2020版高考数学一轮复习课时规范练10对数与对数函数理北师大版

§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. ( √)(2)2log510＋log50.25＝5. ( ×)(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. ( √)(4)log2x2＝2log2x. ( ×)(5)当x>1时，log a x>0. ( ×)(6)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b. ( ×) 2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D 解析 2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy )．故选D.4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案 (－12，＋∞)解析 函数f (x )的定义域为(－12，＋∞)，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. ∴f (log 18x )>0⇒log 18x <－13或log 18x >13⇒x >2或0<x <12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x－2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 312)的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))；f (log 312)可利用对数恒等式进行计算．答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x＝3，即2x＝3，2－x ＝33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 312)＝2＋3＝5.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．答案124解析 因为2＋log 23<4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124. 题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 213)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的． 答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log 213＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 213)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 213)<f (log 47)，即c <b <a .思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a(2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三 对数函数的应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．解 (1)由4x－1>0，解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <bA ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.(3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数． 因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2， 所以0<log π3<20.2<log 39， 所以b >a >c ，选A. 答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． 失误与防范1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值A 组 专项基础训练一、选择题 1．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <1或1<x <2}C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}答案 D解析 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x >0lg x ≠0，解得0<x <1或1<x ≤2，∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}． 2．函数y ＝lg|x －1|的图象是( )答案 A解析 ∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1lg (1－x )，x <1.∴A 项符合题意．3．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 21-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1.∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e21-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .4．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C⇒a >1或－1<a <0.5．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞)答案 D解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D. 二、填空题 6．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________________．答案 {x |－1<x ≤0或x >2}解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2.8．若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1. 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.B 组 专项能力提升1．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 () A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.2．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有()A ．f (13)<f (2)<f (12) B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)． 3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.4．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b .(1)求方程f (x )＝1的解；(2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f (a ＋b 2)所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.(1)解 由f (x )＝1得，lg x ＝±1，所以x ＝10或110. (2)证明 结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b 2>21b ·b 2＝1(因1b≠b )． (3)证明 由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b 2＋b 2＋2－4b ＝0， g (b )＝1b 2＋b 2＋2－4b ， 因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.5．已知函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 21t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 21t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减， 故函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，a 2]上单调递增． 又因为函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，2－2a ＋a ≥0，即22≤a ≤2(2＋1)．。

第六节 对数与对数函数授课提示：对应学生用书第281页〖A 组 基础保分练〗1.（2020·高考全国卷Ⅰ）设a log 34＝2，则4－a ＝（ ） A.116 B.19 C.18 D.16〖解 析〗法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.法二：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝＝9－1＝19.〖答 案〗B2.函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是（ ） A.〖1，2〗 B.〖1，2） C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 〖解 析〗由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3（2x －1）≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.〖答 案〗C 3.（2021·吕梁模拟）已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c ＜a ＜b B.c ＜b ＜a C.a ＜c ＜b D.a ＜b ＜c〖解 析〗1＜a ＝log 35＝12log 325＜12log 327＝1.5，b ＝1.51.5＞1.5，c ＝ln 2＜1，所以c ＜a ＜b .〖答 案〗A4.已知x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，那么（ ）A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a〖解 析〗由于12＜x ＜1，故x ＞x 2，故ln x ＞ln x 2＝2ln x ，所以a ＞b .c －a ＝ln 3x －ln x ＝ln x （ln 2x－1），由于ln x ＜0，|ln x |＜ln 2＜1，ln 2x －1＜0，所以ln x （ln 2x －1）＞0，故c ＞a . 〖答 案〗C5.若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝log 2a （x ＋1）满足f （x ）＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.（0，＋∞）〖解 析〗因为－1＜x ＜0，所以0＜x ＋1＜1.又因为f （x ）＞0，所以0＜2a ＜1，所以0＜a ＜12.〖答 案〗A 6.（2021·西安模拟）设方程10x ＝|lg （－x ）|的两个根分别为x 1，x 2，则（ ） A.x 1x 2＜0 B.x 1x 2＝0 C.x 1x 2＞1 D.0＜x 1x 2＜1 〖解 析〗作出y ＝10x 与 y ＝|lg （－x ）|的大致图像，如图所示.显然x 1＜0，x 2＜0. 不妨令x 1＜x 2， 则x 1＜－1＜x 2＜0，所以10x 1＝lg （－x 1），10x 2＝－lg （－x 2）， 此时10x 1＜10x 2，即lg （－x 1）＜－lg （－x 2），由此得lg （x 1x 2）＜0，所以0＜x 1x 2＜1. 〖答 案〗D7.已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是__________.〖解 析〗由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2.〖答 案〗7 28.已知函数f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在〖2，＋∞）上单调递减，则a 的取值范围为__________. 〖解 析〗令g （x ）＝x 2－ax ＋3a ，因为f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在〖2，＋∞）上单调递减， 所以函数g （x ）在区间〖2，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以12a ≤2且g （2）＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4. 〖答 案〗（－4，4〗9.设f （x ）＝log a （1＋x ）＋log a （3－x ）（a ＞0，且a ≠1），且f （1）＝2. （1）求a 的值及f （x ）的定义域；（2）求f （x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值. 〖解 析〗（1）因为f （1）＝2，所以log a 4＝2（a ＞0，且a ≠1），所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， 所以函数f （x ）的定义域为（－1，3）.（2）f （x ）＝log 2（1＋x ）＋log 2（3－x ）＝log 2〖（1＋x ）（3－x ）〗＝log 2〖－（x －1）2＋4〗， 所以当x ∈（－1，1〗时，f （x ）是增函数；当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，故函数f （x ）在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f （1）＝log 24＝2. 10.已知函数f （x ）＝log 4（ax 2＋2x ＋3）. （1）若f （1）＝1，求f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，使f （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 〖解 析〗（1）∵f （1）＝1，∴log 4（a ＋5）＝1，得a ＝－1， 故f （x ）＝log 4（－x 2＋2x ＋3）.由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数定义域为（－1，3）. 令g （x ）＝－x 2＋2x ＋3，则g （x ）在（－1，1）上递增，在（1，3）上递减， 又y ＝log 4x 在（0，＋∞）上递增，所以f （x ）的单调递增区间是（－1，1），递减区间是（1，3）. （2）假设存在实数a 使f （x ）的最小值为0， 则h （x ）＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此⎩⎨⎧a ＞0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f （x ）的最小值为0.〖B 组 能力提升练〗1.函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|（a ＞0，且a ≠1）的图像大致是（ ）〖解 析〗函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|的定义域为{x |x ＞－1}，且对任意的x ，均有f （x ）≥0，结合对数函数的图像可知选C. 〖答 案〗C2.函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）〖解 析〗当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图像为选项B ，D 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，选项B ，D 中的图像都不符合要求；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图像为选项A ，C 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图像符合要求. 〖答 案〗A3.已知函数f （x ）＝|ln x |.若0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ），则a ＋4b 的取值范围是（ ） A.（4，＋∞） B.〖4，＋∞） C.（5，＋∞） D.〖5，＋∞） 〖解 析〗由f （a ）＝f （b ）得|ln a |＝|ln b |，根据函数y ＝|ln x |的图像及0＜a ＜b ，得－ln a ＝lnb ，0＜a ＜1＜b ，1a ＝b .令g （b ）＝a ＋4b ＝4b ＋1b ，易得g （b ）在（1，＋∞）上单调递增，所以g （b ）＞g （1）＝5，即a ＋4b ＞5.〖答 案〗C4.若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则（ ） A.2x ＜3y ＜5z B.5z ＜3y ＜2x C.3y ＜2x ＜5z D.5z ＜2x ＜3y〖解 析〗设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t＋1，5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x .〖答 案〗B 5.（2020·高考全国卷Ⅲ）已知55＜84，134＜85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（ ） A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.b ＜c ＜a D.c ＜a ＜b〖解 析〗∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58＜⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53＜log 85.∵55＜84，134＜85，∴5log 85＜4，4＜5log 138，∴log 85＜log 138，∴log 53＜log 85＜log 138，即a ＜b ＜c . 〖答 案〗A6.（2021·黄石模拟）已知x 1＝log 132，x 2＝2，x 3满足⎝⎛⎭⎫13x 3＝log 3x 3，则（ ）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 2＜x 1＜x 3D.x 3＜x 1＜x 2 〖解 析〗由题意可知x 3是函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x 与y 2＝log 3x 的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3x 的图像，如图所示，由图像可知x 3＞1，而x 1＝log 132＜0，0＜x 2＝2＜1，所以x 3＞x 2＞x 1.〖答 案〗A7.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f （a ）＝f （b ）＝f（c ）＝f （d ），其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值范围__________.〖解 析〗由题意可得－log 3a ＝log 3b ＝13c 2－103c ＋8＝13d 2－103d ＋8，可得log 3（ab ）＝0，故ab ＝1.结合函数f （x ）的图像，在区间〖3，＋∞）上， 令f （x ）＝1可得c ＝3，d ＝7，cd ＝21. 令f （x ）＝0可得c ＝4，d ＝6，cd ＝24. 故有21＜abcd ＜24.〖答 案〗（21，24）〖C 组 创新应用练〗 1.（2020·新高考全国卷）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I （t ）＝e rt 描述累计感染病例数I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln 2≈0.69）（ ） A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 〖解 析〗由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6， 得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病倒数增加1倍，则I （t 2）＝2I （t 1），即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38（t 2－t 1）＝2，即0.38（t 2－t 1）＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.〖答 案〗B 2.（2021·朝阳模拟）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作〖H ＋〗）和氢氧根离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作〖OH －〗）的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg 〖H ＋〗，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（ ） A.12 B.13 C.16 D.110〖解 析〗由题意可得pH ＝－lg 〖H ＋〗∈（7.35，7.45），且〖H ＋〗·〖OH －〗＝10－14，∴lg [H ＋][OH －]＝lg[H ＋]10－14[H ＋]＝lg 〖H ＋〗2＋14＝2lg 〖H ＋〗＋14.∵7.35＜－lg 〖H ＋〗＜7.45，∴－7.45＜lg 〖H ＋〗＜－7.35，∴－0.9＜2lg 〖H ＋〗＋14＜－0.7，即－0.9＜lg[H ＋][OH －]＜－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误；lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误；lg 16＝－lg 6＝－（lg 2＋lg 3）≈－0.78，故C 正确；lg 110＝－1，故D 错误.〖答 案〗C3.已知函数f （x ）＝ln x1－x，若f （a ）＋f （b ）＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是__________.〖解 析〗由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a （1－a ）＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14，即ab ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 〖答 案〗⎝⎛⎭⎫0，14。

第四章对数运算与对数函数单元整合1.☉%￥￥￥291#1%☉(2024·安阳一中高一段考)已知集合A ={y |y =log 2x ,x >1},B ={y |y =(12)x,x >1},则A ∩B =( )。

A.{y |0<y <12} B.{y |0<y <1} C.{y |12<y <1} D.⌀答案：A 解析：由题意,依据对数函数的性质,可得集合A ={y |y =log 2x ,x >1}={y |y >0},依据指数函数的性质,可得集合B ={y |y =(12)x,x >1}={y |0<y <12}, 所以A ∩B ={y |0<y <12}。

故选A 。

2.☉%5*678##@%☉(2024·宜宾高三诊断)若函数f (x )=2a x +m-n (a >0且a ≠1)的图像恒过点(-1,4),则m +n 等于( )。

A.3 B.1 C.-1 D.-2 答案：C解析：由题意,函数f (x )=2a x +m -n (a >0且a ≠1)的图像恒过点(-1,4),∴m -1=0且2·a m -1-n =4,解得m =1,n =-2,∴m +n =-1。

故选C 。

3.☉%**91￥3#5%☉(2024·成都七中高一期中)函数f (x )=√x (x -1)-ln x 的定义域为( )。

A.{x |x >0} B.{x |x ≥1}C.{x |x ≥1或x <0}D.{x |0<x ≤1} 答案：B解析：∵f (x )有意义,∴{x (x -1)≥0,x >0,解得x ≥1,∴f (x )的定义域为{x |x ≥1}。

