函数的奇偶性习题课

绝密★启用前1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x 3－1x ； (2)f(x)＝|2|2x ＋－； (3)f(x)＝(x －(4)f(x). 【答案】（1）奇函数（2）奇函数（3）既不是奇函数也不是偶函数（4）既是奇函数也是偶函数解析:(1)定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)去掉绝对值符号，根据定义判断．由210|2|20x x ⎧≥⎨≠⎩－，＋－，得1104x x x ≤≤⎧⎨≠≠⎩－，且－. 故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x ＋2＞0.从而有f(x)＝22x x＝＋－， 这时有f(－x)＝21(x x --)－＝－f(x)，故f(x)为奇函数． (3)因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)因为f(x)定义域为{，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数2．下列函数是奇函数的是（ ）A ．()||f x x =-B ．()22x x f x -=+C ．()lg(1)lg(1)f x x x =+--D ．3()1f x x =-【答案】C 解析：对于B ，()22()x x f x f x --=+=，函数()f x 为偶函数，所以B 错；对于C ，由1010x x +>⎧⎨->⎩，故11x -<<，关于原点对称，又()lg(1)lg(1)()f x x x f x -=--+=-对于D ，33()()11()()f x x x f x f x -=--=--≠≠-，函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，3．已知函数)(x f y =是奇函数，当0>x 时，,lg )(x x f =则( )C.2lgD.-2lg 【答案】D.解析:4．已知函数(1)f x +是奇函数，(1)f x -是偶函数，且(0)2,(4)则f f ==（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．3【答案】A 解析:因为函数(1)f x +是奇函数，所以)(x f 的对称中心为（1,0），因为(1)f x -是偶函数，所以)(x f 的对称轴为x=-1。

《函数的奇偶性》习题课【学习目标】1、函数奇偶性的判断。

2、函数的奇偶性的应用。

【重点难点】▲重点：函数的奇偶性的判断及前提条件。

▲难点：函数的奇偶性的应用。

【知识链接】函数的单调性的概念 函数的奇偶性的概念 【学习过程】类型一：判断分段函数的奇偶性根据定义判断函数奇偶性的基本步骤为： （1）先看定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则此函数即为非奇非偶函数。

（2）若定义域关于原点对称，再看()()x f x f 与-的关系，若()()x f x f =-则为偶函数，若()()x f x f -=-则为奇函数。

例1：()()()()()的奇偶性判断⎩⎨⎧>+<-=0101x x x x x x x f问题1：()______,00=-<->x f x x 则时当()______,00=->-<x f x x 则时当问题2：()()什么关系？与则时当x f x f x ->,0()()什么关系？与则时当x f x f x -<,0问题3：完整的写出本题的解答过程问题4：分析本题的特点，归纳一下分段函数判断奇偶性时的方法与注意事项。

变式训练：求证：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=0320003222x x x x x x x x f 是奇函数类型二：利用函数的奇偶性求解析式()()()的解析式求时上的奇函数，且当是定义在：已知例x f x x x f x R x f ,1022++=>问题1：函数()x f y =是一个分段函数吗？根据定义域为R ，你还需求出几段的解析式？()()这个已知联系起来？如何与时：当问题01,022>++=<x x x x f x（求谁设谁，注意利用转化的思想哟）()________,03==x f x 时：当问题问题4：写出本题完整的解答过程类型三：抽象函数的奇偶性。

...函数的奇偶性问题一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ．3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2） 解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴(2)(0)()(2)(0),,x x x f x x x x ⎧⎨⎩-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A5．函数1111)(22+++-++=x xx x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数． 又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数） ．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝____0_____． 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为____11)(2-=xx f ___．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，...可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为___0 _____． 三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．（21<m ） 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．14.f （x ）是定义在（－∞，－5］Y ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明． 解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0， ∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数． 点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

高中函数奇偶单调练习题及讲解# 高中函数奇偶性与单调性练习题及讲解## 练习题### 题目一：奇偶性判断给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，判断该函数的奇偶性。

