郑州大学 材料力学 09应力分析

Analysis of Stress · Theory of Strength
第九章 应力分析和强度理论
§1 应力状态概念 §2 二向应力分析——解析法 §2 二向应力分析——图解法 §3 广义虎克定律 §4 强度理论
§1 概述 （Introduction）
一. 点的应力状态
应力不但与点的位置有关，且与过该点的截面方向有关
sz
z
x
可证明:
s2
s1
s1 s 2 s 3
三主平面 围成的单元体——
s3
主单元体( Principal Body )
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：
一个主应力不为零的应力状态。
（如：轴向拉压、纯弯曲构件中的点）
s1
二向应力状态（Plane State of Stress）： 两个主应力不为零的应力状态。
1与0 相差450
极值切应力面（ max ）与
min
s 主平面（ max）夹角45度
min
t
t max
min
s max s min
2
[例1]
30 (MPa) 20 20
（1）主应力
s max
min
s x s y
2
(
s x s y
2
) 2 t xy
2
19.3 0
20 30 2 20 30 ( ) ( 20 )2 2 2
F
A
F
sx
A
sx
C
sx
C
m1
sx tzx
B
t
y z
C B
x
m2
txz
t yx
B
t xy
三、主平面、主应力
y
主平面( Principal Plane )
sy
sx
切应力为零的微面
主应力( Principal Stress ）
主平面上的正应力 受力构件内过任一点皆有 三个 主平面（相互垂直） 和三个主应力（包括零值） 按代数值大小顺序
B
C
2 0 A
A(20,0) ,
D2
s 1 20, s 3 120MPa
量出： 20 450 ,
0 22.50
[例2] 受扭构件，分析破坏规律
tyx
A A
低碳钢试件沿横截面
解： 确定危险点并画单元体
sx sy 0
t xy
t
t xy
断开
求主应力、主平面 s max min
s
s x s y
2

s x s y
t
s x s y
2
2 sin 2 t xy cos 2
cos 2 t xy sin 2
sx t xy
s
n
y

x
sy
t yx
ta
sy
拉为正；

txy
sx
x
符号规则：
s , s x , s y
t 、t xy
从x
D2 (0,50)
300
100
半径CD1， 绘应力圆
(单位：MPa)
( x微面)
t
E
50MPa
斜截面应力
单元体斜截面与x轴夹角300 应力圆从D1同向转600 得E（－32，68）
0
D1
2 600
O
s 300 32,
t 30 68MPa
B(-120,0)
s
(MPa)
主应力及主平面
37 MPa 27
（2）主平面
37
27
s1 s3
2( 20 ) 20 30
已知一点应力状态, 试求 （1）主应力、主平面； （2）绘出主应力单元体 （3）切应力极值及其作用面
tg 2 0
2t xy
s x s y
0 .8
0
19.30 70.70
（如：横弯曲构件中大多数点）
s2
s1
三向应力状态（Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
s2
s1
s3
§2 平面应力 分析
( Analysis of Plane Stress ) 一. 任意斜截面上的应力
y
y
sy sx
n x
sy
n
t yx
一、应力圆（ Stress Circle ）
( Diagram of Plane Stress )
sx

s
s
sy
_ s x s y + =
s x s y
2
t xy t yx
t

s x s y
2
2
2
cos 2 t xy sin 2
sin 2 t xy cos 2
( 消去参数2 )：
0
dAsina
s s x cos2 s y si n2
t xy cos si n t yx si n cos 0
2 sin cos sin 2
t yx t xy
cos 2
化简 同理
1 (1 cos 2 ) sin 2 1 (1 cos 2 ) 2 2

t xy

x
txy
z
sx
n
sx
ta
s

sx

ta
sa
t
t xy t yx
t xy
sy
t
t yx
sy
dAcosa
dA
sx

s
n
( n 0 ) s dA

t
s x (dAcos ) cos t xy (dAcos ) sin
t xy
t yx
ta
sy
t yx (dAsin ) cos s y (dAsin ) sin
1.1
（实际方向） MPa
FS S * z 10 103 ( 80 60 50 ) tx 1.1MPa 3 [ 80( 160) / 12 ] 80 IZb ( )
2) 求斜截面应力 ( 30 )
0
3) 标于图上
s 30
0
s x s y s x s y cos 2 t xy sin 2 2 2
T t WP
t
D（x面） τ
A
铸铁试件沿与轴线约成 45螺旋线开。
A
t
t
450
－τ
s
τ
最大切应力及其作用面
, D（y面） －τ
（横截面—— t max 面）
s 1 t ; s 2 0
3
破坏分析
A
t
45
1)
低碳钢圆轴受扭，沿横截面（t max作用面）断开
t
源自文库
——表明由最大切应力引起（剪切破坏）
绕分析对象顺时针正;
n 逆时针为正
[例]
20kN
m
20
300
20
m
160
求梁中 m点 300斜截面应力
400
300 400
80
10
(截面图)
sy 0
t xy
sx
解：1) 取单元体，求出其各微面应力
（初始表示）
2.2
300
sx
My 3 106 ( 20 ) 2.2MPa ( ) IZ 80( 160)3 / 12
t y
两式两边平方相加
x
a
s
s x s y 2 s t 2 ( σα－ a ) 2 + τα2 =
s x s y 2
R2
2 t xy
2
此方程曲线为圆——应力圆
( x a )2 y 2 R2
（Mohr圆） (德) Otto Mohr提出
20
—— 左右两极
s min
D2
O
C
s max
s
t max
min
是应力圆上竖标最大点 ——上下两极
(sy ,tyx)
t min
[例1] 求图示单元体 1.斜截面应力; 2.主应力及主平面位置。
50 20 22.50
主单 元体
解： 坐标系内定出二点;
D1 (100 50) ,
两点连线定圆心C
低碳钢
低碳钢: s s 240 MPa;t s 200 MPa
2）灰口铸铁圆轴受扭，沿 45螺旋面（ s max 作用面) 断开
——表明由最大拉应力引起
（铸铁抗拉强度很低） 铸铁 灰口铸铁 :
s tb 98 ~ 280 MPa s cb 640 ~ 960 MPa ; t b 198 ~ 300 MPa
sin 20 , cos 20 ,
主 应 力
代回
s ：
t yx
t xy
sx
s max s x s y s x s y 2 2 （ ） t xy s min 2 2
若： y s
理论分析可知， 两主应力（
sx
sy
主单元体
σmax ，σmin）中代数值较大者 总是偏于（ σx， σ y ）中代数值较大者
——主平面
t 0
三、极值切应力
s x s y t sin 2 t xy cos 2 2
dt 令: d
0
1
s x s y tg 21 2t xy
tg 21 tg 2 0 1
t max （
min
s x s y
2
2 2 ） t xy
（圆心）
（半径平方）
圆心：
OC

