03数学科讲义(1、2部分)

高等数学考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）第一章函数与极限(7天)（考小题）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：映射与函数(一般章节)函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.（集合、映射不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用看）习题1－1：4，5，6，7，8，9，13，15，16（重点）1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等第二节：数列的极限(一般章节)数列定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性 )（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看，如P26例1，例2，例3，定理1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4不用看）习题1－2：1第三节：函数的极限(一般章节)函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等） P33(例4,例5)（例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理4不用看）习题1－3：1，2，3，4第四节：无穷大与无穷小（重要）无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系（无穷小重要，无穷大了解）（例2不用看，定理2不用证明）习题1－4：1，6第五节：极限的运算法则（掌握）极限的运算法则(6个定理以及一些推论)（注意运算法则的前提条件是否各自极限存在）（定理1,2的证明理解，推论1,2,3，定理6的证明不用看）P46(例3,例4),P47(例6)习题1－5：1，2，3，4,5（重点）第六节：极限存在准则（理解）两个重要极限（重要）两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式，要会证明两个重要极限）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数列的极限（准则1的证明理解，第一个重要极限的证明一定要会，另一个重要极限的证明不用看，柯西存在准则不用看）P51(例1)习题1－6：1，2，4价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．第七节：无穷小的比较（重要）无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法（定理1,2的证明理解）P57(例1)P58(例5)习题1－7：全做第八节：函数的连续性与间断点（重要，基本必考小题）函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。

第三讲枚举法1、了解运用字典排列的方法来解决问题；2、学习审题和确定分类的标准；从思想上认识枚举的重要性；3、培养学员解决问题的能力，提高学员的学习信心。

在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。

对此，我们可以先初步估计其数目的大小。

若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂，我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。

这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。

运用枚举法要注意：1、做到不重补漏，把复杂的问题简单化；2、按照一定的规律、特点去枚举；3、从思想上认识到枚举的重要性。

用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个去称重（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在一个盘内时，可称出不同的重量有多少种？【解析】共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个，两个或者是三个来称不同的重量。

取出一个：1克，3克，9克取出两个：（1克和3克，4克）（1克和9克，10克）（3克和9克，12克）取出三个：（1克3克9克，13克）解答：共有7种不同的重量。

课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数。

第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一个人。

到第几次这些人全部站出来了？最后站出来的人应该是第几号？【解析】根据题目的特点要求一一列举出来。

第一次站出来的是：（1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29）；第二次站出来的是：（2，6，10，14，18，22，26，30）；第三次站出来的是：（4，12，20，28）；第四次站出来的是：（8，24）；第五次站出来的是：（16）。

解答：到第5次所有的人都能站出来，最后站出来的是：16号。

讲演者：得分：讲演者：得分：从3，5，7，8四张数字卡片中，任取3张，排成三位数。

四年级数学科辅导讲义教案部分>>>>>>>>>>课程引入1、列竖式计算：28×15= 30×10=在乘得的数的末尾添写几个0>>>>>>>>>>课内知识点睛1、三位数乘两位数的笔算方法：①先用两位数个位上的数字去乘三位数，得数的末尾和两位数的个位对齐；②再用两位数的十位上的数字去乘三位数，得数的末尾和两位数的十位对齐；③然后把两次乘得的积加起来。

例：128×45=2、计算因数末尾有0的乘法时，可以先把0前面的数相乘，然后看两个因数的末尾一共有几个0。

就在乘得的数的末尾添写几个0。

例：280×50=3、积变化的规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几，积也乘几或除以几。

4、估计的方法:先把数量分成相同的几部分，先估计出一部分的数量，再估计出总数；也可以列出乘法算式，估计出乘法算式的积。

5、根据实际情况确定取近似值的方法:（1）用四舍五入法；（2）具体情况具体分析。

>>>>>>>>>>答题要点领悟【跟踪训练】竖式计算：128×98= 255×51= 653×88= 665×99=【总结】【跟踪训练】550×59= 557×60= 450×86= 250×40=【总结】【跟踪训练】803×35= 702×40= 101×33= 905×23=【总结】【跟踪训练】203×29≈ 396×12≈ 496×50≈169×21≈ 23×229≈ 32×196≈【总结】一个因数不变，另一个因数乘几或除以几，积也乘几或除以几。

第3章 一次函数与一次不等式【知识衔接】————初中知识回顾————1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。

（1）它的图象是一条斜率为k ，过点（0，b ）的直线。

（2）k>0⇔是增函数；k<0⇔是减函数。

2、不等式ax>b 的解的情况：（1）当a>0时，ab x >； （2）当a<0时，a b x <； （3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。

