北师大版数学九上同步练2.5 一元二次方程的根与系数的关系2

2.5一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【作业稿】1、已知：,2,522==+ab b a 那么=+2)(b a ，=-2)(b a2、已知：,2,15)(2==+ab b a 那么=+22b a ，=-2)(b a3、一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），它的根是 （公式）4、若一元二次方程x 2-ax+1=0有两个相等的实数根，则a 的值是5、.解下列方程（1）03722=+-x x （2）01322=+-x x （3）01032=--x x6、已知方程0122=-+kx x 的一个根是3，求它的另一个根及k 的值。

7、如图3，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长为10cm. 求：(1)对角线AC 的长度；(2)菱形ABCD 的面积.【预习稿】 2.5一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。

2、通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。

【学习重点】观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系 【学习难点】对根与系数这一性质进行应用。

一、合作探究：1观察上面的表格，思考以下问题：（1）每个方程的两根之和与它的什么关系？（2）每个方程的两根之积与它的系数有什么关系？（3）猜想：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解：关系：1x +2x ＝ ，12x x ⋅＝ 证明如下：∵20(0)ax bx c a ++=≠当240b ac -≥时根为：2b x a-±=∴设12b x a -+=，22b x a --=，∴1x +2x ＝＝＝=21x x【学案稿】 2.5一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一、韦达定理：如果方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根为1x ，2x ， 那么=+21x x ，=21x x二、定理应用：例1：不解方程，求下列方程0672=++x x 的两根和与两根积： 1、对应练习：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积： （方程两根为x 1，x 2、k 是常数）（1）2x 2-3x-1=0 x 1+x 2= __ _ x 1x 2= _ __ （2）3x 2+5x=0 x 1+x 2= __ _ x 1x 2 _ __ （3）220x -= x 1+x 2= __ _ x 1x 2= _ __ （4）1)13(=-x x x 1+x 2= __ _ x 1x 2= ___例2：已知方程0122=-+kx x 的一个根是3，求它的另一个根及k 的值。

北师⼤版数学九年级上册《⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系》同步练习题含答案第⼆章⼀元⼆次⽅程 2.5 ⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系1．已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则(α＋3)(β＋3)等于( )A. 8B. 9C. 10D. 122. 设x1，x2是⽅程5x2－3x－2＝0的两个实数根，则1x1＋1x2的值为( )A. －4B. －3C. －2D. －323. 若关于x的⼀元⼆次⽅程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab等于( )A. 4B. 3C. 2D. 14. 已知a，b是⽅程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为( )A. 20B. 22C. 23D. 255. 设m，n是⼀元⼆次⽅程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n等于( )A. 9B. 7C. 5D. 36. 已知⼀元⼆次⽅程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1?x2=( )A. 4B. 3C. -4D. -37. 判断⼀元⼆次⽅程式x2-8x-a=0中的a为下列哪⼀个数时，可使得此⽅程式的两根均为整数？( )A. 12B. 16C. 20D. 248. 若关于x的⼀元⼆次⽅程x2-4x+5-a=0有实数根，则a的取值范围是( )A. a≥1B. a＞1C. a≤1D. a＜19. 已知x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于( )A. -3B. 0C. 3D. 510. 如果⼀元⼆次⽅程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=( )A. -3B. 3C. -1D. 111. 若关于x的⽅程x2+3x+a=0有⼀个根为-1，则另⼀个根为12. 设x1，x2是⼀元⼆次⽅程-2x-3=0的两根，则 =13. 设α，β是⼀元⼆次⽅程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是14. 若m，n是⼀元⼆次⽅程x2＝5x＋2的两个实数根，则m－mn＋n的值是15. 关于x的⽅程x2－ax＋2a＝0的两根的平⽅和是5，则a的值是16. 已知x1，x2是关于x的⽅程x2＋ax－2b＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是17. 已知关于x的⽅程x2＋3x＋a＝0有⼀个根为－2，则另⼀个根为18. 已知m，n是关于x的⼀元⼆次⽅程x2－3x＋a＝0的两个根，若(m－1)(n －1)＝－6，则a＝19. 若关于x⼀元⼆次⽅程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满⾜（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为20. 已知⽅程x2+mx+3=0的⼀个根是1，则它的另⼀个根是_______，m的值是_______21. 已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是_______22. 在解⽅程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得⽅程的根为x1＝1，x2＝－3；⼄同学看错了q，解得⽅程的根为x1＝4，x2＝－2，则⽅程中的p＝______，q＝________．23. 已知直⾓三⾓形的两条直⾓边的长恰好是⽅程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直⾓三⾓形的斜边长是_________24. 关于x 的⼀元⼆次⽅程（m-2）x 2+2x+1=0有实数根，求m 的取值范围.25. 设x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程2x 2－x －3＝0的两根，求下列代数式的值．(1)x 12＋x 22；(2)x 2x 1＋x 1x 2；(3)x 12＋x 22－3x 1x 2.26. 若关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满⾜x 1＝3x 2，试求出⽅程的两个实数根及k 的值．27. 已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)如果⽅程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，求m 的取值范围．。

