高一数学同步练习(不等式1)

第二章 一元二次函数、方程和不等式（新人教A 版） 2.1等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．【2018-2019学年银川一中】下列说法正确的是( ) A.某人月收入x 不高于2000元可表示为" 2 000x <" B.小明的身高x ,小华的身高y ,则小明比小华矮表示为"x y >" C.某变量x 至少是a 可表示为"x a ≥" D.某变量y 不超过a 可表示为"y a ≥" 【答案】C【解析】对于,A x 应满足 2 000,x ≤故A 错;对于,,B x y 应满足x y <,故B 不正确; C 正确; 对于,D y 与a 的关系可表示为y a ≤,故D 错误.2．【2018-2019正定一中期中】3.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定 【答案】B【解析】由题意得()()1212121110M Na a a a a a -=--+=-->,故M N >.故选B3. 【2018-2019莆田二中期末】某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩()x 高于85分，数学成绩()y 不低于80分，用不等式组可以表示为( )A ．8580x y >⎧⎨⎩…B ．8580x x <⎧⎨⎩…C ．8580x y ⎧⎨>⎩… D ．8580x y >⎧⎨<⎩ 【答案】A 【解析】语文成绩()x 高于85分，数学成绩()y 不低于80分，8580x y >⎧∴⎨⎩…，故选：A ．4．【2018-2019湖南师大附中月考】有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分 别为x 、y 、z ，则下列选项中能反映x 、y 、z 关系的是( )A ．65x y z ++=B ．65x y z x zy z ++=⎧⎪>⎨⎪>⎩C ．650x y z x z y z ++=⎧⎪>>⎨⎪>>⎩D ．65656565x y z x y z ++=⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪<⎩ 【答案】C 【解析】一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x 、y 、z ，65x y z ∴++=，0x z >>，0y z >>．故选：C ．5. 【2018-2019六安中学月考】若2x ≠-且1y ≠,则2242M x y x y =++-的值与5-的大小关系是( )A. 5M >-B. 5M <-C. 5M ≥-D. 5M ≤- 【答案】A【解析】()225425M x y x y --=++-+()()2221x y =++-,∵2,1x y ≠-≠,∴()220x +>,()210y ->,因此()()22210x y ++->.故5M >-.6．【2018-2019攀枝花市级联考】某公司从2016年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2018年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2018年底这 位职工的工龄至少是( )A ．2年B ．3年C ．4年D ．5年【答案】C【解析】设这位职工工龄至少为x 年，则2400160010000(110%)25%x +>+⨯， 即40016003025x +>，即 3.5625x >，所以至少为4年．故选：C ． 二、填空题7．【2018-2019银川一中】若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 【答案】x 1＋x 2≤12【解析】∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x 1＋x 2≤12. 8.【2018-2019学年山东威海市期中】一辆汽车原来每天行驶xkm ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km ，那么在8天内它的行程将超过2200km ，用不等式表示为 ． 【答案】8(19)2200x +> 【解析】汽车原来每天行驶xkm ，该汽车每天行驶的路程比原来多19km ，∴现在汽车行驶的路程为19x km +，则8天内它的行程为8(19)x km +， 若8天内它的行程将超过2200km ，则满足8(19)2200x +>； 故答案为：8(19)2200x +>；9．【2017-2018学年上海市金山中学】如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母(),a b a b ≠的不等式表示出来__________【答案】()2212a b ab +> 【解析】(1)中面积显然比(2)大,又(1)的面积()222211,2S a b a b =+=+ (2)的面积2S ab =,所以有()2212a b ab +> 10．【2018广西玉林高一联考】近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/斤、b 元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）__________．（在横线上填甲或乙即可） 【答案】乙【解析】由题意得甲购买产品的平均单价为3362a b a b++=， 乙购买产品的平均单价为2021010aba b a b=++，由条件得a b ≠． ∵()()22022a b a b ab a b a b -+-=>++， ∴22a b aba b+>+，即乙的购买方式更优惠． 三、解答题11．【陕西省安康市高级中学检测】有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？ 【答案】见解析；【解析】 设这个公园原来的长方形布局的长为a ,宽为b (a>b ).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab ;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b )，所以其边长为2ba +,其面积为（2b a +）2.因为ab -（2b a +）2=ab -()()()04444222<--=+-=+b a b a ab b a (a>b ),所以ab <（2b a +）2.故保持原周长不变的布局方案可使公园的面积较大.12．【沈阳市东北育才学校2018-2019高一】某家庭准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案,甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社的方案是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠.如果这两家旅行社的原价相同,请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算? 【答案】见解析；【解析】设该家庭除户主外,还有()x x x N ∈人参加旅游, 甲、乙两旅行社收费总金额分别为12,y y ,—张全票的票价为a 元,则只需按两家旅行社的优惠条件分别计算出12,y y , 再比较12,y y 的大小即可.∵()120.55,0.751y a ax y x a =+=+,而()120.550.751y y a ax x a -=+-+()0.2 1.25a x =-. ∴当 1.25x >时. 12y y <;当 1.25x <时, 12y y >.又x 为正整数,所以当1x =时, 12y y >,即两口之家应选择乙旅行社; 当()1x x x N >∈时, 12y y <,即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.2.1等式性质与不等式性质（第2课时）一、选择题1．（2019湖南高一期中）若a ＞b ，c ＞d ，下列不等式正确的是（ ）A ．c b d a ->-B ．ac bd >C ．a c b d ->-D ．a b d c> 【答案】A【解析】由题意，因为a b >，所以a b -<-，即b a ->-， 又因为c d >，所以c b d a ->-， 故选：A ．2．（2019·福建高二期末）若,0a b c ac >><，则下列不等式一定成立的是 A ．0ab > B ．0bc <C ．ab ac >D ．()0b a c ->【答案】C【解析】取1,0,1a b c ===-代入，排除A 、B 、D ，故选：C 。

2.2 基本不等式同步练习一、单选题1．已知正数x y ，满足 4x y +=，则xy 的最大值（ ）A ． 2B ．4C ． 6D ．82．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．93．已知正实数a 、b 满足4a b +=，则11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．222 B ．4 C ．254 D ．221 4．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．112ab >B ．111a b+≤ C 2ab D ．22118a b ≤+ 5．若00a b >>，，则下面结论正确的有（ ）A ．()2222()a b a b +≤+B ．若142a b +=，则 92a b +≥ C ．若22ab b +=，则4a b +≥D ．若1a b +=，则ab 有最大值12 6．设实数x 满足0x >，函数4231y x x =+++的最小值为（ ） A ．31 B ．432 C ．421 D ．67．已知0a >，0b >，若44a b ab +=，则a b +的最小值是（ ）A ．2B 21C ．94D ．528．已知0x >，0y >满足22280x y xy y x +--=，则2y x +的最小值为（ ） A ．22B ．4 C ．32D 2 二、多选题9．对于正数a ，b ，且4a b +=，若34abm b a ≤++恒成立，则m 可以为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．110．已知0a b >>，且1a b +=，则以下结论正确的有（ ）A ．14ab <B ．114a b +>C ．2212a b +≥D 1a b < 11．下列选项中正确的是（ ）A ．不等式a b ab +≥B ．存在实数a ，使得不等式12a a+≤成立 C ．若a ，b 为正实数，则2b a a b+≥ D ．若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y+≥ 12．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ）A ．若103x <<，则()13x x -的最大值为112B ．函数()23311x x y x x ++=>-+的最小值为2 C ．已知1x y +=，0x >，0y >，则121x x y ++的最小值为54D ．若正数x ，y 满足220x xy +-=，则3x y +的最小值是3三、填空题13．有一批材料可以建成200m 长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.14．设0a b >>，则a ，b ，ab ，2a b +，211a b+，222a b +______． 15．若正实数a ，b 满足()2261a b ab +=+，则21ab a b ++的最大值为______. 16．已知实数,,x y z 满足2221x y z ++=，则3xy yz -的取值范围为_________.四、解答题17．（1）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？18．某建筑队在一块长的矩形地块AMPN 上施工，规划建设占地如下图中矩形ABCD 的学生公寓，要求定点C 在地块的对角线MN 上，B ，D 分别在边AM ，AN 上.(1)若30AM =m ，宽20AN =m ，求长度AB 和宽度AD 分别为多少米时矩形学生公寓ABCD 的面积最大？最大值是多少m 2？(2)若矩形AMPN 的面积为600m 2，问学生公寓ABCD 的面积是否有最大值？若有，求出最大值？若没有，请说明理由.19．（1）已知54x <，求14245y x x =-+-的最大值． （2）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值． （3）已知0x >，求221x y x =+的最大值． 20．已知0x >，0y >，求证：2224x y xy++≥． 21．若0x >，0y >，且22283y x +=，求262x y +参考答案1--8BCBDB ACC9．BCD10．AB11．BCD12．AC13．22500m14．2221122a b a b b ab a a b ++<<<<+ 15．1616．1010⎡⎢⎣⎦17．设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm 、ym ，篱笆的长度为()2x y m +. （1）由已知得100xy =，由2x y xy +220x y xy +≥，所以()240x y +≥， 当且仅当10x y ==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m ；（2）由已知得()236x y +=，则18x y +=，矩形菜园的面积为2xym . 18922x y xy +==，可得81xy ≤， 当且仅当9x y ==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是281m . 18．(1)解：设AB xm =，依题意知NDC NAM △∽△，所以DC ND AM NA =， 即203020x AD -=，则2203AD x =-． 故矩形ABCD 的面积为2220(030)3S x x x =-<<．222223020(30)1503332x x S x x x x -+⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当30x x =-，即15x =时，等号成立．此时220103AD x =-=． 故15AB m =，10AD m =时，学生公寓ABCD 的面积最大，最大值是2150m ．(2)解：由（1）可得NDC NAM △∽△，即DC NC AM NM =，同理可得BC CM AN MN =， 设AB xm =，AD ym =，所以1C D M A MN C BC NC M AN NM +=+=，即1x y AM AN+=，所以12x y x y AM AN AM AN +=≥⋅4AM AN xy ⋅≤，因为AMPN 的面积为2600m ，即600AM AN ⨯=，所以150xy ≤，当且仅当x y AM AN =，即2AM x =，2AN y =时取等号，所以学生公寓ABCD 的面积有最大值为2150m ；19．解：（1）∵54x <，∴540x ->． ∴()1114254325432+31455454y x x x x x x ⎛⎫=-+=--++≤--⋅==-= ⎪---⎝⎭，当且仅当15454x x-=-，即1x =时，等号成立． 故当1x =时，max 1y =．（2）∵102x <<，∴120x ->． ∴()2112121112124424416x x y x x +-⎛⎫=⨯-≤⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当121202x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，即14x =时，等号成立． 故当14x =时，max 116y =． （3）∵0x >，∴22211x y x x x ==++．根据基本不等式得1122x x x x +≥⋅=，∴212y ≤=，当且仅当1x x=，即1x =时，等号成立． 故当1x =时，max 1y =．20．因为0x >，0y >，所以222224x y xy xy xy++≥+≥， 当且仅当x y =，1xy =，即1x y ==时取等号. 所以2224x y xy++≥成立. 21．解:因为(()22222362623213y x yx y x ⎛⎫+=+=⋅+ ⎪⎝⎭ 2222219243333224y x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫≤⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 当且仅当22213y x ++,即32x =,42y =时,等号成立. 所以224393624x y +≤=, 故262x y +93.。