类似地，请同学们自行分析不等式ax <b 的解的情况。

————高中知识链接————一次函数y =kx +b （k ≠0，b ≠0）的图象所经过的象限有四种情况：①当k >0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限；②当k >0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限；③当k <0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限；④当k <0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第二、三、四象限．一次函数y =kx +b (k ≠0)中，|k |越大，直线y =kx +b 越靠近y 轴，即直线与x 轴正半轴的夹角越大；|k |越小，直线y =kx +b 越靠近x 轴，即直线与x 轴的夹角越小．学#科网【经典题型】初中经典题型1．一次函数y ＝(m －2)x ＋3的图象如图所示，则m 的取值范围是（ ）A．m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜0 D．m＞2【答案】A【解析】如图所示，一次函数y=（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，∴m﹣2＜0，解得m＜2，故选A．2．如图，把Rt∆ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将∆ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．82【答案】C3．已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为﹣，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为_____．【答案】(,)【解析】分析：利用待定系数法求出点A坐标，再利用轴对称的性质求出点B坐标即可；详解：由题意A（-，），∵A、B关于y轴对称，∴B（，），故答案为（，）．4．星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是__千米．【答案】1．5．【解析】分析：首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k、b的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解析式，再把t=45代入即可．点睛：本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式．5．一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出不等式组的解集，再在数轴上表示. 详解：解不等式组得－3＜x ≤2，在数轴上表示为：故选D .点睛：解一元一次不等式组，通常采用“分开解，集中定”的方法，即单独的解每一个不等式，而后集中找它们的解的“公共部分”．在找“公共部分”的过程中，可借助数轴或口诀两种方法确定不等式组的解集．其中确定不等组解集的方法为：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是无解”．在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号取实心点，不含等号取空心圆圈.6．若实数3是不等式2x –a –2<0的一个解，则a 可取的最小正整数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】解：根据题意，x =3是不等式的一个解，∴将x =3代入不等式，得：6﹣a ﹣2＜0，解得：a ＞4，则a 可取的最小正整数为5，故选D ．学-科网点睛：本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握不等式解得定义及解不等式的能力是解题的关键．高中经典题型1．若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值之差为2，则实数a =（ ）A ． 2B ． 2-C ． 2或2-D ． 0【答案】C【解析】1y ax =+，若0a =，则y 的最大与最小之差为0（舍），若0a >，则()()max 221f x f a ==+，()()min 11f x f a ==+，则()2112a a a +-+==（符合），若0a <，则()()max 11f x f a ==+， ()()min 221f x f a ==+，则()1212a a a +-+=-=，则2a =-（符合），故选C ． 2．若()()0f x ax b a =+>,且()()41ff x x =+，则()3f =__________． 【答案】193【解析】由()()()241f f x af x b a x ab b x =+=++=+， ()24,10a ab b a ∴=+=>，解得()112,,233a b f x x ==∴=+，于是()1933f =，故答案为193． 3．如图，已知函数f(x)的图象是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式f(x)－f(－x)>－1的解集是______________．【答案】 (－1，－ 12)∪[0,1)4．已知函数()()()110f x ax x a a =+->，且()f x 在[]0,1上的最小值为()g a ，求()g a 的最大值． 【答案】1【解析】试题分析：（1）由题意知()11f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，分三种情况讨论，即可求解函数的最小值，得出()g a 的表达式，即可求解()g a 的最大值． 试题解析：由题意知()11f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（1）当a 1>时， 1a 0a ->，此时()f x 在[]0,1上为增函数，∴()()1g a f 0a ==；（2）当0a 1<<时， 1a 0a-<，此时()f x 在[]0,1上为减函数，∴()()g a f 1a == ；（3）当a 1=时， ()f x 1=，此时()g a 1=，∴(),01,g a { 1,1,aa a a <<=≥其在()0,1上为增函数，在[)1,∞上是减函数，又当a 1=时，有1a 1a==，∴当a 1=时， ()g a 取得最大值1． 点睛:本题考查了函数最值问题及其应用，其中解答中涉及到一次函数的单调性的应用，以及分段函数的性质，同时考查了分类讨论的思想方法，本题的解答中注意1a =的情况，容易导致错解，试题有一定的基础性，属于基础题．5．(1)求函数y ＝ax ＋1(a≠0)在[0，2]上的最值．(2)若函数y ＝ax ＋1在[0，2]上的最大值与最小值之差为2．求a 的值．【答案】(1)详见解析;(2) a ＝±1．6．某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．学-科网（1)求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍。