### 题目二：单调性判断考虑函数 \( g(x) = -3x^2 + 2x + 5 \)，确定其在定义域内的单调性。

### 题目三：综合应用已知函数 \( h(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)，求证其在 \( (-\infty, 0) \) 上单调递增。

### 题目四：函数图像画出函数 \( f(x) = |x - 2| \) 的图像，并判断其奇偶性。

### 题目五：函数性质综合对于函数 \( k(x) = \sqrt{x} \)，分析其奇偶性与单调性。

## 解题步骤与讲解### 题目一讲解要判断函数的奇偶性，我们可以使用奇偶函数的定义：- 奇函数：\( f(-x) = -f(x) \)- 偶函数：\( f(-x) = f(x) \)对于 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，代入 \( -x \) 得到 \( f(-x) = (-x)^2 + 4x + 3 = x^2 - 4x + 3 = f(x) \)，因此 \( f(x) \) 是偶函数。

### 题目二讲解判断函数的单调性，我们可以求导数：- 如果 \( g'(x) > 0 \)，则函数在该区间上单调递增。

- 如果 \( g'(x) < 0 \)，则函数在该区间上单调递减。

对于 \( g(x) = -3x^2 + 2x + 5 \)，求导得到 \( g'(x) = -6x + 2 \)。

令 \( g'(x) = 0 \) 解得 \( x = \frac{1}{3} \)。

因此，函数在 \( (-\infty, \frac{1}{3}) \) 上单调递增，在\( (\frac{1}{3}, +\infty) \) 上单调递减。

函数的单调性与奇偶性学习目标1.理解函数的单调性与奇偶性的概念，会判断一些简单函数的单调性与奇偶性。

2.能利用函数的单调性与奇偶性解决相关问题。

3.进一步强化数形结合思想。

学习过程课后作业1：已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[1,2]a a -.则a = ，b = 2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. Rx xy ∈=,)21(3.函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是 （ ） A.2a ≤ B.2a ≥- C.22a -≤≤ D.2a ≤-或2a ≥4.设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ．5已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ． 6．下列函数为偶函数的是 （ ）A ．y=3xB ．y=xC ．y=312+x D ．y=x3 7.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0, 则a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)8.若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.9．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎫12，23 D.⎣⎡⎫12，23 10.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 11．(2010·温州一模)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0，5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示， 则使函数值y <0的x 的取值集合为________．12. 函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是 （ ） A.2a ≤ B.2a ≥- C.22a -≤≤ D.2a ≤-或2a ≥13.函数1()f x x x=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称。

2 2 函数的奇偶性1.函数奇偶性的定义及图象特点判断f (-x) 与 f (x)的关系时，也可以使用如下结论：如果 f (-x) -f (x)= 0 或f (-x)= 1( f (x) ≠ 0) f (x) ，则函数 f (x)为偶函数；如果 f (-x) +f (x)= 0 或f (-x)=-1( f (x) ≠ 0) ，则函数f (x)为奇函数．f (x)注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，-x也在定义域内（即定义域关于原点对称）．定义:设y =f (x) ，x ∈A，如果对于任意x ∈A，都有f (-x) =f (x) ，则称y =f (x) 为偶函数。

如果对于任意x ∈A，都有f (-x) =-f (x) ，则称y =f (x) 为奇函数。

证明：任意一个定义域关于原点对称的函数均可以写为一个奇函数和偶函数之和且唯一。

若函数 f (x) 的定义域关于原点对称，则 f (x) 可以表示为f(x)=1⎡⎣f(x)+f(-x)⎤⎦+1⎡⎣f(x)-f(-x)⎤⎦，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

2.性质：① y =f (x) 是偶函数⇔y =f (x) 的图象关于y 轴对称;y=f(x)是奇函数⇔y =f (x) 的图象关于原点对称。

②若奇函数定义域中有 0，则必有f (0) = 0．即0 ∈f (x) 的定义域时，f (0) = 0是f (x) 为奇函数的必要非充分条件．对于偶函数而言有：f (-x) =f (x) =f (| x |) 。

