12章_分式与分式方程

12.4分式方程教学目标【知识与能力】1.理解分式方程的概念及意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法.【过程与方法】1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型.2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.【情感态度价值观】通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.教学重难点【教学重点】可化为一元一次方程的分式方程的解法.【教学难点】理解解分式方程时可能无解的原因.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件1】小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2km,才能到学校,路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.教师提出问题:(1)上述问题中有哪些等量关系?(2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.(3)如果设小红步行的时间为x h,又应该怎么列方程?在活动中教师要关注:(1)学生是否能将实际问题转化为数学问题;(2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程?(3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?[设计意图]先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望.导入二:【课件2】西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x天,工程总量为1,如何列方程呢?三个徒弟都给出了自己的答案:孙悟空:2x +x x+3=1;猪八戒:2x +2x+3=1;沙和尚:21x +1x+3+x -2x+3=1.师傅表扬了徒弟积极动脑,并说道:有一位徒弟的结论是错误的,你知道谁的错了吗? 同学们分析这个问题列出的方程还是整式方程吗?该如何解呢?[设计意图] 创设故事情境导入,将所出现的方程与整式方程比较,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.二、新知构建：探究一:分式方程及其解法思路一1.分式方程【课件3】 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建立方程. 〔解析〕 设江水的流速为v 千米/时,则轮船顺流航行的速度为(30+v )千米/时,逆流航行的速度为(30-v )千米/时,顺流航行90千米所用的时间为9030+v 小时,逆流航行60千米所用的时间为6030-v 小时.可列方程9030+v =6030-v .教师提问:刚才我们所接触的方程38-21-x =9×2x ,38-29x +2x =1,9030+v =6030-v 与以前所学的整式方程有何不同?学生思考,议论后在全班交流.归纳:该类方程分母含有未知数.教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.[知识拓展] (1)理解分式方程要明确两点:①是方程;②分母中含有未知数(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程统称为有理方程.2.分式方程的解法【课件4】如何解分式方程38-21-x =9×2x 和38-29x +2x =1呢? 在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.引导学生进一步分析:把方程的两边乘最简公分母可将分式方程化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.说明:教师提出问题后,鼓励学生寻求解决问题的方法,引导学生将分式方程转化为整式方程,学生自然会想到“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求验根.在活动中教师要关注:(1)学生能否从所列方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母中含有未知数”;(2)学生能否有利用“转化思想”解决问题的意识;(3)学生是否能够认真倾听别人的见解,从中获取知识.归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.[设计意图] 怎样解分式方程?这是本节的核心问题.这里又一次让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,划归到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决.思路二1.分式方程38-21-x =9×2x ,38-29x +2x =1有什么特点? 学生观察,回答:(1)分母含有未知数,(2)是方程.教师引导学生概括:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).提问:你还能举出一个分式方程吗?【课件5】 判断下列各式哪个是分式方程.(1)x +y =5; (2)x+25=2y -z 3; (3)1x ; (4)y x+5; (5)1x +2x =5. 根据相关定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.2.分式方程的解法学生自主探索,并尝试选分式方程求解【课件6】解方程1+x 5+x =12.解:两边同乘最简公分母2(x +5)得:2(x +1)=5+x ,2x +2=5+x ,x =3.检验:把x =3代入原方程左边=1+35+3=12,右边=12,左边=右边.所以x =3是原分式方程的解. 学生尝试去分母,将分式方程转化为整式方程,再求整式方程的解.结合解一元一次方程时检验的方法,教师提醒学生解完分式方程后进行检验.【课件7】 如何解课件3中所列出的分式方程?解:方程的两边同乘(30+v )(30-v ),得90(30-v )=60(30+v ),解得v =6.检验:将v =6代入分式方程中,左边=52,右边=52,左边=右边,因此v =6是原分式方程的解. 师生共同分析、求解,进一步归纳:解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法.探究二:分式方程的增根【课件8】 解分式方程x+1x -1=x -31-x +1.教师提出问题,让学生解方程.解:方程两边同乘x-1,得x +1=-(x-3)+(x-1),解这个整式方程,得x =1.师:x =1是方程的解吗?为什么?说明:学生先独立解决,然后提出自己的看法,进行小组讨论.在学生讨论期间,教师应到学生中,参与学生的数学活动,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并懂得在解分式方程时一定要进行验根.归纳:在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,再将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当公分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.【课件9】解方程:2x+2-2-x2+x =3.解:方程两边同乘x +2,得2-(2-x )=3(x +2),解这个整式方程,得x =-3,经检验,x =-3是原分式方程的根.[知识拓展] (1)检验的方法有两种:①把未知数的值代入所乘最简公分母中,最简公分母为0是增根,舍去.最简公分母不为0的未知数的值就是原分式方程的解.②把未知数的值代入原方程,若左右两边的值相等,则这个未知数的值就是原方程的根;若某个分式的分母为0,则这个未知数的值就是增根,舍去.(2)解分式方程时,必须注意以下几点:①若分式方程中的分母是多项式,应先对各分母因式分解,再寻求最简公分母;②将一个分式方程的两边同时乘最简公分母时,每一个式子都应乘到,不要漏乘,特别是不要漏乘没有分母的项;③解含字母系数的分式方程时,字母系数应视为具体数处理;④解分式方程时,检验这一步必不可少,它是解分式方程的一个重要步骤.三、课堂小结：解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的根,必须舍去.[设计意图] 学生通过回顾,自己总结,实现了自我评价,让对本节知识学得不是很好的学生有所收获.。

分式与分式方程概念引入回忆一元一次方程的解法，并且解方程163242=--+x x2．看下面的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与 以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分式概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A叫做分式．注意：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零．（分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当0≠B 时，分式B A 才有意义；当B=0时，分式B A无意义）含分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程注意：分母是否含有末知数是区别分式方程与整式方程的关键。

1、下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？322x x =-，734=+y x ，x x 321=-，1)1(-=-x x x ，23x x =-π，10512=-+x x ，21=-x x ，1312=++x x x分式方程解法例1．解分式方程：1221242+=+-++xx x x x 。

分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。

例2．解方程32215443++-++=++-++x x x x x x x x 。

解法1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母 解法2：方程两边分别通分，得解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。

例3.解方程：xx 332=- [例24.解方程：)2)(1(311+-=--x x x x 1．解分式方程的基本思想−−−−→−转化2．解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。

所以，必须验根。

产生增根的原因： 当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零．．．．的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．检验根的方法：将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

