高考数学模拟复习试卷试题模拟卷202220

2022年考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（5）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|430}A x x x =-+ ，{|}B x x a =>，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是()A ．[3，)+∞B ．(3,)+∞C ．(-∞，1]D ．(,1)-∞2．复数2()2a ia R i+∈-的虚部为()A ．225a +B ．45a -C ．225a -D ．45a +3．已知sin12021a =，2021log (sin1)b =，sin1c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c<<B ．b c a<<C ．c b a<<D ．b a c<<4．若抛物线22(0)y px p =>上的点0(3,)A y 到焦点的距离是点A 到y 轴距离的3倍，则0y 等于()A ．62±B ．6±C ．122±D ．12±5．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，若(1)(5)1P x p x >-+= ，则(μ=)A ．1-B ．1C ．2-D ．26．已知函数()sin(2)(0f x A x A ϕ=+>，||)2πϕ部分图象如图所示，若对不同的m ，1[n x ∈，2]x ，当()()f m f n =时，总有()1f m n +=，则()A ．21x x π-=，6πϕ=B ．212x x π-=，3πϕ=C ．21x x π-=，3πϕ=D ．212x x π-=，6πϕ=7．已知a lnb =，1c d =+，则22()()a c b d -+-的最小值是()A ．1B ．2C ．2D ．228．如图，三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC =，5BC =，16AA =，D 为1CC 中点，E 为1BB 上一点，13BB BE =，160A AC ∠=︒，M 为平面11AA C C 上一点，且//BM 平面ADE ，则点M 的轨迹的长度为()A ．1B ．2C ．3D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学模拟试卷（附答案）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。

（共8题；共40分）1.设A={x，y}，集合B={x+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B=（）A. {1，2}B. {1，5}C. {2，5}D. {1，2，5}2.若实数x，y满足不等式组：则该约束条件所围成的平面区域的面积是()A. 3B.C. 2D.3.设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的y值为（）A. 2B. 3C. 4D. 55.已知定义在R上的函数f（x）满足（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，设，则（）A. B. C. D.6.设双曲线C: (a,b>0)的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点为A,若点A到直线的距离大于，则双曲线C的离心率e的取值范围是( ).A. B. C. D.7.（2019•天津）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.8.已知函数是上的减函数，那么的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（共6题；共30分）9.若( 为虚数单位)，则________，的实部________10.若不等式与关于x不等式＜0的解集相同，则＝________11.曲线在点处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．12.已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为、面积为，则该圆锥的体积为________.13.若正实数x，y满足x+y=1，则xy的最大值等于________；xy+ 的最小值为________．14.已知| |＝1，，则向量在方向上的投影是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.（共6题；共80分）15.去年“十•一”期间，昆曲高速公路车辆较多．某调查公司在曲靖收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：，，，，，后，得到如图的频率分布直方图．（I）调查公司在抽样时用到的是哪种抽样方法？（II）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（III）若从这40辆车速在的小型汽车中任意抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在的概率．16.已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．17.如图,在四棱锥中,棱底面,且, ,, 是的中点.（1）求证: 平面；（2）求三棱锥的体积.18.在数列中，，。

2022年普通高等学校招生考试模拟试卷数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.ii -21+对应复数的共轭复数在复平面的A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．如图所示的阴影部分表示的是 A.∁S B B.∁S (A∩B) C.A ∪∁S (A ∪B) D.A∩∁S (A∩B)3.已知向量a 、b 满足732=+==b a b a ，则a 、b 的夹角为A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π64. 2022年迎来了北京冬季奥运会，北京成为首个同时举办了夏季、冬季奥运会的城市。

已知一滑雪运动员的高度随时间的变化曲线方程为25526)(234++-+-=t t t t t h ,竖直方向速度是高度对时间的导数，竖直方向加速度是竖直方向速度对时间的导数,且有0≤t ≤4，则其竖直方向加速度大小的最大值为 A.0.5 B.2 C.4 D.125.求值:=︒-︒︒20sin 10cos 50cosA.√33 B.√22 C.1 D.√22 6.已知某市一模考试有32000人参加,考试成绩X 近似服从正态分布X ~N (76,20.25)则得分在区间[71.5, 85]之间的人数约为(已知:P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈68.3%,P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈95.4%)A.21856B.26192C.30528D.31904 7.已知抛物线x y 42=,P 是直线y =2x +5上的一个动点，过P 作抛物线的两条切线，切点为A , B ,则点T (4,3)到直线AB 距离的最大值为A.32 B.√2 C.52 D. 2√28.已知a n 是不等式)0(1221≥++++≥x a x a x a x e nnx成立的最小值，若n b n nnn n T b c a a b n ,2,1==+为的c n 前n 项和，则T 2022的值为 A.22023 B.2022·22023 C.22024 D.2022·22024 二、多项选择题:本题共四小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错得0分.9.对于正四面体ABCD ，其棱长为1，中心为O ，下列说法中正确的是 A.OD OC OBOA =++B.若E 、F 分别为AB 、CD 中点,EF =√22C.设P 为正四面体ABCD 内切球上一点,Q 为正四面体ABCD 外接球上一点,则PQ 最小值为√66D.棱长为1的正八面体的体积是正四面体ABCD 体积的4倍10.对于函数x x x x f cos sin cos 3)(2+=,下列说法中正确的是(参考数据: log 27 ≈2.8)A. f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡127,12ππ上单调递减B.当)(2,3Z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-∈ππππ时,f (x )> 0C. f (x )的对称中心为)(0,62Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-ππ D. f (x )与x 2log 有且仅有3个交点11.对于函数f (x )=x 3-3x +1,下列说法中正确的是A.有三个零点B.零点均分布在[-2, 2]内C.零点为2cos40°, 2cos80°, 2cos160°D.零点为2cos50°, 2cos70°, 2cos140°12.设函数()xx x g x x e x f x ln )(,0)(=>=直线l 1与f (x ),g (x )同时相切，切点分别为x 1、x 2,直线l 2平行于x 轴，且与f (x ),g (x )共有三个交点，从左到右分别为x 3, x 4,x 5，则下列说法中正确的是A. 222221)(ln 1ln )(ln x x x x -+< B.1ln 1)2(22111-=--x x x x xC.5342x x x +=D.5324x x x = 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．a 、b 均为正实数，a ＋b ＝6，则a 2＋b 2的最小值为 ▲ .14．72)12(1+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 中x 5项的系数为▲ ．15．一组牌堆，包含数字1-15各2张（相同数字的卡牌无区别），共30张，第一次从中抽取3张，不放回再从中抽取3张，则两次抽到的牌完全相同的概率为 ▲ .16．f (x )是定义在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的奇函数,⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时，2)4(,01cos 'sin )(=≥++πf x f x x f ，则当x x x f cos 3sin )(≥+时，x 的取值范围是 ▲ .四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤.17. (10分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边长度分别为a 、b 、c , 2BD =DC,b =2c . (1)求证: AD 平分∠BAC .(2)若AC 在AD 上的投影向量长度为3,求AD 的长度.18. (12分)对于数列{a n },S n 为a n 的前n 项和,n ≥2时有3S n =7a n -5a n -1,a 1=1. (1)求证: {2a n +1-a n }为等比数列. (2)求{a n }的通项.19. (12分)如图,四棱锥S-ABCD , E 、F 分别为BS 、CD 中点,ABCD 为菱形,∠BAD =60°,△SAD 为正三角形,AB = 2,面SAD ⊥面ABCD . (1)求证: EF ∥平面SAD .(2)若G 为线段AB 上一动点,求平面EFG 与平面ABCD 间最小锐二面角的余弦值.20. (12 分)为响应国家号召，打赢蓝天保卫战，坚持“绿水青山就是金山银山”绿 色新发展理念，某地区开展新型旅游产业以提高当地经济收入与发展水平.(1)下表为该地开展旅游产业后的天数x (天)与当地每日游客人数y (人)之间的关系，请从下面两个回归方程中选择更合适的一个，并求出回归方程.(保留一位小数)①y =a +bx ②y =ae bxx 10 15 18 22 25 y 124 493 1141 3498 8401(2)该地对于A 、B 两处风景区进行精细化旅游划分.其中A 地区被分为5块区域，B 地区被分为3块区域.某旅行团计划游玩其中4个区域,求选中A 地区中的区域个数X 的分布列与数学期望. 参考数据及公式: .1336051=∑=i i y35ln 51=∑=i i y30197951=∑=i i i y x672ln 51=∑=i i iy xe 1.5=4.5 e 1.6=5.0 e 1.7=5.5 e 1.8=6.0 e 1.9=6.7 对于回归方程y =a +bx :∑∑∧∧∧--=22xn xyx n y x b ii i x b y a -=21. (12 分)已知P 为圆心的圆分别与圆F 1:(x +2)2+y 2=4外切,与圆F 2:(x -2)2+y 2=36内切.(1)求P 点所在的轨迹方程C .(2)若A 、B 为曲线C 上两动点,且有过F 2且垂直于x 轴的直线平分∠AF 2B ,求证:直线AB 过定点.22. (12分)设函数f (x )=)(sin R a ax x exx ∈+-(1)a ≥1时，求证: f (x )有且只有一个零点.(2)a <0时，求证: f (x )在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,π上有且仅有两个零点.参考答案12 3 4 5 6 7 8 D CCDCBCD二、多选题9 10 11 12 BCDABDABCABD13.18 14.728 15.65252 16.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--2,44,2ππππ 四、解答题()）4（）（）2（sin sin sin 2sin ,sin sin ,sin sin 1.17分平分即或舍分由上式可知由正弦定理，得 BAC AD CAD BAD CAD BAD CAD BAD CB CADCAD CD B AD BAD BD ∠∠=∠=∠+∠∴∠=∠==∠=∠π ())10(2,2cos )9(3cos 32(*)cos 2)7((*)212122cos cos )6(cos 2cos 2222222222222222分依题意，有分得代入由余弦定理，得分分由余弦定理，得=∴=∠⋅=∠⋅=∠⋅=-+-=-=∴∠-=∠∠⋅=-+∠⋅=-+AD CAD AC CAD AC AD CAD AC AD CD AC AD CD AC BD AB AD ADCBDA ADC CD AD AC CD AD BDABD AD AB BD AD18.(1)3S n =7a n -5a n-1① 3S n+1=7a n+1-5a n ② ②-①得,3a n+1=7a n+1-12a n +5a n-1………………(2分) 因此,4a n+1-12a n +5a n-1=0 4a n+1-2a n =10a n -5a n-1n ＝2时,3a 1＋3a 2＝7a 2-5a 1,a 2=2a 1=2,2a 2-a 1=3021≠-∴+n n a a252211=--∴-+n n n n a a a a ………………(4分)因此{2a n+1-a n }是以3为首项，公比为25的等比数列.………………(5分)()())12(254321)11(,1254321)10(2152321515,30568,2,2)7(562-2,2253-2)1(2111112223112111-n 12分因此分满足上式时分得将以上式子累加则设分得两边同乘知，由-+-+-------⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛=∴+⋅=-=-=-⋅=-===⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n a b b b b b b b b b b a a a a a19. 取AS 中点H ,易得HF ∥AB ∥DE ,且HF =DE =12AB 因此四边形DEFH 是平行四边形………………(2分))4(////分平面平面平面 SAD EF SAD EF SAD DH DH EF ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊄⊂()()()()()()()())12(721cos 1)11(91252,1,251252,04)1(,4)0(1,212,10)(0128)('124)(124112521252314cos )9(12523143cos ,)1,0,0()7(3,33252,10233250232300),,(0,253,25,230,23),0,3,1(0,3,),10(0,3,1,0,23,23,23,23,00,3,20,0,10,3,0,0,0,1,3,0,0)2(2222222分最小，时，因此，当分时时上单调递增上单调递增，在，在因此设的最小值的最大值，即求于是只要求分则所成角为与平面设平面的一个法向量易知平面分的一个可能取值为因此，的一个法向量设平面则设依题意，坐标系建立如图所示平面直角轴，为轴，为轴，为，以中点取 ===⎪⎭⎫⎝⎛--==⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-=⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡>-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--⋅+⎪⎭⎫⎝⎛--⋅+-=⋅⋅==⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=≤≤=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--θθλλλλλλλλλλλλλλλλλθλλθθλλλλλλλλλλλλf f f f f nm n m ABCD EFG m ABCD n x z x EG n EF n c b a n EFG EG EF G AG AB AG AB E F C D B A S z OS y OB x OA O AD20. (1)由表格可知,y 与x 近似成关系y =ae bx …………(1分) 因此lny =lna +bx …………(2分) 设lny =u ,lna =v ,则u =bx +v)7(0.50.5,6.1)5(3.02317672,175818,7ln 513.06.12512515151251分分 x i ii ii x i i i i i i e y e a x b u v xn xux n ux b u x xx y u =∴≈==-=≈=--======∧==∧===∑∑∑∑∑ (2) X 可能的取值为1,2,3,4…………(8分)141)4(73)3(73)2(141)1(480345481335482325483315=⋅===⋅===⋅===⋅==C C C X P C C C X P C C C X P C C C X P…………(9分)X 1 2 3 4 P11437 37114E (X )=52 答:X 的数学期望是52. …………(12分) 21.(1)设圆P 的半径为r ,则PF 1=r +2,PF 2=6-r,PF 1+PF 2=8>F 1F 2因此P 点的运动轨迹为椭圆. …………(2分) a =4, c =2,b =2√311216:22=+∴y x C …………(4分)()())12()0,8()8(:)11(0804438)2(43484204))(2(20)2)(()2)((0)2()2(0220,)8(43484,438)7(057676848)6(04848434843),(),,(,:2222212112211221221122212212222222221122分直线恒过定点分依题意分分分斜率存在，设意，依题 ∴-=∴=+⇒=-+⋅--+-⋅∴=-+-+∴=-++-+=-+-=-+-∴=++-=+-=+≥++-=∆=-+++⇒⎩⎨⎧=++=+=x k y AB k m m k km k m k m k m x x k m x kx x m kx x m kx x y x y x yx y k k km x x k km x x k m m kmx x k y x m kx y y x B y x A m kx y AB AB B F A F[)有且仅有一个零点综上，分分单调递增分而单调递增)()3(011)11(1)(,,1.4)2(0)0()(,)(,0)(',1,1cos ,01),1,0(.30)0(,0.2)1(0)(,0)0(,)(,0)('1,1cos 11,1,11:0.1cos 1)(')1(.22x f x e x x exx f x f x f x f x f a x exx f x x f f x f x f a x e xe x x a x e xx f x x x xx x≥->-+=+-≥+∞∈=>>∴≥->->-∈==<∴=>∴≥-≥->-<>-<+--=)5(0)0(')0,1(01)1('11)('0)0(')(',0)(',221sin ,22,1,0.1sin 2)('')2(0分使得因此存在单调递减=-∈>≥--=+--≥<=<-≤-∴≤-≤-≤≤+-=f a x a f x a a x x f a f x f x f ex x x e x x ex x f x x x())7(0)(),,(011)1(11sin )(:1)10)(,0)0()0,(),()(10122000分使存在上单调递减上单调递增，在在从而 =∈∴≤+=+++-<++=++≤-+=≤>=-∞-x f x a x a a a a a e a a ea a a ea a f a x f f x x x f a a a)9(0)(),0,2(01)1(2)2(1)1(1)(:)0,1(2222分使得存在） =-∈∴<+--=-+-=-+<-∈-x f x e f e x x exx f a x x(])11(0)1(,0)0()()(,0)('01cos )1(',0)0(')1,(,),0()('0)(''),1,0(06sin 1sin )1('',2)0('',)(''0cos 3)(''':1,0.2333311分单调递减，上单调递增在上单调递减在使得存在单调递增 <=<<<+-=<=∴=∈∴>->+-=-=∴>+-=∈--f f x f x f x f a f a f x x x f x f x e e f f x f x e xx f x xπ)12(0)1()()(,0)('0,01,0cos :2,1.3分单调递减， <<<<<-≤-⎥⎦⎤⎝⎛∈f x f x f x f a e x x x x π .)(2,有且仅有两个零点时，综上，x f x ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈π.。

