下载文档原格式
2020年陕西咸阳高三三模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第1题5分若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={x|0<x<4}，则图中阴影部分表示（）．A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {4,5}D. {1,4}2、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第2题5分2020~2021学年陕西西安阎良区高二上学期期末文科第7题5分已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a4=2a3，a1=1，则S4=（）．A. 31B. 15C. 8D. 73、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第3题5分“−2<m<2”是“方程x 22−y22−m=1表示双曲线”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第4题5分2021年河南郑州高三一模文科第8题5分2019~2020学年2020年3月重庆渝北区重庆市松树桥中学校高三下学期月考文科第4题5分2020年陕西咸阳高三三模理科第3题5分2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调A ，B ，C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为（ ）． A. 112B. 16C. 15D. 195、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第5题5分设复数z 满足|z +i |=1，z 在复平面内对应的点为P (x,y )，则点P 的轨迹方程为（ ）． A. (x +1)2+y 2=1 B. (x −1)2+y 2=1 C. x 2+(y −1)2=1 D. x 2+(y +1)2=16、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第6题5分 2019~2020学年湖北襄阳市高三上学期期末理科第7题5分已知非零向量a →，b →满足|a →|=√2|b →|，且(a →−b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ）． A. π6 B. π4 C. 3π4 D. 5π67、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第7题5分 2020年陕西咸阳高三三模理科第7题5分“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是体现其直观性所做的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是（ ）．A. a，bB. a，cC. a，dD. b，d8、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第8题5分已知实数x，y满足不等式组{y⩾0 y⩽xx+y−60⩽0，若z=3x−2y，则z的取值范围为（）．A. [0,160]B. [0,170]C. [0,180]D. [0,190]9、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第9题5分已知函数f(x)=a−e−x−e x（a为常数）存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）．A. [1,+∞)B. [2,+∞)C. (2,+∞)D. (1,+∞)10、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第10题5分2020年陕西咸阳高三三模理科第9题5分函数y=2x−12x+1⋅sinx的图象大致为（）．A.B.C.D.11、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第11题5分已知抛物线C:y2=8x，直线l过抛物线C的焦点F交抛物线于P，Q，且|PQ|=10，M是PQ的中点，则M到y轴的距离为（）．A. 9B. 8C. 4D. 312、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第12题5分若数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1+a2020=27，b1⋅b2020=2，函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)=e x，则f(a1010+a10111+b1010b1011)=（）．A. eB. e2C. e−1D. e9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第13题5分若tanα=13，tanβ=12，则tan(α+β)=．14、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第14题5分已知在三棱锥A−BCD中，AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=√3，AD=2√2，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为．15、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第15题5分2018~2019学年3月广东深圳南山区华侨城中学高二下学期月考文科第16题5分2020年陕西咸阳高三三模理科第15题5分2017~2018学年广东深圳南山区华侨城中学高二下学期期中文科第16题5分2018~2019学年4月山西太原迎泽区太原市第五中学高二下学期月考理科第12题4分现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．16、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第16题5分给出以下四个命题：①设a，b，c是空间中的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a//c．②在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率为34．③已知一个回归直线方程为y^=1.5x^+45(x i∈{1,5,7,13,19}，i=1,2,⋯,5)，则y=58.5．④数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．其中正确命题的序号为．（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第17题12分设a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且满足√3(acosB+bcosA)=2csinB，b= 4．(1) 求角B的大小．(2) 求△ABC面积的最大值．18、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第18题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2分别是其左．右焦点，过F1的直线l与椭圆C交于4，B两点，且椭圆C的离心率为12，△AF2B的周长等于8．(1) 求椭圆C的方程．(2) 当|AB|=247时，求直线l的方程．19、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第19题12分2019~2020学年四川凉山高二下学期期末文科第18题12分2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习．为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9:11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意．(1) 完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”．(2) 从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，再在这5名学生中抽取2名学生．作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．20、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第20题12分如图，在三棱锥A−BCD中，△ABC是正三角形，△ACD是等腰直角三角形．∠ADC=90°，AB=BD．(1) 证明：平面ADC⊥平面ABC．(2) 设AB=2，点E为BD的中点，求三棱锥A−CDE的体积．21、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第21题12分2020~2021学年陕西西安未央区西安中学高三上学期期中文科第21题12分2019~2020学年四川凉山高二下学期期末理科第22题12分已知函数f(x)=alnx．(1) 讨论函数g(x)=x−1−f(x)的单调性与极值．(2) 证明：当a=1且x∈[1,+∞)时，不等式(x+1)f(x)⩾2(x−1)恒成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第22题10分2020年陕西咸阳高三三模理科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2cosαy=√3sinα（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l过A，B两点，且这两点的极坐标分别为A(2√7,0)，B(2√7,π2)．(1) 求C的普通方程和l的直角坐标方程．(2) 若M为曲线C上一动点，求点M到直线l的最小距离．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年陕西咸阳高三三模文科第23题10分2020年陕西咸阳高三三模理科第23题10分已知a>0，b>0，且a+b=2．(1) 若1a +4b⩾|2x−1|恒成立，求x的取值范围．(2) 证明：(1a +1b)(a3+b3)⩾4．1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 D;12 、【答案】 A;13 、【答案】1;14 、【答案】12π;15 、【答案】a38;16 、【答案】②③;17 、【答案】 (1) B=π3．;(2) 4√3．;18 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) x−y+1=0或x+y+1=0．;19 、【答案】 (1)；有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”．;(2) 35．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √36．;21 、【答案】 (1) 当a⩽0时，g(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值；当a>0时，g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，函数g(x)极小值=a−1−alna，无极大值．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) C的普通方程为：x24+y23=1，直线l的直角坐标方程为：x+y−2√7=0．;(2) √142．;23 、【答案】 (1) −74⩽x⩽114．;(2) 证明见解析．;。
咸阳市2020年高考模拟检测(一)数学(文科)试题注意事项:1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名.准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.第I 卷选择题必须使用2B 铅笔填涂，第II 卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22A x N x =∈-<<，{}1,1,2,3B =-，则A B ⋂=（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,32. 设21z i i ⋅=+，则z =（ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --3. 记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若20,S =则公比q =（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定 4. 已知()()1,2,1,0,a b ==r r 则2a b +=r r （ ）A B ．7 C. 5 D ．255.“0x >”是“20x x +>”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C. 充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数m =（ ）A ．23B ．25C ．23-D ．25- 7. 函数4y cos x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．132,24(4)k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．372,24(4)k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．312,24(4)k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．152,24(4)k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 8. 已知()1210,0x y x y+=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．79. 设,m n 是两条不同的直线，,a β是两个不同的平面，给出下列四个命题:①若,//,m a n a ⊥则m n ⊥；②若//,a m a β⊥，则m β⊥；③若//,//m a n a ，则//m n ；④若,m a a β⊥⊥，则//m β.其中真命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10. 