故选B 。

4.☉%#9@￥8￥46%☉(2024·成都七中高一期中)已知幂函数f (x )=x a(a 是常数),则( )。

2025届高考数学一轮复习北师大版多选题专题练： 对数运算和对数函数A.C. D.4．设,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论中,错误的是( )A.的增长速度最快, 的增长速度最慢B.的增长速度最快, 的增长速度最慢C.的增长速度最快, 的增长速度最慢D.的增长速度最快, 的增长速度最慢5．已知函数，则下列说法正确的是( ).A.B.函数的图象与x 轴有两个交点C.函数的最小值为-434log 9log 2+=212log 3=+5log 3259=225511log 25log log 8log 252⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22,2,log x f x x g x h x x ===(4,)x ∈+∞()f x ()h x ()g x ()h x ()g x ()f x ()f x ()g x ()2222()log log 3f x x x =--(4)3f =-()y f x =()y f x =D.函数的最大值为46．下列运算正确的是( ).A. B.C.若，则 D.若，则7．下列运算正确的是( ).A. B.C.若，则 D.若，则8．已知，且，下列说法中错误的是( ).A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则9．下列运算错误的是( ).A. B.C. D.10．下列运算错误的是( )A.B.C.D.11．若,,且,则( )A. B.C. D.12．下列式子中正确的是( )()y f x =lg(lg10)0=lg(ln e)0=lg 10x =10x =ln e x =2e x=1232=129ln e 4+=3log (lg )1x =1000x=log a c =7cb a =0a >1a ≠M N =log log a a M N =log log a a M N =M N =22log log a a M N =M N =M N =22log log a a M N =11552log 10log 0.252+=42598log 27log 8log 59⨯⨯=23511log 25log log 16169⨯⨯=lg 2lg 5010+=11552log 10log 0.252+=42598log 27log 8log 59⋅⋅=lg 2lg 5010+=((2225log (2log 4-=-1a >1b >lg()lg lg a b a b +=+lg(1)lg(1)0a b -+-=11lg 0a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭lg(1)lg(1)1a b -+-=11lg 1a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.若，则B.若C.D.13．在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足的星的亮度为.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，南极星的星等是-0.72，则( )A.天狼星的星等大约是南极星星等的2倍B.太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是10.1C.天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是D.天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是14．已知且A. B. C. D.15．下列运算正确的是( )A. B.C. D.16．下列运算中正确的是( )A. B.C. D.17．下列运算正确的是( )A. B.C. D.18．下列运算中正确的是( )A. B.C. D.552log 10log 0.252+=42598log 27log 8log 59⨯⨯=lg 2lg5010+=ln 2ln3e 6+=10lg x =10x =25log x =5=±lg(lg10)0=24log 5280+=2152m m -=k ()1,2k E k =10,110-0,29210-0a b >>ln a =22log log a b>2e ab >122ab a b ++<a b b aa b a b >lg 5lg 21+=42log 32log 3=ln πe π=5lg 5lg 2log 2÷=lg5lg 21+=ln πe π=42log 32log 3=2lg 5lg 2log 5÷=52log 10log 0.252s +=42598log 27log 8log 59⨯⨯=lg2lg5010+=ln 2ln36e +=19．下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有( )A.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快B.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢C.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢D.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快20．已知，，则的值可能为( )A.B.C.24D.12()log f x x =1()2g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,+∞()f x ()g x ()f x ()g x ()f x ()g x ()f x ()g x ,a b ∈R 249a b ==2a b -8338124参考答案解析：对选项A:,正确;对选项C:,正确;341log 9log 222+=+=2212log 32log 3==-=+555log 3log 3log 9225559===对选项D:,正确;故选:BCD 4．答案：ACD解析：画出函数,,的图象,如图所示,结合图象,可得三个函数,,中,当时,函数增长速度最快,增长速度最慢.所以选项B 正确;选项ACD 不正确.故选：ACD.5．答案：ABC解析：对于A ，，正确；对于B ，，，令，得，即得或，所以或，即的图象与x 轴有两个交点，正确；对于C ，，，当，即时，，正确；对于D ，易知没有最大值.6．答案：AB 解析：7．答案：BCD 解析：8．答案：ACD 解析：()2222(4)log 4log 433f =--=-()222()log 2log 3f x x x =--(0,)x ∈+∞()0f x =()()22log 1log 30x x +-=2log 1x =-2log 3x =12x =2255252511log 25log log 8log log 5log 42log 5log 2252⎛⎫⎛⎫++=⨯=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2f x x =()2x g x =()2log h x x =()2f x x =()2x g x =()2log h x x =(4,)x ∈+∞()2x g x =()2log h x x =8x =()f x ()22()log 14f x x =--(0,)x ∈+∞2log 1x =2x =min ()4f x =-()f x9．答案：ABD 解析：对于A ，，故A 错误.对于B ，误.对于C ，，故C 正确.对于D ，，故D 错误.10．答案：ABC解析：对于A ，，A 错误；对于B ，对于C ，，C 错误；对于D ，故选：ABC.11．答案：AB解析:依题意,,由,得,所以,且,即,.故选AB12．答案：CD解析：若，则，故A 错误；若，故B 错误；因为，则，故C 正确；()221111115555552log 10log 0.25log 10log 0.25log 100.25log 252+=+=⨯==-4259lg 27lg8lg 53lg 33lg 2lg 5log 27log 8log 5lg 4lg 25lg 92lg 22lg 52lg 3⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=242235235112lg 54lg 22lg 3log 25log log log 5log 2log 316169lg 2lg 3lg 5----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=lg 2lg 50lg1002+==()22111155552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==-334259222lg 312lg 533log 27log 8log 5lg 215lg 3222g g ⨯⋅⋅=⋅⋅==⨯⨯lg 2lg 50lg1002+==((22221log (2log 12⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭1a >1b >lg()lg lg lg()a b a b ab +=+=a b ab +=(1)(1)()1a b ab a b --=-++=111a b=+=[]lg(1)lg(1)lg (1)(1)lg10a b a b -+-=--==11lg 0a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭10lg x =1010x =25log x =12255x ==lg101=lg(lg10)lg10==，故D 正确.故选：CD.13．答案：AC 解析：14．答案：AD解析：对于选项A ：因为，又因为在上单调递增，所以，故A 正确；对于选项B ：因为，解得或，所以或，故B 错误；对于选项C ：因为，且，可得，同号，则有若，同正，可得，则，可得；若，同负，可得，则，可得.综上所述，，又因为在定义域内单调递增，所以，故C 错误；对于选项D ：因为，则，可得在上单调递增，可得，且，，所以，故D 正确.故选AD.15．答案：AC解析：,故选项A 正确;,故选项B 错误;根据对数恒等式可知,,选项C 正确;根据换底公式可得：,故选项D 错误．故选：AC.16．答案：AD解析：对于选项A ，，所以选项A 正确；224log 5log 5422216580+==⨯=⨯0a b >>2log y x =()0,+∞22log log a b >2(ln ln )ln ln 4a b a b +<=()2ln 14ab >()ln 2ab >()ln 2ab <-2e ab >210e ab <<0a b >>ln ln 10a b =>ln a ln b ln a ln b e 1a b >>>()()()1110a b ab a b --=-++>1ab a b +>+ln a ln b 110ea b >>>>()()()1110a b ab a b --=-++>1ab a b +>+1ab a b +>+2x y =122ab a b ++>0a b >>0a b ->a b y x -=()0,+∞0a b a b a b -->>0b a >0b b >a b b a a b a b >()lg 5lg 2lg 52lg101+=⨯==224222log 3log 31log 3log 3log 42log 22===ln πe π=5lg 2log 2lg 2lg 5lg 5==÷()2255552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==对于选项B ，误；对于选项C ，，所以选项C 错误；对于选项D ，，所以选项D 正确.故选：AD 17．答案：ABD解析：对于选项A ，，故选项A 正确；对于选项B ，根据对数恒等式可知，故选项B 正确；对于选项C ，，故选项C 错误；对于选项D ，根据换底公式可得，故选项D 正确.故选ABD.18．答案：AD解析:对于选项A,,所以选项A 正确;对于选项B,项C,,所以选项C 错误;对于选项D,, 所以选项D 正确.19．答案：ABD解析：在平面直角坐标系中画出与图象如下图所示，由图象可判断出衰减情况为衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢.20．答案：BC解析：由题意得，，则时，，同理时，334259222lg 3lg 2lg 533log 27log 8log 5lg 2lg 5lg 3222⨯⨯⨯=⨯⨯==⨯⨯lg 2lg50lg1002+==ln 2ln3ln 2ln3e e e 236+=⋅=⨯=lg5lg 2lg(52)lg101+=⨯==224222log 3log 31log 3log 3log 42log 22===2lg 5log 5lg 5lg 2lg 2==÷()2255552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==334259222lg3lg2lg533log 27log 8log 5lg2lg5lg3222⨯⨯⨯=⨯⨯==⨯⨯lg2lg50lg1002+==ln 2ln 3ln 2ln 3236e e e +=⋅=⨯=()f x ()g x ()f x ()g x 42log 9log 3a ==3b =±3b =23228a a bb -==3b =-22242a a bb -==故选：BC.。