2022年高考数学全真模拟试卷（新高考地区）第二模拟（试卷满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1 B ．2i --C ．2i -D ．2i +2. 若1cos 42πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ） A ．12-B ．32-C ．12D ．323. 函数4x xxy e e-=+的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．4. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ） A ．140种B ．420种C ．80种D ．70种5. 已知函数()sin (,06f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭）的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移φ(φ0)>个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是A ．23πB ．3π C ．4π D ．8π 6. 如图，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PD AB ==，PD ⊥平面ABCD ．在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B ．21+C ．2D ．21-7. 已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．2C ．3D ．28. 已知函数()21cos 2f x x x =--，()2g x x k =-，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，则k 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）A ．样本在区间[]500,700内的频数为18B ．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策C ．样本的中位数小于350万元D ．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表10. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点，P 是函数图象上一动点，若点P ，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的可能值为（ ）A ．B ．C ．3D ．411．已知正数a 、b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ）． A ．24a b +的最小值是22 B ．ab 的最小值是18C ．224a b +的最小值是12D ．11a b+的最小值是42 12. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线与是平行直线B ．直线与是异面直线C ．直线与所成的角为60°D ．平面截正方体所得的截面面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. ．已知向量，不共线，若向量和共线，则实数___________.14. 已知是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，若，则()()()()1232022f f f f +++⋅⋅⋅+=______.15. 在数列{a n }中，已知211232,1,3n n n a a a a a ++=-==，则数列{a n }的通项公式a n =________ .16. 过点1(1,)2P -作圆221x y +=的切线l ，已知A ，B 分别为切点，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则椭圆的标准方程是__________．四、解答题：本小题共6小题，共70分。

高考数学模拟试卷一一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B=．2．（5分）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为．4．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．5．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．（5分）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是．7．（5分）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为．8．（5分）与的大小关系是．（用“＞”或“＜”连接）9．（5分）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为．10．（5分）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．11．（5分）已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=．12．（5分）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为．13．（5分）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=．14．（5分）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．16．（14分）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：AE⊥平面ABC．17．（14分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．19．（16分）已知数列{a n}，{b n}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，a n2+b n a n﹣12=2n+1．（1）若b n=（﹣1）n，求的值；（2）若数列{a n}的各项均为正数，且a1=2，b n=﹣1．设S n=，T n=，试比较S n与T n的大小，并说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．（10分）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．解答题25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp （λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．26．（10分）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）=n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（2016•南通模拟）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B= {0，1} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．（5分）（2016•南通模拟）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=1．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】根据纯虚数的定义，得到实部为0，虚部不为0列出不等式和方程，解不等式组求出a的值．【解答】解：∵复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数∴解得∴a=1故答案为：13．（5分）（2016•南通模拟）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为32．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数．【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有：，解得：x=0.2，∴中间一组的频数=160×0.2=32．故填：32．4．（5分）（2016•江苏模拟）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】根据互斥时间的概率公式计算即可．【解答】解：从5个球中任意取两个共有C52=10种，两球颜色相同的有2种，两球颜色不同的概率是1﹣=，故答案为：．5．（5分）（2016•南通模拟）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为205．【考点】顺序结构．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．6．（5分）（2016•南通模拟）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是3+．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题．【分析】先求面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形的面积，再求正三角形△ABC的面积，求解即可．【解答】解：设侧棱长为a，则a=2，a=，侧面积为3××a2=3，底面积为×22=，表面积为3+．故答案为：3+．7．（5分）（2016•南通模拟）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的标准方程，根据焦点在x轴上的双曲线的焦点到渐近线的距离为b 进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，双曲线的焦点在x轴，则a2=2m，b2=4，则b=2，设焦点在x轴的双曲线的方程为=1，设焦点F（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y=x，即bx﹣ay=0则点F到C的一条渐近线的距离d==2故答案为：28．（5分）（2016•南通模拟）与的大小关系是＞．（用“＞”或“＜”连接）【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】由于=＞=＞，即可得出．【解答】解：∵==＞=＞，∴＞，故答案为：＞．9．（5分）（2016•南通模拟）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】将y=sinx化为y=cos[（x﹣π）]，再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．【解答】解：∵y=sin=cos（﹣）=cos[（x﹣π）]，∴将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象对于的解析式为：y=cos[（x ﹣π+φ）]，又∵y=cos（﹣）=cos[（x﹣）]，∴由题意可得：（x﹣π+φ）=（x﹣）+2kπ，k∈Z，解得：φ=4kπ+，k∈Z，∵φ＞0∴当k=0时，φ的最小值为．故答案为：．10．（5分）（2016•南通模拟）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，由f（﹣1）f（0）＜0，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，求出导数，求得单调区间，极值，即可得到a的值．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，f（﹣1）=﹣1+2﹣1＜0，f（0）=1＞0，由零点存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；则由题意可得x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，g′（x）=，当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为，如图g（x）的图象，当直线y=a（a＞0）与g（x）的图象只有一个交点时，则a=．故答案为：．11．（5分）（2015•淮安模拟）已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=9．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，∵=，∴n=1时，a1=b1．n=2时，．n=3时，．∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．12．（5分）（2016•南通模拟）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y 轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】不适一般性，取特殊点，即可得出结论．【解答】解：由题意，取M（0，2），AM的斜率为，∵AE=AF，∴AN的斜率为﹣，过原点，∴N（（，﹣1），∴直线MN的斜率为=﹣．故答案为：﹣．13．（5分）（2016•南通模拟）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】取PC中点D，连结BD，设BD=x．利用三角形中位线定理与含有45°角的直角三角形的性质，算出∠BDC=135°，CD=PD=x．在△BCD中利用余弦定理，结合题中数据建立关于x的方程，解出x，从而得出PA，PC．最后利用数量积的公式加以计算，可得则•的值【解答】解：取PC中点D，连结BD．设BD=x，∵BD是△PAC的中位线，∴BD∥PA且BD=PA．∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，∵∠BPD=45°，BD=x，∴PD=x，CD=PD=x，△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+450°=130°，BC=1，由余弦定理，得BC2=BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC=1，即x2+2x2﹣2x•xcos135°=1，解之得x=，即BD=，∴PA=2BD=，PC=2×=，∴•=||•||cosAPC=××（﹣）=﹣，故答案为：﹣14．（5分）（2016•南通模拟）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c 的取值范围是（1，] ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由于+=1，++=1，可得，化为．由于正实数a、b满足+=1，利用基本不等式的性质可得ab≥4，据此可得c的取值范围．【解答】解：∵++=1，∴，化为．∵正实数a、b满足+=1，∴，化为ab≥4．则c==1+，ab﹣1≥3，则1＜c≤．故答案为：（1，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2011•宝山区二模）已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量•，从而求出向量、的夹角θ；（2）向量，，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．【解答】解：（1）当时，，所以，因而；（2），，因为，所以，当λ＞0时，，即，当λ＜0时，，即，所以．16．（14分）（2016•南通模拟）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：AE⊥平面ABC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC中点F，连结AF，可证AF⊥BC，由平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，可证AF⊥平面DBC，从而AF∥DE，即可证明DE∥平面ABC．（2）连结DF，可证DF⊥平面ABC，AE∥DF，从而有AE⊥平面ABC．【解答】解：（1）取BC中点F，连结AF，因为AB=AC，所以，AF⊥BC，又因为平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，所以，AF⊥平面DBC，因为DE⊥平面DBC，所以，AF∥DE，而AF在平面ABC内，DE在平面ABC外，所以，DE∥平面ABC；（2）连结DF，∵DB=DC，F为BC中点，∴DF⊥BC，∵平面ABC⊥平面DBC，DF⊂平面DBC，可证DF⊥平面ABC，∵AE∥DF，∴AE⊥平面ABC．17．（14分）（2016•南通模拟）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】导数的综合应用；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求区域Ⅱ的总面积；（2）建立三角函数关系式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．【解答】解：（1）因为BD=AC，OB=OA，所以OD=OC．因为，DE∥OA，CF∥OB，所以DE⊥OB，CF⊥OA．又因为OE=OF，所以Rt△ODE≌Rt△OCF．所以．…（2分）所以．所以，所以，．…（6分）（2）因为，所以．所以=，…（10分）所以，令y'=0，则．…（12分）当时，y'＞0，当时，y'＜0．故当时，y有最大值．答：当θ为时，年总收入最大．…（15分）18．（16分）（2016•南通模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题意得l：y=﹣x+1，由此能求出t的值．（2）直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，由此能证明=﹣4（定值）．（3）要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O．【解答】（1）解：由题意：椭圆：+y2=1上顶点C（0，1），右焦点E（﹣，0），所以l：y=﹣x+1，令x=2，得t=1﹣．…（2分）（2）证明：直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，…（4分）由C，D，P三点共线得：k CP=k DP，得=﹣4（定值）．…（8分）（3）证明：要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，设点P（2，t），则OP：y=x，分别与直线AC：y=k1（x+2）与AD：y=k2（x+2）联立得：x E=，x F=，下证：x E+x F=0，即+=0化简得：t（k1+k2）﹣4k1k2=0…（12分）由（2）知C：，D：，由C，D，P三点共线得：k CP=k DP，得t（k1+k2）﹣4k1k2=0，所以四边形AFBE为平行四边形．…（16分）19．（16分）（2016•南通模拟）已知数列{a n}，{b n}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，a n2+b n a n﹣12=2n+1．（1）若b n=（﹣1）n，求的值；（2）若数列{a n}的各项均为正数，且a1=2，b n=﹣1．设S n=，T n=，试比较S n与T n的大小，并说明理由．【考点】数列递推式；数列与函数的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列的递推关系时，即可得到a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，累加即可，（2）根据数列的递推关系求出a n=n+1，n∈N，再分别表示出S n与T n，分别计算它们的平方，n=1，2，3，4，5，6，当n≥6时，构造数列c n=，利用换元法和作差法得到数列{c n}为递增数列，问题得以解决．【解答】解：（1）由题意可得a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，将上面的式子相加得到=5+9+13+…+37=189，（2）∵a n2+b n a n﹣12=2n+1，a1=2，b n=﹣1∴a n2﹣a n﹣12=2n+1，n≥2，∴a22﹣a12=5，a32﹣a22=7，a42﹣a32=9，a n2﹣a n﹣12=2n+1，将上面的式子相加得到a n2﹣a12=，∴a n2=（n+1）2，n≥2，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n=n+1，当n=1时，也成立，∴a n=n+1，n∈N*，∴S n==2n﹣1，T n==，下面比较S n与T n的大小，取n=1，2，3，4，5，6，∴S12＜T12，S22＞T22，S32＞T32，S42＞T42，S52＞T52，S62＜T62，当n≥6时，令c n=，则=设2n=t≥64，则（n+2）（2n﹣1）2﹣（2n+1﹣1）2=8（t﹣1）2﹣（2t﹣1）2=4t2﹣12t+7＞0∴当n≥6时，数列{c n}为递增数列，∴c n≥c6=＞1，∴n≥6时，S n2＜T n2，综上所述：当n=2，3，4，5时，S n＞T n，当n=1，n≥6时，S n＜T n．20．（16分）（2016•南通模拟）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．（10分）（2016•南通模拟）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O 相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】连接BD，证明△EAD∽△DBA．即可证明AD2=AB•ED．【解答】证明：连接BD，因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD=∠ABD．…（4分）又因为AB∥CD，所以∠BAD=∠ADE，所以△EAD∽△DBA．…（8分）从而=，所以AD2=AB•ED．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）（2016•南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【考点】逆变换与逆矩阵．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．推导出M′、N′的坐标，由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，列出方程组求出A=，由此能求出矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．M，N在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．∵=，∴M′的坐标为（2，2b）；=，∴N′的坐标为（2a，4）．由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，∴．解得a=﹣1，b=0．∴A=，∵→→．∴A﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2015•淮安模拟）已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，0），可求m的值；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos2α+25sin2α）t2+72tcosα﹣81=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|=．…（8分）当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•南通模拟）已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．【考点】不等式的证明．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得（a+2b+3c）（++）≥（++）2，化简整理，结合条件即可得证．【解答】证明：由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得：（a+2b+3c）（++）≥（++）2=（++）2=1，由a+2b+3c=9，可得++≥，当且仅当a=3b=9c，即a=，b=，c=时，等号成立．解答题25．（10分）（2016•南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l 的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得，+λ=，可知，，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值．【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+），将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，解得：x1=，x2=．∵d=λp，∴，+λ=，，∴p=x2﹣x1=，∴，∴直线AB的斜率为定值．26．（10分）（2015•淮安模拟）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）=n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；（2）类比（1）即可得出；（3）：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则，可得，利用，即可得出．【解答】（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，∴P3（1）=3；（2）解：=；（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有，故，又∵，∴．令，则a n=na n﹣1，且a1=1．于是a2a3a4…a n﹣1a n=2a1×3a2×4a3×…×na n﹣1，左右同除以a2a3a4…a n﹣1，得a n=2×3×4×…×n=n!∴．高考数学模拟试卷二第Ⅰ卷（必做题，共160分）??一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知{}2A x x =＜，{}1B x x =＞ ，则A B = ▲ ．2． 已知复数z 满足(1i)2i z -=+，则复数z 的实部为 ▲ ． 3． 函数5()log (9)f x x =+ 的单调增区间是 ▲ ．4． 将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ．5． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是 ▲ ．6． 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则这组样本数据的方差为 ▲ ．7． 已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ▲ ． 8． 已知1==a b ，且()()22+⋅-=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ▲ ．9． 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知关于x 的一元二次不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，其中a b c ，，为常数．则不等式2 0cx bx a ++≤的解集为 ▲ ．11．已知正数x ，y 满足121x y +=，则22log log x y +的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22280x y x ++-=，直线l ：(1) ()y k x k =-∈R 过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则三角形AEC 的周长为 ▲ ． 13．设集合{}*2n A x x n ==∈N ，，集合{}*n B x x b n ==∈N ， 满足A B =∅，且*A B =N ．若对任意的*n ∈N ，1n n b b +<，则2017b 为 ▲ ．14．定义：{}max a b ，表示a ，b 中的较大者．设函数{}()max 11f x x x =-+，，2()g x x k =+，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．（第5题）（第17题）二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知cos cos 02C C +=．（1）求C 的值．（2）若c =1，三角形ABC ，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABC —DEF 中，若AB//DE ，BC//EF ． （1）求证：平面ABC//平面DEF ；（2）已知CAB ∠是二面角C-AD-E 的平面角． 求证：平面ABC ⊥平面DABE ． 17．（本小题满分14分）如图，长方形ABCD 表示一张6⨯12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米． 现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M N ，分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的 长分别为m 分米，n 分米．（1）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确 定m ，n 的值；（2）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ， BC CD DN ，，的长度之和）的最大值．18．（本小题满分16分）AFED CB（第16题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）.（1）若椭圆C 的焦距为2，求a 的值；（2）求直线1y kx =+被椭圆C 截得的线段长（用a ，k 表示）；（3）若以A （0，1）为圆心的圆与椭圆C 总有4个公共点，求椭圆C 的离心率e 的 取值范围. 19．（本小题满分16分）已知函数32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，． （1）若函数()f x 为奇函数，且图象过点(12)-，，求()f x 的解析式； （2）若1x =和2x =是函数()f x 的两个极值点． ①求a ，b 的值；②求函数()f x 在区间[03]，上的零点个数．20．（本小题满分16分）设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 共有m *( )m ∈N 个对应项相等． （1）若110a b =>，11110a b =>，试比较66a b ，的大小； （2）若34n a n =-，()12n nb -=--，求m 的值．（3）若等比数列{}n b 的公比0q >，且1q ≠，求证：3m ≠．【参考结论】若R 上可导函数()f x 满足()()f a f b =（a b <），则()a b ξ∃∈，，()0f ξ'=．（第18题）（第21-A 题）第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.A ，（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCDB ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB 的逆矩阵．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆24sin 50ρρθ--=截直线π()3θρ=∈R所得线段长．D．（选修4-5：不等式选讲）求证：5． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．在平面直角坐标系xOy 中，设点2(2)A a a ，，2(2)B b b ，，(12)C ，均在抛物线 22(0)y px p =>上，且90BCA ∠=︒． （1）求p 的值； （2）试用a 表示b ；（3）求直线5x =与直线AB 交点的纵坐标．23． (1)2n n +（2n n ∈*N ≥，）个不同数随机排成如下的一个三角形：k M ()1 k n k ∈*N ≤≤，是从上往下数第k 行中的最大数，n p 为12n M M M <<⋅⋅⋅<的概率． （1）求2p 的值；＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ……………………＊ ＊ … ＊ ＊（2）猜想n p 的表达式，并证明．参考答案一、填空题 1．()12，．A B =()12，．2．12． (2)(1)2i 13.1i (1)(1)2i i i z i i ++++===--+，则复数z 的实部为 12．3．（-9，+∞）．函数5()log (9)f x x =+的单调增区间（-9，+∞）.4． 536．点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536．5． 8．若613x =，则1326x =>，不符；若513x +=，则82x =>．6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为222221(109.4)(109.7)(109.8)(1010.3)(1010.8)0.245⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦. 7． 76．函数()f x 的周期4(3T π=⨯)43π7π+=，又Τω2π=，所以ω的值为76. 8． π．依题意，2220+⋅-=a a b b ，又1==a b ，故1⋅=a b ，则a 与b 的夹角为π．9． 113．()()()()11tan tan 25tan tan 111tan tan 125αββααββαββ--+=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯-113． 10． 115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．因为不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，所以(1)(5)>0a x x +-，且0a <，即245>0ax ax a --，则45b a c a =-=-，，则2 0cx bx a ++≤即为254 0ax ax a --+≤，从而254 1 0x x +-≤，故解集为115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 11．3．由121x y +=得，02y x y =>-，则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===--()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥．12． 5．易得圆C ：22(1)9x y -+=，定点A (10)-，，EA ED =，则3EC EA EC ED +=+=，从而三角形AEC 的周长为5．13． 2027．易得数列{}n b ：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，…，则1137++++…12121k k k ++-=--，当10k =，12120372017k k +--=>，2037201720-=，从而第2017项为1121202027--=． 14．()()5114-∞-，，．{}()max 11f x x x =-+， 2()()g x x k k =+∈R 恰有4个零点，当54k =时，()f x 与()g x 相切．如图，()514，，．二、解答题15． （1）因为cos cos 02C C +=，所以22cos cos 1022C C +-=， 解得cos 12C =-或1cos 22C =， 又0C π＜＜ ，故22C π0＜＜， 从而23C π=，即23C π=． （2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，221a b ab ++=， ①由三角形ABC 的面积1sin 2ab C =得， 13ab =， ② 由①②得，a b =． 16． （1）因为AB//DE ，又AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以AB//平面DEF ， 同理BC//平面DEF ， 又因为ABBC C =，OAB BC ⊂，平面ABC ，所以平面ABC//平面DEF. （2）因为CAB ∠是二面角C-AD-E 的平面角，所以CA AD BA AD ⊥⊥，， 又因为CA AB A =， AB ，CA ⊂平面ABC ，所以DA ⊥平面ABC ，又DA ⊂平面DABE ，所以平面ABC ⊥平面DABE. 17． （1）过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ， 则△PNF 与△MPE 相似，从而PF NFEM PE =，所以2121n m -=-， 即211m n +=． 欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积 12S mn=最小．由211m n =+≥得，8mn ≥ （当且仅当21m n =，即4m =，2n =时， “=”成立），此时min 4S =（平方分米）． （2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．由（1）知，()()212333n m m n m n m n m n +=++=++=≥，（当且仅当2n mm n =即2m =，1n =时，“=”成立），答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33-分米． 18． （1）由椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）知，焦距为2=，解得a =因为a ＞1，所以a .（第17题）。

