题主要考查了一元一次不等式的解法，以及元素与集合关系的判断，属于容易题．10. 已知集合，集合，则A ．B ．C ．D ．参考答案： C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）点（2，3，4）关于yoz 平面的对称点为．参考答案：（﹣2，3，4）考点： 空间中的点的坐标． 专题： 空间位置关系与距离．分析： 根据关于yOz 平面对称，x 值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可． 解答： 根据关于坐标平面yOz 的对称点的坐标的特点，可得点P （2，3，4）关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为：（﹣2，3，4）． 故答案为：（﹣2，3，4）．点评： 本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．12. 两个球的体积之比为，那么这两个球的表面积的比为 ．参考答案：略13. 已知直线l 经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程参考答案：x －7y ＝0或x －y －6＝0． 略14. 某单位对员工编号为1到60的60名员工进行常规检查，每次采取系统抽样方法从中抽取5名员工.若某次抽取的编号分别为x ，17，y ，z ，53，则________.参考答案：75 【分析】 由，17，，，53成等差数列，利用等差数列的性质可求解．【详解】由系统抽样可得公差为，得，，，所以.【点睛】本题考查系统抽样，解题关键是掌握系统抽样的性质：系统抽样中样本数据成等差数列． 15. 若将函数y=sin （2x+）的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个长度单位，则所得的函数图象对应的解析式为 ___ ．参考答案：16. 若幂函数在(0,+ ∞)上是减函数，则实数m 的值为 ．参考答案：试题分析：由题意得：考点：幂函数定义及单调性17. 设M、N是非空集合，定义M⊙N＝{x|x∈M∪N且x M∩N}．已知M＝{x|y＝}，N＝{y|y ＝2x，x>0}，则M⊙N等于________．参考答案：{x|0≤x≤1或x>2}∵M＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|y>1}，∴M∩N＝{x|1<y≤2}，M∪N＝{x|x≥0}，∴M⊙N＝{x|0≤x≤1或x>2}．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

福建省龙岩高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高一上·乌鲁木齐期中) 幂函数的图象经过点，则满足的的值是（）A .B .C .D .2. （2分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁UA）∩B=（）A . ∅B . {x|＜x≤1}C . {x|x＜1}D . {x|0＜x＜1}3. （2分）长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，，，，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) a=log 5，b=log ，c=（）0.5则（）A . a＜b＜cB . a＜c＜bC . b＜c＜aD . b＜a＜c5. （2分）(2017·上高模拟) 把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再向左平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递减区间为（）A .B .C .D .6. （2分）已知偶函数f（x）的定义域为R，且f（1+x）=f（1﹣x），又当x∈[0，1]时，f（x）=x，函数g （x）= ，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣4，4]上的零点个数为（）A . 8B . 6C . 9D . 77. （2分）若α，β为锐角，cos（α+β）=﹣，sinβ= ，则sin（α+2β）=（）A .B . ﹣C . ﹣D .8. （2分） P是△ABC所在平面上一点，满足++=2，若S△ABC=12，则△PAB的面积为（）A . 4B . 6C . 8D . 169. （2分）下列函数中在区间[4，5]上是增函数的为（）A . y=x2﹣9xB . y=logC . y=D . y=cosx10. （2分） (2018高一上·西宁月考) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是（）A . 增函数且最大值为－5B . 增函数且最小值为－5C . 减函数且最小值为－5D . 减函数且最大值为－5二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知点在角的终边上，且，则________.12. （1分） (2016高三上·朝阳期中) 设平面向量 =（1，2）， =（﹣2，y），若∥ ，则y=________．13. （1分） (2016高一上·张家港期中) 函数f（x）= +lg（3x+1）的定义域是________．14. （1分） (2016高一上·无锡期末) 已知f（x）= 是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是________．15. （2分） (2017高一上·海淀期中) 已知△ABC是边长为2的正三角形，O、D分别为边AB、BC的中点，则① =________；②若，则x+y=________．三、解答题 (共5题；共40分)16. （10分） (2018高一下·山西期中) 已知 .（1）若，且，求角的值；（2）若，求的值．17. （10分） (2016高一下·大连开学考) 已知全集U=R，集合，集合．（1）求A，B；（2）求（∁RA）∩B．18. （5分） (2016高三上·崇礼期中) 已知函数f（x）=2sin2x+2 sinxcosx（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的取值范围．19. （10分） (2016高一下·昆明期中) 已知tan =2，求（1） tan（α+ ）的值（2）的值．20. （5分）已知函数f（x）满足f（logax）= （x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1．（Ⅰ）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的范围；（Ⅱ）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜4恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共40分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、。

福建省龙岩高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高一上·鞍山期中) 下列函数为幂函数的是（）A . y=x2B . y=﹣x2C . y=2xD . y=2x22. （2分）已知集合，则（）A . {-1,0,1}B . {-2}C . {-2,-1}D . {0,1}3. （2分）已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）A . 1B .C .D . 24. （2分）已知a=3 ，b=（） 3 ， c=log3 ，它们间的大小关系为（）A . a＞b＞cB . a＞c＞bC . b＞c＞aD . b＞a＞c5. （2分）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A . y=cos(2x-)B . y=cos(2x+)C . y=cos(2x+)D . y=cos(2x-)6. （2分）(2016·城中模拟) 已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（x+8）=f（x），且当x∈（0，4]时f（x）= ，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣2016，2016]上有且只有2016个整数解，则实数a的取值范围是（）A . （﹣ ln6，ln2]B . （﹣ln2，﹣ ln6）C . （﹣ln2，﹣ ln6]D . （﹣ ln6，ln2）7. （2分）(2018·上饶模拟) 已知的最大值为A，若存在实数、，使得对任意实数x总有成立，则的最小值为A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·焦作期中) 在△ABC中，内角A= ，P为△ABC的外心，若=λ1 +2λ2，其中λ1与λ2为实数，则λ1+λ2的最大值为（）A .B . 1﹣C .D . 1+9. （2分）在△ABC中，A>B是cosA<cosB的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2016高一上·成都期中) 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（log23），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A . c＜b＜aB . b＜c＜aC . b＜a＜cD . a＜b＜c二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知点在角的终边上，且，则________.12. （1分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 若向量与向量共线，则 ________．13. （1分） (2018高二下·抚顺期末) 函数的定义域为________.14. （1分） (2016高二下·右玉期中) 若f（x）= ，则f（2016）等于________．15. （1分） (2016高三上·杭州期中) 已知△ABC中，AB=4，AC=2，|λ +（2﹣2λ） |（λ∈R）的最小值为2 ，若P为边AB上任意一点，则• 的最小值是________．三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分） (2018高一下·沈阳期中) 已知向量，， .（1）若为直角三角形，且为直角，求实数的值；（2）若点能构成三角形，求实数应满足的条件.17. （10分） (2017高二下·中原期末) 已知命题P：函数f（x）=log2m（x+1）是增函数；命题Q：∀x∈R，x2+mx+1≥0．（1）写出命题Q的否命题￢Q；并求出实数m的取值范围，使得命题￢Q为真命题；（2）如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围18. （5分）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．19. （10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．20. （15分） (2019高一上·大连月考) 已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）确定函数的解析式；（2）用定义证明函数在上是减函数；（3）若实数满足，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共50分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。

