福建省宁德市2020届高三普通高中毕业班5月质量检查 数学(文)试题

2020届福建省宁德市高三下学期第二次（5月）质量检查数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先化简集合B,再求得解.详解：由题得，所以.故答案为：C点睛：本题主要考查集合的化简和交集，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.2. 复数A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用复数的除法法则化简即得解.详解：由题得.故答案为：A点睛：本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对这些知识的掌握能力.3. 下图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用相关系数的定义性质分析得解.详解：因为相关系数的绝对值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强.因为点E到直线的距离最远，所以去掉点E, 余下的个点所对应的数据的相关系数最大.点睛：本题主要考查回归直线和相关系数，相关系数的绝对值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强.4. 下列曲线中，既关于原点对称，又与直线相切的曲线是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先利用函数的奇偶性排除B,C，再求D选项的切线方程得解.详解：因为曲线关于原点对称，所以函数是奇函数.对于选项B,因为，所以它是偶函数，不是奇函数，故排除B.对于选项C，由于函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故排除C.对于选项D,，设切点为，则因为，所以或，当时，切线方程为.故答案为：D点睛：(1)本题主要考查函数的奇偶性和求曲线的切线方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)与曲线的切线有关（切点未知）的问题，一般先设切点，再利用导数的几何意义求切线的斜率，再根据切点在切线和曲线上，求出切点，最后写出切线的方程.5. 若，满足约束条件则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先作出不等式组对应的平面区域，再利用数形结合分析得到的最小值.详解：不等式组对应的平面区域如图所示：因为z=4x-y,所以y=-4x-z，直线的纵截距为-z,当直线经过点C时，纵截距-z最大值时，z最小.联立方程组得C.故的最小值为.故答案为：B点睛：(1)本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的能力.(2) y=-4x-z，直线的纵截距为-z,当直线经过点C时，纵截距-z最大值时，z最小.不要理解为纵截距最小，则z最小，一定看纵截距这个函数的单调性.对这一点，学生要理解掌握并灵活运用.6. 已知等差数列满足，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据已知求出或,再求得解.详解：由题得，，所以或,当时，当时，故答案为：C点睛：(1)本题主要考查等差数列的基本量的计算和通项公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2) 等差数列中，如果,则,注意这个性质的灵活运用.7. 如下图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先通过三视图找到几何体原图，进一步求出几何体的表面积．详解：根据三视图，该几何体是边长为2的正方体，在右前方切去一个边长为1的正方体，则表面积没有变化．故S=6•2•2=24．故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体的表面积的计算,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)得到几何体原图后，逐一计算出表面积也可以，但是观察到，虽然是正方体切去了一个小正方体，但是几何体的表面积没有变，提高了解题效率，意在考查学生的空间想象能力和观察能力.8. 将周期为的函数的图象向右平移个单位后，所得的函数解析式为A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：先化简f(x),再求出w的值，再求平移后的函数解析式得解.详解：由题得，因为函数的周期是所以所以.将函数f(x)向右平移个单位后，所得的函数解析式为,故答案为：A点睛：(1)本题主要考查三角函数解析式的求法，考查函数图像的变换，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像, 把函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像,简记为“左加右减”.9. 过抛物线的焦点作一倾斜角为的直线交抛物线于，两点（点在轴上方），则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设先求出的关系，再求的值得解.详解：设由题得由题得，所以所以.故答案为：C10. 已知若函数只有一个零点，则实数的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先求出分段函数的每一段的单调性，从而得到函数的单调性，再利用函数的单调性转化为只有一个解,最后利用二次函数的图像性质得解.详解:由题得函数在都是增函数,由于-1+1=ln(-1+2)=0,所以是单调增函数,因为函数只有一个零点，所以只有一个零点,因为是单调增函数,所以只有一个解,所以只有一个解.所以故答案为：B点睛：解答本题关键有两点，其一是分析出函数的单调性，先利用复合函数的单调性得到函数在都是增函数,再根据端点值得到函数是单调增函数,其二是将命题转化为只有一个解.对于函数的零点问题常用的是图像法.11. 将一个内角为且边长为的菱形沿着较短的对角线折成一个二面角为的空间四边形，则此空间四边形的外接球的半径为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析: 首先把平面图形转换为空间图形，进一步利用球的中心和勾股定理的应用求出结果．详解: 如图所示：菱形ABCD的∠A=60°，沿BC折叠，得到上图，则E、F分别是△ABC和△BCD的中心，球心O为△ABC和△BCD的过中心的垂线的交点，则：OE=OF=1，EC=2，利用勾股定理得：故答案为：D点睛: (1)本题主要考查空间几何体的外接球问题，考查二面角，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及空间想象能力. (2)解答本题的关键是找到球心,由于E、F分别是△ABC和△BCD的中心，所以球心O 为△ABC和△BCD的过中心的垂线的交点.12. 记为数列的前项和，满足，，若对任意的恒成立，则实数的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据数列{a n}求解S n，利用不等式的性质求解．详解：由a1=，2a n+1+3S n=3（n∈N*），则2a n+3S n﹣1=3．两式相减，可得2a n+1﹣2a n+3a n=0，即．∵a1=，∴a n==3•2﹣n．那么S n==1．∴≤S n．要使对任意的n∈N*恒成立．根据勾勾函数的性质，当S n=时，取得最大值为∴实数M的最小值为．故答案为：C点睛：（1）本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，意在考查了学生对这些基础知识的掌握能力及推理能力与计算能力．（2）解答本题的一个关键是求的范围，由于S n=1，所以奇数项都大于1，单调递减，偶数项都小于1，单调递增.所以最大，最小.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知两个单位向量，，且，则，的夹角为_______．【答案】【解析】分析：直接把两边平方，再展开即得的夹角.详解：由题得故的夹角为.故答案为：点睛：本题主要考查向量的数量积及向量的运算，考查向量的夹角，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及基本的运算能力.14. 已知点是以，为焦点的双曲线上的一点，且，则的周长为______．【答案】【解析】分析：根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=2，又由|PF1|=3|PF2|，计算可得|PF1|=3，|PF2|=1，又由|F1F2|=2c=2，由三角形的周长公式计算可得答案．详解：根据题意，双曲线C的方程为x2﹣y2=1，则a=1，b=1，则c=，则||PF1|﹣|PF2||=2a=2，又由|PF1|=3|PF2|，则|PF1|=3，|PF2|=1，又由c=，则|F1F2|=2c=2，则△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+2；故答案为：4+2点睛：(1)本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的定义,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)在圆锥曲线种，只要看到焦半径就要联想到曲线的定义分析解答，这是一个解题技巧，学生要掌握.15. 