2016-2017学年湖北省长阳县第一高级中学高一下学期期中考试数学(文)试题

高一下学期期中考试数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共50分） 1. sin480︒等于A ．12-B ．12C ．32-D ．322. 设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为( )A ． 15B ． 16C ． 49D ．643.半径为cm π，中心角为120o所对的弧长是（ ）A ．3cmπB ．23cmπC ．23cm πD ．223cm π4.设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432,s a =-2332s a =-,则公比q = ( )A ．3B ．4C ．5D ．65、函数y ＝－xcosx 的部分图象是（ ）6、已知{an}是等比数列，a4·a7=－512，a3+a8=124，且公比为整数，则公比q 为( )A ．2B ．-2C ．12D ．－127、cos sin y x x =⋅是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数8、在等差数列{an}中，若a4+a6=12, Sn 是数列{an}的前n 项和，则S9的值为 A ．48 B ．54 C ．60 D ．669、函数3sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可看成3sin 3y x =的图象按如下平移变换而得到的（ ） A ．向左平移9π个单位 B ．向右平移9π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位二、填空题（每小题5分，共35分）11、函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.12、若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=____________.13、已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则 ．14、某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n ∈N*)等于_____________.15、在△ABC 中，3,A=45°，C=60°,则BC=16、关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π), (x ∈R)有下列命题：①y ＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y ＝f(x)可改写为y ＝4cos(2x －6π)； ③y ＝f(x)的图象关于(－6π，0)对称； ④ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－6π对称；其中正确的序号为 。

湖北省长阳县第一高级中学2016-2017学年高一下学期期中考试一、选择题（本大题共30小题，每小题2分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确答案的代号按要求填涂在答题卡上。

）为了能反映物候和农事活动的变化，指导农事活动，我国古代人民把一年平分为二十四等份，也就是我们通常所说的二十四节气。

下图为我国二十四节气分布图，读图完成1、2题。

1. 二十四节气中，清明节既是节气又是节日,多出现在( )A.3月6日前后B.3月31日前后C.4月5日前后D.4月20日前后2. 对我国北方的城市来说，下列各组节气中昼长时间最接近的是( )A.小寒、小雪B.立夏、立秋C.雨水、清明D.雨水、处暑“五大连池”风景名胜区1060平方公里，14座新老时期火山喷发年代跨越200多万年，被誉为“天然火山博物馆”和“打开的火山教课书”。

五个火山堰塞湖连在一起，称为“五大连池”。

结合“五大连池”（局部）景观图和地球的内部圏层结构图，回答3、4题。

3. 从火山口喷发出的炽热岩浆一般来源于（）A.①圈层B.②圈层C.③圈层D.④圈层4. 五大连池景观的形成过程，充分说明了（）A.图中各圈层都是连续而不规则的B.图中的各圈层之间存在着物质迁移和能量转换C.图中的各圈层是独立发展变化的D.图中各圈层的内部物质运动的能量都来自太阳辐射能相传，天灯(孔明灯)具有神奇的功效，只要你将心愿写在天灯上，随着天灯冉冉升向苍穹，凝视星空便能实现心中美好的愿望。

图甲为“燃放天灯的原因图”，图乙为“北半球某区域等压线(单位：hPa)图”。

据此完成5、6题。

5．下面四幅图示意孔明灯点燃时灯内产生的空气环流状况，其中正确的是( )6．在图乙中a、b、c、d四地放飞孔明灯，飞得最高的与飞得最远的分别是( ) A．a地、b地 B．b地、c地C．b地、d地 D．a地、c地2017年2月20日中央气象台消息：今日起，全国多地将迎大范围雨雪降温天气，局部地区有大风、大雪或暴雪。

2016-2017学年湖北省宜昌市长阳一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．1．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．2502．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=14．（5分）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．125．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．7 C．10 D．126．（5分）广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.27．（5分）设函数f（x）=+lnx，则（）A．x=为f（x）的极大值点B．x=为f（x）的极小值点C．x=2为f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点8．（5分）下列命题的叙述：①若p：∀x＞0，x2﹣x+1＞0，则￢p：∃x0≤0，x02﹣x0+1≤0；②三角形三边的比是3：5：7，则最大内角为π；③若•=•，则=；④ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．± B．±C．±1 D．±10．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数）以下命题正确的为（）A．若e a+2a=e b+3b，则a＞b B．若e a+2a=e b+3b，则a＜bC．若e a﹣2a=e b﹣3b，则a＞b D．若e a﹣2a=e b﹣3b，则a＜b12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1 B．C．D．2二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，满35分，）13．（5分）某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是．14．（5分）已知=2，=3，=4，…，若=6（a，t均为正实数）．类比以上等式，可推测a，t的值，则t+a=．15．（5分）如图，曲线y=f（x）在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f'（5）=．16．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（10分）等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F 分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．20．（12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A、B两种不同的数学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验，为了解教学效果，期末考试后，陈老师利用随机抽样的方法分别从两个班级中各随机抽取20名学生，并对他们的成绩进行统计，作出茎叶图如图，记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；（2）由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．附：K2=（其中n=a+b+c+d）21．（12分）已知椭圆C的焦点是，其上的动点P满足．点O为坐标原点，椭圆C的下顶点为R．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点（0，1）且斜率为k的直线l2交椭圆C于M，N两点，试探究：无论k取何值时，是否恒为定值．是求出定值，不是说明理由．22．（14分）设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x3+x+1．（1）若曲线y=g（x）的切线l过点A（0，），求切线l的方程；（2）讨论函数h（x）=2f（x）+g（x）﹣x3的单调性；（3）若x1，x2是函数f（x）的两个相异零点，求证：g（x1x2）＞g（e2）．（e为自然对数底数）2016-2017学年湖北省宜昌市长阳一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．1．（5分）（2014•重庆）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．250【解答】解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．2．（5分）（2015•陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．4．（5分）（2017春•凉州区校级月考）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=﹣2，代入椭圆方程，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．∴|AB|=6．故选：B．5．（5分）（2017春•长阳县校级月考）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．7 C．10 D．12【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7．故选：B．6．（5分）（2017•葫芦岛一模）广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2【解答】解：由题意，=4，=50．∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．∴当x=10时，=10.2×10+9.2=111.2．故选：C．7．（5分）（2012•陕西）设函数f（x）=+lnx，则（）A．x=为f（x）的极大值点B．x=为f（x）的极小值点C．x=2为f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点【解答】解：∵f（x）=+lnx；∴f′（x）=﹣+=；x＞2⇒f′（x）＞0；0＜x＜2⇒f′（x）＜0．∴x=2为f（x）的极小值点．故选：D．8．（5分）（2016秋•襄阳期中）下列命题的叙述：①若p：∀x＞0，x2﹣x+1＞0，则￢p：∃x0≤0，x02﹣x0+1≤0；②三角形三边的比是3：5：7，则最大内角为π；③若•=•，则=；④ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①：根据命题的否定的定义可知，￢p：∃x0≤0，x02﹣x0+1≤0，故①错误；对于②：根据三角形大边对大角的性质，7所对的角最大，再由余弦定理，得cosα=，故，即最大内角为π，故②正确；对于③：若，则，此时，，或，有三种可能，故③错误；对于④：若ac2＜bc2，则a＜b，故ac2＜bc2是a＜b的充分条件；当a=﹣2，b=3，c=0时，a＜b，但ac2＜bc2不成立．所以ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件，故④正确；综上可知，真命题的个数为2个，故选：B．9．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．± B．±C．±1 D．±【解答】解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），∵A1B⊥A2C，∴，∴a=b，∴双曲线的渐近线的斜率为±1．故选：C．10．（5分）（2015•新课标Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C11．（5分）（2017春•长阳县校级月考）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数）以下命题正确的为（）A．若e a+2a=e b+3b，则a＞b B．若e a+2a=e b+3b，则a＜bC．若e a﹣2a=e b﹣3b，则a＞b D．若e a﹣2a=e b﹣3b，则a＜b【解答】解：对于A．e a+2a=e b+3b，则e a﹣e b=3b﹣2a，若a＞b，则e a﹣e b＞0，而3b﹣2a＞0不一定成立．对于B．e a+2a=e b+3b，则e a﹣e b=3b﹣2a，若a＜b，则e a﹣e b＜0，而3b＞3a＞2a，因此一定成立．同理可得：C，D不正确．故选：B．12．（5分）（2010•大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1=﹣3y2，∵，设，b=t，∴x2+4y2﹣4t2=0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选B二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，满35分，）13．（5分）（2016•德州二模）某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是600．【解答】解：由频率分布直方图得合格的频率=（0.035+0.015+0.01）×10=0.6合格的人数=0.6×1000=600故答案为：60014．（5分）（2014•赣州二模）已知=2，=3，=4，…，若=6（a，t均为正实数）．类比以上等式，可推测a，t的值，则t+a= 41．【解答】解：∵=2，=3，∴，，∵=6（a，t均为正实数）∴a=6，t=62﹣1=35，∴t+a=35+6=41．故答案为：41．15．（5分）（2017春•长阳县校级月考）如图，曲线y=f（x）在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f'（5）=2．【解答】解：由于曲线f（x）在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）=﹣5+8=3，f′（5）=﹣1．故f（5）+f′（5）=3﹣1=2．故答案为：2．16．（5分）（2017春•长阳县校级月考）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为x2=16y．【解答】解：由题意可得双曲线C1：﹣=1的渐近线为y=±x，化为一般式可得bx±ay=0，离心率e===2，解得b=a，∴c==2a，又抛物线C2：x2=2py（p＞0）故焦点到bx±ay=0的距离d===2，∴p==8，∴抛物线C2的方程为：x2=16y故答案为：x2=16y三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（10分）（2015•福建）等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)=+=2101．18．（10分）（2016•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，∴cosB=，∴B=．（2）∵cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．19．（12分）（2015•湖南）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，∴AA1==，CF=．三棱锥F﹣AEC的体积：×==．20．（12分）（2017春•长阳县校级月考）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A、B两种不同的数学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验，为了解教学效果，期末考试后，陈老师利用随机抽样的方法分别从两个班级中各随机抽取20名学生，并对他们的成绩进行统计，作出茎叶图如图，记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；（2）由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．附：K2=（其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是（86，93）（86，96）（86，97）（86，99）（86，99）（93，96）（93，97）（93，99）（93，99）（96，97）（96，99）（96，99）（97，99）（97，99）（99，99）共有15种结果，符合条件的事件数（93，96）（93，97）（93，99）（93，99）（96，97）（96，99）（96，99）（97，99）（97，99）（99，99）共有10种结果，根据等可能事件的概率得到P==；（2）由已知数据得根据列联表中的数据，K2==3.137由于3.137＞2.706，∴有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．21．（12分）（2017春•长阳县校级月考）已知椭圆C的焦点是，其上的动点P满足．点O为坐标原点，椭圆C的下顶点为R．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点（0，1）且斜率为k的直线l2交椭圆C于M，N两点，试探究：无论k取何值时，是否恒为定值．是求出定值，不是说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0）．∵椭圆上的动点P满足，∴2a=4，a=2．又c=2，∴a2=12，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为+=1；（Ⅱ）设l2：y=kx+1，联立方程组，消去y得（1+3k2）x2+6kx﹣9=0，又∵点（0，1）在椭圆C内，∴△＞0恒成立．设M （x1，kx1+1），N（x2，x2+1），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，易知R（0，﹣2），=（x1，kx1+3），=（x2，kx2+3），∴•=x1x2+（kx1+3）（kx2+3）=（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=（1+k2）•（﹣）+3k•（﹣）+9=0，与k无关．则无论k取何值时，恒为定值0．22．（14分）（2012秋•黄冈期末）设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x3+x+1．（1）若曲线y=g（x）的切线l过点A（0，），求切线l的方程；（2）讨论函数h（x）=2f（x）+g（x）﹣x3的单调性；（3）若x1，x2是函数f（x）的两个相异零点，求证：g（x1x2）＞g（e2）．（e为自然对数底数）【解答】解：（1）设切点为（m，m3+m+1），又∵g′（x）=x2+1．∴切线的斜率=m2+1，即切线方程为y﹣（m3+m+1）=（m2+1）（x﹣m），∴﹣（m3+m+1）=（m2+1）（0﹣m），解得，m=1，则切线方程为2x﹣y=0．（2）h（x）=2f（x）+g（x）﹣x3=2lnx﹣2ax+x+1，x∈（0，+∞）h′（x）=，①当a时，h′（x）＞0，即h（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＞时，由h′（x）＞0解得0＜x＜；∴h（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．（3）证明：∵x1，x2是函数f（x）的两个相异零点，不妨设x1＞x2＞0，∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0；∴a=．故（x1﹣x2）（a﹣）=ln，设（t＞1），则μ（t）=lnt﹣，t∈（1，+∞），μ′（t）=＞0，∴μ（t）在（1，+∞）是增函数，故μ（t）＞0，又∵x1﹣x2＞0，∴a﹣＞0，∴lnx1，+lnx2=ax2+ax1＞0；从而x1•x2＞e2．又g（x）=x3+x+1在R上是增函数，则g（x1x2）＞g（e2）．参与本试卷答题和审题的老师有：清风慕竹；沂蒙松；双曲线；qiss；刘老师；lcb001；庞会丽；叶老师；刘长柏；whgcn；zhwsd；wdnah；danbo7801；zhczcb；炫晨（排名不分先后）122017年5月8日。

