工程流体力学闻德课后习题答案 第五章 实际流体动力学基础
5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ´x 、p ´y 以及压应力p x 、p y 。
解：0y x xy yx u u x y ττμ∂⎛⎫
∂==+= ⎪∂∂⎝⎭
24x
x
u p a x
μμ∂'=-=-∂，24y y u p a y μμ∂'=-=∂， 4x x p p p p a μ'=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+
5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴方向作等速运动（如图
所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。（请将
d 0d p
x
=时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较）
解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。 由例５－1中的（11）式可得
2d (1)2d h y p y y
u v h x h h μ=-
- （１） 当d 0d p x =时，y u v h
=，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。 当
d 0d p
x
≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为
(1)u y y y
p v h h h
=-- （２） 式中2d ()2d h p
p v x
μ=
- （３） 当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况．
5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2
x
g u zh
z ，单宽流量
3
sin 3
gh q
。
解：（1）因是恒定二维流动，
0y x
z u u u t
t
t
，u u x =，0y u ，0z
u ，
由纳维——斯托克斯方程和连续性方程可得
2210x x u p f x z μρρ∂∂-+=∂∂，10z
p f z ρ∂-=∂，0x u x ∂=∂ sin x
f g ，cos z
f g 。因是均匀流，压强分布与x 无关，
0x
p
=∂∂，因此，纳维——斯托克斯方程可写成
22sin 0x u g z μθρ∂+=∂，
1cos 0p
g z
θρ∂--=∂ 因u x 只与z 方向有关，与x 无关，所以偏微分可改为全微分，则
22
d sin
0d x
u g z ，积分得
1d sin d x u g
z C z ρθμ
-=+， 212sin 2x g
u z C z C ρθμ=-++，当0z ，0x u ；h z =，d 0d x u z ，得1
sin g C h ，0C 2=，2sin sin 2x g g u z hz ρρθθμμ=-+，2sin (2)2
x g u zh z
（2）2
d sin (2)d 2
h h x g q
u z
zh z z
3
3
3
sin ()sin 2
33
g h gh h
。 5－4 设有两艘靠得很近的小船，在河流中等速并列向前行驶，其平面位置，如图a 所示。（1）试问两小船是越行越靠近，甚至相碰撞，还是越行越分离。为什么？若可能要相碰撞，则应注意，并事先设法避免。（2）设小船靠岸时，等速沿直线岸平行行驶，试问小船是越行越靠岸，还是越离岸，为什么？（3）设有一圆筒在水流中，其平面位置如图b 所示。当圆筒按图中所示方向（即顺时针方向）作等角转速旋转，试问圆筒越流越靠近D 侧，还是C 侧，为什么？
解：（1）取一通过两小船的过流断面，它与自由表面的交线上各点的2
2p
u z
g g
应相等。现两船间的流线较密，速度要增大些，压强要减小些，而两小船外侧的压强相对要大一些，致使将两小船推向靠近，越行越靠近，甚至可能要相碰撞。事先应注意，并设法避免、预防。
（2）小船靠岸时，越行越靠近岸，理由基本上和上面（1）的相同。
（3）因水流具有粘性，圆筒旋转后使靠D 侧流速增大，压强减小，致使越流越靠近D 侧。
5-5 设有压圆管流（湍流），如图所示，已知过流断面上的流速分布为71
max )(r y
u u =，
max u 为管轴处的最大流速。试求断面平均流速v （以u max 表示）和动能修正系数α值。
解：设17
n
， 0
max 02
000d 1()2()d r n A
u A Q y
v
u
r y y
A
A
r r max max 20.8167(1)(2)u u n n 0
333
2max 0max 00011d [()]2π()d 2π()3132
r n A
y u A
u r y y u r r n n 33d 1.058A
u A
v A
5－6 设用一附有水银压差计的文丘里管测定倾斜管恒定水流的流量，如图所示。已知
d 1 =0.10m ，d 2 =0.05m ，压差计读数h ＝0.04ｍ，文丘里管流量系数μ =0.98，试求流量Q 。
解：由伯努利方程得
22
111222
1222p v p v z z g g g g
ααρρ++=++ （１） 由连续性方程得
22
2122210.05(
)()0.250.1
d v v v v d === （２） 由压差计得 1122()p g z z z h p gz gh ρρρ+-++=++Hg
1212()()p p
z z g g
ρρ+-+()()g g h h g ρρρρρρ--==Hg
Hg 1212()()p p z z g g ρρ+-+136001000()12.61000
h h -== （３） 将式（２）（３）代入（１）得
22222
1221222
120.06250.9375()()2g 2g 2g 2g 2g p p v v v v v z z g g ρρ+-+=-=-=
2
2
0.937512.62g
v h =，212.60.0429.8m/s 3.246m/s 0.9375v ⨯⨯⨯=
= 2
233322ππ0.05 3.246m /s 6.3710m /s 44
-==⨯⨯=⨯d Q v
330.98 6.2410m /s Q Q Q 实μ-===⨯
5－7 设用一附有水银压差计的文丘里管测定铅垂管恒定水流流量，如图所示。已知d 1 =0.10m ，d 2 =0.05m ，压差计读数h ＝0.04ｍ，文丘里管流量系数µ =0.98，试求流量Q ．请
