分式方程培优讲义全

内容基本要求略高要求较高要求分式的有关概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则，会解分式方程 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题，理解分式方程中的增根问题1.掌握分式方程的解法；解分式方程，解含字母系数方程，解方程中的换元思想。

2.分式方程注意检验；3.增根的存在性及利用增根去解题.趣味小故事1：《真假银元》 一位商人有9枚银元，其中有一枚是较轻的假银元。

你能用天平只称两次（不用砝码），将假银元找出来吗？你知道答案了吗？再试试下面这道题吧！趣味小故事2：《不同的小球》 有8个大小、形状均相同的小球，其中一个比其他7个要重。

给你一架天平（没有砝码），最少称几次，可以将“与众不同”的小球找出来？中考要求重难点课前预习分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程的步骤：（1）去分母，将分式方程转化成整式方程；（2）解整式方程；（3）检验. 解分式方程应用题的步骤：（1）审；（2）找；（3）设；（4）列；（5）解；（6）验；（7）答.模块一 分式方程的概念【例1】 下列方程是分式方程吗？（1）2315x x -+= （2）113x+= 【难度】1星【解析】根据分式方程概念可知，分母中含有未知数的方程是分式方程，所以（1）不是，（2）是. 【答案】（1）不是分式方程，（2）是分式方程.【巩固】下列方程中哪些是分式方程？（1）()111923x x +-= （2）1371x x -=+ （3）22133x x += （4）2973x x +=- （5）3731y y -+ （6）313x x=-（7）213(3a a a x x ++=-为字母系数） （8）2270(1ax xa a a-+=+为字母系数） 【难度】2星【解析】根据分式方程概念可知，（2）、（4）、（6）、（7）是分式方程；（1）、（3）、（5）、（8）不是分式方程.其中（1）、（3）、（8）中分母不含未知数；（5）不是方程.【答案】（2）、（4）、（6）、（7）是分式方程；（1）、（3）、（5）、（8）不是分式方程.【例2】 方程: 112x x x+=+是否为分式方程？ 【难度】2星【解析】根据分式方程概念可知，分母中含有未知数的方程即是分式方程，该方程中分母含有未知数，故是分式方程.注意例题精讲【答案】是.【巩固】 方程：122()(3)033a a a +-+=--是分式方程吗？ 【难度】2星【解析】由分式方程概念可知，该方程分母中含有未知数，所以是分式方程【答案】是.【总结】根据定义判断一个方程是否为分式方程，关键是看已知分式中分母是否含有未知数即可. 【易错】有些同学往往将分式化简整理后再判断，切忌一定是直接看形式，不看结果.模块二 分式方程的解法☞可化为一元一次方程的分式方程 【例3】 解方程：572x x =- 【难度】2星【解析】先去分母，将分式方程化为整式方程，然后再解整式方程，最后进行检验. 【答案】5(2)7,210,5x x x x -==-=-，经检验：5x =-是原方程的解.【巩固】分式方程1313x x =-+的解是 . 【难度】2星【解析】33(1),333,26,3x x x x x x +=-+=-==，经检验，3x =是原方程的解. 【答案】3【巩固】解方程：2302x x-=- 【难度】2星【解析】23(2)0,6,6x x x x --=-=-=，经检验，6x =是原方程的解. 【答案】同解析.【例4】 解方程：11322xx x-=--- 【难度】2星【解析】113(2),24,2x x x x =---==，经检验，2x =是原方程的增根. 【答案】同解析.【巩固】 方程1101x -=-的解为 . 【难度】2星【解析】1(1)0,2x x --==，经检验，2x =是原方程的解. 【答案】2【巩固】解方程：31144x x+=-- 【难度】2星【解析】314,6x x -=-=经检验，6x =是原方程的解. 【答案】同解析.【例5】 解方程：2216124x x x --=+- 【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母(2)(2)x x +-，化成整式方程，然后再解整式方程．【答案】2222(2)164,44164,48,2x x x x x x x --=--+-=--==-，经检验，2x =-是原方程的增根.【巩固】 解方程：21622422x x x x x -++=-+- 【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母(2)(2)x x +-，化成整式方程，然后再解整式方程．【答案】222216(2)(2),164444,816,2x x x x x x x x -+-=+-+-+=++=-=-，经检验，2x =-是原方程的增根.【例6】 解方程：2236111x x x +=+-- 【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母(1)(1)x x +-，化成整式方程，然后再解整式方程. 【答案】2(1)3(1)6,55,1x x x x -++===，经检验，1x =是原方程的增根.【巩固】解方程：2212121x x x =--+ 【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母2(1)(1)x x +-，化成整式方程，然后再解整式方程. 【答案】(1)2(1),3x x x -=+=-，经检验，3x =-是原方程的解.【巩固】解方程：11114736x x x x -=-++++【难度】3星【解析】本题需采用巧妙解法，若直接去分母，会出现3次方，会给解题带来不便.所以我们先将等号两边分别通分，会发现两边分式的分子相同，则直接可得出分母相等.【答案】746333,,(4)(7)(3)(6)(4)(7)(3)(6)x x x x x x x x x x x x +--+--==++++++++即(4)(7)(3)(6),x x x x ++=++所以22(4)(7)(3)(6),1128918,5x x x x x x x x x ++=++++=++=-.经检验，5x =-是原方程的解.【巩固】解方程：222232411221x x x x x x x x +-+++=+-++【难度】3星【解析】本题同样需要采取巧妙算法，若直接去分母，会出现4次方，会给解题带来不便.所以，本题我们需要对等号两边分式分别裂项.【答案】原方程变形为：22221111112,221221x x x x x x x x -+=-=+-+++-++，即 22221,3x x x x x +-=++=-，经检验，3x =-是原方程的解.☞可化为一元二次方程的分式方程 【例7】 解方程：24101x x +=+ 【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母2(1)x x +，化成整式方程，然后再解整式方程．【答案】222124(1)0,440,(2)0,2x x x x x x x ++=++=+===-，经检验，122x x ==-是原方程的解.【巩固】解方程：22223401xx x x x x ++=+-- 【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母(1)(1)x x x +-，化成整式方程，然后再解整式方程．【答案】221212(1)3(1)40,4510,(1)(41)0,1,4x x x x x x x x x -+++=++=++==-=-，经检验，11x =-是原方程的增根，214x =-是原方程的解.【巩固】解方程：261233212x x x x x x +=+-+--【难度】2星【解析】方程两边同时乘以最简公分母(1)(1)x x x +-，化成整式方程，然后再解整式方程．【答案】2121612(2)3(1),2740,(4)(21)0,4,2x x x x x x x x x x +=-+---=-+===-，经检验，1214,2x x ==-是原方程的解.【总结】分式方程解法的宗旨就是将分式方程化为整式方程，然后再去解整式方程，最后将结果代入最简公分母中进行检验.【易错】（1）学生最常犯的错误就是忘记检验，有的孩子检验只是一种形式，没有代入最简公分母中确定是否为零;（2）当分式较多，公分母较多的时候，应先观察，找到巧妙解法，避免错误的发生，同时减小解题的计算量.☞含有字母的分式方程【例8】 先练习一个含有字母的整式方程：在式子0v v at =+中，所有字母都不等于0，已知0v v a 、、，求t .【难度】2星【解析】解这类方程时一定要分清未知数和已知数.未知数是t ，已知数是0v v a 、、. 【答案】000,v v at v v a t a-=-≠∴=Q ，.【巩固】在式子12121R R R R R +=中，1R R ≠,求出表示2R 的式子。

