雨中跑步数学模型(蒋伟)

题目：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。

假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。

一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。

但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。

试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

1 建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。

主要因素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度 2 模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高h 米，宽度w 米，厚度d 米。

淋雨总量用C 升来记。

2）降雨大小用降雨强度I 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。

在这里可视其为一常量。

3）风速保持不变。

4）你一定常的速度v 米/秒跑完全程D 米。

3 模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。

淋雨的面积 )( 222米wd dh wh S ++=雨中行走的时间 )(秒vD t = 降雨强度 )/()3600/01.0()/(01.0)/(s m I I I ==时米时厘米（升）米S I v D S I t C ⨯⨯=⨯⨯⨯=3600/)/(10)(01.0)3600/(3 模型中为变量。

为参数，而v S I D ,,结论，淋雨量与速度成反比。

这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。

米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000======S d w h I D 秒。

分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6=v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。

经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。

雨中行走问题的分析吴珍数学与应用数学二班 A班冯奎艳数学与应用数学二班 A班杨彦云数学与应用数学二班 A班摘要本文讨论了雨线方向、跑步速度与淋雨量关系的问题.针对问题一，将人视为长方体，采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，得到速度越大淋雨量越小的结论。

针对问题二，首先引入雨滴降落频率的概念，解决了用雨速来确定降雨量雨滴降落不连续的问题。

然后采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，建立跑步速度与淋雨量关系的优化模型，得到速度越大淋雨量越小的结论。

针对问题三，在问题二的基础上，改变雨线方向，采用物理学中流体计算的思想方法，建立与跑步速度与淋雨量关系的优化模型，确定淋雨量最小情况下的跑步速度.针对问题四，综合雨线方向与跑步方向夹角，跑步速度，淋雨量的关系，建立几何模型，采用数形结合的方法建立淋雨量模型。

关键词雨滴降落频率；优化模型；淋雨量一、问题重述一般情况下，行人未带雨具却突降大雨，都会选择加快行走速度以减少淋雨量，但如果考虑风速、雨速，就会发现淋雨量并不光与淋雨时间有关。

那么在雨中以何种速度跑，淋雨量最少。

现假设要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型，讨论是否跑得越快,淋雨量越少。

按以下步骤进行讨论:(1) 不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。

(2) 雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为θ,问速度多大时,总淋雨量最少。

(3) 雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为α,问速度多大时,总淋雨量最少。

(4) 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内即异面时,模型会有什么变化。

二、问题分析人在雨中行走时，行走时间即淋雨时间。

把人看成一个长方体，总淋雨量是各个面淋雨量之和。

为解决雨滴不是连续的，引进雨滴频率P (模型建立部分会做具体阐述)的概念。

对于问题一，在不考虑雨速方向的前提下，人的前、后、左、右以及顶部都会被淋到雨，此时淋雨量只与行走时间及单位时间内的降雨量有关。

淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=（颈部以下），宽b=，厚c=，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论[17]：（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。

计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。

计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设四、（1）、将人体简化成一个长方体，高a=（颈部以下），宽b=，厚c=.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑步速度为v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；五、模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：S＝（㎡）V＝ (cm3)= (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ，且 0°<θ<90°，建立a ，b ，c ，d ，u ，ω，θ之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：()v sin u +⋅θ则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d代入数据求得：v 1800v 875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ 由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。

