2012高中数学 第五章 平面向量的数量积的坐标表示教学案 苏教版

江苏专版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及其应用教案理含解析苏教版第三节平面向量的数量积及其应用1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA―→＝a，OB―→＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b2.平面向量的数量积设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b.3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22[小题体验]1．已知|a|＝2，|b|＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为________． 答案：5π62．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，若(a －2b)⊥a ，则|b|＝________.解析：因为a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，所以a －2b ＝(－3,3－2t )．因为(a －2b)⊥a ，所以(a －2b )·a ＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t )＝0，即t ＝2，所以b ＝(1,2)，所以|b|＝12＋22＝ 5. 答案： 53．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.解析：由b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，得b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝－6.答案：－61．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c(a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b ＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b ＜0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b. 4．在用|a|＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方． [小题纠偏] 1．给出下列说法：①向量b 在向量a 方向上的投影是向量；②若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角； ③(a ·b)c ＝a(b ·c)； ④若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0. 其中正确的说法有________个． 答案：02．已知向量BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝________.解析：因为BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA ―→·BC ―→＝34＋34＝32.所以cos∠ABC ＝BA ―→·BC ―→| BA ―→||BC ―→|＝32，又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.答案：30°3．已知平面向量a 与b 的夹角为π3，a ＝(1，3)，|a －2b|＝23，则|b|＝________.解析：因为a ＝(1，3)，所以|a|＝2，又|a －2b|＝23，即|a|2－4a ·b ＋4|b|2＝12，故22－4×2×|b |×cos π3＋4|b|2＝12，化简得|b|2－|b|－2＝0，所以|b|＝2.答案：2考点一 平面向量的数量积的运算基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝________. 解析：因为a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， 所以(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3. 答案：－32．(2018·南京高三年级学情调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM ―→＝λBC ―→.若AM ―→·BC ―→＝－173，则实数λ＝________.解析：因为BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→，AB ―→·AC ―→＝2×3×cos 120°＝－3.所以AM ―→·BC ―→＝(λ－1)AB―→2＋λAC ―→2＋(1－2λ)AB ―→·AC ―→＝19λ－12＝－173，所以λ＝13.答案：133．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)， 所以|a|＝－22＋－62＝210，又|b|＝10，向量a与b 的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案：104．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则AB―→·AD―→＝________.解析：法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝22，所以AB―→·AD―→＝AB―→·(AC―→＋CD―→)＝AB―→·AC―→＋AB―→·CD―→＝|AB―→|·|AC―→|cos 45°＋|AB―→|·|CD―→|cos 45°＝22×2×22＋22×1×22＝6.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1,0)，所以AB―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，AD―→＝ (－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，所以AB―→·AD―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.答案：6[谨记通法]向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题考点二平面向量数量积的性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题． 常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直．[题点全练]角度一：平面向量的模1．(2018·苏州高三暑假测试)已知平面向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，若|a ＋b|＝52，则|b|＝________.解析：因为a ＝(2,1)，所以|a|＝5，又|a ＋b|＝52，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，所以b 2＝25，所以|b|＝5.答案：5角度二：平面向量的夹角2．(2018·太湖高级中学检测)已知|a|＝1，|b|＝2，且a ⊥(a －b)，则向量a 与向量b 的夹角为________．解析：因为a ⊥(a －b)，所以a ·(a －b)＝a 2－a ·b ＝1－2cos a ，b ＝0， 所以cos a ，b ＝22， 所以a ，b ＝π4.答案：π43．(2019·启东中学检测)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．解析：如图，在△ABC 中，设BC ―→＝β，BA ―→＝α， 则AC ―→＝BC ―→－BA ―→＝β－α.因为α与β－α的夹角为120°，所以A ＝60°.由正弦定理得BC sin A ＝BA sin C ，则BA ＝233sin C ．又0＜sin C ≤1，所以0＜BA ≤233，故α的模的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，233.答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，233角度三：平面向量的垂直4．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量AB ―→＝(6,1)，BC ―→＝(x ，y )，CD ―→＝(－2，－3)，且AD ―→∥BC ―→.(1)求x 与y 之间的关系式；(2)若AC ―→⊥BD ―→，求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题意得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝(x ＋4，y －2)，BC ―→＝(x ，y )． 因为AD ―→∥BC ―→，所以(x ＋4)y －(y －2)x ＝0， 即x ＋2y ＝0.(2)由题意得AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝(x ＋6，y ＋1)，BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝(x －2，y －3)． 因为AC ―→⊥BD ―→，所以(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1时，AC ―→＝(8,0)，BD ―→＝(0，－4)，S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝16；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3时，AC ―→＝(0,4)，BD ―→＝(－8,0)，S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝16.所以四边形ABCD 的面积为16.[通法在握]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b| a |·|b|，要注意θ∈[0，π]．(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a|2或|a|＝a ·a. ②|a ±b|＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2.(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b|＝|a ＋b|.[演练冲关]1．(2019·海安模拟) 已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝________.解析：由题意可得a ·b ＝|a |·|b|cos π3＝3，所以|2a －3b|＝2a －3b2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61.答案：612．已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b|＝1，|a －b|＝21，则向量a ，b 的夹角为________． 解析： 易知|b|＝1，|a|＝5，对|a －b|＝21两边平方，整理得2a ·b ＝5， 即2|a||b|cos θ＝5，解得cos θ＝12，则向量a ，b 的夹角为π3.答案：π33．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λ AB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：BC ―→＝AC ―→－AB ―→，由于AP ―→⊥BC ―→， 所以AP ―→·BC ―→＝0，即(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→) ＝－λAB ―→2＋AC ―→2＋(λ－1)AB ―→·AC ―→＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝0，解得λ＝712.答案：712考点三 平面向量与三角函数的综合重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·启东高三期中)已知向量a ＝(sin x,2)，b ＝(cos x ，1)，函数f (x )＝a ·b.(1)若a ∥b ，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值；(2)求函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值和最大值．解：(1)由a ∥b ，得sin x ＝2cos x ．所以tan x ＝2.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋11－tan x ＝－3.(2)因为f (x )＝a ·b ＝sin x ·cos x ＋2＝12sin 2x ＋2，所以y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，从而－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.于是，当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12有最小值74， 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12有最大值52. [由题悟法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．[即时应用]已知向量m ＝(3cos x ，－1)，n ＝(sin x ，cos 2x )． (1)当x ＝π3时，求m ·n 的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且m ·n ＝33－12，求cos 2x 的值．解：(1)当x ＝π3时，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，所以m ·n ＝34－14＝12.(2)m ·n ＝3cos x sin x －cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12. 若m ·n ＝33－12，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝33－12， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以－π6≤2x －π6≤π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63， 则cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6sin π6＝63×32－33×12＝32－36.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·海门模拟)向量a ＝(3,4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为________． 解析：∵向量a ＝(3,4)，b ＝(1，－1)， ∴向量a 在向量b 方向上的投影为|a|cos θ＝a ·b | b|＝3×1＋4×－112＋－12＝－22. 答案：－222．(2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b)＝8，|a|＝2，则|b|＝________.解析：因为a ·(a －b)＝8，所以a ·a －a ·b ＝8， 即|a|2－|a||b|cos a ，b ＝8， 所以4＋2|b |×12＝8，解得|b|＝4.答案：43．(2018·苏州期末)已知a ＝(m,2)，b ＝(1，n )，m ＞0，n ＞0，且|a|＝4，|b|＝2，则向量a 与b 的夹角是________．解析：设向量a 与b 的夹角是θ，θ∈[0，π]，∵a ＝(m,2)，b ＝(1，n )，m ＞0，n ＞0，且|a|＝4，|b|＝2， ∴m 2＋4＝16,1＋n 2＝4，解得m ＝23，n ＝ 3.∴a ·b ＝m ＋2n ＝43＝4×2×cos θ， ∴cos θ＝32，则向量a 与b 的夹角是π6. 答案：π64．(2018·滨海期末)已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(3，t )，若a ⊥b ，则|2a ＋b|＝________. 解析：∵向量a ＝(－1,3)，b ＝(3，t )，a ⊥b ， ∴a ·b ＝－3＋3t ＝0，解得t ＝1， ∴b ＝(3,1)，2a ＋b ＝(1,7)， 故|2a ＋b|＝1＋49＝5 2. 答案：5 25．(2018·淮安高三期中)在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠ABC ＝60°，则AB ―→·AC ―→＝________.解析：由题意得AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，所以AB ―→·AC ―→＝AB ―→·(AB ―→＋AD ―→)＝AB ―→2＋AB ―→·AD ―→＝4＋2×1×cos 120°＝3.答案：36．(2018·南通一调)已知边长为6的正三角形ABC ，BD ―→＝12BC ―→，AE ―→＝13AC ―→，AD 与BE 交于点P ，则PB ―→·PD ―→的值为________．解析：如图，以D 为原点，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，D (0,0)，A (0，33)，E (1, 23)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，332，所以PB ―→·PD ―→＝|PD ―→|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＝274. 