2019年全国研究生考试数学(一)真题 排版整齐

2019考研数学一考试真题（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 当0x →，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = A.1. B.2. C.3. D.4.2. 设函数||,0,()ln ,0,x x x f x x x x <⎧=⎨>⎩则x =0是f （x ）的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设｛u n ｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1.nn u n ∞=∑ B. C.D.2211().n n n uu ∞+=-∑4.设函数2(,)xQ x y y =.如果对上半平面（y >0）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有，那么函数P (x ,y )可取为A.23x y y -.B.231.x y y -C.11.x y- 11(1).nn nu ∞=-∑11(1).nn n u u ∞=+-∑D.1.x y-5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若22A A E +=，且｜A ｜=4，则二次型x T Ax 的规范形为 A.222123.y y y ++ B.222123.y y y +- C.222123.y y y -- D.222123.y y y ---6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则 A.()2,() 3.r A r A == B.()2,() 2.r A r A == C.()1,() 2.r A r A == D.7.设A ，B 为随机事件，则()()P A P B 的充分必要条件是A.()()()P A B P A P B U .B.()()()P AB P A P B .C.()()P AB P BA .D.()()P AB P AB .8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都要从正态分布2(,)N ，则1P XYA.与无关，而与2有关B.与有关，而与2无关C.与，2都有关D.与，2都无关二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.设函数与()f u 可导，(sin sin )z f y x xy ，则11cos cos z z x x y y.10.微分方程22'20yy y 满足条件(0)1y 的特解y.11.幂级数(1)(2)!n nnx n 在0,内的和函数()S x .()1,() 1.r A r A ==12.设为曲面22244(0)x y z z ≥的上侧，则. 13.设123,,Aa a a 为3阶矩阵，若12,a a 线性无关，且3122a a a ，则线性方程组0Ax的通解为 .14.设随机变量X 的概率密度为,02()()20,.xx f x F X ，其他为X 的分布函数，EX 为X 的数学期望，则()1P F X EX .三、解答题：15～23小题，共94分。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）当0x →时，若tan kx x x -与是同阶无穷小，则k =（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.【答案】C【解析】33311tan (())~,33x x x x x o x x -=-++-故 3.k =（2）设函数||,0,(),0,x x x f x xlnx x ≤⎧=⎨>⎩则0x =是()f x 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.【答案】B【解析】.00()(0)lim lim 0,0x x x x f x f x --→→-==-00()(0)ln lim lim ,0x x f x f x x x x +-→→-==-∞-故()f x 不可导.当0x >时，()0;f x <当0x <时，()0.f x <故()f x 在0x =处取极大值.故选（B ）.（3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1mn n un=∑. B.11(1)mnn nu =-∑.C.11(1)mn n n uu =+-∑.D.2211()mn n n uu +=-∑【答案】C【解析】举反例：（A ）1n n u n -=（B ）1n n u n -=（C ）1n u n=-（4）设函数2(,)xQ x y y=.如果对上半平面(0)y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰，那么函数(,)P x y 可取为A.23x y y-.B.231x y y-.C.11x y -. D.1x y-【答案】D 【解析】,Q P x y ∂∂=∂∂则21,P y y∂=∂又上半平面含1,x 有零，故（C ）错，选（D ）.（5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22A A E +=,且||4A =,则二次型T x Ax 的规范形为A.222123y y y ++. B.222123y y y +-.C.222123y y y --. D.222123y y y ---【答案】C【解析】22A A E += ,设A 的特征值为λ22λλ∴+=(2)(1)0λλ+-=21λ∴=-或4A = A ∴的特征值为1232,12,1q p λλλ==-=∴==T X Ax ∴的规范形为222123y y y --（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程i123(i=1,2,3)i i i a x a y a z d +++组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则A ．()2,r()3r A A ==B.()2,r()2r A A ==C.()1,r()2r A A ==D.()1,r()1r A A ==【答案】C【解析】（1）令123,1,2,3i i i i a x a y a z di i π=++==由于123,,πππ无公共交点，则()()r A r A <，故B 、D 排除（2）由（1）分析可知，()2r A ≤，且0A ≠，则1()2r A ≤≤以1π和2π为例，由于11121312122232a x a y a z d a x a y a z d ++=⎧⎨++=⎩的公共解为一条直线则11121321222331a a a r a a a ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦即1112132122232a a a r a a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦因此111213212223313233() 2.()3a a a r A r a a a r A a a a ⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦综上A 正确（7）设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是A.()()()P A B P A P B =+ B.()()()P AB P A P B =C.()()P AB P BA = D.()(P AB P AB =【答案】C【解析】()0A P AB ⇔=选项,故A 排除A B ⇔B选项、独立，故B 排除()()()()P A P AB P B P AB ⇔-=-C选项()()P A P B =而，故C 正确()()1()P AB P A B P A B ⇔==- D选项1()()()P A P B P AB =--+1()()P A P B ⇔=+故D 排除（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ.则{}1P X Y -<A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关.C.与2,μσ都有关.D.与2,μσ都无关.【答案】A【解析】,X Y 独立，服从正态分布，则2(,2)z x y N σσ=- (1)(11)(P X Y P Z P -<=-<<=-21=Φ-，故A 正确二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂________【答案】cos cos y x x y+【解析】'(sin sin )(cos )zf y x x y x∂=--+∂'(sin sin )cos zf y x y x y∂=-+∂故11'(sin sin )'(sin sin )cos cos cos cos cos cos z z y x f y x f y x x x y y x yy x x y∂∂⋅+⋅=--++-+∂∂=+(10)微分方程22220yy y --=满足条件(0)1y =的特解y =________【答案】y =【解析】22'2y y y+=2212y dy dx y =+⎰⎰故2ln(2)y x C +=+.由(0)1y =得ln 3C =则2ln(2)ln 3y x +=+.故2ln(2)ln 3y x e e ++=即223x y e +=故y =(11)幂级数0(1)(2)!n nn n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x =________【答案】【解析】20(1)(2)!nn n n ∞=-=∑(12)设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则z=________【答案】323【解析】'22204324sin 3DxyD y dxdy ydxdy d r dr πθθ∑=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰（13）设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+。