分式方程培优讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1分式方程拔高讲练一、含有参数方程1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是2．分式方程=1﹣的根为3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为二、方程无解1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是2．若=0无解，则m的值是3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a=．三、有增根1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为2、关于x的分式方程有增根，则增根为．3、若关于x的方程有增根，则m的值是．4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a=四、整体代入解方程1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=．3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是．四、实际问题1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．﹣10= B．+10=C．﹣10= D．+10=2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（）A．= B．=C．= D．=3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（）A． B． C． D．4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）A．﹣=5 B．﹣=5C．+5= D．﹣=55．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）A．+=1 B．+= C．+= D．+=1【同步训练】1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣82．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．若关于x的分式方程+3=无解，则实数m=．4．若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是．5．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：．6．某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为．7．关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，则x+=c+的解是x1=c，x2=．8．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3 B．1 C．0 D．﹣39．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A →C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．（1）点Q的速度为cm/s（用含x的代数式表示）．（2）求点P原来的速度．12．定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a?b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2?3=﹣=+=1．（1）求（﹣2）3的值；（2）若x?2=1，求x的值．2017年12月02日峰尚的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，解得：x=，由题意得：≥0且≠2，解得：a≥1且a≠4，故选：C．2．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：分式方程+=4的解为x=且x≠1，∵关于x的分式方程+=4的解为正数，∴＞0且≠1，∴a＜6且a≠2．，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6且a≠2．∵a为整数，∴a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5=10．故选A．3．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3 B．1 C．0 D．﹣3【解答】解：解不等式组，可得，∵不等式组有且仅有四个整数解，∴﹣1≤﹣＜0，∴﹣4＜a≤3，解分式方程+=2，可得y=（a+2），又∵分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2，即（a+2）≥0，（a+2）≠2，解得a≥﹣2且a≠2，∴﹣2≤a≤3，且a≠2，∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3，∴满足条件的整数a的值之和是1．故选：B．4．分式方程=1﹣的根为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，解得：x=﹣1或x=3，经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，故选C5．如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，故选D．6．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．﹣10=B．+10=C．﹣10=D．+10=【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：+10=．故选：B．7．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（）A．=B．=C．=D．=【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得：=，故选：D．8．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，由题意得，=．故选A．9．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）A．﹣=5 B．﹣=5C．+5=D．﹣=5【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，∴实际每天植树（x+）万棵，需要天完成，∵提前5天完成任务，∴﹣=5，故选（A）10．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）A．+=1 B．+=C．+=D．+=1【解答】解：由题意可得，，故选B．11．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是（）A．m=B．m=3 C．m=或1 D．m=或3【解答】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2=﹣x+3，整理得：（m﹣1）x=2，当m﹣1=0，即m=1时，方程无解；当m﹣1≠1时，x﹣3=0，即x=3时，方程无解，此时=3，即m=，故选C12．若=0无解，则m的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3【解答】解：方程两边都乘（x﹣4）得：m+1﹣x=0，∵方程无解，∴x﹣4=0，即x=4，∴m+1﹣4=0，即m=3，故选C．13．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程+=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8【解答】解：，解①得x＞m，解②得x＞1．不等式组的解集是x＞1，则m≤1．解方程+=3，去分母，得1﹣x﹣m=3（2﹣x），去括号，得1﹣x﹣m=6﹣3x，移项，得﹣x+3x=6﹣1+m，合并同类项，得2x=5+m，系数化成1得x=．∵分式方程+=3有非负整数解，∴5+m≥0，∴m≥﹣5，∴﹣5≤m≤1，∴m=﹣5，﹣3，1，∴符合条件的m的所有值的和是﹣7，故选C．14．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到m+2≥﹣2m﹣1，解得：m≥﹣1，即m=﹣1，0，2，5，分式方程去分母得：x﹣m+2=﹣x+2，即x=m，把m=﹣1代入得：x=﹣，不符合题意；把m=0代入得：x=0，符合题意；把m=2代入得：x=1，符合题意；把m=5代入得：x=，不符合题意，则所有满足条件m的个数是2，故选B二．填空题（共15小题）15．若关于x的分式方程+3=无解，则实数m=3或7．【解答】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）=mx，整理，得（m﹣3）x=4，当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，∴m﹣3=4，m=7，∴m的值为3或7．故答案为3或7．16．若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是m＜6且m≠2．【解答】解：+=3，方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6，解得，x=，∵≠2，∴m≠2，由题意得，＞0，解得，m＜6，故答案为：m＜6且m≠2．17．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：=．【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：=．故答案是：=．18．某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为﹣=8．【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=，根据题意可得：﹣=8，故答案为：﹣=8．19．若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是m≥﹣1且m≠1．【解答】解：去分母得，m﹣1=2（x﹣1），∴x=，∵方程的解是非负数，∴m+1≥0即m≥﹣1又因为x﹣1≠0，∴x≠1，∴≠1，∴m≠1，则m的取值范围是m≥﹣1且m≠1．故选：m≥﹣1且m≠1．20．若关于x的分式方程+=2有整数解，整数m的值是1，3，4，﹣2，6．【解答】解：去分母得：mx﹣1+1=2x﹣4，整理得：（m﹣2）x=﹣4，解得：x=﹣，由分式方程有整数解，得到m﹣2=﹣1，1，﹣2，2，﹣4，4，且x﹣2≠0，解得：m=1，3，4，﹣2，6，故答案为：1，3，4，﹣2，621．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是y2﹣3y+2=0．【解答】解：设y=x2+2x，则原方程可化为y+=3，去分母，得y2﹣3y+2=0．故答案是：y2﹣3y+2=0．22．用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=．【解答】解：设y=，则原方程变为y﹣+1=0，故答案为：．23．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是2．【解答】解：设x+=u，原方程等价于u2﹣u﹣2=0，解得u=2或u=﹣1，x+=2或x+=﹣1（不符合题意，舍），故答案为：2．24．关于x的分式方程有增根，则增根为x=1．【解答】解：∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，解得x=1．故答案为x=1．25．若关于x的方程有增根，则m的值是4．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得x+2=m∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣2）=0，解得x=2，当x=2时，m=2+2+4，故答案为：4．26．若分式方程的解为正数，则a的取值范围是a＜8，且a≠4．【解答】解：分式方程去分母得：x=2x﹣8+a，解得：x=8﹣a，根据题意得：8﹣a＞0，8﹣a≠4，解得：a＜8，且a≠4．故答案为：a＜8，且a≠4．27．关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，则x+=c+的解是x1=c，x2=3+．【解答】解：∵x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，∴x+=c+可化为x﹣3+=c﹣3+，x+=c+的解是x1=c，x2=3+，故答案为3+．28．若关于x的分式方程﹣=无解，求a=﹣1或2．【解答】解：去分母得：3﹣x﹣a（x﹣2）=﹣2，即（a+1）x=2a+5，当a=﹣1时，显然方程无解；当a≠﹣1时，x=，当x=2时，a不存在；当x=3时，a=2，综上，a的值为﹣1或2．故答案为﹣1或2．29．解关于x的方程+=产生增根，则常数a=﹣4或6．【解答】解：去分母得：2x+4+ax=3x﹣6，由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入得：8+2a=0，即a=﹣4；把x=﹣2代入得：﹣2a=﹣12，即a=6，综上，常数a=﹣4或6，故答案为：﹣4或6三．解答题（共6小题）30．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．（1）点Q的速度为x cm/s（用含x的代数式表示）．（2）求点P原来的速度．【解答】解：（1）设点Q的速度为ycm/s，由题意得3÷x=4÷y，∴y=x，故答案为：x；（2）AC===5，CD=5﹣1=4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，由题意得=，解得：x=（cm/s），经检验x=是原方程的根，答：点P原来的速度为cm/s．31．若关于x的方程﹣=1的根是2，求（m﹣4）2﹣2m+8的值．【解答】解：∵关于x的方程﹣=1的根是2，∴把x=2代入方程得：2﹣=1，解得：m=4，则（m﹣4）2﹣2m+8=（4﹣4）2﹣2×4+8=0．32．设A=，B=（1）求A与B的差；（2）若A与B的值相等，求x的值．【解答】解：（1）A﹣B====（2）∵A=B∴去分母，得2（x+1）=x去括号，得2x+2=x移项、合并同类项，得x=﹣2经检验x=﹣2是原方程的解．33．定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a?b=﹣，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2?3=﹣=+=1．（1）求（﹣2）3的值；（2）若x?2=1，求x的值．【解答】解：（1）原式=﹣=﹣3（2）由题意可知：﹣=11﹣（x﹣2）=x1﹣x+2=xx=经检验，x=是原方程的解，34．（1）计算：（π﹣2）0++（﹣1）2013﹣（2）解分式方程：﹣=1．【解答】解：（1）原式=1+2﹣1﹣4=﹣2；（2）去分母得x（x﹣1）﹣（x+1）=（x+1）（x﹣1），解得x=0，经检验，x=0为原方程的根．35．解方程：+=．【解答】解：去分母得：x﹣4+x﹣3=﹣2x﹣6，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．。

《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-． 【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2020•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣． 类型三、分式方程的解法4、（2020•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得3x +3﹣x ﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解．类型四、分式方程的应用5、（2020•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得： ﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ． 根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。

-＝b a b-13x1+＝＿_＿____＿__＿4)2a -1x -24)24)42a a a ---32.111x x x x -+-+-１、分式的概念:整式A除以整式B，可以表示成BA的形式.如果除式B中含有字母，那么称BA为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,即:3、分式加减:)0(≠±=±ccbacbca4、约分：把分式分子、分母的公因式约去,这种变形叫分式的约分.分式约分的依据是分式的基本性质注意：一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.彻底约分后的分式叫最简分式.5、通分:把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分．三、例题解析例1、解方程（１） (2）11112-=+xx（3）（4)14222=-+-xxx变式：xx321=-22121--=--xxx22b ab x m --12x x =--21 x =-1)2(1)x-=，7+3时，代数式的值都是1719+⨯(525217+-111719+-:。