我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为，，，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组的解．其解题过程可用框图表示如下图所示，则框图中正整数的值为 ______．【答案】4【解析】分析：由得y=25﹣x，结合x=4t，可得框图中正整数m的值．详解：由得：y=25﹣x，故x必为4的倍数，当x=4t时，y=25﹣7t，由y=25﹣7t＞0得：t的最大值为3，故判断框应填入的是t＜4？，即m=4，故答案为：4点睛: 本题考查的知识点是程序框图，根据已知分析出y与t的关系式及t的取值范围，是解答的关键．16. 已知定义在上的函数满足且，若恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】分析：求出f（x）的解析式为f（x）=e x，结合函数图象即可得出a的范围．详解：∵＞0，∴f（x）为增函数，∴f（f（x）﹣e x）=1，∴存在唯一一个常数x0，使得f（x0）=1，∴f（x）﹣e x=x0，即f（x）=e x+x0，令x=x0可得+x0=1，∴x0=0，故而f（x）=e x，∵f（x）≥ax+a恒成立，即e x≥a（x+1）恒成立．∴y=e x的函数图象在直线y=a（x+1）上方，不妨设直线y=k（x+1）与y=e x的图象相切，切点为（x0，y0），则，解得k=1．∴当0≤a≤1时，y=e x的函数图象在直线y=a（x+1）上方，即f（x）≥ax+a恒成立，：故答案为：[0，1]．点睛：本题解答的关键有两个，其一是根据已知条件求出f（x）=e x，其二是数形结合分析e x≥a（x+1）恒成立．重点考查学生的分析推理能力和数形结合的能力.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明证明过程和演算步骤．17. 的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求边上高的长．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先利用正弦定理边化角得到，求出A的大小.(2)先利用余弦定理求c，再利用直角三角函数求边上高的长．详解：（1）由正弦定理有，，，（2）由余弦定理有：，或（舍去）点睛：（1）本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析转化能力.(2)数学的解题必须严谨，在得到后，不能简单两边同时除以sinC,必须说明，才能同时除以sinC.在有的地方容易出错.18. 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：元/分．已知陈先生的家离上班公司公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为分．（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于分钟的概率；（2）若公司每月发放元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车（每月按天计算），并说明理由.（同一时段，用该区间的中点值作代表）【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用对立事件的概率公式求陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率.(2)比较每个月的费用和元的大小，即得解.详解：（1）设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟”的事件为则所求的概率为所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率为.（2）每次开车所用的平均时间为每次租用新能源租赁汽车的平均费用为每个月的费用为，因此公车补贴够上下班租用新能源分时租赁汽车.点睛：本题主要考查对立事件的概率，考查平均值的计算等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析能力.19. 如图，在四棱锥中，，，，.（1）求证：；（2）若，，为的中点．（i）过点作一直线与平行，在图中画出直线并说明理由；（ii）求平面将三棱锥分成的两部分体积的比．【答案】（1）见解析；（2）见解析，【解析】分析: (1) 取中点,连接,,先证明面,再证明.(2) (i)取中点,连接,,则，即为所作直线,证明四边形为平行四边形即得证. （ii）先分别计算出两部分的体积，再求它们的比.详解：（1）证明：(1)取中点,连接,,为中点，又,为中点，又，面又面，(2)(i)取中点,连接,,则，即为所作直线,理由如下:在中、分别为、中点,且又,且，四边形为平行四边形.(ii),,，面又在中,,,又,面，.：（1）本题主要考查空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.（2）对于空间平行垂直位置关系的证明有几何法和向量法两种方法，空间几何体体积的计算有公式法、割补法和体积变换法三种方法.20. 已知椭圆的离心率为，四个顶点所围成的四边形的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，斜率为的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】分析：（1）根据已知列出方程组解方程组即得椭圆的方程.(2) 设直线的方程为,,再求面积的最大值得到t的值，即得直线的方程.详解：（1）,,又,联立①②得．椭圆方程为．（2）由（1）得椭圆方程为,依题意,设直线的方程为,,点到直线的距离为,联立可得,显然,,当且仅当时,即时取等号,,此时直线的方程为或．点睛：（1）本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力和计算能力. (2)解答本题的关键是得到后如何求函数的最大值，本题是利用基本不等式求的最大值,简洁明了,解题效率高.21. 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若函数有三个零点，证明：当时，．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论得到的单调性.(2)先转化函数有三个零点得到，再利用分析法和导数证明.详解：(1)令,则或,当时,,在上是增函数；当时,令,得,,所以在,上是增函数；令,得,所以在上是减函数当时,令,得,,所以在,上是增函数；令,得,所以在上是减函数综上所述：当时,在上是增函数；当时,在,上是增函数,在上是减函数.当时,在,上是增函数,在上是减函数.（2）由(1)可知：当时,在上是增函数，函数不可能有三个零点；当时,在,上是增函数,在上是减函数.的极小值为，函数不可能有三个零点当时,,要满足有三个零点,则需,即当时,要证明：等价于要证明即要证：由于,故等价于证明：,证明如下：构造函数令,函数在单调递增,函数在单调递增,∴．22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；（2）当变化时设的交点的轨迹为，若过原点，倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值．【答案】（1），；（2）1【解析】分析：（1）直接代极坐标公式化极坐标为直角坐标，利用三角恒等式消参得到的直角坐标方程，再化为极坐标方程.(2)利用直线参数方程t的几何意义求求的值.详解：（1）由：，得，即，曲线化为一般方程为：，即，化为极坐标方程为：．（2）由及，消去，得曲线的直角坐标方程为．设直线的参数方程为（为参数），与联立得，即，故，，∴．点睛：（1）本题主要考查直角坐标、极坐标和参数方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及运算能力. (2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.（2）由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上两点间的距离,不管两点在哪里，总有.23. 已知实数x, y满足.（1）解关于x的不等式；（2）若，证明：【答案】（1）；（2）9【解析】分析：（1）先消去y，再利用零点分类讨论法解绝对值不等式.(2)利用基本不等式证明.详解：（1），当时，原不等式化为，解得，∴；当时，原不等式化为，∴；当时，原不等式化为，解得，∴；综上，不等式的解集为．（2）且，.当且仅当时，取“=”.点睛：（1）本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查不等式的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分类讨论能力.(2)第（2）的关键是常量代换，，常量代换之后才方便利用基本不等式证明.。