2019年考研数学一真题一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.C.3.设A.∞=n C.∞=1n 4.⎰Cy x P ,(A.y C.x 15.设Ax T 的规范形为A.3221y y y ++.B.321y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.(P B.(P C.(P D.(P 8.A.与B.与C.与D.与9. 10. 11. n =0. 12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若 21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x x x f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.（1（216.设a ,的方向导（1（217.18.（1（219.. 20.标为c b ,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?. （2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e ，)3,3(23-e .15. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，=y x +217.18.19.由对称性，2x，=y,0=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得3a =⎧⎪（23R 的则P 21.（21=2λ2⎢⎥-⎣⎦B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()z F z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则（II D （III 12P X F ⎧≤⎨⎩⎛= ⎝P X ⎧≤⎨⎩P X ⎧≤⎨⎩23. 从而A（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩L L 其他，当,1,2,,i x i n μ≥=L 时，取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022nii d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.。

2019年考研数学一真题一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当时，若与是同阶无穷小，则0→x x x tan -k x =k A.1. B.2.C.3.D.4.2.设函数则是的⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 0=x )(x f A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是{}n u A. B...1∑∞=n n nu nn nu 1)1(1∑∞=-C.. D..∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u ()∑∞=+-1221n nn u u4.设函数，如果对上半平面（）内的任意有向光滑封闭曲线都2),(y xy x Q =0>y C 有，那么函数可取为⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(),(y x P A..B..32yx y -321yx y -C.. D..y x 11-yx 1-5.设是3阶实对称矩阵，是3阶单位矩阵.若，且，则二次型A E E A A 22=+4=A 的规范形为Ax x T A.. B..232221y y y ++232221y y y -+C.. D..232221y y y --232221y y y ---6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则A A ,A..3)(,2)(==A r A r B..2(,2)(==A r A r C..2(,1)(==A r A r D..1)(,1)(==A r A r 7.设为随机事件，则的充分必要条件是B A ,)()(B P A P =A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P =C.((A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则X Y ),(2σμN {}1<-Y X P A.与无关，而与有关.μ2σB.与有关，而与无关.μ2σC.与都有关.2,σμD.与都无关.2,σμ2、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.9.设函数可导，则= .)(u f ,)sin (sin xy x y f z +-=yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅1110.微分方程满足条件的特解.02'22=--y y y 1)0(=y =y 11.幂级数在内的和函数 .nn n n ∑∞=-0)!2()1()0∞+，（=)(x S12.设为曲面的上侧，则=.∑)0(44222≥=++z z y x dxdy z x z⎰⎰--224413.设为3阶矩阵.若线性无关，且，则），，（321αααA =21αα，2132ααα+-=线性方程组的通解为.0=x A 14.设随机变量的概率密度为 为的分布函数，X ⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F X 为的数学期望，则 .X E X {}=->1X X F P E ）（3、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数是微分方程满足条件的特解.)(x y 2'2x e xy y -=+0)0(=y （1）求；)(x y （2）求曲线的凹凸区间及拐点.)(x y y =16.（本题满分10分）设为实数，函数在点（3，4）处的方向导数中，沿方向b a ,222by ax z ++=的方向导数最大，最大值为10.j i l 43--=（1）求；b a ,（2）求曲面（）的面积.222by ax z ++=0≥z 17.求曲线与x 轴之间图形的面积.)0(sin ≥=-x x ey x18.设，n =（0，1，2…）dx x xa nn ⎰-=121（1）证明数列单调减少，且（n =2，3…）{}n a 221-+-=n n a n n a （2）求.1lim-∞→n nn a a19.设是锥面与平面围成的锥体，求的形Ω())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 0=z Ω心坐标.20.设向量组，为的一个基，T T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα3R 在这个基下的坐标为.T )1,1,1(=βT c b )1,,(（1）求.c b a ,,（2）证明，为的一个基，并求到的过度矩阵.32,a a β3R ,,32a a β321,,a a a 21.已知矩阵与相似⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012（1）求.y x ,（2）求可可逆矩阵，使得P .1B AP P =-22.设随机变量与相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为X Y X Y 令{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P XYZ =（1）求的概率密度.z （2）为何值时，与不相关.p X Z （3）与是否相互独立?X Z 23.（本题满分11分）设总体的概率密度为X ⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中是已知参数，是未知参数，是常数，来自总体的简μ0>σA n X …X X ，，21X 单随机样本.（1）求；A（2）求的最大似然估计量2σ2019年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学一）1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos +10.23-xe 11.x cos 12.33213.为任意常数.，T)1,2,1(-k k 14.3215.解：（1），又，)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰0)0(=y 故，因此0=c .)(221x xex y -=（2），22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---=''令得0=''y 3,0±=x x)3,(--∞3-)0,3(-0)3,0(3),3(+∞y ''-+-+y凸拐点凹拐点凸拐点凹所以，曲线的凹区间为和，凸区间为和)(x y y =)0,3(-),3(+∞)3,(--∞,拐点为，，.)3,0()0,0()33(23---e )3,3(23-e16.解：（1），，)2,2(by ax z =grad )8,6()4,3(b a z =grad 由题设可得，，即，又，4836-=-ba b a =()()108622=+=b a z grad 所以，.1-==b a （2）=dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1====dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441ρρρθπd d ⎰⎰+20224120232)41(1212ρπ+⋅.313π17.18.19.由对称性，，2,0==y x =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ10212101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z 20.（1）即，123=b c βααα++11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得.322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩（2），所以，则()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，()233r ααβ=，，可为的一个基.23ααβ，，3R ()()12323=P αααααβ，，，，则.()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，21.