2017-2018学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷和答案

江苏省苏州市2018年中考数学试卷一、选择题 1. 在下列四个实数中，最大的数是（ ）A . ﹣3B . 0C .D .2. 地球与月球之间的平均距离大约为384000km ，384000用科学记数法可表示为（ ） A .3.84×10 B . 3.84×10 C . 3.84×10 D . 3.8 4×103. 下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A .B .C .D . 4. 若在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A . B . C . D .5. 计算（1+ ）÷ 的结果是（ ）A . x+1B .C .D . 6. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）A .B .C .D .7. 如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是 上的点，若∠BOC=40°，则∠D 的度数为（ ）A . 100°B . 110°C . 120°D . 130°8. 如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC 的长）为（ ）A . 40海里B . 60海里C . 20 海里D . 40 海里9. 如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD= BC ，过AC 中点E作EF ∥CD （点F 位于点E 右侧），且EF=2CD ，连接DF ．若AB=8，则DF 的长为（ ）A . 3B . 4C . 2D . 3345610. 如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数y= 在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E ．若AB=4，CE=2BE ，tan ∠AOD= ，则k 的值为（ ）A . 3B . 2C . 6D . 12二、填空题11. 计算：a ÷a=________．12. 在“献爱心”捐款活动中，某校7名同学的捐款数如下（单位：元）：5，8，6，8，5，10，8，这组数据的众数是________．13. 若关于x 的一元二次方程x +mx+2n=0有一个根是2，则m+n=________．14. 若a+b=4，a ﹣b=1，则（a+1）﹣（b ﹣1）的值为________．15. 如图，△ABC 是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A 落在直尺的一边上，AB 与直尺的另一边交于点D ，BC 与直尺的两边分别交于点E ，F ．若∠CAF=20°，则∠BED 的度数为________°．16. 如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB 和扇形OCD ，点O ，A ，B ，C，D 均在格点上．若用扇形OAB 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r；若用扇形OCD 围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r ， 则 的值为________．17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=2，BC= ．将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C ，则sin ∠ACB′=________．18. 如图，已知AB=8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP=60°．M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M ，N 之间的距离最短为________（结果留根号）．422212三、解答题19. 计算：|﹣ |+﹣（ ） ．20. 解不等式组：21.如图，点A ，F ，C ，D 在一条直线上，AB∥DE ，AB=DE ，AF=DC ．求证：BC ∥EF ．22. 如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．（1） 小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；（2） 小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．23. 某学校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择．为了估计全校学生对这四个活动项目的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中的一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1） 求参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图；（2） 求扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数；（3） 若该校共有600名学生，试估计该校选择“足球”项目的学生有多少人？24. 某学校准备购买若干台A 型电脑和B 型打印机．如果购买1台A 型电脑，2台B 型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A 型电脑，2台B 型打印机，一共需要花费9400元．（1） 求每台A 型电脑和每台B 型打印机的价格分别是多少元？（2） 如果学校购买A 型电脑和B 型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B 型打印机的台数要比购买A 型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B 型打印机？25. 如图，已知抛物线y=x ﹣4与x 轴交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），C 为顶点，直线y=x+m 经过点A ，与y 轴交于点D ．22（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．26. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．27.（1）问题1：如图①，在△ABC中，AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．⑴当AD=3时， =；⑵设AD=m，请你用含字母m的代数式表示．（2）问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4，AD∥BC，AD= BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示 .28. 如图如图①，直线l表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线l上，小明从点A出发，沿公路l向西走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处，最后沿公路l回到点A处．设AE=x米（其中x＞0），GA=y米，已知y与x之间的函数关系如图②所示，（1）求图②中线设线段MN所在直线的函数表达式（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由．参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.。

2017-2018学年江苏省徐州市部分学校七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）1.下列运算正确的是（）a“2.3一5口,2、3一5厂6•2一3 2.3一5A.%•尤—xB.（x）—xC.x—X—XD.x+x—x2.目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m,将0.00000004用科学记数法表示为（）A.4X108B.4X10"C.0.4X108D.- 4X1083.长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A.4B.5C.6D.94.下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（）A.3x（x+y）+3x2+3xyB.- 2x2- 2xy=-2x（x+y）C.（x+5）（x- 5）=/-25D.j+x+l=x（x+1）+15.如图，下列说法中，正确的是（）A.因为匕4+匕。

=180°,所以AD//BCB.因为NC+ZD=180°,所以A3〃CQC.因为ZA+ZD=180°,所以A8〃C£>D.因为ZA+/C=180°,所以AB//CD6.如图，直线a〃仇将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若4=58°，则Z2的度数为（）A.30°B.32°C.42°D.58°7.如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b）,宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和。

类卡片的张数分别为（）归RA.2,3,7B.3,7,2C.2,5,3D.2,5,78.如果(-99)°,b=(-0.1)t-2,那Q,b,C三数的大小为(A.a>b>cB.c~>a>bC.C<Z?<6ZD.a>c>b二、填空题(本大题共有8小题，每小题4分，共32分)9.在ZXABC中，£4=40°,ZB=60°,则ZC=°.10.若正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是.11.若(x-4)(x+7)=X1+mx+n,贝!]m+n=.12.若x+y=3,则2七2＞的值为.13.将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC//DE,则ZACE的度数为14.已知单项式I*?/3与-5x2y2的积为以社时，那么m-n=.15.若4】-g+9是完全平方式，则m的值是.16.观察下列等式：32-『=8xi；52-32=8X2；72-52=8X3；请用含正整数"的等式表示你所发现的规律：.三、解答题(本大题共有9小题，共84分)17.(16分)计算：⑴(-2)2+(2018-71)0-(y)-1；(2)(-x2)3-x*x5+ (2x3)之；(3)5002-499X501；(4)(x-1)(x2-1)(i+l)・18.(6分)先化简，再求值：(x-1) 2 -2x(%- 3) +(x+2)(x-2),其中x=2.19.(8分)把下列各式分解因式：(1)2a2-50；(2)(a+b)2+4(a+b+1)20.(8分)如图，在方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上.(1)画出△ABC先向右平移6格，再向上平移1格所得的△△'B'C；(2)画出ZXABC的AB边上的中线CZ)和高线CE；(3)AABC的面积为.21.(8分)如图，点E、F分别在48、CD上，AD分别交BF、CE于点、H、G,Z1=Z2,ZB=ZC.(1)探索BF与CE有怎样的位置关系？为什么？(2)探索ZA与ZD的数量关系，并说明理由.22.(6分)已知：a+b=3,ab=l,试求(1)(a-1)(b-1)的值；(2)a3b+ab3的值.23.(10分)(1)填空：31-3°=3‘---->X2,32-31=3'-----5X2,33- 32=3(----->X2,…(2)探索(1)中式子的规律，试写出第"个等式，并说明第n个等式成立；(3)计算：3+32+33+-+32018.24.(10分)阅读材料：若m2-2mn+2ir-8n+16=0,求m、"的值.解：'.*m2-2mn+2rT-8"+16=0,(m2- 2mn+n,')+(«2 -8«+16)=0(m- n)2+(n- 4)2=0,(m-n)2=0,("- 4)2=0,.'.n=4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)a2+b2-4a+4=0,贝!]a=.b=.(2)己知j+2,2-2xy+6y+9=0,求见的值.(3)已知△A BC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+&2- 4a-6Z?+ll=0,求/XABC的周长.25.(12分)(1)如图1,在△ABC中，ZDBC与4CB分别为△A3。

2017-2018学年第一学期期末测试卷初二数学一、选择题（每小题2分，本题共16分）1．剪纸是古老的汉族民间艺术,剪纸的工具材料简便普及，技法易于掌握，有着其他艺术门类 不可替代的特性，因而，这一艺术形式从古到今，几乎遍及我国的城镇乡村，深得人民群 众的喜爱.请你认真观察下列四幅剪纸图案, 其中不是．．轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．2. 若代数式4xx -有意义，则实数x 的取值范围是 A ．0x = B ．4x = C ．0x ≠ D ．4x ≠3. 实数9的平方根是A ．3B ．±3C．3± D ．814. 在下列事件中，是必然事件的是A ．买一张电影票，座位号一定是偶数B ．随时打开电视机，正在播新闻C ．通常情况下，抛出的篮球会下落D ．阴天就一定会下雨5. 下列变形中，正确的是A. (23)2＝2×3＝6B.2)52(-＝－52C.169+＝169+ D. )4()9(-⨯-＝49⨯6. 如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值A ．扩大5倍B ．不变C ．缩小5倍D ．扩大4倍7. 如图，将ABC △放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么ABC △中BC 边上的高是A. B. C. D.8. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线按箭头方向向右对折，对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是A. B. C. D.二、填空题（每小题2分,本题共16分）9. 写出一个比3大且比4小的无理数：______________．10. 如图，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，欲证ΔACE ≌ΔDBF ，需要添加条件 ____________,证明全等的理由是________________________；AE P BCD11. 一个不透明的盒子中装有6张生肖邮票，其中有3张“猴票”，2张“鸡票”和1张“狗票”，这些邮票除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张邮票，恰好是“鸡票”的可能性为 .12. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为______________． 13.mn ＝______________． 14. 小明编写了一个如下程序：输入x →2x →立方根→倒数→算术平方根→21， 则x 为 .15. 如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，点E 是AC 边上的中点. 如果点P 是AD 上的动点，那么EP+CP 的最小值 为______________．16. 如图，OP =1，过P 作OP PP ⊥1且11=PP ，根据勾股定理，得21=OP ；再过1P 作121OP P P ⊥且21P P =1，得32=OP ；又过2P 作232OP P P ⊥且132=P P ，得 =3OP 2；…依此继续，得=2018OP ， =n OP （n 为自然数，且n ＞0）三、解答题（本大题共9小题，17—25小题，每小题5分，共45分） 17．计算：238)3(1230-+----π18. 计算：1)P 4P 3P 2PP 1O19. 如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上. AB ∥DE ，∠B =∠E ，AF=DC. 求证：BC =EF .20. 解分式方程：3x 3x 211x x +=-+21. 李老师在黑板上写了一道题目，计算：23311x x x---- .小宇做得最快，立刻拿给李老 师看，李老师看完摇了摇头，让小宇回去认真检查. 请你仔细阅读小宇的计算过程，帮 助小宇改正错误．23311x x x ----=()()33111x x x x --+-- （A ） =()()()()()3131111x x x x x x +--+-+- （B ） = 33(1)x x --+ （C ） = 26x -- （D ）（1） 上述计算过程中， 哪一步开始．．出现错误？ ；(用字母表示) （2） 从（B ）到（C ）是否正确？ ；若不正确，错误的原因是 ； （3） 请你写出此题完整正确的解答过程．D22.如图：在△ABC 中，作AB 边的垂直平分线，交AB 于点E ，交BC 于点F ，连结AF （1（2）你的作图依据是 .（3）若AC=3，BC=5，则△ACF 的周长是23. 先化简，再求值：121112++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a aa ，其中13-=a ．24. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于 DE ⊥AB 于E, 当时，求DE 的长。

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+√3=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为√2a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-√3a，0），C（√3a，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；√5的圆的方程．（2）以O为圆心且被l截得的弦长为8519.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=√2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1 即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】√15a3【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题 10.【答案】（-∞，-43]∪[52，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a ， 如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB 有交点， 则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥． 故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）． 由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】2√65【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC 是半径，为定值1，要使三角形PAC 的面积最小，则PC 最小， |PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB 面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB 面积最小，则P 为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC ，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x -y +5=0【解析】解：∵∠B 、∠C 的平分线分别是x=0，y=x ，∴AB 与BC 对于x=0对称，AC 与BC 对于y=x 对称． ∴A （3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC 上， A 关于y=x 的对称点A''（-1，3）也在直线BC 上． 代入两点式方程可得，故所求直线BC 的方程：2x-y+5=0． 故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A 关于x=0，y=x ，的对称点的坐标，都在直线BC 上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，4−√3014）∪（4+√3014，+∞） 【解析】解：由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l ：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k 的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．AC=a．因为A（0，a），C（√3a，0），故∠MAC=60°，AD=12△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=3（a+b）．2得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），则{2(2−m)+(2−n)−6=0m−n+3=0，即{2m +n =0m−n=−3，解得m =-1，n =2．即A （-1，2），又l 过点P （1，1），用两点式求得AB 方程为y−12−1=x−1−1−1，即：x +2y -3=0． （2）圆心（0，0）到直线l 的距离d =|0+0−3|√1+4=3√5，设圆的半径为R ，则由R 2=d 2+(4√55)2， 求得R 2=5，故所求圆的方程为x 2+y 2=5．【解析】（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），分别代入直线l 1 和l 2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l 的距离d ，设圆的半径为R ，则由，求得R 的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB 为等腰梯形，PB =3，DC =1，PA =1，则PA ⊥AD ，CD ⊥AD ．又因为面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，故CD ⊥面PAD ．又因为CD ⊂面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． （2）所求的点M 即为线段PB 的中点，证明如下： 设三棱锥M -ACB 的高为h 1，四棱锥P -ABCD 的高为h 2当M 为线段PB 的中点时，ℎ1ℎ2=MB PB =12．所以V M−ACBVp−ABCD=13S MCB ℎ113S ABCD ℎ2=13所以截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V M -ACB =2：1．（3）当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行．证明如下：（反证法）假设PD ∥面AMC ，连接DB 交AC 于点O ，连接MO ． 因为PD ⊂面PDB ，且面AMC ∩面PBD =MO ，所以PD ∥MO ． 因为M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即DOOB =11． 面AB ∥DC ，故DOOB =DCAB =12，故矛盾．所以假设不成立，故当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD ⊥面PAD ；（2）已知V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M-ACB 体积之比为2：1，求出V M-ACB ：V P-ABCD 体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M 点位置．（3）利用反证法证明当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由{y =x −1y=2x−4得圆心C 为（3，2），∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：（x -3）2+（y -2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx -y +3=0， ∴√k 2+1=1∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k （4k +3）=0∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3．即y =3或者3x +4y -12=0．（2）∵圆C 的圆心在在直线l ：y =2x -4上， 所以，设圆心C 为（a ，2a -4），则圆C 的方程为：（x -a ）2+[y -（2a -4）]2=1， 又∵MA =2MO ，∴设M 为（x ，y ）则√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2整理得：x 2+（y +1）2=4设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即：圆C 和圆D 有交点，∴1≤CD ≤3，∴|2−1|≤√a 2+[(2a −4)−(−1)]2≤|2+1|， 由5a 2-12a +8≥0得a ∈R ， 由5a 2-12a ≤0得0≤a ≤125，综上所述，a 的取值范围为：[0，125]． 【解析】（1）求出圆心C 为（3，2），圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．（2）设圆心C 为（a ，2a-4），圆C 的方程为：（x-a ）2+[y-（2a-4）]2=1，设M 为（x ，y ）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。

2017-2018学年江苏省南通中学高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答卷相应位置上．）1．已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是．3．设复数z满足（z﹣1）i=﹣1+i，其中i是虚数单位，则复数z的模是．4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．5．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如表：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则z的值为．6．已知，则=．7．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=．8．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率．9．已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a 的取值范围是．10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M ﹣AB1C的体积是．11．已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是．12．已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则的最小值为．13．已知函数g（x）=，若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是．14．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．二、解答题：（本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1=AB．（1）求证：AB∥平面D1DCC1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC．16．已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．（1）求cos2α的值；（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β．17．如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为．设S的眼睛到地面的距离为米．（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．18．已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．20．设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．II卷（本大题共4小题，每题10分，共计40分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．23．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．=f（a n）24．已知函数f（x）=2x﹣3x2，设数列{a n}满足：a1=，a n+1（1）求证：对任意的n∈N*，都有0＜a n＜；（2）求证： ++…+≥4n+1﹣4．2017-2018学年江苏省南通中学高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答卷相应位置上．）1．已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}2．命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1．【考点】2J：命题的否定．【分析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1．故答案为：∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1．3．设复数z满足（z﹣1）i=﹣1+i，其中i是虚数单位，则复数z的模是．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A3：复数相等的充要条件．【分析】先求出z的代数形式，再求模计算．【解答】解：由（z﹣1）i=﹣1+i，得z=+1=i+1+1=2+i所以|z|=故答案为：4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为4．【考点】EF：程序框图．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2，S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6，不满足退出循环的条件，k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4．故答案为：45．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如表：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则z的值为400．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】由题意可得，解得z的值即可．【解答】解：由题意可得，解得z=400，故答案为：400．6．已知，则=．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】根据α的范围，以及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而确定出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，计算即可得到结果．【解答】解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα=，则tan（﹣α）===．故答案为：7．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=﹣3．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数的性质得f（0）=0，代入解析式求出b的值，利用函数的奇偶性将f（﹣1）转化为f（﹣1）=﹣f（1），然后直接代入解析式即可．【解答】解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=1+b=0，解得b=﹣1，则当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2+2﹣1）=﹣3，故答案为：﹣3．8．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率1﹣．【考点】CF：几何概型．【分析】本题利用几何概型求解．只须求出满足：OQ≥1几何体的体积，再将求得的体积值与整个正方体的体积求比值即得．【解答】解：取到的点到正方体中心的距离小于等于1构成的几何体的体积为：×13=，∴点到正方体中心的距离大于1的几何体的体积为：v=V正方体﹣=8﹣取到的点到正方体中心的距离大于1的概率：P==1﹣．故答案为：1﹣．9．已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（0，] ．【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】根据已知条件可知函数f（x）在R上单调递减，所以对于a x，0＜a＜1；对于（a﹣3）x+4a，a＜3，又a x＞1，所以（a﹣3）x+4a的最大值满足小于等于1，而（a﹣3）x+4a对于x≥0时的最大值为4a，所以4a≤1，所以得到，和前面的0＜a＜1的a的取值求交集即得a 的取值范围．【解答】解：∵对任意x1≠x2，都有＜0成立；∴f（x1）﹣f（x2）与x1﹣x2异号，即x1﹣x2＜0时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）；∴函数f（x）在R上是减函数；∴x＜0时，f（x）=a x，0＜a＜1；x≥0时，f（x）=（a﹣3）x+4a，a﹣3＜0，a＜3，又a x＞1，（a﹣3）x+4a）max=4a≤1，∴；又0＜a＜1，∴0＜a≤；∴a的取值范围是．故答案为：．10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由，利用等积法能求出三棱锥M﹣AB1C的体积．【解答】解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，==2，∴S△AMCMB1⊥平面AMC，且B1M==，∴====．故答案为：．11．已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的对称性及锐角三角形∠AEF＜45°得到AF＜EF，求出A的坐标；求出AF，EF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．【解答】解：∵△ABE是锐角三角形∴∠AEB为锐角∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF＜45°∴AF＜EF∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0）所以A（）所以AF=，EF=a+c∴即c2﹣ac﹣2a2＜0解得双曲线的离心率的范围是（1，2）故答案为（1，2）12．已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则的最小值为3．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由题意得f'（x）=ax2+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b2﹣4ac≤0，将此代入，将式子进行放缩，以为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决．【解答】解：由题意f'（x）=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b2﹣4ac≤0．∴≥令，≥≥3．（当且仅当t=4，即b=c=4a时取“=”）故答案为：313．已知函数g（x）=，若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是（，1] ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数y=g（g（x））的图象，即可确定实数k的取值范围．【解答】解：当x＜0时，g（x）=﹣x+1＞0，此时g（g（x））=（﹣x+1）2﹣1=x2﹣2x当0≤x＜1时，g（x）=x2﹣1＜0，此时g（g（x））=﹣（x2﹣1）+1=﹣x2+2当x≥1时，g（x）=x2﹣1≥0，此时g（g（x））=（x2﹣1）2﹣1=x4﹣2x2，函数y=g（g（x））=．函数y=g（g（x））的图象如下：结合图象可得若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（，1]故答案为：（]14．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由=+，可得A，B，C共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，可得K的轨迹为圆，求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值．【解答】解：由=+，可得A，B，C共线，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，则KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c的最小值为．故答案为：．二、解答题：（本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1=AB．（1）求证：AB∥平面D1DCC1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）由AB∥CD，且CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1，由线面平行的判定定理即可证明AB∥平面D1DCC1；（2）证明AB1⊥平面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，利用四边形ABB1A1为菱形即可；【解答】证明：（1）∵AB∥CD，CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1；∴AB∥平面D1DCC1；…（2）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形，∵AA1=AB，∴四边形ABB1A1为菱形，∴AB1⊥A1B，∵AB1⊥BC，A1B∩BC=B，∴AB1⊥平面A1BC，…16．已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．（1）求cos2α的值；（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）由已知得=2cosα﹣sinα=0，从而sin2α+cos2α=5cos2α=1，进而cos2α=，由此能求出cos2α．（2）由cos2α=，，得cosα=，sinα==，由sin（α﹣β）=，且，得sinβ=2cos ，由此能求出β的值．【解答】解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．∴=2cosα﹣sinα=0，∴sin 2α+cos 2α=5cos 2α=1，∴cos 2α=，∴cos2α=2cos 2α﹣1=﹣． （2）∵cos 2α=，，∴cosα=，sinα==，∵sin （α﹣β）=，且，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴2cosβ﹣sinβ=，∴sinβ=2cos，∴sin 2β+cos 2β=5cos 2β﹣2﹣=0，解得cosβ=或cosβ=﹣（舍）， ∵，∴β=．17．如图所示，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为．设S 的眼睛到地面的距离为米．（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．【考点】HU ：解三角形的实际应用．【分析】（1）作SC垂直OB于C，通过求解三角形求解立柱高即可．（2）连结SM，SN．设SN=a，SM=b．推出cos∠SOM=﹣cos∠SON，利用余弦定理求解即可．【解答】解：（1）如图，作SC垂直OB于C，则∠CSB=，∠ASB=．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA=3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．由SC=3，∠CSO=，在Rt△SCO中，可求得OC=．因为BC=SA=，故OB=2，即立柱高为2米．（2）如图，连结SM，SN．设SN=a，SM=b．由（1）知SO=2，在△SOM和△SON中，cos∠SOM=﹣cos∠SON，即=﹣，可得a2+b2=26．在△MSN中，cos∠MSN==≥=＞，当且仅当a=b时，等号成立．又∠MSN∈（0，π），则0＜∠MSN＜．故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面．18．已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的导数值等于切线的斜率为﹣6，即可求实数a；（Ⅱ）通过a=1，利用导函数为0，判断导数符号，即可求f （x ）的极值； （Ⅲ）当0＜a ＜2时，利用导函数的单调性，通过f （x ）在[1，4]上的最小值为﹣，即可求出a ，然后求f （x ）在该区间上的最大值． 【解答】（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为f′（x ）=﹣x 2+x +2a ，曲线y=f （x ）在点P （2，f （2））处的切线的斜率k=f′（2）=2a ﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣依题意：2a ﹣2=﹣6，a=﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）当a=1时，，f′（x ）=﹣x 2+x +2=﹣（x +1）（x ﹣2）﹣﹣﹣﹣所以，f （x ）的极大值为，f （x ）的极小值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅲ）令f′（x ）=0，得，，f （x ）在（﹣∞，x 1），（x 2，+∞）上单调递减，在（x 1，x 2）上单调递增，当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x2＜4，所以f（x ）在[1，4]上的最大值为f （x 2），f （4）＜f （1）， 所以f （x ）在[1，4]上的最小值为，解得：a=1，x 2=2．故f （x ）在[1，4]上的最大值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上．（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M 在圆x 2+y 2=b 2上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2+y 2=b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：△PF 2Q 的周长是定值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（I）利用椭圆的定义及其性质即可得出；（II）方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用两点之间的距离公式与，可得，再利用切线的性质可得|PM|=，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；方法2：设P（x1，y1），Q（x2，y2），设PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|PQ，利用PQ与圆x2+y2=8相切的性质可得，得到，利用两点之间的距离公式可得，同理可得，即可证明．【解答】（I）解：根据已知，椭圆的左右焦点为分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），c=1，∵在椭圆上，∴，∴a=3，b2=a2﹣c2=8，椭圆的方程是；（II）证明：方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，在圆中，M是切点，∴，∴，同理|QF2|+|QM|=3，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q的周长是定值6．方法2：设PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴===，∵PQ与圆x2+y2=8相切，∴，即，∴，∵，∵0＜x1＜3，∴，同理，∴，因此△PF2Q的周长是定值6．斜率不存在时也成立．故△PF2Q的周长是定值6．20．设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合；8K：数列与不等式的综合．【分析】（1）由题意和等比数列的性质先求出a3，由等比数列的通项公式、前n项和的定义求出公比q，代入等比数列的通项公式化简即可；（2）由充要条件的定义分别证明充分性、必要性，顺序分类讨论后分别利用等差数列的性质和a n进行证明；（3）由（1）化简a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6后，两边同乘以2再作差求出b n，注意验证n=1是否成立代入，利用作差判断数列{}的单调性，再求出符合条件的λ的范围．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比是q，∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴，解得a3=8，又∵S5﹣S3=48，∴，解得q=2，∴；…4分（2）（ⅰ）必要性：设5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2•5a k=a m+a l，则10•2k=2m+2l，∴10=2m﹣k+2l﹣k，∴5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，∴，∴．…6分②若2a m=5a k+a l，则2•2m=5•2k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k=5，左边为偶数，等式不成立，③若2a l=5a k+a m，同理也不成立，综合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立．…8分（ⅱ）充分性：设m=k+1，l=k+3，则5a k，a m，a l这三项为5a k，a k+1，a k+3，即5a k，2a k，8a k，调整顺序后易知2a k，5a k，8a k成等差数列，所以充分性也成立．综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立．…10分（3）因为，即，①∴当n≥2时，，②则②式两边同乘以2，得，③∴①﹣③，得2b n=4n﹣2，即b n=2n﹣1（n≥2），又当n=1时，，即b1=1，适合b n=2n﹣1（n≥2），∴b n=2n﹣1．…14分∴，∴，∴n=2时，，即；∴n≥3时，，此时单调递减，又，，，，∴．…16分II卷（本大题共4小题，每题10分，共计40分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】由矩阵的乘法首先求得实数a，b的值，然后求解矩阵的特征值即可．【解答】解：因为，所以，解得a=2，d=1，所以矩阵A的特征多项式为：，令f（λ）=0解得矩阵A的特征值为λ=4或﹣1．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】先把方程化为普通方程，再联立，利用弦长公式，即可求线段AB的长．【解答】解：直线（l为参数）与曲线（t为参数）的普通方程分别为x﹣y=﹣，y2=8x，联立可得x2﹣5x+=0，∴|AB|==4．23．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件A，则事件 A 的对立事件为：“没有 1 首原创新曲被演唱”．可得P（A）=1﹣P（）．（2）设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0，1，2，3．依题意，X=ax+2a（4﹣x）=8a﹣ax，故X 的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．利用超几何分布列计算公式即可得出．【解答】解：（1）设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件A，则事件 A 的对立事件为：“没有 1 首原创新曲被演唱”．所以P（A）=1﹣P（）=1﹣=．答：该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率为．（2）设随机变量 x 表示被演唱的原创新曲的首数，则 x 的所有可能值为 0，1，2，3． 依题意，X=ax +2a （4﹣x ）=8a ﹣ax ，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a ．则 P （X=8a ）=P （x=0）==．P （X=7a ）=P （x=1）==．P （X=6a ）=P （x=2）==．P （X=5a ）=P （x=3）==．．从而X 的概率分布为：所以 X 的数学期望E （X ）=8a ×+7a ×+6a ×+5a ×=a ．24．已知函数f （x ）=2x ﹣3x 2，设数列{a n }满足：a 1=，a n +1=f （a n ）（1）求证：对任意的n ∈N *，都有0＜a n ＜；（2）求证：++…+≥4n +1﹣4．【考点】8E ：数列的求和；8K ：数列与不等式的综合．【分析】（1）由已知可得：a n +1=2a n ﹣3=﹣3+≤．可得a n ＜．作差==3a n （3a n ﹣2），由a n ＜（n ∈N *），可得：a n +1与a n 同号，因此a n ＞0，（2）由0＜a n ＜，a n +1=2a n ﹣3，可得a n +1﹣a n ==a n （1﹣3a n ）＞0，因此数列{a n }单调递增．n ＞1时，，可得＞4，=＞＞…＞，即可证明．【解答】证明：（1）∵a n +1=f （a n ），函数f （x ）=2x ﹣3x 2，∴a n +1=2a n ﹣3=﹣3+≤．若a n +1=，则a n =，可得a 1=，与已知a 1=矛盾，因此等号不成立．∴a n ＜．===3a n （3a n ﹣2），由a n ＜（n ∈N *），可得a n +1，3a n ﹣2＜0，因此a n +1与a n 同号，a 1=＞0， ∴a n ＞0，综上可得：对任意的n ∈N *，都有0＜a n ＜．（2）∵0＜a n ＜，a n +1=2a n ﹣3，∴a n +1﹣a n ==a n （1﹣3a n ）＞0，∴a n +1＞a n ，∴数列{a n }单调递增．∴n ＞1时，，∴＞4， ∴==＞＞＞…＞=4n +1，∴++…+≥3（4+42+…+4n ）=3×=4n +1﹣4．∴++…+≥4n +1﹣4．。