长阳一中2016-2017学年度第二学期期中考试高一数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.=︒︒+︒︒313sin 253sin 223sin 163sin （ ）A.21-B.21C.23-D.23 2. 已知α是第二象限角，)5(，x P 为其终边上一点，且x 42cos =α，则x 等于( ) A ．3B ．3±C ． 2-D ． 3-3. ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，．若︒===12072B b c ，，，则a 等于（ ）A ．6B ．1C ．3D ．34. 如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测得AC 的距离为m 50，︒=∠︒=∠10545CAB ACB ，，则A ，B 两点间的距离为（ ） A ．m 250B ．m 350C ．m 225D ．m 2225 5. 已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b ==，则b a -2的值为（ ）A ．21B ．21C ． 23D ．356. 等比数列}{n a 各项均为正数，且547465=+a a a a ，则=+++1032313log log log a a a （ ） A ．8 B ．10 C ．15 D ．207. 设函数)62cos(3)62sin()(ππ+++=x x x f ，则（ ）A.)(x f y =在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，单调递增，其图像关于直线4π=x 对称B.)(x f y =在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，单调递增，其图像关于直线2π=x 对称第4题图C.)(x f y =在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，单调递减，其图像关于直线4π=x 对称D.)(x f y =在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，单调递减，其图像关于直线2π=x 对称8. 已知等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若10513S S a =-=， ，则当n S 取到最小值时n 的值为( )A ．5B ．7C ．8D ．7或89. 若函数)(x f y =的图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个函数图像沿x轴向右平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数x y sin 21=的图像，则)(x f y =的解析式为 （ ） A.122sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx y B.1)22sin(21+-=πx yC.1421sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx y D.1421sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛-=πx y 10.等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项的和分别为n S 和n T ，对一切自然数n 都有132+=n n T S n n ，则=55b a（ ）A ．32B ．149C ．3120D ．1711 11.定义在R 上的偶函数()f x 在[1,0]-上是减函数，若,A B 是锐角三角形的两个内角，则( )A ．(sin )(cos )f A fB >B ．(sin )(cos )f A f B <C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(cos )(cos )f A f B < 12.函数)sin()(ϕω+=x A x f (其中0,0>>ωA )的部分图像如图所示，则)2016()3()2(f f f +++ 的值为（ ）A ．2B ．22+C ．0D ．2-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上．13. 已知向量()3,1=a ，()2,4=- b ，求 a 在b 方向上的投影为 .14. 已知数列{}n a 的前n 项和为2n 3n+5n S =+，则n a = ．15.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千第12题图第16题图一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需 日相逢.16. 如图所示，半圆的直径2=AB ，O 为圆心，C 是半圆上不同于B A ,的任意一点，若P 为半径OC 上的一动点，则PC PB PA ⋅+）（的最小值是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本题满分10分) 已知，，)cos 54(α=a，，)tan 43(α-=b ，，)20(πα∈b a ⊥. （1）求b a -；（2）求)2cos()223sin(πααπ-++.18.（本题满分12分） 已知函数()sin(2)sin(2)cos 2+166f x x x x ππ=++-+ （1）求函数()f x 的对称中心和函数的单调递增区间；（2）已知ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()=3,34f A B a π==,,求AB .19.（本题满分12分）在等差数列{}n a 中，54161514-=++a a a ,369-=a ,n S 为其前n 项和.（1）求n S 的最小值，并求出相应的n 值； （2）求n n a a a T +++= 21. 20.（本题满分12分）已知c b a ，，分别是锐角ABC ∆的三个内角C B A ，，的对边，且ACa cb cos cos 2=-. （1）求A 的大小；（2）当3=a 时，求c b +的取值范围.21.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，2,521==a a ，），（33221≥+=--n a a a n n n (Ⅰ)证明数列{}13--n n a a 成等比数列，并求数{}n a 列的通项公式n a ； (Ⅱ)若数列)(7121n n n a a n b +-=+ ，求数列{}n b 的前n 项和n S .22.（本题满分12分）已知函数()()ϕω+=x A x g sin （其中020><>ωπϕ，，A ）的图象如图所示，函数x x x g x f 2sin232cos 23)()(-+=. （1）如果)36(21ππ，，-∈x x ，且()()21x g x g =，求()21x x g +的值；（2）当]36[ππ，-∈x 时，求函数()x f 的最大值、最小值； （3）已知方程0)(=-k x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上只有一解，则k 的取值集合．长阳一中2016-2017学年度第二学期高一期中考试理科数学试题1-12 B D B A B CDDA B A D 13.55-14.⎩⎨⎧≥+==22219n n n a n ，， 15.9 16.21- 17.解：b a ⊥ ，()0sin 2012tan 4cos 534=-=-⨯+⨯=⋅∴αααb a53sin =∴α，，，)20(πα∈ 43cos sin tan 54sin 1cos 2===-=∴ααααα，（1）)3,3()44(-==∴b a ，，，)71(，=-∴b a ，257122=+=-∴b a （2）2514)1cos 2(22cos 22cos 2cos )2(cos )223(sin 2-=--=-=--=-++ααααπααπ 18.解：（1）()sin(2)sin(2)cos 2166f x x x x ππ=++-++3sin 2cos 21x x =++=2sin(2)16x π++令ππk x =+62⇒），（Z k k x ∈+-=212ππ∴对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+-1212，ππk ）（Z k ∈ 要使()f x 函数的单调递增222262k x k πππππ∴-≤+≤+ -()36k x k k Z ππππ∴≤≤+∈ 故函数()f x 的单调递增区间[,]()36k k k Z ππππ-+∈（2）()2sin(2)1,()36f x x f A π=++= 2sin(2)1=36A π∴++sin(2)16A π+= 132666A πππ<+<又2,626A A πππ∴+=∴=()()62sinC sin sin sin 644A B A B πππ+⎛⎫=-+=+=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭426213+=c 2623+=∴c 在ABC ∆中，由正弦定理得：csin sin a A C=，即 即2623+==c AB19.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，54315161514-==++a a a a ，1815-=a3618915915==--=∴a a d ,633)9(9-=⨯-+=∴n d n a a n 60363)1(31-=-+=∴+n n a n 令⎩⎨⎧≥-=≤-=+060306331n a n a n n ，2120≤≤∴n6302)(202012120-=+==∴a a S S ，即当2120或=n 时，n S 最小且最小值为-630； （2）由（1）知，前20项均小于0，第21项等于0，以后各项均为正数. 当21≤n 时，n n n n a a n S T n n n 2123232)63360(2)(21+-=-+--=+-=-= 当22≥n 时，()126021232312602)63360(6302222121+-=+-+-=-⨯-+=-=n n n n a a n S S T n n n ）（ 综上，⎪⎩⎪⎨⎧∈≥+-∈≤+-=*2*222126021232321212323Nn n n n N n n n n T n ，，，， 20.解：（1）由正弦定理，得ACA CB AC a c b cos cos sin sin sin 2cos cos 2=-⇔=- 即A C A C A B sin cos cos sin cos sin 2=-，即B B C A A C A C A B sin )sin()sin(sin cos cos sin cos sin 2=-=+=+=π0sin ≠B ，21cos =∴A ，()π，0∈A ,3π=∴A （2）由（1）知33==a A ，又π，由正弦定理得23sin 3sin sin sin ====πA a C cB bC c B b sin 2sin 2==∴，)6sin(32cos 3sin 3sin cos 3sin 2sin cos 2cos sin 2sin 2)sin(2sin 2sin 2sin 2π+=+=++=++=++=+=+∴B B B B B B B A B A B B A B C B c b⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<<=ππππB A B A 2203 ,26ππ<<∴B ，3263πππ<+<∴B ,1)6sin(23≤+<∴πB 323≤+<∴c b .21.解：（Ⅰ） a n =2a n-1+3a n-2, (n ≥ 3)．∴()11233n n n n a a a a ----=-- ，又a 1=5,,a 2=2,21313,a a ∴-=- ∴}{13n n a a -- 是首项为－１３，公比为－１的等比数列． ∴()()2113131131n n n n a a ----=-⨯-=⨯-()1123n n n n a a a a ---+=+…①同理 ， a n =2a n-1+3a n-2, (n ≥ 3)．∴()1123n n n n a a a a ---+=+，217,a a ∴+=2173n n n a a --+=⨯……②，①＋３②，得()11413173n n n a --=⨯-+⨯ ，∴()111371344n n n a --=⨯-+⨯ ． （Ⅱ）由（Ⅰ），得1137-+⨯=+n n n a a ， ∴113)12()(712-+⨯-=+-=n n n n n a a n b ， ()0121133353213n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ，③()()01133353233213n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ．④③－④，得()()121212333213n n n S n --=++++--⨯ ＝()()11313213n n n -----⨯ ＝()13223n n -+-⨯ ，∴()113n n S n x =+-22.解：（1）由图象得，A=1，T=，则，所以ω=2，把点代入得，sin （2×+φ）=0，则2×+φ=k π， 解得（k ∈Z ），由﹣π＜ϕ＜0得，，所以，因为，且g （x 1）=g （x 2），所以由图得，，则；（2）由（1）得，f（x）=g（x）+cos2x-sin2x==，因为，所以，=2，当时，即时，ymax当时，即时，；（3）由（2）得，f（x）=，因为x∈，所以∈，则，即，因为方程f（x）﹣k=0在上只有一解，结合图像可知k的取值集合是（﹣，]∪{﹣2}．。