北师大新版数学初三上册《2一．选择题（共12小题）1．若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，则那个方程的两根为（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不确定2．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）=0有实数根，则k的取值范畴为（）A．k≥﹣B．k＞﹣C．k≥﹣且k≠0 D．k＜﹣3．若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范畴是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠04．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣15．假如关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范畴是（）A．k＜B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k ≠06．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0有实数根，则k的取值范畴在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根只有整数根的一切有理数r的值有（）个．A．1 B．2 C．3 D．不能确定8．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则的值是（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．9．下列一元二次方程中，只有方程（）的根为1与﹣2．A．x2﹣x﹣2=0 B．x2+x﹣2=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2+x+2= 010．若函数y=kx﹣3的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情形是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8 C．6 D．012．已知α，β满足α2+2α﹣1=0，β2+2β﹣1=0，则的值为（）A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2或6二．填空题（共10小题）13．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根差不多上整数，则a 的值等于．14．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是．15．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根，则=16．假如关于x的一元二次方程x2+bx+c=0没有实数根，则符合条件的一组b，c的实数值能够是b=，c=．17．若实数a、b、c满足，b+c﹣1=0，a﹣bc﹣1=0，则a的取值范畴是．18．假如关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实数根，那么m的取值范畴是．19．若a＞b＞c＞0，一元二次方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+（c﹣a）=0的两个实根中，较大的一个实根等于．20．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x 1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是．21．关于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为an、bn，则++…+=．22．若，若x1，x2是一元二次方程kx2+ax+b=0的两个实数根且满足，则k=．三．解答题（共6小题）23．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0，（1）若m＞0，求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．24．已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取时，方程有整数解．（直截了当写出3个k的值）25．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范畴；（2）假如k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x 2+mx﹣1=0有一个相同的根，求现在m的值．26．已知关于x的方程x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0．（1）若此方程的一个根为﹣1，求m的值；（2）求证：不管m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．27．已知关于x一元二次方程x2﹣4x+c=0．（1）当c=1时，试解那个方程；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x12﹣2x1x2+x22=0，求c的值．28．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0．①小明同学说：不管k取何实数，方程总有实数根，你认为他说的有道理吗？②若等腰三角形的一边a=1，另两边b、c恰好是那个方程的两个根，求△ABC的周长和面积．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．B．4．C．5．D．6．C．7．B．8．C．9．B10．A．11．D．12．C．二．填空题13．0或16．14．m=4．15．﹣．16．b=2，c=3．答案不唯独．17．a≤．18．m≤3．19．1．20．8．21．﹣22．﹣2或1．三．解答题23．证明：（1）△=b2﹣4ac=[﹣2（2m﹣3）]2﹣4（4m2﹣14m+8）=8 m+4，∵m＞0，∴8m+4＞0．∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：由求根公式得：∵方程有两个整数根，∴必须使为整数且m为整数．∴2m+1必是奇数，∴是奇数又∵12＜m＜40，∴25＜2m+1＜81．∴5＜＜9．∴m=24．24．（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣k2）=4k2+9＞0，∴不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵方程有整数解，∴x=为整数，∴k取0，2，﹣2时，方程有整数解．25．解：（1）△=（2k﹣3）2﹣4×（k﹣1）（k+1）=4k2﹣12k+9﹣4k2+4=﹣12k+13，∵方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根，∴﹣12k+13＞0，解得，k＜，又k﹣1≠0，∴k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵k是符合条件的最大整数，x2﹣4x=0，x=0或4，当x=0时，x2+mx﹣1=0无意义；当x=4时，42+4m﹣1=0m=．26．（1）解：把x=﹣1代入x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0得1+5﹣m2﹣2m ﹣7=0，解得m1=m2=﹣1，即m的值为1；（2）证明：△=（﹣5）2﹣4（﹣m2﹣2m﹣7）=4（m+1）2+49，∵4（m+1）2≥0∴△＞0，∴方程都有两个不相等的实数根．27．解：（1）当c=1时，原方程为x2﹣4x+1=0，解得：x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣．（2）∵x12﹣2x1x2+x22=0，∴（x1﹣x2）2=0，∴x1=x2，∴△=（﹣4）2﹣4c=16﹣4c=0，解得：c=4．∴c的值为4．28．解：（1）∵△=（k+2）2﹣4×1×2k=k2+4k+4﹣8k=k2﹣4k+4=（k ﹣2）2≥0，∴方程不管k取何值，总有实数根，∴小明同学的说法合理；（2）①当b=c时，则△=0，即（k﹣2）2=0，方程可化为x2﹣4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴C△ABC=5，S△ABC=；②当b=a=1，∵x2﹣（k+2）x+2k=0．∴（x﹣2）（x﹣k）=0，∴x=2或x=k，∵另两边b、c恰好是那个方程的两个根，∴k=1，∴c=2，∵a+b=c，∴不满足三角形三边的关系，舍去；综上所述，△ABC的周长为5．。

《一元二次方程的根与系数关系》课后作业
是方程
是一元二次方程
）
为何值时，关于的一元二次方程
、在解方程
与
、一元二次方程
、
第三边的长为二次方程的一根
1．已知方程x2+(2k+1)x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（）
A．－3或1 B．－3 C．1 D．3
2．若是方程的两个实数根，则的值为（）A．2005 B．2003 C．－2005 D．4010
3．已知一元二次方程x2－2x－1=0的两个根是x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= ，
x12+x22= ；
4.若是m，n方程x2+2002x－1=0的两个实数根，则m2n+mn2－mn的值为
5、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程
为。

(其中二次项系数为1)
6、已知关于的方程
（1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设、是方程的两根，且，求的值。

一元二次方程的根与系数的关系1. 一元二次方程的一般形式是；2. 一元二次方程的两个根是， .【探究】1. 解下列一元二次方程，完成下列问题：（1），得，，因此，.（2），得，，因此，.（3），得，，因此，.观察你的结果，你能发现，与一元二次方程的系数有什么关系吗？即：※（韦达定理）一元二次方程的两个根若为，则有：， .2. 你能证明你的结论吗？※推论：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是【自主完成】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：（1） （2）（3）练习. 不解方程，求下列方程两根的和与积：（1）(2) （3）【当堂巩固】1.已知方程22=+x x ，则下列说法中，正确的是（ ）A. 方程两根和是1B. 方程两根积是2C. 方程两根和是1-D. 方程两根积比两根和大22．关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝____；c ＝_ _．3.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是__ ____.4.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.【课后训练】1. 已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x .2．已知是方程的两个根，则 _____ _____. 3. 一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于__ __.4. 已知1x ，2x 是方程2630x x++=的两实数根，则2112x xx x+的值为_____.5. 关于x的方程20x px q++=的两根同为负数，则（）A.且B.且C.且D.且6. 若关于x的一元二次方程22430x kx k++-=的两个实数根是12,x x,且.则k的值为（）A. －1或34B. －1C.34D. 不存在7. 若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。