一、单选题1．已知A ＝{－1，0，1，3，5}，B ＝{x |2x －3＜0}，（ ） R A B = ðA ．{0，1} B ．{－1，1，3}C ．{－1，0，1}D ．{3，5}【答案】D【分析】求出集合B ，然后求出即可 R A B ⋂ð【详解】因为 32302x x -<⇒<所以 R 3|2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭ð所以 R {3,5}A B = ð故选：D. 2．函数的零点所在区间是（ ） ()26log f x x x=-A ． B ． C ． D ． ()01，()12，()34，()4+∞，【答案】C【分析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案 ()()3,4f f 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 6y x=()0,+∞2log y x =()0,+∞所以函数在上单调递减， ()26log f x x x=-()0,+∞又， ()()22243132log 3log 0,4log 40322f f =-=>=-=-<所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点， 故选：C3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．B ． 1()|1|f x x =-1()1f x x =-C ．D ． 21()1f x x =-21()1f x x =+【答案】B【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A 、D ，再根据不成立排除选项C ，即可得()01f =-正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A 、D ， ()f x {}|1x x ≠±又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C ， 0x =()01f =-()01f =故选：B.4．已知 ）20.30.3,2,a b c ===A ． b<c<a B ． b a c <<C ． c<a<b D ． a b c <<【答案】D【分析】根据指数函数的单调性求出，，又进而可得结果. 01a <<12b <<2>c 【详解】根据指数函数的单调性知，即；200.30.31a =<=01a <<，即；00.31222b <=<12b <<根据对数函数的单调性知，故，22c =>=2>c 所以. a b c <<故选：D5．若，则（ ） π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ．0B ．C D 23【答案】B【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可. 【详解】依题意，令，则，，π6t α+=1sin 3t =5ππππ66t αα⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭2ππππ3262t αα+=++=+，所以. ()5π2ππ2sin cos sin πcos sin sin 2sin 6323t t t t t αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+=+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.6．已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于，的方()31x f x a -=+0a >1a ≠A A x y 程，则的最小值为（ ） ()40,0mx ny m n +=>>23m n+A ．4 B ．6C ．12D ．24【答案】B【分析】根据函数的图象横过定点得到，然后代入方程得到，最()31x f x a -=+A ()3,2A 324m n +=后利用基本不等式求最值即可.【详解】函数的图象横过定点，所以，将点代入方程可得，所()31x f x a -=+A ()3,2A A 324m n +=以， ()2312314913266126444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即，时等号成立. 49n mm n =23m =1n =故选：B.7．已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为（ ）()lg(3)(1)f x ax a =--≠(0,4]a A ．B ．C ．D ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(0,1)(1,)+∞【答案】A【分析】由时,恒成立,可得,设,只需函数是减(]0,4x ∈30ax ->3033404a a >⎧⇒<⎨->⎩3t ax =-3t ax =-函数即可得结果.【详解】因为时,恒成立,(]0,4x ∈30ax ->所以, 3033404a a >⎧⇒<⎨->⎩设,3t ax =-因为函数是增函数,所以要使在上是增函数, lg y t =()f x (]0,4则需函数是减函数,可得, 3t ax =-0a >所以, 304a <<实数的取值范围为.a 30,4⎛⎫⎪⎝⎭故选:A.8．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则R ()f x ()()2f x f x -=01x <≤()2xf x =（ ）()21log 2022f +=A ． B ． C ．D ．10111024-10241011-1011102410241011【答案】B【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，利用对数的运算性质结合函数的周期性可求()f x 4得的值.()21log 2022f +【详解】因为，所以，，且， 101121024202222048=<<=2111log 202212<+<2011log 20221<-<由题意可得，所以，， ()()()22f x f x f x =-=--()()()42f x f x f x +=-+=故函数为周期函数，且周期为，()f x 4所以， ()()()211log 20222221log 2022log 20221111log 20222f f f -+=-=--=-. 112102420221011=-=-故选：B.二、多选题9．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一xOy αOx (1,)(0)P m m ->定为负的是（ ） A ． B ． sin cos αα+sin cos αα-C ． D ．sin cos ααsin tan αα【答案】CD【分析】首先确定在第二象限，得到，即得解. αsin 0,cos 0,tan 0ααα><<【详解】解：因为角终边经过点，所以在第二象限， α(1,)(0)P m m ->α所以，sin 0,cos 0,tan 0ααα><<如果，所以，所以选项A 不满足题意；23απ=1sin cos 02αα=>+；；，故CD 正确. sin cos 0αα->sin cos 0αα<sin 0tan αα<故选：CD10．已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中p R x ∀∈240x ax ++>p 的（ ）A ．B ． []1,1a ∈-()4,4a ∈-C ．D ．[]4,4a ∈-{}0a ∈【答案】AD【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可. 【详解】若命题:，成立，则，解得，p R x ∀∈240x ax ++>2160a ∆=-<44a -<<故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD 符合要求，故AD 正确. p a ()4,4-故选：AD.11．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函D ()f x x D ∈M ()f x M ≤数是定义域为上的“有界函数”.则下列函数中，其中“有界函数”是（ ） ()f x DA ．B ．C ．D ．()2022f x x=-()f x =()220222f x x =+()320221f x x =-【答案】BC【分析】由题意可知有界函数的值域是不可能取到无穷大的，所以只要值域没取到无穷大的函数都是“有界函数”，每个选项依次判断即可.【详解】选项A ：显然，，对任意，不存在正数，使得，0x ≠()0f x ≠{}0x x x ∈≠M ()f x M ≤故 不是“有界函数”； ()2022f x x=-选项B ：显然，，所以对任意，存在正x ≤≤()0f x ≤≤x ⎡∈⎣数，都有成立，故是“有界函数”；M ()f x M ≤()f x =选项C ：显然,，所以对任意，存在正数，都有成立，故x R ∈()01011f x <≤x R ∈M ()f x M ≤是“有界函数”； ()220222f x x =+选项D ：显然，，所以对任意，不存在正数，使得，故x R ∈()f x R ∈x R ∈M ()f x M ≤不是“有界函数”. ()320221f x x =-故选：BC12．关于函数的性质的描述，正确的是（ ）()22log 1()|1|1x x f x x -=--A ．的定义域为 B ．有一个零点 ()f x (1,0)(0,1)- ()f x C ．的图像关于原点对称 D ．的值域为()f x ()f x (,0)-∞【答案】AC【分析】对于A ：由得出定义域；对于B ：由，便可求出零点；对于C ：先2110,10,x x ⎧--≠⎨->⎩()=0f x 化简，再根据判断函数奇偶性的定义进行判断；对于D ：由奇偶性以及对数函数的单调性求值域. 【详解】对于A ：由题意可知，函数有意义，则满足, 22log (1)()11x x f x x -=--2110,10,x x ⎧--≠⎨->⎩解得 ，且，即函数的定义域为，所以选项A 正确； 11x -<<0x ≠()f x ()()1,00,1-U 对于B ：因为的定义域为，所以()f x ()()1,00,1-U 22log (1)()11x x f x x -=--，由得，解得（舍），22log (1)=x x x--()=0f x 22log (1)0x -=0x =即没有零点，所以选项B 不正确；()f x 对于C ：由上可知，则满足，22log (1)()x x f x x-=-()()f x f x -=-所以函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以选项C 正确； ()f x 对于D ：当时，，所以()0,1x ∈()210,1x -∈22log (1)()x x f x x-=-，又由函数为奇函数，可得的值域为，所以选项()22=log (1),0x -∈-∞()f x ()f x (),0(0,)-∞⋃+∞D 不正确. 故选：AC三、填空题13．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x 取值范围是______.()f x [)0,∞+()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭【答案】1233x <<【解析】利用偶函数可得图象关于轴对称，结合单调性把转化为求解.y ()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1213x -<【详解】是偶函数，，()f x ()()f x f x ∴=∴不等式等价为，()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在区间单调递增，()f x [)0,∞+，解得. 1213x ∴-<1233x <<故答案为：.1233x <<【点睛】本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养.14．已知函数和的图象完全相同，若，()()3sin 06f x x ωωπ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()()3cos 2g x x ϕ=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则的取值范围是______.()f x 【答案】3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出，再利用正弦函数的图象即可求出值域.ω【详解】解：因为，()23sin 3cos 3cos 6263f x x x x ωωωπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，则.2ω=()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦所以， 52666x πππ-≤-≤所以， 1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭所以. ()332f x -≤≤故答案为：.3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知函数.若存在2个零点，则的取值范围是e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()g x a __________ 【答案】[)1,-+∞【分析】由有两个零点，得与的图像有两个交点，再用数形结合的方法求()g x ()y f x =y x a =--出的取值范围.a 【详解】解：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移()f x x y e =y x =-动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解， ()f x x a =--也就是函数有两个零点，此时满足，即，()g x 1a -≤1a ≥-故答案为：.[)1,-+∞【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的解等知识，考查数学运算能力，可用数形结合的方式求解，属于基础题型.16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足()24222x ax x f x x x -⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩[)12,x ∈+∞()2,2x ∈-∞，则实数的取值范围是______．()()21f x f x =a 【答案】04a ≤<【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用()f x ()f x 基本不等式先求出函数在x ∈[2，＋∞）时的值域，当x ∈（−∞，2）时，对a 分情况讨论，分()f x 别利用函数的单调性求出值域，从而求出a 的取值范围．【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，()24,2x g x x x+=≥A ()2,2x ah x x -=<B 因为对任意的，都存在唯一的，满足， [)12,x ∈+∞()2,2x ∈-∞()()21f x f x =则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.A B ⊆B A 当时，， [)12,x ∈+∞()244x g x x x x+==+因为，当且仅当，即时，等号成立，44x x +≥=4x x =2x =所以， [)4,A =+∞当时，()2,2x ∈-∞()2,2x ah x x -=<①当时，，此时，2a ≥()2,2a xh x x -=<()22,a B -=+∞，解得，224a -∴<24a ≤<②当时，，2a <()2,2,2a x x a x ah x a x --⎧<=⎨≤<⎩此时在上是减函数，取值范围是，()h x (),a -∞()1,+∞在上是增函数，取值范围是，()h x [),2a )21,2a-⎡⎣，解得，224a -∴≤02a ≤<综合得. 04a ≤<故答案为：04a ≤<【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.四、解答题 17．化简求值：(1)21324330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭(2)．2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++【答案】(1)； 7318(2)4.【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算法则及换底公式计算可得；【详解】（1）213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭212433331132124225---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；45731129218=--++=（2）2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++ 323314log 3lg 5lg 2log 33log 222=++-⨯++()32314lg 52log 33log 222=+⨯-⨯++.41324=+-+=18．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，且. αx ()1,1P m --cos α=(1)求实数的值；m (2)若，求的值.0m >()()sin 3tan 2cos cos 2ππααπαπα⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】(1)或 1m =3m =-【分析】（1）利用三角函数的定义可求的值. m （2）利用诱导公式可求三角函数式的值.【详解】（1）由题意可得 1,1,x y m r ==--=所以， cos α=2(1)4m +=解得或.1m =3m =-（2）因为，所以由（1）可得，0m >1m=所以 cos αα=所以()()()cos sin 3tan sin 12sin cos sin sin cos cos 2παπααααπααααπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭==-=--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭19．设函数，图象的一个对称中心是.()()sin 2)π(0f x x ϕϕ=+-<<()y f x =π(0)8,（1）求；ϕ（2）求函数的单调增区间.()y f x =【答案】（1）；（2）单调增区间为：，.4π-3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k z ∈【分析】（1）将代入解析式，再根据，即可求得；π,08⎛⎫⎪⎝⎭π0ϕ-<<（2）由（1）得到，令，，解出x 写成区间形式即πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π242k x k -≤-≤+Z k ∈可.【详解】（1）因为是函数的图象的对称中心，π,08⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =所以，则，所以πsin 208ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ππ(Z)4k k ϕ+=∈ππ(Z)4k k ϕ=-∈所以，则，π0ϕ-<<π4ϕ=-（2）由（1），令，，πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π242k x k -≤-≤+Z k ∈即：，，π3πππ88k x k -≤≤+Z k ∈所以函数的单调增区间为：.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π3ππ,πZ 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦20．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位301log lg 2100xv x =-km/min 数，常数x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）(1)若x 0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧km/min km/min 量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍. 【答案】(1)466个单位 (2)3倍【分析】（1）将，代入函数解析式，求出的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗05x =0v =x 氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到，得到答案.123x x =【详解】（1）将，代入函数，得：， 05x =0v =301log lg 2100x v x =-31log lg502100x-=因为，所以，所以，所以. lg 50.70≈3log 2lg 5 1.40100x =≈ 1.403 4.66100x=≈466x =答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：1x 2x 13023011.3log 210010.8log 2100x lgx x lgx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩两式相减可得：，所以，即，13211log 22x x =132log 1x x =123x x =答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.21．已知函数．()e e x x f x -=+(1)当时，试判断单调性并加以证明．[0,)x ∈+∞()f x (2)若存在，使得成立，求实数m 的取值范围． [ln 2,ln 3]x ∈-(2)()30f x mf x -+≥（提示：（其中且）） ()2222x x x x a a a a --+=+-0a >1a ≠【答案】(1)见解析 (2)109,30m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由定义结合指数的运算求解即可； （2）由的奇偶性以及单调性得出，()f x 102()3f x ≤≤(2)()3f x mf x -+()()2e e e 1e x x x x m --=+-++，令，得出，由对勾函数的单调性得出的最大值，进而得出实数m 的取值e e x x t -=+1m t t≤+1t t +范围．【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： ()e e x x f x -=+[0,)+∞任取，且，则12,[0,)x x ∈+∞12x x < ()()()()121222112121121221e e e e e 1e eee e e e e e x x x x x x x x x x x x x x x xf x f x +--+⎛⎫---=+-+=-+=- ⎝⋅⎪⎭由得，，，即. 12,[0,)x x ∈+∞21e e 0x x ->21e 10x x +->()()21f x f x >即函数在上单调递增.()e e x x f x -=+[0,)+∞（2），即为偶函数.()()e e e e ()x x x x f x f x -----=+=+=()f x 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. ()f x []ln 2,0-[]0,ln 3又，，所以. 510(ln 2)(ln 3)23f f -=<=()02f =102()3f x ≤≤()()()()222(2)()3e e 3e e 1e e e e x x x x x x x x f x mf x m m -----+=+-++=+-++令，则存在，使得成立，即成立.e e xxt -=+10 2,3t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦210t mt -+≥211t m t t t +≤=+令，由对勾函数的单调性可知，在上单调递增.1()g t t t =+()g t 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦故，所以. max 10109()330g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭max 109(), ,30m g t m ⎛⎤≤∈-∞ ⎥⎝⎦22．已知函数.()()9log 91xf x x =++(1)若对于任意恒成立，求的取值范围； ()()20f x x a -+>x a (2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0?若存()()9231f x xx g x m -=+⋅+[]90,log 8x ∈m ()g x 在，求出的值，若不存在，请说明理由. m 【答案】(1) (],0-∞(2)存在，m =【分析】（1）利用分离参数法得到对于任意恒成立，令，()9log 91x a x <+-x ()()9log 91xh x x =+-利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到，()9232x xg x m =+⋅+令， ，研究函数，，根据二次函数3x t =t ⎡∈⎣()()222222p t t mt t m m =++=++-t ⎡∈⎣的单调性对m 进行分类讨论，即可求出m .【详解】（1）由题意可知，对于任意恒成立()()20f x x a -+>x 代入可得所以对于任意恒成立()9log 910x x a +-->()9log 91xa x <+-x 令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx x h x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为，所以由对数的图像与性质可得：，所以.1119x +>91log 109x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭0a ≤即实数a 的范围为. (],0-∞（2）由，，且()()9231f x xx g x m -=+⋅+[]90,log 8x ∈()()9log 91x f x x =++代入化简可得.()9232x xg x m =+⋅+令，因为，所以3x t =[]90,log 8x ∈t ⎡∈⎣则，()()222222p t t mt t m m =++=++-t ⎡∈⎣①当，即时，在上为增函数，1m -≤1m ≥-()p t ⎡⎣所以，解得，不合题意，舍去()()min 1230p t p m ==+=32m =-②当时，在上为减函数，在上为增函数，1m <-<1m -<<-()p t []1,m -()p t ,m ⎡-⎣所以，解得()()2min 20p t p m m =-=-=m =m =③当，即在上为减函数，m ≤-m ≤-()p t ⎡⎣所以解得不合题意，舍去，()(min 100p t p ==+=m =综上可知，.m =【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性.。