2020届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4）文 科 数 学本试卷共 5 页。

满分 150 分。

注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，(){}lg 1B x y x ==-，则AB =A ．{}13x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}1,2,3D ．{}2,3 2．已知i 是虚数单位，复数3iiz +=，则z 的共轭复数z = A ．13i - B ．13i + C ．13i -- D ．13i -+ 3．已知向量,a b 的夹角为60︒，2=a ，1=b ，则2-=a bA ．3B ．2C ．5D ．4 4．设x ,y 满足约束条件10,240,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则2z x y =-的最大值为A ．1-B ．0C ．4D ．65．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是 某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．30πB ．24πC ．15πD ．9π{}23A x x =∈-≤≤Z6．已知(0,)θ∈π，2sin2cos21θθ=-，则cos θ=A ．255B ．55C ．255-D ．55-7．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合 称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所 对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入1988N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出5x =，从干支表中查出对应 的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年， 则该年所对应的干支为 A. 己巳 B. 庚午 C. 壬戌 D. 癸亥8．在四面体ABC S -中，ABC SA 平面⊥，2,3====SA BC AC AB ，则该四面体的外 接球的半径为A ．1B ．3C ．2D ．4 9．已知函数||()e x f x =，13(log 2)a f =，(2)b f =，2(log 3)c f =，则A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b << 10．已知函数π()sin()(0,)2f x ωx φωφ的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则()f x 的图象 A ．关于点5π(,0)12对称 B ．关于直线π6x 对称 C ．在单调递增 D ．在π7π[,]1212单调递减 11．已知可导函数()f x 的定义域为R ，且满足(4)()f x f x +=-，(2)()0x f x '-<，则对任意的12x x <，“12()()f x f x <”是“124x x +<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[,]1212π5π-开始输入N 是否输出x结束5 6 7 戊辰 己巳 庚午 58 59 60 辛酉壬戌癸亥12．已知双曲线C 的两个顶点分别为12,A A ，若C 的渐近线上存在点P ，使得12|||PA PA =，则C 的离心率的取值范围是A ．(]1,3B ．[)3,+∞C ．(]1,2D ．[)2,+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，则该抛物线的标准方程为_________．14．甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种．若 出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子．玩一次该游戏，甲同学不输的概率为_________．15．在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，135B ︒∠=，5AB AC CD ===，则AD =_________．16．已知函数22log ,0,()21,,x x a f x x x x a <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩若存在实数m ，使得方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_________．三、解答题：共70分。

2020届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4）文科数学本试卷共 5 页。

满分 150 分。

注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，(){}lg 1B x y x ==-，则A B =IA ．{}13x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}1,2,3D ．{}2,3 2．已知i 是虚数单位，复数3iz +=，则z 的共轭复数z = A ．13i -B ．13i +C ．13i --D ．13i -+ 3．已知向量,a b 的夹角为60︒，2=a ，1=b ，则2-=a bA ．3B ．2C ．5D ．44．设x ,y 满足约束条件10,240,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则2z x y =-的最大值为A ．1-B ．0C ．4D ．65．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是 某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．30πB ．24πC ．15πD ．9π{}23A x x =∈-≤≤Z6．已知(0,)θ∈π，2sin2cos21θθ=-，则cos θ=ABC．D．7．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合 称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所 对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入1988N =，执行 该程序框图，运行相应的程序，输出5x =，从干支表中查出对应 的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年， 则该年所对应的干支为 A. 己巳 B. 庚午 C. 壬戌 D. 癸亥8．在四面体ABC S -中，ABC SA 平面⊥，2,3====SA BC AC AB ，则该四面体的外 接球的半径为A ．1BC ．2D ．49．已知函数||()e x f x =，13(log 2)a f =，(2)b f =，2(log 3)c f =，则A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b << 10．已知函数π()sin()(0,)2f x ωx φωφ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则()f x 的图象 A ．关于点5π(,0)12对称B ．关于直线π6x =对称 C ．在单调递增 D ．在π7π[,]1212单调递减 11．已知可导函数()f x 的定义域为R ，且满足(4)()f x f x +=-，(2)()0x f x '-<，则对任意的12x x <，“12()()f x f x <”是“124x x +<”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[,]1212π5π-12．已知双曲线C 的两个顶点分别为12,A A ，若C 的渐近线上存在点P ，使得12|||PA PA =，则C 的离心率的取值范围是A ．(]1,3B ．[)3,+∞C ．(]1,2D ．[)2,+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，则该抛物线的标准方程为_________．14．甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种．若 出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子．玩一次该游戏，甲同学不输的概率为_________．15．在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，135B ︒∠=，5AB AC CD ===，则AD =_________．16．已知函数22log ,0,()21,,x x a f x x x x a <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩若存在实数m ，使得方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_________．三、解答题：共70分。

看书 运动 聚会 上网 其它宁德市普通高中毕业班质量检查数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{1,0,1}M =-，{}2|0N x x x =+=，则MN =A ．{1}-B ．{0,1}C ．{1,0}-D ．{1,0,1}- 2．已知复数i(2i)z =-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 已知向量(2,1)=-a ，(1,2)x =+-b ，若a//b ，则=a +b A ．1 B D ．4. 某社区以 “周末你最喜爱的一个活动”为题， 对该社区2000个居民进行随机抽样调查 （每位被调查居民必须而且只能从运动、 上网、看书、聚会、其它等五项中选择一 个项目）若抽取的样本容量为50，相应的 条形统计图如图所示．据此可估计该社区中，，(n x x ++-最喜欢运动的居民人数为A ．80B ．160C ．200D ．3205. 要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度6．在三棱锥S ABC -中，2CA CB CS ===，SC ⊥平面 ABC ,90ACB ∠=.若其正视图，俯视图如图所示，则 其侧视图的面积为A 6B ．2C 3D 27. 已知直线12:10,:(23)10l x ay l ax a y +-=--+=，则“2a =”是 “12l l ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．如果执行如右所示的程序框图，那么输出的S = A ．63B ．127C ．128D ．2559．设n m ,是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则 下列命题正确的是A ．若,m αβα⊥⊥，则//m βB ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβC ．若,//m n m α⊥，则n α⊥D ．若//,//m n αα，则//m n10. 已知函数()f x 的图象如右图所示，则()f x 的解析式可以是A ．1()f x x x=- B ．e ()x f x x =C ．21()1f x x =- D ．ln ()x f x x =11. 已知函数21(),0,()21,0,xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-+>⎩不等式(3)(sin 1)f a t f t <+对任意实数t 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,3)-∞D ．(3,)+∞ 12．若点集M 满足：任意(,),x y M ∈均有(,),kx ky M ∈其中(0,1)k ∈，则称该点集M是“k 阶保守”点集．下列集合：①2{(,)|}x y x y ≥，②22{(,)|21}x y x y +<， ③22{(,)|20}x y x y x y +++=，④332{(,)|0}x y x y x y +-=，其中是“12阶保守”结束开始 0,1i s == 5?i >1i i =+输出s否是2i s s =+ 俯视图正视图CBAS点集的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13. 已知,x y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为ˆ 1.02y x a =+，则a =________.14. 若双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线的离心率为________.15. 某公司有10万元资金，计划投资甲、乙两个项目，项目甲每投资1万元可获利0.2万元，项目乙每投资1万元可获利0.3万元. 按要求项目甲的投资资金不低于项目乙投资资金的32，且每个项目的投资资金不能低于2万元，则投资甲、乙两个项目可获得的最大利润为________万元.16．已知()41,()4x x f x g x -=+=．若偶函数()h x 满足()()()h x mf x ng x =+(其中,m n 为常数)，且最小值为1，则m n +＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）某品牌电视专卖店，在“五一”期间设计一项有奖促销活动：每购买一台电视，即可通过电脑产生一组3个数的随机数组，根据下表兑奖：每组3个数，试验结果如下所示：975，146，858，513，277，645，903，756，111，783， 834，527，060，089，221，368，054，669，863，175．（Ⅰ）请根据以上模拟数据估计：若活动期间商家卖出100台电视应付出奖金多少元？ （Ⅱ）在以上模拟数据的前5组数中，随机抽取2组数，试写出所有的基本事件，并求至少有一组获奖的概率．18．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =,*1()1N nn n a a n a +=∈+. （Ⅰ）设1n nb a =，求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）若1nn a c n =+，求数列{}n c 的前n 项和n S . 19．（本小题满分12分）如图所示的多面体111A ADD BCC 中，底面ABCD 为正方形，1AA //1DD //1CC ，111224AB AA CC DD ====，且1AA ABCD ⊥底面．（Ⅰ）求证：1A B //11CDD C 平面； （Ⅱ）求多面体111A ADD BCC 的体积V ． 20．（本小题满分12分）已知函数()2sin()(0,)2f x x ωϕωϕπ=+><在一个周期内的图象如图所示，,M N 是图象与x 轴的交点，P 是图象与y 轴的交点, 2,PM=PN=cosMPN ∠=（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及点P （Ⅱ）求函数()()()g x f x f x =+-21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>,动直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，且90AOB ︒∠=°（其中O 坐标原点）.（Ⅰ）若椭圆过点(2,0)，且右焦点与短轴两端点围成等边三角形． （ⅰ）求椭圆C 的方程； （ⅱ）求点O 到直线l 的距离．A 1D CD 1C 1A（Ⅱ）探究是否存在定圆与直线l 总相切？若存在写出定圆方程（不必写过程），若不存在，说明理由. 22．（本小题满分14分）已知函数3()f x x bx c =++在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=．（Ⅰ）求实数,b c 的值；（Ⅱ）求函数3()[()]e xg x f x x =-在区间[,1]t t +的最大值；（Ⅲ）设()()6ln h x f x x =+，问是否存在实数m ，使得函数()h x 的图象上任意不同的两点1122(,()),(,())A x h x B x h x 连线的斜率都大于m ？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈）。