1.3不等式 测试卷一、单选题1．已知0a >，0b >，设2,m a n b =-=，则（ ） A ．m n ≥B ．m n >C ．m n ≤D ．m n <2．已知a b c ，，为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列说法正确的是（ ） A ．a c -与a b -同号 B ．a c -与a b -异号 C ．a c -与b c -异号D ．a c -与b c -同号3．若0x >，0y >，31x y +=，则3xyx y+的最大值为（ ） A ．19B ．112C ．116D ．1204．下列结论正确的是（ ） A ．a b >时22ac bc >,B ．0ab <时,a by b a=+的最大值是2-,C ．y =D ．a b >时一定有a b >5．若0,0m n >>且2m n +=，则41m n+的最小值等于（ ） A ．2B ．52C ．3D ．926．下列命题是真命题的是（ ） A ．若a b > ，则 22ac bc > ； B ．若,a b c d >> ，则 ac bd > ； C ．若a b > ，则 11a b< ；D ．若22ac bc > ，则 a b > ．7．已知关于x 的不等式()()()2233100,0a m x b m x a b +--->>>的解集为1(,1)(,)2-∞-+∞，则下列结论错误的是（ ）A ．21a b +=B ．ab 的最大值为18C ．12a b+的最小值为4D ．11a b+的最小值为3+ 8．已知实数a ､b 满足1)28()(a b ++=，有结论：①若0a >，0b >，则ab 有最大值；②若a<0，0b <，则a+b 有最小值；正确的判断是（ ） A ．①成立，②成立 B ．①不成立，②不成立 C ．①成立，②不成立 D ．①不成立，②成立二、多选题9．若,,a b c ∈R ，且a b >，在下列不等式一定成立的是（ ）A ．a c b c +>+B ．22ac bc ≥C ．20c a b>+D ．()()0a b a b +->10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，c d >则ac bd > B ．若a b >，c d >则a d b c ->-C ．若0a b <<，0c d >>，则a b d c< D ．若0ab <，0bc ad ->，则c d a b> 11．以下说法正确的有（ ） A ．实数0x y >>是11x y<成立的充要条件 B ．不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对,R a b ∈恒成立C ．命题“0R x ∃∈，20010x x ++≥”的否定是“R x ∀∈，210x x ++<”D ．若12x x +=，则11222x x -+=12．下列命题中为真命题的是（ ） A ．设,0x y >,若111-=y x,则1x y -< B ．若>x x y y ,则33x y >C ．若正数,x y 满足11+≤x y 且()()329-=x y xy ,则23xy =D ．若0x y >>,则41++≥+-x x y x y三、填空题13．已知4255m n m n +-=+，利用等式的性质比较m 与n 的大小关系：m ________n (填“>”“<”或“=”)．14．当m >1时，m 3与m 2－m ＋1的大小关系为________.15．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式（组）将题中的不等关系表示为________．16．若实数a 、b 、c 满足221a b c +=≤，则a b c +-的最大值为__________． 四、解答题17．已知0x >，0y >，24x y +=.(1)求12x y+的最小值并说明取得最小值时x ，y 满足的条件；(2)M ∈R ，234x x M x++≤恒成立，求M 的取值范围.18．（1）若正数x y ，满足26x y xy ++=，求x y +的最小值． （2）已知1x >，求27101x x x ++-的最小值．19．若3x >，求23x y x =-的最小值．20．已知实数0x >，0y >，且222()(R).xy x y a x y a =+++∈ (1)当0a =时，求24x y +的最小值，并指出取最小值时,x y 的值； (2)当12a =时，求x y +的最小值，并指出取最小值时,x y 的值.21．（1）设27a <<，12b <<，求3a b +，2a b -，ab 的范围；（2）已知1a b c ++=，求证：13ab bc ca ++≤.22．为了抗击新冠，某区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a 平方米(0)a >，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，问：当x 为多少时，总价最低．参考答案1．A【分析】利用作差法判断m n -的正负即可得出结果.【详解】由题意可知，))222110m n a b -=--=+≥当且仅当1a b ==时，等号成立； 即m n ≥. 故选：A 2．D【分析】利用基本不等式判断出b a >，由a c ，的大小不确定，判断出A 、B 不正确；分类讨论在c b >和b c >时，都有a c -与b c -同号.即可判断C 、D. 【详解】因为a b c ，，为互不相等的正数，所以222a c ac +>. 因为222a c bc +=，所以22bc ac >，所以b a >.所以0a b -<.因为a c ，的大小不确定，所以a c -的符号不确定.故A 、B 不正确； 若c b >，则c b a >>，所以0a c -<，0b c -<，所以a c -与b c -同号. 若b c >，则22222a c bc c +=>，所以22a c >. 因为a c ，为互不相等的正数，所以a c >. 所以a c -与b c -同号. 综上所述：a c -与b c -同号. 故C 错误，D 正确. 故选：D 3．C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得3x yxy +的最小值，即可得到3xy x y+的最大值. 【详解】因为0x >，0y >，31x y +=，则()33131333101016x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫+=+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当33x y y x =时，即14x y ==时，等号成立； 所以10316xy x y <≤+，即3xy x y +的最大值为116， 故选：C. 4．B【分析】取0c ,即可判断选项A,由0ab <,可得0ab <,0b a <,将a b y b a=+写为a b y b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再用基本不等式,即可判断选项B,计算基本不等式中取等条件是否满足,即可判断选项C,取1a b =-=,即可判断选项D. 【详解】解:由题知对于A: 取0c ,则22ac bc =, 故选项A 错误; 对于B:0ab <,0a b∴<,0ba <,a b a b b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22a b b a ⎛⎫⎛⎫≤---=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当a bb a-=-,即a b =-时取等号, 故选项B 正确; 对于C: 2233y x x =++22223223x x ≥+⋅+,2233x x +=+即21x =-时成立,显然等式不能成立, 即y 取不到的最小值为2故选项C 错误; 对于D: 取1a b =-=, 则a b >, 但是a b =, 故选项D 错误. 故选:B 5．D【分析】巧用常数的关系即可求解41m n+的最小值.【详解】因为0,0m n >>且2m n +=， 所以()4114114194152222m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当4m n n m =，即43m =，23n =时等号成立.故选：D. 6．D【分析】举反例排除A ，B ，C ，利用不等式的基本性质判断D.【详解】对于选项A ，当1,2,0a b c =-=-=时，满足a b >，但22ac bc =，故A 错误； 对于选项B ， 当1,2,1,2a b c d =-=-=-=-时，满足,a b c d >>，但ac bd <，故B 错误； 对于选项C ， 当1,2a b ==-时，满足a b >，但11a b>，故C 错误； 对于选项D ，因为22ac bc >，所以()2220ac bc a b c -=->，所以20,0a b c ->>，则a b >，故D 正确. 故选：D. 7．C【分析】根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得232a m +=，31b m -=-，可判定A 正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B 正确，C 错误，D 正确. 【详解】由题意，不等式()()223310a m x b m x +--->的解集为(]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，可得230a m +>，且方程()()223310a m x b m x +---=的两根为1-和12，所以131223111223b m a m a m -⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-⨯=-⎪+⎩，所以232a m +=，31b m -=-，所以21a b +=，所以A 正确；因为0a >，0b >，所以21a b +=≥18ab ≤， 当且仅当122a b ==时取等号，所以ab 的最大值为18，所以B 正确；由12124()(2)44448b a a b a b a b a b +=++=++≥++=， 当且仅当4b aa b =时，即122a b ==时取等号，所以12a b+的最小值为8，所以C 错误；由()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当2b a a b=时，即2b a =时，等号成立， 所以11a b+的最小值为322+D 正确． 故选：C ． 8．C【分析】由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断． 【详解】解：因为1)28()(a b ++=， 所以(2)6ab a b =-+，①0a >，0b >，222242(2)(22()())44a b a b a b +=+++-≥++=，当且2a b =时取等号，所以64ab -≥，解得2ab ≤，即ab 取到最大值2；①正确； ②a<0，0b <， 当20a +>时，8881232(2)323222a b a a a a a a +=+-=++-≥+⋅=+++， 当且仅当822a a +=+时取等号，此时222a =不符合a<0，不满足题意； 当20a +<时，888123(2)3342222a b a a a a a a ⎡⎤+=+-=++-=--+--≤--⎢⎥+++⎣⎦当且仅当()822a a -+=-+时取等号，此时222a =- 此时取得最大值，没有最小值，②错误. 故选：C .【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 9．AB【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解. 【详解】对于A ，∵a b >，c c =，∴a c b c +>+，故A 正确， 对于B ，2c ≥0，a b >，∴22ac bc >，故B 正确，对于C ，令0c ，则20c a b =-，故C 错误， 对于D ，令1a =，1b ，满足a b >，但()()0a b a b +-=，故D 错误.