答案：274二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·淮安调研)已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a|＝________.解析：由已知得2a －b ＝(3，x )，而(2a －b )·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3， 所以|a|＝1＋x 2＝4＝2. 答案：22．(2019·如皋模拟)已知平面向量a 与b 的夹角为60°， a ＝(3,4)，|b|＝1，则|a －2b|＝________.解析：∵a ＝(3,4)，∴|a|＝32＋42＝5，又|b|＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 60°＝5×1×12＝52，∴|a －2b|2＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝25＋4－10＝19， 则|a －2b|＝19. 答案：193．(2018·苏北四市期末)已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________．解析：因为非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|，所以a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，a ·b ＝－12a 2＝－12b 2，所以a ·(2a －b)＝2a 2－a ·b ＝52a 2，|2a －b|＝2a －b2＝5a 2－4 a ·b＝ 7|a|，cos 〈a,2a －b 〉＝a ·2a －b |a |·|2a －b|＝52a 2|a|·7|a|＝527＝5714.答案：57144．(2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD 中，P 为矩形ABCD 所在平面内一点，且满足PA ＝3，PC ＝4，矩形对角线AC ＝6，则PB ―→·PD ―→＝________.解析：由题意可得PB ―→·PD ―→＝(PA ―→＋AB ―→)·(PA ―→＋AD ―→)＝PA ―→2＋PA ―→·AD ―→＋AB ―→·PA ―→＋AB ―→·AD ―→＝9＋PA ―→·(AD ―→＋AB ―→)＋0＝9＋PA ―→·AC ―→＝9＋3×6×cos(π－∠PAC )＝9－18×PA 2＋AC 2－PC 22×PA ×AC ＝9－18×9＋36－162×3×6＝－112.答案：－1125．(2018·苏锡常镇调研)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ―→＝λAB ―→，λ∈R ，若BD ―→·CP ―→＝－3，则λ＝________.解析：法一：由题意可得BA ―→·BC ―→＝2×2cos π3＝2，BD ―→·CP ―→＝(BA ―→＋BC ―→) ·(BP ―→－BC ―→) ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(AP ―→－AB ―→)－BC ―→] ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(λ－1)·AB ―→－BC ―→]＝(1－λ)BA ―→2－BA ―→·BC ―→＋(1－λ)BA ―→·BC ―→－BC ―→2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， 所以λ＝12.法二：建立如图所示的平面直角坐标系， 则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ―→·CP ―→＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1.因为AP ―→＝λAB ―→，所以λ＝12.答案：126．(2018·苏北四市调研)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→＝________.解析：BC ―→·DC ―→＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝(OC ―→＋OD ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝OC ―→2－OD ―→2，同理，AB ―→·AD ―→＝AO ―→2－OD ―→2＝－7，所以BC ―→·DC ―→＝OC ―→2－OD ―→2＝OC ―→2－AO ―→2－7＝9.答案：97．(2019·崇川一模)若非零向量a 与b 满足|a|＝|a ＋b|＝2，|b|＝1，则向量a 与b 夹角的余弦值为________．解析：∵非零向量a 与b 满足|a|＝|a ＋b|＝2，|b|＝1， ∴|a|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a ·b ， 即a ·b ＝－12|b|2＝－12×12＝－12，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b|＝－122×1＝－14，∴向量a 与b 夹角的余弦值为－14.答案：－148．(2018·盐城期中)如图，在四边形ABCD 中，A ＝π3，AB ＝2，AD ＝3，分别延长CB ，CD 至点E ，F ，使得CE ―→＝λCB ―→，CF ―→＝λCD ―→，其中λ＞0，若EF ―→·AD ―→＝15，则λ的值为________．解析：∵EF ―→＝CF ―→－CE ―→＝λCD ―→－λCB ―→＝λBD ―→＝λ(AD ―→－AB ―→)， ∴EF ―→·AD ―→＝λ(AD ―→－AB ―→)·AD ―→＝λ(AD ―→2－AB ―→·AD ―→)＝λ(9－3)＝15， ∴λ＝52.答案：529．(2019·通州调研)设两个向量a ，b 不共线．(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)若|a|＝2，|b|＝3，a ，b 的夹角为60°，求使向量k a ＋b 与a ＋k b 垂直的实数k 的值．解：(1)证明：∵AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝(a ＋b)＋(2a ＋8b)＋3(a －b) ＝6(a ＋b)＝6AB ―→，∴AD ―→与AB ―→共线，且有公共点A ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 垂直， ∴(k a ＋b )·(a ＋k b)＝0，∴k a 2＋(k 2＋1)|a||b |·cos 60°＋k b 2＝0， 即3k 2＋13k ＋3＝0， 解得k ＝－13±1336.10．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP ―→＝2PD ―→. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP ―→·BP ―→的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP ―→·BP ―→＝6，求AB ―→与AD ―→夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB ―→⊥AD ―→，即AB ―→·AD ―→＝0， 又AB ＝9，BC ＝6，CP ―→＝2PD ―→， 所以AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋13AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－23AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋13AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－23AB ―→＝AD ―→2－13AB ―→·AD ―→－29AB ―→2＝62－29×92＝18.(2)设AB ―→与AD ―→的夹角为θ，由(1)得， AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋13AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－23AB ―→＝AD ―→2－13AB ―→·AD ―→－29AB ―→2＝62－ 13×9×6×cos θ－29×92＝6，所以cos θ＝23.故AB ―→与AD ―→夹角的余弦值为23.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·徐州高三年级期中考试)如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为AB 上的一点，若OP ―→·OA ―→＝2，则OP ―→·AB ―→＝________.解析：如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (0,2)，设P (x ，y )，由OP ―→·OA ―→＝2，可得2x ＝2，x ＝1，P 为A B 上的一点，所以|OP ―→|＝2，所以P (1，3)，OP ―→＝(1，3)，又AB ―→＝(－2,2)，所以OP ―→·AB ―→＝－2＋2 3. 答案：－2＋2 32．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q.若||AB ―→＝3，||AC ―→＝5，则(AP ―→＋A Q ―→)·(AB ―→－AC ―→)的值为________．解析：法一：因为AP ―→＝A Q ―→＋Q P ―→，所以AP ―→＋A Q ―→＝2A Q ―→＋Q P ―→，而AB ―→－AC ―→＝CB ―→，由于Q P ―→⊥CB ―→，所以Q P ―→·CB ―→ ＝0，所以(AP ―→＋A Q ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝(2A Q ―→＋Q P ―→)·CB ―→＝2A Q ―→·CB ―→，又因为Q 是BC 的中点，所以2A Q ―→＝AB ―→＋AC ―→，故2A Q ―→·CB ―→＝(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→2－AC ―→2＝9－25＝－16.法二：由题意得△ABC 是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB ⊥BC ，从而P 为AC 的中点．又|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝5，所以|BC ―→|＝4，cos ∠BAC ＝35，故AP ―→＋A Q ―→＝12AC ―→＋12(AB ―→＋AC ―→)＝12AB ―→＋AC ―→，从而(AP ―→＋A Q ―→)·(AB ―→－AC ―→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋AC ―→·(AB ―→－AC ―→) ＝12AB ―→2＋12AB ―→·AC ―→－AC ―→2 ＝12×9＋12×3×5×35－25＝－16. 答案：－163．(2019·姜堰中学调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，AD ⊥BC 于D ，求BA ―→·AD ―→的值．解：(1) 由m ·n ＝35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )·sin B ＝35，所以cos A ＝35.因为0＜A ＜π2，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.(2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22.因为0＜B ＜π2，所以B ＝π4，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22(sin A ＋cos A )＝7210. 又|AD ―→|＝|AC ―→|sin C ＝5×7210＝722，所以BA ―→·AD ―→＝(BD ―→＋DA ―→)·AD ―→＝－AD ―→2＝－|AD ―→|2＝－492.命题点一 平面向量基本定理1．(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC 中，AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：由题知EB ―→＝EA ―→＋AB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AB ―→＋AC ―→＋AB ―→＝34AB ―→－14AC ―→＝34a －14b. 答案：34a －14b2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b)，则λ＝________.解析：由题易得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b)， 所以4λ＝2，解得λ＝12.答案：123．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.答案：34．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝2－5＝－3.答案：－3命题点二 平面向量的数量积1.(2016·江苏高考)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA ―→·CA ―→＝4，BF ―→·CF ―→＝－1，则BE ―→·CE ―→的值是________．解析：由题意，得BF ―→·CF ―→＝(BD ―→＋DF ―→)·(CD ―→＋DF ―→)＝(BD ―→＋DF ―→)·(－BD ―→＋DF ―→)＝DF ―→2－BD ―→2 ＝|DF ―→|2－|BD ―→|2＝－1，①BA ―→·CA ―→＝(BD ―→＋DA ―→)·(CD ―→＋DA ―→) ＝(BD ―→＋3DF ―→)·(－BD ―→＋3DF ―→) ＝9DF ―→2－BD ―→2＝9|DF ―→|2－|BD ―→|2＝4.② 由①②得|DF ―→|2＝58，|BD ―→|2＝138.所以BE ―→·CE ―→＝(BD ―→＋DE ―→)·(CD ―→＋DE ―→) ＝(BD ―→＋2DF ―→)·(－BD ―→＋2DF ―→)＝4DF ―→2－BD ―→2 ＝4|DF ―→|2－|BD ―→|2＝4×58－138＝78.答案：782．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP ―→＝3PD ―→，AP ―→·BP ―→＝2，则AB ―→·AD ―→的值是________．解析：因为AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋14AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－34AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋14AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－34AB ―→＝|AD ―→|2－316|AB ―→|2－12AD ―→·AB ―→＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB ―→·AD ―→＝22.答案：223．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b)＝________.解析：a ·(2a －b)＝2a 2－a ·b ＝2|a|2－a ·b. ∵|a|＝1，a ·b ＝－1， ∴原式＝2×12＋1＝3.答案：34．(2018·北京高考)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b)，则m ＝________. 解析：因为a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )， 所以m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b)，得a ·(m a －b)＝0， 即m ＋1＝0，所以m ＝－1. 答案：－15.(2018·天津高考改编)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE ―→·BE ―→的最小值为________．解析：如图，以D 为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC . 由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE ―→＝(－1，y )，BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE ―→·BE ―→＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE ―→·BE ―→有最小值2116. 答案：21166．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (cos α，sin α)，则AP ―→＝(cos α＋2，sin α)，AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.法二：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，当且仅当x ＝1，P (1,0)时“＝”成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.答案：67．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m ＝________.解析：因为|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a ·b ＝|a|2＋|b|2，所以a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，所以m ＋2＝0，所以m ＝－2. 答案：－28．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.1。