有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）A ．827B ．56C ．23D ．1311. 设函数(),x f x x e =⋅则 （ ）A ．()f x 有极大值1eB ．()f x 有极小值1e -C ．()f x 有极大值 eD ．()f x 有极小值e - 12. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为12,,F F 以12F F 为直径的圆交双曲线C 于,,,P Q M N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A．2 BC．2+D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线y x lnx =⋅在点()1,0处的切线方程为_ ．14. 若变量,x y 满足约束条件220220,20x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩则32z x y =+的最大值是 ．15. 已知()222(0,0,)cos x sin x Asin ax b A w ϕ+=++>>则A = ，b = . (本题第一空3分，第二空2分)16. 秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就.秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法.()121210n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++改写成以下形式:()121210n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++()1231210n n n n n n a x a x a x a x a -----=+++⋅⋅⋅++()()2313210n n n n a x a x a x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++++··· ()()()1210n n n a x a x a x a x a --=⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++若()32((21(11f x x x x =++-.则(2f = ． 三、.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知22B m sin ⎛= ⎝u r ，cos 2B n cos B ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，，且m n ⊥u r r .()I 求角B 的大小；()II如果1,a b ==求ABC V 的面积.18. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11D C 的中点，12,1AB BC BB ===.()I 求证:11B C DE ⊥；()II 求三棱锥11E DB C -的体积19. 某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制.为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表:()I 求这些员工学习得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；()II 用分层抽样的方法从得分在[)10,20和[)20,30的员工中选取5人，从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[)10,20和[)20,30中各有1人的概率20. 已知函数() ()f x lnx ax a R =-∈.()I 讨论()f x 的单调性；()II 若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.21. 如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是,F 准线是l .()I 写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；()II 已知点()8,8,P 若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点,A B (均与P 不重合)，直线,PA PB 分别交l 于点,M N .求证:MF NF ⊥.(二)选考题:共10分，考生从22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡.上将所选题目对应的题号涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程,2x y sin β⎧=⎪⎨=⎪⎩(β为参数).直线l 的参数方程3cos ,1sin x t A y t a =+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ()I 求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；()II 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，求直线l 的倾斜角. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()()22f x x a x x x a =--+--.()I 当2a =时，求不等式()0f x <的解集；()II 若()0,2x ∈时，()0,f x ≥求a 的取值范围.咸阳市2020年高考模拟检测(一)数学(文科)试题参考答案及评分标准.一、选择题1-5:ABBCA 6-10:DCCAD 11、12：BD二、填空题13.1y x =- 14.10 15.1A b == 16.0三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. 解:()I m n ⊥u r r Q2cos 022BBsin B ∴+=化简得:tanB =，又0,B π<<Q23B π∴=()II 由余弦定理2222b a c accosB =+-得，222112,2c c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭解之得:1c =.11 112224ABC S acsinB ∴==⨯⨯⨯=V18. 解: ()I 证明:1111ABCD A B C D -Q 是长方体，.11B C ∴⊥平面11DCC D又DE ≠⊂Q 平面11DCC D ，11B C DE ∴⊥.()II 解:2,AB E =Q 是棱11D C 的中点，11,EC ∴=111111113E DB C B DEC DEC V V S B C --∴==⋅V11111132DD EC B C =⨯⋅⋅⋅ 111111326=⨯⨯⨯⨯= 19. ()I 记这50名员工学习得分的平均数为x 元， 则()15515102515351345726.4.50x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()II 用分层抽样可知从[)10,20中选2人，记这2人分别为12,a a ；从[)20,30中选3人，记这3人分别为123,,b b b .从12123,,,,a a b b b 中再任取2人的情况有:12111213212223121323,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b 共10种.其中得分在[)10,20和[)20,30中各有1人的情况有:11112312223,,,2,,a b a b a b a b a b a b 共6种.记事件A 为“得分在[)10,20和[)20,30中各有1人”则()63105P A == 20. ()I ()f x lnx ax =-的定义域为(0,),+∞()1'.f x a x=- ①当0a ≤时，由()'0,f x >知()f x 在(0,)+∞内单调递增.②当0a >时，由()'0,f x > 即10a x ->得10x a<<， 由()'0,f x <即10a x -<得1x a > ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增； 在1(),a+∞内单调递减因此， ①当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增.②当0a >时()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增； 在1(),a+∞内单调递减. ()II ()f x 有两个零点.即:方程0lnx ax -=有两个实根，即:方程ln x a x=有两个实根， 即:函数y a =和()ln x g x x=有两个公共点， ()21ln x g x x -'= 由()'0,g x >即:210,lnx x -> 0x e ∴<<.由()'0,g x <即210,lnx x -< x e ∴>()()1max g x g e e∴== 又,10e g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-<当1x >时，0lnx x>， 10a e∴<< ∴当10a e<<时，()f x lnx ax =-有两个零点. 21. ()I 抛物线的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为:2x =-.()II 由()I 知:设直线AB 的方程为:()2,x my m R -=∈令()()1122,,,A x y B x y ，由282x my y x -=⎧⎨=⎩消去x 得:28160,y my --=由根与系数的关系得:1216y y =-.直线PB 方程为:228282y x y x --=-- ()2222288888888y y x y x y y -+=-+=+- 当2x =-时，228168y y y -=+ 228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭同理得:118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭ 228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭u u u r ，118164,8y FM y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭u u u u r 21218168161688y y FN FM y y --∴⋅=+⨯++u u u r u u u u r ()()()()()()212121168881681688y y y y y y +++--=++ ()()()1221801688y y y y +=++ ()()()2180161688y y -+=++ 0=,FN FM ∴⊥u u u r u u u u r.MF NF ∴⊥u u u r u u u r(二)选考题:共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22. ()I 由曲线C的参数方程,2x y sin β⎧=⎪⎨=⎪⎩(β为参数)得cos sin 2yββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴曲线C 的参数方程化为普通方程为:221124x y += ()II 解法一:中点极坐标2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭化成直角坐标为). 设直线l 与曲线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，12121,22x x y y ++== 则2211222211241124x y x y +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩①② -②①得:222221210,124x x y y --+= 化简得:()211221123y y x x x x y y -+=-==-+ 即:1.a k = 又0,(),a π∈Q直线l 的倾斜角为56π 解法二:中点极坐标2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭化成直角坐标为). 将3cos ,1sin x t A y t a =+⎧⎨=+⎩分别代入221124x y +=得)()2211124tcosa tsina ++=()()2223660,cos a sin a t sina t ∴+++-=122260,3sina t t cos a sin a +∴+=-=+即60sinax --=.cos 3sina a ∴=-即3tana =-又0,(),a π∈Q∴直线l 的倾斜角为56π 23. ()I 当2a =时()()()2222,f x x x x x =--+-- 由()0f x <得()()22220x x x x --+--<. ①当2x ≥时，原不等式可化为:()2220x -<， 解之得:x ∈∅. ②当2x <时，原不等式可化为:()2220,x --< 解之得:x R ∈且2,x ≠ 2.x ∴<因此，()0f x <的解集为:{}2|x x <.()II 当()0,2x ∈时，()()()22f x x a x x x a =--+--， ()().|21x x a x a =---⎡⎤⎣⎦-由()0f x ≥得()()20x x a x a ----⎤⎣⎦≥⎡， ,x a x a -≤-∴0x a ∴-≥(),0,2a x x ∴≤∈，0,a ∴≤a∴的取值范围为(0]-∞.,。
