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y
1 2
x
2
y 2x
2
当a>0时,抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点,a越大, 抛物线的开口越小
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. y 2x a>0 y x y
2
2
当a<0时,抛物线的开口向 a<0 y 1 上,顶点是抛物线的最高点,a越 -5-4-3-2-1 o1 2 3 4 5 -1 -2 大,抛物线的开口越大; -3
二次函数y=ax2的图象和性质
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常 数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变 量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一 次项系数和常数项.
下列哪些函数是二次函数？哪些是反比例函数，一次函 数？
(1) y=3x-l
(4) y=x-2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 在同一直角坐标系中画出函数y=－2 x2和y=－2x2的图像 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2)描点
y= -
1 x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 2
…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
1.5 2 … 0 0.5 2 4.5 8 …
y 2 y 2x 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y 1 2 x
2
(3) 连线 函数y= 2 与函数y=x2(图中虚线图形) 的图像相比,有什么共同点 和不同点? 共同点：开口向上; 除顶点外,图像都在x轴上方 不同点: 开口大小不同; x21,y=2x2的图像
0 0
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
1 1
2 4
3 … 9 …
y=x2
还记得如何用 根据表中x,y的数值在 描点法画一个函数 坐标平面中描点(x,y), 的图像吗?
再用平滑曲线顺次连 接各点,就得到y=x2的 图像.
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … (2) 描点 y=- … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … x2 y (3) 连线 1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点; |a|越大,抛物线的开口越小;
当x=-2时，y=-4 当x=1时，y=-1 当x=-1时，y=-1 当x=2时，y=-4
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 增大。
当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 增大。 当x=-2时，y=4 当x=1时，y=1 当x=-1时，y=1 当x=2时，y=4
y x
当a<0时，在对称轴的 2 右侧，y随着x的增大而 减小。
1 例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 2x2和y=2x2的图像 解:(1) 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y= பைடு நூலகம் x2
1
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
-1.5
x … -2 y=2x2 … 8
-1 -0.5 0 0.5 1
4.5 2 0.5
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 y=－x2 -7 -8 -9 -10
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=-x2的图 像.
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都 是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在 y y 空中所经过的路线. o x 这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2. y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.
y=x2 x 实际上,二次函数的图像 它们的开口向上或者向下. 都是抛物线. 一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c. 还可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像 都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴. 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点. 抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点. o
(2) y=2x² ＋7
8 (3) y= x
(5) y=(x+3)² -x² (6) y=3(x-1)² +1
一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像 是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎 样画一个函数的图像?
画函数y=x2的图像 解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 (2) 描点 y= … 9 4 1 (3) 连线 x2
(3)连线 函数y=函数y=－x2(图中虚线图形)的 图像相比,有什么共同点和不同 点? 共同点: 开口向下; 除顶点外,图像都在x轴下方 不同点: 开口大小不同;
1 2
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y x
x2,y=-2x2的图像与 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
在同一坐标系内,抛物线y=ax2与 抛物线y=－ax2是关于x轴对称的.
y x
2
10 1 9 y x 8 2 7 6 5 4 3 2 1 -5-4-3 -1 o1 2 3 4 5 x -2
2
x
-4 -5 -6 -7 -8 -9 -10y 2x
y
2
1 2
x
2
yx
2
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 减小。
y
a>0
o
x
a<0
请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
y=ax2 顶点 对称轴 开口 (0,0)
图象
左侧 右侧
x y x y
a＞0 最低点
(0,0) a＜0 最高点
y轴
向上
增 减 增增 大 小 大大
y轴
向下
增 增 增减 大 大 大小
思考题
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）
（1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. （2）因为 4 2 ( 1) 2，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。
1、函数y=2x2的图象的开口 轴 ,顶点是 ; (0,0) y轴
向上 ,对称
2、函数y=－3x2的图象的开口 y轴 轴 ,顶点是 ; (0,0)
向下 ,对称
已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开 口向上,求m的值和函数解析式
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ① m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