专题5.5 分式方程掌握分式方程的有关概念；掌握分式方程的解法；掌握分式方程的增根与无解的情况；掌握分式方程的应用，注意分式方程的结果需要检验；【知识点】1.分式方程的有关概念（1）分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．（2）分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．2：分式方程解法解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最简公分母、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．3.分式方程的应用（1）分式方程解应用题的一般步骤：①审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．的②设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．③列方程，把相等关系左右两边量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．④解方程．⑤检验，看方程的解是否符合题意．⑥写出答案．（2）解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．知识点01分式方程的定义【典型例题】（2023春·上海·八年级专题练习）1. 已知方程：①22190x x -=，②2122x x +=，③22222x x x +=++-，④4()(6)15x x +-=-．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1（2021·全国·九年级专题练习）2. 下列方程是关于x 的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）①52ax b +=；②15()243x x b +++=；③2m x m x a a +-+=；④2221x x x =-；⑤1312x x +=-；⑥a b a b x a ++=；⑦111b a x b x -=-；⑧2x b x b a a -+=+；⑨2x n x mx m x n-++=+-．（2023春·全国·八年级专题练习）3. 在下列方程：①2213x =、②221x π-=、③23x x=、④11322x x x -+=--、⑤10x=⑥153x -=，⑦141=-x x ，⑧11=-x a b ，1223x +=-+中，哪些是分式方程，并说明理由．的【即学即练】（2023春·八年级课时练习）4. 下列是分式方程的是（ ）A. 413x x x +++ B. 542xx -+=C.()34243x x -= D.1101x +=+（2023春·江苏·八年级专题练习）5. 给出以下方程：314x -=，32x =，3152x x +=+，132x x -=，其中分式方程的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4（2023春·八年级课时练习）6. 请写出一个只含有未知数x 且根是1-的分式方程__________．（2023春·七年级单元测试）7. 在方程2132,10,1,11132x y x x y x x=+=+==+-中，分式方程有______个．（2023春·全国·八年级专题练习）8. 下列方程哪些是分式方程？（1）12x x +=；（2）572y y =-；（3）2132x x -=；（4）2x a=（a 是常数）．知识点02 解分式方程【典型例题】（2023·河南南阳·统考一模）9. 方程22111x x =--解为（ ）A. =1x -B. 0x =C. 1x =D. 无解（2023年北京市通州区中考一模数学试卷）10. 方程1233x x =-的解是__________．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）11. 解分式方程：（1）752x x=-（2）24146842x x x x -=-+--【即学即练】（2023·北京门头沟·统考一模）12. 方程2103x x+=+的解为（ ）A. =1x - B. 1x = C. 3x =- D. 13x =-（2023春·浙江·七年级专题练习）13. 对于实数a 和b ，定义一种新运算“⊗”为：211a b b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21153813⊗==--．则方程2214x x ⊗=--的解是（ ）A. 4x = B. 5x = C. 6x = D. 7x =（2023春·浙江·七年级专题练习）14. 分式方程345x x x x -=-+的解为______________．（2023·浙江宁波·统考一模）15. 对于实数(),x y x y ≠，我们定义运算(),x yF x y x y+=-，如：()212,1321F +==-．则方程(),12F x =的解为__________．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）16. 解分式方程：（1）542332x x x +=--（2）214111x x x +-=--知识点03 根据分式方程解的情况求值【典型例题】（2023·河南驻马店·校联考二模）17. 若关于x 的分式方程12m x mx +=-的解是2，则m 的值为（ ）A. 4- B. 2- C. 2D. 4（2023·湖北荆州·统考一模）18. 已知关于x 的分式方程312m x -=+的解是负数，则m 的取值范围是_______．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）19. 已知关于x 的分式方程211x m x x-=--．（1）当1m =时，求方程的解；（2）若关于x 的分式方程211x mx x-=--的解为非负数，则m 的取值范围是______．【即学即练】（2023·黑龙江鸡西·校考一模）20. 已知关于x 的分式方程2112x a x -=-的解是非负数，则a 的取值范围是（ ）A. 12a ≥B. 2a <C. 12a ≥且2a ≠D. 12a >且2a ≠（2023春·江苏·八年级期中）21. 已知关于x 的方程232x mx -=+的解是负数，那么m 的取值范围是（ ）A. 6m <- B. 6m >- C. 6m <-且2m ≠- D. 6m >-且4m ≠-（2023春·上海·八年级专题练习）22. 在去分母解关于x 的分式方程244x a x x =---的过程中产生增根，则a =_____．（2023春·江苏·八年级专题练习）23. 若关于x 的分式方程21311x m x x -=-++的解为负数，则m 的取值范围是 ______ ．（2023春·八年级课时练习）24. 若关于x 的分式方程25211x a x x x +-+=--的解为正数，求正整数a 的值．知识点04 分式方程的增根、无解问题【典型例题】（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）25. 若关于x 的方程1144m xx x --=--有增根，则m 的值为（ ）A. 2- B. 2C. 3- D. 3（2023春·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）26. 若关于x 的分式方程213224x m x x x -++=-+无解，则m 的值为_______．（2022秋·八年级课时练习）27. 王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?233x x x =---(1)她把这个数“?”猜成2-，请你帮王涵解这个分式方程；(2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：3x =是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【即学即练】（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）28. 若关于x 的方程223242mx x x x +=--+无解，则m 的值为（ ）A. 1B. 1或4- C. 1或4-或2D. 1或4-或6（2023春·江苏·八年级专题练习）29. 若分式方程144x mx x -=++有增根，则m 的值是（ ）．A. 3B. 3- C. 5D. 5-（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）30. 若去分母解分式方程2133x mx x -+=--会产生增根，则m 的值为______．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）31. 设m ，n 为实数，定义如下一种新运算：39nm n m =-☆，若关于x 的方程()(12)1a x x x =+☆☆无解，则a 的值是______．（2023春·山西临汾·八年级统考阶段练习）32. 已知分式方程1133x x x-+=--▲，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．知识点05 分式方程的实际应用【典型例题】（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）33. 某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的310．现若由建筑二队单独施工，则需要x 天完成．根据题意列的方程是（ ）A.11318010x += B. 11118030x +=C. 1133018010x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D.1133018010x +=⨯（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）34. 甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km /h ．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________km /h ．（2023·吉林长春·统考一模）35. 某科技公司购买了一批A 、B 两种型号的芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用2 600元购买A 型芯片的条数与用3 500元购买B 型芯片的条数相等．求该公司购买B 型芯片的单价．【即学即练】（2023春·浙江·九年级阶段练习）36. 某化工厂要在规定时间内搬运1800千克化工原料，现有A ，B 两种机器人可供选择，已知B 型机器人每小时完成的工作量是A 型机器人的1.5倍，B 型机器人单独完成所需的时间比A 型机器人少10小时，如果设A 型机器人每小时搬运x 千克化工原料，则可以列出以下哪个方程（ ）A. ()101.51800x x += B. ()101.51800x x -=C.18001800101.5x x-= D.18001800101.5x x-=（2023春·江苏·八年级专题练习）37. 甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x 千米/时，可列方程为（ ）A.42042021.5x x+= B.42042021.5x x-= C.1.514204202x x += D.1.514204202x x -=（2023春·广东深圳·八年级校考期中）38. 甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套校服，甲厂比乙厂少用2天，则乙厂每天加工 _____套校服．（2023春·八年级课时练习）39. 某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家，已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．则小伟在平路上跑步的平均速度是每分钟__________米．（2023·吉林·一模）40. 某店有A 、B 两种口罩出售，其中B 种口罩的单价要比A 种口罩的单价多0.3元，用27元购进A 种口罩数量是用18元购进B 种口罩数量的2倍．（1）求A 、B 两种口罩的单价；（2）某单位从该店购进A 、B 两种口罩共1000个，总费用为1080元，求购进A 种口罩多少个．题组A 基础过关练（2023春·全国·八年级专题练习）41. 解分式方程3211x x x =+--，去分母后得到（ ）A. 23x += B. ()213x x =-+C. ()312x x =-+ D. ()()1231x x x -=+-（2022·湖北襄阳·统考中考真题）42. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列出正确的方程为（ ）A. 900900213x x ⨯=-+ B. 900900213x x ⨯=+- C.900900213x x =⨯-+ D.900900213x x =⨯+-（2022秋·河北沧州·八年级统考期中）43. 如图是小明解分式方程12133x x x+=---的过程，则下列判断正确的是（ ）解：方程两边同时乘3x -，得()123x x +=---，…………第一步即213x x +=-++，……………第二步解得1x =，………………………第三步经检查，原方程的解是1x =．……第四步A. 从第一步开始出现错误B. 从第二步开始出现错误C. 从第三步开始出现错误D. 从第四步开始出现错误（2023春·山西临汾·八年级校联考阶段练习）44. 相机成像的原理公式为()111,u f v f f u v =+≠≠，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f ，u 表示v 正确的是（ ）A. u f v fu-=B. fu v f u=- C. f u v fu-=D. fu v u f=-（2023·吉林松原·统考一模）45. 关于x 的方程211x =+的解是________．（2023春·全国·八年级专题练习）46. 若分式12x x--的值为零，则x 的值为______．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）47. 劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品1800kg ，八年级学生共收获农产品1440kg ，已知八年级学生比七年级学生人均多收获1kg 农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x 名学生，则可列分式方程为_______．（2023春·江苏·八年级专题练习）48. 若方程1122k x x+=--有增根，则方程的增根是__________．（2023春·全国·八年级专题练习）49. （1）解方程：26124x x x -=--；（2）分式化简：224222x x x x x x x---+÷++()．（2023春·全国·八年级专题练习）50. 新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团()20G 领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于20G 峰会期间测试运行．雅万高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长142km ．已知雅万高铁的平均速度是火车的平均速度的4.5倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间140min ，求雅万高铁的平均速度．题组B 能力提升练（2023春·上海·八年级阶段练习）51. 方程2402x x -=-的根是（ ）A. 2x =- B. 2x = C. 1222x x ==， D. 以上答案都不对（2023春·上海·八年级期中）52. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x 件，则x 应满足的方程为( )A. 720720548x x -=+B. 72072054848x +=+C. 720720548x -=D. 72072054848x -=+（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）53. 若关于x 的144x m x x -=++无实数解，则m 的值是（ ）A. 5 B. 5- C. 1 D. 1-（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考二模）54. 对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（ ）A. 4x = B. 5x = C. 6x = D. 7x =（2023·吉林松原·统考一模）55. 关于x 的方程211x =+的解是________．（2023春·全国·八年级专题练习）56. 若分式12x x--的值为零，则x 的值为______．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）57. 劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品1800kg ，八年级学生共收获农产品1440kg ，已知八年级学生比七年级学生人均多收获1kg 农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x 名学生，则可列分式方程为_______．