南京市第九中学、第十三中学2024-2025学年高二年级第一次质量调研数学（时间：120分钟 满分：150分）2024年10月11日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．若1i 1zz =+-，则z =（ ）A ．i 1--B ．i 1-+C ．1i -D ．1i +2．已知一组数据：3，5，7，x ，9的平均数为6．则该组数据的40百分位数为（ ） A ．6B ．5.5C ．5D ．4.53．已知三个单位向量a ，b ，c 满足a b c =+，则向量b ，c 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点(),P x y 是阴影部分（包括边界）的动点，则2y x -的最小值为（ ）A ．23-B ．32-C ．43-D ．235．已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为()1,2P ，则过()111,Q a b ，()222,Q a b 两点的直线方程为（ ） A ．210x y +-=B ．210x y --=C ．210x y --=D ．210x y +-=6．设直线l 的方程为()cos 3x y θθθ++=∈R ，则直线l 的倾斜角α的取值范围为（ ） A ．[)0,πB ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．，π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，D 是棱BC 上的动点，直线1A D 与平面ABC 所成角的最大值是45°，点P 在底面ABC 内，且1A P =则点P 的轨迹长为（ ）A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．2π8．已知圆221:220C x y x y +--=，设其与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于M ，N 两点．已知另一圆2C的半径为1C 相外切，则22C M C N ⋅的最大值为（ ）A ．20B ．C ．10D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．设A ，B 为两个随机事件，以下命题正确的有（ ） A ．若A 与B 对位，则()1P AB =B ．若A 与B 互斥，()13P A =，()12P B =，则()56P A B += C ．若()13P A =，()12P B =，且()16P AB =，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，()13P A =，()23P B =，则()19P AB =10．已知点A ，B 在圆22:4O x y +=上，点P 在直线:250l x y +-=上，则（ ） A ．直线l 与圆O 相离B ．当AB =PA PB +的最小值是1C ．当P A 、PB 为圆O 的两条切线时，()OA OB OP +⋅为定值 D ．当P A 、PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点84,55⎛⎫⎪⎝⎭11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它藴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线()()22:118C x y -+-=就是一条形状优美的曲线，则（ ）A ．曲线C 上两点间距离的最大值为B ．若点(),P a a 在曲线C 内部（不含边界），则33a -<<C ．若曲线C 与直线y x m =+有公共点，则66m -≤≤D ．若曲线C 与圆()2220x y rr +=>有公共点，则72r ≤≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知4sin 25a =-，则tan 2πtan 4aa =⎛⎫+ ⎪⎝⎭______． 13．若直线2y x a =+和直线12y x b =-+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，则a b +=______． 14．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点()11,A x y ，()22,B x y 的曼哈顿距离为：()1212,d x x A B y y =-+-．己知点M 在圆22:1O x y +=上，点N 在直线:390l x y +-=上，则(),d M N 的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）已知直线()()1:31410l x y -+-=，()2:3420l x y ++=，点A 和点B 分別是直线1l ，2l 上一动点． （1）若直线AB 经过原点O ，且3AB =，求直线AB 的方程； （2）设线段AB 的中点为P ，求点P 到原点O 的最短距离． 16．（本题满分15分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知πsin sin 3c B b C =+⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求C ；（2）若6b =，且ABC △的面积为ABC △的周长． 17．（本题满分15分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AB BC ⊥，4DC BC ==，8AB =，AD =（1）证明：BD PA ⊥；（2）若PAD △为等边三角形，求点C 到平面PBD 的距离． 18．（本题满分17分） 己知以点()2,0C t t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭为圆心的圆经过原点O ，且与x 轴交于另一点A ，与y 轴交于另一点B ． （1）求证：AO BO ⋅为定值（2）设直线240x y +-=与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程．（3）在（2）的条件下，设P ，Q 分別是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，求PB PQ +的最小值及此时点P 的坐标． 19．（本题满分17分）已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x =--交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-． （1）求a 的值；（2）求MON △的面积;（3）若圆C 与x 轴交于A ，B 两点，点Q 是圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于R 、S 两点，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．参考答案12．－4 13．12 14．3－103 15．（本题满分13分）已知直线l 1：3(x －1)＋4(y －1)＝0，l 2：3x ＋4(y ＋2)＝0，点A 和点B分别是直线l 1，l 2上一动点． （1）若直线AB 经过原点O ，且|AB |＝3，求直线AB 的方程； （2）设线段AB 的中点为P ，求点P 到原点O 的最短距离． 【答案】(1)43y x =；(2)110． 【解析】（1）将()()()12:31410,:3420l x y l x y -+-=++=化为一般式方程，得，12:3470,:3480l x y l x y +-=++=,则两直线平行，故两直线的距离为3d AB ===． . . . . . . 3分因为3AB =，所以AB 和两直线垂直． 因为12,l l的斜率为34-，所以43AB k =． 又因为直线AB 经过原点O ，所以直线AB 的方程为43y x =． . . . . . .6分 （2）因为12,l l 互相平行，所以线段AB 的中点P 的轨迹为873402x y -++=，即13402x y ++=， 所以点P 到原点O 的最短距离即点O 到直线13402x y ++=的距离． . . . . . .10分因为点O 到直线13402x y ++=110=． 