2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|22}A x N x =∈-<<，{1B =-，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}2．（5分）设21z i i =+g ，则(z = ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --3．（5分）记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若20S =，则公比(q = ) A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定4．（5分）已知(1,2)a =r ，(1,0)b =r ，则|2|(a b +=r r )A B ．7 C ．5 D ．255．（5分）“0x >”是“20x x +>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数(m = ) A ．23B ．25 C ．23-D ．25-7．（5分）函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是( )A ．13[2,2]()44k k k Z -+∈B ．37[2,2]()44k k k Z ++∈C ．31[2,2]()44k k k Z -+∈D ．15[2,2]()44k k k Z ++∈8．（5分）已知121(0,0)x y x y+=>>，则2x y +的最小值为( )A ．10B ．9C ．8D ．79．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α则m n ⊥； ②若//αβ，m α⊥，则m β⊥； ③若//m α，//n α，则//m n ；④若m α⊥，αβ⊥，则//m β． 其中真命题的序号为( ) A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10．（5分）有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为( ) A ．827B ．56C ．23 D ．1311．（5分）设函数()x f x x e =g ，则( ) A ．()f x 有极大值1eB ．()f x 有极小值1e-C ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小值e -12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ，Q ，M ，N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为( ) AB．2C．2-D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y x lnx =g在点(1,0)处的切线的方程为 ． 14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件：22022020x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩…„…，则32z x y =+的最大值是 ．15．（5分）已知22cos sin 2sin()(0x x A x b A ωϕ+=++>，0)ω>，则A = ，b = ． 16．（5分）秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋯++ 改写成以下形式：121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋯++ 1231210()n n n n n n a x a x a x a x a -----=+++⋯++ 2313210(())n n n n a x a x a x a x a x a ---=++⋯++++M1210((()))n n n a x a x a x a x a --=⋯+++⋯++若5432()(23)(13)(13)(13)(13)1f x x x x x x =+++++++++-，则(23)f -= ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(2sin ,3)2B m =r ，(cos ,cos )2B n B =r，且m n ⊥r r ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，3b =，求ABC ∆的面积．18．（12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11D C 的中点，2AB =，11BC BB ==． （Ⅰ）求证：11B C DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥11E DB C -的体积．19．（12分）某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表： 得分 [0，10) [10，20)[20，30) [30，40) [40，50)人数51015137（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20)和[20，30)的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的概率． 20．（12分）已知函数()()f x lnx ax a R =-∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．21．（12分）如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l ． （Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点(8,8)P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N 求证：MF NF ⊥．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程23(2sin x y βββ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．直线l 的参数方程3cos (1sin x t t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）．（Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为(2,)6π时，求直线l 的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||(2)|2|()f x x a x x x a =--+--． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()0f x <的解集；（Ⅱ）若(0,2)x ∈时()0f x …，求a 的取值范围．2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|22}A x N x =∈-<<，{1B =-，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}【解答】解：集合{|22}{0A x N x =∈-<<=，1}，{1B =-，1，2，3}， 则{1}A B =I ， 故选：A ．2．（5分）设21z i i =+g ，则(z = ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --【解答】解：由21z i i =+g ，得212(12)()2i i i z i i i ++-===--． 故选：B ．3．（5分）记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若20S =，则公比(q = ) A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定【解答】解：1(1)0a q +=，解得1q =-． 故选：B ．4．（5分）已知(1,2)a =r ，(1,0)b =r ，则|2|(a b +=rr )A B ．7 C ．5 D ．25【解答】解：Q (1,2)a =r，(1,0)b =r ， ∴2(3,4)a b +=rr ， ∴|2|5a b +=rr ．故选：C ．5．（5分）“0x >”是“20x x +>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由20x x +>，解得0x >，或1x <-．∴ “0x >”是“20x x +>”的的充分不必要条件，故选：A ．6．（5分）椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数(m = ) A ．23B ．25 C ．23-D ．25-【解答】解：椭圆2221x my -=的标准方程为：221112y x m +=-，一个焦点坐标为(0,，，解得25m =-，故选：D ．7．（5分）函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是( )A ．13[2,2]()44k k k Z -+∈B ．37[2,2]()44k k k Z ++∈C ．31[2,2]()44k k k Z -+∈D ．15[2,2]()44k k k Z ++∈【解答】解：解224k x k πππππ--剟得，312244k x k -+剟， ∴函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是31[2,2]()44k k k Z -+∈． 故选：C ． 8．（5分）已知121(0,0)x y x y+=>>，则2x y +的最小值为( ) A ．10 B ．9C ．8D ．7【解答】解：Q121x y +=，且0x >，0y >，∴1242(2)()2248x y x y x y xyy x +=++=++++=…，当且仅当4x y y x=，即24y x ==时取等号，2x y ∴+的最小值为8．故选：C ．9．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α则m n ⊥； ②若//αβ，m α⊥，则m β⊥；③若//m α，//n α，则//m n ； ④若m α⊥，αβ⊥，则//m β． 其中真命题的序号为( ) A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④【解答】解：①根据线面垂直的性质定理，可知①正确； ②根据面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，可知②正确；③若//m α，//n α，则m 与n 的位置关系是平行、相交或异面，即③错误； ④若m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊂，即④错误． 故选：A ．10．（5分）有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为( ) A ．827B ．56C ．23 D ．13【解答】解：有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球， 每个盒子放入一个小球，基本事件总数336n A ==， 小球的编号与盒子编号全不相同包含的基本事件有： 编号为1，2，3的三个盒子对应的小球的编号分别为： 2，3，1或3，1，2，共有2个，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163p ==． 故选：D ．11．（5分）设函数()x f x x e =g ，则( ) A ．()f x 有极大值1eB ．()f x 有极小值1e -C ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小值e -【解答】解：()(1)x f x x e '=+，当1x >-时，()0f x '>，函数单调递增，当1x <-时，()0f x '<，函数单调递减， 故当1x =-时，函数取得极小值1(1)f e --=-． 故选：B ．12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ，Q ，M ，N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为( ) A ．22+B ．22+C ．22-D ．22-【解答】解：设MN 与x 轴交于E ，因为四边形PQMN 为正方形，所以OEN ∆为等腰直角三角形，所以2OE NE ON ==，由题意可得半径ON c =， 所以N 坐标2(c ，2)c ，而N 是12F F 为直径的圆交双曲线C 的交点， 代入双曲线方程可得：2222122c c a b-=，而222b c a =-，整理可得：4224420c a c a -+=，离心率ce a=所以可得：42420e e -+=，解得222e =+，所以22e =+， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y x lnx =g在点(1,0)处的切线的方程为 10x y --= ． 【解答】解：由()f x xlnx =，得 11y lnx x lnx x'=+=+g ，f ∴'（1）111ln =+=，即曲线()f x xlnx =在点(1,0)处的切线的斜率为1，则曲线()f x xlnx =在点(1,0)处的切线方程为01(1)y x -=⨯-， 整理得：10x y --=． 故答案为：10x y --=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件：22022020x yx yx y-+⎧⎪--⎨⎪++⎩…„…，则32z x y=+的最大值是10．【解答】解：画出约束条件的可行域，32z x y=+得3122y x z=-+，当3122y x z=-+经过可行域的(2,2)B目标函数取得最大值：322210⨯+⨯=．故答案为：1015．（5分）已知22cos sin2sin()(0x x A x b Aωϕ+=++>，0)ω>，则A2，b=．【解答】解：22cos sin21cos2sin22)14x x x x xπ+=++++，则2A=，1b=，21．16．（5分）秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．121210()n n nn n nf x a x a x a x a x a----=+++⋯++改写成以下形式：121210()n n nn n nf x a x a x a x a x a----=+++⋯++1231210()n n nn n na x a x a x a x a-----=+++⋯++2313210(())n nn na x a x a x a x a x a---=++⋯++++M1210((()))n n n a x a x a x a x a --=⋯+++⋯++若5432()(2(1(1(1(11f x x x x x x =++++++++-，则(2f -= 0 ．【解答】解：5432()(2(1(1(1(11(((((f x x x x x x =++++++++-=2+ )11111x x x x x +++++++-则(20f =． 故答案为：0．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(2sin 2B m =r ，(cos ,cos )2B n B =r，且m n ⊥r r ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，b =ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）Q m n ⊥r r ，∴2sin cos 022B BB =．化简得：tan B =，又0B π<<Q ，∴23B π=．