2019年考研数学一真题及答案一、填空题（本题满分15分,每小题3分,只要求直接填写结果）（1）过点(1,2,1)M -且与直线2,34,1,x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是____________． 答案：34x y z -+-=．解析：据题可知所求平面的法向量为(1,3,1)--,并且过点(1,2,1)M -．所以平面方程为(1)3(2)(1)0x y z --+--+=,化简得34x y z -+-=．（2）设a 为非零常数,则极限lim xx x a x a →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭=____________． 答案：2a e解析：2222lim lim 1+x axa a aa x x x a a e x a x a -⋅+→∞→∞+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．（3）设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 则[()]f f x =____________． 答案：1解析：()1,[()]1f x f f x ≤≡．（4）积分2220d d y x x e y -⎰⎰的值等于____________．答案：41122e --+解析：22222222240000111d d d d d 222yy y yy x x e y y e x ye y e e -----===-=-+⎰⎰⎰⎰⎰．（5）已知向量组1(1,2,3,4)α=,2(2,3,4,5)α=,3(3,4,5,6)α=,4(4,5,6,7)α=,则该向量组的秩是____________． 答案：2解析：123412341234234511113456000045670000αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．二、选择题（本题满分15分,每小题3分）（1）设()f x 是连续函数,且()()d xe x F xf t t -=⎰,则()F x '等于 （A ）()()x x e f e f x ---- （B ）()()x x e f e f x ---+ （C ）()()x x e f e f x --- （D ）()()x x e f e f x --+[ ]答案：[ A ] 解析：对积分()()d xe xF x f t t -=⎰,两边关于x 求导得()()()x x F x e f e f x -'=--．（2）已知函数()f x 具有任意阶导数,且[]2()()f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是（A ）1![()]n n f x + （B ）1[()]n n f x + （C ） 2[()]n f x （D ）2![()]n n f x[ ]答案：[ A ] 解析：22324()11+1()[()]()2()()2()[()]2[()]()32[()]()3![()]()(1)![()]()![()]()![()]n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x n n f x f x n f x f x n f x --'='''===''''=⨯=''=⨯-==（3）设α为常数,则级数21sin n n n α∞=⎡⎢⎣∑ （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与α的取值有关[ ]答案：[ C ] 解析：2211sin()sin()[n n n n n n n αα∞∞∞====-∑∑其中21sin()n n n α∞=∑绝对收敛,1n ∞=可知21sin()[n n n α∞=∑发散． （4）已知()f x 在0x =的某个领域内连续,且(0)0f =,0()lim21cos x f x x→=-,则在点0x =处()f x（A ）不可导 （B ）可导,且(0)0f '≠ （C ）取得极大值 （D ）取得极小值[ ]答案：[ D ]0002()(0)()()0lim lim 2lim 211cos 2x x x f x f f x f x x x x x→→→--===-． 可知()f x '和x 是等价无穷小而且0lim ()(0)0x f x f →'==．进一步可知 0()(0)0lim (0)100x f x f x f x →--''==>-, ()f x 在0x =处取得极小值．（5）已知22,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个不同的解,12,αα是对应齐次线性方程组0AX =的基础解系,$k 1,k 2$为任意常数,则方程组AX b =的通解（一般解）必是（A ）1211212()2k k ββααα-+++（B ）1211212()2k k ββααα++-+（C ）1211212()2k k ββαββ-+++ （D ）1211212()2k k ββαββ++-+[ ]答案：[ B ] 解析：12112121211212()2()20+0+2A k k A A k A k A A b bbββαααββααα+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+=+-++== 三．（本题满分15分,每小题5分） （1）求12ln(1)d .(2)x x x +-⎰ 答案：12ln(1)d ln 2(2)x x x +=-⎰1112000101100ln(1)ln(1)1d d (2)2(2)(1)111ln 2d 32111ln 2ln(2)ln(1)331ln 23x x x x x x x x xx x x x ++=----+⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+--+=⎰⎰⎰（2）设(2,)z f x y ysinx =-,其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y ∂∂∂答案：211122222(2sin cos )cos sin cos zf x y x f f x yf x x x y∂'''''''=-+-++∂∂解析：12sin zf f x y∂''=-+∂211122122211122222cos 2sin cos sin cos 2(2sin cos )cos sin cos .zf yf x f x f x yf x x x y f x y x f f x yf x x ∂'''''''''=--+++∂∂'''''''=-+-++（3）求微分方程244x y y y e -'''++=的通解（一般解）．答案：222212312x x x y x e C xe C e C ---=+++,其中1C ,2C 和3C 为任意常数． 解析：直接判断,这个方程的解为()x y p x e λ=型．直接令2()=p x ax bx c ++,进而有2222()()(2)()2(2)2xx xx x xy ax bx c e y ax bx c e ax b e y ax bx c e ax b e ae λλλλλλλλλ=++'=++++''=+++++带入方程得22222()2(2)24[()(2)]4()1ax bx c ax b aax bx c ax b ax bx c λλλλ=-⎧⎪+++++⎪⎨+++++⎪⎪+++=⎩解得2,1,2a λ=-⎧⎪⎨=⎪⎩,b c 为任意常数．即21()=2p x x bx c ++,其中,b c 为任意常数．所以方程的通解为222212312xx x y x e C xe C e C ---=+++, 其中1C ,2C 和3C 为任意常数． 四．（本题满分6分）求幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域,并求其和函数．答案：(1,1)-,021(11)(1)(21)n n n x xx x ∞=+=-<<-+∑ 解析：直接计算可得123limlim 121n x x na n a n ρ+→∞→∞+===+, 可知幂级数的收敛半径11R ρ==．对于1x =,级数0(21)n n ∞=+∑发散；对于1x =-,级数0(1)(21)n n n ∞=-+∑条件收敛．幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域为(1,1)-．对级数做处理(21)(1)nnnn n n n x n x nx∞∞∞===+=++∑∑∑,其中21211(11)(1),1(1)1(11),1(1)nn nn x x x n x n x x x x x x ∞=∞=+'⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭'⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭∑∑所以021(11)(1)(21)n n n x xx x ∞=+=-<<-+∑． 五．（本题满分8分）求曲面积分d d 2d d ,S I yz z x x y =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分．答案：4I π=-．解析：令V 为球面S 和221:4S x y +≤,在0z ≥上围成的上半球体,由高斯-斯托克斯公式可得12/2230/20d d 2d d d d cos sin d d 4S S Vyz z x x y z Vr r πππθϕϕϕπ+-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中sin cos ,02sin sin ,02cos ,22x r r y r z r ϕθϕθθπππϕϕ⎧⎪=≤≤⎪=≤≤⎨⎪⎪=-≤≤⎩而2214d d 2d d d d 2d d 8S x y yz z x x y yz z x x y π+≤+=+=⎰⎰⎰⎰．可知484I πππ=-=-．六．（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()()f a f b =．证明在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0.f ξ'> 解析：假使对所有的(,)x a b ∈都有()0f x '≤,则f 在[,]a b 上单调递减,所以必定有()()f a f b ≥,又因为f 不是常数函数,所以必有()()f a f b >与()()f a f b =矛盾．七．（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,,0011002100010002B C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且矩阵A 满足关系式1(),A E C B C E -''-=其中E 为四阶单矩阵,1C -表示C 的逆矩阵,C '表示C的转置矩阵,将上述关系式化简并求矩阵A ．解析：由1()A E C B C E -''-=得,1()()A E B C C A C B E -'''''-=-=,进而有1()A C B -''=-．12341000012321000012321000014321C B '⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪''-== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则1121()121121A C B -⎛⎫ ⎪-⎪''=-= ⎪- ⎪-⎝⎭． 八．（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准形．答案：2f y =其中12322y x x x =-+． 解析：直接因式分解得222123121323212344448(22)f x x x x x x x x x x x x =++-+-=-+令12322y x x x =-+,则2f y =． 九．