故选：AB. 10．BC【分析】利用特殊值、不等式的性质、差比较法等知识确定正确答案. 【详解】A 选项，2,1,1,2a b c d ===-=-，,a b c d >>，但ac bd =，所以A 选项错误.B 选项，由于a b >，c d >，所以d c ->-，所以a d b c ->-，所以B 选项正确.C 选项，由于0a b <<，0c d >>，所以，0a b ->->，110d c>>， 所以0,a b a b d c d c-->><，C 选项正确. D 选项，由于0ab <，0bc ad ->，所以0,c d bc ad c da b ab a b--=<<，D 选项错误. 故选： BC 11．BCD【分析】对于A ，举反例排除即可；对于B ，利用作差法与完全平方公式即可判断； 对于C ，根据特称命题否定的方法判断即可； 对于D ，直接解方程得到1x =，代入1122x x -+即可判断. 【详解】对于A ，当11x y<时，可能1,2x y =-=-，不能得到0x y >>，故A 错误； 对于B ，()222220244a b a b a ab b ab -+-+⎛⎫-==≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立， 所以22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对,R a b ∈恒成立，故B 正确；对于C ，特称命题的否定是全称命题，其否定方法为“改量词，否结论”，所以命题“0R x ∃∈，20010x x ++≥”的否定是“R x ∀∈，210x x ++<”，故C 正确；对于D ，因为12x x+=，所以2120x x x ⎧+=⎨≠⎩，则22100x x x ⎧-+=⎨≠⎩，即()2100x x ⎧-=⎪⎨≠⎪⎩，故1x =，所以11112222112x x --+=+=，故D 正确. 故选：BCD. 12．BCD【分析】对于A,取一个反例即可,对于B,分情况讨论,x y 大小即可,对于C,根据等式化简,根据不等式找范围,求值,对于D,将x 写成22x y x y +-+的形式,然后分别用基本不等式,注意取等条件.【详解】解:由题知,对于选项A,当44,5x y ==时,满足111-=y x ,但是1->x y ,所以选项A 错误;对于选项B,当,0x y >时,>x x y y 可化为22x y >,即x y >,所以33x y >成立, 当0,0x y ><时,不等式>x x y y 成立,33x y >也成立, 当0,0x y <>时,不等式>x x y y 不成立,舍, 当0,0x y <<时,不等式>x x y y 可化为22x y ->-, 即22x y <,即x y >,所以33x y >成立,当0x =时,>x x y y 要想成立,0y <,此时33x y >成立, 当0y =时,>x x y y 要想成立,0x >,此时33x y >成立, 综上,33x y >成立,所以选项B 正确; 对于选项C,1123,23,x y xy x y+≤+≤ 2222222()12,122x y x y x y x y xy ∴+≤∴+≤-,()()222333,929x y xy x y xy x y -=+-=∴,22332292122x y x y xy x y xy +=≤-∴+,即2291240x y xy -+≤,即2(32)0xy -≤,此时若想成立,23xy =,故选项C 正确; 对于选项D,414122x y x y x x y x y x y x y+-++=++++-+- 4422222x y x y x y x y +++≥⋅=++当且仅当42x y x y+=+,即2x y +=, 112222x y x y x y x y--+≥⋅=--当且仅当12x y x y-=-,即2x y -=, 413222x y x y x y x y+-∴+++≥+-当且仅当222x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩即322x y ==,故41++≥+-x x y x y选项D 正确, 故选:BCD. 13．>【分析】化简得到503m n -=>，得到答案. 【详解】4255m n m n +-=+，故335m n -=，即503m n -=>，故m n >. 故答案为：>14．m 3>m 2－m ＋1## m 2－m ＋1<m 3 【分析】应用作差法求比较大小即可.【详解】∵m 3－(m 2－m ＋1)＝m 3－m 2＋m －1＝m 2(m －1)＋(m －1)＝(m －1)(m 2＋1)，又m >1， ∴(m －1)(m 2＋1)>0，即m 3>m 2－m ＋1. 故答案为：m 3>m 2－m ＋1.15．()*,,2355yx z x y z N y z ⎧≤≤⎪∈⎨⎪+≥⎩【分析】根据已知条件可得出不等式组.【详解】由题意可得()*,,2355yx z x y z N y z ⎧≤≤⎪∈⎨⎪+≥⎩． 故答案为：()*,,2355yx z x y z N y z ⎧≤≤⎪∈⎨⎪+≥⎩． 16．12##0.5 【分析】利用基本不等式得到a b +≤a b c +-转化为a b c c +-，利用二次函数求出最大值.【详解】因为()()2222222a b a ab b a b +=++≤+，所以a b +a b +≤所以a b c c +-≤.因为221a b c +=≤，所以01c ≤≤，所以01≤≤.因为212a b c c +-≤=-+⎭，=a b c +-取得最大值12.故答案为：12.17．(1)最小值94，当x ，y 满足43x y ==时取得最小值. (2)实数M 的取值范围是{}|7M M ≤.【分析】（1）将12x y +化为()12421x y x y ⎛⎫⨯+ ⎝+⎪⎭，展开后由基本不等式进行求解； （2）将234x x x++化为43x x ++，使用基本不等式求出最小值即可求解 【详解】（1）∵24x y +=， ∴()1211212221444x y x y x y y x x y ⎛⎫⎛⎫+=⨯+=⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎝+⎭⎭， ∵0x >，0y >，∴20x y >，20y x>， ∴由基本不等式，有22222244x y x y y x y x+≥⋅， 当且仅当22x y y x =，即43x y ==时，等号成立， ∴()121221914144444x y x y y x ⎛⎫+=⨯+++≥++= ⎪⎝⎭， 即12x y +的最小值为94，当且仅当43x y ==时，取得最小值. （2）由已知， 23443x x x x x++=++， 当0x >时，由基本不等式，有442244x x x x +≥⋅， 当且仅当4x x=，即2x =时等号成立， ∴23443437x x x x x++=++≥+=， 即已知0x >，当且仅当2x =时，234x x x ++取最小值，i 2m n734x x x ⎛⎫= ⎪++⎝⎭， 又∵234x x M x++≤恒成立， ∴min2734M x x x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭++，∴实数M 的取值范围是{}|7M M ≤.18．（1）3 ；（2）9+．【分析】（1）由题得261x y x +=-，又得8(1)31x y x x +=-++-即可解决； （2）令1t x =-，得27101891x x t x t++=++-即可解决. 【详解】由题得，正数x y ，满足26x y xy ++=，因为26x y xy ++=， 所以2601,10x y x x x +⎧=>⎪⇒>-⎨⎪>⎩所以26882(1)333;111x x y x x x x x x ++=+=++=-++≥=--- 当且仅当8(1)1x x -=-，得2(1)8x -=，即1x =+时，等号成立； 所以x y +的最小值为3.（2）因为1x >，所以10x ->，令1t x =-，所以0t >，所以222710(1)7(1)10918189991x x t t t t t x t t t ++++++++===++≥=+-当且仅当t =1x =+所以1x >时，27101x x x ++-的最小值为9+ 19．12【分析】利用换元法将3x -换成(0)t t >（要注意变量的取值），则函数变成96y t t=++，利用均值不等式即可求解.【详解】设3(0)t x t =->，则3x t =+， 所以22(3)963x t y t x t t+===++-612≥=，（当且仅当9t t =时，即3t =，也即6x =时取等号） 所以23x y x =-的最小值为12．20．(1)最小值为322+1222x y ++==(2)最小值为4，此时2x y ==.【分析】（1）变形得到11122x y+=，利用基本不等式“1”的妙用，求出最小值及此时,x y 的值； （2）变形得到()()262xy x y x y =+++，利用()24x y xy +≤得到关于()()()22322x y x y x y ++≤++，求出x y +的最小值及此时,x y 的值. 【详解】（1）0a =时，2xy x y =+，因为0,0x y >>， 所以11122x y+=， 故()22242411232322122x y x y x y x y y x y x y x ⎛⎫+=+=+++≥+⋅+ ⎪⎝⎭+ 当且仅当2x y y x =，即1222x y ++= （2）12a =时，()22122xy x y x y =+++， 变形为()()2242xy x y x y =+++，即()()22622xy xy x y x y =++++，()()262xy x y x y =+++， 其中()2362x y xy +≤， 故()()()22322x y x y x y ++≤++， 因为0,0x y >>，解得：4x y +≥，当且仅当2x y ==时，等号成立，所以x y +的最小值为4，此时2x y ==.21．（1）5313a b <+<，2213a b <-<，17a b<<；（2）证明见解析. 【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解；（2）利用基本不等式的性质可知222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，从而可得222a b c ab bc ac ++≥++，再结合()21a b c ++=即可得证.【详解】（1）27a <<，12b <<，4214a ∴<<，336b <<，21b -<-<-，1112b <<， 5313a b ∴<+<，2213a b <-<，17a b<<. 故5313a b <+<，2213a b <-<，17a b <<. （2）证明：由1a b c ++=，两边平方得2222221a b c ab bc ac +++++=， 根据基本不等式有222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， 当且仅当13a b c ===时等号成立， 将上述3个不等式相加得()2222222a b c ab bc ac ++≥++，即222a b c ab bc ac ++≥++，所以2221222333a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++， 整理得13ab bc ca ++≤，当且仅当13a b c ===时等号成立.22．当01a <≤时，x =1a >时，8x =时总价最低【分析】根据题意表达出总造价()768001200,08a y x x x =+<≤，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可. 【详解】由题意，正面长为48a x 米，故总造价48400421504a y x x =⨯⨯+⨯⨯，即()768001200,08a y x x x=+<≤.由基本不等式有768001200a y x x =+≥768001200a x x =，即x =.故当8，即1a ≤，x =8，即1a >时，由对勾函数的性质可得，8x =时总价最低；综上，当01a <≤时，x =1a >时，8x =时总价最低.。