（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，222112()2c c =+--，解之得：1c =．∴11sin 1122ABC S ac B ∆==⨯⨯=． 18．（12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11D C 的中点，2AB =，11BC BB ==． （Ⅰ）求证：11B C DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥11E DB C -的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：1111ABCD A B C D -Q 是长方体，11B C ∴⊥平面11DCC D ． 又DE ⊂Q 平面11DCC D ，11B C DE ∴⊥．（Ⅱ）2AB =Q ，E 是棱11D C 的中点，11EC ∴=，∴11111111111111111111332326E DB C B DEC DEC V V S B C DD EC B C --===⨯=⨯⨯⨯⨯=V g g g g ．19．（12分）某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表： 得分 [0，10) [10，20)[20，30) [30，40) [40，50)人数51015137（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20)和[20，30)的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的概率． 【解答】解：（Ⅰ）记这50名员工学习得分的平均数为x ， 则1(55151025153513457)26.450x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）用分层抽样可知从[10，20)中选2人，记这2人分别为1a ，2a ； 从[20，30)中选3人，记这3人分别为1b ，2b ，3b ． 从1a ，2a ，1b ，2b ，3b 中再任取2人的情况有：12a a ，11a b ，12a b ，13a b ，21a b ，22a b ，23a b ，12b b ，13b b ，23b b 共10种．其中得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的情况有： 11a b ，12a b ，13a b ，21a b ，22a b ，23a b 共6种．记事件A 为“得分在[10，20)和[20，30)中各有1人”则63()105P A ==． 20．（12分）已知函数()()f x lnx ax a R =-∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）()f x lnx ax =-的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-． ①当0a „时，由()0f x '>，知()f x 在(0,)+∞内单调递增． ②当0a >时，由()0f x '>，即10a x ->得10x a<<， 由()0f x '<，即10a x -<得1x a >，()f x ∴在1(0,)a 内单调递增；在1(,)a+∞内单调递减． 因此，①当0a „时，()f x 在(0,)+∞内单调递增．②当0a >时，()f x 在1(0,)a 内单调递增；在1(,)a+∞内单调递减．（Ⅱ）()f x 有两个零点． 即：方程0lnx ax -=有两个实根， 即：方程lnxa x=有两个实根， 即：函数y a =和()lnx g x x =有两个公共点，21()lnxg x x -'=． 由()0g x '>，即：210lnxx ->，0x e ∴<<． 由()0g x '<，即：210lnxx-<，x e ∴>． ∴1()()max g x g e e==． 又1()0g e e=-<，当1x >时，0lnxx>，∴10a e <<，∴当10a e<<时，()f x lnx ax =-有两个零点． 21．（12分）如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l ． （Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点(8,8)P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N 求证：MF NF ⊥．【解答】解：()I 抛物线的焦点为(2,0)F ， 准线l 的方程为：2x =-；（Ⅱ）由()I 知：设直线AB 的方程为：2()x my m R -=∈， 令1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，228x myy x -=⎧⎨=⎩，消去x 得：28160y my --=， 由根与系数的关系得：1216y y =-．直线PB 方程为：228888y x y x --=--，22222888(8)8888y y x y x y y -+=-+=+-， 当2x =-时，228168y y y -=+，∴22816(2,)8y N y --+，同理得：11816(2,)8y M y --+．∴22816(4,)8y FN y -=-+u u u r ，11816(4,)8y FM y -=-+u u u u r ， ∴212121122121212181681616(8)(8)(816)(816)80(16)80(1616)16088(8)(8)(8)(8)(8)(8)y y y y y y y y FN FM y y y y y y y y --+++--+-+=+⨯====++++++++u u u r u u u u r g ，∴FN FM ⊥u u u r u u u u r，MF NF ∴⊥．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程(2sin x y βββ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．直线l 的参数方程cos (1sin x t t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）．（Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为(2,)6π时，求直线l 的倾斜角．【解答】解：()I 由曲线C的参数方程2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(β为参数）．得：cos sin 2y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴曲线C 的参数方程化为普通方程为：221124x y +=．()II 解法一：中点极坐标(2,)6π化成直角坐标为．设直线l 与曲线C 相交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y两点，1212122x x y y ++=． 则2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ②-①得222221210124x x y y --+=，化简得：211221123()y y x x x x y y -+=-==-+即tan l k α==． 又(0,)απ∈Q ，∴直线l 的倾斜角为56π．解法二：中点极坐标(2,)6π化成直角坐标为，将cos 1sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩分别代入221124x y +=，2(1sin )14t α++=．∴222(cos 3sin )(6sin )60t t αααα+++-=，∴120t t +==，即6sin 0αα--=．∴sin cos αα=，即tan α= 又(0,)απ∈Q ，∴直线l 的倾斜角为56π． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||(2)|2|()f x x a x x x a =--+--． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()0f x <的解集； （Ⅱ）若(0,2)x ∈时()0f x …，求a 的取值范围．【解答】解：()I 当2a =时，()|2|(2)|2|(2)f x x x x x =--+--， 由()0f x <得|2|(2)|2|(2)0x x x x --+--<． ①当2x …时，原不等式可化为：22(2)0x -<， 解之得：x ∈∅．②当2x <时，原不等式可化为：22(2)0x --<， 解之得x R ∈且2x ≠，2x ∴<． 因此()0f x <的解集为：{|2}x x <．()II 当(0,2)x ∈时，()||(2)|2|()(2)[||()]f x x a x x x a x x a x a =--+--=----． 由()0f x …得(2)[||()]0x x a x a ----…， ||x a x a ∴--„，0x a ∴-…， a x ∴„，(0,2)x ∈，0a ∴„，∴的取值范围为(-∞，0]．a。
2020年陕西省咸阳市高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|x ≤1}，B ={x|−1⩽1−x ⩽2}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {−1,0，1}C. [−1,1]D. {1} 2. 已知复数z 满足z ⋅i =3−4i(i 为虚数单位)，则z =( )A. 3−4iB. 4+3iC. −3+4iD. −4−3i 3. 若向量m ⃗⃗⃗ =(0,−2)，n ⃗ =(√3,1)，则与2m⃗⃗⃗ +n ⃗ 共线的向量可以是( ) A. (√3,−1)B. (−1,√3)C. (−√3,−1)D. (−1,−√3)4. 已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y3 04050m60根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ̂=6.5x +17.5，则表中m 的值为( )A. 50B. 60C. 70D.805. 根据如图程序框图，当输入5时，输出的是( )A. 6B. 4.6C. 1.9D. −3.96. 已知x ，y 满足不等式组{x ≥1x +y ≤4x −y −2≤0，则目标函数z =2x +y 的最大值为( ) A. 5B. 6C. 7D. 87. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，则异面直线A 1E 与AC 所成角的余弦值为( ) A. 15B. √105C. 2√55D. √10108.我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈等于10尺)()A. 29尺B. 24尺C. 26尺D. 30尺9.已知函数，若f(a)=0，则a=()A. 0B. eC. 1D. e e10.已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若cosC>b，则△ABC的形状是()aA. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形11.设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足P F1⃗⃗⃗ ·P F2⃗⃗⃗⃗ =0，则e12+e22的值为()(e1e2)2B. 1C. 2D. 不确定A. 12)x−x2，若f(x0)=m，x1∈(0,x0)，x2∈(x0,+∞)，则()12.已知函数f(x)=(13A. f(x1)<m，f(x2)<mB. f(x1)<m，f(x2)>mC. f(x1)>m，f(x2)<mD. f(x1)>m，f(x2)>m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα−3cosα=0，则sin2α=______．14.甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃.甲说：“是丙或丁打碎的.”乙说：“是丁打碎的.”丙说：“我没有打碎玻璃.”丁说：“不是我打碎的.”他们中只有一人说了谎，请问打碎玻璃的是___________．15.奇函数y=f(x)的图象关于直线x=3对称，若f(5)=2，则f(−1)等于______．16.已知抛物线y2=8x的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|+4|FB|的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是公差为1的等差数列，a1，a5，a25成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=3a n+a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.河北省高考改革后高中学生实施选课走班制，若某校学生选择物理学科的人数为800人，高二期中测试后，由学生的物理成绩，调研选课走班制学生的学习情况及效果，为此决定从这800人中抽取n人，其频率分布情况如下：分数频数频率[50,60)80.08[60,70)180.18[70,80)200.2[80,90)a0.24[90,100)15b[100,110)100.10[110,120)50.05合计n1(1)计算表格中n，a，b的值；(2)为了了解成绩在[70,80)，[100,110)分数段学生的情况，先决定利用分层抽样的方法从这两个分数段中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行面谈，求2人来自不同分数段的概率．19.如图，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，FA⊥AC，EF//AC，AB=√2，EF=FA=1．(1)求证：CE//平面BDF；(2)求证：BE⊥平面DEF．20.已知点A(1,0)和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2+y2=4．(Ⅰ)求动点B的轨迹方程；(Ⅱ)已知点P(2,0)，Q(2,−1)，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值．21.已知．(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为{x=1−√2ty=2+√2t(t为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(2)设点Q(1,2)，直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|⋅|QB|的值．23.