雨中行走问题数学模型案例
一个常见的数学模型案例是“雨中行走”问题。

在这个问题中，假设有一个人需要从一个地方到另一个地方，但是正在下雨。

人可以以一定的速度行走，但是会因为雨水而放慢速度。

问如何确定最快的路线，使得从起点到终点的时间最短。

为了建立这个数学模型，可以采用以下假设和变量：
1. 假设下雨时，人的行走速度是正常时的百分之多少，这个值称为“减速因子”。

假设减速因子为x%，则雨中行走的速度为正常速度的x%。

2. 假设人在雨中行走时的速度是与雨水的强度相关的。

可以假设速度与雨水强度成正比，即速度v与雨水强度I之间存在关系v = kI （其中k为比例常数）。

3. 假设人在雨中行走的路径是直线。

1
根据上述假设和变量，可以建立以下数学模型：
1. 定义起点和终点的坐标（x1，y1）和（x2，y2）。

2. 定义每个点（x，y）处的雨水强度I。

3. 计算人在一段距离（Δx，Δy）内花费的时间t：t = l / (v * x / 100)，其中l是距离，v是速度，x是减速因子。

4. 计算从起点到终点的路线上每个点（x，y）的雨水强度I。

5. 根据模型3计算从起点到终点的每个区间的时间t，并将它们的
和作为总时间T。

6. 通过改变减速因子x，并重新计算总时间T，找到最小的总时间
对应的减速因子x，确定最快的路线。

这样，通过数学模型，可以帮助人们确定在雨中行走时最快的路线。

2。

数学建模雨中行走模型系别：班级：姓名：学号：正文：数学建模之雨中行走问题模型摘要：考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。

试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。

① 当αsin r v <时,淋在背上的雨量为[]v vh rh pwD -αsin ,雨水总量()[]vv r h dr pwD C -+=ααsin cos .② 当αsin r v=时,此时02=C .雨水总量αcos vpwDdrC=,如030=α,升24.0=C这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,身体前后将不被淋雨. ③ 当αsin r v>时,即人体行走的快于雨滴的水平运动速度αsin r .此时将不断地赶上雨滴.雨水将淋胸前（身后没有）,胸前淋雨量()v r v pwDh C αsin 2-=关键词：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度1.问题的重述人们外出行走,途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处进行时,雨的速度（大小和方向）已知,问行人走的速度多大才能使淋雨量最少？2.问题的分析.由于没带伞而淋雨的情况时时都有，这时候大多人都选择跑，一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。

但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。

，一、我们先不考虑雨的方向，设定雨淋遍全身，以 最大速度跑的话，估计总的淋雨量；二、再考虑雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为 ，如图1，建立总淋雨量与速度v 及参数a,b,c,d,u,w,θ之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算=0，=090时的总淋雨量；θθθ三、再是雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.，建立总淋雨量与速度v及参数a , b , c, d , u , w , α之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少；四、以总淋雨量为纵轴，对（三）作图，并解释结果的实际意义；五、若雨线方向不在同一平面内，模型会有什么变化；按照这五个步骤，我们可以进行研究了。

淋雨量模型摘要步入雨季，降雨天气逐渐开始在人们的日常生活中频繁出现起来，与此同时，突如其来的雨水也常常带给无准备的人们淋成落汤鸡的窘境。

面对骤雨，大多数人在通常情况下会选择快速奔跑以希求淋雨最少。

然而这样真的能淋雨最少吗？以此日常情景为背景提出了四个问题，本文运用几何知识、物理知识等方法成功解决了这四个问题，得到了在不同的降雨条件下人体在雨中奔跑时淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系。

并针对不同降雨条件给出了淋雨量最少的方法。

针对问题一，条件给出：不考虑雨的方向，降雨淋遍全身；确定淋雨量为人体表面积与单位面积降雨量及淋雨时间之积针对问题二，根据已知条件（雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ），对雨线的速度分别沿水平、竖直方向正交分解，并综合考虑人的速度与雨线速度的制约关系，建立模型，得出函数模型。

并对函数求导分析最小淋雨量对应速度。

针对问题三，在雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α的条件下，对雨线的速度分别沿水平、竖直方向正交分解，并综合考虑人的速度与雨线速度的制约关系，建立模型，得出函数模型。

并对函数分析最小淋雨量对应速度。

以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对函数用Excel 作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

针对问题四，综合考虑前三种情况的共同作用，并基于前三种模型进行修正。

最后，对所建立的模型和求解方法的方法的优缺点给出了客观的评价，并指出误差所在。

关键字：淋雨量雨速大小雨速方向跑步速度路程远近一、问题重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论]：（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。

攀枝花学院学生课程设计(论文) 题目:淋雨问题姓名:杨腾佼学号: 2所在院(系):数学与计算机学院专业:信息与计算科学指导教师:马亮亮2014年12 月19 日攀枝花学院教务处制攀枝花学院本科学生课程设计任务书注:任务书由指导教师填写。