（1）与相似，则，，即，解得A B ()()tr A tr B =A B =41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩32x y =⎧⎨=-⎩（2）的特征值与对应的特征向量分别为A ，；，；，.1=2λ11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭3=2λ-31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以存在，使得.()1123=P ααα,,111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值与对应的特征向量分别为B ，；，；，.1=2λ11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3=2λ-30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭所以存在，使得.()2123=P ξξξ,,122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以，即112211=P AP P AP --=Λ1112112B P P APP P AP ---==其中.112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.解：（I ）的分布函数Z (){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当时，；当时，0z ≤()zF z pe =0z >()()()()1111z zF z p p e p e --=+--=--则的概率密度为.Z ()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩（II ）由条件可得，又()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，从而当时，，即不相关.()()1,12D X E Y p ==-12p =(),0Cov X Z =,X Z （III ）由上知当时，相关，从而不独立；当时，12p ≠,X Z 12p =121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而，，显12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭然，即不独立. 从而不独立.1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,X Z ,X Z 23. 解：（I ）由，()2221xAedx μσμσ--+∞=⎰t=201t e dt +∞-==⎰从而A =（II ）构造似然函数，当()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i n L x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩L L 其他,1,2,,i x i n μ≥=L 时，取对数得，求导并令其()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σμσ==---∑为零，可得，解得的最大似然估计量为()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑2σ.()211n ii x n μ=-∑。

2019年研究生入学考试数学一试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→等价的无穷小量是（A ）1- （B ）（C 1 （D ）1- [ ]（2）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是： （A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.（5）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：(A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ] （6）设曲线:(,)1L f x y =（(,)f x y 具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是 （A ）(,)d Tf x y x ⎰. （B ）(,)d Tf x y y ⎰（C ）(,)d Tf x y s ⎰. （D ）(,)d (,)d x y Tf x y x f x y y ''+⎰. [ ]（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ] （10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）12211e d x x x=⎰=__________. （12） 设(,)f u v 是二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂=∂ __________. （13） 二阶常系数非齐次微分方程2432e xy y y '''-+=的通解为y =________.（14） 设曲面:||||||1x y z ∑++=，则()||d x y S ∑+=⎰⎰Ò（15）设矩阵01000010********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域(){}22,|4,0D x y xy y =+≤≥上的最大值和最小值. （18）（本题满分10分） 计算曲面积分 d d 2d d 3d d I xz y z yz z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤ 的上侧. （19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（20） (本题满分10分)设幂级数nn n a x∞=∑在(,)-∞+∞内收敛，其和函数()y x 满足240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===.（Ⅰ）证明：22,1,21n n a a n n +==+L ； （II ）求()y x 的表达式.（21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B . （23） (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >；(II) 求Z X Y =+的概率密度.1. 【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x +→时，1-:1:，211122x -=:， 故用排除法可得正确选项为（B ）.事实上，000lim lim lim 1x x x +++→→→==，或ln(1)ln(1()x x o x o o =+-=++=:.所以应选（B ）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（理工类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.2. 【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0xxx x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e xx x y x→→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xxx x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1lim lim ln 1e0xx x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线. 故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e x当,x x →+∞→-∞时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例6.30】，【例6.31】.3. 【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰. 所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例3.39】【例3.40】.4.. 【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x =，则0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =.在（C ）中，0()limx f x x →存在，则00()(0)()(0)0,(0)lim lim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.5.. 【分析】本题依据函数()f x 的性质，判断数列{}()n u f n =. 由于含有抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果.【详解】选（D ）.取()ln f x x =-，21()0f x x''=>，12ln10ln 2u u =-=>-=，而()ln f n n =-发散，则可排除（A ）；取21()f x x =，46()0f x x ''=>，12114u u =>=，而21()f n n =收敛，则可排除（B ）；取2()f x x =，()20f x ''=>，1214u u =<=，而2()f n n =发散，则可排除（C ）；故选（D ）.事实上，若12u u <，则211(2)(1)()02121u u f f f ξ--'==>--. 对任意()1,x ξ∈+∞，因为()0f x ''>，所以1()()0f x f c ξ''>>>，对任意()21,ξξ∈+∞，()121()()()()f x f f x x ξξξ'=+-→+∞→+∞.故选（D ）.【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算. 类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例24】，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例1.22】.6.. 【分析】本题考查对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分的计算.