因式分解 例题讲解及练习
【例题精选】：
（1）
3223220155y x y x y x ++ 评析：先查各项系数（其它字母暂时不看），确定5，15，20的最大公因数是5，确定系数是5 ，再查各项是否都有字母X ，各项都有时，再确定X 的最低次幂是几，至此确认提取X 2，同法确定提Y ，最后确定提公因式5X 2Y 。提取公因式后，再算出括号内各项。
解：3223220155y x y x y x ++
=
)431(522y xy y x -+ （2）
23229123y x yz x y x -+- 评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为3，且相同字母最低次的项是X 2Y
解:
23229123y x yz x y x -+- =
)3129(2223y x yz x y x +-- =)43(32223y x yz x y x +--
=)1423(32
+--xy y x
（3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)
评析：在本题中，y-x 和x-y 都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现，所以应提取y-x
解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)
=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)
=(y-x)(b-a)
（4） （4） 把343232x y x -分解因式
评析：这个多项式有公因式2x 3，应先提取公因式，剩余的多项式16y 4-1具备平方差公式的形式
解：343232x y x -=2)116(43-y x =2)14)(14(223+-y y x =)14)(12)(12(223++-y y y x （5） （5） 把8
27xy y x -分解因式
评析：首先提取公因式xy 2，剩下的多项式x 6-y 6可以看作2323)()(y x -用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。
对于x 6-y 6也可以变成3232)()(y x -先运用立方差公式分解，但比较麻烦。
解：827xy y x -
=xy 2(x 6-y 6)= xy 2
[2323)()(y x -]=))((33332y x y x xy +- =))()()((22222y xy x y x y xy x y x xy +-+++-
（6）把2
236)(12)(z z y x y x ++-+分解因式
评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y)代换完全平方公式中的a ，（6Z ）换公式中的
解：2236)(12)(z z y x y x ++-+
=22)6()6)((2)(z z y x y x ++-+=(x+y-6z)2 （7） （7） 把4
2222222)2(2)2(21y y y x y x +---分解因式
评析：把x 2-2y 2和y 2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x 2-2y 2和y 2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。 解：4
2222222)2(2)2(21y y y x y x +--- =])2(2)2(2)2[(2122222222y y y x y x +∙--- =2
222222)4(21)22(21y x y y x -=-- =2
2)2()2(21y x y x -+
（8） （8） 分解因式a 2-b 2-2b-1
评析：初看，前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。
解：a 2-b 2-2b-1= a 2-(b 2-2b+1)=a 2-(b+1)2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1)
一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”。四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。
（9） （9） 把a 2-ab+ac-bc 分解因式
解法一：a 2-ab+ac-bc=(a 2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)
解法二：a 2-ab+ac-bc=(a 2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c) =(a-b)(a+c)
（10） （10） 把y x xy x 33222--+分解因式
解法一：y x xy x 33222--+
=
)32)(()(3)(2)33()22(2-+=+-+=+-+x y x y x y x x y x xy x 解法二：
y x xy x 33222--+
=))(32()32()32()32()32(2
y x x x y x x y xy x x +-=-+-=-+-
说明：例（2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。（2）题解法一 1：1，解法二也是1：1；（3）题解法一是
1：1，解法二是2：（-3）
(11) 分解因式123+--x x x
评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组
解法一：123+--x x x
=)1()1()1()(223---=+-+-x x x x x x
=)1()1()1)(1)(1()1)(1(22+-=+--=--x x x x x x x 解法二：123+--x x x =
)1()1()1(2223---=+-+-x x x x x x =
)1()1()1)(1)(1()1)(1(22+-=-+-=--x x x x x x x 解法三：123+--x x x =)1()1)(1()()1(223+-+-+=+-+x x x x x x x x
=2
22)1)(1()12)(1()1)(1(-+=+-+=-+-+x x x x x x x x x
（12） （12） 分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c 2
评析：本题将（a-b ）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组
解：(a-b)2-1-2c(a-b)+c 2
=[(a-b)2-2c(a-b)+c 2]-1=[(a-b)-c]2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)
（13）分解因式8a 2-5ab-42b 2 8a -21b 解：8a 2-5ab-42b 2 a +2b
=(8a-21b)(a+2b) -21ab+16ab=-5ab
（14） （14） 分解因式a 6-10a 3+16
解：a 6-10a 3+16 a 3 -2
=( a 3-2)( a 3-8) a 3 -8
=( a 3-2)(a-2)(a 2+2a+4) -8a 3-2a 3 =-10a 3
（15） （15） 分解因式-x 2+x+30
解：-x 2+x+30 （先提出负号） x +5
=-( x 2-x-30) x -6
=-(x+5)(x-6) +5x-6x=-x
（16） （16） 分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7
解：12(x+y)2-8(x+y)-7 2(x+y) +1
