甘肃省秦安一中2015届高三上学期第三次检测数学(理)试题及答案

甘肃省天水市秦安二中2015届高三上学期期中数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=( ) A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2} 考点：并集及其运算． 专题：计算题． 分析：根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q． 解答：解：∵P∩Q={0}， ∴log2a=0 ∴a=1 从而b=0，P∪Q={3，0，1}， 故选B． 点评：此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用． 2．已知命题p：?x∈R，sinx≤1．则￢p是( ) A．?x∈R，sinx≥1 B．?x∈R，sinx＞1 C．?x∈R，sinx≥1 D．?x∈R，sinx＞1 考点：特称命题；命题的否定． 专题：计算题． 分析：根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为?x∈R，使得sinx＞1． 解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得， 命题p：?x∈R，sinx≤1的否定是?x∈R，使得sinx＞1 故选B． 点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用，属于基础试题 3．已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是( ) A．x3＞y3 B．sinx＞siny C．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞ 考点：指数函数的图像与性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键． 解答：解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y， A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立， B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立． C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立． D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立． 故选：A． 点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键． 4．曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为( ) A．y=﹣2x+3 B．y=﹣2x﹣3 C．y=﹣2x+1 D．y=2x+1 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题． 分析：对函数求导，由导数的几何意义可求曲线在点（1，﹣1）处的切线斜率k，进而可求切线方程 解答：解：对函数求导可得， 由导数的几何意义可知，曲线在点（1，﹣1）处的切线斜率k=﹣2 曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为y+1=﹣2（x﹣1）即y=﹣2x+1 故选C 点评：本题主要考查了函数的导数的求解及导数的几何意义的应用，属于基础试题 5．sin（+α）=，则cos（﹣α）的值为( ) A．B．C．D． 考点：运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值． 分析：直接利用诱导公式化简求解即可． 解答：解：∵sin（+α）=，∴cos（﹣α）=cos=sin（+α）=． 故选：C． 点评：本题考查诱导公式的应用，注意互余关系，基本知识的考查． 6．将函数y=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数g（x）( ) A．由最大值，最大值为 B．对称轴方程是 C．是周期函数，周期 D．在区间上单调递增 考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：计算题；三角函数的图像与性质． 分析：由两角差的正弦公式化简函数，再由图象平移的规律得到，易得最大值是2，周期是π，故A，C均错；由，求出x，即可判断B；再由正弦函数的增区间，即可得到g（x）的增区间，即可判断D． 解答：解：化简函数得， 所以将函数y=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数g（x）=2sin，即， 易得最大值是2，周期是π，故A，C均错； 由，得对称轴方程是，故B错； 由，令k=0，故D正确． 故选D． 点评：本题考查三角函数的化简和图象变换，考查三角函数的最值和周期、以及对称性和单调性，属于中档题． 7．已知函数f（x）=logax（0＜a＜1）的导函数f′（x），A=f′（a），b=f（a+1）﹣f（a），C=f′（a+1），D=f（a+2）﹣f（a+1），则A，B，C，D中最大的数是( ) A．A B．B C．C D．D 考点：导数的运算． 专题：函数的性质及应用． 分析：设利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C，D分别为对数函数的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案． 解答：解：函数f（x）=logax（0＜a＜1）是可导函数且为单调递减函数， ∵A，C分别表示函数在点a，a+1处切线的斜率， ，， 故B，D分别表示函数图象上两点（a，f（a）），（a+1，f（a+1））和两点（a+1，f（a+1）），（a+2，f（a+2））连线的斜率， 由函数图象可知一定有A＞B＞C＞D，四个数中最大的是D， 故选A． 点评：本题考查学生会利用导数求过曲线上某点切线的斜率，掌握直线斜率的求法，是一道中档题． 8．已知a＜b，若函数f（x），g（x）满足，则称f（x），g（x）为区间上的一组“等积分”函数，给出四组函数： ①f（x）=2|x|，g（x）=x+1； ②f（x）=sinx，g（x）=cosx； ③； ④函数f（x），g（x）分别是定义在上的奇函数且积分值存在． 其中为区间上的“等积分”函数的组数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考点：微积分基本定理． 专题：计算题；导数的概念及应用． 分析：利用“等积分”函数的定义，对给出四组函数求解，即可得出区间上的“等积分”函数的组数 解答：解：对于①，，而g（x）dx=（）=2，所以①是一组“等积分”函数； 对于②，，而，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数f（x）的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故，而g（x）dx|=，所以③是一组“等积分”函数； 对于④，由于函数f（x），g（x）分别是定义在上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分，所以④是一组“等积分”函数， 故选C． 点评：本题考查“等积分”函数，考查定积分的计算，有点复杂． 9．已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．∪∪ 点评：本题主要考查柯西不等式、基本不等式的应用，绝对值三角不等式，属于基础题． 10．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( ) A．B．C．D． 考点：对数的运算性质；函数的图象与图象变化． 分析：根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案． 解答：解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1）， 当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0． ∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=elnx﹣x+1=1， 故选D． 点评：本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系． 11．函数y=logsin（2x+）的单调减区间为( ) A．（kπ﹣，kπ]（k∈Z）B．（kπ﹣]（k∈Z） C．（kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．（kπ+，kπ+]（k∈Z） 考点：复合函数的单调性． 专题：函数的性质及应用． 分析：由题意可得，本题即求函数t=sin（2x+）在满足t＞0时，函数t的增区间，结合正弦函数的图象可得 2kπ+0＜2x+≤2kπ+，k∈z，解得x的范围，可得结论． 解答：解：函数y=logsin（2x+）的单调减区间， 即函数t=sin（2x+）在满足t＞0时，函数t的增区间， 结合正弦函数的图象可得 2kπ+0＜2x+≤2kπ+，k∈z， 解得 kπ﹣＜x≤kπ+，故在满足t＞0的条件下，函数t的增区间为（kπ﹣，kπ+]，k∈z， 故选：C． 点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、正弦函数的图象性质，体现了转化的数学思想，属于中档题． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上 12．已知与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2，则在上的投影为﹣． 考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用． 分析：因为向量与的夹角为120°，所以在上的投影为cos120°=﹣，问题转化为求． 解答：解：∵与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2， ∴（+）?（﹣2）=0，即﹣﹣22=0， ∴4+﹣22=0，解得=， ∴在上的投影为cos120°=﹣=﹣×=﹣． 故答案为：﹣． 点评：本题考查在上的投影的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用． 13．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为{x|x＞}． 考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明． 专题：函数的性质及应用． 分析：偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以f（x）在上单调递减， 所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在 专题：数系的扩充和复数． 分析：把z1=1﹣2i代入z2，化简可得z2=1+i，可得虚部为1 解答：解：∵z1=1﹣2i， ∴z2=====1+i， ∴复数的虚部为：1 故答案为：1 点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的基本概念，属基础题． 15．设方程x3﹣3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是（﹣2，2）． 考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：函数的性质及应用． 分析：利用导数，判断出函数的极值点，用极值解决根的存在与个数问题． 解答：解：设f（x）=x3﹣3x， 对函数求导，f′（x）=3x2﹣3=0，x=﹣1，1． x＜﹣1时，f（x）单调增，﹣1＜x＜1时，单调减，x＞1时，单调增，f（﹣1）=2，f （1）=﹣2， 要有三个不等实根，则直线y=k与f（x）的图象有三个交点， ∴﹣2＜k＜2 故答案为：（﹣2，2）． 点评：学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值的正负是解决此问题的关键．是中档题． 16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f的值为﹣3． 考点：函数的周期性；函数的值；对数的运算性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：利用分段函数判断当x＞0时函数的周期性，然后利用周期性进行求值． 