【详解】M 、N 点的坐标分别为1122(,),(,)M x y N x y ，则由题设可知1212,x x y y <>.因为21(,)d d 0TT f x y x x x x ==->⎰⎰，()x N 表示N 的横坐标；21(,)d d 0TTf x y y y y y ==-<⎰⎰； (,)d d TTf x y s s ==⎰⎰T 的弧长>0；(,)d (,)d 0d 0d 0x y TTf x y x f x y y x y ''+=+=⎰⎰.所以应选（B ）.【评注】本题属基本概念题型，注意求对坐标的曲线积分时要考虑方向，对于曲线积分和曲面积分，应尽量先将曲线，曲面方程代入被积表达式化简，然后再计算. 其计算方法见《数学复习指南》（理工类）第十一章第1节知识点精讲中对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分的相关性质，类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第12讲【例5－例7】，《数学复习指南》（理工类）【例11.1】. 7.. 【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性. 一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（理工类）《线性代数》【例3.3】.8.. 【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】 由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B 合同，故选（B ）.【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）第二篇【例5.17】.9.. 【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数. 【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）第三篇【例1.29】【例1.30】 10. 【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【详解】因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）.【评注】若(),X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 不相关与X 与Y 独立是等价的. 类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（理工类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11.. 【分析】本题为简单定积分的计算，利用牛－莱公式和凑微分法求解. 【详解】11112222121111e d e d e e e x x x x x x=-=-=-⎰⎰.【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例14】，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例3.27】.12.. 【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解】利用复合函数的求导公式，可直接得出112ln .y x zf yx f y y x-∂''=⋅+⋅∂ 【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】, 【例9】，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例8.16】,【例8.17】,【例8.18】.13.. 【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解Y ，然后求出非齐次微分方程的一个特解*y ，则其通解为 *y Y y =+.【详解】对应齐次方程的特征方程为2124301,3λλλλ-+=⇒==， 则对应齐次方程的通解为 312e e x xy C C =+.设原方程的特解为 2*e xy A =，代入原方程可得 22224e8e 3e 2e 2xx x x A A A A -+=⇒=-，所以原方程的特解为2*2e xy =-，故原方程的通解为 3212e e 2e x x xy C C =+-，其中12,C C 为任意常数.【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例11】，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例5.13】.14.. 【分析】本题求解对面积的曲面积分，利用对称性可简化计算. 【详解】由积分域与被积函数的对称性有d 0,d d d x S x S y S z S ∑∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙乙，所以()111d .d d 833323y S x y z S S ∑∑∑=++==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙?.故()||d x y S ∑+=⎰⎰Ò【评注】对面积的曲面积分，应利用积分区域的对称性简化计算.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第12讲第4节【例1】和【例2】， 《数学复习指南》（理工类）第一篇【例11.18】. 15.. 【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩.【详解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】本题为基础题型.矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（理工类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.16.. 【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算. 图如下：所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例11】，《数学复习指南》（理工类）第三篇【例2.29】，【例2.47】.三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.. 【分析】本题求二元函数在闭区域的最值. 先求出函数在区域内的驻点，然后比较驻点的函数值和边界上的极值，则最大者为最大值，最小者为最小值. 【详解】（1）求函数2222(,)2f x y x y x y =+-的驻点.因为22220420x y f x xy f y x y ⎧'=-=⎪⎨'=-=⎪⎩，所以0011x x x y y y ⎧⎧=⎧==⎪⎪⎨⎨⎨===-⎪⎪⎩⎩⎩，所以函数在区域(){}22,|4,0D x y xy y =+≤≥内的驻点为)，()和()0,0.（2）求函数在边界线上的极值. 作拉格朗日函数如下 222222(,)2(4)L x y x y x y x y λ=+-++-， 则22222220422040L x xy x x L y x y y y L x y λλλ⎧∂=-+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩，解之得02,201x x x y y y ⎧==±⎧⎧=⎪⎨⎨⎨=±==±⎪⎩⎩⎩. 于是条件驻点为)，()，()0,2，()2,0±.而()2f =，()2f =，()0,00f =，()0,28f =，()2,04f ±=. 比较以上函数值，可得函数在区域(){}22,|4,0D x y xy y =+≤≥上的最大值为8，最小值为0.【评注】多元函数的最值问题，一般都用拉格朗日乘数法解决. 利用拉格朗日乘数法确定目标函数的可能极值点后，不必一一检验它们是否为极值点，只要比较目标函数在这些点处的值，最大者为最大值，最小者为最小值. 但当只有惟一的可能极值点时，目标函数在这点处必取到最值，究竟是最大值还是最小值需根据问题的实际意义判定.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例14－例17】，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例8.33－8.36】.18.. 【分析】本题∑不是封闭曲面，首先想到加一曲面212:14z y x =⎧⎪∑⎨+≤⎪⎩，取下侧，使1∑+∑构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】∑的方程为： 221(01)4y z x z =--≤≤. 添加一个平面2120:14z y x =⎧⎪∑⎨+≤⎪⎩，取下侧，则∑与1∑构成闭曲面*∑，其所围区域记为Ω.于是11*1I ∑+∑∑∑∑=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò.而*d d 2d d 3d d xz y z yz z x xy x y ∑++⎰⎰Ò()()()23xz yz xy x y z Ω∂∂∂⎛⎫=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰1122143d d d 3d d d 6(1)d y x zz x y z z zx y z z z ππΩ+≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，211214d d 2d d 3d d 3d d 3d d 0y x xz y z yz z x xy x y xy x y xy x y ∑∑+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰（上式可直接由被积函数的奇偶性和积分区域的对称性可得） 所以 11*1I π∑+∑∑∑∑=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò.【评注】本题属基本题型，不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算，均应特别注意计算的准确性，主要考查基本的计算能力.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第12讲第4节例５和练习，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例11.19】，P.321【例11.21】 19.. 