（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于2π．求变力F 对质点P 所作的功．答案：2(1)π-解析：记曲线为L ,根据变力F 沿着曲线做功的公式可知,d d LW P x Q y =+⎰,其中F P Q =+i j ．根据对F 的大小的描述可知2F x =+再根据其方向的描述(,)F y x =-． 于是d d 2d d d d 2(1)DBAABW y x x y x y y x x y π=-+=--+=-⎰⎰⎰⎰其中D 是曲线L 和直线BA 围成的平面图形．十、 填空题（本题满分6分,每小题2分,只要求直接填写结果） （1）已知随机变量X 的概率密度函数1(),2x f x e x -=-∞<<+∞,则X 的概率分布函数()F x = ．答案：1,021(),0211,02xxe x F x x e x ⎧-∞≤<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪-<<+∞⎪⎩解析：据题X 的概率分布函数转化为分段函数1,02()1,02xx e x f x e x -⎧≤<+∞⎪⎪=⎨⎪-∞≤<⎪⎩则X 的分布函数为1,0,21()()d ,0,211,0.2xxe x F xf x x x e x +∞-∞⎧-∞≤<⎪⎪⎪===⎨⎪⎪-<<+∞⎪⎩⎰（2）设随机事件A ,B 及其和事件A ∪B 的概率分别是0．4,0．3和0．6．若B表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB = ． 答案：0．3 解析：()()()()[()()()]()()0.60.30.3P AB P A P AB P A P A P B P A B P A B P B =-=-+-⋃=⋃-=-=（3）已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松（Poisson ）分布,即22{}!k e P X k k -==,0,1,2,k =,则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z = ． 答案：4解析：首先可知212()2!k n e E X k k -∞===∑,对于32Z X =-可知, ()(32)3()24E Z E X E X =-=-=．十一．（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,||D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差()D Z ． 答案：X 的边缘密度为(,)2,01X f x y x x =<<,2()9D Z =． 解析：据题可知(,)X Y 的密度函数为1,01,||,(,)0,x y x f x y <<<⎧=⎨⎩其他. 则关于X 的边缘概率密度为(,)(,)d d 2,01xX x f x y f x y y y x x +∞-∞-===<<⎰⎰． 可以直接求得X 12201()(,)d 2d 2X E X f x y x x x x +∞-∞==⋅=⎰⎰, 102()(,)d 2d 3X E X f x y x x x x +∞-∞==⋅=⎰⎰, 221()()[()]18D XE X E X =-=, 当随机变量21Z X =+时,可知2()4()9D Z D X ==．。
2019年考研数学一真题一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当时，若与是同阶无穷小，则0→x x x tan -k x =k A.1. B.2.C.3.D.4.2.设函数则是的⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 0=x )(x f A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是{}n u A. B...1∑∞=n n nu nn nu 1)1(1∑∞=-C.. D..∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u ()∑∞=+-1221n nn u u4.设函数，如果对上半平面（）内的任意有向光滑封闭曲线都2),(y xy x Q =0>y C 有，那么函数可取为⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(),(y x P A..B..32yx y -321yx y -C.. D..y x 11-yx 1-5.设是3阶实对称矩阵，是3阶单位矩阵.若，且，则二次型A E E A A 22=+4=A 的规范形为Ax x T A.. B..232221y y y ++232221y y y -+C.. D..232221y y y --232221y y y ---6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则A A ,A..3)(,2)(==A r A r B..2(,2)(==A r A r C..2(,1)(==A r A r D..1)(,1)(==A r A r 7.设为随机事件，则的充分必要条件是B A ,)()(B P A P =A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P =C.((A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则X Y ),(2σμN {}1<-Y X P A.与无关，而与有关.μ2σB.与有关，而与无关.μ2σC.与都有关.2,σμD.与都无关.2,σμ2、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.9.设函数可导，则= .)(u f ,)sin (sin xy x y f z +-=yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅1110.微分方程满足条件的特解.02'22=--y y y 1)0(=y =y 11.幂级数在内的和函数 .nn n n ∑∞=-0)!2()1()0∞+，（=)(x S12.设为曲面的上侧，则=.∑)0(44222≥=++z z y x dxdy z x z⎰⎰--224413.设为3阶矩阵.若线性无关，且，则），，（321αααA =21αα，2132ααα+-=线性方程组的通解为.0=x A 14.设随机变量的概率密度为 为的分布函数，X ⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F X 为的数学期望，则 .X E X {}=->1X X F P E ）（3、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数是微分方程满足条件的特解.)(x y 2'2x e xy y -=+0)0(=y （1）求；)(x y （2）求曲线的凹凸区间及拐点.)(x y y =16.（本题满分10分）设为实数，函数在点（3，4）处的方向导数中，沿方向b a ,222by ax z ++=的方向导数最大，最大值为10.j i l 43--=（1）求；b a ,（2）求曲面（）的面积.222by ax z ++=0≥z 17.求曲线与x 轴之间图形的面积.)0(sin ≥=-x x ey x18.设，n =（0，1，2…）dx x xa nn ⎰-=121（1）证明数列单调减少，且（n =2，3…）{}n a 221-+-=n n a n n a （2）求.1lim-∞→n nn a a19.设是锥面与平面围成的锥体，求的形Ω())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 0=z Ω心坐标.20.设向量组，为的一个基，T T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα3R 在这个基下的坐标为.T )1,1,1(=βT c b )1,,(（1）求.c b a ,,（2）证明，为的一个基，并求到的过度矩阵.32,a a β3R ,,32a a β321,,a a a 21.已知矩阵与相似⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012（1）求.y x ,（2）求可可逆矩阵，使得P .1B AP P =-22.设随机变量与相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为X Y X Y 令{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P XYZ =（1）求的概率密度.z （2）为何值时，与不相关.p X Z （3）与是否相互独立?X Z 23.（本题满分11分）设总体的概率密度为X ⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中是已知参数，是未知参数，是常数，来自总体的简μ0>σA n X …X X ，，21X 单随机样本.（1）求；A（2）求的最大似然估计量2σ2019年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学一）1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos +10.23-xe 11.x cos 12.33213.为任意常数.，T)1,2,1(-k k 14.3215.解：（1），又，)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰0)0(=y 故，因此0=c .)(221x xex y -=（2），22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---=''令得0=''y 3,0±=x x)3,(--∞3-)0,3(-0)3,0(3),3(+∞y ''-+-+y凸拐点凹拐点凸拐点凹所以，曲线的凹区间为和，凸区间为和)(x y y =)0,3(-),3(+∞)3,(--∞,拐点为，，.)3,0()0,0()33(23---e )3,3(23-e16.解：（1），，)2,2(by ax z =grad )8,6()4,3(b a z =grad 由题设可得，，即，又，4836-=-ba b a =()()108622=+=b a z grad 所以，.1-==b a （2）=dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1====dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441ρρρθπd d ⎰⎰+20224120232)41(1212ρπ+⋅.313π17.18.19.由对称性，，2,0==y x =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ10212101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z 20.（1）即，123=b c βααα++11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得.322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩（2），所以，则()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，()233r ααβ=，，可为的一个基.23ααβ，，3R ()()12323=P αααααβ，，，，则.()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，21.