2022年新高考模拟测试卷一数学试题一、单选题 (每题5分，共8题；共40分)1．已知集合A={x|2−x⩾0}，B={x∈Z|y=ln(x+1)}，则A∩B=（）A．[−1，2]B．(−1，2]C．{0，1，2}D．{−1，0，1，2}2．已知复数z=2+i1+i，则z_的虚部为（）A．12B．12i C．−12D．−12i3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，若P(ξ<3)=0.8，则P(−1<ξ<1)=（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.64．函数y=e 2x−1e2x+1⋅cosx的图象可能是（）A．B．C．D．5．正三棱锥S−ABC中，SA=2，AB=2√2，则该棱锥外接球的表面积为（）A．4√3πB．4πC．12πD．6π6．（5分）已知向量a⃗=(sinθ,1)，b⃗=(2sinθ,−1)，且a⃗⊥b⃗，则cos2θ=（）A．0B．12C．√22D．-17．已知椭圆x2a12+y2=1与双曲线x2a22−y2=1有相同的焦点F1、F2，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则（）A．e1e2=1B．e22−e12=1 C．e12+e22=2e12e22D．e2=2e18．若函数g(x)在区间D上，对∀a、b、c∈D，g(a)、g(b)、g(c)为一个三角形的三边长，则称函数g(x)为“稳定函数”．已知函数f(x)=lnx x+m在区间[1e2,e2]上是“稳定函数”，则实数m的取值范围为（）A．(2e+1e,+∞)B．(2e2+1e,+∞)C．(4e+1e,+∞)D．(4e2+1e,+∞)二、多选题 (每题5分，共4题；共20分)9．下列关于向量a⃗，b⃗，c⃗的运算，一定成立的有（）A．(a+b⃗)⋅c=a⋅c+b⃗⋅c B．(a⋅b⃗)⋅c=a⋅(b⃗⋅c)C．a⃗⋅b⃗≤|a⃗|⋅|b⃗|D．|a−b⃗|≤|a |+|b⃗|10．已知函数f(x)=2sinxcosxcosφ+cos2xsinφ(−π<φ<π)，则（）A．函数f(x)的最小正周期为πB．若函数f(x)为偶函数，则φ=π2C．若φ=−π3，则函数y=f(x)的图象可由函数g(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到D．若φ=π6，则函数y=f(x)的图象的对称中心为(kπ2+5π12,0)(k∈Z)11．已知椭圆C:x 216+y29=1上有一点P，F1、F2分别为左､右焦点，∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S，则下列选项正确的是（）A．若θ=60°，则S=3√3B．若S=9，则θ=90°C．若△PF1F2为钝角三角形，则S∈(0,9√74)D．椭圆C内接矩形的周长范围是(12，20]12．回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数.若正整数i与n满足2≤i≤n且n≥4，在[10i−1,10i−1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为P i，在[10,10n−1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Qn，则（）A．P i<P i+1(2≤i≤n−1)B．Qn <1n−1∑P ini=2C．Qn >1n−1∑P ini=2D．∑P ii=2n<1三、填空题 (每题5分，共4题；共20分)13．已知正三角形 ABC 的边长为 3 ， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 14．为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在6天时间内检测3盒A 类药，2盒B 类药，1盒C 类药．若每天只能检测1盒药品，且3盒A 类药中只有2盒在相邻两天被检测．则不同的检测方案的个数是 ．15．若不等式 (ax 2+bx +1)e x ≤1 对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a＋b 的取值范围是 ．16．正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为1， E ， F 分别为 BC ， CC 1 的中点．则平面 AEF截正方体所得的截面面积为 ；以点 E 为球心，以 √104 为半径的球面与对角面 ACC 1A 1的交线长为 ． （前一个空2分，后一个空3分）四、解答题 (共6题；共70分)17．（10分）①acosC +√3asinC −b −c =0 ；②tanB +tanC −√3tanBtanC =−√3 ；③cos2A −3cos(B +C)=1 ；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值.若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在 △ABC ，它的内角其 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且， a =√3 ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（12分）数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n ， a 1=1 ， S n =12(a n+1−1) .（1）（5分）证明数列 {a n } 是等比数列，并求通项 a n ；（2）（7分）若等差数列 {b n } 的各项均为正数，且 ∑b i 4i=1=24 ， a 1+b 1 ， a 2+b 2 ， a 3+b 3 成等比数列，求数列 {a n b n } 的前 n 项和 T n19．（12分）如图，已知五面体 ABCDEF 中， CDEF 为正方形，且平面 CDEF ⊥ 平面 ABCD ，∠ADC =∠BCD =120∘ .（1）（5分）证明： ABCD 为等腰梯形；（2）（7分）若 AD =DE ，求二面角 F −BD −C 的余弦值.20．（12分）利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围 x(cm) 与肺活量 y(ml) 的样本，计算平均值 x̅=80.5 ， y ̅=4030 ，并求出线性回归方程为 y ̂=32.26x +a .高一男生胸围与肺活量样本统计表(参考公式及数据： b ̂=∑(x i −x ̅)ni=1(y i −y ̅)∑(x i −x ̅)2n i=1， r =∑(x i −x ̅)i=1(y −y ̅)√∑(x i −x ̅)2n i=1∑(y i −y̅)2n i=1， √∑(x i −x̅)220i=1≈38 ， √∑(y i −y̅)220i=1≈2040 .) 附：相关性检验的临界值表（1）（3分）求a的值；（2）（4分）求样本y与x的相关系数r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001)；（3）（5分）将肺活量不低于4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.21．（12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且点(1,−32)在椭圆上．（1）（5分）求椭圆C的标准方程；（2）（7分）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线BN的斜率为k(k≠0)，直线AM的斜率为3k，求证：直线MN过定点．22．（12分）设函数f(x)=a x+e−x(a>1).（1）（5分）求证：f(x)有极值点；（2）（7分）设f(x)的极值点为x0，若对任意正整数a都有x0∈(m,n)，其中m,n∈Z，求n−m的最小值.2022年新高考模拟测试卷一数学试题答案与解析1．【答案】C【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={x|2−x⩾0}={x|x⩽2}，B={x∈Z|y=ln(x+1)}={x∈Z|x>−1}，∴A∩B={0，1，2}。

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题-数学（二）(数学)1. 已知全集，集合，，则( )A. B.C. D.2. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则( )A. 2B.C.D.3.已知数列满足，，则( )A. B. C. 2 D.4. 已知某种传染性病毒使人感染的概率为，在感染该病毒的条件下确诊的概率为，则感染该病毒且确诊的概率是( )A. B. C. D.5. 已知函数，若不等式对恒成立，则m的取值范围是( )A. B. C. D.6. 已知某圆锥的侧面积为底面积的3倍，体积为，则该圆锥的母线长为( )A. B. C. D.7. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，设与的图象上相邻的三个公共点分别为A，B，C，若为直角三角形，则( )A. B. C. D.8. 已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，若在T上存在两点A，B，使四边形FABO为菱形，则双曲线T的离心率为( )A. B. C. D.9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是( )A. 直线l必过点B. 直线l与圆E必相交C. 圆心E到直线l的距离的最大值为1D. 当时.直线l被圆E截得的弦长为10. 下列命题正确的是( )A. ，，B. ，使C. ，，D. ，，使11. 函数，若不等式恒成立，则a的值可以为( )A. B. C. 1 D.12. 如图，在正四面体PABC中，，，分别为所在棱的三等分点，沿平面截去四个小正四面体后所得几何体称为截角四面体.则( )A.截角四面体的所有面都是正多边形 B.C. 平面D. 截角四面体与正四面体的表面积之比为13. 已知向量，，若，则___.14. 在一次乒乓球知识竞赛中，已知甲、乙两赛队在6道笔试题中所得分数的中位数相等每题满分10分，具体得分如下：甲赛队9671098乙赛队10k87108若，则k的值为___.15. 已知抛物线，，动点A，B在C上，则的最大值为___.16. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则在区间上的极大值为___.17. 已知数列中，，，当时，，记求数列的通项公式;设数列的前n项和为，证明：18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求的内切圆半径为，，求的周长.19. 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间满时长15小时，将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图同一组中的数据用该组区间的中点值为代表求a的值;以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数;现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在与内的教职工平均人数四舍五入取整数参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，20.如图.在直三棱柱中，，E，F分别为，BC 的中点.若，证明：平面平面若，求二面角的正弦值.21. 已知函数若，求的极大值;若在区间上有两个零点，求实数a的取值范围.22. 已知椭圆的四个顶点所构成四边形的面积为，点在T上.求椭圆T的方程;直线l经过T的右焦点F交T于A，B两点，轴，交直线于点C，试问直线AC是否恒过定点?若过定点，求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查并集和补集的混合运算.先化简全集U和集合B，再利用并集和补集的定义，即可得到结果.【解答】解：全集Z，N，，故选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的模，考查复数的代数表示及其几何意义．根据复数的几何意义可得，再根据复数的基本运算法则化简，结合模长公式即可求解.【解答】解：由题意得，所以，所以3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了数列的递推关系和周期性，属于中档题.由，利用周期性即可求解．【解答】解：根据题意，得，所以，所以数列是周期为3的周期数列，所以，所以4.【答案】A【解析】【分析】本题考查应用概率解决实际问题，涉及条件概率，属于基础题.设事件，然后利用即可求解.【解答】解：设事件“该传染性病毒使人感染”，“感染该病毒后确诊”，则，，所以5.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式的恒成立问题、函数的单调性和函数的对称性.因为，所以的图象关于直线对称且时，单调递增.由，可得，解得，可得，即可求解.【解答】解：因为，所以的图象关于直线对称，又，当时，单调递增.因为，所以，解得，所以，所以，解得6.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面积、体积和结构特征，属于基础题.设该圆锥底面半径为r，母线长为l，由条件列方程组，解方程组即可.【解答】解：设该圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得得，7.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的图象与性质，属于中档题.由题意得；，作出两个函数的图象，令，可得，所以，则，可得可得【解答】解：由题意得；，作出两个函数的图象，如图所示.不妨取点A，C在x轴上方，点B在x轴下方，D为AC的中点，所以，由对称性可得又为直角三角形，所以，所以令，得或，，所以或，又，所以，所以，则，所以，所以所以8.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的离心率.连结BF，，根据图形分析可得是等边三角形，再结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.【解答】解：设双曲线的右焦点，连结BF，，画出图形如下图所示：因为四边形FABO为菱形，所以，所以，根据对称性可知是等边三角形，所以，所以，根据双曲线定义可知，，即，故得故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及判定.直线l过定点，点在圆E内，直线l与圆相交，圆心E到直线l的距离的最大值为圆心与的距离，当时，利用弦长公式求弦长.【解答】解：直线，过定点，，直线l不经过点，故A错误；定点在圆E内，所以直线l与圆相交，故B正确；圆心E到直线l的距离最大值为圆心与的距离，即，故C正确；当时，直线，直线l被圆E截得的弦长为，故D错误.故选10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查命题的真假判断、不等式的性质，属于中档题.根据不等式的性质及特值法逐一判断即可.【解答】解：因为，，所以，所以，所以，故A正确；因为，则恒成立，故B错误;取，则，故C错误;取，，则，故D正确.故选11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了不等式的恒成立问题、分段函数和函数图象的应用.作出函数的大致图象，易得，将已知不等式转化为，由图象的平移可得a的取值范围.【解答】解：作出函数的大致图象如图所示，的图象关于点中心对称，故，由，得，即，即的图象向左平移2个单位后得到的图象一定在的图象上方，如图，，即，所以a的取值范围为故选12.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查棱锥的截面问题及线面平行判定及棱锥的表面积计算.根据截角四面体的定义与正四面体的性质判断A，B，再由线面平行的判定定理判定C，由四面体的表面积公式判定【解答】解：截角四面体表面由4个等边三角形和4个正六边形构成，故A正确;由题意得，由正四面体的性质可得，所以，故B正确;易知，，得，又平面，平面，所以平面，故C正确设，则截角四面体的表面积为，正四面体的表面积为，所以截角四面体的表面积与正四面体的表面积之比为，故D错误.故答案为13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，模的坐标运算.根据坐标运算公式求出k的值，再求的模长即可.【解答】解：由题意得，解得，所以14.【答案】9【解析】【分析】本题考查了中位数的计算，属于基础题.先得出甲赛队成绩的中位数，可分和两种情况研究即可.【解答】解：将甲赛队成绩从小到大排列为6，7，8，9，9，10，所以甲赛队成绩的中位数为，由题意知乙赛队成绩的中位数为，若，此时乙赛队成绩的中位数为，不符合题意，若，此时乙赛队成绩的中位数为，解得，符合题意.15.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与抛物线位置关系，属于中档题.设直线，与联立，利用直线与抛物线相切可得k，代入倍角公式可得答案.【解答】解：由题意知当直线PA，PB分别与C相切时，取最大值，由已知得直线PA的斜率存在，可设直线，与联立得，所以，得，所以为坐标原点，则由对称性可得，所以16.【答案】1【解析】【分析】本题考查利用导数求函数的单调性、极值，考查构造新函数，利用导数求单调性最值，属于导数的综合题.由题意得，令，由，求得，令；由导数得到在处取得最大值，从而得到，使，又，，从而得到当时，取得极大值.【解答】解：由题意得，令，则，不妨设，所以，所以，解得，所以，所以，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得最大值，又，所以，使，又，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，所以当时，取得极大值17.【答案】解：由题意得，所以，即当时，当时，也符合.综上，；证明：由得，当时，当时，，故当时，综上，【解析】本题考查数列的递推公式，考查裂项相消法.由题意得到，利用累加法进行求解即可；由得，利用裂项相消法求出，再进行证明即可.18.【答案】解：由题：A，B，C是的内角，所以，，，且因为，即，由正弦定理得：，所以，即，所以故由题：由余弦定理得：，即，①又由等面积公式有：其中r是的内切圆半径，即，化简为：②则由①②得：，，所以的周长故的周长为【解析】本题考查正弦定理、余弦定理及三角函数基本公式在解三角形中的应用.根据正弦定理变形原式可得，再根据同角三角函数基本关系即可求解；由等面积公式及余弦定理可得，，的周长即可求得.19.【答案】解：，解得由题意知样本的平均数为，所以又，所以则，所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为设从这5人中抽取的3人中学习时间在内的人数为Y，则，所以则这3人中学习时间在内的教职工平为人数约为【解析】本题考查频率分布直方图及正态分布，以及离散型随机变量的数学期望计算与分层抽样，属于中档题.根据小矩形的面积之和为1进行求解即可；根据正态分布的对称性进行求解即可；利用分层抽样确定抽取人员，设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，求出对应概率得出数学期望即可.20.【答案】解：证明：由直三棱柱得面ABC，面ABC，，，，BC，平面，平面又平面，由，得，，且这两个角都是锐角，，所以，又， AB，平面ABE ，平面平面，平面平面取AC的中点O，连接OB，因为，所以因为，所以以O为坐标原点，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，所以，，，设平面AEF的一个法向量为，由得令，得设平面的一个法向量为，由得令，得设二面角的平面角为，则，所以，所以二面角的正弦值为【解析】本题主要考查面面垂直的判定和二面角，属于中档题.先根据线线垂直判定线面垂直，再根据线面垂直判定面面垂直.根据题意以O为坐标原点，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，写出两个平面的法向量坐标计算二面角，即可得出结论.21.【答案】解：当时，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为由题意得当时，，对恒成立，在区间上单调递增，又，所以在区间上仅有一个零点，不符合题意.当时.令得若即时对恒成立.在区间上单调递减.又，所以在区间上仅有一个零点，不符合题意，若即时，在区间上单调递增.在区间上单调递减，令，，则，所以在区间上单调递减，所以，即，所以其中因为函数的图象开口向下，所以，使即在区间上有两个零点.综上，实数a的取值范围为【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及利用导数研究函数的零点问题.由得出，求出，解，判断出的单调性，进而求出的极大值；求出，对a进行分类讨论，判断出的单调性，进而得出函数在区间上有两个零点时a的取值范围.22.【答案】解：由题意得解得，，所以T的方程为由得，设直线，，，，联立得，所以，，又直线，即，即，则直线AC恒过点【解析】本题考查椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆位置关系的应用及恒过定点问题.由椭圆的性质，可求得，再得椭圆的标准方程；设直线，，联立，消去x，得，结合韦达定理以及直线AC的方程，可得结论.。