【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=， 于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<， 于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 ，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【评注】对命题为()()0n fξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n fx -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例4.8】，【例4.9】.20.. 【分析】可将幂级数代入微分方程通过比较同次项系数，从而证得（Ⅰ）；由（Ⅰ）求（II ）. 【详解】（Ⅰ）由题设可得122012,,(1)(1)(2)nn n n n n n n n n n n y a x y na xy n n a xn n a x ∞∞∞∞--+===='''===-=++∑∑∑∑，代入240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===，可得201(1)(2)240nnnn n nn n n n n ax na x a x ∞∞∞+===++--=∑∑∑，0120,1,0a a a === 即2(1)(2)240nnn n n n n n n n n ax na x a x ∞∞∞+===++--=∑∑∑，比较同次项系数可得22,1,21n n a a n n +==+L . （II ）由 0120,1,0a a a ===，22,1,21n n a a n n +==+L 可得 22121231222110,22(22)!!n n n n a a a a a n n n n n +--===⋅===-L ， 故 ()22120011e !!nn x n n y x x x x n n ∞∞+=====∑∑.【评注】本题为一道幂级数与二阶微分方程的综合题，考查了幂级数的逐项微分法及e x的麦克老林级数展开式. 所以需记住常见函数e x，11x-，ln(1)x +等函数的麦克劳林级数展开式.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例16】，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例7.25】，【例7.26】21.. 【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a . 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭.显然，当1,2a a ≠≠时无公共解. 当1a =时，可求得公共解为 ()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数；当2a =时，可求得公共解为()T0,1,1ξ=-.【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（理工类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22.. 【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质. 【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A Eααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-，则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量. 同理可得 ()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=.所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数. 由前可知B 的属于－2的特征向量为 T3(1,1,1)k -，其中3k 不为零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式. 请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值 21,,,(),,(Ak a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的.（2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的类似例题见文登强化班笔记线性代数第5讲【例12】，《数学复习指南》（理工类） 第二篇【例5.24】 23.. 【分析】（I ）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得. 【详解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24xx yP X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II) 利用卷积公式可得 ()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他.【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（理工类）第三篇【例2.38】，【例2.44】. （24） (本题满分11分)设总体X 的概率密度为1,021(),12(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12(,,X X …,)n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（I ）求参数θ的矩估计量θ)；（II ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【分析】利用EX X =求（I ）；判断()?224E X θ=.【详解】（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令112242X X θθ=+⇒=-).（II ）()()()()222214444E XE X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 而()2221221()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰，所以 ()2225121248DX EX EX θθ=-=-+， 所以()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故24X 不是2θ的无偏估计量.【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第5讲【例3】，《数学复习指南》（理工类）第三篇【例6.3，例6.6，例6.9】，。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】 由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y . （2）已知xx xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可。

【详解】 令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='， 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x .（3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。

【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为 221x c x c y +=. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可。

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2sin 0lim(13)xx x →+=______________.(2) 202cos xd x t dt dx =⎰______________. (3) 设()2a b c ⨯⋅=,则[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+=______________.(4) 幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =______________. (5) 设三阶方阵A 、B 满足关系式：16A BA A BA -=+,且100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则B = ______________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设有直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L ( )(A) 平行于∏ (B) 在∏上 (C) 垂直于∏ (D) 与∏斜交 (2) 设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是 (A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (3) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln 1n n u ⎛=- ⎝,则级数 ( ) (A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛 (B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑发散而21nn u∞=∑收敛(5) 设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭,1010100001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则必有 ( )(A) 12APP B = (B) 21AP P B =(C) 12PP A B = (D) 21P P A B = 三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设2(,,),(,,)0,sin yu f x y z x e z y x ϕ===,其中f 、ϕ都具有一阶连续偏导数,且0zϕ∂≠∂,求du dx .