解答：解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）， ∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1）， ∴f（x+1）=﹣f（x﹣2）， 即f（x+3）=﹣f（x）， ∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6． ∴f=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3， 故答案为：﹣3． 点评：本题主要考查利用分段函数进行求值问题，利用函数的解析式确定当x＞0时，满足周期性是解决本题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 17．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）＜0}，函数y=lg的定义域为集合B． （1）若a=时，求集合A∩（?UB）； （2）命题P：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；交、并、补集的混合运算；必要条件． 专题：常规题型． 分析：（1）将a=带入原函数式，再求其定义域，然后进行交集、补集的运算便可． （2）根据必要条件的定义，及原函数的定义域，便可建立对于a的限定的式子． 解答：解：（1）a=时原函数变成y=lg， 解＞0得B=（，），所以?UB=（﹣∞，]∪∪∪． 点评：本题需掌握的几个知识点是：1．定义域的求法；2．交、并、补的运算；3．必要条件的概念；4．子集的概念． 18．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，向量 若|=2． （1）求角A的大小； （2）若△ABC外接圆的半径为2，b=2，求边c的长． 考点：余弦定理；向量的模；正弦定理． 专题：解三角形． 分析：（1）由两向量的坐标表示出+，根据向量模的计算方法列出关系式，整理求出tanA 的值，即可确定出A的度数； （2）由三角形ABC外接圆半径，sinA的值，求出a的值，利用余弦定理求出c的值即可． 解答：解：（1）∵=（cosA，sinA），=（﹣sinA，cosA）， ∴+=（cosA﹣sinA+，cosA+sinA）， ∵|+|=2， ∴（cosA﹣sinA+）2+（cosA+sinA）2=4，化简得：sinA=cosA，即tanA=1， 则A=； （2）∵△ABC外接圆的半径为2，b=2，A=， ∴在△ABC中，由正弦定理=2R=4，即a=4sinA=2， 由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2b?c?cosA， 化简得：c2﹣2c﹣4=0， 解得：c=+（负值舍去）． 点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键． 19．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）． （1）当t=4时，求s的值； （2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； （3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由． 考点：函数解析式的求解及常用方法． 专题：压轴题． 分析：（1）设直线l交v与t的函数图象于D点．由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=×4×12=24（km）； （2）分类讨论：当0≤t≤10时；当10＜t≤20时；当20＜t≤35时； （3）根据t的值对应求S，然后解答． 解答：解：设直线l交v与t的函数图象于D点， （1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t， 当t=4时，D点坐标为（4，12）， ∴OT=4，TD=12， ∴S=×4×12=24（km）； （2）当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=3t（如图1） ∴S=?t?3t=当10＜t≤20时，此时OT=t，AD=ET=t﹣10，TD=30（如图2） ∴S=S△AOE+S矩形ADTE=×10×30+30（t﹣10）=30t﹣150 当20＜t≤35时，∵B，C的坐标分别为，（35，0） ∴直线BC的解析式为v=﹣2t+70 ∴D点坐标为（t，﹣2t+70） ∴TC=35﹣t，TD=﹣2t+70（如图3） ∴S=S梯形OABC﹣S△DCT=（10+35）×30﹣（35﹣t）（﹣2t+70）=﹣（35﹣t）2+675； （3）∵当t=20时，S=30×20﹣150=450（km）， 当t=35时，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km），而450＜650＜675， ∴N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间， 由﹣（35﹣t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）． ∴在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城． 点评：本题考查的是一次函数在实际生活中的运用，比较复杂，解答此题的关键是根据图形反映的数据进行分段计算，难度适中． 20．某地一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f （t）=24﹣4sinωt﹣4，且早上8时的温度为24°C，． （1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？ （2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28°C时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？ 考点：函数模型的选择与应用． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用已知条件求出参数值，即可得到解析式． （2）利用函数的解析式直接求出时间t，即可得到所求结果． 解答：（本小题满分12分） 解：（1）依题意… 因为早上8时的温度为24°C，即f（8）=24， … ∵，故取k=1，， 所求函数解析式为．… 由，，可知， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32°C．… （2）依题意：令，可得… ∵，∴或， 即t=10或t=18，… 故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭… 点评：本题考查三角函数的化简求值，解析式的求法，考查计算能力． 21．已知函数f（x）=x（x﹣a）2，g（x）=﹣x2+（a﹣1）x（其中a为常数） （1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值，并写出函数y=f（x）的单调区间； （2）求方程f（x）﹣g（x）=0在区间上实数解的个数． 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析：（1）求出函数y=f（x）的导数，求出极值点，通过与y=g（x）有相同的极值点相同，求a的值，利用导数值的符号直接写出函数y=f（x）的单调区间； （2）化简方程f（x）﹣g（x）=0，构造函数，通过a的讨论，利用判别式是否为0，即可求解在区间上实数解的个数． 解答：（本小题满分13分） 解：（1）f（x）=x（x﹣a）2=x3﹣2ax2+a2x， 则f'（x）=3x2﹣4ax+a2=（3x﹣a）（x﹣a），… 令f'（x）=0，得x=a或，而二次函数g（x）在处有极大值， ∴或； 综上：a=3或a=﹣1．… 当a=3时，y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，1]，，满足题意， 即原方程有一解，x=a∈； … 2°当a=3时，△=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有两解，x=1，3； 3°当a=﹣1时，△=0，h（x）=0的解为x=﹣1，故原方程有一解，x=﹣1； 4°当a＞3时，△＞0，由于h（﹣1）=a+1＞4，h（0）=1，h（3）=13﹣3a 若时，h（x）=0在上有一解，故原方程有一解； 若，h（x）=0在上有两解，故原方程有两解 若时，h（x）=0在上两解，故原方程有两解； 5°当a＜﹣1时，△＞0，由于h（﹣1）=a+1＜0，h（0）=1，h（3）=13﹣3a＞0， h（x）=0在上有一解，故原方程有一解； … 综上可得：当时，原方程在上两解；当a＜3或时，原方程在上有一解…． 点评：本题考查函数与导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间，函数的零点的判断，考查分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力． 22．（Ⅰ）证明：当x＞1时，2lnx＜x﹣； （Ⅱ）若不等式对任意的正实数t恒成立，求正实数a的取值范围； （Ⅲ）求证：． 考点：不等式的证明． 专题：证明题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析：（Ⅰ）令函数，定义域是{x∈R|x＞1}，求出导数，判断函数f（x）在（1，+∞）上单调递减 ，运用单调性即可得证； （Ⅱ）由于t＞0，a＞0，故不等式可化为（*）问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立，构造函数，求出导数，对a讨论，当0＜a≤2时，当a＞2时，求出单调性，判断不等式是否成立，即可得到； （Ⅲ）要证，即证，由（Ⅱ）的结论令a=2，有对t＞0恒成立，取可得不等式成立，变形整理即可得证． 解答：（Ⅰ）证明：令函数，定义域是{x∈R|x＞1}， 由，可知函数f（x）在（1，+∞）上单调递减， 故当x＞1时，，即． （Ⅱ）解：由于t＞0，a＞0，故不等式可化为…（*） 问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立， 构造函数， 则， （1）当0＜a≤2时，由t＞0，a（a﹣2）≤0，则g'（t）≥0即g（t）在（0，+∞）上单调递增， 则g（t）＞g（0）=0，即不等式对任意的正实数t恒成立． （2）当a＞2时，a（a﹣2）＞0 因此t∈（0，a（a﹣2）），g'（t）＜0，函数g（t）单调递减； t∈（a（a﹣2），+∞），g'（t）＞0，函数g（t）单调递增， 故，由a＞2，即a﹣1＞1， 令x=a﹣1＞1，由（Ⅰ）可知，不合题意． 综上可得，正实数a的取值范围是（0，2]． （Ⅲ）证明：要证，即证， 由（Ⅱ）的结论令a=2，有对t＞0恒成立， 取可得不等式成立， 综上，不等式成立． 点评：本题考查不等式的证明，考查构造法证明不等式，同时考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，以及单调性的运用，考查运算和推理的能力，属于中档题．。