2022高考数学二轮复习讲义专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程【要点提炼】考点一 基本初等函数的图象与性质1．指数函数y ＝a x(a>0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【热点突破】【典例】1 (1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x 2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值(2)已知函数f(x)＝e x＋2(x<0)与g(x)＝ln(x ＋a)＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 【拓展训练】1 (1)函数f(x)＝ln(x 2＋2)－e x －1的大致图象可能是( )(2)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－12的解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【要点提炼】考点二 函数的零点 判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点的判断【典例】2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xe x，x ≤0，2－|x －1|，x>0，若函数g(x)＝f(x)－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．2B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e(2)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(2－x)，当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【特点突破】考向2 求参数的值或取值范围 【典例】3 (1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x>a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________．【拓展训练】2 (1)已知偶函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x)＝x 2－3x(x ≥0)，若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x，x<0，则y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)(多选)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2a ，x<0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为( ) A ．－6 B ．8 C ．9 D ．12专题训练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅰ)设alog 34＝2，则4－a等于( )A.116B.19C.18D.162．函数f(x)＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax 和g(x)＝log a (x ＋2)(a>0且a ≠1)的大致图象可能为( )4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a5．(2020·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e－0.23t －53，其中K 为最大确诊病典例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A ．60 B ．63 C ．66 D ．696．(2020·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1<a<2B ．0<a<2，a ≠1C ．0<a<1D ．a ≥27．(2020·太原质检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x>0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g(x)＝f(x)＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于( ) A ．－2e B ．e C ．－e D ．2e 8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x|＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 二、多项选择题9．(2020·临沂模拟)若10a ＝4,10b＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab>8lg 22D ．b －a>lg 610．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a (1－x)，a>0，a ≠1，则( ) A ．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1) B ．函数f(x)＋g(x)的图象关于y 轴对称 C ．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0 D ．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数11．(2020·淄博模拟)已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x ∈[0,2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是( )A ．f(2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f(x)图象的一个对称中心C ．函数y ＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f(x)在区间[－6,6]上有3个零点 12．对于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞，则下列结论正确的是( )A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤1B ．函数y ＝f(x)在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f(x)－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132三、填空题13．(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax.若f(ln 2)＝8，则a ＝________.14．已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)(a ≠b)，则函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx，x>0的最小值为________．15．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞，则函数F(x)＝f(x)－1π的所有零点之和为________．16．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x ∈R |f(x)＝0}，μ∈{x ∈R |g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex －2＋x －3与g(x)＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．。