宁德市2020届普通高中毕业班质量检查试卷（5.4）文 科 数 学本试卷共 5 页。

满分 150 分。

注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}23A x x =∈-≤≤Z ，(){}lg 1B x y x ==-，则A B =IA ．{}13x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}1,2,3D ．{}2,3 2．已知i 是虚数单位，复数3iz +=，则z 的共轭复数z = A ．13i - B ．13i + C ．13i -- D ．13i -+ 3．已知向量,a b 的夹角为60︒，2=a ，1=b ，则2-=a bA ．3B ．2C ．5D ．4 4．设x ,y 满足约束条件10,240,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则2z x y =-的最大值为A ．1-B ．0C ．4D ．65．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是 某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．30πB ．24πC ．15πD ．9π6．已知(0,)θ∈π，2sin2cos21θθ=-，则cos θ=A ．25 B ．5 C ．25- D ．5-7．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合 称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所 对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入1988N =，执行 该程序框图，运行相应的程序，输出5x =，从干支表中查出对应 的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年， 则该年所对应的干支为 A. 己巳 B. 庚午 C. 壬戌 D. 癸亥8．在四面体ABC S -中，ABC SA 平面⊥，2,3====SA BC AC AB ，则该四面体的外 接球的半径为A ．1 BC ．2D ．4 9．已知函数||()e x f x =，13(log 2)a f =，(2)b f =，2(log 3)c f =，则A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b << 10．已知函数π()sin()(0,)2f x ωx φωφ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则()f x 的图象 A ．关于点5π(,0)12对称 B ．关于直线π6x =对称 C ．在[,]1212π5π-单调递增 D ．在π7π[,]1212单调递减 11．已知可导函数()f x 的定义域为R ，且满足(4)()f x f x +=-，(2)()0x f x '-<，则对任意的12x x <，“12()()f x f x <”是“124x x +<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知双曲线C 的两个顶点分别为12,A A ，若C 的渐近线上存在点P ，使得12|||PA PA =，则C 的离心率的取值范围是A ．(]1,3B ．[)3,+∞C ．(]1,2D ．[)2,+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．。

2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A =｛x ｜y =log 2(x −1)｝，B =｛y ｜y =√2−x ｝，则A ∩B =( )A. (0,2］B. (1,2)C. (1,+∞)D. (1,2］2. 若复数z =2i+4i−1，则z =( )A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i3. 设单位向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 的夹角为120°，a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，则|a⃗ |=( ) A. 3 B. √3C. 7D. √74. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 35. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. 18πB. 21πC. 27πD. 36π6. 若cos(π4−θ)⋅cos(π4+θ)=√26(0<θ<π2)，则sin2θ=( )A. √73B. √23C. √76D. √3467. 如图所示的程序框图，若f(x)=log a x ，g(x)=lnx ，输入x =2016，则输出的ℎ(x)=( )A. 2016B. 2017C. log a2016D. log a20178.已知空间四面体S−ABC中，SA,SB,SC两两垂直且SA=SB=SC=2，那么四面体SABC的外接球的表面积是()A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π9.已知f(x)=lg(10+x)+lg(10−x)，则f(x)是()A. f(x)是奇函数，且在(0,10)是增函数B. f(x)是偶函数，且在(0,10)是增函数C. f(x)是奇函数，且在(0,10)是减函数D. f(x)是偶函数，且在(0,10)是减函数10.已知图象经过点(7π12,0)的函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，则φ=()A. −π3B. π6C. π3D. −π611.定义在R上的函数y=f(x)，恒有f(x)=f(2−x)成立，且f′(x)⋅(x−1)>0，对任意的x1<x2，则f(x1)<f(x2)成立的充要条件是()A. x2>x1≥1B. x1+x2>2C. x1+x2≤2D. x2>x1≥1212.已知双曲线x2(m+1)2−y2m2=1(m>0)的离心率为√52，P是该双曲线上的点，P在该双曲线两渐近线上的射影分别是A，B，则|PA|⋅|PB|的值为()A. 45B. 35C. 43D. 34二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.经过点P(4,−2)的抛物线的标准方程为__________．14. “石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则为：石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.甲、乙两人参加游戏，若两人都随机出手，则甲出手不超过2次，甲即可胜出的概率为_________． 15. 在平面四边形ABCD 中，若，BC =2，B =60∘，C =45∘，D =120∘，则AD =______．16. 已知函数f(x)={log 2x(0<x <2)(12)x +34(x ≥2)，若函数g(x)=f(x)−k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知正项数列{a n −1}是公差为2的等差数列，且√24是a 2与a 3的等比中项。

12020届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. D2.B3.B4. C5.B6.D7.A8. C9.D 10.C 11.C 12.A二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．22x y = 14．2315． 16．(0,1)(1,2)U三、解答题：本大题 共6小题，共70分．17. 本小题主要考查等差等比数列的通项公式、裂项求和法等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等．满分12分．解：（1）设数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，因为139,,a a a 成等比数列，所以2319a a a =， 即2111(2)(8)a d a a d +=+,得1a d =， ①……………………………………………2分 又5822a a =-，所以112(4)72a d a d +=+-,得12a d +=-， ②……………………………………4分 联立①②，解得11a d ==-，…………………………………………………………5分 所以n a n =-.……………………………………………………………………………6分（2）111(1)n n n b a a n n +==---…………………………………………………………………7分1(1)n n =+……………………………………………………………………8分111n n =-+…………………………………………………………………9分 123...n S b b b =+++11111(1)()...()2231n n =-+-++-+………………………………………………10分 111n =-+ 1n n =+……………………………………………………………………………12分。