北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为（A）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x的方程x2＋mx－2n＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m＋n的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x2－3x－10＝0．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则m＋n＋mn＝－1．11．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－3x＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0.解得a ＜3. ∵a 为正整数， ∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2， ∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16. 解得a 1＝－1，a 2＝6. 又由(1)知a ＜3， ∴a ＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0. ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k－4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围． 解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求m n ＋n m 的值．解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；(3)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，且1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4m ＋8＞0.∴m＜2. ∴当m ＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，则x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＝m －1＞0.∴m＞1. ∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m ≤2.∴m 的取值范围是1＜m≤2. (3)由题意可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1. ∵1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，∴1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2， 即1＋m －1＝22－2(m －1)．解得m ＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0. (1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)． ∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2. 当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。

2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.设方程x2-3x+2=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为()A.3B.-32C.32D.-22.已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是 ()A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1·x2>0D.x1<0,x2<03.已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程可以是()A.x2-7x+12=0B.x2+7x+12=0C.x2+7x-12=0D.x2-7x-12=04.关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,则k的值为()A.0或2B.-2或2C.-2D.2二、填空题5.若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为1,则这个一元二次方程的另一个根为.6.若关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负,则实数m的取值范围是.7.若x1,x2是方程x2-4x-2020=0的两个实数根,则代数式x12-2x1+2x2的值等于.三、解答题8.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:(1)x2-3x-11=0;(2)3x2-1=2x2-5x.9.已知方程3x2-x-1=0的两根分别为α,β,求下列各式的值:(1)α2+β2;(2)1α+1β.10.已知关于x的一元二次方程x2-(t-1)x+t-2=0.(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;(2)当t为何值时,方程的两个根互为相反数?请说明理由.11. 已知一直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0的两个不相等的实数根,如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长.详解详析1.A[解析] 由x2-3x+2=0可知,其二次项系数a=1,一次项系数b=-3,由根与系数的关系,得x1+x2=-ba =--31=3.故选A.2.A[解析] A项,∵Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,∴x1≠x2,A项正确.B项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1+x2=a.∵a的正负不确定,∴B项不一定正确.C项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1·x2=-2<0,C项错误.D项,∵x1·x2=-2,∴x1,x2异号,D项错误.故选A.3.A4.D[解析] ∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2, ∴x1+x2=k-1,x1x2=-k+2.∵(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,即(x1+x2)2-2x1x2-4=-3,∴(k-1)2+2k-4-4=-3,解得k=±2.当k=2时,原方程为x2-x=0,∴Δ=(-1)2-4×1×0=1>0,∴该方程有两个不相等的实数根,∴k=2符合题意;当k=-2时,原方程为x2+3x+4=0,∴Δ=32-4×1×4=-7<0,∴该方程无解,∴k=-2不合题意,舍去.故k=2.故选D.5.-2[解析] ∵a=1,b=-k,c=-2,∴x1·x2=ca=-2.∵关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的一个根为1, ∴另一个根为-2÷1=-2. 故答案为-2.6. m>12 [解析] 设x 1,x 2为关于x 的方程x 2+2x-2m+1=0的两个实数根.由题意,得{Δ>0,x 1x 2<0,即{4-4(1-2m )>0,-2m +1<0, 解得m>12. 故答案为m>12.7.2028 [解析] ∵x 1,x 2是方程x 2-4x-2020=0的两个实数根,∴x 1+x 2=4,x 12-4x 1-2020=0,即x 12-4x 1=2020,则原式=x 12-4x 1+2x 1+2x 2=x 12-4x 1+2(x 1+x 2)=2020+2×4=2020+8=2028. 故答案为2028. 8.解:(1)a=1,b=-3,c=-11, Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×1×(-11)=53>0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个根为x 1,x 2,根据根与系数的关系得x 1+x 2=3,x 1x 2=-11. (2)原方程可变形为x 2+5x-1=0. a=1,b=5,c=-1,Δ=b 2-4ac=52-4×1×(-1)=29>0, ∴方程有两个实数根.设方程的两个根为x 1,x 2,根据根与系数的关系得x 1+x 2=-5,x 1x 2=-1. 9.解:由根与系数的关系,得α+β=13,αβ=-13. (1)α2+β2=(α+β)2-2αβ=132-2×-13=19+23=79.(2)1α+1β=α+βαβ=13-13=-1.10.解:(1)证明:∵在方程x 2-(t-1)x+t-2=0中,Δ=[-(t-1)]2-4×1×(t-2)=t 2-6t+9=(t-3)2≥0,∴对于任意实数t,方程都有实数根.(2)当t=1时,方程的两个根互为相反数.理由:设方程的两个根分别为m,n.∵方程的两个根互为相反数,∴m+n=t-1=0,解得t=1.∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.11.[解析] 首先根据根的判别式求出k的取值范围,再根据根与系数的关系得到x1+x2=1-2k;x1x2=k2+3,再根据勾股定理得到x12+x22=52,接着利用完全平方公式变形得到(x1+x2)2-2x1x2=25,则(1-2k)2-2(k2+3)=25,求出k的值,进而求出两条直角边长.解:∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根,∴Δ>0,即(2k-1)2-4(k2+3)>0,.∴-4k-11>0,∴k<-114令方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=1-2k,x1x2=k2+3.∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边长,且此直角三角形的斜边长为5, ∴x12+x22=52,∴(x1+x2)2-2x1x2=25,即(1-2k)2-2(k2+3)=25,∴k2-2k-15=0,解得k1=5,k2=-3.∵k<-11,∴k=-3.4把k=-3代入原方程,得x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4,∴直角三角形的两条直角边长分别为3和4.。