（2023春·江苏·八年级专题练习）58. 若方程1122k x x+=--有增根，则方程的增根是__________．（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）59. 无锡地铁5号线一期工程全长25.4公里，设22个站点，起自渔父岛站，串联蠡湖未来城、无锡主城区、南长街、坊前、梅村等地．某站点由A B 、两个工程队一起建设了8个月，剩下的部分由A 队单独建设，还需4个月．（1）若A 队单独建设需要24个月，B 队单独建设需要多少时间？（2）若A 队单独建设的时间为a 个月（1220a <<），试分析说明A B 、两队谁的施工速度更快．（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）60. 若关于x 的方程 221m x x =+（1）若6m =，解这个分式方程；（2）若原分式方程无解，求m 的值．题组C 培优拔尖练（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）61. 已知关于x 的分式方程2111mx x x -=--无解，则m 的值是（ ）A. 1 B. 1或2C. 0或2D. 0或1（2023春·江苏·八年级专题练习）62. 关于x 的分式方程12122a x x -+=--的解为正数，则a 的取值范围是（ ）A. 5a ＜ B. 5a ＜且3a ≠ C. 5a ＞且2a ≠ D. 5a ＞（2022秋·湖南湘西·八年级统考期末）63. 若21a a a-=，则222022a a -+的值为（ ）．A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）64. 若关于x 的一元一次不等式组02443x m x x -⎧≥⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为>4x ，关于y 的分式方程13244my y y -+=---有整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（ ）A. 5 B. 6 C. 11 D. 12（2023·上海金山·统考二模）65. 分式方程21011x x x+=--的解是________．（2023·山东济南·统考一模）66. 代数式23x x -的值比代数式232x-的值大4，则x = ______ ．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）67. 已知关于x 的方程488mx m x x x +=--的解是正整数，则正整数m 的值是______．（2023春·福建泉州·八年级校考阶段练习）68. 如图1所示，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为1a ，第2幅图中“□”的个数为2a ，第3幅图中“□”的个数为3a ，……，以此类推，若123222221n n a a a a ++++= （n 为正整数），则n 的值为___________．（2023·浙江杭州·统考一模）69. 解分式方程：4322x x x+=--小明同学是这样解答的：解：去分母，得：()432x x +=-．去括号，得：436x x +=-．移项，合并同类项，得：210x -=-．两边同时除以2-，得：5x =．经检验，5x =是原方程的解．小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．（2023春·江苏·八年级专题练习）70. 阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式x a x b x(-)(-)的值为零，则解得12,x a x b ==．又因为2()()()()x a x b x a b x ab ab x a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程ab x a b x+=+的解为12,x a x b ==．（1）理解应用：方程22255x x +=+的解为：1x = ，2x = ；（2）知识迁移：若关于x的方程37xx+=的解为12,x a x b==，求22a b+的值；（3）拓展提升：若关于x的方程61k xx=--的解为2121,2x t x t=+=+，求2344k k t-+的值．专题5.5 分式方程掌握分式方程的有关概念；掌握分式方程的解法；掌握分式方程的增根与无解的情况；掌握分式方程的应用，注意分式方程的结果需要检验；【知识点】1.分式方程的有关概念（1）分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．（2）分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．2：分式方程的解法解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最简公分母、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．3.分式方程的应用（1）分式方程解应用题的一般步骤：①审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．②设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．③列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．④解方程．⑤检验，看方程的解是否符合题意．⑥写出答案．（2）解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．知识点01分式方程的定义【典型例题】（2023春·上海·八年级专题练习）【1题答案】【答案】C【解析】【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．【详解】解：①2219=0xx-，是分式方程；②2122x x+=，是整式方程；③22222xx x+=++-，是分式方程；④4()(6)15x x+-=-，是整式方程，则分式方程的个数是2．故选：C．【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．（2021·全国·九年级专题练习）【2题答案】【答案】④⑤⑥⑦⑨【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【详解】①52ax b +=是整式方程，故①不符合题意；②15()243x x b +++=是整式方程，故②不符合题意；③2m x m x a a+-+=是整式方程，故③不符合题意；④2221x x x=-是分式方程，故④符合题意；⑤1312x x+=-是分式方程，故⑤符合题意；⑥a b a b x a++=是分式方程，故⑥符合题意；⑦111b a x b x-=-是分式方程，故⑦符合题意；⑧2x b x b a a-+=+是整式方程，故⑧不符合题意；⑨2x n x m x m x n -++=+-是分式方程，故⑨符合题意；故答案为：④⑤⑥⑦⑨．【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．（2023春·全国·八年级专题练习）【3题答案】【答案】③④⑤⑦,详见解析【解析】【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【详解】解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程；方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；方程⑨属于无理方程．【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【即学即练】（2023春·八年级课时练习）【4题答案】【解析】【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数方程，即可得解．【详解】解：A 、是一个代数式，不是方程，所以A 不是分式方程；B 、是一元一次方程，是整式方程，所以B 不是分式方程；C 、是一元一次方程，是整式方程，所以C 不是分式方程；D 、分母含有未知数x ，所以D 是分式方程．故选：D ．【点睛】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的形式是本题关键．（2023春·江苏·八年级专题练习）【5题答案】【答案】B【解析】【分析】利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，进行逐一判断即可．【详解】解：314x -=中分母不含未知数，不是分式方程；32x=中分母含有未知数，是分式方程；3152x x +=+中分母含有未知数，是分式方程；132x x -=中分母不含未知数，不是分式方程，共有两个是分式方程，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握定义并进行准确判断是解题的关键．（2023春·八年级课时练习）【6题答案】【答案】213x =+【解析】【分析】根据分式方程的定义即可得出结论．【详解】解：根据题意，得213x =+．故答案为：213x =+（答案不唯一）．【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解答此题的关键．（2023春·七年级单元测试）【7题答案】【答案】3【解析】【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【详解】解：在方程2132,10,1,11132x y x x y x x=+=+==+-中，分式方程有132,1011x y x =+=+-，21x x =一共3个．故答案为：3．【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．（2023春·全国·八年级专题练习）【8题答案】【答案】（1）（2）是分式方程【解析】【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断．【详解】解：（1）12x x+=是分式方程；（2）572y y =-是分式方程；（3）2132x x -=不是分式方程；（4）2x a=（a 是常数）不是分式方程，故（1）（2）是分式方程．【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程．知识点02 解分式方程【典型例题】（2023·河南南阳·统考一模）【9题答案】【答案】D【解析】【分析】将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验后，即可得出结论．【详解】解：方程两边同乘()21x -，得：21x =+，解得：1x =，检验：当1x =时，210x -=，∴1x =是原方程的增根，∴原方程无解；故选D ．【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．（2023年北京市通州区中考一模数学试卷）【10题答案】【答案】3x =【解析】【分析】先去分母变为整式方程，然后解整式方程，得出x 的值，最后检验即可．【详解】解：1233x x =-，去分母得：332x x -=，解整式方程得：3x =，经检验3x =是原方程的解，所以方程的解为3x =，故答案为：3x =．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤准确计算，注意解分式方程要进行检验．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）【11题答案】【答案】（1）5x =-（2）6x =【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以(2)x x -，化为整式方程，解方程即可求解；（2）方程两边同时乘以()()42x x --，化为整式方程，解方程即可求解；【小问1详解】解：752x x=-方程两边同时乘以(2)x x -，得：75(2)x x =-，解得5x =-．检验：把5x =-代入(2)0x x -≠，5x ∴=-是原方程的解．【小问2详解】解：24146842x x x x -=-+--，方程两边同时乘以()()42x x --，得()()4244x x +-=-，解得：6x =，检验：把6x =代入()()42x x --0≠，∴6x =是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．【即学即练】（2023·北京门头沟·统考一模）【12题答案】【答案】A【解析】【分析】去分母，化为整式方程，解出方程，并进行检验，即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以()3x x +得：230x x ++=，解得：=1x -，检验：当=1x -时，()31220x x +=-⨯=-≠，∴原方程的根为=1x -．故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键．（2023春·浙江·七年级专题练习）【13题答案】【答案】D【解析】【分析】根据新定义列出方程，然后解方程即可．【详解】解：根据题中新定义列方程得：121144x =---，解得：7x =，把7x =代入4x -得：7430-=≠，∴7x =是方程的解，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了新定义运算，解分式方程，解题的关键是理解题意，列出关于x 的方程，注意分式方程要进行检验．（2023春·浙江·七年级专题练习）【14题答案】【答案】1x =【解析】【分析】方程两边同时乘以()()45x x -+，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：345x x x x -=-+方程两边同时乘以()()45x x -+，得()()()534x x x x +=--即225712x x x x +=-+解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解．故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．（2023·浙江宁波·统考一模）【15题答案】【答案】3x =【解析】【分析】根据题目中给出的信息，列出方程，解方程即可．【详解】解：∵(),12F x =，∴121x x +=-，解得：3x =，经检验3x =是原方程的根据，∴原方程的解为3x =．故答案为：3x =．【点睛】本题主要考查了新定义运算，解分式方程，解题的关键是理解题意，列出方程，准确计算．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）【16题答案】【答案】（1）1x =（2）无解【解析】【分析】（1）方程两边都乘以()23x -得，()5423x x -=-，解得，1x =，检验后即可得到答案；（2）方程两边都乘以()()11x x +-得，()()()21411x x x +-=+-，解得1x =，检验后即可得到答案．【小问1详解】542332x x x+=--方程两边都乘以()23x -得，()5423x x -=-，解得，1x =，检验：当1x =时，2310x -=-≠，∴1x =是原分式方程的解；【小问2详解】214111x x x +-=--方程两边都乘以()()11x x +-得，()()()21411x x x +-=+-，解得，1x =，检验：当1x =时，()()110x x +-=，∴1x =是增根，∴原分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．知识点03 根据分式方程解的情况求值【典型例题】（2023·河南驻马店·校联考二模）【17题答案】【答案】A【解析】【分析】把2x =代入方程得出m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：∵分式方程12m x m x +=-的解是2，∴2212m m +=-，解得4m =-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次方程等知识，把2x =代入原方程中进行计算是解题的关键．（2023·湖北荆州·统考一模）【18题答案】【答案】5m <且3m ≠【解析】【分析】直接解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，结合20x +≠求出答案．【详解】解：312m x -=+，去分母得：32m x -=+，解得：5x m =-，∵分式方程的解是负数，∴0x <且20x +≠，即50m -<且520m -+≠，解得：5m <且3m ≠．故答案为：5m <且3m ≠【点睛】本题考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题的关键．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）【19题答案】【答案】（1）3x =（2）2m >-且1m ≠-．【解析】【分析】（1）将1m =代入分式方程，解分式方程的即可求解；（2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．【小问1详解】解：当1m =时，∴1211x x x -=--，∴1211x x x -=--，∴1211x x x +=--，∴121x x +=-，。