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A ={x ∈Z |﹣2≤x ≤3}，B ={x |y =()lg 1-x }，则A ∩B =( )
A. {x |1＜x ≤3}
B. {x |x ≥﹣2}
C. {1，2，3}
D. {2，3} 【答案】D
【解析】
【分析】
分别求解集合A ，B ，即可求出A ∩B .
【详解】由10x ->得1x >，所以B ={x |y =()lg 1-x }={x |1x >}， 又A ={x ∈Z |﹣2≤x ≤3}={﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A ∩B ={2，3}.
故选：D
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.
2. 已知i 是虚数单位，复数3i z +=
，则z 的共轭复数z =( ) A. 13i
B. 13i
C. 13i -
D. 13i - 【答案】B
【解析】 【分析】
先计算z ，由共轭复数概念即可得z . 【详解】∵)()23313i i i z i i i -=
==-， ∴13z i =.
故选：B
【点睛】本题主要考查了复数的除数运算，共轭复数的概念，考查学生对基本概念的理解.
3. 已知向量a 与b 的夹角为
3π，|a |=2，|b |=1，则|a -2b |=( ) A. 4 B. 3
C. 2
D. 1。

2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）1．已知集合A ＝{x ∈Z|﹣2≤x ≤3}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ≤3}B ．{x |x ≥﹣2}C ．{1，2，3}D ．{2，3}2．已知i 是虚数单位，复数z =√3+i i，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1−√3iB ．1+√3iC ．−1−√3iD ．−1+√3i3．已知向量a →与b →的夹角为π3，|a →|＝2，|b →|＝1，则|a →−2b →|＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．设x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0，2x +y −4≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝2x ﹣y 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．4D ．65．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．30πB ．24πC ．15πD ．9π6．已知θ∈（0，π），2sin2θ＝cos2θ﹣1，则cos θ＝（ ）A．2√55B．√55C．−2√55D．−√557．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入N＝1988，执行该程序框图，运行相应的程序，输出x＝5，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为（）六十干支表（部分）567戊辰己巳庚午585960辛酉戌壬癸亥A．己巳B．庚午C．壬戌D．癸亥8．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝3，SA＝2，则该四面体的外接球的半径为（）A．1B．√3C．2D．49．已知函数f（x）＝e|x|，a=f(log132)，b＝f（2），c＝f（log23），则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b10．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则f（x）的图象（）A．关于点(5π12，0)对称B．关于直线x=π6对称C．在[−π12，5π12]单调递增D．在[π12，7π12]单调递减11．已知可导函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+4）＝f（﹣x），（x﹣2）f'（x）＜0，则对任意的x1＜x2，“f（x1）＜f（x2）”是“x1+x2＜4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．已知双曲线C的两个顶点分别为A1，A2，若C的渐近线上存在点P，使得|PA1|=√2|PA2|，则C的离心率的取值范围是（）A．（1，3]B．[3，+∞）C．（1，2]D．[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若抛物线经过点(−1，12)，（2，2），则该抛物线的标准方程为．14．甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种．若出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子．玩一次该游戏，甲同学不输的概率为．15．在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝135°，AB=3√2，AC=3√5，CD=5，则AD＝．16．已知函数f(x)={log2x，0＜x＜a，x2−2x+1，x≥a，若存在实数m，使得方程f（x）﹣m＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a9成等比数列，且2a5＝a8﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．18．A、B两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩（单位：分）记录如下：A71 62 72 76 63 70 85 83B73 84 75 73 7876 85B同学的成绩不慎被墨迹污染（，分别用m，n表示）．（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A、B两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由（不用计算）；（2）若B同学的平均分为78，方差s2＝19，求m，n．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A'B'C'D'中，四边形ABCD为平行四边形，DD'＝CD＝4，AD ＝2，∠BAD＝60°，且点D'在底面上的投影H恰为CD的中点．（1）棱BC上存在一点N，使得AD⊥平面D′HN，试确定点N的位置，说明理由；（2）求三棱锥C'﹣A'HC的体积．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的一动点，△PF 1F 2面积的最大值为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q ，点A(2√2，0)，证明：直线PA 与直线QA 关于x 轴对称．21．已知f （x ）＝（ax +b ）（e x +x +2）在点（0，f （0））处的切线方程为6x ﹣y ＝0． （1）求实数a ，b 的值；（2）当x ＞0时，证明：f （x ）＞2lnx +2x +3．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =cosα，y =sinα(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(1，π2)，直线l 的极坐标方程为ρcos θ+2ρsin θ﹣8＝0．（1）求点A 的直角坐标和直线l 的直角坐标方程；（2）把曲线C 1上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的√3倍，得到曲线C 2，B 为C 2上动点，求AB 中点P 到直线l 距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |+|x +1|，m ∈N *，若存在实数x 使得f （x ）＜3成立．（1）求m的值；（2）若α，β＞0，（4α﹣1）（β﹣1）＝m，求α+β的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈Z|﹣2≤x ≤3}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ≤3}B ．{x |x ≥﹣2}C ．{1，2，3}D ．{2，3}【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：集合A ＝{x ∈Z|﹣2≤x ≤3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}＝{x |x ＞1}，∴A ∩B ＝{2，3}． 故选：D ．2．已知i 是虚数单位，复数z =√3+i i，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1−√3iB ．1+√3iC ．−1−√3iD ．−1+√3i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵z =√3+ii=(√3+i)(−i)−i2=1−√3i ， ∴z =1+√3i ． 