（1）与相似，则，，即，解得A B ()()tr A tr B =A B =41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩32x y =⎧⎨=-⎩（2）的特征值与对应的特征向量分别为A ，；，；，.1=2λ11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭3=2λ-31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以存在，使得.()1123=P ααα,,111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值与对应的特征向量分别为B ，；，；，.1=2λ11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3=2λ-30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭所以存在，使得.()2123=P ξξξ,,122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以，即112211=P AP P AP --=Λ1112112B P P APP P AP ---==其中.112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.解：（I ）的分布函数Z (){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当时，；当时，0z ≤()zF z pe =0z >()()()()1111z zF z p p e p e --=+--=--则的概率密度为.Z ()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩（II ）由条件可得，又()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，从而当时，，即不相关.()()1,12D X E Y p ==-12p =(),0Cov X Z =,X Z （III ）由上知当时，相关，从而不独立；当时，12p ≠,X Z 12p =121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而，，显12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭然，即不独立. 从而不独立.1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,X Z ,X Z 23. 解：（I ）由，()2221xAedx μσμσ--+∞=⎰t=201t e dt +∞-==⎰从而A =（II ）构造似然函数，当()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i n L x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩L L 其他,1,2,,i x i n μ≥=L 时，取对数得，求导并令其()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σμσ==---∑为零，可得，解得的最大似然估计量为()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑2σ.()211n ii x n μ=-∑。
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
【详解】 由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y . （2）已知xx xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可。
【详解】 令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='， 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x .（3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。
【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为 221x c x c y +=. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可。
2019年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点（C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点 3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A ==7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B = （C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ） （A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z z x x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ．10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．三、解答题 15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j=--v v v 的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本． （1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点【答案】（B ）【详解】（1）01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞，所以函数在0x =处不可导；（3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当10x e<<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所以函数在0x =取得极大值．3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】（D ）【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞存在，记为lim n n u u →∞=；又设n ∀，满足n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且2210n n u u +-≥，则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑，前n 项和：221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛．4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -【答案】（D ）【详解】显然，由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂，也就是1(,)()P x y C x y=-+，其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数．只有（D ）满足．5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A == 【答案】（A ）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()()r A r A <； （2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以()2r A ≥；7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =【答案】（C ）【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =； 对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ）（A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关【答案】（A ）【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，则2~(0,2)X Y N σ-，从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ． 【答案】cos cos y xx y+解：cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=，即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =，所以y =．11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑，从而有：110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =，从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量．由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系，通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩，2204()23x E X dx ==⎰．012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程． 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解：22x y Ce -=，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解，设22()x y C x e-=为其解，代入方程，得2222(),()1x x C x eeC x --''==，1()1C x dx x C ==+⎰，也就是通解为：221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入，得10C =，从而得到22().x y x xe -=（2）2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===．当x <0x <<时，0y ''<，是曲线的凸区间；当0x <<或x >0y ''>，是曲线的凹区间．曲线的拐点有三个，分别为3322()--．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j=--v v v的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 【详解】（1）222z ax by =++，则2,2z zax by x y∂∂==∂∂；所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭；gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--v v v方向相同，且10gradf ==．也就得到683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩（舍）．即11a b =-⎧⎨=-⎩．