龙岩市2010~2011学年度第一学期期末教学质量检查高一数学试题（考试时间：120分钟； 满分：150分）第Ⅰ卷（共100分）一. 选择题：（每小题5分，共40分）1．若直线l 上的一个点在平面α内，另一个点在平面α外，则直线l 与平面α的位置关系是（ ）A ．l ⊂αB ．l ⊄αC ．l ∥αD ．以上都不正确 2. 直线x-y+1=0的倾斜角是（ ）A. 60°B ．45°C ．30°D ．135° 3. 圆2)3()2(22=++-y x 的圆心和半径分别是（ ）A. (-2,3), 1B. (2,-3), 3C. (-2,3), 2 D . (2,-3),24. 在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1BA 与11B D 所成的角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 5. 过点（1，0）且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ）A. 210x y -+=B. 210x y --=C. 220x y +-=D. 210x y +-=6. 点P (1，2，2)是空间直角坐标系中的一点,设它关于y 轴的对称点为Q ,则PQ 的长为（第13题图）（ ）A．B．C． D．7. 下列命题中正确的是（ ）A ．若一条直线垂直平面内的两条直线，则这条直线与这个平面垂直；B ．若一条直线平行平面内的一条直线，则这条直线与这个平面平行；C ．若一条直线垂直一个平面，则过这条直线的所有平面都与这个平面垂直；D ．若一条直线与两条直线都垂直，则这两条直线互相平行8. 如果直线(2a +5)x +(a －2)y+4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ） A ． 2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－2二. 填空题（每小题4分，共20分） 9. 棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .10. 已知直线a //平面α，平面α//平面β，则直线a 与平面β的位置关系为 .11. 直线l 过)4,3(P ，且)13,8()3,2(B A 、-到直线l 距离相等，则直线l 的方程是 . 12. 若实数,x y 满足22(2)3,yx y k x-+==设，则实数k 的取值范围是 ． 13. 如图是一个正方体纸盒的展开图，在原正方体纸盒中有下列结论： ①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60角；④DM 与BN 垂直．其中，正确命题的序号是 ．三. 解答题（每题10分，共40分） 14. （本题满分10分）求经过直线12:20,:210l x y l x y +-=--=的交点且垂直于直线032=-+y x 的直线方程.15. （本题满分10分）如图所示，一个简单的空间几何体的正视图和侧视图是边长为2a 的正三角形，俯视图轮廓为正方形，试描述该几何体的特征，并求该几何体的体积和表面积.16．（本题满分10分）已知圆C ：22840x y x y ++-=与以原点O 为圆心的某圆关于直线y kx b =+对称. （1）求,k b 的值；（2）若这时两圆的交点为,A B ，求∠AOB 的度数.17．（本题满分10分）如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，PB ＝AB ＝2MA . 求证：（1）平面AMD ∥平面BPC ；（2）平面PMD ⊥平面PBD ．第Ⅱ卷（共50分）四. 选择题（每小题5分，共20分.）18．若直线)(042R n m ny mx ∈=-+，始终平分圆042422=-+-+y x y x 的周长，则m 、n 的关系是（ ）A．02=--n mB ．02=-+n mC ．04=-+n mD ．04=+-n m（第22题图）（第20题图）19. 已知α、β是不同的平面，m 、n 是不同的直线，则下列命题不．正确的是 （ ） A. 若m m ,α⊥∥,,β⊂n n 则βα⊥B. 若m ∥,αn αβ⋂=,则m ∥nC. 若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥nD. 若m m ,α⊥,β⊥则α∥β.20. 如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误．．的为（ ） A. AC BD = B.AC ∥截面PQMNC. 异面直线PM与BD 所成的角为45 D. AC BD ⊥21. 若圆1O 方程为22(1)(1)4x y +++=，圆2O 方程为22(3)(2)1x y -+-=，则方程22(1)(1)4x y +++-22(3)(2)1x y =-+--表示的轨迹是（ ）A ．经过两点21,O O 的直线B ．线段21O O 的中垂线C ．两圆公共弦所在的直线D ．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等五. 解答题（每小题10分，共30分）22．（本题满分10分）如图，已知ABC ∆与DBC ∆面ABC ⊥平面DBC ，过点A 作PA ⊥平面ABC ，且2AP =．（1）求证：//PA 平面DBC ；（2）求直线PD 与平面ABC 所成角的大小．23．（本题满分10分）一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平面P 点以南的40米处，汽车在桥上Q 点以西30米处（其中PQ ⊥水面），求小船与汽车间的最短距离（不考虑汽车与小船本身的大小）.24.（本题满分10分）已知圆C :222430x y x y ++-+=.（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； （2）从圆C 外一点P （1x 、1y ）向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM PO =，求使得PM 取得最小值的点P 的坐标.龙岩市2010~2011学年度第一学期期末教学质量检查高一数学试题参考答案第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题4分，共20分）9. 12π. 10. 直线a 平行于平面β或直线a 在平面β内.11. 31x y x ==+或 12. ⎡⎣ 13. ③④三、解答题（每小题10分，共40分） 14．（本小题满分10分）解：法1：由20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，…………4分 再设所求直线方程为20x y c -+=，则12101c c -⨯+=⇒=，…………9分 故所求直线的方程为210x y -+=.…………10分 法2：设所求的直线方程为2(21)0x y x y λ+-+--=， …………3分 转化为(12)(1)(2)0x y λλλ++--+=， …………5分 又所求直线与直线032=-+y x 垂直， 所以2(12)(1)01λλλ++-=⇒=-， …………9分 故所求的直线方程为210x y -+=.…………10分 15．（本小题满分10分）解：该几何体为底边长为2a a 的正四棱锥.………2分2311h(2)33V S a==⨯=∴底，…………5分四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，设其高为h'，h2a'=，2221+S4(2)(2)122S S a a a==⨯⨯+=∴侧表底…………9分3，表面积为122a. (10)分16．（本小题满分10分）解：(1)因为圆C的圆心为（-4，2）与o（0，0）关于直线y kx b=+对称，所以21112OCk bk k k-+=⎧⎪⎨⋅=-⋅=-⎪⎩解得k =2,b=5 …………5分(2)由题设条件可知四边形OACB为菱形，且OA=OC=AC,所以∠AOB=0120. …………10分17. 证明：（1）∵PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，∴PB∥MA．…………2分∵PB⊂平面BPC，MA⊂/平面BPC，∴MA∥平面BPC．同理DA∥平面BPC，…………3分∵MA⊂平面AMD，AD⊂平面AMD，MA∩AD＝A，∴平面AMD∥平面BPC．…………5分（2）连结AC，设AC∩BD＝E，取PD中点F，连接EF，MF．∵ABCD为正方形，∴E为BD中点．又F为PD中点，∴EF∥=12PB．又AM∥=12PB，∴AM∥=EF．∴AEFM为平行四边形． (7)分∴MF∥AE．∵PB⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PB⊥AE．∴MF⊥PB．因为ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∴MF⊥BD．…………8分又PB PD P⋂=，∴MF⊥平面PBD．又MF⊂平面PMD．∴平面PMD⊥平面PBD． (10)分第Ⅱ卷四、选择题（每小题5分，共20分）五、解答题（每小题10分，共30分） 22．（本小题满分10分） 解：（1）取BC 的中点O ，连接DO ，则DO BC ⊥ 又∵平面DBC ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC . …………3分 而AP ⊥平面ABC ，∴//DO PA ，又∵DO 在平面DBC 内， ∴//PA 平面DBC ． …………5分（2）∵D 在平面ABC 的射影是O ，P 在平面ABC 的射影是A ，∴DP 在平面ABC 的射影是OA ，即直线PD 与平面ABC 所成角就是直线PD 与直线OA 所成的角， ……6分 过D 作//DM OA 交PA 于M ，由（Ⅰ）可知//DO PA ， ∴1,11DM OA DO MA PM ====⇒= (8)分又∵AP ⊥平面ABC ∴PA OA PA DM ⊥∴⊥ ∴在1t PMD PM DM ℜ==中， (9)分∴45PDM ∠=︒ …………10分23. （本小题满分10分）解：设经过时间t 汽车在A 点，船在B 点，（如图）…………1分 则AQ =30–20t ,BP =40–10t ,PQ =20,且有AQ ⊥BP ，PQ ⊥AQ ，PQ ⊥PB ， …………3分设小船所在平面为α,AQ ,QP 确定平面为β,记α∩β=l ,由AQ ∥α,AQ ⊂β得AQ ∥l ， 又PQ ⊥水面，即PQ ⊥α，作AC ∥PQ ，则AC ⊥α.连结CB ，则AC ⊥CB . 再由AQ ⊥BP ，CP ∥AQ 得CP ⊥BP ， (5)分∴AB 2=AC 2+BC 2=PQ 2+PB 2+PC 2=202+（40–10t ）2+(30–20t )2=100［5(t –2)2+9］, …………8分t =2时AB 最短，最短距离为30 m. …………10分24.（本小题满分10分）（第22题图）（第23题图） αβ解：（1）切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，∴设切线方程为x y a +=，（0a ≠） ………………………………1分 又圆C ：22(1)(2)2x y ++-=，∴圆心C (1,2)-∴1,3,a a ==-=或 (3)分则所求切线的方程为：1030x y x y ++=+-=或. ………………………………5分（2）切线PM 与半径CM 垂直，∴222,PM PC CM =- ……………………………6分 2222111111(1)(2)2,2430,x y x y x y ∴++--=+∴-+=∴动点P 的轨迹是直线2430x y -+=， ………………………………8分PM 的最小值就是PO 的最小值，而PO 的最小值为O 到直线2430x y -+=的距离. ……………………………………………………………… 10分。

答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．3214. ．c b a << 15．16 16．2015[,1008)2 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得4A =,2ω=,6πϕ=-函数表达式为()4sin(2)6f x x π=-. (3)分补全数据如下表：……………5分（Ⅱ）∵()4sin(2)[4,4]6f x x π=-∈-[4,4]A ∴=-， ……………6分又A C A =U ，C A ∴⊆ ……………7分依题意 143134m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩……………-9分 ∴实数m 的取值范围是[3,1]- ……………10分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为734sin =α，),2(ππα∈，所以71sin 1cos 2-=--=αα．………2分从而 21cos 114sin [1()]22277αα-==⨯--=． ……………5分 （Ⅱ）因为),2(ππα∈，)2,0(πβ∈，所以)23,2(ππβα∈+, ……………6分所以13cos()14αβ+==-． ……………8分 sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα∴=+-=+-+23734)1413()71(1433=⨯---⨯=． ……………10分 又)2,0(πβ∈，3πβ∴=． ……………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1=a 时，3423)(+-=x x x f ， ……………1分()3t f t =Q 在R 上单调递增，且11)2(3422-≥--=+-x x x ……………3分 ∴31331342=≥-+-x x∴函数)(x f 的值域为),31[∞+ ……………5分（Ⅱ）令342+-=x ax t当0≥a 时，t 无最大值，不合题意； ……………6分当0<a 时，Θ34)2(3422+--=+-=a a x a x ax t ……………7分 ∴at 43-≤ ， ……………8分 又()3t f t =在R 上单调递增，∴44338133)(==≤=-a t x f ∴443=-a， ……………11分 ∴4-=a ……………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意有()(2sin ,cos 2)(cos ,2sin cos 2sin 222sin(2)43f x a b x x x x x xx xx π===-==-r r g g L L L L L 分 令23x k ππ-=，则62k x ππ=+ ∴函数()y f x =的对称中心为(,0)()62k k Z ππ+∈……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，……………9分 由()+22262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， 即()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又[0,]x π∈ ∴()g x 的单调增区间为[0,]3π.……………12分 21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x 百万元，则对甲种产品投入资金5x -（）百万元 当2a =时，令t =∴当1t =时，总收益y 有最大值，此时1,54x x =-=.即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大……………5分 对任意[]0,5x ∈恒成立， 对任意[]0,5x ∈恒成立，设t =则()2221g t t at =-++，其图象的对称轴为7分时，()g t 在减，且，，得，又时，()g t 在减， ，可得()()min 100g t g ==≥，符合题意时，易知()2221g t t at =-++增可得()()min 100g t g ==≥恒成立，∴实数a ……………12分 22. （本小题满分12分）解：依题意有（Ⅰ）判定：)(x f 在R 上单调递增. ……………1分证明：任取,,21R x x ∈且21x x <,则21)()())(()()(12111212--=-+-=-x x f x f x x x f x f x f ,012>-x x Θ21)(12>-∴x x f ,021)(12>--∴x x f 0)()(12>-∴x f x f , )()(12x f x f >∴,所以函数)(x f 在R 上单调递增. ……………4分 （Ⅱ）由⇔=0)(x F 01)())((=--+k f x g f 2121)())((=--+⇔k f x g f , 又21)0()0()00(-+=+f f f Θ,21)0(=∴f ,)0(21)())((f k f x g f =--+∴, )0())((f k x g f =-∴由（1）知)(x f 在R 上单调递增,k x g =∴)( …………7分所以题意等价于k y x g y ==与)(的图象有三个不同的交点（如下图）,则10<<k 且,,,k e c e b e a k k ===-22()(),k k ab a b abg c ab a b k e e k -∴++=++=++ 令)1,0(,)(∈++=-x x e e x h x x ,1021<<<x x 设,则)(11)()(1222121122x x e e e e x h x h x x x x -++-+=-)()1)((12211212x x ee e e x x x x x x -+--=++, 0,1,010********>->>-∴<<<+x x e e e x x x x x x Θ,)()(12x h x h >∴即)1,0()(∈x x h 在上单调递增，)1()()0(h x h h <<∴即1)(21++<<∴-e e x h , 综上：)1,2(122++-+-e e abc b a ab 的取值范围是. ……………12分. （注：若用极限法扣2分）。

