北师大版数学七年级下第3章《变量之间的关系》题型归纳汇总讲义设计(无答案)

第四章变量之间的关系回顾与思考教学目标：1．知识目标：回顾总结表示变量之间的方法，学会用变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系，并作出预测。

2．能力目标：从常量的世界走入变量的世界，开始接触一种新的思维方式——用运动变化的观点去认识数学对象，发展符号感和抽象思维。

发展有条理的思考和进行表达的能力。

3．情感目标：能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感，获得学习的快乐，发展对数学更高层次的认识。

教学重点：能从表格、图象中分析变量之间的关系，发展有条理地进行思考的表达的能力。

教学难点：运用表示变量之间关系的方法分析变量之间的关系，分析问题、解决问题，进行预测。

教学过程一、知识结构二、复习要Array点1．在具体情境中理解变量、自变量、因变量（1）自变量是某一变化过程中主动变化的量；（2）因变量是随着自变量的变化而变化的量。

2．变量之间的关系的表示方法（1）用关系式来表示变量之间的关系如，正方形面积S与边长a的关系式为S=a2，其中，自变量是正方形的边长a，因变量是正方形面积。

（2）用表格表示变量之间的关系如，一根原长为10厘米的弹簧，其长度与所挂物品的质量之间有如下关系：其中，物品的质量是自变量，弹簧的长度是因变量。

（3）用图象表示变量之间的关系如，右图中的折线ABCDE 描述的是汽车行驶过程中，离开出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的关系。

其中，行驶时间是自变量，离开出发地的距离是因变量。

三、典型例题例1．果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？ 说明：（1）题中自变量t 和落下高度h 的基本关系可从具体数量推导，得出h=5t 2。

（2）用表格来表示变量之间关系，其优点是：对于表中的自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到。

章末复习1.回顾总结表示变量之间的方法，学会用变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系，并作出预测.2.从常量的世界走入变量的世界，开始接触一种新的思维方式——用运动变化的观点去认识数学对象，发展符号感和抽象思维.发展有条理的思考和培养较强的表达能力.3.能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感，获得学习的快乐，发展对数学更高层次的认识.【教学重点】能从表格、图象中分析变量之间的关系，发展有条理地进行思考和表达的能力.【教学难点】运用表示变量之间关系的方法分析变量之间的关系，分析问题、解决问题，进行预测.一、知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二、释疑解惑，加深理解1.变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量.2.自变量，因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量.3.自变量与因变量的确定：（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量.（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量.（3）利用具体情境来体会两者的依存关系.4.变量的表达方法：（1）表格（ⅰ）表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系.需注意以下几点：①首先要明确表格中所列的是哪两个量；②分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；③结合实际情境理解它们之间的关系.（ⅱ）绘制表格表示两个变量之间关系.绘制表格时需注意以下几点：①列表时首先要确定各行各列的栏目；②一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；③写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；④在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值.⑤一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系.（2）关系式用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式.关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边.（3）图象①图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象.②图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况.③用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量.5.图象理解：①理解图象上某一个点的意义，一定要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；②看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；③从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势.【教学说明】复习本章所涉及的相关知识点，使学生了解他们之间的关系.三、典例精析，复习新知例1下面说法中正确的是(C）A.两个变量间的关系只能用关系式表示B.图象不能直观的表示两个变量间的数量关系C.借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况D.以上说法都不对例2一辆汽车由韶关匀速驶往广州，下列图象中大致能反映汽车距离广州的路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是（B）例3星期天，小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅游，匀速行驶1.5小时的时候，其中一辆自行车出故障，因此二人在自行车修理店修车，用了半个小时，然后以原速继续前行，行驶1小时到达目的地.请在右面的图中，画出符合他们行驶的路程s（千米）与行驶时间t（时）之间的图象.解：图象略例4将若干张长为20厘米、宽为10厘米的长方形白纸，按图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2厘米.（1）求4张白纸粘合后的总长度；（2）设x张白纸粘合后的总长度为y厘米，写出y与x之间的关系式，并求当x＝20时，y的值.解：（1）4张白纸粘合后的总长度是20×4-3×2＝74（厘米）.（2）y＝20x-2（x-1）.当x＝20时，y＝20×20-2×（20-1）＝362.例5甲骑自行车，乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间关系的图象如图所示.根据图象解答下列问题：（1）谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？（2）分别求出甲、乙两人的行驶速度；（3）在什么时间段内，两人均行驶在途中？（不包括起点和终点）解：（1）甲先出发；先出发10分钟；乙先到达终点；先到5分钟.（2）甲的速度为每分钟0.2公里，乙的速度为每分钟0.4公里.（3）在甲出发后10分钟到25分钟这段时间内，两人都行驶在途中.四、复习训练，巩固提高1.在某次试验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（B)A.v=2m-2B.v=m2-1C.v=3m-3D.v=m+12.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点….用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（D）3.如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中错误的是（C）A.第3分时汽车的速度是40千米/时B.第12分时汽车的速度是0千米/时C.从第3分到第6分，汽车行驶了150千米D.从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时4.如图，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况.到十点时，甲大约走了13千米.根据图象回答：（1）甲是几点钟出发？（2）乙是几点钟出发，到十点时，他大约走了多少千米？（3）到十点为止，哪个人的速度快？（4）两人最终在几点钟相遇？（5）你能将图象中得到信息，编个故事吗？解：（1）8点；（2）9点；13千米；（3）乙；（4）10点；（5）答案不唯一，略.5.小明把一根弹簧的上端固定.在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？不挂重物时呢？（3）若所挂重物为7千克时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？解：（1）弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；（2）24厘米；18厘米；（3）32厘米.6.某公司有2位股东，20名工人.从至，公司每年股东的总利润和每年工人的工资总额如图所示.（1）填写下表：（2）假设在以后的若干年中，每年工人的工资和股东的利润都按上图中的速度增长，那么到哪一年，股东的平均利润是工人的平均工资的8倍？解：(1)工人的平均工资：6250元，7500元.股东的平均利润：37500元，50000元.（2）设经过x年每位股东年平均利润是每位工人年平均工资的8倍.由图可知：每位工人年平均工资增长1250元，每位股东年平均利润增长12500元，所以（5000+1250x）×8＝25000+12500x.解得x＝6.所以到每位股东年平均利润是每位工人年平均工资的8倍.五、师生互动，课堂小结通过本节课的复习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？1.布置作业:教材“复习题”中第6、7、10、12题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导.学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.。