平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。

2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。

3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。

教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。

二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。

2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。

三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。

2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。

引导学生思考其中的计算思想和规律。

四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。

2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。

五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。

2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。

教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。

2. 学生课堂参与和讨论。

3. 学生课后完成的作业和练习题。

教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。

2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。

高中数学教学备课教案向量的数量积与向量的坐标高中数学教学备课教案向量的数量积与向量的坐标引言：向量是数学中的重要概念，在高中数学课程中有着广泛的应用。

本教学备课教案将重点介绍向量的数量积与向量的坐标，并通过实例演示其应用。

通过本教案的学习，学生将能够更好地理解向量的数量积与坐标，提高解题能力。

一、向量的数量积（内积）1. 数量积的定义数量积又称为内积，是向量运算中的一种。

对于向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别代表向量a和b的模，θ表示夹角。

2. 数量积的性质- 交换律：a·b = b·a- 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c- 数量积与夹角的关系：a·b = |a|·|b|·cosθ3. 数量积的计算方法（以二维向量为例）假设向量a的坐标为(a1, a2)，向量b的坐标为(b1, b2)，则a·b =a1·b1 + a2·b2。

4. 应用实例：计算向量的夹角通过计算向量a和向量b的数量积以及向量的模，可以求得夹角的余弦值。

再结合反余弦函数，即可计算出夹角的大小。

二、向量的坐标1. 坐标系的建立在平面几何中，我们常常使用笛卡尔坐标系来描述点和向量的位置。

横轴称为x轴，纵轴称为y轴，两轴相交的点为原点O。

2. 向量的坐标表示向量的坐标表示方式是通过向量的起点和终点坐标之差来确定。

以向量AB为例，向量AB的坐标表示为向量OA与向量OB的坐标差，即(Bx-Ax, By-Ay)。

3. 坐标表示与数量积的关系向量的数量积可以通过向量的坐标表示来求解。

对于向量a和向量b，它们的数量积a·b可以表示为a·b = a1·b1 + a2·b2。

4. 应用实例：向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。

《平面向量数量积的坐标表示》教学设计一、本教学设计主要思考的几个问题：1、教材的地位和作用是什么？2、学生在学习中会遇到什么困难？3、如何根据新课程理念，设计教学过程？4、如何结合教学内容，指导学生学法、发挥评价作用、发展学生能力？二、教材分析：1、向量是近代数学中最重要的概念之一；2、向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具”和“桥梁”；3、数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便；4、有助于理解和掌握数形结合的思想方法；5、为学习物理等其他学科解决实际问题作准备；三、教学目标分析：⒈知识目标：(1)掌握数量积和模的坐标；(2)掌握两向量垂直的充要条件(等价条件)、夹角公式．⒉能力目标：(1)领悟数形结合的思想方法；(2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力．⒊情感目标：体验探索的乐趣认识世间事物的联系与转化．四、教学的重点、难点分析：重点：数量积坐标表示的推理过程．难点：公式的建立与应用．五、学生分析：知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等；方法上：研究过向量加减法坐标运算的推理过程；思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维；能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱.六、教学方法和教学手段分析：1、建构主义学习理论认为：学生的认知结构是通过同化和顺化而不断发展，学习不是对教师所授予的知识被动接受，而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动的建构过程。

学生真正获得知识的消化，是把新的学习内容正确纳入已有的认知结构，使其成为整个认知结构的有机组成部分，所以在教学中，以向量为载体，按照“直观感知----操作确认-----思辩论证”的认识过程展开。

