正弦型函数的图象和性质

函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。

2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。

当ω＜0时，要特别注意。

如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。

3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。

一.正弦函数的图像与性质1.正弦函数的图象画法：五点法：2.正弦函数的性质：（通过图象观察性质）（1）定义域： （2）值域： （3）周期性： （4）奇偶性： （5）单调性：（6）对称轴：（7）对称中心：3.正弦函数性质的应用（一）、值域和有界性以及最值的应用例1、设3sin -=t x ，R x ∈，求t 的取值范围。

例2、已知b x a y +=sin 的最大值为5，最小值为1，求a ，b 的值。

例3、求下列函数的最大值和最小值以及相应的x 的取值范围 （1）x y 2sin =；（2）2sin +=x y ；（3）2)1(sin 2+-=x y例4、求函数y ＝cos 2x －3sin x 的最大值例5、已知｜x ｜≤，求函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值4π（二）、周期性的应用例1、 求下列函数的周期：(1)y ＝sin2x ，x ∈R ； (2)y ＝2sin(x －)，x ∈R)sin(ϕ+=wx A y 的周期T=练习：求下列函数的周期 （1）x y 3sin =，（2）4sin3x y =，（3）)62sin(2π-=x y （三）、单调性的应用（1）利用单调性比较大小例1、不求三角函数值，指出下列各式大于零还是小于零。

（1）)10sin()18sin(ππ---（2）)417sin()523sin(ππ---(2)求复合函数单调区间 例2、 (1)函数y ＝sin(x ＋)单调增区间? (2)函数y ＝3sin(－2x )单调减区间？ （3）求)214sin(3x y --=π的单调区间。

（四）、对称轴及对称中心的应用 例1、函数y ＝sin （2x ＋）图象的一条对称轴方程是( ) A x ＝－B x ＝－C x ＝D x ＝例2、函数)62sin(4π-=x y 的一个对称中心是（ ）A )0,12(πB )0,3(πC )0,6(π-D )0,6(π(五)．函数y ＝sinx 的对称性与周期性的关系．⑴ 若相邻两条对称轴为x ＝a 和x ＝b ，则T ＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a ，0)和(b ，0) ，则T ＝ ．⑶ 若有一个对称点(a ，0)和它相邻的一条对称轴x ＝b ，则T ＝ ．二.正弦型函数+b（一）1.周期： 2.频率： 3. 初相： 4.最值：例1、求函数的振幅、周期、初相和单调区间。

正弦函数的性质与图像一、 基础知识精析：（1）利用正弦线解sinx>a 的方法：①找出使sinx=a 的角x 的终边所在位置； ②根据变化趋势，确定不等式的解集。

（2）利用正弦函数的图像解sinx>a 的方法：①作出直线y=a 和正弦函数y=sinx 的图像; ②确定sinx=a 的x 值； ③确定sinx>a 的解集。

二、 基础强化训练：1、 求满足条件sin x ≤23的角x 的取值范围。

2、 根据y=sinx 的图像，解不等式-23≤sin x ≤21。

3、 求下列函数的定义域： （1）y=1sin 1log 2-x; (2)y=lg(3-4sin 2x);4、若sinx=3212+-m m ,且x ∈R,则m 的取值范围是________________.5、若sinx=m m 231+-,且x ∈[-6π,6π],则m 的取值范围是____________6、函数f(x)=-sin 2x+sinx+a,若1≤f （x ）≤417对一切x ∈R 恒成立，求a 的取值范围。

7、求函数y=-2 sin 2x+5 sinx-2的最大值及最小值。

8、求下列函数的值域： （1）y=sin 2x- sinx+1,x ∈[3π,43π]; (2)y=2sin sin +x x.9、求使函数y= -sin 2x+3 sinx+45取得最大值和最小值的自变量x 的集合，并求出函数的最大值和最小值。

10、比较大小： （1）sin 4π与sin 32π; (2)sin(-3200)与sin7000.11、判断下列函数的奇偶性： （1）f （x ）=sin(43x +π); (2) f （x ）=xx sin 1cos sin 12+-+三、高考在线：12、函数y= sin 2x+sinx-1的值域为（ ） A 、[-1，1] B 、[-45,-1] C 、[-45,1] D 、[ -1，45]四、课后练习：1、求函数y=lgsin2x+29x -的定义域。

正弦函数图像及性质
正弦函数是经典的三角函数，是一种双曲线形式的函数。

它表示某一Angle的正弦值，在数学中有很重要的地位。

在几何图表中，正
弦函数图像是一条波浪状线，也可用多边形方式表示正弦函数图像，
正弦函数图像的性质如下：
1. 正弦函数的自变量范围是从0到2π，即[0,2π]，正弦函数的值的范围是从-1到+1，即[-1,1]。