长阳一中2016-2017学年度一年级下学期3月月考数学试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于( )A.1213B.513C ．－513D ．－12132．已知向量a →＝(2,1)，a →＋b →＝(1，k )，若a →⊥b →，则实数k 等于( )A.12B ．－2C ．－7D ．33．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．164．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A.25 B ．－25C. 25或－25D ．－155．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 6．若|a →|＝2cos 15°，|b →|＝4sin 15°，a →，b →的夹角为30°，则a →·b →等于( )A.32B. 3C ．2 3D.127．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C ．－13D ．－239．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－510．已知向量a →＝(sin(α＋π6)，1)，b →＝(4,4cos α－3)，若a →⊥b →，则sin(α＋4π3)等于( )A ．－34 B ．－14 C.34D.1411．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．1212．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是________.14．已知向量a →＝(1－sin θ，1)，b →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a →∥b →，则tan θ＝________.15．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________． 16．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f (x )＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a →＝(sin x ，32)，b →＝(cos x ，－1)．(1)当a →∥b →时，求2cos 2x －sin2x 的值；(2)求f (x )＝(a →＋b →)·b →在 [－π2，0]上的最大值．18．(12分)设向量a →＝(4cos α，sin α)，b →＝(sin β，4cos β)，c →＝(cos β，－4sin β)． (1)若a →与b →－2c →垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b →＋c →|的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a →∥b →.19．(12分) 在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．20．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin(π4＋x )sin(π4－x ).(1)求f (－1112π)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．22．(12分)已知向量a →＝(cos α，sin α)，b →＝(cos β，sin β)，|a →－b →|＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.。

2016-2017学年湖北省重点高中联考高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．2017是等差数列4，7，10，13，…的第几项（ ）A ．669B ．670C ．671D ．6722．已知数列{a n }满足a n +1=，若a 1=，则a 2017=（ ）A ．B ．2C ．﹣1D ．1 3．不等式f （x ）=ax 2﹣x ﹣c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}，则函数y=f （﹣x ）的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．在△ABC 中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（ ） A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设，，则P 与Q 的大小关系是（ ）A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P=QD ．无法确定7．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所在的对边，且a=4，b +c=5，tanB +tanC +=tanB•tanC ，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．3C ．D ．8．公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为（ ）A．B．﹣ C．3 D．﹣39．满足不等式（x﹣y）（x+2y﹣2）＞0的点（x，y）所在的区域应为（）A．B．C．D．10．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既可减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则t的取值范围是（）A．[1，3]B．[3，5]C．[5，7]D．[7，9]11．已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，则的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．1212．设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣3 D．﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，在高出地面30m的小山顶C上建造一座电视塔，今在距离B点60m 的地面上取一点A，在此点测得CD所张的角为45°（即∠CAD=45°），则电视塔CD的高度是．14．等差数列{a n}的前3项和为20，最后3项和为130，所有项的和为200，则项数n为．15．不等式（x2﹣4）（x﹣6）2≤0的解集是．16．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{a n}是等积数列且a1=2，公积为10，那么这个数列前21项和S21的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．18．（12分）已知函数f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+c．（1）当c=19时，解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，c的值．19．（12分）已知等比数列{a n}中，a1=64，公比q≠1，a2，a3，a4又分别是某个等差数列的第7项，第3项，第1项．（1）求a n；（2）设b n=log2a n，求数列{|b n|}的前n项和T n．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=5，c=，且4sin2﹣cos2C=（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．21．（12分）在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a，b，c，其中c=10，且．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP 的面积．22．（12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．2016-2017学年湖北省重点高中联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．2017是等差数列4，7，10，13，…的第几项（）A．669 B．670 C．671 D．672【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由题意求出等差数列的首项和公差，得到通项公式，把2017代入通项公式求解．【解答】解：由题意，等差数列的首项为4，公差为3，则a n=4+3（n﹣1）=3n+1，由2017=3n+1，得n=672．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．=，若a1=，则a2017=（）2．已知数列{a n}满足a n+1A．B．2 C．﹣1 D．1【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=2，a n+1=1﹣（n∈N*），可得a n+3=a n，利用周期性即可得出．【解答】解：由，且，得a2=2，a3=﹣1，，…=a n，数列的周期为3．∴a n+3=a1=．a2017=a672×3+1故选：A．【点评】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象；74：一元二次不等式的解法．【分析】由题意可得a＜0，且，求出a和c的值，即可求得函数y=f（﹣x）的解析式，从而得到函数y=f（﹣x）的图象．【解答】解：由不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，可得a＜0，且解得a=﹣1，c=﹣2，故f（x）=﹣x2﹣x+2，故f（﹣x）=﹣x2 +x+2=﹣（x+1）（x﹣2）．故函数y=f（﹣x）的图象为C，故选：C【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的图象，属于基础题．4．已知等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式建立方程即可．【解答】解：由题意知S4=240，a2+a4=180，即a1+a3=240﹣180=60，则（a1+a3）q=a2+a4，即60q=180，解得q=3，则a1+q2a1=10a1=60，解得a1=6，故选：C．【点评】本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．5．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【考点】HP：正弦定理．【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解．【解答】解：由正弦定理得：=，即sinB==，则B=arcsin或π﹣arcsin，即此三角形解的情况是两解．故选B【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比q≠1，设，，则P与Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P=Q D．无法确定【考点】8G：等比数列的性质．【分析】由等比数列的通项公式知=，再由均值不等式知=．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，公比q≠1，∴=，故选A．【点评】本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比数列的通项公式和均值不等式的合理运用．7．已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所在的对边，且a=4，b+c=5，tanB+tanC+=tanB•tanC，则△ABC的面积为（）A．B．3 C．D．【考点】HT：三角形中的几何计算；GR：两角和与差的正切函数．【分析】由条件可得tan（B+C）==﹣，可得B+C=，A=．由余弦定理求得b值，即得c值，代入面积公式进行运算．【解答】解：由题意可得tanB+tanC=（﹣1+tanB•tanC），∴tan（B+C）==﹣，∴B+C=，∴A=．由余弦定理可得16=b2+（5﹣b）2﹣2b（5﹣b）cos，∴b=，c=，或b=，c=．则△ABC的面积为bcsinA=×××=，故答案为．【点评】本题考查两角和的正切公式，余弦定理，已知三角函数的值求角的大小，求出角A的大小是解题的关键．8．公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等比数列的性质可得，，利用a1，d，表示已知项可求a1，d，代入q=可求【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d由等比数列的性质可得，∴∵d≠0整理可得，∴∴q===3故选C【点评】本题主要考查等比数列的性质、等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题9．满足不等式（x﹣y）（x+2y﹣2）＞0的点（x，y）所在的区域应为（）A．B．C．D．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由图形中所给的数据求出两个边界所对应的方程，由图形的位置及二元一次不等式与区域的关系判断出正确选项．【解答】解：由不等式（x﹣y）（x+2y﹣2）＞0即：或，它们对应的区域是两条相交直线x﹣y=0，x+2y﹣2=0为边界的角形部分，故可排除C、D．对于A、B，取特殊点（1，0）代入不等式（x﹣y）（x+2y﹣2）＞0，不满足，故排除A．考察四个选项知B选项符合要求故选B．【点评】本题考查二元一次不等式与区域，解题的关键是确定边界对应的直线方程，以及边界是虚线还是实线，区域与直线的相对位置，熟练掌握区域与直线的位置关系与相应不等式的对应关系是解本题的知识保证．本题考查了数形结合的思想，推理判断的能力．10．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既可减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则t的取值范围是（）A．[1，3]B．[3，5]C．[5，7]D．[7，9]【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】求出征收耕地占用税后每年损失耕地，乘以每亩耕地的价值后再乘以t%得征地占用税，由征地占用税大于等于9000求解t的范围．【解答】解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为（20﹣t）万亩，则税收收入为（20﹣t）×24000×t%．由题意（20﹣t）×24000×t%≥9000，整理得t2﹣8t+15≤0，解得3≤t≤5．∴当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．∴t的范围是[3，5]．故选：B【点评】本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．11．已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，则的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】7F：基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，∴===，当且仅当，2m+n=2，即n=2m=2时取等号．∴的最小值是4．故选A．【点评】熟练掌握变形利用基本不等式的性质的方法是解题的关键．12．设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣3 D．﹣【考点】7F：基本不等式．【分析】首先分析由式子a2+2b2=6，可以考虑设成包含三角函数的参数方程，然后代入a+b化简求值，再根据三角函数的最值问题求解即可得到答案．【解答】解：因为a，b∈R，a2+2b2=6故可设．θ⊊R．则：a+b=，再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．故选C．【点评】此题主要考查参数方程求最值的思想．对于此类题目如果应用基本不等式行不通的时候，可以考虑参数方程的方法，有一定的技巧性，属于中档题目．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，在高出地面30m的小山顶C上建造一座电视塔，今在距离B点60m 的地面上取一点A，在此点测得CD所张的角为45°（即∠CAD=45°），则电视塔CD的高度是150m．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】易求tan∠BAC==，利用和角的正切公式可求tan∠BAD，在Rt△ABD 中可求BD，从而可得答案．【解答】解：在△ABC中，tan∠BAC==，∴tan∠BAD===3，又，∴BD=3AB=180，∴CD=180﹣30=150（m），故答案为：150m．【点评】该题考查两角和与差的三角函数在实际问题中的应用，属基础题．14．等差数列{a n}的前3项和为20，最后3项和为130，所有项的和为200，则项数n为8．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由已知可得：a1+a2+a3=20，a n﹣2+a n﹣1+a n=130，3（a1+a n）=20+130，解得a1+a n．再利用求和公式即可得出．【解答】解：由已知可得：a1+a2+a3=20，a n﹣2+a n﹣1+a n=130，∴3（a1+a n）=20+130，解得a1+a n=50．∴S n==25n=200，解得n=8．故答案为：8．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．不等式（x2﹣4）（x﹣6）2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤2或者x=6} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】对不等式等价变形为（x+2）（x﹣2）（x﹣6）2≤0，然后解之．【解答】解：原不等式变形为（x+2）（x﹣2）≤0或者x=6，所以﹣2≤x≤2或者x=6；所以原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤2或者x=6}；【点评】本题考查了高次不等式的解法，能够分解为一次因式积的形式的多项式，根据各项的符号解不等式即可．16．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{a n}是等积数列且a1=2，公积为10，那么这个数列前21项和S21的值为72．【考点】8E：数列的求和．【分析】由等积数列的定义，可得a1=2，a2=5，a3=2，a4=5，…，即为周期为2的数列，即可得到数列前21项和．【解答】解：数列{a n}是等积数列且a1=2，公积为10，可得a2=5，a3=2，a4=5，…，则前21项和S21=2+5+2+5+…+2=7×10+2=72．故答案为：72．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和，注意运用周期性，考查运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（2017春•湖北期中）和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．【考点】8G：等比数列的性质；8F：等差数列的性质．【分析】设等差数列的首项为a，公差为d，利用等差数列的第1项，第4项，第25项成等比数列，和为114，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设等差数列的首项为a，公差为d，则它的第1，4，25项分别为a，a+3d，a+24d，∵它们成等比数列，∴（a+3d）2=a（a+24d）∴a2+6ad+9d2=a2+24ad∴9d2=18ad，∵等比数列的公比不为1∴d≠0∴9d=18a (1)由根据题意有：a+（a+3d）+（a+24d）=114，即3a+27d=114 (2)由（1）（2）可以解得，a=2，d=4∴这三个数就是2，14，98．【点评】本题考查等比数列的性质和应用，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（12分）（2014秋•鄂伦春自治旗校级期末）已知函数f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+c．（1）当c=19时，解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，c的值．【考点】74：一元二次不等式的解法；3W：二次函数的性质．【分析】（1）c=19时，f（1）=﹣3+6a﹣a2+19=﹣a2+6a+16＞0，化为a2﹣6a﹣16＜0，解得即可；（2）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出．【解答】解：（1）c=19时，f（1）=﹣3+6a﹣a2+19=﹣a2+6a+16＞0，化为a2﹣6a﹣16＜0，解得﹣2＜a＜8．∴不等式的解集为（﹣2，8）．（2）由已知有﹣1，3是关于x的方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣c=0的两个根，则，解得【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）（2017春•湖北期中）已知等比数列{a n}中，a1=64，公比q≠1，a2，a3，a4又分别是某个等差数列的第7项，第3项，第1项．（1）求a n；（2）设b n=log2a n，求数列{|b n|}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，可得公比的方程，求得q，进而得到a n；（2）求得b n=log227﹣n=7﹣n，设数列{b n}的前n项和S n，运用等差数列的求和公式可得S n，讨论当1≤n≤7时，前n项和T n=S n；当n≥8时，a n＜0，则前n项和T n=﹣（S n﹣S7）+S7=2S7﹣S n，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）等比数列{a n}中，a1=64，公比q≠1，a2，a3，a4又分别是某个等差数列的第7项，第3项，第1项，可得a2﹣a3=4d，a3﹣a4=2d，（d为某个等差数列的公差），即有a2﹣a3=2（a3﹣a4），即a2﹣3a3+2a4=0，即为a1q﹣3a1q2+2a1q3=0，即有1﹣3q+2q2=0，解得q=（1舍去），则a n=a1q n﹣1=64•（）n﹣1=27﹣n；（2）b n=log2a n=log227﹣n=7﹣n，设数列{b n}的前n项和S n，S n=（6+7﹣n）n=n（13﹣n），当1≤n≤7时，前n项和T n=S n=n（13﹣n）；当n≥8时，a n＜0，则前n项和T n=﹣（S n﹣S7）+S7=2S7﹣S n=2××7×6﹣n （13﹣n）=（n2﹣13n+84），则前n项和T n=．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意数列中的项的符号，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）（2017春•湖北期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=5，c=，且4sin2﹣cos2C=（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得4cos2C﹣4cosC+1=0，可求，结合范围0＜C＜π，即可得解C的值．（2）由余弦定理可得7=（a+b）2﹣3ab，结合条件a+b=5，可求ab的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵A+B+C=180°，由，得，∴，整理得：4cos2C﹣4cosC+1=0，解得：，由于：0＜C＜π，可得：C=．（2）∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即：7=a2+b2﹣ab，∴7=（a+b）2﹣3ab，∵由条件a+b=5，∴可得：7=25﹣3ab，解得：ab=6，∴．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．21．（12分）（2012•虹口区校级模拟）在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a，b，c，其中c=10，且．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP 的面积．【考点】HP：正弦定理；N8：圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）由题设条件．利用正弦定理可得．，整理得讨论知，A=B或者A+B=．又，所以A+B=．由此可以得出，△ABC是直角三角形；（2）将四边形ABCP的面积表示成两个三角形S△ABC 与S△PAC的和，S△ABC易求，S△PAC需求出线段PA的长度与sin∠PAC的值，利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）证明：根据正弦定理得，．整理为：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以A=B，或者A+B=．由于，故△ABC是直角三角形．（2）由（1）可得：a=6，b=8．在Rt△ABC中，sin∠CAB==，cos∠CAB=sin∠PAC=sin（60°﹣∠CAB）=sin60°cos∠CAB﹣cos60°sin∠CAB=．连接PB，在Rt△APB中，AP=AB•cos∠PAB=5．所以四边形ABCP的面积S四边形△ABCP=S△ABC+S△PAC==．【点评】本题第一问考查正弦定理与分类讨论的思想，第二问是探究型题，需分部来求四边形的面积，化整为零，先求局部再求整体，方法较好．22．（12分）（2015•中山二模）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【考点】5D：函数模型的选择与应用；34：函数的值域；7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（I）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，则y=45x+180（x﹣2）+180•2a=225x+360a﹣360．由已知ax=360，得，所以．（II）因为x＞0，所以，所以，当且仅当时，等号成立．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．。