冀教版八年级数学上册第十二章分式与分式方程练习题（附答案）1．已知＝3，求的值．2．（1）计算：（﹣2）3÷（）﹣1+（）﹣2﹣|﹣2|+（2022﹣π）0；（2）解分式方程：＝1．3．（1）化简：；（2）下面是小明计算分式的过程，请认真阅读，完成下列任务：解：原式＝……第一步＝……第二步＝x﹣x……第三步＝0．……第四步任务一：①第一步变形采用的方法是；②第步开始出现错误；任务二：③请直接写出正确的结果，该结果是．4．先化简，再求值：，其中x＝1．5．“芒果正宗，源自田东”．田东的桂七芒果，皮薄肉细，多汁香甜、营养丰富、品质上乘，被誉为“果中一绝，果之上品”．现某芒果园有甲、乙两支专业采摘队，已知甲队比乙队每天多采摘600公斤芒果，甲队采摘28800公斤芒果所用的天数与乙队采摘19200公斤芒果所用的天数相同．问甲、乙两队每天分别可采摘芒果多少公斤？6．（1）计算：；（2）解分式方程：．7．阅读以下材料，并解答下列问题：下列一组方程：①x+＝3，②x+＝5，③x+＝7，…，小贤通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解答过程如下：由①x+＝1+2得x＝1或x＝2；由②x+＝2+3得x＝2或x＝3；由③x+＝3+4得x＝3或x＝4．（1）若n为正整数，请直接写出第n个方程及其方程的解．（2）若n为正整数，关于x的方程x+＝2n﹣2的一个解是x＝7，求n的值．8．嵊州榨面是嵊州美食的一张名片，某面馆推出两款经典美食榨面，一款是色香味俱全的“炒榨面”，另一款是清香四溢的“汤水榨面”．已知2份“炒榨面”和1份“汤水榨面”需46元；1份“炒榨面”和2份“汤水榨面”需38元．（1）求“炒榨面”、“汤水榨面”的单价．（2）鸭蛋是两款美食必不可少的配料，该面馆老板发现本月的每千克鸭蛋价格比上个月涨了25%，同样花160元买到的鸭蛋数量比上个月少了2千克，求本月鸭蛋的价格．9．先化简，再求值：，其中x＝2．10．先化简，再求值：，其中a＝﹣1．11．（1）解分式方程：＝+1；（2）先化简（﹣）÷，然后从2，0，﹣1三个数中选一个合适的数代入化简后的结果中进行求值．12．某工厂计划招聘甲、乙两种工人生产同一种零件，每小时甲种工人比乙种工人多生产10个零件，甲种工人生产150个这种零件所用时间与乙种工人生产120个这种零件所用时间相等．（1）甲、乙两种工人每小时各生产多少个这种零件？（2）若该工厂计划招聘90名工人，且甲种工人人数不超过乙种工人人数的2倍，如何招聘才能在10小时内生产最多的这种零件？最多能生产多少个这种零件？13．某村计划对面积为1600m2的农场进行数字化硬件改造升级，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的3倍，如果两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造；（2）若甲队每天改造费用是2.7万元，乙队每天改造费用为0.8万元，要使这次改造的总费用不超过22万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？14．已知，关于x的分式方程＝1．（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1解为整数时，求b的值．15．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．（1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；（2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6与y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m 的值．16．为响应阳光体育运动的号召，某中学从体育用品商店购买一批足球和篮球，购买足球花费了2500元，购买篮球花费了2000元，且购买足球数量是购买篮球数量的2倍，已知购买一个篮球比购买一个足球多花30元．（1）求购买一个足球和篮球各需要花费多少元？（2）该中学决定再次购进足球和篮球共50个，且此次购买足球和篮球的总费用不超过3100元，则该中学此次最多可购买多少个篮球？17．2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3600元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少了10件．（1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价是多少元；（2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为80元，求该商店两次购进的“冰墩墩”玩具全部售完的总利润是多少元？18．为了满足市民的物质需求，某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：甲乙进价（元/袋）m m﹣2售价（元/袋）2013已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于5200元，问至少购进甲种袋装食品多少袋？19．京东快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名分拣工人工作效率的20倍，若用一台机器人分拣8000件货物，比原先16名工人分拣这些货物要少用小时．（1）求一台机器人一小时可分拣多少件货物？（2）受“双十一”影响，石家庄某京东仓库11月11日当天收到快递72万件，为了在8小时之内分拣完所有快递货物，公司调配了20台机器人和20名分拣工人，工作3小时之后，又调配了15台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由．20．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？。

分式与分式方程专题一、分式基本知识1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。

（1）分式与整式最本质的区别：分式的分母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。

（2）分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。

（3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零。

2、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） （1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。

（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3、分式的通分和约分：关键先是分解因式（1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。

（2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式（3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。

（4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。

4、分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。

注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分C B C A B A ⋅⋅=CB CA B A ÷÷=鑫鹏学校母中的部分项的符号。

5、分式的运算：（1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

（2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

（3）分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

（4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算（5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

分式方程及其应用一、基本概念1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程。

2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母,在方程的两边都乘以 ，约去分母,化成整式方程; （2）解这个整式方程；（3)验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3。

用换元法解分式方程的一般步骤:① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用:分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2)检验所求的解是否 。

二、题型分类考点一:分式方程题型（一)分式方程去分母 1、解分式方程22311x x x时,去分母后变形为（ ）。

A ．()()1322-=++x xB ．()1322-=+-x xC ．()()x x -=+-1322D ．()()1322-=+-x x 2、下列方程是分式方程的是（ ）A ．0322=--x xB ．13-=x x C ．x x =1 D ．12=-πx题型（二)解分式方程用常规方法解下列分式方程：25211111 332552323x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；题型（三）分式方程的解 1。

已知方程261=311xax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－22。

方程13462232622+++++++x x x x x x -5=0的解是( ）A 。

无解 B. 0 ， 3 C 。

—3 D 。

0, ±33。

如果)2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A 那么A-B 的值是（ ) A ．34 B 。

35C. 41 D 。

分式方程题目分式方程总课时 4教材分析教材是以一元一次方程的解法为基础解可化为一元一次方程的分式方程，只是需把分式方程化成整式方程，注意重新旧知识的联系与区别，注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法。

至于解分式方程时产生增根的原因只让学生了解就可以了，重要的是应让学生掌握验根的方法.要使学生掌握解分式方程的基本思路是将分式方程转化整式方程，具体的方法是“去分母”，即方程两边统称最简公分母.学情分析使学生能够由简入深，逐步掌握列分式方程解决实际问题，增强学习兴趣。

适应素质教育的要求，培养探究式的学习方法，在课堂上为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生还是要地分析、解决实际问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够地完成任务.特别是题目中的数量关系清晰，放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力.教学目标知识目标：经历分式方程概念、分式方程的解法过程，会解可化为一元一次方程的分式方程的解法，会检验根的合理性，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.能力目标: 在学生掌握基本概念、基本方法的基本上将知识融会贯通，通过反思、反馈、的方法进一步提高运算能力。

培养学生的分析和归纳能力。

情感与态度：培养学生对知识综合掌握、综合运用的能力，提高学生的运算能力，培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取。

进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题．重点会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.难点会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.课前准备课前充分预习一元一次方程的解法,注重新旧知识的联系.教学流程分课时环节与时间教师活动学生活动△设计意图◇资源准备□评价○反思第一课时一、情景引入5分二、例题讲解：15分三、练习16分四、小结2′五、布置作业2分1．回忆一元一次方程的解法2．引言的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程vv-=+206020100.像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程，引出出课题。

分式及其基本性质学习目标：1、能正确说出分式的概念，会判断一个代数式是否为分式。

2、掌握分式有意义、无意义及分式值为零的条件。

3、掌握分式的基本性质。

学习重点：分式的定义学习难点：分式有意义、无意义及分式值为零的条件的应用。

一、自主学习（分式的概念）： 观察：1.107、20033、45-等是 ，分母中 字母 2.式子S a 、V S、10020v +、6020v -等分母中 字母 归纳: 分式的定义： 一般地，我们把形如______的代数式叫做分式，其中A 、B 都是______且B 中含有________ ，A 叫做分式的______ B 叫做分式的 ____自学检测1、在代数式－3x 、22273x y xy -、18x -、5x y -、x y 、35y +、2xx 中是整式的有 ， 是分式的有________________ 2、下面的式子哪些是分式？二、自主学习（分式有意义、无意义及分式值为零的条件）1、分式有意义的条件： ，如 有意义的条件是_________2、分式无意义的条件： 如 无意义的条件是_________3、分式值为零的条件： 如 112+-m m 分式值为零的条件是________自学检测1 填空：当x 时，分式x 52有意义；当x 时，分式22-x x 有意义； sb -2π3y x +32S 5122+x cb +545-1222-+-x y xy x 132-x 23+x 23+x当x 时，分式x252-有意义；当x 、y 满足关系 时，分式y x y x 2-+有意义；2 当m 为何值时，分式的值为0 （1）1-m m （2）32+-m m （3） （4） （5）3. 当x 取何值时，下列分式有意义？（1） （2） （3）4、已知分式242+-x x ，（1）当为何值时，分式有意义；（2）当为何值时，分式无意义；三、自主学习（分式的基本性质）分式的基本性质： 分式的 与 都乘（或除以） 的整式，分式的值不变。