第四章变量之间的关系第4章知识整合与解题指导一、知识导航1、主要概念：变量是；自变量是；因变量是。

2、变量之间关系的三种表示方法：。

其特点是：列表：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把的值找到，查询方便；但是欠，不能反映变化的全貌，不易看出变量间的对应规律。

关系式：简明扼要、规范准确；但有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示。

图像：形象直观。

可以形象地反映出事物变化的过程、变化的趋势和某些特征；但图像是近似的、局部的，由图像确定因变量的值欠准确。

3、主要数学思想方法：类比和比较的方法（举例说明）；数形结合和数学建模思想（举例说明）。

二、学习导航1、有关概念应用例1下列各题中，那些量在发生变化其中自变量和因变量各是什么①用总长为60的篱笆围成一边长为L（m），面积为S（m2）的矩形场地；②正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加为y.2、利用表格寻找变化规律例2研究表明，固定钾肥和磷肥的施用量，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：上表中反映了哪两个变量之间的关系哪个是自变量哪个是因变量根据表格中的数据，你认为氮肥的使用量是多少时比较适宜变式（湖南）一辆小汽车在高速公路上从静止到起动10秒后的速度经测量如下表：时间/秒012345678910速度/米/秒①上表反映了哪两个变量之间的关系哪个是因变量②如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么③当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗在哪1秒中，v的增加最大④若高速公路上小汽车行驶的速度的上限为120千米/时，试估计大约还需要几秒小汽车速度就将达到这个上限3、用关系式表示两变量的关系例3.、①设一长方体盒子高为10，底面积为正方形，求这个长方形的体积v与底面边长a 的关系。

②设地面气温是20℃，如果每升高1km，气温下降6℃，求气温与t高度h的关系。

变式（江西）如图，一个矩形推拉窗，窗高米，则活动窗扇的通风面积A（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是： .4、用图像表示两变量的关系例4、（桂林）今年，在我国内地发生了“非典型肺炎”疫情，在党和政府的正确领导下，目前疫情已得到有效控制．下图是今年5月1日至5月14日的内地新增确诊病例数据走势图（数据来源：卫生部每日疫情通报）．从图中，可知道：（1）5月6日新增确诊病例人数为人；（2）在5月9日至5月11日三天中，共新增确诊病例人数为人；（3）从图上可看出，5月上半月新增确诊病例总体呈趋势．例5、（陕西）星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）.A.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C.从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了D.从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返变式 (成都)右图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米，由A地到B地时，行驶的路程y（千米）与经过的时间x（小时）之间的关系．请根据这个行y（千米）3015甲乙45驶过程中的图象填空：汽车出发 小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为 千米/时；汽车的速度为 千米/时；汽车比电动自行车早 小时到达B 地．三、一试身手1、（贵阳）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y 表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x 表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）ABCD2、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余 部分的高度y （厘米）与燃烧时间x （小时） 之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ， 从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低3、（2006宿迁课改）小明从家骑车上学，先上坡到达A 地xO x Ox OxOy y y y后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（）Ａ．分钟Ｂ．9分钟Ｃ．12分钟Ｄ．16分钟4、某机动车出发前油箱内有油42l，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（L）之间的关系如图8 所示．回答问题：（1）机动车行驶几小时后加油（2）中途中加油_________L；（3）已知加油站距目的地还有240km，车速为40/km h，若要达到目的地，油箱中的油是否够用并说明原因．5、在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．所挂质量/x kg012345弹簧长度/y cm182022242628（1）上表反映了哪两个变量之间的关系哪个是自变量哪个是因变量（2）当所挂物体重量为3kg时，弹簧多长不挂重物时呢（3）若所挂重物为7kg时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗6、小明在暑期社会实距活动中，以每千克元的价格从批发市场购进若干千克瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图9所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题： （1）求降价前销售金额y （元）与售出西瓜x （千克）之间的关系式； （2）小明从批发市场共购进多少千克西瓜 （3）小明这次卖瓜赚子多少钱7、如图中的折线ABC 是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的关系的图象.（1）通话1分钟，要付电话费多少元通话5分钟要付多少电话费（2）通话多少分钟内，所支付的电话费不变（3）如果通话3分钟以上，电话费y （元）与时间t （分钟）的关系式是 2.5(3)y t =+-，那么通话4分钟的电话费是多少元8、如图是某水库的蓄水量v(万米3)与干旱持续时间t （天）之间的关系图，回答下列问题： （1）该水库原蓄水量为多少万米3持干旱持续时间10天后，水库蓄水量为多少万米3 （2）若水库的蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸9、（成都市）某移动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费元（本题的通话均指市内通话），若一个月通话x 分钟，两种方式的费用分别为1y 元和2y 元． （1）写出1y 、2y 与x 之间的关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些。

第四章变量之间的关系第4章知识整合与解题指导一、知识导航1、主要概念：变量是；自变量是；因变量是。

2、变量之间关系的三种表示方法：。

其特点是：列表：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把的值找到，查询部的，由图像确定因变量的值欠准确。

3、主要数学思想方法：类比和比较的方法（举例说明）；数形结合和数学建模思想（举例说明）。

二、学习导航1、有关概念应用例1下列各题中，那些量在发生变化？其中自变量和因变量各是什么？①用总长为60的篱笆围成一边长为L（m），面积为S（m2）的矩形场地；②正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加为y.2、利用表格寻找变化规律氮肥的使用量是多少时比较适宜？变式②如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？③当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒中，v的增加最大？④若高速公路上小汽车行驶的速度的上限为120千米/时，试估计大约还需要几秒小汽车速度就将达到这个上限？3、用关系式表示两变量的关系例3.、①设一长方体盒子高为10，底面积为正方形，求这个长方形的体积v与底面边长a的关系。

