河北省抚宁县第六中学高三数学专题复习 3.2三角恒等变换与解三角形教案2

第2讲 三角恒等变换与解三角形正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1．边和角的计算．2．三角形形状的判断．3．面积的计算．4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)(2017·河南省洛阳市统考)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b答案 D解析 由三角恒等变换的公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12° .因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为单调递增函数， 所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b ，故选D.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3C.π4D.π6 答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4. 思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118 C ．－1718D.1718答案 C解析 由3cos 2α＝sin(π4－α)， 可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118， 所以sin 2α＝－1718，故选C.(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________. 答案 79解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝12cos α－32sin α－cos α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13. 则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝79. 热点二 正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc . 例2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解 (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (2017·广西陆川县中学知识竞赛)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝(2b －c )cos A .(1)求角A ；(2)若a ＝7，△ABC 的面积S △ABC ＝103，求b ＋c 的值．解 (1)由a cos C ＝(2b －c )cos A ，得sin A cos C ＝(2sin B －sin C )cos A ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即sin B ＝2sin B cos A .∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，而0<A <π2，∴A ＝π3. (2)由S △ABC ＝103，得12bc sin π3＝103，∴bc ＝40. ∵a ＝7，∴b 2＋c 2－2bc cos π3＝49，即b 2＋c 2＝89， 于是(b ＋c )2＝89＋2×40＝169，∴b ＋c ＝13(舍负).热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)已知函数f (x )＝23sin x cos x －3sin 2x －cos 2x ＋2.(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的值域； (2)若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b a ＝3，sin (2A ＋C )sin A＝2＋2cos(A ＋C )，求f (B )的值．解 (1)∵f (x )＝23sin x cos x －3sin 2x －cos 2x ＋2 ＝3sin 2x －2sin 2x ＋1 ＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴f (x )∈[－1,2]．(2)由题意可得sin [A ＋(A ＋C )]＝2sin A ＋2sin A cos(A ＋C )，∴sin A cos(A ＋C )＋cos A sin(A ＋C )＝2sin A ＋2sin A cos(A ＋C )，化简可得sin C ＝2sin A ，∴由正弦定理可得c ＝2a .∵b ＝3a ，∴由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－3a 22a ·2a ＝12， ∵0<B <π，∴B ＝π3，∴f (B )＝1. 思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练3 (2017届青岛市统一质量检测)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m sin 2x (m ∈R )，f ⎝⎛⎭⎫π12＝2.(1)求m 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，f ⎝⎛⎭⎫B 2＝3，△ABC 的面积是3，求△ABC的周长．解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π12＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π6＋ m sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝sin π2＋cos π3＋m 2＝2， 解得m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin 2x ＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6－ sin 2x sin π6＋sin 2x ＝3cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫B 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝ 3. ∵0<B <π，π3<B ＋π3<4π3， ∴B ＋π3＝2π3，则B ＝π3. 又∵S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3， ∴ac ＝4.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ＝4，∴(a ＋c )2＝4＋12＝16，∴a ＋c ＝4，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝6.真题体验1．(2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 答案 75°解析 如图，由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°.2．(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13，则sin β＝________. 答案 13解析 由角α与角β的终边关于y 轴对称，可知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )，所以β＝2k π＋π－α(k ∈Z )，所以sin β＝sin α＝13. 3．(2017·江苏)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 答案 75解析 方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝16. ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75. 方法二 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75. 4．(2017·浙江)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案 152 104解析依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14， 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152. 因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28， 所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. 押题预测1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点．答案 52 解析 因为0<A <π，cos A ＝23， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝ 3. 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52. 2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．押题依据 三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－12， 因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6－12， 易得f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sin B sin C ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)． 因为0<A <π，所以0<A ≤π3， 所以－π6<3A －π6≤5π6， 所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6≤1， 所以－1<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12≤12， 所以函数f (A )的值域为⎝⎛⎦⎤－1，12.A 组 专题通关1．(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝10，c＝3，cos A ＝14，则b 等于( ) A. 2 B. 3C ．2D ．3答案 C解析 由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得10＝b 2＋9－2·b ·3·14 , b 2－32b －1＝0，所以(b －2)(b ＋12)＝0，解得b＝2(舍负)，故选C.2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于()A. 3B.3 3C．－33D．－ 3答案 D解析因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知α为第四象限角，sin α＋cos α＝15，则tan α2的值为( ) A ．－12B.12 C ．－13D.13答案 C解析 由sin α＋cos α＝15平方，得1＋2sin αcos α＝125⇒2sin αcos α＝－2425⇒(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925. 因为α为第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，sin α－cos α＝－75， 因此sin α＝－35，cos α＝45， tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2cos α2cos 2α2＝sin α1＋cos α ＝－351＋45＝－13，故选C. 4．(2017·合肥一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆的面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π答案 C解析 ∵b cos A ＋a cos B ＝2，∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac＝2， ∴c ＝2.由cos C ＝223， 得sin C ＝13，∴2R ＝c sin C ＝213＝6，R ＝3， S ＝π×32＝9π，故选C.5．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4答案 A解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， ∴cos(β－α)＝－31010， ∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝1010×⎝⎛⎭⎫－255＋⎝⎛⎭⎫－31010×55＝－22， cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A. 6．(2017·全国Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 31010解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α)． 又由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2知，sin α＝255，cos α＝55， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝22×⎝⎛⎭⎫55＋255＝31010. 7．(2017届湖南省百所重点中学阶段性诊断)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．答案 21解析 设△ABC 的对应边边长分别为a ＝13里，b ＝14里，c ＝15里，cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513⇒sin C ＝1213 ⇒S ＝12×13×14×1213×250 000＝21×106(平方米) ＝21(平方千米)．8.(2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)如图，在平面四边形ABCD 中，AD＝1，CD ＝2，AC ＝7，cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，则BC 的长为________．答案 3解析 因为cos ∠BAD ＝－714， 故sin ∠BAD ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114， 在△ADC 中运用余弦定理，可得cos ∠CAD ＝1＋7－427＝277， 则sin ∠CAD ＝ 1－⎝⎛⎭⎫2772＝217， 所以sin ∠BAC ＝sin(∠BAD －∠CAD )＝32114×277＋714×217＝63＋314＝32， 在△ABC 中运用正弦定理，可得 BC sin ∠BAC ＝7sin ∠CBA ⇒BC ＝32×7×621＝3.9．(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值；(2)求sin(2B －A )的值．解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝b sin B，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55. (2)由(1)可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ， 得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255. 10．(2017·浙江省“超级全能生”联考)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数． (1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A ，求f (A )的取值范围．解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )， ∴f (x ＋π)＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )， ∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，而g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3， 从而f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵△ABC 是锐角三角形，C ＝2π3－A <π2， ∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3∈(0,1]， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3∈(0,1]． B 组 能力提高11．(2017届合肥教学质量检测)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A.(3，6]B.(3，5)C.(5，6]D.[5，6] 答案 C解析 ∵(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎨⎧ 0<B <π2，A ＋B ＝π3＋B >π2，∴π6<B <π2， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4⎣⎡⎦⎤sin 2B ＋sin 2⎝⎛⎭⎫2π3－B＝4－2cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3，又π6<B <π2， 可得b 2＋c 2∈(5,6]．故选C.12．(2017·湖北省黄冈市质量检测)已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( )A ．－43或0B .43或0 C ．－43D.43答案 A解析 因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2， 解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，tan θ2＝0或2，又tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0； 当tan θ2＝2时，tan θ＝－43，故选A. 13．(2017届河南省安阳市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －a ＝c －2c cos C ，若c ＝3，则a ＋b 的最大值为________．答案 6解析 由题设可得(a ＋c )(2cos C －1)＝0，由于a ＋c ≠0，所以cos C ＝12⇒C ＝60°，由余弦定理可得9＝a 2＋b 2－ab ，即(a ＋b )2＝9＋3ab ，又因为ab ≤(a ＋b )24，当且仅当a ＝b 时取等号，所以(a ＋b )24≤9⇒a ＋b ≤6. 14．(2017届南京市、盐城市模拟)如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2.(1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小；(2)若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积． 解 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β.因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， 所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1. 又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4. (2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3. 由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24. 因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144.因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝22⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74.△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．。