s x s y
2
(中点)
半径：
( CD1 )2 (
s x s y
2
)2 t xy
2
三、图解斜截面应力 (s ,t )
t yx

sy
n
单元体与应力圆的对应关系 单元体
t
s
sx
应力圆
t xy
t
n
x 截面的应力值 一点的坐标值 (s ，t )
1.1
MPa
( 2.2 ) 0 ( 2.2 ) 0 cos 2( 30 o ) 2 2
( 1.1 ) sin 2( 30o )
2.6MPa
0.4
300 2.6
2.2
t 30
0
s x s y
2
sin 2 t xy cos 2
y x
2.2 0 sin 2( 30 o ) ( 1.1 ) cos 2( 30o ) 2
0.40MPa
s x s y 0 t sin 2 t xy cos 2 令 2 主 2t xy 上式可求出两 0 平 tg2 0 s x s y （相差 0） 面
90
——确定二主平面（互相垂直）
二. 主应力（s max
s min ）
y
sy
s max
min
n
0 x
t yx
sx sz
z
性质:
sy
q
sz
sx txy sy
x
同一点 若截取方向不同，
单元体各微面的应力就不同
若单元体三对微面应力已知， 则过该点任一方向截面应力皆
任一微面，应力不变； 两平行微面，应力相等，相反 .
可由 截面法 求得 ——
从而确定该点应力状态
[例] 画出下列图中的 A、B、C 点的单元体.
[例3] 求图示单元体的主应力及主平面的位置
(单位：MPa)
解 (一.解析法): 观察分析,非典型单元体—— s max
欲由主应力式求
min
x
4 50
须知相互垂直二微面的应力
40
10 30
F微面
取F微面为x面 则E微面为450面 若求出 s ，则
—— 应力圆；
t
F O
简证：
D1 ( s x ,t xy )
C
txy
以上绘出圆即为应力圆
G
s
——即符合应力圆方程：
2 2
syD2(sy ,tyx)
s x s y
2 s x
（全等）
s x s y
2
s x s y s x s y 2 2 s t t xy 2 2
s
A
A
低碳钢和铸铁试件受扭后，——分别沿横截面和450斜截面破坏 一点 无数截面 ，同一点各不同方向截面上的应力情况，称 为该点的应力状态 （Stress State ） 点的应力状态是取单元体分析
二、单元体
代表构件内一点的几何模型，围绕分析点截取的无限小体 （三方向尺寸微分长度表示），常取正六面体 y P
(3) 切应力极值及其作用面
t max
37
s max s min
2
450
min
37 ( 27 ) 2
19.3 0
32a M P
其作用面——与主平面交角45度
27
思考:
1)此处+－号的含义？
·· ·· ··
2）如何判断切应力极值 作用面上 t 的方向？
§3 平面应力 图解
x 两截面夹角 两点半径夹角2 （同一转向）
( s , t ) E 2
C
D1
(sx ,txy)
O
s
点面对应 转向相同
(sy , tyx)
D2
转角两倍
图解
s max t max（主应力、最大切应力）
min
min
t
t max
( x微面)
s max
D1(sx ,txy)
min
应是应力圆上横标 最大点
t yx

sy
t s
n
二、应力圆画法
sx

x
建立应力坐标系（选比例尺）
量取两点
t xy
t
D 1(
s x，txy )和 D2( sy，tyx )
两点连线—— (x面) D1(sx ,txy) 与s 轴交点C 即是圆心 C
O
D2(sy ,tyx)
(y面)
s
以C 为圆心，CD1为半径画圆
sx
主应力是过一点所有各截面的正应力中的极大、极小值
s
s x s y
t
令:
2 s x s y
2
0
0

s x s y
2
cos 2 t xy sin 2
sin 2 t xy cos 2
ds d
2(
s x s y
2
sin 2 0 t xy cos 20 ) 0