设函数f(x)=|x+1|+3|x−a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)⩽2x+3；(2)若关于x的不等式f(x)<4+2|x−a|有解，求实数的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】考查集合交集运算，根据条件直接计算即可，属于基础题．【解答】解：∵B={x|−1≤1−x≤2}，∴B={x|−1⩽x⩽2}，∵A={x∈N|x≤1}，∴A∩B={0,1}，故选A.2.答案：D解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案，是基础题．【解答】=−4−3i．解：由i⋅z=3−4i，得z=3−4ii故选D．3.答案：B解析：【分析】可求出2m⃗⃗⃗ +n⃗=−√3(−1,√3)，从而得出向量2m⃗⃗⃗ +n⃗与(−1,√3)共线．考查向量坐标的加法和数乘运算，共线向量基本定理．【解答】解：2m⃗⃗⃗ +n⃗=(√3,−3)=−√3(−1,√3)；∴2m⃗⃗⃗ +n⃗与(−1,√3)共线．故选：B．解析： 【分析】本题考查回归直线方程的应用，属于基础题．由表中数据计算x 、y ，根据回归直线方程过样本中心点，求出m 的值． 【解答】 解：由表可知 x =2+4+5+6+85=5，y =30+40+50+m+605=180+m 5，因为回归直线会经过平均数样本中心点， 代入180+m 5=6.5×5+17.5，解得m =70， 所以选C ．5.答案：A解析：解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是计算y ={1.2x x ≤71.9x −4.9x >7的值．∵当输入5<7，满足条件x ≤7， ∴y =1.2×5=6． 故选：A ．当输入5<7，满足条件x ≤7，执行y =1.2x 运算，可得答案．本题考查条件结构的程序框图，根据条件要求计算可得答案，属于基础题．6.答案：C解析：解：作出约束条件{x ≥1x +y ≤4x −y −2≤0的可行域如图，目标函数z =2x +y 在{x +y =4x −y −2=0的交点M(3,1)处取最大值为z =2×3+1=7． 故选：C ．画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z =2x +y 的位置，求出最大值．本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．解析： 【分析】本题考查用空间向量求异面直线所成角的余弦值，考查运算求解能力，是基础题．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 所成角的余弦值． 【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A 1(2,0，2)，E(2,2，1)，A(2,0，0)，C(0,2，0)， A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)， 设异面直线A 1E 与AC 所成角为θ， 则cosθ=|A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅√8=√105． ∴异面直线A 1E 与AC 所成角的余弦值为√105．故选：B ．8.答案：C解析：解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2=10(尺)，因此葛藤长√242+102=26(尺)． 故选：C ．由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2=10(尺)，利用勾股定理，可得结论．本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查学生的计算能力，正确运用圆柱的侧面展开图是关键．9.答案：B解析： 【分析】本题考查函数求值问题.令解出x 值，将x 值代入可得结果．【解答】 解：由题意，令，得x =1， 则，则a =e ．故选B ．10.答案：D解析： 【分析】本题考查三角形的形状的判断，考查正弦定理与两角和的正弦公式的应用，属于中档题．利用正弦定理可得sinAcosC >sinB ，再利用两角和的正弦公式计算可得cosA <0，从而可得答案． 【解答】解：△ABC 中，∵cosC >ba ，∴由正弦定理得：cosC >sinB sinA ，又sinA >0，∴sinAcosC >sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ， ∴cosAsinC <0，又sinC >0， ∴cosA <0，A 为钝角， 故选：D ．11.答案：C解析： 【分析】本题考查考查椭圆与双曲线的简单几何性质及向量的数量积，设椭圆和双曲线的方程为：x 2m+y 2n=1(m >n >0)和x 2a −y 2b=1(a >0,b >0)，由题设条件可知|PF 1|+|PF 2|=2√m ，|PF 1|−|PF 2|=2√a ，结合PF 1→⋅PF 2→=0，由此可以求出e 12+e 22(e 1e 2)2的值．【解答】 解： 如图所示，设椭圆和双曲线的方程为：x 2m+y 2n=1(m >n >0)和x 2a−y 2b=1(a >0,b >0)，∵|PF 1|+|PF 2|=2√m ，|PF 1|−|PF 2|=2√a ， ∴|PF 1|=√m +√a ，|PF 2|=√m −√a ， ∵满足PF 1→⋅PF 2→=0， ∴△PF 1F 2是直角三角形， ∴|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2， 即m +a =2c 2 ， 则e 12+e 22(e 1e2)2=1e 12+1e 22=m c 2+a c 2=m+a c 2=2．故选C ．12.答案：C解析： 【分析】本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，然后根据x 1<x 0<x 2即可得到函数值之间的关系． 【解答】解：∵函数f(x)=(13)x −x 2 ，y =(13)x是减函数，y =x 2在(0,+∞)上单调递增，∴函数f(x)=(13)x −x 2 在(0,+∞)上单调递减， 若f(x 0)=m ，x 1∈(0,x 0)，x 2∈(x 0,+∞)，∴x 1<x 0<x 2则f(x 1)>m ，f(x 2)<m ， 故选：C ．13.答案：35解析：解：由sinα−3cosα=0，得tanα=3，则sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=2×332+1=35．故答案为：35．由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.答案：丁解析：【分析】本题主要考查演绎推理，属于中档题．分别对甲乙丙丁四人作出假设，然后进行分析．【解答】解：若甲说谎，则甲或乙打碎，又只有一人说谎，与乙所说矛盾；若乙说谎，则甲或丙或乙打碎，根据甲所说是丙或丁打碎，而丙和丁均说自己没有打碎，则与甲没说谎矛盾；若丙说谎，则丙打碎，与乙所说矛盾；若丁说谎，则丁打碎，与甲乙丙所说均符合．故答案为丁．15.答案：−2解析：解：根据题意，y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则f(1)=f(5)=2，又由函数f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=−f(5)=−2；故答案为：−2．根据题意，由函数的图象关于直线x=3对称，可得f(1)=f(5)，结合函数为奇函数可得f(−1)=−f(1)，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与对称性的应用，涉及函数的图象，属于基础题．16.答案：18解析：解：抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|FA|+4|FB|=x1+2+4(x2+2)=x1+4x2+10，当直线AB斜率不存在时，|FA|+4|FB|=2+4×2+10=20，当直AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x−2)，代入y2=8x得k2x2−(4k2+8)x+4k2=0，∴x1x2=4，∴|FA|+4|FB|=4x1+4x2+10≥2√4x1×4x1+10=18，当且仅当x1=1时取等号．|FA|+4|FB|的最小值是18．故答案为：18．联立方程组消元，由根与系数的关系得出A，B横坐标互为倒数，利用抛物线的性质得出|FA|+4|FB|=4x1+4x1+10，根据基本不等式得出最值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．17.答案：解：(1)由a1，a5，a25成等比数列，可得a52=a1a25，则(a1+4d)2=a1(a1+24d)，由d=1，代入上式即为(a1+4)2=a1(a1+24)，解得a1=1，则a n=a1+(n−1)d=1+n−1=n；(2)b n=3 a n+a n=3n+n，前n项和T n=(3+32+⋯+3n)+(1+2+3+⋯+n)=3(1−3n)1−3+n(n+1)2=3n+1−32+n(n+1)2．解析：(1)运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，可得数列{a n}的通项公式；(2)求得b n=3 a n+a n=3n+n，由数列的求和方法：分组求和，结合等差(比)数列的求和公式，计算即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的性质和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)n=80.08=100,a=100×0.24=24,b=15100=0.15,(2)[70,80)，[100,110)分数段学生的分别为20人，10人，用分层抽样的方法抽取6人，则[70,80)分数段抽取学生为4人，记为A1，A2，A3，，A4；[100,110)分数段抽取学生为2人，记为B1，B2 ，从这6人中随机抽取2人，所有可能的结果共有15种，它们是{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2,A3}，{A2,A4}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A3,A4}，{A3,B1}，{A3,B2}，{A4,B1}，{A4,B2}，{B1,B2}.又因为所抽取2人来自不同分数段的结果有8种，即{A1,B1}，{A1,B2}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A3,B1}，{A3,B2}，{A4,B1}，{A4,B2}，故所求的概率为8．15解析：本题考查频率分布表的认识、分层抽样以及古典概型概率的求解．(1)根据频率分布表的特点求解即可；(2)根据[70,80)，[100,110)分数段学生的人数采用分层抽样得到各自的人数，采用列举法结合古典概型求解解．19.答案：证明：(1)设正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，连接FO．由题知EF=OC=1，因为EF//AC，所以四边形CEFO为平行四边形，所以CE//OF．又CE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以CE//平面BDF．(2)因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，FA⊥AC，FA⊂平面ACEF，故FA⊥平面ABCD．连接EO，易知四边形AOEF为边长为1的正方形，所以EO⊥平面ABCD，则EO⊥BD．所以△BDE为等腰三角形，BD=2BO=2OC=2，BE=DE=√BO2+EO2=√2．因为BD2=BE2+DE2，所以BE⊥DE．同理在△BEF中，BE⊥EF，因为DE∩EF=E，所以BE⊥平面DEF．解析：本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质和线面垂直的判定．(1)证明CE//OF，即可证明CE//平面BDF；(2)证明BE垂直平面DEF内的两条相交直线：DE、EF，即可证明求BE⊥平面DEF．20.答案：(Ⅰ)解：如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A′(−1,0)，依题意，圆C内切于圆O.设切点为D，则O，C，D三点共线．∵O为AA′的中点，C为AB中点，∴A′B=2OC，∴|BA′|+|BA|=2OC+2AC=2OC+2CD=2OD=4>|AA′|=2．依椭圆的定义可知，动点B的轨迹为椭圆，其中：|BA′|+|BA|=2a=4，|AA′|=2c=2，∴a=2，c=1，∴b2=a2−c2=3，∴动点B的轨迹方程为x24+y23=1；(Ⅱ)证明：当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=2，此时直线l与椭圆x24+y23=1相切，与题意不符，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x−2)，由{y+1=k(x−2)x24+y23=1得(4k2+3)x2−(16k2+8k)x+16k2+16k−8=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则{x1+x2=16k2+8k4k2+3 x1x2=16k2+16k−84k2+3Δ>0⇒k<12,∴k PM+k PN=y1x1−2+y2x2−2=k(x1−2)−1x1−2+k(x2−2)−1x1−2=2k−(1x1−2+1x2−2)，=2k−x1+x2−4(x1−2)(x2−2)=2k−x1+x2−4x1x2−2(x1+x2)+4，=2k−16k2+8k4k2+3−416k2+16k−84k2+3−2(16k2+8k4k2+3)+4=2k+3−2k=3．解析：本题考查动点轨迹方程的求法和直线与椭圆的位置关系，属难题．(Ⅰ)利用椭圆的定义求出动点B的轨迹方程；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求解．21.答案：解：(1)由，则f′(x)=e x+1x，f′(1)=e+1．f(1)=e，则切点为(1,e)，所求切线方程为y−e=(e+1)(x−1)，即(e+1)x−y−1=0．(2)原不等式等价于e x>m(x−1),(x>1),所以m<e xx−1,令g(x)=e xx−1,g′(x)=e x(x−2)(x−1)2,当g′(x)<0,解得1<x<2；当g′(x)>0,解得x>2，所以x=2时g(x)取极小值，也是最小值，即g(x)min=g(2)=e2.所以m<e2.故m<e2.解析：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解其切线方程．(2)由f(x)=e x+lnx，原不等式即为e x>m(x−1),(x>1),分离参数，记g(x)=e xx−1,通过函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最小值，转化求解m的范围即可．22.答案：解：(1)∵曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，∴ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即(x−3)2+(y−1)2=10．∵直线l的参数方程为{x=1−√2ty=2+√2t(t为参数)，∴x+y=3.即直线l的普通方程为x+y=3．(2)直线l 的标准参数方程为{x =1−√22ty =2+√22t，代入曲线C 的普通方程得t 2+3√2t −5=0．∴|QA|⋅|QB|=|t 1t 2|=5．解析：(1)对ρ=6cosθ+2sinθ两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C 的直角坐标方程，将直线的参数方程两式相加消元得出普通方程；(2)求出直线l 的标准参数方程，代入曲线的普通方程，利用参数的几何意义得出．本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线参数方程的几何意义，属于中档题．23.答案：解：(1)a =1，时，f(x)=|x +1|+3|x −1|，不等式f(x)≤|2x +3|可转化为{x ≥14x −2≤2x +3或{−1<x <1−2x +4≤2x +3或{x ≤−1−4x +2≤2x +3， 解得1≤x ≤52或14≤x <1或无解． ∴不等式的解集为[14,52]；(2)∵f(x)<4+2|x −a|，即|x +1|+3|x −a|<4+2|x −a|， 等价于|x +1|+|x −a|<4有解， 即(|x +1|+|x −a|)min <4，又|x +1|+|x −a|≥|x +1−x +a|=|a +1|， 当(x +1)(x −a)≤0时取等号． ∴|a +1|<4，解得−5<a <3， ∴实数a 的取值范围是(−5,3).解析：本题考查绝对值不等式的解法及绝对值的三角不等式． (1)利用零点分区间法去绝对值转化为不等式组求解；(2)将问题转化为(|x +1|+|x −a|)min <4，然后利用绝对值不等式的三角不等式求解即可．。