第03讲_含参数一元一次不等式（组）知识图谱含参数一元一次不等式（组）知识精讲含字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组） 未知数的系数含有字母若0a >，axb >的解为b x a >； 若0a <，ax b >的解为bx a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解， 当0b <时，ax b >的解为任何实数已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为：()()13214a x a x +--<--()325a x -<-（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，在求解过程中可以利用数轴进行分析.五．易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题．2.分清参数和未知数，不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合． 三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．解含参一元一次不等式（组）例题1、 解关于x 的不等式：ax ﹣x ﹣2＞0． 【答案】 当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2＞0． （a ﹣1）x ＞2，当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -．例题2、 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数 【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有 ①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．例题3、 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为23x >，则0bx a -<的解集是（ ） A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】 该题考查的是解不等式．0ax b +>的解集为23x >，化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >，32x >-．所以该题的答案是C ．例题4、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a>-例题5、 已知关于x 的不等式22m mx -＞12x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．【答案】 （1）x ＜2（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当x ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2【解析】 （1）当m=1时，不等式为22x -＞2x﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2， 解得：x ＜2；（2）不等式去分母得：2m ﹣mx ＞x ﹣2， 移项合并得：（m+1）x ＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2； 当m ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2．随练1、 解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+．【答案】当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立； 当2a <-时，有2x a ≥-【解析】 因为0a ≠，所以20a >，将原不等式去分母，整理得()224a x a +≤-．当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-．随练2、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--．【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数. （1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-随练3、 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x >【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >随练4、 已知a ，b 为实数，若不等式ax ＋b ＜0的解集为12x >，则不等式b （x －1）－a ＜0的解集为（ ）A.x ＞－1B.x ＜－1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】 暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->， 移项得：()232a b x a b ->-，由已知解集为1x >，得到20a b ->，变形得：322a bx a b ->-，可得：3212a ba b-=-，整理得：a b =， ()4230a a x a a ∴-+->，即0a >，∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得：31x ->，解得：13x <-.随练6、 已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（）＜ ，并依据a 的取值情况写出其解集． 【答案】 当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（①②）＜， 解①得：x ≤3，解①得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3， 当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a ．随练7、 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x ＜2，求a 的值；（2）若不等式组无解，求a 的取值范围． 【答案】 （1）a=3；（2）a≤2【解析】 （1）解不等式2x+1＞3得：x ＞1， 解不等式a ﹣x ＞1得：x ＜a ﹣1， ∵不等式组的解集是1＜x ＜2，∴a ﹣1=2， 解得：a=3；（2）∵不等式组无解， ∴a ﹣1≤1， 解得：a≤2．参数与解集之间的关系例题1、 若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是 ．【答案】 a≥2．【解析】 由x ﹣a ＞0得，x ＞a ；由1﹣x ＞x ﹣1得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1．例题2、 已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式组的解集．【答案】 a ＜﹣6，3a≤x ＜﹣2．【解析】 解不等式3x ﹣a≥0，得：x≥3a，解不等式12（x ﹣2）＞3x+4，得：x ＜﹣2，由题意得：3a＜﹣2，解得：a ＜﹣6，∴不等式组的解集为3a≤x ＜﹣2．例题3、 如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A.a ＜﹣1 B.a ＜0 C.a ＞﹣1 D.a ＞0或a ＜﹣1 【答案】 A【解析】 （a+1）x ＞a+1， 当a+1＞0时，x ＞1， 当a+1＜0时，x ＜1， ∵解集为x ＜1， ∴a+1＜0， a ＜﹣1． 故选：A ．例题4、 当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（ ） A.m ＞1 B.m ＜1 C.m ＞4 D.m ＜4 【答案】 B【解析】 设y=mx ﹣4，由题意得，当x=1时，y ＜0，即m ﹣4＜0， 解得m ＜4，当x=4时，y ＜0，即4m ﹣4＜0， 解得，m ＜1，则m 的取值范围是m ＜1，例题5、 若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -，则a 的取值范围是 ．【答案】 a ＜3．【解析】 ∵（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -， ∴不等式两边同时除以（a ﹣3）时不等号的方向改变， ∴a ﹣3＜0， ∴a ＜3．故答案为：a ＜3．例题6、 如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】 将原不等式与其解集进行比较，在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三，因此有10a +<，故1a <-例题7、 若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2＜x ＜4，求出a 、b 的值．【答案】 a=﹣10，b=3．【解析】 解不等式10﹣x ＜﹣（a ﹣2），得：x ＞a+8，解不等式3b ﹣2x ＞1，得：x ＜312b -，∵解集为﹣2＜x ＜4， ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩，解得：a=﹣10，b=3．随练1、 已知关于x 的不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2，则m 的取值范围是________． 【答案】 m ＜2【解析】 不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2， ∴m －2＜0，m ＜2．随练2、 关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是 ．【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②，解①得x ＜3，∵不等式组的解集是x ＜3， ∴m≥3．故答案是：m≥3．随练3、 若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ＜2m ， 解不等式②得，x ＞2－m ， ∵不等式组有解， ∴2m ＞2－m ，∴23m >．随练4、 若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≥－2B.a ＜－2C.a≤－2D.a ＞－2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥，解不等式x ＋a≥0得，x≥－a ，由不等式4－2x ＞x －2得，x ＜2，∵不等式组：不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，∴a ＞－2，随练5、 已知不等式31（x ﹣m ）＞2﹣m ． （1）若上面不等式的解集为x ＞3，求m 的值．（2）若满足x ＞3的每一个数都能使上面的不等式成立，求m 的取值范围． 【答案】 （1）23（2）m≥23 【解析】 （1）解不等式可得x ＞6﹣2m ，∵不等式的解集为x ＞3， ∴6﹣2m=3，解得m=23；（2）∵原不等式可化为x ＞6﹣2m ，满足x ＞3的每一个数都能使不等式成立， ∴6﹣2m≤3，解得m≥23．整数解问题例题1、 关于x 的不等式－1＜x≤a 有3个正整数解，则a 的取值范围是________． 【答案】 3≤a ＜4【解析】 ∵不等式－1＜x≤a 有3个正整数解， ∴这3个整数解为1、2、3， 则3≤a ＜4．例题2、 关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】 本题主要考查一元一次不等式及其解法。

思玛教育小学数学辅导讲义学员姓名数学学生年级初二辅导科目小学数学学科教师数学上课时间2020-05-09 06:10:00-09:00:00知识图谱体积单位间的进率知识精讲一．体积单位间的进率m3和dm3、dm3和cm3分别是相邻的体积单位，进率都是1000，即有：1 m3=1 dm3 1 dm3 =1 cm3二．体积单位间的换算体积单位间的换算方法：把高级单位的名数换算成低级单位的名数，用高级单位的数乘进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，用低级单位的名数除以进率。

典型例题（1）2 m3300 dm3=（）dm3（2）8.25 dm3=（）dm3（）cm3名师学堂解题思路．（1）题中2 m3300 dm3是复名数，含有两个同类计量单位，先把2 m3换算成以dm3为单位的数，再加上300即可。