课时规范练10 对数与对数函数基础巩固组1.(2018河北衡水中学17模,1)设集合A={x|0.4x<1},集合B={x|y=lg(x2-x-2)},则集合A∪(∁R B)=()A.(0,2]B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,+∞)2.函数y=的定义域是()A.[1,2]B.[1,2)C.D.3.已知x=ln π,y=lo,z=,则()A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x4.(2018湖南湘潭三模,3)已知a=,b=lo,c=log3,则()A.b>c>aB.a>b>cC.c>b>aD.b>a>c5.已知y=log a(2-ax)(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上是减少的,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.[2,+∞)6.已知函数f(x)=log2(x2-2x-3),则使f(x)是减少的的区间是()A.(-∞,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-∞,-1)7.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2xB.C.lo xD.2x-28.若函数f(x)=log a(ax-3)在[1,3]上递增,则a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(0,1)C. D.(3,+∞)9.(2018河北唐山三模,10)已知a=,b=log23,c=log34,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a10.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a11.函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为.12.已知函数f(x)=log a(ax2-x+3)在[1,3]上是增加的,则a的取值范围是.综合提升组13.(2018山东潍坊三模,9)已知a=,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b14.函数y=|log2x|-的零点个数是()A.0B.1C.2D.315.(2018安徽宿州三模,10)已知m>0,n>0,log4m=log8n=log16(2m+n),则log2-log4n=()A.-2B.2C.-D.16.已知定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是.创新应用组17.(2018福建南平一模,10)已知函数f(x)=2 017x+log2 017(+x)-2 017-x,则关于x的不等式f(2x+3)+f(x)>0的解集是 ()A.(-3,+∞)B.(-∞,-3)C.(-∞,-1)D.(-1,+∞)18.已知函数f(x)=x-a ln x,当x>1时,f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(e,+∞)D.(-∞,e)参考答案课时规范练10 对数与对数函数1.C由题意得A={x|0.4x<1}={x|x>0},B={x|x2-x-2>0}={x|x<-1或x>2},∴∁R B={x|-1≤x≤2},∴A∪(∁R B)={x|x≥-1}=[-1,+∞).故选C.2.D由lo(2x-1)≥0⇒0<2x-1≤1⇒<x≤1.3.D∵x=ln π>1,y=lo<lo=,z==∈.∴x>z>y.故选D.4.D∵a==∈(0,1),b=lo>lo=1,c=log3<log31=0,∴b>a>c.5.C因为y=log a(2-ax)(a>0,且a≠1)在[0,1]上递减,u=2-ax在[0,1]上是减少的,所以y=log a u是增加的,所以a>1.又2-a>0,所以1<a<2.6.D由x2-2x-3>0知,定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞).而函数u=x2-2x-3在(-∞,-1)上是减少的,所以使f(x)是减少的的区间是(-∞,-1).7.A由题意知f(x)=log a x.∵f(2)=1,∴log a2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x.8.D∵a>0,且a≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若函数f(x)为增函数,则f(x)=log a u必为增函数,因此a>1.又y=ax-3在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即a>3.故选D.9.C∵a==log22=log2<log23=b, ==<<=1,∴c<b,a=log33=log3>log3=log34=c.∴c<a<b.10.C因为f(x)是奇函数且在R上是增函数,所以在x>0时,f(x)>0,从而g(x)=xf(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,a=g(-log25.1)=g(log25.1),20.8<2,又4<5.1<8,则2<log25.1<3,即0<20.8<log25.1<3,所以g(20.8)<g(log25.1)<g(3),所以b<a<c,故选C.11.- 显然x>0,则f(x)=log2·lo(2x)= log2x·log2(4x2)=log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=-≥-,当且仅当x=时,有f(x)min=-.12.∪(1,+∞)令t=ax2-x+3,则原函数可化为y=f(t)=log a t.当a>1时,y=log a t在定义域内递增,故t=ax2-x+3在[1,3]上也是递增,所以可得a>1;当0<a<1时,y=log a t在定义域内递减,故t=ax2-x+3在[1,3]上也是递减,所以可得0<a≤.故a>1或0<a≤.13.A∵幂函数y=是R上的增函数,∴a<b<1,函数y=lo x是减函数,∴c=lo>lo=1,∴a<b<c.14.C函数y=|log2x|-的零点个数即为方程|log2x|=实根的个数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=|log2x|及y=的图像(图像略),不难得出两个函数的图像有2个交点,故选C.15.C∵log4m=log8n=log16(2m+n),∴log2=log2=log2(2m+n,∴==(2m+n,∴m3=n2,m2=2m+n,将n=m2-2m代入m3=n2,得m2-5m+4=0,得m=4,或m=1(不合题意),∴n=8.log2-log4n=log22-log48=1-=-.16.(-∞,-2)∪由已知条件可知,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-log2(-x).当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,即为log2x<-1,解得0<x<;当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1,即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.所以f(x)<-1的解集为(-∞,-2)∪.17.D根据题意,对于f(x)=2 017x+log2 017(+x)-2 017-x,其定义域为R,关于原点对称,f(-x)=2 017-x+log(-x)-2 017x=-[2 017x+log2 017(+x)-2 017-x]=-f(x),2 017即函数f(x)为奇函数;对于f(x)=2 017x+log2 017(+x)-2 017-x,分析易得其为增函数.所以f(2x+3)+f(x)>0⇔f(2x+3)>-f(x)⇔f(2x+3)>f(-x)⇔2x+3>-x,解得x>-1,即不等式f(2x+3)+f(x)>0的解集是(-1,+∞).故选D.18.D f'(x)=1-=,当a≤1时,f'(x)≥0在(1,+∞)内恒成立,则f(x)是递增的,则f(x)>f(1)=1恒成立,可得a≤1.当a>1时,令f'(x)>0,解得x>a;令f'(x)<0,解得1<x<a,故f(x)在(1,a)内递减,在(a,+∞)内递增.所以只需f(x)min=f(a)=a-a ln a>0,解得1<a<e.综上,a<e,故选D.。