第十二章 分式和分式方程 12．1 第1课时 分式及其基本性质知识点 1 分式的概念1．2017·贺州 下列式子中是分式的是( ) A.1π B.x 3 C.1x －1D.252．下列各式中，哪些是分式，哪些是整式？ ①2019x ；②a π；③－x －3x ；④x 2＋y ；⑤1＋y x －y ；⑥2m 2m .知识点 2 分式有(无)意义的条件3．已知分式1x ＋2，当分母x ＋2≠________，即x ≠________时，分式有意义；反之，当x ＝________时，分式无意义．4．当x ________时，分式xx －5有意义；当x ______时，分式x ＋2x －1无意义．5．x 取何值时，下列分式有意义：(1)x ＋22x －3； (2)6（x ＋3）|x |－12； (3)x ＋6x 2＋1.知识点 3 分式的值为0的条件6．已知分式x －2x ＋1，当分子x －2＝________，且分母x ＋1≠________时，分式的值为0，故分式x －2x ＋1的值为0的条件是________．7．若分式x －yx －1的值为0，则x ，y 需要满足的条件为________．8．对于分式x －a3x －2，当x ＝a 时( )A ．分式的值为0B ．若a ≠23，则分式的值为0C ．分式无意义D ．若a ＝－23，则分式无意义9．当a 取何值时，下列分式的值为0? (1)2a －1a ＋2； (2)|a |－1a 2＋1； (3)|a |－1a －1.知识点 4 分式的基本性质10．填空：(1)b a ＝（ ）am (m ≠0)；(2)（ ）3xy 2＝1xy ；(3)xy ＋x x 2＝y ＋1（ ）. 11．下列各式从左到右的变形不正确的是( ) A ．－－5x 3y ＝5x －3y B.－y －6x ＝y6xC.3x －4y＝－3x 4y D.－23y ＝－23y12．下列式子从左到右的变形一定正确的是( ) A.a b ＝a ＋m b ＋m B.a b ＝acbc C.ak bk ＝a b D.a b ＝a 2b2 13．教材“做一做”变式下列各分式中，与分式xx ＋y的值相等的是( ) A.－x －x －y B.x x －y C ．－x x －y D ．－x y －x14．如果把5x x ＋y 的x 与y 都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值( )A. 不变B. 扩大为原来的50倍C. 扩大为原来的10倍D. 缩小为原来的11015．若等式x x ＋1＝x 2x 2＋x成立，则x 必须满足________．16．不改变分式的值，把分式0.1x ＋0.2y0.3＋y的分子、分母的各项系数都化为整数，得________．17．按要求做题．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正．① 1－3x －x －2；②－x 2－2x ＋3x －1.18．2017·武汉洪山区校级模拟 下列关于分式的判断，正确的是( ) A ．当x ＝2时，x ＋1x －2的值为0B ．无论x 为何值，3x 2＋1的值总为正数C ．无论x 为何值，3x ＋1不可能得整数值D ．当x ≠3时，x －3x有意义19．2018·莱芜若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( ) A .2＋x x －y B .2y x 2 C .2y 33x 2 D .2y 2（x －y ）220．请写出一个同时满足下列条件的分式：(1)分式的值不可能为0；(2)分式有意义时，x 的取值范围是x ≠2；(3)当x ＝0时，分式的值为－1.你所写的分式是________．21．已知甲车用v km /h 的速度跑完AB 两地的路程用了2小时，乙车每小时比甲车慢5 km ，则乙车跑完AB 两地的路程需要________小时．22．已知x ＝－2时，分式x －b x ＋a 无意义，当x ＝4时此分式的值为0.求分式2ba 2－ab 的值．23．王老师在黑板上出了一道题：分式2x ＋6x 2－9和2x －3是不是同一分式？为什么？小强、小明两位同学是这样回答的：小强说：因为2x ＋6x 2－9＝2（x ＋3）（x ＋3）（x －3）＝2x －3，所以分式2x ＋6x 2－9和2x －3是同一分式．小明说：2x －3＝2（x ＋3）（x ＋3）（x －3）＝2x ＋6x 2－9，所以分式2x －3和2x ＋6x 2－9是同一分式．你同意他们的说法吗？若不同意，请说出你的理由．24．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：83＝6＋23＝2＋23＝223 .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：x －1x ＋1，x 2x －1这样的分式就是假分式；再如：3x ＋1，2xx 2＋1这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．如：x －1x ＋1＝（x ＋1）－2x ＋1＝1－2x ＋1；再如：x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝（x ＋1）（x －1）＋1x －1＝x ＋1＋1x －1.解决下列问题：(1)分式2x 是________分式(填“真”或“假”)；(2)假分式x －1x ＋2可化为带分式________的形式；(3)如果分式2x －1x ＋1的值为整数，那么x 的整数值为________．教师详解详析1．C2．解：分式：①③⑤⑥.整式：②④.3．0 －2 －2 [解析] 分式有意义的条件是分母不等于0，分式无意义的条件是分母等于0.4．≠5 ＝1 [解析] xx －5有意义，则x －5≠0，解得x ≠5；分式x ＋2x －1无意义，则x －1＝0，解得x ＝1.5．解：(1)要使x ＋22x －3有意义，则2x －3≠0，解得x ≠32，即当x ≠32时，x ＋22x －3有意义．(2)要使6（x ＋3）|x |－12有意义，则|x |－12≠0，解得x ≠±12，即当x ≠±12时，6（x ＋3）|x |－12有意义．(3)要使x ＋6x 2＋1有意义，则x 2＋1≠0，x 取任意实数时，x ＋6x 2＋1均有意义．6．0 0 x ＝2 [解析] 分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0. 7．x ＝y 且x ≠1 [解析] 由题意，得x －y ＝0且x －1≠0，解得x ＝y 且x ≠1. 8．B9．解：(1)∵分式2a －1a ＋2的值为0，∴2a －1＝0且a ＋2≠0，解得a ＝12.∴当a ＝12时，分式2a －1a ＋2的值为0. (2)∵分式|a |－1a 2＋1的值为0，∴|a |－1＝0且a 2＋1≠0，解得a ＝±1.∴当a ＝±1时，分式|a |－1a 2＋1的值为0. (3)∵分式|a |－1a －1的值为0，∴|a |－1＝0且a －1≠0.解得a ＝－1.∴当a ＝－1时，分式|a |－1a －1的值为0. 10．(1)bm (2)3y (3)x 11．A 12．C13．A [解析] －x －x －y ＝－x －（x ＋y ）＝xx ＋y.故选A.14．A [解析] 分别用10x 和10y 去代换原分式中的x 和y ，得5×10x 10x ＋10y ＝10×5x10（x ＋y ）＝5xx ＋y，可见新分式与原分式的值相等．故选A. 15．x ≠－1且x ≠0 [解析] 当x ≠－1时，等号左边的分式有意义．分式的分子、分母同时乘(或除以)的相同的数或整式不能为0，故x ≠0.16.x ＋2y 3＋10y [解析] 要想将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，可将分式的分子、分母同乘10，即0.1x ＋0.2y 0.3＋y ＝10（0.1x ＋0.2y ）10（0.3＋y ）＝x ＋2y3＋10y.17．解：①3x －1x ＋2；②－x 2＋2x －3x －1.18．B [解析] A 项，当x ＝2时，分母x －2＝0，分式无意义，故A 错误；B 项，分母x 2＋1≥1，因而3x 2＋1的值一定是正数，故B 项正确；C 项，当x ＋1＝1或x ＋1＝－1时，3x ＋1的值是整数，故C 项错误；D 项，当x ＝0时，分母x ＝0，分式无意义，故D 项错误．19．D [解析] 根据分式的基本性质，可知若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，A 项，2＋3x 3x －3y ≠2＋x x －y ，错误；B 项，6y 9x 2≠2y x 2，错误；C 项，54y 327x 2≠2y 33x 2，错误；D 项，18y 29（x －y ）2＝2y 2（x －y ）2，正确．故选D.20．答案不唯一，如2x －2等 21.2v v －5 [解析] 由题意，得AB 两地的路程为2v km ，则乙车跑完AB 两地的路程需要2vv －5小时． 22．解：根据题意得－2＋a ＝0，4－b ＝0，解得a ＝2，b ＝4，故2b a 2－ab ＝84－8＝－2.23．解：不同意.2x －3和2x ＋6x 2－9不是同一分式．理由如下： 在分式2x －3中，分母x －3≠0，即x ≠3. 在分式2x ＋6x 2－9中，分母x 2－9≠0，即x ≠±3.∵两个分式中的x 的取值范围不同， ∴2x －3和2x ＋6x 2－9不是同一分式． 24．(1)真 (2)1－3x ＋2(3)0，－2，2，－4 [解析]2x －1x ＋1＝2x ＋2－3x ＋1＝2－3x ＋1.所以当x ＋1的值为3或－3或1或－1时，分式的值为整数．解得x ＝2或x ＝－4或x ＝0或x ＝－2.第2课时 分式的约分知识点 1 分式的约分1．