（2）22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==L 当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 【详解】（1）证明：1n a x=⎰，110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰L当(0,1)x ∈时，显然有1n nxx +<，1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰，所以数列{}n a 单调减少；先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰L则当2n ≥时，12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+L 令sin ,[0,]2x t t π=∈，则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理，2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述，可知对任意的正整数n ，均有212n n a n a n --=+，即21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ； （2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1lim1nn n a a →∞-=．19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．【详解】先计算四个三重积分：22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =． 注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰，且由对称性，明显0x =，2y =．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．【详解】（1）由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组，得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时，()123111111,,23301110123012ααα===≠，即123,,ααα线性无关，确实是3R 空间的一组基．（2）()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-，显然23,,ααβ线性无关，当然也为3R 空间的一组基． 设()()23123,,,,a P αβααα=，则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=． 【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩．先求Z XY =的分布函数：(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）再求Z XY =的概率密度：,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关； （3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰；11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=，当0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本． （1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．【详解】（1）由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏L 其他， 取对数，得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑L解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()nn ii d L X X X n Xd σμσσσ==-+-=∑L ，得未知参数2σ的最大似然估计量为¶2211()n i i X n σμ==-∑．。
2019年考研数学—真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。
（1）当时，若与是同阶无穷小，则0x →tan x x -k x k =（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.（2）设函数则是的(),0,ln ,0,x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩0x =()f x A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点.（3）设是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是{}n u A. B.1mnn u n=∑()111mnn nu =-∑C. D.111mn n n u u =+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑()2211mn n n u u +=-∑（4）设函数.如果对上半平面内的任意有向光滑封闭曲线都有()2,xQ x y y=()0y >C ，那么函数可取为()(),,0CP x y dx Q x y dy +=⎰A (),P x y A..B..23x y y-231x y y-C.. D..11x y-1x y-（5）设是3阶实对称矩阵，是3阶单位矩阵。
若，且，则二次型A E 22A A E +=4A =的规范形为T x Ax A.. B.222123y y y ++222123y y y +-C. D.222123y y y --222123y y y ---（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++=组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则,A An gA. B.()()2,3r A r A ==()()2,2r A r A ==C.D.()()1,2r A r A ==()()1,1r A r A ==（7）设，为随机事件，则的充分必要条件是A B ()()P A P B =A. B. ()()()P A B P A P B =+ ()()()P AB P A P B =C.D.()()P AB P B A =()()P AB P AB=（8）设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则X Y ()2,N μσ{}1P X Y -<A.与无关，而与有关. B.与有关，而与无关.μ2σμ2σC.与都有关. D.与都无关.2,μσ2,μσ二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.设函数可导，，则()9()f u ()sin sin z f y x xy =-+11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂（10）微分方程满足条件的特解22220yy y --=()01y =y =（11）幂级数在内的和函数()()012!nnn x n ∞=-∑()0,+∞()S x =设为曲面的上侧，则()12∑()222440x y z z ++=≥z=设为三阶矩阵，若线性无关，且。
2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析(官方）一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(y xy x Q =，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.（1）求b a ,；（2）求曲面222by ax z ++=（0≥z ）的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=1021，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…） （2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的一个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?23.（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来自总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos + 10.23-x e 11.x cos 12.332 13. ，T)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解：（1）)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰，又0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xex y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e，)3,3(23-e .16. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a（2）dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性，2,0==y x ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.（2）()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ，，，，则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，.21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()zF z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. （II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭，121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解：（I ）由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =201t e dt +∞-==⎰，从而A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，当时，取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.,1,2,,i x i nμ≥=。