既奇又偶函数有无穷多个（f (x) = 0 ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]④奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数。

函数的奇偶性习题及答案函数的奇偶性习题及答案函数是数学中非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。

在学习函数的过程中，我们经常会遇到一些关于函数奇偶性的习题。

函数的奇偶性是指函数的图像是否具有对称性。

在本文中，我们将探讨一些与函数奇偶性相关的习题，并给出详细的解答。

1. 判断函数的奇偶性题目：给定函数 f(x) = x^3 + x，判断该函数的奇偶性。

解答：要判断函数的奇偶性，我们需要观察函数的定义域和函数表达式中的幂次。

对于给定的函数 f(x) = x^3 + x，我们可以发现它的定义域是全体实数。

接下来，我们将分别考虑 f(-x) 和 f(x) 的取值。

当 x 为正数时，f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x，而 f(x) = x^3 + x。

我们可以发现，f(-x) 和 f(x) 的取值是相反的，即 f(-x) = -f(x)。

这意味着函数 f(x) 是一个奇函数。

2. 函数的奇偶性与图像的对称性题目：给定函数 g(x) = x^2 + 1，判断该函数的奇偶性，并画出其图像。

解答：对于给定的函数 g(x) = x^2 + 1，我们可以观察到它的定义域是全体实数。

接下来，我们将分别考虑 g(-x) 和 g(x) 的取值。

当 x 为正数时，g(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1，而 g(x) = x^2 + 1。

我们可以发现，f(-x) 和 f(x) 的取值是相同的，即 g(-x) = g(x)。

这意味着函数 g(x) 是一个偶函数。

根据函数的奇偶性，我们可以推断出函数的图像是否具有对称性。

对于偶函数，其图像关于 y 轴对称；对于奇函数，其图像关于原点对称。

3. 函数奇偶性的性质题目：给定函数 h(x) = x^4 - x^2，判断该函数的奇偶性，并说明奇偶性的性质。

解答：对于给定的函数 h(x) = x^4 - x^2，我们可以观察到它的定义域是全体实数。

课我，晶教的寄偶但考纲要求：会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.教材复习基本知识方法1.奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；(2)是偶函数。