2016-2017学年湖北省宜昌市长阳一中高一（下）期中数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．2．（5分）数列，的一个通项公式是（）A．B．C．D．3．（5分）由公差为d的等差数列a1、a2、a3…组成的新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列4．（5分）已知α是锐角，=（，sinα），=（cosα，），且∥，则α为（）A．15°B．45°C．75°D．15°或75°5．（5分）一个数列{a n}，其中a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，那么这个数列的第五项是（）A．6B．﹣3C．﹣12D．﹣66．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=，若前n项和为10，则项数n为（）A．11B．99C．120D．1217．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形8．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．9．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．1810．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或11．（5分）已知3+4+5=0，且||=||=||=1，则•（+）=（）A．0B．﹣C．D．﹣12．（5分）设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且++2=0，则△ABC 的面积与△AOC的面积的比值为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知||=4，与的夹角为，则在方向上的投影为．14．（5分）已知{a n}满足a n+1=a n+2n，且a1=33，则的最小值为．15．（5分）如图，在△ABC中，已知B=，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB=．16．（5分）有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sinβ；②若函数y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，则a=；③函数y=是奇函数；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是增函数；其中正确命题的序号为．二、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知等比数列{a n}中，2a4﹣3a3+a2=0，且a1=64，公比q≠1，（1）求a n；（2）设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知=（5cosx，cosx），=（sin x，2cos x），设函数f（x）= ++．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的值域．19．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B （A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为2，最小值为﹣，周期为π，且图象过（0，﹣）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．21．（12分）某烟花厂家为了测试最新研制出的一种“冲天”产品升空的安全性，特对其进行了一项测试．如图，这种烟花在燃放点C进行燃放实验，测试人员甲、乙分别在A，B两地（假设三地在同一水平面上），测试人员甲测得A、B两地相距80米且∠BAC=60°，甲听到烟花燃放“冲天”时的声音的时间比乙晚秒．在A地测得该烟花升至最高点H处的仰角为60°．（已知声音的传播速度为340米∕秒）（1）求甲距燃放点C的距离；（2）求这种烟花的垂直“冲天”高度HC．22．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，且f （）=0，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）是否存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（）按照某种顺序成等差数列？若存在，请求出x0的值，若不存在，说明理由；（3）求实数a，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，2π）内恰有3个零点．2016-2017学年湖北省宜昌市长阳一中高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵角α是第二象限角，且，∴cosα=﹣=﹣，故选：A．2．（5分）数列，的一个通项公式是（）A．B．C．D．【解答】解；∵数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3，∴故选：B．3．（5分）由公差为d的等差数列a1、a2、a3…组成的新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列【解答】解：设新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…的第n项是b n，则b n=a n+a n+3=2a1+（n﹣1）d+（n+2）d=2a1+（2n+1）d，∴b n﹣b n=2d，+1∴此新数列是以2d为公差的等差数列，故选：B．4．（5分）已知α是锐角，=（，sinα），=（cosα，），且∥，则α为（）A．15°B．45°C．75°D．15°或75°【解答】解：∵∥，∴s inαcosα﹣=0，化为．∵α是锐角，∴2α∈（0°，180°）．∴2α=30°或150°，解得α=15°或75°．故选：D．5．（5分）一个数列{a n}，其中a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，那么这个数列的第五项是（）A．6B．﹣3C．﹣12D．﹣6【解答】解：由题意，a3=6﹣3=3，a4=3﹣6=﹣3，a5=﹣3﹣3=﹣6，故选：D．6．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=，若前n项和为10，则项数n为（）A．11B．99C．120D．121【解答】解：∵数列{a n}的通项公式是a n==﹣，∵前n项和为10，∴a1+a2+…+a n=10，即（﹣1）+（﹣）+…+﹣=﹣1=10，解得n=120，故选：C．7．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵2c2=2a2+2b2+ab，由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴可解得cosC=﹣．∵0＜C＜π，∴．故选：D．8．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．18【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴S n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选：B．10．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，∴AB=，BC=1，又A=30°，根据正弦定理=得：sinC=，∵C为三角形的内角，∴C=60°或120°，当C=60°时，由A=30°，得到B=90°，即三角形为直角三角形，则△ABC的面积为××1=；当C=120°时，由A=30°，得到B=30°，即三角形为等腰三角形，过C作出AB边上的高CD，交AB于点D，在Rt△ACD中，AC=BC=1，A=30°，∴CD=，则△ABC的面积为××=，综上，△ABC的面积为或．故选：C．11．（5分）已知3+4+5=0，且||=||=||=1，则•（+）=（）A．0B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵||=||=||=1，设向量，，分别是向量3，4，5的单位向量，由3+4+5=0，∴向量3，4，5构成一个封闭的三角形ABC，向量=3，=5，=4，根据勾股定理，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，cos＜＞=﹣，∴⊥，∴，∴•（+）=+==||•||•cos＜＞=1×1×（﹣）=﹣．故选：B．12．（5分）设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且++2=0，则△ABC 的面积与△AOC的面积的比值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵D为AB的中点，∴，∵++2=，∴，∴O是CD的中点，=S△AOD=S△AOB=S△ABC，∴S△AOC故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知||=4，与的夹角为，则在方向上的投影为2．【解答】解：在方向上的投影为||cos＜＞=4×cos=2．故答案为2．14．（5分）已知{a n}满足a n+1=a n+2n，且a1=33，则的最小值为．=a n+2n，即a n+1﹣a n=2n，【解答】解：{a n}满足a n+1∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2×1+33=2×+33=n2﹣n+33．则==n+﹣1，令f（x）=，（x≥1），则f′（x）=1﹣=，在x∈上单调递减；在x∈上单调递增．f（5）=5+=，f（6）=6+=＜f（5）．∴n=6时，f（x）取得最小值，因此的最小值为=．故答案为：．15．（5分）如图，在△ABC中，已知B=，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB=5．【解答】解：∵AD=10，AC=14，DC=6，∴由余弦定理得cosC===，∴sinC==，由正弦定理得，即AB==5，故答案为：5．16．（5分）有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sinβ；②若函数y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，则a=；③函数y=是奇函数；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是增函数；其中正确命题的序号为④．【解答】解：对于①，α=30°，β=﹣300°均为第一象限角，且α＞β，但sin 30°=＜sin（﹣300°）=，故①错误；对于②，若函数y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，即T==4π，则a=±，故②错误；对于③，因为函数f（﹣x）==≠﹣=﹣f（x），所以函数y=不是奇函数，故③错误；对于④，因为y=cosx在[0，π]上是减函数，所以函数y=sin（x﹣）=﹣cosx在[0，π]上是增函数，故④正确；综上所述，正确命题的序号为④．故答案为：④．二、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知等比数列{a n}中，2a4﹣3a3+a2=0，且a1=64，公比q≠1，（1）求a n；（2）设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由2a4﹣3a3+a2=0可知，，又a1≠0，q≠0，故2q2﹣3q+1=0，解得q=1或q=，又由题设q≠1，所以，从而，n∈N*；（2）b n=log2a n=log227﹣n=7﹣n，n∈N*，则数列{b n}的前n项和T n=n（6+7﹣n）=（13n﹣n2）．18．（12分）已知=（5cosx，cosx），=（sin x，2cos x），设函数f（x）= ++．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）==5sin xcos x+2cos2x+4cos2x+sin2x+=5sin xcos x+5cos2x+=sin 2x+5•+=5sin（2x+）+5；∴f（x）的最小正周期为T=π，对称中心为；（2）f（x）=5sin（2x+）+5；由≤x≤，得≤2x+≤；∴﹣≤sin（2x+）≤1；∴当≤x≤时，函数f（x）的值域为[，10]．19．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B （A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为2，最小值为﹣，周期为π，且图象过（0，﹣）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】（12分）解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ）+B的最大值为2，最小值为﹣，∴A=，B=．又∵f（x）=Asin（ωx+φ）+B的周期为π，∴T==π，即ω=2．∴f（x）=sin（2x+φ）+．又∵函数f（x）过（0，﹣），∴﹣=sin φ+，即sin φ=﹣．又∵|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x）+．…8’（2）令t=2x﹣，则y=sin t+，其增区间为：[2k，2k]，k∈Z．即2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z．解得kπ﹣≤x≤kπ+．所以f（x）的单调递增区间为[，k]，k∈Z．…12’21．（12分）某烟花厂家为了测试最新研制出的一种“冲天”产品升空的安全性，特对其进行了一项测试．如图，这种烟花在燃放点C进行燃放实验，测试人员甲、乙分别在A，B两地（假设三地在同一水平面上），测试人员甲测得A、B两地相距80米且∠BAC=60°，甲听到烟花燃放“冲天”时的声音的时间比乙晚秒．在A地测得该烟花升至最高点H处的仰角为60°．（已知声音的传播速度为340米∕秒）（1）求甲距燃放点C的距离；（2）求这种烟花的垂直“冲天”高度HC．【解答】解：（1）由题意，设AC=x，则BC=…（2分）在△ABC中，由余弦定理：BC2=BA2+CA2﹣2BA•CA•cos∠BAC得（x﹣20）2=x2+6400﹣80x…（4分）∴x=150，即甲距燃放点C的距离为150米…（6分）（2）在△ACH中，AC=750，∠CAH=60°，∴HC=（米）…（12分）22．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，且f （）=0，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）是否存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（）按照某种顺序成等差数列？若存在，请求出x0的值，若不存在，说明理由；（3）求实数a，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，2π）内恰有3个零点．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω＞0，∴ω==2，又曲线y=f（x）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），∴sin（2×+φ）=0，可得φ=，∴f（x）=cos2x，将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，由诱导公式化简可得g（x）=sinx；（2）当x∈（，），＜sinx＜，0＜cos2x＜，∵f（）=，则g（x0）＞f（）＞f（x0），∴g（x0）+f（x0）=2f（），即sinx0+cos2x0=1，化简得sinx0=0或sinx0=与＜sinx0＜矛盾，所以不存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（）按照某种顺序成等差数列．（3）F（x）=f（x）+ag（x）=0，即cos2x+asinx=0，当sinx=0，显然不成立，当sinx≠0时，a=﹣=2sinx﹣，令t=sinx，则当x∈[0，2π]时，t∈[﹣1，1]，由函数a=2t﹣，t∈[﹣1，1]，以及t=sinx，x∈[0，2π]的图象可知，当a=±1时，a=2sinx﹣在[0，2π]内恰有3个零点．综上所述，a=±1。