兰州一中2015届高三第三次模拟考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x ||x -12|≤32}，B ={x |y =lg(4x -x 2)}，则A ∩B 等于 A ．(0，2]B ．∪C ．(-∞，3]D ．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+． (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若△ABC 的面积Sa =1，求边AC 上的中线BD 的长．18．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC =CA =AA 1=2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF =14AB ．(Ⅰ)求证：EF ∥平面BDC 1； (Ⅱ)求二面角E －BC 1－D 的余弦值．19．(本小题满分12分)已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a ，b ，c ，然后将所得的数代入函数f (x )=ax 2+bx +c，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数(第18题图)有零点，则乙输四个枣给甲． (Ⅰ)记函数的零点的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (Ⅱ)根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？20．(本小题满分12分)如图，椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率e =35，左焦点为F ，A ，B ，C 为其三个顶点，直线CF 与AB 交于点D ，若△ADC 的面积为15． (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)是否存在分别以AD ，AC 为弦的两个相外切的等圆？ 若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )=a ln x +x 2(a 为实数)．(Ⅰ)求函数f (x )在区间上的最小值及相应的x 值；(Ⅱ)若存在x ∈，使得f (x )≤(a +2)x 成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲设AB 为圆O 的直径，AB =10．E 为线段AO 上一点，OE =17AB ．过E 作一直线交圆O 于C ，D 两点，使得∠CEA =45°．试求CE 2+ED 2的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程．设直线l 的参数方程为35sin 26cos6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=26cos sin θθ． (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |．(第20题图)A B（第22题图）24．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲若实数a，b满足ab>0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．(Ⅰ)求m的最大值；(Ⅱ)若2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．兰州一中2015届高三第三次模拟考试理科数学参考答案一、选择题 1．A 解析：∵A =，B =(0，4)，则A ∩B =(0，2]．故选A ．2．D 解析：由图知，z =2+i ，∴221311121122z i i i i i i i i ++-==⋅=-+-+-，则对应的点位于复平面内的第四象限．故选D ．3．D 解析：依题意可得，2x +2a -6π=2x -2a -6π+2k π(k ∈Z )，∴a =2k π(k ∈Z )，∵a ∈(0，π)，∴a =2π．故选D ． 4．A 解析：∵S n =na 1+(1)2n n -d =n m ，S m =ma 1+(1)2m m -d =m n，解得d =2mn ，a 1=1mn． ∵故S m +n -4=(m +n )a 1+()(1)2m n m n ++-d -4=2()m n mn->0(∵m ≠n )．故选A ．5．D 解析：四棱锥的底面可由6个侧面和6个对角面构成，每个底面对应4个四棱锥，故所求概率为P =5812467C ⨯=．故选D ． 6．D解析：计算f ′(x )中x 2的系数较麻烦，只需计算f (x )中x 3的系数．f (x )=(1+x )(1-x 2)5=(1-x 2)5+x (1-x 2)5，x 3的系数为0-15C =-5，∴含x 3的项为-5x 3，故函数f ′(x )中x 2的系数是-15．故选D ． 7．B 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x +y =1与抛物线y 2=2px ，得y 2+2py -2p =0，解得y 1=-px 1=1+py 2=-px 2=1+p由OA ⊥OB 得，x 1x 2+y 1y 2=0，即+=0，化简得2p =1， 从而A)，B)，OA 2=x 12+y 12， OB 2=x 22+y 22，△OAB 的面积S =12|OQ ||OB．故选B ． 8．D解析：由三视图知这个几何体是一个三棱锥P —ABC ，其中P A ⊥面ABC ，AB =1，PB =a ，BC =b ，PC∠BAC =90°，设P A =x ，AC =y ，则2222221,1,6.x a y b x y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩⇒a 2+b 2=8，由2a b +≤知当a =b =2时a +b 取最大值，此时x =y P —ABC 的体积V =111322xy ⨯=．故选D ．9．B 解析：由框图的顺序，s =0，n =1，s =(s +n )n =(0+1)×1=1；n =2，依次循环s =(1+2)×2=6，n =3；注意此刻3>3仍然是“否”，所以还要循环一次s =(6+3)×3=27，n =4，此刻输出s =27．故选B ． 10．A 解析：点差得，1212121222()()()()x x x x y y y y a b +-+--=0，即224ka b-=0，∴2214b a =，e 2=1+2254b a =．故选A ． 11．A解析：f ′(x )=(x +1-a )e x ，依题意，x +1-a ≥0或x +1-a ≤0区间(2，3)内恒成立，∴a ≤3或a ≥4．故选A ．12．A 解析：∵AO 11，C 1O 22，O 1O 2=R 1+R 2，∴R 1+R 2R 1+R 2，球O 1和O 2的表面积之和为4π(R 12+R 22)≥4π ·2(122R R +)2=2π(R 1+R 2)2π．故选A ．二、填空题13．384 解析：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：(1)甲坐两端，可从四个位中选一个坐下，有14A 种，由于乙不与甲坐对面和相邻，在其他3个位中选一个坐下有13A 种，其余4人有44A 种，此类有114434A A A 种方法．(2)甲在中间两个位上找一个位子坐下，有12A 种，乙应在其他两个位上找一个位子坐下有12A 种，其余4人有44A 种坐法．此类坐法有114224A A A 种． 所以满足条件的坐法共有114114434224A A A A A A +=384(种)．故填384． 14．14 解析：设BC 边中点为M ，则2AB AC AM +=，由题设45AO AM =， ∴A 、O 、M 共线，且AO =4OM ，而∠BOM =2∠BAM ，∴∠BOM =∠BAC ， 即cos ∠BAC =14OM OM OB OA ==．故填14．15．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)=(y 1+y 2)(y 1-y 2)，∵x 1+x 2=6，y 1+y 2=2，1212y y x x --=3，∴AB 的方程为y =3x -8，与圆方程联立得10(x -3)2=5，∴(x -3) 2=12，∴a 2=(x +y )(x -y )=(4x -8)(8-2x )=8-8(x -3)2=4．a =2．故填2． 16．(14，1) 解析：∵2222x b ax +-<⇔x 2+ax +2b <0，依题意方程x 2+ax +2b =0只有唯一的整数解x =1，∴方程x 2+ax +2b =0一根在内，即函数f (x )=x 2+ax +2b 的图象与x 轴在内各有一个交点．∴(0)00(1)0210(2)020f b f a b f a b ≥≥⎧⎧⎪⎪<⇒++<⎨⎨⎪⎪≥++≥⎩⎩，作出可行域，如图所示： ∵21b a --为可行域内的点(a ，b )与定点P (1，2)的连线的斜率， 由图可知，k P A <21b a --<k PB ，其中点A (-3，1)，B (-1，0)， ∴k P A =14，k PB =1，故21b a --的取值范围是(14，1)．三、解答题 17．(Ⅰ)解：由c o s s i nc o s 2s inB BC A C =-+⇒2sin A cos B +sin(B +C )=0， ……………………2分 即2sin A cos B +sin A =0，…………………………………………………………………4分而sin A ≠0，∴cos B =-12，B =23π．……………………………………………………6分 (Ⅱ)解：因S =12ac sin B ，又Sa =1，sin B则c =4． (8)分解法一：由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B，得b………………………………10分由cosC=222222()2222ba BD abc ab a +-+-=⋅2211BD +-=， 解得BD．………………………………………………………………………12分 解法二：作AE 平行于BC ，并延长BD 交AE 于E ，在△ABE 中，∠BAE =3π，AB =4，AE =1，且BD =12BE ，又BE 2=AB 2+AE 2-2AB ·AE cos A ， 即BE 2=16+1-2×4×1×12=13，这样BD =12BE．………………………………12分18．(Ⅰ)证明(证法一)：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ． 又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ． 又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1． ∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分(证法二)建立如图所示的坐标系．(坐标系建立仅为参考) ∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，AF =14AB ．E (-1，0，1)，F (-12，0，0)，B (1，0，0)，D (0，0，2)，C 1(02)．设平面DBC 1的法向量为n =(x ，y ，z )．EF =(12，0，-1)，BD =(-1，0，2)，1BC =(-12)．BD ·n =-x +2z =0，1BC ·n =-x+2z =0， 令z =1，则y =0，x =2，∴n =(2，0，1)．EF ·n =12×2+0×0+(-1)×1=0，∴EF ⊥n ．又EF ⊄平面BDC 1，∴EF ∥平面BDC 1．……………6分 (Ⅱ)解：设平面EBC 1的法向量为m =(x ，y ，z )． BE =(-2，0，1)，1BC =(-12)．BE ·m =-2x +z =0，1BC ·n =-x+2z =0，O(第18题解图1)yo(第18题解图2)令x =1，则z =2，y m =(1，2)．cos< m ，n >=||||⋅==m n m n || ∴二面角E －BC 1－D 的余弦值为．……………………………………………12分 19．(Ⅰ)解：ξ的可能取值为0，1，2．f (x )=ax 2+bx +c 的判别式∆=b 2-4ac ，当∆=0时，b 为偶数，b =2时，a =1，c =1；b =4时，a =1，c =4或a =2，c =2或a =4，c =1；b =6时，a =3，c =3，∴P (ξ=1)=5216．…………………………………………………4分当∆≥0时，有b ≥3，b =3时，ac ≤2，有3种；b =4时，ac ≤4，有9种；b =5时，ac ≤6，有14种；b =6时，ac ≤9，有17种，共计43种．∴ξ=1的情形有43-5=38种，∴P (ξ=2)=38216． P (ξ=0)=1-P (ξ=1)-P (ξ=2)=173216．…………………………………………………………6分∴ξ的分布列为：数望E ξ=1735388130122162162162168⨯+⨯+⨯==．…………………………………8分 (Ⅱ)甲得枣的数学期望是43173141216216216⨯-⨯=-，…………………………………10分 乙得枣的数学期望是17343114216216216⨯-⨯=．………………………………………11分 ∴该游戏不公平，甲吃亏．……………………………………………………………12分20．(Ⅰ)解：设左焦点F 的坐标为(-c ，0)，其中c∵e =35c a =，∴a =53c ，b =43c ．···································1分∴A (0，43c )，B (-53c ，0)，C (0，-43c )，······················································2分 ∴AB ：33154x y c c -+=，CF ：314x yc c--=，····················································3分 联立解得D 点的坐标为(-54c ，13c )．····························································4分 ∵△ADC 的面积为15，∴12|x D |·|AC |=15，即12·54c ·2·43c =15，解得c =3，∴a =5，b =4，∴椭圆C 的方程为2212516x y +=．································6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，A 点的坐标为(0，4)，D 点的坐标为(-154，1)．