课程设计(论文)指导教师成绩评定表摘要本文在给定得降雨条件下,分别建立相应得数学模型,分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素得关系。

其中本文中所涉及到得降雨量就是指从天空中降落到地面上得雨水,未经蒸发。

渗透、流失而在水面上集聚得水层深度,它可以直观地表示降雨量得多少。

淋雨量,就是指人在雨中行走时全身所接收到得雨得体积,它可以表示为单位时间单位面积上淋雨得多少与接收雨得面积与淋雨时间得乘积本模型就是研究人得淋雨量与人在雨中奔跑得速度得关系。

由于人在雨中行走得过程比较复杂,难于研究,于就是我们只能将人体简化为一个长方体建立模型,便于我们后续进行讨论,然后建立模型,最终得到结果。

本题中采用了优化模型,通过将人分为几个平面,分别求得各个平面所接受得淋雨量,然后求其加与得方法求解。

在问题(1)中:因为已经假设降雨淋遍全身,且人以最大得速度跑步。

所以根据已知条件,直接列出方程进行求解。

在问题(2)中:我们利用最优化原理,建立出一个动态规划模型。

雨迎面吹来,雨线方向与跑步方向在同一平面,人淋雨面积为前方与头顶面积之与。

因各个方向上降雨速度分量不同,故分别计算头顶与前方得淋雨量后相加即为总得淋雨量。

关键词:淋雨量优化模型动态规划模型目录摘要 (1)一、问题得重述 (1)二、问题分析 (2)三、模型假设 (4)四、符号说明 (5)五、模型得建立 (6)六、结果分析 (9)七、模型得评价 (10)参考文献 (11)一、问题得重述生活中得我们经常会遇到下雨而没有带雨具得时刻,我们在那时会有很多选择,其中之一就就是淋雨,往往好多人会在雨中快走或奔跑而减少多少,反而有时候淋雨量倒有所增加,淋雨量与速度等有关参数得关系如何,就是否人走得越快雨淋得越少,让我们假设一数学模型模拟计算真实情况在人行进在雨中时,淋雨量与人行进速度之间就是怎样得关系。

淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ωm：=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论[17]（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。

计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。

计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设（1）、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm记跑步速度为v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：S＝2.2（㎡）V＝0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ.，且0°<θ<90°，建立a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θu⋅且方向与v相反，sin故人相对于雨的水平速度为：()v⋅θsinu+则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：()()v u /v s i n u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /c o s b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d代入数据求得：v1800v875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。

数学建模淋雨量与跑步速度
情景重现
下雨天忘了带雨伞，要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨越少，将人体简化为长方体，高a=1.5米（颈部以下），宽b=0.5米，厚c=0.2米，设跑步距离d=100米，跑步最大速度=5米/秒，雨速u=4米/秒，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为）
基本假设
（1）风速始终保持不变
（2）降雨速度和降雨强度保持不变
（3）跑完全程的速度始终不变
符号的约定
a人的身高（颈部以下）（已知）
b人的宽度（已知）
c人的厚度（已知）
d全程距离（知）
Vm跑步最大速度（已知）
u雨速（已知）
w降雨量（已知）
v人跑步的速度（未知）
C身上被淋的雨水总量（升）（未知）
I降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）（厘米/时）
模型的建立
结论
通过对以上模型的分析我们可以知道,在雨中行走时要使身上淋的雨水最少,除了要考虑降雨角度外,还好考虑降雨速度,即是根据降雨角度和降雨速度来选择自己在雨中的行走速度,具体做法如下:
(1)如果雨是迎着前进的方向落下，应该以最大的速度跑完全程..
(2)如果雨是从背后落下，这时应该控制在雨中的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量.。

论文题目：雨中行走淋雨量分析雨中行走淋雨量分析摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中奔跑时淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系。