2020-2021学年福建省龙岩市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}2．若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充分必要条件3．已知y＝f（x+1）为偶函数，且y＝f（x）在[1，+∞）上单调递增，则不等式的解集为（）A．（）B．[）C．（）D．[）4．已知a＝，b＝log2，c＝2，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c5．已知，则＝（）A．B．C．D．6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥210．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为．16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．2020-2021学年福建省龙岩市高一上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充分必要条件【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，当若“a＞b＞1”时，由对数函数的性质可得：log2a＞log2b＞0，可得log b2＞log a2成立．当若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知log2a＞log2b＞0，必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，0＞log2a＞log2b，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜0＜log b2，则必有0＜a＜1＜b；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的充分不必要条件．故选：B．3．已知y＝f（x+1）为偶函数，且y＝f（x）在[1，+∞）上单调递增，则不等式的解集为（）A．（）B．[）C．（）D．[）【解答】解：∵函数y＝f（x+1）是偶函数，∴y＝f（x+1）关于y轴对称，∵y＝f（x+1）向右平移1个单位得到y＝f（x），∴y＝f（x）关于直线x＝1对称，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，∵不等式，|2x﹣1|＜|﹣1|，即|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选：A．4．已知a＝，b＝log2，c＝2，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵，，，∴b＜a＜c．故选：D．5．已知，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，可得＝＝，∴解得tanα＝﹣，∴＝＝＝．故选：B．6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除C，故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：根据函数的图象，，所以T＝π，则ω＝2，所以φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝．由于|φ|＜，所以当k＝1时，解得φ＝．所以f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：A．8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），所以函数的最小正周期T＝＝π，所以A不正确；f（x）的最大值为，所以C不正确；函数的对称中心满足2x﹣＝kπ，所以x＝+，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，当k＝0时，x ＝，所以D正确．故选：D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥2【解答】解：选项A，因为a，b∈（0，+∞），所以≥2＝2，当且仅当a＝b 时，等号成立，即选项A正确；选项B，因为xy＜0，所以﹣＞0，﹣＞0，所以＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2＝﹣2，当且仅当x＝﹣y时，等号成立，即选项B正确；选项C，当a＜0时，+a≤﹣4，即选项C错误；选项D，当x，y∈（0，1）时，lgx，lgy∈（﹣∞，0），不适用于基本不等式，即选项D 错误．故选：AB．10．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x3+4x，有f（﹣x）＝﹣（2x3+4x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝6x2+4，在区间（0，1）上，有y′＝6x2+4＞0，为增函数，符合题意；对于B，y＝x+sin x，有f（﹣x）＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝1+cos x，在区间（0，1）上，有y′＝1+cos x＞0，为增函数，符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f（﹣x）＝log2|x|＝﹣f（x），y＝log2|x|为偶函数，不符合题意；对于D，y＝2x﹣2﹣x，有f（﹣x）＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝（2x+2﹣x）ln2，在区间（0，1）上，有y′＝（2x+2﹣x）ln2＞0，为增函数，符合题意；故选：ABD．11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数【解答】解：由题意可知，函数f（x）过（，0），（，﹣1），所以＝﹣＝，可得T＝＝2，解得ω＝π，因为f（x）的最小值为﹣1，所以A＝1，将（，﹣1）代入f（x）＝cos（πx+φ）中，可得cos（π+φ）＝﹣1，所以π+φ＝2kπ+π，k∈Z，因为＜φ＜0，所以k＝0时，φ＝﹣，所以f（x）＝cos（πx），T＝2，所以|f（x）|的最小正周期为＝1，故A错误，将（﹣，0）代入f（﹣）＝cos（﹣π﹣）＝cos（﹣）＝0，故B正确，f（x）向左移个单位即f（x+）＝cos[π（x+）﹣]＝cos（πx+）＝cos[π+（πx ﹣）]＝sin（），故C正确，由f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，所以m∈[，），f（x）的增区间为[2k，2k+]，k∈z，﹣∈[﹣，﹣]，所以[﹣，0]⊂[﹣，]，故D正确．故选：BCD．12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜【解答】解：∵正实数x，y满足，∴＜﹣．当x＞y时，＞1，＞0，而＜，∴﹣＜0，故＜﹣不可能成立．当x＝y时，＝0＜﹣＝0，不可能成立．故x＜y，∴＞，x3＜y3，故A不正确、B正确；∴y﹣x＞0，y﹣x+1＞1，ln（y﹣x+1）＞0，故C正确；2x﹣y＜20＝1，故D不一定正确，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．【解答】解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈（0，1]，则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2+y2的最小值为；方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，可得x2+y2的最小值为．故答案为：．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝2．【解答】解：．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：由x﹣2＝0得x＝2，此时f（2）＝a0﹣4＝1﹣4＝﹣3，即函数f（x）过定点A（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．【解答】解：将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），可得y＝sinω（x﹣）的图象；又已知得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∴＝+2kπ，k∈Z，则ω的最小值为，故答案为：．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．【解答】解：（1）设x1＞x2＞﹣1，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣），由x1＞x2＞﹣1，可得x1+2＞1，x2+2＞1，∴（x1+2）（x2+2）＞1；0＜＜1，∴1﹣＞0；又∵x1﹣x2＞0，可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．即f（x）在区间（﹣1，+∞）上是增函数．（2）设x＞0，则﹣x＜0；∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣﹣1＝﹣（x﹣+1）＝﹣g（x），设x＜0，﹣x＞0，∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣+1＝﹣（x﹣﹣1）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）是二次函数，设为f（x）＝ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5），则有：﹣1和5是对应方程ax2+bx+c＝0的两不等实根，且a＞0；所以：由根与系数关系可得：①：﹣1+5＝﹣；②：（﹣1）×5＝；因为二次函数f（x）的值域为：[﹣9，+∞），则有：＝﹣9；函数的对称轴为：x＝﹣＝2；即函数的顶点坐标为：（2，﹣9）；即4a+2b+c＝﹣9；③由①②③可得：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5；所以：二次函数f（x）＝x2﹣4x﹣5，（2）函数y＝f（）中，令t＝，则t∈[0，3]；所以函数y＝f（t）＝t2﹣4t﹣5＝（t﹣2）2﹣9，当t＝2时，f（t）取得最小值为f（2）＝﹣9，当t＝0时，f（t）取得最大值为f（0）＝﹣5，所以f（t）的值域为[﹣9，﹣5]，即函数y的值域为[﹣9，﹣5]．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【解答】解：因为函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），（1）令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，故函数的对称中心为（﹣，0），k∈Z；（2）令2x+，解得x，又因为x∈[0，π]，所以令k＝0，解得x，故函数的单调递减区间为[]．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+＝sin2x﹣2•+＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，函数f（x）的值域为[0，2]…4分（Ⅱ）∵由题意可得h（x）＝4sin2x，…6分∴F（x）＝4sin2x+t[sin x+sin（x+）]＝4sin2x+t（sin x+cos x），（0≤x≤），设u＝sin x+cos x＝sin（x+），∵x∈[0，]，∴u∈[1，]，且sin2x＝u2﹣1，∴F（x）＞0在[0，]上有解，等价于不等式4（u2﹣1）+tu＞0在u∈[1，]时有解，即存在u∈[1，]使得﹣t＜4（u﹣）成立，∵y＝4（u﹣）在u∈[1，]时单调递增，∴y＝4（u﹣）≤4（）＝2，∴﹣t＜2，即t＞﹣2，即实数t的取值范围为（﹣2，+∞）…12分22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．【解答】解：（1）当9≤t≤15时，p（t）＝1800超过1500，不合题意；当4≤t＜9，p（t）＝1800﹣15（9﹣t）2，载件个数不超过1500，即1800﹣15（9﹣t）2≤1500，解得t≤9﹣或t，∵4≤t＜9，t∈N，∴t＝4；（2）当4≤t＜9时，p（t）＝﹣10t2+200t+200，q（t）＝﹣80＝﹣80＝＝1520﹣（），∵≥＝1260，当且仅当90t＝，即t＝7时取等号．∴q（t）max＝260；当9≤t≤15，q（t）＝﹣80＝是单调减函数，∴当t＝9时，q（t）max＝240＜260．即发车时间间隔为7分钟时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大，最大净收益为260元．。