2. 正弦函数在(0,π/2)和(π,3π/2)之间单调递增，在(-
π/2,0)和(3π/2,2π)之间单调递减。

3. 正弦函数在(0,π/2)和(π,3π/2)之间为凸函数，在(-
π/2,0)和(3π/2,2π)之间为凹函数。

4. 正弦函数在(0,π/2)和(π,3π/2)之间的极值点是(π/2,1)
和(3π/2,-1)，在(-π/2,0)和(3π/2,2π)之间的极值点是(-π/2,-1)和(3π/2,1)。

5. y=sin x曲线是一个周期性的曲线，其中一个周期的长度为
2π。

正弦函数的几何图形表示的不仅是某一角度的正弦值，而且还有象征时间周期性变化的潮汐效应。

正弦函数可以解释声音波动，电磁
波动，水波动，电子信号等各种自然现象，其在数学、物理、工程等
领域有着重要作用，因此，深入理解正弦函数图像及其性质，对我们
有重要意义。

正弦函数的图像和性质讲义
正弦函数是一种重要的数学函数，具有独特的图像和性质。

本讲义将介绍正弦函数的图像特点和一些基本性质。

一、正弦函数的图像
1. 周期性：正弦函数是一种周期函数，其周期为2π。

当自变量增加2π时，函数值重复出现。

2. 平移性：对正弦函数进行平移操作可以改变函数图像在水平和垂直方向的位置。

例如，将正弦函数y=sin(x)向左平移π/2个单位，得到y=sin(x-π/2)，图像向左平移了π/2个单位。

3. 振幅：振幅决定了正弦函数图像的峰值和谷值的大小。

振幅为A的正弦函数的峰值和谷值分别为A和-A。

二、正弦函数的性质
1. 奇函数：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

这意味着正弦函数对称于原点，图像关于原点对称。

2. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，函数图像重复出现。

3. 最大值和最小值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

4. 增减性：正弦函数在每个周期内都有增减的区间。

在0到π/2的区间内，函数递增；在π/2到π的区间内，函数递减；在π到3π/2的区间内，函数递增；在3π/2到2π的区间内，函数递减。

5. 零点：正弦函数的零点是指函数取值为0的点。

正弦函数在0，π，2π，3π，...处都有零点。

了解正弦函数的图像特点和性质对于理解和解决与正弦函数相关的数学问题非常重要。

希望本讲义能够帮助您更好地掌握正弦函数的知识。

7.3.2正弦型函数的性质与图像(一)学习目标1.理解y＝A sin (ωx＋φ)中ω，φ，A对图像的影响．掌握y＝sin x与y＝A sin(ωx＋φ)图像间的变换关系.2.理解用五点法作图作y＝A sin(ωx＋φ)的图像.3.了解y＝A sin(ωx＋φ)图像的物理意义，能指出振幅、周期、频率、初相．4.会求正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期、单调性、最值、值域．知识梳理知识点一正弦型函数一般地，形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，称为正弦型函数，其中A，ω，φ都为常数，且A≠0，ω≠0.正弦型函数的性质1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像可以看作是把正弦曲线y＝sin x图像上所有的点向(当φ＞0时)或向(当φ＜0时)平行移动个单位而得到的．2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)图像上所有点的横坐标(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标)而得到的．3．A(A＞0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图像的影响函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图像上所有点的纵坐标(当A ＞1时)或(当0＜A＜1时)到原来的倍(横坐标不变)而得到的．知识点三正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)中，A，ω，φ的物理意义1．振幅：.2．初相：.3．周期：T＝2π|ω|.4．频率：f ＝1T ＝|ω|2π.题型探究探究一 三角函数的图像变换例1.说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图像是由y ＝sin x 的图像怎样变换的？反思感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x 前系数，当x 前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx →ωx ＋φ的平移量为⎪⎪⎪⎪φω个单位．先平移后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对像是减少错误的好方法．跟踪训练1.把函数y ＝cos 2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )二、用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像 例2.作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期上的图像．反思感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点．(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图像． 跟踪训练2.作出y ＝2.5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像．三、正弦型函数的周期例3．求下列函数的周期 (1)y ＝12sin π3x ；(2)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.反思感悟 对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)的函数的最小正周期的求法，常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于形如y ＝|A sin ωx |的函数的周期情况常结合图像法来求解． 跟踪训练3．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1的最小值和最小正周期是( ) A ．－3－1，π B ．－3＋1，π C ．－3，π D ．－3－1，2π 四、正弦型函数的单调性例4．求函数y ＝3sin(π3－x2)的单调增区间．反思感悟 求正弦型函数的单调区间的策略 (1)结合正弦函数的图像，熟记它的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．当A >0时y ＝A sin z 与y ＝sin x 的单调性相同，当A <0时，y ＝A sin z 与y ＝sin x 的单调性相反． (3)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈D 的单调区间时，先求y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的单调区间，再把所求的单调区间和区间D 取交集即得y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈D 上的单调区间． 跟踪训练4.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈[0，π]的单调递增区间为______________________． 五、正弦型函数的最值、值域例5．求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x 的取值集合． (1)y ＝3sin(2x －2π3)；(2)y ＝3－2sin(3x ＋π6)．反思感悟 形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用正弦函数的图像、有界性求出y ＝A sin t 的最值(值域)． 跟踪训练5．已知函数f (x )＝2cos(π3－x2)，若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值、最小值．课堂小结 1．知识清单： (1)平移变换． (2)伸缩变换． (3)五点法作图．