2019考研数学一考试真题及答案详解来源：文都教育一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =A.1.B.2.C.3.D.4.解析：3tan 3x x x -- ，若要tan x x -与k x 是同阶无穷小，3k \=\选C2.设函数||,0,()ln ,0,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩则x =0是f （x ）的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.解析：①0(0)lim 0x x x f x --®-¢==，00ln (0)lim lim ln xx x xf x x+++¢==不存在0x \=处()f x 不可导②当0x <时，2()f x x =-()20f x x ¢=-> ()f x \单增当0x >时()ln f x x x =()ln 1f x x ¢=+ 1(0,e )x -Î时()0f x ¢<.()f x \单减0x \=为()f x 的极值点.\选B.3.设｛u n ｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1.nn u n∞=∑B.11(1).nn nu ∞=-∑C.11(1nn n u u ∞=+-∑D.2211().n n n uu ∞+=-∑解析：∵{u n }单调增加且有界∴由单调有界收敛定理可得{u n }极限存在，设lim n n u A →∞=.()2211n n n uu ∞+=-∑则的前n 项和为22222221111n u n n S u u u u u u ++=-++-=- (222)111lim lim n n n n S u u A u +→∞→∞=-=-.选（D ）4.设函数2(,)xQ x y y =.如果对上半平面（y >0）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)d (,)d 0CP x y x Q x y y +=⎰，那么函数P (x ,y )可取为A.23x y y -.B.231.x y y-C.11.x y-D.1.x y-解析：由题意知，积分与路径无关，则P Q y x∂∂=∂∂存在u (x ,y )使得(,),(,)u u P x y Q x y x y∂∂==∂∂∵2x Q y =∴(,)()xu x y c x y=-+则1()u P c x x y∂'==-+∂又∵x 可为0∴排除（C ），选（D ）5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若22A A E +=，且｜A ｜=4，则二次型x T Ax 的规范形为A.222123.y y y ++B.222123.y y y +-C.222123.y y y --D.222123.y y y ---解析：由22A A E +=得22λλ=+，λ为A 的特征值，2=-l 或1，又1234A =λλλ=，故1231λ=λ=-2λ=，，规范形为222123y y y --，选（C ）6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则A.()2,() 3.r A r A ==B.()2,() 2.r A r A ==C.()1,( 2.r A r A ==D.()1,() 1.r A r A ==解析：由条件知3张平面无公共交点，方程组无解，故()()r A r A ¹.又两平面交于一条直线，故()2r A =，因此()2,()3,r A r A ==选（A ）.7.设A ，B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是A.()()()P A B P A P B =+ .B.()()()P AB P A P B =.C.((P AB P B A =.D.()()P AB P AB =.解析：()()()P AB P A P AB =-,()()()P B A P B P AB =-()()()()P A P B P AB P B A =\=选（C ）8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N m s ，则{}1P X Y -<A.与m 无关，而与2s 有关B.与m 有关，而与2s 无关C.与m ，2s 都有关D.与m ，2s 都无关解析：因为22(,)(,)X N u Y N u s s 且X 与Y 相互独立2(0,2)X Y N s \-{}121222X Y P X Y Pss s -ç\-<==F -çç\与m 无关，而与2s 有关选择（A ）二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.9.设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z z x x y y×+×=.解析：因为：所以：10.微分方程22'20yy y --=满足条件(0)1y =的特解y =.'(sin sin )(cos )'(sin sin )(cos )zf y x x y x zf y x y x y∂=--+∂∂=-+∂11111'(sin sin )(cos )cos '(sin sin )cos cos cos cos cos cos cos cos z z xf y x x y yf y x x x y y x x y yy x x y∂∂+⋅=--⋅+⋅+⋅-+∂∂=+.解析：2222'202'222yy y y y y ydy dx y --=+==+两边积分得2ln(2)ln y x C+=+22xy Ce +=由y (0)=1得C =3所以32x y e =-11.幂级数0(1)(2)!n nn x n ¥=-å在()0,+¥内的和函数()S x =.解析：200(1)(1)()()cos (2)!(2)!n nn n n n s x x x xn n ∞∞==--===∑∑12.设å为曲面22244(0)x y z z ≥++=的上侧，则.解析：13.设()123,,A a a a =为3阶矩阵，若12,a a 线性无关，且3122a a a =-+，则线性方程组0Ax =的通解为.解析：∵12,αα线性无关.∴()2r A ≥∵3132ααα=-+∴()3r A <∴()2r A =∴Ax =0为基础解系有()321n r A -=-=个线性无关的解向量∵12320ααα-+=22222222222422204444d d 4(4)d d d d ||d d 2d sin 323x y x y x y x z x yx x y x y y x y y x y r drπθθ+≤+≤+≤--∑=----====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∴1231(,,)201ααα⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭∴通解为12.1k k R ⎛⎫ ⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭14.设随机变量X 的概率密度为,02()()20,.x x f x F X ìïï<<ï=íïïïî，其他为X 的分布函数，EX 为X 的数学期望，则{}()1P F X EX >-=.解析：X 的概率密度为02()2xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他32222000222232231184d d |2223630()02412112{()1}{()}{}2d 343231412(4)144333x x EX x x x x x x F x x x x xP F x EX P F x P P x xx =⋅==⋅==<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩⎫≥-=≥=≥=<=⎨⎬⎩⎭==-=-=⎰⎰⎰三、解答题：15～23小题，共94分。
2019年全国硕士入学统考数学（一）试题及解析一、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上〕〔1〕)1ln(12)(cos lim x x x +→=e1.【分析】∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】)1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故原式=.121ee=-【详解2】因为2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 因此原式=.121ee=-〔2〕曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x . 【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可依照曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令22),,(y x z z y x F --=，那么x F x 2-='，y F y 2-='，1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，那么切平面的法矢量为}1,2,2{00y x --，其与平面042=-+z y x 平行，因此有 11422200-=-=-y x ， 可解得2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即542=-+z y x .〔3〕设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，那么2a =1.【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】依照余弦级数的定义，有x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.〔4〕从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】依照定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 〔5〕设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=那么=≤+}1{Y X P 41. 【分析】二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设，有=≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x y 1 D O211x 〔6〕)1,(μ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，那么μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行可能，可依照)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设，95.01=-α，可见.05.0=α因此查标准正态分布表知.96.12=αu 此题n=16,40=x ,因此，依照95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.【二】选择题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内〕〔1〕设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如下图，那么f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析共4.【3个，而x=0那么是导数不存在的点.一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).〔2〕设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,那么必有(A)n n b a <对任意n 成立.(B)n n c b <对任意n 成立. (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在.[D]【分析】此题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可马上排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，那么可马上排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).