陕西省咸阳市高三模拟考试（三）文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|12A x x =-<<,12|B x y x -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ）A ．(0,)+∞B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(2,)+∞2.欧拉，瑞士数学家，18世纪数学界最杰出的人物之一，是有史以来最多遗产的数学家，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出了欧拉公式：cos sin i e i θθθ=+．被后人称为“最引人注目的数学公式”．若23πθ=，则复数i z e θ=对应复平面内的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.某人从甲地去乙地共走了500m ，途经一条宽为xm 的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品未掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为45，则河宽大约为（ ） A ．80mB ．50mC ．40mD ．100m4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若954S =，则159a a a ++=（ ） A ．9B ．15C ．18D ．365.已知(3,1)a =-r ，(1,2)b =-r，则a r ，b r 的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6.抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，连接PF 并延长交抛物线C 于点Q ，若4||||5PF PQ =，则||QF =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67.已知如图所示的程序框图的输入值[]1,4x ∈-，则输出y 值的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]1,15-C ．[]0,2D ．[]2,158.若147()9a -=，159()7b =，27log 9c =，则（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<9.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．2163π-B ．483π-C ．4163π-D ．16(1)3π-10.已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的两条渐进线均与圆C ：22650x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于（ ） A 35 B 6C ．32D 511.给出下列四个命题：①回归直线$$y bxa =+恒过样本中心点(,)x y ； ②“6x =”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③“0x R ∃∈，使得200230x x ++<”的否定是“对x R ∀∈，均有2230x x ++>”；④“命题p q ∨”为真命题，则“命题p q ⌝∧⌝”也是真命题． 其中真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312.设'()f x 是函数()y f x =的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设3218()2133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则128()()()f a f a f a +++=…（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知正项等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为(*)n S n N ∈，且123112a a a -=，则4S = ． 14.将函数sin(2)23y x π=++的图象向右平移6π个单位，再向下平移2个单位所得图象对应函数的解析式是 ．15.已知函数()f x ax b =+，0(1)2f <<，1(1)1f -<-<，则2a b -的取值范围是 ． 16.学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下： 甲说：“C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖”丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“C 作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，1tan 3A =，1tan 2C =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设B αβ+=（0α>，0β>）sin αβ-的取值范围．18.根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区 2.5PM 的年平均浓度不得超过35微克/立方米， 2.5PM 的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年30天 2.5PM 的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，将这30天的测量结果绘制成样本频率分布直方图如图．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）由频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 2.5PM 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2PA AB ==，E 为PA 的中点，60BAD ∠=︒（Ⅰ）求证：//PC 平面EBD ； （Ⅱ）求三棱锥P EDC -的体积．20.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >> ）的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点A 在椭圆C 上，1||2AF =，1260F AF ∠=︒，过2F 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为P ，Q 的中点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点1(0,)8M ，且MN PQ ⊥，求直线MN 所在的直线方程．21.已知函数()xe f x x=．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点2(2,)2e P 处的切线方程；（Ⅱ）证明：()2(ln )f x x x >-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为55cos 45sin x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0ρ≥，02θπ≤<）． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数1()|4|||f x x m x m=-++（0m >）． （Ⅰ）证明：()4f x ≥；（Ⅱ）若k 为()f x 的最小值，且a b k +=（0a >，0b >），求14a b+的最小值．文科数学答案一、选择题1-5:CBDCB 6-10:CADCA 11、12：BD 二、填空题13.15 14.sin 2y x = 15.35(,)22- 16.B 三、解答题17.解：（Ⅰ）∵A B C π++=，∴()B A C π=-+，又1tan 3A =，1tan 2C =， 则[]tan tan tan tan ()tan()11tan tan A CB AC A C A Cπ+=-+=-+=-=--，∵B 为ABC ∆的内角，∴34B π=． （Ⅱ）∵B αβ+=（0α>，0β>），∴34παβ+=．3sin sin()(cos )422παβααααα-=--=-+sin()4πα=-， 又B αβ+=（0α>，0β>），则3(0,)4πα∈，(,)442πππα-∈-，∴2sin()(,1)42πα-∈-，即2sin sin αβ-的范围是2(,1)2-． 18.解：（Ⅰ）由题意知(0.0060.0240.006)251a +++⨯=，则0.004a =.（Ⅱ）25(0.00612.50.02437.50.00662.50.00487.5)42.5⨯⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）, 因为42.535>，所以该居民区的环境质量需要改善． 19.证明：（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ． 由题意知，底面ABCD 是菱形，则O 为AC 的中点，又E 为AP 的中点，所以//OE CP ，且OE ⊂≠平面BDE ，PC ⊄平面BDE ， 则//PC 平面BDE ． （Ⅱ）1112323222PCE PAC S S ∆∆==⨯⨯⨯=， 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 又因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA BD ⊥，又PA AC A =I ，所以DO ⊥平面PAC ， 即DO 是三棱锥D PCE -的高，1DO =， 则133133P CDE D PCE V V --==⨯⨯=．20.解：（Ⅰ）由12e =，得2a c =， 因为1||2AF =，2||22AF a =-，由余弦定理得22121212||||2||||cos ||AF AF AF AF A F F +-⋅=，解得1c =，2a =，∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）因为直线PQ 的斜率存在，设直线方程为(1)y k x =-，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，由韦达定理知2122834k x x k +=+，121226()234ky y k x x k k -+=+-=+， 此时22243(,)3434k k N k k -++，又1(0,)8M ，则22222132434834432034MN kk kk k k k k ++++==--+， ∵MN PQ ⊥，∴1MN k k =-，得到12k =或32． 则2MN k =-或23MN k =-， MN 的直线方程为16810x y +-=或162430x y +-=．21.解：（Ⅰ）∵()x e f x x =，∴2(1)'()x e x f x x -=，2'(2)4e f =，又切点为2(2,)2e ，所以切线方程为22(2)24e e y x -=-，即240e x y -=． （Ⅱ）设函数()()2(ln )22ln x e g xf x x x x x x =--=-+，2(2)(1)'()x e x x g x x --=，(0,)x ∈+∞， 设()2xh x e x =-，(0,)x ∈+∞，则'()2xh x e =-，令'()0h x =，则ln 2x =， 所以(0,ln 2)x ∈，'()0h x <；(ln 2,)x ∈+∞，'()0h x >． 则()(ln 2)22ln 20h x h ≥=->，令2(2)(1)'()0x e x x g x x --==1x =， 所以(0,1)x ∈，'()0g x <；(1,)x ∈+∞，'()0g x >；则min ()(1)20g x g e ==->，从而有当(0,)x ∈+∞，()2(ln )f x x x >-．22.解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为55cos 4sin x ty t t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则曲线1C 的普通方程为22(5)(4)25x y -+-=，曲线1C 的极坐标方程为210cos 8sin 160ρρθρθ--+=．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程210cos 8sin 160ρρθρθ--+=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，联立得sin(2)42πθ+=，又[0,2)θπ∈，则0θ=或4πθ=，当0θ=时，2ρ=；当4πθ=时，ρ=(2,0)，)4π．23.证明：（Ⅰ）111()|4||||4|4||||4f x x m x m m m m m=-++≥+=+≥， 当且仅当1||2m =时取“=”号． （Ⅱ）由题意知，4k =，即4a b +=，即144a b+=， 则1414559()()1444444a b b a a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当43a =，83b =时取“=”号．。