即2 m3=2000 dm3，2000 dm3+300 dm3=2300 dm3。

（2）题是把单位名数换算成复名数，整数部分不需要换算，直接写在dm3前面的括号里。

然后把0.25 dm3换算成以cm3位单位的数，即0.25 dm3=250 cm3。

正确答案．（1）2 m3300 dm3=（2300）dm3（2）8.25 dm3=（8）dm3（250）cm3三点剖析重点：体积单位间的换算。

难点：理解体积单位间进率的推导过程。

易错点：只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。

体积单位间的进率例题例题1、填一填．（1）棱长是1m的正方体，也可以把它看成是棱长是10dm的正方体，它的体积就是（）dm3，所以1m3＝（）dm3．（2）棱长是1dm的正方体，也可以把它看成是棱长是10cm的正方体，它的体积就是（）cm3，所以1dm3＝（）cm3．（3）长度单位：厘米、分米、米，每相邻两个单位间的进率是（）．面积单位：平方厘米、平方分米、平方米，每相邻两个单位间的进率是（）．体积单位：立方厘米、立方分米、立方米，每相邻两个单位间的进率是（）．例题2、填空．（1）棱长是1dm的正方体，也可以看成棱长是（）cm的正方体，它的体积是（）cm3，所以1dm3＝（）cm3．（2）1m3＝（）dm3．（3）1L＝（）mL．例题3、体积是1d m3的正方体，可以分成1000个体积是1cm3的小正方体。

知识图谱亿以内数的改写知识精讲一．改写整万数．1．将整万的数改写成用“万”作单位的数的方法：将万位后面的4个0去掉，换成一个“万”字．2．把整万的数改写成用“万”作单位的数，数的大小不变，用“＝”连接．二．改写非整万数．1．求一个数的近似数，要看它省略的尾数部分的最高位上的数．如果小于5，就把它和后面的尾数全舍去并添上相应个数的0；如果大于5或等于5，要先向前一位进1，再把它和后面的尾数全舍去并添上相应个数的0.这种求近似数的方法叫“四舍五入”法．2．用“四舍五入”法改写后得到的数是近似数，所以用“≈”连接．3．已知“四舍五入”后的数反推原数：满足“这个数最大”这个条件时，这个数是通过“四舍”得到近似数的，位数最高位为4，尾数的其他数位都是9；满足“这个数最小”这个条件时，这个数是通过“五入”得到近似数的，尾数最高位为5，尾数的其他数位都是0．典型例题（1）一小滴血液含有红细胞5000000个、白细胞10000个．你能将横线上的数改写成用“万”作单位的数吗？（2）地球的直径大约是多少万千米？太阳呢？名师学堂（1）先画分级线，将整万的数分出个级和万级．500000010000；再将个级的4个0省略，换成一个“万”字．正确解答，万，万．（2）理解题意．在生产和生活中，有些事物的数量不需要准确地表示出来，这时用近似数表示更方便．“大约”表明让我们求的是地球和太阳直径的近似数．因为题目要求用“万千米”作单位，可用“四舍五入”法省略万位后面的尾数求近似数，再改写成用“万”作单位的数．探究用“四舍五入”法求近似数的方法．求一个数的近似数，要看它省略的尾数部分的最高位上的数．省略万位后面的尾数，要看尾数部分最高位——千位上的数，千位上的数小于5，把尾数舍去，并添上4个0；千位上的数大于或等于5，则向它的前一位进1，再把尾数舍去，并添上4个0．把求出的近似数改写成用“万”作单位的数．把得到的近似数末尾的4个0省略，换成一个“万”字． 正确解答，地球的直径：万；太阳的直径：万．答：地球的直径大约是1万千米，太阳的直径大约是139万千米．三点剖析重点：会将整万的数改写成用“万”作单位的数．难点：理解、掌握“四舍五入”法，会将非整万的数用“四舍五入”法改写成用“万”作单位的近似数． 易错点：用“四舍五入”法求近似数时，可能得情况考虑不够全面．把整万的数改写成用“万”作单位的数例题例题1、填一填，并根据各大洲的面积从大到小排一排，分别写出它们的名称．亚洲＞________＞________＞________＞________＞________＞________【答案】4400 3020 2423 1784 897 1016 1400 非洲 北美洲 南美洲 南极洲 欧洲 大洋洲 【解析】4400 3020 2423 1784 897 1016 1400 非洲 北美洲 南美洲 南极洲 欧洲 大洋洲例题2、把下面的数改写成用“万”作单位的数． 360000＝________ 400000＝________ 7340000＝________ 6000000＝________ 64000000＝________ 1000000＝________ 800000＝________ 970000＝________【答案】36万 40万 734万 600万 6400万 100万 80万 97万 【解析】36万 40万 734万 600万 6400万 100万 80万 97万例题3、想一想，填一填．560000＝________万 8000000＝________万 10000000＝________万洲名 面积／平方千米 面积／万平方千米亚洲 44000000 非洲 30200000 北美洲 24230000 南美洲 17840000 大洋洲 8970000 欧洲 10160000 南极洲14000000【答案】56 万个万800 1000【解析】56 万个万8001000随练随练1、将下面各数改写成以“万”为单位的数。