第四章对数运算和对数函数课后练习1、对数的概念................................................................................................................ - 1 -2、对数的运算................................................................................................................ - 5 -3、对数函数的概念...................................................................................................... - 10 -4、对数函数y=log2x的图象和性质............................................................................ - 13 -5、对数函数y=log a x的图象和性质 ............................................................................ - 18 -6、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较.......................................................... - 25 -1、对数的概念基础练习1.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于( )A. B. C. D.【解析】选C.由条件知,log3(log2x)=1,所以log2x=3,所以x=8,所以=.【补偿训练】若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围是( )A.[2,+∞)B.(2,3)∪(3,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)【解析】选B.要使对数式log(t-2)3有意义,需,解得t>2且t≠3,所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).2.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即a b=N⇔b=log a N.现在已知a=log23,则2a= .【解析】由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.答案:33.e0++= .【解析】原式=1+2+8=11.答案:114.把对数式log84=x化成指数式是;可求出x= . 【解析】因为log84=x,所以8x=4,所以23x=22,所以x=.答案:8x=45.(1)将log232=5化成指数式.(2)将3-3=化成对数式.(3)log4x=-,求x.(4)已知log2(log3x)=1,求x.【解析】(1)因为log232=5,所以25=32.(2)因为3-3=,所以log3=-3.(3)因为log4x=-,所以x===2-3=.(4)因为log2(log3x)=1,所以log3x=2,即x=32=9.提升练习一、单选题(每小题5分,共10分)1.设f(log2x)=2x(x>0),则f(2)的值是( )A.128B.16C.8D.256【解析】选B.由题意,令log2x=2,解得x=4,则f(log2x)=2x=24=16.2.(2020·西安高一检测)已知2×9x-28=,则x= ( )A.log 37-log32B.lo 4C.log34D.log37【解析】选C.2×9x-28=,所以2×(3x)2-28-3x=0,即(3x-4)(2·3x+7)=0,解得3x=4,则x=log34.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( )A.a2+b2≥B.2a-b>C.log2a+log2b≥-2D.+≤【解析】选ABD.因为a+b=1,所以由2(a2+b2)≥(a+b)2(当且仅当a=b时,等号成立),得a2+b2≥,故A项正确;由题意可得0<b<1,所以-1<a-b=1-2b<1,所以2a-b>,故B项正确;因为a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),所以ab≤,所以log2a+log2b≤log2=-2,故C项错误;由2(a+b)≥(当且仅当a=b时,等号成立),得+≤,故D项正确.4.下列各式正确的有( )A.lg(lg 10)=0B.lg(ln e)=0C.若10=lg x,则x=10D.若log25x=,则x=±5【解析】选AB.对于A,因为lg(lg 10)=lg 1=0,所以A对;对于B,因为lg(ln e)=lg 1=0,所以B对;对于C,因为10=lg x,所以x=1010,C错;对于D,因为log25x=,所以x=2=5.所以只有AB正确.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若log a2=m,log a3=n,其中a>0,且a≠1,则a m+n= .【解析】log a2=m,可得a m=2.log a3=n,a n=3.a m+n=a m a n=2×3=6.答案:66.(2020·绍兴高一检测)已知方程log a(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a= ;当a=2时,方程的解x= .【解析】因为x=2是方程的解,所以log a(52-32)=2.所以a2=16,且a>0,所以a=4.当a=2时,log2(5x-3x)=x.所以5x-3x=2x,显然x=1是方程的解.答案:4 1【补偿训练】方程log3(9x-4)=x+1的解x= .【解析】因为log3(9x-4)=x+1,所以9x-4=3x+1,所以(3x)2-3·3x-4=0,所以3x=4,x=log34,或3x=-1(舍).答案:log34四、解答题7.(10分)若lo x=m,lo y=m+2,求的值.【解析】因为lo x=m,所以=x,x2=.因为lo y=m+2,所以=y,y=,所以====16.【补偿训练】已知log a b=log b a(a>0,a≠1;b>0,b≠1),求证:a=b或a=. 【证明】令log a b=log b a=t,则a t=b,b t=a,所以=a则=a,所以t2=1,t=±1,当t=1时,a=b;当t=-1时,a=.所以a=b或a=.2、对数的运算基础练习1.化简2lg 5+lg 4-的结果为( )A.0B.2C.4D.6【解析】选A.原式=2lg 5+2lg 2-2=2(lg 5+lg 2)-2=0.2.+等于( )A.lg 3B.-lg 3C.D.-【解析】选C.原式=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=.3.(2020·新乡高一检测)设a=lg 6,b=lg 20,则log23= ( )A. B.C. D.【解析】选D.因为a=lg 6=lg 2+lg 3,b=lg 20=1+lg 2,所以log23==.4.计算:2-1+lg 100-ln= .【解析】原式=+2-=2.答案:25.已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.【解析】因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,c>0,所以=log c3,=log c5,所以+=log c15.由log c15=2得c2=15,即c=(负值舍去).提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.设函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(x1x2·…·x2 020)=4,则f()+f()+…+f()的值等于( )A.4B.8C.16D.2log48【解析】选B.因为函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),f(x1x2…x2 020)=4,所以f(x1x2…x2 020)=log a(x1x2…x2 020)=4,所以f()+f()+…+f()=log a(××…×)=log a(x1x2…x2 020)2=2log a(x1x2…x2 020)=2×4=8.2.(2020·全国卷Ⅰ)设alog34=2,则4-a= ( )A. B. C. D.【解题指南】首先根据题中所给的式子,结合对数的运算法则,得到log34a=2,即4a=9,进而求得4-a=,得到结果.【解析】选B.由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,所以有4-a=.3.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.1【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,所以lg=10.1,则=1010.1.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.(2020·滨州高一检测)已知a,b均为正实数,若log a b+log b a=,a b=b a,则可以取的值有( )A. B. C. D.2【解析】选AD.令t=log a b,则t+=,所以2t2-5t+2=0,(2t-1)(t-2)=0,所以t=或t=2,所以log a b=或log a b=2.所以a=b2或a2=b.又因为a b=b a,所以2b=a=b2或b=2a=a2.所以b=2,a=4或a=2,b=4.所以=2或=.三、填空题(每小题5分,共10分)5.(lg 5)2-(lg 2)2+lg 4= .【解析】原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+lg 4=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1.答案:16.已知lg a+b=3,a b=100,则a lg 2·b= .【解析】lg a+b=3,a=103-b,又因为a b=100,所以10(3-b)b=100,b(3-b)=2,所以b=1或2,a=100或10,所以a lg 2·b=102lg 2·1=4或a lg 2·b=10lg 2·2=2×2=4.答案:4四、解答题7.(10分)(2020·漳州高一检测)计算下列各式:(1)(log32+log92)(log43+log83)+;(2)2lg 5+lg 8+lg 5·lg 20+lg22.【解析】(1)(log32+log92)(log43+log83)+=+5=···+5=×+5=. (2)2lg 5+lg 8+lg 5·lg 20+lg22=2lg 5+lg 23+lg 5·lg(4×5)+lg22=2lg 5+2lg 2+2lg 5·lg 2+lg25+lg22=2(lg 5+lg 2)+2lg 5·lg 2+lg25+lg22=2+(lg 5+lg 2)2=2+1=3.【补偿训练】计算:(1)log535-2log5+log57-log51.8;(2)log2+log212-log242-1.【解析】(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5= log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.(2)原式=log2+log212-log2-log22=log2=log2=log2=-.3、对数函数的概念基础练习1.函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数,则f(2)等于( )A.3B.C.-log36D.-log38【解析】选B.因为函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数,所以解得a=2,所以f(x)=log2x,所以f(2)=log2=.2.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的反函数是g(x),且g=-1,则f=( )A. B.2 C. D.【解析】选C.由已知得g(x)=log a x.又g=log a=-1,于是a=4,因此f(x)=4x,故f==.3.若函数y=f(x)是函数y=5x的反函数,则f(f(5))= .【解析】因为y=f(x)与y=5x互为反函数,所以f(x)=log5x.所以f(f(5))=f(log55)=f(1)=log51=0.答案:04.若对数函数f(x)=log a x的图象过点(2,1),则f(8)= .【解析】依题意知1=log a2,所以a=2,所以f(x)=log2x,故f(8)=log28=3. 答案:35.已知函数f(x)=log 3x+lo x,则f()= .【解析】f()=log3+lo=-=0.答案:06.写出下列函数的反函数:(1)y=lo x;(2)y=πx;(3)y=.【解析】(1)对数函数y=lo x,它的底数是,它的反函数是y=;(2)指数函数y=πx,它的底数是π,它的反函数为y=logπx;(3)指数函数y=,它的底数是,它的反函数是y=lo x.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.设f(x)是对数函数,且f()=-,那么f()= ( )A. B. C.- D.-【解析】选C.设对数函数f(x)=log a x(a>0,a≠1).由条件得log a=-,即log a=-,则a=.因此f(x)=x,所以f()==-.2.若f(x3)=lg x,则f(2)= ( )A.lg 2B.3lg 2C.-3lg 2D.lg 2【解析】选D.由x3=2得x=,所以f(2)=f[()3]=lg =lg 2.3.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则当x<0时,f(x)= ( )A.-log2xB.log2(-x)C.log x2D.-log2(-x)【解析】选D.设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x).因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-log2(-x).二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.下列函数表达式中,是对数函数的有( )A.y=log a x(a∈R)B.y=log8xC.y=log x(x+2)D.y=logπx【解析】选BD.由于形如y=log a x(a>0,且a≠1)的函数即为对数函数,符合此形式的函数表达式有BD,其他的均不符合.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若f(x)=log a x+(a2-4a-5)是对数函数,则a= .【解析】由对数函数的定义可知,解得a=5.答案:56.已知函数f(x)=log a(x+2),若图象过点(6,3),则f(x)= ,f(30)= .【解析】代入(6,3),得3=log a(6+2)=log a8,即a3=8,所以a=2,所以f(x)=log2(x+2),所以f(30)=log232,令log232=m,所以2m=32,所以m=5. 答案:log2(x+2) 5三、解答题7.(10分)已知函数f(x)=log a(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.【解析】因为a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a.因为当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.所以3-2a>0,所以a<.又a>0且a≠1,所以0<a<1或1<a<,所以实数a的取值范围为(0,1)∪.4、对数函数y=log2x的图象和性质基础练习1.若f为y=2-x的反函数,则f的图象大致是( )【解析】选C.由题意,f(x)与y=2-x=的图象关于y=x对称,即f(x)=x,故f(x-1)=(x-1),所以f(x-1)的图象就是将f=x右移一个单位得到.【补偿训练】已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是( )【解析】选C.f(x)与y=log2x互为反函数,因此f(x)=2x,故y=f(1-x)=21-x=,该函数图象是由y=的图象向右平移1个单位得到的.2.设函数f(x)=则f(f(-1))= ( )A.2B.1C.-2D.-1【解析】选D.因为-1<0,所以f(-1)=2-1=;因为>0,所以f=log2=log22-1=-1.故f(f(-1))=-1.3.已知函数f(x)=log2x,且f(m)>0,则m的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.R【解析】选C.结合f(x)=log2x的图象(图略)可知,当f(m)>0时,m>1.4.已知m,n∈R,函数f(x)=m+log n x的图象如图,则m,n的取值范围分别是 ( )A.m>0,0<n<1B.m<0,0<n<1C.m>0,n>1D.m<0,n>1【解析】选C.由图象知函数为增函数,故n>1.又当x=1时,f(x)=m>0,故m>0.5.已知函数f(x)=log2(2x-a),若f(2)=0,则a= .【解析】由题意,f(2)=0,即log2(4-a)=0,可得4-a=1,则a=3.答案:36.已知f(x)=|log3x|.(1)画出这个函数的图象;(2)当0<a<2时,f(a)>f(2),利用函数图象求出a的取值范围.【解析】(1)如图.(2)令f(a)=f(2),即|log3a|=|log32|,解得a=或a=2.从图象可知,当0<a<时,满足f(a)>f(2),所以a的取值范围是.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)【解析】选D.f(x)=①当x≤1时,21-x≤2⇒≤1,所以2x≥1,所以x≥0,又x≤1,所以0≤x≤1;②当x>1时,1-log2x≤2,所以log2x≥-1恒成立,所以x>1.综上所述x≥0.2.函数f(x)=的图象与函数g(x)=log2x的图象的交点个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.在同一个坐标系中画出f(x)和g(x)的图象,如图,由图象可知f(x)与g(x)的交点个数为3.3.已知f(x)=|log2x|,若>a>b>1,则( )A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(a)>f(c)【解析】选C.先作出函数y=log2x的图象,再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方,这样,我们便得到了y=|log2x|的图象,如图.由图可知,f(x)=|log2x|在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,于是f>f(a)>f(b),又f=|log2|=|-log2c|=|log2c|=f(c).所以f(c)>f(a)>f(b).【补偿训练】设a,b,c均为正数,且2a=a,=b,=log2c,则 ( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】选A.由函数y=2x,y=,y=log2x,y=x的图象可得出a<b<c.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知log2=log2,则x的值可以为( )A.2B.3C.-2D.-3【解析】选AB.由已知等式,得5x-2=x2+4,解得x1=2,x2=3.经验证均符合题意.三、填空题(每小题5分,共10分)5.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则f= ,当x<0时,f(x)= .【解析】因为f(x)是奇函数,所以f=-f=-log2=;设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x).因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-log2(-x).答案:-log2(-x)6.函数f(x)=log2x在区间[a,2a](a>0)上的最大值与最小值之差为. 【解析】因为f(x)=log2x在区间[a,2a]上单调递增,所以f(x)max-f(x)min=f(2a)-f(a)=log22a-log2a=1.答案:1四、解答题7.(10分)(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象如何变化得到的? (2)在给出的坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象;(3)设函数y=与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,设M=x1x2-2(x1+x2)+4,请判断M的符号.【解析】(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象向右平移1个单位得到的.(2)在坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象,如图所示.(3)设函数y=与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,所以M=x1x2-2(x1+x2)+4=(x1-2)(x2-2)<0.5、对数函数y=log a x的图象和性质基础练习1.若a=log67,b=log76,c=loπ,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a【解析】选C.log 67>log66=1,0=log71<log76<log77=1,loπ<lo1=0,所以c<b<a.2.已知x=ln π,y=log5,z=,则( )A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x【解析】选D.因为ln π>ln e=1,log5<log51=0,0<<1,所以y<z<x.3.若函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( )A. B. C.2 D.4【解析】选B.当a>1时,a+log a2+1=a,log a2=-1,a=(舍去).当0<a<1时,1+a+log a2=a,所以log a2=-1,a=.4.(2020·北京高考)函数f(x)=+ln x的定义域是.【解析】由得x>0.答案:(0,+∞)5.已知函数f(x)=lg(2+x2),则满足不等式f(2x-1)<f(3)的x的取值范围为.【解析】因为函数f(x)=lg(2+x2),且满足不等式f(2x-1)<f(3),所以(2x-1)2<9,即-3<2x-1<3,解得-1<x<2.答案:(-1,2)6.已知函数f(x)=log a(x+2)+log a(3-x),其中0<a<1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.【解析】(1)要使函数有意义,则解得-2<x<3.所以函数的定义域为(-2,3).(2)函数f(x)=log a[(x+2)(3-x)]=log a(-x2+x+6)=log a,因为-2<x<3,所以0<-+≤,因为0<a<1,所以log a≥log a,即f(x)min=log a,由log a=-4,得a-4=,所以a=.提升练习一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象为( )【解析】选D.由f(x)是R上的奇函数,即函数图象关于原点对称,排除A,B.又x>0时,f(x)=ln(x+1),所以D项正确.2.(2020·天津高考)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b【解题指南】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出a,b,c的大小关系. 【解析】选D.因为a=30.7>1,b==30.8>30.7=a,c=log0.70.8<log0.70.7=1,所以c<1<a<b.3.已知函数f(x)=2lo x的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是( )A. B.[-1,1]C. D.∪【解析】选A.因为已知函数的值域为[-1,1],所以-≤lo x≤,化简解得≤x≤,故函数f(x)的定义域为.4.函数y=f(x)=lg是( )A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解题指南】利用函数奇偶性的定义,结合对数的运算判断.【解析】选B.已知函数的定义域是R,因为f=lg=lg=-lg=-f.所以函数f(x)是奇函数.【误区警示】本题容易出现未能变形得出f与f的关系,从而错选D.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知A={x|2≤x≤π},定义在A上的函数y=log a x(a>0,且a≠1)的最大值比最小值大1,则底数a的值为( )A. B. C.π-2 D.2-π【解析】选AB.当0<a<1时,函数f(x)在[2,π]上单调递减,故log a2-log aπ=1,故a=;当a>1时,函数f(x)在[2,π]上单调递增,故log aπ-log a2=1,故a=.6.若实数a,b满足log a2<log b2,则下列关系中成立的是( )A.0<b<a<1B.0<a<1<bC.a>b>1D.0<b<1<a【解析】选ABC.根据题意,实数a,b满足log a2<log b2,对于A,若a,b均大于0小于1,依题意,必有0<b<a<1,故A有可能成立;对于B,若log b2>0>log a2,则有0<a<1<b,故B有可能成立;对于C,若a,b均大于1,由log a2<log b2,知必有a>b>1,故C有可能成立;对于D,当0<b<1<a时,log a2>0,log b2<0,log a2<log b2不能成立.【光速解题】选ABC.可以分别取符合答案条件的a,b,验证log a2<log b2是否成立.三、填空题(每小题5分,共10分)7.函数y=log a(2x-3)+4(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为,若点A在幂函数f(x)的图象上,则f(3)= .【解析】因为log a1=0,所以当2x-3=1,即x=2时,y=4,所以点A的坐标是(2,4).设幂函数f(x)=x α,因为幂函数f(x)=xα的图象过点A(2,4),所以4=2α,解得α=2,所以幂函数为f(x)=x2,则f(3)=9.答案:(2,4) 98.已知函数f(x)=log a(x+2)+3的图象恒过定点(m,n),且函数g(x)=mx2-2bx+n在[1,+∞)上单调递减,则实数b的取值范围是.【解析】因为函数f(x)的图象恒过定点(m,n),令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=3,可得它的图象恒过定点(-1,3),所以m=-1,n=3.因为函数g(x)=mx2-2bx+n=-x2-2bx+3 在[1,+∞)上单调递减,所以-b≤1,所以b≥-1.答案:[-1,+∞)四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=log a(1-ax)(a>0且a≠1),(1)若a>1,解不等式f(x)<0;(2)若函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为a>1,log a(1-ax)<0,所以log a(1-ax)<0=log a1,所以0<1-ax<1,所以-1<-ax<0,解得0<x<.所以a>1时,不等式的解集为.(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,而t=1-ax在区间(0,2]上单调递减, 所以0<a<1,且t>0.再由解得0<a≤,则实数a的取值范围为.【补偿训练】设f(x)=log a(3+x)+log a(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.【解析】(1)f(0)=log a3+log a3=2log a3=2,所以a=3.所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),所以解得-3<x<3.所以f(x)的定义域是(-3,3).(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)=log3[(3+x)(3-x)]=log3(9-x2),且x∈(-3,3);所以当x=时,f(x)在区间[0,]上取得最小值,最小值为log33=1.10.已知函数f(x)=3+log2x,x∈[1,16],若函数g(x)=[f(x)]2+2f(x2).(1)求函数g(x)的定义域;(2)求函数g(x)的最值.【解析】(1)要使函数g(x)的解析式有意义,则解得x∈[1,4],故函数g(x)的定义域为[1,4].(2)令t=log2x,x∈[1,4],则t∈[0,2],y=g(x)=[f(x)]2+2f(x2)=(3+log2x)2+2(3+log2x2)=(log2x+5)2-10=(t+5)2-10,由函数y=(t+5)2-10的图象是开口朝上且以直线t=-5为对称轴的抛物线,故函数y=(t+5)2-10在[0,2]上单调递增,故当t=0时,y=g(x)取最小值15,当t=2时,y=g(x)取最大值39.创新练习1.已知函数f(x)=|ln x|满足f(a)>f(2-a),则实数a的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(1,3)【解析】选A.根据题意可得f(x)=所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;根据题意可知,⇒0<a<2;①当0<a<1,2-a>1时,因为f(a)>f(2-a),所以-ln a>ln(2-a)⇒a(2-a)<1,解得a≠1;⇒0<a<1;②当a=1时,f(a)=f(2-a)不符合题意(舍);③当1<a<2,0<2-a<1时,因为f(a)>f(2-a),所以ln a>-ln(2-a)⇒a(2-a)>1,解得a∈∅;综上,a的取值范围为(0,1).2.若定义运算f(a⊗b)=则函数y=f(log2(1+x)⊗log2(1-x))的值域是( )A.(-1,1)B.[0,1)C.[0,+∞)D.[0,1]【解析】选B.由题意得f(a b)=所以y=f(log2(1+x)log2(1-x))=当0≤x<1时,函数为y=log2(1+x),因为y=log2(1+x)在[0,1)上单调递增,所以y∈[0,1),当-1<x<0时,函数为y=log2(1-x),因为y=log2(1-x)在(-1,0)上单调递减, 所以y∈(0,1),由以上可得y∈[0,1),所以函数f(log2(1+x)log2(1-x))的值域为[0,1).6、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较基础练习1.以下四种说法中,正确的是( )A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的x>0,x n>log a xC.对任意的x>0,a x>log a xD.不一定存在x0,当x>x0时,总有a x>x n>log a x【解析】选D.对于A,幂函数的增长速度受幂指数的影响,幂指数不确定,而一次函数的增长速度受一次项系数的影响,增长速度不能比较;对于B、C,当0<a<1时,显然不成立;对于D,当a>1,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有a x>x n>log a x,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立.2.向杯中匀速注水时,如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示,则杯子的形状为( )【解析】选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长,后不变,符合B中容器的形状.【补偿训练】某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是图中的( )【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+8.6%;经过2年森林的蓄积量为(1+8.6%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+8.6%)x(x≥0),即y=(108.6%)x(x≥0).因为底数108.6%大于1,根据指数函数的图象,可知D选项正确.3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如表所示:x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10根据表中数据,下列函数中,适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( ) A.y=0.5(x+1) B.y=log3x+1.5C.y=2x-1D.y=2【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略),观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数,代入数值验证,也较为符合.4.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到表中的实验数据:x 1.99 3 4 5.1 8y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00现有如下4个模拟函数:①y=0.58x-0.16; ②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8; ④y=log2x.请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选.【解析】画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④.答案:④5.画出函数f(x)=与函数g(x)=x-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图.根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数即一次函数模型.2.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A.y=ax+bB.y=ax2+bx+cC.y=a·e x+bD.y=aln x+b【解析】选B.由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y=ax2+bx+c.3.下面对函数f(x)=lo x,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( )A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度不变D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快【解析】选C.观察函数f(x)=lo x,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知:函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢;函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象递减速度不变.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]内的平均气温,不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有( )【解析】选BCD.由题图知,当t=6时,C(t)=0,故C不正确;当t=12时,C(t)=10,故D不正确;在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃,故B不正确.三、填空题(每小题5分,共10分)5.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系:y=a t(t≥0,a>0且a≠1)的图象.有以下说法:①第4个月时,残留量就会低于;②每月减少的有害物质质量都相等;③当残留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中所有正确说法的序号是.【解析】由于函数的图象经过点,故函数的解析式为y=.当t=4时,y=<,故①正确;当t=1时,y=,减少,当t=2时,y=,减少,故每月减少有害物质质量不相等,故②不正确;分别令y=,,,解得t1=,t2=,t3=,t1+t2=t3,故③正确.答案:①③6.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=log a(t+1)来刻画h与t的关系,你认为符合的函数模型是,根据你选择的函数模型预测第8年的松树高度为米.t/年 1 2 3 4 5 6h/米0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7【解析】根据表中数据作出散点图如图:由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.将(2,1)代入到h=log a(t+1)中,得1=log a3,解得a=3,即h=log3(t+1).当t=8时,h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.答案:h=log a(t+1) 2四、解答题(每小题10分,共20分)7.函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三者的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间,可明显得出曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.由图象可得:当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).8.若不等式3x2<log a x在x∈内恒成立,求实数a的取值范围.【解题指南】原不等式等价于3x2<log a x,将不等式两边分别看成两个函数,作出它们的图象,研究a的取值范围.【解析】由题意,知3x2<log a x在x∈内恒成立,当x∈时,若a>1,则函数y=log a x的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以a>1不成立;当0<a<1时,y=log a x的图象必过点A或在这个点的上方,则log a≥, 所以a≥,所以≤a<1.综上,a的取值范围是.。

