完全平方公式课件

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例2 运用完全平方公式计算：
1 1022； 解： 1022= 10022
2 992 992 = 100 –12
=100004004
=10000 -2001
=10404
=9801
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式．
针对训练 利用完全平方公式计算： 15－a2； 2－3m－4n2； 3－3a＋b2
（4） （m-22=m-2m-2=
m2-4m4
问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
（ab2= a22abb2
（a-b2= a2-2abb2
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍这两个公 式叫做（乘法的）完全平方公式
“首平方，尾平方，首尾2倍在中央”
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
1y2=2 y2
×
y2 =22y y2
2 -y2 =2 -y2
×
-y2 =2 -2y y2
3 - y2 =22y y2
× - y2 =2 -2y y2
4 2y2 =42 2y y2

(a - b)2= a2 - 2 ab + b2 =x2-4xy +4y2
2、运用完全平方公式计算：
(1) 1022 解： 1022 =(100+2)2
=10000+400+4 =10404 (2) 992 解： 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1
=9801
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗？ (a-b)2与(b-a)2相等吗？ (a-b)2与a2-b2相等吗？ 为什么？
3、若a b 5，ab 6， 求 a2b2，a2ab b2.
基础练习:
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2；
(2) (y-5)2；
(3) (-2x+5)2；
(4) ( 2 x - 3 y)2.
34
2.运用完全平方公式计算:
(1) 9.9
(2)201
3.若a b 5，ab 6， 求 a2b2，a2ab b2.
a2 4ab 4b2 9c2.
例4：计算：(a b)3
解：a b3 a ba b2
a b a2 2ab b2 .
a3 2a2b a2b ab2 2ab2 b3 a3 3a2b 3ab2 b3.
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？

2、第二天有b个女孩一起去老人家，老人一共给
b2
了这些孩子多少块糖？
3、第三天有(a+b)个孩子一起去老人家，老人一 共给了这些孩子多少块糖？
(a+b)2
4、第三天给的糖果数与前两天给的糖果总数一样多吗？
比较 ：(a+b)2 与 a2+b2
二、探究 计算下列各式,你能发现什么规律? 1、(p+1)2 = (p+1) (p+1) = _p_2+_2_p_+_1； 2、(m+2)2= _m_2_+_4_m_+_4__; 3、(a-3)2 = (a-3 ) (a-3) = __a_2-_6_a_+_9_; 4、(x-4)2 = __x_2-_8_x_+_16__.
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年8月4日星期 三下午2时32分 27秒14:32:2721.8.4
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年8月下午 2时32分21.8.414:32August 4, 2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021年8月4日 星期三2时32分 27秒14:32:274 August 2021
(3) (2x 5)2
(4) ( 3 x 2 y)2 43

详细描述
通过完全平方公式，可以建立数学模 型来描述和解决各种实际问题，如物 理问题、工程问题等。
在数学竞赛中的应用
总结词
完全平方公式是数学竞赛中常见 的知识点之一，对于提高学生的 数学能力和竞赛成绩具有重要意
义。
详细描述
在数学竞赛中，完全平方公式常 常用于解决代数、几何和数论等 领域的问题，需要学生具备扎实
证明二
利用数学归纳法和二项式定理进行证明。首先验证当$n=1$时公式成立，然后假 设当$n=k$时公式成立，推导出当$n=k+1$时公式也成立，从而证明完全平方 公式对于所有正整数n都成立。
公式应用的条件
条件一
被开方数需要是两个平方数的乘积。即，如果要 将一个数表示为完全平方形式，那么这个数必须 可以写成两个平方数的乘积。
与几何知识的结合
在几何中，完全平方公式可以用于计算面积和周长等，帮助学生更 好地理解几何概念。
在数学教学中的作用
1 2
强化基础知识
完全平方公式是数学基础知识之一，通过学习和 应用该公式，可以帮助学生更好地掌握数学基础 知识。
提高解题能力
完全平方公式是解决数学问题的有效工具，通过 学习和应用该公式，可以提高学生的解题能力。
完全平方公式的推导
通过推导过程，让学生理解完全平方公式的原理和证明方法，加深 对公式的理解和掌握。