第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时导入新课思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π4－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开． 思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，本节主要研究函数y ＝a sin x ＋b cos x 的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能． 推进新课新知探究 提出问题①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期，最大值和最小值是多少？ ②函数y ＝a sin x ＋b cos x 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是2π，函数y ＝sin2x 的周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．函数y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋b a 2＋b2cos x )，∵(a a 2＋b2)2＋(b a 2＋b2)2＝1，从而可令a a 2＋b2＝cos φ，b a 2＋b 2＝sin φ，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．因此，我们有如下结论：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．讨论结果：①y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.②～③(略)见活动．应用示例思路1例1如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α. 求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行： (1)找出S 与α之间的函数关系； (2)由得出的函数关系，求S 的最大值． 解：在Rt△OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α，图1在Rt△OAD 中，DA OA＝tan60°＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36 ＝13(32sin2α＋12cos2α)－36＝13sin(2α＋π6)－36.由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36.因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36.点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.[0，π]上的单调递增区间．活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：y＝sin4x＋23sin x cos x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x －π6)．故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，π3]，[5π6，π]．点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值． 活动：学生在解此题时，对f (x )是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f (x )的图象关于M (3π4，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题．一般地，定义在R 上的函数y ＝f (x )对定义域内任意x 满足条件：f (x ＋a )＝2b －f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，所以，得cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，得f (3π4－x )＝－f (3π4＋x )．取x ＝0，得f (3π4)＝－f (3π4)，所以f (3π4)＝0.∵f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0.又ω>0，得3ωπ4＝π2＋k π，k ＝0,1,2，….∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．所以，综合得ω＝23或ω＝2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的Rt△ABC 中，∠A ＝90°，a 为斜边，∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n ，且a 2＝2mn .问：是否能在区间(π，2π]中找到角θ，恰使等式cos θ－sin θ＝4(cosB ＋C2－cosB －C2)成立？若能，找出这样的角θ；若不能，请说明理由．图2解：在Rt△BAD 中，AB m ＝cos B 2，在Rt△BAC 中，ABa＝sin C ，∴m cos B2＝a sin C .同理，n cos C2＝a sin B .∴mn cos B 2cos C2＝a 2sin B sin C .而a 2＝2mn ，∴cos B 2cos C 2＝2sin B sin C ＝8sin B 2·cos B 2cos C 2sin C 2.∴sin B 2sin C 2＝18.积化和差，得4(cosB ＋C2－cosB －C2)＝－1，若存在θ使等式cos θ－sin θ＝4(cos B ＋C2－cosB －C2)成立，则2cos(θ＋π4)＝－1，∴cos(θ＋π4)＝－22.而π<θ≤2π，∴5π4<θ＋π4≤9π4.∴这样的θ不存在． 点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论. 例2已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43.从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2α－β＋tan β1－tan2α－βtan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1.又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13<1.且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2.又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)，∴π2<β<π，－π<－β<－π2.∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α；若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．知能训练课本本节练习4.解答：4.(1)y ＝12sin4x .最小正周期为π2，递增区间为[－π8＋k π2，π8＋k π2](k ∈Z )，最大值为12；(2)y ＝cos x ＋2.最小正周期为2π，递增区间为[π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )，最大值为3；(3)y ＝2sin(4x ＋π3)．最小正周期为π2，递增区间为[－5π24＋k π2，π24＋k π2](k ∈Z )，最大值为2.课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．作业课本复习参考题A组11、12.设计感想1．本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y＝a sin x＋b cos x 的函数转化为形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题 1.sin10°＋sin20°cos10°＋cos20°的值是( )A ．tan10°＋tan20° B.33C ．tan5°D ．2－ 3 答案：D2．若α－β＝π4，则sin αsin β的最大值是( )A.2－24 B.2＋24C.34 D ．1 答案：B3．若cos αsin x ＝12，则函数y ＝sin αcos x 的值域是( )A ．[－32，12]B ．[－12，12]C ．[－12，32] D ．[－1,1]答案：B4．log 2(1＋tan19°)＋log 2(1＋tan26°)＝________. 答案：15．已知函数f (x )＝cos2x cos(π3－2x )，求f (x )的单调递减区间、最小正周期及最大值．答案：解：f (x )＝12[cos π3＋cos(4x －π3)]＝12cos(4x －π3)＋14，由2k π≤4x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得原函数的单调递减区间是[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )，T ＝π2，最大值是34. 6．已知sin A ＝－35，cos B ＝－941，A ∈(3π2，2π)，B ∈(π，3π2)，求sin(2A －B2)的值，并判定2A －B2所在的象限．答案：解：cos A ＝45，sin2A ＝－2425，cos2A ＝1－2sin 2A ＝725， ∵B ∈(π，3π2)， ∴B 2∈(π2，3π4)． ∴sin B 2＝541，cos B 2＝－441. ∴sin(2A －B 2)＝sin2A cos B 2－cos2A sin B 2＝61411 025. 又cos(2A －B 2)＝cos2A cos B 2＋sin2A sin B 2<0， ∴2A －B 2是第二象限角． 7．已知f (0)＝a ，f (π2)＝b ，解函数方程：f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·cos y . 答案：解：分别取⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝t ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2＋t ，y ＝π2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝π2＋t ，代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ f t ＋f －t ＝2f 0·cos t ， ①f π＋t ＋f t ＝0， ②f π＋t ＋f －t ＝－2f π2·sin t ， ③①＋②－③，得2f (t )＝2f (0)cos t ＋2f (π2)sin t . ∵f (0)＝a ，f (π2)＝b ， ∴f (x )＝a cos x ＋b sin x .。