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

2017-2018学年江苏省苏州市市区学校七年级（下）期末数学试卷一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）若三角形的两条边的长度是4cm和10cm，则第三条边的长度可能是（）A．4 cm B．5 cm C．9 cm D．14 cm2．（2分）下列计算正确的是（）A．a+2a2＝3a3B．a8÷a2＝a4C．a3•a2＝a6D．（a3）2＝a63．（2分）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A．x2+5x﹣1＝x（x+5）﹣1B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xC．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣44．（2分）已知是二元一次方程2x+my＝1的一个解，则m的值为（）A．3B．﹣5C．﹣3D．55．（2分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下哪一条件后，能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF（）A．AC＝DF B．BE＝CF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DFE6．（2分）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．70°B．80°C．90°D．100°7．（2分）下列命题：①同旁内角互补；②若|a|＝|b|，则a＝b；③同角的余角相等；④三角形的一个外角等于两个内角的和．其中是真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．（2分）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知[（x+k）（x﹣k+1）]＝2x2+2x+m，则m的值是（）A．﹣40B．﹣8C．24D．8二、填空题：（每题2题，共16分）9．（3分）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示为．10．（3分）若x n＝4，y n＝9，则（xy）n＝．11．（3分）若关于x的多项式x2+ax+9是完全平方式，则a＝．12．（3分）内角和等于外角和2倍的多边形是边形．13．（3分）若a+b＝7，ab＝12，则a2﹣3ab+b2＝．14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1+∠2＝．15．（3分）如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F．若△ABF的面积是4，则四边形CEFD的面积是．16．（3分）如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝8，BD＝10，点E从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CB向点B作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，当t＝时，△DEG和△BFG全等．三、解答题：17．（6分）计算：（1）﹣12017+（π﹣3）0+（）﹣1（2）（﹣a）3•a2+（2a4）2÷a318．（9分）将下列各式分解因式：（1）6x2﹣9xy+3x（2）18a2﹣50（3）（a2+1）2﹣4a219．（3分）解二元一次方程组：20．（5分）先化简，再求值：（x+3）2+（x+2）（x﹣2）﹣2x2，其中x＝﹣1．21．（8分）在图中，利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）记网格的边长为1，则在平移的过程中线段BC扫过区域的面积为．22．（7分）若关于x，y的二元一次方程组，（1）若x+y＝1，求a的值为．（2）若﹣3≤x﹣y≤3，求a的取值范围．（3）在（2）的条件下化简|a|+|a﹣2|．23．（6分）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．24．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．（1）求证：CD∥EF；（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．25．（8分）为了参加学校举办的“校长杯”足球联赛，某中学八（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费210元，八（2）班学生购买了品牌A足球3个、B品牌足球1个，共花费230元．（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费1500元全部购买A、B两种品牌的足球供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请你帮助学校分别设计出来．26．（10分）已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，（1）如图①，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是；（2）如图②，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是；（3）如图③，在（2）的条件下若BE的延长线交直线AD于点M，找出图中与CP相等的线段，并加以证明．（4）如图④，已知BC＝4，AD＝2，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．2017-2018学年江苏省苏州市市区学校七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）若三角形的两条边的长度是4cm和10cm，则第三条边的长度可能是（）A．4 cm B．5 cm C．9 cm D．14 cm【分析】据三角形三边关系定理，设第三边长为xcm，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，由此选择符合条件的线段．【解答】解：设第三边长为xcm，由三角形三边关系定理可知，6＜x＜14，∴x＝9cm符合题意．故选：C．【点评】本题考查了三角形三边关系的运用．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．2．（2分）下列计算正确的是（）A．a+2a2＝3a3B．a8÷a2＝a4C．a3•a2＝a6D．（a3）2＝a6【分析】A、经过分析发现，a与2a2不是同类项，不能合并，本选项错误；B、利用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，即可计算出结果；C、根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可计算出结果；D、根据积的乘方法则，底数不变，指数相乘，即可计算出结果．【解答】解：A、因为a与2a2不是同类项，所以不能合并，故本选项错误；B、a8÷a2＝a6，故本选项错误；C、a3•a2＝a5，故本选项错误；D、（a3）2＝a6，故本选项正确．故选：D．【点评】此题考查了同底数幂的乘法、除法法则，以及积的乘方法则的运用，是一道基础题．3．（2分）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A．x2+5x﹣1＝x（x+5）﹣1B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xC．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．【解答】解：A、右边不是积的形式，故A错误；B、右边不是积的形式，故B错误；C、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），故C正确．D、是整式的乘法，不是因式分解．故选：C．【点评】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．4．（2分）已知是二元一次方程2x+my＝1的一个解，则m的值为（）A．3B．﹣5C．﹣3D．5【分析】将代入2x+my＝1，即可转化为关于m的一元一次方程，解答即可．【解答】解：将代入2x+my＝1，得4﹣m＝1，解得m＝3．故选：A．【点评】此题考查了二元一次方程的解，对方程解的理解，直接代入方程求值即可．5．（2分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下哪一条件后，能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF（）A．AC＝DF B．BE＝CF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DFE【分析】应用（SAS）从∠B的两边是AB、BC，∠E的两边是DE、EF分析，找到需要相等的两边．【解答】解：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）．∠B的两边是AB、BC，∠E的两边是DE、EF，而BC＝BE+EC、EF＝EC+CF，要使BC＝EF，则BE＝CF．故选：B．【点评】本题考查了三角形全等的条件，判定三角形全等一定要结合图形上的位置关系，从而选择方法．6．（2分）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．70°B．80°C．90°D．100°【分析】根据平行线的性质得到∠1＝∠B＝50°，由三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠B＝50°，∵∠C＝40°，∴∠E＝180°﹣∠B﹣∠1＝90°，故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．7．（2分）下列命题：①同旁内角互补；②若|a|＝|b|，则a＝b；③同角的余角相等；④三角形的一个外角等于两个内角的和．其中是真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据平行线的性质，绝对值、余角、三角形外角的性质判断即可．【解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，是假命题；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，是假命题；③同角的余角相等，是真命题；④三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是假命题；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．（2分）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知[（x+k）（x﹣k+1）]＝2x2+2x+m，则m的值是（）A．﹣40B．﹣8C．24D．8【分析】利用题中的新定义化简已知等式左边，确定出m的值即可．【解答】解：根据题意得：（x+2）（x﹣1）+（x+3）（x﹣2）＝2x2+2x﹣8＝2x2+2x+m，则m＝﹣8，故选：B．【点评】此题考查了整式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．二、填空题：（每题2题，共16分）9．（3分）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示为 6.5×10﹣6．【分析】根据科学记数法和负整数指数的意义求解．【解答】解：0.0000065＝6.5×10﹣6．故答案为：6.5×10﹣6．【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较小的数，关键是用a×10n（1≤a＜10，n为负整数）表示较小的数．10．（3分）若x n＝4，y n＝9，则（xy）n＝36．【分析】先根据积的乘方变形，再根据幂的乘方变形，最后代入求出即可．【解答】解：∵x n＝4，y n＝9，∴（xy）n＝x n•y n＝4×9＝36．故答案为：36．【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方的应用，用了整体代入思想．11．（3分）若关于x的多项式x2+ax+9是完全平方式，则a＝±6．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a的值．【解答】解：∵关于x的多项式x2+ax+9是完全平方式，∴a＝±6，故答案为：±6【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．（3分）内角和等于外角和2倍的多边形是六边形．【分析】设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和2倍可得方程180（n﹣2）＝360×2，再解方程即可．【解答】解：设多边形有n条边，由题意得：180（n﹣2）＝360×2，解得：n＝6，故答案为：六．【点评】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．13．（3分）若a+b＝7，ab＝12，则a2﹣3ab+b2＝﹣11．【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：∵a+b＝7，ab＝12，∴（a+b）2＝49，则a2+2ab+b2＝49，故a2+b2＝49﹣2×12＝25，则a2﹣3ab+b2＝25﹣3×12＝﹣11．故答案为：﹣11．【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确记忆完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题关键．14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1+∠2＝230°．【分析】根据三角形内角和为180度可得∠B+∠C的度数，然后再根据四边形内角和为360°可得∠1+∠2的度数．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝50°，∴∠B+∠C＝180°﹣50°＝130°，∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°．故答案为：230°．【点评】此题主要考查了三角形内角和，关键是掌握三角形内角和为180°．15．（3分）如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F．若△ABF的面积是4，则四边形CEFD的面积是4．【分析】根据三角形的重心的性质得到BF＝2FE，AF＝2FD，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC的中线AD，BE相交于点F，∴点F是△ABC的重心，∴BF＝2FE，AF＝2FD，∵△ABF的面积是4，∴△AEF的面积是2，△DBF的面积是2，∴△ABD的面积是6，∴△ABC的面积是12，∴四边形CEFD的面积＝12﹣4﹣2﹣2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．16．（3分）如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝8，BD＝10，点E从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CB向点B作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，当t＝或2s时，△DEG和△BFG全等．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，有两种情形：①DE＝BF，BG＝DG，∴2t＝8﹣t，t＝．②当DE＝BG，DG＝BF时，设DG＝y，则有，解得t＝2，∴满足条件的t的值为或2s．故答案为或2s．【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题：17．（6分）计算：（1）﹣12017+（π﹣3）0+（）﹣1（2）（﹣a）3•a2+（2a4）2÷a3【分析】（1）原式利用乘方的意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）原式利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘除单项式法则计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣1+1+2＝2；（2）原式＝﹣a5+4a5＝3a5．【点评】此题考查了整式的除法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（9分）将下列各式分解因式：（1）6x2﹣9xy+3x（2）18a2﹣50（3）（a2+1）2﹣4a2【分析】（1）通过提取公因式3x进行因式分解；（2）先提公因式2，然后利用平方差公式进行因式分解；（3）利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：（1）原式＝3x（2x﹣3y+1）；（2）原式＝2（3a+5）（3a﹣5）；（3）原式＝（a+1）2（a﹣1）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．19．（3分）解二元一次方程组：【分析】解此题运用的是代入消元法．【解答】解：由方程②得x＝4﹣2y，代入到方程①中得：2（4﹣2y）﹣3y＝1，解得y＝1，x＝2，所以方程组的解为．【点评】此题考查的是对二元一次方程组的解法的运用和理解，学生可以通过题目的训练达到对知识的强化和运用．20．（5分）先化简，再求值：（x+3）2+（x+2）（x﹣2）﹣2x2，其中x＝﹣1．【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝x2+6x+9+x2﹣4﹣2x2＝6x+5，当x＝﹣1时，原式＝﹣1×6+5＝﹣1．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（8分）在图中，利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）记网格的边长为1，则在平移的过程中线段BC扫过区域的面积为28．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用中线的定义得出答案；（3）直接利用钝角三角形高线的作法得出答案；（4）利用平移的性质结合平行四边形的面积求法得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）如图所示：线段CD即为所求；（3）如图所示：高线AE即为所求；（4）在平移的过程中线段BC扫过区域的面积为：4×7＝28．故答案为：28．【点评】此题主要考查了平移变换以及基本作图，正确得出对应点位置是解题关键．22．（7分）若关于x，y的二元一次方程组，（1）若x+y＝1，求a的值为．（2）若﹣3≤x﹣y≤3，求a的取值范围．（3）在（2）的条件下化简|a|+|a﹣2|．【分析】（1）两方程相加、再除以3可得x+y＝a+，由x+y＝1可得关于a的方程，解之可得；（2）两方程相减可得x﹣y＝3a﹣3，根据﹣3≤x﹣y≤3可得关于a的不等式组，解之可得；（3）根据绝对值性质去绝对值符号、合并同类项即可得．【解答】解：（1），①+②，得：3x+3y＝3a+1，则x+y＝a+，∵x+y＝1，∴a+＝1，解得：a＝，故答案为：；（2）①﹣②，得：x﹣y＝3a﹣3，∵﹣3≤x﹣y≤3，∴﹣3≤3a﹣3≤3，解得：0≤a≤2；（3）∵0≤a≤2，∴a﹣2≤0，则原式＝a+2﹣a＝2．【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，根据题意得出关于a的不等式是解题的关键．23．（6分）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．【分析】（1）根据已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA；（2）根据第一问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B＝∠D，从而不难求得DF⊥BC．【解答】证明：（1）∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEA＝90°，又∵BE＝DE，BC＝DA，∴△BEC≌△DEA（HL）；（2）∵△BEC≌△DEA，∴∠B＝∠D．∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，∴∠BAF+∠B＝90°．即DF⊥BC．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，做题时要注意思考，认真寻找全等三角形全等的条件是解决本题的关键．24．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．（1）求证：CD∥EF；（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两直线平行证明；（2）根据直角三角形的性质求出∠ACD，根据角平分线的定义求出∠ACE，结合图形求出∠DCE，根据平行线的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF；（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，∴∠ACE＝45°，∴∠DCE＝45°﹣20°＝25°，∵CD∥EF，∴∠FEC＝∠DCE＝25°．【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、直角三角形的性质，掌握两直线平行、内错角相等、直角三角形的两锐角互余是解题的关键．25．（8分）为了参加学校举办的“校长杯”足球联赛，某中学八（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费210元，八（2）班学生购买了品牌A足球3个、B品牌足球1个，共花费230元．（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费1500元全部购买A、B两种品牌的足球供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请你帮助学校分别设计出来．【分析】（1）设购买一个A品牌足球需要x元，一个B品牌足球需要y元，根据“购买A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费210元；购买品牌A足球3个、B品牌足球1个，共花费230元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A品牌足球m个，购买B品牌足球n个，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m、n 的二元一次方程，再结合m、n均为非负整数，即可得出各购买方案．【解答】解：（1）设购买一个A品牌足球需要x元，一个B品牌足球需要y元，根据题意得：，解得：．答：购买一个A品牌足球需要50元，一个B品牌足球需要80元．（2）设购买A品牌足球m个，购买B品牌足球n个，根据题意得：50m+80n＝1500，∵m、n均为非负整数，∴，，，．答：学校有4种购买足球的方案，方案一：购买A品牌足球30个、B品牌足球0个；方案二：购买A 品牌足球22个、B品牌足球5个；方案三：购买A品牌足球14个、B品牌足球10个；方案四：购买A品牌足球6个、B品牌足球15个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．26．（10分）已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，（1）如图①，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是AP⊥BC；（2）如图②，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是CF＝BE+EF；（3）如图③，在（2）的条件下若BE的延长线交直线AD于点M，找出图中与CP相等的线段，并加以证明．（4）如图④，已知BC＝4，AD＝2，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一解答；（2）证明△ABE≌△CAF，根据全等三角形的性质得到BE＝AF，AE＝CF，结合图形证明；（3）证明△CFP≌△AEM，根据全等三角形的性质证明；（4）根据S △ABC ＝S △APB +S △APC 得到d 1+d 2＝，根据垂线段最短计算即可．【解答】解：（1）AP 与BC 的位置关系是AP ⊥BC ， 理由如下：∵AB ＝AC ，点D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，当点P 与点D 重合时，AP ⊥BC ， 故答案为：AP ⊥BC ； （2）CF ＝BE +EF ，理由如下：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠BAE +∠CAP ＝90°，∠ACF +∠CAP ＝90°， ∴∠BAE ＝∠ACF ， 在△ABE 和△CAF 中，，∴△ABE ≌△CAF ， ∴BE ＝AF ，AE ＝CF ， ∴CF ＝AE +AF +EF ＝BE +EF ， 故答案为：CF ＝BE +EF ； （3）CP ＝AM ，证明：∵∠BAE ＝∠ACF ， ∴∠EAM ＝∠FCP ， 在△CFP 和△AEM 中，，∴△CFP ≌△AEM ， ∴CP ＝AM ；（4）S △ABC ＝×BC ×AD ＝4，由图形可知，S △ABC ＝S △APB +S △APC ＝×AP ×BE +×AP ×CF ＝×AP ×（d 1+d 2），∴d 1+d 2＝，当AP ⊥BC 时，AP 最小，此时AP ＝2，∴d1+d2的最大值为＝4．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的三线合一是解题的关键．。