2022-2023学年福建省龙岩市上杭一中高一（上）期末数学试卷（二）1. 将函数f(x)=sin12x的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到函数g(x)=cos12x的图象，则φ的最小值是( )A. π4B. π2C. πD. 2π2. 我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c(t)(单位：mg/L)随着时间t(单位：ℎ)的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1(单位：ℎ−1)，刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为(参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099)( )A. 5.32ℎB. 6.23ℎC. 6.93ℎD. 7.52ℎ3. 某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为(参考数据：取lg2=0.3)( )A. 5B. 6C. 7D. 84. 设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( )A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π25. 已知α∈(0,π2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=( )A. 15B. √55C. √33D. 2√556. 已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③7. 已知函数f(x)=cos(π4−x)cos(π4+x)+2asinx +b 的值域为[−1,4]，则a +b =( ) A. 134 B. 94 C. 134或34 D. 134或94 8. 已知函数f(x)=sinx +cosx 的定义域为[a,b]，值域为[−1,√2]，则b −a 的取值范围是( )A. [3π4,π2]B. [π2,3π4]C. [π2,3π2]D. [3π4,3π2]9. 若α∈[0,2π]，sin α3sin 4α3+cos α3cos 4α3=0，则α的值是( )A. π6B. π4C. π2D. 3π210. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为S 1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为√5−12时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是(参考数据：√5≈2.236)( )A. S 1S 2=θ2π−θB. 若S 1S 2=12，扇形的半径R =3，则S 1=2πC. 若扇面为“美观扇面”，则θ≈138∘D. 若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R =20，则此时的扇形面积为200(3−√5) 11. 设θ的终边在第二象限，则√1−sinθcos θ2−sin θ2的值可能为( )A. 1B. −1C. −2D. 212. 已知函数f(x)=sin(|cosx|)+cos(|sinx|)，则以下结论正确的是( ) A. f(x)的图象关于直线x =π2对称 B. f(x)是最小正周期为2π的偶函数 C. f(x)在区间(0,π2)上单调递减D. 方程f(x)=12x 恰有三个不相等的实数根13. 函数f(x)=5√3cos 2x +√3sin 2x −4sinxcosx(π4≤x ≤7π24)的最小值为______，此时x 的值为______.14. 已知函数f(x)=3sin(ωx +π6)(ω>0)在(0,π12)上单调递增，则ω的最大值是______.15. 若cos(α−β)=12，cos(α+β)=−35，则tanαtanβ=______.16. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|≤π2，−π4为f(x)的零点，且f(x)≤|f(π4)|恒成立，f(x)在区间[−π12,π24)上有最小值无最大值，则ω的最大值是______17. 已知函数f(x)=2cos 2x2+√3sinx +a −1的最大值为1.(1)求函数f(x)的单调递减区间． (2)若x ∈[{0,π2],求函数f(x)的值域．18. 已知2sinα=2sin 2α2−1.(1)求sinαcosα+cos2α的值；(2)已知α∈(0,π)，β∈(0,π2)，且tan 2β−6tanβ=1，求α+2β的值．19. 已知函数f(x)=12cos2x +sinx ⋅(1−2sin 2x2)，其中x ∈R.(1)求使得f(x)≥12的x 的取值范围； (2)若函数g(x)=√22sin(2x +3π4)且对任意的x 1，x 2∈[0,t]，当x 1<x 2时，均有f(x 1)−f(x 2)<g(x 1)−g(x 2)成立，求正实数t 的最大值.20. 在①sinα=√63，②tan 2α+√2tanα−4=0这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．已知角α是第一象限角，且_____. (1)求tanα的值；(2)求√2cos(2α+3π2)+cos(α+π)cos(α−3π)的值．21. 已知0<α<π，0<β<π，且cosα+cosβ−cos(α+β)=32，求α、β的值． 22. 设a 为常数，函数f(x)=asin2x +cos(2π−2x)+1(x ∈R)(1)设a =√3，求函数y =f(x)的单调递增区间及频率f ；(2)若函数y=f(x)为偶函数，求此函数的值域.答案和解析1.【答案】C【解析】解：由已知可得g(x)=cos12x=sin(12(x+π))，∴由f(x)=sin12x只需向左平移π个单位，即可得到y=g(x)的图象，∴φ=π.∴φ的最小值是：π.故选：C.先将g(x)化正弦，然后根据左加右减求出φ的最小值．本题考查三角函数的图象变换以及三角恒等变换，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意得，c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L时需要是时间为t1，由c(t1)=2000e−0.1t1≥1000，得e−0.1t1≥12，故−0.1t≥−ln2，∴t≤ln20.1≈6.93ℎ.∴该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ.故选：C.利用已知条件c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，求解指数不等式得答案．本题考查根据实际问题选择函数模型，考查指数不等式的解法，是基础题．3.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．【解答】解：经过n次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%，由题意可得，(1−50%)n<4%，即n>log12125=2log25=2lg5lg2=2(1−lg2)lg2≈4.7，故至少需要5次提炼．故选：A.4.【答案】C【解析】解：根据函数f(x)=cos(ωx +π6)在[−π,π]的图象，可得ω×(−49π)+π6=−π2，∴ω=32， 故f(x)的最小正周期为2πω=4π3， 故选：C.由题意利用五点法作图，余弦函数的图象和性质，求得ω的值，从而求得f(x)的最小正周期． 本题主要考查五点法作图，余弦函数的图象和性质，属于基础题．5.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由二倍角公式化简已知条件可得4sinαcosα=2cos 2α，结合角的范围可求得sinα>0，cosα>0，可得cosα=2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα的值． 【解答】解：∵2sin2α=cos2α+1，由二倍角公式可得4sinαcosα=2cos 2α， ∵α∈(0,π2)，∴sinα>0，cosα>0， ∴cosα=2sinα，则有sin 2α+cos 2α=sin 2α+(2sinα)2=5sin 2α=1， 解得sinα=√55.故选B.6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了正弦函数的性质的简单应用，属于基础题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③． 【解答】解：因为f(x)=sin(x +π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T =2π，故①正确；②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象，故③正确． 故选：B.7.【答案】C【解析】解：∵f(x)=cos(π4−x)cos(π4+x)+2asinx +b ，∴f(x)=12(cos 2x −sin 2x)+2asinx +b =−sin 2x +2asinx +b +12， 令t =sinx ，t ∈[−1,1]，设g(t)=−t 2+2at +b +12，则g(t)∈[−1,4]， 当a ≤−1时，g(t)在[−1,1]上单调递减，{g(−1)=−12−2a +b =4g(1)=−12+2a +b =−1，解得{a =−54b =2，即a +b =34， 当a ≥1时，g(t)在[−1,1]上单调递增，{g(−1)=−12−2a +b =−1g(1)=−12+2a +b =4，解得{a =54b =2，即a +b =134， 当−1<a <0时，{g(t)max =g(a)=a 2+b +12=4g(t)min =g(1)=2a +b −12=−1，无解， 当0≤a <1时，{g(t)max =g(a)=a 2+b +12=4g(t)min =g(−1)=−2a +b −12=−1，无解， 综上所述，a +b =34或a +b =134. 故选：C.f(x)=12(cos 2x −sin 2x)+2asinx +b =−sin 2x +2asinx +b +12，令t =sinx ，t ∈[−1,1]，设g(t)=−t 2+2at +b +12，则g(t)∈[−1,4]，再结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解． 本题主要考查两角和与差的三角函数，以及三角函数的最值，需要学生较强的综合能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：∴函数f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)的定义域为[a,b]，值域为[−1,√2]， 即−√22≤sin(x +π4)≤1，∴2kπ−π4≤x+π4≤2kπ+5π4，k∈Z.当b−a最小时，a+π4=2kπ−π4，b+π4=2kπ+π2，k∈Z，此时b−a=3π4.当b−a最大时，a+π4=2kπ−π4，b+π4=2kπ+5π4，k∈Z，此时b−a=3π2.∴b−a的取值范围是[3π4,3π2]，故选：D.由题意，−√22sin(x+π4)≤1，求得b−a的最小值和最大值，可得结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】CD【解析】解：因为α∈[0,2π]，sinα3sin4α3+cosα3cos4α3=cosα=0，则α=12π或α=3π2，故选：CD.由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可．本题主要考查了两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题．10.【答案】AC【解析】解：对于A，∵S1与S2所在扇形的圆心角分别为θ，2π−θ，∴S1S2=12⋅θ⋅r212(2π−θ)⋅r2=θ2π−θ，A正确；对于B，∵S1S2=θ2π−θ=12，∴θ=2π3，∴S1=12⋅θ⋅R2=12×2π3×9=3π，B错误；对于C，∵S1S2=θ2π−θ=√5−12，∴θ=(3−√5)π，∴θ≈(3−2.236)×180∘≈138∘，C正确；对于D，S1=12⋅θ⋅R2=12×(3−√5)π×400=200(3−√5)π，D错误．故选：AC.首先确定S1，S2所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由S1S2=θ2π−θ=12可求得θ，代入扇形面积公式可知B错误；由S1S2=θ2π−θ=√5−12即可求得θ，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误．本题主要考查扇形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】AB【解析】解：∵θ的终边在第二象限， ∴2kπ+π2<θ<2kπ+π，k ∈Z ， ∴kπ+π4<θ2<kπ+π2，k ∈Z ，√1−sinθcos θ2−sin θ2=√sin 2θ2+cos 2θ2−2sin θ2cos θ2cos θ2−sin θ2=√(sin θ2−cos θ2)2cos θ2−sin θ2=|sin θ2−cos θ2|cos θ2−sin θ2，故当2kπ+π4<θ2<2kπ+π2，k∈Z 时，sin θ2−cosθ2>0，√1−sinθcos θ2−sin θ2=sin θ2−cos θ2cos θ2−sin θ2=−1； 当2kπ+5π4<θ2<2kπ+3π2，k∈Z 时，sin θ2−cosθ2<0，√1−sinθcos θ2−sin θ2=cos θ2−sin θ2cos θ2−sin θ2=1.故选：AB.先求得θ2的范围，由此进行分类讨论，结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，化简求得所求表达式的值．本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：因为f(x)=sin(|cosx|)+cos(|sinx|)，所以f(−x)=f(x)，即f(x)为偶函数． 对于A ，f(π−x)=sin(|cos(π−x)|)+cos(|sin(π−x)|)=sin(|cosx|)+cos(|sinx|)=f(x)，即f(x)的图象关于直线x =π2对称，故A 正确；对于B ，f(π+x)=sin(|cos(π+x)|)+cos(|sin(π+x)|)=sin(|cosx|)+cos(|sinx|)=f(x)，故f(x)是最小正周期为π的偶函数，故B 错误；对于C ，当x ∈(0,π2)时，f(x)=sin(cosx)+cos(sinx)，y =cosx 在(0,π2)上是减函数，且cosx ∈(0,1)⊆(0,π2)，y =sinx 在区间(0,1)上是增函数，由复合函数的单调性得，y =sin(cosx)在区间(0,π2)上是减函数，同理可得y =cos(sinx)在区间(0,π2)上是减函数，所以f(x)在区间(0,π2)上单调递减，故C 正确；对于D ，由C 知，f(x)在区间[0,π2]上单调递减，由B 知，f(x)是最小正周期为π的偶函数，所以，当x =0时，f(x)取得最大值为1+sin1，当x =π2时，f(x)取得最小值为cos1，故其值域为[cos1,1+sin1]，作图如下：由图知，方程f(x)=12x 恰有三个不相等的实数根，故D 正确； 故选：ACD.根据正弦函数与余弦函数的性质，对四个选项选项逐一分析判断，即可得到答案．本题考查了正弦函数和余弦函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质的综合应用，考查了逻辑推理能力与作图分析能力、运算求解能力，属于中档题．13.【答案】3√3−2√2 7π24【解析】解：∵f(x)=5√3cos 2x +√3sin 2x −4sinxcosx=5√3×1+cos2x 2+√3×1−cos2x2−2sin2x=2√3cos2x −2sin2x +3√3=4cos(2x +π6)+3√3， ∵π4≤x ≤7π24，∴2π3≤2x +π6≤3π4， ∴−√22≤cos(2x +π6)≤−12，∴当cos(2x +π6)=−√22时，f(x)有最小值3√3−2√2， 此时2x +π6=3π4，解得x =7π24. 综上，函数f(x)=5√3cos 2x +√3sin 2x −4sinxcosx(π4≤x ≤7π24)的最小值为3√3−2√2， 此时x 的值为7π24.故答案为：3√3−2√2；7π24.利用三角函数恒等变换推导出f(x)=4cos(2x +π6)+3√3，由此能求出结果．本题考查三角函数的图角和性质、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.【答案】4【解析】解：由函数f(x)=3sin(ωx +π6)(ω>0)在区间(0,π12)上单调递增， 可得π6<ωx +π6<π12ω+π6≤π2，求得0<ω≤4，故ω的最大值为4. 另解：由0<x <π12，可得π6<ωx +π6<π6+π12ω， 又f(x)在(0,π12)内递增，可得{ωπ12+π6⩽2kπ+π2,k ∈Z,①π6⩾2kπ−π2,k ∈Z,②， 由①可得ω≤4+24k ， 当k =0时，②显然成立； 当k =1时，①不成立；当k =−1时，ω≤−20，与ω>0矛盾． 综上可得，0<ω≤4，即ω的最大值为4， 故答案为：4.根据正弦型函数的单调性即可求解．本题主要考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】−11【解析】解：因为cos(α−β)=12， 所以cosαcosβ+sinαsinβ=12， 因为cos(α+β)=−35，所以cosαcosβ−sinαsinβ=−35，所以cosαcosβ=12(12−35)=−120，sinαsinβ=12(12+35)=1120， 则tanαtanβ=1120−120=−11.故答案为：−11.由已知利用两角和与差的余弦公式可求cosαcosβ，sinαsinβ的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了两角和与差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】15【解析】解：函数f(x)=sin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|≤π2，−π4为f(x)的零点，且f(x)≤|f(π4)|恒成立，f(x)在区间[−π12,π24)上有最小值无最大值， ∴由题意知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2),x =π4为y =f(x)图象的对称轴， x =−π4为f(x)的零点， ∴2n+14⋅2πω=π2，n ∈Z ，∴ω=2n +1.∵f(x)在区间[−π12,π24)上有最小值无最大值， ∴周期T ≥(π24+π12)=π8，即2πω≥π8，∴ω≤16. ∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω=15，当ω=15时，由题意可得−π4×15+φ=kπ，φ=−π4， 函数为y =f(x)=sin(15x −π4)，在区间[−π12,π24)上，15x −π4∈[−3π2,3π8), 此时f(x)在15x −π4=−π2，即x =−π60时取得最小值， ∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15. 故答案为：15.由题意知x =π4为y =f(x)图象的对称轴，x =−π4为f(x)的零点，从而求出ω=2n +1.再由周期T ≥(π24+π12)=π8，得2πω≥π8，从而ω≤16.当ω=15时，得−π4×15+φ=kπ，φ=−π4，f(x)在x =−π12时取得最小值，由此能求出结果． 本题考查三角函数的图象与性质、对称轴、周期、最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)f(x)=2cos 2x2+√3sinx +a −1=cosx +√3sinx +a =2sin(x +π6)+a.由f(x)max =2+a =1，解得a =−1.由f(x)=2sin(x +π6)−1， 则2kπ+π2≤x +π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ， 解得2kπ+π3≤x ≤2kπ+4π3，k ∈Z ，所以函数的单调递减区间为[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k ∈Z ， (2)由x ∈[0,π2]，则x +π6∈[π6,2π3]， 所以12≤sin(x +π6)≤1， 所以0≤2sin(x +π6)−1≤1， 所以函数f(x)的值域为[0,1].【解析】(1)直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的最大值求出a 的值，最后利用整体思想的应用求出函数的单调递减区间． (2)利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由已知可得2sinα=−cosα，则tanα=−12，所以sinαcosα+cos2α=sinαcosα+cos2αsin 2α+cos 2α=tanα+1−tan 2αtan 2α+1=15；(2)由tan 2β−6tanβ=1，可得tan2β=2tanβ1−tan 2β=−13，则tan(α+2β)=tanα+tan2β1−tanαtan2β=−12−131−12×13=−1，因为β∈(0,π2)，所以2β∈(0,π)，又tan2β=−13>−√33，则2β∈(5π6,π)，因为α∈(0,π)，tanα=−12>−√33，则α∈(5π6,π)， 则α+2β∈(5π3,2π)， 所以α+2β=7π4. 【解析】(1)利用已知化简可得tanα的值，然后把所求的关系式化弦为切，代入正切值即可求解； (2)利用已知可求出tan2β的值，然后再求出tan(α+2β)的值，根据α，β的取值范围即可求解． 本题考查了三角函数的恒等变换以及化简，考查了学生的运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)f(x)=12cos2x +sinx ⋅(1−2sin 2x2)=12cos2x +sinx ⋅cosx =12cos2x +12sin2x =√22sin(2x +π4)， 因为f(x)≥12，所以√22sin(2x +π4)≥12，即sin(2x +π4)≥√22，所以2kπ+π4≤2x +π4≤2kπ+3π4，k ∈Z ，解得kπ≤x ≤kπ+π4，k ∈Z ，所以使得f(x)≥12的x 的取值范围是[kπ,kπ+π4]，k ∈Z. (2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=√22sin(2x +π4)−√22sin(2x +3π4)=√22sin(2x +π4)−√22cos(2x +π4) =sin(2x +π4−π4)=sin2x ，因为对任意的x 1，x 2∈[0,t]，当x 1<x 2时，均有f(x 1)−f(x 2)<g(x 1)−g(x 2)成立， 即对任意的x 1，x 2∈[0,t]，当x 1<x 2时，均有f(x 1)−g(x 1)<f(x 2)−g(x 2)成立， 即对任意的x 1，x 2∈[0,t]，当x 1<x 2时，均有ℎ(x 1)<ℎ(x 2)成立， 所以ℎ(x)=sin2x 在x ∈[0,t]上单调递增， 所以0<2t ≤π2，解得0<t ≤π4， 所以正实数t 的最大值为π4.【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题． (1)由三角恒等变换化简f(x)，再由正弦函数的性质即可求解不等式；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，由诱导公式及辅助角公式进行化简，由题意分析可得ℎ(x)=sin2x 在x ∈[0,t]上单调递增，由正弦函数的性质即可求得t 的取值范围，从而可求得t 的最大值．20.【答案】解：若选①，(1)∵sinα=√63，∵角α是第一象限角，∴cosα=√1−sin 2α=√33， ∴tanα=√2；(2)原式=√2sin2α+(−cosα)⋅(−cosα)=2√2sinαcosα+cos 2α=2√2tanα+1tan 2α+1=53.若选②，(1)tan 2α+√2tanα−4=0，则(tanα+2√2)(tanα−√2)=0，∵角α是第一象限角， ∴tanα=√2；(2)原式=√2sin2α+(−cosα)⋅(−cosα)=2√2sinαcosα+cos 2α=2√2tanα+1tan 2α+1=53.【解析】若选①，(1)利用同角三角函数间的关系可求得tanα的值； (2)利用两角和与差的三角函数可将所求关系式转化为2√2tanα+1tan 2α+1，代入tanα=√2可得答案．若选②，(1)利用因式分解结合题意可求得tanα的值； (2)利用两角和与差的三角函数可将所求关系式转化为2√2tanα+1tan 2α+1，代入tanα=√2可得答案．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数的应用，属于中档题．21.【答案】解：因为cosα+cosβ−cos(α+β)=32，所以2cos α+β2cos α−β2−(2cos 2α+β2−1)−32=0， 即4cos 2α+β2−4cos α−β2cos α+β2+1=0， 上式可看作cos α+β2的一元二次方程，又此方程有实根，Δ=16cos2α−β2−16≥0，得cos2α−β2≥1，又cos2α−β2≤1，则cos2α−β2=1，又0<α<π，0<β<π，则−π<α−β<π，即−π2<α−β2<π2，故α−β=0，即α=β，将α=β代入cosα+cosβ−cos(α+β)=32，解得cosα=12，又0<α<π，即α=π3，即α=β=π3.【解析】由三角恒等变换，结合三角函数求值问题求解即可．本题考查了三角恒等变换，重点考查了三角函数求值问题，属基础题．22.【答案】解：(1)因为a=√3，所以函数f(x)=asin2x+cos(2π−2x)+1=√3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，令2x+π6∈[2kπ−π2,2kπ+π2],k∈Z，解得x∈[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z，所以函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，函数是频率f=22π=1π；(2)因为函数是偶函数，则f(−x)=f(x)，即asin(−2x)+cos(2π+2x)+1=asin2x+cos(2π−2x)+1，即−asin2x+cos2x=asin2x+cos2x，所以a=0，所以f(x)=cos2x+1，当x∈R时，cos2x∈[−1,1]，所以cos2x+1∈[0,2]，故函数f(x)的值域为[0,2].【解析】本题考查了三角函数的单调性以及频率，考查了三角函数的奇偶性以及值域问题，属于基础题．(1)代入a的值，化简函数f(x)的解析式，根据正弦函数的单调性，求出函数f(x)的单调递增区间以及频率；(2)根据偶函数的定义求出a的值，然后化简函数f(x)，再由三角函数的性质即可求出函数的值域．。