第6讲分式方程模块一：分式方程及其解法知识精讲1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．例题解析例1．（1）下列方程中，是分式方程的为（ ）A ．12x -=B 1=C 10-=D 1=【答案】C【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【详解】A. 是整式方程，故选项错误；B. 是整式方程，故选项错误；分母中含有未知数x ，所以是分式方程，故选项正确；D. 是整式方程，故选项错误.故选C.【点睛】此题考查分式方程的判定，掌握分式方程的定义是解题的关键.（2）在3253x +=；11(1)(1)432x x ++-=；21x -=；2371x x x ++=-；1(37)x x-中，分式方程有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★【答案】B【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分 母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B ．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．例2．（1）用换元法解分式方程251x x +21x x+-+1=0，如果设21x x +=y ，那么原方程可以化为（ ）A ．2+y y -5=0B ．2y -5y+1=0C ．25y y 10++=D ．25y 10y +-=【答案】D【分析】直接把21xx +换成y ，整理即可．【详解】解：设21xy x =+，则原方程化为1510y y -+=，去分母得，25y 10y +-=，故选：D ．【点睛】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．（2）.用换元法解方程221165380x x x x æöæö+++-=ç÷ç÷èøèø，设1y x x =+，则方程变为()A ．265380y y +-=B ．265400y y +-=C ．265260y y +-=D ．265500y y +-=【难度】★【答案】D【解析】1y x x =+，则有22221122x x y x x æö+=+-=-ç÷èø，原方程即为()2625380y y -+-=，展开整理即为265500y y +-=，故选D ．【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化．例3.分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________．【难度】★【答案】3x x -．【解析】分式方程中三个分母位置上分别为2x x +，2x x -，21x -，分解因式的结果分别为()1x x +，()1x x -，()()11x x +-，由此可得方程的最简公分母为()()311x x x x x +-=-．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．例4.直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________；（3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________．【难度】★【答案】（1）2x =；（2）无解；（3）无解；（4）0x =．【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得2x =， 检验得2x =是原分式方程的根；（2）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得1x =，检验得1x =为方程的增根， 即方程无解；（3）约分得12x +=，解得1x =，检验得1x =为方程的增根，即方程无解；（4）约分得11x +=，解得0x =，检验得0x =是原分式方程的根．【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意求解结果是否是增根．例5.解方程：（1）3363142x x -=-+；（2）43252x xx x =++；（3）23312222x x x x x ++=--+-．【难度】★★【答案】（1）123x =，29x =-；（2）10x =，267x =-；（3）无解．【解析】（1）方程两边同乘()()43123x x -+，得()()()()42312831x x x x +--+=-，整理得2325180x x +-=，解得123x =，29x =-，经检验，123x =，29x =-都是原方程的根；（2）方程两边同乘()()3252x x ++，得()()52432x x x x +=+，整理得2760x x +=，解得：10x =，267x =-，经检验，10x =，267x =-都是原方程的根；（3）方程两边同乘()()212x x +-，得()()()63221x x x ++-=+，整理得220x x --=，解得：11x =-，22x =，经检验，11x =-，22x =都是原方程的增根，即原方程无解．例6.解方程：（1）2213211x x x x -=+--； （2）24221422x x x x =++--+；（3）23211214124x x x x++=+--．【难度】★★【答案】（1）13x =-；（2）6x =；（3）54x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()221213x x x x +=-+-，整理得23210x x --=， 解得：113x =-，21x =，经检验，21x =是原方程的增根，即原方程的根为13x =-；（2）方程两边同乘24x -，得()()2442222x x x x =--++-，整理得24120x x --=，解得：16x =，22x =-，经检验，22x =-是原方程的增根，即原方程的根为6x =；（3）两边同乘()2241x -，得()()()2621421241x x x x -+-+=-，整理得281450x x -+=，解得：112x =，254x =，经检验，112x =是原方程的增根，即原方程的根为54x =．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．例7.已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根，求m 的值．【难度】★★【答案】12m =或3m =．【解析】分式方程两边同乘22x x +-，得()223x m +=-，分式方程有增根，由220x x +-=，解得：11x =，22x =-，即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得39m -=或30m -=，解得12m =或3m =．【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值．例8.已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解，求m 的值．【难度】★★【答案】3m =．【解析】分式方程两边同乘5x -，得()75x x m x -=---，整理解得：2x m =+，因为原分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得25x m =+=，解得3m =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根．例9.已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数，求a 的取值范围．【难度】★★【答案】3a <且1a ≠．【解析】分式方程两边同乘1x +，得()310a x x +-+=，整理解得：32a x -=，方程的根是 负数，则有302a x -=<，得3a <，同时分式方程的根不能为相应增根，即312a x -=≠-， 得1a ≠，由此即得3a <且1a ≠．【总结】考查分式方程的解满足条件的求解，注意方程的解不能为相应的增根．例10.解方程：（1）2220383x x x x+-=+；（2）2191502x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø．【难度】★★【答案】（1）15x =-，22x =，31x =-，42x =-；（2）11x =，22x =，312x =．【解析】（1）令23x x a +=，原方程即为208a a-=，两边同乘a 整理得28200a a --=，解得：110a =，22a =-；由2310x x +=，解得：15x =-，22x =；由232x x +=-，解得：11x =-，22x =-；经检验，15x =-，22x =，31x =-，42x =-都是原方程的根；（2）令1x a x +=，原方程即为29502a a -+=，解得12a =，252a =；由12x x+=，整理得2210x x -+=，解得：121x x ==；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =；经检验，11x =，22x =，312x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程，注意对方法的总结．例11.解方程：（1）225(16(1)1711x x x x +++=++）；（2）2216104()933x x x x+=-．【难度】★★【答案】（1）1x =2x =（2）13x =，23x =，32x =-，46x =．【解析】（1）令211x a x +=+，原方程即为6517a a +=，两边同乘a 整理得251760a a -+=，解得：125a =，23a =；由21215x x +=+，整理得25230x x -+=，方程无解；由2131x x +=+，整理得2320x x --=，解得：1x 2x =经检验，1x =2x = （2）令43x a x -=，则有2222164889333x x a x x æö+=-+=+ç÷èø，原方程即为281033a a +=，整理得231080a a -+=，解得：12a =，243a =；由423x x-=，整理得26120x x --=，解得：13x =，23x =；由4433x x -=，整理得24120x x --=，解得：12x =-，26x =；经检验，13x =+23x =-，32x =-，46x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．例12.解方程组：（1）413538x y x y x y x y ì+=ï+-ïíï-=ï+-î；（2）132013251x y x y ì+=ï-ïíï-=-ï-î．【难度】★★【答案】（1）01x y =ìí=î；（2）565x y =ìïí=ïî．【解析】（1）令1a x y =+，1b x y =-，原方程组即为43538a b a b +=ìí-=î，解得：11a b =ìí=-î，由此可得11x y =+，11x y =--，由此得11x y x y +=ìí-=-î，解得：01x y =ìí=î，经检验，01x y =ìí=î是原分式方程的根；（2）令11a y =-，原方程组即为320235x a x a +=ìí-=-î，解得：55x a =ìí=î，由此可得：151y =-， 解得：65y =， ∴565x y =ìïí=ïî， 经检验，565x y =ìïí=ïî是原分式方程的根．【总结】考查利用换元法求分式方程组的解，注意解完之后要检验．例13.解方程组：（1）253489156x x x x +=+++++；（2）11212736x x x x x x ++-=-++++．【难度】★★【答案】（1）16x =，2334x =-；（2）92x =-．【解析】（1）对分式方程移项通分得()()()()()()()()21538495681569x x x x x x x x +-++-+=++++，展开即得2266231201554x x x x x x -+-+=++++，由此即得60x -+=或22231201554x x x x ++=++，解得：16x =，2334x =-， 经检验，16x =，2334x =-都是原分式方程的根； （2）对分式方程变形得1111112736x x x x --=--++++，由此得11112736x x x x +=+++++，两边分别通分即得222929914918x x x x x x ++=++++， 两边分母不同，则必有290x +=，解得92x =-，经检验，92x =-是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．例14.解方程：226205x x +-=+．【难度】★★【答案】11x =，21x =-．【解析】令25x a +=，则有25x a =-，原方程即为6520a a+--=，两边同乘a 整理，得2760a a -+=，解得：11a =，26a =；由251x +=，方程无解； 由256x +=，解得：11x =，21x =-；经检验，11x =，21x =-都是原方程的根．【总结】考查用换元法解分式方程，注意取值范围和增根．例15.a 为何值时，关于x 的方程211a a x +=+无解?【难度】★★【答案】12a =-或0a =．【解析】分式方程两边同乘1x +，得：()211a a x +=+，展开移项得1ax a =+，当0a =时，方程无解； 当0a ≠时，1a x a +=，方程无解，即得11a x a+==-，解得12a =-；综上，12a =-或0a =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考虑未知项系数为0的情况．例16.已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解，求k 的值及这个解．【难度】★★★【答案】72k =-时，1212x x ==或4k =-时，1x =或8k =-时，1x =-．【解析】方程两边同乘22x x -，得()22220x x x k +-++=，展开整理得：22240x x k -++=，分式方程可能产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行 分类讨论：①当整式方程有两相等实数根时，()()224240k ∆=--⨯+=，解得：72k =-，此时方程为212202x x -+=，解得：1212x x ==，此时分式方程只有一个解，符合题意；②当整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有40k +=，解得：4k =-，此时方程为2220x x -=，解得：10x =，21x =，此时分式方程只有一个解1x =，符合题意；③当整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有2222240k ⨯-⨯++=，解得：8k =-，此时方程为22240x x --=，解得：12x =，21x =-，此时分式方程只有一个解1x =-，符合题意； 综上，72k =-或4k =-或8k =-．【总结】考查分式方程只有一个解的情况，方程为二次方程时，注意包含方程有一个根为分式方程的增根的情形．例17.解关于x 的方程：22112(3()1x x x x+-+= 【难度】★★★【答案】12x =，212x =．【解析】令1x a x +=，则有22221122x x a x x æö+=+-=-ç÷èø，原方程即为()22231a a --=，展开整理得22350a a --=，解得：11a =-，252a =；由11x x+=-，整理得210x x ++=，方程无解；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得：12x =，212x =； 经检验，12x =，212x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后进行检验．例18.