三角恒等变换教案教案标题：三角恒等变换教案教案概述：本教案针对高中数学课程中的三角函数学习内容，以“三角恒等变换”为主题。

通过引导学生理解三角恒等变换的定义、性质和运用方法，培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力，提高他们解决实际问题的能力。

教案目标：1. 了解三角恒等变换的概念和性质；2. 能够正确运用三角恒等变换的方法和技巧进行数学推导和证明；3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

教案重点：1. 三角恒等变换的定义和性质；2. 学生针对具体问题，灵活运用三角恒等变换进行推导和证明。

教案难点：学生对三角恒等变换的抽象性理解以及如何熟练运用于解决问题。

教学准备：1. 教师准备幻灯片、黑板、白板等教学工具；2. 学生准备笔记本、教材等学习工具。

教学过程：步骤一：导入1. 引入数学公式和恒等式的概念，向学生介绍三角恒等变换是一类特殊的恒等变换。

2. 通过具体的示例和问题，引发学生对三角函数之间关系的思考。

步骤二：讲解1. 结合幻灯片或黑板，向学生逐步展示三角恒等变换的基本定义和性质。

2. 通过示例演算和详细讲解，帮助学生理解三角恒等变换的运用方法和技巧。

步骤三：练习1. 发放练习题，让学生运用所学的三角恒等变换方法解决具体问题。

2. 在学生独立完成后，进行试卷讲解，鼓励学生积极参与并解答问题。

步骤四：拓展1. 提出更加复杂的问题，引导学生运用三角恒等变换解决实际问题。

2. 引导学生思考三角恒等变换的实际应用，例如在工程、物理等领域中的具体运用。

步骤五：总结1. 对三角恒等变换内容进行小结，强调重要概念和方法。

2. 提醒学生在复习中注意三角恒等变换的细节，以及如何灵活运用于解决问题。

教学辅助：1. 幻灯片或黑板白板；2. 教材和练习题。

教学延伸：1. 将三角恒等变换与其他数学知识进行整合，拓展学生的数学思维；2. 引导学生自主探究和发现更多三角恒等变换的性质和应用场景；3. 带领学生进行相关的作业和实践项目，综合运用所学的知识。

高中数学教学备课教案三角恒等变换和解三角形高中数学教学备课教案三角恒等变换和解三角形一、引言数学是一门抽象的科学，对于高中数学教学备课教案的设计，对于学生的学习效果起着至关重要的作用。

本文将以三角恒等变换和解三角形为主题，探讨高中数学教学备课教案设计的相关内容。

二、三角恒等变换的基础概念1. 直角三角形的基础知识在教学备课的过程中，首先需要复习直角三角形的基本概念，如斜边、邻边、对边、正弦定理、余弦定理等。

2. 三角恒等变换的定义及相关恒等式通过引导学生回顾三角函数的定义及其各自的特点，帮助他们掌握三角恒等变换的几个重要恒等式，如正弦恒等式、余弦恒等式和正切恒等式。

三、教学备课教案的设计1. 知识目标的明确化在教学备课阶段，教师需要明确本次教学的主要目标，例如学生能够熟练掌握三角恒等变换的定义、掌握基本的恒等式，并能够应用到解决实际问题中。