总结
这节课我们学会了什么？ 2倍符号看前方
= =
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
总结
这节课我们还学会了什么？
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________，两 个括号，就用____完___全__平__方__公___式_ ． 平方差公式
2．括号内有三项时怎么利用公式？ 添括号，把三项变成两项．
完全平方和
观察式子，回答下列问问题：
①等式左边都是两个数__和__的__平___方____ ②等式右边都是两个数__平__方__的___和____，再加上这两个数 __积___的__两__倍____
你能用一个式子概括上述规律吗？
=Βιβλιοθήκη Baidu
怎么证明呢？
代数证明 =
几何证明
ab ab
=
完全平方差
观察式子，回答下列问问题： ①等式左边都是两个数__差__的__平___方____ ②等式右边都是两个数__平__方___的__和____，再减去这两个数 __积__的___两__倍____
你能用一个式子概括上述规律吗？
=
怎么证明呢？
代数证明 =
几何证明
=
=
完全平方公式
= = 你能用文字语言表述完全平方公式吗？ 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的2倍．

证明定理
在几何学中，完全平方公式可以用来证明 某些定理。例如，勾股定理就可以通过完 全平方公式进行证明。
实际应用
计算投资收益
在金融领域，完全平方公式可以用来计算投 资收益。例如，如果一个投资者投资了 1000元，年利率为5%，那么一年后他的投 资收益为1000(1+5/100)^2-1000≈25.63 元。这里用到了完全平方公式来计算复利。
简便。
03
解方程
完全平方公式可以用来解一元二次方程。例如，当我们需要求解方程
$x^2+2xy+y^2=0$时，可以通过完全平方公式将其化为标准形式，
然后求解。
几何应用
计算面积和周长
在几何学中，完全平方公式可以用来计算 图形的面积和周长。例如，对于一个正方 形，其边长为a，那么其面积和周长分别为 $a^2$和$4a$。
将完全平方公式变形为$a^2 - b^2$的形式，方便记忆和使用。
其他扩展知识
要点一
完全平方数的性质
完全平方数具有一些特殊的性质，如一个数的平方的平 方根即为该数，一个数的立方等于该数的平方的平方根 等。这些性质在实际问题中有着广泛的应用。
要点二
完全平方数的应用
在数学、物理、工程等领域中，完全平方数有着广泛的 应用。例如，在数学中，完全平方数可以用于解决一些 代数问题；在物理中，完全平方数可以用于计算一些物 理量；在工程中，完全平方数可以用于计算一些工程量 等。

a 第9页，共33页。
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式 ：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
第10页，共33页。
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式 ：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
(2) 992= (100-1)2=1002-2×100×1+12
=10000-200+1=9801
利用完全平方公式计算:
1、先选择公式; 2、准确代入公式; 3、化简.
第16页，共33页。
想一想:
（a+b）2与（-a-b）2相等吗？ （a-b）2与（b-a）2相等吗？ 为什么？
∵ (a+b)2=a2+2ab+b2 (-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b) 2=a2+2ab+b2
更上一层
(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16
（2）代数式2xy-x2-y2= ( D ) A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2
第21页，共33页。
拓展思维

1
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算: (x+2y)2
2
(a+b)2=a2+2ab+b2
利用完全平方公式计算:
(1) (x + 3 )2
(2) (2a+3b)2
（3）(2a 1)2 2
(4) (a - b)2
利用完全平方公式计算:
1、(x-3)2 2、(2m-n) (2m-n)
3、(－2m＋n)2 4、(－2m－n)2
4
（１） (mn+3)2=( C )
(A) mn2+9
(B) m2n2+9
(C) m2n2+6mn+9 (D) mn2+6m+9
（２） 下列计算中正确的是（ D）
(A) (p+q)2=p2+q2 (B) (a+2b)2=a2+4ab+2b2 (C) (a2+1)2=a4+2a+1 (D) (-s+t)2=s2-2st+t2
(2)中间一项的符号错误
(3)首项被平方时, 未添括号;
6
(1)( 3x +3y )2=
(2)(x 1)2 2
(3)x2 12 xy ___ (x __)2
请你找错误பைடு நூலகம்