解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-．【难度】★★★【答案】12a b x -=，245a bx -=．【解析】令a x kb x -=+，原方程即为45k k=-，两边同乘k 整理，得2540k k -+=，解得：11k =，24k =； 由1a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：2a bx -=；由4a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：45a bx -=；经检验，12a b x -=，245a bx -=都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．例19.已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根，求实数a 的取值范围．【难度】★★★【答案】1122a -≤≤且0a ≠．【解析】展开得()()22222222121x ax a ax a a x a +--+++=+，根据等式性质移项得()()222220x ax a ax x a +-+=+，即为()20x a x a x a ⎡⎤+-=⎢⎥+⎣⎦，由此得()0xa x a x a+-=+， 移项得()2a x a x +=，展开整理得()223210ax a x a +-+=，当0a =时，方程有实数根0x =是分式方程的增根，应舍去；当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时根据韦达定理可得2122112a x x a a a-+=-=-，可知1x 、2x 不可能同时为a -，分式方程有实数根，则相应的整式方程应满足()2232214410a a a a ∆=--⋅=-+≥，得1122a -≤≤；综上，实数a 的取值范围为：1122a -≤≤且0a ≠．【总结】考查分式方程有实数根的情形，对分式方程整理变形满足相应的条件即可．模块二分式方程应用题知识精讲1、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．例题解析例1.要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为x天的方程是（）．A．2213xx x-+=+B．233x x=+C．2213xx x++=+D．213xx x+=+【难度】★【答案】D【解析】设工作总量为“1”，则甲工作量+乙工作量=1，根据工作总量=工作效率×工作天数，乙工作天数为x天，由此可知选D．【总结】考查工程问题中的单位“1”，注意分清对应的工作效率和工作时间．例2.某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x个零件，那么下列根据题意列出的方程中，错误的是（）A．8030080615x x-+=-B．30080615x-=-C．80(6)8030015xx-+=-D．8015300806xx-=--【难度】★【答案】B 【解析】略【总结】考查根据题意列方程的应用，根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进行列方程的应用．例3.甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成．两队单独工作各需多少天完成?【难度】★★【答案】甲单独需10天完成，乙单独需15天完成．【解析】设甲单独需用x天完成，则乙单独需用()5x+天完成，依题意可得11615x xæö+=ç÷+èø，整理得27300x x--=，解得：13x=-，210x=，经检验，13x=-，210x=都是原方程的根，但13x=-不合题意应舍去，即得10x=，即甲单独需10天完成，乙单独需10515+=天完成．【总结】考查工程问题中的列方程解应用题，把工作总量当作单位“1”解题．例4.登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?【难度】★★【答案】2aba b+．【解析】设小明上山的路程为sm，则整个过程中小明总行程为2sm，根据平均速度=总行程÷总时间，即得平均速度22s abvs s a ba b==++．【总结】考查平均速度的求取，平均速度==总行程÷总时间，与行程远近无关，注意平均速度的求法．例5.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为5/km h，乙速度为4/km h．【解析】设甲速度为/xkm h，则乙速度为()9/x km h-，927min20h=，依题意可得999920x x-=-，整理得2311800x x+-=，解得：136x=-，25x=，经检验，136x=-，25x=都是原方程的根，但136x=-不合题意应舍去，即得5x=，即甲速度为5/km h，乙速度为954/km h-=．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．例6.甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为80/km h，乙速度为60/km h．【解析】设甲车xh到达B地，60min1h=，120min3h=，依题意可得24024030113xx-=+-，整理得232330x x+-=，解得1113x=-，23x=，经检验，111 3x=-，23x=都是原方程的根，但111 3x=-不合题意应舍去，即得3x=，可得甲速度为24080/3km h=，乙速度为24060/31km h=+．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解，注意本题中用时间作设速度列式解题更方便．例7.某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?【难度】★★★【答案】3万套．【解析】设改进操作方案后每月能生产x 万套衣服，则改进之前每月生产()1x -万套，依题意可得413451x x -+=-，整理得251890x x -+=，解得：135x =，23x =，经检验，135x =，23x =都是原方程的根，但135x =不合题意应舍去，即得：3x =，即改进操作方案后每月能生产3万套衣服．【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解．随堂检测1.已知方程：（1）2412x x -=-；（2）221x x =-；（3）11x x x æö-=ç÷èø；（43x -=，其中是分式方程的有_____________．【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）．【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）满足 条件，（4）方程中不含有分式，故答案为（1）、（2）、（3）．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．2.当x 取何值时，分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0?【难度】★【答案】1x =或2x =．【解析】分式方程的最简公分母为()()12x x --，最简公分母值为0，即()()120x x --=，解得：1x =或2x =．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．3.分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+，如果设2221x xy x +=-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为 ．【难度】★【答案】281130y y -+=．【解析】2221x x y x +=-，则有22112x x x y-=+，原方程即为3811y y +=，整理化作关于y 的整式方 程即为281130y y -+=．【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化，注意最终要化成整式方程的形式．4.解方程：（1）26531111x x x x =++--+；（2）22161242x x x x +-=--+； （3）243455121760x x x x x x --+=---+．【难度】★★【答案】（1）9x =；（2）5x =-；（3）12x =，29x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()()2615131x x x x =--++-，整理得2890x x --=，解得：11x =-，29x =，经检验，11x =-是原方程的增根，即原方程的根为9x =；（2）方程两边同乘24x -，得()22162x x +-=-，整理得23100x x +-=，解得：12x =，25x =-，经检验，12x =是原方程的增根，即原方程的根为5x =-；（3）两边同乘21760x x -+，得()()()4123545x x x x ----=-，整理得211180x x -+=，解得“”12x =，29x =，经检验，12x =，29x =都是原方程的根．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．5.解方程：221313x x x x ++=+．【难度】★★【答案】11x =，21x =+．【解析】令1x a x =+，原方程即为2133a a +=，整理即为231060a a -+=，解得：1a =2a =由1x x =+，解得：1x =；由1x x =+，解得：1x =+经检验11x =，21x =【总结】考查利用换元法解分式方程．6.解方程组311332412463324x y x y x y y x ì+=ï+-ïíï-=ï+-î【难度】★★【答案】1011711x y ì=ïïíï=ïî．【解析】令132a x y =+，14b x y =-，原方程组即为13312463a b a b ì+=ïíï+=î，解得：1413a b ì=ïïíï=ïî，由此可得113241143x y x y ì=ï+ïíï=ï-î， 去分母得32443x y x y +=ìí-=î，解得：1011711x y ì=ïïíï=ïî，经检验，1011711x y ì=ïïíï=ïî是原分式方程的根．【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组，注意验根．7.若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值．【难度】★★【答案】2m =-或1m =．【解析】方程两边同乘2x x +，得()()22211x m x -+=+，展开整理得2220x x m ---=，分式方程产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类 讨论：①整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有20m --=，解得：2m =-；②整式方程有一根为分式方程增根1x =-时，此时有()()212120m --⨯---=，解得：1m =；综上，2m =-或1m =．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根．8.甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．【难度】★★【答案】75/km h ．【解析】设火车原来的速度为/xkm h ，依题意可得400400245x x -=+，整理得24590000x x +-=，解得：1120x =-，275x =，经检验，1120x =-，275x =都是原方程的根，但1120x =-不合题意应舍去，即得75x =，即可得火车原来速度为75/km h ．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解．9.某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．【难度】★★★【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩．【解析】设原计划平均每年的绿化面积为x 万亩，则新计划每年()20x +万亩，依题意可得()200120%200120x x ⨯+-=+，整理得26040000x x +-=，解得：1100x =-，240x =，经检验，1100x =-，240x =都是原方程的根，但1100x =-不合题意应舍去，即得40x =，即原计划平均每年的绿化面积为40万亩．【总结】考查工作量的问题，根据相应的等量关系式列方程求解．10.解方程：221114(4)12()12433x x x -=-++．【难度】★★★【答案】11x =+，21x =，33x =+，43x =【解析】方程两边同乘12展开得22364881616x x x x-+=--+，根据等式的性质移项变形得2668120x x x x æöæö---+=ç÷ç÷èøèø，因式分解得：66260x x x x æöæö----=ç÷ç÷èøèø，由此可得620x x --=或660x x --=；由620x x--=，整理得2260x x --=，解得：11x =+21x =-；由660x x --=，整理得2660x x --=，解得：13x =+23x =经检验，11x =21x =-33x =43x =-都是原方程的根．【总结】考查用整体思想先对分式方程变形，然后求解分式方程的根，注意对方法的总结．11.解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----．【难度】★★★【答案】12314x =．【解析】对分式方程变形得1155514219968x x x x -++=++-----，根据等式的性质可变形得115519986x x x x -=-----，两边分别通分即得221010281711448x x x x =-+-+，由此可得22281711448x x x x -+=-+， 解得：12314x =，经检验，12314x =是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．12.已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a ．【难度】★★★【答案】32a =-或2a =-．【解析】方程两边同乘232x x -+，得()2122x a x a -+-=+，展开整理得()134a x a +=+，当10a +≠，即1a ≠-时，得341a x a +=+，分式方程可能产生增根，由此进行分类讨论：①整式方程根为分式方程增根1x =时，此时有3411a a +=+，解得32a =-；②整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有3421a a +=+，解得2a =-；综上，32a =-或2a =-．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程根为分式方程的增根．13.已知：关于x 的方程227()72120a a x x a x x+--++=只有一个实数根，求a ．【难度】★★★【答案】94a =或4a =．【解析】整理原方程得27120a a x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，因式分解得340a a x x x x æöæö+-+-=ç÷ç÷èøèø，由此可得30a x x +-=或40a x x +-=，分别整理得：230x x a -+=和240x x a -+=，两方程根的判别式分别为194a ∆=-，2164a ∆=-．因为方程仅有一实数根，所以940a -=或1640a -=，解得：94a =或4a =．【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题，根据实际题目进行问题的分析转化，解决问题．。