2. 教学过程的设计为了提高教学效果，我们可以采用以下教学步骤：a. 播放相关视频或动画，引发学生的兴趣，激发他们对三角恒等变换的学习兴趣。

b. 通过教师讲解和示范，帮助学生理解三角恒等变换的意义和应用。

c. 以案例分析的方式，引导学生运用三角恒等变换恒等式解决具体问题。

d. 通过小组合作或课堂讨论的方式，让学生彼此交流，分享解题思路和方法，加深对三角恒等变换的理解和掌握。

3. 思考题的设计在备课过程中，我们可以设计一些思考题，以帮助学生提高解题能力和思维能力。

例如：a. "给定一个直角三角形，如果已知一个角的值和某一边的长度，如何求解其他两边的长度？请详细解答。

b. "如何通过正弦恒等式和余弦恒等式来解决实际问题？请提供一个具体的案例进行说明。

四、课堂实施与评估1. 有效的教学辅助工具在教学实施中，教师可以运用多媒体教学辅助工具，如投影仪、电子白板等，使学生更好地理解三角恒等变换的概念和应用。

2. 学习效果的评估根据教学备课教案的设计目标，我们可以采用以下方式对学生的学习效果进行评估：a. 给学生布置相关练习，检查他们对三角恒等变换的掌握情况。

三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察和分析，培养学生的逻辑思维能力；（2）通过练习和应用，提高学生解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作意识和解决问题的自信心。

二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义（1）引入三角函数的定义和图像；（2）解释三角恒等变换的含义和作用。

2. 三角恒等变换的基本公式（1）sin(α±β)的公式；（2）cos(α±β)的公式；（3）tan(α±β)的公式。

三、教学过程1. 导入（1）复习相关三角函数的定义和图像；（2）提出问题，引导学生思考三角恒等变换的必要性。

2. 新课讲解（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）引导学生推导三角恒等变换的基本公式。

3. 练习与应用（1）布置相关的练习题，巩固学生对三角恒等变换的理解；（2）引导学生运用三角恒等变换解决实际问题。

四、教学评价1. 课堂讲解的评价：（1）观察学生在课堂上的参与度和理解程度；（2）通过提问和回答，检查学生对三角恒等变换的理解。

2. 练习题的评价：（1）检查学生完成练习题的情况和答案的正确性；（2）分析学生在解题过程中存在的问题和错误，及时进行反馈和指导。

五、教学资源1. 教学PPT：包含三角恒等变换的概念、意义和基本公式的讲解；2. 练习题：提供相关的练习题，供学生巩固和应用所学知识；3. 教学参考书：提供详细的三角恒等变换的讲解和例题。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的三角函数例子，让学生理解恒等变换的应用。

2. 小组讨论：让学生分组讨论三角恒等变换的性质，促进学生之间的交流和合作。

3. 问题解决：设计一些实际问题，让学生运用所学的三角恒等变换知识去解决，提高学生的应用能力。

思考1] 在三角函数的定义中，角α的三角函数值是否与点P在α的终边上的位置有关？提示：α的三角函数值与点P的位置无关，只与角α的终边位置有关．
思考2] 诱导公式可统一为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的“奇、
或偶数倍，那么“符号”的含义是什么？
＋
的对称轴方程和对称中心的坐标考向一三角函数的基本概念与基本公式
为第二象限角，若tan
直接求∠
θ
(2,，由题意知劣弧
＝－
sin
cos 2)
，抓住滚动前后劣弧＝
，
的顶点与原点重合
·c si
3sin ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，的最高点，轴的交点，且△ABC为等边三角形．
依题设，等边△
x
2sin(
得到的图象关于轴对称，则课堂要求学生掌握的。

