2019年考研数学一真题
一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.
2. C.
3.
D.4.
2.设函数⎩⎨
⎧>≤=,
0,ln ,
0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的
A.可导点，极值点.
B.不可导点，极值点.
C.可导点，非极值点.
D.不可导点，非极值点.
3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
A..1∑∞
=n n n
u B.
n
n n
u 1)1(1
∑∞
=-. C.∑∞
=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.
()
∑∞
=+-1
22
1n n n u u
.
4.设函数2
),(y x
y x Q =
，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+C
dy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为
A.32
y
x y -.
B.321y
x y -. C.
y x 11-. D.y
x 1-
. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22
=+，且4=A ，则二次型
Ax x T 的规范形为
A.232221y y y ++.
B.232221y y y -+.
C.232221y y y --.
D.2
32221y y y ---.
6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则
A..3)(,2)(==A r A r
B..2)(,2)(==A r A r
C..2)(,1)(==A r A r
D..1)(,1)(==A r A r
7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P +=Y B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =
8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2
σμN ，则{}
1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2
,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则
y
z cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22
=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .
11. 幂级数n
n n x n ∑∞
=-0
)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .
12. 设∑为曲面)0(442
22≥=++z z y x 的上侧，则
dxdy z x z
⎰⎰
--2244= .
13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若
21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线
性方程组0=x A 的通解为 .
14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，
02
0,2)(x x
x f ）
（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）
（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分）
设函数)(x y 是微分方程2
'2
x e xy y -
=+满足条件0)0(=y 的特解.
（1）求)(x y ；
（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.
16.（本题满分10分）
设b a ,为实数，函数2
2
2by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.
（1）求b a ,；
（2）求曲面22
2by ax z ++=（0≥z ）的面积.
17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x
与x 轴之间图形的面积.
18.设dx x x
a n
n ⎰-=
1
21，n =（0，1，2…）
（1）证明数列{}n a 单调减少，且22
1
-+-=n n a n n a （n =2，3…） （2）求1
lim
-∞→n n
n a a .
19.设Ω是锥面())10()1(22
2
2≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心
坐标.