一、选择题1．(0分)[ID ：12119]已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则A ．-2B ．2C ．-98D ．98 2．(0分)[ID ：12118]已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．(0分)[ID ：12113]已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞4．(0分)[ID ：12096]已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称5．(0分)[ID ：12094]设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>6．(0分)[ID ：12127]在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>8．(0分)[ID ：12083]已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．278-B ．18-C ．18D ．2789．(0分)[ID ：12080]函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞ D ．()1,+∞10．(0分)[ID ：12059]函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -11．(0分)[ID ：12058]已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．(0分)[ID ：12030]若函数y ＝x a a - (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．413．(0分)[ID ：12061]若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>14．(0分)[ID ：12045]点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．15．(0分)[ID ：12098]下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．y =cosxB ．y =sinxC ．y =lnxD ．y =x 2+1二、填空题16．(0分)[ID ：12217]已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______17．(0分)[ID ：12211]()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________． 18．(0分)[ID ：12208]已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，11()42x x f x =-+，则此函数的值域为__________. 19．(0分)[ID ：12188]若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________． 20．(0分)[ID ：12186]若函数cos ()2||xf x x x=++，则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.21．(0分)[ID ：12177]已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______． 22．(0分)[ID ：12152]已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________.23．(0分)[ID ：12145]已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0x f x k -=的所有根的和的最大值是_______.24．(0分)[ID ：12137]已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m 的取值范围为______．25．(0分)[ID ：12133]已知二次函数()f x ，对任意的x ∈R ，恒有()()244f x f x x +-=-+成立，且()00f =.设函数()()()g x f x m m =+∈R .若函数()g x 的零点都是函数()()()h x f f x m =+的零点，则()h x 的最大零点为________. 三、解答题26．(0分)[ID ：12303]已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-. (1)求函数()h x 的定义域; (2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 27．(0分)[ID ：12265]已知1()f x ax b x=++是定义在{|0}x x ∈≠R 上的奇函数,且(1)5f =.（1）求()f x 的解析式； （2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性,并用定义加以证明. 28．(0分)[ID ：12263]已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性; (2)解不等式()()2341xxf f +≤+. 29．(0分)[ID ：12229]已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.30．(0分)[ID ：12260]如图，OAB ∆是等腰直角三角形，ABO 90∠=，且直角边长为22，记OAB ∆位于直线()0x t t =>左侧的图形面积为()f t ，试求函数()f t 的解析式.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．C3．C4．C5．A6．C7．C8．B9．C10．D11．C12．C13．A14．C15．A二、填空题16．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基17．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题18．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函19．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x＜2时f(x)＜0即f(x)＜20．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值21．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即22．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像23．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时24．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没25．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A 解析：A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A2．C解析：C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<，c a b ∴<<． 故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．C解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 5．A解析：A 【解析】 【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.6．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．7．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用题意得到，()()f x f x -=-和2421D kx k =+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322ff18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②； 在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--； 再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题9．C解析：C 【解析】 【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞.内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ， 再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +， 该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.11．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.12．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.13．A解析：A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．14．C解析：C 【解析】 【分析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决. 【详解】由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2l对称，由图可知不满足题意故排除选项B ， 故选C ．本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．15．A解析：A 【解析】由选项可知，B,C 项均不是偶函数，故排除B,C ，A,D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.二、填空题16．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基解析：1-【解析】 【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=， 所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=， 又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.17．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题 解析：()6lg(6)f x x x =---+【解析】 【分析】首先根据题意得到(6)()f x f x +=-，再设(6,3)x ∈--，代入解析式即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+，即(6)()()f x f x f x +=-=-. 设(6,3)x ∈--，所以6(0,3)x +∈.(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-，所以()6lg(6)f x x x =---+. 故答案为：()6lg(6)f x x x =---+ 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.18．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函解析：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域． 【详解】设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，221124y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104y ≤≤，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．19．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x ＜2时f(x)＜0即f(x)＜解析：(－2,2) 【解析】 【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当－２＜x ＜2时，f(x)＜0，即f(x)＜0的解为(－2,2)，即不等式的解集为(－2,2),故填(－2,2).20．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值解析：10 【解析】 【分析】 由cos ()2||xf x x x=++，得()()42||f x f x x +-=+，由此即可得到本题答案. 【详解】 由cos ()2||xf x x x =++，得cos()cos ()2||2||x x f x x x x x--=+-+=+--，所以()()42||f x f x x +-=+，则(lg 2)(lg 2)42|lg 2|42lg 2f f +-=+=+，(lg5)(lg5)42|lg5|42lg5f f +-=+=+，所以，11(lg 2)lg (lg 5)lg 42lg 242lg 51025f f f f ⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：10 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值.21．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可． 【详解】偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩，即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃， 故答案为()(),20,2-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．22．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像 解析：(4,1)(1,0)--⋃-【解析】 【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围. 【详解】 函数()211x x xf -=-定义域为{}1x x ≠当1x ≤-时,()2111x x x f x -==---当11x -<<时,()2111x x x f x -==+-当1x <时,()2111x x xf x -==---画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点; 当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点. 综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点 故答案为:()()4,11,0--⋃- 【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.23．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时解析：5 【解析】 【分析】将2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩化简为2,01,1()2,12,412,23,16x x xx f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩同时设4()()x f x g x =，可得()g x 的函数解析式，可得当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大，可得答案. 【详解】解：由2,01,()1(1),13,2xx f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩可得：2,01,1()2,12,412,23,16x x xx f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩设4()()xf xg x =，8,01,1()8,12,418,23,16x x x x g x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩由()g x 函数的性质与图像可得，当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大， 此时根分别为：当01x <≤时，188x =，11x =， 当12x <≤时，21848x ⨯=，253x =， 当23x <≤时，318816x ⨯=，373x =，此时所有根的和的最大值为：1235x x x ++=， 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.24．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围.【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.25．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点解析：4 【解析】 【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得,a b ，代入()00f =求得c ，从而得到()f x 解析式，进而得到()(),g x h x ；设0x 为()g x 的零点，得到()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由此构造关于m 的方程，求得m ；分别在0m =和3m =-两种情况下求得()h x 所有零点，从而得到结果. 【详解】设()2f x ax bx c =++()()()()2222244244f x f x a x b x c ax bx c ax a b x ∴+-=++++---=++=-+44424a a b =-⎧∴⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩又()00f = 0c ∴= ()24f x x x ∴=-+()24g x x x m ∴=-++，()()()222444h x x x x x m =--++-++设0x 为()g x 的零点，则()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()2002220000404440x x m x x x x m ⎧-++=⎪⎨--++-++=⎪⎩即240m m m --+=，解得：0m =或3m =- ①当0m =时()()()()()()()22222244444442h x x x x x x x x x x x x =--++-+=-+-+=---()h x ∴的所有零点为0,2,4②当3m =-时()()()()()2222244434341h x x x x x x x x x =--++-+-=--+--+-()h x ∴的所有零点为1,3,2综上所述：()h x 的最大零点为4 故答案为：4 【点睛】本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量.三、解答题 26． (1)1,22⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由真数大于0列出不等式组求解即可； (2)由312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭得出14a =，再利用对数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】(1)要使函数有意义，则12020x x +>⎧⎨->⎩，即122x -<<，故()h x 的定义域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)∵312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴log (13)log 41a a +==-， ∴14a =， ∴1144()log (12)log (2)h x x x =+--，∵()0h x <，∴0212x x <-<+，得123x <<， ∴使()0h x <成立的的集合为1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了求对数型函数的定义域以及由对数函数的单调性解不等式，属于中档题. 27．(1) 1()4(0)f x x x x =+≠ (2) ()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.见解析 【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质以及()15f =，列式求得,a b 的值，进而求得函数解析式. （2）利用单调性的定义，通过计算()()120f x f x -<，证得()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增. 【详解】（1）∵()f x 为奇函数,∴()()0f x f x ,∴0b =. 由(1)5f =,得4a =, ∴1()4(0)f x x x x =+≠. （2）()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. 证明如下: 设1212x x <<,则()()()121212114f x f x x x x x -=-+- ()12121241x x x x x x -=- ∵1212x x <<,∴120x x -<,12410x x ->,∴()121212410x x x x x x --<, ∴()()120f x f x -<,∴()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题.28．(1)证明见解析;(2){|1}x x ≤.【解析】【分析】（1）根据函数为定义在R 上的奇函数得(0)0f =，结合(1)1f =求得()f x 的解析式，再利用单调性的定义进行证明；（2）因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+，解指数不等式即可得答案.【详解】(1)因为函数2()(,)1ax b f x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,所以(0)0f = 则有0001111b a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 解得20a b =⎧⎨=⎩,即22()1x f x x =+ 12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <()()()()()()2212211212222212122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()122122122111x x x x x x --=++因为12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <,所以()()2212110x x ++>,1210x x ->,210x x -> 所以()()120f x f x ->即()()12f x f x > ,所以()f x 在(1,)+∞上单调递减 .(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+不等式可化为22220x x x ⋅--≤,即(()()21220x x +-≤解得22x ≤,即1x ≤所以不等式的解集为{|1}x x ≤【点睛】本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的解集要写成集合的形式. 29．（1）证明见解析（2）4a =【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。