(2) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1()f x dx A =⎰,求 11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰,其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分. (2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数. 五、(本题满分7分)设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为A .已知MA OA =,且L 过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭,求L 的方程. 六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有 求(,)Q x y . 七、(本题满分8分)假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶倒数,并且()0g x ''≠,()()()()f a f b g a g b ===,试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠； (2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()()()f fg g ξξξξ''=''. 八、(本题满分7分)设三阶实对称矩阵A 的特征值为11λ=-,231λλ==,对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=,求A .九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,满足T AA E =(E 是n 阶单位阵,T A 是A 的转置矩阵),0A <,求 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =___________. (2) 设X 和Y 为两个随机变量,且 则{}max(,)0P X Y ≥=___________. 十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度为, 0,()0, 0,x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩求随机变量XY e =的概率密度1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】6e【解析】这是1∞型未定式求极限, 令3x t =,则当0x →时,0t →,所以 故 00266lim6lim6sin sin sin sin 0lim(13)lim x x x x x xxx xx x x eeee →→→→+====.(2)【答案】20224cos 2cos xt dt x x -⎰ 【解析】 ()220022cos cos x xd d x t dt x t dt dx dx =⎰⎰ 【相关知识点】积分上限函数的求导公式： (3)【答案】4【解析】利用向量运算律有()()()()a b b b c a a c b c c a =⨯+⨯⋅++⨯+⨯⋅+r r r r r r r r r r r r(其中0b b ⨯=r r )(4)【解析】令212(3)n n n nna x -=+-,则当n →∞时,有 而当2113x <时,幂级数收敛,即||x <,此幂级数收敛,当2113x >时,即||x >时,此幂级数发散,因此收敛半径为R =(5)【答案】300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】在已知等式16A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得16A B E B -=+,即因为 1300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.直线L 的方向向量平面∏的法向量42n i j k =-+,l n P ,L ⊥∏.应选(C). (2)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故 由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以故应选择(B). (3)【答案】(A) 【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以 由此可得 ()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知 根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A). (4)【答案】(C) 【解析】这是讨论1nn u∞=∑与21nn u∞=∑敛散性的问题.11(1)ln 1nn n n u ∞∞==⎛=- ⎝∑∑是交错级数,显然ln(1+单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数2211ln 1nn n u ∞∞==⎛=+ ⎝∑∑中,2221ln 1~n u n ⎛=+= ⎝. 根据正项级数的比较判别法以及11n n ∞=∑发散,21n n u ∞=⇒∑发散.因此,应选(C).【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴ 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.(5)【答案】(C)【解析】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B 是由A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此12PP A B =,故应选(C).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式2(,,)0yx e z ϕ=,其中sin y x =确定()z z x =,并求dz dx. 将方程两边对x 求导得解得()12312cos y dz x e x dx ϕϕϕ''=-⋅+⋅'. ① 现再将(,,)u f x y z =对x 求导,其中sin y x =,()z z x =, 可得123cos du dzf f x f dx dx'''=+⋅+⋅. 将①式代入得()213321cos 12cos y du f f x f dx x e x ϕϕϕ'''=+⋅-⋅''⋅+⋅'. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有(2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分11()()xI dx f x f y dy =⎰⎰表成二重积分其中D 如右图所示.交换积分次序由于定积分与积分变量无关,改写成 方法二：用分部积分法.注意()1()()xdf y dy f x dx=-⎰,将累次积分I 写成四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰.首先确定被积函数(,)f x y ==对锥面z =而言==. 其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xy D (见右图),按题意：22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤.作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则因此2cos 2cos 322000213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰. (2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式 五、(本题满分7分)【解析】设点M 的坐标为(,)x y ,则M 处的切线方程为 ()Y y y X x '-=-.令0X =,得Y y xy '=-,切线与y 轴的交点为(0,)A y xy '-.由MA OA =,有化简后得伯努利方程 212,yy y x x '-=- ()221y y x x'-=-. 令2z y =,方程化为一阶线性方程 ()1z z x x'-=-.解得 ()z x c x =-,即 22y cx x =-,亦即 y =又由3322y ⎛⎫⎪⎭=⎝,得3c =,L 的方程为 3)y x =<<. 六、(本题满分8分) 【解析】在平面上LPdx Qdy +⎰与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),⇔P Q y x ∂∂=∂∂,即 2Q x x∂=∂. 对x 积分得 2(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀, 下面由此等式求()y ϕ.方法一：易求得原函数 于是由①式得 ()()(,1)(1,)22(0,0)(0,0)()()t t yyx y dsx y d s s sϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()tt ds t ds s s ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ts t t ds ϕ=+⎰.求导得 )2(1t t ϕ=+,即 ()21t t ϕ=-. 因此 2(,)21Q x y x y =+-.方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示. 于是得()()120()1()tt dy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()t t dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ty t t dy ϕ=+⎰.其余与方法一相同.七、(本题满分8分)【解析】(1)反证法.假设(,)c a b ∃∈,使()0g c =.则由罗尔定理,1(,)a c ξ∃∈与2(,),c b ξ∈使12()()0g g ξξ''==；从而由罗尔定理, 12(,)(,)a b ξξξ∃∈⊂,()0g ξ''=.