通过创设良好的问题情境，不断引导学生观察、实验、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生学习的主动性，培养学生的自主、合作、探索能力。

同时采用电脑课件的教学手段，加强直观性和启发性，提高课堂效益；2、运用“导学探究式” 教学方法；3、本节课的基调定为，自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、分层评价；4、多媒体信息技术教学手段整合教学过程. 七、学法指导：1、根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”这一方面，学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力；认知主体2、紧紧围绕数形结合这条主线；3、注意前后知识的联系与区别,不断反思建构形成知识网络. 八．教学基本流程：九．教学过程分析：第一种:选择恰当的实例；(一) 第二种:从复习向量加减法的坐标运算开始； 第三种:开门见山直奔主题; 第四种:种提供材料,让学生发现问题;(二)导学诱思、探索研究；教师通过学生已有经验，启发其思、疑、探，在讨论、设计中得到问题的解答，培养其求异思维、创新能力的形成； (三) 建模应用；数学作为科学独立分支，其重要工具作用无处不在；关键是否体会数学本质，构建数学模型使问题得到解决；(四) 反思建构；学生在反思建构中，寻找知识、方法、能力、情感等方面的收获规律，有利于纳入知识系统，形成知识网络；(五)分层评价.充分发挥课堂教学评价的针对性、 激励性、导向性、创新性；使评价更有利于学生的身心健康发展，更符合新课程改革理念.新课引入设置情景题？（多媒体课件动画演示直角坐标系中的向量）?a b=cosa b=a b=；a b a a b-当、反向时，；2a a a a==⋅，或；cosa ba bθ⋅=；a b⋅=？a b、有解，从而其关键是如何用坐标表示为后师：有没有可能是？（错误预测）()()1221b x y x y x x y y ==，，，；()b x y x y x x ==，，问题：（自我评价，若相同的单位向量）①10i i j j i ⋅=⋅⋅=，；那么i i j j i j j i ⋅=⋅=⋅=⋅=？？？思考：两个向量的数量积是“向量”还是“数量”？运算过程与向量坐标有何关系？引导学生去疑，2a x y =+a a a =⋅ (1AB x =AB a b =212x y y +cos a b a b ⋅=0a b ⋅=什么问题？AOB 形状吗？、一条河的两岸平行，一艘船从A 处出发；速度1v ==4 km ／h ，那么2处？（多媒体动画演示船运行情况）师：建立坐标系，画出示意图；同学尝试完成解答；的，师 生B （0，y 0）D （4，02vvv十．教学设计主要理论依据与反思：(一)主要理论依据:1、结构课程理论认为，发现的过程是一种同科学家一样的智力活动；2、建构主义理论强调，学生学习的主动性、社会性和情景性；3、教育信息论：教学过程就是信息的输入加工转换储存输入反馈控制的过程；4、系统论：目标“人人”系统“人环境”系统；5、新课程课改基本理念：注意创设问题情景、促进学生认知和学习方式的转变、给教师的再创造留有广阔的空间从而促进教学方式的转变；（二）反思：本课以向量坐标为线索，在教学中，让学生从自己设计问题入手，引发学生去思、去疑、去设计、去探索，同时以向量为载体，通过对问题的探索，得出数量积坐标运算的猜想，然后让学生通过逻辑论证，证明猜想的正确性，进而得到结论及性质；接着，让学生运用该性质去解决例题这样与实际生活有关的问题，在解决例题的过程中通过实物多媒体教学手段，有目的的把学生的思维引导到用数量积坐标运算结论及性质解决问题上来，在这过程中，通过师生合作讨论研究，充分让学生表述自己的观点，共同分析解答，找到解决问题的方法。

5．6平面向量的数量积及运算律一、内容及其解析1、内容：平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。

2、解析：平面向量的数量积是两向量之间的一种运算，前面我们已经做了充分研究，这次课通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算, 这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。

本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。

由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。

把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。

所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。

二、目标及解析1、目标1）、掌握平面向量数量积的坐标表示2）、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题3）、掌握向量垂直的条件2、解析：1）、通过建立直角坐标系，用坐标表示出平面向量的数量积；2）、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题.3）、两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。

(注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 , 共线的坐标表示x1y2－x2y1=0) 三、教学问题诊断本节课是在学生充分理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的，应该说，从知识的接受上学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示。

本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题，难点是向量垂直的条件的理解与掌握，解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上，通过建立直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标的运算，即数之间的运算。

平面向量数量积的坐标表示说课稿通用二篇平面向量数量积的坐标表示说课稿 1一、教材分析1.本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的__。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。

因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。

我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

教学重点平面向量数量积的坐标表示及应用教学难点探究发现公式二、教学方法和__1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生__思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。

在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。

平面向量数量积的坐标表示教学目标：掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 和b 的坐标表示a ²b 呢?这是我们这一节将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：记a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j∴a ²b ＝(x 1i ＋y 1j )(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ²j ＋y 1y 1j 2＝x 1x 2＋y 1y 21.平面向量数量积的坐标表示：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 22.两向量垂直的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)则a ⊥b ⇔a ²b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0［例1］已知a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)，则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a ²b 及｜a ｜｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)有a ²b ＝ 3 ＋1＋ 3 ( 3 －1)＝4，｜a ｜＝2，｜b ｜＝2 2 .记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ²b ｜a ｜｜b ｜ ＝22又∵0≤θ≤π， ∴θ＝π4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.［例2］已知a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，求x ，y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且｜x a ＋y b ｜＝1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，有x a ＋y b ＝(3x ＋4y ，4x ＋3y )又(x a ＋y b )⊥a ⇔(x a ＋y b )²a ＝0⇔3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0即25x ＋24y ＝0 ①又｜x a ＋y b ｜＝1⇔｜x a ＋y b ｜2＝1⇔(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1整理得：25x 2＋48xy ＋25y 2＝1即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1②由①②有24xy ＋25y 2＝1 ③将①变形代入③可得：y ＝±57再代入①得：x ＝2435∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=753524y x［例3］在△ABC 中，AB →＝(1，1)，AC →＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求实数k的值.解：若A ＝90°，则AB →²AC →＝0，∴1³2＋1³k ＝0，即k ＝－2若B ＝90°，则AB →²BC →＝0，又BC →＝AC →－AB →＝(2，k )－(1，1)＝(1，k －1)即得：1＋(k －1)＝0，∴k ＝0若C ＝90°，则AC →²BC →＝0，即2＋k (k －1)＝0，而k 2－k ＋2＝0无实根，所以不存在实数k 使C ＝90°综上所述，k ＝－2或k ＝0时，△ABC 内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.［例4］已知：O 为原点，A (a ，0)，B (0，a )，a 为正常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB → (0≤t ≤1)，则OA →²OP →的最大值是多少?解：设P (x ，y )，则AP →＝(x －a ，y )，AB →＝(－a ，a )，由AP →＝tAB →可有： ⎩⎨⎧=-=-at y at a x ，解得⎩⎨⎧=-=at y at a x ∴OP →＝(a －at ，at )，又OA →＝(a ，0)，∴OA →²OP →＝a 2－a 2t∵a ＞0，可得－a 2＜0，又0≤t ≤1，∴当t ＝0时，OA ²OP →＝a 2－a 2t ，有最大值a 2.［例5］已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝2，a ，b 夹角为60°，m 为何值时两向量3a ＋5b 与m a －3b 互相垂直？解法：(3a ＋5b )²(m a －3b )＝3m ｜a ｜2－9a ²b ＋5m a ²b －15｜b ｜2＝27m ＋(5m －9)³3³2cos60°－15³4＝42m －87＝0∴m ＝8742 ＝2914时，(3a ＋5b )⊥(m a －3b ). Ⅲ.课堂练习课本P 82练习1～8.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. Ⅴ.课后作业课本P 83习题 6，8，9，10平面向量数量积的坐标表示1．在已知a ＝(x ，y ），b ＝(－y ，x )，则a ，b 之间的关系为 （ ）A.平行B.不平行不垂直C.a ⊥bD.以上均不对2．已知a ＝（－4，3），b ＝(5，6），则3|a |2－4a ²b 为 （ ）A.63B.83C.23D.573．若a ＝（－3，4），b ＝(2，－1），若（a －x b )⊥（a －b )，则x 等于 （ ）A.－23B. 72C.－73D.－744．若a ＝（λ，2），b ＝(－3，5），a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）A.（103 ，+∞）B.［103 ，+∞）C.（－∞，103） D.（－∞，103 ］ 5．已知a ＝（－2，1），b ＝（－2，－3），则a 在b 方向上的投影为 （ ） A.－1313 B. 1313 C.0 D.16．已知向量c 与向量a ＝（ 3 ，－1）和b ＝（1， 3 ）的夹角相等，c 的模为 2 ，则 c ＝ .7．若a ＝（3，4），b ＝(1，2）且a ²b ＝10，则b 在a 上的投影为 .8．设a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x `2，y `2)有以下命题：①|a |＝x 12＋y 12 ②b 2＝x 22＋y 22③a ²b ＝x 1x `2＋y 1y `2 ④a ⊥b x 1x `2＋y 1y `2＝0，其中假命题的序号为 .9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4）， （1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.平面向量数量积的坐标表示答案1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(3＋12，3－12)或(－3＋12，1－32) 7．2 8．② 9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4）， （1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.（1）证明：∵AB →＝（1，1），AD →＝（－3，3）∴AB →²AD →＝1³3＋1³(－3)＝0， ∴AB →⊥AD →.（2）解：∵A BC D 为矩形，设C （x ，y ），∴AB →＝DC →，（1，1）＝（x +1，y －4)∴x ＝0，y ＝5，∴C （0，5）.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？解：∵a －b ＝(3－k ，－2－k )∴t ＝|a －b |＝（3－k ）2＋（－2－k ）2＝2k 2－2k ＋13 ＝2（k －12 ）2＋252∴当k ＝12 时，t 取最小值，最小值为522. 11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.解：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2),∴|a |＝|b |＝1，∴x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1 ① 3a －2b ＝3(x 1，y 1)－2(x 2，y 2)＝(3x 1－2x 2，3y 1－2y 2),又|3a －2b |＝3,∴(3x 1－2x 2)2＋(3y 1－2y 2)2＝9,将①代入化简，得x 1x 2＋y 1y 2＝13 ②又3a ＋b ＝3(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(3x 1＋x 2，3y 1＋y 2),∴|3a ＋b |2＝(3x 1＋x 2)2＋(3y 1＋y 2)2＝9(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＋6(x 1x 2＋y 1y 2)＝12, 故|3a ＋b |＝2 3 .。