北师大版九年级数学上册同步练习：2.5一元二次方程的根与系数的关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是() A ．2B ．－2C ．4D ．－32．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+10x+16=0的两个根，则x 1+x 2的值是（ ） A ．﹣10B ．10C ．﹣16D ．163．已知一元二次方程的两根分别是2和-3，则这个一元二次方程是( ) A ．x 2-6x+8=0B ．x 2+2x-3=0C ．x 2-x-6=0D ．x 2+x-6=04．已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣3=0的两根为α与β，则11αβ+的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．25．设x 1，x 2是方程x 2+5x ﹣3=0的两个根，则x 12+x 22的值是（ ） A ．19B ．25C ．31D ．306．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）A ．7B ．11C ．12D ．167．若12,x x 与是方程22210x mx m m -+--=的两个根，且12121x x x x +=-，则m 的值为（ ） A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．18．方程ax 2＋bx －c ＝0(a ＞0，b ＞0，c ＞0)的两个根的符号为( ) A ．同号 B ．异号C ．两根都为正D ．不能确定二、解答题9．若关于x 的方程x 2+6x+m=0的一个根为3，求方程的另一个根及m 的值． 10．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋1＝0，如果方程的两根之和等于两根之积，求k 的值． 11．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．12．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222150x n x n -+++=的两实数根．（1）若12(1)(1)28x x --=，求n 的值；（2）已知等腰三角形ABC 的一边长为7，若1x 、2x 恰好是△ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长．13．已知关于x 的方程x 2－(2k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，是否存在这样的实数k ，使得|x 1|－|x 2|立？若存在，求出这样的k 值；若不存在，请说明理由．三、填空题14．已知x 1 ， x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣5x+a=0的两个实数根，且x 12﹣x 22=10，则a=____．15．已知α ，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足11αβ+=﹣1，则m 的值是____．参考答案1．D【分析】根据根与系数的关系，即可得出x1•x2=-3，此题得解．【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，∴x1•x2=-3．故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．2．A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．【详解】∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，∴x1+x2=-10．故选A．3．D【解析】2-3=-1，2()36⨯-=-，利用韦达定理知，x2+x-6=0.所以选D.4．A【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数关系得知:α＋β=-=3,α⋅β==-3,所求式子化为（α＋β）÷（α⋅β）=3÷（-3）=-1.故本题选A.考点：一元二次方程根与系数关系.5．C【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得x1与x2的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解． 【详解】解：∵x 1，x 2是方程x 2+5x ﹣3=0的两个根， ∴x 1+x 2=﹣5，x 1x 2=﹣3，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=25+6=31． 故选C ． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 6．D 【解析】试题解析：：∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2-2tx+t 2-2t+4=0的两实数根， ∴m+n=2t ，mn=t 2-2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n ）+4=t 2+2t+8=（t+1）2+7． ∵方程有两个实数根，∴△=（-2t ）2-4（t 2-2t+4）=8t-16≥0， ∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16． 故选D ．点睛：由根与系数的关系可得出m+n=2t 、mn=t 2-2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n ）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t 的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值． 7．D 【解析】试题分析：根据一元二次方程的韦达定理可得：122m bx x a+=-=，212m 1cx x m a==--，则根据题意可知：()22m 1m 1m =---，解得：1221m m ，=-=；根据根的判别式可得：()()2224ac 2m 4m 10b m -=----≥，解得：m 1≥-；综上所述m=1，故选D ．8．B 【解析】【分析】首先由△=b2+4ac＞0，可知方程有两个不等的实数根，再由x1x2=-ca＜0可知两根异号．【详解】∵ax2+bx-c=0（a＞0、b＞0、c＞0），∴△=b2+4ac＞0，∴方程有两个不等的实数根，设方程ax2+bx-c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根为x1，x2，∵x1x2=-ca＜0，∴两根异号．故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b a ，x1•x2=ca．同时考查了根的判别式．9．29-+【解析】试题分析：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到+t=-6，（）t=m，先计算出t的值，然后计算m的值．试题解析：设方程的另一个根为t，根据题意得3+t=﹣6，（3）t=m，所以t=﹣，所以m=（3）（﹣）=﹣．10．k＝－2.【解析】【分析】设方程的两根为x 1，x 2，根据根的判别式得到△=（2k-1）2-4（k 2+1）≥0，解得k≤-34，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1x 2=k 2+1，则1-2k=k 2+1，可解得k 1=0，k 2=-2，然后根据k 的取值范围可确定满足条件的k 的值． 【详解】设方程的两根为x 1，x 2，根据题意得△=（2k-1）2-4（k 2+1）≥0，解得k≤-34， x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1x 2=k 2+1， ∵方程的两根之和等于两根之积， ∴1-2k=k 2+1 ∴k 2+2k=0， ∴k 1=0，k 2=-2， 而k≤-34， ∴k=-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=ca．也考查了一元二次方程根的判别式． 11．（1）94k >-（2）132x +=，232x -=【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 2(3)4()k ---＞0．即 49k >-，解得，94k >-． （2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． 如果k ＝－1，原方程为 2310x x -+=．解得，1x =，2x = （如果k ＝－2，原方程为2320x x -+= ，解得，11x =，22x =．）12．（1）6；（2）17. 【分析】（1）根据根与系数的关系得()1221x x n +=+，2125x x n =+，接着利用12(1)(1)28x x --=，解得126,4n n ==-,根据判别式的意义b 2-4ac≥0可得n≥2，于是可得n 的值；（2）分类讨论：若7为底，即12x x =时，根据判别式得到n=2，方程化为2690x x -+=，解得123x x ==，根据三角形三边的关系，n=2舍去；若7为腰，即17x =时，把x=7代入方程得49-14(n+1)+n 2+5=0，解得124,10n n ==，当4n =时，()1221x x n +=+=10，解得23x =，则三角形的周长为3+7+7=17；当10n =时，由根与系数的关系得()1221x x n +=+=22，解得215x =，根据三角形的三边关系，10n =舍去．【详解】解：（1）由题意得：()1221x x n +=+，2125x x n =+∴2121212(1)(1)()152(1)128x x x x x x n n --=-++=+-++=解得：126,4n n ==-∵1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222150x n x n -+++=的两实数根，∴()()222421450b ac n n ⎡⎤∆=-=-+-+≥⎣⎦得：2n ≥∴6n =（2）①当7为底，即12x x =时，则240b ac -=， 即()()222421450b ac n n ⎡⎤∆=-=-+-+=⎣⎦解得2n =把n=2代入方程得2690x x -+= ∴123x x == ∵3+3＜7（舍去）②当7为腰，，即17x =时，将x = 7 代入方程得49-14(n+1)+n 2+5=0， 解得124,10n n ==当4n =时，()1221x x n +=+=22， 解得123,7x x ==，∴三角形的周长为3+7+7=17； 当10n =时，()1221x x n +=+=10， 解得1215,7x x == ∵7+7＜15（舍去） 综上，三角形的周长为17． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，根的判别式等知识．牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于ca”是解题的关键． 13．（1） k ＞74；（2）4．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k 的不等式求解可得；（2）由韦达定理知x 1+x 2=2k ﹣1，x 1x 2=k 2﹣2k +2=（k ﹣1）2+1＞0，可以判断出x 1＞0，x 2＞0．将原式两边平方后把x 1+x 2、x 1x 2代入得到关于k 的方程，求解可得． 【详解】解：（1）由题意知△＞0，∴[﹣（2k ﹣1）]2﹣4×1×（k 2﹣2k +2）＞0，整理得：4k ﹣7＞0，解得：k 74＞；（2）由题意知x 1+x 2=2k ﹣1，x 1x 2=k 2﹣2k +2=（k +1）2+1＞0，∴x 1，x 2同号． ∵x 1+x 2=2k ﹣1＞7214⨯-=52，∴x 1＞0，x 2＞0．∵|x 1|﹣|x 2|=，∴x 1﹣x 2=x 12﹣2x 1x 2+x 22=5，即（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2=5，代入得：（2k ﹣1）2﹣4（k 2﹣2k +2）=5，整理，得：4k ﹣12=0，解得：k =3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键． 14．214【解析】∵12x x 、是关于x 的一元二次方程250x x a -+=的两个实数根， ∴12125x x x x a +=⋅=，，又∵22121212()()10x x x x x x -=+-=，∴122x x -=，又∵12x x -==2=，解得：214a =. 点睛：（1）若关于x 的一元二次方程2(0)0 ax bx c a ++=≠的两根分别是12x x 、，则：1212cx x a x x a+=-⋅=，；（2）当120x x ->时，12x x -=15．3. 【分析】可以先由韦达定理得出两个关于α、β的式子，题目中的式子变形即可得出相应的与韦达定理相关的式子，即可求解. 【详解】得α+β=-2m-3，αβ=m 2，又因为211+-2m-3+===-1mαβαβαβ，所以m 2-2m-3=0，得m=3或m=-1，因为一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，所以△>0，得（2m+3）2-4×m2=12m+9>0，所以m＞4-3，所以m=-1舍去，综上m=3.【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是解决本题的关键.。