2023-2024学年福建省龙岩市高一上册期末质量检查数学模拟试题一、单选题1．若函数()||3x f x x =-的定义域为集合M ，则M =（）A ．[2,)+∞B ．(3,)+∞C ．[2,3)D ．[2,3)(3,)⋃+∞【正确答案】D【分析】利用被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解.【详解】由已知得2030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得2x ≥且3x ≠，即函数()||3f x x =-的定义域为集合[2,3)(3,)M =+∞ .故选：D.2．命题p ：“0,2sin 0x x x ∀>-≥”的否定为（）A ．0,2sin 0x x x ∃>-<B ．0,2sin 0x x x ∃<-<C ．0,2sin 0x x x ∀>-<D ．0,2sin 0x x x ∀<-<【正确答案】A【分析】利用全称命题的否定是特称命题可得答案.【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p ：“0,2sin 0x x x ∀>-≥”的否定为“0,2sin 0x x x ∃>-<”.故选：A3．cos 225︒的值是（）A ．B ．2C ．12-D ．2【正确答案】B【分析】利用诱导公式将大角变小角，然后根据特殊角的三角函数得答案..【详解】()cos 225cos 18045cos 452︒=︒+︒=-︒=-.故选：B.4．已知0.20.10.30.3,0.3,log 3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<c a bD ．<<b c a【正确答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来比较大小.【详解】由0.3x y =在R 上单调递减得0.20.10010.30.30.3a b <=<<==，又0.3log y x =在()0,∞+上单调递减得0.30.3log 3log 10c =<=，<<c a b ∴，故选：C.5．对于等式sin 3cos 2cos x x x =+，下列说法中正确的是（）A ．对x ∀∈R ，等式都成立B ．对x ∀∈R ，等式都不成立C ．当0x =时，等式成立D ．x ∃∈R ，等式成立【正确答案】D【分析】利用特殊值判断即可.【详解】因为()sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin x x x x x x x =+=+，当0x =时sin 30x =，cos cos 21x x ==，显然不满足sin 3cos 2cos x x x =+，故C 错误，A 错误；当π2x =时3πsin 3sin12x ==-，πcos cos 02x ==，cos 2cos π1x ==-，此时满足sin 3cos 2cos x x x =+，故D 正确，B 错误；故选：D6．若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且(3)0f =，则满足(2)0xf x -<的x 的取值范围为（）A ．(,1)(2,5)-∞-B ．(,1)(0,5)-∞- C ．(1,0)(2,5)- D ．(1,0)(5,)-+∞ 【正确答案】C【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(3)0f =，所以()f x 在(,0)-∞上也是单调递增，且(3)0f -=，(0)0f =，所以当(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃时，()0f x <，当(3,0)(3,)x ∈-+∞ 时，()0f x >，所以由()20xf x -<，可得0320x x <⎧⎨-<-<⎩或0023x x >⎧⎨<-<⎩解得10x -<<或25x <<，即(1,0)(2,5)x ∈- ，故选：C.7．在ABC 中，135B ∠=︒，若BC 边上的高等于12BC ，则sin BAC ∠的值为（）A B C ．10D ．10【正确答案】A【分析】先根据条件作图，得到ADB 为等腰直角三角形且13AD DC =，进而可求得sin ,cos C C ，再将πsin sin 4BAC C ⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭展开计算可得答案.【详解】如图过A 作AD BC ⊥交CB 的延长线于点D ，则12AD BC =，135ABC ∠=︒，则45ABD ∠=︒，即ADB 为等腰直角三角形，AD BD ∴=，即13AD DC =，设AD t =，0t >，则3DC t =，AC ===，sinAD DCC C AC AC ∴===πsin sin4225BAC C ⎛⎫∴∠=-== ⎪⎝⎭.故选：A.8．函数1()1cos πsin(1)π2f x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭在区间711,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和为（）A ．6B ．8C ．12D ．16【正确答案】B【分析】根据题意整理可得()1sin π11x x x =≠-，将函数()f x 的零点问题转化为sin πy x =与11y x =-的交点问题，利用图象结合对称性分析运算.【详解】由题意可得：1()1cos πsin(1)π1cos πsin(ππ)1sin πsin π22πf x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++=+-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x =，且(1)10f =≠，可得()1sin π11x x x =≠-，∵sin πy x =与11y x =-均关于点()1,0对称，由图可设sin πy x =与11y x =-的交点横坐标依次为12345678,,,,,,,x x x x x x x x ，根据对称性可得182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，故函数()f x 在711,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为248⨯=.故选：B.方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数；（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、多选题9．若二次函数2()(2)1f x x a x =+-+在区间[]1,2-上是增函数，则a 可以是（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【正确答案】AB【分析】根据单调性得二次函数的对称轴和区间的位置关系，据此列不等式求解即可.【详解】二次函数2()(2)1f x x a x =+-+对称轴为2122a ax -=-=-，因为二次函数2()(2)1f x x a x =+-+在区间[]1,2-上是增函数，所以112a-≤-，解得0a ≤.故选：AB.10．下列说法正确的是（）A ．不等式2230x x --<的解集是(1,3)-B ．若正实数x ，y 满足4x y +=，则xy 的最大值为2C ．若x ∈R ，则311x x +≥+-D ．不等式245sin 0x x x -+-≥对x ∈R 恒成立【正确答案】AD【分析】对A ：解一元二次不等式即可判断；对B 、C ：利用基本不等式分析判断；对D ：整理可得()()2245sin 21sin x x x x x -+-=-+-，结合正弦函数的有界性分析判断.【详解】对A ：2230x x --<，解得13x -<<，故不等式2230x x --<的解集是(1,3)-，A 正确；对B ：∵,0x y >，则()244x y xy +≤=，当且仅当2x y ==时等号成立，B 错误；对C ：∵x ∈R ，令1t x =-，则1x t =+，可得3311x t x t+=++-，当0t >时，则3111t t ++≥=，当且仅当3t t =，即1t x ==时等号成立；当0t <时，则()3311121t t t t ⎛⎫-++=-+-≥= ⎪-⎝⎭，当且仅当3t t -=-，即1t x ==时等号成立故311t t++≤-+；综上所述：()3,11,1x x ⎤⎡+∈-∞-+∞⎦⎣-U ，C 错误；对D ：()()2245sin 21sin x x x x x -+-=-+-，∵()220,1sin 0x x -≥-≥，∴不等式245sin 0x x x -+-≥对x ∈R 恒成立，D 正确.故选：AD.11．设()sin 2cos 2f x a x b x =+，共中a ，b 是正实数．若π()12f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（）A ．π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 的单调递增区间是π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．223f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．不存在正实数a ，b ，使得()2f a b>【正确答案】ACD【分析】根据题意结合辅助角公式分析运算可得0b =>，进而可得π()2sin 23f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数性质逐项分析判断.【详解】由辅助角公式可得：()()sin 2cos 22f x a x b x x ϕ=++，由题意可得：12f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值，则ππ1sin 2cos 2121222a b a b ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得)20b-=，即0b =>，∴π()sin 2cos 2sin 2cos 22sin 23f x a x b x a x a x a x ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭，对A ：π2sin π03f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，A 正确；对B ：∵0a >，令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，故()f x 的单调递增区间是5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，B 错误；对C：ππ24ππππ2sin π2sin ,2sin 2sin 2π2sin 23333333f a a f a a a ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-==+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故223f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎝⎭⎝⎭，C 正确；对D ：对,0a b ∀>，则()22f a a b ≤<=恒成立，故不存在正实数a ，b ，使得()2f a b >，D 正确.故选：ACD.12．已知函数2()log (0)f x a x a c b +=->的图象过点(0,1)A 和点(1,0)B -，且图象无限接近直线2x =-，则（）A ．(4)1f -=B ．函数()f x 的递增区间为(3,2)--和(0,)+∞C ．函数(2)f x -是偶函数D ．方程22()420f x x x m ++-+=有4个解【正确答案】ACD【分析】首先判断函数的对称性即可的2b =-，再根据函数过点的坐标，得到方程组，求出a 、c 的值，即可得到函数解析式，从而作出函数图象，结合图象一一分析即可.【详解】解：因为2()log ||(0)f x a x b c a =-+>，所以()2log f x b a x c +=+，()2log f b x a x c -=+，即()()f x b f b x +=-，所以函数()f x 的图象关于直线x b =对称，又已知其图象无限接近直线2x =-，2b ∴=-，2()log 2f x a x c ∴=++，由已知得220log 21log 10a a c a c >⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，1a c =⎧∴⎨=⎩，2()log 2f x x ∴=+，()y f x =的图象如图所示：所以2(4)log 421f -=-+=，故A 选项正确.由图可知()f x 的单调递增区间为(3,2),(1,)---+∞，所以B 错误.又2(2)log f x x -=为偶函数，所以C 正确由22()420f x x x m ++-+=即22()42f x x x m =--+-，记2222()42(2)2g x x x m x m =--+-=-+++注意到最大值2(2)22g m -=+≥，2(1)11g m -=+≥，且g (x )开口向下，所以()y f x =与()y g x =有4个交点，即方程22()420f x x x m ++-+=有4个解，所以D 正确.故选：ACD.三、填空题13．2lg2lg25+=______．【正确答案】2【分析】通过同底对数的运算法则，求得结果.【详解】2lg2lg25lg4lg25lg1002+=+==本题正确结果：2本题考查对数的运算，属于基础题.14．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(],3-∞-【分析】将问题转化为min ()a f x ≤，然后利用换元法将()f x 转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则min ()a f x ≤，又2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x =+=+-，令[]cos ,1,1x t t =∈-，()2()241g t f x t t ∴==+-，[]1,1t ∈-，其对称轴为1t =-，故函数()g t 在[]1,1-上单调递增，()min ()12413f x g =-=--=-，3a ∴≤-.故答案为.(],3-∞-15．如图，已知AB 是半径为2的圆的直径，点C ，D 在圆上运动且//CD AB ，则当梯形ABCD 的周长最大时，梯形ABCD 的面积为__________．【正确答案】【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，过点C 作CE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥交AB于点F ，即可表示出BC ，BE ，CD ，再根据平面几何的性质得到AD BC =，从而表示出ABCD C ，结合二次函数的性质求出ABCD C 的最大值及此时θ的值，再根据梯形面积公式计算可得.【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，过点C 作CE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥交AB 于点F ，设圆的半径为R ，则2R =，则2sin BC R θ=，2πcos 2sin 2BE BC R θθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为//CD AB ，所以»»BC AD =，则AD BC =，即梯形ABCD 为等腰梯形，所以2224sin CD EF AB BE R R θ==-=-，所以224sin 24sin ABCD C AB BC CD DA R R R R θθ=+++=++-22188sin 8sin 8sin 102θθθ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭，所以当1sin 2θ=，即π6θ=时，()max 10ABCD C =，所以2BC =，4AB =，π3ABC ∠=，所以πsin 3CE BC ==214822CD ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，所以()1242ABCD S =⨯+=故答案为.16．已知函数()y f x =，若在定义域内存在实数x ，使得()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为定义域上的局部奇函数．若函数3()log ()f x x m =+是[2,2]-上的局部奇函数，则实数m 的取值范围是__________．【正确答案】(【分析】有函数有意义，及局部奇函数的定义，列出不等式求解.【详解】由3()log ()f x x m =+是[]22-,上的局部奇函数，所以0x m +>在[]22-,上恒成立，所以20m ->，即m>2，由局部奇函数的定义，存在[]2,2x ∈-，使得33log ()log ()x m x m -+=-+，即存在[]2,2x ∈-，使得22333log ()log ()log ()0x m x m m x -+++=-=，所以存在[]2,2x ∈-，使得221m x -=，即221m x =+，又因为[]2,2x ∈-，所以[]211,5x +∈，所以[]21,5m ∈，即1m ⎡⎤⎡∈-⎣⎦⎣ ，综上(m ∈.故答案为.(关键点点睛：本题注意隐含条件，3()log ()f x x m =+是[]22-,上的局部奇函数，必须3()log ()f x x m =+在[]22-,上有意义恒成立.四、解答题17．已知集合{}221216,430,08x A x B x x ax a a ⎧⎫=≤≤=-+≤>⎨⎬⎩⎭．(1)若2a =，求A B ⋃；(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){}36x x -≤≤(2)()(),14,-∞-⋃+∞【分析】（1）代入2a =，求出集合A ，B ，然后求并集即可.（2）解含参的二次不等式得集合B ，再根据A B ⋂=∅列不等式求解即可.【详解】（1）{}{}341216222348x x A x x x x -⎧⎫=≤≤=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，当2a =时，{}()(){}{}2812026026B x x x x x x x x =-+≤=--≤=≤≤，{}36A B x x ∴⋃=-≤≤；（2）{}()(){}{}22430,030,03B x x ax a a x x a x a a x a x a =-+≤>=--≤>=≤≤，又由（1）{}34A x x =-≤≤，A B =∅ ，33a ∴<-或4a >，∴实数a 的取值范围是()(),14,-∞-⋃+∞.18．已知cos2()t(πanπ)fααα⎛⎫+⎪⎝⎭=+．(1)求π6f⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)若35(),,π,cos,521π3fααββ⎛⎫=∈=-⎪⎝⎭是第三象限角，求cos()αβ+的值．【正确答案】(1)(2)63 65【分析】（1）先化简，然后代入π6x=计算即可；（2）先根据条件求出sinα和sinβ，再利用两角和的余弦公式计算cos()αβ+即可.【详解】（1）由已知得cossin sin2()cossintan(π)tancosπfααααααααα⎛⎫+⎪-⎝⎭===-=-+，πcos66π2f⎛⎫∴=-=⎪⎝⎭；（2）由（1）得3()cos5fαα=-=，即3cos5α=-，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4sin5α=，5cos,13ββ=-是第三象限角，sin1312β∴=-，3541263cos()cos cos sin sin51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-=-⨯--⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．19．已知幂函数()21()2910mf x m m x-=-+为偶函数，()()(R)kg x f x kx=+∈．(1)若(2)5g=，求k；(2)已知2k≤，若关于x的不等式21()02g x k->在[1,)+∞上恒成立，求k的取值范围．【正确答案】(1)2k=(2)12k<≤【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出()f x，再利用(2)5g=列方程求出k；（2）将问题转化为22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，构造函数()2k h x x x =+，利用函数单调性的定义判断()h x 的单调性，根据单调性可求得()min h x ，进而可得k 的取值范围【详解】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x ∴=+，(2)452k g ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2k h x x x =+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k kk h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2k h x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.20．已知函数44()cos sin cos ()f x x x x x x =--∈R ．(1)求()f x 的最小正周期；(2)将函数()f x 的图象向右平移π3，得到函数()g x 的图象．求函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．【正确答案】(1)π(2)[]1,2-【分析】（1）先利用三角恒等变形的公式将函数变形为()cos y A x ωϕ=+的形式，进而可得最小正周期；（2）先通过平移求出函数()g x 的解析式，再利用余弦函数的图像和性质可求得值域.【详解】（1）44()cos sin cos f x x x x x=--()()2222cos sin cos sin 2x x x x x=-+-cos 22=-x xπ2cos 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期2ππ2T ==（2）函数()f x 的图象向右平移π3得()πππcos 2cos 233232x x g x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎦=⎝⎭⎣，02x ≤≤π ，ππ2π2333x ∴-≤-≤，当π2π233x -=，即π2x =时，()min 1π2g x g ⎛= ⎪⎝⎭=-⎫，当π203x -=，即π6x =时，()max 2π6g x g ⎛⎫=⎪⎝⎭= ，故函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2-.21．我国十四五规划和2035年远景目标明确提出，要“增进民生福祉，不断实现人民对关好生活的向往”．大众旅游时代已经来临，旅游不再是一种奢侈品，已逐渐成为现代人的幸福必品；也不再是传统的走马观花式的“到此一游”，而逐渐转变为一种旅居度假的“生活方式”，“微度假”已成为适合后疫情时代旅游休闲的一种主流模式．如图，某度假村拟在道路的一侧修建一条趣味滑行赛道，赛道的前一部分为曲线ABM ，当[0,3)x ∈时，该曲线为二次函数图象的一部分，其中顶点为(2,1)B ，且过点(3,2)M ；赛道的后一部分为曲线MN ，当[3,9]x ∈时，该曲线为函数log (1)a y x b =-+（0a >，且1a ≠）图象的一部分，其中点(9,0)N．(1)求函数关系式()y f x =；(2)已知点5,4P ()，函数()3()2(39)f x h x x -=≤≤，设点Q 是曲线()y h x =上的任意一点，求线段PQ 长度的最小值．【正确答案】(1)21245,03()log (1)3,39x x x f x x x ⎧-+≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)min PQ =【分析】（1）当[0,3)x ∈时，设()()221f x m x =-+，带入(3,2)M 求出()f x ，当[3,9]x ∈时，把点(3,2)M ，(9,0)N 分别带入log (1)a y x b =-+，求出()f x ；（2）根据（1）求出1()1h x x =-，根据两点之间距离公式和二次函数性质求出线段PQ 长度的最小值．【详解】（1）由题意得，当[0,3)x ∈时，设()()221f x m x =-+，因为曲线过点(3,2)M ，所以12m +=，则1m =，所以22()(2)145f x x x x =-+=-+，当[3,9]x ∈时，把点(3,2)M ，(9,0)N 分别带入log (1)a y x b =-+，即log 22log 80a a b b +=⎧⎨+=⎩，解得123a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以21245,03()log (1)3,39x x x f x x x ⎧-+≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩.（2）由条件得1122log (1)33log (1)1()22(39)1x x h x x x -+--===≤≤-，设1,(39)1Q x x x ⎛⎫≤≤ ⎪-⎝⎭，又因为点5,4P ()，则22222118(14)(4)(1)8(1)32111PQ x x x x x x ⎛⎫=--+-=---+-+ ⎪---⎝⎭，设1(28)x t t -=≤≤，则22221811832830PQ t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数1u t t =+在[]2,8t ∈上单调递增，所以565,28u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22830PQ u u =-+，当4u =，即3x =+min PQ 22．已知函数4(),()log 41x a a f x a g x x ==-，其中0a >，且1a ≠．(1)当2a =时，判断函数()()()F x f x g x =-零点的个数；(2)设函数()h x 的定义域为D ，若()()()123123,,,,,x x x D h x h x h x ∀∈均为某一三角形的三边长，则称()h x 为“可构造三角形函数”．已知函数()log (41)(4)()(4)1a g x x f x a w x f x +-+=+是“可构造三角形函数”，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)1个(2)()0,1【分析】（1）首先求出()F x 的解析式，再判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；（2）首先求出()w x 的解析式，依题意只需min max 2()()w x w x >即可，分10a 4<<、14a =、114a <<、1a >四种情况讨论，分别求出函数的值域，即可得到不等式，从而求出参数的取值范围.【详解】（1）解：当2a =时，因为()28()()2log 41x F x f x g x x =-=--=22log (41)3x x +--，2223(1)2log 33log 31log 02F =+-=-=> ，21()log 13302F =+-=<，()1102F F ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭，又因为2x y =，41y x =-及2log y x =在定义域上均单调递增，所以2()2log (41)3x F x x =+--在1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，故函数()()()F x f x g x =-在1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点.（2）解：由于函数444441()111x x x a a a w x a a +-==+++是“可构造三角形函数”，其定义域为1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为0a >且1a ≠，要使得()w x 是可构造三角形函数，只需min max 2()()w x w x >即可，当10a 4<<时，41x y a =+在1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减且4111x a a <+<+，41a y x -=在()1,1a +上单调递增，所以441()11x a w x a -=++是1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的减函数，则()w x 的值域为54,1a a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，由581a a a ≥+得885a +≥恒成立，所以10a 4<<；当14a =时，()1w x =，符合题意；当114a <<时，41x y a =+在1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减且4111x a a <+<+，41a y x -=在()1,1a +上单调递减，所以441()11x a w x a -=++是1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的增函数，则()w x 的值域为5,41a a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，由1041a a a ≥+，解得32a ≤，又114a <<，故114a <<；当1a >时，41x y a =+在1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增且411x a a +>+，41a y x -=在()1,a ∞++上单调递减，所以441()11x a w x a -=++是1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的减函数，则()w x 的值域为51,1a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，由521a a ≥+得23a ≤，又1a >，所以a ∈∅，综上，实数a 的取值范围为()0,1.。