第2讲 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与求值(基础型)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．[考法全练]1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2， 所以sin α＝255，cos α＝55，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫255＋55＝31010. 答案：310102．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)＝________．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin 2α＝1－cos 22α＝429，又α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝ 1－cos 2（α＋β）＝223， 所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 答案：23273．已知sin β＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<β<π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝________． 解析：因为sin β＝35，且π2<β<π，所以cos β＝－45，tan β＝－34.因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α， 所以tan α＝－12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.答案：－2正、余弦定理在解三角形中的应用(综合型)正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .[典型例题]命题角度一 求解三角形中的角已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＋b sin C ＝a . (1)求角B 的大小；(2)若BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值．【解】 (1)由b cos C ＋b sin C ＝a ， 得sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin A . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 因为sin C ≠0，所以sin B ＝cos B . 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)设BC 边上的高为AD ，则AD ＝14a .因为B ＝π4，所以BD ＝AD ＝14a ，所以CD ＝34a ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝104a ，AB ＝24a . 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－55.利用正、余弦定理求三角形的角，常见形式有：(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角． (2)已知三边，直接由余弦定理求角．(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角，注意此类问题有一解、两解或无解的情况．命题角度二 求解三角形中的边与面积如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD ＝1，E 为AC 的中点，AE ＝32，cos B ＝277，∠ADB ＝2π3.(1)求AD的长； (2)求△ADE 的面积．【解】 (1)在△ABD 中，因为cos B ＝277，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，所以sin ∠BAD ＝sin(B ＋∠ADB )＝217×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋277×32＝2114. 由正弦定理知AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，得AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝1×2172114＝2.(2)由(1)知AD ＝2，依题意得AC ＝2AE ＝3，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ，即9＝4＋DC 2－2×2×DC cos π3，所以DC 2－2DC －5＝0，解得DC ＝1＋6(负值舍去)，所以S △ACD ＝12AD ·DC sin ∠ADC ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322，从而S △ADE ＝12S △ACD ＝3＋324.利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解．[对点训练]1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB.由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.2．(2018·山西八校第一次联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且(a ＋c )2＝b 2＋3ac .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，且sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 解：(1)由(a ＋c )2＝b 2＋3ac ，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 即B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＝sin(A ＋C )，由已知sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A 可得sin(A ＋C )＋sin(C －A )＝2sin 2A ， 所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C cos A －cos C sin A ＝4sin A cos A ， 整理得cos A sin C ＝2sin A cos A . 若cos A ＝0，则A ＝π2，由b ＝2，可得c ＝2tan B ＝233，此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝233.若cos A ≠0，则sin C ＝2sin A ， 由正弦定理可知，c ＝2a ，代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，整理可得3a 2＝4，解得a＝233，所以c ＝433，此时△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝233.综上所述，△ABC 的面积为233.解三角形的综合问题(综合型)[典型例题]命题角度一 正、余弦定理与平面几何的综合(2018·成都模拟)如图，在直角梯形ABDE 中，已知∠ABD ＝∠EDB ＝90°，C 是BD 上一点，AB ＝3－3，∠ACB ＝15°，∠ECD ＝60°，∠EAC ＝45°，则线段DE 的长度为________．【解析】 易知∠ACE ＝105°，∠AEC ＝30°，在直角三角形ABC 中，AC ＝ABsin 15°，在三角形AEC 中，ACsin 30°＝CE sin 45°⇒CE ＝AC sin 45°sin 30°，在直角三角形CED 中，DE ＝CE sin 60°，所以DE ＝CE sin 60°＝sin 45°sin 60°sin 30°×AB sin 15°＝22×3212×3－36－24＝6.【答案】 6利用正、余弦定理求解平面几何中的问题，应根据图形特征及已知条件，将所给量及待求量放在同一个三角形中，结合三角形内角和定理，外角和定理及正、余弦定理求解．命题角度二 正、余弦定理与最值(范围)问题的综合(1)(2018·潍坊模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb，则△ABC 面积的最大值为________．(2)(2018·西安模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为________．【解析】 (1)因为tan A tan B ＝2c －b b ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin Bcos B，由正弦定理得sin B sinA cosB ＝(2sinC －sin B )sin B cos A ，又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ，所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sinC cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32.设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b ＝c时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.(2)由sin A cosB ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sinC 及正弦定理，可知a cos B ＋b cos A ＝c ，则由(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝12，则C ＝π3，B ＝2π3－A ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得asin A＝b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝csinπ3，又a ＋b ＝2，所以c sin A32＋c sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A 32＝2，即c ＝3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，则c ∈[1，2)．【答案】 (1)334(2)[1，2)解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．命题角度三 正、余弦定理与实际问题的综合某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处(点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米．A 地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点H 的仰角为∠HAO ＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH 为( )A ．210(6＋2)米B ．1406米C ．2102米D ．20(6－2)米【解析】 由题意，设AC ＝x 米，则BC ＝(x －40)米，在△ABC 内，由余弦定理得BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420米．在△ACH 中，AC ＝420米，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°， 由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝ACsin ∠AHC ，可得CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(米)．【答案】 B(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．[对点训练]1．(2018·合肥第一次质量检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a －2b )cos C ＋c cos A ＝0.(1)求角C ；(2)若c ＝23，求△ABC 周长的最大值．解：(1)根据正弦定理，由已知得(sin A －2sin B )cos C ＋sin C cos A ＝0， 即sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos C ， 所以sin(A ＋C )＝2sin B cos C ， 因为A ＋C ＝π－B ，所以sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B >0， 所以sin B ＝2sin B cos C ，所以cos C ＝12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)由(1)及余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又c ＝23，所以a 2＋b 2－12＝ab ，所以(a ＋b )2－12＝3ab ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2≤48(当且仅当a ＝b ＝23时等号成立)． 所以a ＋b ≤43，a ＋b ＋c ≤6 3. 所以△ABC周长的最大值为6 3.2．(2018·武汉调研)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足cos2A －cos 2B ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－B ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝0. (1)求角A 的值；(2)若b ＝3且b ≤a ，求a 的取值范围． 解：(1)由cos 2A －cos 2B ＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝0，得2sin 2B －2sin 2A ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2B －14sin 2B ＝0，化简得sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3.(2)因为b ＝3≤a ，所以c ≥a ，所以π3≤C <π2，π6<B ≤π3，所以12<sin B ≤32.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a 32＝3sin B，所以a ＝32sin B ，由sin B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32得a ∈[3，3)．[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B.易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sinC ，则sin B 为( )A.74B.34C.73 D.13解析：选A.由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ， 得b ＝2a ，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34， 所以sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.3．(2018·洛阳第一次统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A.32B.233C.33D. 3解析：选B.由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sinC ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin C sin 2 B ＝sin C 32sin C＝233.故选B.4．(2018·昆明模拟)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A.法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×323＝1，故选A.法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A.5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sinA cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0<C <π4，所以C ＝π6.6.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64D.63解析：选 C.依题意得，BD ＝AD ＝DEsin A＝22sin A，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________． 解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1 ＝－78.答案：－788．(2018·高考全国卷Ⅱ改编)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝________．解析：因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2. 答案：4 29．(2018·惠州第一次调研)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cosA ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝（4－b ）（4＋b ）16（4－b ）＝4＋b 16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b .因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210.答案：(42，210) 三、解答题10．(2018·沈阳教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b .(1)求C ；(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c .解：(1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ， 又sin A ＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，所以2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ，所以2sin B cos C ＋sin B ＝0， 因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ＝23，所以ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28， 所以c ＝27.11．(2018·石家庄质量检测(二))已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3ca cos B＝tan A ＋tan B . (1)求角A 的大小；(2)设AD 为BC 边上的高，a ＝3，求AD 的取值范围． 解：(1)在△ABC 中，因为3c a cos B ＝tan A ＋tan B ，所以3sin C sin A cos B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B，即3sin C sin A cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos Acos A cos B，所以3sin A ＝1cos A ，则tan A ＝3，所以A ＝π3.(2)因为S △ABC ＝12AD ·BC ＝12bc sin A ，所以AD ＝12bc .由余弦定理得cos A ＝12＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －32bc ，所以0<bc ≤3(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以0<AD ≤32.12．(2018·郑州质量检测(二))已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，c ＝3.(1)求A ；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD ＝192，求△ABC 的面积． 解：(1)对于2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，由正弦定理得，b sin B －a sin A ＝b sin C －c sin C ，即b 2－a 2＝bc －c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，连接DE ，易知A ，D ，E 三点共线． 在△ABE 中，∠ABE ＝120°，AE ＝2AD ＝19，在△ABE 中，由余弦定理得AE 2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos 120°，即19＝9＋AC 2－2×3×AC ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得AC ＝2.故S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ＝332.[B 组 大题增分专练]1．(2018·长春质量监测(二))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝b 2sin A .(1)求cb的值；(2)设内角A 的平分线AD 交于BC 于D ，AD ＝233，a ＝3，求b .解：(1)由S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，即c b ＝2.(2)由角平分线定理可知，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，cos B ＝4b 2＋3－b22·2b ·3，在△ABD 中，cos B ＝4b 2＋43－432·2b ·233，即4b 2＋3－b22·2b ·3＝4b 2＋43－432·2b ·233，解得b ＝1.2．(2018·贵阳模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，AB 边上的高h ＝23c .(1)若△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，求角C 的正弦值；(2)若C ＝π4，M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab，求M 的值．解：(1)作CD ⊥AB ，垂足为D ，因为△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，所以sin A ＝45，tan A ＝43，所以AD ＝c 2，BD ＝AB －AD ＝c2， 所以BC ＝CD 2＋BD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝5c 6，由正弦定理得：sin ∠ACB ＝AB sin ABC ＝c ×455c 6＝2425.(2)因为S △ABC ＝12c ×23c ＝12ab sin ∠ACB ＝24ab ，所以c 2＝324ab ，又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos ∠ACB ＝2ab ， 所以a 2＋b 2＝2ab ＋c 2，所以a 2＋b 2＋13c 2＝2ab ＋43c 2＝2ab ＋43×324ab ＝22ab ，所以M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab＝22abab＝2 2.3．(2018·合肥质量检测)已知△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC ＝22，∠DBC ＝45°. (1)若CD ＝25，求△BCD 的面积； (2)若角C 为锐角，AB ＝62，sin A ＝1010，求CD 的长． 解：(1)在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 45°， 即20＝8＋BD 2－4BD ，解得BD ＝6，所以△BCD 的面积S ＝12×22×6×sin 45°＝6.(2)在△ABC 中，由BC sin A ＝AB sin C 得221010＝62sin C，解得sin C ＝31010.由角C 为锐角得，cos C ＝1010， 所以sin ∠BDC ＝sin(C ＋45°)＝255.在△BCD 中，CD sin ∠DBC ＝BC sin ∠BDC ，即CD 22＝22255，解得CD ＝ 5.4．(2018·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sinA ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.。