〔3〕函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，那么 (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)依照所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[A]【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零依旧变号.【详解】由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0,且222)(),(y x xy y x f +≈-y x ,(充分小时〕，因此.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y=-x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f .故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).〔4〕设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么 (A)当s r <时，向量组II 必线性相关.(B)当s r >时，向量组II 必线性相关. (C)当s r <时，向量组I 必线性相关.(D)当s r >时，向量组I 必线性相关. [D]【分析】此题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，那么必有s r ≤.可见正确选项为(D).此题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，那么21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，那么21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C).故正确选项为(D).〔5〕设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ①假设Ax=0的解均是Bx=0的解，那么秩(A)≥秩(B)； ②假设秩(A)≥秩(B)，那么Ax=0的解均是Bx=0的解； ③假设Ax=0与Bx=0同解，那么秩(A)=秩(B)； ④假设秩(A)=秩(B)，那么Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的选项是 (A)①②.(B)①③. (C)②④.(D)③④.[B]【分析】此题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项.【详解】假设Ax=0与Bx=0同解，那么n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，假设秩(A)=秩(B)，那么不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，那么秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).〔6〕设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，那么 (A))(~2n Y χ.(B))1(~2-n Y χ. (C))1,(~n F Y .(D)),1(~n F Y .[C] 【分析】先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，因此21XY ==122U n V U n V =，那个地方)1(~22χU ，依照F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C). 三、〔此题总分值10分〕过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A;旋转体体积可用一大立体〔圆锥〕体积减去一小立体体积进行计算，为了关心理解，可画一草图.【详解】(1)设切点的横坐标为0x ，那么曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知01ln 0=-x ，从而.0e x =因此该切线的方程为.1x ey =平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y 〔2〕切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为.3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为dy e e V y 212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππy1 D O1ex四、将函数x x f 21arctan )(+=∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】幂级数展开有直截了当法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用幂级数展开的情形。
2019年考研数学（一）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是 同阶无穷小量，则k=（ ）A . 1.B . 2.C . 3.D . 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、设函数,0()ln ,x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x=是()f x 的（ ）A . 可导点，极值点。
B .不可导点，极值点。
C .可导点，非极值点。
D .不可导点，非极值点。
【答案】B . 【解析】因为(0)lim ln lim 0,x x f x x x x +-→→=== 所以()f x 在0x =处连续。
又因为 000()(0)ln (0)lim lim lim ln x x x f x f x xf x x x++++→→→-'====-∞，所以()f x 在0x =处不可导。
而 2,0()ln ,0x x f x x x x ⎧-<=⎨>⎩，即在0x =的去心左、右邻域内()(0)0f x f <=，所以0x =是极大值点。
故选B. 3、设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）A . 1n n u n ∞=∑. B . 11(1)n n n u ∞=-∑. C . 11(1)n n n u u ∞=+-∑. D . 2211()n n n u u ∞+=-∑.【答案】D .【解析】解法一：排除法。
取11n u n =-，排除（A ）；取1n u n=-，排除（B ），（C ），故选（D ）。
解法二：对选项（A ），如果{}n u 是单调增加的有界正项数列，则有1n u u n n >，而 11111n n u u n n ∞∞===∑∑发散，根据比较判别法，可知 1n n u n∞=∑发散，排除（A ）。
2019年考研数学—真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。
（1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3.（D ）4.（2）设函数(),0,ln ,0,x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则0x =是()f x 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.（3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1mn n u n=∑B.()111mnn nu =-∑ C.111m n n n u u =+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑D.()2211mn n n u u +=-∑ （4）设函数()2,xQ x y y=.如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ，那么函数(),P x y 可取为A.23x y y-.B.231x y y-. C.11x y-. D.1x y-. （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。
若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为A.222123y y y ++.B.222123y y y +- C.222123y y y --D.222123y y y ---（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则A.()()2,3r A r A == B.()()2,2r A r A == C.()()1,2r A r A == D.()()1,1r A r A ==（7）设A ，B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 A. ()()()P A B P A P B =+U B.()()()P AB P A P B =C.()()P AB P BA = D.()()P AB P AB =（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布()2,N μσ，则{}1P X Y -< A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,μσ都有关. D.与2,μσ都无关.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ()9 设函数()f u 可导，()sin sin z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂（10）微分方程22220yy y --=满足条件()01y =的特解y =（11）幂级数()()012!nnn x n ∞=-∑在()0,+∞内的和函数()S x = ()12设∑为曲面()222440x y z z ++=≥的上侧，则2244zx z dxdy --=()13设()123,,A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且312=2ααα-+。