福建高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，，则（）A．B．C．D．2.设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．3.若，则的值为（）A．B．C．D．4.已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（）A．B．C．D．5.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数6.已知函数的对应关系如下表，函数的图像是如下图的曲线，其中则的值为（）A．3B．2C．1D．07.若集合，，则（）A．0B．C．D．8.我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图像大致为（）9.已知，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．10.已知函数。

若，则的值（）A．一定是B．一定是C．是中较大的数D．是中较小的数11.已知函数在时取得最大值，在时取得最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.函数的部分图像如图所示，设为坐标原点，是图像的最高点，是图像与轴的交点，则的值为（）A．10B．8C．D．二、填空题1.函数的定义域为 .2.已知为的内角，且，则 .3.若，，，则与的夹角为 .4.函数有如下性质：若常数，则函数在上是减函数，在上是增函数。

已知函数（为常数），当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是 .三、解答题1.（1）计算：；（2）已知，求下列各式的值：①②.2.知集合，集合.（1）当时，求；（2）若,求实数的取值范围；（3）若,求实数的取值范围.3.已知向量与，其中.（1）问向量能平行吗？请说明理由；（2）若，求和的值；（3）在（2）的条件下，若，求的值.4.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图像，当时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点，过点；当时，图像是线段，其中，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.（1）试求的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.5.已知函数的周期为.（1）若，求它的振幅、初相；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像；（3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.6.设函数的定义域是，对于任意的，有，且当时，.（1）求的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）用函数单调性的定义证明函数为增函数；（4）若恒成立，求实数的取值范围.福建高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据补集运算的定义可知，故选A.【考点】集合的补集运算.2.设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】单位向量是指模为1的向量，没有明确向量的方向，所以、、都只是有可能成立，却不一定成立，而，故选D.【考点】向量的基本概念.3.若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，所以，故选A.【考点】诱导公式.4.已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数过点可得，所以，所以，故，选答案D.【考点】幂函数的图像与性质.5.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【答案】A【解析】由的最小正周期计算公式，可知的最小正周期为，若记，则，所以函数为奇函数，故选A.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.函数的奇偶性.6.已知函数的对应关系如下表，函数的图像是如下图的曲线，其中则的值为（）A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】由的图像与的对应关系表可知，，所以，故选B.【考点】1.函数及其表示；2.复合函数的求值问题.7.若集合，，则（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】由，，所以，故，选C.【考点】1.集合的交集运算；2.函数的定义域与值.8.我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图像大致为（）【答案】D【解析】设初始年份的荒漠化土地面积为，则1年后荒漠化土地面积为，2年后荒漠化土地面积为，3年后荒漠化土地面积为，所以年后荒漠化土地面积为，依题意有即，，由指数函数的图像可知，选D.【考点】1.指数函数的图像与性质；2.函数模型及其应用.9.已知，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，由，可知，故选A.【考点】二倍角公式的应用及特殊角的三角函数值.10.已知函数。

福建高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（）A．B．C．D．2.已知为等差数列，且有，则=（）A．28B．24C．20D．163.角α的始边在x轴正半轴、终边过点P（3，4），则sinα的值为（）A．B．C．D．4.已知函数的图象经过点，则可以是（）A．B．C．D．5.若，则（）A．B．C．D．6.等差数列中，，若其前项和为，且有，那么当取最大值时，的值为（）A．8B．9C．10D．117.已知在R上恒满足，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.下列函数的最小值为2的是（）A．B．C．D．9.已知等比数列的前项和为，若，则（）．A．7B．16C．27D．6410.中，若，则必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形11.已知是所在平面上一点，满足，则点（）A．在与边垂直的直线上B．在的平分线所在直线上C．在边的中线所在直线上D．以上都不对二、填空题1.已知函数的图象如下图所示，则该函数的解析式是（）A．B．C．D．2.= ．3.已知，则的最大值是．4.已知直线与轴、轴的正半轴分别交于A（，0），B（0，）两点，且满足，O为坐标原点，则面积的最小值为．5.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖---________块．三、解答题1.已知，且为第三象限角．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值2.（本小题满分12分）如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示。

3.本小题满分12分）已知等差数列的前项和，且．（1）求的通项公式；（2）设，求证：是等比数列，并求其前项和．4.（本小题满分12分）已知数列，分别为等差、等比数列，且．（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．5.（本小题满分12分）已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A、B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏15°方向也以2海里/小时的速度移动（Ⅰ）经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？（Ⅱ）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由。

福建省龙岩市一级达标校2014年高一上学期期末质量检查数学试卷（考试时间：120分钟 满分150分）注意：1．试卷共4页，另有答题卡，解答内容一律写在答题卡上，否则不得分．2．作图请使用2B 铅笔，并用黑色签字笔描画．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．） 1．若对数式(2)log 3t -有意义，则实数t 的取值范围是A ．[2,)+∞B ．(2,3)(3,+)∞C ．(-,2)∞D ．(2,)+∞2．若直线012=++y ax 与直线02=-+y x 互相垂直，则实数a = A ．1B ．-2C ．31-D ．32-3．若函数1,[1,0),()55,[0,1].xxx f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪∈⎩则54(log )f =A ．31B ．3C ．41D ．44．三个数30.3150.3,log 3,3a b c ===之间的大小关系是A ．b c a <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的 正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为A ．4π B ．54π C ．π D ．32π6．若,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列命题中，错误．．的是 A ．若,m n αα⊥⊥，则//m n B ．若α⊂m ，βα//，则β//m C ．若//,//m n αα，则//m n D ．若//,//,,m n m n αα⊄则//n α7．若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234=-y x 的距离为1，则半径r 的取值范围 A ．(4,6) B ．[4,6) C ．(4,6] D ．[4,6] 8．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意12,x x ∈[1,)+∞，且12x x ≠都有（第5题图）1212()()0f x f x x x ->-，则A ．3()(1)(2)2f f f -<-< B ．3(2)()(1)2f f f <-<-C ．3(2)(1)()2f f f <-<-D ．3(1)()(2)2f f f -<-<9．已知ABC ∆的顶点(3,2),A B C ，动点(,)P x y 在ABC ∆的内部（包括边界），则1y x -的取值是 A． B． C．)+∞ D． 10．如图所示，液体从一圆锥形漏斗流入一圆柱形容器中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟流完．已知圆柱形容器中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是11．半径为1的球面上有CB A ,,三点，其中点A 与CB ,两点间的球面距离均为2π，C B ,两点间的球面距离为3π，则球心到平面ABC 的距离为A ．14 B ．7 C ．7 D ．712．当(1,2)x ∈时，不等式x x x a log 212+<+恒成立，则实数a 的取值范围为A ．)1,0(B ．(]1,2C ．)2,1(D ．[),2+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡相应位置.） 13．函数3()3(0,1)x f x aa a -=+>≠且的图象恒过定点，则定点P 的坐标是 ．14．已知函数()y f x =的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：则函数()y f x =在区间[1,6]上的零点至少有 个． 15．如图，已知长方体AC 1的长、宽、高分别为5、4、3，现有一甲壳虫从A 点出发沿长方体表面爬到C 1处获取食物，它爬行路线的路程最小值为_________．（第15题图）CBA1C 1A 1B D1D （第10题图）16．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若pq ＝0，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点 有且仅有2个；③若pq ≠0，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的序号是_______．（填上所有正确命题的序号） 三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）记关于x 的不等式2111x m x -+<+的解集为P ，不等式240x x -≤的解集为Q ．（Ⅰ）若1P ∈，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若3m =，U R = 求()U P Q C P Q 和I U ． 18．（本小题满分12分）已知直线l ：(2)12430m x m y m +-=＋+(－)． （Ⅰ）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点；（Ⅱ）过点(1,2)M --作一条直线1l ，使1l 夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线1l 的方程．错误！未找到引用源。

2021年福建省龙岩市长汀县第一中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是 ( ）A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行参考答案：D2. 已知空间中点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且，则实数x的值是（）A．4或0 B．4 C.3或－4 D．－3或4参考答案：C3. 函数y=log a（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为（）A．3+2B．3+2C．7 D．11参考答案：A【考点】4H：对数的运算性质．【分析】函数y=log a（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（﹣1，﹣1），可得m+n=1．于是+=（m+n）=3++，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数y=log a（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（﹣1，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，∴﹣m﹣n+1=0，即m+n=1．则+=（m+n）=3++≥3+2=3+2，当且仅当n=m=2﹣时取等号．故选：A．4. 设A表示一点，表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若则；②若则∥③若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有；④若则∥其中真命题的序号是（）A.①②B.①③C.②④D.③④参考答案：A略5. 函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．[0，1] C．（0，1] D．[1，+∞）参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数f（x）的定义域为R，则被开方数恒大于等于0，然后对a分类讨论进行求解，当a=0时满足题意，当a≠0时，利用二次函数的性质解题即可．【解答】解：∵函数f（x）=的定义域为R，∴说明对任意的实数x，都有ax2+2ax+1≥0成立，当a=0时，1＞0显然成立，当a≠0时，需要，解得：0＜a≤1，综上，函数f（x）的定义域为R的实数a的取值范围是[0，1]，故选：B．6. 已知是上的减函数，那么的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：C考点：分段函数的单调性.【思路点晴】本题考查学生的是分段函数的单调性,属于中档题目.题意给出函数在上单调递减,因此函数在各段中应分别单调递减,且在各段定义域的端点值处,左侧的值要大于等于右侧的值,一次函数单调递减,需要的一次项系数为负,指数函数单调递减,需保证底数,由以上限制条件解出不等式组即可.7. 如果，那么直线不经过的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B略8.A BC D参考答案：B9. 已知lg a＋lgb＝0，函数的图象可能是（）参考答案：B10. 已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x 的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为．参考答案：1﹣2a【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数性质作出函数的图象，依次标出零点，根据对称性得到零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，运用对数求解x3满足：log2（x3+1）=﹣a，可出x3，可求解有根之和．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x＜0时，f（x）=作出图象：∵关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的根转化为f（x）的图象与y=﹣a（0＜a＜1）图象的交点问题．从图象上依次零点为：x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得到零点的值满足x1+x2=﹣6，x4+x5=6，x3满足：log（1﹣x3）=﹣a，解得：故得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a故答案为：1﹣2a．12. 在△ABC中，∠C是钝角，设则的大小关系是___________________________。