(1)分式a 3a 中，分子与分母的公因式是________，约去公因式得________；(2)a 2－16a 2＋8a ＋16＝______________(分子、分母分解因式) ＝________．(约去公因式的结果) 2．下列等式中，不成立的是( ) A.2xy 26x 2y ＝y 3x B.x 2－y 2x －y ＝x －y C.x 2－2xy ＋y 2x －y ＝x －yD.xy x 2－xy ＝y x －y3．约分：(1)4x 2y6xy 2z ＝________；(2)y －x （x －y ）3＝________；(3)1－4x 22＋4x ＝________．4．若长方形的面积是x 2－6x ＋9，长方形的长是x 2－9，则长方形的宽是________． 5．将下列分式约分：(1)10a 3bc－5a 2b 3c 2； (2)－2a （a ＋b ）3b （a ＋b ）；(3)（a －x ）2（x －a ）3； (4)x 2－25x 2－10x ＋25.知识点 2 最简分式6．2017·睢宁县期中下列分式是最简分式的是( ) A.1－x x －1 B.x －1x 2－1 C.2x x 2＋1D.42x7．下列分式：4x －34x ，x 2－1x 4－1，x 2＋xy ＋y 2x ＋y ，a 2＋3ab ab －3b 2，3x －y3x ＋y ，最简分式有________个．8．下列分式中，哪些是最简分式，那些不是最简分式？如果不是最简分式，请你将其化成最简分式．(1)12ab ；(2)x ＋y x 2＋y 2；(3)2x －y y 2－4x 2；(4)m 2－2m ＋11－m 2.知识点 3 分式的化简求值9．若x ＝2019，则x 2－1x ＋1的值是________．10．化简m 2－163m －12得______________；当m ＝－1时，原式的值为__________．11．若x 2＋x －2＝0，则5x 2＋x －1的值为________．12．若a ＝2b ≠0，则a 2－b 2a 2－ab 的值为________．13．先化简，再求值： (1)mn ＋n 2m 2－n 2，其中m ＝3，n ＝4；(2)x 2－4x 2＋4x ＋4，其中x ＝3.14．化简16a 2－b 24a ＋b 时，小明、小华两位同学的化简过程如下：小明：16a 2－b 24a ＋b ＝（4a ＋b ）（4a －b ）4a ＋b＝4a －b ；小华：16a 2－b 24a ＋b ＝（16a 2－b 2）（4a －b ）（4a ＋b ）（4a －b ）＝4a －b .对于他俩的解法，你的看法是( )A ．都正确B ．小明正确，小华不正确C ．小华正确，小明不正确D ．都不正确15．已知x 2－3x ＋1＝0，则xx 2－x ＋1的值是( )A.12 B ．2 C.13D ．3 16．分式ax 2－25ay 2bx －5by 化为最简分式为__________．17．若2x ＋3y ＝0，则x －3yx ＋3y＝________．18．已知x －y ＝xy ，则分式2x －5xy －2yy －2xy －x的值是________．19．指出下列解题过程是否存在错误，若存在，请加以改正并写出正确的答案． 题目：当x 为何值时，分式x 2－1（x ＋1）（x －2）有意义？解：x 2－1（x ＋1）（x －2）＝（x －1）（x ＋1）（x ＋1）（x －2）＝x －1x －2.由x －2≠0，得x ≠2.所以当x ≠2时，分式x 2－1（x ＋1）（x －2）有意义．20．2017·东台市月考约分：(1)2a （a －1）8ab 2（1－a ）； (2)（x ＋y ）2－10（x ＋y ）＋25（x ＋y ）2－25.21．已知x ＋y ＝2，x －y ＝12，求2x 2－2y 2x 2＋2xy ＋y 2的值．22．请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式． x 2－4xy ＋4y 2；x 2－4y 2；x －2y .23．“约去”指数：如33＋1333＋23＝3＋13＋2，53＋2353＋33＝5＋25＋3，…你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：a3＋b3a3＋（a－b）3＝a＋ba＋（a－b），试说明此猜想的正确性．[供参考：x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)]教师详解详析1．(1)a a 2 (2)（a －4）（a ＋4）（a ＋4）2 a －4a ＋42．B [解析] 因为x 2－y 2x －y ＝（x ＋y ）（x －y ）x －y ＝x ＋y ，故知选项B 不成立，因此选B .3．(1)2x 3yz (2)－1（x －y ）2 (3)1－2x 2[解析] (1)4x 2y 6xy 2z ＝2x 3yz；(2)y －x （x －y ）3＝－（x －y ）（x －y ）3＝－1（x －y ）2； (3)1－4x 22＋4x ＝（1＋2x ）（1－2x ）2（1＋2x ）＝1－2x 2.4.x －3x ＋3 [解析] x 2－6x ＋9x 2－9＝（x －3）2（x ＋3）（x －3）＝x －3x ＋3. 5．解：(1)10a 3bc －5a 2b 3c 2＝－2a b 2c .(2)－2a （a ＋b ）3b （a ＋b ）＝－2a3b .(3)（a －x ）2（x －a ）3＝（x －a ）2（x －a ）3＝1x －a. (4)x 2－25x 2－10x ＋25＝（x ＋5）（x －5）（x －5）2＝x ＋5x －5. 6．C7．4 [解析] x 2－1x 4－1＝x 2－1（x 2－1）（x 2＋1）＝1x 2＋1，故x 2－1x 4－1不是最简分式；4x －34x ，x 2＋xy ＋y 2x ＋y ，a 2＋3ab ab －3b 2，3x －y3x ＋y是最简分式．8．解：(1)(2)是最简分式；(3)(4)不是最简分式．(3)2x －y y 2－4x 2＝2x －y －（2x －y ）（2x ＋y ）＝－12x ＋y ； (4)m 2－2m ＋11－m 2＝（m －1）2－（m ＋1）（m －1）＝－m －1m ＋1.9．2018 [解析] x 2－1x ＋1＝（x ＋1）（x －1）x ＋1＝x －1＝2019－1＝2018.10.m ＋43 1 [解析] m 2－163m －12＝（m ＋4）（m －4）3（m －4）＝m ＋43 .当m ＝－1时，原式＝－1＋43＝1. 11．5 [解析] ∵x 2＋x －2＝0， ∴x 2＋x ＝2，∴原式＝52－1＝5.12.32 [解析] ∵a ＝2b ≠0，∴a 2－b 2a 2－ab ＝（a ＋b ）（a －b ）a （a －b ）＝a ＋b a ＝2b ＋b 2b ＝32. 13．解：(1)mn ＋n 2m 2－n 2＝n （m ＋n ）（m ＋n ）（m －n ）＝n m －n . 当m ＝3，n ＝4时，原式＝43－4＝－4.(2)x 2－4x 2＋4x ＋4＝（x ＋2）（x －2）（x ＋2）2＝x －2x ＋2. 当x ＝3时，原式＝15.14．B15．A [解析] ∵x 2－3x ＋1＝0，∴x 2＝3x －1， ∴原式＝x 3x －1－x ＋1＝12.16.a （x ＋5y ）b[解析] 原式＝a （x 2－25y 2）b （x －5y ）＝a （x －5y ）（x ＋5y ）b （x －5y ）＝a （x ＋5y ）b .17．－3 [解析] 由已知2x ＋3y ＝0，得3y ＝－2x ，则x －3y x ＋3y ＝x －（－2x ）x －2x ＝3x－x＝－3. 18．1 [解析] 2x －5xy －2y y －2xy －x ＝2（x －y ）－5xy －（x －y ）－2xy ＝2xy －5xy－xy －2xy＝1.19．[解析] 已知中没有明确指出x ＋1≠0，故x ＋1仍有可能为0，所以原式的分子、分母不能同时除以x ＋1，这是产生错误的根源．解：存在错误，分式的分子、分母同除以可能为零的代数式(x ＋1)，扩大了x 的取值范围．正解：由(x ＋1)(x －2)≠0，得x ＋1≠0且x －2≠0，所以x ≠－1且x ≠2.即当x ≠－1且x ≠2时，分式x 2－1（x ＋1）（x －2）有意义．20．解：(1)2a （a －1）8ab 2（1－a ）＝－14b 2.(2)（x ＋y ）2－10（x ＋y ）＋25（x ＋y ）2－25＝[（x ＋y ）－5]2[（x ＋y ）＋5][（x ＋y ）－5]＝x ＋y －5x ＋y ＋5.21．[解析] 先化简，再将已知条件整体代入即可． 解：2x 2－2y 2x 2＋2xy ＋y 2＝2（x ＋y ）（x －y ）（x ＋y ）2＝2（x －y ）x ＋y ，将x ＋y ＝2，x －y ＝12代入2（x －y ）x ＋y ，得原式＝2×122＝12.22．解：答案不唯一，如x 2－4xy ＋4y 2x 2－4y 2＝（x －2y ）2（x ＋2y ）（x －2y ）＝x －2yx ＋2y .23．证明：∵a 3＋b 3a 3＋（a －b ）3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）（a ＋a －b ）（a 2－a 2＋ab ＋a 2－2ab ＋b 2） ＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）（a ＋a －b ）（a 2－ab ＋b 2） ＝a ＋ba ＋（a －b ），∴a 3＋b 3a 3＋（a －b ）3＝a ＋b a ＋（a －b ）正确．12.2 第1课时 分式的乘法知识点 分式的乘法1．(1)x 2y ·y x ＝（ ）·（ ）（ ）·（ ）＝________；(2)x x －2·x －2x 2＝（ ）·（ ）（ ）·（ ）＝________． 