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（新高考）数学试题1. 已知集合M，N是全集U的两个非空子集，且，则( )A. B. C. D.2. 若，则实数x，y满足( )A. B. C. D.3. 若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为( )A. B. C. D.4. 已知，则( )A. B. C. D. 65. 在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数为素数即质数，，计算结果取整数( )A. 2172B. 4343C. 869D. 86866. 若的展开式中常数项为，则实数( )A. B. C. D. 27. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：，且，垂足为Q点.若四边形为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.8. 已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是( )A. B.C. D.9. 为了庆祝中国共产党成立100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，将本单位全体党员党史知识竞赛的成绩均位于之内整理，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论正确的是( )A. 本次成绩不低于80分的人数的占比为B. 本次成绩低于70分的人数的占比为C. 估计本次成绩的平均分不高于85分D. 本次成绩位于的人数是其他人数的3倍10. 如图所示，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，则下列选项中两异面直线所成夹角大于的是( )A. BC与SDB. AB与SCC. SB与ADD. AC与SB11. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是( )A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象D. 函数在区间上的单调递减区间为12. 阿基米德公元前287年-公元前212年是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：的焦点为F，过A、B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是( )A. B.C. 点P的坐标为D.13. 在正项等比数列中，若，则_____.14. 写出一个同时满足下列条件①②的向量_____.①；②向量与的夹角15. 已知在正四面体中，，记以PA为直径的球为球O，则平面ABC截球O所得截面的面积为__________.16. 若对任意恒成立，则实数a的取值范围为_____.17. 如图，在梯形ABCD中，，点E在边CD上，，，求BE，CE；若，求18. 《中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》明确提出，支持脱贫地区乡村特色产业发展壮大，加快脱贫地区农产品和食品仓储保鲜，冷链物流设施建设，支持农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准对接.当前，脱贫地区相关设施建设情况如何？怎样实现精准对接？未来如何进一步补齐发展短板？针对上述问题，假定有A、B、C三个解决方案，通过调查发现有的受调查者赞成方案A，有的受调查者赞成方案B，有的受调查者赞成方案C，现有甲、乙、丙三人独立参加投票以频率作为概率求甲、乙两人投票方案不同的概率；若某人选择方案A或方案B，则对应方案可获得2票，选择方案C，则方案C获得1票，设X是甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和，求X的分布列和数学期望.19. 已知数列满足求数列的通项公式；对任意的，令，求数列的前n项和20. 在如图所示的多面体AFDCBE中，平面BCE，，，，，在线段BC上是否存在一点G，使得平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由．当三棱锥的体积为8时，求二面角的余弦值．21. 已知双曲线C：的渐近线方程为，过双曲线C的右焦点的直线与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点．求双曲线C的方程．过原点O作直线，使得，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、是否存在定值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．22. 已知函数讨论函数的单调性；若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了全集、补集和子集的定义与应用问题，是基础题．根据全集、补集和子集的定义，即可得出M、N之间的关系，从而作出正确的判断．【解答】解：M，N是全集U的非空子集，且，所以，故选2.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数相等的充要条件，要求考生会进行复数的平方运算以及理解两个复数相等的充要条件，属于基础题.利用复数相等的概念即可求解.【解答】解：因为，所以，则，即实数x，y满足故选：3.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆台的体积，考查直观想象与数学运算的数学素养，属于基础题.根据圆台的体积公式计算即可.【解答】解：由题意，得圆台的体积为4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于较易题.先化简，再分子分母同时除以，转化为正切计算即可.【解答】解：由，则，故选5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查获取信息、运用所学知识解决实际问题的能力，体现了数学运算的学科素养，突出了基础性、应用性的考查，要求考生运用所学对数的运算公式解答相关问题，属于基础题.由对数的运算得，再结合题意可得【解答】解：由题意可知：，由对数的性质可得：，即故选6.【答案】A【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，关键是利用展开式的通项公式，属于基础题.的展开式的通项为，令，得，故，解得a值.【解答】解：的展开式的通项为，令，得故，即，解得7.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，属于基础题.设，由四边形为平行四边形，得到，最后根据椭圆的范围，即可求出离心率的范围.【解答】解：设，四边形为平行四边形，，，即，，即得，解得故离心率的范围为8.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义和利用导数求最值，属于中档题.设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，得，构造，利用导数即可求解.【解答】解：设切点为，，曲线在切点处的切线的斜率为，切线方程为，整理得，所以令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，则的取值范围9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，考查获取信息解决实际问题，考查数据分析，属中档题.根据频率分布直方图解得a，逐项分析即可.【解答】解：本次成绩不低于80分的人数占比为，故A正确；因为，所以，即本次成绩低于70分的人数的占比为，故B正确；因为有的党员的成绩位于之间，这部分党员的平均成绩为85分，另有的党员的成绩位于之间，这部分党员的平均成绩为95分，剩余党员的平均成绩小于75分，所以估计本次成绩的平均分不高于85分，故C正确；成绩位于的频率为，因为，故D错误.10.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查了异面直线的夹角，通过平移的方法求异面直线的夹角及利用判定定理证明异面直线垂直的应用.根据已知及线面垂直的判定，异面直线所成角的计算即可求得答案.【解答】解：对于A，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，则BC与SD所成角的大小为，故A正确，对于B，因为底面ABCD是正方形，所以，则AB与SC所成的角为，故B错误，对于C，因为，所以SB与AD所成的角为，由题知，所以，故C正确，对于D，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，因为ABCD是正方形，所以因为，平面SBD，平面SBD，所以平面SBD，所以，则AC与SB所成角的大小为，故D正确.11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解函数图象的变换，了解函数中各参数对图象的影响，根据正弦函数与余弦函数的单调性与对称性逐一判断即可.【解答】解：根据函数的图象可知，当时，满足，则，即，因为，所以，对于A项，当时，，故函数的图象不关于直线对称，A项错误;对于B项，当时，，故函数的图象不关于点对称，B项错误;对于C项，因为，将其图象向左平移个单位长度可得函数的图象，故C项正确;对于D项，因为，所以，所以当，即时，单调递减，D项错误.12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生了解抛物线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.联立抛物线与直线方程利用根与系数的关系可求得的值可判断A；求得直线PA和PB的斜率可得到直线PA和PB的方程可判断B；联立两直线方程可得到点P的坐标可判断C；由点P 和点F坐标可得到直线PF的斜率，由点A和点B坐标可得到直线AB的斜率，可判断【解答】解：设，，联立，可得，解得或，不妨设，，则，，故，，，A项正确;又因为，所以，故直线PA的斜率为，直线PA的方程为，即，同理可得直线PB的方程为，，所以，B项正确；联立可得，故点P的坐标为，C项错误；易知点F的坐标为，，所以，D项正确.13.【答案】2【解析】【分析】本题考查等比数列性质的应用，注意对数运算法则的灵活运用，属于基础题.由等比数列的性质可得，由对数的运算可得要求的式子，代入计算对数的值即可．【解答】解：由题意可得故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查向量的夹角，向量的坐标运算，属于基础题.设，得到，令，求解即可.【解答】解：设，得到，令，联立，解得，或，取答案不唯一15.【答案】【解析】【分析】本题考查平面与球的截面问题，要求考生了解正四面体与球的特征，会根据空间中的垂直关系求出截面圆的直径.根据题目条件得到截面为圆，并得到直径AE的大小即可求解.【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，过点P作平面ABC于点E，由正四面体的特征可知，点E为AD上靠近点D的三等分点.因为PA为球O的直径，平面ABC，，所以平面ABC截球O所得截面的直径为因为，所以，故平面ABC截以PA为直径的球所得截面面积为16.【答案】【解析】【分析】本题考查根据不等式恒成立求参数范围，利用导数研究函数最值，数形结合的思想解决问题，属于较难题.将不等不等式进行转化为，利用导数法可证，再进行放缩，，可得答案.【解答】解：由可得，因为，所以令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，即当且仅当时取等号，故，当且仅当时取等号.在同一坐标标系中画出与的图象，如图所示，可知两函数在之间有一个交点，故存在，使得成立，故，故，即实数a的取值范围为故答案为17.【答案】解：在中，由正弦定理可得，，，由余弦定理可得，解得，，，又因为，，在中，由余弦定理可得，所以，因为，又因为，所以【解析】本题考查正弦定理和余弦定理.属于中档题.在中，由正弦定理可解得BE，再根据余弦定理解得CE；根据可得，在中，用余弦定理解得EA，再根据余弦定理可解得，根据，得出的结果.18.【答案】解：因为甲、乙两人投票方案相同的概率为所以甲、乙两人投票方案不相同的概率为的所有可能取值为3，4，5，6，因为，，所以X的分布列如下：X3456P所以【解析】本题以脱贫攻坚与乡村振兴为情境.要求考生运用所学独立事件的概率与离散型随机变量及其分布等必备知识解答相关问题.主要考查获取信息.运用所学知识解决实际问题的能力，体现了数学运算与数据分析的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求.先计算出甲乙投票方案相同的概率，即可求出不相同的概率;得到X所有可能的取值，算出概率后列出分布列，即可求出数学期望.19.【答案】解：当时，当时，可得，所以，，当时，也符合，故；由知，当n为偶数时，当n为奇数时，所以【解析】本题考查数列的通项与分组求和，要求考生掌握求常见数列的通项的方法，能根据数列特征选取恰当的方法求和，属于常考题.分和两种情况求解即可；分类讨论n为偶数与奇数，分组求和即可.20.【答案】解：存在，且取线段AB的中点H，BC的中点为G，连接EH、HG、，，四边形AHEF是平行四边形，又平面AFC，平面AFC，平面、G分别为AB、BC的中点，是的中位线，，平面AFC，平面AFC，平面又，HG、平面EHG，平面平面平面EHG，平面AFC；设，由，可得，以E为坐标原点，EB、EC、EF所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题可知，，，，，，设平面AFC的法向量为，则令，得，，所以平面AFC的一个法向量为，设平面AFD的法向量为，则令，得，所以平面AFD的一个法向量为，由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为【解析】本题考查线面平行的证明，考查利用空间向量求二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．取线段AB的中点H，BC的中点为G，连接EH、HG、EG，由平面AFC，平面AFC，可得平面平面AFC，又平面EHG，则平面AFC；建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值，即可得.21.【答案】解：由题意得，解得，所以双曲线C的方程为存在定值，使得，与同向，，，易知的斜率不为0，设：，由消去x整理得：，设，，由交双曲线C左右两支于A、B两点，有，即，则，，由于，可设：，由消去x整理得：，设，，，由此，，故存在定值，使得【解析】考查双曲线的标准方程及圆锥曲线中的探索性问题，属于较难题利用双曲线性质列出关于a和b的方程组，解该方程组，直接写出双曲线的方程；若存在定值，使得，则，设出的方程，分别与双曲线联立，用设而不求法表示出和，求出22.【答案】解：函数的定义域为，当时，，在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.，又，则令，即方程在上有解.令，，则，，则，当时，，在上单调递减，又，则在上恒成立，不合题意;当时，，令，可知该方程有两个正根，因为方程两根之积为1且，所以当时，当时，则时，，而令，则，令，，则在上单调递减，，则在上单调递减，，即，故存在，使得，故满足题意.综上所述，实数a的取值范围是【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数中存在性问题以及参数的取值范围问题，分类讨论思想，考查逻辑推理能力，属于较难题．求导，通过分类讨论，解关于导函数的不等式即可求得单调区间；根据题意，化简变形已知，构造新函数，利用导数求解即可．。