2.2基本不等式同步测试卷一、单选题1．已知1x >，则421y x x =+-的最小值为（ ）A ．B ．2C ．1D ．22．已知0x >，0y >，21x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．6B ．5C ．3+D ．3．0ab >是2b aa b +>的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，R b ∈，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是（ ）A ．a b +≥B ．2a bb a+≥C ．2a b +≥D ．222a b ab +>5．已知0a >，则41a a -+的最小值为（ ）A ．1-B ．3C ．4D ．56．已知x >0，y >0，且xy =10，则85x y+的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．67．若a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是（ ） A ．29B ．18C ．14D ．128．下列函数中最小值为4的是（ ）A ．14y x x =+B ．当0x >时，2251x x y x ++=+C ．当32x <时，12123y x x =-+- D ．y =二、多选题9．设a ＞0，b ＞0，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．473a a +≥- B ．22111a a +≥+ C 2≥ D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10．已知x ，y 为正数，且1xy =，m x y =+，19n x y=+，下列选项中正确的有（ ）A ．m 的最小值为2B ．n 的最小值为6C ．mn 的最小值为16D ．m n +的最小值为511．已知正数,x y 满足2x y +=，则下列选项不正确的是（ ） A ．11x y+的最小值是2B ．xy 的最大值是2C ．22x y +的最小值是4D ．()1x y +的最大值是9412．给出下面四个推断，其中正确的为（ ）A ．若,(0,)a b ∈+∞，则2b aa b +≥B ．若4ab =，则4a b +≥C ．若0,0a b >>，则11(2)a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭最小值为D ．若0,0a b m n >>>>，则b b n b m a a n a m++<<++ 三、填空题13．对于43(0)y x x x=+>，y 取最小值时x 的值为________．14．已知正实数a ，b 满足24a b +=，则ab 的最大值是___________.15．已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是___________.16．不等式2201x m x ++>-对一切(1,)x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 四、解答题17．（1）已知102x <<，求()12y x x =-的最大值；（2）已知3x >，求43y x x =+-的最小值． 18．（1）若实数1x >，求11x x +-的最小值，并求此时x 的值；（2）若0x <，求4x x+的最大值，并求此时x 的值.19．（1）已知0x >，0y >，且231x y +=，求xy 的最大值；（2）已知0x >，求212x x y x++=的最小值.20．（1）已知a 、b R ∈且0a >，0b >且41a b +=，求ab 的最大值；（2）已知x 、y R ∈且0x >，0y >且9x y xy +=，求x y +的最小值．21．（1）已知2x >，求42x x +-的最小值； （2）若0x >时，求161x x--的最大值.22．（1）若0,0,31,x y x y >>+=求113x y+的最小值．（2）已知01,x <<求(43)x x -的最大值及取得最大值时x 的值；2.2基本不等式同步测试卷答案1．B 【详解】因为1x >，所以10x ->，所以4422(1)22211y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当42(1)1x x -=-，即1x =时取等号，所以421y x x =+-的最小值为2， 故选：B 2．C 【详解】因为0x >，0y >，21x y +=，则()(111)333122y x x y y y y x x x +=+=++≥+++当且仅当2y xx y =时，即x y ==时，等号成立，所以11x y+的最小值为3+故选：C. 3．B 【详解】解法一：当1a b ==时，满足10ab =>，但2b a a b +=，2b a a b +>不成立，故0ab >是2b aa b +>的不充分条件；当0ab <时02b a a b +<<，2b a a b +>不成立，当0ab =时b a a b +无意义，即2b aa b +>不成立，故0ab >是2b aa b+>的必要条件；综上，0ab >是2b aa b +>的必要不充分条件.解法二：当0ab >时，0,0b a a b >>，2b a a b +≥，当且仅当a b =时取等号， 所以0ab >是2b aa b+>的不充分条件；若2b a a b +>，则222b a b a a b ab ++=>，所以0ab >,故0ab >是2b a a b +>的必要条件； 综上，0ab >是2b aa b +>的必要不充分条件.故选：B. 4．B 【详解】对于A ，取1a =-，2b =-，则a b +≥,故选项A 错误;对于B ，因为b a 与a b 同号，所以a b a b b a b a +=+2≥=，当且仅当a b =时取等号，故选项B 正确；对于C ：取1a =-，2b =-，则2a b +C 不正确； 对于D ：取1a =，1b =，则222a b ab +=，故222a b ab +>不成立，故选项D 不正确； 故选：B. 5．B 【详解】由题意，0a >，根据均值不等式44111413a a a a -+=+-≥=-= 当且仅当4a a=，即2a =时等号成立 故选：B 6．C 【详解】因为x >0，y >0，且xy =10，所以85x y +≥， 当且仅当85=x y 即54,2x y ==时取等号，所以85x y+的最小值为4，故选：C 7．B 【详解】因为a ，b 都为正实数，21a b +=，所以221212228ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,42a b 时，ab 取最大值18. 故选：B 8．B 【详解】 对于A ，14y x x=+，如果0x <时，0y <，故A 不符合题意；对于B ，因为()()221425414111x x x y x x x x ++++===++≥=+++， 当且仅当()411x x +=+，即1x =时取等号，故B 正确； 对于C ，因为()()11212322202323y x x x x ⎡⎤=-+=---++≤-+=⎢⎥---⎣⎦， 当且仅当()()12323x x --=--，即1x =时取等号，所以其最小值为0，故C 错误；对于D ，4y ≥=无解，这表明最小值4取不到，故D 错误． 故选：B ． 9．BCD 【详解】对于A ：因为0a >，所以3a -的符号不定， 显然，当2a =时，44227323a a +=+=-≥--不成立， 即选项A 错误；对于B ：因为0a >，所以211a +>，所以222211111111a a a a +=++-≥=++成立， （因为211a +>，所以22111a a +≠+，即不能取到等号）， 即选项B 正确；对于C ：因为0a >，0b >，所以0a b +≥，2≥（当且仅当0a b =>时取等号）， 即选项C 正确；对于D ：因为0a >，0b >，所以114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（当且仅当1a a =且1b b=，即1a b ==时取等号）， 即选项D 正确. 故选：BCD. 10．ABC 【详解】由题意，实数x ，y 为正数，且1xy =，可得1y x=，可得2m x y =+≥，当且仅当1x y ==时，等号成立，所以m 的最小值为2， 所以A 正确，由19196n x x y x =+=+≥，当且仅当19x x =，即1,33x y ==时，等号成立，所以n 的最小值为6，所以B 正确；由199()()101016y x y x mn x y x y =+=++≥+=+，当且仅当9y xx y =时，即x y 时，等号成立， 即mn 的最小值为16，所以C 正确； 由1xy =，可得1y x=，则19129110m n x x x y x x y x x x +=++=++=+≥++当且仅当x y ==m n +的最小值为D 不正确. 故选：ABC. 11．BC 【详解】因为正数,x y 满足2x y +=，由()1111111222222y x x y x y x y x y ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯++=⋅++≥+= ⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝，当且仅当y xx y=时，即1x y ==时，等号成立，所以A 正确；由x y +≥2≤，即1xy ≤，当且仅当1x y ==时成立，所以B 错误； 由222()242422x y xy xy x y =+-=-≥-=+，当且仅当1x y ==时成立，所以C 错误； 由正数,x y 满足2x y +=，可得(1)3x y ++=，则()221391224x y x y ++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1x y =+时，即31,22x y ==时，等号成立，即(1)x y +的最大值是94，所以D 正确.故选：BC. 12．AD 【详解】A.因为,(0,)a b ∈+∞，则2b a a b +=，当且仅当 b a a b =，即 a b =时，等号成立，故正确；B.若2,2a b =-=-，则4a b +=-，故错误；C. 因为0,0a b >>，则112(2)333b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b=，即 a =时，等号成立，故错误； D.因为0,0a b m n >>>>，则()()()()()()0,0b a n b a n m b b n b m b n a a n a a n a m a n a m a n ---+++-=<-=>++++++，故正确. 故选：AD13 【详解】因为0x >，所以由均值不等式可得，44343y x x x x=+≥=，当且仅当43x x =时，即x =时，43y x x =+取得最小值14．2 【详解】由正实数a ，b 满足24a b +=，可得2211212222222a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⨯= ⎪⎝⎭.当且仅当22a b ==时，ab 取得最大值2. 故答案为：2 15．16 【详解】因为正实数a ，b 满足196a b+=，所以196a b =+≥1≥，也即1≥ab ， 当且仅当19=a b 时，即1,33a b ==时取等号.因为196a b+=，所以96b a ab +=，所以()()919=9797916a a b a b b b a +++≥+=+=++. 故()()19a b ++的最小值是16. 故答案为：16 16．6m >- 【详解】解：不等式2201x m x ++>-化为：22(1)21x m x -+>---， 1x >，222(1)22(1)411x x x x ∴-+⨯=--，当且仅当2x =时取等号． 不等式2201x m x ++>-对一切(1,)x ∈+∞恒成立， 24m ∴--<，解得6m >-， 故答案为：6m >-.17．（1）最大值为18；（2）最小值为7．【详解】 （1）因为102x <<，所以120x ->， 所以()()()()2212111122122228x x y x x x x +-⎡⎤=-=⋅⋅-=⎢⎥⎣⎦≤．当且仅当212x x =-即14x =时等号成立， 所以()12y x x =-的最大值为18．（2）因为3x >，所以30x ->，403x >-， 所以()443333y x x x x =+=+-+--37=≥． 当且仅当4333x x x ⎧=-⎪-⎨⎪>⎩即5x =时等号成立，所以43y x x =+-的最小值为7． 18．(1)11x x +-的最小值是3，此时2x =；(2)4x x +的最大值是-4，此时2x =-.【详解】(1)因实数1x >，则11(1)11311x x x x +=-++≥=--，当且仅当111x x -=-时取“=”， 由1x >且111x x -=-解得：2x =， 所以11x x +-的最小值是3，此时2x =； (2)因0x <，则()444x x x x ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当4x x -=-时取“=”，由0x <且4x x-=-解得：2x =-， 所以4x x+的最大值是-4，此时2x =-. 19．（1）124；（2）32. 【详解】（1）21123111236626424x y xy x y +⎛⎫=⋅⋅≤⋅=⨯=⎪⎝⎭， 当且仅当1232x y ==时等号成立.（2）211113112222x x y x x x ⎛⎫++⎛⎫==++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1,1x x x==时等号成立. 20．（1）116；（2）16. 【详解】（1）因为a 、b R ∈且0a >，0b >，由基本不等式可得14a b =+≥= 所以，116ab ≤，当且仅当4b a =时，等号成立， 因此，ab 的最大值为116； （2）因为x 、y R ∈且0x >，0y >且9x y xy +=，则9191y x xy x y +=+=，所以，()199101016x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当3y x =时，等号成立，故x y +的最小值为16. 21．（1）42x x +-的最小值为6；（2）161x x --的最大值为7-. 【详解】（1）由2x >，得20x ->，所以44222622x x x x +=-++≥=--， 当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立，所以42x x +-的最小值为6；（2）由0x >，得16161117x x x x ⎛⎫--=-+≤-- ⎪⎝⎭，当且仅当16x x =，即4x =时等号成立，所以161x x--的最大值为7-. 22．（1）4；（2）最大值为43，此时23x =. 【详解】解：（1）因为0,0,31,x y x y >>+=所以()111134332+33x y x x y x y x y y +=⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当33y x x y =，即1126x y ==，时，取等号，所以113x y+的最小值为4； （2）因为01,x <<所以213+(43)4(43)323x x x x -⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号，所以(43)x x -的最大值为43，此时23x =.。