１．平面向量基本定理如果e１，e２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ１，λ２，使a＝λ１e１＋λ２e２.其中，不共线的向量e１，e２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．２．平面向量的坐标运算（１）向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a＋b＝（x１＋x２，y１＋y２），a—b＝（x１—x２，y１—y２），λa＝（λx１，λy１），|a|＝错误!.（２）向量坐标的求法：１若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．２设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＝（x２—x１，y２—y１），|错误!|＝错误!.３．平面向量共线的坐标表示设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），其中b≠0，则a∥b⇔x１y２—x２y１＝0.[小题体验]１．已知M（３，—２），N（—５,２），且错误!＝错误!错误!，则点P的坐标为________．解析：设P（x，y），则错误!＝（x—３，y＋２），又错误!错误!＝错误!（—8,４）＝（—４,２），∴错误!解得错误!故点P的坐标为（—１,0）．答案：（—１,0）２．已知向量a＝（m,４），b＝（３，—２），且a∥b，则m＝________.解析：因为a∥b，所以—２m—４×３＝0，解得m＝—6．答案：—6３．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若错误!＝５e１，错误!＝３e２，则错误!＝________.（用e，e２表示）１解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（５e１＋３e２）＝错误!e１＋错误!e２.答案：错误!e１＋错误!e２１．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．２．若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b的充要条件不能表示成错误!＝错误!，因为x２，y２有可能等于0，所以应表示为x１y２—x２y１＝0．[小题纠偏]１．已知平行四边形ABCD的顶点A（—１，—２），B（３，—１），C（５,6），则顶点D的坐标为________．解析：设D（x，y），则由错误!＝错误!，得（４,１）＝（５—x,6—y），即错误!解得错误!故顶点D 的坐标为（１,５）．答案：（１,５）２．已知向量m＝（λ—１,１），n＝（λ—２,２），若m∥n，则λ＝________，此时|n|＝________.解析：由m∥n可得２（λ—１）＝λ—２，解得λ＝0，此时|n|＝错误!＝２错误!.答案：0 ２错误!错误!错误![题组练透]１．如图，向量e１，e２，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e１，e２表示为________．解析：以e１的起点为坐标原点，e１所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由题图可得e１＝（１,0），e２＝（—１,１），a＝（—３，１），因为a＝x e１＋y e２＝x（１,0）＋y（—１,１）＝（x—y，y），则错误!解得错误!故a＝—２e１＋e２.答案：a＝—２e１＋e２２．如图，在△ABC中，错误!＝错误!错误!，P是BN上的一点，若错误!＝m错误!＋错误!错误!，则实数m的值为________．解析：设错误!＝k错误!，k∈R.因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋k错误!＝错误!＋k（错误!—错误!）＝错误!＋k错误!＝（１—k）错误!＋错误!错误!，又错误!＝m错误!＋错误!错误!，所以错误!解得k＝错误!，m＝错误!.答案：错误!３．（易错题）如图，以向量错误!＝a，错误!＝b为邻边作▱OADB，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，用a，b表示错误!，错误!，错误!.解：因为错误!＝错误!—错误!＝a—b，错误!＝错误!错误!＝错误!a—错误!b，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!a＋错误!b.因为错误!＝a＋b，所以错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＝错误!a＋错误!b，所以错误!＝错误!—错误!＝错误!a＋错误!b—错误!a—错误!b＝错误!a—错误!b.综上，错误!＝错误!a＋错误!b，错误!＝错误!a＋错误!b，错误!＝错误!a—错误!b.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路（１）先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．（２）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．错误!错误![题组练透]１．已知向量a，b满足a＋b＝（—１,５），a—b＝（５，—３），则b＝________.解析：由a＋b＝（—１,５），a—b＝（５，—３），得２b＝（—１,５）—（５，—３）＝（—6,8），所以b＝错误!（—6,8）＝（—３,４）．答案：（—３,４）２．已知点M（５，—6）和向量a＝（１，—２），若错误!＝—３a，则点N的坐标为________．解析：错误!＝—３a＝—３（１，—２）＝（—３,6），设N（x，y），则错误!＝（x—５，y＋6）＝（—３,6），所以错误!即错误!故N（２,0）．答案：（２,0）３．已知A（—２,４），B（３，—１），C（—３，—４）．设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，且错误!＝３c，错误!＝—２b，（１）求３a＋b—３c；（２）求满足a＝m b＋n c的实数m，n；（３）求M，N的坐标及向量错误!的坐标．解：由已知得a＝（５，—５），b＝（—6，—３），c＝（１,8）．（１）３a＋b—３c＝３（５，—５）＋（—6，—３）—３（１,8）＝（１５—6—３，—１５—３—２４）＝（6，—４２）．（２）因为m b＋n c＝（—6m＋n，—３m＋8n），所以错误!解得错误!（３）设O为坐标原点，因为错误!＝错误!—错误!＝３c，所以错误!＝３c＋错误!＝（３,２４）＋（—３，—４）＝（0,２0）．所以M（0,２0）．又因为错误!＝错误!—错误!＝—２b，所以错误!＝—２b＋错误!＝（１２,6）＋（—３，—４）＝（9,２），所以N（9,２），所以错误!＝（9，—１8）．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧（１）向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．（２）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．错误!错误![典例引领]已知O为坐标原点，向量错误!＝（３，—４），错误!＝（５，—３），错误!＝（４—m，m＋２）．（１）若D错误!，求证：对任意实数m，都有错误!∥错误!；（２）若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足什么条件？解：（１）证明：由题意，错误!＝错误!—错误!＝（２,１），错误!＝错误!—错误!＝错误!.因为２错误!—１·（m—４）＝0，所以错误!∥错误!.（２）错误!＝错误!—错误!＝（２,１），错误!＝错误!—错误!＝（１—m，m＋6）．若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线．当A，B，C三点共线时，存在λ使错误!＝λ错误!，即（２,１）＝λ（１—m，m＋6），得错误!解得m＝—错误!.所以当m≠—错误!时，点A，B，C能构成三角形．[由题悟法]１．平面向量共线的充要条件的２种形式（１）若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b的充要条件是x１y２—x２y１＝0．（２）若a∥b（b≠0），则a＝λb.２．共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．[即时应用]１．（２0１8·海安期末）若A（２,３），B（３,２），C错误!三点共线，则实数m的值为________．解析：∵A（２,３），B（３,２），C错误!，∴错误!＝（１，—１），错误!＝错误!，又∵A，B，C三点共线，∴错误!＝错误!，解得m＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏州中学检测）已知向量m＝（λ＋１,１），n＝（λ＋２,２），若（m＋n）∥（m—n），则λ＝________.解析：因为m＋n＝（２λ＋３,３），m—n＝（—１，—１），又（m＋n）∥（m—n），所以（２λ＋３）×（—１）＝３×（—１），解得λ＝0．答案：0３．（２0１9·连云港调研）已知向量a＝（１,２），b＝（—２，x），若a∥b，则实数x＝________.解析：由向量a＝（１,２），b＝（—２，x），且a∥b，可得x＝—２×２＝—４．答案：—４一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·南通检测）已知点A（—１,２），B（２,8）．若错误!＝—错误!错误!，错误!＝错误!错误!，则错误!的坐标为________．解析：∵A（—１,２），B（２,8），∴错误!＝（—３，—6），则错误!＝—错误!错误!＝（１,２），错误!＝错误!错误!＝（２,４），∴错误!＝错误!—错误!＝（２,４）—（１,２）＝（１,２）．答案：（１,２）２．（２0１8·南京学情调研）设向量a＝（１，—４），b＝（—１，x），c＝a＋３b.若a∥c，则实数x的值是________．解析：因为a＝（１，—４），b＝（—１，x），所以c＝a＋３b＝（—２，—４＋３x）．又a∥c，所以—４＋３x—8＝0，解得x＝４．答案：４３．（２0１8·苏州中学测试）已知A（２,１），B（３,５），C（３,２），错误!＝错误!＋t错误!（t∈R），若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．解析：设点P（x，y），则由错误!＝错误!＋t错误!（t∈R），得（x—２，y—１）＝（１,４）＋t（１,１）＝（１＋t,４＋t），所以错误!解得错误!由点P在第二象限，得错误!所以—５＜t＜—３．答案：（—５，—３）４．（２0１8·苏州期末）已知向量错误!＝（m,５），错误!＝（４，n），错误!＝（7,6），则m＋n的值为________．解析：∵向量错误!