一、专题精讲一、去分母解分式方程【例1】 解方程：x x ＋2＋x ＋2x －2＝8x 2－4解：去分母，得x (x －2)＋(x ＋2)2＝8 x 2－2x ＋x 2＋4x ＋4＝8整理，得x 2＋x －2＝0 解得x 1＝－2，x 2＝1检验，当x 1＝－2时，x 2－4＝4－4＝0， ∴x 1＝－2是增根；当x 2＝1时，x 2－4＝1－4＝－3≠0， ∴x 2＝1是原方程的根。

∴原方程的根是x ＝1总结：解分式方程时应注意以下两点：（1）去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；（2）解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可。

若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根。

触类旁通解分式方程：21133x x x x ＝＋＋＋二、分式方程的增根【例2】 已知方程14－x 2＋2＝m x －2有增根，求m 的值。

解：将分式方程去分母，得到1＋2(4－x 2)＝－m (2＋x )∵方程14－x 2＋2＝m x －2有增根， ∴由4－x 2＝0或x －2＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2 将x 1＝2代入1＋2(4－x 2)＝－m (2＋x )，得m ＝－14； 将x 2＝－2代入1＋2(4－x 2)＝－m (2＋x )，得等式不成立 ∴x 1＝2是方程的增根，x 2＝－2不是增根 ∴m 的值为－14总结：利用增根求分式方程中字母的值：（1）确定增根；（2）将原分式方程化成整式方程；（3）增根代入变形后的整式方程，求出字母的值。

触类旁通如果方程322x m x x－＝－－有增根，那么m 的值为 。

三、分式方程与不等式 【例3】 已知分式方程211x a x ＋＝－的解是非负数，求a 的取值范围。

总结：求分式方程中字母的取值范围：先将分式方程化为用含未知数的代数式表示字母的形式，然后根据题目要求列出不等式，求出字母的取值范围。

触类旁通关于x 的方程112ax x ＋＝﹣－的解是正数，则a 的取值范围是 。

专题08 分式方程阅读与思考分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有直接去分母、换元法等．在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根， 挖掘隐含条件．例题与求解【例1】 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______． （黄冈市竞赛试题）解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．【例2】 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值． （“五羊杯”竞赛试题）解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式．【例3】解下列方程： （1）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （“五羊杯”竞赛试题） （2）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+； （河南省竞赛试题） （3）2x ＋21x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝3． （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．【例4】（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________． （江苏省竞赛试题）（2）方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++的解是________． （“希望杯”邀请赛试题）解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解． （江苏省竞赛试题）解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．【例6】求方程11156x y z ++=的正整数解． （“希望杯”竞赛试题） 解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则111x y z≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．能力训练A 级1．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． （重庆市中考试题） 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x x-＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． （上海市中考试题） 3．方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭的解为__________． （天津市中考试题） 4．两个关于x 的方程220x x --=与132x x a=-+有一个解相同，则a ＝_______． （呼和浩特市中考试题）5．已知方程11x a x a+=+的两根分别为a ，1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是（ ）． A ．a ，11a - B ．11a -，1a - C ．1a ，1a - D ．a ，1aa -（辽宁省中考试题）6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞－1 B ．m ＞－1且m ≠0 C ．m ＜－1 D ．m ＜－l 且m ≠－2（孝感市中考试题）7．关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是x 1＝c ，x 2＝2c ，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（ ） ． A ．a ，2a B ．a －1，21a - C ．a ，21a - D ．a ，11a a +- 8．解下列方程：（1）()2221160x x x x+++-=； （苏州市中考试题）（2）2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭． （盐城市中考试题）9．已知13x x+=．求x 10＋x 5＋51011x x +的值．10．若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值． （黄冈市竞赛试题）11．已知关于x 的方程x 2＋2x ＋221022m x x m-=+-，其中m 为实数.当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.（聊城市中考试题）12．若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值． （“希望杯”邀请赛试题）B 级1．方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）2．方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为__________．3．分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_________． 4．若关于x 的分式方程22x ax +-＝－1的解是正数，则a 的取值范围是______． （黑龙江省竞赛试题）5．（1）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m ＝__________． （沈阳市中考试题） （2）解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m ＝______． （“希望杯”邀请赛试题） 6．方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解的个数为（ ）． A ．4个 B ．6个 C ．2个 D ．3个7．关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） ． A ．a ＜l B ．a ＜1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠0（山西省竞赛试题）8．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4（江苏省竞赛试题）9．已知关于x 的方程（a 2－1）()2271011x x a x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x 1，x 2，且121231111x x x x +=--，求a 的值. （TI 杯全国初中数学竞赛试颞）10．求方程22x －xy 3x -＋y ＋2006＝0的正整数解.（江苏省竞赛试题）11．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元．要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？（齐齐哈尔市中考试题）。

学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 八年级 课时数：3学员姓名： 辅导科目： 初中数学 学科教师：课 题分式 授课时间： 备课时间：教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容【基本知识点】1、分式的概念：形如A/B ，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式(fraction)。

其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。

这里，分母是指除式而言。

而不是只就分母中某一个字母来说的。

也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。

2、分式的四则运算(1).同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c(2).异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： bdbc ad d c b a +=+ (3).分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：bdac d c b a =⨯ (4).分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.bcad d c b a =÷ (2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:bc ad c d b a d c b a =⨯=÷ 3、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，区别分式方程与整式方程最好的方法就是看分母是否含有未知数，例如38735=++x a x ，当x 是未知数时，它是整式方程，不是分式方程，当a 是未知数时，它是分式方程。

分式方程的解法及应用讲义一、【知识点击】1. 分式方程：分母中含有未知数的方程2．增根：在方程变形中产生的不适合原方程的根。

产生增根的原因是在解分式方程第一步“去分母”时造成的，根据等式的性质，等式的两边同乘以（或除以）同一个不为零的数，等式仍然成立，如果在方程两边同乘以零，那么所求得的未知数的值就是原分式方程的增根。

3. 解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程。

4．解分式方程的一般步骤是：(1) 去分母：把方程两边都乘以最简公分母，约去分母，把分式方程化为整式方程(2) 解这个整式方程，得出整式方程的根。

(3) 检验：把整式方程的根代入原方程，使分母为零的根是原分式方程的增根；使分母不为零而且左右两边相等的根是原方程的根。

注：检验是解分式方程的重要步骤，不可忽视。

5. 列分式方程解应用题的步骤是：(1) 认真审清题意；（2）设未知数；（3）根据题意找出相等关系。

(4) 根据相等关系，列出分式方程；（5）解方程，并检验；（6）写出答案。

列分式方程解应用题，在近年来已成为中考之亮点，往往与日常生活紧密相关，即找出具体情境中的三者关系为列方程之关键。

如经济类问题中，商品的单价×数量=总费用；工程问题中，工作效率×时间=工作量；行程问题中，距离=时间×速度等。

所以在解决这一类问题，应通读原题，着力提高自我的分析问题，解决问题的能力，以达到运用分式方程的模型解决问题之目的。

6．公式变形是在学习数学、物理、化学中经常遇到的问题。

因此在公式变形时，要注意认清公式变形的目标——用哪些字母去表示另一个字母二、【典例评析】例1. 解方程：例2. 解方程例3. 若方程的解是最小的正整数，求a的值。

例4. 小龙带了15元钱去商店买笔记本。

如果买一种软皮本，正好需付15元钱，但售货员建议他买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此，他只能少买1本笔记本，这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？例5. 一车工小组，用普通方法工作6h后，改用新的快速方法再工作2h，一共完成全部任务的一半，已知用普通方法工作2h完成的任务，新的快速方法只要1h就可以完成，问用两种方法单独去做全部任务，各要多少小时？三、【课堂练习】( 一)、选择题1. 下列方程中，是分式方程的是（）A. B. C. D.2. 的解的情况是（）A. x=3B. x=-3C. 解为除-3以外的任意数D. 无解3. 一件工作，甲单独完成需要m小时，甲乙合作需要n小时，则乙单独完成需要的时间为（）A. m-nB.C.D.( 二)、填空题1. 若分式方程有增根x=1，则k的值为__________2. 若关于x的方程的解为3，则a的值为______________3. 汽车从甲地开往乙地，每小时行驶a千米，t小时可以到达，如果每小时多行驶b千米，则可提前_________小时到达。