····························7分假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中AD 是圆M 的弦，AC 是圆N 的弦， 则点M 在线段AD 的垂直平分线上，点N 在线段AC 的垂直平分线y =0上．·······8分当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时，一定有A ，M ，N 在一条直线上，且AM =AN ．∴M 、N 关于点A 对称，设M (x 1，y 1)，则N (-x 1，8-y 1)，································9分 根据点N 在直线y =0上，∴y 1=8．∴M (x 1，8)，N (-x 1，0)，而点M 在线段AD 的垂直平分线y -52=-54(x +158)上，可求得x 1=-25140．···········10分故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为 M (-25140，8)，N (25140，0)．·····································································12分 21．(Ⅰ)解：f (x )=a ln x +x 2的定义域为(0，+∞)，f ′(x )=ax +2x =22x a x+． (1)分当x ∈时，2x 2∈．································································2分 若a ≥-2，f ′(x )在上非负(仅当a =-2，x =-1时，f ′(x )=0)， 故f (x )在上单调递增，此时f (x )min =f (1)=1；··········································3分若-2e 2<a <-2，令f ′(x )<0，解得1≤x f (x )单调递减；令f ′(x )>0x ≤e ，此时f (x )单调递增，∴f (x )min =f ln()222a a a--；·····························································4分 若a ≤-2e 2，f ′(x )在上非正(仅当a =-2e 2，x =e 时，f ′(x )=0)，故f (x )在上单调递减，此时f (x )min =f (e )=a +e 2．······································5分综上所述，得a ≥-2时，f (x )min =1，相应的x =1；当-2e 2<a <-2时，f (x )min =ln()222a a a--，相应的x =；当a ≤-2e 2时，f (x )min =a +e 2，相应的x =e ．······························6分(Ⅱ)解：不等式f (x )≤(a +2)x 可化为a (x -ln x )≥x 2-2x ． ∵x ∈，∴ln x ≤1≤x 且等号不能同时成立，∴ln x <x ，即x -ln x >0，·················8分因而a ≥22ln x x x x --，x ∈，令g (x )=22ln x xx x--(x ∈)，则g ′(x )=2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+--， 当x ∈时，x -1≥0，ln x ≤1，x +2-2ln x >0，················································10分从而g ′(x )≥0(仅当x =1时取等号)，∴g (x )在上是增函数， 故g (x )min =g (1)= -1，∴实数a 的取值范围是 或由(*)式解得t 1=6，t 2=-2，|AB |=|t 1-t 2|=8．或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可．24．(Ⅰ)解：由题设可得b =24a >0，∴a >0．∴a +b =a +24a=2422a a a ++≥3，当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3，∴m 的最大值为3．···········································5分(Ⅱ)解：要使2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，须且只须2|x -1|+|x |≤3．用零点区分法求得实数x 的取值范围是-13≤x ≤53．········································10分。

秦安县第一中学2014—2015学年度第一学期高三级第三次检测物理试题命题人：王振山陈婷审题人：胥红斌第Ⅰ卷（选择题共 60分）一、单项选择题（每题有一个答案正确，每小题4分，共40分）1. 落体的运动是习空见惯的，但人类对它的认识却经历了差不多两千年的时间，首先提出：重物和轻物应该下落同样快。

并通过实验和逻辑推理证实的科学家是（）A．牛顿B．开普勒C．亚里士多德D．伽利略2. 如图1所示，一木块在光滑水平面上受到一个水平恒力F作用而运动，前方固定一个轻质弹簧，当木块接触弹簧后继续向前运动。

下列判断正确的是() A．木块将立即做匀减速直线运动B．木块将立即做变减速直线运动C．在弹簧弹力大小等于恒力F时，木块的速度最大D．在弹簧处于最大压缩量时，木块的加速度为零3.如图2所示，物体A的质量为2m，物体B的质量为m，A与地面间的动摩擦因数为μ，B与地面间的摩擦不计，用水平恒力F向右推A使A、B一起加速运动，则B对A的作用力大小为()A. F－μmg3 B.F－2μmg3 C.F－3μmg3 D.2F－4μmg34. 在发射某人造地球卫星时，首先让卫星进入低轨道，变轨后进入高轨道，假设变轨前后该卫星始终做匀速圆周运动，不计卫星质量的变化，若变轨后的动能减小为原来的14，则卫星进入高轨道后()A.周期为原来的8倍B.角速度为原来的12图1图2图3C.向心加速度为原来的14 D.轨道半径为原来的125. 如图3所示，在水平放置的平行板电容器正中间有一个带电微粒．S闭合时，该微粒恰好能保持静止．在以下两种情况下：①保持S闭合，②充电后将S断开．下列说法能实现使该带电微粒向上运动到上极板的是()A.①情况下，可以通过上移极板M实现B.①情况下，可以通过上移极板N 实现C.②情况下，可以通过上移极板M实现D.②情况下，可以通过上移极板N 实现6. 质量为m的物体静止在粗糙的水平地面上，现用一水平拉力使物体从静止开始运动，其运动的v－t图象如图4所示．下列关于物体的运动过程，分析正确的是()A. 0～t1时间内拉力逐渐减小B. 0～t1时间内拉力对物体做负功C. 在t1～t2时间内拉力的功率为零D. 在t1～t2时间内合外力做正功7. 质量为m的物体从静止开始以12g（g为当地的重力加速度）的加速度竖直匀加速上升h，关于该过程下列说法中正确的是()A. 物体的机械能增加12mgh B. 物体的机械能减少32mghC. 重力对物体做功mghD. 物体的动能增加12mgh8. 在如图5所示的四种电场中，分别标记有a、b两点．其中a、b两点电场强度大小相等、方向相反的是()A．甲图中与点电荷等距的a、b两点B．乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点C．丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点D．丁图中非匀强电场中的a、b两点9. 如图6所示，在某一真空中，只有水平向右的匀强电场和竖直向下的重力场，在竖直平面内有初速度为的v带电微粒，恰能沿图示虚线由A向B做直线运动．那么()A．微粒带正、负电荷都有可能B．微粒做匀减速直线运动图4图5 图6C ．微粒做匀速直线运动D ．微粒做匀加速直线运动10.一个挡板竖直固定于光滑水平地面上，截面为14圆的柱状物体甲放在水平面上，半径与甲相等的光滑圆球乙被夹在甲与挡板之间，没有与地面接触而处于静止状态，如图7所示．现在对甲施加一个水平向左的力F ，使甲沿地面极其缓慢地移动，直至甲与挡板接触为止．设乙对挡板的压力为F 1，甲对地面的压力为F 2，在此过程中( )A. F 1缓慢减小，F 2不变B. F 1缓慢增大，F 2不变C. F 1缓慢增大，F 2缓慢增大D. F 1缓慢减小，F 2缓慢增大二、多项选择题（本题共5个小题，每小题4分，共20分。

2015年高三诊断考试 数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题∴圆2C 的半径2r AF ===∴圆2C 的方程为：221()42x y +-=12. 解析 ：∵(2)f x +为偶函数，∴(2)f x +的图象关于0x =对称,∴()f x 的图象关于2x =对称∴(4)(0)1f f ==设()()x f x g x e =（x R ∈）,则2()()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e''--'== 又∵()()f x f x '<，∴()0g x '<（x R ∈），∴函数()g x 在定义域上单调递减∵()()()1xx f x f x e g x e <⇔=<,而0(0)(0)1f g e ==∴()()(0)xf x eg x g <⇔< ∴0x >故选B ．二、填空题13. 3514.2211612x y += 15. 1(0,)2 16. 2015 15．解析 ：函数()()ln f x x x ax =-，则1()ln ()ln 21f x x ax x a x ax x'=-+-=-+，令()ln 21f x x ax '=-+得ln 21x ax =-，因为函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，所以()ln 21f x x ax '=-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作ln y x =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为110-=x x y . 切点在切线上，则0100=-=x x y ，又切点在曲线ln y x =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1y x =-. 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得实数a的取值范围是1(0,)2. 16．解析11=，得2121a b a a ==．2b =32212a b bb ==．3b =433123a b bb b ==．…121...n n a bb b -=．∴211220...a bb b =．∵数列{}n b 为等比数列， ∴()()()()11010102112021910111011...(2015)2015a b b b b b b b b ==== 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）∵sin sin c aC A==，sin A A =∴tan A = ∵0A π<< ∴ 3A π=…………6分（Ⅱ）由正弦定理得：6sin sin sin3a b cA B Cπ====∴b B=，c C=∴b c B C+=+]s i n s i n(43s i n s i n()3B A B B Bππ⎤=+--=++⎥⎦12s i n()6Bπ=+∵5666Bπππ<+<∴612sin()126Bπ<+≤即：(]6,12b c+∈…………12分18. 解：(Ⅰ)证明:连接1D C,则1D C⊥平面ABCD,∴1D C⊥BC在等腰梯形ABCD中,连接AC∵2AB=,1BC CD==AB∥CD∴BC AC⊥∴BC⊥平面1AD C∴1AD BC⊥…………6分(Ⅱ)解法一:∵AB∥CD∴13D DCπ∠=∵1CD=∴1DC=在底面ABCD中作C M A B⊥,连接1D M,则1D M AB⊥,所以1D MC∠为平面11ABC D与平面ABCD所成角的一个平面角在1Rt D CM∆中,CM=,1DC=∴1D M==∴1cos D CM∠=即平面11ABC D 与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦函数值为5…………12分 解法二:由(Ⅰ)知AC 、BC 、1D C 两俩垂直， ∵AB ∥CD ∴13D DC π∠=∴1DC =在等腰梯形ABCD 中,连接AC 因2AB =,1BC CD ==AB ∥CD ，所以AC =则A ，(0,1,0)B，1D 设平面11ABC D 的一个法向量(,,)n x y z =r由100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuu r r得00y z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩可得平面11ABC D的一个法向量(1n =r．又1CD =uuu r为平面ABCD 的一个法向量．因此111cos ,||||CD n CD n CD n ⋅<>==uuu r ruuu r r uuu r r 所以平面11ABC D 和平面ABCD 所成的角(锐角)19. 