其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

利用MATLAB软件对各个问题进行了求解。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

人以最大速度奔跑1000m，用MATLAB求解可得淋雨量近似为0.00243m。

针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量W与跑步速度v之间的函v时，淋雨量最少。

并计算出当雨与人体的夹数关系。

分析表明当跑步速度为max角θ=0时，淋雨量近似为0.00123m；当θ=30°时，淋雨量近似为0.00163m。

针对问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。

列出函数关系式分析并求解，可知当人速度v=2m s时淋雨量最少，α=30°时的总淋雨量近似为0.2405556E-033m。

针对问题四，列出淋雨量W和跑步速度v之间的函数关系式，利用MATLAB 画出α分别为0°，10°，….90°的曲线图。

针对问题五，雨线与人跑步方向不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶。

分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。

关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；一、 问题重述生活中我们常常会遇到下雨却没有遮雨工具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往很多人会在雨中快走或奔跑以使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。

《数学模型与数学实验》摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的函数关系。

分析表明当v时，淋雨量最少。

行走速度为max针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。

列出函数关系式分析并求解。

关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；雨滴下落的速度，角度；降雨强度；一、问题重述生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。

当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量Q，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，行走距离D，雨速u，降雨量I，行走速度为ν。

1、当我们不考虑风，即雨滴垂直下落时，淋雨量和人行走速度之间的关系2、当雨滴从前方（斜的）下落时，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v及其它参数之间的关系，此时速度与淋雨量的关系3、当雨从人的背面吹来，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v之间的关系二、模型的假设与符号说明2.1 基本假设1、假设人行走的路线是直线；2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。

建模论文|淋雨模型姓名：王瑜班级：服工112学号：201105024211人在雨中行走的速度与淋雨量关系摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的函v时，淋雨量最少。

数关系。

分析表明当行走速度为max针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。

列出函数关系式分析并求解。

关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；一、问题重述生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。

当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量Q，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，行走距离D，雨速u，降雨量I，行走速度为ν。

1、当我们不考虑风，即雨滴垂直下落时，淋雨量和人行走速度之间的关系？2、当雨滴从前方（斜的）下落时，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v及其它参数之间的关系，此时速度与淋雨量的关系？3、当雨从人的背面吹来，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v之间的关系？二、模型的假设与符号说明2.1 基本假设1、假设人行走的路线是直线；2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。

建模论文|淋雨模型姓名：王瑜班级：服工112学号：1人在雨中行走的速度与淋雨量关系摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的v时，淋雨量最少。

函数关系。

分析表明当行走速度为max针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。

列出函数关系式分析并求解。

关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；一、问题重述生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。

当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量Q，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，行走距离D，雨速u，降雨量I，行走速度为ν。

1、当我们不考虑风，即雨滴垂直下落时，淋雨量和人行走速度之间的关系？2、当雨滴从前方（斜的）下落时，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v及其它参数之间的关系，此时速度与淋雨量的关系？3、当雨从人的背面吹来，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v之间的关系？二、模型的假设与符号说明2.1 基本假设1、假设人行走的路线是直线；2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。

雨中跑步的数学模型摘要：本模型建立了在雨中奔跑时淋雨最少与奔跑速度，雨量，降雨方向，路程远近的关系，从而得出在雨中如何奔跑才会淋雨最少的方法。

关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向，路程的远近，奔跑的速度问题重述：要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高h 米，宽度w 米，厚度d 米。

淋雨总量用C 升来记。

2）降雨大小用降雨强度I 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。

在这里可视其为一常量。

3）降雨方向保持不变。

4）你以一定常的速度v 米/秒跑完全程D 米。

模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。

淋雨的面积 )( 222米wd dh wh S ++=雨中行走的时间 )(秒vD t = 降雨强度 )/()3600/01.0()/(01.0)/(s m I I I ==时米时厘米（升）米S I v D S I t C ⨯⨯=⨯⨯⨯=3600/)/(10)(01.0)3600/(3 模型中为变量。

为参数，而v S I D ,, 结论：淋雨量与速度成反比。

这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。

米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000======S d w h I D 秒。

分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6=v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。

经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水。

这是不可思议的。

表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。

原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。

2）考虑降雨方向。

若记雨滴下落速度为r （米/秒）雨滴的密度为1 ,≤p p表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。

如何在雨水中行进少淋雨3013001196 李阳3013001199 宋立军3013001178 章劼3013001208 李明下雨天忘记带伞总是件郁闷的事，因为这样你往往不得不硬着头皮跑回宿舍，淋一身雨。