4
(3) 2x 5
2
解:原式= (-2x)2 +2×(-2x)×5+ 5 2 = 4x2 -20x+25
(4) 2a 3b
2
解:原式= (-2a)2 -2×(-2a) ×3b+ (3b) 2 = 4a2 +12ab+9b2
思 考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗? (a+b)2与a2+b2也相等吗? ∵(a+b)2 =a2+2ab+b2
2
1 1 2 4x -2x+ 4 ) =_____________________ 2
2
6.小试牛刀： 能快速求出下列各式的结果吗？
（1）982 （2）1022 2 解： 982 102 解： 2 2 2 =（100 -__) = 100 +2) （ 2 2 =___________________ 100 -2×100×2+2 =1002 +2×100×2+22 9604 =_____
导
3 . 用面积说明完全平方公式
问题1： 如图，花都某中学地理园有一块边长为a米的正方形草 坪，由于第二课堂需要，对草坪进行改造，各边长增加 b米，形成四块草坪。问改造后的草坪的面积是多少？ （两种方法表示草坪面积）

想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 错
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 错
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
六、你会了吗
计算：
2 1.(3x+7y)
= =
方法：
当二项式中两项符号相同时， 一般选用和的完全平方公式； 当二项式中两项符号相反时，
2.
2 (-2a+3b)
3. (-2a-3b)2=
一般选用差的完全平方公式 。
下列等式是否成立? 说明理由． (1) (4a+1)2=(1−4a)2； 成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立 (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2； 不成立． (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
拓展练习:

计算数的平方时，可考虑把数分成两数的和（或差）， 再用完全平方公式来计算，往往带来方便。
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
运用公式计算: 1.(a-b)(a+b)(a2+b2) 2.(2-1)(2+1)(22+1) (24+1)…… (232+1)+1
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
(1) (2x+3y)2 (2) (2x-3y)2 (3) (-2x+3y)2 (4) (-2x-3y)2
小结:当所给的二项式 中两项符号相同时,一 般选用“和”的完全 平方公式;
当所给的二项式 中两项的符号相反时, 一般选用“差”的完 全平方差公式.
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
(a+b)2=a2+2ab+b2

完全平方公式ppt课件
目
CONTENCT
录
• 完全平方公式简介 • 完全平方公式的推导过程 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的变种 • 完全平方公式的练习题
01
完全平方公式简介
完全平方公式的定义
01
完全平方公式是一种数学公式， 用于将一个二次多项式表示为一 个一次多项式和一个常数的乘积 的平方。
THANK YOU
感谢聆听
进阶练习题
总结词
提高应用能力
详细描述
这些练习题难度稍有提升，要求学生对完全平方公式进行灵活运用，解决一些较为复杂 的代数问题，如因式分解、求值等。
高阶练习题
总结词
挑战综合能力
VS
详细描述
这些练习题难度较高，需要学生具备较强 的数学综合能力和创新思维。题目涉及完 全平方公式的多种变式和实际应用，如几 何问题、最值问题等。
它可以帮助我们简化二次多项式，将其表示为一个 更简单的形式，便于计算和解决各种数学问题。
完全平方公式还可以用于证明一些重要的数学定理 ，如勾股定理和三角形的余弦定理等。
02
完全平方公式的推导过程
推导前的准备
知识储备
学生应具备基本的代数知识和运算能力，了解平方、乘法等基本 概念。
工具准备
准备黑板、白板或PPT等教学演示工具，以便清晰地展示推导过 程。