2017-2018学年江苏省盐城中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）对于函数y=﹣2（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x=1C．最大值为0 D．与y轴不相交2．（3分）下列正多边形中，不能铺满地面的是（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形3．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是（）A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 4．（3分）学校开展为贫困地区捐书活动，以下是六名学生捐书的册数：2，2，3，6，5，6，则这组数据的中位数为（）A．2 B．3 C．4 D．4.55．（3分）在半径为1的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长是（）A．B． C．πD．6．（3分）如图所示是二次函数y=﹣x2+1的图象在x轴上方的一部分，对于这项图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（）A．1 B．C． D．2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）7．（3分）如果正多边形的一个外角为72°，那么它的边数是．8．（3分）抛物线y=﹣x2向右平移2个单位，所得到的抛物线关系式为．9．（3分）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：则这四人中成绩发挥最稳定的是．10．（3分）二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象与x轴的交点坐标为．11．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针90°得到△A′OR′，则A点运动的路径的长为．12．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，若把Rt△ABC绕直线BC旋转一周，则所得圆锥侧面积等于．（结果保留π）13．（3分）已知y=﹣（x﹣3）2+2，若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，则y1y2（填＜、＞或=）14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表：则二次函数y=ax2+bx+c在x=2时，y=．15．（3分）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是．16．（3分）已知关于x的二次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0），若＜m＜1，则a的取值范围是．三、解答题：（本大题共10小题，共102分）17．（6分）用公式法求二次函数y=﹣2x2+4x﹣1的图象的顶点坐标．18．（8分）已知二次函数y=2x2﹣4x﹣6．（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标及对称轴．（2）在给定的坐标系内画出该函数的图象；（3）写出y＜0时x的取值范围．19．（8分）为了从甲乙两人中选拔一人参加初中物理实验操作能力竞赛，每个月对他们的实验水平进行一次测试，如图绘出了两个人赛前5次测验成绩（每次测验成绩都是5的倍数）（1）分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数与方差；（2）如果你是他们的辅导老师，应该被哪位学生参加这次竞赛，请结合图形简要说明理由．20．（8分）已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m的图象过点（﹣2，5），与x轴=8．交于点A、B（A在B的左侧）点C在图象上，且S△ABC求：（1）求m；（2）求点A、点B的坐标；（3）求点C的坐标．21．（10分）如图，已知扇形AOB的圆心角为90°，面积为16π．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个无底圆锥形筒，试求这个圆锥形筒的高OH．（注：结果保留根号或π．）22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，AC交⊙O于点M，N，若四边形OABN为平行四边形，且弦BN的长为10cm．（1）求⊙O的半径长；（2）图中阴影部分的面积S．23．（10分）如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．24．（10分）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如下．，请补充完整（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：﹣﹣其中，m=．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3=0有个实数根；②方程x2﹣2|x|﹣3=﹣3有个实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|﹣3=a有4个实数根时，a的取值范围是．25．（12分）已知二次函数y=ax2+bx+b﹣2（b＞0，a≠0）的图象经过A（﹣2，0）．（1）用含b的代数式表示a；（2）求证：二次函数y=ax2+bx﹣b﹣2的图象与x轴始终有2个交点；（3）设二次函数y=ax2﹣bx+b﹣2的图象与x轴的另一个交点为B（t，0）．①若t为整数，求整数b的值．②当b取b1时，t分别为t1，t2，若b1＜b2，试判断t1，t2的大小关系，并说明理由．26．（14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与直线y=x+k的图象相交于点A（﹣1，0）B（2，n），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q在是该抛物线上位于直线AB上方的一点，作QE∥y轴交AB于E①求EQ的最大值；②当EQ的最大值时，若点D在x轴上，在抛物线上是否存在一点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？求出点F的坐标；若不存在，说明理由．（3）点M是y轴上的点，且△ABM为直角三角形，直接写出所有符合条件的点M的坐标．2017-2018学年江苏省盐城中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）对于函数y=﹣2（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x=1C．最大值为0 D．与y轴不相交【解答】解：对于函数y=﹣2（x﹣1）2的图象，∵a=﹣2＜0，∴开口向下，对称轴x=1，顶点坐标为（1，0），函数有最大值0，故A、B、C正确，故选：D．2．（3分）下列正多边形中，不能铺满地面的是（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形【解答】解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能密铺．故选：C．3．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是（）A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．4．（3分）学校开展为贫困地区捐书活动，以下是六名学生捐书的册数：2，2，3，6，5，6，则这组数据的中位数为（）A．2 B．3 C．4 D．4.5【解答】解：这组数据的中位数为=4.5（册），故选：D．5．（3分）在半径为1的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长是（）A．B． C．πD．【解答】解：l==．故选：B．6．（3分）如图所示是二次函数y=﹣x2+1的图象在x轴上方的一部分，对于这项图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（）A．1 B．C． D．2【解答】解：∵二次函数y=﹣x2+1，当x=0时，y=1，当y=0时，﹣x2+1=0，∴x=±1，∴二次函数y=﹣x2+1的图象与坐标轴的简单坐标为：（0，1），（1，0），（﹣1，0），∴这三个交点围成的三角形的面积为：×1×2=1，而所求面积大于这个三角形的面积，∴图象与x轴所围成的阴影部分的面积与其最接近的值为，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）7．（3分）如果正多边形的一个外角为72°，那么它的边数是5．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，∴边数=360°÷72°=5，那么它的边数是5．8．（3分）抛物线y=﹣x2向右平移2个单位，所得到的抛物线关系式为y=﹣（x ﹣2）2．【解答】解：∵向右平移2个单位，∴y=﹣（x﹣2）2．故得到的抛物线的函数关系式为：y=﹣（x﹣2）2．故答案为：y=﹣（x﹣2）29．（3分）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：则这四人中成绩发挥最稳定的是乙．【解答】解：由于S乙2＜S丙2＜S丁2＜S甲2，则成绩较稳定的同学是乙．故答案为乙．10．（3分）二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象与x轴的交点坐标为（3，0）．【解答】解：当y=0时，﹣x2+6x﹣9=0，解得：x=3．∴交点坐标是（3，0）．11．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针90°得到△A′OR′，则A点运动的路径的长为2π．【解答】解：∵每个小正方形的边长都为1，∴OA=4，∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，∴∠AOA′=90°，∴A点运动的路径的长为：=2π．故答案为：2π．12．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，若把Rt△ABC绕直线BC旋转一周，则所得圆锥侧面积等于15π．（结果保留π）【解答】解：∵AC=3，BC=4，∴由勾股定理得：AB=5∵把Rt△ABC绕直线BC旋转一周，∴底面的周长是：6π，∴圆锥的侧面积=πrl=π×3×5=15π，故答案为：15π．13．（3分）已知y=﹣（x﹣3）2+2，若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，则y1＜y2（填＜、＞或=）【解答】解：∵y=﹣（x﹣3）2+2，∴抛物线对称轴为x=3，开口向下，∴当x＜3时，y随x增大而增大，∵m＜n＜3，∴y1＜y2．故答案为：＜．14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表：则二次函数y=ax2+bx+c在x=2时，y=﹣8．【解答】解：∵x=﹣3时，y=7；x=5时，y=7，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，∴x=0和x=2时的函数值相等，∴x=2时，y=﹣8．故答案为﹣8．15．（3分）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4﹣π．【解答】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是：．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4（1﹣）=4﹣π．故答案是：4﹣π．16．（3分）已知关于x的二次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0），若＜m＜1，则a的取值范围是1＜a＜2或﹣1＜a＜﹣．【解答】解：∵y=ax2+（a2﹣1）x﹣a=（ax﹣1）（x+a），∴当y=0时，x1=，x2=﹣a，∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且＜m＜1，∴当a＞0时，＜＜1，解得1＜a＜2；当a＜0时，＜﹣a＜1，解得﹣1＜a＜﹣．故答案为：1＜a＜2或﹣1＜a＜﹣．三、解答题：（本大题共10小题，共102分）17．（6分）用公式法求二次函数y=﹣2x2+4x﹣1的图象的顶点坐标．【解答】解：∵a=﹣2，b=4，c=﹣1，∴﹣，．∴顶点坐标为（1，1）．18．（8分）已知二次函数y=2x2﹣4x﹣6．（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标及对称轴．（2）在给定的坐标系内画出该函数的图象；（3）写出y＜0时x的取值范围．【解答】解：（1）二次函数y=2x2﹣4x﹣6=2（x﹣1）2﹣8，则顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；（2）如图所示：（3）由图象得：y＜0时x的取值范围﹣1＜x＜3．19．（8分）为了从甲乙两人中选拔一人参加初中物理实验操作能力竞赛，每个月对他们的实验水平进行一次测试，如图绘出了两个人赛前5次测验成绩（每次测验成绩都是5的倍数）（1）分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数与方差；（2）如果你是他们的辅导老师，应该被哪位学生参加这次竞赛，请结合图形简要说明理由．【解答】解：（1）由折线图可得：甲的5个数据依次为：65，80，80，85，90；乙的5个数据依次为：75，90，80，75，80；故甲的平均数为×（65+80+80+85+90）=80；方差为×（225+25+100）=70；乙的平均数为×（75+90+80+75+80）=80；方差为×（25+100+25）=30；（2）根据（1）的计算结果，可得甲乙的平均数相等；但甲的方差比乙的方差大，即乙的成绩比甲的稳定；故应选乙参加这次竞赛．20．（8分）已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m的图象过点（﹣2，5），与x轴=8．交于点A、B（A在B的左侧）点C在图象上，且S△ABC求：（1）求m；（2）求点A、点B的坐标；（3）求点C的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m的图象过点（﹣2，5），∴（﹣2）2﹣（m﹣1）×（﹣2）﹣m=5，解得，m=3；（2）当m=3时，函数解析式为：y=x2﹣2x﹣3，y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为（﹣1，0）、点B的坐标为（3，0）；（3）设点C的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），∵点A的坐标为（﹣1，0）、点B的坐标为（3，0），∴AB=4，由题意得，×4×|n2﹣2n﹣3|=8，∴|n2﹣2n﹣3|=4，当n2﹣2n﹣3=4时，n=1±2，当n2﹣2n﹣3=﹣4时，n=1，∴点C的坐标为（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）．21．（10分）如图，已知扇形AOB的圆心角为90°，面积为16π．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个无底圆锥形筒，试求这个圆锥形筒的高OH．（注：结果保留根号或π．）【解答】解：（1）设扇形的半径是R，则=16π，解得：R=8，设扇形的弧长是l，则lR=16π，即4l=16π，解得：l=4π．（2）圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=，解得r=2，所以个圆锥形桶的高==2．22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，AC交⊙O于点M，N，若四边形OABN为平行四边形，且弦BN的长为10cm．（1）求⊙O 的半径长； （2）图中阴影部分的面积S ．【解答】解：（1）连接OB ，则OB=ON ，如图所示： ∵AB 是⊙O 的切线， ∴OB ⊥AB ，即∠OBA=90°， ∵四边形OABN 是平行四边形， ∴AB ∥ON ，∴∠OBA=∠BON=90°， ∴△OBN 为等腰直角三角形， ∵BN=10，∴OB=5；（2）如图，S 阴影=S 扇形﹣S △OBN =×（5）2π﹣×5×5=π﹣25（cm 2）．23．（10分）如图，图1、图2、图3、…、图n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD…，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动．（1）求图1中∠APN 的度数是 60° ；图2中，∠APN 的度数是 90° ，图3中∠APN 的度数是 108° ．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．【解答】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN，又∵∠APN=∠BPM，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：在图2中，∠APN=90°；在图3中，∠APN=108°．（2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n中，．24．（10分）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如下．，请补充完整（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：﹣﹣其中，m=﹣3．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3=0有2个实数根；②方程x2﹣2|x|﹣3=﹣3有3个实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|﹣3=a有4个实数根时，a的取值范围是﹣4＜a＜﹣3．【解答】解：（1）当x=﹣2时，y=（﹣2）2﹣2×|﹣2|﹣3=﹣3，∴m=﹣3，故答案为：﹣3．（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．（3）观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x 的增大而增大．故答案为：①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①观察函数图象可知：当x=﹣3、3时，y=0，∴该函数图象与x轴有2个交点，即对应的方程x2﹣2|x|﹣3=0有2个实数根．故答案为：3；3．②在图中作直线y=2，如图2所示．观察函数图象可知：函数y=x2﹣2|x|的图象与y=2只有2个交点．故答案为：2．25．（12分）已知二次函数y=ax2+bx+b﹣2（b＞0，a≠0）的图象经过A（﹣2，0）．（1）用含b的代数式表示a；（2）求证：二次函数y=ax2+bx﹣b﹣2的图象与x轴始终有2个交点；（3）设二次函数y=ax2﹣bx+b﹣2的图象与x轴的另一个交点为B（t，0）．①若t为整数，求整数b的值．②当b取b1时，t分别为t1，t2，若b1＜b2，试判断t1，t2的大小关系，并说明理由．【解答】解：（1）把A（2，0）代入y=ax2+bx+b﹣2，得4a﹣2b+b﹣2=0，a=；（2）∵△=（﹣b）2﹣4a（b﹣2）=b2﹣4××（b﹣2）=b2﹣b2+4=4＞0，∴二次函数y=ax2+bx+b﹣2的图象与x轴始终有2个交点；（3）①t==2﹣，因为t为整数且b＞0，所以b+2＞2，所以b+2=4或b+2=8，所以b=2或b=6；②依题意可知t=；所以t1﹣t2=﹣=，因为b1＜b2，所以b1﹣b2＜0，又因为b＞0，所以b1+2＞0，b2+2＞0，所以t1﹣t2＜0，所以t1＜t2．26．（14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与直线y=x+k的图象相交于点A（﹣1，0）B（2，n），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q在是该抛物线上位于直线AB上方的一点，作QE∥y轴交AB于E①求EQ的最大值；②当EQ的最大值时，若点D在x轴上，在抛物线上是否存在一点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？求出点F的坐标；若不存在，说明理由．（3）点M是y轴上的点，且△ABM为直角三角形，直接写出所有符合条件的点M的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=x+k经过A（﹣1，0），∴k=1，∴直线是解析式为y=x+1，∵B（2，n）在直线上，∴n=3，把A（﹣1，0），B（2，3）代入y=ax2+bx+3得到，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）①设Q（m，﹣m2+2m+3）则E（m，m+1）．QE=﹣m2+m+2=﹣（m ﹣）2+，∵﹣1＜0，∴m=时，QE 的值最大，最大值为．②如图1中，∵点D在x轴上，∴EF∥AD，过点E作x轴的平行线交抛物线于F或F′，点F和F′即为所求；由①可知，E （，），当y=时，=﹣x2+2x+3，解得x=，∴F （，），F′（，）．（3）如图：①当∠M1MA=90°时，易知直线BM1的解析式为y=﹣x+5，可得M1（0，5）；②当∠M2AB=90°，易知直线AM2的解析式为y=﹣x﹣1，可得M2（0，﹣1）；③当∠AMB=90°时，设M（0，m），则点M在以AB为直径的圆上，则有：（）2+（m ﹣）2=（）2，解得m=，∴M3（0，），M4（0，）．第21页（共24页）第24页（共24页）。