2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣1，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3} 2．设z•i＝2i+1，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．记S n是等比数列{a n}的前n项和，若S2＝0，则公比q＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．无法确定4．已知＝（1，2），＝（1，0），则|2+|＝（）A．B．7 C．5 D．255．“x＞0”是“x2+x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．椭圆2x2﹣my2＝1的一个焦点坐标为（0，），则实数m＝（）A．B．C．D．7．函数的单调递增区间是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）8．已知（x＞0，y＞0），则2x+y的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．79．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α则m⊥n；②若α∥β，m⊥α，则m⊥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，α⊥β，则m∥β．其中真命题的序号为（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④10．有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（）A．B．C．D．11．设函数f（x）＝x•e x，则（）A．f（x）有极大值B．f（x）有极小值C．f（x）有极大值e D．f（x）有极小值﹣e12．已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线C于P，Q，M，N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝x•lnx在点（1，0）处的切线的方程为．14．若变量x，y满足约束条件：，则z＝3x+2y的最大值是．15．已知2cos2x+sin2x＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0），则A＝，b＝．16．秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．f（x）＝a n x n+a n﹣1x n﹣1+a n﹣2x n﹣2+…+a1x+a0改写成以下形式：f（x）＝a n x n+a n﹣1x n﹣1+a n﹣2x n﹣2+…+a1x+a0＝（a n x n﹣1+a n﹣1x n﹣2+a n﹣2x n﹣3+…+a1）x+a0＝（（a n x n﹣2+a n﹣1x n﹣3+…+a3x+a2）x+a1）x+a0⋮＝（…（（a n x+a n﹣1）x+a n﹣2）x+…+a1）x+a0若，则＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）如果a＝1，，求△ABC的面积．18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱D1C1的中点，AB＝2，BC＝BB1＝1．（Ⅰ）求证：B1C1⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥E﹣DB1C1的体积．19．某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表：得分[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）人数 5 10 15 13 7（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20）和[20，30）的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20）和[20，30）中各有1人的概率．20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．21．如图，已知抛物线C：y2＝8x的焦点是F，准线是l．（Ⅰ）写出焦点F的坐标和准线l的方程；（Ⅱ）已知点P（8，8），若过点F的直线交抛物线C于不同的两点A，B（均与P不重合），直线PA，PB分别交l于点M，N求证：MF⊥NF．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程（β为参数）．直线l的参数方程（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时，求直线l的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（x﹣2）+|x﹣2|（x﹣a）．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时f（x）≥0，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣1，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3} 【分析】求出集合A，再计算即可．解：集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜2}＝{0，1}，B＝{﹣1，1，2，3}，则A∩B＝{1}，故选：A．2．设z•i＝2i+1，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z•i＝2i+1，得z＝．故选：B．3．记S n是等比数列{a n}的前n项和，若S2＝0，则公比q＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．无法确定【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．解：a1（1+q）＝0，解得q＝﹣1．故选：B．4．已知＝（1，2），＝（1，0），则|2+|＝（）A．B．7 C．5 D．25【分析】进行向量坐标的数乘和加法运算即可求出的坐标，进而可得出的值．解：∵＝（1，2），＝（1，0），∴，∴．故选：C．5．“x＞0”是“x2+x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x2+x＞0，解得x范围．即可判断出结论．解：由x2+x＞0，解得x＞0，或x＜﹣1．∴“x＞0”是“x2+x＞0”的的充分不必要条件，故选：A．6．椭圆2x2﹣my2＝1的一个焦点坐标为（0，），则实数m＝（）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可．解：椭圆2x2﹣my2＝1的标准方程为：，一个焦点坐标为（0，），可得，解得m＝﹣，故选：D．7．函数的单调递增区间是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【分析】根据余弦函数的单调递增区间，解不等式即可得出原函数的单调递增区间．解：解得，，∴函数的单调递增区间是．故选：C．8．已知（x＞0，y＞0），则2x+y的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【分析】根据即可得出，然后根据基本不等式即可求出2x+y的最小值．解：∵，且x＞0，y＞0，∴＝，当且仅当，即y＝2x＝4时取等号，∴2x+y的最小值为8．故选：C．9．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α则m⊥n；②若α∥β，m⊥α，则m⊥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，α⊥β，则m∥β．其中真命题的序号为（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【分析】根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理逐一判断每个选项即可．解：①根据线面垂直的性质定理，可知①正确；②根据面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，可知②正确；③若m∥α，n∥α，则m与n的位置关系是平行、相交或异面，即③错误；④若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，即④错误．故选：A．10．有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝6，利用列举法求出小球的编号与盒子编号全不相同包含的基本事件有2个，由此能求出小球的编号与盒子编号全不相同的概率．解：有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球，每个盒子放入一个小球，基本事件总数n＝＝6，小球的编号与盒子编号全不相同包含的基本事件有：编号为1，2，3的三个盒子对应的小球的编号分别为：2，3，1或3，1，2，共有2个，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为p＝．故选：D．11．设函数f（x）＝x•e x，则（）A．f（x）有极大值B．f（x）有极小值C．f（x）有极大值e D．f（x）有极小值﹣e【分析】先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的极值．解：f′（x）＝（x+1）e x，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）＝﹣e﹣1．故选：B．12．已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线C于P，Q，M，N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意画图可得：△ONE为等腰直角三角形，由题意可得N的坐标，而N是以F1F2为直径的圆交双曲线C的交点，代入曲线方程求出a，c之间的关系，再由a，b，c 之间的关系求出双曲线的离心率．解：设MN与x轴交于E，因为四边形PQMN为正方形，所以△OEN为等腰直角三角形，所以OE＝NE＝，由题意可得半径ON＝c，所以N坐标（c，c），而N是F1F2为直径的圆交双曲线C的交点，代入双曲线方程可得：，而b2＝c2﹣a2，整理可得：c4﹣4a2c2+2a4＝0，离心率e＝所以可得：e4﹣4e2+2＝0，解得e2＝2+，所以e＝，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝x•lnx在点（1，0）处的切线的方程为x﹣y﹣1＝0 ．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．解：由f（x）＝xlnx，得，∴f′（1）＝ln1+1＝1，即曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），整理得：x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．14．若变量x，y满足约束条件：，则z＝3x+2y的最大值是10 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，z＝3x+2y得y＝﹣x+z，利用数形结合即可的得到结论解：画出约束条件的可行域，z＝3x+2y得y＝﹣x+z，当y＝﹣x+z经过可行域的B（2，2）目标函数取得最大值：3×2+2×2＝10．故答案为：1015．已知2cos2x+sin2x＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0），则A＝，b＝b＝1 ．【分析】利用倍角公式结合辅助角公式进行化简，利用对比法进行对比即可．解：2cos2x+sin2x＝1+cos2x+sin2x＝sin（2x+）+1，则A＝，b＝1，故答案为：，1．16．秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．f（x）＝a n x n+a n﹣1x n﹣1+a n﹣2x n﹣2+…+a1x+a0改写成以下形式：f（x）＝a n x n+a n﹣1x n﹣1+a n﹣2x n﹣2+…+a1x+a0＝（a n x n﹣1+a n﹣1x n﹣2+a n﹣2x n﹣3+…+a1）x+a0＝（（a n x n﹣2+a n﹣1x n﹣3+…+a3x+a2）x+a1）x+a0⋮＝（…（（a n x+a n﹣1）x+a n﹣2）x+…+a1）x+a0若，则＝0 ．【分析】＝（（（（（2+）x+1+）x+1+）x+1+）x+1+）x﹣1x＝2﹣代入即可得出．解：＝（（（（（2+）x+1+）x+1+）x+1+）x+1+）x﹣1则＝0．故答案为：0．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）如果a＝1，，求△ABC的面积．【分析】（I）由已知结合向量垂直的坐标表示可求tan B，进而可求B；（II）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．解：（Ⅰ）∵，∴．化简得：，又∵0＜B＜π，∴．（Ⅱ）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B得，，解之得：c＝1．∴．18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱D1C1的中点，AB＝2，BC＝BB1＝1．（Ⅰ）求证：B1C1⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥E﹣DB1C1的体积．【分析】（Ⅰ）由B1C1⊥平面DCC1D1．即可证明B1C1⊥DE．（Ⅱ）由即可求解．解：（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴B1C1⊥平面DCC1D1．又∵DE⊂平面DCC1D1，∴B1C1⊥DE．（Ⅱ）∵AB＝2，E是棱D1C1的中点，∴EC1＝1，∴＝＝．