课时规范练对数与对数函数基础巩固组.(河北衡水中学模)设集合{<},集合{()},则集合∪(∁) ().(].[∞).[∞).(∞)∪(∞).函数的定义域是().[].[)...已知π,则()<<<<<<<<.(湖南湘潭三模)已知,则()>>>>>>>>.已知()(>,且≠)在区间[]上是减少的,则的取值范围是().() .().() .[∞).已知函数()(),则使()是减少的的区间是().(∞) .().() .(∞).若函数()是函数(>,且≠)的反函数,且(),则()()..若函数()()在[]上递增,则的取值范围是().(∞) .(). .(∞).(河北唐山三模)已知,则的大小关系是()<<<<<<<<.已知奇函数()在上是增函数()().若()()(),则的大小关系为()<<<<<<<<.函数()·()的最小值为..已知函数()()在[]上是增加的,则的取值范围是.综合提升组.(山东潍坊三模)已知,则的大小关系是()<<<<<<<<.函数的零点个数是().(安徽宿州三模)已知>>(),则()..已知定义在上的奇函数(),当∈(∞)时(),则不等式()<的解集是.创新应用组.(福建南平一模)已知函数() () ,则关于的不等式()()>的解集是() .(∞).(∞).(∞).(∞).已知函数() ,当>时()>恒成立,则实数的取值范围是().(∞) .(∞).(∞) .(∞)参考答案课时规范练对数与对数函数由题意得{<}{>}{>}{<或>},∴∁{≤≤},。

课后限时集训10对数与对数函数 建议用时：45分钟一、选择题1．函数y ＝log 32x －1＋1的定义域是( ) A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞C [由⎩⎪⎨⎪⎧log 32x －1＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 32x －1≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.]2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2A [由题意知f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .]3．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 2 0.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aB [∵a ＝log 20.2＜0，b ＝20.2＞1，c ＝0.20.3∈(0,1)，∴a <c <b .故选B.]4．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1A [由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45， 所以52lg E 1E 2＝－1.45－(－26.7)＝25.25，所以lg E 1E 2＝25.25×25＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.]5．设函数f (x )＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)＞f (2)B ．f (a ＋1)＜f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定A [由已知得0＜a ＜1，所以1＜a ＋1＜2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)＞f (2)．]二、填空题6．计算：lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝________.－1 [原式＝lg 10－3＋ln e ＋2log 2＝－3＋12＋32＝－1.]7．函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a ＞1)的单调递增区间是________．(5，＋∞) [由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5＞0，得x ＜－1或x ＞5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a ＞1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．[0，＋∞) [当x ≤1时，由21－x≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x ＞1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x ＞1.综上可知x ≥0.]三、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． [解] (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.[解] (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log (－x )． 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以x ＜0时，f (x )＝log (－x )， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log x ，x ＞0，0，x ＝0，log －x ，x ＜0.(2)因为f (4)＝log 4＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0＜|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5且x ≠±1， 而x 2－1＝0时，f (0)＝0＞－2， 所以－5＜x ＜ 5.1．已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0D [由a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，及log a b ＞1＝log a a 可得，当a ＞1时，b ＞a ＞1，当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1，代入验证只有D 项满足题意．]2．已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( ) A ．f (x )是奇函数，且在(0,10)上是增函数 B ．f (x )是偶函数，且在(0,10)上是增函数 C ．f (x )是奇函数，且在(0,10)上是减函数 D ．f (x )是偶函数，且在(0,10)上是减函数 D [函数f (x )的定义域为(－10,10)， 又∵f (－x )＝lg(10－x )＋lg(10＋x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 又f (x )＝lg(100－x 2)，令t ＝100－x 2，易知t 在(0,10)上是减函数，结合复合函数可知，故f (x )在(0,10)上是减函数，故选D.]3．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )有下列命题：①函数y ＝f (x )的图像关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数； ③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数． 其中是真命题的序号为________．①③④ [∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，显然f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，图像关于y 轴对称，故①正确；当x ＞0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ， 令t (x )＝x ＋1x ，x ＞0，则t ′(x )＝1－1x2，可知当x ∈(0,1)时，t ′(x )＜0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )＞0，t (x )单调递增，即f (x )在x ＝1处取得最小值lg 2.由偶函数的图像关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.]4．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0，且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围． [解] (1)因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.故所求函数的定义域为{x |－1＜x ＜1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，由f (x )＞0，得x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1.所以x 的取值范围是(0,1)．1．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a ＜b ＜10，则abc 的取值范围是________．(0,1) [由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图像和直线y ＝c 有两个不同交点，所以ab ＝1,0＜c ＜lg 10＝1，所以abc 的取值范围是(0,1)．]2．若函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )＞0，求实数a 的取值范围．[解] 当0＜a ＜1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a ＞0， 即0＜43－a ＜1，又2×12－a ＞0，解得13＜a ＜43，且a ＜1，故13＜a ＜1； 当a ＞1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数， 所以log a (1－a )＞0， 即1－a ＞1，且2×12－a ＞0，解得a ＜0，且a ＜1，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.。