解（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有n 个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件A ,则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是226(),nC P A C =由对立事件的概率: ()P A =41().5P A -= 即2261()5n C P A C ==，解得 3.n = …………6分 （Ⅱ）由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1,2,3，23261(1)5C P C η===12211233333222266664(2)25C C C C C P C C C C η==⋅+⋅=， 16(3)1(1)(2)25P P P ηηη==-=-==(或222111121111333333333333222222226666666616(3)25C C C C C C C C C C C C P C C C C C C C C η==⋅+⋅+⋅+⋅=) 则η 的分布列为：所以1416611235252525E η=⨯+⨯+⨯= ． …………12分 20. 解：（Ⅰ）依题意有ba =，232a c c -= ∵222a b c += ∴2c a = ∴1a =，2c = ∴23b =∴曲线C 的方程为2213y x -= ……………6分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，则11(,)B x x m +，22(,)D x x m +，BD 的中点为M由2213y x my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得 222230x mx m ---=∴12x x m +=，21232m x x +=-∵1DF BF ⋅=uuu r uu u r，即1212(2)(2)()()1x x x m x m --+++=∴0m =（舍）或2m = ∴122x x +=，1272x x =-M 点的横坐标为1212x x += ∵1212(1)(1)(2)(2)DA BA x x x x ⋅=--+++uu u r uu r1212525720x x x x =+++=-+=∴AD AB ⊥∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径∵M 点的横坐标为1∴MA x ⊥∵12MA BD = ∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切 ……………12分21. 解：（Ⅰ）∵222()211m x x m f x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数.∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立,即函数()f x 是定义域上的单调地增函数,则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立,由此可得12m ≥； 若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立,则()201m f x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立.即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立. ∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值 ∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立.综上所述,实数m 的取值范围是1[,)2+∞. ……………4分（Ⅱ）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+.令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++ 显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=,即3()0f x x -<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x < ……………8分 （Ⅲ）证法一:由（Ⅱ）可知23ln(1)x x x -<+ ((0,)x ∈+∞)∴2(1)1x x e x -<+ ((0,)x ∈+∞)∴2(1)1n n e n -<+ (n N *∈)∴201429(1)(3)234(1)2n n n n e e e e n -⨯-⨯-+++++<+++++= ………12分 证法二:设(3)2n n n S += 则11(2)n n n a S S n n -=-=+≥∵112a S == ∴1,n a n n N +=+∈欲证2)3(2)1(92410+<++++⨯-⨯-⨯-n n e e e e n n 只需证12)1(+<⨯-n e n n只需证)1ln()1(2+<⨯-n n n由（Ⅱ）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x即)1ln()1(2+<⨯-n n n 。

甘肃省天水市秦安县第二中学2015届高三上学期第三次检测数学（理）试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U=R ，集合A ＝{1,2,3,4,5｝,B ＝[3，十∞），则图中阴影部分所表示的集合为A. {0，1，2}B. {0，1}，C. {1，2}D.｛1｝2．若0a b >>，则下列不等式成立的是 A. 1122log log a b <B. 0.20.2a b >C.a b +<3．设平面向量(1,2),(2,)a b y ==-,若a ⊥b ，则=||bA ．2B ． 22CD ．54．已知函数sin ,0,()(1),0,x x f x f x x π≤⎧=⎨->⎩那么)32(f 的值为A. 21-B. 23-C. 21D. 235．下列结论正确的是A.若向量a ∥b ，则存在唯一的实数λ使 b a λ=B.已知向量a ，b 为非零向量，则“a ，b 的夹角为钝角”的充要条件是“0<⋅b a ” C ．若命题 2:,10p x R x x ∃∈-+<，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+> D ．“若 3πθ=，则 1cos 2θ=”的否命题为“若 3πθ≠，则 1cos 2θ≠” 6. 若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”。

已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87. 已知函数2(1)(10)()1)x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤，则11()f x dx -=⎰（ ）A ．3812π-B ．4312π+C ．44π+D ．4312π-+8．下列四种说法中，①命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对于任意2,0x R x x ∈-<”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件； ③已知幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于12；④已知向量(3,4)a =-，(2,1)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影是25. 说法正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数， 则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),01,-∞+∞UD ．()3,+∞10.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，25(02)16()1()1(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ 若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，,a b R ∈有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．59(,)24--B ．9(,1)4-- C. 599(,)(,1)244---- D ．5(,1)2--二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．） 11.在等比数列{}n a 中，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则通项公式n a = . 12.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如右图所示，则(2)f = ．13.函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+的单调增区间是 . 14.已知ABC ∆中的内角为,,A B C ，重心为G ，若2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅=，则cos B = .15.定义函数{}{}()f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.52=，{}2.52-=-.当(]0,x n ∈，*n N ∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则12111na a a +++=________．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分12分）若二次函数2() (,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足(1)()41f x f x x +-=+，且(0)3f =. （1)求()f x 的解析式；（2)若在区间[1,1]-上，不等式()6f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分12分）已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3221S S =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*21()n n b n a n N =-+∈，且{}n b 的前n 项和n T ，求证：2n T ≥.18．（本小题满分12分）已知向量3(sin ,)4a x =，(cos ,1)b x =-． (1)当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；(2)设函数()2()f x a b b =+⋅，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、， 若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.19.（本小题满分12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。

