向量的概念-课件ppt

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（3）向量的模是可以进行大小比较的;
向量是不能比较大小的.

|
a ||
b
|
a b
有意义 没有意义
作业： P80 B 1、2、3
8/17/2019
莒县四中高一数学组
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莒县四中高一数学组
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例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ 零向量 （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 零向量 （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 么向量？ 平行向量（共线向量） （6）两个非零向量相等应满足什么条件？
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单击动画演示 CB DO FE
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课堂 小结
向量
向量的定义 向量的表示
字母表示 几何表示
向量的模与零向量
三种向量关系
相等向量 相反向量
注意：(1)向量无大小， 但其模有大小；
平行的向量
(2)平行的向量与零向量、
与所在直线平行或重合.
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3、向量之间的关系
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量.
表示：a //b

相等的向量
如图所示：一个向量平行移动后，所得向量与原向量相等.
※零向量和单位向量都是相等的
如图，表示平面上的六个平行四边形，问图中哪些向量分别与向量 相等？那些向量与它们互为相反向量？
(1)平行向量是否一定方向相反?(2)不相等向量是否一定不平行?(3)与零向量相等的向量是什么向量?(4)与任何向量都平行的向量是什么向量?(5)若两向量在同一直线上,则它们是什么?(6)非零向量相等的充要条件是什么?(7)共线向量一定在一条直线上吗?
作业：P80 B 1、2、3
感谢阅读
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向量的概念
do
something
本章知识结构图
C
A
B
老鼠由A处向东以每秒6米的速度逃窜，而猫由B处以每秒10米的速度追击. 若B处在A处东8米，问猫能否抓到老鼠？ 若能，如何在最短的时间内抓到老鼠？
一千吨的棉花和一千吨的铁谁更重？
两个问题
重量相等
向量的概念与数量的区别
既有大小又有方向的量叫向量.
（6）两个非零向量相等应满足什么条件？
（7）共线向量一定在同一直线上．
×
×
零向量
零向量
平行向量（共线向量）
模相等且方向相同
×
例2 下列情形中,向量终点构成什么图形?
(1)把所有单位向量移到同一个起点;(2)把平行于某一直线的所有单位向量平移到同一起点;(3)把平行于一直线的一切向量平移到同一起点;

数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
BACK 24
在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终
点分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
正确的有：（4）
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练习:
E
F
（2）与向量DF的模一定相等的向 B
量有_5_个,分别是___F_D_,E__B_,B_E_,_E_A_,_A_E__；
D
C
（3）与向量DE相等的向量有_2_个,
分别是___C_F_,__F_A___。
BACK
30
如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：
a
b
记做：a// b// c
c
e
f
那么e与 f 之间是什么关系？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？
10
三：向量之间的关系
4.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量
D
A
记作：AB DC
B
C
相反向量的定义：我们把与a 长度相等，方向相反的
向量叫做a 的相反向量. 记做：- a
a
c
b
c= -a a = -c

向量
.
1
引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所Байду номын сангаас研究的向量。
.
2
新课：
1、向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
2、下面我们来学习向量的表示方法：
一般的，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假 设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有 方向的线段叫做有向线段。
B 以 A为起点，B为终点的有向线段记作 AB
注意：起点一定要写在终点的前面。
A
已知AB，线段 AB的长度也叫做有向线段 AB的长度，记作 AB
有向线段包含三个要素：起点. 、方向、长度。
③任一向量与它的相反向量不相等。
.
5
5、相等向量：
长①度向相量等a 与且 方b相向等相，同记的作向a量叫相b等向量。 ②0 0
③任意两个相等的非零向量，都可用同
一条有向线段来表示，并且与有向线段的
起点无关。
a
④b向或量a不能b比这较种大说小法，是对错于误向的量。a
、b
,
.
6
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。