2017-2018学年八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列各数中，最小的数是（）A．0B．﹣2C．1D．﹣3．下列计算错误的是（）A．+＝B．×＝C．÷＝3D．（2）2＝84．正方形面积为36，则对角线的长为（）A．6B．C．9D．5．直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为（）A．3B．4C．5D．66．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝1：2：7．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角相等8．如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为（）A．2+B．2+2C．4D．39．如图，以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边△CDE，AC与BE交于点F，则∠AFE的度数是（）A．135°B．120°C．60°D．45°10．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．若式子有意义，则x的取值范围是．12．将一张等腰直角三角形纸片沿如图所示的中位线剪开，两块纸片可以拼出不同形状的四边形，请你写出其中两种不同的四边形名称．13．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它的边数是．14．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是．15．已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为．16．如图，已知A1（1，0）、A2（1，1）、A3（﹣1，1）、A4（﹣1，﹣1）、A5（2，﹣1）、…．则点A2019的坐标为．三．解答题（共9小题，满分86分）17．计算（1）先化简，再求值+÷，其中a＝+1．（2）已知x＝2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．18．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD 交于点G、H．求证：AG＝CH．19．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB ＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？20．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．21．（1）定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如：直角三角形的直角边分别为3、4，则斜边的平方＝32+42＝25．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，直接写出BC2＝．（2）应用：已知正方形ABCD的边长为4，点P为AD边上的一点，AP＝AD，请利用“两点之间线段最短”这一原理，在线段AC上画出一点M，使MP+MD最小，并直接写出最小值的平方为．22．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：①4+2；②6+4（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．23．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．24．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，AB＝4，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F，AE与FG交于点O．（1）如图1，求证：A、G、E、F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，点N是线段BC的中点，且ON＝OD，求折痕FG的长．25．（1）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG＝BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB＝AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．2017-2018学年八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可得．【解答】解：A、＝＝，此选项不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、＝＝，此选项不符合题意；D、＝3，次选县不符合题意；故选：B．【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．下列各数中，最小的数是（）A．0B．﹣2C．1D．﹣【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较．【解答】解：最小的数是﹣2，故选：B．【点评】此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．3．下列计算错误的是（）A．+＝B．×＝C．÷＝3D．（2）2＝8【分析】根据二次根式的运算法则逐一计算即可得出答案．【解答】解：A、、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B、×＝＝，此选项正确；C、÷＝＝＝3，此选项正确；D、（2）2＝8，此选项正确；故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．4．正方形面积为36，则对角线的长为（）A．6B．C．9D．【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．【解答】解：设对角线长是x．则有x2＝36，解得：x＝6．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，注意结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解．5．直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】利用勾股定理求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵直角三角形两条直角边长分别是6和8，∴斜边＝＝10，∴斜边上的中线长＝×10＝5．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．6．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝1：2：【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为180度进行判定即可．【解答】解：A、正确，因为a：b：c＝3：4：5，所以设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则（3x）2+（4x）2＝（5x）2，故为直角三角形；B、错误，因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．C、正确，因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故为直角三角形；D、正确，12+（）2＝22符合勾股定理的逆定理，故成立；故选：B．【点评】此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．7．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角相等【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：B．【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．8．如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为（）A．2+B．2+2C．4D．3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE＝AE，可得AE+EC＝BC＝2，即可得到结论【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，∴AE+CE＝BC＝2，∴△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝2+2，故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．9．如图，以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边△CDE，AC与BE交于点F，则∠AFE的度数是（）A．135°B．120°C．60°D．45°【分析】易得△ABF与△ADF全等，∠AFD＝∠AFB，因此只要求出∠AFB的度数即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形．∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAF．∴△ABF与△ADF全等．∴∠AFD＝∠AFB．∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB．∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，∴∠CBE＝15°．∵∠ACB＝45°，∴∠AFB＝∠ACB+∠CBE＝60°．∴∠AFE＝120°．故选：B．【点评】此题考查正方形的性质，熟练掌握正方形及等边三角形的性质，会运用其性质进行一些简单的转化．10．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．B．C．D．【分析】连接CD，判断出四边形CEDF是矩形，再根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，然后根据垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，进而解答即可．【解答】解：如图，连接CD，∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝，∵四边形CEDF是矩形，∴CD＝EF＝，故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，熟记性质与判定方法并确定出EF 最短时的位置是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．若式子有意义，则x的取值范围是1≤x≤2．【分析】直接根据二次根式的意义建立不等式组即可得出结论．【解答】解：根据二次根式的意义，得，∴1≤x≤2，故答案为1≤x≤2．【点评】此题主要考查了二次根式的意义，解不等式组，建立不等式组是解本题的关键．12．将一张等腰直角三角形纸片沿如图所示的中位线剪开，两块纸片可以拼出不同形状的四边形，请你写出其中两种不同的四边形名称矩形，平行四边形，等腰梯形等．【分析】根据题意画出图形便可直观解答．【解答】解：如图：可拼成以上三种图形：等腰梯形、矩形、平行四边形或等腰梯形、平行四边形．【点评】解答此类题目的关键是根据题意画出图形再解答．13．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它的边数是10．【分析】多边形的外角和是360度，内角和与外角和的比是4：1，则内角和是1440度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180＝1440，解得：n＝10．则此多边形的边数是10．故答案为：10．【点评】本题考查了多边形内角和定理和外角和定理：多边形内角和为（n﹣2）•180°，外角和为360°．14．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是S1+S2＝S3．【分析】分别计算大圆的面积S3，两个小圆的面积S1，S2，根据直角三角形中大圆小圆直径（2r3）2＝（2r 1）2+（2r 2）2的关系，可以求得S 1+S 2＝S 3．【解答】解：设大圆的半径是r 3，则S 3＝πr 32；设两个小圆的半径分别是r 1和r 2，则S 1＝πr 12，S 2＝πr 22．由勾股定理，知（2r 3）2＝（2r 1）2+（2r 2）2，得r 32＝r 12+r 22．所以S 1+S 2＝S 3．故答案为S 1+S 2＝S 3．【点评】本题考查了勾股定理的正确运算，在直角三角形中直角边与斜边的关系，本题中巧妙地运用勾股定理求得：（2r 3）2＝（2r 1）2+（2r 2）2是解题的关键．15．已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为 52 ．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，可知AO 和BO 的长，再根据勾股定理即可求得AB 的值，由菱形的四个边相等，继而求出菱形的周长．【解答】解：已知AC ＝10，BD ＝24，菱形对角线互相垂直平分，∴AO ＝5，BO ＝12cm ，∴AB ＝＝13，∴BC ＝CD ＝AD ＝AB ＝13，∴菱形的周长为4×13＝52．故答案是：52．【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，根据勾股定理求AB 的值是解题的关键．16．如图，已知A 1（1，0）、A 2（1，1）、A 3（﹣1，1）、A 4（﹣1，﹣1）、A 5（2，﹣1）、…．则点A 2019的坐标为 （﹣505，505） ．的坐标为（﹣n，n）（n为正【分析】观察图形，由第二象限点的坐标的变化可得出“点A4n﹣1整数）”，再结合2019＝4×505﹣1，即可求出点A2019的坐标．【解答】解：观察图形，可知：点A3的坐标为（﹣1，1），点A7的坐标为（﹣2，2），点A11的坐标为（﹣3，3），…，的坐标为（﹣n，n）（n为正整数）．∴点A4n﹣1又∵2019＝4×505﹣1，∴点A2019的坐标为（﹣505，505）．故答案为：（﹣505，505）．的坐标【点评】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化，找出变化规律“点A4n﹣1为（﹣n，n）（n为正整数）”是解题的关键．三．解答题（共9小题，满分86分）17．计算（1）先化简，再求值+÷，其中a＝+1．（2）已知x＝2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）根据x的值，可以求得题目中所求式子的值．【解答】解：（1）原式＝+•＝+＝，当a＝+1时，原式＝＝1+；（2）∵x＝2﹣，∴x2＝（2﹣）2＝7﹣4，∴（7+4）x2+（2+）x+＝（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+＝1+1+＝2+．【点评】本题考查分式与二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确分式与二次根式化简求值的方法．18．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD 交于点G、H．求证：AG＝CH．【分析】利用平行四边形的性质得出AF＝EC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠E＝∠F，∵BE＝DF，∴AF＝EC，在△AGF和△CHE中，∴△AGF≌△CHE（ASA），∴AG＝CH．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．19．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB ＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD ，在直角三角形ABD 中可求得BD 的长，由BD 、CD 、BC 的长度关系可得三角形DBC 为一直角三角形，DC 为斜边；由此看，四边形ABCD 由Rt △ABD 和Rt △DBC 构成，则容易求解．【解答】解：连接BD ，在Rt △ABD 中，BD 2＝AB 2+AD 2＝32+42＝52，在△CBD 中，CD 2＝132，BC 2＝122，而122+52＝132，即BC 2+BD 2＝CD 2，∴∠DBC ＝90°，S 四边形ABCD ＝S △BAD +S △DBC ＝•AD •AB +DB •BC ，＝×4×3+×12×5＝36．所以需费用36×200＝7200（元）．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．20．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BE ∥AC ，CE ∥DB ．求证：四边形OBEC 是矩形．【分析】先证四边形OCED 是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠BOC ＝90°，根据矩形的定义即可判定四边形OCDE是矩形．【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，且AC、BD是对角线，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴平行四边形OBEC是矩形．【点评】此题综合考查了菱形的性质与矩形的判定方法．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．21．（1）定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如：直角三角形的直角边分别为3、4，则斜边的平方＝32+42＝25．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，直接写出BC2＝36．（2）应用：已知正方形ABCD的边长为4，点P为AD边上的一点，AP＝AD，请利用“两点之间线段最短”这一原理，在线段AC上画出一点M，使MP+MD最小，并直接写出最小值的平方为17．【分析】（1）根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方计算即可；（2）如图，连接BM，PB．因为PM+MD＝PM+BM≥PB，推出PM+DM的最小值为PB的长，由此即可解决问题；【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC2＝AB2﹣AC2＝100﹣64＝36，故答案为36（2）如图，连接BM，PB．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAP＝90°，B、D关于AC对称，∴MD＝MB，∴PM+MD＝PM+BM≥PB，∴PM+DM的最小值为PB的长，在Rt△ABP中，PB2＝AB2+PA2＝42+12＝17，故答案为17．【点评】本题考查轴对称、正方形的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．22．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：①4+2；②6+4（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．【分析】（1）根据完全平方公式求出即可；（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．【解答】解：（1）4+2＝3+2+1＝（）2+2×+12＝（+1）2；6+4＝4+4+2＝22+2×2×+（）2＝（2+）2；（2）∵a+4＝（m+n）2，∴a+4＝m2+2mn+3n2，∴a＝m2+3n2，2mn＝4，∴mn＝2，∵m，n都是正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；即a的值是7或13．【点评】本题考查了完全平方公式和求代数式的值、二次根式的混合运算，能熟记完全平方公式是解此题的关键，还培养了学生的阅读能力和计算能力．23．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．【分析】（1）根据正方形的面积为10可得正方形边长为，画一个边长为正方形即可；（2）①画一个边长为，2，的直角三角形即可；②画一个边长为，，的直角三角形即可；【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．【点评】此题主要考查了利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．24．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，AB＝4，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F，AE与FG交于点O．（1）如图1，求证：A、G、E、F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，点N是线段BC的中点，且ON＝OD，求折痕FG的长．【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG＝GE，∠AGF＝∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG＝∠AGF，从而判断出EF＝AG，得出四边形AGEF是平行四边形，继而结合AG＝GE，可得出结论．（2）连接ON，得出ON是梯形ABCE的中位线，在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，继而可得出折痕FG的长度．【解答】（1）证明：由折叠的性质可得，GA＝GE，∠AGF＝∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG＝∠AGF，∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG＝AG，∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF＝AG），又∵AG＝GE，∴四边形AGEF是菱形．（2）解：连接ON，∵O，N分别是AE，CB的中点，故ON是梯形ABCE的中位线，设CE＝x，则ED＝4﹣x，2ON＝CE+AB＝x+4，在Rt△AED中，AE＝2OE＝2ON＝x+4，AD2+DE2＝AE2，∴22+（4﹣x）2＝（4+x）2，得x＝，OE＝＝，∵△FEO∽△AED，∴＝，解得：FO＝，∴FG＝2FO＝．故折痕FG的长是．【点评】此题考查了翻折变换的知识，涉及了菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质，关键在于得出△FEO∽△AED，求出＝．25．（1）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG＝BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB＝AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．【分析】（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO＝OF，∵OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．②先证明∠ABD＝2∠ADB，推出∠ADB＝30°，延长即可解决问题．（2）IH＝FH．只要证明△IJF是等边三角形即可．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，先证明△DEG≌△DEM，再证明△ECM是直角三角形即可解决问题．【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF，∴EO＝OF，∵OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED，∴四边形EBFD是菱形．②∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∴∠ABD＝2∠ADB，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，∴∠EBF＝60°．（2）结论：IH＝FH．理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ．∵四边形EBFD是菱形，∠B＝60°，∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，∴∠JDH＝∠FGH，在△DHJ和△GHF中，，∴△DHJ≌△GHF，∴DJ＝FG，JH＝HF，∴EJ＝BG＝EM＝BI，∴BE＝IM＝BF，∵∠MEJ＝∠B＝60°，∴△MEJ是等边三角形，∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60°在△BIF和△MJI中，，∴△BIF≌△MJI，∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，∴IH⊥JF，∵∠BFI+∠BIF＝120°，∴∠MIJ+∠BIF＝120°，∴∠JIF＝60°，∴△JIF是等边三角形，在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，∴∠FIH＝30°，∴IH＝FH．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∵∠FAD+∠DEF＝90°，∴AFED四点共圆，∴∠EDF＝∠DAE＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠EDC＝45°，∵∠ADF＝∠CDM，∴∠CDM+∠CDE＝45°＝∠EDG，在△DEM和△DEG中，，∴△DEG≌△DEM，∴GE＝EM，∵∠DCM＝∠DAG＝∠ACD＝45°，AG＝CM，∴∠ECM＝90°∴EC2+CM2＝EM2，∵EG＝EM，AG＝CM，∴GE2＝AG2+CE2．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2022-2023学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．直线x =π2的倾斜角为（ ） A ．不存在B ．π2C ．0D ．π2．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 4＝（ ） A ．﹣8B ．8C ．±8D ．±43．直线x +y +b ＝0与线段AB 没有公共点，其中A （1，2），B （3，﹣3），则实数b 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B ．（﹣3，0）C ．[﹣3，0]D ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）4．已知等差数列{a n }公差d ≠0，数列{b n }为正项等比数列，已知a 3＝b 3，a 9＝b 9，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．a 6＜b 6C ．a 8＞b 8D ．a 12＞b 125．已知A （0，0），B （2，0），C （2，﹣2），D （m ，﹣1）四点共圆，则实数m 的值为（ ） A ．√2±1B ．√2+1C ．√2−1D ．1±√26．S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 6＝3a 1，a 1＞0，则使S n ＞a n 的n 的最大值为（ ） A ．2B ．12C ．11D ．107．直线l 按向量a →=(−3，1)平移后得直线l '，设直线l 与l '之间的距离为d ，则d 的范围是（ ） A ．[√10，+∞)B ．[0，√10]C ．[1，3]D ．[0，10]8．已知数列{a n }前n 项和S n 满足：2S n ＝n 2+3n ，数列{b n }前n 项和T n 满足：T n ＝2b n ﹣1，记M n =a b 1+a b 2+⋯+a b n ，则使得M n 值不超过2022的项的个数为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．下述四个结论，正确的是（ ）A ．过点A （1，1）在x 轴，y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝0B ．直线x ﹣y +k ＝0与圆x 2+y 2＝1相交的充分不必要条件是k ＝1C ．直线ax +y +1＝0表示过点（0，﹣1）的所有直线D．过点B(1，√3)与圆x2+y2＝4相切的直线方程为x+√3y−4=010．对于数列{a n}，设其前n项和S n，则下列命题正确的是（）A．若数列{a n}为等比数列，S3，S9，S6成等差，则a2，a8，a5也成等差B．若数列{a n}为等比数列，则S2n2=S n⋅S3nC．若数列{a n}为等差数列，且S5＝S8，a1＜0，则使得S n＞0的最小的n值为13D．若数列{a n}为等差数列，且a1=1，a3=2√2+1，则{a n}中任意三项均不能构成等比数列11．设直线mx﹣（m2+1）y+m＝0（m∈R，m≠0）与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2交于A，B两点，定点C （2，0），则△ABC的形状可能为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列{a n}，正方形数构成数列{b n}，则下列说法正确的是（）A．1a1+1a2+1a3+⋯+1a n=nn+1B．1225既是三角形数，又是正方形数C．1b1+1b2+1b3+⋯+1b n＜3320D．∀m∈N*，m≥2，总存在p，q∈N*，使得b m＝a p+a q成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知点P在直线x﹣y﹣1＝0上，点A（1，﹣2），B（2，6），则|P A|﹣|PB|取得最小值时点P坐标为．14．已知正项等比数列{a n}满足：a7＝a6+2a5，若存在两项a m、a n使得√a m⋅a n=4a1，则1m +4n的最小值为．15．曲线x2+y2＝2|x﹣1|+2|y|+2x﹣1所围成图形面积为．16．在平面直角坐标系xoy中，A为直线l：2x﹣y＝0上的点，B（5，0），以AB为直径的⊙C（圆心为C）与直线l交于另一点D，若△ABD为等腰三角形，则点A的横坐标为；若⊙C与⊙B：（x﹣5）2+y2＝10相交于E、F两点，则公共弦EF长度最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知两直线l1：mx+8y+n＝0和l2：2x+my﹣1＝0，试确定m，n的值，使（1）l1与l2相交于点P（m，﹣1）；（2）l1∥l2；（3）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为﹣1．18．（12分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，且满足a2n＝2a n+2，S6＝5S3．（1）求a9的值；（2）设x为a2，a5的等比中项，数列{b n}是以a2，x，a5为前三项的等比数列，试求数列{b n}的通项b n及前n项和T n的表达式．19．（12分）已知点P（﹣1，1），⊙C：x2+（y﹣2a﹣1）2＝1，过点P斜率为a的直线l交圆C于A，B 两点．（1）当△ABC面积最大时，求直线l方程；（2）若a＞0，在（1）条件下，设点T为圆C上任意一点，试问在平面内是否存在定点Q，使得|TP|＝2|TQ|成立，若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．20．（12分）设正项数列{a n}前n项和为S n，从条件：①13a1+15a2+17a3+⋯+1(2n+1)a n=n2n+1，②4S n=(a n+1)2，③a1＝1，a n a n+1+1＝4S n，任选一个，补充在下面横线上，并解答下面问题．已知正项数列{a n}前n项和为S n，且满足_____．（1）求S n；（2）令b n=a n⋅(√2)a n+1，记数列{b n}前n项和为T n，若对任意的n∈N*，n≥2，均有(T n−6)m≥4n2−16n+15恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知圆D：x2+（y﹣1）2＝3，过点P（0，﹣1）的直线l与圆D相交于M，N两点，且|MN|＝2，圆Q是以线段MN为直径的圆．（1）求圆Q的方程；（2）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），圆Q是△ABC的内切圆，试求△ABC面积的取值范围．22．（12分）已知正项数列{a n}满足a1=12，a n+1+a n=2n+1a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：a1+a2+⋯+a n＜11 8．2022-2023学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．直线x =π2的倾斜角为（ ） A ．不存在B ．π2C ．0D ．π解：根据题意，直线x =π2与x 轴垂直，其倾斜角为π2．故选：B ．2．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 4＝（ ） A ．﹣8B ．8C ．±8D ．±4解：设公比为q ，因为a 1＝1、a 5＝16， 所以a 5=a 1q 4=q 4=16，解得q ＝±2， 所以a 4=a 1q 3=±8． 故选：C ．3．直线x +y +b ＝0与线段AB 没有公共点，其中A （1，2），B （3，﹣3），则实数b 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B ．（﹣3，0）C ．[﹣3，0]D ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）解：直线x +y +b ＝0化为y ＝﹣x ﹣b ，由题可知，当直线y ＝﹣x ﹣b 经过点A （1，2）时，解得b ＝﹣3， 当直线y ＝﹣x ﹣b 经过点B （3，﹣3）时，解得b ＝0，若直线x +y +b ＝0与线段AB 没有公共点， 则有b ＜﹣3或b ＞0，故实数b 的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．故选：A ．4．已知等差数列{a n }公差d ≠0，数列{b n }为正项等比数列，已知a 3＝b 3，a 9＝b 9，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．a 6＜b 6C ．a 8＞b 8D ．a 12＞b 12解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0）， 若q ＝1，则b 2＝b 10，得a 2＝a 10，解得d ＝0，不符合题意； 所以q ≠1，得b 1＞0，又a n =a 1+(n −1)d ，b n =b 1q n−1， 令a n ＝b n ，得a 1+(n −1)d =b 1qn−1，即qd b 1n +a 1−db 1q =q n ①，设A =qdb 1，B =a 1−db 1q ，C =q ，则A ≠0，C ＞0且C ≠1， 所以①式变为An +B ＝C n ，由题意，知n ＝3和n ＝9是方程An +B ＝C n 的两个解， 令f （x ）＝Ax +B （A ≠0），g （x ）＝C n （C ＞0且C ≠1）， 则一次函数f （x ）与指数函数g （x ）的图象至少有2个交点， 作出两个函数图象，如图，当函数f （x ）与g （x ）单调递增或递减时，f （n ）＝g （n ）（n ∈N *）才会有2个解，且无论哪种情况，都有n ∈[1，3]时，f （n ）＜g （n ）；n ∈[3，9]时，f （n ）＞g （n ）；n ∈[9，+∞）时，f （n ）＜g （n ）；所以f （2）＜g （2），f （6）＞g （6），f （8）＞g （8），f （12）＜g （12）， 即a 2＜b 2，a 6＞b 6，a 8＞b 8，a 12＜b 12． 故选：C ．5．已知A （0，0），B （2，0），C （2，﹣2），D （m ，﹣1）四点共圆，则实数m 的值为（ ） A ．√2±1B ．√2+1C ．√2−1D ．1±√2解：设过四点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，（D 2+E 2﹣4F ＞0），将A （0，0），B （2，0），C （2，﹣2）代入可得：{F =04+2D +F =04+4+2D −2E +F =0，解得{F =0D =−2E =2，所以圆的方程为x 2+y 2﹣2x +2y ＝0，将D（m，﹣1）代入圆的方程得m2﹣2m﹣1＝0，解得m=1±√2．故选：D．6．S n为等差数列{a n}前n项和，若S6＝3a1，a1＞0，则使S n＞a n的n的最大值为（）A．2B．12C．11D．10解：因为等差数列{a n}中，S6＝3a1，a1＞0，所以6a1+15d＝3a1，即a1+5d＝0①，由S n＞a n可得na1+n(n−1)d2＞a1+(n−1)d②，①②联立整理得n2﹣13n+12＜0，解得1＜n＜12，因为n为正整数，n＝11．故选：C．7．直线l按向量a→=(−3，1)平移后得直线l'，设直线l与l'之间的距离为d，则d的范围是（）A．[√10，+∞)B．[0，√10]C．[1，3]D．[0，10]解：当直线l的方向向量与a→=(−3，1)共线时，这时候直线l与l'重合，距离为最短，d＝0，当直线l的方向向量与a→=(−3，1)垂直时，这时候直线l与l'平行且距离为最长，d=√32+12=√10．故选：B．8．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n＝n2+3n，数列{b n}前n项和T n满足：T n＝2b n﹣1，记M n=a b1+a b2+⋯+a bn，则使得M n值不超过2022的项的个数为（）A．8B．9C．10D．11解：∵2S n=n2+3n①，当n≥2时，2S n﹣1＝（n﹣1）2+3（n﹣1）②，由①﹣②得a n=S n−S n−1=n2+3n2−(n−1)2+3(n−1)2=n+1，当n＝1时，2S1=12+3×1=4，则a1＝2符合上式，故a n＝n+1；又T n＝2b n﹣1③，当n≥2时，T n﹣1＝2b n﹣1﹣1④，由③﹣④得b n＝T n﹣T n﹣1＝2b n﹣2b n﹣1，即b n＝2b n﹣1，当n＝1时，T1＝2b1﹣1，则b1＝1，∴数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n=2n−1，∴M n=a b1+a b2+⋯+a bn=a20+a21+⋯+a2n−1=20+1+22+1+⋯+2n−1+1=n+1−2n1−2=n+2n−1，又M n≤2022，即n+2n﹣1≤2022，又2n﹣1单调递增，n单调递增，∴M n单调递增，又210＝1024，211＝2048，∴M10＝9+1024＝1033＜2022，M11＝10+2048＝2058＞2022，故使得M n值不超过2022的项的个数为10，故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．下述四个结论，正确的是（）A．过点A（1，1）在x轴，y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0B．直线x﹣y+k＝0与圆x2+y2＝1相交的充分不必要条件是k＝1C．直线ax+y+1＝0表示过点（0，﹣1）的所有直线D．过点B(1，√3)与圆x2+y2＝4相切的直线方程为x+√3y−4=0解：对于A，没有考虑截距均为0的情况，排除A；对于B，若直线x﹣y+k＝0与圆x2+y2＝1相交，则√2≤1，解得−√2≤k≤√2，∴k＝1是直线x﹣y+k＝0与圆x2+y2＝1相交的充分不必要条件，故B 正确；对于C，点（0，﹣1）在y轴上，但无论a取何值，ax+y+1＝0不能表示y轴，故C不正确；对于D，设过B(1，√3)的直线方程为y−√3=k(x−1)，即kx−y+√3−k=0，∴√3−k|√1+k2=2，即3k2+2√3k+1=0，解得k=−√33，∴过B(1，√3)的直线方程为x+√3y−4=0，故D正确．故选：BD．10．对于数列{a n}，设其前n项和S n，则下列命题正确的是（）A．若数列{a n}为等比数列，S3，S9，S6成等差，则a2，a8，a5也成等差B．若数列{a n}为等比数列，则S2n2=S n⋅S3nC．若数列{a n}为等差数列，且S5＝S8，a1＜0，则使得S n＞0的最小的n值为13D．若数列{a n}为等差数列，且a1=1，a3=2√2+1，则{a n}中任意三项均不能构成等比数列解：对于A，若数列{a n}为等比数列，S3，S9，S6成等差，由等差数列的性质可得，2S9＝S3+S6，若公比q＝1，则2S9＝18a1≠S3+S6＝9a1，故q ≠1，所以2S 9＝S 3+S 6，由等比数列的求和公式可得，2×a 1(1−q 9)1−q =a 1(1−q 3)1−q +a 1(1−q 6)1−q，整理得2q 6﹣q 3﹣1＝（2q 3+1）（q 3﹣1）＝0，由于q ≠1，所以q 3=−12， 所以2a 8=2a 2q 6=12a 2，a 2+a 5=a 2+a 2q 3=12a 2，即2a 8＝a 2+a 5， 故a 2，a 8，a 5也成等差，故A 正确；对于B ，若数列{a n }为等比数列，若公比q ＝1时，S 2n 2=(2na 1)2=4n 2a 12≠S n ⋅S 3n =na 1⋅3na 1=3n 2a 12；若公比q ≠1时，则2q 2n ≠q 3n +qn，所以S 2n2=a 12(1−q 2n )2(1−q)2=a 12(q 4n −2q 2n +1)(1−q)2≠S n ⋅S 3n=a 1(1−q n )1−q⋅a 1(1−q 3n )1−q =a 12(q 4n −q 3n −q n +1)(1−q)2，故B 不正确； 对于C ，若数列{a n }为等差数列，公差为d ，由S 5＝S 8， 得5a 1+5×42d =8a 1+8×72d ，即a 1＝﹣6d ＜0，则d ＞0， 所以S n =na 1+n(n−1)d 2=12dn(n −13)＞0，得n ＞13，又n ∈N *，则n min ＝14，故C 不正确； 对于D ，若数列{a n }为等差数列，且a 1=1，a 3=2√2+1，则公差d =a 3−a 12=√2， 所以a n =1+√2(n −1)，假设等差数列{a n }中的三项a p ，a q ，a r 构成等比数列，p ，q ，r ∈N *，且p ，q ，r 互不相等，由等比数列的性质可得，a q 2=a p ⋅a r ，结合等比数列的通项公式可得，[1+√2(q −1)]2=[1+√2(p −1)]⋅[1+√2(r −1)]， 所以2(q −1)2−2(p −1)(r −1)=√2(p +r −2q)，因为p ，q ，r ∈N *，则{2(q −1)2−2(p −1)(r −1)=0p +r −2q =0，其中q =p+r 2，则[（p ﹣1）﹣（r ﹣1）]2＝0，得p ＝r ，这与p ，q ，r 互不相等矛盾，故假设不成立，则{a n }中任意三项均不能构成等比数列，故D 正确． 故选：AD ．11．设直线mx ﹣（m 2+1）y +m ＝0（m ∈R ，m ≠0）与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2交于A ，B 两点，定点C （2，0），则△ABC 的形状可能为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形解：直线mx ﹣（m 2+1）y +m ＝0（m ∈R ，m ≠0），整理为m （x +1）﹣（m 2+1）y ＝0，当{x +1=0y =0得x ＝﹣1，y ＝0，所以直线过定点M （﹣1，0），且点C （2，0）在圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2上，且圆心Q（1，1），半径r=√2，直线mx﹣（m2+1）y+m＝0（m∈R，m≠0），即y=mm2+1x+mm2+1，其斜率k=mm2+1，因为m≠0，故k≠0，①则当直线过圆心Q（1，1），则线段AB为圆的直径，则此时△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，此时直线斜率k=k MQ=12=mm2+1，解得m＝1，故B可能；②由①知，当直线过圆心Q（1，1）时，△ABC为直角三角形，故当k=mm2+1＜12时，整理得m2﹣2m+1＞0，不等式有解，即直线在直线MQ下方时，△ABC是以C为钝角顶点的顿角三角形，故A可能；③若△ABC为正三角形，则直线与直线QC垂直，又k QC＝﹣1，则有k=mm2+1=1，整理得m2﹣m+1＝0，方程无实根，故不存在这样的直线使得△ABC为正三角形，故C不可能；④若△ABC为等腰直角三角形，则必有一边为圆的直径，若线段AB为圆的直径，则直线斜率k=12，m＝1，又得满足直线与直线QC垂直，k QC＝﹣1，所以k⋅k QC=−12≠−1，两直线不垂直，故△ABC不是以AB为斜边的等要直角三角形；若线段CA或CB为直径，还是得满足直线QC与MQ垂直，故△ABC不是以CA或CB为斜边的等要直角三角形，故D不可能．故选：AB．12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列{a n}，正方形数构成数列{b n}，则下列说法正确的是（）A．1a1+1a2+1a3+⋯+1a n=nn+1B．1225既是三角形数，又是正方形数C．1b1+1b2+1b3+⋯+1b n＜3320D．∀m∈N*，m≥2，总存在p，q∈N*，使得b m＝a p+a q成立解：三角形数构成数列{a n}：1，3，6，10，易发现a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，⋯，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2），累加得a n−a1=(n−1)(2+n)2，所以a n=n(n+1)2，n＝1也成立；正方形数构成数列{b n}：1，4，9，16，易发现b2﹣b1＝3，b3﹣b2＝5，⋯，b n﹣b n﹣1＝2n﹣1（n≥2），累加得b n−b1=(2n+2)(n−1)2，得到b n=n2，n＝1也成立；对A，1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以1a1+1a2+1a3+⋯+1a n=2(1−1n+1)=2nn+1，故选项A错误；对B，令a n=n2+n2=1225，解得n＝49；令b n=n2=1225，解得n＝35，故选项B正确；对C，1b n =1n2＜44n2−1=2(12n−1−12n+1)，所以1b1+1b2+1b3+⋯+1b n=1+14+(132+⋯+1n2)＜54+2(15−17+17−19+12n−1−12n+1)，整理得，1b1+1b2+1b3+⋯+1b n＜54+2(15−12n+1)=3320−12n+1＜3320，故选项C正确；对D，取m＝p＝q，且m∈N*，令m2=m(m+1)2+m(m−1)2，有b m＝a m+a m﹣1，故∀m∈N*，m≥2，总存在p，q∈N*，使得b m＝a p+a q成立，故选项D正确；故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知点P 在直线x ﹣y ﹣1＝0上，点A （1，﹣2），B （2，6），则|P A |﹣|PB |取得最小值时点P 坐标为 （﹣3，﹣4） ．解：如图，设A 关于直线x ﹣y ﹣1＝0的对称点为E （m ，n ）， 因为A （1，﹣2），所以{n+2m−1=−1m+12−n−22−1=0，解得m ＝﹣1，n ＝0，则E （﹣1，0），所以|P A |﹣|PB |＝|PE |﹣|PB |，结合图形则当B ，E ，P 三点共线时，此时|PE |﹣|PB |取得最小值，即P 在Q 点位置时， 则k BQ =6−02−(−1)=2，直线BQ 为y ＝2（x +1）＝2x +2，于是{x −y −1=0y =2x +2，解得x ＝﹣3，y ＝﹣4，即Q （﹣3，﹣4），故|P A |﹣|PB |取得最小值时点P 坐标为（﹣3，﹣4）． 故答案为：（﹣3，﹣4）．14．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n 使得√a m ⋅a n =4a 1，则1m+4n的最小值为32．解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6+2a 5得a 5q 2=a 5q +2a 5， 解得q ＝2（q ＝﹣1舍去）， ∴a n =a 1×2n−1，由√a m a n =4a 1得a 1×2m−1×a 1×2n−1=16a 12，∴m +n ＝6，所以(1m +4n )=16(m +n)(1m +4n )=16(5+4mn +nm )≥16(5+2√4mn ×nm )=32，当且仅当4mn =nm ，即m＝2．n ＝4时等号成立， 所以1m +4n的最小值是32．故答案为：32．15．曲线x 2+y 2＝2|x ﹣1|+2|y |+2x ﹣1所围成图形面积为 4π+8 ． 解：分四种情况讨论：①当x ＜1，y ＜0时，方程可化为：x 2+（y +1）2＝2， 表示圆心为（0，﹣1），半径为√2的圆；②当x ＜1，y ≥0时，方程可化为：x 2+（y ﹣1）2＝2， 表示圆心为（0，1），半径为√2的圆；③当x ≥1，y ＜0时，方程可化为：（x ﹣2）2+（y +1）2＝2， 表示圆心为（2，﹣1），半径为√2的圆；④当x ≥1，y ≥0时，方程可化为：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝2， 表示圆心为（2，1），半径为√2的圆． 作出图像如图所示：由图可知：曲线所围成图形为四个半圆和一个正方形所组成的区域， 正方形边长和圆的直径相等，所以S =2×π×(√2)2+(2√2)2=4π+8． 故答案为：4π+8．16．在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线l ：2x ﹣y ＝0上的点，B （5，0），以AB 为直径的⊙C （圆心为C ）与直线l 交于另一点D ，若△ABD 为等腰三角形，则点A 的横坐标为 3或﹣1 ；若⊙C 与⊙B ：（x﹣5）2+y 2＝10相交于E 、F 两点，则公共弦EF 长度最小值为 2√5 ． 解：依题意AB 为直径，所以∠ADB ＝90°， 又△ABD 为等腰三角形， 所以△ABD 为等腰直角三角形，过点B （5，0）与直线l ：2x ﹣y ＝0垂直的直线方程为y =−12(x −5)， 由{2x −y =0y =−12(x −5)，解得{x =1y =2，即D （1，2），又|BD|=√(5−1)2+(0−2)2=2√5， 则|AD |＝|BD |，设A （x ，2x ），所以√(x −1)2+(2x −2)2=2√5，解得x ＝3或x ＝﹣1， 设A （a ，2a ），则A 、B 的中点C(a+52，a)，|AB|=√(a −5)2+4a 2，所以圆C 的方程为(x −a+52)2+(y −a)2=(a−5)2+4a 24， 又⊙B ：（x ﹣5）2+y 2＝10，所以公共弦EF 的方程为(x −a+52)2+(y −a)2−[(x −5)2+y 2]=(a−5)2+4a 24−10， 即（5﹣a ）x ﹣2ay +5a ﹣15＝0，即（5﹣x ﹣2y ）a +（5x ﹣15）＝0，令{5x −15=05−x −2y =0，解得{x =3y =1，即直线EF 恒过定点M （3，1），⊙B ：（x ﹣5）2+y 2＝10的圆心B （5，0），半径r =√10，所以|BM|=√(5−3)2+(0−1)2=√5，所以公共弦|EF |的最小值为2√r 2−|BM|2=2√5； 故答案为：3或﹣1；2√5四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知两直线l 1：mx +8y +n ＝0和l 2：2x +my ﹣1＝0，试确定m ，n 的值，使 （1）l 1与l 2相交于点P （m ，﹣1）； （2）l 1∥l 2；（3）l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为﹣1．解：（1）将点P （m ，﹣1）代入两直线方程得：m 2﹣8+n ＝0 和 2m ﹣m ﹣1＝0， 解得 m ＝1，n ＝7．（2）由 l 1∥l 2得：m 2﹣8×2＝0，m ＝±4，又两直线不能重合，所以有 8×（﹣1）﹣mn ≠0，对应得 n ≠2m ， 所以当 m ＝4，n ≠﹣2 或 m ＝﹣4，n ≠2 时，L 1∥l 2．（3）当m＝0时直线l1：y=−n8和l2：x=12，此时，l1⊥l2，−n8=−1⇒n＝8．当m≠0时此时两直线的斜率之积等于14，显然l1与l2不垂直，所以当m＝0，n＝8时直线l1和l2垂直，且l1在y轴上的截距为﹣1．18．（12分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，且满足a2n＝2a n+2，S6＝5S3．（1）求a9的值；（2）设x为a2，a5的等比中项，数列{b n}是以a2，x，a5为前三项的等比数列，试求数列{b n}的通项b n 及前n项和T n的表达式．解：（1）设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，∵a2n＝2a n+2，S6＝5S3，则{a1+(2n−1)d=2[a1+(n−1)d]+26a1+6×52d=5(3a1+3×22d)，解得{d=2a1=0，故a n＝2n﹣2，∴a9＝a1+8d＝16；（2）由（1）得a n＝2n﹣2，则a2＝2，a5＝8，∵x是a2，a5等比中项，∴x2＝a5•a2，即x2＝2×8＝16，解得x＝±4，又数列{b n}是以a2，x，a5为前三项的等比数列，∴当x＝4时，数列{b n}是前三项依次为2，4，8的等比数列，其首项为2，公比为2，故b n=2n，(n∈N∗)，T n=b1(1−q n)1−q=2n+1−2，(n∈N∗)，当x＝﹣4时，数列{b n}是前三项依次为2，﹣4，8的等比数列，其首项为2，公比为﹣2，故b n=(−1)n−1⋅2n，(n∈N∗)，T n=b1(1−q n)1−q=23(1−(−2)n)，(n∈N∗)．19．（12分）已知点P（﹣1，1），⊙C：x2+（y﹣2a﹣1）2＝1，过点P斜率为a的直线l交圆C于A，B 两点．（1）当△ABC面积最大时，求直线l方程；（2）若a＞0，在（1）条件下，设点T为圆C上任意一点，试问在平面内是否存在定点Q，使得|TP|＝2|TQ|成立，若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）设直线l的方程为y﹣1＝a（x﹣1），即ax﹣y+a+1＝0，因为|CA|＝|CB|，所以△CAB为等腰三角形，设∠ACB ＝α，α∈[0，π]， 设AB 的中点为D ， 所以CD ⊥AB ，所以|CD |＝|CA |cos α2，|AB |＝2sin α2，所以S △ABC =12|CD |•|AB |＝sin α2cosα2=12sin α，α∈[0，π]，所以当α=π2时，S △ABC 取得最大值12， 此时|CD |=√22=|−2a−1+a+1|√a 2+1=√22，解得a ＝±1，所以当△ABC 的面积最大时，直线l 的方程为x ﹣y +2＝0或x +y ＝0． （2）当a ＞0时，由（1）知a ＝1，圆的方程为x 2+（y ﹣3）2＝1，设圆上任意一点T （a ，b ），Q （x 2，y 2），则a 2+（b ﹣3）2＝1，即a 2＝1﹣（b ﹣3）2＝﹣b 2+6b ﹣8①， 因为|TP |＝2|TQ |， 所以|TP |2＝4|TQ |2，所以（a +1）2+（b ﹣1）2＝4（x 2﹣a ）2+4（y 2﹣b ）2， 所以a 2+2a +1+b 2+2b +1＝4x 22﹣8ax 2+4a 2+4y 22﹣8by 2+4b 2， 把①代入上式可得，﹣b 2+6b ﹣8+2a +1+b 2+2b +1＝4x 22﹣8ax 2+4a 2+4y 22﹣8by 2+4b 2， 整理得（﹣2﹣8x 2）a +（20﹣8y 2）b ﹣26+4x 22+4y 22＝0，假设点T 为圆C 上任意一点，在平面内是否存在定点Q ，使得|TP |＝2|TQ |成立， 则{−2−8x 2=0−8y 2+20=0−26+4x 22+4y 22=0，解得{x 2=−14y 2=52，所以Q （−14，52）．20．（12分）设正项数列{a n }前n 项和为S n ，从条件：①13a 1+15a 2+17a 3+⋯+1(2n+1)a n=n2n+1，②4S n =(a n +1)2，③a 1＝1，a n a n +1+1＝4S n ，任选一个，补充在下面横线上，并解答下面问题．已知正项数列{a n }前n 项和为S n ，且满足_____． （1）求S n ；（2）令b n =a n ⋅(√2)a n +1，记数列{b n }前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，n ≥2，均有(T n −6)m ≥4n 2−16n +15恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）选取条件①，对任意的n ∈N *，13a 1+15a 2+17a 3+⋯+1(2n+1)a n=n 2n+1，当n ＝1时，13a 1=13，解得a 1＝1，当n ≥2且n ∈N *时，13a 1+15a 2+17a 3+⋯+1(2n−1)a n−1=n−12n−1， 两式相减得1(2n+1)a n=n2n+1−n−12n−1=n(2n−1)−(2n+1)(n−1)(2n−1)(2n+1)=1(2n−1)(2n+1)，∴a n ＝2n ﹣1，且a 1＝1也满足a n ＝2n ﹣1， 故对任意的n ∈N *，a n ＝2n ﹣1，∵a n +1﹣a n ＝[2（n +1）﹣1]﹣（2n ﹣1）＝2， ∴数列{a n }为等差数列， 故S n =n(a 1+a n )2=n(1+2n−1)2=n 2； 选取条件②，对任意的n ∈N *，4S n =a n 2+2a n +1，当n ＝1时，则4a 1=4S 1=a 12+2a 1+1，则(a 1−1)2=0，解得a 1＝1， 当n ≥2且n ∈N *时，4S n =a n 2+2a n +1，则4S n−1=a n−12+2a n−1+1， 两式相减得4a n =a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，即（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，对任意的n ∈N *，a n ＞0，∴当n ≥2且n ∈N *时，a n ﹣a n ﹣1＝2，故数列{a n }为等差数列，且首项为1，公差为2， ∴a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1， 故S n =n(a 1+a n )2=n(1+2n−1)2=n 2； 选取条件③，对任意的n ∈N *，a n a n +1+1＝4S n ，且a 1＝1， 当n ＝1时，a 1a 2+1＝4S 1＝4a 1，解得a 2＝3，当n ≥2且n ∈N *时，a n a n +1+1＝4S n ，则a n a n ﹣1+1＝4S n ﹣1， 两式相减得a n （a n +1﹣a n ﹣1）＝4a n ， 对任意的n ∈N *，a n ＞0，∴当n ≥2且n ∈N *时，a n +1﹣a n ﹣1＝4，所以，数列{a 2k ﹣1}和数列{a 2k }(k ∈N ∗)均为等差数列，且公差均为4，∴a 2k ﹣1＝a 1+4（k ﹣1）＝1+4（k ﹣1）＝4k ﹣3＝2（2k ﹣1）﹣1，a 2k ＝a 2+4（k ﹣1）＝4k ﹣1＝2×2k ﹣1，故对任意的n ∈N *，a n ＝2n ﹣1，∵a n+1﹣a n＝[2（n+1）﹣1]﹣（2n﹣1）＝2，则数列{a n}为等差数列，∴S n=n(a1+a n)2=n(1+2n−1)2=n2；（2）由（1）得a n=2n−1(n∈N∗)，则b n=(2n−1)2n，∴T n=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−1)⋅2n④，2T n=1⋅22+3⋅23+⋯+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1⑤，由④﹣⑤得−T n=2+(23+24+⋯+2n+1)−(2n−1)⋅2n+1=2+23(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n+1=−6+（3﹣2n）⋅2n+1，∴T n=6+(2n−3)⋅2n+1，即T n−6=(2n−3)⋅2n+1对任意的n∈N*，n≥2，均有(T n−6)m≥4n2−16n+15恒成立，转化为（2n﹣3）⋅2n+1m≥（2n﹣3）⋅（2n﹣5）恒成立，∵n≥2，∴2n﹣3＞0，即m≥2n−52n+1对任意n≥2且n∈N*恒成立，令f(n)=2n−52n+1(n≥2，n∈N∗)，则f(n+1)−f(n)=2n−32n+2−2n−52n+1=7−2n2n+2＞0，当2≤n≤3时，f（n+1）＞f（n），则数列{f（n）}单调递增，即f（2）＜f（3）＜f（4）；当n≥4时，f（n+1）＜f（n），则数列{f（n）}单调递减，即f（4）＞f（5）＞⋯，故数列{f（n）}（n≥2）中的最大项为f(4)=332，即m≥332，故实数m的取值范围为[332，+∞）．21．（12分）已知圆D：x2+（y﹣1）2＝3，过点P（0，﹣1）的直线l与圆D相交于M，N两点，且|MN|＝2，圆Q是以线段MN为直径的圆．（1）求圆Q的方程；（2）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），圆Q是△ABC的内切圆，试求△ABC面积的取值范围．解：（1）设直线l的方程为y＝kx﹣1，因为圆C半径为√3，|MN|＝2，所以圆心D（0，1）到直线l的距离d=√3−1=√2，即√k2+1=√2，解得k＝±1，当k＝1时，过D（0，1）与直线l：y＝x﹣1垂直的直线y＝﹣x+1与l：y＝x﹣1交点为（1，0），所以圆Q方程为（x﹣1）2+y2＝1；当k＝﹣1时，过D（0，1）与直线l：y＝﹣x﹣1垂直的直线y＝x+1与l：y＝﹣x﹣1交点为（﹣1，0），所以圆Q方程为（x+1）2+y2＝1，即所求圆方程为（x﹣1）2+y2＝1或（x+1）2+y2＝1．（2）由圆的性质可知，只研究圆Q方程为（x﹣1）2+y2＝1时即可，设AC ：y ＝k 1x +t 与圆Q 相切，则有1√k 12+1=1，即有k 12+1=k 12+2tk 1+t 2，从而有k 1=1−t 22t ，设BC ：y ＝k 2x +t +6与圆Q 相切，则有2√k 22+1=1，即有k 22+1=k 22+2(t +6)k 2+(t +6)2，从而有k 2=1−(t+6)22(t+6)，联立直线AC ，BC ，由{y =k 1x +t y =k 2x +t +6得x C =6k 1−k 2，所以S △ABC=12|AB|⋅|x c |=12⋅6⋅6|k 1−k 2|=18|1−t 22t −1−(t+6)22(t+6)|=18⋅|t 2+6t 3(t 2+6t+1)|=6|1+1t 2+6t|， 当﹣5≤t ≤﹣2时，S △ABC ∈[274，152]．22．（12分）已知正项数列{a n }满足a 1=12，a n+1+a n =2n+1a n a n+1． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求证：a 1+a 2+⋯+a n ＜118． 解：（1）由a n+1+a n =2n+1a n a n+1，a n ＞0得12n+1a n+12n+1a n+1=1，即12n+1a n+1=1−12⋅2n a n，令b n =12na n，有b n+1=1−12b n ，b n+1−23=−12(b n −23)， 又b 1−23=13≠0，故b n −23≠0，所以b n+1−23b n −23=−12， 所以数列{b n −23}是以13为首项，−12为公比的等比数列，所以b n −23=13(−12)n−1， 所以b n =13(−12)n−1+23，b n ⋅2n =23[2n −(−1)n ]， 所以有a n =12nb n =32⋅12n −(−1)n ，即a n =32⋅12n −(−1)n ； （2）证明：因为a 1=12，a 2=12，a 1+a 2＝1，当n ≥4且n 为偶数时，a n−1+a n =32[12n−1+1+12n −1]=32[2n+2n−122n−1+2n−1−1]＜32[2n+2n−122n−1]=32[12n−1+12n ]， 化简得a n−1+a n ＜92⋅12n ，所以a1+a2+⋯+a n=1+92116(1−14n−22)1−14=1+38(1−12n−2)＜1+38=118，当n≥3且n为奇数时，则n+1≥4且n+1为偶数，由上述证明可知a1+a2+⋯+a n+a n+1＜11 8，又因为a n=12n b n=32⋅12n−(−1)n＞0，所以a1+a2+⋯+a n＜118−a n+1＜118，综上a1+a2+⋯+a n＜11 8．。