故选：B ．3．已知向量a →与b →的夹角为π3，|a →|＝2，|b →|＝1，则|a →−2b →|＝（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】由模长公式可得|a →−2b →|=√a →2−4a →⋅b →+4b →2，代入已知数据计算可得．解：∵向量a →与b →的夹角为π3，|a →|＝2，|b →|＝1，∴|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√a →2−4a →⋅b →+4b →2 =√22−4×2×1×12+4×12=2故选：C ．4．设x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0，2x +y −4≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝2x ﹣y 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．4D ．6【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z ＝2x ﹣y 过点（2，0）时，z 最大值即可．解：x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0，2x +y −4≤0，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图，做出基准线0＝2x ﹣y ，由图知，当直线z ＝2x ﹣y 过点A （2，0）时，z 最大值为4． 故选：C ．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．30πB．24πC．15πD．9π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r＝3，高h＝4．再由圆锥的表面积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r＝3，高h＝4．则圆锥的表面积为S＝π×32+π×3×5＝24π．故选：B．6．已知θ∈（0，π），2sin2θ＝cos2θ﹣1，则cosθ＝（）A．2√55B．√55C．−2√55D．−√55【分析】由二倍角公式化简已知等式可得：2sinθcosθ＝﹣sin2θ，由sinθ＞0，可求sinθ＝﹣2cosθ，cosθ＜0，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解cosθ的值．解：∵θ∈（0，π），2sin2θ＝cos2θ﹣1，∴4sinθcosθ＝1﹣2sin2θ﹣1，可得：2sinθcosθ＝﹣sin2θ，∵sinθ＞0，∴可得：sinθ＝﹣2cosθ，cosθ＜0，∴sin2θ+cos2θ＝4cos2θ+cos2θ＝5cos2θ＝1，可得cos2θ=15，∴cosθ=−√5．5故选：D．7．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入N＝1988，执行该程序框图，运行相应的程序，输出x＝5，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为（）六十干支表（部分）567戊辰己巳庚午585960辛酉戌壬癸亥A．己巳B．庚午C．壬戌D．癸亥【分析】根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环．解：N＝429，i＝1；x＝429﹣3﹣60＝366，i＝2；x＝429﹣3﹣120＝306，i＝3；x＝429﹣3﹣180＝246，x＝4；x＝429﹣3﹣240＝186，x＝5；x＝429﹣3﹣300＝126，x＝6；x＝429﹣3﹣360＝66，x＝7；x＝429﹣3﹣420＝6，x＝8；对应表格可知为己巳，故选：A．8．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝3，SA＝2，则该四面体的外接球的半径为（）A．1B．√3C．2D．4【分析】由SA⊥平面ABC，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心O'垂直于底面ABC 的直线与中截面的交点O，再由底面为等边三角形求出其外接圆的半径，所以可求出外接球的半径R．解：因为SA⊥平面ABC，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心O'垂直于底面ABC 的直线与中截面的交点O，由AB＝AC＝BC＝3，设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r=3sin60°，所以r=√3，所以外接球的半径R=√(SA2)2+r2=√1+3=2，故选：C．9．已知函数f（x）＝e|x|，a=f(log132)，b＝f（2），c＝f（log23），则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【分析】由题意可得函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，再利用自变量的大小关系即可得到函数值的大小关系．解：∵函数f（x）＝e|x|，∴函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴a=f(log132)=f（﹣log32）＝f（log32），又0＜log32＜log23＜2，∴a＜c＜b，故选：D ．10．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则f （x ）的图象（ ）A ．关于点(5π12，0)对称 B ．关于直线x =π6对称 C ．在[−π12，5π12]单调递增D ．在[π12，7π12]单调递减 【分析】根据函数的周期求出ω，结合三角函数平移关系以及偶函数的性质求出φ，然后分别根据对称性，单调性进行判断即可． 解：∵f （x ）的最小正周期为π，∴T =2πω=π，得ω＝2， 此时f （x ）＝sin （2x +φ），图象向右平移π12个单位后得到y ＝sin[2（x −π12）+φ]＝sin （2x +φ−π6），若函数为偶函数，则φ−π6=k π+π2，k ∈Z ， 得φ＝k π+5π6， ∵|φ|＜π2，∴当k ＝﹣1时，φ=−π6， 则f （x ）＝sin （2x −π3）， 则f （5π12）＝sin （2×5π12−π3）＝sin π2≠0，故f （x ）关于点(5π12，0)不对称，故A 错误， f （π6）＝sin （2×π6−π3）＝sin0≠1，故关于直线x =π6不对称，故B 错误， 当−π12≤x ≤5π12时，−π6≤2x ≤5π6，−π2≤2x −π3≤π2，此时函数f （x ）为增函数，故C 正确，当−π12≤x ≤7π12时，−π6≤2x ≤7π6，−π2≤2x −π3≤5π6，此时函数f （x ）不单调，故D 错误， 故选：C ．11．已知可导函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x +4）＝f （﹣x ），（x ﹣2）f '（x ）＜0，则对任意的x 1＜x 2，“f （x 1）＜f （x 2）”是“x 1+x 2＜4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】f （x ）满足f （x +4）＝f （﹣x ），可得函数f （x ）关于直线x ＝2对称．由（x ﹣2）f '（x ）＜0，可得x ＞2时，f '（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；x ＜2时，f '（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．分类讨论：x 1＜x 2＜2；x 1＜2＜x 2，利用f （x 1）＜f （x 2），即可判断出关系．解：f （x ）满足f （x +4）＝f （﹣x ），∴函数f （x ）关于直线x ＝2对称．∵（x ﹣2）f '（x ）＜0，∴x ＞2时，f '（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；x ＜2时，f '（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．若x 1＜x 2＜2，f （x 1）＜f （x 2）＝f （4﹣x 2）”⇔x 1+x 2＜4．若x 1＜2＜x 2，“f （x 1）＜f （x 2）＝f （4﹣x 2）”⇔x 1＜4﹣x 2⇔x 1+x 2＜4． ∴对任意的x 1＜x 2，“f （x 1）＜f （x 2）”是“x 1+x 2＜4”的充要条件． 故选：C ．12．已知双曲线C 的两个顶点分别为A 1，A 2，若C 的渐近线上存在点P ，使得|PA 1|=√2|PA 2|，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．（1，3]B ．[3，+∞）C ．（1，2]D ．[2，+∞）【分析】设P （x ，bax ），然后利用两点间距离公式表示出|PA 1|2=2|PA 2|2，得到关于x 的一元二次方程，有解，则判别式≥0，得到关于a ，b ，c 的不等式，即可求出e 的范解：由题意设一条渐进线为：y =ba x ，取点P （x ，ba x ），且A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0）．