2022年新高考数学模拟试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{|lg(1)0}A x x =+>，{|(1)0}B x x x =->，则A B =( )A.(0,)+∞B.(1,)+∞C.(,0)(1,)-∞+∞D.(1,0)(1,)-+∞2.设复数z 满足(1i)2i z -=，则||z =( ) A.122 2D.23.过焦点为F 的抛物线212y x =上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若||10NF =，则||MF =( ) A.163B.253C.283D.3234.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去的新鲜度h 与其采摘后的时间t （天）满足的函数关系式为t h m a =⋅，若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%的新鲜度（已知lg20.3≈，结果取整数）( ) A.23天B.33天C.43天D.50天5.若圆锥1SO ，2SO 的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为442则这两个圆锥重合部分的体积为( ) A.8π3B.8πC.56π356163+ 6.为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年4月25日为“创建文明城·生态志愿行”为主题的生态活动日.现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有( ) A.50种B.60种C.70种D.80种7.已知函数π()2sin()10,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，函数()f x 的单调递减区间为( ) A.ππππ,12343k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B.ππ2π,2π124k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC.ππππ,123123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D.ππ2π,2π124k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z8.设02m<，已知函数31250()16x x f x m-+=，对于任意1x ，2[2,]x m m ∈-，都有()()121f x f x -，则实数m 的取值范围为( )A.5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022新高考数学模拟试题一．选择题（共8小题）1．若z ＝5﹣2i （i 是虚数单位），则z 2﹣4z =（ ） A ．1﹣12iB ．1﹣28iC ．﹣1﹣12iD ．﹣1+28i2．已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，AB ＝2AD ＝4，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为等边三角形，则球面O 的表面积为（ ） A ．32π3B ．32πC ．64πD ．64π33．已知α，β为锐角，tan α＝2，cos β=2√55，则tan （α﹣2β）＝（ ） A ．13B ．−13C ．211D ．8114．已知函数f （x ）＝3sin x +4cos x 的图象与直线y ＝m 恒有公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[﹣7，7] B ．[﹣5，5]C ．[﹣4，4]D ．[﹣3，3]5．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为12，直线y ＝kx 与该椭圆交于A 、B 两点，分别过A 、B 向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于（ ） A ．±32 B ．±23C ．±12D ．±26．已知tanθ+1tanθ=4，则sin 4θ+cos 4θ＝（ ） A ．38B ．12C ．34D ．787．若函数f （x ）＝lnx +ax 2﹣2在区间（12，2）内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2]B ．（−18，+∞）C ．（﹣2，−18）D ．（﹣2，+∞）8．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（ ） A ．38B ．310C ．311D ．35二．多选题（共4小题）9．某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加“网络安全知识竞赛”，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A ．乙的成绩的极差为7B ．甲的成绩的平均数与中位数均为7C ．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D ．甲从第二次到第三次成绩的上升速率要大于乙从第六次到第八次的上升速率 10．已知函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象向右平移π4个单位长度得y ＝g （x ）的图象，则下列关于函数f （x ）和g （x ）的说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）与g （x ）有相同的周期B ．函数f （x ）的图象与函数g （x ）的图象的对称中心一定不同C ．若函数g （x ）的图象在[−π2，π2]上至少可取到两次最大值1，则ω≥2D ．若ω＝2，则函数g （x ）与函数f （x ）在[0，π2]上具有相同的单调性11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0和圆O ：x 2+y 2＝r 2，则（ ） A ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直 B ．直线l 恒过定点（2，0） C ．若r ＞4，则直线l 与圆O 相交D ．若r ＝4，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为(2√3，8]12．在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝1，BD =√2，三棱锥A ﹣BCD 的所有顶点均在球O 的表面上，若点M 、N 分别为△BCD 与△ABD 的重心，直线MN 与球O 的表面相交于F 、G 两点，则 （ ） A ．三棱锥A ﹣BCD 的外接球表面积为3π B ．点O 到线段MN 的距离为√33C ．|FG |=2√63D ．|FG |：|MN |＝2√3 三．填空题（共4小题） 13．若函数f （x ）={x 3，x ⩽t ，x 2，x ＞t是R 上的增函数，则实数t 的取值范围是 ．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F （O 为坐标原点），过点F 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，若|F A |﹣|FB |=83，则△OAB 的面积为 ．15．函数f(x)=2e xe x +e−x +sinx （e 为自然对数的底数）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值之和等于 ．16．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，a n ＝k ，当且仅当2k ≤n ＜2k +1，k ∈N ，若满足a m +a 2m +a 4m +a 8m +a 16m ≥52，则m 的最小值为 ． 四．解答题（共6小题）17．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 5＝17，a 2a 4＝16． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n ＞1609a n ，求n 的最小值．18．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV ）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是p （0＜p ＜1）．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择： 方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测； 方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若p ＝0.01，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．（附：0.992≈0.98，0.993≈0.97，0.994≈0.96．）19．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且√3a sin C ＝c cos A +c ． （1）求A ；（2）在①△ABC 的面积为√3，②△ABC 的周长为6+2√3，③c−1cosB=√32，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：已知b ＝2，___．20．如图，在棱柱ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为平行四边形，CD ＝2AD ＝4，∠BAD =π3，且D ′在底面上的投影H 恰为CD 的中点．（1）过D ′H 作与BC 垂直的平面α，交棱BC 于点N ，试确定点N 的位置，并说明理由；（2）若二面角C ′﹣BH ﹣A 为3π4，求棱柱ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的体积．21．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，△AF 1F 2是面积为4的直角三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O ：x 2+y 2=83上任意一点P 处的切线l 交椭圆C 于点M ，N ，问：PM →⋅PN →是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由． 22．已知函数f （x ）＝e ax lnx ﹣x +1（a ∈R ）． （1）当a ＝0时，求f （x ）的单调区间；（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：∵z＝5﹣2i，∴z2−4z=(5−2i)2−4(5+2i)=1−28i．故选：B．2．【解答】解：令△P AD所在圆的圆心为O1，则圆O1的半径r=2√3 3，因为平面P AD⊥底面ABCD，所以OO1=12AB＝2，所以球O的半径R=4+(2√33)2=√3，所以球O的表面积＝4πR2=64π3．故选：D．3．【解答】解：∵β为锐角，cosβ=2√5 5，∴sinβ=√1−cos2β=1−(2√55)2=√55，∴tanβ=sinβcosβ=√552√55=12，又∵tan2β=2tanβ1−tan2β=2×121−14=43，∴tan(α−2β)=tanα−tan2β1+tanα⋅tan2β=2−431+83=211．故选：C．4．【解答】解：根据三角函数的辅助角公式，则f（x）＝3sin x+4cos x=√32+42sin(x+φ)=5sin（x+cosφ），即cosφ=3 5，∴f（x）的值域为[﹣5，5]，∵直线y＝m与f（x）恒有公共点，即y＝m与函数f（x）相交，则m取值介于最小值和最大值之间，∴m∈[﹣5，5]，故选：B．5．【解答】解：由题可知，不妨设A、B两点的坐标分别为（﹣c，﹣kc），（c，kc），∵A 、B 均在椭圆上，∴c 2a 2+k 2c 2b 2=1，又椭圆的离心率为12，∴ca=12，∴cb=√a 2−c 2=√4c 2−c 2=√3，∴14+k 23=1，解得k =±32．故选：A ．6．【解答】解：由tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin 2θ+cos 2θsinθcosθ=1sinθcosθ=4，得sinθcosθ=14，∴sin 4θ+cos 4θ＝（sin 2θ+cos 2θ）2﹣2sin 2θcos 2θ ＝1﹣2×116=78． 故选：D ．7．【解答】解：f ′（x ）=1x+2ax ， 若f （x ）在区间（12，2）内存在单调递增区间， 则f ′（x ）＞0在x ∈（12，2）有解，故a ＞(−12x2)min ， 而g （x ）=−12x2在（12，2）递增， g （x ）＞g （12）＝﹣2， 故a ＞﹣2， 故选：D ．8．【解答】解：需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，B 表示“另一名主任医师被选派”， P （A ）=C 11C 42C 32C 53C 42+C 43C 11C 31C 53C 42+C 22C 42C 31C 53C 42=45，P （AB ）=C 22C 42C 31C 53C 42=310，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：P （B |A ）=P(AB)P(A)=31045=38．故选：A ．二．多选题（共4小题）9．【解答】解：对于A ，将乙十次的成绩从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以乙的成绩的极差为8，故选项A 错误；对于B ，甲的十次成绩从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7，平均数为7，故选项B 正确；对于C ，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，所以甲的方差小于乙的方差，故选项C 错误；对于D ，从折线图可以看出，甲从第二次到第三次成绩的上升速率要大于乙从第六次到第八次的上升速率，故选项D 正确． 故选：BD ．10．【解答】解：函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象向右平移π4个单位长度得y ＝g （x ）＝sin （ωx −ωπ4）的图象， 显然，f （x ）和g （x ）有相同的周期2π，故A 正确；令x ＝0，可得f （x ）＝g （x ）＝0，故（0，0）是f （x ）与g （x ）的对称中心，故B 错误；若函数g （x ）的图象在[−π2，π2]上至少可取到两次最大值1，则2πω≤π2+π2，即ω≥2，故C 正确；若ω＝2，则函数g （x ）＝sin （2x −π2）＝﹣cos2x 在[0，π2]上单调递增，函数f （x ）＝sin2x 在[0，π2]上没有单调性，故D 错误，故选：AC ．11．【解答】解：对于A ，直线l 0：x ﹣2y +2＝0的斜率为12，则当k ＝﹣2时，满足直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直，故A 正确；对于B ，由l ：kx ﹣y +2k ＝0，得k （x +2）﹣y ＝0，令{x +2=0−y =0，解得{x =−2y =0，∴直线l 恒过定点（﹣2，0），故B 错误；对于C ，若r ＞4，则直线l 所过定点（﹣2，0）在圆O 内部，则直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于D，若r＝4，则直线l被圆O截得的弦长的最大值为8，最小值为2√42−22=4√3，即直线l被圆O截得的弦长的取值范围为[4√3，8]，故D错误．故选：AC．12．【解答】解：如图所示，三棱锥A﹣BCD可放在边长为1的正方体中，故外接球球心即为正方体的中心．所以R=√32，S=4πR2=3π，所以A选项说法正确．设E为CD中点，因为点M，N分别为BE，BO的远离B点的三等分点，故|MN|=23|OE|=23×12|AC|=√23；在△OBE中，|OB|=√32，|OE|=√22，|BE|=√52，由勾股定理得BO⊥OE，又MN∥OE，所以MN⊥OB，故点O到线段MN的距离为|ON|=13|OB|=√36，所以B选项说法错误．|FG|=2√R2−|ON|2=2√63，|FG|：|MN|=2√63：√23=2√3，所以C、D选项说法正确．故选：ACD．三．填空题（共4小题）13．【解答】解：函数f（x）={x3，x⩽t，x2，x＞t是R上的增函数，则有t3≤t2且t≥0，即t2（t﹣1）≤0，解得0≤t≤1，所以实数t的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．14．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，由|F A|﹣|FB|=83，可得AB的斜率存在，设为k，k≠0，过F的直线AB的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线的方程y2＝4x联立，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，可得x 1+x 2＝2+4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义可得|AF |﹣|BF |＝x 1+1﹣x 2﹣1＝x 1﹣x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√(2+4k2)2−4=83，解得k ＝±√3，即有直线AB 的方程为y ＝±√3（x ﹣1）， 可得O 到直线AB 的距离为d =|√3|√1+3=√32， |AB |＝x 1+x 2+2＝2+43+2=163， 所以△ABO 的面积为S =12d •|AB |=12×√32×163=4√33． 故答案为：4√33． 15．【解答】解：f(x)=2e x e x +e −x +sinx ⇒f(x)−1=e x −e −xe x +e−x +sinx ，设h （x ）＝f （x ）﹣1，x ∈[﹣1，1]，则ℎ(−x)=e −x −e x e −x +e x +sin(−x)=−e x −e −xe x +e −x −sinx =−ℎ(x)，所以h （x ）为奇函数， h ′（x ）＝f ′（x ）=4e 2x(e 2x +1)2+cos x ＞0，因此函数h （x ）在x ∈[﹣1，1]上单调递增．∴h （x ）的最大值和最小值之和＝h （1）+h （﹣1）＝0， 故f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值之和为2． 故答案为：2．16．【解答】解：不妨设2k ≤m ＜2k +1，k ∈N *，m ∈N *， 由题意可得，a m ＝k ， 因为2k +1≤2m ＜2k +2， 所以a 2m ＝k +1，同理可得，a 4m ＝k +2，a 8m ＝k +3，a 16m ＝k +4，…所以a m +a 2m +a 4m +a 8m +a 16m ＝k +（k +1）+（k +2）+（k +3）+（k +4）＝5k +10， 因为a m +a 2m +a 4m +a 8m +a 16m ≥52， 所以5k +10≥52， 解得k ≥425，又k ∈N *， 所以k 的最小值整数解为9，故m 的最小值为29＝512．故答案为：512．四．解答题（共6小题）17．【解答】解：（1）∵数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 5＝17，a 2a 4＝16，∴a 1a 5＝a 2a 4＝16，设数列{a n }的公比为q （q ＞1），由{a 1+a 5=17a 1a 5=16，解得{a 1=1a 5=16，或{a 1=16a 5=1（舍）， 又a 5=a 1q 4，∴q ＝2，则数列{a n }的通项公式为a n =2n−1；（2）∵S n =a 1(1−q n )1−q =1−2n 1−2=2n −1，∴S 2n =22n−1，∵S 2n ＞1609a n ，∴9（22n ﹣1）＞80×2n ，即（9×2n +1）（2n ﹣9）＞0，∴2n ﹣9＞0，又n ∈N *，∴正整数n 的最小值为4．18．【解答】解：（1）记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件A ，则P （A ）=C 21C 21C 21A 22A 43=23． （2）当P ＝0.01时，每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99．若选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行X 1＝3400次核酸检测．若选择方式二，记每个4口之家检测次数为ξ2，则ξ2可能取值为2，4，6，其分布列为ξ22 4 6 P 0.994 C 21(1−0.992)×0.992 （1﹣0.992）2Eξ2=2×0.994+4×C 21(1−0.992)×0.992+6×(1−0.992)2=6−4×0.992=2.08．故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望EX 2＝850E ξ2＝1768次． 若选择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为ξ3，则ξ3可能取值为1，5．其分布列为ξ31 5 P 0.994 1﹣0.994故选择方式三每个4口之家检测次数的期望为Eξ3=1×0.994+5(1−0.994)=5−4×0.994≈1.16故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望为EX 3＝850×1.16≈986次． 显然EX 3＜EX 2＜EX 1由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测成本．19．【解答】解：（1）因为 √3a sin C ＝c cos A +c ，利用正弦定理可得√3sin A sin C ＝sin C cos A +sin C ，因为sin C ≠0，可得√3sin A ＝cos A +1，所以sin （A −π6）=12，因为A ∈（0，π），A −π6∈（−π6，5π6）， 所以A −π6=π6，可得A =π3．（2）若选①，因为△ABC 的面积为√3，则12×2×c sin π3=√32c =√3，得c ＝2， 则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos π3=4，得a ＝2，则三角形为等边三角形，故B =π3；若选②，△ABC 的周长为6+2√3，A =π3，b ＝2，可得a +c ＝4+2√3，由余弦定理得a 2＝4+c 2﹣2×2c cos π3，即a 2＝4+（4+2√3−a ）2﹣2×（4+2√3−a ）， 解得a ＝2√3，由2√3sin π3=2sinB ，得sin B =12， 由a ＞b ，可得B =π6；若选③，c−1cosB =√32，则c ﹣1=√32cos B =√32×a 2+c 2−42ac ， 又由余弦定理得，a 2＝4+c 2﹣2c ，代入上式得c ﹣1=√32×c 2−c ac =√32×c−1a ，得c ﹣1＝0或√32a=1，即a =√32，若c＝1，则B＝90°（舍），若a=√32，由sin B=√3a=2，可知三角形不存在，因此满足③的三角形不存在．20．【解答】解：（1）当点N为BC中点时，符合题目要求．证明如下：分别连接NH，ND′在△HNC中，NH=√NC2+CH2−2NC⋅CH⋅cos π3=√3，∴HC2＝NC2+HN2，∴∠HNC=π2，∴NH⊥BC，∵D′在底面上的投影H恰为CD的中点，∴D′H⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴D′H⊥BC，∵NH⊥BC，D′H∩NH＝H，D′H，NH⊂平面D‘HN，∴BC⊥平面D‘HN，∴点N即为所求，平面D′HN即为α．（2）由（1）知HN⊥BC，HN∥DB，AD∥BC，∴AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，∵CD＝2AD＝4，∠BAD=π3，且D′在底面上的投影H恰为CD的中点．∴B（0，2√3，0），C（﹣2，2√3，0），H（﹣1，√3，0），设D ′H ＝t ，则C ′（﹣3，3√3，t ），BH →=（﹣1，−√3，0），BC′→=（﹣2，√3，t ），设平面BHC ′的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅BH →=−x −√3y =0m →⋅BC′→=−2x +√3y −tz =0，取x =√3，得m →=（√3，﹣1，−3√3t ），平面ABH 的法向量n →=（0，0，1），∵二面角C ′﹣BH ﹣A 为3π4， ∴cos 3π4=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−3√3t√4+27t 2，解得t =3√32， ∴棱柱ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的体积为：V ＝S 四边形ABCD ×D 'H ＝AD ×DB ×D ′H ＝2×2√3×3√32=18． 21．【解答】解：（1）由A 为椭圆的上顶点，△AF 1F 2是面积为4的直角三角形．可得：12•2c •b ＝4，且b ＝c ， 解得：b ＝c ＝2，所以a 2＝2b 2＝8，所以椭圆的方程为：x 28+y 24=1；（2）当切线l 的斜率不存在时，其方程x ＝±2√63，将x =2√63代入椭圆的方程：x 28+y 24=1得y ＝±2√63，设M （2√63，−2√63），N （2√63，2√63）， 又P （2√63，0），所以PM →•PN →=−83， 同理可得x =−2√63，也有PM →•PN →=−83，当切线l 的斜率存在时，设方程为：y ＝kx +m ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线l 与圆O ：x 2+y 2=83相切，所以√1+k 2=2√63，即3m 2＝8+8k 2，联立{y =kx +m x 28+y 24=1，整理可得：（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，又因为PM →•PN →=（PO →+OM →）•（PO →+ON →）＝|PO →|2﹣（OM →+ON →）•OP →+OM →•ON →=−|PO →|2+ON →•OM →，又OM →•ON →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=(1+k 2)(2m 2−8)1+2k 2+−4k 2m 21+2k 2+m 2=3m 2−8k 2−81+2k 2，因为3m 2＝8+8k 2，所以OM →•ON →=0，综上所述：PM →•PN →=−83．22．【解答】解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝lnx ﹣x +1，得f ′（x ）=1x −1，（x ＞0）， 当0＜x ＜1时，f ′（x ）=1x −1＞0；当x ＞1时，f ′（x ）＜0， 所以f （x ）的单调增区间为（0，1），单调减区间为[1，+∞）．（2）由（1）知当a ＝0时，f （x ）的单调增区间为（0，1），则f （x ）＜f （1）＝0符合题意；当a ＞0时，x ∈（0，1），则e ax ＞1，lnx ＜0，所以e ax lnx ＜lnx ，由（1）知f （x ）＝lnx ﹣x +1＜f （1）＝0，所以e ax lnx ＜lnx ＜x ﹣1，故f （x ）＜lnx ﹣x +1＜0成立，则a ＞0成立；当a ＜0时，由f ′（x ）＝e ax （alnx +1x ）﹣1，x ∈（0，1），令g （x ）＝alnx +1x ，则g ′（x ）=ax−1x 2＜0， 所以g （x ）在x ∈（0，1）上单调递减，得g （x ）＞g （1）＝1，又y ＝e ax ∈（0，1）且为减函数，所以f ′（x ）＝e ax g （x ）﹣1为减函数，又f ′（1）＝e a ﹣1＜0，故设f ′（x 0）＝0，当x 0＜x ＜1时，有f ′（x ）＜0，所以f （x ）在（x 0，1）为减函数， 则有f （x 0）＞f （1）＝0，故a ＜0不符合题意，综上所述：a ≥0．。