第14讲 分式2模块一 分式方程的解法1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：解分式方程一定要验根．例题1、解下列分式方程：（1）324x --2x x -1=2（2）2242111x x x x x -+=-+ （3）311(1)(2)x x x x -=++-（3）两边同时乘以(1)(2)x x +-，得(2)(1)(2)3x x x x --+-=．解这个方程，得1x =-．，检验：1x =-时(1)(2)0x x +-=，1x ∴=-不是原分式方程的解，原分式方程无解．例题2、解下列分式方程：（1） 21622=422x x x x x -++-+- （2）22252571061268x x x x x x x x x --+=+----+方程两边同时乘以(2)(2)x x +-，约去分母，得2216(2)=(2)x x -+-+，整理得22412=44x x x x --++，解这个整式方程，得=2x -，检验：把=2x -代入(2)(2)x x +-，得(22)(22)0-+--=所以=2x -是原方程的增根，原分式方程无解．（2）原方程可变形为：525710(2)(3)(3)(4)(2)(4)x x x x x x x x x --+=-++---方程两边都乘以(2)(3)(4)x x x -+-，得5(4)(25)(2)(710)(3)x x x x x x -+--=-+整理，得4040x -=-，∴1x =，检验，当1x =时，(2)(3)(4)0x x x -+-≠∴原方程的解是1x =．例题3、解下列分式方程： 分离常数（1）24681357x x x x x x x x ++++-=-++++（2）222232411221x x x x x x x x +-+++=+-++∴11111357x x x x -=-++++， ∴22(1)(3)(5)(7)x x x x =++++，∴(1)(3)(5)(7)x x x x ++=++， ∴832x =-，∴4x =-．经检验4x =-是原方程的解．（2）原方程变形为2211112221x x x x -+=-+-++，即2211221x x x x =+-++， ∴22221x x x x +-=++，解得3x =-．经检验3x =-是原方程的解．裂项法 例题4、（1）已知+++⨯⨯⨯111133557…()()n n =-+120+212141，求n ． 答案：∵1111=()13132-⨯⨯，1111()35352=-⨯⨯……1111()(21)(21)21212n n n n =-⨯-+-+ ∴原方程变为11111111120()1335572121241n n -+-+-+-⨯=-+ 14012141n -=+ 解的20n =（2）解方程()()()11112x x x x ++---…()()x x x =---11+120162017． 答案：2018x =例题5、解下列关于x 的方程（1）m -1=2m x - （2）()11a b a b a x b x +=+≠答案：（1）21m x m -=- （2）x ab =模块二 分式方程的增根和无解1．分式方程的增根（1）产生增根的原因增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．（2）分式方程增根的应用如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值．2．分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（1）原方程去分母后的整式方程无解；（2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．3．分式方程无解与增根的区别：分式方程无解时，不一定有增根；分式方程有增根时，不一定无解．例题6、（1）若关于x 的分式方程26111m x x -=--有增根，则增根是________． （2）如果分式方程8877x k x x --=--出现了增根，那么k 的值为________． （3）若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值为________． （4） 如果解方程2251224m x x x x +-=-+-时出现增根，则m 的取值为________． 答案：（1）1x =；去分母，得：26(1)1m x x -+=-，移项，得：27(1)m x x -+=，当1x =-时，原方程无解，（分母为0的两种情况讨论）当1x =时为原方程的增根．（2）1；（3）2-或1；（4）12m =±．例题7、（1）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是___________． （2）若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a =___________． （2） 若关于x 的方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值． 答案：（1）1或2；（2）1或2-；（3）解：原方程化为(2)3a x +=-，①∵原方程无解，∴20a +=或10x -=，20x +=，得1x =，2x =-分别代入①，得5a =-，12a =-，综上知2a =-，5-或12-．例题8、（1）若关于x 的方程2102x m x ++=-的根为正数，则m 取值范围为________． （2）若关于x 的分式方程32122x a x x =---的解是非负数，则a 取值范围是________．（3） 若关于x 的方程1101ax x +-=-的解为正数，则a 取值范围为_______．由题意得：0x >且2x ≠，即：203m->且223m -≠，解得：2m <且4m ≠-.（2）43a ≥-且23a ≠．（3）1a <且1a ≠-．课后作业模块一 分式方程的解法1、 解下列分式方程：（1）23233x x x +=-+ （2）26111x x x -=+-答案：（1）1x =-;（2）5x =-．2、解下列分式方程：（1）48755986x x x x x x x x ----+=+----（2）11111(1)(1)(2)(2009)(2010)x x x x x x x +++=------化简，去分母可得：2211301772x x x x -+=-+，解得7x =； 经检验，7x =是原方程的根．（2）原方程可化为1111111111220092010x x x x x x x -+-+--+=------ 化简，得11112010x x x -=--， ∴112010x =-，解得，2011x =， 经检验2011x =不是原方程的增根，∴2011x =是原方程的根．模块二 分式方程的增根和无解3、（1）若方程61(1)(1)1m x x x -=+--有增根，则它的增根是________． （2）若关于x 的分式方程3211x m x x -=+--有增根，则m 的值是____________． 答案：（1）1x =;（2）2-．4、（1）若关于x 的方程233x m x x -=--无解，则m 的值是________． （2）当m =________时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解．答案：（1）3m =;（2）6-．5、若关于x 的分式方程212x a x +=--的解是正数，则a 的取值范围是_________． 答案：2a <且4a ≠-．。

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优考试要求：例题精讲：模块一分式的概念【例1】x为何值时，分式29113xx-++有意义？【解析】根据题意可得：110330xx⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得3x≠-且4x≠-;如果问：x为何值时，分式29113xx-++值为零，答案为3x=.【答案】3x=【巩固】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则x;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则x;【解析】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则3x≠且3x≠-且4x≠-;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则3x=或3x=-或4x=-；【答案】⑴3x≠且3x≠-且4x≠-；⑵3x=或3x=-或4x=-【例2】解下列不等式：①53xx-<-；②523xx->-【解析】①由题意可知5030xx->⎧⎨-<⎩或者5030xx-<⎧⎨->⎩，解得3x<；5x>，所以原不等式的解集为3x<或5x>；②5203x x -->-，即11303xx ->-，由题意可知113030x x ->⎧⎨->⎩或者113030x x -<⎧⎨-<⎩， 解得1133x <<；无解，所以原不等式的解集为1133x <<. 【答案】3x <或5x >；1133x <<．【巩固】⑴解不等式304x x +<- ；⑵解不等式334x x +>- .【解析】 ⑴由题意可知3040x x +>⎧⎨-<⎩或者3040x x +<⎧⎨->⎩,由得34x -<<；无解集，所以原不等式的解集为34x -<<；⑵由题意可知3304x x +->-，15204xx ->-，可得：152040x x ->⎧⎨->⎩或者152040x x -<⎧⎨-<⎩得1542x <<；无解集，所以原不等式的解集为1542x <<. 【答案】34x -<<；1542x <<．模块二 分式的运算☞分式的化简求值裂项【例3】 设为正整数，求证：. 【解析】，故【答案】【巩固】化简：. 【解析】 【答案】2100100x x+n 1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+111111111(1.....)(1)233521212212n n n -+-++-=-<-++1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++111111111.........(1)(1)(2)(99)(100)11299100x x x x x x x x x x x x +++=-+-+-++++++++++211100100100x x x x =-=++【巩固】化简： 【解析】 原式 【答案】255x x+【例4】 化简：. 【解析】同理，，故.【答案】0【巩固】(第11届希望杯试题)已知，，为实数，且，，，求. 【解析】 由已知可知 ，三式相加得，，故. 【答案】16【巩固】化简：. 【解析】同理，， 故 【答案】022222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++11111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x x x =+++++++++++++211555x x x x =-=++222()()()()()()a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++22()()()()a bc a ac ac bc a ca b a c a b a c a b a c-+--==-++++++2()()b ac b a b c b a b c b a -=-++++2()()c ab c bc a c b c a c b-=-++++2220()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++=++++++a b c 13ab a b =+14bc b c =+15ca c a =+abc ab bc ca++113114115a b b cc a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩1116a b c ++=1111116abc ab bc ca ab bc ca abc a b c===++++++222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+221111()()a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a---+-==+=---+------2211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--2211c a b c ac bc ab c a b c --=---+--2222220a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++=--+--+--+☞分式的恒等变形部分分式【例5】 下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【解析】2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-， 故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =.【答案】1A =5B =【巩固】若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【解析】设原式可分解为22()()x ax m x ax n ++++，展开可得：224322()()2()()x ax m x ax n x ax a m n x a m n x mn ++++=+++++++. 比较等号两边的系数可得：32a m n mn p =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，，故22(2)21(1)1p m m m m m =-=-=--≤，最大值为1.【答案】1【例8】 若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值. 【解析】 2213()()1111a M N M N a M N a a a a -++-=+=--+-，所以31M N M N +=-⎧⎨-=⎩，所以12M N =-⎧⎨=-⎩ 【答案】1,2M N =-=-【巩固】(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【解析】 22()2()42244a b a b x a b x x x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【答案】2,2a b ==分式恒等证明【例9】 求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【解析】 左边()()333333333322a b a b a b a a b a a b a b a b a b a b a b -+--⎛⎫⎛⎫-+=--=⋅ ⎪⎪--++-+⎝⎭⎝⎭ ()()33332222a b a b a ab b a ab b a b a b -+=⋅=++-+=-+右边。