这与()0g x ''≠矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？” 这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x g x f x g x ''''-在(,)a b 存在零点.方法一：注意到 ()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x '''''''-=-, 考察()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,令()x ϕ⇒在[,]a b 可导,()()0a b ϕϕ==.由罗尔定理,(,)a b ξ∃∈,使()0ϕξ'=.即有()()()()0f g f g ξξξξ''''-=,亦即()()()()f fg g ξξξξ''=''. 方法二：若不能像前面那样观察到()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：()()()()f x g x f x g x ''=-(取0C =).令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,其余与方法一相同. 八、(本题满分7分)【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)Tx x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10Tξξ=,即230x x +=. 解之得 23(1,0,0),(0,1,1)T Tξξ==-.于是有 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=, 所以 1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-= 九、(本题满分6分)【解析】方法一：根据TAA E =有 移项得 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.方法二：因为()TTTT A E A AA A E A E A +=+=+=+,所以 A E A E A +=+, 即 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=. 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有根据方差性质有 22()()[()]18.4E X D X E X =+=. (2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则由概率的广义加法公式 ()()()()P A B P A P B P AB =+-U ,有 十一、(本题满分6分)【解析】方法1：用分布函数法先求Y 的分布函数()Y F y . 当1y ≤时, ()0;Y F y =当1y >时, (){}()XY F y P Y y P e y =≤=≤{}ln P X y =≤所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得 或者直接将ln 0yx e dx -⎰对y 求导数得ln ln 2011.y x y d e dx e dy y y--==⎰ 方法2：用单调函数公式直接求Y 的概率密度.由于xy e =在()0,+∞内单调,其反函数()ln x h y y ==在()1,+∞内可导且其导数为10y x y'=≠,则所求概率密度函数为 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则。

2019年全国硕士入学统考数学（一）试题及解析一、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上〕〔1〕)1ln(12)(cos lim x x x +→=e1.【分析】∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】)1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故原式=.121ee=-【详解2】因为2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 因此原式=.121ee=-〔2〕曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x . 【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可依照曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令22),,(y x z z y x F --=，那么x F x 2-='，y F y 2-='，1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，那么切平面的法矢量为}1,2,2{00y x --，其与平面042=-+z y x 平行，因此有 11422200-=-=-y x ， 可解得2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即542=-+z y x .〔3〕设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，那么2a =1.【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】依照余弦级数的定义，有x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.〔4〕从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】依照定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 〔5〕设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=那么=≤+}1{Y X P 41. 【分析】二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设，有=≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x y 1 D O211x 〔6〕)1,(μ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，那么μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行可能，可依照)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设，95.01=-α，可见.05.0=α因此查标准正态分布表知.96.12=αu 此题n=16,40=x ,因此，依照95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.【二】选择题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内〕〔1〕设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如下图，那么f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析共4.【3个，而x=0那么是导数不存在的点.一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).〔2〕设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,那么必有(A)n n b a <对任意n 成立.(B)n n c b <对任意n 成立. (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在.[D]【分析】此题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可马上排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，那么可马上排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).〔3〕函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，那么 (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)依照所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[A]【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零依旧变号.【详解】由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0,且222)(),(y x xy y x f +≈-y x ,(充分小时〕，因此.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y=-x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f .故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).〔4〕设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么 (A)当s r <时，向量组II 必线性相关.(B)当s r >时，向量组II 必线性相关. (C)当s r <时，向量组I 必线性相关.(D)当s r >时，向量组I 必线性相关. [D]【分析】此题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，那么必有s r ≤.可见正确选项为(D).此题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，那么21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，那么21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C).故正确选项为(D).