第03讲动脑筋大PK教学目标：1.通过让学生动手操作，在一多对应的基础上体验更进一步的置换游戏；2.在用大小不同杯子称量一定量水的过程中，学会运用简单加减法，提高计算速度；3.一系列的动脑筋题目帮孩子开拓思维。

内容概述：1.能够灵活的运用20以内的计算；2.了解简单的置换游戏；3.幼升小模拟题。

知识储备：能够掌握20以内加减计算。

教学过程：【环节一：牛刀小试】场景：今天袋鼠老师带着大家来到了侏罗纪晚期的博物馆，熊猫胖胖突然惊呼：“这是什么龙啊？它怎么好像对着我在笑！”袋鼠老师上前一看解释道：“胖胖啊，这是上龙，上龙是一种已灭绝海生爬行动物，属于上龙科，生存于侏罗纪晚期。

上龙是一种大型掠食性动物，以鱼类、鱿鱼、以及其他海生爬行动物为食。

.”只见博物馆的上龙突然一笑，带大家坐上了飞船来到了侏罗纪晚期。

爱吃鱼的迷你猫在河边遇到上龙，迷你猫拿出了两个杯子，一个是5ml一个是2ml，在河里盛了些水，想考考上龙能否用这两个杯子称出如下重量的水呢？小朋友你们会吗？想要3ml的水需要怎么做？列式：想要1ml的水需要怎么做？列式：想要7ml的水需要怎么做？解析部分：1、结合场景解题过程如下：学生试着读题，说一说题目的意思，并观察图片说一说两个杯子上的数字在本题起了什么作用，教师举例：现有5ml和2ml的杯子，根据要求需要3ml的水，想一想5ml/2ml与3ml之间的数学关系，让学生说出5-2=3，教师引导如果直接盛满5ml的水，如何利用2ml的杯子，得到3ml的水，用装满5ml的水倒入2m的水杯，5ml剩下的水杯内的水就是3ml；2、本题的重点：学生通过已有的计算经验与生活进行结合；3、本题的难点：学生能够明白本题抽象的概念；4、对于新生给予的建议：教师先让学生说一说条件与问题的数字关系，先让其试着列出算出，再教师讲解完再复述一下原理；5、哈佛案例的体现：学生通过讨论说一说如何将本题与计算进行结合。