点乘的定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的 点乘等于它们的模长之积乘以它们夹角的余弦值，记作 $mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times cos theta$。点乘具有分配律和交 换律，即$mathbf{A} cdot (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{A} cdot mathbf{C}$，以及$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。点乘的结果可以解释为 两个向量在投影到垂直于它们的平面上时所形成的面积 。
向量的共线与共面
总结词
共线或共面是描述两个或多个向量之间位置关系的方式。
详细描述
如果两个向量在同一直线上，则它们共线。如果三个向量在同一个平面上，则它 们共面。共线或共面关系对于解决物理问题和几何问题非常重要。
03
向量的运算
向量的点乘
总结词
点乘是两个向量之间的一种内积运算，结果是一个标 量。
详细描述
$mathbf{A} times mathbf{B} = mathbf{B} times mathbf{A}$。叉乘的结 果可以解释为旋转一个向量绕着另一个向量

详细描述
向量的模表示向量的大小或长度，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$。其中，x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。向 量的模是非负实数，表示向量从起点到终点的长度。
02
向量的运算
向量的加法
总结词
向量加法的定义与性质
详细描述
向量加法是向量空间中的一种基本运算，它遵循平行四边形法则或三角形法则。向量加法的几何意义是，将两个 向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点，作一条新的向量，该向量就是两个向量 的和。向量加法满足交换律和结合律。
详细描述
向量的数量积具有一些重要的性质，如分配 律、结合律、交换律等。此外，向量的数量 积还满足一些重要的结论，如向量的点乘为 零的充要条件是两向量垂直等。这些性质和 结论在解决实际问题中具有广泛的应用。
04
向量的向量积
向量的向量积的定义
总结词
线性代数中，向量的向量积是一个向 量运算，其结果是一个向量。
详细描述
向量的向量积定义为两个向量A和B的 向量积是一个向量C，记作C=A×B， 其长度和方向可以通过外积法则来确 定。
向量的向量积的几何意义
总结词
向量的向量积在几何上表示两个向量的垂直 交叉乘积，可以用来描述旋转和方向。
详细描述
向量的向量积的几何意义在于它表示两个向 量的垂直交叉乘积，即当两个向量A和B的 向量积存在时，它们之间的夹角为90度。

c CD
EF
图2
单位向量有AB， a，b，CD．
e是单位向量的充要条件是 | e | 1
新知探究
向量的概念
同学们发生的位移方向相同吗？大小相同吗？ 位移的大小、方向都相同
向前三步走，向右看齐
相等向量：大小相等、方向相同的向量
B
a
A
b
F
D
cd
C
E
a EF， AB CD，b c
向量的概念
新知探究
向量的表示
表示方法 两个大写字母 一个小写字母
印书体
AB
a
手写体
AB a
新知探究
向量的概念
本资源通过探索画向量，使学生了解向量是既有方向又有大小的量．通过交互式动画的方式，运用了本资源， 方便使学生直接说出向量的大小和方向。可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．本资源 适用于向量概念认识的教学，供教师备课和授课使用，请下载动画【数学探究】尺规画向量
②错误．如|0|＝0． ③正确．向量是自由的，与起点无关 ④错误．共线向量指方向相同或相反，不要求在同一条直线上
向量的概念
目标检测
如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
A
B
（1）与ED 相等的向量为_A__B_，__D_C_；
（2）若| AB|＝3，则向量 EC的模等于____6____． E

(x) (√)
问题4．如图设O是正六边形 ABCDEF的 中心，写出图中与 OA 相等的向量
变式一：与 OA
长度相等的向量有 哪些？
变式二：与 OA共线的
向量有哪些？
向量的概念:
向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量定义： 相等向量定义： 共线向量定义：
对于任意a, 都有a //0
a
平行向量： a, b, c, d
2.共线向量 （就是平行向量）
b 任意一组平行向量都可以平移 c 到同一直线上，所平行向量也叫共 线向量（课本P76) d
L1
练一练.判断
• （1）平行向量一定方向相同。 • （2）与任意向量都平行的向量是零向 量。 • （3）两个向量在同一直线上。这两个 向量一定是平行向量。
三.关系
1.相等向量：长度相等且方向相同的向
量,叫做相等向量 (课本P76）。
a
b
abc
c
• 任意两个相等的非零向量，都可 用同一条有向线段来表示，并且 与有向线段的起点无关. • 零向量与零向量相等；
思考：两个单位向量一定相等吗
？
问题 分析
结论:向量不能比较大小.但有相等的向量. 问题3.向量的几何表示是有向线段。那么 “向量就是有向线段，有向线段就是向量” 这种说法正确吗？ 结论:不对.有向线段是向量的一种表示方法， 它与起点有关，而向量只与大小方向有关， 与起点没有关系。我们所学的向量是指自由 向量。