12019 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1） 当 x → 0 时，若 x - tan x 与 x k是同阶无穷小，则 k =（）(A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4≤ 0，则 x = 0 是 f (x ) 的（）(A)可导点，极值点 (B) 不可导点，极值点 (C)可导点，非极值点(D) 不可导点，非极值点（2） 设{u n }是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）（3） 设函数Q (x , y ) =x . 如果对上半平面( y > 0) 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有y2⎰CP (x , y )dx + Q (x , y )dy =0, 那么函数 P (x , y ) 可取为（）x 2(A) y - (B) y31 x 21-(C) y y 3x -(D) x - 1yy（4） 设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若A2+ A = 2E , 且 A = 4，则二次型x T Ax 的规范为（ ） (A) y 2+ y 2+ y2 (B) y 2 + y 2 - y2123 12 3 (C) y 2 - y 2- y2(D) - y 2- y 2- y2 123123（5） 如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 a i 1 x + a i 2 y + a i 3 z = d i(i = 1,2,3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A , A , 则（）(A)r ( A ) = 2, r ( A ) = 3 (B)r ( A ) = 2, r ( A ) = 2n =0-( )(C) r ( A ) = 1, r ( A ) = 2(D) r ( A ) = 1, r ( A ) = 1（7） 设A , B 为随机事件，则P ( A ) = P (B )的充分必要条件是（）(A) P ( A B ) = P ( A ) + P (B )(B) P ( AB ) = P ( A )P (B )(C)P ( A B ) = P (BA )(D) P ( AB ) = P ( AB )（8） 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从于正态分布N (μ,σ2)，则P {X - Y < 1}（）(A) 与μ无关，而与σ2有关 (B) 与μ有关，而与σ2无关(C) 与μ，σ2都有关 (D) 与μ，σ2都无关二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的（ ）（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点【答案】（B ）【详解】（1）01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞，所以函数在0x =处不可导；（3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当10x e<<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所以函数在0x =取得极大值．3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）（A ）1n n u n ∞=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】（D ）【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞存在，记为lim n n u u →∞=；又设n ∀，满足n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且2210n n u u +-≥，则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑，前n 项和：221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛．4．设函数2(,)xQ x y y=，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰那么函数(,)P x y 可取为（ ）（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y- （D ）1x y -【答案】（D ）【详解】显然，由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂，也就是1(,)()P x y C x y=-+，其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数．只有（D ）满足．5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是（ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A == 【答案】（A ）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()()r A r A <； （2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以()2r A ≥；7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+ （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =【答案】（C ）【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =； 对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ）（A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关【答案】（A ）【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，则2~(0,2)X Y N σ-，从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ ． 【答案】cos cos y x x y+ 解：cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10．微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=，即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =，所以y =11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答． 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑，从而有：110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12．设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则∑= ．【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =，从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量．由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系，通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中k 为任意常数．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩，2204()23x E X dx ==⎰．012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解．（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程． 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解：22x y Ce -=，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解，设22()x y C x e-=为其解，代入方程，得2222(),()1x x C x eeC x --''==，1()1C x dx x C ==+⎰，也就是通解为：221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入，得10C =，从而得到22().x y x xe -=（2）2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===．当x <0x <<0y ''<，是曲线的凸区间；当0x <<或x >0y ''>，是曲线的凹区间．曲线的拐点有三个，分别为3322()--．16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j =--的方向导数最大 ，最大值为10．（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积． 【详解】（1）222z ax by =++，则2,2z zax by x y∂∂==∂∂； 所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭；gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--方向相同，且10gradf ==．也就得到2683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩（舍）．即11a b =-⎧⎨=-⎩．（2）22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy e x x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 【详解】（1）证明：1n a x =⎰，110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰当(0,1)x ∈时，显然有1n nxx +<，1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰，所以数列{}n a 单调减少；先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰则当2n ≥时，12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+令sin ,[0,]2x t t π=∈，则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理，2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述，可知对任意的正整数n ，均有212n n a n a n --=+，即21(2,3,)2n n n a a n n --==+； （2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+ 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1lim1nn n a a →∞-=．19．（本题满分10分）设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标．【详解】先计算四个三重积分：22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =．注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰，且由对称性，明显0x =，2y =．20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基，111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,,a b c 之值；（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．【详解】（1）由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组，得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时，()123111111,,23301110123012ααα===≠，即123,,ααα线性无关，确实是3R 空间的一组基．（2）()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-，显然23,,ααβ线性无关，当然也为3R 空间的一组基． 设()()23123,,,,a P αβααα=，则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=． 【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩．先求Z XY =的分布函数：(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）再求Z XY =的概率密度：,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关；（3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰；11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=，当0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本．（1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．【详解】（1）由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏其他， 取对数，得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑11 解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()n n i i d L X X X n X d σμσσσ==-+-=∑，得未知参数2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==-∑．。