②设地面气温是20℃，如果每升高1km，气温下降6℃，求气温与t高度h的关系。

变式（江西）如图，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A （平方米）与拉开长度b （米）的关系式是： .4、用图像表示两变量的关系例4、（桂林）今年，在我国内地发生了“非典型肺炎”疫情，在党和政府的正确领导下，目前疫情已得到有效控制．下图是今年5月1日至5月14日的内地新增确诊病例数据走势图（数据来源：卫生部每日疫情通报）．从图中，可知道：（1）5月6日新增确诊病例人数为人；（2）在5月9日至5月11日三天中，共新增确诊病例人数为 人；（3）从图上可看出，5月上半月新增确诊病例总体呈 趋势．例5、（陕西） 星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s （米）与散步所用时间t （分）之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）.A.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C.从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了D.从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返变式 (成都)右图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米，由A 地到B 地时，行驶的路程y （千米）与经过的时间x （小时）之间的关系．请根据这个行驶过程中的图象填空：汽车出发 小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为 千米/时；汽车的速度为千米/时；汽车比电动自行车早 小时到达B 地．（小三、一试身手1、（贵阳）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y 表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x 表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）D2、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y （厘米）与燃烧时间x （小时）之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？3、（2006宿迁课改）小明从家骑车上学，先上坡到达A 地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（ ）Ａ．8.6分钟 Ｂ．9分钟Ｃ．12分钟 Ｄ．16分钟4、某机动车出发前油箱内有油42l ，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q （L ）与行驶时间t （L ）之间的关系如图8 所示．回答问题：（1）机动车行驶几小时后加油？（2）中途中加油_________L ；（3）已知加油站距目的地还有240km ，车速为40/km h ，若要达到目的地，油箱中的油是否够用？并说明原因．5、在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y 与所挂物体质量x （1（2）当所挂物体重量为3kg 时，弹簧多长？不挂重物时呢？（3）若所挂重物为7kg 时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？6、小明在暑期社会实距活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图9所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题：（1）求降价前销售金额y （元）与售出西瓜x （千克）之间的关系式；（2）小明从批发市场共购进多少千克西瓜？（3）小明这次卖瓜赚子多少钱？7、如图中的折线ABC 是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的关系的图象.（1）通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？（2）通话多少分钟内，所支付的电话费不变？（3）如果通话3分钟以上，电话费y （元）与时间t （分钟）的关系式是 2.5(3)y t =+-，那么通话4分钟的电话费是多少元？8、如图是某水库的蓄水量v(万米3)与干旱持续时间t （天）之间的关系图，回答下列问题：（1）该水库原蓄水量为多少万米3？持干旱持续时间10天后，水库蓄水量为多少万米3？（2）若水库的蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？9、（成都市）某移动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费0.4元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话），若一个月通话x 分钟，两种方式的费用分别为1y 元和2y 元．（1）写出1y 、2y 与x 之间的关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些？。

第三章《变量之间的关系》一、变量、自变量、因变量的概念在—个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，数值保持不变的量叫做常量.例如在表示路程关系式s=50t中，速度50恒定不变为常量，随t取不同数值时也取不同数值，s 与t都为变量．t是自变量，s是因变量．二、变量之间关系表示方式1.关系式法：可以定量表示自变量和因变量的关系（给定自变量的值可以求因变量的值）；2.表格法：可以大致确定因变量随自变量的变化趋势；3.图像法：可以清晰地观察自变量随因变量的变化趋势.三、重要数学模型1．小车下滑的时间；2．变化中的三角形；3．温度的变化；4．速度的变化.四、知识网络图典型例题1．在一次实验中，小强把—根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧(2)当所挂重物为4kg时，弹簧多长?不挂重物呢?(3)若所挂重物为6kg时(在弹簧的允许范围内)，你能说出此时弹簧的长度吗?2．如图6—1所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8．(1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么?(2)用表格表示当x从10变到20时(每次增加1)，y的相应值；(3)当x每增加1时，y如何变化?说说你的理由；(4)当x=0时，y等于什么?此时它表示的是什么?3．地壳的厚度约为8到40km．在地表以下不太深的地方，温度可按y=35x+t计算，其中x是深度(km)，t是地球表面温度（℃），y是所达深度的温度（℃)．(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?(2)分别计算当x为lkm，5km，10km,20km时地壳的温度(地表温度为2℃)．4. 图6—4是某地一天的气温随时间变化的图象．根据图象回答，在这一天中：(1)什么时间气温最高?什么时间气温最低?最高气温和最低气温各是多少?(2)20时的气温是多少?(3)什么时间的气温为6℃?(4)哪段时间内气温不断下降?(5)哪段时间内气温持续不变?5. 为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过36m 时，水费按每立方米a 元收费；超过36m 时，不超过的部分每立方米仍按a 元收费，超过的部分每立方米按c 元收费．该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：设某户该月用水量为x 3m ，应交水费为y(元)．(1)求a 、c 的值，并写出用水不超过36m 和超过36m 时，y 与x 之间的关系式；(2)若该户5月份的用水量为38m ，求该户5月份的水费是多少元?6. 如图6—26表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数)．两地间的距离是80km ．请你根据图象回答或解决下面的问题：(1)谁出发的较早?早多长时间?谁到达乙地较早?早到多长时间? (2)两人在途中行驶的速度分别是多少?(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点)；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x 的方程或不等式(不要化简，也不要求解)： ①自行车行驶在摩托车前面； ②自行车与摩托车相遇； ③自行车行驶在摩托车后面．练习题1、如图1，射线l 甲，l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系，则他们行进的速度关系是（ ） A ．甲比乙快 B ．乙比甲快 C ．甲、乙同速 D ．不一定2．为节约用水，某冲厕水箱经改造后，当水箱水满后就按一定的速度放掉水箱的一半水，随后立即按一定的速度注水，等水箱的水满后，又立即按一定的速度放掉水箱一半的水．下面的哪一幅图可以大致刻画水箱的存水量V （立方米）与放水或注水的时间T （分钟）之间的关系（ ）3．某山区今年6月中旬的天气情况是：前5天小雨，后5天暴雨．那么反映该地区某河流水位变化的图象大致是（ ）4．父亲节，学校“文苑”专栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y 表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴x 表示离家的时间，那么下面与上述诗意大致相吻的图象是（ ）5. 已知△ABC 的底边BC 上的高为8cm ，当它的底边BC 从16cm 变化到5cm 时，△ABC 的面积（ ）A 、从20cm 2变化到64cm 2B 、从64cm 2变化到20cm 2C 、从128cm 2变化到40cm 2D 、从40cm 2变化到128cm 26. 下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b 与下降高度d 的关系，下面能表示这种关系的式子是（ ）d 50 80 100 150图1Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．b 25 40 50 75A 、2b d =B 、2db =C 、2b d =D 、25b d =+ 7. 如图是某市一天的温度随时间变化的图象，通过观察可知下列说法错误的是 ( )A ．这天15点时温度最高B ．这天3点时温度最低C ．这天21点时温度是30 ℃D ．这天最高温度与最低温度的差是13 ℃ 8. 李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下修车，车修好后，因怕耽误时间，于是加快了车速．如用s 表示李明离家的距离，t 为时间．在下面给出的表示s 与t 的关系图中，符合上述情况的是（ ）9．下面说法正确的是（ ）A ．两个变量间的关系只能用关系式表示B ．图象不能直观的表示两个变量间的数量关系C ．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况D ．以上说法都不对10. 经测量，人运动时心跳速率通常和人的年龄有关．如果用x 表示一个人的年龄，用Y 表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么Y =0.8（220－x ），根据此关系式计算一个18岁的青少年所能承受的每分钟的最高心跳次数是（取整数）（ ） A ．80 B ．100 C ．162 D ．161二、填空题（每空2分，共30分）11．汽车以60千米/时的速度行驶了t 小时，路程s 随着时间t 的变化而变化，其中______是自变量，______因变量．12．△ABC 的高是3cm ，则面积S 与底边x 间的数量关系可表示为______． 13．在圆的面积公式中，______随______变化而变化，______是自变量． 14．购买单价8.50元的书x 本所要的钱数y =______．15. 某种储蓄的年利率为1.5%，存入1000元本金后，则本息和y （元）与所存年数x 之间的关系式为______，3年后的本息和为______元（此利息要交纳所得税的20%）．16. 小明和弟弟进行百米赛跑，小明比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢．如图2所示，现在小明让弟弟先跑______米，直线 ______表示小明的路程与时间的关系，大约______秒时，小明追上了弟弟，弟弟在这次赛跑中的速度是______米／秒．17.如图3，小明用3秒的时间跑了______米．18.如果没盒圆珠笔有12支，售价18元，用y （元）表示圆珠笔的售价，x 表示圆珠笔的支数，那么y 与x 之间的关系应该是 . 三、解答题（每小题10分，共40分） 19. 某文具店出售书包和文具盒，书包每个定价30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案；①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的9折(总价的90％)付款，某班学生需购买8个书包、文具盒若干(不少于8个)，如果设文具盒数x(个)，付款数为y(元)．(1)分别求出两种优惠方案中y 与x 之间的关系式．(2)购买文具盒多少个时，两种方案付款相同，购买文具盒数大于8时，两种方案中哪一种更省钱?20.为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：月用水量（吨）10 13 14 17 18 户数22321(1) 计算这家庭的平均月用水量；(2) 如果该小区有500户家庭，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月共用水多少吨？图2图321.已知长方形的相邻两边的长分别是cm x 和4cm ，设长方形的周长为cm y ． ①试写出长方形的周长y 与x 之间的关系式；②求当x 长为10cm ，15cm 时的周长；③求当周长分别为20cm ，30cm 时的x 值．22.小明晚饭后外出散步，遇见同学，交谈一会，返回途中在读报厅看了一会报．下图是根据此情景画出的图象，请你回答下列问题： （1）小明在距家多远遇见同学的，交谈了多少时间？ （2）读报厅离家多远？（3）小明在哪一段路程中走得最快，速度是多少？。