所以点P 到原点O 的最短距离为110． . . . . . .13分16．（本题满分15分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin B ＝b sin(C ＋π3)．（1）求C ；（2）若b ＝6，且△ABC 的面积为63，求△ABC 的周长．【答案】(1)π3C =；(2)10+ 【解析】（1）在△ABC 中，由πsin sin()3c B b C =+及正弦定理，得πsin sin sin sin()3C B B C =+， . . . . . .2分而B ∈(0，π)，所以sin 0B >，所以sin()sin 3C C π+=，即1sin sin 2C C C +=，sin C C =，又()0,C π∈，所以sin C ≠0，从而cos C ≠0，因此tan C =π3C =． . . . . . .6分（2）由（1）及三角形面积公式，得1sin 2ab C ==4a =， . . .10分由余弦定理得c === . . .14分所以△ABC 的周长为10a b c ++=+ . . . . . .15分 17．（本题满分15分）在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，DC ＝BC ＝4，AB ＝8，AD ＝42．（1）证明：BD ⊥PA ；（2）若△PAD 为等边三角形，求点C 到平面PBD 的距离．【答案】(1)证明见解析；．【解析】（1）因为//4AB BC AB CD DC BC ⊥==，，，所以BD =，又因为8AD AB ==，所以222AD BD AB +=，则AD BD ⊥． . . . . . .2分 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ． . . . . . .5分因为PA ⊂平面PAD ，所以BD ⊥PA ． . . . . . .6分（2）取AD 中点O ，连结PO ，因为△PAD 为等边三角形，所以PO AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，如图所示． . . . . . .9分因为PA AD PD PO =====由（1）知BD ⊥平面PAD ，由PD ⊂面PAD 可得BD PD ⊥，在Rt PBD △中，1162PBD S =⨯=△，而14482BCD S =⨯⨯=△，11833P BCD BCDV PO S-=⋅=⨯=． . . . . . .12分 设点C 到平面PBD 的距离为h ，由P BCD C PBD V V --=得1163h ⨯=，解得h =，所以点C 到平面PBD . . . . . .15分 18．（本题满分17分）已知以点C (t ，2t )(t ＞0)为圆心的圆经过原点O ，且与x 轴交于另一点A ，与y 轴交于另一点B ． （1）求证：|AO|·|BO|为定值．（2）设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．（3）在（2）的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．【解析】（1）由题意可得圆的方程为：()222224x t y t t t ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，化简可得22402x tx y y t--=+， . . . . . .2分 分别令y ＝0和x ＝0，可得与坐标轴的交点分别为：()2,0A t ，40,B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以|AO|·|BO|=428t t⋅=为定值． . . . . . .4分（2）如图所示，OM ON =，∴原点O 在线段MN 的垂直平分线上，设线段MN 的中点为H ，则C ，H ，O 三点共线， . . . . . .6分 又OC 的斜率22k t=， ()2221t ⎛⎫∴⨯-=- ⎪⎝⎭， 解得2t =±， 又0t >，所以2t =， 可得圆心()2,1C ，∴圆C 的方程为：()()22215x y -+-=． . . . . . .10分（3）如图所示，由（2）可知：圆心()2,1C ，半径r =，()0,2B ， 设点B 关于直线20x y ++=的对称点为(),B x y '， 则BB '中点为2,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，且()21122022y xx y -⎧⋅-=-⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，解得42x y =-⎧⎨=-⎩，即()4,2B '--， . . . . . .13分则PB PQ PB PQ B Q ++≥''=， 又点B '到圆上点Q 的最短距离为B C r -=='则PB PQ +的最小值为 . . . . . .15分 此时直线B C '的方程为：2xy =， 点P 为直线B C '与直线l 的交点，则220x y x y ⎧=⎪⎨⎪++=⎩，解得4323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点42,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． . . . . . .17分19．（本题满分17分）已知圆C ：(x －a )2＋y 2＝1与直线y ＝－x －1交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为－13．（1）求a 的值； （2）求△MON 的面积；（3）若圆C 与x 轴交于A ，B 两点，点Q 是圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交l ：x ＝－4于R 、S 两点．当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)2a =-；(2)12MONS=；(3)过定点，()4-． 【解析】（1）由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． . . . . . .2分 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PCk k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-． . . . . . .4分（2）由2a =-，则圆心()2,0C -，C ∴到直线=1y x --距离为2d ==， . . . . . .6分MN ∴== . . . . . .8分又O 到直线=1y x --的距离为2，MN 边上的高为2．11222MONS∴=⨯=． . . . . . .10分 （3）由圆C 与x 轴交于,A B 两点，得()()3,0,1,0B --， 不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠， 在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --， 因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k=-+， 在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， . . . . . .12分则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，圆的半径平方为2232k k ⎛⎫+⎪⎝⎭， 所以，以线段RS 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k-++--=， . . . . . .14分由()243031xyx⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得4xy⎧=-+⎪⎨=⎪⎩因此，当点Q变化时，以RS为直径的圆恒过圆C内的定点()4-． . . . . . .17分。