＝（m,５），错误!＝（４，n），∴错误!＝错误!—错误!＝（４—m，n—５），又错误!＝（7,6），∴错误!解得m＝—３，n＝１１，∴m＋n＝8．答案：8５．（２0１9·启东月考）已知向量a＝错误!，b＝（x,１），其中x＞0，若（a—２b）∥（２a＋b），则x的值为________．解析：a—２b＝错误!，２a＋b＝（１6＋x，x＋１），由（a—２b）∥（２a＋b），得（8—２x）（x＋１）＝错误!（１6＋x），解得x＝４（负值舍去）．答案：４6．（２0１8·泰州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB＝２，若点P（２，错误!），则|错误!＋错误!＋错误!|的取值范围是________．解析：因为AB＝２，所以AB的中点M在以原点为圆心，１为半径的圆上运动（如图所示），则|错误!＋错误!＋错误!|＝|２错误!＋错误!|，当M点为射线OP与圆的交点时，|２错误!＋错误!|的最小值为7，当M点为射线OP的反向延长线与圆的交点时，|２错误!＋错误!|的最大值为１１，所以|错误!＋错误!＋错误!|的取值范围是[7,１１]．答案：[7,１１]二保高考，全练题型做到高考达标１．已知向量a＝（５,２），b＝（—４，—３），c＝（x，y），若３a—２b＋c＝0，则c＝________.解析：由题意可得３a—２b＋c＝（２３＋x,１２＋y）＝（0,0），所以错误!解得错误!所以c＝（—２３，—１２）．答案：（—２３，—１２）２．已知A（—３,0），B（0，错误!），O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝３0°，错误!＝λ错误!＋错误!，则实数λ的值为________．解析：由题意知错误!＝（—３,0），错误!＝（0，错误!），则错误!＝（—３λ，错误!），由∠AOC＝３0°，知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为１５0°，所以tan １５0°＝错误!，即—错误!＝—错误!，所以λ＝１．答案：１３．已知点A（２,３），B（４,５），C（7,１0），若错误!＝错误!＋λ错误!（λ∈R），且点P在直线x—２y＝0上，则λ＝________.解析：设P（x，y），则由错误!＝错误!＋λ错误!，得（x—２，y—３）＝（２,２）＋λ（５,7）＝（２＋５λ，２＋7λ），所以x＝５λ＋４，y＝7λ＋５．又点P在直线x—２y＝0上，故５λ＋４—２（7λ＋５）＝0，解得λ＝—错误!.答案：—错误!４．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝________（用a，b表示）．解析：如图，因为错误!＝a，错误!＝b，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b.因为E是OD的中点，所以错误!＝错误!，所以|DF|＝错误!|AB|.所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!×错误!＝错误!错误!—错误!错误!＝错误!a—错误!b，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!a＋错误!b＋错误!a—错误!b＝错误!a＋错误!b.答案：错误!a＋错误!b５．已知a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝（１,２），|c|＝２错误!，且a∥c，则向量c＝________.解析：设向量c＝（x，y），因为a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝（１,２），|c|＝２错误!，且a∥c，可得２x＝y，并且x２＋y２＝２0，解得x＝２，y＝４或x＝—２，y＝—４．所以c＝（２,４）或c＝（—２，—４）．答案：（２,４）或（—２，—４）6．（２0１8·白蒲中学高三期末）若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ（x，y∈R），则称（x，y）为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝（１，—１），q＝（２,１）下的坐标为（—２，２），则a在另一组基底m＝（—１,１），n＝（１,２）下的坐标为________．解析：因为a在基底p，q下的坐标为（—２,２），即a＝—２p＋２q＝（２,４），令a＝x m＋y n＝（—x＋y，x＋２y），所以错误!即错误!所以a在基底m，n下的坐标为（0,２）．答案：（0,２）7．（２0１8·溧水高级中学测试）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n的取值范围是________．解析：由题意得，错误!＝k错误!（k＜0），又|k|＝错误!＜１，所以—１＜k＜0．又因为B，A，D 三点共线，所以错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!，所以m错误!＋n错误!＝kλ错误!＋k（１—λ）错误!，所以m＝kλ，n＝k（１—λ），所以m＋n＝k，从而m＋n∈（—１,0）．答案：（—１,0）8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则错误!＝________.解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长为１），则A（１，—１），B（6,２），C（５，—１），所以a＝错误!＝（—１,１），b＝错误!＝（6,２），c＝错误!＝（—１，—３）．因为c＝λa＋μb，所以（—１，—３）＝λ（—１,１）＋μ（6,２），即—λ＋6μ＝—１，λ＋２μ＝—３，解得λ＝—２，μ＝—错误!，所以错误!＝４．答案：４9．（２0１9·淮安一模）已知a＝（１,0），b＝（２,１）．（１）当k为何值时，k a—b与a＋２b共线；（２）若错误!＝２a＋３b，错误!＝a＋m b，且A，B，C三点共线，求m的值．解：（１）k a—b＝k（１,0）—（２,１）＝（k—２，—１），a＋２b＝（１,0）＋２（２,１）＝（５,２）．∵k a—b与a＋２b共线，∴２（k—２）—（—１）×５＝0，解得k＝—错误!.（２）∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得错误!＝λ错误!，即２a＋３b＝λ（a＋m b）＝λa＋λm b，又a与b不共线，∴错误!解得m＝错误!.１0．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝（２,１），A（１,0），B（cos θ，t），a∥错误!.（１）若|错误!|＝错误!|错误!|，求向量错误!的坐标；（２）求y＝cos２θ—cos θ＋t２的最小值．解：（１）因为错误!＝（cos θ—１，t），又a∥错误!，所以２t—cos θ＋１＝0．所以cos θ＝２t＋１．１又因为|错误!|＝错误!|错误!|，所以（cos θ—１）２＋t２＝５．２由１２得，５t２＝５，所以t２＝１．所以t＝±１．当t＝１时，cos θ＝３（舍去），当t＝—１时，cos θ＝—１，所以B（—１，—１），所以错误!＝（—１，—１）．（２）由（１）可知t＝错误!，所以y＝cos２θ—cos θ＋错误!＝错误!cos２θ—错误!cos θ＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!２—错误!，所以，当cos θ＝错误!时，y min＝—错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知△ABC是边长为４的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足错误!＝错误!（错误!＋错误!），错误!＝错误!＋错误!错误!，则△APD的面积为________．解析：法一：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为４的正三角形，则AE⊥BC，错误!＝错误!（错误!＋错误!），又错误!＝错误!（错误!＋错误!），所以点D是AE的中点，AD＝错误!.取错误!＝错误!错误!，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!.而△APD是直角三角形，AF＝错误!，所以△APD的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!.法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为等边三角形ABC的边长为４，所以B（—２，—２错误!），C（２，—２错误!），由题知错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误![（—２，—２错误!）＋（２，—２错误!）]＝（0，—错误!），错误!＝错误!＋错误!错误!＝（0，—错误!）＋错误!（４,0）＝错误!，所以△ADP的面积为S＝错误!|错误!|·|错误!|＝错误!×错误!×错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·启东中学检测）在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!成立，此时称实数λ为“向量错误!关于错误!和错误!的终点共线分解系数”．若已知P１（３，１），P２（—１,３），P１，P２，P３三点共线且向量错误!与向量a＝（１，—１）共线，则“向量错误!关于错误!和错误!的终点共线分解系数”为________．解析：设错误!＝（x，y），则由错误!∥a，知x＋y＝0，于是错误!＝（x，—x），设错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!，则有（x，—x）＝λ（３,１）＋（１—λ）（—１,３）＝（４λ—１,３—２λ），即错误!于是４λ—１＋３—２λ＝0，解得λ＝—１．答案：—１３．已知三点A（a,0），B（0，b），C（２,２），其中a＞0，b＞0．（１）若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；（２）若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．解：（１）因为四边形OACB是平行四边形，所以错误!＝错误!，即（a,0）＝（２,２—b），错误!解得错误!故a＝２，b＝２．（２）因为错误!＝（—a，b），错误!＝（２,２—b），由A，B，C三点共线，得错误!∥错误!，所以—a（２—b）—２b＝0，即２（a＋b）＝ab，因为a＞0，b＞0，所以２（a＋b）＝ab≤错误!２，即（a＋b）２—8（a＋b）≥0，解得a＋b≥8或a＋b≤0．因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8．当且仅当a＝b＝４时，“＝”成立．。