高一数学不等式试题1.设则xy的最大值为 ( )A．2B．4C．D．【答案】A【解析】略2.设，且，则（）A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】由题意，，又，则，所以，则，，由且，可得，故3.已知变量，满足则的最小值为__________．【答案】【解析】如图，当目标函数过点时，函数取得最小值，,目标函数的最小值是．【考点】线性规划4.设满足约束条件，则的最大值为（）A．-8B．3C．5D．7【答案】D【解析】不等式表示的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，当过点时取得最大值7【考点】线性规划5.已知实数x、y满足（0<a<1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．>C．D．【答案】D【解析】，是减函数，所以当时，，所以当时，只有成立，而当时，不能确定与的大小，以及与的大小．【考点】不等式的性质6.若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，恒成立，当，解得，所以【考点】含参不等式恒成立问题7.若实数，满足，则的取值范围是（用区间表示）【答案】【解析】且，设，，则，所以且，所以且．所以的取值范围是．【考点】1．基本不等式；2．三角换元求取值范围．8.设的最小值为_________．【答案】【解析】正数满足，，当且仅当时取等号，所以所求的最小值为。

【考点】基本不等式9.下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是A．（1，+∞）B．（0,1）C．（-1,0）D．（-∞，-1）【答案】D【解析】当时，不等式为显然无解，当时，不等式为，即，所以不等式解集为（-∞，-1），故选择D【考点】解不等式10.解关于的不等式：【答案】详见解析【解析】解含参的一元二次不等式，第一步先讨论二次项前的系数，此题为，所以先不讨论，第一步，先将式子分解因式，整理为，第二步，，，讨论两根的大小关系，从而写出解集的形式．试题解析：原不等式可化为：，（1）当－1＜a＜0时，，所以x＞－或x＜1。

2.2　基本不等式（同步检测）一、选择题1.(多选)已知实数a ，b ，下列不等式一定正确的有( )A.a ＋b 2≥abB.a ＋1a ≥2C.|ab ＋ba|≥2 D.2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22.(多选)下列条件可使b a ＋ab ≥2成立的是( )A .ab>0 B.ab<0C .a>0，b>0D.a<0，b<03.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.44.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m5.“ab ＜a 2＋b 22”是“a ＞b ＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为（ ）A.2B.3C.22D.237.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一8.已知a>1，则a ＋12，a ，2a a ＋1三个数的大小顺序是( )A.a＋12<a<2aa＋1B.a<a＋12<2aa＋1C.2aa＋1<a<a＋12D.a<2aa＋1≤a＋129.若－4<x<1，则y＝x2－2x＋22x－2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－1二、填空题10.已知x＞3，则x＋4x－3的最小值为________11.设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．13.二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．三、解答题14.设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.已知a，b，c都是正数，且abc＝1，证明：1a＋1b≥2c．16.已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.CD　解析：当a＜0，b＜0时，a＋b2≥ab不成立；当a＜0，时，a＋1a≥2不成立；因为|a b＋b a|＝|a b|＋|b a|≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．2.ACD　解析：当且仅当ba＝ab>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．3.C　解析：由ab＝1a＋2b≥22ab，得ab≥22，当且仅当1a＝2b时取“＝”．4.C　解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．5.B　解析：∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜a2＋b22⇒a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0⇒a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．6.A　解析：∵x＋y＋xy＝3，∴y＋1＝4x＋1，∴x＋y＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝y＝1时取等号．故选A．7.A　解析：由a＋b≥2ab可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤(c＋d2)2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．8.C　解析：当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．9.D　解析：y＝x2－2x＋22x－2＝12[(x－1)＋1x－1]，又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．故y＝－12[－(x－1)＋1－(x－1)]≤－1．当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时等号成立．故选D．二、填空题10.答案：7解析：∵x＞3，∴x－3＞0，4x－3＞0．∴x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2(x－3)·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3，即x＝5时，x＋4x－3取得最小值7．11.答案：0　解析：y＝x＋22x＋1－32＝(x＋12)＋1x＋12－2≥2(x＋12)·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋1 2＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0．12.答案：25　解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)2]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y取最大值25．13.答案：5，8　解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－(x＋25x)，且x＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以(b a＋a b)＋(c a＋a c)＋(c b＋b c)≥6，当且仅当b a＝a b，c a＝a c，c b＝b c，即a＝b＝c时，等号成立，所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以c＝1 ab．所以1a＋1b≥21ab＝2c，当且仅当1a＝1b，即a＝b＝1c时取等号．故1a＋1b≥2c成立．16.解：(1)由题意知x，y为正数，xy－8＝4x＋y≥24xy＝4xy，当且仅当4x＝y，即x＝1＋3，y＝4＋43时等号成立，则(xy)2－4xy－8≥0，解得xy≥2＋23或xy≤2－23(舍去)，所以xy≥(2＋23)2＝16＋83，即xy的最小值为16＋83．(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝y＋8 y－4，因为x＞0，y＞0，所以y＞4，则x＋y＝y＋8y－4＋y＝y＋12y－4＋1＝(y－4)＋12y－4＋5．因为y＞4，y－4＞0，12y－4＞0，(y－4)＋12y－4＋5≥43＋5，即x＋y≥43＋5，当且仅当y－4＝12y－4，即y＝4＋23时等号成立．所以x＋y的最小值为5＋43．。

高一数学不等式试题1.下列命题不正确的是A．B．C．D．【答案】D【解析】略2.已知实数x，y满足，则z＝4x＋y的最大值为（）A．10B．8C．2D．0【答案】B【解析】根据条件，可知，因为，所以两不等式相减得到，所以最大值为8【考点】函数最大最小值3.已知，．（1）当时，①解关于的不等式；②若关于的不等式在上有解，求的取值范围；（2）若，证明不等式．【答案】（1）①时，时，，时，②（2）详见解析【解析】（1）代入转化为关于的一元二次不等式，结合二次不等式的解法求解时需要对参数分情况讨论，从而确定方程的两根大小关系；不等式在上有解中将不等式变形分离出，转化为的形式，转化为函数求值域；（2）首先将代入化简转化为用表示的函数式，利用求得的范围，进而求得函数的最小值试题解析：（1）①不等式代入整理为，当时，时，，时，；②整理得有解，当时最大值为5，取值范围是（2），所以，即【考点】1．一元二次不等式解法；2．不等式与函数的转化；3．函数求最值4.若是正实数，且则的最小值为．【答案】【解析】将化简得，令，则。