2017-2018学年上学期期中考试九年级数学试卷（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成；一、选择题 （本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。

1、在﹣5，0，﹣2，1这四个数中，最小的数是（ ）A ．﹣5B ．﹣2C ．0D ．12、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3、下列计算正确的是（ ）A ．532x x x =+B ．2x ·63x x =C ．()532x x =D ．235x x x =÷4、下列调査中，适合采用全面调査（普査）方式的是 ( )A ．对嘉陵江水质情况的调査B ．对端午节期间市场上粽子质量情况的调査C ．对某班50名同学体重情况的调査D ．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调査5、对于二次函数2(1)2y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）．A ．开口向下B ．对称轴是1x =-C ．顶点坐标是(1,2)D ．与x 轴有两个交点 6、若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根，且m ≠0，则n m +的值为（ ）A.1-B.1C.21-D.21 7、将抛物线y =(x －4)2＋2向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后抛物线的 表达式为（ ）A ．y =(x －3)2＋5B ．y =(x －3)2－1C ．y =(x －5)2＋5D ．y =(x －5)2－18、共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为（ ）A ．21000(1)1000440x +=+B ．21000(1)440x +=C ．2440(1)1000x +=D ．1000(12)1000440x +=+9、在同一平面直角坐标系中，函数y =ax 2+bx 与y =bx +a 的图象可能是（ ）A B C D10、下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（ ）A ．50B ．60C ．64D ．7211、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =2,将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，连结BM ，则BM 的长是（ ）A.4B. 13+C. 23+D. 712、在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，随机取出一个数，记为a ，若数 a 使关于x 的分式方程3233ax x x+=---的解是正实数，且使得二次函数y =﹣x 2+（2 a ﹣1）x +1的图象，在x ＞2时，y 随x 的增大而减小，则满足条件的所有a 之和是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上13、据报道，西部地区最大的客运枢纽系统﹣﹣重庆西站，一期工程已经完成90%，预计在年内建成投入使用。