因为|PA 1|=√2|PA 2|，（x +a ）2+(b ax)2=2[（x ﹣a ）2+(b ax)2]，整理得c 2a x 2−6ax +a 2=0，该方程有解时，存在符合题意的P 点，故△=36a 2−4a 2×c 2a 2≥0，化简得c 2a 2≤9，即e 2≤9，∴1＜e ≤3． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若抛物线经过点(−1，12)，（2，2），则该抛物线的标准方程为 x 2＝2y ． ． 【分析】由抛物线过的定点可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程，由点的坐标可得参数的值，进而求出抛物线的方程．解：由抛物线过的点的坐标可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程为：x 2＝my ， 将（2，2）点代入可得22＝2m ，可得m ＝2，及抛物线的方程为：x 2＝2y ，显然（﹣1，12）也在该抛物线上， 故答案为：x 2＝2y ．14．甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种．若出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子．玩一次该游戏，甲同学不输的概率为23．【分析】利用互斥事件概率计算公式能求出玩一次该游戏，甲同学不输的概率． 解：甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一若出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子． 玩一次该游戏，甲同学不输的概率：P ＝1−13=23．故答案为：23．15．在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B ＝135°，AB =3√2，AC =3√5，CD =5，则AD ＝ 2√10 ．【分析】先利用正弦定理求出sin α，进而得到cos β，再利用余弦定理即可求解结论． 解：如图设∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，；∵在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B ＝135°，AB =3√2，AC =3√5，CD =5， 在△ABC 中，由正弦定理可得：AC sin135°=AB sinα⇒sin α=AB⋅sin135°AC =√55；∴cos β＝cos （90°﹣α）＝sin α=√55；∴AD 2＝AC 2+CD 2﹣2AC •CD •cos β＝（3√5）2+52﹣2×3√5×5×√55=40；∴AD ＝2√10． 故答案为：2√10．16．已知函数f(x)={log 2x ，0＜x ＜a ，x 2−2x +1，x ≥a ，若存在实数m ，使得方程f （x ）﹣m ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （0，1）∪（1，2） ．【分析】先画出函数y＝log2x和函数y＝x2﹣2x+1的图象，易求两个函数的交点坐标为（1，0）和（2，1），利用数形结合法观察图象，即可求出a的取值范围．解：画出函数y＝log2x和函数y＝x2﹣2x+1的图象，如图所示：，两个函数有两个交点，坐标为（1，0）和（2，1），∵存在实数m，使得方程f（x）﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴观察图象可知，当0＜a＜1时符合题意．当1＜a＜2时符合题意，∴a的取值范围是：（0，1）∪（1，2），故答案为：（0，1）∪（1，2）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a9成等比数列，且2a5＝a8﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）先由a1，a3，a9成等比数列，且2a5＝a8﹣2求出a1，d，进而求出a n；（2）利用裂项相消法求S n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，且d≠0，因为a1，a3，a9成等比数列，所以a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d）⇒a1＝d①，又2a5＝a8﹣2，所以2（a1+4d）＝a1+7d﹣2⇒a1+d＝﹣2②，由①②，解得a1＝d＝﹣1，所以a n＝﹣n；（2）由（1）知a n＝﹣n，∴b n=1a n a n+1=1−n(−n−1)=1n(n+1)=1n−1n+1，∴S n＝b1+b2+…+b n＝（1−12）+（12−13）+（13−14）+…+（1n−1n+1）＝1−1n+1=n n+1．18．A、B两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩（单位：分）记录如下：A71 62 72 76 63 70 85 83B73 84 75 73 7876 85B同学的成绩不慎被墨迹污染（，分别用m，n表示）．（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A、B两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由（不用计算）；（2）若B同学的平均分为78，方差s2＝19，求m，n．【分析】（1）利用A，B两位同学8次测验，成绩能作出A、B两同学参加8次测验，成绩（单位：分）茎叶图，由茎叶图可知，B同学的平均成绩高于A同学的平均成绩，从而选派B同学参加数学竞赛更好．（2）由B同学的平均分为78，方差s2＝19，列出方程组，能求出m，n．解：（1）A、B两同学参加了8次测验，成绩（单位：分）茎叶图如下：由茎叶图可知，B同学的平均成绩高于A同学的平均成绩，所以选派B同学参加数学竞赛更好．（2）因为x=18（73+84+75+73+70+m+80+n+76+85）＝78，所以m+n＝8，①，因为S2=18[52+62+32+（m﹣8）2+（n+2）2+22+72]＝19，所以（m﹣8）2+（n+2）2＝4，②联立①②解得，m＝8，n＝0．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A'B'C'D'中，四边形ABCD为平行四边形，DD'＝CD＝4，AD ＝2，∠BAD＝60°，且点D'在底面上的投影H恰为CD的中点．（1）棱BC上存在一点N，使得AD⊥平面D′HN，试确定点N的位置，说明理由；（2）求三棱锥C'﹣A'HC的体积．【分析】（1）分别连结NH，ND'，BH，由题意，∴D'H⊥平面ABCD，可得D'H⊥BC．求解三角形证明NH⊥BC，再由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面D'HN，进一步得到AD⊥平面D'HN，说明棱BC上存在一点N，使得AD⊥平面D′HN．（2）由平面AA′B′B∥平面DD′C′C，可得A′到平面DD′C′C的距离即为A 到平面DD′C′C的距离．过A作AM⊥CD于点M．证明AM⊥平面DD′C′C，再由V C'﹣A'HC＝V A'﹣C'HC求解三棱锥C'﹣A'HC的体积．解：（1）当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，下面给出证明．分别连结NH，ND'，BH．∵D'在底面上的投影H恰为CD的中点，∴D'H⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴D'H⊥BC．在△HBC中，HC=BC=2，∠HCB=π3，故△HBC为等边三角形，又点N为棱BC的中点，∴NH⊥BC，又D'H⊥BC，D'H∩NH＝H，D'H，NH⊂平面D'HN，∴BC⊥平面D'HN，又由平行四边形ABCD得AD∥BC，∴AD⊥平面D'HN，点N即为所求．（2）∵平面AA′B′B∥平面DD′C′C，∴A′到平面DD′C′C的距离即为A到平面DD′C′C的距离．过A 作AM ⊥CD 于点M ．又D 'H ⊥平面ABCD ，∴D ′H ⊥AM ，又C ′D ∩D ′H ＝H ，∴AM ⊥平面DD ′C ′C ， |AM|=|AD|sin∠BAD =√3．又S △C′CH =12|CH|⋅|D′H|=12×2×2√3=2√3，所以V C '﹣A 'HC ＝V A '﹣C 'HC =13S △C ′CH •|AM |=13×2√3×√3=2．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的一动点，△PF 1F 2面积的最大值为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q ，点A(2√2，0)，证明：直线PA 与直线QA 关于x 轴对称．【分析】（1）根据e =c a=√22，结合a 2＝b 2+c 2，所以b ＝c ，再根据面积最大值为12⋅2c ⋅b =2，即可求出a ，b ；（2）根据条件可得当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x =ty +√2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则{y 1+y 2=−2√2tt 2+2y 1y 2=−2t 2+2，则k PA +k QA ＝0，得证．