所以怎样在跑动中少淋雨，就是一件非常重要的事。

在这篇论文中，我们将从定量的角度，分析人奔跑的速度与淋到雨多少的关系，进而得出几个结论。

在这里，我们把人体等效成为一个长方体，并设上，侧，前三个面的面积非别为S1、S2、S3。

一、怎样计算淋雨量首先，我们假设雨水为以一定速度运动且在空间中分布均匀的流体，不妨设其空间密度为Q（kg⋅m–3）。

我们淋雨时，看到的只是雨水落下。

但如果我们换一个角度，把雨水看成是静止不动的，那么人就在雨水中穿行了。

而且人在穿行的过程中，外表面还不断地扫过一定的空间，我们再假设这空间中的水全部“附”在了人体表面，这样就淋到了雨。

有了上述假设，人的淋雨量m（kg），即为V（m3）与Q（kg⋅m–3）的乘积，这里的V是人体外表面扫过的空间的体积，是体表扫过的雨水的体积。

通过上述解释，我们可以得到公式：m＝V·Q .二、扫过体积的计算和讨论说明：（i）雨水并非单纯竖直下落，它还在水平移动。

不妨设其坚直下落速度V1(m·s–1 )，水平移动速度V2（m·s–1 ）。

（ii）人在不停地跑动时，其轨迹可视为一系列全等的抛物线，其中每小段都含有一个从起跳到落地的过程。

不妨设这每一小段的水平长度为L o（m）；起跳时，竖直速度与水平速–1 –1从起跳至落地历时t0（s）。

由物理学中斜抛运动公式，我们可得t0＝2u1／g,L0＝u2t0＝2u1u2／g。

（iii）人在雨中跑动时，不可能无目的地，不妨设它与人距离为L，因为L往往远大于L0，所以可认为L中正好包含整数个L0，从而忽略“边缘效应”产生的误差。

（一）人在竖直方向上的淋雨量（即头顶和肩上淋到的雨）由③式可知V z＝v z tS1。

淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处,若雨速为常数且方向不变,试建立数学模型讨论是否跑得越快,淋雨量越少;将人体简化成一个长方体,高a=颈部以下,宽b=,厚c=,设跑步的距离d=1000m,跑步的最大速度v m=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量ω=2cm/h,及跑步速度为v,按以下步骤进行讨论17：1、不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量;2、雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,且与人体的夹角为θ,如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,ω,θ之间的关系,问速度v多大,总淋雨里最少;计算θ=0,θ=30°的总淋雨量.3、雨从背面吹来,雨线方向跑步方向在同一平面内,且与人体的夹角为α,如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,ω,α之间的关系,问速度v多大,总淋雨量最小;计算α=30°的总淋雨量.说明：题目中所涉及的图形为网上提供（4）、以总淋雨量为纵轴,速度v为横轴,对3作图考虑α的影响,并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内,试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积,可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积;可得：淋雨量V=降雨量ω×人体淋雨面积S×淋浴时间t ①时间t=跑步距离d÷人跑步速度v ②由①②得：淋雨量V=ω×S×d/v三、模型假设1、将人体简化成一个长方体,高a=颈部以下,宽b=,厚c=.设跑步距离d=1000m,跑步最大速度v m=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量ω=2cm/h,记跑步速度为v；参考2、假设降雨量到一定时间时,应为定值；3、此人在雨中跑步应为直线跑步；4、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨,而不是人工,或者流失的水量,因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、模型求解：一、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向,降雨淋遍全身,则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V ＝ω×S ×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 m/s将相关数据代入模型中,可解得：S ＝㎡V ＝ cm3= L（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,且与人体的夹角为θ.,则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. 