课时规范练11 对数与对数函数基础巩固组1.(2021浙江宁波效实中学高三月考)“a b>1”是“ln(a-1)>ln(b-1)”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2021北京东城高三月考)已知函数f (x )={log 2(x 2+1),x ≤2,f (x -3),x >2,则f (f (4))=( )A.1B.2C.3D.43.(2021湖南长沙高三期中)若函数f (x )=lo g 12(ax 2+2x+c )的定义域为(-2,4),则f (x )的单调递增区间为( ) A.(-2,1] B.(-2,2] C.[1,2)D.[1,4)4.(2021江苏宿迁高三期中)已知函数f (x )=1lnx ,则其大致图象为( )5.(2021江苏淮安高三二模)已知函数f (x )=ln x -1x+1,设a=f (40.4),b=f ((√54)3),c=f (250.2),则( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b6.(2021山东济南高三模拟)为了广大人民群众的食品健康,国家倡导农户种植绿色蔬菜.绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产,并要经过专门机构认定,获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格.农药的安全残留量是其很重要的一项指标,安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准.为了防止一种变异的蚜虫,某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”,经过大量试验,发现该农药的安全残留量为0.001 mg/kg,且该农药喷洒后会逐渐自动降解,其残留按照y=a e -x 的函数关系降解,其中x 的单位为小时,y 的单位为mg/kg .该农药的喷洒浓度为2 mg/kg,则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准,至少需要( )(参考数据ln 10≈2.3) A.5小时 B.6小时 C.7小时D.8小时7.(2021安徽蚌埠高三期中)已知log 2x=log 3y=log 5z>1,则2x ,3y ,5z 的大小排序为( ) A.2x <3y <5zB.3y <2x <5zC.5z <2x <3yD.5z <3y<2x8.已知m>0,n>0,log 2m=log 4n=log 8(4m+3n ),下列结论正确的是( ) A.n=2m B.lnmlnn=-2ln 2 C.e 1m lnn =2D.log 3m-2log 9n=2log 329.(2021湖南岳阳高三月考)若函数f (x )=log 2(x 2-3ax+2a 2)的单调递减区间是(-∞,a 2),则实数a= .综合提升组10.(2021四川眉山高三模拟)已知a>0,若函数f (x )=log 3(ax 2-x )在[3,4]上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A.13,+∞ B.13,1 C.-∞,13D.0,1311.(2021山东潍坊高三期中)已知函数f (x )=|ln x|,若0<a<b ,且f (a )=f (b ),则a+4b 的取值范围是( ) A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(5,+∞)D.[5,+∞)12.(2021辽宁沈阳高三期中)若函数f (x )=lo g 12(ax 2-2x+4)(a ∈R )的值域为(-∞,1],则实数a 的值为 .13.(2021山东烟台高三期末)已知函数f (x )=|ln(x-1)|,f (a )>f (b ),给出以下说法:①若a>2,则a>b ;②若a>b ,则a>2;③若a>2,则1a+1b<1;④若a>2,则1a+1b>1,其中正确的序号是 .创新应用组14.(2021江苏南京高三三模)已知a ,b ,c 均为不等于1的正实数,且ln a=c ln b ,ln c=b ln a ,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.c>a>b B.b>c>a C.a>b>cD.a>c>b15.(2021湖南娄底高三月考)已知函数f (x )={2+log 12x ,14≤x <1,2x,1≤x ≤2,若a ,b ∈R ,a<b ,f (a )=f (b ),则b-a 的取值范围为 .课时规范练11 对数与对数函数1.B解析: a b >1⇒a b -1>0⇒a -bb >0⇒(a-b )b>0,ln(a-1)>ln(b-1)⇒{a -1>0,b -1>0,a -1>b -1⇒a>b>1,因为(a-b )b>0推不出a>b>1,而a>b>1能推出(a-b )b>0,所以“ab >1”是“ln(a-1)>ln(b-1)”成立的必要不充分条件,故选B .2.A 解析: 由题意,f (4)=f (1)=log 2(12+1)=1,所以f (f (4))=f (1)=log 2(12+1)=1,故选A .3.D 解析: 由题意可知ax 2+2x+c>0的解集为(-2,4),即-2和4是方程ax 2+2x+c=0的两个根,解得a=-1,c=8,所以f (x )=lo g 12(-x 2+2x+8),设t=-x 2+2x+8,则y=lo g 12t 在(-2,4)上单调递减,t=-x 2+2x+8在[-2,1)上单调递增,在[1,4)上单调递减,故f (x )在[1,4)上单调递增,故选D .4.B 解析: 当x>1时,ln x>0,所以1lnx >0,所以f (x )>0,所以选项A,C,D 均错误,故选B . 5.C 解析: (√54)3=50.75,250.2=50.4,所以(√54)3>250.2>40.4>1,由函数解析式知(x-1)(x+1)>0,即x ∈(-∞,-1)∪(1,+∞),又因为f (x )=ln 1-2x+1在(1,+∞)上单调递增,所以b>c>a ,故选C . 6.D 解析: 由题意知,当x=0时,y=2,所以2=a·e -0,解得a=2,所以y=2e -x .要使该农药喷洒后的残留量达到安全残留量标准,则2e -x ≤0.001,解得x ≥-ln 0.0012=3ln 10+ln 2≈3×2.3+ln 2=6.9+ln 2,因为ln e 12<ln 2<ln e,即0.5<ln 2<1,所以6.9+ln 2∈(7.4,7.9),所以要使该农药喷洒后的残留量达到安全残留量标准,至少需要8小时,故选D .7.D 解析: (方法1)设log 2x=log 3y=log 5z=k>1,则2x =21-k ,3y =31-k ,5z =51-k ,又因为1-k<0,所以21-k >31-k >51-k ,可得5z <3y <2x .(方法2)由log 2x=log 3y=log 5z>1,得1-log 2x=1-log 3y=1-log 5z<0,即log 22x =log 33y =log 55z <0,可得5z <3y <2x ,故选D .8.C 解析: 由题意设log 2m=log 4n=log 8(4m+3n )=k ,则m=2k ,n=4k ,4m+3n=8k ,所以4×2k +3×4k =8k ,所以4×14k +3×12k =1,所以4×12k 2+3×12k -1=0,所以12k =14或12k=-1(舍),解得k=2,所以k=2,m=4,n=16,n=4m ,故A 错误;lnmlnn =ln4ln16=12≠-2ln 2,故B 错误;e 1m lnn=e 14ln16=e 14ln 24=2,故C 正确;log 3m-2log 9n=log 34-2log 916=log 34-2log 34=-2log 32,故D 错误,故选C .9.0或1 解析: x 2-3ax+2a 2=(x-a )(x-2a ),当a=0时,显然符合题意;当a<0时,因为2a<a ,所以f (x )的单调递减区间为(-∞,2a ),由a 2=2a ,得a=0或2,均不合题意;当a>0时,因为2a>a ,所以f (x )的单调递减区间为(-∞,a ),由a 2=a ,得a=0(舍去)或1.综上,a=0或a=1.10.A 解析: 要使f (x )=log 3(ax 2-x )在[3,4]上单调递增,则y=ax 2-x 在[3,4]上单调递增,且y=ax2-x>0恒成立,即{12a≤3,9a -3>0,解得a>13.故选A .11. C 解析: 由f (a )=f (b )得|ln a|=|ln b|.根据函数y=|ln x|的图象及0<a<b ,得-ln a=ln b ,0<a<1<b ,所以1a =b.令g (b )=a+4b=4b+1b ,易得g (b )在(1,+∞)上单调递增,所以g (b )>g (1)=5.12.27 解析: 因为f (x )=lo g 12(ax 2-2x+4)(a ∈R )的值域为(-∞,1],所以ax 2-2x+4>0,且函数y=ax 2-2x+4的最小值为12,即{a >0,4×4a -(-2)24a=12,解得a=27.13.①②③ 解析: 对于①,由图象可得,f (x )在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以若a>2,则a>b ,故①正确;对于②,因为f (a )>f (b ),a>b ,所以a>2,故②正确;对于③,当a>2时,若b ≥2,则1a +1b <1,若1<b<2时,f (a )>f (b ),即|ln(a-1)|>|ln(b-1)|, 所以ln(a-1)>-ln(b-1),即ln(a-1)(b-1)>0=ln 1,所以ab-b-a+1>1,1a +1b <1,故③正确,④错误. 14.A 解析: 因为ln a=c ln b ,ln c=b ln a ,且a ,b ,c 均为不等于1的正实数,则ln a 与ln b 同号,ln c 与ln a 同号,从而ln a ,ln b ,ln c 同号.①若a ,b ,c ∈(0,1),则ln a ,ln b ,ln c 均为负数,ln a=c ln b>ln b ,可得a>b ,ln c=b ln a>ln a ,可得c>a ,此时c>a>b ;②若a ,b ,c ∈(1,+∞),则ln a ,ln b ,ln c 均为正数,ln a=c ln b>ln b ,可得a>b ,ln c=b ln a>ln a ,可得c>a ,此时c>a>b.综上所述,c>a>b.故选A .15.0,74解析: 因为函数f(x)在14,1上单调递减,在[1,2]上单调递增,又因为f(a)=f(b)(a<b),所以14≤a<1,1≤b≤2,且2+lo g12a=2b,令2+lo g12a=2b=k,则2<k≤4,所以a=1 2k-2,b=log2k,所以b-a=log2k-12k-2.设函数g(x)=log2x-12x-2,x∈(2,4],因为g(x)在(2,4]上单调递增,所以g(2)<g(x)≤g(4),即0<g(x)≤74,所以b-a的取值范围为0,74.。

第六节 对数与对数函数[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数2.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．[常用结论]1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n ＝nm log a b .其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ，n ∈R. 2．对数函数的图像与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x ． ( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0．( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同． ( ) (4)对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图像不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log1213＞log1212＝1，∴c ＞a ＞b .]3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图像如图所示，则下列结论成立的是()A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图像可知y ＝log a (x ＋c )的图像是由y ＝log a x 的图像向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．]5．计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________.23 [2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝3.]1．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.2 [原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋2lg 5＝2.] 2．2log 23＋log 43＝________.33 [原式＝2log 23·2log 43＝3·2log 23＝3 3.]3．log 23·log 38＋(3)log 34＝________.5 [原式＝3log 23·log 32＋3log 32＝3＋2＝5.]4．设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________. 10 [∵ 2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m ＝10.]【例1】 (1)(2019·大连模拟)函数y ＝lg|x －1|的图像是( )A B C D(2)(2019·厦门模拟)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)(3)函数y ＝log a (x －2)＋2恒过定点P ，则点P 的坐标为________．(1)A (2)B (3)(3,2) [(1)函数y ＝lg|x －1|的图像可由函数y ＝lg|x |的图像向右平移1个单位得到，故选A ．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，要使0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，只需f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像在g (x )的图像下方即可．当a ＞1时不满足条件；当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图像，可知只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.(3)由x －2＝1得x ＝3，当x ＝3时，y ＝2，则点P 的坐标为(3,2)．]aA B C D(2)函数y ＝log 2(x ＋1)的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为________．(3)若不等式(x －1)2＜log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________． (1)A (2)(0,0) (3)(1,2] [(1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图像关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x ＞0时，g (x )的图像，然后根据g (x )的图像关于y 轴对称画出x ＜0时g (x )的图像，最后由函数g (x )的图像向上整体平移一个单位即得f (x )的图像，结合图像知选A ．(2)由x＋1＝1得x＝0，当x＝0时，y＝0，则点P的坐标为(0,0)．(3)设f 1(x)＝(x－1)2，f 2(x)＝log a x，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜log a x恒成立，只需f 1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f 2(x)＝log a x图像的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图所示，要使x∈(1,2)时，f 1(x)＝(x－1)2的图像在f 2(x)＝log a x的图像下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a2，log a2≥1，所以1＜a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．]►考法1比较对数值的大小【例2】(1)已知a＝log29－log23，b＝1＋log27，c＝12＋log213，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．c＞b＞a(2)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a(1)B(2)A[(1)a＝log29－log23＝log233，b＝1＋log27＝log227，c＝12＋log213＝log226，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且27＞33＞26，所以b＞a＞c，故选B．(2)b＝log23＝12log23＞12，c＝log32＝12log32＜12，则b＞c，又a＝log3π＞log33＝1，b＝log23＜log22＝1，因此a＞b＞c，故选A．►考法2解对数不等式【例3】(1)(2018·江苏高考)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(1)[2，＋∞) (2)(－1,0)∪(1，＋∞) [(1)由题意知，log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22. 解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)． (2)由题意，得⎩⎨⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎨⎧ a ＞0，log 2a ＞0或⎩⎨⎧a ＜0，log 2(－a )＜0，解得a ＞1或－1＜a ＜0.] ►考法3 复合函数的单调性、值域或最值【例4】 函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)的递增区间为_____，值域为________．(2,5) [2log123，＋∞) [由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝log12(－x 2＋4x ＋5)的递增区间为(2,5)．又－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9≤9，所以f (x )≥log129＝2log123，即函数f (x )的值域为[2log123，＋∞)．](1)(2018·天津高考)已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)(3)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)(1)D (2)D (3)A [(1)c ＝log1315＝log 35，则log 35＞log 372＞log 33＝1，又⎝ ⎛⎭⎪⎫1413＜⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，因此c ＞a ＞b ，故选D.(2)当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x ＞1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x ＞1.综上可知x ≥0.(3)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧ g (1)＞0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)．]1．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( ) A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b cD ．c a ＞c bB[∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，log a c＞log b c，A项错误；∵0＜c＜1，∴y＝log c x在(0，＋∞)上是减少的，又a＞b＞0，∴log c a＜log c b，B项正确；∵0＜c＜1，∴函数y＝x c在(0，＋∞)上是增加的，又∵a＞b＞0，∴a c＞b c，C项错误；∵0＜c＜1，∴y＝c x在(0，＋∞)上是减少的，又∵a＞b＞0，∴c a＜c b，D项错误．]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.－7[由f(3)＝1得log 2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]。