2．计算a 2b 3·2b 23a 2的结果是( )A.2a 3B.2b 3C.2bD.23b 3．计算x 2－y 2x 2－6x ＋9·2x －6x ＋y 的结果是( )A.x －y x －3B.2x －3C.2x －2y x －3D.2x －y x －3 4．下列计算中错误的是( ) A.8y 23x 2·3x 4y 3＝2xyB.x 2－4x 2－6x ＋9·x ＋3x ＋2＝x －2x ＋3C.x 2－4x x ＋3·x ＋3x －4＝xD.3x x －y ·2y x －y ＝6xy x 2－2xy ＋y 25．化简2x ＋2y 5a 2b ·10ab 2x 2－y 2的结果为________．6．计算：2a a ＋b ·a 2－b 22ab ·1a －b＝________．7．化简2x ＋2y 5a 2b ·10ab 2x 2－y 2·a (x －y )的结果为________．8．计算：(1)－m 2n 3x ·－6xy5mn 2；(2)x －2x ＋3·x 2－9x 2－4x ＋4.9．计算：m 2n 2p ·⎝⎛⎭⎫－np 22m ＝________．10．计算：(1)(－x y )·(－y x )2·x 2y ；(2)x ＋1x ·(2x x ＋1)2.11．已知x －3y ＝0，求2x ＋yx 2－2xy ＋y 2·(x －y )的值．12．请你先化简，再从－1，0，1，2中选取一个使原式有意义且你又喜欢的数代入求值：m 3－m 2m 2－m ·m ＋11－m 2.13．在学习了分式的乘法之后，老师给出了这样一道题，计算：(a＋1a)(a2＋1a2)(a4＋1a4)(a8＋1a8)·(a2－1)，同学们都感到无从下手，小明将a2－1变形为a(a－1a)，然后用平方差公式很轻松地得出结论．知道他是怎么做得吗？请你写出解题过程．教师详解详析1．(1)x 2 y y x x (2)x x －2 x －2 x 2 1x2．D3．C [解析] 原式＝（x ＋y ）（x －y ）（x －3）2·2（x －3）x ＋y ＝2x －2yx －3.故选C.4．B [解析] x 2－4x 2－6x ＋9·x ＋3x ＋2＝（x －2）（x ＋2）（x －3）2·x ＋3x ＋2＝（x －2）（x ＋3）（x －3）2＝x 2＋x －6x 2－6x ＋9.5.4b ax －ay6.1b [解析] 原式＝2a a ＋b ·（a ＋b ）（a －b ）2ab ·1a －b ＝1b. 7．4b [解析] 原式＝2（x ＋y ）5a 2b ·10ab 2（x ＋y ）（x －y ）·a(x －y)＝4b.8．解：(1)－m 2n 3x ·－6xy 5mn 2＝（－m 2n ）（－6xy ）3x·5mn 2＝6m 2nxy 15mn 2x ＝2my5n .(2)原式＝x －2x ＋3·（x ＋3）（x －3）（x －2）2＝x －3x －2.9．－mp2n10．解：(1)原式＝－x y ·y 2x 2·x 2y ＝－x 3y 2x 2y 2＝－x.(2)原式＝x ＋1x ·4x 2（x ＋1）2＝4xx ＋1.11．解：原式＝2x ＋y （x －y ）2·(x －y)＝2x ＋y x －y .当x －3y ＝0时，x ＝3y ，所以原式＝6y ＋y3y －y ＝7y 2y ＝72. 12．[解析] 原式有意义时，m 不等于－1，0，1.解：m 3－m 2m 2－m ·m ＋11－m 2＝m 2（m －1）m （m －1） ·m ＋1（1－m ）（1＋m ）＝m 1－m ，要使原式有意义，只能取m ＝2，将m ＝2代入m1－m得其值为－2.13．解：原式＝a(a －1a )(a ＋1a )(a 2＋1a 2)(a 4＋1a 4)(a 8＋1a 8)＝a(a 2－1a 2)(a 2＋1a 2)(a 4＋1a 4)(a 8＋1a 8)＝a(a 4－1a 4)(a 4＋1a 4)(a 8＋1a 8)＝a(a 8－1a 8)(a 8＋1a 8)＝a(a 16－1a 16)＝a 17－1a15.第2课时 分式的除法知识点 1 分式的除法1．(1)x y ÷1x ＝xy ·________＝________；(2)1x －1÷x x 2－1＝1x －1·________＝________． 2．2018·藁城模拟 若3－2x x －1÷( )＝1x －1，则( )中的式子为( )A ．－3B ．3－2xC ．2x －3 D.13－2x3．计算：(1)3x －6x 2－4÷x ＋2x 2＋4x ＋4； (2)2x －x 2x ÷(x 2－4)．4．化简：(xy －x 2)÷x 2－2xy ＋y 2xy ÷x 2x －y.5．上海到北京的航线全程为s 千米，乘飞机需要a 小时．而上海到北京的铁路全长为m 千米，乘火车需要b 小时．那么飞机的平均速度是火车的平均速度的多少倍？知识点 2 分式的乘除混合运算 6．计算a ÷a b ·ba 的结果是( )A ．aB ．a 2 C.1a 2 D.b 2a 7．下列式子计算后的结果等于1a3的是( )A ．a ·1a 2÷a 2 B ．a ÷⎝⎛⎭⎫1a 2÷a 2 C ．a ÷1a 2·a 2 D ．a ÷⎝⎛⎭⎫1a 2·a 2 8．计算：(1)8x 2y 4·(－3x 4y 3)÷(－x 2y 2)；(2)b 2a ＋b ÷a a 2－b 2·a 2a －b .9．使式子x ＋3x －3÷x ＋5x －4有意义的x 的值是( )A ．x ≠3且x ≠－5B ．x ≠3且x ≠4C ．x ≠4且 x ≠－5D ．x ≠3，x ≠4且x ≠－510．2018·邢台期末 给定一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x 9y 4……(其中x ≠0)，用任意一个分式做除数，去除它后面一个分式得到的结果是________；根据你发现的规律，试写出第9个分式________．11．许老师讲完了分式的乘除一节后，给同学们出了这样一道题：若x ＝－2019，求代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值．一会儿，小明说：“老师，这道题目中的x ＝－2019是多余的．”请你判断小明的说法是否正确．12．小明在做习题“计算：16mn 2·()÷⎝⎛⎭⎫－8m 2n 33”时，由于不小心，“”处的代数式被污损看不清楚了，他翻开书，得知后面的答案为“5mn 2”，则“”处的代数式为________．教师详解详析1．(1)x x 2y (2)x 2－1x x ＋1x2．B [解析] ∵3－2x x －1÷( )＝1x －1，∴3－2x x －1÷1x －1＝3－2xx －1×(x －1)＝3－2x . ∴( )中式子为3－2x .3．解：(1)原式＝3（x －2）（x －2）（x ＋2）·（x ＋2）2x ＋2＝3.(2)原式＝2x －x 2x ·1x 2－4＝x （2－x ）x ·1（x ＋2）（x －2）＝－1x ＋2.4．解：原式＝－x(x －y)·xy（x －y ）2·x －y x 2＝－y. 5．解：s a ÷m b ＝s a ·b m ＝bs am.答：飞机的平均速度是火车的平均速度的bsam 倍．6．D [解析] 原式＝a·b a ·b a ＝b 2a.7．A [解析] A 项，原式＝1a ·1a 2＝1a 3，符合要求；B 项，原式＝a÷⎝⎛⎭⎫1a 2·1a 2＝a÷1a 4＝a·a 4＝a 5，不符合要求；C 项，原式＝a·a 2·a 2＝a 5，不符合要求；D 项，原式＝a÷1＝a ，不符合要求．8．解：(1)原式＝8x 2y 4·(－3x 4y 3)·(－2x 2y )＝12x.(2)原式＝b 2a ＋b ·（a ＋b ）（a －b ）a ·a 2a －b ＝ab 2.9．D [解析] 由题意，得x －3≠0，x －4≠0，x ＋5≠0，解得x ≠3，x ≠4，x ≠－5. 10．－x 2y x 19y911．解：小明的说法正确． 因为x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2＝ （x ＋2）（x －2）x 2＋x ＋1·x （x 2＋x ＋1）x （x －2）·1x ＋2＝1，即当x ≠0且x ≠±2时，分式的值都是1，所以小明的说法是正确的． 12．－5m 26n[解析] 5m n 2·⎝⎛⎭⎫－8m 2n 33÷16mn 2＝5m n 2·⎝⎛⎭⎫－8m 2n 33·116mn 2＝－8m 2n 3·5m 3×16mn 2·n 2＝－5m 26n .12.3 第1课时 分式的加减知识点 1 同分母分式的加减1．(1)1a ＋2a ＝（ ）＋（ ）a ＝________；(2)a ＋3a ＋2－a －1a ＋2＝（ ）－（ ）a ＋2＝________； (3)a a －5＋55－a ＝a a －5－________＝（ ）a －5＝________． 2．2017·大连 计算3x （x －1）2－3（x －1）2的结果是( )A.x （x －1）2B.1x －1C.3x －1D.3x ＋13．下列计算正确的是( ) A.1a ＋1a ＝12aB.1（a －b ）2＋1（b －a ）2＝0C.m －n a －m ＋n a ＝0D.1a －b ＋1b －a ＝0 4．计算：(1)2a －1a ＋1a ＝________；(2)x 2x －2＋42－x ＝________； (3)a ＋b a －b －a b －a －b a －b ＝________． 5．填空：1a 2－1＋________＝a －2a 2－1；________－32xy ＝42xy. 6．2018·宣化模拟若y ＝－x ＋3，且x ≠y ，则x 2x －y ＋y 2y －x 的值为________．7．计算：(1)2x x －2－3x －2x －2；(2)a 2－1a 2－2a ＋4a －52a －a 2.知识点 2 分式的通分8．