问题情境
南辕北辙
• 战国时，有个北方人要到南方的楚国去他从太行山脚下出发，乘着马车一 直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说： “不要紧，我有一匹好马！”
• 结果
原因________
第1页/共21页
••老老鼠鼠由A由A以向每秒东6米方的速向度逃以窜,而每猫由秒B 6米的速度以每逃秒窜10米,而的速度
距离、身高、质量、时间、面积等
第4页/共21页
学生活动
• 判断下列说法是否正确: • 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可
以用负数来表示,所以温度是向量. • 错误,因为温度没有方向. • 坐标平面上的x轴和y轴是向量. • 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小.
“大小”和“方向”是向量的两个重要方面 ！
注：1.若向量a b相等，则记为 a= b ； 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来 表示，并且与有向线段的起点无关。
第12页/共21页
思考：
• 1、若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合吗？ • 2、向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上吗？ • 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？

（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
【2】有向线段包含三个要素：起点、方向和长度. 知道了起点、方向和长度，
那么终点的位置就确定了.
向量的模
向量AB的大小称为向量AB的长度，也叫做向量
AB的模，记作 |AB|
向量的模
（2）向量的几何表示
印刷体
【1】零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作
【2】单位向量——长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
中国象棋中规定:马走“日”字.下图是中国象棋的半个棋盘,若马在A处,则可跳到
A1 处,也可跳到A2 处,用向量1 ,2 表示马走了“一步”.若马在B处或C处,则以B,C
为起点表示马走了“一步”的向量共有8
个.
（3）相等向量与共线向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
记法：向量a与b平行，记作a∥b
具有相同或相反方向；又因为 // ，所以向量 与向量 具有
相同或相反方向，故 // .

C.零向量的长度为0
D.方向相反的两个非零向量必不相等
答案:B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.下列命题正确的是(
)
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的两个
顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
答案:C
出向量如图所示.
③由于点 C 在点 B 北偏东 30°处,且||=6,依据勾股定理可得在坐
标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3,纵向小方格数为 3√3≈5.2,
于是点 C 位置可以确定,画出向量如图所示.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟向量的两种表示方法
(1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向
(3)非零平行向量的方向相同或相反.(
)
答案:√
(4)若 = ,则 A,B,C,D 四点是平行四边形的四个顶点.(
答案:×
)
)
激趣诱思
知识点拨
微练习
设 O 是正方形 ABCD 的中心,则向量, , , 是(
A.相等的向量
B.平行的向量
C.有相同起点的向量
D.模相等的向量
解析:由正方形的性质知||=||=||=||.

一般的，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终 点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段。
B 以 A为起点，B为终点的有向线段记作 AB
注意：起点一定要写在终点的前面。
已知 AB ，线段 AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作
A
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
①向量 与 相等，记作
②
③任意两个相等的非零向量，都可用同 一条有向线段来表示，并且与有向线段的 起点无关。
④向量不能比较大小，对于向量 或 、 ,
这种说法是错误的。
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。
C OA = OB
0 =
B
A
l
=
OC
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此，平行向量也 叫做共线向量。
向量的表示方法：
①用有向线段表示； ②用字母 、 、 等表示； AB ③用有向线段的起点与终点字母：
3、向量的大小（模）：记作
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作 , ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
Fra Baidu bibliotek
或
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向。
5、相等向量：

图所示的向量中,
→
→
(1)分别找出与, 相等的向量;
→
→
→
→
解:(1)=,=.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
图所示的向量中,
→
(2)找出与共线的向量;
→
→
→
→
解:(2)与共线的向量有,,.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
→
→
[备用例 2] 如图所示,O 是正六边形 ABCDEF 的中心,且=a,=b,=c.
(2)与 a 共线的向量有哪些?
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)与 a 共线的向量有,,,,,,,,.
→
→
→
[备用例 2] 如图所示,O 是正六边形 ABCDEF 的中心,且=a,=b,=c.
有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(1)向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上;
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
→
→
要求两个向量,在同一直线上.