秦安一中2014—2015学年第一学期期中考试试卷高一数学命 题: 冯俊业 安小峰 王俊霞 审 题: 冯俊业一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上)1.已知集合{}3<=x x M ，{}22>=xx N ，则=N M ( )A. φ B ．{}30<<x x C ．{}31<<x x D ．{}32<<x x 2.设集合},{b a A =，}5,1{+=a B ，若}2{=B A ，则=B A （ ） A.}2,1{ B.}5,1{ C.}5,2{ D.}5,2,1{ 3.若84=x ，则=x （ ）A ．432± B ．22- C ．2 D. 2- 4.下列四组函数中，表示相等函数的是（ ）A.2()lg ,()2lg f x x g x x == B.[]4,2,2∈=x x y ,[]4,2,2∈=x y xC.21(),()11x f x g x x x -==+- D.1()2,()2xx f x g x -⎛⎫== ⎪⎝⎭5.分段函数2,02,0x x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≥=< 的大致图象为（ ）6.设()log a f x x =)1,0(≠>a a 且，对于任意的正实数x ，y ，都有（ ）A.)()()(y f x f xy f =B.)()()(y f x f xy f +=C.)()()(y f x f y x f =+D.)()()(y f x f y x f +=+ 7．已知2)(35+++=bx ax x x f ，且3)2(-=-f ，则)2(f =（ ） A ．3B ．5C ．7D ．-18.函数()3101x y a a a -=+>≠且的图像必经过点（ ）A. ()1,0B. ()1,2C. ()1,3D.()2,3 9.函数1()lg f x x x=-的零点所在的区间是( ) A ．()1,0 B ．()10,1 C ．()100,10 D ．()+∞,100 10.已知9070log ..a =，7011log ..b =，9.011.c =，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ）A.c b a <<B.b c a <<C.c a b <<D.b a c <<11．如果偶函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ） A ．减函数且最大值是5 B ．增函数且最大值是5- C ．增函数且最小值是5 D ．减函数且最小值是5- 12．设定义在R 上的奇函数()x f 满足：对任意12,x x ∈()+∞,0，且12x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f ，且0)2(=f ，则不等式05)(2)(3≤--x x f x f 的解集为( ) A ．(](]2,02, -∞- B ．[][)+∞-,20,2 C ．(][)+∞-∞-,22, D ．[)(]2,00,2 -二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上)13.在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间()1,2内，则下一步可判定该根所在的区间是_______________. 14.已知幂函数)(x f y =的图象过点)22,21(，则=)2(log 2f .15.函数234y x x =--的增区间是 .16.设,0>a 且1≠a ，函数()()32log 2+-=x x x f a 有最小值，则不等式x xa a 282-->的解集是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) （1）计算41416682)3()(⨯+-+-e π；（2）已知log 3235==a b，，试用a b ,表示log 303.18．(本小题满分12分)已知函数()lg(2)f x x -的定义域为A ，2()1g x x =-+的值域为B ．设全集R U =．（1）求集合A ，B ； （2）求()U A C B ．19.（本小题满分12分）已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-.（1） 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；（2） 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数.20. （本小题满分12分） 已知函数12log )(-=x ax f ，,0(>a 且）1≠a ,（1）求函数)(x f 的定义域; （2）求使0)(>x f 的x 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数121--=xa y 为奇函数. （1）求a 的值； （2）求函数的定义域； （3）讨论函数的单调性.22. （本小题满分12分）我校高二年级某班共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a 元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用228元，其中，纯净水的销售价x （元/桶）与年购买总量y （桶）之间满足如图所示关系. （1）求y 关于x 的函数关系式；（2）当120 a 时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由； （3）当a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费用？。

数 学 试 题（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项符合题意）1.设集合{}{}2|60,|13M x x x N x x =+-<=≤≤，则M N ⋂=( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]2.53)4cos(=-x π，那么sin 2x = ( ) A. 2518 B.2524± C.257- D. 2573.已知方程221()13x y k R k k+=∈+-，则1<k <3是该方程表示焦点在x 轴上的椭圆的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是 （ ）A.()0,+¥B.(),0-¥C.()2,+¥D.(),2-?5.知2()f x ax x c =--,不等式()0f x >的解集为{}|21x x -<<,则函数()y f x =-的图象为( )6.已知数列{}n a ，{}n b 满足111==b a ，+++∈==-N n b b a a nn n n ,211, 则数列{}n a b 的前10项的和为 （ ）A ．)14(349-B ．)14(3410-C ．)14(319-D ．)14(3110- 7.已知直线:320l ax y --=与曲线3y x =在点(1,1)P 处的切线垂直,则(1,1)P 到直线l 的距离为7132103133108、关于函数)42sin()(π-=x x f ，有下列命题:① 其表达式可写成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cos )(πx x f ；② 直线)(8x f x 是π-=图象的一条对称轴；③ )(x f 的图象可由x x g 2sin )(=的图象向右平移4π个单位得到； ④ 存在),0(πα∈，使)3()(αα+=+x f x f 恒成立. 其中，真命题的序号是 （ ） A ．②③ B ．①② C ．②④D ．③④9.设变量,x y 满足10-3+10220x y x y x y --≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则21y x -+的取值范围是 （ ）A ． 1(,][3,)3-∞-⋃+∞ B. 1[3,]3- C. 1[,3]3- D. 1(,3][,)3-∞-⋃+∞10.若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，右焦点为(,0)F c ，方程220ax bx c ++=的两个实数根分别是12,x x ，则点12(,)P x x 到原点的距离为( )7411.已知偶函数(),y f x x R =∈满足：2()3(0)f x x x x =-≥，若函数2log ,0()1,0x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()()y f x g x =-的零点个数为 （ ）A.1B.3C.2D.412.已知过抛物线C ：22x py = (0)p >的焦点F 的直线m 交抛物线于点M 、N ,23MF NF ==,则抛物线C 的方程为 （ ）A ．28x y = B ．22x y = C ．24x y = D．2x =第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 过圆内一点的最长弦与最短弦所在直线方程分别为(1)(21)80a x a y a ++-++=与240ax y -+=，则实数a = ;14、两个正数,a b 的等差中项是3，一个等比中项是且a b >，则双曲线22221x y b a-=的离心率为 ; 15、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度||||sin ,*=⨯⨯θa b a b 其中θ为向量a 和b的夹角，若(2,0),(1,=-=u u v 则|()|*+u u v = ． 16、给出命题：已知实数a 、b 满足1a b +=，则14ab ≤.它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_______．三、解答题 (共6题,满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)17. (本小题满分10分) 一直线经过点P 33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭被圆2225x y +=截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程。

甘肃省天水市秦安县2015届高三级最后一摸理科数学试题说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）设集合1,0,1,2,3A ，220B x x x，则AB =（）A ．3 B ．2,3 C．1,3 D ．0,1,2（2）若复数ii a 213（i R a,为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（）A.6 B.2C.4 D.6（3）已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)＝（A ）0.22 （B ）0.28（C ）0.36 （D ）0.64（4）执行右面的程序框图，若输出的k ＝2，则输入x 的取值范围是（A ）(21，41) （B ）[21，41] （C ）(21，41]（D ）[21，41)（5）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S na n＝（A ）4n －1（B ）4n－1（C ）2n －1（D ）2n－1（6）过双曲线x 2a 2－y2b2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为开始是x ≤81？否输入x x ＝2x －1结束k ＝0输出k k ＝k ＋1。

数学〔理科〕一、选择题〔本大题共12个小题，每个5分，共计60分〕1．全集{}=1,2,3,45,6，，{}1345A =，，，，{}56B =，，如此=)(B A C U ( ) A ．{}1,3,4B ．{}5,6C ．{}1,3,4,5,6D ．{}22．如下函数中，在〔0，+∞〕上单调递增，并且是偶函数的是〔 〕A ．2x y = B.3x y -= C.||lg x y -= D.xy 2=3．53)4cos(=-x π，那么sin 2x ＝〔 〕A ．2518B.2524± C.257- D.2574．假设a b ，为实数，如此“01ab <<〞是“1b a<〞的〔 〕 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．二项式102x ⎛+ ⎝的展开式中的常数项是A.第10项B.第9项C.第8项D.第7项6．．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如下列图，如此该几何体的外表积是〔 〕A.πB.34π+C.4π+D.24π+7．甲、乙两队进展排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，假设两队每局的概率一样，如此甲队获得冠军的概率为〔 〕 A.12 B,23 C. 34 D.358．x ，y 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，如此z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为〔 〕A ．12 B.2 C.32 D.439．函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，如下关于()y g x =的说法正确的答案是〔 〕 A ．图象关于点(,0)3π-中心对称B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5[,]126ππ--单调递增D ．在[,]63ππ-单调递减 10．数列{}n a 是等差数列，假设91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于〔 〕A ．20B ．17C ．19D ．2111．椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为右焦点，假设BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，如此该椭圆离心率e 的取值范围为〔 〕A 、]13,22[- B 、)1,22[ C 、]23,22[ D 、]36,33[ 12．定义在R 上的函数()()()()(),21)5(,11,00x f xf x f x f f x f ==-+=满足且当1021≤<≤x x 时，()()21x f x f ≤.如此)20071(f 等于 〔 〕 A ．21 B ．161 C ．321D ．641二、填空题〔本大题共4个小题，每个5分，共计20分〕13．｜a ｜＝1，｜b a ，b 的夹角为6π，如此｜a －b ｜的值为_________． 14．直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直，如此实数a 的值是. 15．假设函数()x f 在定义域D 内某区间I 上是增函数，且()xx f 在I 上是减函数，如此称()x f y =在I 上是“弱增函数〞．函数()()b x b x x h +--=12在〔0，1]上是“弱增函数〞，如此实数b 的值为． 16．有如下命题设m,n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下四个命题： 〔1〕假设m ⊥α，n ∥α，如此m ⊥n〔2〕假设α∥β，β∥γ，m ⊥α，如此m ⊥γ 〔3〕假设m ∥α，n ∥α，如此m ∥n 〔4〕假设α⊥γ，β⊥γ，如此α∥β其中真命题的序号是．三、解答题〔本大题共6个小题，共计70分〕 17.〔本小题总分为为10分〕在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且222a b c bc =++. (Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)假设sin sin 1,2B C b +==，试求△ABC 的面积． 18. 〔本小题总分为为10分〕 圆22:(3)(4)4C x y -+-=，〔Ⅰ〕假设直线1l 过定点A (1，0)，且与圆C 相切，求1l 的方程；(Ⅱ) 假设圆D 半径为3，圆心在2l ：20x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程． 19．〔本小题总分为为12分〕等差数列{}n a 中，24a =，4a 是2a 与8a 的等比中项． (I)求数列{}n a 的通项公式：(II)假设1n n a a +≠．求数列1{2}n n a -⋅的前n 项和.20. 〔本小题总分为为12分〕如下列图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．〔I) 证明：BD ⊥平面PAC ；(II)假设PA ＝1，AD ＝2，求二面角B －PC －A 的余弦值．21．〔本小题总分为为12分〕点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF，O 为坐标原点. 〔1〕求E 的方程；〔2〕设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当O P Q ∆的面积最大时，求l 的方程. 22．〔本小题总分为为14分〕函数()f x =2x ax b ++,()g x =()xe cx d +,假设曲线()yf x =和曲线()yg x =都过点P(0,2),且在点P 处有一样的切线42y x =+． (Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值；(Ⅱ)假设2x ≥-时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围．参考答案〔理科〕1．D. 2．A 3．C 4．D 5．B 6. B7．C 8. B 9. C 【解析】∵函数f 〔x 〕=sin2x 向左平移6π个单位，得到函数y=g 〔x 〕=sin2〔x+6π〕=sin 〔2x+3π〕； ∴对于A ：当x=-3π时，y=g 〔x 〕=sin 〔-32π+3π〕=-23≠0∴命题A 错误； 对于B ：当x=-6π时，y=g 〔x 〕=sin 〔-3π+3π〕=0≠±1，∴命题B 错误； 对于C ：当x ∈5[,]126ππ--时，2x+3π∈[-2π，0]，∴函数y=g 〔x 〕= sin 〔2x+3π〕是增函数，∴命题C 正确；对于D ：当x ∈[,]63ππ-时，2x+3π∈[0，π]，∴函数y=g 〔x 〕= sin 〔2x+3π〕是先增后减的函数，∴命题D 错误．10. C【解析】：因为101192a a a =+，由91130a a +<可知01110<+a a ，又10110a a ⋅<，所以1110,a a 中一正一负，因为数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，所以0,01110<>a a ，又0192)(191019119>=+=a a a S ，0)(102)(20111020120<+=+=a a a a S ，所以答案选C.11. A【解析】：∵B 和A 关于原点对称 ∴B 也在椭圆上 设左焦点为F ′根据椭圆定义：a F A AF 2||||='+ 又∵=||AF ||BF ∴+||AF ||BF a 2=①o 是ABF Rt ∆的斜边中点，∴c AB 2||=又αsin 2||c AF =②αcos 2||a BF =③②③代入①αsin 2c +αcos 2a a 2=∴)4sin(21cos sin 1πααα+=+=a c即)4sin(21πα+=e⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα∴125π24ππα≤+≤,1)4sin(426≤+≤+πα 所以1322-≤≤e . 12．C【解析】：由1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，得1)1(21)21(==f f ，，又(),21)5(x f x f =21)51(=∴f ， 21)54(=f ，又1021≤<≤x x 时，()()21x f x f ≤.所以假设]5,51[4∈x ，21)(=x f ，)(21)5(x f x f =，如此在]54,51[n n 区间上n x f 21)(=，又]54,51[2007155∈，321)20071(=∴f 。

秦安县第一中学2014—2015学年度高三级第三次检测考试数 学 试 题（文科）命题教师：胥同庆 董晓兵 王利民 审题教师：邵建平第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项符合题意）1.设集合{}{}2|60,|13M x x x N x x =+-<=≤≤，则M N ⋂=( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．(2,3] D ．[2,3]2.53)4cos(=-x π，那么sin 2x = ( )A.2518 B.2524±C.257-D.257 3.已知方程221()13x y k R k k+=∈+-，则1<k <3是该方程表示焦点在x 轴上的椭圆的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是 （ ）A.()0,+¥B.(),0-¥C.()2,+¥D.(),2-?5.知2()f x ax x c =--,不等式()0f x >的解集为{}|21x x -<<,则函数()y f x =-的图象为 ( )6.已知数列{}n a ，{}n b 满足111==b a ，+++∈==-N n b b a a nn n n ,211, 则数列{}n a b 的前10项的和为 （ ）A ．)14(349-B ．)14(3410-C ．)14(319-D ．)14(3110-7.已知直线:320l ax y --=与曲线3y x =在点(1,1)P 处的切线垂直,则(1,1)P 到直线l 的距离为A.D.8、关于函数)42sin()(π-=x x f ，有下列命题:① 其表达式可写成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cos )(πx x f ；② 直线)(8x f x 是π-=图象的一条对称轴；③ )(x f 的图象可由x x g 2sin )(=的图象向右平移4π个单位得到；④ 存在),0(πα∈，使)3()(αα+=+x f x f 恒成立. 其中，真命题的序号是 （ ）A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④9.设变量,x y 满足10-3+10220x y x y x y --≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则21y x -+的取值范围是 （ ）A ． 1(,][3,)3-∞-⋃+∞ B. 1[3,]3- C. 1[,3]3- D. 1(,3][,)3-∞-⋃+∞10.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，右焦点为(,0)F c ，方程220ax bx c ++=的两个实数根分别是12,x x ，则点12(,)P x x 到原点的距离为( )C.2D. 7411.已知偶函数(),y f x x R =∈满足：2()3(0)f x x x x =-≥，若函数2log ,0()1,0x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()()y f x g x =-的零点个数为 （ ） A.1 B.3 C.2 D.412.已知过抛物线C ：22x py = (0)p >的焦点F 的直线m 交抛物线于点M 、N ,23MF NF ==,则抛物线C 的方程为 （ ）A ．28x y =B ．22x y =C ．24x y =D ．2x =第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 过圆内一点的最长弦与最短弦所在直线方程分别为(1)(21)80a x a y a ++-++=与240ax y -+=，则实数a = ;14、两个正数,a b 的等差中项是3，一个等比中项是a b >，则双曲线22221x y b a -=的离心率为 ; 15、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度||||sin ,*=⨯⨯θa b a b 其中θ为向量a 和b 的夹角，若(2,0),(1,=-=u u v 则|()|*+u u v = ．16、给出命题：已知实数a 、b 满足1a b +=，则14ab ≤.它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_______．三、解答题 (共6题,满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)17. (本小题满分10分)一直线经过点P 33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭被圆2225x y +=截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程。