湖北省宜昌市长阳一中2016-2017学年高一（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题：1、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A、﹣B、C、﹣D、【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数【解析】【解答】解：原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223° =cos（163°﹣223°）=cos（﹣60°）= ．故答案选B【分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．2、已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosα= x，则x=（）A、B、±C、﹣D、﹣【答案】D【考点】任意角的三角函数的定义【解析】【解答】解：∵cosα= = = x，∴x=0（∵α是第二象限角，舍去）或x= （舍去）或x=﹣．故选：D．【分析】根据三角函数的定义有cosα= ，条件cosα= x都可以用点P的坐标来表达，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．3、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=2，b= ，B=120°，则a等于（）A、B、1C、D、3【答案】B【考点】正弦定理【解析】【解答】解：∵c=2，b= ，B=120°，∴由b2=a2+c2﹣2accosB，可得：7=a2+4+2a，整理可得：a2+2a﹣3=0，∴解得：a=1或﹣3（舍去）．故选：B．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解．4、如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A、mB、mC、mD、m【答案】A【考点】解三角形的实际应用【解析】【解答】解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50 m，故选A【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB5、已知向量与的夹角为，则| |的值为（）A、21B、C、D、【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：向量与的夹角为，∴=4 ﹣4• +=4×22﹣4×2×5cos60°+52=21；∴| |= ．故选：B．【分析】根据平面向量的数量积与模长公式，计算| |的值即可．6、等比数列{a n}各项均为正数，且a5a6+a4a7=54，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A、8B、10C、15D、20【答案】C【考点】数列的求和，等比数列的性质【解析】【解答】解：∵a4a7+a5a6=54，由等比数列的性质可得：a4a7=a5a6=27=a n•a11﹣n（n∈N*，n≤10），∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1a2•…a10）=log3315=15．故选：C．【分析】由a4a7+a5a6=54，利用等比数列的性质可得：a4a7=a5a6=27=a n•a11﹣n，再利用对数的运算法则即可得出．7、设函数f（x）=sin（2x+ ）+ cos（2x+ ），则（）A、y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x= 对称B、y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x= 对称C、y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x= 对称D、y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x= 对称【答案】D【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：函数f（x）=sin（2x+ ）+ cos（2x+ ），化简可得：f（x）=sin（2x+ + ）=cos2x．根据余弦函数的图象和性质，2kπ≤2x≤2kπ+π，可得：∴递减区间为[kπ，]，k∈Z．∵对称轴方程2x=kπ，k∈Z．∴函数的对称轴方程为x= ，k∈Z．故选D【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增减区间上，解不等式得函数的单调区间；根据对称轴方程求解对称即可．8、已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a1=﹣3，S5=S10，则当S n取到最小值时n 的值为（）A、5B、7C、8D、7或8【答案】D【考点】数列的函数特性，等差数列的前n项和【解析】【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=﹣3，S5=S10，∴=10×（﹣3）+ ，解得d= ．∴= ，令a n≥0，解得n≥8．因此前7，8项的和取得最小值．故选D．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式可得a n，再解出a n≥0即可．9、若函数y=f（x）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向右平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y= sinx的图象，则y=f（x）的解析式为（）A 、y= sin （2x+ ）+1B 、y= sin （2x ﹣ ）+1C 、y= sin （ x+）+1D 、y=sin （x ﹣）+1【答案】A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：由题意可得，把函数y= sinx 的图象沿y 轴向上平移1个单位， 可得函数y=sinx+1的图象；再将整个图象沿x 轴向左平移 个单位，可得函数y=sin （x+）+1的图象；再把横坐标变为原来的倍，可得函数y= sin （2x+）+1=f （x ）的图象，故选：A ．【分析】利用y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，求得f （x ）的解析式．10、等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ， 对一切自然数n ，都有 =，则等于（ ）A 、B 、C 、D 、【答案】B【考点】等差数列的前n 项和，等差数列的性质【解析】【解答】解：∵S 9= =9a 5 ， T n ==9b 5 ， ∴a 5=S 9 ， b 5=T 9 ，又当n=9时，==，则 = = = ．故选B【分析】利用等差数列的前n项和公式分别表示出等差数列{a n}和{b n}的前n项的和分别为S n和T n，利用等差数列的性质化简后，得到a5= S9，b5= T9，然后将n=9代入已知的等式中求出的值，即为所求式子的值．11、定义在R上的偶函数f（x）在区间[﹣1，0]上是减函数，若A、B是锐角三角形的两个内角，则（）A、f（sinA）＞f（cosB）B、f（sinA）＜f（cosB）C、f（sinA）＞f（sinB）D、f（cosA）＜f（cosB）【答案】A【考点】复合三角函数的单调性【解析】【解答】解：∵偶函数f（x）在区间[﹣1，0]上是减函数，∴f（x）在区间[0，1]上为增函数．又由A、B是锐角三角形的两个内角，∴A+B＞，A＞﹣B，1＞sinA＞cosB＞0．∴f（sinA）＞f（cosB）．故选A．【分析】利用偶函数的对称性可得函数在[0，1]单调递增，由α、B为锐角三角形的内角可得，α+B＞⇒α＞﹣B，B＞﹣α，1＞sinα＞cosB＞0，结合函数的单调性可得结果．12、函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（）A、B、C、0D、【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】【解答】解：由函数图象可知f（x）的周期为8，A=2，φ=0．∴ω= ．∴f（x）=2sin x．由f（x）的对称性可知在一个周期内f（0）+f（1）+f（2）+…+f（8）=0，而[0，2016]恰好为252个周期，∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）=0．∴f（2）+f（3）+…+f（2016）=﹣f（0）﹣f（1）．∵f（0）=0，f（1）=2sin = ，∴﹣f（0）﹣f（1）=﹣．故选：D．【分析】求出f（x）的解析式，根据函数图象的对称性可知f（x）在1个周期内的连续整数对于的函数值之和为0，故而f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）=0，从而得出答案．二、填空题：13、已知向量=（3，1），=（﹣2，4），求在方向上的投影为________．【答案】﹣【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：向量=（3，1），=（﹣2，4），可得• =3×（﹣2）+1×4=﹣2，| |= = ，| |= =2 ，可得在方向上的投影为= =﹣．故答案为：﹣．【分析】运用向量数量积的坐标表示和模的公式，可得• ，| |，| |，再由在方向上的投影为，计算即可得到所求值．14、已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+3n+5，则a n=________．【答案】【考点】数列的求和【解析】【解答】解：∵S n=n2+3n+5，a1=S1=9，∴a n=S n﹣S n﹣1=n2+3n+5﹣[（n﹣1）2+3（n ﹣1）+5]=2n+2（n＞1），∵当n=1时，a1=9≠4，∴a n= ，故答案为：．【分析】首先根据S n=n2+3n+5，求出a1的值，然后利用a n=S n﹣S n﹣1求出当n＞2时，a n的表达式，然后验证a1的值，最后写出a n的通项公式．15、在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有﹣段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需________日相逢．【答案】9【考点】等差数列的前n项和【解析】【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m+ +97m+ =2×1125，解得：m=9．故答案为：9．【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．16、如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是________．【答案】﹣【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：根据题意，O为圆心，即O是AB的中点，则，则≥﹣，即的最小值是﹣；故答案为﹣．【分析】由向量的加法，可得，将其代入中，变形可得=﹣2（| |﹣）2﹣，由二次函数的性质，计算可得答案．三、解答题：17、已知=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）α∈（0，），⊥．(1)求；(2)求．【答案】（1）解：∵⊥，∴=4×3+5cosα×（﹣4tanα）=12﹣20sinα=0，∴sinα= ，∵α∈（0，），∴．∴，∴，∴（2）解：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，两角和与差的正弦函数【解析】【分析】（1）由已知利用平面向量垂直的性质可求sinα，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而可求，进而计算得解．（2）利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求结合cosα的值即可计算得解．18、已知函数(1)求函数f（x）的对称中心和函数的单调递增区间；(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．【答案】（1）解：== ，令⇒，∴对称中心为（﹣+ ，1），（k∈Z），要使f（x）函数的单调递增，可得：，∴，故函数f（x）的单调递增区间（2）解：∵，∴2sin（2A+ ）+1=3，，，∴2A+ = ，可得：A= ，∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sin（+ ）= ，∴由正弦定理，可得：，可求AB=c=【考点】两角和与差的正弦函数，正弦定理【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）= ，令即可解得对称中心，由，解得函数f（x）的单调递增区间．（2）由已知可求2sin（2A+ ）+1=3，进而解得，解得A的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，利用正弦定理可求c的值．19、在等差数列{a n}中，a14+a15+a16=﹣54，a9=﹣36，S n为其前n项和．(1)求S n的最小值，并求出相应的n值；(2)求T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．【答案】（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a14+a15+a16=3a15=﹣54，a15=﹣18，∴，∴a n=a9+（n﹣9）×d=3n﹣63，∴a n+1=3（n+1）﹣63=3n﹣60令，∴20≤n≤21，∴，即当n=20或21时，S n最小且最小值为﹣630（2）解：∵a1=﹣60，d=3，∴a n=﹣60+（n﹣1）×3=3n﹣63，由a n=3n﹣63≥0，得n≥21，∵a20=3×20﹣63=﹣3＜0，a21=3×21﹣63=0，∴数列{a n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，当n≤21时，当n≥22时，综上，【考点】数列的求和【解析】【分析】（1）由已知条件求出d=3，令，求出n的范围，求出S n的最小值．（2）数列{a n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，所以当n≤21时，T n=﹣S n，当n＞21时，T n=S n﹣2S21，由此利用分类讨论思想能求出T n．20、已知a，b，c分别是锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，且= ．(1)求A的大小；(2)当时，求b+c的取值范围．【答案】（1）解：由正弦定理，得，即2sinBcosA﹣sinCcosA=cosCsinA，即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB，∵sinB≠0，∴，∵A∈（0，π），∴（2）解：由（1）知，由正弦定理得：．∴b=2sinB，c=2sinC，∵，∴＜B＜，∴＜+B＜，∴＜sin（B+ ）≤1，∴【考点】正弦定理【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBcosA=sinB，【解析】结合sinB≠0，可求，由特殊角的三角函数值即可得解A的值．（2）由正弦定理得b=2sinB，c=2sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得b+c=2 sin（B+ ），由，可求B的范围，进而可求+B的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解其取值范围．21、已知数列{a n}中，a1=5，a2=2，a n=2a n﹣1+3a n﹣2，（n≥3）（Ⅰ）证明数列{a n﹣3a n﹣}成等比数列，并求数{a n}列的通项公式a n；1（Ⅱ）若数列b n= （a n+1+a n），求数列{b n}的前n项和S n．【答案】解：（Ⅰ）∵a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），∴a n+a n﹣1=3（a n﹣1+a n﹣2），又∵a2+a1=2+5=7，∴数列{a n+1+a n}是以7为首项、3为公比的等比数列，∴a n+1+a n=7•3n﹣1；∵a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），∴a n﹣3a n﹣1=﹣（a n﹣1﹣3a n﹣2），又∵a2﹣3a1=2﹣3•5=﹣13，∴数列{a n+1﹣3a n}是以﹣13为首项、﹣1为公比的等比数列，∴a n+1﹣3a n=﹣13•（﹣1）n﹣1；∴a n= ×（﹣1）n﹣1+ ×3n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ），得a n+1+a n=7•3n﹣1，∴b n= （a n+1+a n）=（2n﹣1）×3n﹣1，∴S n=1×30+3×31+5×32+…+（2n﹣1）×3n﹣1，∴3S n=1×31+3×32+5×33+…+（2n﹣3）×3n﹣1+（2n﹣1）×3n，∴﹣2S n=1+2（31+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）×3n=1+2× ﹣（2n﹣1）×3n=﹣2﹣（2n﹣2）•3n，∴S n=（n﹣1）•3n+1【考点】数列的求和，数列递推式【解析】【分析】（Ⅰ）通过a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3）变形为a n+λa n﹣1=m（a n﹣1+λa n﹣2）形式计算可求．（Ⅱ）b n= （a n+1+a n）=（2n﹣1）×3n﹣1，再利用错位相减法即可求出数列{b n}的前n项和S n．22、已知函数g（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜，ω＞0）的图象如图所示，函数f（x）=g（x）+ cos2x﹣sin2x(1)如果，且g（x1）=g（x2），求g（x1+x2）的值；(2)当﹣≤x≤ 时，求函数f（x）的最大值、最小值及相应的x值；(3)已知方程f（x）﹣k=0在上只有一解，则k的取值集合．【答案】（1）解：由图象得，A=1，T= ，则，所以ω=2，把点代入得，sin（2× +φ）=0，则2× +φ=kπ，解得（k∈Z），由﹣π＜ϕ＜0得，，所以，因为，且g（x1）=g（x2），所以由图得，，则（2）解：由（1）得，f（x）=g（x）+ cos2x﹣sin2x = = ，因为，所以，当时，即时，y max=2，当时，即时，（3）解：由（2）得，f（x）= ，因为x∈，所以∈，则，即，因为方程f（x）﹣k=0在上只有一解，则k的取值集合是（﹣，]∪{﹣2}【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的最值【解析】【分析】（1）由图象求出A、T、ω和φ，求出g（x）的解析式，由图象和条件求出x1+x2的值，代入解析式由特殊角的正弦函数求g（x1+x2）的值；（2）由（1）和两角和、差的正弦公式化简f（x），由x的范围、正弦函数的性质，求出答案；（3）由x∈求出的范围，由正弦函数的性质求出的范围，由条件和方程的根转化求出k的取值集合．。