(4)正弦型函数的周期公式． (5)正弦型函数的单调性． (6)正弦型函数的最值、值域．2．方法归纳：整体代换思想，换元思想，数形结合． 3．常见误区：(1)先平移和先伸缩时平移的量不一样．(2)单调区间漏写k ∈Z ，用集合表示，以及用并集符号连接． 当堂检测1．函数y ＝2sin(2x ＋π3)＋1的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π2．最大值是12，周期是6π，初相是π6的三角函数的表达式可能是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 3．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度4．把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原 的13倍，得________的图像．5．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________．6．已知f (x )＝1＋2sin(2x －π4)，画出f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图像．参考答案知识梳理知识点一 正弦型函数 正弦型函数的性质1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图像的影响 左 右 |φ|2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图像的影响 缩短 不变3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响 伸长 A知识点三 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，A ，ω，φ的物理意义 1．|A | 2．φ例1.解：法一 (先伸缩后平移)y ＝sin 的图像――→各点的纵坐标伸长到原 的2倍横坐标不变y ＝2sin 的图像y ＝2sin(2x )的图像y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像向上平移1个单位长度,y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图像． 法二 (先平移后伸缩)y ＝sin 的图像――→各点的纵坐标伸长到原 的2倍横坐标不变y ＝2sin y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像――→向上平移1个单位y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图像． 跟踪训练1.【答案】A【解析】变换后的三角函数为y ＝cos(x ＋1)，结合四个选项可得A 选项正确．例2.解：(1)列表：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π 3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π43－3描点、连线如图所示：跟踪训练2.解：令X ＝2x ＋π4，则x ＝12⎝⎛⎭⎫X －π4.列表： X 0 π2π 3π2 2π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8 y2.5－2.5描点连线，如图所示．例3.解：法一 (1)y ＝12sin π3x＝12sin(π3x ＋2π) ＝12sin ⎣⎡⎦⎤π3（x ＋6）， ∴此函数的周期为6. (2)y ＝3sin(2x ＋π6)＝3sin(2x ＋π6＋2π)＝3sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋π）＋π6， ∴此函数的周期为π法二 (1)T ＝2ππ3＝6.(2)T ＝2π2＝π.跟踪训练3.【答案】A【解析】∵3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小值是－ 3. ∴f (x )的最小值是－3－1. f (x )的周期T ＝2π2＝π.例4.解：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝3sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－x 3＝3sin(x 2＋2π3)， 由－π2＋2k π≤x 2＋2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－7π3＋4k π≤x ≤－π3＋4k π，k ∈Z .∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－7π3，4k π－π3( k ∈Z )． 跟踪训练4.【答案】⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤5π6，π 【解析】令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，又因为0≤x ≤π，∴0≤x ≤π3或5π6≤x ≤π，∴原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤5π6，π. 例5.解：(1)当2x －2π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋7π12(k ∈Z )时，y max ＝3，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋7π12，k ∈Z . 当2x －2π3＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，y min ＝－3，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z . (2)当3x ＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝2k π3－5π18(k ∈Z )时，y max ＝5，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π3－5π18，k ∈Z . 当3x ＋π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π3＋π18，k ∈Z 时，y min ＝1，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π3＋π18，k ∈Z . 跟踪训练5. 解：f (x )＝2cos(π3－x 2)＝2cos(x 2－π3)．由－π≤x ≤π，得－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，[f (x )]max ＝2. 当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，[f (x )]min ＝－ 3. 当堂检测 1．【答案】B 【解析】 T ＝2π2＝π.2．【答案】A【解析】由T ＝2πω，∴ω＝2π6π＝13，∴y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6. 3．【答案】D【解析】∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴将函数y ＝sin 2x 的图像向右平行移动π6个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像． 4．【答案】y ＝13sin 3x【解析】 将y ＝sin x 的图像横坐标缩短到原 的13倍得y ＝sin 3x 的图像，纵坐标再缩短为原的13倍得y ＝13sin 3x 的图像． 5．【答案】5π6【解析】本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．将y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图像，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，结合－π≤φ<π知φ＝5π6.6．解：∵－π2≤x ≤π2，∴－π≤2x ≤π，－54π≤2x －π4≤34π.(1)列表如下x －π2 －3π8 －π8 π8 3π8 π2 2x －π4－54π －π －π2 0 π2 34π f (x )211－211＋22(2)描点连线成图，如图所示：。