2023届新高考开学数学摸底考试卷第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}22740A xx x =--≤∣，{}3B x x =<，则A B = （）A ．()2,3-B ．(]2,3-C ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭2．设复数z 满足)()2i 1i z =+，则z =（）A ．12B ．2C ．2D ．13．关于命题，下列判断正确的是（）A ．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B ．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C ．命题“4,x x ∀∈∈R R ”的否定为“400,x x ∃∈∉R R ”D ．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”4．已知函数()()(),(0)23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．()0,1a ∈B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭5．函数()f x =的奇偶性为（）A ．奇函数B ．既是奇函数也是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数6．已知点P 是ABC △所在平面内一点，且PA PB PC ++=0uu r uu r uu u r，则（）A ．1233PA BA BC=-+B ．2133PA BA BC=+C ．1233PA BA BC=--D ．2133PA BA BC=-7．已知实数x 、y 满足约束条件001x y mx y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，其中1m <-，若目标函数y y x m =-的最大值为2，则m =（）A ．2-B ．2-或32-C ．2-或12D ．32-8．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（）A ．630种B ．600种C ．540种D ．480种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，则下列说法中正确的是（）A ．由样本数据得到的回归方程y bx a =+$$$必过样本中心()x y B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为09362r =-．，则变量y 和x 之间具有线性相关关系10．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a 的截角四面体，则下列说法正确的是（）A．该截角四面体的表面积为2B．该截角四面体的体积为312a C ．该截角四面体的外接球表面积为211π2aD ．该截角四面体中，二面角A BC D --的余弦值为1311．已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有（）A ．9100a a ⋅<B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >12．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线22x y =的焦点的直线l 与该抛物线的两个交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则（）A ．1214y y =B ．以AB 为直径的圆与直线12y =-相切C ．OA OB +的最小值D ．经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点一定在定直线上第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_________．14．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222b c a +=，则cos A 的最小值为________．15．过圆()222:0O x y rr +=>外一点()2,0引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于33±，则r 的值为_________．16．设函数21()x f x x+=，()x x g x e =，则函数()(0)x x g x x e =>的最大值为_______；若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x kk ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin A A b =．（1）求角B 的大小；（2）若2a c +=，求b 的取值范围．18．（12分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足11a =，22112()n n n n a a a a ++=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记b{}n b 的前n 项和S n ．19．（12分）某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组[0.4,0.2)--[0.2,0)-[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）以表中y 的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查．若采访的企业的增长率[0.4,0.2)y ∈--，则采访价值为1；采访的企业的增长率[0.2,0)y ∈-，则采访价值为2；采访的企业的增长率[0,0.6)y ∈，则采访价值为3．设选取的两个企业的采访价值之和为X ，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为梯形，平面SCD ⊥平面ABCD ，90BAD ADC SCD ∠=∠=∠=︒，112AB AD CD ===．（1）求证：平面SBD ⊥平面SBC ；（2）若二面角A SB C --的余弦值为20-，求SC 的长度．21．（12分）已知圆()2122:1F x y r ++=与圆()()()2222141:3F x y r r -+=-≤≤的公共点的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）设点A 为圆2212:7O x y +=上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q 两点．试问：AP AQ ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．（12分）已知函数ln ()xf x x=．（1）若直线1y kx =-是曲线()y f x =的切线，求实数k 的值；（2）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式ln ()1af x ax x≤--成立，求实数a 的取值集合．2022届新高考开学数学摸底考试卷20答案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】由22740x x --≤，即(21)(4)0x x +-≤，得142x -≤≤，集合1,42A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，由3x <，得29x <，即33x -<<，集合()3,3B =-，由数轴表示可得1,32A B ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭，故选D．2．【答案】D【解析】)()22i 1i 12i i 2i z-=+=++=，)2iiii 13i 222z +∴===-，因此，1z =，故选D ．3．【答案】C【解析】A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A 错；B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B 错；C 选项，命题“4,x x ∀∈∈R R ”的否定为“400,x x ∃∈∉R R ”，故C 正确；D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D 错，故选C ．4．【答案】C【解析】由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数()()(),(0)23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩为R 上的减函数，可得0120123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩，解得304a <≤，故选C ．5．【答案】D【解析】由2sin 10x -≥，即sin 12x ≥，得函数定义域为52π,2ππ66π()k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数，故选D ．6．【答案】D【解析】由题意，PA BA PB -= ，PA AC PC +=，而PA PB PC ++=0uu r uu r uu u r，∴3PA BA AC -+=0，又AC BC BA =- ，即32PA BA BC -+=0，∴2133PA BA BC =- ，故选D ．7．【答案】A【解析】因为实数x 、y 满足约束条件001x y mx y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，所以可根据约束条件绘出可行域，如图所示，其中1,11m A m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，11,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，(),0P m ，因为目标函数yz x m=-的几何意义是可行域内的点(),x y 与(),0P m 所连直线的斜率，所以目标函数yz x m=-的最大值为2，即1211PAmm k m m +==-+，整理得22320m m +-=，解得2m =-或12（舍去），故选A ．8．【答案】C【解析】把6名工作人员分成1，1，4三组，再安排到三个村有1143654322C C C 651A 32190A 21⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯种；把6名工作人员分成2，2，2三组，再安排到三个村有2223642333C C C A A 90=种；把6名工作人员分成1，2，3三组，再安排到三个村有12336533654C C C A 32136021⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯种，所以共有9090360540++=种，故选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】ABD【解析】A ．由样本数据得到的回归方程y bx a =+$$$必过样本中心()x y ，故正确；B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；D ．若变量y 和x 之间的相关系数为09362r =-．，r 的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故正确，故选ABD ．10．【答案】ABC 【解析】如图所示：由正四面体S NPQ -中，题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，故22233446344S a a a =⨯+⨯⨯=，A 正确；∵棱长为a 的正四面体的高63h a =，∴223136136232(3)(3)434334312V a a a a =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=，B 正确；设外接球的球心为O ，ABC △的中心为O '，NPQ △的中心为O ''，626633a a a -=，2222263R O C R O H a '''--=22222633a R R a a -+-=，22222633a R a R a -=-，∴2222222846333a R a R a R a -=+--⋅-，∴22118R a =，∴22114ππ2S R a ==，C 正确；易知二面角S BC A --为锐角，所以二面角A BC D --的余弦值为负值，D 错误，故选ABC ．11．【答案】AD【解析】数列{}n a 是公比q 为23-的等比数列；{}n b 是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012(3a a =-，∴21791012()30a a a ⋅=<-，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由1010a b >，不能求得b 10的符号，故C 错误；由99a b >且1010a b >，则812()1283a d >-+，912(1293a d >-+，可得等差数列{}n b 一定是递减数列，即0d <，即有910b b >，故D 正确，故选AD ．12．【答案】ABD【解析】抛物线的焦点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为12y kx =+，联立2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2210x kx --=，所以122x x k +=，121x x =-，()21212121y y k x x k +=++=+，()2121212121111122244y y kx kx k x x k x x ⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；以AB 为直径的圆的圆心为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即21,2k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径为2121122AB y y k ++==+，所以圆心到直线12y =-的距离为2211122k k ++=+，等于半径，所以以AB 为直径的圆与直线12y =-相切，即B 正确；当直线AB 与x 轴平行时，52OA OB ==，OA OB =<+，所以OA OB +的最小值不是，故C 错误；直线OA 的方程为1112y x y x x x ==，与2x x =的交点坐标为122,2x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为12122x x =-，所以经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点在定直线12y =-上，故D 正确，故选ABD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】60【解析】二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式通项为()633622166C 12C 2rrr r r r r x T x---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令3302r -=，解得2r =，则常数项为()222612C 60-⋅⋅=，故答案为60．14．【答案】12【解析】22222222221cos 222b c a a a a A bc b c a +--=≥==+，当且仅当b c a ==时等号成立，故答案为12．15．【解析】211sin sin 22AOB S OA OB AOB r AOB =∠=∠△，当90AOB ∠=︒时，AOB △的面积最大，此时圆心O 到直线AB的距离2d r =，设直线AB 方程为()2y k x =-，213k =，则22d r ==，所以2224112k r k =+，再将213k =代入，求得r =．16．【答案】1e ，121k e ≥-【解析】()()0x x g x x e => ，()21()x x x x x e x e xg x e e '⋅-⋅-'∴==，由()0g x '>，可得01x <<，此时函数()g x 为增函数；由()0g x '<，可得1x >，此时函数()g x 为减函数，()g x ∴的最大值为1(1)g e=；若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x kk ≤+恒成立，则等价为()()121g x kf x k ≤+恒成立，211()2x f x x x x +==+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，即()f x 的最小值为2，且()g x 的最大值为1(1)g e=，则12()()g x f x 的最大值为1122e e =，则由112k k e ≥+，得()211k e -≥，即121k e ≥-，故答案为1e ，121k e ≥-．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3B =；（2）[)1,2b ∈．【解析】（1）由()sin A A b =sin sin cos C B A B A =+，()sin sin cos A B B A B A +=，cos sin sin sin cos A B A B B A B A =，cos sin sin A B A B =，∴tan B =∵()0,πB ∈，∴π3B =．（2）∵2a c +=，π3B =，∴222222cos a c b c cc a B a a =+=-+-()223434312a c a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭（当且仅a c =时取等号），又2b a c <+=，∴[)1,2b ∈．18．【答案】（1）21n a n =-；（2）12n n S =．【解析】（1）由题意，得()22112n n n n a a a a ++-=+，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，又数列{}n a 的各项均为正数，即10n n a a ++≠，则12n n a a +-=，∴{}n a 的公差为2，而11a =，故21n a n =-．（2）由（1）知21212n b ===，∴)12112n n S b b b ⎡⎤=+++=-++++⎣⎦2112=．19．【答案】（1）45%；（2）0.02；（3）分布列见解析，235．【解析】（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为3024100%45%120+⨯=．（2）这120个企业产值增长率的平均数1(0.3300.1240.1400.3160.510)0.02120y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）依题意可得[0.4,0.2)y ∈-的概率为3011204=，[0.2,0)y ∈-的概率为2411205=，[0,0.6)y ∈的概率为4016101112020++=．X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，111(2)4416P X ==⨯=；111(3)24510P X ==⨯⨯=；1111163(4)242055200P X ==⨯⨯+⨯=；11111(5)252050P X ==⨯⨯=；1111121(6)2020400P X ==⨯=，则X 的分布列为X 23456P116110632001*********故()11631112123234561610200504005E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．20．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】（1）由题意，在底面梯形ABCD 中，因为90BAD ADC ∠=∠=︒且1AB AD ==，2CD =，可得BD BC ==，又由2CD =，所以222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥，又因为平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD 平面ABCD CD =，且SC CD ⊥，SC ⊂平面SCD ，所以SC ⊥上平面ABCD ，又由BD ⊂平面ABCD ，所以BD SC ⊥，因为SC BC C = 且,SC BC ∈平面SBC ，所以BD ⊥平面SBC ，又因为BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SBC ．（2）由（1）知SC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴，CS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,1,0)A ，(1,1,0)B ，(2,0,0)D ，设(0)SC h h =>，所以(0,0,)S h ，可得(1,0,0)BA = ，(1,1,)BS h =-- ，(1,1,0)BD =-，由（1）得BD ⊥平面SBC ，所以平面SBC 的一个法向量为(1,1,0)BD =-，设平面ABS 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BA BS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，可得00x x y hz =⎧⎨--+=⎩，令1z =，可得(0,,1)h =n ，则320cos ,20BD 〈〉==-n ，解得3SC =，即3SC =．21．【答案】（1）22143x y +=；（2）是，127-．【解析】（1）设公共点为P ，则1PF r =，24PF r =-，12124PF PF F F +=>，即公共点P 的轨迹为椭圆，且24a =，∴2a =，又1c =，∴23b =，故曲线22:143x y E +=．（2）方法一：当直线PQ斜率不存在时，:PQ x =代入E得y =127AP AQ ⋅-= ，易知OP OQ ⊥；当直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，PQ 与圆O()221217r m k =⇒=+，将PQ 方程代入E ，得()2224384120k x kmx m +++-=，∴122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，()()()()221212121212121OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()()2222222222141271218434343k m m k k m m k k k +--+=-+=+++，将()221217m k =+代入，得0OP OQ ⋅= ，即OP OQ ⊥，综上，恒有OP OQ ⊥，2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=- ．法二：当直线PQ斜率不存在时，:PQ x =E得y =2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=- ；当直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，∵PQ 与圆Or =，即()221217m k =+．将PQ 方程代入E ，得()2224384120k x kmx m +++-=，∴122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，AP ==1==+，同理可得2AQ =+，故()221212712127k AP AQ m x x km x x =+++∣，将122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，及()221217m k =+代入，可得127AP AQ ⋅=．综上2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=- ．22．【答案】（1）1k =；（2）{1}．【解析】（1）因为ln ()(0)x f x x x =>，所以21ln ()xf x x -'=，设切点为000ln ,x P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，此时切线方程为()000200ln 1ln x x y x x x x --=-，又直线1y kx =-过(0,1)-，所以()000200ln 1ln 10x x x x x ---=-，即002ln 10x x +-=，令()2ln 1h x x x =+-，则(1)0h =，且()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以方程002ln 10x x +-=有唯一解01x =，所以1k =．（2）不等式ln ()1af x ax x≤--恒成立，即不等式2ln ln 0ax x x a ---≥恒成立．方法1：令2()ln ln F x ax x x a =---，则221()ax x F x x--'=，令2()210G x ax x =--=，因为0a >，所以180Δa =+>，所以()0G x =有两个不等根1x ，2x ，12102x x a=-<，不妨设120x x <<，所以()F x 在()20,x 上递减，在()2,x +∞上递增，所以()()2min 2222()ln F x F x ax x ax ==--．由()2222210G x ax x =--=，得22212x ax x +=，所以()222211ln 22x x F x x -+=-，所以22211ln 022x x x -+-≥，令111()ln ln 2ln(1)222x x xH x x x x -+-=-=+-+，则(1)(2)()2(1)x x H x x x -+'=-+，所以()H x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0H x H ≤=，又()20F x ≥，所以()20F x =，所以21x =，所以1a =，所以，实数a 的取值集合为{1}．方法2：令2()ln ln F x ax x x a =---，则10()F F x a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，所以1x a =是函数()F x 的极值点，所以10F a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即1a =，此时，2()ln F x x x x =--，221(1)(21)()x x x x F x x x---+'==，所以()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．所以min ()(1)0F x F ==，符合题意，所以，实数a 的取值集合为{1}．。