江苏省苏州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．的倒数是（）A． B． C． D．2．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（）A．0.7×10﹣3B．7×10﹣3C．7×10﹣4D．7×10﹣53．下列运算结果正确的是（）A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1C．a2•a4=a8D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b4．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.45．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为（）A．58° B．42° C．32° D．28°6．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定7．根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：用水量（吨）15 20 25 30 35户数 3 6 7 9 5则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（）A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，258．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m9．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B． C． D．3二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．分解因式：x2﹣1=．12．当x=时，分式的值为0．13．要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是运动员．（填“甲”或“乙”）14．某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是度．15．不等式组的最大整数解是．16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为．17．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC 内），连接AB′，则AB′的长为．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP 所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为．三、解答题（共10小题，满分76分）19．计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0．20．解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．21．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=．22．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？23．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD 的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．25．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．26．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．27．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．28．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．江苏省苏州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．的倒数是（）A． B． C． D．【考点】倒数．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵×=1，∴的倒数是．故选A．2．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（）A．0.7×10﹣3B．7×10﹣3C．7×10﹣4D．7×10﹣5【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0007=7×10﹣4，故选：C．3．下列运算结果正确的是（）A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1C．a2•a4=a8D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b【考点】整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a+2b，无法计算，故此选项错误；B、3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；C、a2•a4=a6，故此选项错误；D、（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b，故此选项正确；故选：D．4．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【考点】频数与频率．【分析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．【解答】解：根据题意得：40﹣（12+10+6+8）=40﹣36=4，则第5组的频率为4÷40=0.1，故选A．5．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为（）A．58° B．42° C．32° D．28°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠2，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠ACB=∠2，∵AC⊥BA，∴∠BAC=90°，∴∠2=ACB=180°﹣∠1﹣∠BAC=180°﹣90°﹣58°=32°，故选C．6．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【解答】解：∵点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，∴每个象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故选：B．7．根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：用水量（吨）15 20 25 30 35户数 3 6 7 9 5则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（）A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25【考点】众数；中位数．【分析】根据众数、中位数的定义即可解决问题．【解答】解：因为30出现了9次，所以30是这组数据的众数，将这30个数据从小到大排列，第15、16个数据的平均数就是中位数，所以中位数是25，故选D．8．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，∴AD=4sin60°=2（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，∴AC==2（m）．故选B．9．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B． C． D．3【考点】三角形的面积．【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC===4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG=BG=2∵S△AB C=•AB•AC=×2×2=4，∴S△ADC=2，∵=2，∴GH=BG=，∴BH=，又∵EF=AC=2，∴S△B EF=•EF•BH=×2×=，故选C．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．分解因式：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．12．当x=2时，分式的值为0．【考点】分式的值为零的条件．【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣2=0，解得：x=2．故答案为：2．13．要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是乙运动员．（填“甲”或“乙”）【考点】方差．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【解答】解：因为S甲2=0.024＞S乙2=0.008，方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．故答案为乙．14．某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是72度．【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】根据文学类人数和所占百分比，求出总人数，然后用总人数乘以艺术类读物所占的百分比即可得出答案．【解答】解：根据条形图得出文学类人数为90，利用扇形图得出文学类所占百分比为：30%，则本次调查中，一共调查了：90÷30%=300（人），则艺术类读物所在扇形的圆心角是的圆心角是360°×=72°；故答案为：72．15．不等式组的最大整数解是3．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可．【解答】解：解不等式x+2＞1，得：x＞﹣1，解不等式2x﹣1≤8﹣x，得：x≤3，则不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，则不等式组的最大整数解为3，故答案为：3．16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为．【考点】切线的性质；圆周角定理；扇形面积的计算．【分析】连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．【解答】解：连接OC，∵过点C的切线交AB的延长线于点D，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，∵AO=CO，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=2∠A，∵∠A=∠D，∴∠COD=2∠D，∴3∠D=90°，∴∠D=30°，∴∠COD=60°∵CD=3，∴OC=3×=，∴阴影部分的面积=×3×﹣=，故答案为：．17．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC 内），连接AB′，则AB′的长为2．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三角形，从而GD=B′F=2，然后根据勾股定理得到B′G=2，然后再次利用勾股定理求得答案即可．【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是边长为4的等边三角形，∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE，∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，∴GD=B′F=2，∵B′D=4，∴B′G===2，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB′===2．故答案为：2．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP 所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为（1，）．【考点】坐标与图形性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【分析】先根据题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标．【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（8，0），（0，2）∴BO=，AO=8由CD⊥BO，C是AB的中点，可得BD=DO=BO==PE，CD=AO=4设DP=a，则CP=4﹣a当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP又∵EP⊥CP，PD⊥BD∴∠EPC=∠PDB=90°∴△EPC∽△PDB∴，即解得a1=1，a2=3（舍去）∴DP=1又∵PE=∴P（1，）故答案为：（1，）三、解答题（共10小题，满分76分）19．计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0．【考点】实数的运算；零指数幂．【分析】直接利用二次根式的性质以及结合绝对值、零指数幂的性质分析得出答案．【解答】解：原式=5+3﹣1=7．20．解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据分式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．【解答】解：去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，合并同类项，得：x＞1，将不等式解集表示在数轴上如图：21．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=．【考点】分式的化简求值．【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后代入化简即可．【解答】解：原式=÷=•=，当x=时，原式==．22．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】先设中型车有x辆，小型车有y辆，再根据题中两个等量关系，列出二元一次方程组进行求解．【解答】解：设中型车有x辆，小型车有y辆，根据题意，得解得答：中型车有20辆，小型车有30辆．23．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．【考点】列表法与树状图法；坐标与图形性质；概率公式．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6，所以点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率==．24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD 的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．25．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】将点B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数的解析式可求得m、n 的值，从而求得反比例函数的解析式以及点B和点P的坐标，过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．接下来证明△BDP≌△BDP′，从而得到点P′的坐标，最后将点P′和点B的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式．【解答】解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴．解得：m=8，n=4．∴反比例函数的表达式为y=．∵m=8，n=4，∴点B（2，4），（8，1）．过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．在△BDP和△BDP′中，∴△BDP≌△BDP′．∴DP′=DP=6．∴点P′（﹣4，1）．将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得：，解得：．∴一次函数的表达式为y=x+3．26．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EG•ED=AE2=18．27．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．（2）由△QTM∽△BCD，得=列出方程即可解决．（3）①如图2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比较即可解决问题．②如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，得=，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM不可能由⊙O相切．【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，∴BD===10，∵PQ⊥BD，∴∠BPQ=90°=∠C，∵∠PBQ=∠DBC，∴△PBQ∽△CBD，∴==，∴==，∴PQ=3t，BQ=5t，∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，∴QP=QC，∴3t=6﹣5t，∴t=，故答案为．（2）解：如图2中，作MT⊥BC于T．∵MC=MQ，MT⊥CQ，∴TC=TQ，由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=3t，∵MQ∥BD，∴∠MQT=∠DBC，∵∠MTQ=∠BCD=90°，∴△QTM∽△BCD，∴=，∴=，∴t=（s），∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形．（3）①证明：如图2中，由此QM交CD于E，∵EQ∥BD，∴=，∴EC=（8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣（8﹣5t）=t，∵DO=3t，∴DE﹣DO=t﹣3t=t＞0，∴点O在直线QM左侧．②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD 交于点E．∵EC=（8﹣5t），DO=3t，∴OE=6﹣3t﹣（8﹣5t）=t，∵OH⊥MQ，∴∠OHE=90°，∵∠HEO=∠CEQ，∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，∵∠OHE=∠C=90°，∴△OHE∽△BCD，∴=，∴=，∴t=．∴t=s时，⊙O与直线QM相切．连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH=PMQ=22.5°，在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，∴∠OFH=∠FOH=45°，∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8，∴MH=0.8（+1），由=得到HE=，由=得到EQ=，∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣﹣=，∴0.8（+1）≠，矛盾，∴假设不成立．∴直线MQ与⊙O不相切．28．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为DM•OB，设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3；（3）①由（2）可知m=，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，所以d1+d2=BF，所以求出BF 的最小值即可，由题意可知，点F在以BM′为直径的圆上，所以当点F与M′重合时，BF可取得最大值．【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，∴x=，∴D的坐标为（，﹣m2+2m+3），∴DM=m﹣=，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d1+d2=BF，此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG=x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，∴﹣（﹣x）2=﹣x2，∴x=，cos∠M′BG==，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°6月30日。

2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，，则( )A. B. C. D.2.关于x的不等式的解集为( )A. B.C. D.3.设等差数列的前n项和为，公差，且，则( )A. 2B. 3C. 4D. 54.若不等式的解集为，则的值为( )A. B. 0 C. D. 15.已知等比数列中，，，则( )A. B. C. 2 D. 46.已知在数列中，，则的值为( )A. B. C. D.7.已知，，，则的最小值为( )A. B. C. D. 98.已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的有( )A. “”是“”的充分不必要条件B. “”是“”的既不充分又不必要条件C. “”是“”的必要不充分条件D. “”是“”的充要条件10.已知等差数列的前n项和为，且，，则( )A. B.当且仅当时，取得最大值C. D.满足的n的最大值为1211.已知a，b均为正实数，且，则( )A. 的最小值为B. 的最小值为2C. 的最大值为D. 的最大值为412.对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”．下列叙述正确的有( )A. 若数列单调递增，则数列单调递增B. 存在数列是常数列，数列不是常数列，则数列不是周期数列C. 若，则数列没有最小值D. 若，则数列有最大值三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“，”的否定是______.14.在等比数列中，已知，则的值为______.15.已知，，，则的最小值为__________.16.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为__________，此数列的通项公式__________四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2018年江苏省苏州市初中毕业、升学考试数学学科一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．1．（2018江苏苏州，1，3分）在下列四个实数中，最大的数是A．－3 B．0 C．32D．34【答案】C【解析】本题解答时要利用有理数大小比较的规则.根据正数大于零，零大于一切负数，可知最大的数为32，故选C.2．（2018江苏苏州，2，3分）地球与月球之间的平均距离大约为384000km，384000用科学记数法可表示为A．3.84×103B．3.84×104C．3.84×105D．3.84×106【答案】C【解析】本题解答时要确定好底数和10上的指数，384 000有6位整数，用科学记数法可表示成：53.8410⨯，故选C.3．（2018江苏苏州，3，3分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是A．B．C．D．【答案】B【解析】本题解答时要找出图形的对称轴.A，C，D都是轴对称图形，只有B是中心对称图形，故选B. 4．（2018江苏苏州，4，3分）若2x+在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是A．B．C．D．【答案】D【解析】本题解答时要利用二次根式有意义的概念进行解答.由二次根式的意义可知：20x+≥，解得2x≥-，故选D.5．（2018江苏苏州，5，3分）计算2121(1)x xx x+++÷的结果是A ．x ＋1B ．11x + C ．1x x + D ．1x x+ 【答案】B【解析】 本题解答时要利用分式的运算顺序和法则进行计算.原式=2111(1)x x x x x +⨯=++ ，故选B .6．（2018江苏苏州，6，3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是A ．12B ．13C ．49D ．59【答案】C【解析】 本题解答时要分别算出正方形的面积和阴影部分的面积，然后利用概率公式进行计算.设小正方形的边长为a ，则大正方形的面积为9a 2，阴影部分的面积为214242a a a ⨯⨯⨯=，则飞镖落在阴影部分的概率为：224499a a=，故选C .7．（2018江苏苏州，7，3分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是»AC 上的点．若∠BOC ＝40°，则∠D 的度数为A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°【答案】B【解析】 本题解答时要利用等腰三角形的性质和圆的内接四边形的对角互补的性质进行计算.∵OC =OB ，∠BOC =40゜，∴∠B =70゜，∴∠D =180゜-70゜=110゜，故选B .8．（2018江苏苏州，8，3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏两30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之问的距离（即PC 的长）为A ．40海里B ．60海里C ．203海里D ．403海里【答案】D【解析】本题解答时要利用直角三角形的边角关键和勾股定理来进行计算.由题意可知AB=20，∠APB=30゜，∴P A=203，∵BC=2⨯20=40，∴AC=60，∴PC=2222(203)60403PA AC+=+=（海里），故选D.9．（2018江苏苏州，9，3分）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝12BC．过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD．连接DF，若AB＝8，则DF的长为（）A．3 B．4 C．23D．32【答案】B【解析】本题解答时要取AB的中点，然后利用三角形的中位线和平行四边形的判定和性质来解答.取AB的中点M，则ME∥BC，ME=12BC，∵EF∥CD，∴M，E，F三点共线，∵EF=2CD，∴MF=BD，∴四边形MBDF是平行四边形，∴DF=BM=4，故选B.E FMBA10．（2018江苏苏州，10，3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝kx在第一象限内的图像经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝34，则k的值为（）A．3 B．23C．6 D．12【答案】A【解析】本题解答时要把三角形函数数值化，用参数表示D的坐标，再求出E点的坐标，利用点在反比例函数上，得到方程，解这个方程即可求出k.设AD=3m，OA=4m，∵BC=AD，∴BC=3m，∵CE=2BE，∴BE=m，∴点E的坐标为（4m+4，m），∵点D，E都在反比例函数kyx=上，∴3m⨯4m=m（4m+4），解得m=12，∴k=3m⨯4m=3，故选A.二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应位置上．11．（2018江苏苏州，11，3分）计算：a4÷a＝．【答案】a3【解析】本题解答时要利用同底数幂的除法法则.43a a a÷=.12．（2018江苏苏州，12，3分）在“献爱心”捐款活动中，某校7名同学的捐款数如下（单位：元）：5，8，6，8，5，10，8，这组数据的众数是．【答案】8【解析】本题解答时要掌握众数的概念.在这组数据中，由8出现了3次为最多，所以这组数据的众数为8.13．（2018江苏苏州，13，3分）若关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0有一个根是2，则m＋n＝．【答案】－2【解析】本题解答时要把方程的解代入方程进行计算.把x=2代入方程有：4+2m+2n=0，∴m+n=-2.14．（2018江苏苏州，14，3分）若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为．【答案】12【解析】本题解答时要把要求值的代数式进行因式分解变形，然后整体代入即可.22(1)(1)()(2)4312a b a b a b+--=+-+=⨯=.15．（2018江苏苏州，15，3分）如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC＝90°，∠B＝30°．现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF＝20°，则∠BED的度数为°．【答案】80【解析】本题先用直角的性质求出∠CAF的度数，再利用平行线求出∠BDE的度数，最后利用三角形的内角和定理求出∠BED的度数.∵∠CAB=90゜，∠CAF=20゜，∴∠F AB=70゜，∵DE∥FA，∴∠BDE=∠F AD=70゜，∴∠BED=180゜-30゜-70゜=80゜.16．（2018江苏苏州，16，3分）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则12rr的值为．【答案】23【解析】 本题解答时要注意圆锥展开图是扇形，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长.12180AOB rOA ππ∠=⨯，22180AOB r OB ππ∠=⨯，∴12r OA r OC = ， ∵AB ∥CD ，∴4263OA AB OC CD ===，∴1223r OA r OC ==17．（2018江苏苏州，17，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝25，BC ＝5．将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB C ''，连接B C '，则sin ∠ACB '＝ ．【答案】45【解析】 本题解答时要过B ’作B ’D ⊥AC 于D ，利用用等角的三角函数值相等中，旋转的性质，直角三角形三边的关系以及勾股定理来进行计算.过点B ’作B ’D ⊥AC 于D ，由旋转可知：∠B ’AB =90゜，AB ’=AB 5 ∴∠AB ’D +∠B ’AD =∠B ’AD +∠CAB ，∴∠AB ’D =∠CAB . ∵AB 5BC =5AC =5∴B ’D =AB ’sin 'AB D ∠ ==AB ’sin CAB ∠=5252=， ∴CD =5-2=3，∴B ’D 22(25)24-， ∴B ’C =5， ∴sin ∠ACB ’='4'5B D BC =.DC'B'CA18．（2018江苏苏州，18，3分）如图，已知AB ＝8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP ＝60°．M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M ，N 之问的距离最短为 （结果保留根号）．【答案】3【解析】 本题解答时要连接MP ，PN ，利用菱形的性质，得出△PMN 为直角三角形，然后利用勾股定理，求出用PA 的长来表示的MN 的长，最后利用二次函数的性质求出MN 的最小值.连接PM ，PN ，∵四边形APCD ，PBFE 是菱形， ∴P A =PC ，∵AM =MC ，∴PM ⊥AC ，同理PN ⊥BE . ∴∠CPM +∠CPN =119022APC BPE ∠+∠=゜，∵∠DAP =60゜，∴∠CAP ==∠NPB =30゜， 设AP =x ，则PB =8-x ， ∴PM =12x ，PN 3)x - NMCFD ABP∴2222213()[(8)](6)1222PM PN x x x ++--+∴当x =6时，MN 有最小值，最小值为23三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．19．（2018江苏苏州，19，5分）（本题5分）计算：2129()22-+-． 【思路分析】 解答本题时要分别求出绝对值，二次根式，乘方的值，然后再做加减运算. 【解答过程】原式＝12＋3－12＝3．20．（2018江苏苏州，20，5分）（本题5分）解不等式组：3242(21)x x x x ≥+⎧⎨+<-⎩．【思路分析】 解答本题时，先分别求出两个不等式的解集，然后再根据“同大取大，同小取小，大于小数小于大数取中间，大于大数小于小数无解”来求不等式组的解集.【解答过程】由3x ＞x ＋2，解得x ≥1，由x ＋4＜2(2x －1)，解得x ＞2， ∴不等式组的解集是x ＞2．21．（2018江苏苏州，21，6分）如图，点A ，F ，C ，D 在一条直线上，AB ∥DE ，AB ＝DE ，AF ＝DC ．求证：BC ∥EF ．【思路分析】 解答本题时，先根据边角边判定△ABC ≌△DEF ，再由全等三角形的性质得到∠BCA =∠EFC ，由此判别BC ∥EF .【解答过程】证明：∵AB ∥DE ，∴∠A ＝∠D ．∵AF ＝DC ，∴AC ＝DF ．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ， ∴△ABC ≌△DEF (SAS )． ∴∠ACB ＝∠DFE ， ∴BC ∥EF ．22．（2018江苏苏州，22，6分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3． （1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为__________； （2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字．求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．【思路分析】本题考查概率的应用.解答（1）时，这一小题是一步事件，直接应用概率公式进行计算；解答第（2）时，这一小题是二步事件，先用树状图或列表法找出所有的等可能事件，然后再找出满足题目条件的情况，最后利用公式进行计算.【解答过程】（1）23；（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果∴P(两个数字之和是3的倍数)＝39＝13．23．（2018江苏苏州，23，8分）某学校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择，为了估计全校学生对这四个活动项日的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中的一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）求参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数；（3）若该校共有600名学生，试估计该校选择“足球”项目的学生有多少人？【思路分析】本题考查与条形统计图和扇形统计图相关的计算.（1）由乒乓球人数和所占的百分比求出样本容量，再利用样本容量和已知组的人数求出羽毛球的人数，再补全条形图；（2）求出篮球人数的百分比，乘以360゜即可；（3）用样本的百分率来估算总体.【解答过程】（1）1428%＝50，答：参加这次调查的学生人数为50人，补全条形统计图如图所示：（2）1050×360°＝72°．答：扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数为72°．（3）600×850＝96．答：估计该校选择“足球”项目的学生有96人．24．（2018江苏苏州，24，8分）某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元．（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多l台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？【思路分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用.解答第（1）时，根据题意列出地二元一次方程组来解决问题；解答第（2）时，根据题目中的不等式关系列出不等式来解决问题.【解答过程】（1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元．根据题意得：25900229400x yx y+=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得x＝3500，y＝1200．答：每台A型电脑的价格为3500元，每台B型打印机的价格为1200元．（2）设学校购买胛台B型打印机，则购买A型电脑为（n－l）台，根据题意得：3500(n－1)＋1200n≤20000，解这个不等式，得n≤5．答：该学校至多能购买5台B型打印机．25．（2018江苏苏州，25，8分）如图，已知抛物线y＝x2－4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点．直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C '．若新抛物线经过点D ，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC '平行于直线AD ，求新抛物线对应的函数表达式．【思路分析】 本题本题考查二次函数与一元二次方程的关系.解答第（1）时，分别求出A ，D 两点的坐标，然后利用勾股定理可求出AD 的长；解答第（2）时，把二次函数配成顶点式，得到C ’点的坐标，再求出直线CC ’的解析式，最后把C ’点的坐标解入直线即可求出二次函数的解析式.【解答过程】 解：（1）由x 2－4＝0解得x 1＝2，x 2＝－2．∵点A 位于点B 的左侧，∴A (－2，0)． ∵直线y ＝x ＋m 经过点A ，∴－2＋m ＝0， ∴m ＝2，∴D (0，2)．∴AD 22OA OD +2（2）解法一：设新抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2＋bx ＋2，∴y ＝x 2＋bx ＋2＝(x ＋2b )2＋2－24b ．∵直线CC '平行于直线AD ，并且经过点C (0，－4)，∴直线CC '的函数表达式为y ＝x －4．∴2－24b ＝－2b－4，整理得b 2－2b －24＝0，解得b 1＝－4，b 2＝6．∴新抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋2或y ＝x 2＋6x ＋2． 解法二：∵直线CC '平行于直线AD ，并且经过点C (0，－4)， ∴直线CC '的函数表达式为y ＝x －4．∵新抛物线的顶点C '在直线y ＝x －4上，∴设顶点C '的坐标为(n ，n －4）， ∴新抛物线对应的函数表达式为y ＝(x －n )2＋n －4． ∵新抛物线经过点D (0，2)，∴n 2＋n －4＝2，解得n 1＝－3，n 2＝2．∴新抛物线对应的函数表达式为y ＝(x ＋3)2－7或y ＝(x －2)2－2．26．（2018江苏苏州，26，10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD 垂直于过点C 的切线，垂足为D ，CE 垂直AB ，垂足为E ．延长DA 交⊙O 于点F ，连接FC ，FC 与AB 相交于点G ，连接OC ． （1）求证：CD ＝CE ；（2）若AE ＝GE ，求证：△CEO 是等腰直角三角形．【思路分析】本题本题考查圆的切线的性质，圆的基本性质以及全等三角形的判定和性质等.（1）连接AC，BC，证明△CDA≌△CEA，即可得CD=CE；（2）利用（1）中的全等形，和直径所对的圆周是直角等性质求出∠AOC=2∠F=45゜，即可证明△CEO是等腰直角三角形.【解答过程】证明：（1）连接AC．∵CD为OO的切线，∴OC⊥CD．又∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°．∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO．又∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO．又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°．在△CDA和△CEA中，∵∠D＝∠CEA，∠DAC＝∠EAC，AC＝AC，∴△CDA≌△CEA(AAS)，∴CD＝CE．（2）证法一：连接BC．∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG．∴∠ECA＝∠ECG．∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°．又∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B．又∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG．又∵∠D＝90°．∴∠DCF＋∠F＝90°．∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5．∴∠AOC＝2∠F＝45°．∴△CEO是等腰直角三角形，证法二：设∠F＝x°．则∠AOC＝2∠F＝2x°．∵AD∥OC，∴∠OAF＝∠AOC＝2x°．∴∠CGA＝∠ECA＋∠F＝3x°．∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠EAC＝∠CGA，∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x°．义∵∠DAC＋∠EAC＋∠OAF＝180°．∴3x°＋3x°＋2x°＝180°．∴x＝22.5，∴∠AOC＝2x°＝45°．∴△CEO是等腰直角三角形．27．（2018江苏苏州，27，10分）问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S'．（1）当AD＝3时，S S'＝_______；（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示SS'．问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝12BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S'．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示SS'．【思路分析】本题考查相似三角形的性质以及三角形面积的计算.问1：（1）先求出△ADC的面积，再求出△CDE的面积与△ADC的面积的比，最后求出两三角形的面积比；（2）类比（1）中的方法进行求解；问题2：把梯形的问题转化为三角形的问题，仍然利用平行线截得线段成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方以及等式的性质来求解.【解答过程】解：问题1：（1）316；（2）解法一：∵AB＝4，AD＝m．∴BD＝4－m．又∵CE∥BC，∴4CE BD mEA DA m-==，∴4DECADES mS m-=VV．又∵CE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴216ADEABCS mS=VV．∴22441616DEC DEC ADEABC ADE ABCS S S m m m mS S S m--+=⨯=⨯=V V VV V V．即2416S m mS-+=′．解法二：过点B作BH⊥AC，垂足为H，过点D作DF⊥AC，垂足为F．则DF∥BH，∴△ADF∽△ABH．∴4DF AD mBH AB==．∵DE∥BC，∴44CE BD mCA BA-==，∴21442144162DECABCCE DFS m m m mS CA BH⋅--+==⨯=⋅VV．即2416S m mS-+=′．问题2：解法一：分别延长BA，CD，相交于点D．∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC，∴12OA ADOB BC==．∴OA＝AB＝4，∴OB＝8．∵AE＝n，∴OE＝4＋n．∵EF∥BC．由问题1的解法可知24416()4864CEF CEF OEFOBC OEF OBCS S S n n nS S S n-+-=⨯=⨯=+V V VV V V，∵21()4OADABCDS OAS OB==VV．∴23()4ABCDOBCS OAS OB==V．∴22416163364484CEF CEFABCDOBCS S n nS S--==⨯=△△△，即SS=′21648n-．解法二：连接AC交EF于M．∵AD∥BC，且AD＝12BC，∴12ADCABCSS=△△．∴S△ADC＝13S，S△ABC＝23S．由问题1的结论可知，EMCABCSS=VV2416n n-+．∴S△EMC＝2416n n-+×23S＝2424n nS-+．∵MF∥AD，∴△CFM∽△CDA，∴243()143CFM CFM CFM CDA S S S n S S S -==⨯=△△△△， ∴S △CFM ＝2(4)48n S -． ∴S △EFC ＝S △EMC ＋S △CFM ＝2424n n S -+＋2(4)48n S -＝21648n S -， ∴S S=′21648n -．28．（2018江苏苏州，28，10分）如图①，直线l 表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD 是一块边长为100米的正方形草地，点A ，D 在直线l 上．小明从点A 出发，沿公路l 向两走了若干米后到达点E 处，然后转身沿射线EB 方向走到点F 处，接着又改变方向沿射线FC 方向走到公路l 上的点G 处，最后沿公路l 回到点A 处．设AE ＝x 米（其中x ＞0），GA ＝y 米．已知y 与x 之间的函数关系如图②所示．（1）求图②中线段MN 所在直线的函数表达式；（2）试问小明从起点A 出发直至最后回到点A 处，所走过的路径（即△EFG ）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x 的值；如果不可以，说明理由．【思路分析】 本题考查一次函数的性质以及动点问题中等腰三角形存在性质的探究.（1）利用待定系数法坟出y 与x 之间的函数关系式；（2）用含x 的代数式来表示AE ，AG ，GD 的长度，然后分EF =FG ，FG =EG ，EF =EG 来进行讨论，利用勾股定理和相似三角形和性质来求x .【解答过程】解：（1）设线段MN 所在直线的函数表达式为y ＝kx ＋b ．∵M ，N 两点的坐标分别为(30，230)，(100，300)，∴30230100300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得1200k b =⎧⎨=⎩． ∴线段MN 所在直线的函数表达式为y ＝x ＋200．（2）①第一种情况：考虑FE ＝FG 是否成立，连接EC ．∵AE ＝x ，AD ＝100，GA ＝x ＋200，∴ED ＝GD ＝x ＋100．又∵CD ⊥EG ，∴CE ＝CG ，∴∠CGE ＝∠CEG ，∴∠FEG＞∠CGE．∴FE≠FG．②第二种情况：考虑FG＝EG是否成立，∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥EG，∴△FBC≌△FEG．假设FG＝EG成立，则FC＝BC亦成立．∴FC＝BC＝100．∵AE＝x，GA＝x＋200，∴FG＝EG＝AE＋GA＝2x＋200，∴CG＝FG－FC＝2x＋200－100＝2x＋100．在Rt△CDG中，CD＝100，GD＝x＋100，CG＝2x＋100，∴1002＋(x＋100)2＝(2x＋100)2，解这个方程，得x1＝－100，x2＝1003．∵x＞0，∴x＝1003．③第三种情况：考虑EF＝EG是否成立．与②同理，假设EF＝EG成立，则FB＝BC亦成立．∴BE＝EF－FB＝2x＋200－100＝2x＋100．在Rt△ABE中，AE＝x，AB＝100，BE＝2x＋100，∴1002＋x2＝(2x＋100)2，解这个方程，得x1＝0，x2＝－4003（不合题意，均舍去）．综上所述，当x＝1003时，△EFG是一个等腰三角形．。