将分式1a ＋b ，a a 2－b 2，bb －a 通分时，应选的公分母是( )A ．(a 2－b 2)(a ＋b )(a －b )B ．(a 2－b 2)(a ＋b )C ．(a 2－b 2)(b －a )D ．a 2－b 2 9．将b 3a ，－ab2c 通分可得__________．10．通分：(1)a 2b ，25a 2b 2c ； (2)1x 2－x ，－1x 2－2x ＋1.知识点 3 异分母分式的加减11．(1)1a ＋1b ＝（ ）ab ＋a （ ）＝a ＋b （ ）；(2)1x －1－1x ＝（ ）x （x －1）－x －1（ ）＝1（ ）. 12．分式1x ＋1x （x －1）的化简结果为( )A ．x B.1x 2 C.1x －1 D.xx －113．化简a b －b a －a 2＋b 2ab 的结果是( )A ．0B ．－2bC ．－2b a D.2ba14．计算：a a ＋2－4a 2＋2a＝________．15．某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树m 棵，实际每小时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10棵，那么实际比原计划提前了________小时完成任务．(用含m 的代数式表示)16．下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：2x ＋2－x －6x 2－4＝2（x －2）（x ＋2）（x －2）－x －6（x ＋2）（x －2）…第一步＝2(x －2)－x ＋6…第二步 ＝2x －4－x ＋6…第三步 ＝x ＋2.…第四步小明的解法从第__________步开始出现错误，正确的化简结果是__________． 17．计算：(1)a ＋b ab －b ＋cbc ；(2)2x －2－8x 2－4；(3)x 2－2x ＋1x 2－1＋2x ＋1.18．计算：a a ＋b －c ＋b b －c ＋a ＋c c －a －b＝________．19．甲、乙两人同时从A 地出发到B 地，如果甲的速度v 保持不变，而乙先用12v 的速度到达中点，再用2v 的速度到达B 地，那么下列结论中正确的是( )A ．甲、乙同时到达B 地 B ．甲先到达B 地C ．乙先到达B 地D ．谁先到达B 地与速度v 有关20．已知3x －5（x －3）（x ＋1）＝a x －3＋bx ＋1，则a 2＋b 2的值是________．21．某水果店原来苹果的进价为a 元/千克(a ＞2)，每千克加价2元售出，现在苹果的进价上涨了b 元/千克，该水果店打算在原零售价的基础上再上涨b 元/千克，那么：(1)原来苹果的利润率是多少？ (2)现在苹果的利润率是多少？ (3)苹果的利润率是提高了还是降低了？22．(1)计算11－x ＋11＋x的值；(2)通过以上计算请你用一种你认为比较简便的方法计算m 的值：m ＝11－x ＋11＋x＋21＋x 2＋41＋x 4.23．教材复习题B 组第2题变式我们把分子为1的分数叫做单位分数，如12，13，14，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如12＝13＋16，13 ＝14＋112，14＝15＋120，… (1)根据对上述式子的观察，你会发现15＝1□＋1○，请写出□，○所表示的数(□＜○)；(2)进一步思考，单位分数1n ＝1△＋1☆，(n 是不小于2的正整数)请写出△，☆所表示的式子(△＜☆)，并对等式加以验证．教师详解详析1．(1)1 2 3a (2)a ＋3 a －1 4a ＋2(3)5a －5 a －5 1 2．C3．D [解析] 1a ＋1a ＝2a ，故A 选项错误；1（a －b ）2＋1（b －a ）2＝2（a －b ）2，故B 选项错误；m －n a －m ＋n a ＝（m －n ）－（m ＋n ）a ＝－2n a ，故C 选项错误；1a －b ＋1b －a ＝1a －b －1a －b＝0，故D 选项正确． 4．(1)2 (2)x ＋2 (3)2aa －b5.a －3a 2－1 72xy [解析] a －2a 2－1－1a 2－1＝a －2－1a 2－1＝a －3a 2－1；42xy ＋32xy ＝72xy. 6．3 [解析] 由y ＝－x ＋3，得x ＋y ＝3，原式＝x 2x －y －y 2x －y ＝x 2－y 2x －y ＝（x ＋y ）（x －y ）x －y ＝x ＋y ＝3.7．解：(1)原式＝2x －（3x －2）x －2＝－x ＋2x －2＝－1.(2)原式＝a 2－1－4a ＋5a 2－2a ＝（a －2）2a （a －2）＝a －2a .8．D 9.2bc 6ac ，－3a 2b6ac[解析] ∵两个分式的分母分别为3a ，2c ， ∴各系数的最小公倍数为3×2＝6. 又∵a ，c 的最高次数为1，∴最简公分母为6ac .将b 3a ，－ab 2c 通分可得2bc 6ac ，－3a 2b 6ac . 10．解：(1)a 2b ＝5a 3bc 10a 2b 2c ，25a 2b 2c ＝410a 2b 2c .(2)1x 2－x ＝x －1x （x －1）2，－1x 2－2x ＋1＝－xx （x －1）2. 11．(1)b ab ab (2)x x (x －1) x (x －1)12．C [解析] 原式＝x －1x （x －1）＋1x （x －1）＝x －1＋1x （x －1）＝x x （x －1）＝1x －1.13．C [解析] 原式＝a 2－b 2－a 2－b 2ab ＝－2ba.14.a －2a [解析] a a ＋2－4a 2＋2a ＝a a ＋2－4a （a ＋2）＝a 2a （a ＋2）－4a （a ＋2）＝a 2－4a （a ＋2）＝（a ＋2）（a －2）a （a ＋2）＝a －2a .15.2400m （m ＋10）[解析] 根据题意，得240m －240m ＋10＝240（m ＋10）m （m ＋10）－240m m （m ＋10）＝2400m （m ＋10）.16．二1x －2 [解析] 2x ＋2－x －6x 2－4＝2（x －2）（x ＋2）（x －2）－x －6（x ＋2）（x －2）＝2（x －2）－（x －6）（x ＋2）（x －2）＝2x －4－x ＋6（x ＋2）（x －2）＝x ＋2（x ＋2）（x －2）＝1x －2.于是可得，小明的解法从第二步开始出现错误，正确的化简结果是1x －2.17．解：(1)原式＝c （a ＋b ）abc －a （b ＋c ）abc ＝（ac ＋bc ）－（ab ＋ac ）abc ＝bc －ab abc ＝c －aac .(2)原式＝2（x ＋2）（x －2）（x ＋2）－8（x －2）（x ＋2）＝2（x ＋2）－8（x －2）（x ＋2）＝2（x －2）（x －2）（x ＋2）＝2x ＋2.(3)原式＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）＋2x ＋1＝x －1x ＋1＋2x ＋1＝x ＋1x ＋1＝1.18．1 [解析] a a ＋b －c ＋b b －c ＋a ＋c c －a －b ＝a a ＋b －c ＋b a ＋b －c －ca ＋b －c ＝a ＋b －c a ＋b －c＝1.19．B [解析] 设从A 地到B 地的距离为2s ，因为甲的速度v 保持不变，∴甲所用的时间为2s v .∵乙先用12v 的速度到达中点，再用2v 的速度到达B 地，∴乙所用的时间为s 12v ＋s 2v ＝2s v ＋s 2v >2sv ，∴甲先到达B 地．故选B .20．5 [解析]a x －3＋bx ＋1＝（a ＋b ）x ＋（a －3b ）（x －3）（x ＋1）＝3x －5（x －3）（x ＋1），所以⎩⎨⎧a ＋b ＝3，a －3b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a 2＋b 2＝5. 21．解：(1)原来苹果的利润率是2a .(2)现在苹果的利润率是2＋ba ＋b.(3)2＋b a ＋b －2a ＝ab －2b a （a ＋b ）＝b （a －2）a （a ＋b ）＞0， 因此苹果的利润率提高了．22．解：(1)原式＝1＋x ＋1－x 1－x 2＝21－x 2. (2)原式＝21－x 2＋21＋x 2＋41＋x 4＝41－x 4＋41＋x 4＝81－x 8.23．解：(1)15＝16＋130，所以□＝6，○＝30. (2)△＝n ＋1，☆＝n(n ＋1)， 可得1n ＝1n ＋1＋1n （n ＋1），右边＝n n （n ＋1）＋1n （n ＋1）＝n ＋1n （n ＋1）＝1n＝左边，所以等式成立．12.3 第2课时 分式的混合运算知识点 1 分式的加减运算 1．化简1x ＋1－1x －1的结果是( )A.2x 2－1 B ．－2x 2－1 C.2x x 2－1 D ．－2x x 2－1 2．化简2x x 2＋2x －x －6x 2－4的结果为( )A.1x 2－4B.1x 2＋2xC.1x －2 D.x －6x －23．甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地到乙地按每小时v 千米的速度行驶，可按时到达；若每小时多行驶a 千米，则可提前________小时到达(填写最简结果)．4．计算：(1)x x 2－4－12x －4；(2)9x －3－x －3；(3)1x －x x －1＋1x 2－x .知识点 2 分式的混合运算5．(1)计算y a －xy ÷a 时，应先算________法，得________，再算________法，结果为________．(2)计算(a －b 2a )·aa －b 时，应先算________法，得________，再算________法，结果为________．6．化简x －4x 2－9÷⎝⎛⎭⎫1－1x －3的结果是( )A ．