/(工)的图象关于y轴对称；/(X)是奇函数。

/(X)的图象关于原点对称；(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.2.f(x)为偶函数=f(x) = /(-x) = /(|x|).3.若奇函数/'(x)的定义域包含0，则/(0) = 0.4.判断函数的奇偶性的方法：(1)定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断/(X)= -/(%)或/(X)= /(-%)是否定义域上的但等式；(2)图象法；(3)性质法：①设/⑴，g(x)的定义域分别是De ,那么在它们的公另定义域D = D] PlX.•奇±奇=奇，偶士偶=偶，奇乂奇=偶，偶＞＜偶=偶，奇＞＜偶=奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；5.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)± f(-x) = 0,业上= ±1.t (-尤)典例会祈/题型一：判断或证明函数的奇偶性问蔻，,判断下列各函数的奇偶性：⑴/⑴=(1)居；⑵f如芒与&+x (x<0)(3)/3) = lg(Jl + r f)；(4) /(x)=-j2 +i (x>0)题型二：函数的奇偶性的应用问我Z. (1) (04上海)设奇函数⑴的定义域为［-5, 5］若当券［0, 5］时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x) < 0的解是.fM\ 5(2)( 2013哈九中模拟)奇函数f(x)在(0,+8)上的解析式是/(x) = x(l-x)» 则在(-00,0)上，函数的解析式是A. f(x) = -x(l-x)B. /(x) = x(l + x)C. f(x) = -x(l + x)D. f(x) = x(x-l)(3)( 2011 广东)设函数f(x) = x i cosx + 1.若f(a) = 11,则f(-a) = ___________问题3 . (1)设定义在［-2,2］±的偶函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若—< /(m),求实数M的取值范围(2)( 2013江苏)已知/'(x)是定义在R上是奇函数，当工>0时，/(X)= X2-4X,则不等式/(X)> X的解集用区间表示为__________________________1 - V 1 1(3)(06黄岗中学月考)已知函数了⑴=-x+log2—，求八一朝)+f (一利) +/(—^)的值.2004 2005题型三：抽象函数的奇偶性的证明>5) < 5. (1)已知函数/«)满足：/« +)，)+ f(x-y) = 2f(x)-f(y)对任意的实数尤、 )，总成立，且/•⑴号(2).求证：f(x)为偶函数.(2)定义在R上的增函数y = f(x)对任意的x,R ,都有f(x +)•) = f(x) + /‘())・①求证：f(x)为奇函数;②求了 (k 2x) + f(2x-4x-2)< 0对任意xeR恒成立，求实数 &的取值范围.课后作业；1.已知函数/(Q = ax2 + 仞c + c、，x e [-2(7-3,1]是偶函数，则a + b = _______2.已知/(X)= -- --- m为奇函数，则/(-I)的值为__________________2' I 13.已知f(1)= ox，+CJT‘+dx + 5 ,其中a,b,c,d 为常数，若/(-7) = -7 , 则f(7)=4.若函数/(i)是定义在/?上的奇函数，则函数F(X)=F(X)|+/(|X|)的图象关于A.x轴对称B. y轴对称C.原点对称£).以上均不对25.函数F(x) = (1 + --- 0)是偶函数,且不恒等于零,则，⑴2' -1A.是奇函数8是偶函数G可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数6.判断下列函数的奇偶性:I ---- I------ （1 + 2、）⑴ /⑴=_ 1 + J必 _ 1 ；（2）/（X）= ；（3）f（x） = -^— + ^-;（4）/（>） = ； +log3（1 + 37）；z — 1 z z1 -L v*（5）f（x）= log” 一-（其中o > 0 , Q壬1 ）\ — X7.（03南昌模拟）给出下列函数①y = xcosx②y = sin2 x③），=x2 -x④y = e x -e~x,其中是奇函数的是（）A.①②8.①④ C.②④ D.③④8.已知函数y = /（X）在R是奇函数，且当x > 0时，f\x） = -2x,则x<0时，/'（尤）的解析式为-------------9.（ 06上海春）已知函数/（尤）是定义在（-00,+oo）上的偶函数.当x e （-oo,0）时，/（X）= x-x4,则当xe（0,+oo）时，f（x） = ________________10.已知/(尤)为R上的奇函数，当x < 0时, /WB. 73C. -V3D. 91 - 8B. -8C1 - 8-D.2如v011. ( 2012郑州二模)设奇函数/(%) = J 0,工=0 ，则g(3) =g⑴，尤>012.若/(尤)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x) + g(x) =--------- ,则/(x)= __________x-\g(])= __________x + m13.定义在(一1,1)上的函数,，(x)= ------ 是奇函数，则常数m = ----- , n = -----+nx + \14. ( 2013皖南八校联考)已知定义在R上的奇函数满足/(X)= X2+2X ( x > 0 ), 若/(3-6Z2)> f(2a)则实数。