《三角恒等变换与解三角形》教学设计一、学情分析：（1）这是一节高三的一轮复习课，复习《三角恒等变换与解三角形》之前，已经提前预习了和、差、二倍角公式，正、余弦定理，部分同学具备分析问题的能力；（2）本班是理科班，数学基础良好，学生思维较活跃，能够运用所学知识解决实际问题；（3）根据学生特点制定了由浅入深地来复习三角恒等变换与解三角形这一课时的教学计划，同时通过实例提高学生的学习兴趣。

二、教学内容分析：《三角恒等变换与解三角形》既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。

为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中应结合具体问题，教给学生解题的基本方法、步骤。

三、教学目标：1、课标要求：能够运用三角恒等变换与正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

2、（1）熟练掌握和差、二倍角公式，根据问题的条件灵活进行公式变形；会选择恰当的公式，根据问题的条件进行公式变形；加强对换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。

运用正弦定理、余弦定理提高学生分析问题、解决问题的能力。

（2）通过三角变换，加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识。

通过解三角形在实际中的一些应用，开放多种思路，引导学生发现问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；四、教学的重点和难点：重点：在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

难点：从中找到解决问题的关键。

五、教学策略选择与设计：重视提出问题、解决问题策略的指导。

学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，学生不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此在教学中引导学生发现问题、提出问题是非常必要的。

针对这一节课的内容，以及学生特点，我制定了由浅入深的教学计划：首先，将所授内容分为三大类——正余弦定理的应用，解三角形与实际应用问题；其次，在每一类型中，有代表性地各选取一道例题，遵循由浅入深的原则进行顺序上的安排。