x －4B ．x ＋3 C.1x －3 D.1x ＋37．当m ＝－5时，分式⎝⎛⎭⎫m ＋2－5m －2·2m －43－m 的值是________． 8．计算：a a －2÷(1＋4a 2－4)＝________．9．计算：(1)⎝⎛⎭⎫x x －1－1x 2－x ÷(x ＋1)；(2)⎝⎛⎭⎫a a ＋2＋1a 2－4÷a －1a ＋2；(3)a －b a ＋2b ÷a 2－b 2a 2＋4ab ＋4b 2－1.10．计算：(1)(a ＋2－5a －2)·2a －43－a ；(2)(x 2x －1－x ＋1)÷4x 2－4x ＋11－x .11．2017·南通 先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫m ＋2－5m －2·2m －43－m ，其中m ＝－12.12．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫a a －b －1÷ba 2－b 2，其中a ＝1＋π，b ＝1－π.13．计算⎝⎛⎭⎫1－11－a ⎝⎛⎭⎫1a 2－1的结果为( ) A ．－a ＋1a B.a －1a C.a1－a D.a ＋11－a14．一项工作，甲单独完成需a 小时，乙单独完成需b 小时，则甲、乙两人合作完成需要( )A.⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 小时B.1ab 小时 C.1a ＋b 小时 D.ab a ＋b小时 15．教材复习题C 组第1题变式已知1x －1y ＝5，则分式2x ＋3xy －2y x －2xy －y 的值为( )A ．1B ．5 C.137 D.13316．(1)化简：(3a ＋1＋a ＋3a 2－1)÷aa －1；(2)若(1)中a 为正整数，分式的值也为正整数，请直接写出所有符合条件的a 的值．17．教材习题A 组第2题变式先化简⎝⎛⎭⎫1－1x －1÷x 2－4x ＋4x 2－1，再从不等式2x －1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值．18．若5x ＋4x 2＋x －2＝A x －1＋Bx ＋2，求A ，B .19．在数学运算中，同学们发现一类特殊的等式．例如：2＋21＝2×21，3＋32＝3×32，4＋43＝4×43，5＋54＝5×54，… (1)特例验证：请再写出一个具有上述特征的等式：________． (2)猜想结论：用含n (n 为正整数)的式子表示上述等式为：________．(3)证明推广：(2)中的等式一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由．教师详解详析1．B [解析]1x ＋1－1x －1＝x －1（x ＋1）（x －1）－x ＋1（x ＋1）（x －1）＝x －1－x －1（x ＋1）（x －1）＝－2（x ＋1）（x －1）＝－2x 2－1.2．C [解析] 原式＝2x ＋2－x －6（x ＋2）（x －2）＝2（x －2）－（x －6）（x ＋2）（x －2）＝x ＋2（x ＋2）（x －2）＝1x －2.3.sa v （v ＋a ） [解析] s v －s v ＋a ＝s v ＋sa －s v v （v ＋a ）＝sav （v ＋a ）.4．解：(1)原式＝2x －（x ＋2）2（x ＋2）（x －2）＝12x ＋4.(2)原式＝9－（x ＋3）（x －3）x －3＝18－x 2x －3.(3)原式＝x －1x （x －1）－x 2x （x －1）＋1x （x －1）＝x －1－x 2＋1x （x －1） ＝－x （x －1）x （x －1）＝－1.5．(1)除 y a －xay 减 y 2－x ay(2)减 a 2－b 2a ·aa －b乘 a ＋b6．D [解析] x －4x 2－9 ÷⎝⎛⎭⎫1－1x －3＝x －4（x ＋3）（x －3） ÷x －3－1x －3＝x －4（x ＋3）（x －3） ·x －3x －4＝1x ＋3. 7．4 [解析] 原式＝m 2－4－5m －2 ·2（m －2）－（m －3）＝（m ＋3）（m －3）（m －2） ·2（m －2）－（m －3）＝－2(m＋3)．当m ＝－5时，原式＝－2×(－5＋3)＝－2×(－2)＝4.8.a ＋2a [解析] 原式＝a a －2÷a 2－4＋4a 2－4＝a a －2·（a ＋2）（a －2）a 2＝a ＋2a . 9．解：(1)原式＝⎣⎡⎦⎤x 2x （x －1）－1x 2－x ·1x ＋1＝x 2－1x （x －1）·1x ＋1＝1x.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－2a （a ＋2）（a －2）＋1（a ＋2）（a －2） ·a ＋2a －1＝（a －1）2（a ＋2）（a －2） ·a ＋2a －1＝a －1a －2. (3)原式＝a －b a ＋2b ·（a ＋2b ）2（a ＋b ）（a －b ）－1＝a ＋2b a ＋b －1＝a ＋2b －（a ＋b ）a ＋b ＝ba ＋b .10．解：(1)原式＝a 2－4－5a －2·2a －43－a ＝()a ＋3()a －3a －2·2()a －23－a ＝－2(a ＋3)＝－2a －6.(2)原式＝x 2－（x 2－2x ＋1）x －1÷（2x －1）21－x ＝2x －1x －1·1－x （2x －1）2＝－12x －1.11．解：⎝⎛⎭⎫m ＋2－5m －2 ·2m －43－m ＝m 2－4－5m －2 ·2（m －2）3－m ＝－（m ＋3）（m －3）m －2·2（m －2）m －3＝－2(m ＋3)．把m ＝－12代入，得原式＝－2×⎝⎛⎭⎫－12＋3＝－5. 12．解：⎝⎛⎭⎫a a －b －1÷ba 2－b2＝⎝⎛⎭⎪⎫a a －b －a －b a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b＝b a －b·（a ＋b ）（a －b ）b＝a ＋b .当a ＝1＋π，b ＝1－π时， 原式＝1＋π＋1－π＝2.13．A [解析] 原式＝1－a －11－a ·1－a 2a 2＝－a 1－a ·（1－a ）（1＋a ）a 2＝－a ＋1a . 14．D [解析] 1÷⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝1÷a ＋b ab ＝aba ＋b(时)． 15．A [解析] 将已知等式整理，得y －xxy＝5，即x －y ＝－5xy ，则原式＝2（x －y ）＋3xy x －y －2xy ＝－10xy ＋3xy－5xy －2xy＝1.16．解：(1)原式＝4a a 2－1·a －1a ＝4a ＋1. (2)由分式的值为正整数可得：a ＋1的值为1或2或4，解得a ＝0或a ＝1或a ＝3.因为a 为正整数，所以a ≠0；当a ＝1时，分式无意义，所以a ≠1，所以a 的值为3.17．解：⎝⎛⎭⎫1－1x －1÷x 2－4x ＋4x 2－1＝x －2x －1·（x ＋1）（x －1）（x －2）2＝x ＋1x －2.∵2x －1＜6，∴2x ＜7，∴x ＜72.由题意，知x ≠±1且x ≠2，所以正整数x 只能取3. 把x ＝3代入上式，得原式＝3＋13－2＝4.18．解：∵A x －1＋Bx ＋2＝A （x ＋2）＋B （x －1）（x －1）（x ＋2）＝Ax ＋2A ＋Bx －B（x －1）（x ＋2）＝（A ＋B ）x ＋（2A －B ）x 2＋x －2，∴5x ＋4x 2＋x －2＝（A ＋B ）x ＋（2A －B ）x 2＋x －2，比较得⎩⎨⎧A ＋B ＝5，2A －B ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝2.19．解：(1)6＋65＝6×65.(2)n ＋1＋n ＋1n ＝(n ＋1)·n ＋1n .(3)等式成立，证明如下： 左边＝n 2＋n n ＋n ＋1n ＝n 2＋2n ＋1n ，右边＝（n ＋1）2n ＝n 2＋2n ＋1n .∴左边＝右边，等式成立．12.4 分式方程知识点 1 分式方程的有关概念 1．下列方程不是分式方程的是( ) A.x －3x ＝1 B.x x ＋1＋1x －1＝1C.3x ＋4y ＝2D.12－x －23＝x 2．已知x ＝2是分式方程kx x －1－2k x ＝2的解，那么k 的值为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 知识点 2 解分式方程3．2018·衡水模拟 在解分式方程3x －1＋x ＋21－x＝2时，去分母后变形正确的是( )A ．3－(x ＋2)＝2(x －1)B ．3－x ＋2＝2(x －1)C ．3－(x ＋2)＝2D ．3＋(x ＋2)＝2(x －1)4．2018·哈尔滨 方程12x ＝2x ＋3的解为( )A ．x ＝－1B ．x ＝0C ．x ＝35D ．x ＝15．2018·安国期末 分式方程6x －1＝x ＋5x （x －1）有增根，则增根为( )A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝1或x ＝0D ．x ＝－56．2017·齐齐哈尔模拟 若关于x 的分式方程x x －2＝2＋ax －2的解为正数，则a 的取值范围是( )A ．a ＞4B ．a ＜4C ．a ＜4且a ≠2D ．a ＜2且a ≠07．当x ＝________时，分式x ＋3x －1的值等于2. 8．若分式2x －1与3x ＋3的值相等，则x ＝_______________.9．在解分式方程x x －3＝2＋3x －3时，雷希同学的解法如下：解：方程两边同时乘(x －3)，得x ＝2＋3，……① 解得x ＝5，……②经检验，x ＝5是原方程的解．……③。