3.1 用表格表示的变量间关系教学目标1．了解常量与变量的含义并能分清实例中的常量与变量，了解自变量和因变量的关系；2．能从表格中获得变量间的关系信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步预测．教学重点了解常量与变量的含义并能分清实例中的常量与变量教学难点根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步预测教学过程一、出示目标1．了解常量与变量的含义并能分清实例中的常量与变量，了解自变量和因变量的关系；2．能从表格中获得变量间的关系信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步预测．二、动手自学王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据;（1）支撑物高度为70cm时，小车下滑时间是多少？（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？（3）h每增加10cm，t的变化情况相同吗？（4）估计当h=110cm时，t的值是多少。

你是怎样估计的？（5）随着支撑物高度h的变化，还有那些量发生变化？那些量始终不发生变化？三、展示分享1、我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）（1）如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？（2）从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样变化的？2、(1)(2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？(3)哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做？课堂小结：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量。

四、课堂检测研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有（2）当氮肥的施用量是101kg/hm2时,土豆的产量是多少？（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由。

（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。

用表格、关系式表示变量之间的关系知识梳理变量、自变量、因变量、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

2、如果一个变量 y随另一个变量x的变化而变化，那么把x叫做自变量，y叫做因变量。

、自变量与因变量确实定：1〕自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。

2〕自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

3〕利用具体情境来体会两者的依存关系。

表格表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。

1〕首先要明确表格中所列的是哪两个量；2〕分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；3〕结合实际情境理解它们之间的关系。

绘制表格表示两个变量之间关系1〕列表时首先要确定各行、各列的栏目；2〕一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；3〕写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；4〕在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。

5〕一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。

关系式、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量〔用字母表示〕的代数式表示因变量〔也用字母表示〕，这样的数学式子〔等式〕叫做关系式。

、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

、求两个变量之间关系式的途径：1〕将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。

2〕根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；3〕根据实际问题中的根本数量关系写出变量之间的关系式；4〕根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。

、关系式的应用：1〕利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；2〕同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；〔3〕根据关系式求值的实质就是解一元一次方程〔求自变量的值〕或求代数式的值〔求因变量的值〕。