第2讲 三角恒等变换与解三角形自主学习导引真题感悟1．(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝ A ．－53B ．－59C.59D.53 解析 利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解． ∵sin α＋cos α＝33， ∴(sin α＋cos α)2＝13，∵2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33＞0， ∴2k π＋π2＜α＜2k π＋34π(k ∈Z )，∴4k π＋π＜2α＜4k π＋32π(k ∈Z )，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 答案 A2．(2012·浙江)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知cos A ＝23，sin B＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解析 (1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56，由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.考题分析新课标高考对本部分的考查，一般多以小题考查三角变换在求值、化简等方面的应用，而解答题常常有以下三种：三角变换与内部相关知识的综合性问题、三角变换与向量的交汇性问题、三角变换在实际问题中的应用问题．网络构建高频考点突破考点一：三角变换及求值【例1】设π3＜α＜3π4，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，求sin α－cos 2α＋1tan α的值． [审题导引] 解答本题的关键是求出sin α与cos α，观察所给的条件式会发现求sin α与cos α的方法有两个，一是利用角的变换，二是解关于sin α与cos α的方程组．[规范解答] 解法一 由π3＜α＜3π4，得π12＜α－π4＜π2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4＝210.∴sin α＝7210.故原式＝sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α()1＋2sin α＝14＋5250.解法二 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，得sin α－cos α＝325，①平方得1－2sin αcos α＝1825， 即2sin αcos α＝725＞0.由于π3＜α＜3π4，故π3＜α＜π2.(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝3225，故sin α＋cos α＝425，②联立①②，解得sin α＝7210，cos α＝210.∴原式sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α(1＋2sin α)＝210×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14210＝14＋5250. 【规律总结】sin α、cos α的求值技巧当已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin α＋cos α或sin α－cos α，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin αcos α，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sin α，cos α的值．或者把sin α＋cos α、sin α－cos α与sin 2α＋cos 2α＝1联立，通过解方程组的方法也可以求出sin α、cos α的值．[易错提示] 三角函数求值中要特别注意角的范围，如根据sin 2α＝1－cos 2α2求sin α的值时，sin α＝±1－cos 2α2中的符号是根据角的范围确定的，即当α的范围使得sin α≥0时，取正号，反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．【变式训练】1．(2012·烟台一模)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos 2α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12，则tan α＝A ．1 B.33 C.36 D. 3 解析 cos 2α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2α＋cos 2α＝2cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝2－tan 2α1＋tan 2α＝12， 即tan 2α＝1. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＞0，∴tan α＝1.2．(2012·南京模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos α＝________.解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝12sin α＋32cos α＋sin α ＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－435， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 又∵－π2＜α＜0，∴－π3＜α＋π6＜π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝33－410. 答案33－410考点二：正、余弦定理的应用【例2】 (2012·湖南师大附中模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若cos A ＝22，a ＝2，求△ABC 的面积． [审题导引] (1)把条件式中的边利用正弦定理转化为角后进行三角恒等变换可求B ； (2)利用(1)的结果求b 及c ，利用公式求面积．[规范解答] (1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C .∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A .∵0＜A ＜π，∴sin A ≠0，∴cos B ＝12.又∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，由cos A ＝22可得A ＝π4， 由B ＝π3，可得sin C ＝6＋24，∴S ＝12ab sin C ＝12×2×6×6＋24＝3＋32【规律总结】解三角形的一般方法是(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a 、b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a 、b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解题时可能有多种情况． (4)已知三边a 、b 、c ，可应用余弦定理求A 、B 、C . 【变式训练】3．(2012·北京东城11校联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sinA ＝3sin C ，B ＝30°，b ＝2，则边c ＝________.解析 由正弦定理得a ＝3c ，由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即4＝3c 2＋c 2－23c 2×32，解得c ＝2. 答案 2考点三：解三角形与实际应用问题【例3】(2012·宿州模拟)已知甲船正在大海上航行．当它位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，乙船当即也决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．(供参考使用：取tan 41°＝32) (1)试问乙船航行速度的大小；(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，譬如北偏东……度)．[审题导引] 据题意作出示意图，把实际问题转化为解三角形，利用正、余弦定理求解． [规范解答] 设乙船运动到B 处的距离为t 海里．则t 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC cos 120° ＝102＋202＋2×10×20×12＝700，∴t ＝107，又设∠ACB ＝θ， 则tsin 120°＝20sin θ，10732＝20sin θ，则sin θ＝217＝0.65，∴θ＝41°， ∴乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B 处求援．速度为57海里/小时．【规律总结】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案 【变式训练】4．如图所示，小丽家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD 内，她家河对岸新建了一座大厦BC ，为了测得大厦的高度，小丽在她家的楼底A 处测得大厦顶部B 的仰角为60°，爬到楼顶D 处测得大厦顶部B 的仰角为30°，已知小丽所住的电梯公寓高82米，请你帮助小丽算出大厦高度BC 及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离AC.解析 设AC ＝x 米，则BC ＝3x 米， 过点D 作DE ⊥BC ，易得BE ＝33x ， ∴3x －33x ＝82. ∴x ＝413米．∴BC ＝3×413＝123米． 名师押题高考【押题1】已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4cos ()π＋2α＝2，则sin α＋cos α＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π＋2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4－cos 2α＝22sin α－cos αsin 2α－cos 2α ＝22·1sin α＋cos α＝2， 则sin α＋cos α＝12.答案 12[押题依据] 诱导公式、倍角公式等都是高考的热点，应用这些公式进行三角恒等变换是高考的必考内容．本题考点设置恰当、难度适中，体现了对基础知识和基础能力的双重考查，故押此题．【押题2】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列．(1)若b ＝13，a ＝3，求c 的值； (2)设t ＝sin A sin C ，求t 的最大值．解析 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3. 因为b ＝13，a ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以c 2－3c －4＝0.所以c ＝4或c ＝－1(舍去)．(2)因为A ＋C ＝23π，所以t ＝sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A＝34sin 2A ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2a 2＝14＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6. 因为0＜A ＜2π3，所以－π6＜2A －π6＜7π6.所以当2A －π6＝π2，即A ＝π3时，t 有最大值34.[押题依据] 本题将三角函数、余弦定理、数列巧妙地结合在一起，综合考查了三角恒等变换及余弦定理的应用，体现了高考在知识的交汇处命题的理念，故押此题．。

高中数学教学备课教案三角恒等变换的应用三角恒等式的综合应用和证明标题：高中数学教学备课教案——三角恒等变换的应用与证明引言：三角恒等变换是高中数学中的重要内容之一，它能够帮助学生理解和应用三角函数的基本性质，解决各种三角函数相关的问题。