2.5 一元二次方程的根与系数的关系
回顾一元二次方程根与系数的关系，又快又准地完成下列各题。

1. 如果x x 12、是方程4x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=____x x 12=_____。

2. 如果x x 12、是方程x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=____x x 12=_____。

3. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ）
A. x x 2230+-=
B. x x 2230-+=
C. 22302x x --=
D. 3610
2x x -+= 4. 如果一元二次方程x x 2320+-=的两个根为x x 12、，那么x x 12+与x x 12的值分别为（
） A. 3，2 B. --32， C. 32，- D. -32，
请同学们结合方程根（解）的概念及利用根与系数的关系，偿试完成下列各题。

5、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b .
6、已知方程022=-+kx x 的一个根是1，则另一个根是 ，k = .
7. 如果x x 12、是方程x x 2310-+=的两个根，则求出下列代数式的值。

①11
12x x +
②x12x2+x1x22 ③x21+x22
8、已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是
9、已知方程0452=+-mx x 的两实根差的平方为144，则m ＝ 。

10、已知1x 、2x 是方程0132
=+-x x 的两根，则1112422
1++x x 的值为。

一元二次方程根与系数的关系设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1、x 2，当方程有解时，则x 1+ x 2=-a b ，x 1 x 2=ac，其常见应用有：1、 求方程中字母系数的值例1、 已知方程2x 2+4x+m=0的两根的平方和为34，求m 的值.解：设方程的两根为x 1、x 2，根据题意有x 12+ x 22=34 ①根据根与系数的关系得x 1+ x 2= -2 ②x 1 x 2 =2m③ 联立①②③可解得 m=-30③ 检验：当m=-30时，△=256＞0 ∴ m=-30注意：当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0。