①，因为是正实数，所以，则对于①式当时有最小值．【考点】1．换元法；2．二次函数最值；5.关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】关于x的不等式的解集是，所以，所以不等式可化为，从而确定解集；【考点】1．一元二次不等式的解法；2．一元一次不等式的解集与系数的关系；6.已知变量，满足则的最小值为__________．【答案】【解析】如图，当目标函数过点时，函数取得最小值，,目标函数的最小值是．【考点】线性规划7.若实数x，y满足则z＝的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出可行域如图．，表示可行域内的点与点连线的斜率．图中，所以，由图分析可知或．所以或．故D正确．【考点】1线性规划；2直线的斜率．8.（8分）关于的不等式，（1）已知不等式的解集为，求a的值；（2）解关于的不等式．【答案】（1）；（2）时原不等式解集为；时原不等式解集为；时原不等式解集为；时原不等式解集为；时原不等式解集为．【解析】（1）由不等式的解集可知，2是方程的两根，由韦达定理可求得的值．（2）讨论二次项系数是否为0，由时的根为或，讨论两根的大小，并注意抛物线开口方向．结合一元二次函数图像解不等式．试题解析：解：因为的解集为，所以方程的两根为或，所以，解得．（2），当时原不等式变形为，解得；当时，的根为或．时，或，时，，时，，时，综上可得时原不等式解集为；时原不等式解集为；时原不等式解集为；时原不等式解集为；时原不等式解集为．【考点】一元二次不等式．9.（12分）已知函数，（1）当时，解不等式；（2）比较的大小；（3）解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析【解析】（1）当时，将不等式分解因式，得到解集；（2）比较大小，可以做差，然后通分，分解因式，然后讨论的范围，比较两数的大小；（3）第一步，先分解因式，第二步，根据上一问的结果得到与的大小关系，得到解集．试题解析：解：（1）当时，有不等式，∴，∴不等式的解集为：；（2）∵且∴当时，有当时，有当时，；（3）∵不等式当时，有，∴不等式的解集为；当时，有，∴不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【考点】1．解二次不等式；2．比较大小．10.已知不等式的解集为，那么=（）A．3B．C．-1D．1【答案】B【解析】因为不等式的解集为，所以，，故选B．【考点】分式不等式的解法11.如果，那么下面不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】取a=-2,b=-1,c=1,代入选项进行逐一验证得选项D正确，故选D．【考点】不等式的基本性质12.已知，则_______【答案】23【解析】，两边平方得【考点】代数式求值13.已知实数满足,则的最大值是 .【答案】13【解析】作出二元一次不等式组所表示的可行域如图所示：根据图像可知当经过直线与直线的交点时，取最大值时，最大值为【考点】二元一次不等式的线性规划问题；14.（本小题满分16分）设函数f（x）＝x2－2tx＋2，其中t∈R．（1）若t＝1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t＝1，且对任意的x∈[a，a＋2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）－f（x2）|≤8，求t的取值范围．【答案】（1） [1，10] （2） [－1，1] （3） [4－2 ，2 ]【解析】（1）若t=1，则f（x）＝x2－2tx＋2，根据二次函数在[0，4]上的单调性可求函数的值域（2）由题意可得函数在区间[a，a+2]上，[f（x）]max≤5，分别讨论对称轴x=t与区间[a，a+2]的位置关系，进而判断函数在该区间上的单调性，可求最大值，进而可求a的范围（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）－f（x2）|≤8等价于M-m≤8，结合二次函数的性质可求试题解析：因为f（x）＝x2－2tx＋2＝（x－t）2＋2－t2，所以f（x）在区间（－∞，t]上单调减，在区间[t，∞）上单调增，且对任意的x∈R，都有f（t＋x）＝f（t－x），（1）若t＝1，则f（x）＝（x－1）2＋1．①当x∈[0，1]时．f（x）单调减，从而最大值f（0）＝2，最小值f（1）＝1．所以f（x）的取值范围为[1，2]；②当x∈[1，4]时．f（x）单调增，从而最大值f（4）＝10，最小值f（1）＝1．所以f（x）的取值范围为[1，10]；所以f（x）在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．（2）“对任意的x∈[a，a＋2]，都有f（x）≤5”等价于“在区间[a，a＋2]上，[f（x）]max≤5”．若t＝1，则f（x）＝（x－1）2＋1，所以f（x）在区间（－∞，1]上单调减，在区间[1，∞）上单调增．当1≤a＋1，即a≥0时，由[f（x）]max＝f（a＋2）＝（a＋1）2＋1≤5，得－3≤a≤1，从而0≤a≤1．当1＞a＋1，即a＜0时，由[f（x）]max＝f（a）＝（a－1）2＋1≤5，得－1≤a≤3，从而－1≤a＜0．综上，a的取值范围为区间[－1，1]．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）－f（x2）|≤8”等价于“M－m≤8”．①当t≤0时，M＝f（4）＝18－8t，m＝f（0）＝2．由M－m＝18－8t－2＝16－8t≤8，得t≥1．从而t∈Æ．②当0＜t≤2时，M＝f（4）＝18－8t，m＝f（t）＝2－t2．由M－m＝18－8t－（2－t2）＝t2－8t＋16＝（t－4）2≤8，得4－2≤t≤4＋2．从而4－2≤t≤2．③当2＜t≤4时，M＝f（0）＝2，m＝f（t）＝2－t2．由M－m＝2－（2－t2）＝t2≤8，得－2≤t≤2．从而2＜t≤2．④当t＞4时，M＝f（0）＝2，m＝f（4）＝18－8t．由M－m＝2－（18－8t）＝8t－16≤8，得t≤3．从而t∈Æ．综上，a的取值范围为区间[4－2 ，2 ]．【考点】1．二次函数在闭区间上的最值；2．二次函数的性质15.已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为．【答案】【解析】二次函数的对称轴为，所以个整数为：，，．所以，解得．【考点】一元二次不等式整数解16.若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】关于的不等式在区间上恒成立等价于在时，函数的图像恒在函数的图像的下方．从上图易知且，即，解得．【考点】恒成立问题求参数范围．【方法点睛】恒成立问题求参数范围，常常把参数移到一边转化为求最值，但是本题将参数移到一边比较困难，就是移到一边了，另一边的最值也难于计算，所以考虑数形结合．如上图，从图中能直接看出满足题意的条件且，从而求出参数范围．本题使我们感受到数形结合的魅力所在．17.（2015秋•宝山区期末）解不等式组：．【答案】原不等式组的解集为（1，2）．【解析】由条件利用分式不等式、绝对值不等式的解法，等价转化，求得x的范围．解：不等式组，即，即，求得 1＜x＜2，即原不等式组的解集为（1，2）．【考点】其他不等式的解法．，b=a sinα，c=a cosα，则（）18.（2015秋•黄山期末）已知α∈（0，），a=logaA．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【答案】D【解析】根据指数函数对数函数三角图象和性质即可判断解：∵α∈（0，），∴0＜sinα＜cosα＜1，∴a=log＜0，a∵y=a x为减函数，∴a sinα＞a cosα＞0，∴b＞c＞a，故选：D【考点】指数函数的图象与性质．19.设实数，满足则的取值范围是．【答案】．【解析】作出可行域，令，则由的几何意义可知取点时，取得最大值，取点时，取得最小值，则，又，由及单调递增，可知单调递增，故，，所以的取值范围是．【考点】1、线性规划；2、函数单调性求最值．【思路点睛】本题主要考查目标函数求取最值（范围）问题，属困难题．由题给不等式组作出相应可行域，取目标函数中，由的几何意义：可行域中的点与原点的连线斜率，可知，取得最大值和最小值的最优解分别为点和点，从而，此时目标函数为，结合函数单调性可求．20.若关于x的不等式（2x－1）2<ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】关于x的不等式（2x－1）2<ax2等价于，其中且有，故有，不等式的解集为，所以解集中一定含有1,2,3，可得，所以，解得.【考点】含参数的一元二次方程的解法.21.下列四个不等式中，解集为的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A．，得，判别式，所以此不等式的解集不为；对于B．，判别式，所以此不等式的解集为；对于C．，判别式，所以此不等式的解集为，不为；对于D．，得：判别式，所以此不等式的解集不为；故选B．【考点】一元二次不等式．22.对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．－24＜k＜0B．－24＜k≤0C．0＜k≤24D．k≥24【答案】B【解析】当时不等式即为，不等式恒成立，当时，若不等式恒成立，则，即，即，综合知，故选择B．【考点】二次函数与二次不等式.23.已知c＜d，a＞b＞0，下列不等式中必成立的一个是（）A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ad＜bc D．＞【答案】B【解析】由题意可得﹣c＞﹣d，且 a＞b，相加可得 a﹣c＞b﹣d，从而得出结论．解：∵c＜d，a＞b＞0，∴﹣c＞﹣d，且 a＞b，相加可得a﹣c＞b﹣d，故选：B24.若x＞0，y＞0，且＋＝1，则xy有（）A．最大值64B．最小值C．最小值D．最小值64【答案】D【解析】因为，所以（当且仅当，即时取等号），即；故选D．【考点】基本不等式．【方法点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题；在利用基本不等式求最值时，要注意其适用条件（一正，二定，三相等）的验证，陪凑“定和或定积”的解题的关键，也是难点，而验证“相等”是学生易忽视的问题，如“由判定的最小值为2”是错误的，因为是不成立的.25.如果a＜b＜0，那么下面一定成立的是( )A．ac＜bc B．a﹣b＞0C．a2＞b2D．【答案】C【解析】利用不等式的性质即可得出．∵a＜b＜0，∴-a＞-b＞0，∴a2＞b2．故选C．【考点】不等式比较大小．26.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】，∴∵恒成立，∴，求得-4＜m＜2【考点】函数恒成立问题27.以下列函数中，最小值为的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由不等式性质可知，当且仅当即时等号成立，取得最小值2【考点】不等式性质28.已知，且，则的值是（）A．20B．C．D．400【答案】B【解析】由已知可得【考点】指数式对数式化简及化简29.解关于的不等式：.【答案】当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.【解析】不等式中含有参数，对分和两种情况讨论，当时，原不等式为，解得即可，当时，原不等式化为一元二次不等式，再对分和两种情况分别求解.试题解析：原不等式整理得.当时，原不等式为，∴；当时，原不等式为，∴当时，原不等式可化为，当时，原不等式可化为，当时，原不等式为，原不等式的集为或，若，则，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.综上，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.【考点】不等式的解法.30.已知，，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】【考点】比较大小31.已知函数满足，且．（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）若不等式的解集为，求实数的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由可得到关于的关系式，由可得到关于的另一关系式，解方程组得到的值；（Ⅱ）将不等式变形，从而得到关于的方程，求解其值试题解析：（Ⅰ）∵满足．∴，即，则=0，即，∵，∴，得，即实数，的值为，；…………6分（Ⅱ）∵，，∴不等式的解集为（0，2），则＞0，由得，由，得．…………12分【考点】抽象函数运算及不等式解法32.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因，故，解之得或，故选A.33.设，且b＞0，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解答：∵a+b<0，且b>0，∴−a>b>0，∴a2>b2.本题选择C选项.34.在平面直角坐标系xOy中，与原点位于直线3x+2y+5=0同一侧的点是（）A．（-3，4）B．（-3，-2）C．（-3，-4）D．（0，-3）【答案】A【解析】当时，，对于当时，，故满足，对于当时，，故不满足，对于，故不满足，对于时，，故不满足，故选A.35.若，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，因此A错，B对；取，可得，故错误；.取，可得，故错误，故选B.36.不等式的解集是_____________.【答案】【解析】由，得，解得或，故不等式的解集是，故答案为.37.（2015年苏州B14）若，，，则的取值范围为________．【答案】【解析】因为，解得，当时等号成立。

2.2 基本不等式同步练习一．选择题1．（2021秋•兰州期末）已知x，y∈R，且x＞0，y＞0，x+y＝2，那么xy的最大值为（）A．B．C．1D．22．（2021秋•龙华区校级期末）函数，x∈[2，5]的最小值是（）A．5B．C．D．3．（2021秋•南山区期末）已知x＞0，则的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．24．（2021秋•云南期末）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（）A．81m2B．36m2C．18m2D．9m25．（2021秋•天河区期末）设a＞0，b＞0，若ab﹣5＝4a+b，则ab的最小值是（）A．5B．9C．16D．256．（2021秋•大同期末）若正数a，b满足a+b＝2，则+的最小值是（）A．1B．C．9D．167．（2021秋•会宁县期末）已知a＞0，b＞0，则（a+b）（）的最小值为（）A．32B．36C．39D．458．（2021秋•怀仁市期末）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（2+∞）二．多选题9．（2021秋•甘井子区校级期末）设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝1，那么（）A．a+b有最小值2（+1）B．a+b有最大值（+1）2C．ab有最大值5+2D．ab有最小值3+210．（2021秋•西湖区校级期末）已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（）A．B．的最大值为C．a+2b的最大值为2D．11．（2021秋•天河区期末）下列几种说法中，正确的是（）A．若a＞b＞0，c＜0，则B．若x＞0且x≠1，则log2x+log x2的最小值是2C．x＞2时，的最小值是D．取得最大值时，x＝512．（2021秋•荔湾区校级期末）设a＞0，b＞0，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且|AC|＝a，|CB|＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C 作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．取弧的中点为F，连接FC，则在图中能体现出的不等式有（）A．B．C．D．三．填空题13．（2021秋•辽源期末）若正实数a，b满足ab＝1，则++的最小值为．14．（2021秋•南开区期末）已知x＞0，y＞0，则的最小值为．15．（2021秋•嘉定区期末）已知实数x、y满足x+2y＝3，则2x+4y的最小值为．16．（2021秋•南京期末）已知正实数x，y满足3x2+4xy+y2＝2，则9x+5y的最小值为．四．解答题17．（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求+的最小值；（2）求a2+4b2+5ab的最大值．18．（2021•江西模拟）设a＞0，b＞0，且a+b＝2ab．（1）若不等式|x+1|+2|x|≤a+b恒成立，求实数x的取值范围；（2）当实数a，b满足什么条件时，a﹣b+取得最小值，并求出最小值．19．（2021秋•桂林月考）已知a＞0，b＞0．（1）若，求证：a+b≥16；（2）求证：a+b+1≥++．20．（2021秋•亭湖区校级期中）已知正实数x，y满足等式x+y＝2．（1）若不等式+≥m2+4m恒成立，求实数m的取值范围；（2）求+的最小值．21．（2021秋•雨花区校级月考）解答下列各题．（1）设a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：；（2）设a＞b＞c且恒成立，求实数m的取值范围．22．（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？。

高一数学同步测试（3）绝对值不等式一元二次不等的解法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。

1．不等式1257x <+≤的解集是 （ ）A ．{}21,63x x x -≤<-<≤-或B ．{}21,63x x x -<≤-≤<-或C ．{}21,63x x x -≤≤-≤≤-或D ．{}21,63x x x -<<-<<-或2．设集合{}{}2450,0P x x x Q x x a =--<=-≥，则能使P Q =∅ 成立的a 的值是（ ）A ．{}5a a > B ．{}5a a ≥C ．{}15a a -<<D ．{}1a a >3．不等式3129x -≤的整数解的个数是 （ ）A ．7B ．6C ．5D ．44．不等式3112x x-≥-的解集是 （ ）A ．324x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．324x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或 D ．{}2x x <50xx≥的解集是 （ ）A ．{}22x x -≤≤B ．{}002x x x <<≤或C ． {}2002x x x -≤<<≤或D ．{00x x x ≤<<或6．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装 磁盘，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 （ ） A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种7．已知0a >，不等式43x x a -+-<在实数集R 上的解集不是空集，则a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．1a >C ． 1a ≥D ．2a >8．设集合{}212,12x A x x a B x x ⎧-⎫=-<=<⎨⎬+⎩⎭，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）A ．{}01a a ≤≤B ．{}01a a <≤4(1)01x x +≥-C ．{}01a a <<D ．{}01a a ≤<9．下列不等式：(1)|100001|0x -<，(2)|310000|1x ->-，(3)|3||3|6x x ++-<中，解 集不是空集的有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个10．不等式ax 2 +b x +c>0的解是0<α<x <β，则不等式c x 2－ b x +a >0的解为 （ ） A ．α1<x<β1B ．－β1<x<—α1C ．－α1<x<－β1D ．β1< x<α1二、填空题：请把答案填在题中横线上。

