高一第15讲正弦型函数图象(学生版)

第15讲y ＝A sin(ωx ＋φ)图象及应用一．学习目标：1．正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换法。

． 2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用．3．y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．4.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．二．重点难点：重点：掌握正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，难点：利用三角函数的性质解决有关问题．三．知识梳理：1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．5.在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．6.由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．7.作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．8.函数y ＝tan y ＝tan xπ题型一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象例1 设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．课堂小结：(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可． (2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω来确定平移单位． 课堂练习1：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是题型二 三角函数图象的变换例2 （1）（2012年高考浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是（2）.已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4-2，x ∈R .,将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？（3）（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像.(1)求函数()f x 与()g x 的解析式;（2）（略）课堂练习2：（1）（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题） 将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为(A) (B) (C)0 (D)（2）（2013年高考福建卷（文））将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f的图象向右平移sin(2)y x ϕ=+x 8πϕ34π4π4π-)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是 A ．35π B ．65π C ．2π D．6π（3）．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图 象重合，则ω的最小值是 A.23 B.43 C.32D ．3题型三 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例3 （1）（2013年高考四川卷（理））函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π（2）（2012年高考湖南文）已知函数()sin(),(,0,0)2f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<的部分图像如图5所示.（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）（略）课堂小结：根据三角函数图象求函数的解析式，主要解决两个问题，一个是ω，一个是φ.ω由三角函数的周期确定，φ由函数图象的位置确定，解决这类题目一般是先根据函数图象找到函数的周期确定ω的值．对于φ值的确定，若能求出距离原点最近的右侧图象上升(或 下降)的零点x 0，令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，也可以用最高点或最低点的坐标来求，如果对φ有范围要求，则可用诱导公式转化． 课堂练习3：（1）(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．（2）(2009年高考辽宁理)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝ A ．－23 B ．－12 C.23 D.12 ()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<,ωϕ课堂小结：解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．题型四 正、余弦函数的最值问题例4（图象法求最值）（1）（2013年高考天津卷（文））函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是 A ．1- B ． C D ．0（2）（换元法求最值）设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的值域是______．（3）（有界性法求最值）已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．课堂练习4：已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ): A.23 B.32C ．2D ．3题型五 正切函数图象与性质例5（1）函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )（2）下列各式中正确的是( )A ．tan 735°>tan 800° B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π7（3）函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π4 课堂练习5：求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心． .五．品味高考（家庭作业）1，（2013年高考大纲卷（文））若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22.（2013年高考四川卷（文））函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π3.（2012年高考课标文）已知>0,,直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴,则= （ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π44（2012年高考福建文）函数的图像的一条对称轴是（ ）A ．B ．C ．D ．ω0ϕπ<<x 4πx 54π()sin()f x x ωϕ=+ϕ()sin()4f x x π=-4x π=2x π=4x π=-2x π=-5.（2012年高考大纲文）若函数是偶函数,则 （ ） A ． B ． C ． D ．6.（2012年高考安徽文）要得到函数的图象,只要将函数的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位 7.（2012年高考新课标理）已知,函数在上单调递减.则的取值范围是A ． B ． C ． D ．8.（2012年高考天津文）将函数的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,则的最小值是 （ ） A ． B ．1 C ． D ．29.（2005年高考全国理）已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－110.（2013年高考课标Ⅱ卷（文））函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图像重合,则||ϕ=___________.11.（2013年高考上海卷（理））已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>; (1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.参考答案：（1）【答案】B （2）【答案】A （3）【解析】由题设知,=,∴=1,∴=(), ∴=(),∵,∴=,故选A.（4）【答案】C 【解析】把代入后得到,因而对称轴为,（5）答案C 【解析】由为偶函数可知,轴是函数图像的对称轴,而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故,而,故时,[]()sin (0,2)3x f x ϕϕπ+=∈ϕ=2π23π32π53πcos(21)y x =+cos 2y x =12120ω>()sin()4f x x πω=+(,)2ππω15[,]2413[,]241(0,]2(0,2]()sin (0)f x x ωω=>4π3(,0)4πω1353πω544ππ-ω4πϕ+2k ππ+k Z ∈ϕ4k ππ+k Z ∈0ϕπ<<ϕ4π4x π=-()1f x =-4x π=-[]()sin (0,2)3x f x ϕϕπ+=∈y ()f x 3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈[]0,2ϕπ∈0k =, （6）【解析】选 左+1,平移 （7）【解析】选 ， 不合题意 排除 合题意 排除另:, 得: （8）【解析】函数向右平移得到函数,因为此时函数过点,所以,即所以,所以的最小值为2,选D.（9）答：B ∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0. （10）【答案】56π。

第15讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质一，基础知识回顾的最小正周期为 ．的最小正周期为 ．3．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图4得到：（1）相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，把y ＝sin x 图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y ＝sin (ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上各点的纵坐标______(A >1)或______(0<A <1)到原来的____倍(横坐标不变)．5.确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b.确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝ ，b ＝ .(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝ .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2.6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)性质（1）单调性： （2）最值： （3）周期：（4）对称性： （5）奇偶性： 二，典例精析题型一：五点法作图及图象变换例1：已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到.变式迁移1：(1)要得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D 向左平移π12个单位(2)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________． 题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2：(1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为(2)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝变式训练2：(1)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相分别是(2)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝题型三：三角函数图象与性质的综合应用例3：设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．变式训练3：已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．题型四：三角函数模型的简单应用例4：如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．变式训练4.：某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？题型五：三角函数背景下的创新问题例5：设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是变式训练5：已知函数f (x )＝2sin x ＋1(x ∈[0，2π])，设h (x )＝|f (x )|－a ，则当1<a <3时，函数h (x )的零点个数为三．方法规律总结1．五点法作函数图象及函数图象变换问题：(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．2．由图象确定函数解析式：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．3．对称问题：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．4．由函数y ＝sin x (x ∈R )的图象经过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x 前面的系数提取出来．5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．6．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性． 四、课后练习作业 一、选择题1．函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )2．函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为( )A. πB.π4C.π3 D ．π23．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 B 关于直线x ＝π4对称C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 D 关于直线x ＝π3对称 4.要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（ ）1212个单位 5．将函数y ＝f (x )·sin x 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴对称变换，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )可以是( D )．A ．sin xB ．cos xC ．2sin xD ．2cos x6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( A )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数7．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( C )． A.13B ．3C ．6D ．9 8．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，则φ的一个可能取值是( D ) A.π12 B.π6 C.5π6 D.7π129．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( D )A.π3B.23πC.43πD.π3或43π 10．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是( B )A ．)185,92[ππ B ．]185,92(ππ C ．)185,92(ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡185,92ππ 二、填空题11．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．12．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．13．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.14．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________． 三、解答题15．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜0)的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．16．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图象，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．17．已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．18．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？。