具体运用时，可先求出字母的值，再来检验△，如例1；也可先由△≥0，求出字母的范围，再来取值.例1中由△=42-8m ≥0得m ≤2.练习1、已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+k+2=0的两根的平方和是13，求k 的值. 【±4】2、已知方程2x 2+bx-2b+1=0的两根的平方和是429，则b 的值是（ ）. 【 A 】 A 、3 B 、-3或11 C 、-11 D 、 3或-112、 求方程两根对称式的值若α、β为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，运用根与系数的关系，可求①α2+β2=（α+β）2-2αβ②（α-β）2=（α+β）2-4αβ③ ∣α-β∣=()2βα-=()αββα42-+④αββαβα+=+11⑤()()22222222211αβαββαβαβαβα-+=+=+ ⑥()αβαββααββαβααβ2222-+=+=+等对称式的值. 例2、已知α、β为一元二次方程2x 2-6x+3=0的两根，求下列各式的值 ①（α-β）2 ②⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+αββα11 ③2211βα+ 解：根据根与系数的关系得3=+βα 23=αβ① （α-β）2=（α+β）2-4αβ=3② ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+αββα11=αβαβ111+++=23+1+1+32=625 ③ ()()22222222211αβαββαβαβαβα-+=+=+=38只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含βα+、αβ的代数式，代入求值即可.练习：1、若α、β是方程2x 2-4x-3=0的两根，则223βαβα+-=【223】2、已知方程0422=--mx x 的两根为α、β，且211=+βα，则m= 【 -8 】3、 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值例3、已知m 、n 是一元二次方程0132=+-x x 的两根，求下列代数式的值①964222--+n n m ②1142323++n m 解：由根与系数的关系得 m+n=3、mn=1由根的定义得 0132=+-n n 0132=+-m m①964222--+n n m=96222222--++n n n m=()()9324222--+-+n n mn n m=3②由0132=+-m m 得m m m -=233则1142323++n m =()11432322++-n m m =114232922++-n m m =11442321222+++-n m m m =()()118432122+-++-mn n m m m=385此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的.常常需要结合根的定义,将式中的高次降低,直至出现对称式,再利用根与系数的关系求值.如果例3中要求33n m +的值，我们只需要利用根的定义降次即可求出.由根的定义可得132-=m m 132-=n n即 n n n -=233则33n m +=n n m m -+-2233=()()n m nm +-+223 再运用根与系数的关系即可.练习1、已知α、β为方程0722=-+x x 的两个实数根，求ββα4322++的值. 【 32 】2、已知x 1、x 2是方程2x 09=--x 的两个实数根，求代数式663722231-++x x x 的值. 【 16 】4、 判断两根的特殊关系在一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，当方程有根时，若两根互为相反数，有x 1+ x 2=-ab=0，即b=0；若两根互为倒数，有x 1 x 2 =ac=1，即a=c. 例4、关于x 的方程()042222=-++-m x m x 的两根互为倒数，则m 的值是（ ）A 、5B 、5±C 、-5D 、-2解：设方程两根为x 1、x 2，根据题意得，x 1 x 2=442=-m ①△=()()442422--+m m ≥0 ②由①得m=5± 由②得m ≥-2 ∴m=5练习1、方程()01212=-++-m x m x ，当m= 时，方程两根互为相反数；当m= 时，方程两根互为倒数.m m m -=233【 -1， 1 】2、当k 为何值时，方程()0152222=+--+k x k k x 的两根互为相反数. 【 -2 】5、 判断方程两根的符号一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）当△≥0且x 1 x 2＞0时，两根同号；当△≥0且x 1 x 2＜0时，两根异号.若x 1+ x 2＞0 x 1 x 2＞0，则x 1＞0、x 2＞0；若x 1+ x 2＜0 x 1 x 2＞0，则x 1＜0、x 2＜0. 反之，也成立。

*2.5一元二次方程的根与系数的关系一、选择题(每小题4分，共12分)1．方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(C)A．－2或3B．3C．－2D．－3或2解析：∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2，∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(m＋6)2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0.解得m＝6或m＝－2，∴m＝－2.2．(2015·枣庄)已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是(A)A．－10B．10C．－6D．23．如果关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2－2x1－2x2－5＝0，那么a的值为(B)A．3B．－3C．13D．－13二、填空题(每小题4分，共12分)4．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝__1__，另一根是__－3__.解析：设另一个根为x1，根据根与系数的关系得2×x1＝－6，解得x1＝－3，根据根与系数的关系得2＋(－3)＝－m，解得m＝1.5．已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝__8__.解析：∵m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，∴mn＝－5，m＋n＝－2，∵m2＋2m－5＝0，∴m2＝5－2m.m2－mn＋3m＋n＝(5－2m)－(－5)＋3m＋n＝10＋m＋n＝10－2＝8.6．(2016·宜宾)已知一元二次方程x2＋3x－4＝0的两根为x1，x2，则x21＋x1x2＋x22＝__13__.解析：由根与系数的关系，有x1＋x2＝－3，x1x2＝－4，所以x21＋x1x2＋x22＝x21＋2x1x2＋x22－x1x2＝(x1＋x2)2－x1x2＝(－3)2－(－4)＝13.三、解答题(共26分)7．(满分8分)关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x21＋x22＝7，求(x1－x2)2的值．解：根据根与系数的关系得：x1＋x2＝m，x1·x2＝2m－1.∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1 x2 ＝m2－4m＋2＝7，解得m1＝5，m2＝－1.当m＝5时，原方程变为x2－5x＋9＝0，此时b2－4ac＝25－36＝－11<0，原方程没有实数根．当m＝－1时，x1＋x2＝－1，x1·x2＝－3.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝m2－8m＋4＝13.8．(满分8分)设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2＋2(m－2)x ＋m2－3m＋3＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若1x 1＋1x 2＝1，求13－2m的值； (2)求mx 11－x 1＋mx 21－x 2－m 2的最大值． 解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4>0，∴m <1，结合题意知：－1≤m <1.(1)∵x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1x 2＝m 2－3m ＋3，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2(m －2)m 2－3m ＋3＝1. 解得：m 1＝1－52，m 2＝1＋52(不合题意，舍去)．∴13－2m ＝5－2； (2)mx 11－x 1＋mx 21－x 2－m 2＝m (x 1＋x 2)－2mx 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 2－m 2＝－2(m －1)－m 2＝－(m ＋1)2＋3.当m ＝－1时，最大值为3.9．(满分10分)已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0.(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x 1，x 2是原方程的两根，且|x 1－x 2|＝22，求m 的值和此时方程的两根．(1)证明：∵Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋3)2－4(m ＋1)＝m 2＋2m ＋5＝(m ＋1)2＋4.∵(m＋1)2≥0，∴(m＋1)2＋4>0.即Δ>0.∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)解：∵x1，x2是原方程的两根，∴x1＋x2＝－(m＋3)，x1·x2＝m＋1.∵|x1－x2|＝22，∴(x1－x2)2＝(22)2.∴(x1＋x2)2－4x1·x2＝8.∴[－(m＋3)]2－4(m＋1)＝8，所以m2＋2m－3＝0.解得m1＝－3，m2＝1.当m ＝－3时，原方程化为x2－2＝0，解得x1＝2，x2＝－2；当m＝1时，原方程化为x2＋4x＋2＝0，解得x1＝－2＋2，x2＝－2－ 2.。