高一数学具体的不等式试题1.记关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q.（1）若a=3,求P（2）若求正数a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】思路分析：（1）解得（2）化简由得得到。

解：（1）由得（2）由得所以，即的取值范围是【考点】集合的概念，集合的运算，简单不等式的解法。

点评：中档题，为进行集合的运算，首先化简集合，明确集合中的元素是什么。

2.不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值是()A．10B．－10C．－14D．14【答案】C【解析】根据题意，由于不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，那么说明了是ax2＋bx＋2=0的两个根，然后利用韦达定理可知则a＋b的值是-14，故选C.【考点】一元二次不等式的解集点评：主要是考查了二次不等式的解集的运用，属于基础题。

3.关于x的不等式：的解集为 .【答案】【解析】根据题意，由于等价于，故可知不等式的解集为。

【考点】不等式的求解点评：主要是考查了不等式的求解，属于基础题。

4.若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】取，可以验证①②③都是正确的，所以正确的有3个.【考点】本小题主要考查不等式的性质的应用.点评：遇到考查不等式性质的题目时，要注意特殊值法的应用，这种方法一般情况下简单有效.5.函数在上满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，当a=0时，显然成立，故排除答案B,C，对于当时，函数为二次函数，那么使得在实数域上函数值小于零，则判别式小于零，开口向下可知得到,解得，综上可知为,选D.【考点】不等式点评：主要是考查了函数性质的运用，属于基础题。

6.不等式的解集是，【答案】【解析】根据题意，由于不等式，故可知答案为【考点】一元二次不等式的解法点评：本试题主要是考查了一元二次不等式的解集的求解，属于基础题。

7.已知关于的不等式的解集是，则 .【答案】【解析】因为，关于的不等式的解集是，所以，a=。

必修一 不等式一、单选题1．（2022·山东滕州·高一期末）“06x π<<”是“1sin 2x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．（2022·四川广元·高二期末（理））命题“x R ∀∈，均有2cos 10x x ++<”的否定为（ ） A ．x R ∀∈，均有2cos 10x x ++≥B ．0x R ∃∈，使得200cos 10x x ++<C ．0x R ∃∈，使得200cos 10x x ++≥D ．x R ∀∈，均有2cos 10x x ++>3．（2011·上海·高考真题（文））若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥4．（2013·重庆·高考真题（文））关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ） A ．52B ．72C ．154D ．1525．（2015·湖南·高考真题（文））若实数,a b 满足12a b+ab 的最小值为A B ．2 C ．D ．46．（2021·全国·高一单元测试）若不等式220ax x c ++<的解集是121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式220cx x a ++≤的解集是. A ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-2，3]D ．[-3，2]7．（2021·福建·福州高新区第一中学（闽侯县第三中学）高一阶段练习）若正实数,a b 满足1a b +=，则 A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C D ．22a b +有最小值28．（2021·全国·高一期中）已知0a >，0b >，若44a b ab +=，则a b +的最小值是（ ）A ．2B 1C ．94D ．529．（2021·湖南·长沙市实验中学高一期中）对x R ∀∈，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥10．（2020·吉林·长春市第二实验中学高一期末） 不等式(x ＋3)2＜1的解集是( ) A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}11．（2022·北京石景山·高一期末）不等式20ax x c -+>的解集为{21}xx -<<∣，则函数2y ax x c =++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2021·全国·高一期中）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为（ ） A ．10-B ．14-C ．10D ．1413．（2021·全国·高一单元测试）若0a <b <，则下列结论中不恒成立的是（ ）A ．a b >B ．11a b> C ．222a b ab +> D ．a b +>-14．（2021·福建·龙岩市第一中学锦山学校高一阶段练习）若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且存在这样的x ，y 使不等式234yx m m +<+有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,4)- B ．(4,1)-C ．()(),41,-∞-+∞ D ．()(),30,-∞-⋃+∞15．（2021·全国·高一专题练习）已知a 、b 、c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不一定能成立的是 A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．22cb ca <D ．()0ac a c -<16．（2021·广西·蒙山县第一中学高二阶段练习（理））“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件17．（2021·贵州金沙·高一阶段练习）“0a b >>”是“1ab>”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件18．（2021·全国·高一专题练习）已知a >1，b >1，记M ＝11a b+，N ，则M 与N的大小关系为（ ） A ．M >N B ．M ＝N C ．M <ND ．不确定19．（2021·江西·上高二中高一阶段练习）不等式111x ≥--的解集为（ ） A ．(],0-∞ B ．(](),01,-∞+∞C ．[)()0,11,+∞D ．[)0,+∞20．（2021·全国·高一课时练习）若“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≥2C ．m ≥3D ．m ≥421．（2021·新疆·哈密市第八中学高一期中）若,a b c d >>，则下列关系一定成立的是（ ） A ．ac bd > B ．ac bc > C ．a c b d +>+D ．a c b d ->-22．（2021·全国·高一单元测试）当01x <<时，141x x+-的最小值为（ ）A ．0B ．9C ．41ee e +- D ．1023．（2022·广东广雅中学高一期末）若命题“22103x x -+<”是命题“x a >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．12a ≥C ．12a ≤D ．1a ≤24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）若0a <，则关于x 的不等式(1)(2)0ax x -->的解集为（ ）A ．12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．1{x x a<或2}x > D ．{2x x <或1}x a>二、多选题25．（2022·辽宁营口·高一期末）下列选项中，满足p 是q 的充分不必要条件的是（ ） A ．:1p x >，:0q x > B ．:2≠p x ，2:4≠q x C ．:0p x =，:0=q xyD ．:p x y >，22:q x y >26．（2021·全国·高一专题练习）已知,a b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）．A ．14abB ．1174ab ab +C 2bD ．11222a b+ 27．（2022·全国·高一期末）若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值2 D ．22a b +有最大值1228．（2021·全国·高一课时练习）解关于x 的不等式：2(24)80ax a x +-->，则下列说法中正确的是（ ）A ．当0a =时，不等式的解集为{}4x x >B ．当0a >时，不等式的解集为{|4x x >或2x a ⎫<-⎬⎭C ．当0a <时，不等式的解集为24x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．当12a =-时，不等式的解集为∅29．（2021·江苏·沛县教师发展中心高一阶段练习）若0a b <<，下列不等式中不成立的是（ ） A ．1ab < B ．11a b< C ．|a|>b - D ．22b a >30．（2021·全国·高一专题练习）设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法中正确的是（ ）A ．124m n ->B ．mn 的最大值为1C 的最小值为2D ．22m n +的最小值为231．（2021·云南·弥勒市一中高一阶段练习）已知,,,a b c d R ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若22ac bc >，则a b > C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若,a b c d >>，则a d b c ->-32．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一期末）设0a >，0b >，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．21a a +> B ．296a a +> C ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题33．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．34．（2021·全国·高一课时练习）函数y R ，则实数k 的取值范围为______．35．（2021·广东北江实验学校高一阶段练习）设0a >，1b >，若2a b +=，则911a b +-的最小值为__________．36．（2017·北京·高考真题（文））已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.37．（2020·江苏镇江·高二期末）不等式2320x x -++>的解集为____________． 38．（2021·全国·高一单元测试）若4x >，1y >，且124xy x y =++，则x y + 最小值是_____．39．（2021·全国·高一单元测试）已知x 、y 都是正数，且满足230x y xy ++=，则xy 的最大值为_________．40．（2021·全国·高一单元测试）已知0x >，则97x x--的最大值为________．41．（2021·云南·曲靖市沾益区第四中学高一阶段练习）不等式3442x x +≥-的解集是___________．四、解答题42．（2021·河北雄县·高一阶段练习）()1已知3x >，求43y x x =+-的最小值，并求取到最小值时x 的值；()2已知0x >，0y >，223x y +=，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值．43．（2021·陕西·西安一中高二期中）设函数()21f x mx mx =--（1）若对一切实数x ，()0f x <恒成立，求m 的取值范围； （2）若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围：44．（2021·全国·高一单元测试）已知函数2()()f x x ax a R =-∈. （1）若2a =，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[1,)x ∈+∞时，2()2f x x ≥--恒成立，求a 的取值范围.45．（2021·全国·高一单元测试）已知0,0x y >>，且41x y +=. （1）求xy 的最大值； （2）求1y x y+的最小值.。