2015年甘肃省天水市秦安县高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知集合 M ＝{x||x|≤2, x ∈R}，N ＝{−1, 0, 2, 3}，则M ∩N ＝（ ） A {−1, 0, 2} B {−1, 0, 1, 2} C {−1, 0, 2, 3} D {0, 1, 2, 3}2. 设复数z 满足(1−i)z =2i ，则z =( ) A −1+i B −1−i C 1+i D 1−i3. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3=a 2+10a 1，a 5=9，则a 1=（ ） A 13 B −13 C 19 D −194. 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）A α // β且l // αB α⊥β且l ⊥βC α与β相交，且交线与l 垂直D α与β相交，且交线与l 平行5. 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是（ ） A 1x 2+1>1y 2+1 B ln(x 2+1)>ln(y 2+1) C x 3>y 3 D sinx <siny 6. 设函数f(x)满足f(x +π)＝f(x)+cosx ，当0≤x ≤π时，f(x)＝0，则f(11π3)＝（ ）A 12 B √32 C 0 D −127. 若多项式x 2+x 10＝a 0+a 1(x +1)+...+a 8(x +1)8+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10，则a 8＝（ ）A 45B 9C −45D −98. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105, 102)，已知P(95≤ξ≤105)＝0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A 10 B 9 C 8 D 79. 过抛物线C:x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|＝（ ） A 1 B 2 C 3 D 410. 已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R 上恒有f′(x)<2(x ∈R)，则不等式f(x)<2x +1的解集为（ ）A (1, +∞)B (−∞, −1)C (−1, 1)D (−∞, −1)∪(1, +∞)二、填空题：（本大题有5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷的相应位置.） 11. 阅读右侧程序框图，输出的结果i 的值为________．12. 8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，且甲学校至少分到两个名额的分配方案为________（用数字作答）13. 已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为________．14. 在三角形ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，BC ＝6，P 为BC 中点，则三角形ABP 的周长为________．15. 定义在[1, +∞)上的函数f(x)满足：（1）f(2x)＝2f(x)；（2）当2≤x ≤4时，f(x)＝1−|x −3|，则集合S ＝{x|f(x)＝f(34)}中的最小元素是________．三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知函数f(x)＝Asin(ωx +φ)(x ∈R, A >0, ω>0, 0<φ<π2)图象如图，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点．且|OQ|＝2，|OP|=√52，|PQ|=√132． (Ⅰ)求函数y ＝f(x)的解析式；(Ⅱ)将函数y ＝f(x)图象向右平移1个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，当x ∈[0, 2]时，求函数ℎ(x)＝f(x)⋅g(x)的最大值．17. 如图，在几何体SABCD 中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，AD ＝DC ＝2，BC ＝1，又SD ＝2，∠SDC ＝120∘．（1）求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．18. 某游乐场有A 、B 两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A ，丙丁两人各自独立进行游戏B ．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为13，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为12．（1）求游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关成功的人数的概率； （2）记游戏A 、B 被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望． 19. 已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n +a n+1＝2n ， （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }的前n 项和S n ，求S 2n ．20. 已知函数g(x)=f(x)+12x 2−bx ，函数f(x)=x +alnx 在x =1处的切线l 与直线x +2y =0垂直．(1)求实数a 的值；(2)若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；(3)设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g(x)的两个极值点，若b ≥72，求g(x 1)−g(x 2)的最小值． 21. 如图，F 1，F 2是椭圆C:x 22+y 2＝1的左、右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两个动点，且线段AB 的中点M 在直线l:x =−12上．（1）若B 的坐标为(0, 1)，求点M 的坐标； （2）求F 2A →⋅F 2B →的取值范围．2015年甘肃省天水市秦安县高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. A3. C4. D5. C6. D7. A8. B9. A10. A 11. 7 12. 15 13. 9π2 14. 7+√14215. 616. （1）由余弦定理得cos∠POQ =OP →2+OQ →2−PQ →22|OP →|⋅|OQ →|=√55， ∴ sin∠POQ =2√55，得P 点坐标为(12, 1)，∴ A ＝1，2πω=4(2−12)，∴ ω=π3．由f(12)＝sin(π6+φ)＝1 可得 φ=π3，∴ y ＝f(x) 的解析式为 f(x)＝sin(π3x +π3)． （2）根据函数y ＝Asin(ωx +⌀)的图象变换规律求得 g(x)＝sin π3x ，ℎ(x)＝f(x)g(x)＝sin(π3x +π3) sin π3x =12sin 2π3x +√32sin π3xcos π3x =1−cos2π3x 4+√34sin 2π3x =12sin(2π3x −π6)+14．当x ∈[0, 2]时，2π3x −π6∈[−π6, 7π6]， ∴ 当 2π3x −π6=π2， 即 x ＝1时，ℎmax (x)=34．17. 设平面SAB 的法向量为n →=(x,y,z)， ∵ AB →=(2,0,−1),AS →=(−1,√3,−2)． 则有{2x −z =0−x +√3y −2z =0 ，取x =√3，得n →=(√3,5,2√3)，又SC →=(3,−√3,0)， 设SC 与平面SAB 所成角为θ， 则sinθ=|cos <SC →,n →>|=√32√3×2√10=√1020， 故SC 与平面SAB 所成角的正弦值为√1020． 设平面SAD 的法向量为m →=(x,y,z)， ∵ AD →=(0,0,−2),AS →=(−1,√3,−2)，则有{−2z =0−x +√3y −2z =0，取x =√3，得m →=(√3,1,0)．∴ cos <n →,m →>=n →⋅m→|n →|×|m →|=82√10×2=√105， 故平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值是√105．18. p =13×23×2×(12)2+13×13×34=736．ξ可取0，1，2，3，4，P(ξ＝0)＝(1−13)2(1−12)2=436；P(ξ＝1)=C 21(13)(1−13)C 20(12)2+C 20(1−13)2C 21(12)(1−12)=1236；P(ξ＝2)=C 22(13)2C 20(1−12)2+C 21(13)(1−13)C 21(12)(1−12)+C 20(1−13)2C 22(12)2=1336； P(ξ＝3)=C 22(13)2C 21(12)(1−12)+C 21(13)(1−13)C 22(12)2=636；P(ξ＝4)=C 22(13)2C 22(12)2=136．∴ ξ的分布列为：Eξ＝0×436+1×1236+2×1336+3×636+4×136=53．19. ∵ a 1＝1，且a n +a n+1＝2n ， ∴ 当n ≥2时，a n−1+a n =2n−1． ∴ a n+1−a n−1＝2n−1，当n ＝1，2，3时，a 1+a 2＝2，a 2+a 3＝22，a 3+a 4=23． 解得a 2＝1，a 3＝3，a 4＝5． 当n 为偶数2k(k ∈N ∗)时，a 2k ＝(a 2k −a 2k−2)+(a 2k−2−a 2k−4)+...+(a 6−a 4)+(a 4−a 2)+a 2 ＝22k−2+22k−4+...+24+22+1=4k−1 4−1=13(4k−1)．当n为奇数时，a2k−1+a2k=22k−1，∴ a2k−1=2k−1−13(4k−1)，∴ a n={13(4k−1),n=2k22k−1−13(4k−1),n=2k−1(k∈N∗)．S2n＝(a2+a4+...+a2n)+(a1+a3+...+a2n−1)＝(a2+a4+...+a2n)+[(2−a2)+(23−a4)+...+(a2n−1−a2n)]＝2+23+...+22n−1=2(4n−1) 4−1=23(4n−1)．20. 解：(1)∵ f(x)=x+alnx，∴ f′(x)=1+ax，∵ f(x)在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴ k=f′(x)|x＝1=1+a=2，解得a=1.(2)∵ g(x)=lnx+12x2−(b−1)x，∴ g′(x)=1x +x−(b−1)=x2−(b−1)x+1x，x>0，由题意知g′(x)<0在(0, +∞)上有解，即x+1x+1−b<0有解，∵ 定义域x>0，∴ x+1x≥2，x+1x<b−1有解，只需要x+1x的最小值小于b−1，∴ 2<b−1，解得实数b的取值范围是(3,+∞)．(3)∵ g(x)=lnx+12x2−(b−1)x，∴ g′(x)=1x +x−(b−1)=x2−(b−1)x+1x，x>0，由题意知g′(x)<0在(0, +∞)上有解， x 1+x 2=b −1，x 1x 2=1，则g(x 1)−g(x 2)=[ln(x 1+12x 12−(b −1)x 1]−[lnx 2+12x 22−(b −1)x 2]=ln x 1x 2+12(x 12−x 22)−(b −1)(x 1−x 2) =ln x 1x 2+12(x 12−x 22)−(x 1+x 2)(x 1−x 2) =lnx 1x 2−12(x 1x 2−x 2x 1)，∵ 0<x 1<x 2， ∴ 设t =x1x 2，0<t <1，令ℎ(t)=lnt −12(t −1t )，0<t <1， 则ℎ′(t)=1t −12(1+1t 2)=−(t−1)22t 2<0，∴ ℎ(t)在(0, 1)上单调递减， 又∵ b ≥72， ∴ (b −1)2≥254，由x 1+x 2=b −1，x 1x 2=1， 可得t +1t ≥174，∵ 0<t <1，∴ 由4t 2−17t +4=(4t −1)(t −4)≥0， 得0<t ≤14，∴ ℎ(t)≥ℎ(14)=ln 14−12(14−4)=158−2ln2，故g(x 1)−g(x 2)的最小值为158−2ln2．21. ∵ B 的坐标为(0, 1)，且线段AB 的中点M 在直线l:x =−12上， ∴ A 点的横坐标为−1，代入椭圆方程x 22+y 2＝1，解得y ＝±√22，故点A(−1, √22)或点A(−1, −√22)． ∴ 线段AB 的中点M(−12, 12+√24)或(−12, 12−√24)． 由于F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，当AB 垂直于x 轴时，AB 的方程为x =−12，点A(−12, −√78)、 B(−12, √78)，求得F 2A →⋅F 2B →=118．当AB 不垂直于x 轴时，设AB 的斜率为k ，M(−12, m)，A(x 1, y 1 )，B (x 2, y 2)，由{x 122+y 12=1x 222+y 22=1可得 (x 1+x 2)+2(y 1+y 2)⋅y 1−y 2x 1−x 2=0，∴ −1＝−4mk ，即 k =14m ，故AB 的方程为 y −m =14m(x +12)，即 y =14mx +8m 2+18m①．再把①代入椭圆方程x 22+y 2＝1，可得x 2+x +14⋅(8m 2+1)2−64m 28m 2+1=0．由判别式△＝1−(8m 2+1)2−64m 28m 2+1>0，可得0<m 2<78．∴ x 1+x 2＝−1，x 1⋅x 2=(8m 2+1)2−64m 28m 2+1，y 1⋅y 2＝(14m ⋅x 1+8m 2+18m )(14m x 2+8m 2+18m )，∴ F 2A →⋅F 2B →=(x 1−1, y 1 )⋅(x 2−1, y 2)＝x 1⋅x 2+y 1⋅y 2−(x 1+x 2)+1=3(8m 2+1)+88(1+8m 2)．令t ＝1+8m 2，则1<t <8，∴ F 2A →⋅F 2B →=3t 2+88t=18[3t +8t]．再根据18[3t +8t]在(1, √83)上单调递减，在(√83, 8)上单调递增求得18[3t +8t]的范围为[√62, 258)． 综上可得，18[3t +8t ]的范围为[√62, 258)．。