课题：函数的奇偶性考纲要求：会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.教材复习基本知识方法 1.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称； ()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.2.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．3.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．4.判断函数的奇偶性的方法：()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；()2图象法；()3性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 典例分析：题型一：判断或证明函数的奇偶性问题1．判断下列各函数的奇偶性：()1()(f x x =- ()2 2lg(1)()|2|2x f x x -=--；()3())f x x =； ()422(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩题型二：函数的奇偶性的应用问题2．()1(04上海)设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如右图，则不等式()0f x <()2（2013哈九中模拟）奇函数()f x 在()0,+∞上的解析式是()()1f x x x =-，则在(),0-∞上，函数的解析式是.A ()()1f x x x =-- .B ()()1f x x x =+ .C ()()1f x x x =-+ .D ()()1f x x x =-()3（2011广东）设函数3()cos 1f x x x =+．若()11f a =，则()f a -=问题3．()1设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围()2（2013江苏）已知()f x 是定义在R 上是奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为()3(06黄岗中学月考)已知函数21()log 1x f x x x -=-++，求1()2005f -1()2004f +- 1()2004f +1()2005f +的值.题型三：抽象函数的奇偶性的证明问题5．()1已知函数()f x 满足：()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅对任意的实数x 、y 总成立，且(1)(2)f f ≠.求证：()f x 为偶函数.()2定义在R 上的增函数()y f x =对任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+.①求证：()f x 为奇函数；②若(2)(242)0xxxf k f +--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围.课后作业：1.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=2.已知1()21xf x m =++为奇函数，则(1)f -的值为3.已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ， 则=)7(f _______4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于.A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对5.函数)0)(()1221()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f .A 是奇函数 .B 是偶函数.C 可能是奇函数也可能是偶函数 .D 不是奇函数也不是偶函数6.判断下列函数的奇偶性：()1()f x = ()2()212()2x xf x +=；()311()212xf x =+-； ()4()3()log 132xx f x -=++；()51()log 1axf x x+=-（其中0a >，1a ≠）7.（03南昌模拟）给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-，其中是奇函数的是（ ） .A ①② .B ①④ .C ②④ .D ③④8.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当x ≥0时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时， )(x f 的解析式为_______________9.（06上海春）已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =10.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么1()2f 的值为.A3.B.C.D 911.（2012郑州二模）设奇函数2,0()0,0(),0x x f x x g x x ⎧<⎪==⎨⎪>⎩，则(3)g =.A 8 .B 18 .C 8- .D 18-、12.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1()()1f xg x x +=-，则()f x = ， ()g x =13.定义在)1,1(-上的函数1)(2+++=nx x mx x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____14.（2013皖南八校联考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2f x x x =+（x ≥0），若2(3)(2)f a f a ->则实数a 的取值范围是走向高考：1. （04全国）已知函数1()lg1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -= .A b.B b -.C 1b .D 1b-2. (06全国Ⅰ文）已知函数()1,21x f x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =3.（2013山东）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -= .A 2- .B 0 .C 1 .D 24.（07辽宁文）已知()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---=5.（2011广东）设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 .A ()()f x g x +是偶函数 .B ()()f x g x -是奇函数.C ()()f x g x +是偶函数 .D ()()f x g x -是奇函数6.（07广东）若函数21()sin 2f x x =-()x R ∈，则()f x 是 .A 最小正周期为π2的奇函数 .B 最小正周期为π的奇函数.C 最小正周期为2π的偶函数.D 最小正周期为π的偶函数7.（07海南）设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a =8.（2012重庆）设函数()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a =9.(07江苏)设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是.A (10)-，.B (01)， .C (0)-∞， .D (0)(1)-∞+∞，，10.（2013辽宁文）已知函数)()ln31f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.A 1-.B 0.C 1.D 211.（2013重庆文）已知函数3()sin 4f x ax b x =++（,a b R ∈），()()2l gl o g 105f =，则()()lg lg2f = .A 5- .B 1- .C 3 .D 412.（2013湖南文）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，(1)(1)4f g +-=，则(1)g = .A 4 .B 3 .C 2 .D 113. （06重庆文）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。