2022届高三模拟数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A 、集合{}2,3,,B a b =，且{}3,4A B =，则下列结论正确的是（ ）A. 有可能8a b +=B. 8a b +≠C. 8a b +<D. 8a b +>【答案】B 【解析】【分析】由交集结果和集合中元素的互异性可知8a b +≠. 【详解】{}2,3,,B a b =，{}3,4A B =，4B ∴∈，若4a =，由集合中元素互异性知：4b ≠，8a b ∴+≠； 若4b =，同理可知：4a ≠，8a b ∴+≠； 综上所述：8a b +≠. 故选：B.2. 下列角中终边与340︒相同的角是（ ） A. 20︒ B. 20-︒C. 620︒D. 40-︒【答案】B 【解析】【分析】根据终边相同的角的集合表示即可得出答案.【详解】与340︒角终边相同的角的集合为{}340360,x x k k Z =︒+⋅︒∈， 当1k =-时，可得20x =-︒. 故选：B ． 3. “12k =”是“函数()()4log 41xf x kx =+-为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断以“12k =”和“函数()()4log 41xf x kx =+-为偶函数”分别为题设和结论，结论和题设的两个命题的真假即可得解. 【详解】当12k =时，()()4log 41x f x kx=+-，其定义域为R ，4411()()log (41)log (41)022x x f x f x x x ---=++-++=，所以()f x 为偶函数；当()()4log 41xf x kx =+-是偶函数时，44()()log (41)log (41)0x xf x f x kx kx ---=++-++=，则有210k -=，解得12k =，即()f x 为偶函数时，12k =， 所以“12k =”是“()f x 为偶函数”的充要条件， 故选：C.4. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边为x 轴的非负半轴，若点(1,2)P -是角α终边上的一点，则tan(2)πα-等于（ ） A. 34-B. 43-C.34D.43【答案】B 【解析】【分析】由三角函数的定义可求tan α的值，再利用诱导公式及二倍角正切公式可求. 【详解】解：由题意，得tan 2α，从而222tan 2(2)4tan(2)tan 21tan 1(2)3απααα⨯--=-=-=-=----，故选：B.5.已知sin cos αα-=，()0,απ∈，则tan α=（ ） A. 1-B. 2-C.2D. 1【答案】A 【解析】【分析】已知式平方后求得sin cos αα，再与已知联立解得sin ,cos αα，然后由商数关系得tan α．【详解】因为sin cos αα-=所以222(sin cos )sin 2sin cos cos 12sin cos 2αααααααα-=-+=-=，1sin cos 2αα=-，由sin cos 1sin cos 2αααα⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，解得sin 2cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以sin tan 1cos ααα==-． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查同角间的三角函数关系，在用平方关系求值时，一般要确定角的范围，以确定函数值的正负．本题中实质上是sin cos αα-取得的是最大值，因此求解时没有出现两解的情形． 6. 如图是函数sin()(0,0,02)y A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象，则该函数图象与直线2021xy =的交点个数为（ ）A. 8083B. 8084C. 8085D. 8086【答案】C 【解析】【分析】根据图象可知函数的解析式sin 2y x π=-，然后根据112021x-≤≤并作出图象进行判断即可. 【详解】由函数的局部图象可得，周期1414T =⨯=，所以22,1A Tπωπ===， 故sin(2)y x πϕ=+， 当14x =时，2sin 14πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则cos 1ϕ=-， 因为02ϕπ<<，故ϕπ=，故sin(2)sin2y x x πππ=+=-， 令112021x-≤≤得20212021x -≤≤， 如图所示：观察图象可知，函数sin 2y x π=-和函数12021y x =的图象共有20212218085⨯⨯+=个交点． 故选：C7. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为(),f x '且当0x ＞时，()()ln 0f x f x x x'⋅+>，则不等式()()210xf x -<的解集为（ ）A. ()1,1－B. (),1()0,1∞⋃－－C. ,11,()()∞⋃∞－－＋ D. 1,0),()(1⋃∞－＋【答案】B 【解析】【分析】构造新函数()()ln g x f x x =，利用导数确定()g x 的单调性，从而可得0x >时()f x 的正负，利用奇函数性质得出0x <时()f x 的正负，然后分类讨论解不等式． 【详解】设()()ln g x f x x =，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， 又(1)0g =，所以1x >时，()()ln (1)0g x f x x g =>=，此时ln 0x >，所以()0f x >，01x <<时，()()ln (1)0g x f x x g =<=，此时，ln 0x <，所以()0f x >，所以(0,1)(1,)x ∈+∞时，()0f x >，因为()f x 奇函数，所以(,1)(1,0)x ∈-∞--时，()0f x <，由2(1)()0x f x -<得210()0x f x ⎧->⎨<⎩或210()0x f x ⎧-<⎨>⎩，所以1x <-或01x <<．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数解不等式，关键是构造新函数()()ln g x f x x =，利用导数确定单调性后，得出()0f x >的解． 8. 已知实数,,a b c ∈R 满足ln ,1a b c a b cb e e e==->，则,,a b c 大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b c a >> D. b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】先分析得到1,1,0a b c >><，再构造函数利用导数比较,a b 的大小即得解. 【详解】1,0,0,0,b c b c b c b c e e>∴>∴->∴<∴>， ln 0,ln 0,1a b a ba a a c e e =>∴>∴>∴>，， ln ab a b e e= 设()(1)x xf x x e=>， 所以1()=0xxf x e -'<， 所以函数()f x 在1)∞（，+单调递减， 设ln ()(1),()ln (1),xx xg x x h x x x x e-=>=->所以11()10,()(1)0,ln 0x h x h x h x x x x-'=-=>>=∴->， 所以ln ln ln ()0,,x x x a a b x x x x a a bg x e e e e e e-=>∴>∴>=， 因为函数()f x 在1)∞（，+单调递减， 所以a b <， 故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是两次构造函数，第一次是构造函数()(1)x xf x x e=>，得到函数()f x 在1)∞（，+单调递减，第二次是构造函数ln ()(1),()ln (1),x x x g x x h x x x x e -=>=->得到ln x x x xe e>.在解答函数的问题时，经常要观察已知条件构造函数解决问题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，2b =，sin sin 2B A =，则（ ）A. sin 9B =B. 1cos 3A =-C. 3c =D. ABC S ∆=【答案】ACD 【解析】【分析】由二倍角公式结合正弦定理的角化边公式求出cos A ，sin A ，sin B ，cos B ，进而由和角公式得出cos C sin cos A A =，进而得出3c a ==，最后求出三角形面积.【详解】因为sin sin 2B A =，所以sin 2sin cos B A A =，2cos b a A =.又3a =，2b =所以1cos 3A =，sin 3A =，sin 9B =.又b a <，所以7cos 9B = ()cos cos cos cos C A B A B =-+=-+1sin sin cos 3A B A ==，所以3c a ==11sin 23223ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△故选：ACD .【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用正弦定理的角化边公式求出1cos 3A =. 10. 若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（ ）A.32B. C. 3 D.92【答案】AB 【解析】 【分析】首先由条件可知命题的否定是真命题，参变分离后，转化为最值问题求λ的取值范围. 【详解】由条件可知1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥是真命题，即22112x x x xλ+≤=+，即min 112,,22x x x λ⎛⎫⎡⎤≤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 设()112,22f x x x x ⎡⎤=+≥=∈⎢⎥⎣⎦等号成立的条件是112,222x x x ⎡⎤=⇒=∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x的最小值是即λ≤AB. 故选：AB【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是写出特称命题的否定，第二个关键是参变分离，转化为函数的最值求参数的取值范围.11. 设函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为曲线E ，则（ ） A. 将曲线sin 2y x =向右平移3π个单位长度，与曲线E 重合 B. 将曲线sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合 C. ,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是曲线E 的一个对称中心 D. 若12x x ≠，且()()120f x f x ==，则12x x -的最小值为2π【答案】BD 【解析】【分析】A ：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可； B ：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可； C ：根据正弦型函数的对称性进行判断即可； D ：根据正弦型函数的零点进行判断即可； 【详解】A ：曲线sin 2y x =向右平移3π个单位长度， 得到函数2sin 2()sin(2)sin(2)sin(2)3333y x x x x πππππ=-=-=-+=-+， 显然该函数的图象与曲线E 不重合，故本说法不正确； B ：由曲线sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故本说法正确；C ：因为()sin 101263f πππ⎛⎫-=--=-≠ ⎪⎝⎭，所以点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是该函数的对称中心，故本选项不正确； D ：由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得2()()326k x k k Z x k Z ππππ-=∈⇒=+∈ 因为()()120f x f x ==，所以111()26k x k Z ππ=+∈，222()26k x k Z ππ=+∈， 所以12122x x k k π-=-，因为12x x ≠，12,k k Z ∈，所以12k k -的最小值为1，即12x x -的最小值为2π，故本选项正确， 故选：BD12. 关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ） A. 当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x = B. 若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a = C. 对任意0a >，()0f x ≥恒成立D. 当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项.【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解，即y a =与()sin xxg x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sinx g x e-=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确； 对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos xxa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<， ()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为4204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为4204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以42a e π-≥时，()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当42a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确；对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD.【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 请写出一个函数()f x =___________，使之同时具有如下性质：①x ∀∈R ，()(4)f x f x =-，②x ∀∈R ，(4)()f x f x +=.【答案】cos 2x π【解析】【分析】根据①②可知函数是周期函数且关于2x =对称，即可求解. 【详解】性质①②分别表示()f x 关于直线2x =对称和以4为周期， 答案不唯一，写出一个即可， 例如()cos2f x x π=，故答案为：()cos2f x x π=14. 法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数()y f x =满足如下条件： （1）在闭区间[],a b 上是连续不断的； （2）在区间(),a b 上都有导数．则在区间(),a b 上至少存在一个数ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，其中ξ称为拉格朗日中值．则()x g x e =在区间[]0,1上的拉格朗日中值ξ=________．【答案】()ln 1e - 【解析】【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得1e e ξ=-，进而求得ξ的值即可.【详解】()xg x e =，则()xg x e '=，所以()g e ξξ'=，由拉格朗日中值的定义可知，()()()10110g g g e ξ-'==--，即1e e ξ=-， 所以()ln 1e ξ=-． 故答案为: ()ln 1e -.【点睛】本题考查函数与导数的简单应用，新定义的理解和应用，属于基础题． 15. 已知02πα<<，62sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 212πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】50【解析】【分析】先求出sin 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再求sin 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭与cos 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，观察发现221234πππαα⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由和角公式展开即可求解【详解】62sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3sin 65πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，02πα<<，663πππα∴-<-<，4cos 65πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭，3424sin 2sin 22sin cos 236665525ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=--=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2247cos 2cos 22cos 121366525πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=--=⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦24725225250=⨯+⨯=16. 若函数()y f x =的定义域存在()1212,x x x x ≠，使()()1212f x f x +=成立，则称该函数为“互补函数”.函数()()12)sin()0323f x x x ππωωω=--+>，则当3ω=时，()3f π=______；若()f x 在[],2ππ上为“互补函数”，则ω的取值范围为___________. 【答案】 ①. 0 ②. 9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的图象与性质，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()12cos()sin()cos()sin 232336f x x x x x ππππωωωω=--+=--=， 当3ω=时，()sin3f x x =，可得()sin 03f ππ==；令t x ω=，则函数sin y t =在区间[,2]ωπωπ上存在两个极值点，则2ππω≤，可得2ω≥，当222T ππω=⨯≤时，即4ω≥，显然符合题意；当52πωπ≤时，即52ω≤时，922πωπ≥，即94ω≥，所以9542ω≤≤当542ππωπ>>，即52ω>时，1322πωπ≥，即134ω≥，所以1344ω≤<， 综上可得，ω的取值范围是9513[,][,)424+∞. 故答案为：9513[,][,)424+∞. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合|0x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,ππ|tan 2,0,,44B y y a x a a x ⎧⎫⎛⎫==+>∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭. （1）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围； （2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）[)10,4,6⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先化简两个集合，将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，再比较两个集合的端点进行求解；（2）比较两个集合的端点进行求解. 【小问1详解】x≤216x≤，即142x<≤，故1{|}24A x x=<≤，因为ππ,44x⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0a>，所以tan(,)a x a a∈-，即{|3}B y a x a=<<；因为x A∈是x B∈的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以1234aaa>⎧⎪⎪≥⎨⎪≤⎪⎩，解得：1423a≤≤，故a的取值范围为14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】因为A Bφ⋂=，所以132aa>⎧⎪⎨≤⎪⎩或4aa>⎧⎨≥⎩，解得：16a<≤或4a≥，故a的取值范围为[)10,4,6⎛⎤⋃+∞⎥⎝⎦.18.在①2sin cos cos cos3a C c B Cb C-=；②4cos4c B b a+=，这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题目．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________．（1）求sin C；（2）已知5a b+=，△ABC，求△ABC的边AB上的高h．【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）若选①，由所选边角关系式，边化角，经过三角恒等变换可求得sin C 的值；若选②，由所选边角关系式，角化边，利用余弦定理可求得sin C 的值.（2）由（1）中所得sin C 的值及△ABC 的外接圆半径可求得c ，由余弦定理及完全平方和公式可得ab ，最后由等面积法可求得△ABC 的边AB 上的高h . 【小问1详解】 若选①:2sin cos cos cos C c B C b C -=得2sin sin sin cos cos sin cos 3A C CBC B C -=，即sin cos (sin cos sin cos )3A C C CB BC =+，整理得sin cos sin()3A C C C B =+，即sin cos sin 3A C C A =， 因为sin 0A >，解得tan C =(0,)C π∈，解得sin C =.故sin C =. 若选②:由余弦定理得222442a c b c b a ac+-+=化简得22212a b c ab +-=，所以2221cos 24a b c C ab +-==，因为(0,)C π∈，解得sin C =故sin C =【小问2详解】 若选①:则sin 2C =，1cos 2C =，由正弦定理得2sin 4c R C ===， 由余弦定理得2222222cos 16()3c a b ab C a b ab a b ab =+-⇒=+-=+-， 又因为5a b +=，所以16253ab =-， 解得3ab =，由△ABC 的面积11sin 22S ab C AB h ==⨯⨯得sin 8ab C h c ==.故8h =. 若选②：则sin C =1cos 4C =，由正弦定理得2sin c R C === 由余弦定理得222222152cos 20()22c a b ab C a b ab a b ab =+-⇒=+-=+-， 又因为5a b +=，所以520252ab =-， 解得2ab =，由△ABC 的面积11sin 22S ab C AB h ==⨯⨯得sin ab C h c ==故4h =. 19. 已知函数()e 1x f x x ax =--的图像在1x =处的切线方程为(2e 1)y x b =-+. （1）求实数,a b 的值； （2）若函数()ln ()f x xg x x-=，求()g x 在(0,)+∞上的最小值. 【答案】（1）1a =，e 1b =-- （2）0 【解析】【分析】(1)结合已知条件，利用导函数的几何意义即可求解；(2)首先对()g x 求导得，2'2e ln ()x x x g x x +=，再令2()ln x h x x e x =+，求()h x 的单调性，并利用零点存在基本定理确定存在()h x 存在唯一的零点0x 和0x 满足的关系式，进而得到()g x 的单调区间，利用其单调小即可求得最值. 【小问1详解】 因为()'(1)e x x fx a +=-，所以()'12e f a =-. 由已知条件可知，2e 2e 1a -=-，解得1a =.， 故()e 1xf x x x =--，从而()1e 2f =-，结合切线方程可知，e 2(2e 1)1b -=-⨯+，解得e 1b =--. 【小问2详解】结合(1)中结论可知，ln 1e 1e ln 1()x x x x g x x x x x ---+=--=，0x >， 则2'22ln ln ()e e x xx x xg x x x +=+=，记2()ln x h x x e x =+，则'2e 1()2e 0x xh x x x x=++>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增， 又e 1122e 11()()1e 1e e0e h -=-=-<，(1)0h e =>，故存在01(1)e,x ∈，使得0()0h x =，即0200n e l x x x =-，即001ln 001e ln e x x x x =⋅，解得001ln x x =，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，'()0g x <；当0(,)x x ∈+∞，()0h x >，'()0g x >， 从而()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为0000ln 1()e 1x x g x x +=--， 因为001ln x x =，所以000000000ln 1ln 111()e 11e 10x xx x x x g x x x x +--+-=--=-=-=， 所以()g x 最小值为0.20.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>. （1）当03ω<<时，函数()()3y f x f x πω=--的图象关于直线512x π=对称，求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）若()f x 的图像向右平移3π个单位得到的函数()g x 在[,]2ππ上仅有一个零点，求ω的取值范围．【答案】（1）0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）512ω≤< 【解析】【分析】（1）化简函数()2sin()3f x x πω=+，得到2sin 3y x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，求得122,5k k Z ω=+∈，得到2ω=，得出()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而求得()g x 的单调增区间.（2）令()0g x =，求得33,k x k Z πππωω+-=∈，根据()g x 在[,]2ππ上仅有一个零点，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：因为()sin 2sin()(0)3f x x x x ωπωωω=+>=，所以()()2sin 2sin 33f x f x x y x ππωωω⎛=--=-+⎫ ⎪⎝⎭ sin sin coscos sin32232x x x ππωωω--=2(21sin )sin 23x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由2sin 3y x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线512x π=对称，可得5sin 1312ππω⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，所以5,1232k k Z πππωπ-=+∈解得122,5k k Z ω=+∈， 又因03ω<<，所以当0k =时，2ω=.所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 又由[]0,x π∈，所以，0k =或1k =， 即()g x 在[]0,π上的单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【小问2详解】解：由已知得()2sin[()]33g x x ππω=-+，令()0g x =得(),33x k k Z ππωπ-+=∈，即33,k x k Z πππωω+-=∈，因为()g x 在[,]2ππ上仅有一个零点，所以332(1)33,2(1)33k k k Z k πππωππωπππωπωπππωπω⎧+-⎪≤≤⎪⎪⎪-+-⎪<∈⎨⎪⎪++-⎪>⎪⎪⎩， 由于0>ω，所以3162268,322k k k k ωωω-⎧≤≤-⎪⎪>-⎨⎪+⎪<⎩得6203162232682k k k k k ⎧⎪->⎪-⎪≤-⎨⎪+⎪-<⎪⎩，解得123k ≤<因为k Z ∈，所以1k =，所以512ω≤<.21. 已知函数()()ln 1cos f x x x mx =+++. （1）若0x =为()f x 的极值点，求实数m ；（2）若()1f x ≤在(]1,0-上恒成立，求实数m 的范围. 【答案】（1）1m =- （2）[1,)-+∞ 【解析】【分析】（1）求导，利用()00f '=求出1m =-，再二次求导，验证()f x '在0x =两侧的符号变化； （2）利用（1）结论讨论m 与1-的大小研究()f x 的符号，进而研究函数的最值即可求解.. 小问1详解】 解：因为()1sin 1f x x m x '=-++， 令()00f '=，则1sin 0001m -+=+， 所以1m =-. 即()()1sin 111f x x x x '=-->-+， 当10x -<<时，设()()1sin 11g x f x x x '==--+， 所以()()21cos 01g x x x '=--<+，故()f x '在(1,0)-上单调递减， 所以 ()()00f x f ''>=， 当0πx <<时，111x <+，sin 0x -<， 所以()0f x '<.终上所述，1m =-时，0x =为()f x 的极值点成立， 所以1m =-. 【小问2详解】 解：由（1）知()1sin 1f x x m x '=-++， 当10x -<<时，()f x '在(1,0)-上单调递减，()()01f x f m ''∴>=+，①1m ≥-时，()()010f x f m ''>=+≥，()f x 在(]1,0-上单调递增，所以()()01f x f ≤=，②1m <-时，因为()f x '在(]1,0-上单调递减，()00f '<；111sin 10f m m ⎛⎫⎛⎫'--=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴存在0(1,0)x ∈-使()00f x '=，即0(,0)x x ∈，()0f x '<，()f x 递减，当0(,0)x x ∈时，()()01f x f >=，与()1f x ≤矛盾. 综上：1m ≥-时，()1f x ≤在(]1,0-上恒成立. 所以实数m 的范围是[1,)-+∞. 22. 设函数()ln af x x x=+（a R ∈）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，求a 的取值范围，并证明：1221a x x <+<. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在0,上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 单调递减，在(),+∞a 单调递增 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由（1）可得()f x 的极小值点为x a =，则不妨设120x a x <<<，证明122x x a +>，即证：()()()1122f a x f x f x -<=，构造函数()()()()l 2ln 22n a ag x f a x f x a x a x xx =--=-+---，证明()0g x <即可，设21x tx =，1t >，则()()12ln 1ln ln 1t t x x t t t ⎛⎫++=- ⎪-⎝⎭，设()ln 1th t t =-，判断单调性可得()ln 1ln 1t t tt +<-，进而得证. 【小问1详解】 解：（1）由()ln a f x x x =+，0x >，可得()221a x a f x x x x '-=-=，0x >. 当0a ≤时，0fx，所以()f x 在0,上单调递增；当0a >时，令()20x afx x '-=>，得x a >，令()20x a f x x -'=<，得0x a <<， 所以()f x 在()0,a 单调递减，在(),+∞a 单调递增； 【小问2详解】证明：（2）因为函数()ln af x x x=+有两个零点，由（1）得0a >， 此时()f x 的递增区间为(),+∞a ，递减区间为()0,a ，()f x 有极小值()ln 1f a a =+. 所以()n 10l a f a =+<，可得1e a <.所以10ea <<. 由（1）可得()f x 的极小值点为x a =，则不妨设120x a x <<<. 设()()()()l 2ln 22n a ag x f a x f x a x a x xx =--=-+---，()0,∈x a ，可得()()()()222224110222a x a a ag x a x x x a x x a x ---'=--+=>---，()0,∈x a ， 所以()g x 在()0,a 上单调递增，所以()()0g x g a <=， 即()()20f a x f x --<，则()()2f a x f x -<，()0,∈x a ， 所以当120x a x <<<时，12a x a ->，且()()()1122f a x f x f x -<=. 因为当(),∈+∞x a 时，()f x 单调递增，所以122a x x -<，即122x x a +>.设21x tx =，1t >，则1122ln 0,ln 0,a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则1221ln ln x x t x x ==，即()1211ln ln ln ln ln x t x t tx t x t ===+. 所以1ln ln 1t tx t =--，所以()()()()()1211ln 1ln ln ln ln 1ln ln 1ln 111t t t t x x x t x t t t t t t +⎛⎫+=+=++=-++=- ⎪--⎝⎭. 设()ln 1th t t =-，则()()211ln 01t t h t t --'=<-，所以()h t 在1,上单调递减，所以()ln 1ln 1t t tt +<-，所以()12ln 0x x +<，即12 1.x x +< 综上，1221a x x <+<.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