2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.若方程3x 2-4x-4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．-4 B ．3C ．-43D ．432.一元二次方程x 2-3x-2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1=-1，x 2=2B ．x 1=1，x 2=-2C ．x 1+x 2=3D ．x 1x 2=23.关于x 的一元二次方程：x 2-4x-m 2=0有两个实数根x 1、x 2，则m 2（1211x x +）=（ ） A ．44m B ．-44m C ．4D ．-44. 若x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-1=0的两个根，则x 12-x 1+x 2的值为（ ） A ．-1B ．0C ．2D ．35.若关于x 的一元二次方程x 2-3x+p=0（p ≠0）的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2-ab+b 2=18，则a bb a+的值是（ ） A ．3B ．-3C ．5D ．-56.已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6-2x 的两根，则x 1-x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．-43B ．83C ．-83D ．43 7.定义运算：a ⋆b=a （1-b ）．若a ，b 是方程x 2-x+14m=0（m ＜0）的两根，则b ⋆b-a ⋆a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关8.设α、β是一元二次方程x 2+2x-1=0的两个根，则αβ的值是（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-19.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax-2b=0的两实数根，且x 1+x 2=-2，x 1•x 2=1，则b a的值是（ ） A ．14 B ．-14C ．4D ．-110.已知关于x 的一元二次方程x 2+mx-8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m 的值分别为（ ） A ．4，-2B ．-4，-2C ．4，2D ．-4，211.若关于x 的方程x 2-2x+c=0有一根为-1，则方程的另一根为（ ） A ．-1B ．-3C ．1D ．312.已知关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-2，则另一个根为（ ） A ．5B ．-1C ．2D ．-5二、填空题1.设m 、n 是一元二次方程x 2+2x-7=0的两个根，则m 2+3m+n= . 2.已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-1=0的两根，则1211x x += . 3.设x 1、x 2是方程x 2-4x+m=0的两个根，且x 1+x 2-x 1x 2=1，则x 1+x 2= ，m= ． 4.方程2x 2-3x-1=0的两根为x 1，x 2，则x 12+x 22= ．5.关于x 的一元二次方程x 2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是 ． 6.已知一元二次方程x 2+3x-4=0的两根为x 1、x 2，则x 12+x 1x 2+x 22= . 7.关于x 的方程2x 2-ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 . 8.设x 1、x 2是方程5x 2-3x-2=0的两个实数根，则1211x x +的值为 . 9.设一元二次方程x 2-3x-1=0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2（x 22-3x 2）= . 10.设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x-2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n= .三、解答题1.关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值． 2.已知关于x 的一元二次方程x 2-6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围． 3.关于x 的方程（k-1）x 2+2kx+2=0．（1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根． （2）设x 1，x 2是方程（k-1）x 2+2kx+2=0的两个根，记S=2112x x x x ++x 1+x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．4.已知关于x 的一元二次方程x 2-2x+m-1=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．5.已知在关于x的分式方程11kx--=2①和一元二次方程（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k）+x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．参考答案一、选择题1. D；2.C；3.D；4.D；5.D；6.D；7.A；8.D；9.A；10.D；11.D；12.B.二、填空题1.5；2.-2；3.4；3；4.134；5. m＞12；6.13；7.12；8.-32；9.3；10.2016.三、解答题1.解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=22-4×1×2m=4-8m＞0，解得：m＜12．∴m的取值范围为m＜12．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，∴x1+x2=-2，x1•x2=2m，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2=4-4m=8，解得：m=-1．当m=-1时，△=4-8m=12＞0．∴m的值为-1．2.解：（1）根据题意得△=（-6）2-4（2m+1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，而2x1x2+x1+x2≥20，所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．3.解：（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=-1，此时该方程有实根；当k≠1时，方程是一元二次方程，∵△=（2k）2-4（k-1）×2=4k2-8k+8=4（k-1）2+4＞0，∴无论k为何实数，方程总有实数根，综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．（2）由根与系数关系可知，x 1+x 2=-21k k -，x 1x 2=21k -， 若S=2，则2112x x x x ++x 1+x 2=2，即()21212122x x x x x x +-+x 1+x 2=2， 将x 1+x 2、x 1x 2代入整理得：k 2-3k+2=0， 解得：k=1（舍）或k=2， ∴S 的值能为2，此时k=2． 4.解：（1）∵原方程有两个实数根， ∴△=（-2）2-4（m-1）≥0， 整理得：4-4m+4≥0， 解得：m ≤2；（2）∵x 1+x 2=2，x 1•x 2=m-1，x 12+x 22=6x 1x 2， ∴（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=6x 1•x 2， 即4=8（m-1）， 解得：m=32． ∵m=32＜2， ∴符合条件的m 的值为32． 5.解：（1）∵关于x 的分式方程11k x --=2的根为非负数， ∴x ≥0且x ≠1， 又∵x=12k +≥0，且12k +≠1， ∴解得k ≥-1且k ≠1，又∵一元二次方程（2-k ）x 2+3mx+（3-k ）n=0中2-k ≠0， ∴k ≠2，综上可得：k ≥-1且k ≠1且k ≠2；（2）∵一元二次方程（2-k ）x 2+3mx+（3-k ）n=0有两个整数根x 1、x 2，且k=m+2，n=1时， ∴把k=m+2，n=1代入原方程得：-mx 2+3mx+（1-m ）=0，即：mx 2-3mx+m-1=0， ∴△＞0，即△=（-3m ）2-4m （m-1），且m ≠0， ∴△=9m 2-4m （m-1）=m （5m+4）＞0，则m＞0或m＜-45；∵x1、x2是整数，k、m都是整数，∵x1+x2=3，x1•x2=1mm-=1-1m，∴1-1m为整数，∴m=1或-1，由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠-1∴把m=1代入方程mx2-3mx+m-1=0得：x2-3x+1-1=0，x2-3x=0，x（x-3）=0，x1=0，x2=3；（3）|m|≤2成立，理由是：由（1）知：k≥-1且k≠1且k≠2，∵k是负整数，∴k=-1，（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=-3322m mk k=--=-m，x1x2=()4332k nk--=n，x1（x1-k）+x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），x12-x1k+x22-x2k=x1x2-x1k-x2k+k2，x12+x22═x1x2+k2，（x1+x2）2-2x1x2-x1x2=k2，（x1+x2）2-3x1x2=k2，（-m）2-3×43n=（-1）2，m2-4n=1，n=214m-①，△=（3m）2-4（2-k）（3-k）n=9m2-48n≥0②，把①代入②得：9m2-48×214m-≥0，m2≤4，则|m|≤2，∴|m|≤2成立．。