高中数学向量数量积教案
一、教学目标
1. 理解向量数量积的定义和性质；
2. 掌握求解向量数量积的方法；
3. 能够运用向量数量积解决相关问题。

二、教学重点
1. 向量数量积的定义；
2. 向量数量积的性质；
3. 向量数量积的应用。

三、教学难点
1. 向量数量积的性质的理解和运用；
2. 向量数量积的应用实例的解决。

四、教学过程
1. 引入：通过一个生活中的具体例子引入向量数量积的概念，让学生了解向量数量积的实际应用和意义。

2. 讲解：详细介绍向量数量积的定义和性质，强调向量数量积的计算方法和解题技巧。

3. 练习：设计一些基础的练习题，让学生掌握向量数量积的求解方法，巩固相关知识点。

4. 拓展：提供一些拓展练习题，让学生能够灵活运用向量数量积解决实际问题，培养解决问题的能力。

5. 总结：通过总结本节课的内容，让学生对向量数量积有一个清晰的认识，强化重点知识点。

五、作业布置
完成课堂练习题和拓展练习题，巩固向量数量积的相关知识，准备下节课的学习。

六、教学反思
通过本节课的教学实践，发现学生对向量数量积的理解程度和解题能力，及时调整教学方法和内容，提高教学效果。

同时，鼓励学生积极思考，勇于探索，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示【学习目标】一．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)注意：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．二．与向量的模、夹角相关的三个重要公式1.向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝.2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝.3.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝.注意：由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()(4)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．()(5)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．()【经典例题】题型一 数量积的坐标运算点拨：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．例1 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，求a ·b ，(a ＋b )·(2a －b )．【跟踪训练】1已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．1题型二 平面向量的模点拨：求向量的模的两种方法：1.字母表示下的运算，利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝ x 2＋y2.例2 已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．25 C ．8D ．82【跟踪训练】2 已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．题型三 平面向量的夹角和垂直问题 点拨：解决向量夹角问题的方法1.先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a |，|b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |，求出cos θ，也可由cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.2.由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.例3 已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【跟踪训练】3已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数λ的取值范围．【当堂达标】1.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(C)A．－1B．0C．1D．22.已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝()A． 5 B．10 C．5 D．253.已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．23 B.3C．0 D．－34.已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5.已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.6.已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.【课堂小结】3个公式1.数量积：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.2.模长：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.3.夹角：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，可由cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cos θ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.【参考答案】【自主学习】对应坐标的乘积之和 x 1x 2＋y 1y 2 x 1x 2＋y 1y 2＝0 x 2＋y 2 √(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21· x 22＋y 22 【小试牛刀】(1) × (2) × (3) × (4) ×(5) √ 【经典例题】例1 解 a ·b ＝1×2＋3×5＝17.∵a ＋b ＝(3,8)，2a ＝(2,6)，∴2a －b ＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a ＋b )·(2a －b )＝3×0＋8×1＝8.【跟踪训练】1 D 解析：(1)a ·b ＝2－x ＝1，解得x ＝1.故选D.例 2 D 解析：易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝√82+(−8)2＝8 2.【跟踪训练】2 13 解析：设C (x ，y )，因为点A (0，1)，向量AC→＝(4，－1)，所以AC →＝(x ，y－1)＝(4，－1)，所以⎩⎨⎧x ＝4，y －1＝－1，解得x ＝4，y ＝0，所以C (4，0)，所以BC→＝(3，2)，|BC →|＝9＋4＝13.例3解 (1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝（－1）2＋22＝5，设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525.(2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7，8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.【跟踪训练】3 解 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，即(－2，－1)·(λ，1)＝－2λ－1<0，∴λ>－12.又当a 与b 反向时，夹角为180°，即a ·b ＝－|a |·|b |，则2λ＋1＝5·λ2＋1，解得λ＝2.由于a 与b 的夹角为钝角，故应排除a 与b 反向共线的情况，即排除λ＝2，则实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． 【当堂达标】1.C 解析：a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.2.C 解析：∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5，故选C ．3.B 解析：因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ， 又a ，b 的夹角为π6，所以a ·b |a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝32，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.4.A 解析：选A.由题设知AB→＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB→⊥AC →.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．5. 7 解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.6.解 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)，∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)． 又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a ·c )b ＝0·b ＝0.。