2016-2017学年湖北省宜昌市长阳二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式组的解集（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜3}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜3} 2．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a5、a9、a15成等比数列，那么公比为（）A．B．C．D．3．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（）A．a2＜b2B．C．a3b2＜a2b3D．ac2＜bc2 4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b且a＞b，则∠B=（）A．B．C．D．5．（5分）在△OAB中，，若=（），则S△OABA．B．C．D．6．（5分）若向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则一定满足（）A．的夹角等于α﹣βB．（）⊥（）C．∥D．⊥7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a和3b的等比中项，则的最小值为（）A．6B．C．8D．98．（5分）A，B两地相距200m，且A地在B地的正东方．一人在A地测得建筑C在正北方，建筑D在北偏西60°；在B地测得建筑C在北偏东45°，建筑D 在北偏西15°，则两建筑C和D之间的距离为（）A．200m B．100m C．100m D．100（﹣1）m9．（5分）在△ABC中，c=，a=1，acosB=bcosA，则•=（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A．B．5C．5D．611．（5分）已知等比数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和S n的值为（）A．3n﹣B．3（3n﹣1）C．D．12．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．（5分）设0＜θ＜，=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．14．（5分）若关于x的不等式﹣+2x＞﹣mx的解集为{x|0＜x＜2}，则m=．15．（5分）设正项等比数列的前n项和为S n，若S3=3，S9﹣S6=12，则S6=．16．（5分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围为．三、解答题：本题满分70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）已知（1）求与的夹角θ；（2）若，且，求t及．18．（12分）知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=5，S15=225．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）设b n=+2n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：米）的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．（Ⅰ）求x，y的关系式，并求x的取值范围；（Ⅱ）问x，y分别为多少时用料最省？20．（12分）已知M是关于x的不等式2x2+（3a﹣7）x+3+a﹣2a2＜0解集，且M 中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．21．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；（2）求角B的最大值．并判断此时△ABC的形状．22．（12分）已知等差数列{a n}满足a4=5，a2+a8=14，数列{b n}满足b1=1，b n+1=2•b n．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和；（3）若c n=a n•（），求数列{c n}的前n项和S n．2016-2017学年湖北省宜昌市长阳二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式组的解集（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜3}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜3}【解答】解：⇔⇔{x|0＜x＜1}故选：C．2．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a5、a9、a15成等比数列，那么公比为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意可知（a1+8d）2=（a1+4d）（a1+14d），整理得2a1d=8d2，解得4d=a1，∴q===；故选：C．3．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（）A．a2＜b2B．C．a3b2＜a2b3D．ac2＜bc2【解答】解：对于A，若a=﹣3，b=2，则不等式a2＜b2不成立；对于B，若a=1，b=2，则不等式不成立；对于C，a3b2﹣a2b3=a2b2（a﹣b）＜0，不等式成立；对于D，若c=0，则不等式ac2＜bc2不成立．故选：C．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b且a＞b，则∠B=（）A．B．C．D．【解答】解：由，可把asinBcosC+csinBcosA=b化为sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=⇒sin（A+C）=，即sinB=，∵a＞b，∴B为锐角．∴B=故选：D．5．（5分）在△OAB中，，若，则S=（）△OABA．B．C．D．【解答】解：由题意可得==2，==5设向量，的夹角为θ，则=cosθ=10cosθ=﹣5，解之可得cosθ=﹣，所以sinθ=，=sinθ==故S△OAB故选：D．6．（5分）若向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则一定满足（）A．的夹角等于α﹣βB．（）⊥（）C．∥D．⊥【解答】解：∵角α，β为全体实数，α﹣β也为全体实数，而两向量的夹角θ∈（0，π），故A不对．∵当α=45°，β=30°时，与不平行，也不垂直，故C，D不对．∵==1﹣1=0，∴，故选：B．7．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a和3b的等比中项，则的最小值为（）A．6B．C．8D．9【解答】解：由是3a和3b的等比中项，所以3a•3b=3，即3a+b=3，所以a+b=1．又a＞0，b＞0，则=．故选：D．8．（5分）A，B两地相距200m，且A地在B地的正东方．一人在A地测得建筑C在正北方，建筑D在北偏西60°；在B地测得建筑C在北偏东45°，建筑D 在北偏西15°，则两建筑C和D之间的距离为（）A．200m B．100m C．100m D．100（﹣1）m【解答】解：在△ABD中，AB=200m，∠ABD=105°，∠BAD=30°，∠ADB=45°，∴AD==100（），在△ACD中，AC═200m，∠CAD=60°，∴CD==100m．故选：C．9．（5分）在△ABC中，c=，a=1，acosB=bcosA，则•=（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，∵acosB=bcosA，∴sinAcosB=sinBcosA，∴sin（A﹣B）=0，∴A﹣B=0，即A=B；∴a=b；又∵c=，a=1，∴b=1；如图，∴cosC==﹣，∴C=120°；∴•=||×||×cos＜，＞=1×1×cos60°=．故选：A．10．（5分）在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A．B．5C．5D．6=2，【解答】解：∵在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC∴acsinB=2，即c=4，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=1+32﹣8=25，即b=5，则由正弦定理得：d==5．故选：C．11．（5分）已知等比数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和S n的值为（）A．3n﹣B．3（3n﹣1）C．D．【解答】解：等比数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，即有a2=6，a4=54，则新数列的公比为9，即有S n==．故选：D．12．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．2【解答】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．S n=n+×2=n2．∴===n+1+﹣2≥2﹣2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．（5分）设0＜θ＜，=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．【解答】解：∵=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），∥，∴sin2θ﹣cos2θ=0，∴2sinθcosθ=cos2θ，∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．∴2tanθ=1，∴tanθ=．故答案为：．14．（5分）若关于x的不等式﹣+2x＞﹣mx的解集为{x|0＜x＜2}，则m=﹣1．【解答】解：原不等式化为x2﹣（m+2）x＜0，该不等式对应的方程为x2﹣（m+2）x=0，该一元二次方程的两个实数根为0和2；由根与系数的关系，得﹣=0+2；解得m=﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）设正项等比数列的前n项和为S n，若S3=3，S9﹣S6=12，则S6=9．【解答】解：∵正项等比数列{a n}的前n项和为S n，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列即（S6﹣S3）2=S3•（S9﹣S6），∴（S6﹣3）2=3×12解得S6=9或﹣3（正项等比数列可知﹣3舍去），故答案为：9．16．（5分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围为或m≥1．【解答】解：对于函数f（x）=，当x≤1时，f（x）=；当x＞1时，f（x）=＜0．∴要使不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则恒成立，即或m≥1．故答案为：或m≥1．三、解答题：本题满分70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）已知（1）求与的夹角θ；（2）若，且，求t及．【解答】解：（1）由，得，即4×，得，∴，∵0≤θ≤π，∴；（2）∵，∴=，∴t=，则==．18．（12分）知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=5，S15=225．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）设b n=+2n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，由题意，得，解得，∴a n=2n﹣1；（Ⅱ），∴T n=b1+b2+…+b n=（4+42+…+4n）+2（1+2+…+n）==．19．（12分）如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：米）的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．（Ⅰ）求x，y的关系式，并求x的取值范围；（Ⅱ）问x，y分别为多少时用料最省？【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，∴，∵y=﹣＞0∴0＜x＜4（6分）（Ⅱ）设框架用料长度为l，=当且仅当答：故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．20．（12分）已知M是关于x的不等式2x2+（3a﹣7）x+3+a﹣2a2＜0解集，且M 中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．【解答】解：不等式2x2+（3a﹣7）x+3+a﹣2a2＜0，因式分解，可得（2x﹣a﹣1）（x+2a﹣3）＜0，由方程（2x﹣a﹣1）（x+2a﹣3）=0，可得两个根分别为：x1=，x2=3﹣2a．由x=0适合不等式，故得（a+1）（2a﹣3）＞0，∴a＜﹣1，或a＞．若a＜﹣1，x1＜x2，此时不等式的解集为{x|＜x＜3﹣2a}．若a＞，x1＞x2，此时不等式的解集为{x|＞x＞3﹣2a}．（提示：利用作差比较x1，x2的大小）21．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；（2）求角B的最大值．并判断此时△ABC的形状．【解答】解：（1）sinC=2sinA利用正弦定理化简得：c=2a，∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac=2a2，即b=a，∴cosB===；（2）∵b2=ac，∴cosB==≥=，∵函数y=cosx在区间[0，π]上为减函数，∴B∈（0，]，即角B的最大值为，此时有a=c，且b2=ac，可得a=b=c，则△ABC为等边三角形．22．（12分）已知等差数列{a n}满足a4=5，a2+a8=14，数列{b n}满足b1=1，b n+1=2•b n．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和；（3）若c n=a n•（），求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}满足a4=5，a2+a8=14，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴a n=2n﹣3．∵数列{b n}满足b1=1，b n+1=2•b n．∴，∴，以上各式相乘，得，∵b1=1，∴．…（4分）（2）∵，∴数列{}的前n项和为：=1﹣，∴．…（8分）（3）∵a n=2n﹣3，c n=a n•（），∴，∴，①2S n=﹣1•2+1•22+…+（2n﹣5）•2n﹣1+（2n﹣3）•2n，②①﹣②，得﹣（2n﹣3）•2n=﹣1+2•﹣（2n﹣3）•2n=（5﹣2n）•2n﹣5，∴．…（13分）。