2022-2023学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3}C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}2．命题“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是（）A．任意一个素数，它的平方是偶数B．任意一个素数，它的平方不是偶数C．存在一个素数，它的平方是素数D．存在一个素数，它的平方不是偶数3．若集合A的子集个数有4个，则集合A中的元素个数是（）A．2B．4C．8D．164．已知f（x）是定义在R上的增函数，则（）A．函数f（x）+f（﹣x）为奇函数，且在R上单调递增B．函数f（x）+f（﹣x）为偶函数，且在R上单调递减C．函数f（x）﹣f（﹣x）为奇函数，且在R上单调递增D．函数f（x）﹣f（﹣x）为偶函数，且在R上单调递减5．已知幂函数f（x）＝（2m2﹣5m+3）x m为偶函数，则关于函数g(x)=f(x)的下列四个结论中正确的f(x)+1是（）A．g（x）的图象关于原点对称B．g（x）的值域为[0，1]C．g（x）在（0，+∞）上单调递减D．g(x)+g(1)=1x6．若函数f（x）＝|x﹣a|+b在区间[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关7．已知函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．利用该结论，则函数f（x）＝2x3﹣3x2图象的对称中心是（）A ．（1，﹣1）B ．（﹣1，1）C ．(12，−12)D ．(−12，12)8．若将有限集合A 的元素个数记为card （A ），对于集合M ＝{x |x 2﹣（a +3）x +3a ＜0，x ∈Z }，N ＝{x |x 2﹣5x +4≤0，x ∈Z }，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＝1，则card （M ∪N ）+card （M ∩N ）＝4 B ．若card （M ∩N ）＝1，则a ≥4或a ≤2 C ．若card （M ∪N ）＝4，则0≤a ≤5D ．存在实数a ，使得card （M ∩N ）＝card （M ）+card （N ）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．A ∩B ≠∅是A ⊆B 的必要不充分条件B ．x 或y 为有理数是xy 为有理数的既不充分又不必要条件C ．A ∪B ＝A 是B ⊆A 的充分不必要条件D ．a 2+b 2+c 2＝ab +bc +ca 的充要条件是a ＝b ＝c10．函数f （x ）满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f(a)−f(b)a−b＜0；②对于定义域内的任意两个不相等的实数x 1，x 2都有f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2成立，则称其为G 函数．下列函数为G 函数的是（ ） A ．f （x ）＝﹣x +1 B ．f （x ）=1x，x ＞0C ．f （x ）=−√xD ．f （x ）＝﹣x 2+4x ﹣3，x ＜211．函数f （x ）={a−1x+2，−2＜x ＜0，(x −a)2−1，x ≥0是定义在（﹣2，+∞）上的函数，则（ ）A ．若a ＝﹣1，则函数y ＝f （x ）的值域为[0，+∞）B ．若a ＝﹣1，则函数y ＝f （x ）的值域为（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C ．若函数y ＝f （x ）单调递增，则a 的取值范围是（﹣∞，0]D ．若函数y ＝f （x ）单调递增，则a 的取值范围是（﹣∞，−12] 12．下列说法正确的是（ ）A ．函数u ＝t 2，t ∈（﹣∞，+∞）与函数x ＝y 2，y ∈（﹣∞，+∞）是同一个函数B ．直线x ＝a 与函数y ＝f （x ）的图象至多有一个公共点C ．满足“值域相同，对应关系相同，但定义域不同”的函数组不存在D ．满足“定义域相同，值域相同，但对应关系不同”的函数有无数个 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若2＜a ＜3，1＜b ＜2，则2a ﹣b 的取值范围是 ． 14．若函数f(x)={x 2+4x ，x ≤0−x 2+ax ，x ＞0为奇函数，则f （a ﹣1）＝ ．15．已知正数x ，y 满足2x +y ＝1，若不等式x 2﹣mxy +y ≥0恒成立，则实数m 的最大值是 ． 16．若函数f （x ）的定义域为R ，对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2，且f （3）＝8，则不等式f （2x﹣1）＜4x 的解集是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=√3−x 1√x A ，集合B ＝{x |1﹣a ＜x ≤2a +4}（a ＞﹣1）．（1）若a ＝0，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣1）x+2﹣a．（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为[m，1]，求实数a，m的值；（2）若关于x的不等式f（x）＜1的解集为∅，求实数a的取值范围．19．（12分）阅读：序数属性是自然数的基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题．在教材中有如下顺序公理：①如果a＞b，b＞c，那么a＞c；②如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc．（1）请运用上述公理①②证明：“如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd．”（2）求证：|(yx+xy+1)(yx+xy)|≥2．20．（12分）某地区上年度电价为0.8元/（kW•h），年用电量为akW•h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW•h）至0.75元/（kW•h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW•h）．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元/（kW•h）．记本年度电价下调后电力部门的收益为y（单位：元），实际电价为x（单位：元/（kW•h））．（收益＝实际电量×（实际电价﹣成本价））（1）当k＝0.2a时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（2）当k＝0.4a时，求收益y的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax，g（x）＝x﹣1．（1）当a＝1时，∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，求M（x）的最小值；（2）若不等式|f（x1）﹣g（x1）|＜|f（x2）﹣g（x2）|对任意x1，x2∈[1，2]（x1＜x2）恒成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知二次函数y＝f（x）的图象经过点（0，﹣3），且f（x+1）＝f（1﹣x），方程f（x）+4＝0有两个相等的实根．（1）求y＝f（x）的解析式；（2）设g(x)=f(x)+4x(x＞0)，①判断函数g（x）的单调性，并证明；②已知m∈R，求函数y=x2+1x2−|g(x)+2−m|的最小值h（m）．2022-2023学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3}C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，则∁U（A∪B）＝{﹣2，3}，故选：A．2．命题“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是（）A．任意一个素数，它的平方是偶数B．任意一个素数，它的平方不是偶数C．存在一个素数，它的平方是素数D．存在一个素数，它的平方不是偶数解：“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是“任意一个素数，它的平方不是偶数”．故选：B．3．若集合A的子集个数有4个，则集合A中的元素个数是（）A．2B．4C．8D．16解：设集合A中的元素个数是n，则2n＝4，解得n＝2．故选：A．4．已知f（x）是定义在R上的增函数，则（）A．函数f（x）+f（﹣x）为奇函数，且在R上单调递增B．函数f（x）+f（﹣x）为偶函数，且在R上单调递减C．函数f（x）﹣f（﹣x）为奇函数，且在R上单调递增D．函数f（x）﹣f（﹣x）为偶函数，且在R上单调递减解：不妨令F（x）＝f（x）+f（﹣x），则F（﹣x）＝f（﹣x）+f（x）＝F（x），且F（x）的定义域为R，故F（x）＝f（x）+f（﹣x）为偶函数，则F（x）的图像关于y轴对称，则F（x）不可能在R上单调，故AB错误；令H（x）＝f（x）﹣f（﹣x），则H（﹣x）＝f（﹣x）﹣f（x）＝﹣H（x），且H（x）的定义域为R，故H（x）是奇函数，因为f（x）是定义在R上的增函数，所以由复合函数单调性可知，f（﹣x）在R上是减函数，故H（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在R上是增函数，故C正确，D错误．故选：C．5．已知幂函数f（x）＝（2m2﹣5m+3）x m为偶函数，则关于函数g(x)=f(x)f(x)+1的下列四个结论中正确的是（）A．g（x）的图象关于原点对称B．g（x）的值域为[0，1]C．g（x）在（0，+∞）上单调递减D．g(x)+g(1x)=1解：因为f（x）＝（2m2﹣5m+3）x m是幂函数，所以2m2﹣5m+3＝1，解得m＝2或m=1 2，又f（x）是偶函数，所以m＝2，故f（x）＝x2，故g(x)=f(x)f(x)+1=x2x2+1，对于A；g（﹣x）＝g（x），故g（x）是偶函数，图象关于y轴对称，故A错误，对于B；g(x)=x2x2+1=1−1x2+1，由于x2+1≥1，所以0＜1x2+1≤1，故g（x）∈[0，1），故值域为[0，1），故B错误，对于C；g(x)=1−1x2+1，由于y＝x2+1在（0，+∞）单调递增，故y1=1x2+1在（0，+∞）单调递减，故g（x）在（0，+∞）递增，故C错误，对于D；g(1x)=(1x)2(1x)2+1=1x2+1，从而g(x)+g(1x)=1x2+1+x2x2+1=1，故D正确，故选：D．6．若函数f（x）＝|x﹣a|+b在区间[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解：因为f （x +2a ）＝|x +a |+b ，f （﹣x ）＝|﹣x ﹣a |+b ＝|x +a |+b ， 所以f （x +2a ）＝f （﹣x ），所以函数f （x ）关于x ＝a 对称，f(x)=|x −a|+b ={x −a +b ，x ≥a −x +a +b ，x ＜a ，当a ≥1时，M ＝f （﹣1）＝a +b +1，m ＝f （1）＝a +b ﹣1， 则M ﹣m ＝2，与a 无关，与b 无关，当a ≤﹣1时，M ＝f （1）＝﹣a +b +1，m ＝f （﹣1）＝﹣a +b ﹣1， 则M ﹣m ＝2，与a 无关，与b 无关，当﹣1＜a ＜0时，M ＝f （1）＝1﹣a +b ，m ＝f （a ）＝b ， 则M ﹣m ＝1﹣a ，与a 有关，与b 无关，当0≤a ＜1时，M ＝f （﹣1）＝1+a +b ，m ＝f （a ）＝b ， 则M ﹣m ＝1+a ，与a 有关，与b 无关， 综上所述M ﹣m 与a 有关，但与b 无关． 故选：B ．7．已知函数y ＝f （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f （x +a ）﹣b 为奇函数．利用该结论，则函数f （x ）＝2x 3﹣3x 2图象的对称中心是（ ） A ．（1，﹣1）B ．（﹣1，1）C ．(12，−12)D ．(−12，12)解：设f （x ）的图象关于点P （a ，b ），令g （x ）＝f （x +a ）﹣b ，则g （x ）＝2（x +a ）3﹣3（x +a ）2﹣b ＝2x 3+（6a ﹣3）x 2+（6a 2﹣6a ）x +2a 3﹣3a 2﹣b ，g （﹣x ）＝﹣2x 3+（6a ﹣3）x 2﹣（6a 2﹣6a ）x +2a 3﹣3a 2﹣b ， 由g （x ）为奇函数，故g （x ）+g （﹣x ）＝0，即2x 3+（6a ﹣3）x 2+（6a 2﹣6a ）x +2a 3﹣3a 2﹣b +[﹣2x 3+（6a ﹣3）x 2﹣（6a 2﹣6a ）x +2a 3﹣3a 2﹣b ]＝0， 化简得2（6a ﹣3）x 2+2（2a 3﹣3a 2﹣b ）＝0， 故6a ﹣3＝0且2a 3﹣3a 2﹣b ＝0， 解得a =12，b =−12，故f （x ）对称中心为(12，−12)， 故选：C ．8．若将有限集合A 的元素个数记为card （A ），对于集合M ＝{x |x 2﹣（a +3）x +3a ＜0，x ∈Z }，N ＝{x |x 2﹣5x+4≤0，x∈Z}，下列说法正确的是（）A．若a＝1，则card（M∪N）+card（M∩N）＝4B．若card（M∩N）＝1，则a≥4或a≤2C．若card（M∪N）＝4，则0≤a≤5D．存在实数a，使得card（M∩N）＝card（M）+card（N）解：解x2﹣5x+4≤0得1≤x≤4，所以N＝{x|x2﹣5x+4≤0，x∈Z}＝{1，2，3，4}，对于A：当a＝1时x2﹣4x+3＜0，即（x﹣3）（x﹣1）＜0，解得1＜x＜3，所以M＝{x|x2﹣（a+3）x+3a＜0，x∈Z}＝M＝{x|1＜x＜3，x∈Z}＝{2}，所以M∪N＝{1，2，3，4}，M∩N＝{2}，所以card（M∪N）+card（M∩N）＝5，故A错误；由x2﹣（a+3）x+3a＜0，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，当a＞3时解得3＜x＜a，当a＝3时解得x∈∅，当a＜3时解得a＜x＜3，即当a＞3时M＝{x|3＜x＜a，x∈Z}，当a＝3时M＝∅，当a＜3时M＝{x|a＜x＜3，x∈Z}，对于B：若card（M∩N）＝1，若a＜3则M＝{x|a＜x＜3，x∈Z}，则M＝{2}，此时1≤a＜2，若a＞3则M＝{x|3＜x＜a，x∈Z}，则M＝{4}，此时a＞4，综上可得a＞4或1≤a＜2，故B错误；，解得3＜a≤5，对于C：若card（M∪N）＝4，当a＝3时显然满足，当a＞3时则{a＞3a≤5，解得0≤a＜3，当a＜3时则{a＜3a≥0综上可得0≤a≤5，故C正确；对于D：因为card（N）＝4，card（M∩N）≤card（N）＝4，若card（M∩N）＝card（M）+card（N），则card（M∩N）＝4，此时card（M）＝0，即M＝∅，则M∩N＝∅，与card（M∩N）＝4矛盾，故D错误；故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题为真命题的是（）A．A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件B．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件C．A∪B＝A是B⊆A的充分不必要条件D．a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是a＝b＝c解：选项A ，必要性：A ⊆B ，当A ＝∅时，此时A ∩B ＝∅，该选项错误；选项B ，x ，y 中有一个数为有理数时，xy 不一定为有理数（如：1×√2=√2），所以x 或y 为有理数不一定能推导出xy 为有理数；xy 为有理数时，x ，y 可能均为无理数（如：√2×√2=2），所以，此时xy 为有理数不一定能推导出x 或y 为有理数，所以该选项正确； 选项D ，必要性：a 2+b 2+c 2＝ab +bc +ca ，所以（a 2+c 2）+（b 2+c 2）+（a 2+c 2）＝2ab +2bc +2ca ， 即（a ﹣c ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣b ）2＝0，所以a ＝b ＝c ； 充分性：a ＝b ＝c ，则a 2+b 2+c 2＝3a 2＝ab +bc +ac ，该选项正确．选项C ，充分性：A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ，必要性：B ⊆A ⇒A ∪B ＝A ，应为充要条件，所以该选项错误； 故选：BD ．10．函数f （x ）满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f(a)−f(b)a−b＜0；②对于定义域内的任意两个不相等的实数x 1，x 2都有f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2成立，则称其为G 函数．下列函数为G 函数的是（ ） A ．f （x ）＝﹣x +1 B ．f （x ）=1x，x ＞0C ．f （x ）=−√xD ．f （x ）＝﹣x 2+4x ﹣3，x ＜2解：对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f(a)−f(b)a−b＜0，所以 f （x ）是减函数；若对于定义域内的任意两个实数x 1，x 2都有f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2成立，f （x ）是下凹函数． A 选项中，f （x ）＝﹣x +1是减函数，且f(x 1+x 22)=f(x 1)+f(x 2)2，故不满足条件，不是G 函数； B 选项中，f(x)=1x，x ＞0是减函数，图象下凹，f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2，是G 函数； C 选项中，f(x)=−√x 是减函数，图象下凹，f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2，是G 函数； D 选项中，f （x ）＝﹣x 2+4x ﹣3，x ＜2是增函数，不是G 函数．故选：BC ．11．函数f （x ）={a−1x+2，−2＜x ＜0，(x −a)2−1，x ≥0是定义在（﹣2，+∞）上的函数，则（ ）A ．若a ＝﹣1，则函数y ＝f （x ）的值域为[0，+∞）B ．若a ＝﹣1，则函数y ＝f （x ）的值域为（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C ．若函数y ＝f （x ）单调递增，则a 的取值范围是（﹣∞，0]D ．若函数y ＝f （x ）单调递增，则a 的取值范围是（﹣∞，−12]解：若a ＝﹣1，则函数f （x ）={−2x+2，−2＜x ＜0(x +1)2−1，x ≥0，当﹣2＜x ＜0时，0＜x +2＜2，2x+2＞1，则−2x+2＜−1，当x ≥0时，f （x ）≥f （0）＝0，所以f （x ）∈（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞），故A 错误B 正确； 若函数y ＝f （x ）单调递增，则{a −1＜0a ≤0a 2−1≥a−12，解得a ≤−12，所以a 的取值范围是（−∞，−12]，故C错误，D 正确． 故选：BD ．12．下列说法正确的是（ ）A ．函数u ＝t 2，t ∈（﹣∞，+∞）与函数x ＝y 2，y ∈（﹣∞，+∞）是同一个函数B．直线x＝a与函数y＝f（x）的图象至多有一个公共点C．满足“值域相同，对应关系相同，但定义域不同”的函数组不存在D．满足“定义域相同，值域相同，但对应关系不同”的函数有无数个解：对于A；函数的对应关系，定义域相同，故为同一个函数，A正确，对于B；根据函数的定义，对于定义域内任意的自变量x，都有唯一确定的y与之对应，故直线x＝a与函数y＝f（x）的图象至多有一个公共点，B正确，对于C；如f（x）＝x2，x∈[0，1]，g（x）＝x2，x∈[﹣1，0]，两函数的值域均为[0，1]，对应关系相同，但定义域不同，故C错误，对于D；例如对任意的一次函数y＝kx+b，k≠0，定义域值域均为R，但对应关系不同，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2＜a＜3，1＜b＜2，则2a﹣b的取值范围是（2，5）．解：∵2＜a＜3，∴4＜2a＜6①，又∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1②，①+②可得2＜2a﹣b＜5，即2a﹣b的取值范围是（2，5）．故答案为：（2，5）．14．若函数f(x)={x2+4x，x≤0−x2+ax，x＞0为奇函数，则f（a﹣1）＝3．解：因为f（x）是奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1），即（﹣1）2﹣4＝﹣（﹣12+a），解得a＝4，故f（a﹣1）＝f（3）＝﹣32+4×3＝3．故答案为：3．15．已知正数x，y满足2x+y＝1，若不等式x2﹣mxy+y≥0恒成立，则实数m的最大值是4．解：∵x＞0，y＞0，由x2﹣mxy+y≥0恒成立得m≤xy+1x恒成立，即求xy+1x的最小值，又xy +1x=1−y2y+1x=12y+1x−12=(12y+1x)(2x+y)−12=xy+yx+2≥2√xy⋅yx+2=4，当且仅当{xy =yx2x+y=1，即x=y=13时等号成立，∴x y+1x的最小值为4，∴m ≤4，即实数m 的最大值是4． 故答案为：4．16．若函数f （x ）的定义域为R ，对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2，且f （3）＝8，则不等式f （2x﹣1）＜4x 的解集是 （﹣∞，2） ． 解：函数f （x ）的定义域为R ，且f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2，设x 1＞x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＞2（x 1﹣x 2）⇒f （x 1）﹣2x 1＞f （x 2）﹣2x 2， 令g （x ）＝f （x ）﹣2x ，则g （x 1）＞g （x 2），又x 1＞x 2， 所以函数g （x ）在R 上单调递增．不等式f （2x ﹣1）＜4x 可变为f （2x ﹣1）﹣2（2x ﹣1）＜2， 又f （3）＝8，所以f （3）﹣2×3＝8﹣6＝2，所以f （2x ﹣1）﹣2（2x ﹣1）＜f （3）﹣2×3，即g （2x ﹣1）＜g （3）， 有误函数g （x ）在R 上单调递增，所以2x ﹣1＜3，解得x ＜2， 所以不等式f （2x ﹣1）＜4x 的解集是（﹣∞，2）． 故答案为：（﹣∞，2）．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=√3−x 1√x A ，集合B ＝{x |1﹣a ＜x ≤2a +4}（a ＞﹣1）．（1）若a ＝0，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：（1）由题意得{3−x ≥0x ＞0，解得0＜x ≤3，故A ＝（0，3]，若a ＝0，则B ＝（1，4]，∴A ∩B ＝（1，3]，A ∪B ＝（0，4]； （2）由（1）得A ＝（0，3]，若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，则A ⊆B ， ∴{a ＞−11−a ≤02a +4≥3，解得a ≥1，故实数a 的取值范围是{a |a ≥1}．18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣1）x +2﹣a ．（1）若关于x 的不等式f （x ）≥0的解集为[m ，1]，求实数a ，m 的值；（2）若关于x 的不等式f （x ）＜1的解集为∅，求实数a 的取值范围． 解：（1）∵不等式ax 2+（a ﹣1）x +2﹣a ≥0的解集为[m ，1]，∴a ＜0且方程ax 2+（a ﹣1）x +2﹣a ＝0的两不等根为m 和1（m ＜1）， 由韦达定理得m +1=−a−1a ，m ×1=2−aa ， 解得a ＝﹣1，m ＝﹣3；（2）∵关于x 的不等式f （x ）＜1的解集为∅， ∴当a ＝0时，不等式为﹣x +2＜1，解得x ＞1， 不等式的解集为{x |x ＞1}，不满足题意；当a ≠0时，ax 2+（a ﹣1）x +1﹣a ＜0的解集为∅， ∴{a ＞0Δ=(a −1)2−4a(1−a)≤0，解得15≤a ≤1，故实数a 的取值范围是{a |15≤a ≤1}．19．（12分）阅读：序数属性是自然数的基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题．在教材中有如下顺序公理：①如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c ；②如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ． （1）请运用上述公理①②证明：“如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd ．” （2）求证：|(yx +xy +1)(yx +xy )|≥2． 证明：（1）∵a ＞b ＞0，且c ＞0， ∴ac ＞bc ＞0， 同理bc ＞bd ＞0， ∴ac ＞bd ； （2）法一：当x ，y 同号时，xy＞0，y x＞0，∴xy+y x≥2√x y ⋅y x=2．当x ，y 异号时，−xy ＞0，−yx ＞0， ∴(−xy )+(−yx )≥2√(−xy )⋅(−yx )=2， ∴xy +y x ≤−2．综上可知，xy+y x的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），∴xy +yx+1的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∴|xy+yx|≥2且|xy+yx+1|≥1，由（1）中的结论可知：|(xy+yx)(xy+yx+1)|=|xy+yx|⋅|xy+yx+1|≥2×1=2．法二：令m=xy，则关于m的函数F(m)=m+1m在区间（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，0）和（0，1）上单调递减，所以F(m)=m+1m的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．令t=xy+yx，则t的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），令函数g（t）＝t（t+1），则g（t）在（﹣∞，﹣2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．所以函数g（t）的值域为[2，+∞），所以|g（t）|∈[2，+∞），故|(xy+yx)(xy+yx+1)|=|g(t)|≥2．法三：令m=xy，则(xy+yx)(xy+yx+1)=(m+1m)(m+1m+1)=m2+1m2+m+1m+2，令t=m+1m，则t的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），又m2+1m2=(m+1m)2−2=t2−2，所以m2+1m2+m+1m+2=t2+t．因为|t2+t|2﹣4＝（t2+t+2）（t2+t﹣2）＝（t2+t+2）（t﹣2）（t+1），当t≥2时，（t2+t+2）（t﹣2）（t+1）≥0；当t≤﹣2时，（t2+t+2）（t﹣2）（t+1）≥0．所以|t2+t|2≥4，又|t2+t|≥0，所以|t2+t|≥2，原命题即证．20．（12分）某地区上年度电价为0.8元/（kW•h），年用电量为akW•h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW•h）至0.75元/（kW•h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW•h）．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元/（kW•h）．记本年度电价下调后电力部门的收益为y（单位：元），实际电价为x（单位：元/（kW•h））．（收益＝实际电量×（实际电价﹣成本价））（1）当k＝0.2a时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（2）当k＝0.4a时，求收益y的最小值．解：（1）由题意知，下调电价后新增用电量为kx−0.4，故电力部门的收益y =(kx−0.4+a)(x −0.3)，0.55≤x ≤0.75． （1）当k ＝0.2a 时，y =(0.2ax−0.4+a)(x −0.3)=a(0.2x−0.4+1)(x −0.3)． 由题意知a(0.2x−0.4+1)(x −0.3)≥a(0.8−0.3)×(1+20%)且0.55≤x ≤0.75， 化简得x 2﹣1.1x +0.3≥0， 解得x ≤0.5或x ≥0.6，又0.55≤x ≤0.75，∴0.6≤x ≤0.75，所以实际电价最低定为：0.6元/（kW •h ）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． （2）当k ＝0.4a 时，y =(0.4ax−0.4+a)(x −0.3)=a(0.4x−0.4+1)(x −0.3)， 令t ＝x ﹣0.4，∵0.55≤x ≤0.75，∴0.15≤t ≤0.35， ∵a ＞0，∴y =a(0.4t +1)(t +0.1)=a(0.04t+t +0.5)≥a(2√0.04+0.5)=0.9a ， 当且仅当t ＝0.2时取等号， 故收益y 的最小值0.9a ．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax ，g （x ）＝x ﹣1．（1）当a ＝1时，∀x ∈R ，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，求M （x ）的最小值；（2）若不等式|f （x 1）﹣g （x 1）|＜|f （x 2）﹣g （x 2）|对任意x 1，x 2∈[1，2]（x 1＜x 2）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣3x +1， 由f(x)−g(x)=x 2−3x +1≥0⇒x ≤3−√52或x ≥3+√52，此时f （x ）≥g （x ）； f(x)−g(x)=x 2−3x +1＜0⇒3−√52x ＜3+√52，此时f （x ）＜g （x ）， 从而M(x)={x 2−2x ，x ∈(−∞，3−√52]∪[3+√52，+∞)x −1，x ∈(3−√52，3+√52)，结合一元二次函数和一次函数性质可知，M （x ）在(−∞3−√52)上单调递减，在[3−√52，+∞)单调递增， 从而M(x)min =M(3−√52)=1−√52， 故M （x ）的最小值为1−√52． （2）令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣（2a +1）x +1，由|f （x 1）﹣g （x 1）|＜|f （x 2）﹣g （x 2）|对任意x 1，x 2∈[1，2]（x 1＜x 2）恒成立，即|F（x1）|＜|F（x2）|对任意x1，x2∈[1，2]（x1＜x2）恒成立，故y＝|F（x）|在[1，2]上单调递增，由二次函数性质可知，F（x）的图像开口向上，①若Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4≤0时，即−32≤a≤12时，F（x）≥0在R上恒成立，则若要y＝|F（x）|＝F（x）在[1，2]上单调递增，只需x=2a+12≤1即可，则−32≤a≤12；②若Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4＞0时，即a＜−32或a＞12时，令F（x）＝0，解得x=x3=2a+1−√4a2+4a−32，x=x4=2a+1+√4a2+4a−32，且x3＜x4，则由二次函数性质可知，y＝|F（x）|在（﹣∞，x3）和(2a+12，x4)上单调递减，在(x3，2a+12)和（x4，+∞）上单调递增，若要y＝|F（x）|在[1，2]上单调递增，则{x3=2a+1−√4a2+4a−32≤12a+12≥2或x4=2a+1+√4a2+4a−32≤1，解得a≥32或a＜−32，综上所述，实数a的取值范围为(−∞，12]∪[32，+∞)．22．（12分）已知二次函数y＝f（x）的图象经过点（0，﹣3），且f（x+1）＝f（1﹣x），方程f（x）+4＝0有两个相等的实根．（1）求y＝f（x）的解析式；（2）设g(x)=f(x)+4x(x＞0)，①判断函数g（x）的单调性，并证明；②已知m∈R，求函数y=x2+1x2−|g(x)+2−m|的最小值h（m）．解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），则f（0）＝c＝﹣3，由f（x+1）＝f（1﹣x）得a（x+1）2+b（x+1）+c＝a（1﹣x）2+b（1﹣x）+c，化简得（2a+b）x＝0恒成立，则2a+b＝0，即b＝﹣2a，因为方程f（x）+4＝0有两个相等实根，即ax2﹣2ax+1＝0有两个相等实根，所以Δ＝4a2﹣4a＝0，可得a＝1，b＝﹣2．第21页（共21页） ∴f （x ）＝x 2﹣2x ﹣3．（2）g(x)=x 2−2x+1x =x +1x−2(x ＞0)， ①g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．证明：任取x 1＞x 2＞0，则g(x 1)−g(x 2)=(x 1+1x 1−2)−(x 2+1x 2−2)=(x 1−x 2)+(1x 1−1x 2)=(x 1x 2−1)(x 1−x 2)x 1x 2• 当x 1＞x 2＞1时，x 1x 2＞1，x 1﹣x 2＞0，则g （x 1）﹣g （x 2）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增； 当1＞x 1＞x 2＞0时，x 1x 2＜1，x 1﹣x 2＞0，则g （x 1）﹣g （x 2）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减． 因此g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．②令t =x +1x ，则x 2+1x 2=t 2−2． 因为x ＞0，所以x +1x ≥2，当且仅当x =1x，即x ＝1时取等号，所以t ≥2． 设φ（t ）＝t 2﹣2﹣|t ﹣m |，t ≥2，当m ≤2时，φ（t ）＝t 2﹣t +m ﹣2，φ（t ）在[2，+∞）上单调递增，∴h （m ）＝φ（2）＝m ，当m ＞2时，φ(t)={t 2−t +m −2，t ≥m t 2+t −m −2，2≤t ＜m， 当t ≥m 时，φ（t ）在[m ，+∞）上单调递增；当2≤t ＜m 时，φ（t ）在[2，m ）上单调递增， 所以φ（t ）在[2，+∞）上单调递增，∴h （m ）＝φ（2）＝4﹣m ，综上，h （m ）＝m 或4﹣m ．。