第二十六教时教材：复习五——平面向量的数量积的坐标表示、平移目的：让学生对平面向量的数量积的理解更深刻，尤其在两个非零向量垂直与平行的充要条件的平行上更熟练。

过程：一、 复习：设向量a = (x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)，1． 数量积的坐标表示：a •b = x 1x 2 + y 1y 2 2． 关于距离公式 3． 二、 例题：1． 已知|a | = 3，b = (1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标。

解：设a = (x ,y ) ∵|a | = 3 ∴322=+y x …①又：∵a ∥b ∴1•y - 2•x = 0 …②解之：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==556553y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=556553y x即：a = (556,553) 或a = (556,553--) 2． 设p = (2,7)，q = (x ,-3)，求x 的取值范围使得：①p 与q 的夹角为钝角 ②p 与q 的夹角为锐角。

解：①p 与q 的夹角为钝角⇔ p •q <0⇔2x -21<0⇔221<x 即x ∈(-∞,221) ②p 与q 的夹角为锐角⇔ p •q >0⇔2x21213． 求证：菱形的对角线互相垂直。

证：设B (b 1,0)，D (d 1,d 2)，则AB = (b 1,0), AD = (d 1,d 2)于是AC =AB +AD = (b 1,0) + (d 1,d 2) = (b 1+d 1,d 2)BD =AD -AB = (d 1 -b 1,d 2)∵AC •BD = (b 1+d 1)(d 1 -b 1) + d 2d 2 = (d 12+ d 22)- b 12= |AD |2- b 12= |AB |2- b 12= b 12- b 12= 01∴AC ⊥BD4． 如图：ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ， 若正方形面积为64，求△AEM 的面积。

第十三教时教材：平面向量的数目积的坐标表示目的：要修业生掌握平面向量数目积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。

过程：一、复习：1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示2．平面向量数目积的运算3．两平面向量垂直的充要条件4．两向量共线的坐标表示：二、课题：平面两向量数目积的坐标表示1．设a = ( x1, y1)， b = ( x2, y2)， x 轴上单位向量i ， y 轴上单位向量j ，则： i i = 1 ，j j = 1 ，i j = j i = 02．推导坐标公式：∵ a = x1i + y1j , b = x2i + y2j∴ a b = ( x 1 i + 1 2 2 1 2 2 + 1 1 2 1 1 2 2y j )( x i + y j ) = x x i x y i j + x y i j + y y j = 1 2 + 1 2x x y y进而获取公式： a b = x1x2+ y1y2例一、设 a = (5, 7) ，b = ( 6, 4) ，求a b解： a b = 5×( 6) + ( 7)×( 4)= 30+28= 23．长度、角度、垂直的坐标表示1 a = ( x, y) |a|2 = 2 + y 2 x 2 y 2x | | =a2 若A=( x1, y1)， B = ( x2, y2)，则AB= ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 23 co s =a b x1 x 2 y1 y2| a | | b | 2 2 2 2x1 y1 x 2 y24 ∵ a b a b = 0 即 x1 x2 + y1y2 = 0 （注意与向量共线的坐标表示原则）4．例二、已知A(1, 2) ， B(2, 3) ，C( 2,5) ，求证：△ ABC是直角三角形。

证：∵ AB =(2 1, 3 2) = (1, 1), AC=( 2 1, 5 2)=( 3, 3)∴ AB AC =1×( 3) + 1 ×3=0 ∴ AB AC∴△ ABC是直角三角形三、增补例题：办理《教课与测试》P153 第 73课例三、已知 a = (3, 1) ，b = (1, 2) ，求知足 x a = 9 与 x b = 4 的向量x。

【课题】平面向量基本定理【教学目标】1.了解平面向量基本定理；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.【教学重点】平面向量基本定理【教学难点】平面向量基本定理的理解与应用 【教学过程】一.复习引入⒈实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa=0 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb3.向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .4.由火箭升空和小练习:已知向量1e ，2e ,求作向量-2.51e +32e 引入 二.新课讲解1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+．其中我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面所有向量的一组基底。

注：①1e ，2e 均非零向量；②1e ，2e 不唯一（事先给定）； ③1λ，2λ唯一；④20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ==时，0a =．⑤一个平面向量用一组基底12,e e 表示成1122a e e λλ=+的形式,称它为向量a 的分解.当12,e e 所在直线互相垂直时这种分解称为a 的正交分解.2．例题分析： 例1.书69P 例1变式练习:1.已知OADB 的对角线交于点C,且11,33BM BC CN CD ==.如果,OA a OB b ==,试用,a b 表示,OM ON .2.已知ABCD 中,M,N 分别是DC,BC 的中点且,AM c AN d == 用,c d 表示,AB AD .例2. 书69P 例3. 变式练习:1.如果向量12e e λ-与12e e λ-共线,求λ.D B OAC MNBN2.如果1223,a e e =-1223,b e e =+其中12,e e 为基底,向量1229,c e e =-问是否存在这样的实数λ和μ,使d a b λμ=-与c 共线?例3. 书69P 例2.【课堂小结】1.熟练掌握平面向量基本定理；2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示。

【高二】平面向量数量积的坐标表示教案学案【高二】平面向量数量积的坐标表示教案、学案泗县第三中学教案和学案：平面矢量量积的坐标表示年级高一学科数学课题平面向量数量积的坐标表示教学时间学习重点在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）学习的难点是掌握坐标形式的平面矢量量积的运算公式、变化及应用学习目标1.掌握以坐标形式表示的平面矢量量积的计算公式及其变化（夹角公式）；2.理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.教学过程一自主学习（1）向量量积的交换定律：⑵＝＝.（3）向量的量积分布规律：.⑷＝. .5已知两个非零向量.结论：（1）如果，那么，或者⑵若，，然后⑶若，然后⑷设是与的夹角，是二师生互动例1：已知物体的形状，尝试判断并给出证据变式：已知四点，，，求证：四边形是直角梯形.例2假设，，并求出两者之间夹角的余弦值练1.已知，，若，试求的值.三次巩固练习1.已知，，则等于（）a、不列颠哥伦比亚省。

2.若，，则与夹角的余弦为（）a、不列颠哥伦比亚省。

3.若，，则等于（）a、不列颠哥伦比亚省。

4.，，则=.5.已知向量，如果，那么6.下列各组向量中，可以作为基底的是（）答。

b.Cd.7.如果平面向量和向量之间的角度为，和（）a.b.c.d.8.如果已知向量，，，则与的夹角为（）a.b.c.d.9.给定向量，如果垂直于，则为实数10.已知向量，，若不超过，则的取值范围是.11给定向量，找到⑴求与的夹角；（2）如果向量垂直于，则计算四课后反思五次课后巩固练习1.已知，，，且，，求⑴；⑵、的夹角.2.如果已知点和，询问是否能在轴上找到点。

若否，请解释原因；如果可能，找到点坐标。