2016-2017学年湖北省华中师大一附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等比数列{a n}满足：a3•a7=，则cosa5=（）A．B．C．± D．±2．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，b=，B=45°，则角C的大小为（）A．15° B．75° C．15°或75°D．60°或120°3．已知向量=（﹣1，2），=（3，1），=（k，4），且（﹣）⊥，则•（+）=（）A．（2，12） B．（﹣2，12）C．14 D．104．已知数列{a n}的通项为a n=，则满足a n+1＜a n的n的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量=（a+c，b），=（b﹣a，c﹣a），若向量∥，则角C的大小是（）A．B．C．D．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．727．已知=（1，﹣1），=﹣， =+，若△OAB是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）A．132 B．261 C．262 D．5179．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2acosB=c，且满足 sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（）A．锐角非等边三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形10．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．11．设数列{a n}满足a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为T n，则T2018=（）A．1 B．2 C．D．12．已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则•的取值范围为（）A．[2，18） B．（，2] C．[2，）D．（2，9﹣3）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，满足=（1，），•（﹣）=﹣3，则向量在方向上的投影为．14．已知数列{a n}的前n项和S n=3n﹣2，求{a n}的通项公式．15．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B，在B处测得山顶P的仰角为75°，则山高h= 米．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N+，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S3=3a3+2a2，a4=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=log2a n，数列{bn}的前n项和为T n，求使得T n取最大值的正整数n的值．18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．（1）求角A的度数；（2）若，求△ABC的面积．19．已知向量满足，||=1，|k+|=|﹣k|，k＞0．（1）求与的夹角θ的最大值；（2）若与共线，求实数k的值．20．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A'MN）．现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A'落在边BC上且不与端点B，C重合，设∠AMN=θ．（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A'N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度．21．已知数列{a n}满足（n∈N*），a1=1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若记b n为满足不等式的正整数k的个数，数列{}的前n项和为S n，求关于n的不等式S n＜4032的最大正整数解．22．已知数列{a n}满足a1=1，点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=a1， =+…+（n≥2且n∈N*），求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）对于（2）中的数列{b n}，求证：（1+b1）（1+b2）…（1+b n）＜b1b2…b n（n∈N*）．2016-2017学年湖北省华中师大一附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等比数列{a n}满足：a3•a7=，则cosa5=（）A．B．C．± D．±【考点】88：等比数列的通项公式；GI：三角函数的化简求值．【分析】直接利用等比数列的性质结合已知求得．则答案可求．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a3•a7=，得，∴．∴cosa5=cos（±）=．故选：B．2．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，b=，B=45°，则角C的大小为（）A．15° B．75° C．15°或75°D．60°或120°【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinA=，结合范围A∈（45°，180°），可求A，利用三角形内角和定理可求C 的值．【解答】解：∵a=，b=，B=45°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵A∈（45°，180°），∴A=60°，或120°，∴C=180°﹣A﹣B=15°或75°．故选：C．3．已知向量=（﹣1，2），=（3，1），=（k ，4），且（﹣）⊥，则•（+）=（ ）A ．（2，12）B ．（﹣2，12）C ．14D ．10【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出，的坐标，再由（﹣）⊥列式求得k 值，得到，然后利用数量积的坐标运算求得•（+）．【解答】解：∵ =（﹣1，2），=（3，1），=（k ，4），∴=（﹣4，1），=（2，3），∵（﹣）⊥，∴﹣4k+4=0，解得k=1．∴，则•（+）=（1，4）•（2，3）=1×2+4×3=14．故选：C ．4．已知数列{a n }的通项为a n =，则满足a n+1＜a n 的n 的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【考点】82：数列的函数特性．【分析】a n =，a n+1＜a n ，＜，化为：＜．对n 分类讨论即可得出．【解答】解：a n =，a n+1＜a n ，∴＜，化为：＜． 由9﹣2n ＞0，11﹣2n ＞0，11﹣2n ＜9﹣2n ，解得n ∈∅．由9﹣2n ＜0，11﹣2n ＞0，解得，取n=5．由9﹣2n ＜0，11﹣2n ＜0，11﹣2n ＜9﹣2n ，解得n ∈∅．因此满足a n+1＜a n 的n 的最大值为5．故选：C ．5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．设向量=（a+c ，b ），=（b ﹣a ，c ﹣a ），若向量∥，则角C 的大小是（ ）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理；96：平行向量与共线向量．【分析】因为，根据向量平行定理可得（a+c）（c﹣a）=b（b﹣a），展开即得b2+a2﹣c2=ab，又根据余弦定理可得角C的值．【解答】解：∵∴（a+c）（c﹣a）=b（b﹣a）∴b2+a2﹣c2=ab2cosC=1∴C=故选B．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．72【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】利用条件a5=8，S3=6，计算等差数列的首项，公差，进而可求S10﹣S7的值【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d∵a5=8，S3=6，∴∴∴S10﹣S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48故选B．7．已知=（1，﹣1），=﹣， =+，若△OAB是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】根据△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，得到向量垂直和向量模长相等的条件，利用向量数量积的定义进行求解即可．【解答】解：若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则⊥，即•=0，则（﹣）•（+）=0，即||2﹣||2=0，则||=||=，又||=||，即|﹣|=|+|，平方得||2+||2﹣2•=||2+||2+2•，得•=0，则||2=||2+||2﹣2•=||2+||2=2+2=4，则||=2，则△OAB的面积S=||•||=×2×2=2．故选：A．8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）A．132 B．261 C．262 D．517【考点】F1：归纳推理．【分析】先根据题意可知第n行有2n﹣1个数，此行最后一个数的为2n﹣1，求出第8行的最后一个数，从而求出所求．【解答】解：根据题意可知第n行有2n﹣1个数，此行最后一个数的为2n﹣1．那么第8行的最后一个数是28﹣1=255，该数表中第9行的第6个数是261，故选：B．9．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2acosB=c，且满足 sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（）A．锐角非等边三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【考点】HP：正弦定理．【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A=B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B=C，A﹣B=0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．【解答】解：将已知等式2acosB=c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinC，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B=0，即A=B，已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）=（1﹣cosC）+=1﹣cosC，﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）=1﹣cosC，∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）=1﹣cosC，即（cosC+1）（2﹣cosC）=2﹣cosC，整理得：cos2C﹣2cosC=0，即cosC（cosC﹣2）=0，∴cosC=0或cosC=2（舍去），∴C=90°，则△ABC为等腰直角三角形．故选：C．10．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．【考点】97：相等向量与相反向量．【分析】通过解直角三角形得到BD=BC，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出λ，μ值．【解答】解：在△ABD中，BD==1又BC=3所以BD=∴∵O为AD的中点∴∵∴∴故选D11．设数列{a n}满足a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为T n，则T2018=（）A．1 B．2 C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】依题意，数列{a n}是以4为周期的函数数列，可求得a1•a2•a3•a4=a5•a6•a7•a8=…=a2013•a2014•a2015•a2016=1，从而可得答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=1﹣，∴a2==，a3==﹣，a4==﹣3，a5==2，…即a n+4=a n，∴数列{a n}是以4为周期的函数，又a1•a2•a3•a4=a5•a6•a7•a8=…=a2005•a2006•a2007•a2008=1，T n为数列{a n}的前n项之积，∴T2018=（a1•a2•a3•a4）•（a5•a6•a7•a8）…（a2013•a2014•a2015•a2016）•a2017•a2018=a1•a2==，故选：D．12．已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则•的取值范围为（）A．[2，18） B．（，2] C．[2，）D．（2，9﹣3）【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知a+b+c=6，且b2=ac，由基本不等式及三角形中的边角关系求得b的范围得到b的范围，代入数量积公式可得•=﹣（b+3）2+27．则•的取值范围可求．【解答】解：由题意可得a+b+c=6，且b2=ac，∴b=≤=，从而0＜b≤2．再由|a﹣c|＜b，得（a﹣c）2＜b2，（a+c）2﹣4ac＜b2，∴（6﹣b）2﹣4b2＜b2，得b2+3b﹣9＞0，又b＞0，解得b＞，∴＜b≤2，∵cosB==，∴•=ac•cosB====﹣（b+3）2+27．则2≤•＜．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，满足=（1，），•（﹣）=﹣3，则向量在方向上的投影为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】求出向量b的模，向量a，b的数量积，再由向量在方向上的投影，计算即可得到．【解答】解： =（1，），则||==2，•（﹣）=﹣3，则=﹣3=4﹣3=1，即有向量在方向上的投影为=．故答案为：．14．已知数列{a n}的前n项和S n=3n﹣2，求{a n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式．【分析】首先求出n=1时a1的值，然后求出n≥2时a n的数列表达式，最后验证a1是否满足所求递推式，于是即可求出{a n}的通项公式．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2﹣3n﹣1+2=2•3n﹣1，当n=1时，a1=1不满足此递推式，故a n=．15．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B，在B处测得山顶P的仰角为75°，则山高h= 150（+）米．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】用h表示出BC，AQ，列方程解出h．【解答】解：CQ=200sin15°=50（﹣），AQ==h，BC===（2﹣）h﹣50（3﹣5），∴h﹣（2﹣）h+50（3﹣5）=200cos15°=50（+），解得h=150（+）．故答案为：150（+）．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N+，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则实数t的取值范围是（﹣，）．【考点】8H：数列递推式．【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数a n=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数a n=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，再由（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立求得实数t的取值范围．【解答】解：由S n=（﹣1）n a n++n﹣3，得a1=﹣；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n a n++n﹣3﹣（﹣1）n﹣1a n﹣1﹣﹣（n﹣1）+3=（﹣1）n a n+（﹣1）n a n﹣1﹣+1，若n为偶数，则a n﹣1=﹣1，∴a n=﹣1（n为正奇数）；若n为奇数，则a n﹣1=﹣2a n﹣+1=2（﹣1）﹣+1=3﹣，∴a n=3﹣（n为正偶数）．函数a n=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数a n=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，若（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则a1＜t＜a2，即﹣＜t＜．故答案为：（﹣，）．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S3=3a3+2a2，a4=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=log2a n，数列{bn}的前n项和为T n，求使得T n取最大值的正整数n的值．【考点】8I：数列与函数的综合；8E：数列的求和．【分析】（1）利用已知条件求出数列的公比，然后求解通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用，求解数列的最大项，即可得到结果．（法二利用二次函数的性质求解）．【解答】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由已知的S3=3a3+2a2有2a3+a2﹣a1=0，即2a1q2+a1q﹣a1=0，又a1＞0，∴2q2+q﹣1=0，故q=或q=﹣1（舍），…∴a n=a4q n﹣4=（）n﹣7，…6 分（2）由（1）知b n=log2a n=7﹣n，设T n为其最大项，则有：即，得6≤n≤7，故当n=6或7时，T n达到最大．…（法2），亦可给分．18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．（1）求角A的度数；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得4cos2A﹣4cosA+1=0，解得：cosA=，结合A为三角形内角可求A的值．（2）由余弦定理得b2+c2﹣a2﹣bc=0，结合已知可求c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）依题意可得：，…∴整理可得4cos2A﹣4cosA+1=0，∴解得：cosA=，…∴．…（2）由余弦定理得：cosA==，∴b2+c2﹣a2﹣bc=0，∴3+c2﹣（﹣c）2=0，∴3﹣c2+3﹣=0，∴c=，…∴．…19．已知向量满足，||=1，|k+|=|﹣k|，k＞0．（1）求与的夹角θ的最大值；（2）若与共线，求实数k的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量的模，平方展开，推出向量的数量积，然后求解向量的夹角的最大值．（2）通过，说明与夹角为0或π，利用数量积列出方程求解即可．【解答】解：（1）即∴…..∵，当且仅当且k＞0即k=1时等号成立…..此时又y=cosθ在[0，π]上单调递减，从而…．（2）∵，∴与夹角为0或π，…又∵k＞0，∴…20．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A'MN）．现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A'落在边BC上且不与端点B，C重合，设∠AMN=θ．（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A'N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）由题意可知A=，故△AMN为等边三角形，根据BM与AM的关系得出AM，代入面积公式计算；（2）用θ表示出AM，利用正弦定理得出AN关于θ的函数，利用三角恒等变换求出AN取得最小值对应的θ值，再计算MN的长．【解答】解：（1）∵△AMN≌△A'MN，∴∠AMN=∠A′MN=，∴∠BMA′=，∴BM=A′M=AM．∴AM==，∵AB=a，BC=，∠B=，∴∠A=，∴△AMN是等边三角形，∴S=2S△AMN=2×=．（2）∵∠BMA′=π﹣2θ，AM=A′M，∴BM=A′Mcos∠BMA′=﹣AMcos2θ．∵AM+BM=a，即AM（1﹣cos2θ）=a，∴AM==．在△AMN中，由正弦定理可得：，∴，令f（θ）=2sinθsin（﹣θ）=2sinθ（cosθ+sinθ）=sin2θ+=sin（2θ﹣）+．∵，∴当即时f（θ）取最大值，∴当θ=时AN最短，此时△AMN是等边三角形，．21．已知数列{a n}满足（n∈N*），a1=1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若记b n为满足不等式的正整数k的个数，数列{}的前n项和为S n，求关于n的不等式S n＜4032的最大正整数解．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）对条件式取倒数，移项即可得出﹣=，故而数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出即可得出a n；（2）根据不等式得出b n，利用错位相减法求出S n，从而得出S n＜4032的最大正整数解．【解答】解：（1）∵，∴﹣=1，即﹣=，又=1，∴{}是以1为首项，以为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）=n+，∴a n=．（2）∵（）n＜a k≤（）n﹣1，即（）n＜≤（）n﹣1，∴2n﹣1＜k≤2n+1﹣1，∴b n=2n+1﹣1﹣（2n﹣1）=2n，∴=（n+1）2n﹣1，∴S n=2•20+3•21+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，∴2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，两式相减得：﹣S n=2+2+22+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n=2+﹣（n+1）•2n，=﹣n•2n，∴S n=n•2n．∵S n+1﹣S n=（n+1）•2n+1﹣n•2n=（n+2）•2n＞0，∴{S n}单调递增，又S8=2048＜4032，S9=4608＞4032，∴关于n的不等式S n＜4032的最大正整数解为8．22．已知数列{a n}满足a1=1，点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=a1， =+…+（n≥2且n∈N*），求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）对于（2）中的数列{b n}，求证：（1+b1）（1+b2）…（1+b n）＜b1b2…b n（n∈N*）．【考点】8K：数列与不等式的综合；8H：数列递推式．【分析】（1）利用点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上，可得a n+1+1=2（a n+1），从而可得{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可求数列的通项公式；（2）确定=+，即可求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）由（2）可知，（n≥2），b2=a2，证明…＜即可．【解答】（1）解：∵点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上，∴a n+1+1=2（a n+1）∴{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列∴a n=2n﹣1；（2）解：∴=+∴b n+1a n﹣（b n+1）a n+1=0n=1时，b2a1﹣（b1+1）a2=﹣3；（3）证明：由（2）可知，（n≥2），b2=a2∴…=…=••…=2=2（+…+）∵k≥2时，∴+…+=+…+＜1+2[（）+…+（）]=1+2（）＜∴…＜∴．。