〔5〕设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ①假设Ax=0的解均是Bx=0的解，那么秩(A)≥秩(B)； ②假设秩(A)≥秩(B)，那么Ax=0的解均是Bx=0的解； ③假设Ax=0与Bx=0同解，那么秩(A)=秩(B)； ④假设秩(A)=秩(B)，那么Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的选项是 (A)①②.(B)①③. (C)②④.(D)③④.[B]【分析】此题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项.【详解】假设Ax=0与Bx=0同解，那么n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，假设秩(A)=秩(B)，那么不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，那么秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).〔6〕设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，那么 (A))(~2n Y χ.(B))1(~2-n Y χ. (C))1,(~n F Y .(D)),1(~n F Y .[C] 【分析】先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，因此21XY ==122U n V U n V =，那个地方)1(~22χU ，依照F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C). 三、〔此题总分值10分〕过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A;旋转体体积可用一大立体〔圆锥〕体积减去一小立体体积进行计算，为了关心理解，可画一草图.【详解】(1)设切点的横坐标为0x ，那么曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知01ln 0=-x ，从而.0e x =因此该切线的方程为.1x ey =平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y 〔2〕切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为.3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为dy e e V y 212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππy1 D O1ex四、将函数x x f 21arctan )(+=∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】幂级数展开有直截了当法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用幂级数展开的情形。

2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与kx 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2.C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn n u 1)1(1∑∞=-.C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(y xy x Q =，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -.C.y x 11-. D.yx 1-.5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++. B.232221y y y -+.C.232221y y y --. D.232221y y y ---.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A r B..2(,2)(==A r A r C..2(,1)(==A r A r D..1)(,1)(==A r A r 7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P =C.((A B P B A P =D.()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关.B.与μ有关，而与2σ无关.C.与2,σμ都有关.D.与2,σμ都无关.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.9.设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11=.10.微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11.幂级数nn n n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .12.设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z⎰⎰--2244=.13.设），，（321αααA =为3阶矩阵.若21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0=x A 的通解为.14.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，20,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.（1）求b a ,；（2）求曲面222by ax z ++=（0≥z ）的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x ey x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…）（2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.20.设向量组T T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的一个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为T c b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XYZ =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关.（3）X 与Z 是否相互独立?23.（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来自总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos +10.23-xe 11.xcos 12.33213.，T)1,2,1(-k k 为任意常数.14.3215.解：（1）)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰，又0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xex y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x x)3,(--∞3-)0,3(-0)3,0(3),3(+∞y ''-+-+y凸拐点凹拐点凸拐点凹所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e，)3,3(23-e .16.解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a（2）dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1=dxdyy x y x ⎰⎰≤+++22222441=ρρρθπd d ⎰⎰+202241=2232)41(1212ρπ+⋅=.313π17.18.19.由对称性，2,0==y x ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ1210211)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z 20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.（2）()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.()()12323=Pαααααβ，，，，则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，.21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---==其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦.22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()zF z pe =；当0z >时，()()()()1111z zF z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩.（II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭，121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，即,X Z 不独立.从而,X Z 不独立.23.解：（I ）由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =212t e dt +∞-==⎰，从而A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i n L x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩L L 其他，当,1,2,,i x i n μ≥=L 时，取对数得()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022nii d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n ii x n μ=-∑.。