2019年考研数学一真题一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(yxy x Q =，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.（1）求b a ,；（2）求曲面222by ax z ++=（0≥z ）的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…） （2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的一个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?23.（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来自总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量2019年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学一）1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos + 10.23-xe 11.x cos 12.332 13. ，T)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解：（1）)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰，又0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xex y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e，)3,3(23-e .16. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a （2）dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性，2,0==y x ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.（2）()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ，，，，则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，.21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()zF z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. （II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关. （III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭，121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立.23. 解：（I ）由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =201t e dt +∞-==⎰，从而A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，当时，取对数得()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.,1,2,,i x i nμ≥=。
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 [单选题]当x→0时，x-tanx与x k是同阶无穷小，则k=( )．A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：因，若要x一tanx与x‘是同阶无穷小，则k=3，故选C项．2 [单选题]A.可导点，极值点B.不可导点，极值点C.可导点，非极值点D.不可导点，非极值点正确答案：B参考解析：因为不存在，所以x=0是f(x)的不可导点；又因为f(x)连续，当x<0时,f’(x)=-2x>0，当0<x<e-1时,f’(x)=lnx+1<0，所以x=0是f(x)的极值点．3 [单选题]设{u n}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：由单调有界收敛定理知{u n}极限存在，由有界性知了C>0满足|u n|≤C，绝对收敛．4 [单选题]，如果对上半平面(y>O)内的任意有向光滑封闭曲线C都有Q(x，y)dy=0，那么函数P(x，y)可取为( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：由题意知，积分与路径无关，则，故只需选择在上半平面有连续偏导数，且满足的P函数只有D项．5 [单选题]设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E，且|A|=4，则二次型x T Ax的规范形为( )．A.B.C.D.正确答案：C参考解析：设λ是A的特征值，根据A2+A=2E，得λ2+λ=2，解得λ=1或-2，所以A的特征值是1或-2．因为|A|=4，所以A的三个特征值为1，-2，-2，从而二次型x T Ax的规范形为；，故选c项．6 [单选题]如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程a i1x+a i2y+a i3z=d i(i=1，2，3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A，，则( )．A.r(A)=2，r()=3B.r(A)=2，r()=2C.r(A)=1，r()=2D.r(A)=1，r()=1正确答案：A参考解析：由题意知3张平面无公共交点，且交线相互平行，所以r(A)≠r()，故排除B和D选项；又因为它们两两相交于一条直线，故其中任意两个平面不平行，所以2=r(A)，r()=3，故选A项．7 [单选题]设A，B为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是( )．A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P()正确答案：C参考解析：因为P(A)=P(A)-P(AB)，P(B)=P(B)-P(AB)，所以P(A)=P(B)(A)=P(B)，故选C项．8 [单选题]设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(μ，σ2)，则P{|X-Y|<1}( )．A.与μ无关，而与σ2有关B.与μ有关，而与σ2无关C.与μ，σ2都有关D.与μ，σ2都无关正确答案：A参考解析：X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，σ2)，且X与Y相互独立，则E(X—Y)=0，D(X—Y)=D(X)+D(Y)=2σ2，与μ无关，而与σ2有关．故选A项．9 [填空题]设函数f(u)可导，z=f(siny-sinx)+xy，则参考解析：【解析】10 [填空题]微分方程2yy’-y2-2=0满足条件y(0)=1的特解为______．参考解析：【解析】11 [填空题]幂级数内的和函数S(x)=______．参考解析：【解析】12 [填空题]设∑为曲面x2+y2+4z2=4(z≥0)的上侧，则参考解析：【解析】将曲面方程代入积分表达式，原积分为13 [填空题]设A=1，2，3为三阶矩阵，若1，2线性无关，且3=-1+22，则线性方程组Ax=0的通解为_______．参考解析：【解析】∵1，2线性无关，∴r(A)≥2．∵3=-1+22，∴r(A)<3，∴r(A)=2，∴Ax=0的基础解系中有n-r(A)=3-2=1个线性无关的解向量．∵1-22+3=0，14 [填空题]设随机变量x的概率密度为F(X)为X的分布函数，E(X)为X的数学期望，则P{F(X)>E(X)-1}=．参考解析：【解析】方法一方法二易知Y=F(X)~U(0，1)，15 [简答题]设函数y(x)是微分方程满足条件y(0)=0的特解．(I)求y(x)；(Ⅱ)求曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点．参考解析：(I)16 [简答题]设a，b为实数，函数z=2+ax2+by2在点(3，4)处的方向导数中，沿方向l=-3i-4j的方向导数最大，最大值为10．(I)求a，b；(11)求曲面z=2+ax2+by2(z≥0)的面积．参考解析：(I)函数梯度为▽=(2ax，2by)，则函数在点(3，4)处的梯度为(6a，8b)，则可知沿方向(-3，-4)的最大方向导数为17 [简答题]求曲线y=e-x sinx(x≥0)与x轴之间所成图形的面积．参考解析：18 [简答题](Ⅰ)证明：数列{a n}单调递减，且(Ⅱ)参考解析：证明：19 [简答题]设Ω是由锥面x2+(y-z)2=(1-z)2(0≤z≤1)与平面z=0围成的锥体，求Ω的形心坐标．参考解析：设力的形心坐标为，根据对称性可知=0．对于0≤z≤1，记D z={(x，y)|x2+(y-z)2≤(1-z)2}，则20 [简答题]设向量组1=(1，2，1)T，2=(1，3，2)T，3=(1，a，3)T为R3的一个基，β=(1，1，1)T，在这组基下的坐标为(b，c，1)T．(I)求a，b，c；(Ⅱ)证明2，3，β为R3的一个基，并求2，3，β到1，2，3的过渡矩阵．参考解析：21 [简答题]已知矩阵(I)求x，y；(II)求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．参考解析：(Ⅱ)A的特征值与对应的特征向量分别为B的特征值与对应的特征向量分别为22 [简答题]设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1}=p，P{Y=1}=1-p，(0<p<1)，令Z=XY．(I)求Z的概率密度；(Ⅱ)p为何值时，X与Z不相关?(Ⅲ)X与Z是否相互独立?参考解析：23 [简答题]设总体x的概率密度为其中μ是已知参数，σ>0是未知参数，A是常数，X1，X2，…，X n是来自总体X的简单随机样本．(I)求A；(Ⅱ)求σ2的最大似然估计量．参考解析：。