北师大版九年级上册数学25一元二次方程的根与系数的关系2(2)2.5一元二次方程的根与系数的关系回首一元二次方程根与系数的关系，又快又准地达成以下各题。

1.假如x1、x2是方程 4 x27 x20 的两个根，那么x1x2____x1x2 =_____ 。

2.假如x1、x2是方程 x 23x50的两个根，那么x1x2____x1x2 =_____ 。

3.以下方程中，两实数根之和等于 2 的方程是（）A.x22x 3 0B.x2 2 x 3 0C. 2x22x30D. 3x26x 104.假如一元二次方程x23x20 的两个根为x1、x2，那么x1x2 与x1x2 的值分别为（）A.3，2B.3， 2C. 3，2 D.3， 2请同学们联合方程根（解）的观点及利用根与系数的关系，偿试达成以下各题。

5、已知方程 x2ax b0 的两个根分别是2与3，则a，b.6、已知方程x2kx2的一个根是 1，则另一个根是，k=.7.假如x1、x2 是方程x23x 1 0 的两个根，则求出以下代数式的值。

11①x1x2② x12x2+x1x22③ x21+x228x23x m0的一个根是1， m 的值是、已知方程，则它的另一个根是9x2mx450的两实根差的平方为144，则m ＝。

、已知方程10、已知x1、x2是方程x23x 10 的两根，则4x1212x211 的值为。

北师大版数学九上册 2.5一元二次方程根与系数的关系 同步习题及答案[预习自测]一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2 = x 1x 2 =[知识点1]一元二次方程根与系数的关系1. 若x 1+x 2=3，x 12+x 22=5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A.x 2-3x+2=0B.x 2+3x-2=0C.x 2+3x+2=0D.x 2-3x-2=02．若x 1、x 2是方程2x 2-6x+3=0的两个根，则1x 1+1x 2的值为( ) A ．-2 B ．2 C ． 12 D ．92 3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于() A ．3- B ．5 C ．53-或D ．53-或 4.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．5．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ． 6. 已知关于x 的一元二次方程x 2-2√2x+m=0有两个不相等的实数根。

（1）求实数m 的最大整数值；（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x 1，x 2，求代数式x 12+x 22- x 1x 2的值。

[提高训练]7．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．8．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k 的值．9．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．10．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．11．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．12.设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程x 2+2（m-2）x+m 2-3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若1x 1 +1x 2 =1，求13−2m 的值； （2）求mx 11−x 1+mx 21−x 2-m 2的最大值。

初中数学北师大版九年级上学期第二章 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系一、单选题1.若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（）A. 4B. 2C. 1D. ﹣22.若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（）A. ﹣2B. ﹣3C. 2D. 33.若，，则以，为根的一元二次方程是（）A. B. C. D.4.已知，是方程的两个实数根，则的值是( )A. 2023B. 2021C. 2020D. 20195.已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别是( )A. b=-1，C=2B. b=1，C=-2C. b=1，c=2D. b=-1，c=-26.兰兰和笑笑分别解一道关于X的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程是（）A. x2+7x-12=0B. x2-7x-12=0C. x2+7x+12=0D. x2-7x+12=0二、填空题7.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________.8.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为1，则方程的另一个根为________.9.若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0(0<m≤32)的两根，则矩形的周长为________三、计算题10.已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．四、解答题11.阅读材料：已知方程a22a 1=0，1 2b b2=0且ab≠1，求的值.解：由a22a 1=0及1 2b b2=0，可知a≠0，b≠0，又∵ab≠1，.1 2b b2=0可变形为，根据a22a 1=0和的特征.、是方程x22x 1=0的两个不相等的实数根，则，即.根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：3m27m 2=0，2n2+7n 3=0且mn≠1，求的值.五、综合题12.如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若x2-2 x+2=0的两根是x1、x2，且OC=x1+x2，OA=x1x2（1）求B点的坐标.（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BD的解析式．（3）在平面上是否存在点P，使D、C、B、P四点形成的四边形为平形四边形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.答案：A解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4。