例题剖析考点一：变量与常量1．明明从广州给远在上海的爷爷打，费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是〔〕．A．明明 B．费C．时间 D．爷爷2．骆驼被称为“沙漠之舟〞，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，自变量是〔〕．A．沙漠B．体温C．时间D．骆驼3.在△ABC中,它的底边是a,底边上的高是h,那么三角形的面积1S=2ah,当a为定长时,在此式中()A.S, h1是变量,2,a是常量B.S,h,a是变量1,2是常量11C.S,h是变量,2,S是常量 D.S是变量,2,a,h是常量4.假设汽车匀速行驶在高速公路上,那么在以下各量中,变量的个数是()①行驶速度;②行驶时间;③行驶路程;④汽车油箱中的剩余油量.个个个个考点二：自变量与因变量1．长方体的底面积S 10cm2，当其高h发生变化时，长方体的体积V也会发生变化，在这个变化过程中〔〕．A．h是自变量，V是因变量B．V是自变量，h是因变量C．h是自变量，S是因变量D．S是自变量，h是因变量2．某学习小组做了一个试验：从一幢100m高的楼的顶部随手扔下一个苹果，测得有关数据如下．那么以下说法错误的选项是〔〕．小落时间t/s1234下落高度h/m5204580A．苹果每秒下落的路程不变B．苹果每秒下落的路程越来越C．苹果下落的速度越来越快D．可以推测，苹果落到地面的时间不超过5秒3.如果人的身高h 随时间t的变化而变化,那么以下说法正确的选项是()A.h,t都是不变量 B.t是自变量,h是因变量C.h,t都是自变量 D.h是自变量,t是因变量．下表给出了橘农王林去年橘子的销售额〔元〕随橘子卖出质量〔千克〕的变化的有关数据．卖出质量/千克卖出质量/千241356789克246销售额/元810121416181〕上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？2〕当橘子卖出5千克时，销售额是多少？3〕估计当橘子卖出50千克时，销售额是多少？考点三：用关系式表示变量之间的关系1．在某次试验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如表：m 1 2 34v那么m与v之间的关系最接近于以下各关系式中的〔〕．21A．v 2m 2 B．vm1 C．v3m1 D．vm2．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米／时，那么汽车距天津的路程s〔千米〕与行驶时间t〔时〕之间的关系及自变量的取值范围是〔〕．A．s 120 30t(0≤t≤4)B．s30t(0≤t≤4)C．s12030t(t0)D．s30t(t4)3．某电影院共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，那么，每排的座位数m与排数n(1≤n≤25)之间的关系式为〔〕．A．mn25B．mn19C．mn18D．mn204．长方形的周长是24cm，其中一边长为xcm(x>0) ，面积为y，那么这个长方形的面积y与边长x之间的关系可以表示为__________．考点四：用表格表示的变量间关系1.某款贴图的本钱价为 1.5元,销售商对其销量与定价的关系进行了调查,结果如下:定价元18223252.83/...销量/个202530262218你认为其因变量为( )A.本钱价B.定价C.销量D.以上说法都不正确考点五：用关系式求值1．在关系式 y=3x+4 中，当自变量x=7时，因变量y的值为〔〕．A．1 B．7 C．25 D．312．一个长方体的体积为12cm3，当底面积不变，高增大时，长方体的体积发生变化，假设底面积不变，高变为原来的3倍，那么体积变为〔〕．3333 A．12cm B．24cm C．36cm D．48cm3．盐城市出租车收费标准：3km以内〔含3km〕起步价为8元，超过3km后每1km加收元．〔1〕假设小明坐出租车行驶了6km，那么他应付多少元车费？〔2〕如果用s表示出租车行驶的路程， m表示出租车应收的车费，请你表示出m与s之间的关系式．考点六、从表格中获取信息的综合应用某市从2021年开始实施退耕还林,每年退耕还林的面积如下表:时间/年202120212021202120212021面积/公顷350380420500600720上表反映的是哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?从表中可知,随着时间的变化,退耕还林面积的变化趋势是什么?(3)从2021年到2021年底,该县已完成退耕还林面积为多少公顷?考点七：求表格中的关系式1.下面的表格列出了一项实验的统计数据,表示皮球下落高度d与落下时弹跳高度b的关系,试问下面的哪个式子能表示这种关系(单位:cm)( )d 50 80 100 150b 25 40 50 75A.b=d2B.b=2dC.b=d+25D.b=??2考点八、利用关系式解决实际问题1.人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关,如果用x来表示年龄,用y表示正常情况下运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数.那么有y=0.8(200-x).(1)正常情况下,在运动时一个13岁的同学所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少? 一个30岁的人运动时,半分钟心跳的次数是70,他有危险吗?考点九：数值转换器1．根据图中的程序计算y的值，假设输入的x的值为3．，那么输出的结果为2输入的x值y=x+2y=x2y=-x+2(-2≤x＜-1)(-1≤x≤1)(1＜x≤2)输入的y值考点十:求几何图形中的两个变量之间的关系式1.如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，以下说法错误的选项是〔〕．ACBB'B''A．三角形面积随之增大B．CAB的度数随之增大C．BC边上的高随之增大D．边AB的长度随之增大。

北师大版七年级数学下册教学设计（含解析）：第三章变量之间的关系章末复习一. 教材分析北师大版七年级数学下册第三章《变量之间的关系》是学生在掌握了函数概念和一次函数、二次函数的基础上，进一步探究变量之间的关系。

本章内容主要包括线性相关关系、函数的性质以及实际问题中的变量关系等。

通过本章的学习，学生能够理解变量之间的相互关系，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数、二次函数的知识，具备一定的数学思维能力。

但学生在解决实际问题时，往往难以将数学知识与生活实际相结合，对变量之间的关系理解不够深入。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生将理论知识应用于实际问题，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.理解变量之间的线性相关关系，掌握函数的性质。

2.能够运用函数解决实际问题，提高数学应用能力。

3.培养学生的团队合作精神，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.重点：理解变量之间的线性相关关系，掌握函数的性质。

2.难点：将函数知识应用于实际问题，解决生活中的数学问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解变量之间的关系。

2.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的数学思维能力。

3.实践操作法：让学生在实际问题中运用函数知识，提高解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示生活中的实际问题。

2.练习题：准备相关练习题，巩固学生对函数知识的理解。

3.小组讨论材料：为学生提供小组讨论的问题和材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如购物时商品打折问题，引导学生思考价格与数量之间的关系。

让学生意识到变量之间存在某种联系，从而引出本章内容。

2.呈现（10分钟）展示一组实际问题，如身高与体重的关系。

让学生观察数据，发现变量之间的规律。

通过引导学生分析数据，呈现变量之间的线性相关关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析生活中的其他实例，如学习成绩与学习时间的关系。