函数奇偶性习题及答案函数奇偶性习题及答案函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。

在函数的研究中，奇偶性是一个重要的性质。

通过研究函数的奇偶性，我们可以更好地理解函数的行为和性质。

下面将给出一些关于函数奇偶性的习题，并给出相应的答案。

1. 判断函数 f(x) = x^3 - x 是否是奇函数、偶函数还是既不是奇函数也不是偶函数。

解答：要判断一个函数的奇偶性，可以通过判断函数的定义域上的对称性来进行。

对于函数 f(x) = x^3 - x，我们可以观察到当 x 取正值和负值时，函数值的变化情况。

当 x 取正值时，函数值为正；当 x 取负值时，函数值为负。

这表明函数的图像关于原点对称。

因此，函数 f(x) = x^3 - x 是一个奇函数。

2. 判断函数 f(x) = x^4 - x^2 + 1 是否是奇函数、偶函数还是既不是奇函数也不是偶函数。

解答：同样地，我们可以观察函数 f(x) = x^4 - x^2 + 1 在定义域上的对称性。

当 x 取正值和负值时，函数值的变化情况为：当 x 取正值时，函数值为正；当x 取负值时，函数值也为正。

这表明函数的图像不关于原点对称。

因此，函数f(x) = x^4 - x^2 + 1 既不是奇函数也不是偶函数。

3. 已知函数 f(x) = sin(x)，判断函数 f(x) 是否是奇函数、偶函数还是既不是奇函数也不是偶函数。

解答：对于函数 f(x) = sin(x)，我们可以观察到函数的周期性。

sin(x) 的周期为2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。

因此，对于任意的 x，有 sin(-x) = sin(x + π) = -sin(x)。

这表明函数 f(x) = sin(x) 是一个奇函数。

通过以上习题的解答，我们可以看出判断函数的奇偶性并不难，只需要观察函数在定义域上的对称性即可。

奇函数的特点是函数的图像关于原点对称，即 f(-x) = -f(x)；偶函数的特点是函数的图像关于 y 轴对称，即 f(-x) = f(x)。

1. 奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数.（2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数.（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性.（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．（2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数．2．奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3. 判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数一、选择题(每小题6分,共30分)1.如果偶函数在[-2,-1]上有最大值,那么该函数在[1,2]上( )A.有最大值B.有最小值C.没有最大值D.没有最小值 2.已知f(x)=ax 3+bx-4,其中a,b 为常数,若f(-2)=2,则f (2)的值等于( )A.-2B.-4C.-6D.-10 3.已知定义在R 上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x 2+|x|-1,那么x<0时,f(x)的解析式为f(x)=( )A.x 2-|x|+1B.-x 2+|x|+1C.-x 2-|x|-1D.-x 2-|x|+14.若f(x )是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则f(-)与f(a 2+2a+)的大小关系是( )A.f(-)>f(a2+2a+)B.f(-)<f(a2+2a+)C.f(-)≥f(a2+2a+)D.f(-)≤f(a2+2a+)5.若p(x),g(x)都是R上的奇函数,f(x)=ap(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,则f(x)在(-∞,0)上有( )A.最小值-5B.最大值-5C.最小值-1D.最大值-3二、填空题(每小题8分,共24分)6.定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为.7.若f(x)是偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是.8.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它是减函数,若实数a,b满足f(a)+f(b)>0,则a+b 0(填“>”“<”或“=”).三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.10.(2013·唐山高一检测)已知定义在R上的函数f(x)=x2+ax+b的图象经过原点,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立.(1)求实数a,b的值.(2)若函数g(x)是定义在R上的奇函数,且满足当x≥0时,g(x)=f(x),试求g(x)的解析式.11.(能力挑战题)已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.答案解析1.【解析】选A.偶函数图象关于y轴对称,在[-2,-1]上有最大值,那么该函数在[1,2]上也有最大值.2.【解析】选D.令F(x)=f(x)+4=ax3+bx,显然F(x)=ax3+bx为奇函数,F(-2)=f(-2)+4=6,F(2)=f(2)+4=-6,故f(2)=-10.3.【解析】选D.设x<0,则-x>0,f(-x)=x2+|x|-1,∵f(-x)=-f(x)∴-f(x)=x2+|x|-1,f(x)=-x2-|x|+1.4.【解析】选C.a2+2a+=(a+1)2+≥,f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,所以f(-)=f()≥f(a2+2a+).5.【解析】选C.∵p(x),g(x)都是奇函数,∴f(x)-2=ap(x)+bg(x)为奇函数又f(x)在(0,+∞)上有最大值5,∴f(x)-2在(0,+∞)上有最大值3∴f(x)-2在(-∞,0)上有最小值-3,∴f(x)在(-∞,0)上有最小值-1.6.【解析】由已知<0,得f(x)在x∈[0,+∞)上单调递减,由偶函数性质得f(3)<f(-2)<f(1).答案:f(3)<f(-2)<f(1)7.【解析】偶函数的图象关于y轴对称,先作出f(x)的图象,如图所示,由图可知f(x)<0的解集为{x|-1<x<1},∴f(x-1)<0的解集为{x|0<x<2}.答案:{x|0<x<2}8.【解题指南】根据f(x)的奇偶性和单调性,将f(a)+f(b)>0,化为关于a,b的关系式,求解可得答案.【解析】f(a)+f(b)>0,∴f(a)>-f(b).又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(a)>f(-b),又∵f(x)为减函数,∴a<-b,∴a+b<0.答案:<9.【解析】由f(m)+f(m-1)>0,得f(m)>-f(m-1),即f(m)>f(-m+1).又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[-2,2]上为奇函数,∴f(x)在[-2,2]上为减函数.∴即得-1≤m<.10.【解析】(1)∵函数图象经过原点,∴b=0,又因为对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立.∴f(x)的对称轴为x=1,∴a=-2.(2)当x≥0时,g(x)=f(x)=x2-2x,当x<0时,-x>0,g(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,∵g(x)为奇函数,∴g(-x)=-g(x),∴g(x)=-x2-2x,∴g(x)=11.【解题指南】可由x<0时的解析式求出x∈[-3,-1]上的最大值和最小值,再根据函数为奇函数,确定出函数在x∈[1,3]的最小值和最大值,从而求m-n的值.【解析】∵x<0时,f(x)=x2+3x+2=(x+)2-,∴当x∈[-3,-1]时,f(x)min=f(-)=-,f(x)max=f(-3)=2.∵函数为奇函数,∴函数在x∈[1,3]上的最小值和最大值分别是-2,,∴m为,n为-2.∴m-n=-(-2)=.即m-n的值为.。