分式与分式方程【知识梳理】分式知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。

知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：C B C ••=A B A ，CB C÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式的通分① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

分式与分式方程一认识分式知识点一分式的概念1、分式的概念从形式上来看，它应满足两个条件：（1）写成的形式（A、B表示两个整式) （2）分母中含有这两个条件缺一不可2、分式的意义（1）要使一个分式有意义，需具备的条件是（2）要使一个分式无意义，需具备的条件是（3）要使分式的值为0，需具备的条件是知识点二、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个分式的值不变用字母表示为AB =,A M A A MB M B B M⨯÷=⨯÷（其中M是不等于零的整式）知识点三、分式的约分1、概念：把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形称为分式的约分2、依据：分式的基本性质注意：（1）约分的关键是正确找出分子与分母的公因式（2）当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。

（3）要会把互为相反数的因式进行变形，如：（x--y ）2=（y--2)2二、分式的乘除法 【巩固训练】 1、要使分式51x -有意义，则x 的取值范围是( )(A)x ≠1 (B)x ＞1 (C)x ＜1 (D)x ≠－12、分式242x x -+的值为0，则x 的取值是A ．2x =-B ．2x =±C ．2x =D ．0x =3、函数y=中自变量x 的取值范围是（ ） A ． x ＞3 B ．x ＜3 C ．x ≠3 D ． x ≠﹣34．式子有意义的x 的取值范围是（ ） 5．分式的值为零，则x 的值为（ ）A ． ﹣1B ．0 C ．±1 D ． 16．当x= 时，分式无意义．7、使式子1+1 x -1有意义的x 的取值范围是 。

8、在函数3xy x =+中，自变量x 的取值范围是 ． 9、已知关于x 的方程123++x nx =2的解是负数，则n 的取值范围为 ． 10、化简：111x x x ---= ． 11、化简212(1)211a a a a +÷+-+-的结果是（ ）A ．11a - B ．11a + C ．211a - D ．211a + 12、 化简：111x x x ---= ． 13、化简的结果为（ ） A ． ﹣1 B ． 1 C ．D ．14、化简+的结果为 ．15、化简分式的结果是（ ）A ．2B ．C ．D ．－216．若m 为正实数，且13m m -=，221m m-则= 17分式方程2102x x-=-的根是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2D ．x ＝－218、分式方程xx 325=-的解是（ ）A ．x =3B ．x =3-C ．x =34D ．x =34-19、分式方程的解是（ ） A ． x =﹣2B ．x =1 C ． x =2 D ． x =320、已知关于x 的方程123++x nx =2的解是负数，则n 的取值范围为 ． 21．分式方程21311x x x+=--的解是_________________．22. 从三个代数式：①222b ab a +-，②b a 33-，③22b a -中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a =6，b =3时该分式的值．23、先化简，再求值：，其中，．24．先化简，再求值：23111x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中x ＝3－2．25．先化简，再求值： (1)12a )111(2++÷+-a a a ，其中a=3－1.6．(2)244412222+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+-a a a a a a a a ,其中a=2－1.26、．先化简，再求值: 22111121x x x x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪---+⎝⎭， 2.x =其中27．解方程：．28.解分式方程：12422=-+-x xx .29．甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是A.8B.7C.6D.530、小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，并且在距离学校60米的地方追上了他。