变量之间的关系知识点归纳：表示变量之间的关系通常有三种方法，它们是表格、关系式、图像法；题型归纳：题型一：变量之间的基本关系1、明明给爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（ ）A ．明明B ．电话费C ．时间D ．爷爷2、在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是测得的弹簧长度y 与所挂物体质量x 的一组对应值．（1 （2）当所挂物体质量为3kg 时，弹簧多长？不挂重物时，弹簧多长？ （3）若所挂重物为7kg （在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？题型二：有关变量之间的图像问题1、乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．在这个乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时，并设时间为x ，瓶中水位的高度为y ，下列图象中最符合故事情景的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区．如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下列图象中能大致表示水的深度和放水时间之间的关系的是（）A ．B ． C． D ．3、某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压，生产ht3小时后安排工人装箱．若每小时装产品150件，则下列图象中能表示未装箱的产品数量y （件）与时间t （小时）之间的关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．4、甲、乙两人在一次赛跑中，路程s （米）与时间t （秒）的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A ．这是一次100米赛跑 B ．甲比乙先到达终点 C ．乙跑完全程需12.5秒D ．甲的速度为8米/秒5、男女运动员在100米跑道的两端同时起跑，往返练习跑步，测得男运动员每跑百米用12秒，女运动员每跑百米用15秒，图中实线和虚线分别为这两名运动员距女运动员起跑点的距离s （米）与时间t （秒）之间的关系图象，请根据图象回答问题：（1）图中实线是_____运动员跑步的图象，虚线是_____运动员跑步的图象（填“男”或“女”）；（2）在百米跑道上两运动员第一次在同一端点相遇时，两人均跑了________秒，其中男运动员跑了________米，女运动员跑了________米；（3）两运动员从开始起跑到第一次在同一端点相遇止，共相遇了__________次．6、如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x 与货车在隧道内的长度y 之间的关系用图象描述大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图是张老师出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的关系图象，若用圆点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8、小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示的方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的关系图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q9、小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A ，再走下坡路到达点B ，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示．放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是（ ）A ．14分钟B ．17分钟C ．18分钟D ．20分钟题型三：变量之间的有关面积问题1、如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从B 点出发，沿B →C →D →A 匀速运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，若y 与x 的关系图象如图2所示，则AB 的长为_______，梯形ABCD 的面积为___________．（变式训练）如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC →CD →DA 运动至点A 停止．设点P 运动的时间为x ，△ABP 的面积为y ，若y 与x 的关系图象如图2所示，则m 的值是_______．图2图1图2y图1图2图1（2）图2中a =___________，b =___________．题型四：有关路程的图像问题1、明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程s （千米）与时间t （分）之间的关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为（）A ．12分B ．13分C ．14分D ．15分2、一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关闭进水管．在打开进水管到关闭进水管这段时间内，容器内的水量y （升）与时间x （分钟）之间的关系如图所示，则关闭进水管后，经过______分钟，容器中的水恰好完．3、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x （h ），两车之间的距离为y （km ），图中的折线表示y 与x 之间的关系．根据图象进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为________km ；（2）请解释图中点的实际意义；（3）求慢车和快车的速度． 4、李老师为锻炼身体一直坚持步行上班，已知学校到李老师家总路程为2 000米．一天，李老师下班后，以45米/分的速度从学校往家走，走到离学校900米时，正好遇到一个朋友，停下来聊了半小时，之后以110米/分的速度走回了家．李老师回家过程中，离家的路程s （米）与所用时间t （分）之间的关系如图所示．B（1）求a ，b ，c 的值；（2）求李老师从学校到家的总时间．题型五：有关路程的简答题1、一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设慢车离乙地的距离为y 1（km ），快车离乙地的距离为y 2（km ），慢车的行驶时间为x （h ），两车之间的距离为s （km ），y 1，y 2与x 的函数关系图象如图1所示，s 与x 的函数关系图象如图2所示．（1）图中的a =________，b =__________．（2）从甲地到乙地依次有E ，F 两个加油站，相距200km ，若慢车经过E 加油站时，快车恰好经过F 加油站，求F 加油站到甲地的距离．2、小明某天上午9时骑车离家，15时回家，下图描绘了他离家的距离与时间的具体变化情况．请结合图象回答以下问题：（1）他经过多长时间到达离家最远的地方？离家多远？ （2）11时到12时，他行驶了多少千米？（2） 他由离家最远的地方返回的平均速度是多少？图2图1/时后，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，并取得了优异的成绩．图中分别表示甲、乙两名运动员所跑的路程y （m ）与比赛时间x （s ）之间的关系，根据图象解答下列问题：（1）甲再次投入比赛后，甲的速度为____________； （2）甲再次投入比赛后，在距离终点多远处追上乙？（变式训练）甲、乙两地距离300km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA 表示货车离甲地的距离y （km ）与时间x （h ）之间的关系，折线BC —CD —DE 表示轿车离甲地的距离y （km ）与时间x （h ）之间的关系，根据图象，解答下列问题：（1）线段CD 表示轿车在途中停留了______小时； （3） 求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．y5、小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2 400 m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96 m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2 min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1 m，小明爸爸与家之间的距离为s2 m，图中折线OA-AB-BD、线段EF分别是表示s1，s2与t之间关系的图象．请问：小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？6、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到市图书馆查阅资料，学校与市图书馆之间的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达市图书馆，图中折线OA—AB—BC和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的关系，请根据图象回答下列问题：（1）小聪在市图书馆查阅资料的时间为_____分钟，小聪返回学校的速度为_____千米/分钟；（2）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？。

用图像表示的变量之间的关系知识梳理图象1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。

2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。

3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。

4、图象上的点：（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；（2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。

（3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。

（4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。

5、图象理解（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；（2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。