解：（1）因为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，所以e =c a =√22，即2c 2＝a 2，又a 2＝b 2+c 2，所以b ＝c ，因为△MF 1F 2面积的最大值为2，所以12⋅2c ⋅b =2，即c •b ＝2，又因为b ＝c ，所以b =c =√2，a 2＝4， 故椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．（2）由（1）得F 2(√2，0)， 当直线l 的斜率为0时，符合题意， 当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x =ty +√2，代入x 24+y 22=1消去x 整理得：(t 2+2)y 2+2√2ty −2=0，易得△=(2√2t)2+8(t 2+2)=16t 2+16＞0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则{y 1+y 2=−2√2tt 2+2y 1y 2=−2t 2+2， 记直线PA ，QA 的斜率分别为k PA ，k QA ， 则k PA +k QA=1x 1−222x 2−22=1ty 1−2+2ty 2−2=12√2(y 12(ty 1−2)(ty 2−2)=−4tt 2+2−(−4t t 2+2)(ty 1−√2)(ty 2−√2)=0所以k PA ＝﹣k QA ，因此直线PA 与直线QA 关于x 轴对称．21．已知f （x ）＝（ax +b ）（e x +x +2）在点（0，f （0））处的切线方程为6x ﹣y ＝0． （1）求实数a ，b 的值；（2）当x ＞0时，证明：f （x ）＞2lnx +2x +3．【分析】（1）求导，利用导数的几何意义可得f （0）＝0，f '（0）＝6，进而建立关于a ，b 的方程组，解出即可；（2）解法一：设g （x ）＝f （x ）﹣2lnx +2x +3＝2x （e x +x +2）﹣（2lnx +2x +3），求导可得g ′（x ）=2(x +1)(e x +2−1x )(x ＞0)，设h(x)=e x +2−1x(x ＞0)，利用导数可得g （x ）min =2x 02−2x 0−2lnx 0−1，再构造函数φ(x)=2x 2−2x −2lnx −1，x ∈(14，13)，利用导数可知φ(x)＞φ(13)=2ln3−139＞0，进而得证； 解法二：分为两步，先证当x ＞0时，f （x ）＞6x 成立，这由f （x ）﹣6x 与0的关系容易证明；再证当x ＞0时，6x ＞2lnx +2x +3，构造函数g （x ）＝4x ﹣2lnx ﹣3，利用导数可知，其大于0恒成立，综合即可得证．解：解法一：（1）f '（x ）＝a （e x +x +2）+（ax +b ）（e x +1），因为f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝6x ，所以f （0）＝0，f '（0）＝6， 即{3b =03a +2b =6，解得a ＝2，b ＝0． （2）由（1）得f （x ）＝2x （e x +x +2），设g （x ）＝2x （e x +x +2）﹣（2lnx +2x +3），即g （x ）＝2xe x +2x 2+2x ﹣2lnx ﹣3， 则g′(x)=2(x +1)e x +4x +2−2x =2(x +1)e x +4x 2+2x−2x=2(x +1)(e x +2−1x)(x ＞0)， 设h(x)=e x +2−1x(x ＞0)，则h （x ）在（0，+∞）单调递增，且h(14)=e 14−2＜0，h(13)=e 13−1＞0，所以存在唯一x 0∈(14，13)，使得h(x 0)=e x 0+2−1x 0=0，即e x 0=1x 0−2，当0＜x ＜x 0时，h （x ）＜0，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞x 0时，h （x ）＞0，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增； g(x)min =g(x 0)=2x 0e x 0+2x 02+2x 0−2lnx 0−3=2x 0(1x 0−2)+2x 02+2x 0−2lnx 0−3=2x 02−2x 0−2lnx 0−1，设φ(x)=2x 2−2x −2lnx −1，x ∈(14，13)，则φ′(x)=4x −2−2x =2(x−1)(2x+1)x，当x ∈(14，13)时，φ'（x ）＜0，φ（x ）单调递减，所以φ(x)＞φ(13)=2ln3−139＞0，所以g(x)min =2x 02−2x 0−2lnx 0−1＞0，即g （x ）＞0， 所以，当x ＞0时，f （x ）＞2lnx +2x +3． 解法二：（1）同解法一．（2）由（1）得f （x ）＝2x （e x +x +2）， ①先证明：当x ＞0时，f （x ）＞6x 成立．因为x ＞0时，f （x ）﹣6x ＝2x （e x +x +2）﹣6x ＝2x （e x +x ﹣1）＞0． 所以当x ＞0时，f （x ）＞6x 成立；②再证明：当x ＞0时，6x ＞2lnx +2x +3，即证4x ﹣2lnx ﹣3＞0成立． 设g （x ）＝4x ﹣2lnx ﹣3，则g′(x)=4−2x =4x−2x(x ＞0)， 当0＜x ＜12时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减，当x ＞12时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以g(x)≥g(12)=2−2ln 12−3=2ln2−1＞0，所以当x ＞0时，6x ＞2lnx +2x +3成立．综上，当x ＞0时，f （x ）＞2lnx +2x +3． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =cosα，y =sinα(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(1，π2)，直线l 的极坐标方程为ρcos θ+2ρsin θ﹣8＝0．（1）求点A 的直角坐标和直线l 的直角坐标方程；（2）把曲线C 1上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的√3倍，得到曲线C 2，B 为C 2上动点，求AB 中点P 到直线l 距离的最小值．【分析】（1）利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． （2）利用伸缩变换的应用和点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解法一：（1）点A 的极坐标为(1，π2)，直线l 的极坐标方程为ρcos θ+2ρsin θ﹣8＝0，由{x =ρcosθy =ρsinθ，得点A 的直角坐标为（0，1）， 直线l 的直角坐标方程为x +2y ﹣8＝0．（2）设B （x ，y ），则由条件知点(x23)在曲线C 1上，所以{x2=cosθ3=sinθ，即{x =2cosθy =√3sinθ，因为P 为AB 中点，所以P(cosθ，√3sinθ+12)，则点P 到直线l 距离为√3sinθ−7|√5=7−2sin(θ+π6)√5，当sin(θ+π6)=1时，7−2sin(θ+π6)取得最小值5，故AB 中点P 到直线l 距离的最小值为√5．解法二：（1）同解法一（2）（2）设B（x，y），则由条件知点(x2y√3)在曲线C1上，{x2=cosθ3=sinθ，即{x=2cosθy=√3sinθ，则点A到直线l的距离为0+2−8√5=6√5，点B到直线l距离为√3sinθ−8|√5=8−4sin(θ+π6)√5，当sin(θ+π6)=1时，8−4sin(θ+π6)取得最小值4，故点B到直线l距离的最小值为√5，又因为点P为AB中点，则点P到直线l距离的最小值为√5．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣m|+|x+1|，m∈N*，若存在实数x使得f（x）＜3成立．（1）求m的值；（2）若α，β＞0，（4α﹣1）（β﹣1）＝m，求α+β的最小值．【分析】（1）由题意可得3＞（|x﹣m|+|x+1|）min，由绝对值不等式的性质可得最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求值；（2）方法一、用α的式子表示β，再由基本不等式可得所求最小值；方法二、由条件可得14α+1β=1，由乘1法和基本不等式，计算可得所求最小值，注意等号成立的条件．解：（1）存在实数x使得f（x）＜3成立即存在实数x使得|x﹣m|+|x+1|＜3成立，等价为3＞（|x﹣m|+|x+1|）min，而|x﹣m|+|x+1|≥|x﹣m﹣x﹣1|＝|m+1|，当且仅当（x﹣m）（x+1）≤0即﹣1≤x≤m时等号成立，故存在实数x使得f（x）＜3成立等价于|m+1|＜3，解得﹣4＜m＜2，又因为m∈N*，所以m＝1．（2）解法一、由（1）得m＝1，故（4α﹣1）（β﹣1）＝1，所以α+β=α+14α−1+1=α−14+14α−1+54≥2√(α−14)⋅14α−1+54=94，当且仅当α=34，β=32时取最小值94．解法二：由（4α﹣1）（β﹣1）＝1，即4αβ﹣4α﹣β＝0，即14α+1β=1，由α＞0，β＞0可得（α+β）（14α+1β）=14+1+β4α+αβ≥54+2√β4α⋅αβ=94，当且仅当α=34，β=32时取最小值94．。