课时作业(九) 对数与对数函数A 级1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12xC ．log 12xD ．2x －22．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 3．(2012·大纲全国卷)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x4．(2012·东北三校第一次联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3) C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 5．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知当x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>06．(2011·陕西卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >010x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________.7．8．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________．9．(2012·南京月考)若log 2a 1＋a 21＋a <0，则a 的取值范围是__________．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明．11．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (x )定义域为R ，求a 的取值范围； (2)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间．B 级1．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m 、n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为( )A.12、2 B.12、4 C.22、 2 D.14、4 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1 x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．3．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值； (2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )<f (1)．答案课时作业(九) A 级1．A f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .2．C 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 12(2x ＋1)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，2x ＋1≠1，即x >－12且x ≠0，∴选C.3．D ∵x ＝ln π＞ln e ，∴x ＞1. ∵y ＝log 52＜log 55，∴0＜y ＜12.∴z ＝e －12＝1e ＞14＝12，∴12＜z ＜1.综上可得，y ＜z ＜x .4．C 依题意得f (3)＝log 122，f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232，f (0)＝log 121，又log 122<log 1232<log 121，所以f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)．故选C. 5．D f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，由x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )是增函数且f (x )>0，得函数f (x )在(2,3)上也为增函数且f (x )>0，而直线x ＝2为函数的对称轴，则函数f (x )在(1,2)上是减函数，且f (x )>0，故选D.6．解析： ∵x ＝－2<0，∴f (－2)＝10－2＝1100>0，所以f (10－2)＝lg 10－2＝－2，即f (f (－2))＝－2.答案： －27．解析： 原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案： 128．解析： 令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数数，所以有log 12t ≤log128＝－3.答案： (－∞，－3] 9．解析： 当2a >1时， ∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意． 综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 答案： ⎝⎛⎭⎫12，110．解析： (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．11．解析： (1)因为f (x )的定义域为R ， 所以ax 2＋2x ＋3>0对任意x ∈R 恒成立， 显然a ＝0时不合题意，从而必有⎩⎨⎧a >0Δ<0，即⎩⎨⎧a >04－12a <0，解得a >13.即a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，＋∞.(2)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减， 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)， 单调递减区间是(1,3)．B 级1．A f (x )＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1－log 2x ，0<x <1，根据f (m )＝f (n )及f (x )的单调性，知0<m <1，n >1，又f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，故f (m 2)＝2，易得n ＝2，m ＝12.2．解析： 当x ≤0时，由3x ＋1＞1，得x ＋1＞0，即x ＞－1. ∴－1＜x ≤0.当x ＞0时，由log 2x ＞1，得x ＞2. ∴x 的取值范围是{x |－1＜x ≤0或x ＞2}． 答案： {x |－1＜x ≤0或x ＞2}3．解析： (1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b . 由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2. 又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2. 从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎫log 2x －122＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧ (log 2x )2－log 2x ＋2>2log 2(x 2－x ＋2)<2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >2或0<x <1－1<x <2⇒0<x <1.∴x 的取值为(0,1)．。

课时分层训练(九) 对数与对数函数(对应学生用书第183页)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D [由log 23(2x －1)≥0⇒0＜2x －1≤1⇒12＜x ≤1.]2．(2018·福州模拟)计算log 25·log 32·log 53的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8A [原式＝lg 5lg 2·lg 2lg 3·lg 3lg 5＝1，故选A.]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72A [由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.]4．(2018·天津模拟)函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是( )A ．RB ．[8，＋∞)C ．(－∞，－3]D ．[3，＋∞)C [∵t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，又y ＝log 12t 在[8，＋∞)是减少的，故y ≤log 128＝－3，∴函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是(－∞，－3]，故应选C.]5．已知y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减少的，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．[2，＋∞)C [因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是减少的，u ＝2－ax (a ＞0)在[0,1]上是减少的，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1.又2－a ＞0，所以1＜a ＜2.] 二、填空题6．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.－1 [lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]7．(2018·上海模拟)函数y ＝log a (x ＋2)＋2的图像过定点________.【导学号：00090036】(－1,2) [令x ＋2＝1得x ＝－1，此时y ＝2. 因此函数图像恒过点(－1,2)．]8．(2018·郑州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－ax ＋12有最小值，则实数a 的取值范围是________．(1，2) [令t ＝x 2－ax ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋2－a 24，根据f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－ax ＋12有最小值得a ＞1，且t ＝x 2－ax ＋12有大于零的最小值． 从而有2－a 24＞0，解得－2＜a ＜2，综上知1＜a ＜ 2.] 三、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．[解] (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.3分由⎩⎨⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3).5分(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， 7分∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12分 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.[解] (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 2分所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12(－x )，x ＜0.5分(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4). 8分又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·武汉模拟)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜cA [分别作出四个函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝log 12x ，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图像，观察它们的交点情况．由图像知a ＜b ＜c .故选A.]2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．(1,2] [当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.∵f (x )的值域为[4，＋∞)， ∴当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，∴log a 2≥1， ∴1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意． 故a ∈(1,2]．]3．已知函数f (x )＝log a (3－ax )，是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【导学号：00090037】[解] 假设存在满足条件的实数a .∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝3－ax 在[1,2]上是关于x 的减函数. 3分又f (x )＝log a (3－ax )在[1,2]上是关于x 的减函数， ∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数， ∴a ＞1，x ∈[1,2]时，u 最小值为3－2a ， 7分f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎨⎧3－2a ＞0，log a(3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32，10分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 12分。

课时规范练10指数与指数函数基础巩固组1.(2024陕西西安高三期中)已知3a-1+3a-2+3a-3=117,则(a+1)(a+2)(a+3)=()A.120B.210C.336D.5042.(2024江苏镇江高三月考)已知函数y=a x-b(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论不正确的是()A.a b>1B.ln(a+b)>0C.2b-a<1D.b a>13.(2024河北唐山高三二模)不等式12x≤√x的解集是()A.0,12B.12,+∞C.0,√22D.√22,+∞4.(2024北京通州高三一模)闻名数学家、物理学家牛顿曾提出:物体在空气中冷却,假如物体的初始温度为θ1℃,空气温度为θ0℃,则t min后物体的温度θ(单位:℃)满意:θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt(其中k为常数,e=2.718 28…).现有某物体放在20 ℃的空气中冷却,2 min后测得物体的温度为52 ℃,再经过6 min后物体的温度冷却到24 ℃,则该物体初始温度是()A.80 ℃B.82 ℃C.84 ℃D.86 ℃5.(2024北京高三二模)已知指数函数f(x)=a x,将函数f(x)的图象上的每个点的横坐标不变,纵坐标扩大为原来的3倍,得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象向右平移2个单位长度,所得图象恰好与函数f(x)的图象重合,则实数a的值是()A.32B.23C.√33D.√36.(2024浙江宁海中学高三模拟)已知log 2a=0.5a =0.2b,则( ) A.a<1<b B.1<a<b C.b<1<aD.1<b<a7.已知函数f (x )=a x-b (a>0,且a ≠1,b ≠0)的图象不经过第三象限,则下列选项错误的是( ) A.0<a<1,b<0B.0<a<1,0<b ≤1C.a>1,b<0D.a>1,0<b ≤1 8.已知函数f (x )=2x -12x +1,则下列说法正确的是( )A.f (x )为偶函数B.f (x )为减函数C.f (x )有且只有一个零点D.f (x )的值域为[-1,1)9.(2024广东汕头高三模拟)已知定义在R 上的函数f (x )=2|x-m|-1(m ∈R )为偶函数,则不等式f (x )<1的解集为 .综合提升组10.(2024陕西宝鸡高三一模)已知函数f (x )=22x +1+ax+1(a ∈R ),则f (2 021)+f (-2 021)=( )A.-2a+2 021B.2aC.4D.4 04211.函数f (x )=2x+a2x (a ∈R )的图象不行能为( )12.同学们,你们是否留意到:自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相像的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上经常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为f (x )=a e x+b e -x(其中a ,b 是非零常数,无理数e =2.718 28…),对于函数f (x ),下列结论错误的是( )A.假如a=b ,那么函数f (x )为偶函数B.假如ab<0,那么f (x )为单调函数C.假如ab>0,那么函数f (x )没有零点D.假如ab=1,那么函数f (x )的最小值为213.(2024广东汕头高三三模)函数y=a x-3+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny-1=0上,其中m>0,n>0,则mn 的最大值为 .创新应用组14.(2024山东日照高三一模)已知函数f (x )=3x+1+a 3x +1(a ≥3),若对随意的x 1,x 2,x 3∈R ,总有f (x 1),f (x 2),f (x 3)为某一个三角形的边长,则实数a 的取值范围是 .15.(2024四川自贡高三三模)函数f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )+2g (x )=e x ,若对随意x ∈(0,2],不等式f (2x )-mg (x )≥0成立,则实数m 的取值范围是 .课时规范练10 指数与指数函数1.C 解析:3a-1+3a-2+3a-3=3a-3(9+3+1)=117,得3a-3=9,即a=5,所以(a+1)(a+2)(a+3)=336.2.D 解析:由图象可得a>1,0<b<1,所以b-a<0,2b-a<1,a b>1,a+b>1,ln(a+b )>0,0<b a<1.因此只有D 不正确,故选D . 3.B 解析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=12x和y=√x 的图象,如图所示:当12x=√x 时,解得x=12,由图象知12x≤√x 的解集是12,+∞,故选B .4.C 解析:其次次冷却时θ1=52℃,θ0=20℃,t=6,θ=24℃,即24=20+(52-20)e -6k,解得k=ln86;第一次冷却时θ=52℃,θ0=20℃,t=2,即52=20+(θ1-20)e-ln83,解得θ1=84(℃),即该物体初始温度是84℃.5.D 解析:由题意可得g (x )=3a x,再将g (x )的图象向右平移2个单位长度,得到函数f (x )=3a x-2,又因为f (x )=a x,所以a x=3a x-2,整理可得a 2=3,因为a>0,且a ≠1,解得a=√3,故选D .6.C 解析:因为log 2a=0.5a>0,则a>1,此时log 2a=0.5a<1,则有a<2,即1<a<2,又因为0.5a=0.2b⇔12a=15b ⇔5b =2a ,而2<2a <4,即5b<4<5,b<1,所以b<1<a.故选C .7.D 解析:当0<a<1时,y=a x在定义域R 上为减函数,由题意可知y=a x的图象可上下平移,若向上平移,则-b>0,所以b<0;若向下平移,则0<b ≤1,A,B 项正确;当a>1时,y=a x在R 上为增函数,由题意可知y=a x的图象只能向上平移,所以-b>0,即b<0,C 项正确,D 项错误,故选D . 8.C 解析:因为f (x )的定义域为R ,f (-x )=2-x -12-x +1=1-2x 1+2x=-f (x ),故f (x )为奇函数,又因为f (x )=2x -12x +1=1-22x +1,所以f (x )在R 上单调递增.因为2x >0,所以2x +1>1,所以0<22x +1<2,所以-2<-22x +1<0,所以-1<f (x )<1,即函数f (x )的值域为(-1,1),令f (x )=2x -12x +1=0,即2x =1,解得x=0,故函数有且只有一个零点.综上可知,C 正确,A,B,D 错误. 9.(-1,1) 解析:因为函数f (x )=2|x-m|-1(m ∈R )为偶函数,所以f (-x )=f (x ),即2|-x-m|-1=2|x-m|-1,即2|-x-m|=2|x-m|,则|-x-m|=|x-m|,即|x+m|=|x-m|,解得m=0,则f (x )=2|x|-1,由f (x )<1得2|x|-1<1得2|x|<2,即|x|<1,解得-1<x<1,即不等式的解集为(-1,1). 10.C 解析:因为f (x )=22x +1+ax+1(a ∈R ),所以f (2024)+f (-2025)=222021+1+2024a+1+22-2021+1-2025a+1=222021+1+2×220211+22021+2=2(22021+1)22021+1+2=4,故选C .11.C 解析:当a=0时,f (x )=2x,选项A 的图象满意;当a=1时,f (x )=2x+12x ,f (0)=2,且f (-x )=f (x ),此时函数是偶函数,其图象关于y 轴对称,选项B 的图象满意;当a=-1时,f (x )=2x-12x ,f (0)=0,且f (-x )=-f (x ),此时函数是奇函数,其图象关于原点对称,选项D 的图象满意;选项C 的图象过点(0,1),此时a=0,故选项C 的图象不满意,故选C .12.D 解析:对A,当a=b 时,f (x )=a e -x+a e x,此时f (-x )=a e x+a e -x=f (x ),函数f (x )为偶函数,故A 正确.对B,当ab<0时,令a>0,b<0,函数y=a e x 在其定义域上单调递增,函数y=bex 在其定义域上也单调递增,故函数f (x )=a e x+bex 在其定义域上单调递增;当a<0,b>0时,函数y=a e x在其定义域上单调递减,函数y=b e x 在其定义域上也单调递减,故函数f (x )=a e x +be x 在其定义域上单调递减.综上,假如ab<0,那么f (x )为单调函数,故B 正确.对C,当a>0,b>0时,函数f (x )=a e x +b e -x ≥2√ae x ·be -x =2√ab >0,当a<0,b<0时,函数f (x )=-(-a e x -b e -x )≤-2√(-ae x )(-be -x )=-2√ab <0.综上,假如ab>0,那么函数f (x )没有零点,故C 正确.对D,由ab=1,则b=1a,当a<0,b<0时,函数f (x )=--a e x-1ae-x≤-2√(-ae x )(-1a e -x )=-2;当a>0,b>0时,函数f (x )=a e x+1a e -x≥2√ae x ·1ae -x =2,故D 错误.13.124 解析:因为函数y=a x-3+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,所以点A 为(3,2).又因为点A 在直线mx+ny-1=0上,所以3m+2n=1.又因为m>0,n>0,所以1=3m+2n ≥2√3m ·2n ,所以mn ≤124,当且仅当{3m =2n,3m +2n =1即{m =16,n =14时等号成立,所以mn 的最大值为124. 14.[3,6] 解析:由题意可得,∀x 1,x 2,x 3∈R ,f (x 1)+f (x 2)>f (x 3)恒成立,只需2f (x )min >f (x )max .f (x )=3x+1+a 3x +1=3+a -33x +1,当a=3时,f (x )=3,满意题意;当a>3时,f (x )在R 上单调递减,3<f (x )<a ,故需2×3≥a ,即3<a ≤6.综上所述,实数a 的取值范围是[3,6].15.(-∞,4√2] 解析:依据题意,函数f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )+2g (x )=e x ,① 可得f (-x )+2g (-x )=e -x,即f (x )-2g (x )=e -x,②联立①②,解得f (x )=12(e x+e -x),g (x )=14(e x -e -x).设t=e x-e -x,由x ∈(0,2],可得e x∈(1,e 2],由t=e x -e -x 在(0,2]上单调递增,可得t ∈(0,e 2-e -2],对随意的x ∈(0,2],不等式f (2x )-mg (x )≥0成立,即m ≤f(2x)g(x)=2(e 2x +e -2x )e x -e -x=2×(e x -e -x )2+2e x -e -x=2×t 2+2t=2×t+2t ,又由t ∈(0,e 2-e -2],则t+2t ≥2√2,当且仅当t=√2时等号成立,则f(2x)g(x)=2×(e x -e -x )2+2e x -e -x=2×t 2+2t=2×t+2t 的最小值为4√2,若m ≤f(2x)g(x)在(0,2]上恒成立,必有m ≤4√2,即m 的取值范围为(-∞,4√2].。