高考模拟试题数学20222022年高考数学模拟试题一、选择题部分（本部分共50分，每题2分，共25小题）1. 设集合$A=\{1,2,3,4,5\}$，集合$B=\{3,4,5,6,7\}$，则$A \cupB=$____。

A. $\{1,2,3,4,5,6,7\}$B. $\{1,2,3,4,5\}$C. $\{3,4,5,6,7\}$D.$\{3,4,5\}$2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_5=11$，则$a_{10}=$____。

A. 19B. 21C. 23D. 253. 若函数$f(x)=x^2+3x+2$，则$f(-2)=$____。

A. 2B. 3C. 6D. 74. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边长为____。

A. 5B. 6C. 7D. 85. 若$P(3,4)$是圆心为$O(0,0)$的圆上一点，则该圆的方程为____。

A. $x^2+y^2=25$B. $x^2+y^2=64$C. $x^2+y^2=16$D.$x^2+y^2=9$6. 若$a+b=5$，$a-b=1$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=$____。

A. 1B. 3C. 5D. 77. 函数$y=2x^2+3x-1$的对称轴方程为____。

A. $y=x$B. $y=-x$C. $y=\frac{3}{2}x$D. $y=-\frac{3}{2}x$8. 若$4\sin \theta = 3\cos \theta$，则$\tan \theta=$____。

A. $\frac{3}{4}$B. $\frac{4}{3}$C. $\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$9. 若$|x-2|+|x-3|+|x-4|=6$的解集为$[a,b]$，则$a+b=$____。

A. 1B. 2C. 4D. 510. 函数$y=2^x$的反函数为____。

2022年高考临考模拟卷（四）数学（新高考卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设全集U =R ，集合{}21A x x =-≤，{}240xB x =-≥，则集合()UAB =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,2【答案】C2．已知复数z 满足()()12i i 1z z +=+，则z =（ ） A ．11i 22+B ．11i 22-C ．1i +D ．1i -【答案】A3．设平面向量()()1,2,2,a b y ==-，若//a b 则3a b +=（ ）A B CD ．【答案】A4．若不等式1x a -<的一个充分条件为01x <<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．0a ≥C ．1a >D ．1a ≥【答案】D5．25()x x y ++的展开式中52x y 的系数是（ ） A ．10 B ．20C ．30D ．40【答案】C6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有（ ） A ．202项 B ．203项 C ．204项 D ．205项【答案】B7．已知ABC 中，3AB AC ==，BC =BC 为旋转轴旋转360︒得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A ．27π B ．272πC ．278πD ．274π【答案】D8．已知椭圆2222:0()x y C a b a b+＞＞的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，过点F 与x 轴垂直的直线与直线AB 交于点P .若线段OP 的中点在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果X 服从正态分布()75,81N ，其中检测结果在60以上为体能达标，90以上为体能优秀，则（ ） 附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，()220.9544P μσξμσ-<<+=，()330.9974P μσξμσ-<<+=.A ．该校学生的体能检测结果的期望为75B ．该校学生的体能检测结果的标准差为81C ．该校学生的体能达标率超过0.98D ．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等 【答案】AD10．设函数()2si 0)n 3(f x x πωω=+，＞，下列说法正确的是（ ）A ．当2ω=时，()f x 的图象关于直线π12x =对称 B ．当12ω=时，()f x 在[0]2π，上是增函数C ．若()f x 在[0]π，上的最小值为2-，则ω的取值范围为76ω≥D ．若()f x 在[0]π-，上恰有2个零点，则ω的取值范围为43ω≥ 【答案】AC11．网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H ，作第二个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q ，作第三个正方形MNPQ ，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形ABCD 的边长为a 1，后续各正方形的边长依次为a 2，a 3，…，an ，…；如图阴影部分，设直角三角形AEH 面积为b 1，后续各直角三角形面积依次为b 2，b 3，…，bn ，….下列说法正确的是（ ）A ．正方形MNPQ 的面积为2516B ．14n n a -=⨯⎝⎭C ．使不等式14n b >成立的正整数n 的最大值为4 D ．数列{}n b 的前n 项和4n S < 【答案】BCD12．已知函数()e ()ln R xf x a x x a x=⋅-+∈，若对于定义域内的任意实数s ，总存在实数t 使得()()f t f s <，则满足条件的实数a 的可能值有（ ）A ．-1B ．0C ．1eD ．1【答案】AB二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为___________.（用数字作答） 【答案】14414．已知抛物线2:4C y x =，点P 为2x =-的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则点(0,1)M 到直线AB 的距离的最大值为___________.15．设函数()2e ,024,0x x f x x x x ⎧->=⎨++⎩，若()()4f f a ＝，则a ＝___________.【答案】ln216．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点，点P 在正方体表面上运动，且满足MP CN ⊥，点P 轨迹的长度是___________.【答案】(2a 四、解答题17．在①sin sin B C +=②10cos cos 9B C +=，③5b c +=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，sin A =，___________，求ABC 的面积.选择条件①：依题意，5sin sin sin 3B C A +==，在ABC 中，由正弦定理sin sin sin A B Ca a c ==得，553b c a +==， 由余弦定理得：22222()8cos 1122b c a b c a A bc bc bc+-+-==-=-，若A 为锐角，则1cos 3A ===，则8113bc -=，则6bc =，又5b c +=，解得2,3b c ==或3,2b c ==，即有ABC 的面积为11sin 6223bc A =⨯⨯=若A 为钝角，则1cos 3A ==-，则8113bc -=-，有12bc =，又5b c +=，无解，舍去，综上可得，ABC 的面积为选择条件②：因为10cos cos 9B C +=，由余弦定理得：22222210229a cb a bc ac ab +-+-+=， 整理得：()()222222209b a c b c a b c abc +-++-=，即()22220()29b c a b c bc abc +--+=， 而2222cos a b c bc A --=-，则()()10101cos 93b c A a +-==，若A 为锐角，则1cos 3A ===，有5b c +=， 由余弦定理得：22222()8cos 1122b c a b c a A bc bc bc+-+-==-=-， 则有6bc =，又5b c +=，解得2,3b c ==或3,2b c ==，即有ABC 的面积为11sin 622bc A =⨯=若A 为钝角，则1cos 3A ==-，则532b c a +=<=，舍去，综上可得，ABC 的面积为③因为5b c +=，由余弦定理22222()8cos 1122b c a b c a A bc bc bc+-+-==-=-，若A 为锐角，则1cos 3A ===，则8113bc -=，则6bc =，又5b c +=，解得2,3b c ==或3,2b c ==，即有ABC 的面积为11sin 622bc A =⨯=若A 为钝角，则1cos 3A ==-，则8113bc -=-，有12bc =，又5b c +=，无解，舍去，综上可得，ABC 的面积为18．若数列{}n a 满足：11a =，25a =，对于任意的*n N ∈，都有2169n n n a a a ++=-.(1)证明：数列{}13n n a a +-是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式. 【解析】(1)由2169n n n a a a ++=-，得()211139333n n n n n n a a a a a a ++++=--=-， 且213532a a -=-=，所以数列{}13n n a a +-为等比数列，首项为2，公比为3 (2)由（1）得11233n n n a a +-=⨯-，等式左右两边同时除以13n +可得：11132339n n n n a a +++-=，即112339n n n n a a ++-=， 且11133a =， 所以数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为13，公差为29，所以()122113399n n a n n +=+-⨯=， 所以()()22132139n n n n a n -+=⨯=+⨯.19．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．(1)证明：OA CD ⊥；(2)已知OCD 是边长为1的等边三角形，且三棱锥A BCD -E 在棱AD 上，且二面角E BC D --的大小为45︒，求DEEA． 【解析】(1)证明：因为AB AD =，O 为BD 的中点，所以OA BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，OA ⊂平面ABD ， 所以OA ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥， (2)取OD 的中点F ，因为OCD 为等边三角形，所以CF OD ⊥， 过O 作OM ∥CF ，与BC 交于M ，则OM OD ⊥， 由（1）可知OA ⊥平面BCD ，因为,OM OD ⊂平面BCD ，所以,OA OM OA OD ⊥⊥，所以,,OM OD OA 两两垂直，所以以O 为原点，,,OM OD OA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为OCD 是边长为1的等边三角形，O 为BD 的中点，所以22BCDOCDSS===， 因为三棱锥A BCD -所以1133BCDSOA ⋅==，所以1OA =，所以1(0,0,1),(0,1,0),,0,(0,1,0)2A B C D ⎫-⎪⎪⎝⎭，设DEt EA =（0t >），则DE tEA =，则10,,11t E t t ⎛⎫ ⎪++⎝⎭因为OA ⊥平面BCD ，所以(0,0,1)OA =是平面BCD 的一个法向量， 设平面BCE 的一个法向量为(,,)n x y z =， 因为332,,0,0,,2211t t BC BE t t ⎛⎫+⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以330222011n BC x y t t n BE y z t t ⎧⋅=+=⎪⎪⎨+⎪⋅=+=⎪++⎩，令x =1y =，2t z t +=-，所以2(3,1,)t n t+=--， 因为二面角E BC D --的大小为45︒，所以cos ,3OA n OA n OA n⋅===，化简得2214t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2t =或23t =-（舍去），所以2DEEA=，20．某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔.为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良”、“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项目的选拔，否则该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔.通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模社团.现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”、“良”、“中”的概率分别为16，2p ，3p ，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立. (1)求甲同学能进入到数学建模社团的概率；(2)设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过X 个项目，求X 的概率分布及数学期望. 【解析】(1)该同学在每个项目中得优、良、中互为互斥事件，由题意得，11623p p++=，解得1p =，则甲在每个项目中通过的概率都为12623p +=，设事件A 为甲能进入到数学建模社团，因甲在每个项目中通过的概率都为23，且在每个项目中的成绩均相互独立，则有2228()33327p A =⨯⨯=， 所以甲能进入到数学建模社团的概率为827. (2)X 的可能取值为0，1，2，3，1(0)3P X ==，212(1)339P X ==⨯=，2214(2)33327P X ==⨯⨯=，2228(3)33327P X ==⨯⨯=，则X 的概率分布为：所以X 的数学期望124838()012339272727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．已知函数()1ln x f x x+=. (1)求()f x 在1x =处的切线方程； (2)当e x ≥时，不等式()ekf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； 【解析】(1)()2211ln ln x xf x x x--'==-，()10f '∴=，又()11f =， ()f x ∴在1x =处的切线方程为1y =；(2)当e x ≥时，由()e k f x x ≥+得：()()()()e 1ln e x x k x f x x++≤+=， 令()()()e 1ln x x g x x++=，则()2eln x x g x x -'=，令()eln h x x x =-，则()e e1x h x x x-'=-=， ∴当e x ≥时，()0h x '≥，()h x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()e e elne 0h x h ∴≥=-=，()0g x '∴≥，()g x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()()2e 1ln e e 4eg x g +∴≥==， 4k ∴≤，即实数k 的取值范围为(],4∞-.22．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点)且渐近线方程为y x =±.(1)求a ，b 的值；(2)点A ，B ，D 是双曲线C 上不同的三点，且B ，D 两点关于y 轴对称，ABD △的外接圆经过原点O .求证：直线AB 与圆221x y +=相切.【解析】(1)22311a ba b ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得a b ==22:2C x y -=；(2)易知直线AB 一定不为水平直线，设为x my n =+，设()()()112222,,,,A x y B x y D x y -，联立222x y x my n ⎧-=⎨=+⎩，整理得()2221220m y mny n -++-=，则212221n y y m -=-，由于外接圆过原点且关于y 轴对称，设为220x y Ey ++=，则221112222200x y Ey x y Ey ⎧++=⎨++=⎩， 则()()()()2222222111222112,222y x yy xy y y y y +=++=+，则121y y =，则22212221,11n y y n m m -===+-，则原点到直线AB的距离1d ==，即证.。