湖北省宜昌市长阳县2016-2017学年高一数学3月月考试题试卷共22小题，1~12为四选一的单项选择题，13~16为填空题，17~22为解答题，总分150，时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-2．若0.52a =，3log π=b，2log 2c =，则有（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．已知向量与向量满足1||=，2||=，-⊥(），则与的夹角是（ ）A.6π B. 4π C. 2π D. 3π4．、在△ABC中，b =，，C=600，则A 等于 （ ） A ．1500B ．750C ．1050D ．750或10505．已知函数()()21,02log 2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩，若()02f x =，则0x =（ ） A ． 2或1- B ．2 C ． 1- D ．2或1 6．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2+a 5＝4，a n ＝33，则n 为( ) A ．50B ．49C ．48D ．477．在△ABC 中，若2sin sin cos2AB C =，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形8．在等差数列=++=++=++963852741,29,45,}{a a a a a a a a a a n 则中（ ） A 、13 B 、18 C 、20 D 、22CBA PN9．如右下图，在ABC ∆中，NC AN 21=,P 是BN 上的一点，若m 92+=,则实数m 的值为 （ ）A.3B. 1C. 31D. 9110．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ． 1 B ． 0或32 C ． 32 D ． 5log 211．已知向量()sin ,2a θ=- ，()1,cos b θ= ，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3 12．在ABC ∆中，090C ∠=,且3CA CB ==,点M 满足2BM AM =，则CM CA ⋅= （ ）A ．18B ．3C ．15D ．9第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上。