2017-2018学年江苏省苏州市常熟九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）一元二次方程x2+4x=0的解是（）A．x=﹣4 B．x1=0，x2=﹣4 C．x=4 D．x1=0，x2=42．（3分）下列命题中错误的命题为（）A．圆既是轴对称图形，也是中心对称图形B．在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧C．三角形的外心到三角形三边距离相等D．垂直于弦的直径平分这条弦3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值是（）A．B．C．D．4．（3分）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（）A．6πB．8π C．12πD．16π5．（3分）某厂一月份生产某机器200台，计划二、三月份共生产1800台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2=1800 B．200（1+x）+200（1+x）2=1800C．200（1﹣x）2=1800 D．200+200（1+x）+200（1+x）2=18006．（3分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°7．（3分）如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D．则阴影部分面积为（结果保留π）（）A．24﹣4πB．32﹣4πC．32﹣8πD．24﹣2π8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4cm，若以点C为圆心，以2cm为半径作⊙C，则AB与⊙C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交9．（3分）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB．若∠ABC=30°，则AM等于（）A．0.5 B．1 C． D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞0），半径是2，与y轴相切于点C，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．B．C．D．二、填空题（每题3分，共24分）11．（3分）将方程（2x﹣1）（x+3）=1化成一般形式是．12．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．75°13．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2= ．14．（3分）一扇形的半径为60cm，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．15．（3分）如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x轴上，∠α=75°，则点C的坐标是．16．（3分）如图，在边长为1的正方形格点图中，B、D、E为格点，则∠BAC的正切值为．17．（3分）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．18．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE ：S△CDB的值等于．三、解答题（共76分）19．（6分）计算：（1）sin245°﹣+（﹣2016）0+6tan30°（2）（）﹣1+|﹣2|+2cos30°．20．（12分）解方程：（1）（x+1）2=9（2）x2﹣5x﹣4=0；（3）x2+8x﹣9=0（4）（1﹣2x）2=4x﹣2．21．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+1=0（1）若x=﹣1是方程的一个根，求k值和方程的另一根；（2）设x1，x2是关于x的方程x2﹣4x+k+1=0的两个实数根，是否存在实数k，使得x1x2＞x1+x2成立？请说明理由．23．（6分）某商场经销某种商品，每件成本为40元，经市场调研，当售价为50元时，可销售200件；售价每降低1元，销售量将增加10件，如果降价后该商店销售这种商品盈利1250元，问每件售价定为多少元？24．（6分）⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，且∠DEB=60°，求CD的长．25．（8分）如图，四边形OABC为平行四边形， B、C在⊙O上，A在⊙O外，sin∠OCB=．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若BC=10cm，求⊙O的半径长及图中阴影部分的面积．26．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A；（2）若CE=4，DE=2，求⊙O的直径．27．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．28．（10分）如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO=30°，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点E的坐标；（2）当△PAE是等腰三角形时，求t的值；（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．2017-2018学年江苏省苏州市常熟一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）一元二次方程x2+4x=0的解是（）A．x=﹣4 B．x1=0，x2=﹣4 C．x=4 D．x1=0，x2=4【解答】解：方程分解得：x（x+4）=0，可得x=0或x+4=0，解得：x1=0，x2=﹣4，故选：B．2．（3分）下列命题中错误的命题为（）A．圆既是轴对称图形，也是中心对称图形B．在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧C．三角形的外心到三角形三边距离相等D．垂直于弦的直径平分这条弦【解答】解：A、圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以A选项为真命题；B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以B选项为真命题；C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以C选项为假命题；D、垂直于弦的直径平分这条弦，所以D选项真命题．故选：C．3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值是（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，cosA==，故选：B．4．（3分）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（）A．6πB．8π C．12πD．16π【解答】解：此圆锥的侧面积=•4•2π•2=8π．故选：B．5．（3分）某厂一月份生产某机器200台，计划二、三月份共生产1800台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2=1800 B．200（1+x）+200（1+x）2=1800C．200（1﹣x）2=1800 D．200+200（1+x）+200（1+x）2=1800【解答】解：二月份的生产量为200×（1+x），三月份的生产量为200×（1+x）（1+x），那么200（1+x）+200（1+x）2=1800．故选：B．6．（3分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【解答】解：连接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2∠ACB=50°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA==65°．故选：D．7．（3分）如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D．则阴影部分面积为（结果保留π）（）A．24﹣4πB．32﹣4πC．32﹣8πD．24﹣2π【解答】解：连接AD，OD，∵等腰直角△ABC中，∴∠ABD=45°．∵AB是圆的直径，∴∠ADB=90°，∴△ABD也是等腰直角三角形，∴=．∵AB=8，∴AD=BD=4，∴S阴影=S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD=S△ABC ﹣S△ABD﹣（S扇形AOD﹣S△ABD）=×8×8﹣×4×4﹣+××4×4=16﹣4π+8 =24﹣4π．故选：A．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4cm，若以点C为圆心，以2cm为半径作⊙C，则AB与⊙C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4cm，∴AC=AB=2cm，∠A=60°，∴∠ACD=30°，∴AD=AC=1cm，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，12+CD2=22，解得：CD=，∵以点C为圆心，以2cm为半径作⊙C，∴此时AB与⊙C的位置关系是相交，故选：C．9．（3分）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB．若∠ABC=30°，则AM等于（）A．0.5 B．1 C． D．【解答】解：过点M作MG⊥AC，垂足为G．∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°．又∵∠ABC=30°，AB=2，∴AC=1，∠CAB=60°．∵AD为⊙O的切线，∴∠DAB=90°．∴∠MAC=30°．由切线长定理可知MC=MA．又∵MG⊥AC，∴AG=AC=．在Rt△AMG中，∠MAG=30°，∴=，即，解得：AM=．故选：C．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞0），半径是2，与y轴相切于点C，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PF⊥x轴于F，交AB于D，连接PA．∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE==1，∵点D在直线y=x上，∴∠AOF=45°，∵∠DFO=90°，∴∠ODF=45°，∴∠PDE=∠ODF=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OF=2，∴DF=OF=2，∴a=PD+DF=2+．故选：B．二、填空题（每题3分，共24分）11．（3分）将方程（2x﹣1）（x+3）=1化成一般形式是2x2+5x﹣4=0 ．【解答】解：原方程化简得2x2+5x﹣4=0，故答案为：2x2+5x﹣4=0．12．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．75°【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣∠ABD=35°，∴∠BCD=∠A=35°．故选：A．13．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2= 51 ．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两个根，∴m+n=6，mn=﹣5，则m2﹣mn+n2=（m+n）2﹣3mn=36+15=51．故答案为：51．14．（3分）一扇形的半径为60cm，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为25 cm．【解答】解：=2πr，解得r=25cm．15．（3分）如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x轴上，∠α=75°，则点C的坐标是（﹣2，0）．【解答】解：∵直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，当x=0时，y=2，当y=0时，x=2，∴点A（2，0），点B（0，2），∴OA=OB=2，∵∠AOB=90°，∴∠ABO=∠BAO=45°，∵∠α=75°，∠α=∠BAO+∠BAO，∴∠BCO=30°，∴CO===2，∴点C的坐标是（﹣2，0），故答案为（﹣2，0）．16．（3分）如图，在边长为1的正方形格点图中，B、D、E为格点，则∠BAC的正切值为．【解答】解：由图可得，∠BAC=∠B DC，∵⊙O在边长为1的网格格点上，∴BE=3，DB=4，则tan∠BDC=，∴tan∠BAC=．故答案为：17．（3分）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为2．【解答】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴AB=OA=6，∴OP==3，∴PQ===2．故答案为：2．18．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE ：S△CDB的值等于2：3 ．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴，∴AD=AB，BD=AB，过C作CF⊥AB于F，连接OE，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴，∴OE⊥AB，∴OE=AB，CF=AB，∴S △ADE ：S △CDB =（AD •OE ）：（BD •CF ）=（）：（）=2：3．故答案为：2：3，三、解答题（共76分）19．（6分）计算：（1）sin 245°﹣+（﹣2016）0+6tan30° （2）（）﹣1+|﹣2|+2cos30°．【解答】解：（1）原式=（）2﹣3++6×=+﹣3+2=1﹣；（2）原式=2+2﹣+2× =4．20．（12分）解方程：（1）（x+1）2=9（2）x 2﹣5x ﹣4=0；（3）x 2+8x ﹣9=0（4）（1﹣2x ）2=4x ﹣2．【解答】解：（1）∵x+1=3或x+1=﹣3，∴x=2或x=﹣4；（2）∵a=1、b=﹣5、c=﹣4，∴△=25﹣4×1×（﹣4）=41＞0，则x=；（3）∵（x﹣1）（x+9）=0，∴x﹣1=0或x+9=0，解得：x=1或x=﹣9；（4）∵（1﹣2x）2+2（1﹣2x）=0，∴（1﹣2x）（3﹣2x）=0，则1﹣2x=0或3﹣2x=0，解得：x=或x=．21．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，∴AB==3，∴BD==2，∴BC=BD+DC=2+1；（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=+，∴DE=CE﹣CD=+﹣1=﹣，∴tan∠DAE===﹣．22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+1=0（1）若x=﹣1是方程的一个根，求k值和方程的另一根；（2）设x1，x2是关于x的方程x2﹣4x+k+1=0的两个实数根，是否存在实数k，使得x1x2＞x1+x2成立？请说明理由．【解答】解：（1）∵x=﹣1是方程的一个根，∴（﹣1）2﹣4×（﹣1）+k+1=0，解得：k=﹣6，设方程的另一根为α，∴﹣1+α=4，解得：α=5，∴方程的另一根是5．（ 2 ）不存在．理由：由题意得△=16﹣4（k+1）≥0，解得k≤3．∵x1，x2是一元二次方程的两个实数根，∴x1+x2=4，x1x2=k+1，由x1x2＞x1+x2，得k+1＞4，∴k＞3，∴不存在实数k使得x1x2＞x1+x2成立．23．（6分）某商场经销某种商品，每件成本为40元，经市场调研，当售价为50元时，可销售200件；售价每降低1元，销售量将增加10件，如果降价后该商店销售这种商品盈利1250元，问每件售价定为多少元？【解答】解：设每件商品售价为x元，则销售量为[200+10（50﹣x）]件，由题意得：（x﹣40）[200+10（50﹣x）]=1250，整理得：x2﹣110x+3000=0，解得x1=65（不合题意舍去），x2=45．答：该商店售价为45元．24．（6分）⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，且∠DEB=60°，求CD的长．【解答】解：作OP⊥CD于P，连接OD，∴CP=PD，∵AE=1，EB=5，∴AB=6，∴OE=2，在Rt△OPE中，OP=OE•sin∠DEB=，∴PD==，∴CD=2PD=2（cm）．25．（8分）如图，四边形OABC 为平行四边形，B 、C 在⊙O 上，A 在⊙O 外，sin ∠OCB=．（1）求证：AB 与⊙O 相切；（2）若BC=10cm ，求⊙O 的半径长及图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OB ，∵sin ∠OCB=，∴∠OCB=45°，∵OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠BOC=90°，∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，∴∠BOC=∠ABO=90°，∵B 在⊙O 上，∴AB 与⊙O 相切；解：（2）设⊙O 的半径为r ，则OB=OC=r ，在Rt △OBC 中，r 2+r 2=102，∴r=5，∴S 阴影部分=S 扇形OBC ﹣S △OBC =﹣×=π﹣25，答：⊙O 的半径长5，阴影部分的面积为．26．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A；（2）若CE=4，DE=2，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠BDC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A；（2）解：∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90°，∴DB∥EC，∴∠DCE=∠BDC，∵CE=4，DE=2，∴tan∠A=tan∠DCE=，∴在Rt△ACE中，可得AE=8，∴AD=6，在在Rt△ADB中可得BD=3，∴根据勾股定理可得AB=327．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EG•ED=AE2=18．28．（10分）如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO=30°，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点E的坐标；（2）当△PA E是等腰三角形时，求t的值；（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．【解答】解：（1）∵A（0，3），B（6，0），∴OA=3，OB=6，∵∠AEO=30°，∴OE=OA=3，∴点E的坐标为（，0）．（2）如图1中，当EA=EP 时，EP 1=EA=EP 2=6，此时t=3﹣2或3+10，当PA=PE 时，设P 3E=P 3E=x ，在Rt △AOP 3中，32+（3﹣x ）2=x 2，∴x=，此时t=4+当AE=AP 时，点P 在点Q 左边，不符合题意．综上所述，当△PAE 是等腰三角形时，t 的值为（3﹣2）s 或（3）s 或（4+）s ．（3）由题意知，若⊙P 与四边形AEBC 的边相切，有以下三种情况：①如图2中，当PA ⊥AE 时，⊙P 与AE 相切，∵∠AEO=30°，AO=3，∴∠APO=60°，∴OP=，∴QP=QO ﹣PO=4﹣， ∵点P 从点Q （﹣4，0）出发，沿x 轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t=4﹣（秒）．②如图3中，当PA ⊥AC 时，⊙P 与AC 相切，∵QO=4，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t=4（秒），③如图4中，当⊙P与BC相切时，由题意，PA2=PB2=（10﹣t）2，PO2=（t﹣4）2．于是（10﹣t）2=（t﹣4）2+32．解得t=（秒），综上所述，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，t的值为（4﹣）秒或4秒或秒．。