课时规范练10 对数与对数函数基础巩固组1.(2020山东烟台模拟,1)已知集合A=x |14≤2x ≤4,B=y |y =lgx ,x >110,则A ∩B=( )A.〖-2,2〗B.(1,+∞)C.(-1,2〗D.(-∞,-1〗∪(2,+∞)2.设函数f (x )={log 2(1-x ),x <0,4x ,x ≥0,则f (-3)+f (log 23)=( )A.9B.11C.13D.153.(2020辽宁大连一中考前模拟,理7)已知a ,b 是非零实数,则“a>b ”是“ln |a|>ln |b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知2x =5y =t ,1x +1y =2,则t=( ) A.110B.1100C.√10D.1005.(2020山东济宁二模,6)设a=14log 213,b=120.3,则有( )A.a+b>abB.a+b<abC.a+b=abD.a-b=ab6.(2020河南高三质检,7)企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放,某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P (单位:mg/L)与时间t (单位:h)间的关系为P=P 0e -kt (其中P 0,k 是正的常数).如果在前10 h 消除了20%的污染物,则20 h 后废气中污染物的含量是未处理前的( ) A.40%B.50%C.64%D.81%7.若函数y=f (x )是函数y=a x (a>0,且a ≠1)的反函数,且f (2)=1,则f (x )=( ) A.log 2xB.12xC.lo g 12xD.2x-28.(2020山东德州二模,6)已知a>b>0,若log a b+log b a=52,a b =b a ,则a b=( ) A.√2B.2C.2√2D.49.在同一直角坐标系中,函数f (x )=2-ax ,g (x )=log a (x+2)(a>0,且a ≠1)的图像大致为( )10.已知函数f (x )={log 2x ,0<x ≤1,f (x -1),x >1,则f (20192)= .11.已知函数f (x )={2x ,x <1,log 2x ,x ≥1,若方程f (x )-a=0恰有一个实根,则实数a 的取值范围是 .综合提升组12.(2020山东青岛二模,7)已知非零实数a ,x ,y 满足lo g a 2+1x<lo g a 2+1y<0,则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2+1<1y 2+1B.x+y>y x +xy C.1|a |+1x<1|a |+1yD.y x >x y13.(2020全国2,理9)设函数f (x )=ln |2x+1|-ln |2x-1|,则f (x )( ) A.是偶函数,且在(12,+∞)递增B.是奇函数,且在(-12,12)递减C.是偶函数,且在(-∞,-12)递增 D.是奇函数,且在(-∞,-12)递减14.若函数f (x )=lo g 12(-x 2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)上递增,则实数m 的取值范围为( )A.[43,3] B.[43,2] C.[43,2)D.[43,+∞)15.若a>b>c>1,且ac<b 2,则( ) A.log a b>log b c>log c a B.log c b>log b a>log a c C.log c b>log a b>log c a D.log b a>log c b>log a c创新应用组16.(2020山东菏泽一模,8)已知大于1的三个实数a ,b ,c 满足(lg a )2-2lg a lg b+lg b lg c=0,则a ,b ,c 的大小关系不可能是( ) A.a=b=c B.a>b>c C.b>c>aD.b>a>c17.(2020河北保定一模,理12)设函数f (x )=log 0.5x ,若常数A 满足:对任意x 1∈〖2,22 020〗,存在唯一的x 2∈〖2,22 020〗,使得f (x 1),A ,f (x 2)成等差数列,则A=( ) A.-1 010.5 B.-1 011 C.-2 019.5 D.2 020▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁课时规范练10 对数与对数函数1.C 由不等式14≤2x ≤4,得-2≤x ≤2,即A={x|-2≤x ≤2}.因为函数y=lg x 递增,且x>110,所以y>-1,即B={y|y>-1},则A ∩B=(-1,2〗.故选C .2.B ∵log 23>1,∴f (-3)+f (log 23)=log 24+4log 23=2+9=11.故选B .3.D 由于ln |a|>ln |b|,则|a|>|b|>0.由a>b 推不出ln |a|>ln |b|,比如a=1,b=-2,有a>b ,但ln |a|<ln |b|;反之,由ln |a|>ln |b|推不出a>b ,比如a=-2,b=1,有ln |a|>ln |b|,但a<b.故“a>b ”是“ln |a|>ln |b|”的既不充分又不必要条件.故选D .4.C 由于2x =5y =t ,则x=log 2t ,y=log 5t ,则1x =log t 2,1y =log t 5,故1x +1y =log t 2+log t 5=log t 10=2, 所以t=√10. 5.A a=14log 213=log 21314=log 23-14>log 24-14=-12,b=120.3>120.5=√22,∴ab<0,a+b>0,∴a+b>ab ,故选A .6.C 当t=0时,P=P 0;当t=10时,(1-20%)P 0=P 0e -10k ,即e -10k =0.8,化为对数式,得-10k=ln0.8,即k=-110ln0.8.代入P=P 0e -kt,化简得P=P 00.8t10,当t=20时,P=P 0·0.82010=0.64P 0.故选C .7.A 由题意知f (x )=log a x.∵f (2)=1,∴log a 2=1. ∴a=2.∴f (x )=log 2x. 8.B ∵log a b+log b a=52,∴log a b+1logab=52,解得log a b=2或log a b=12, 若log a b=2,则b=a 2,代入a b =b a 得a a 2=(a 2)a =a 2a , ∴a 2=2a ,又a>0,∴a=2,则b=22=4,不合题意;若log a b=12,则b=√a ,即a=b 2,代入a b =b a 得(b 2)b =b 2b =b b 2, ∴2b=b 2,又b>0,∴b=2,则a=b 2=4,∴ab =2.故选B .9.A 若0<a<1,函数g (x )=log a (x+2)在(-2,+∞)上是减少的,令f (x )=2-ax=0,则x=2a>2,故排除CD;当a>1时,由2-ax=0,得x=2a<2,且g (x )=log a (x+2)在(-2,+∞)上是增加的,排除B,只有A 满足.10.-1 由函数f (x )={log 2x ,0<x ≤1,f (x -1),x >1,可得当x>1时,满足f (x )=f (x-1),所以函数f (x )是周期为1的函数, 所以f (20192)=f (1009+12)=f (12)=log 212=-1.11.{0}∪〖2,+∞) 作出函数y=f (x )的图像如图所示.方程f (x )-a=0恰有一个实根,等价于函数y=f (x )的图像与直线y=a 恰有一个公共点, 故a=0或a ≥2,即a 的取值范围是{0}∪〖2,+∞).12.D 因a 2+1>1,且lo g a 2+1x<lo g a 2+1y<0,由对数函数的单调性,得0<x<y<1,令x=14,y=12,将x=14,y=12代入选项,得A,B,C 不成立,D 成立,故选D .13.D 由题意可知,f (x )的定义域为{x |x ≠±12},关于原点对称.∵f (x )=ln |2x+1|-ln |2x-1|,∴f (-x )=ln |-2x+1|-ln |-2x-1|=ln |2x-1|-ln |2x+1|=-f (x ),∴f (x )为奇函数. 当x ∈(-12,12)时,f (x )=ln(2x+1)-ln(1-2x ),∴f'(x )=22x+1−-21-2x =4(2x+1)(1-2x )>0, ∴f (x )在区间(-12,12)上递增.同理,f (x )在区间(-∞,-12),(12,+∞)上递减.故选D .14.C由-x2+4x+5>0,解得-1<x<5.二次函数y=-x2+4x+5的对称轴为x=2.由复合函数单调性可得函数f(x)=lo g12(-x2+4x+5)的递增区间为(2,5).要使函数f(x)=lo g12(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)上递增,只需{3m-2≥2,m+2≤5,3m-2<m+2,解得43≤m<2.15.B(方法1)因为a>b>c>1,且ac<b2,令a=16,b=8,c=2,则log c a=4>1>log a b,故A,C错误;log c b=3>log b a=43,故D错误,B正确.(方法2)因为a>b>c>1,所以log c a最大,log a c最小,故A,C错误;log c b-log b a=lgblgc −lgalgb=(lgb)2-lgalgclgclgb,由ac<b2,得2lg b>lg a+lg c>2√lgalgc,所以(lg b)2>lg a lg c,所以log c b-log b a>0,即log c b>log b a,故选B. 16.D令f(x)=x2-2x lg b+lg b lg c,则lg a为f(x)的零点,且该函数图像的对称轴为x=lg b,故Δ=4lg2b-4lg b lg c≥0.因为b>1,c>1.故lg b>0,lg c>0.所以lg b≥lg c,即b≥c.又f(lg b)=lg b lg c-lg2b=lg b(lg c-lg b),f(lg c)=lg2c-lg b lg c=lg c(lg c-lg b),若b=c,则f(lg b)=f(lg c)=0.故lg a=lg b=lg c,即a=b=c.若b>c,则f(lg b)<0,f(lg c)<0,利用二次函数图像,可得lg a<lg c<lg b,或lg c<lg b<lg a,即a<c<b,或c<b<a.故选D.17.A因为对任意x1∈〖2,22020〗,存在唯一的x2∈〖2,22020〗,使得f(x1),A,f(x2)成等差数列,所以2A=f(x1)+f(x2),即2A-f(x1)=f(x2).因为f(x)=log0.5x在〖2,22020〗上递减,可得f(x)在〖2,22020〗的值域为〖-2020,-1〗,故y=2A-f(x)在(0,+∞)递增,可得其在区间〖2,22020〗的值域为〖2A+1,2A+2020〗.由题意可得〖2A+1,2A+2020〗⊆〖-2020,-1〗,即2A+1≥-2020,且2A+2020≤-1,解得A≥-20212,且A≤-20212,可得A=-20212.故选A.。