6、学习本题的必要性：将计算与生活进行结合，让学生学以致用。

Teaching and learning materials Students: Textbook, an exercise book, writing materials and a calculator if possible. Teacher: New General Mathematics 1, 2 and 3.Glossary of termsElements of a set are the members of the set. The symbol ∈ is used for element. The number of elements of a set, A, for example, is called the cardinal number of A and written as n(A). Subset: If A is a subset of B, then A is part of B.A contains some or all of the elements ofB and no elements that do not appear in B. We write A ⊆ B.Proper subset: If A is a proper subset of B, then A is a subset that consists of at least one, but not all, of the elements of B. We write A ⊂ B. Union of sets The elements of the sets are put together without repeating any element. If A and B are united, we write A ∪ B. Then A ∪ B will contain all the elements that are in A or B. Intersection of sets: The intersection of sets is the elements that these sets have in common. If the intersection of A and B is determined, we write A ∩ B and this is the set that contains all the elements that are in A and B.Disjoint: If A ∩ B = ∅, (that is they have no elements in common) we say that sets A and B are disjoint.Finite set is a set with a last element.Infinite set is a set with an infinite number of elements and therefore has no last element.Teaching notesFractions, decimals, percentages, approximations • Again remind the students that we can only add or subtract fractions if they are of the same kind. So we have to write them with the same denominator. For example:3_5+ 3_4= 3 × 4____5 × 4+ 3 × 5____4 × 5= 12__20+ 15__20= 27__20(The LCM of 5 and 4 is 20. 5 × 4 = 20 (and 4 × 5 = 20).So, we multiply below and above the line by 4(5) and, therefore, do not change anything, because we multiplied by 4_4= 1 and 5_5= 1.• Remind students to keep the order of operations in mind. (BODMAS means Brackets, Of, Division and Multiplication, Add and Subtract.)• Remind the students why we multiply by the reciprocal of a fraction, if we divide by that fraction by doing this example:Let’s say we have 0.66 ÷ 2_3.We multiply by 0.66 by 3, because we wantto know how many thirds there are in 0.66: 0.66 × 3 = 1.98.Then we divide this answer by 2, because we want to know how many 2’s there are in 1.98: 1.98 ÷ 2 = 0.99.In one step:0.66 ÷ 2_3= 0.66 × 3_2= 0.33 × 3= 0.99Chapter 13: Revision of numerical processes35• Also remind students that, when decimal numbers with decimal fractions are multiplied, the answer has as many digits after the decimal point as there were in total.Let’s say we have 1.2 × 0.06 × 0.003 = 0.000216 (the answer has 6 digits after the decimal point). The reason is that we can write:12__ 10× 6___100× 3____1 000= 12 × 6 × 3___________10 × 100 × 1 000= 216_______1 000 000= 0.000216• Again tell students that, if we want a certain percentage of a number or an amount, the percentage is always written as a 100th’s.S o, 22% of 24 = 22___100× 24= 5.28• Students can make their work much easier if they can remember these fractions for percentages orvice versa: 25% = 1_450% = 1_275% = 3_412 1_2% = 1_837 1_2% = 3_862 1_2% = 5_887 1_2% = 7_833 1_3% = 1_366 2_3% = 2_3Modular arithmetic• If students do not understand adding and subtracting go back to a basic cycle with the correct number of steps and explain addition and subtraction by using the cycle.■Mod 7 means that a cycle has 7 steps forexample and the principle is where in the cycle one would end.■In Example 15c): 4 ⊕ 24 means that you areon the 4 in the cycle and then you go 4 timesaround the cycle because 24 = 4 × 6.–Then you end at 4 again in the cycle.–The answer is, therefore, 4(mod 6).■In Example 15c): 5 ⊕ 28 means5 ⊕ 4 ⊕ 24 = 3 ⊕6 ⊕ 4(6) = 3 ⊕ 5(6).–This means that you start at 3 and go 5times through the cycle and ends at 3 again.–The answer is, therefore, 3 (mod 6).Ratio and rate• If students work with problems involving speed, time and distance, let them remember this triangle:DistanceSpeed TimeThis tells us that distance_____time= speed, distance_____speed= time and that distance = speed × time.• Remind students that when comparing ratios, the ratio can either be expressed in the formn : 1, which comes down to expressing the ratio as a decimal fraction.Ratios can, however also be written as fractions with the same denominators by taking the LCM of the denominators.This method is easier to use to compare ratios if calculators are not available.• When reducing a quantity in a certain ratio (Example 2), the same result is obtained if the quantity is multiplied by smallest number and divided by the biggest number in the ratio: 273 000 × 11__13.If the quantity is increased in a certain ratio, it is multiplied by the biggest number and divided by the smallest number in the ratio: 273 000 × 13__11.• In Example 19 one could also reason as follows: If 9 people take 21 days, 1 person takes 21 × 9 days (one person would work much longer). Then, 7 people would take 21 × 9____7(7 people would take 7 times shorter).Sets and applications• A well-defined set clearly indicates what an element of the set is and what not.■A set identified as the set of all people tallerthan 2 m in Freetown is well defined. Thereason is that its description cannot beinterpreted differently.■On the other hand, if a set is identified as theset of tall people in Freetown, it is open tointerpretation because different people couldhave different ideas of when a person is tall.• Sets are equal if they have exactly the same elements. We use the symbol = .• An empty set is always a subset of any set because a subset has no element that is not an element of any other set.• The number of subsets of any set is 2n. Exercise 5d) 4a).• The number of proper subsets is 2n – 1 because the set itself must be left out.• When students solve practical problems by using Venn diagrams, let them make the quantity they want to find, equal to x and then let them fill in the remainder of the Venn diagrams in terms of x. • If there is not a specific quantity that has to beChapter 13: Revision of numerical processes 36Chapter 13: Revision of numerical processes 37found (Example 9), let the students start with the quantity which is the intersection of all the sets and then complete the remainder of the Venn diagrams according to this value.Arithmetic and geometric progressions• Students do not always know when to use theformula S n = n _2 (a + l ) or when to use the formula S n = n _2[2a + (n − 1)d ] to determine the sum of an arithmetic series.• Teach them that the first formula can only be used if they know the last term of the series. The second formula is used when the last term is not known.When r < 1, the formula for the sum of a geometric series most convenient to use isS n = a (1 − r n) ______ 1 − r. When r > 1, the formula for the sum of a geometric series most convenient to use isS n = a ( r n − 1)______ r − 1 .• If an infinite geometric series converges, it means that its sum tends to a certain value. This can only happen if –1 < r < 1. MatricesRefer to Chapter 8 of this book.Areas of difficulty and common mistakesNumber bases• When students convert a number from the base 10 to another base, for example to the base 8, and they use reading the remainders upwards, they can in the end do this by rote without understanding what they are doing. Say, for example that 2 077ten has to be converted to a number to the base 8. Then you can also explain it like this:• Remind students that they can only have the correct ratio, if the quantities that are compared are in the same unit.• Students may find multiplication of the numbers with a base other than 10 difficult. Let’s say they have to multiply 314five by 24five . Then the full explanation is: 314 4 × 4 = 16 = 3 × 5 + 1So, write 1 and carry 3.× 24 4 × 1 + 3 (carried) = 7 = 1 × 5 + 2So, write 2 and carry 1.2321 4 × 3 + 1 (carried) = 13 = 2 × 5 + 3So, write 23.11330 2 × 4 = 8 = 1 × 5 + 3.So, write 3 and carry 1.14201 2 × 1 + 1 (carried) = 3 So, write 3.2 ×3 = 6 = 1 × 5 + 1 So, write 11.Ratio and rateStudents do not take the word order into account when writing down a ratio. For example:• The amount of 100 was divided between Anne and Gift in the ratio 2 : 3.• This means that Anne gets 2_ 5 × 100 = 40 and Gift gets 3_ 5 × 100 = 60.Proportion and mixturesProblems with mixtures and proportion could be difficult to solve and you should explain problems such as question 12 in Exercise 13e):Let the number of sacks of rice bought at 6 200 be 5x , and the number of sacks of rice bought at 5 500 be 2x .Total number of sacks of rice of both kinds of rice = 7xThen the total price of the mixture = 5x (6 200) + 2x (5 500) = 42 000xSelling price = 135 ___ 100× 42 000x= 56 700xSelling price per sack = 56 700x______ 7x= 8 100.。