19．某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表：得分[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）人数 5 10 15 13 7（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20）和[20，30）的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20）和[20，30）中各有1人的概率．【分析】（Ⅰ）利用频数分布表能求出这50名员工学习得分的平均数．（Ⅱ）用分层抽样可知从[10，20）中选2人，记这2人分别为a1，a2；从[20，30）中选3人，记这3人分别为b1，b2，b3．从a1，a2，b1，b2，b3中再任取2人，利用列举法能求出得分在[10，20）和[20，30）中各有1人的概率．解：（Ⅰ）记这50名员工学习得分的平均数为，则．（Ⅱ）用分层抽样可知从[10，20）中选2人，记这2人分别为a1，a2；从[20，30）中选3人，记这3人分别为b1，b2，b3．从a1，a2，b1，b2，b3中再任取2人的情况有：a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，b1b2，b1b3，b2b3共10种．其中得分在[10，20）和[20，30）中各有1人的情况有：a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3共6种．记事件A为“得分在[10，20）和[20，30）中各有1人”则．20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，判断导数的符号，进而可求函数的单调性；（II）结合（I）的单调性及函数的性质，函数零点判定定理即可求解．解：（Ⅰ）f（x）＝lnx﹣ax的定义域为（0，+∞），．①当a≤0时，由f'（x）＞0，知f（x）在（0，+∞）内单调递增．②当a＞0时，由f'（x）＞0，即得，由f'（x）＜0，即得，∴f（x）在内单调递增；在内单调递减．因此，①当a≤0时，f（x）在（0，+∞）内单调递增．②当a＞0时，f（x）在内单调递增；在内单调递减．（Ⅱ）f（x）有两个零点．即：方程lnx﹣ax＝0有两个实根，即：方程有两个实根，即：函数y＝a和有两个公共点，．由g'（x）＞0，即：，∴0＜x＜e．由g'（x）＜0，即：，∴x＞e．∴．又，当x＞1时，，∴，∴当时，f（x）＝lnx﹣ax有两个零点．21．如图，已知抛物线C：y2＝8x的焦点是F，准线是l．（Ⅰ）写出焦点F的坐标和准线l的方程；（Ⅱ）已知点P（8，8），若过点F的直线交抛物线C于不同的两点A，B（均与P不重合），直线PA，PB分别交l于点M，N求证：MF⊥NF．【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义即可解题；（Ⅱ）由（I）知：设直线AB的方程为：x﹣2＝my（m∈R），与抛物线方程联立，由根与系数的关系得：y1y2＝﹣16．直线PB方程为：，，当x＝﹣2时，，∴，同理得：，得到，所以，所以MF⊥NF．解：（I）抛物线的焦点为F（2，0），准线l的方程为：x＝﹣2；（Ⅱ）由（I）知：设直线AB的方程为：x﹣2＝my（m∈R），令A（x1，y1），B（x2，y2），，消去x得：y2﹣8my﹣16＝0，由根与系数的关系得：y1y2＝﹣16．直线PB方程为：，，当x＝﹣2时，，∴，同理得：．∴，，∴＝＝＝＝0，∴，∴MF⊥NF．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程（β为参数）．直线l的参数方程（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时，求直线l的倾斜角．【分析】（I）由曲线C的参数方程，（β为参数）．利用平方关系即可得出．（II）解法一：中点极坐标化成直角坐标为．设直线l与曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，．把A（x1，y1），B（x2，y2）两点坐标代入椭圆方程化简，可得直线的斜率．解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．解：（I）由曲线C的参数方程，（β为参数）．得：∴曲线C的参数方程化为普通方程为：．（II）解法一：中点极坐标化成直角坐标为．设直线l与曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，．则②﹣①得，化简得：．即．又∵α∈（0，π），∴直线l的倾斜角为．解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得．∴，∴，即．∴，即又∵α∈（0，π），∴直线l的倾斜角为．一、选择题23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（x﹣2）+|x﹣2|（x﹣a）．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入，分类讨论解不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质进一步可得|x﹣a|≤x﹣a，由此得解．解：（I）当a＝2时，f（x）＝|x﹣2|（x﹣2）+|x﹣2|（x﹣2），由f（x）＜0得|x﹣2|（x﹣2）+|x﹣2|（x﹣2）＜0．①当x≥2时，原不等式可化为：2（x﹣2）2＜0，解之得：x∈∅．②当x＜2时，原不等式可化为：﹣2（x﹣2）2＜0，解之得x∈R且x≠2，∴x＜2．因此f（x）＜0的解集为：{x|x＜2}．（II）当x∈（0，2）时，f（x）＝|x﹣a|（x﹣2）+|x﹣2|（x﹣a）＝（x﹣2）[|x﹣a|﹣（x﹣a）]．由f（x）≥0得（x﹣2）[|x﹣a|﹣（x﹣a）]≥0，∴|x﹣a|≤x﹣a，∴x﹣a≥0，∴a≤x，x∈（0，2），∴a≤0，∴a的取值范围为（﹣∞，0]．。
2020年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={1,2，3，4，5}，集合B={x|x(4−x)<0}，则图中阴影部分表示()A. {1 ,2 ,3 ,4}B. {1,2,3}C. {4,5}D. {1,4}2.设等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6=8a3，则S6S3=()A. 4B. 5C. 8D. 93.设a∈R，则“a>1”是“a²>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调A，B，C三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率为()A. 112B. 16C. 15D. 195.复数z=(1+i)2，则|z|=()A. 0B. 1C. 2D. 36.已知|a⃗|=6√3，|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =−9，则a⃗与b⃗ 的夹角是()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A. a ，bB. a ，cC. c ，bD. b ，d8. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 39. 若f(x)=xe x −a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (1e ,+∞)B. (1e ,0)C. (−1e ,+∞)D. (−1e ,0) 10. 函数f (x )=2x +1x 上的图象大致为( )A. B.C. D.11. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则QF 等于( )A. 72B. 3C. 52D. 212. 在各项不为0的数列{a n }中，若a n =a n−1a n−2,n =3,4,5,⋯，则称{a n }为“等商数列”，在“等商数列”{a n }中，若a 1=1,a 2=12，则( ) A. a 604,a 605,a 606成等比数列B. a 609,a 610,a 611成等比数列C. a 605,a 606,a 607成等比数列D. a 613,a 614,a 615成等比数列二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知tanα=−23，tan(α+β)=12，那么tanβ= ______ ．14. 在三棱锥P −ABC 中，PA,PB,PC 两两垂直，且PA =PB =1，PC =√2，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为___________.15. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个正方形的某顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个正方体的某顶点在另一个正方体的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．16. 下列四种说法：①命题“∃x ∈R ，使得x 2+1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2+1≤3x ”；②“m =−2”是“直线(m +2)x +my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互垂直”的必要不充分条件；③在区间[−2,2]上任意取两个实数a ，b ，则关于x 的二次方程x 2+2ax −b 2+1=0的两根都为实数的概率为1−π16；④过点(12,1)且与函数y =1x 图象相切的直线方程是4x +y −3=0．其中所有正确说法的序号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a =bcosC +√3csinB ．(1)求B ；(2)若b =1，求△ABC 面积的最大值．18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点P(√3,√32)在C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，求ΔF1AB的内切圆的半径的最大值．19.某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查．现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名．(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少⋅(2)根据抽取的180名学生的凋查结果，完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“课程的选择与性别有关”⋅附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.7063.8415.0246.6357.87910.82820.如图，在三棱锥P−ABC中，AP⊥PC，AB⊥BC，AC=2，∠ACP=30°，AB=BC．(1)当PB=√2时，求证：平面ABC⊥平面PAC；(2)当AP⊥BC时，求三棱锥A−PBC的体积．21.已知函数f(x)=aln(x+1)−2x(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的极值；(2)若不等式f(x)≥1−e x在区间[0,+∞)内恒成立，求实数a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程；②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；(2)设点M 的极坐标为(6,π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．23. (1)已知x >1，g(x)=x +1x−1，求函数g(x)的最小值；(2)已知a >0，b >0，函数f(x)=alog 2x +b 的图象经过点(4,12)，求1a +2b 的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算，同时考查了Venn 图表示集合的关系及运算的应用，化简B ，图中阴影部分表示的集合是A ∩∁R B ，从而解得．解：B ={x|x(4−x)<0}={x|x <0或x >4}，∴∁R B ={x|0≤x ≤4}，∵A ={1,2，3，4，5}，∴图中阴影部分的集合A ∩∁R B ={1,2，3，4}，故选A ．2.答案：D解析：本题考查等比数列的前6项和与前3项和的求法，是基础题．由a6=8a3，利用等比数列项公式q =2，由此能求出S 6S 3． 解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，设公比为q ，且满足a 6=8a 3，∴a 6a 3=q 3=8，解得q =2， ∴S 6S 3=a 1(1−q 6)1−q a 1(1−q 3)1−q =1+q 3=9．故选D ．3.答案：A解析：【试题解析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 由a 2>a ，解得a 的范围，再利用集合的观点结合充分条件必要条件的概念即可判断出结论． 解：由a 2>a ，解得a <0或a >1，故a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选：A．4.答案：D解析：【试题解析】本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题.找出选一名医生和一名护士总的情况，即可求出结果．解：选一名医生和一名护士总的情况为：甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，丙A，丙B，丙C共有9种情况，∴选甲A去的概率为P=19．故选D．5.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．解：∵z=(1+i)2=2i，∴|z|=2．故选：C．6.答案：D解析：设a⃗与b⃗ 的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，由夹角公式求得cosθ，则a⃗与b⃗ 的夹角可求．本题考查了由数量积求向量的夹角，是基础题．解：设a⃗与b⃗ 的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，由|a⃗|=6√3，|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =−9，得cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=63×1=−√32，。