基本不等式一、单选题1．若0m >，0n >，81mn =，则m n +的最小值是（ ）A ．4B ．C ．9D ．182．若实数a ，b 满足0a b <<，且1a b +=.则下列四个数中最大的是（ ）A ．12 B ．22a b + C ．2ab D ．a3．设0x >，则133y x x =--的最大值为（ ）A．3B ．3-C ．3-D ．－1 4．若正数,x y 满足315x y +=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245 B ．285 C ．5 D ．65．已知x >1，则221x x +-的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．D ．26．已知对()0,x ∀∈+∞，不等式1x m x>-恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不存在7．已知a ，b R ∈，0a >，0b >，且21a b +=，则下列不等式中，成立的个数有①18ab ≤，①2127ab ≤，①23a b +<，①115a b +>（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知1m ＞，0n ＞，且223m n m +=，则214m m n+-的最小值为（ ） A ．94B ．92C ．32D ．2二、多选题 9．已知0,0a b >>，且4a b +=.则下列不等式恒成立的是（ ）A ．228a b +≥B 2C ．114ab ≥D ．111a b+≤10．若“()0,2x ∀∈，都有2210x x λ-+≥”是真命题，则实数λ可能的值是（ ）A ．1B ．C ．3D ．11．下列结论正确的是（ ）A ．当x ≠0时，x +1x≥2 B ．当x >0 C ．当x ≥2时，x +1x 的最小值为2 D ．当x <1时，x +11x -有最大值三、填空题12．已知0a >，0b >，24a b +=，则4ab 的最小值为______. 13．当1x >时，41x x +-的最小值为______. 14．已知正实数x ，y 满足()()419x y ++=，则xy 的最大值等于______．四、解答题15．利用基本不等式证明：已知,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 16．某工厂分批生产某种产品，若每批生产{}()1,2,,100x x ∈⋅⋅⋅件，每批产品的生产准备费用为1800元，每件产品每天的仓储费用为2元，且每件产品平均仓储时间为4x 天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y 元.（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）当x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？17．已知1a >，1b >，2222,1111a b b a M N a b a b =+=+----． （1）试比较M 与N 的大小，并证明；（2）分别求M ，N 的最小值．18．2020年1月，在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设.某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心（长方体状，高度恒定）改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.问：（1）改造后方舱医院的面积S 的最大值是多少?（2）为使S 达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长?参考答案1．D2．B3．C4．C5．A6．D7．C8．A因为223m n m +=，所以223n m m =-，因为0n ＞，1m ＞，所以2230n m m =->，得13m <<， 所以()()2222114112323m m m n m m m m m +=+=+-----， 记1,3a m b m =-=-，所以132a b m m +=-+-=， 所以12a b +=，且0,0a b >>， 所以()221219141232444m a b a b b a m n m m a b a b a b +++=+=+=+=++---9944≥+=，当且仅当4a b b a =即24,33b a ==等号成立， 此时73m = ， 4977929n -==. 故选：A.9．AC10．AB11．BD对于A ，当0x <时，12x x+≥不成立，故A 不正确；对于B ，当0x >2≥=，当且仅当1x =时，等号成立，故B 正确；对于C ，当2x ≥时，由12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立，而2x ≥，所以等号取不到，故C 不正确；对于D ，当1x <时，111111(1)111x x x x x x +=-++=--+---1121≤-=-=-，当且仅当0x =时，等号成立，所以11x x +-有最大值，故D 正确. 故选：BD12．213．514．1 正实数x ，y 满足()()419x y ++=，即45xy x y ++=，45xy x y xy xy ∴++=≥++①5xy +（当且仅当4x y =时，取等号），①51-，即01≤，则xy 的最大值等于1，故答案为：1．15．证明见解析证明：,,a b c 都是正数，0a b ∴+≥>（当且仅当a b =时取等号）；0b c +≥>（当且仅当b c =时取等号）；0c a +≥>（当且仅当c a =时取等号）；()()()8a b b c c a abc ∴+++≥（当且仅当a b c ==时取等号）， 即()()()8a b b c c a abc +++≥.16．（1）18002x y x =+（x 为正整数） （2）当60x =时，最小值为60解：（1） 根据题意可得，180********x x y x x =+⋅=+（x 为正整数） （2）1800602x y x =+≥，当且仅当18002x x =，即60x =时等号成立， 故当60x =时，y 有最小值，最小值为60.17．（1）M N ≤；证明见解析 ；（2） M ，N 的最小值都是8．解：（1）M 与N 的大小为M N ≤， 证明：由22222()()1111(1)(1)a b b a a b a b M N a a b b a b -+-=-+-=-------， 因为1a >，1b >，所以0a b +>，10a ->，10b ->，2()0a b -≥， 所以2()()0(1)(1)a b a b a b -+-≤--，所以M N ≤. （2）因为2222[(1)1][(1)1]1111a b a b M a b a b -+-+=+=+----111144811a b a b =-++-++≥=--， 当2a b ==时取等号，又由（1）N M ≥，所以M ，N 的最小值都是8．18．（1）8836 m 2；（2）141 m.解：（1）设正面复合板长为x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则方舱医院的面积 S =xy ，总造价z =40x +2×45y +20xy =40x +90y +20xy .由条件知z ≤188 000，即4x +9y +2xy ≤18800.①x >0，y >0，①y ≤18800-492x x+. 令t =9+2x ，则x =92t -（t >9）， ①S =xy ≤()1880021892t t t---⋅ =2941899409t t t-+-⨯=9940994189418239794188836t t ⨯⎛⎫-++≤-=-⨯⨯+= ⎪⎝⎭， 当且仅当99409t t⨯=，即t =291时等号成立.故S的最大值为8836 m2.（2）由（1）知，当S=8836 m2时，t=291，t=9+2x，①x=141，则y=8836188 1413.①方舱医院的面积S达到最大值8836 m2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141 m.。

高一数学不等式试题1.（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4【答案】D【解析】利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．故选：D．点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．2.（2014•榆林模拟）已知各项均为正数的等比数列{an }满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由a7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．解：由各项均为正数的等比数列{an }满足 a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，∴，当且仅当=时，等号成立．故的最小值等于，故选A．点评：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．3.（2014•咸阳二模）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值【答案】C【解析】由于==2+≥4，故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2，可得ab≤，故B不正确．由于=1+2≤2，故≤，故 C 正确．由a2+b2 =（a+b）2﹣2ab≥1﹣=，故D不正确．解：∵正实数a ，b 满足a+b=1， ∴==2+≥2+2=4，故有最小值4，故A 不正确．由基本不等式可得 a+b=1≥2，∴ab≤，故ab 有最大值，故B 不正确． 由于=a+b+2=1+2≤2，∴≤，故有最大值为，故C 正确．∵a 2+b 2 =（a+b ）2﹣2ab=1﹣2ab≥1﹣=，故a 2+b 2有最小值，故D 不正确．故选：C ．点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．4. （2014•鹤城区二模）已知a ，b 为正实数，函数y=2ae x +b 的图象经过点（O ，1），则的最小值为（ ） A ．3+2B ．3﹣2C ．4D ．2【答案】A【解析】将点（O ，1）的坐标代入y=2ae x +b ，得到a ，b 的关系式，再应用基本不等式即可． 解：∵函数y=2ae x +b 的图象经过点（O ，1）， ∴1=2a•e 0+b ，即2a+b=1（a ＞0，b ＞0）． ∴=（）•1=（）•（2a+b ）=（2+1++）≥3+2（当且仅当b=a=﹣1时取到“=”）． 故选A ．点评：本题考查基本不等式，将点（O ，1）的坐标代入y=2ae x +b ，得到a ，b 的关系式是关键，属于基础题．5. （2014•郑州模拟）已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n =16a 12，则+的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．不存在【答案】A【解析】应先从等比数列入手，利用通项公式求出公比q ，然后代入到a m a n =16a 12中，可得到关于m ，n 的关系式，再利用基本不等式的知识解决问题． 解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，易知q≠1，由a 7=a 6+2a 5得，解得q=﹣1（舍），或q=2，因为a m a n =16a 12，所以，所以m+n=6，（m ＞0，n ＞0），所以≥，当且仅当m+n=6，即m=2，n=4时等号成立．故选A点评：对等比数列的考查一定要突出基本量思想，常规思路一般利用同项、求和公式，利用首项，公比表示已知，进一步推出我们需要的隐含条件或结论；基本不等式要重视其适用条件的判断，这里容易在取“=”时出错．6. （2014•南昌模拟）若正数x ，y 满足x 2+3xy ﹣1=0，则x+y 的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】先根据题中等式将y用x表示出来，然后将x+y中的y消去，然后利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．解：∵正数x，y满足x2+3xy﹣1=0，∴3xy=1﹣x2，则y=，∴x+y=x+=+≥2=当且仅当=即x=时取等号，故x+y的最小值是．故选：B．点评：本题主要考查了消元法的应用，以及基本不等式的应用，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．7.若x＜1，则y=的最大值．【答案】﹣1【解析】变形利用基本不等式的性质即可得出．解：∵x＜1，∴y===2x+=+3=﹣1．当且仅当x=0时取等号．故答案为﹣1．点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．8.若实数x，y，z满足x+2y+3z=a（a为常数），则x2+y2+z2的最小值为．【答案】【解析】利用题中条件：“x+2y+3z=a”构造柯西不等式：（x2+y2+z2）（12+22+32）≥（x+2y+3z）2=a2这个条件进行计算即可．解：∵（x2+y2+z2）（12+22+32）≥（x+2y+3z）2=a2，…（5分）∴（x2+y2+z2）≥，当且仅当时取等号，…（8分）则x2+y2+z2的最小值为．…（10分）故答案为：．点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用：（x2+y2+z2）（12+22+32）≥（x+2y+3z）29.设x＞3，则x= 时，的最小值是．【答案】3+2，．【解析】根据x+=（x﹣3）++3，注意x﹣3与的积为定值，利用基本不等式求出它的最小值及相应的x的值即可．解：∵x＞3，∴x+=（ x﹣3）++3≥2 +3=，当且仅当（ x﹣3）=即x=3+2时，等号成立，故答案为：3+2，．点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形使得x﹣3与的积为定值是解题的关键．10.已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c+1的值域是[1，+∞），则+的最小值是．【解析】由已知可得a＞0且，然后利用基本不等式即可求解最值解：∵f（x）=ax2﹣4x+c+1的值域是[1，+∞），∴a＞0且即ac=4∴c＞0∴=3当且仅当且ac=4，则a=时取等号∴的最小值为3故答案为：3点评：本题主要考查了二次函数的性质的应用，基本不等式求解函数的最值等知识的综合应用．。

高中数学必修一不等式习题1.（2022·山东滕州·高一期末）“x6”是“sinx1”的充要条件。

2.（2022·四川广元·高二期末（理））命题“x R，均有x2cosx12”的否定为“x R，使得x cosx12”。

3.（2011·上海·高考真题（文））若a,b R，且ab0，则恒成立的不等式是a b2ab。

4.（2013·重庆·高考真题（文））关于x的不等式x22ax8a20(a0)的解集为(x1,x2)，且：x2x115，则a=15/2.5.（2015·湖南·高考真题（文））若实数a,b满足a+b=1，则ab的最小值为1/4.6.（2021·全国·高一单元测试）若不等式ax22x c0的解集是(-∞,-1/3]∪[1/2,+∞)，则不等式cx22x a0的解集是[1/1,1/2]。

7.（2021·XXX（XXX）高一阶段练）若正实数a,b满足a+b=1，则a+b的最大值为2，ab的最小值为1/4.8.（2021·全国·高一期中）已知a>0，若a+4b=4ab，则a+b的最小值是2.9.（2021·XXX高一期中）对于所有的实数x，不等式（a-2）x+2（a-2）x-4<XXX成立，则a的取值范围是a≤-2或a≥2.10.（2020·XXX高一期末）不等式(x+3)2-2}。

11．（2022·北京石景山·高一期末）函数不等式 $ax^2-x+c>0$ 的解集为 $\{x| -4\leq x\leq -2\} \cup (-2<x<1)$，则函数$y=ax^2+x+c$ 的图像大致为选项 $\text{B}$。

13．（2021·XXX高一阶段练）若两个正实数 $x$，$y$ 满足 $14y+x=\dfrac{1}{4}$，且存在这样的 $x$，$y$ 使不等式 $x+2<m^2+3m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是选项$\text{B}$。