如图1设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ,且 0°<θ<90°,建立a,b,c,d,u,ω,θ之间的关系为：1、考虑前部淋雨量：由图可知雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反,故人相对于雨的水平速度为：则前部单位时间单位面积淋雨量为：又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅,时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：即：()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①2、考虑顶部淋雨量：由图可知雨速在垂直方向只有向下的分量, 且与v 无关,所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅,顶部面积为()c b ⋅ ,淋雨时间为()v /d ,于是顶部淋雨量为：v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :代入数据求得：由Vv 函数可知：总淋雨量V 与人跑步的速度v 以及雨线与人的夹角θ两者有关;对函数Vv 求导,得：显然：V '<0, 所以V 为v 的减函数,V 随v 增大而减小;因此,速度v=v m =5m/s ,总淋雨量最小;Ⅰ当θ=0,代入数据,解得：V 3≈LⅡ当θ=30°,代入数据,解得：V ＝m3≈L三、模型Ⅲ建立及求解：若雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一平面内,且与人体的夹角为α则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量.如图2设雨从背部吹来时与人体夹角为α, 且0°＜α﹤90°,建立a,b,c,d,u,α,ω之间的关系为：1、先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来,而对于人顶部的淋雨量 V 1 ,它与模型①中一样,雨速在垂直方向只有向下的分量,同理可得：2、后部淋雨量：人相对于雨的水平速度为：⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅≤-⋅ααααsin u v sin v sin u v v sin ，，u u从而可得,人背部单位时间单位面积淋雨量为：()()⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅⋅≤-⋅⋅ααωααωsin u v u /sin u v sin u v u /v sin ，，u 可得人背部淋雨量为： ()()⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅≤-⋅⋅⋅⋅⋅=ααωααωsin u v u /sin u v a V sin u v u /v sin a V 33，，d b u d b而总淋雨量：V=V 1＋ V 3从而有：⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=⋅≤-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=ααωαωααωαωsin u v u /)sin u v (d b a v /cos c b V sin u v u /)v sin (d b a v /cos c b V ，，d u d ③ 化简③式得：()()⎩⎨⎧⋅>+⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅≤-⋅+⋅⋅⋅⋅=αααωαααωsin u v /a v /sin cos b V sin u v /a v /sin cos b V ，，u a c d u a c d ④ 代入相关数据化简得：()[]()[]⎩⎨⎧⋅>+-=⋅≤-+=ααααααsin u v 360/375.0v /1.5sin cos 2.0V sin u v 360/375.0v /1.5sin cos 2.0V ，， ⑤ 由Vv 函数可知：总淋雨量V 与人跑步的速度v 以及雨线与人的夹角α两者有关;Ⅰ、 当αsin u v ⋅≤时,且0°＜α﹤90°,可得：c cos α＋a sin α>0对⑤式求导,易知V '<0；所以,总淋雨量V 随着速度v 的增加而减少,因此,αsin u v ⋅= 总淋雨量最小;Ⅱ、当v >u sin α时,且0°＜α﹤90°,对⑤式求导,解得：2v 180cos 2.0sin 5.1V ）（⋅-='αα ⅰ、当α－ cos α<0时,即 ：tan α<2/15,即V`<0；从而推出,总淋雨量V 随着速度v 的增加而减少,所以,速度v=v m ,总淋雨量最小;ⅱ、当α－ cos α>0时,即 ：tan α>2/15,即V`>0；从而推出,总淋雨量V 随着速度v 的增加而增加,所以,当速度v 取最小,即v=u sin α 总淋雨量最小;当α＝30°,tan α>2/15 ,由模型⑶分析的,当v=u sin α=4×1/2=2m/s总淋雨量最小,且V=m3=L五、结果分析：1在该模型中考虑到雨的方向问题,这个模型跟模型二相似,将模型二与模型三综合起来跟实际的生活就差不多很相似了; 由这三个模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少; 2若雨迎面吹来时,跑得越快越好3若雨从背面吹来时,分为两种情况：当tanα>c/a时,跑步速度v=u sinα时V最小；当tanα<c/a时,跑得越快越好;但是该模型只是考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内,若是雨线方向与人的跑步方向不在同一平面内建立坐标系上,对于这种情况,我们认为在本质和考虑问题的思想上来说模型是不变的,应分别对几个淋雨面进行以上同样方法建立求解模型, 但是解算的过程,我想应该更复杂; 参考文献：1 姜启源, 数学模型第三版M, 高等教育出版社,2。