速度图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。

路程图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。

三种变量之间关系的表达方法与特点：例题剖析考点一：用图象表示的变量间关系1.在如图所示的三个图象中,有两个图象能近似地刻画如下a ,b 两个情境:情境a :小芳离开家不久,发现把作业本忘在家里,于是返回了家里找到了作业本再去学校;情境b :小芳从家出发,走了一段路程后,为了赶时间,以更快的速度前进.则情境a ,b 所对应的图象分别是( )A.③②B.②③C.①③D.③①考点二：从图象中获取信息1.如图是某一天北京与上海的气温T (单位:℃)随时间t (单位:h)变化的图象.根据图中信息,下列说法错误的是( )A.12时北京与上海的气温相同B.从8时到11时,北京比上海的气温高C.从4时到14时,北京、上海两地的气温逐渐升高D.这一天中上海气温达到4 ℃的时间大约在上午11时 考点三：描述图象的实际意义1. 如图,折线ABCDE 描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中,汽车离出发地的距离s (单位:km)和行驶时间t (单位:h)之间的函数关系.根据图中提供的信息,给出下列说法,其中正确的说法是( )A.汽车共行驶了120 kmB.汽车自出发后前3 h 的平均行驶速度为40 km/hC.汽车在整个行驶过程中的平均速度为40 km/hD.汽车自出发后3 h 至4.5 h 之间行驶的速度在逐渐减少 考点四：双图象问题1.已知A ,B 两地相距80 km,甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地,乙骑自行车,甲骑摩托车.图中DE ,OC 分别表示甲、乙离开A 地的路程s (单位:km)与时间t (单位:h)的函数关系,根据图象得出的下列信息错误的是( ) A.乙到达B 地时甲距A 地120 km B.乙出发1.8 h 被甲追上 C.甲、乙相距20 km 时,t 为2.4 h D.甲的速度是乙的速度的49倍 考点五：上下坡路图象问题1.早晨小亮骑车从家到学校,先上坡后下坡,行程情况如图所示,若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变,那么小亮骑车从学校到家用的时间是( )A.42 minB.48 minC.30 minD.33 min考点六：从图象中获取信息解决综合性问题1.“珍重生命,注意安全!”同学们在上、下学途中一定要注意骑车安全.陈杰骑自行车去上学,当他以往常的速度骑了一段路时,忽然想起要买某本书,于是又折回到刚经过的一家书店,买到书后继续赶去学校.以下是他本次上学所用的路程与时间的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题:(1)陈杰家到学校的距离是多少米?书店到学校的距离是多少米?(2)陈杰在书店停留了多少分钟?本次上学途中,陈杰一共行驶了多少米?(3)如果陈杰不买书,以往常的速度去学校,需要多少分钟?本次上学比往常多用多少分钟?(4)我们认为骑单车的速度超过300 m/min 就超越了安全限度.问:在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快,速度在安全限度内吗?考点七：曲线型图象1．用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（ ） （方法链接：图象法）A．B．C．D．2．如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t 时，蚂蚁与O 点的距离为s ，则s 关于t 的图象大致是（ ）A．B．C．D．3．如图是一台自动测温仪记录的图象，它反映了我市冬季某天气温T 随时间t 的变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）A ．凌晨4时气温最低为-3℃B ．14时气温最高为8℃C.从0至14时，气温随时间增长而上升 D ．从14时至24时，气温随时间增长而下降4．如图是某气象工作者利用仪器绘制的某地某天的气温图，观察气温图可知：当t=__________时，气温最低；当t 在__________时，气温呈上升状态；昼夜温差为__________．A B①30242001501000y /件t /天②30200525z /元t /天考点八：折线型图象1．如图是本地区一种产品3030天的销售图象，图①是产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位：天）的关系图，图②是一件产品的销售利润z （单位：元）与时间t （单位：天）的关系图，已知日销售利润=日销售量×每件产品的销售利润，下列结论错误的是（ ）．A ．第24天的销售量为200件B ．第10天销售一件产品的利润是15元C ．第24天与第30天这两天的日销售利润相等D ．第30天的日销售利润是750元2．某大坝开始下闸蓄水，如果平均每天流入库区的水量为am 3，平均每天流出的水量控制为bm 3，当蓄水位低于135m 时，b<a ；当蓄水位达到135m 时，b=a ．设库区的蓄水量y(m 3)与时间t （天）存在变量关系，那么表示y 与t 之间关系的大致图象为（ ）．A ．t /天y /m 3B ．t /天y /m 3C ．t /天y /m 3D ．t /天y /m 3考点九：速度变化型图象1．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示描述了他上学的情景，下列说法中错误的有（ ）个．①修车时间为15分钟； ②学校离家的距离为2000米；③到达学校时共用时间20分钟； ④自行车发生故障时离家距离为1000米． A ．1B ．2C ．3D ．42．小刘上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小刘离家的距离y （米）和所经过酌时间x （分）之间的关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）．55401003000y /米x /分A ．小刘家与超市相距3000米B ．小刘去超市途中的速度是300米／分C ．小刘在超市逗留了30分钟D ．小刘从超市返回家比从家里去超市的速度快201510010002000离家时间/分钟离家的距离/米。

变量之间的关系【要点梳理】知识点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量.注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.t 是自变量，s 是因变量.知识点二、用表格表示变量间关系借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.注意：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等.知识点三、用关系式表示变量间关系关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.注意：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.知识点四、用图象表示变量间关系图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.1、如图1汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况。