【课题】 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像【教材】 高中数学人教版必修4第49页至55页. 【课时安排】 1个课时. 【教学对象】 高一（上）学生.【授课教师】 【教学目标】 知识与技能（1）理解A 、ω、ϕ的变化对函数图像的形状及位置的影响； （2）掌握由x y sin =的图像到)sin(ϕω+=x A y 的图像的变换规律. 过程与方法（1）使学生经历图像变换的过程，培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力； （2）锻炼学生归纳总结和逻辑思维的能力. 情感态度价值观经历图像变换的实际操作过程，培养学生“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想和辩证思想.【教学重点】 1.考查参数A 、ω、ϕ对函数图像变换的综合影响；2.理解如何由x y sin =图像变换到)sin(ϕω+=x A y 图像的过程. 【教学难点】 ω对)sin(ϕω+=x A y 的图像的影响规律的概括.【教学方法】 讲练结合、讨论交流、合作探究。

【教学手段】计算机、flash 。

【教学过程设计】 教学流程设计问题情境探究一 参数ϕ对)sin(ϕ+=x y的图像的影响探究二 x y 2sin =如何平移得到）（32sin π+=x y 图像探究三 参数()0>ωω对()ϕω+=x y sin 图像探究四 参数()0>A A 对()ϕω+=x A y sin 图像的影响.完成例题 解答提出问题的解决方法学生思考讨论 并归纳规律 学生思考讨论 并归纳规律 学生思考讨论 并归纳规律 学生思考讨论 并归纳规律 寻找解题方法总结规律函数)sin(ϕω+=x A y 的图像二、教学过程设计【板书设计】函数)sin(ϕω+=x A y 的图像一、引入 三、总结 五、练习二、探究 四、例题 六、小结与作业附录1： 本教学设计的创新之处1. 目标创新培养学生动手实践能力以及问题解决能力和数学探究能力；2. 教法创新亚里士多德说：“思维从问题惊讶开始”.这些惊讶不会直接从抽象的符号或晦涩难懂的说教中来，它可以来源于直观感知，也可以总结自磨砺探索.通过问题驱动,师生共同发现问题并进而分析、解决问题.3. 数学创新在坚持课程标准总原则上，应立足于本质，抓住教学过程中出现的主要矛盾，合理调整教学环节，选择合理的设计方案，以体现现代数学教育的价值取向.。

北师大版高一数学三角函数 函数)sin(ϕϖ+=x A y 的图像知识点梳理1．,,A ωϕ的物理意义当sin()y A x ωϕ=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T πω=称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数。

x ωϕ+称为相位，0x =时的相位ϕ称为初相。

2.图象的变换例 ： 画出函数3sin(2)3y x π=+的简图。

解：函数的周期为22T ππ==，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点法画图：x6π-12π 3π 712π 56π 23x π+0 2ππ 32π 2π3sin(2)3x π+3 03- 0函数3sin(2)3y x π=+的图象可看作由下面的方法得到的：①sin y x =图象上所有点向左平移3π个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3y x π=+的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3y x π=+的图象。

一般地，函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到：①把正弦曲线上所有点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平行移动||ϕ个单位长度；②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。

即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。

问题：以上步骤能否变换次序？∵3sin(2)3sin 2()36y x x ππ=+=+，所以，函数3sin(2)3y x π=+的图象还可看作由下面的方法得到的：①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到函数sin 2y x =的图象；②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6π个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的图象；③再把函数sin 2()6y x π=+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2()6y x π=+的图象。

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教案 正弦型函数的图像和性质1．,,A ωϕ的物理意义当sin()y A x ωϕ=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T πω=称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ωπ==，称为振动的频率。

x ωϕ+称为相位，0x =时的相位ϕ称为初相。

2．图象的变换例 ： 画出函数3sin(2)3y x π=+的简图.解：函数的周期为22T ππ==,先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图,再左右拓展x 6π- 12π 3π 712π 56π 23x π+ 0 2π π 32π 2π 3sin(2)3x π+ 0 3 0 3- 0函数3sin(2)3y x π=+的图象可看作由下面的方法得到的：①sin y x =图象上所有点向左平移3π个单位,得到sin()3y x π=+的图象上;②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3y x π=+的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3y x π=+的图象。

一般地，函数sin()y A x ωϕ=+,x R ∈的图象（其中0A >，0ω>)的图象,可看作由下面的方x yOπ3π-6π-53π2πsin()3y x π=+sin(2)3y x π=+sin y x = 3sin(2)3y x π=+法得到：①把正弦曲线上所有点向左（当0ϕ>时）或向右(当0ϕ<时）平行移动||ϕ个单位长度；②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)；③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时)或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变)。