导引式学案 函数奇偶性习题课命题：李晓杰 审核： 王业兴【学习目标】1、理解奇函数、偶函数的概念2、会运用定义判断函数的奇偶性【学习重点】函数的奇偶性的概念【学习难点】函数的奇偶性的判断【学习方法】自主学习 合作探究 精讲点拨课前自主预习一．知识梳理（一）奇函数偶函数的概念1、奇函数的定义______________________________________________2、偶函数的定义：____________________________________________（二）判断函数奇偶性1.从奇偶性的角度对函数进行分类，可以分为_________________ _________________2.判断函数奇偶性的步骤是：____________________________二．课前自测1、偶函数()y f x =在[]4,0-上是减函数，则()3f -和()f π的大小关系是（ ）A ．()()3f f π-> B. ()()3f f π-<C. ()()3f f π-≥D. ()()3f f π-≤2、若偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数，则满足()()1f f a ≤的实数a 的取值范围是（ ）A. [)1,+∞B. (],1-∞-C. (][),11,-∞-⋃+∞D. (),0-∞3、函数()()()00x x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既非奇函数又非偶函数 题型一奇偶函数的定义例1、定义运算*a b a b =⊕=，则函数()()2*22x f x x =⊕-为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既非奇函数又非偶函数 变式拓展：1、下列判断中正确的是（ ）A ．()2f x =是偶函数 B. ()3f x =是奇函数 C ．()[]()212,5f x x x =-∈-是偶函数 D. ()91f x x=+是偶函数题型二奇偶函数的判断例2、已知函数()f x 的定义域为{}0x R x ∈≠且满足()12fx f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，试判断()f x 的奇偶性。

函数的奇偶性问题一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0． 又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ． 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2） 解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴(2)(0)()(2)(0),,x x x f x x x x ⎧⎨⎩-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A5．函数1111)(22+++-++=x xx x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3 解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数． 又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数） ．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝____0_____． 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为____11)(2-=xx f ___．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为___0 _____． 三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．（21<m ） 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R上的表达式．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．（x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明． 解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证，f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。