2、如图2，是某人骑自行车的行驶路程s（千米）随行驶时间t（时） 变化的图象，3、甲，乙两位同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶，到距A 地18千米的B 地，他们离出发地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系图象如图3所示．图1图2图3【典型例题】类型一、常量、自变量与因变量例1、对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是（）A、π、R是变量，2是常量B、R是变量，π是常量C、C是变量，π、R是常量D、C、R是变量，2、π是常量举一反三：1、从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中自变量是（）A、物体B、速度C、时间D、空气2、如图所示是用火柴棒拼成的图案，需用火柴棒的根数m 随着拼成的正方形的个数n的变化而变化，在这一变化过程中，下列说法中错误的是（）A、m，n都是变量B、n是自变量，m是因变量C、m是自变量，n是因变量D、m随着n的变化而变化3、设路程是s（km），速度是v（km/h），时间是t（h），当s=100时，t=100v，则下列说法正确的是（）A、路程s是不变量，时间t是自变量B、速度v是不变量，时间t是自变量C、时间t和速度v是变量，t是自变量，v是因变量D、时间t和速度v是变量，v是自变量，t是因变量4、下表是贝贝给姥姥打长途电话及电话费记录：通话时间/分1234567电话费/元0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2下列有关表格的分析中，不正确的是（）A、表中的两个变量是通话时间和电话费B、自变量是通话时间C、通话时间随电话费的变化而变化D、随着通话时间增长，电话费增多5、某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销售与定价的关系进行了调查，结果如下：定价（元）100110120130140150销量（个）801001101008060在这个问题中，下列说法正确的是（）A、定价是不变量，销量是变量B、定价是变量，销量是不变量C、定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量D、定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量6、某商场自行车存放处每周的存车量为5000辆次， 其中变速车存车费是每辆一次1元，普通车存车费为每辆一次0.5元，若普通存车量为x辆次，存车的总收入为y元，则y与x之间的关系式是（）A、y=0.5x+5000B、y=0.5x+2500C、y=-0.5x+5000D、y=-0.5x+2500类型二、用表格表示变量间关系例2、已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：底面半径x（cm） 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0用铝量y（cm3） 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当易拉罐底面半径为2.4cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由（4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响举一反三：7、父亲告诉小明：“距离地面的高度越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格．距离地面的高度/千米012345温度/℃201482-4-10根据上表，父亲还给了小明出了下面几个问题，你能帮助小明解答吗？（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？（3）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？类型三、用图象表示变量间关系例3、某游泳池分为深水区和浅水区，每次消毒后要重新将水注满泳池，假定进水管的水速是均匀的，那么游泳内水的高度h随时间t变化的大致图象是下图中的（）举一反三：8、一辆汽车由A地匀速驶往相距300千米的B地，汽车的速度是100千米/小时， 那么汽车离A地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系用图象表示为图中的（）9、如图所示是某人骑自行车的行驶路程s（千米）随行驶时间t（时） 变化的图象，则图象中AB段表示的意义是_______．9例410例4、甲，乙两位同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶，到距A地18千米的B地，他们离出发地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系图象如图所示．根据图中提供的信息，符合图象描述的说法是（）A、甲在行驶过程中休息了一会B、乙比甲先到达B地C、乙在行驶过程中没有追上甲D、甲的行驶速度比乙的行驶速度大举一反三：10、某校七年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车沿相同路线前主，如图，L1，L2分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系，则以下判断错误的是（）A、骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟B、步行的速度是6千米/时C、骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟D、骑车的同学和步行的同学同时到达目的地例5、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了.依据图象回答下列问题（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟；（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟；（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟；（4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米/分钟举一反三：11、某机动车出发前油箱内有油42L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（L）之间的关系如图8所示．回答问题：（1）机动车行驶几小时后加油？（2）中途中加油_________L；km h，（3）已知加油站距目的地还有240km，车速为40/若要达到目的地，油箱中的油是否够用？并说明原因．12、下面的图象反映的是小明从家跑步去图书馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买本，然后散步回家．图中x 表示时间，y 表示小明离家的距离．（1）图书馆离小明家有多远？小明从家到图书馆用了多少时间？（2）图书馆离文具店有多远？（3）小明在文具店停留了多少时间？（4）小明从文具店回到家的平均速度是多少？例6、某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件y （个）与生产时间t （小时）的函数关系如图所示．（1）根据图象填空：①甲、乙中，_______先完成一天的生产任务；在生产过程中，_______因机器故障停止生产_______小时．②当t _______时，甲、乙两产的零件个数相等．（2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．012345678t （时）4102540y （个）甲乙13、“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）类型四、用关系式表示变量间关系例7、某移动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费0.4元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话），若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为1y元和2y元．（1）写出1y、2y与x之间的关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些？）14、某文具店出售书包与文具盒，书包每个定价50元，文具盒每个定价10元．该店制定了两种优惠方案①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的8.5折（总价的85％）付款．某班学生需购买12个书包、文具盒如干（不少于12个）。

第三章复习一、知识梳理：1、在一个变化过程中数值保持不变的量叫做______，可以取不同数值的量叫做______；如果一个量随着另外一个量的变化而变化，那么把这个量叫做______，另一个量叫做______．2、变量之间关系的三种表示方法： 。

二、典型例题：1、某山区今年６月中旬的天气情况是：前５天小雨，后５天暴雨，那么反映该地区某河流水位变化的图像大致是（ ）A B C D2、为节约用水，利民学校冲厕水箱经改造后，当水箱水满后就按一定的速度放掉水箱的一半水，随后立即按一定的速度注水，等水箱的水满后，又立即按一定的速度放掉水箱一半的水，下面的图像可以刻画水箱的存水量v （立方米）与放水或注水时间t （分钟）之间的关系的是（ ）A B C3、观察右图回答下列问题： （1）a 代表物体从____________开始____________运动； （2）b 代表物体________________运动；（3）c 代表物体________________运动；（4）a 表示的速度________d 表的速度（填“>”、“=”或“<”）4、观察右图回答下列问题： （1）a 代表物体____________运动； （2）b 代表物体____________；（3）c 代表物体______运动直至回到______；5、拖拉机工作时，油箱中的余油量Q （升）与工作时间t （时）的关系式为406Q t =-．当4t =时，Q =_________，从关系式可知道这台拖拉机最多可工作_________小时．6、如图，在Rt ABC ∆中，已知90C ∠=，边AC=4cm ，BC=5cm ，点P 为CB 边上一动点，当点P 沿CB 从点C 向点B 运动时，APC ∆的面积发生了变化．（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？（2）如果设CP 长为xcm ，APC ∆的面积为2ycm ，则y 与x 的关系可表示为__________；cm变到______（3）当点P从点D（点D为BC的中点）运动到点B时，则APC的面积从______2 2cm7、下表是明明商行某商品的销售情况，该商品原价为560元，随着不同幅度的降价（单位：元），（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中那个是自变量，哪个是因变量？（2）每降价5元，日销量增加多少件？请你估计降价之前的日销量是多少？（3）如果售价为500元时，日销量为多少？8．如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，请你结合图片信息，解答下列问题：（1）加油过程中的常量是，变量是；（2）请用合适的方式表示加油过程中变量之间的关系．9.元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表所示：纸环数个彩纸链（1）猜想y与x 的关系式；（2）教室天花板长8m，宽6m，现需沿长方形天花板拉一周彩纸链，则至少要用多少个纸环?17. 用火柴棒按如图所示的方式搭成一行三角形．（1）（2）照此规律搭下去，搭个三角形时，需火柴棒根；（3）若用表示火柴棒总数，则关于的函数关系式是（为大于或等于的正整数）．。