第三讲排列与搭配在生活中，小朋友经常碰到这样的问题：给你黑白两颗珠子，你会怎样排列呢？可以黑珠子在前，白珠子在后，也可以白珠子在前，黑珠子在后。

或者你有两件不同的上衣和两条不同的裙子，可以将它们配成几套呢？其实像这样的问题里就包含着有趣的数学知识。

解答这类问题时我们需要按照某种顺序来找到所有符合条件的情况。

1、渗透简单的排列、组合的数学思想方法；2、初步培养学生有顺序、全面地思考问题的意识；3、生活中的问题包含着数学知识，借此培养学员解决问题的能力。

有5、7两张数字卡片，能组成几个两位数？ 【解析】十位 个位5 7，7 5小丁丁和爸爸、妈妈三人拍照，三人站成一排，一共有几种不同的排法？【解析】三个位置编号为： 1号； 2号； 3号当爸爸站 1号位时，有2种排法；当爸爸站 2号位时，有2种排法；当爸爸站 3号位时，有2种排法；共有 2+2+2=6种小胖有3件不同的上衣和3条不同的裤子，小胖一共可以搭配出多少套不同的服装？【解析】给三件上衣编号：1号； 2号； 3号1号上衣： 3套；2号上衣： 3套；3号上衣： 3套；可以有 3+3+3=9套 讲演者：得分：讲演者：得分：四个小朋友进行乒乓球单打循环比赛，他们一共要打多少场比赛？【解析】将四个小朋友编号为：A B C D3+2+1=6 场有三张数字卡片0、5、8，可以排出多少个不同的三位数？【解析】百位上取5：有2种； 508,580；百位上取8：有2种； 805,850；共 2+2=4种张先生从上海出发，先到宁波取一份资料，然后到北京开会。

他从上海到宁波可以乘船、火车或长途汽车，从宁波到北京可以乘火车或飞机，那么他从上海经宁波到北京一共有多少种不同的走法？【解析】画示意图：2+2+2=6种或 3×2=6种选用23、6、19、58四个数中的两个数，分别可以组成多少个减法算式？【解析】必须大数减小数：大数是58时： 58-23； 58-6； 58-19；大数是23时： 23-19； 23-6；大数是19时： 19-6；共6个算式。

数学分析讲义.下册.第3版
《数学分析讲义（下册）第3版》是一本经典的数学分析教材，由美国著名数学家威
廉·莱文斯顿（William L.Wrightson）编写。

该书以清晰的语言和丰富的例子，介绍了数学
分析的基本概念、定义、定理、公式和应用。

该书以定义、定理、公式和应用为中心，介绍了数学分析的基本概念。

首先，介绍了函数的定义、性质及其在解决问题中的应用。

然后，介绍了微分学的基本概念，包括微分、导数、复合函数、可导函数、多元函数等。

此外，还介绍了微分学中的定理和应用，如泰勒
公式、波动方程、牛顿迭代法等。

此外，该书还介绍了积分学的基本概念，包括定积分、不定积分、多重积分及其应用。

此外，还介绍了常用的定理和应用，如Green-Stokes定理、Fourier变换及其应用。

最后，该书还介绍了一些高等数学的基本概念和应用，如常微分方程、随机过程及其应用。

总之，《数学分析讲义（下册）第3版》是一本非常优秀的数学分析教材，适合大学生及以上水平的读者阅读。

该书以清晰易懂的语言和丰富的例子，介绍了数学分析的基本概念、定义、定理、公式和应用。

通过阅读本书，读者可以对数学分析有一个全面而准确的认识。