本教案主要围绕三角恒等式的综合应用和证明展开，旨在帮助学生深入理解三角恒等变换，并能够熟练运用在解题中。

本教案分为三个部分：应用一、应用二和证明，每部分都通过具体的例题和解析来帮助学生巩固知识，提高解题能力。

一、应用一：三角恒等式在图形相似性问题中的应用在这一部分中，我们将通过几个实际问题来让学生理解三角恒等变换在图形相似性中的应用。

例如，当我们需要计算两座建筑物高度的比例时，可以利用正弦定理来解决。

我们将给出具体的例题，引导学生进行思考和解答，并对答案进行详细解析。

二、应用二：三角恒等式在解三角方程中的应用三角方程是高中数学中的一项重要内容，而三角恒等变换在解三角方程中扮演着重要的角色。

在这一部分，我们将给出一些涉及三角方程的例题，引导学生利用三角恒等变换来解决这些问题。

我们将详细讲解解题思路和步骤，并给出相应的解析。

三、证明：三角恒等式的证明证明是数学教学中的重要环节，它能够培养学生的逻辑思维和推理能力。

在这一部分中，我们将给出几个三角恒等式的证明题，引导学生进行证明的过程。

学生需要自行运用三角恒等变换的相关知识，推导出等式的证明过程。

我们将给出注释和提示，帮助学生理清思路，正确完成证明。

结语：本教案从应用和证明两个角度出发，全面展示了三角恒等变换的应用和重要性。

通过实际问题的应用和证明题的练习，学生不仅可以加深对三角恒等变换的理解，还能提高解题能力和证明能力。

希望通过本教案的学习，学生能够牢固掌握三角恒等变换的应用技巧，并能够熟练运用于实际问题中。

这将为他们的高中数学学习奠定坚实的基础。

三角恒等变换教案引言：本教案旨在介绍三角恒等变换的概念和应用。

我们将详细解释什么是三角恒等变换，为什么它们在数学和物理中如此重要，并提供一些实用的例子来帮助读者更好地理解和应用这些变换。

一、什么是三角恒等变换？三角恒等变换是指关于三角函数的一类等式，可以在不改变等式的真实性的前提下，通过变换三角函数的自变量、系数或其他形式来简化或改写等式。

三角恒等变换的目的是为了更好地理解和研究三角函数在各类问题中的性质和应用。

二、常见的三角恒等变换1. 基本恒等变换基本恒等变换是指最基础的一类三角恒等变换，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数的一些基本等式。

例如，最常见的正弦函数的基本恒等变换是：sin²θ + cos²θ = 1这个等式表明，在任意角度θ下，正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1。

这个等式在很多计算中会被频繁使用到。

2. 三角函数的互余变换三角函数的互余变换是指三角函数的相互关系。

例如，正弦函数和余弦函数是互余的。

具体来说，正弦函数与余弦函数在给定角度θ下的值互为倒数，即：sinθ = 1/cosθ这个等式可以帮助我们在解决某些问题时，通过已知的三角函数的值，快速推导出其他三角函数的值。

3. 角度和的恒等变换角度和的恒等变换是指用于变换三角函数中两个角度和的等式。

在这类变换中，我们可以通过已知的三角函数的值和角度和的关系，求解其他三角函数的值。

例如，常见的角度和的恒等变换包括：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ这个等式可以帮助我们在计算复杂的三角函数表达式时，通过将角度和转化为乘积或其他形式，简化计算过程。

三、三角恒等变换的应用领域1. 几何学中的应用三角恒等变换在几何学中有广泛的应用。

例如，我们可以利用三角恒等变换求解各类三角形的边长和角度，以及解决三角形的面积和周长等问题。

2. 物理学中的应用三角恒等变换在物理学中也有重要的应用。

例如，在机械波的传播和振动问题中，三角恒等变换可以用于描述波函数和振动函数之间的关系。

高中数学备课教案三角恒等变换与解三角方程高中数学备课教案三角恒等变换与解三角方程一、教学目标：1. 掌握三角函数的基本概念和性质。

2. 理解三角恒等变换的概念和原理。

3. 学会利用三角恒等变换解三角方程。

4. 发展学生的数学思维和解决问题的能力。

二、教学准备：1. 教师准备：课件、讲义、教学示例、黑板、粉笔等。

2. 学生准备：教材、练习册、笔、计算器等。

三、教学过程：I. 三角函数的基本概念和性质1. 角度与弧度的转换，介绍角度制与弧度制的基本概念和相互之间的转换关系。

2. 三角函数的定义，包括正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的基本性质。

3. 三角函数的周期性，以及函数图像的特点和性质。

II. 三角恒等变换的概念和原理1. 三角恒等式的定义，讲解不同类型的恒等变换，如基本恒等式、倒数恒等式、和差恒等式等。

2. 推导三角恒等式的过程，使学生理解恒等变换的原理和方法。

3. 演示和练习一些典型的三角恒等变换，让学生熟悉各种变换的应用场景。

III. 解三角方程1. 引导学生分析三角方程的基本形式和解题方法。

2. 通过多个例题，教授解三角方程的一般思路和步骤。

3. 根据学生的实际情况，给予适当的练习，以巩固所学的解题方法。

四、教学总结与展望1. 对本节课所学的内容进行总结，强调重点和难点。

2. 鼓励学生进行课后复习和习题的解答。

3. 展望下节课的内容，做好过渡和铺垫。

五、作业布置1. 课后练习册相关习题。

2. 完成课堂上未完成的练习题。

3. 预习下节课的内容，做好必要的准备。

六、教学反思本节课教学内容设计合理，结合理论和实践相结合，使学生在理解三角函数和恒等变换的基础上，能够熟练应用于解三角方程的过程中。

通过课堂互动和练习，学生对数学知识的掌握有了明显的提高，解题能力得到了加强。

但是教学中也存在一些问题，比如教学时间的安排较紧张，对于部分学生来说可能需要更多的时间来理解和消化所学内容。

下次在讲解过程中，可以更多地引导学生进行讨论和思考，培养他们的自主学习能力。

高中数学 3.2简单的三角恒等变换（二）教案 新人教A 版必修4一、教学目标1、通过三角恒等变形，形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数；2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。

二、教学重点与难点重点：三角恒等变形的应用。

难点：三角恒等变形。

三、教学过程（一）复习：二倍角公式。

（二）典型例题分析例1：.54sin ,20=<<απα已知 的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-． 解：（1）由,54sin ,20=<<απα得,53cos =α .201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα（2）.71tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπαααα 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=.例３．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--= 求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合． 点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4．若函数]20[cos 22sin 3)(2π，m x x x f 在区间++=上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值及取得最小值时x 的集合。

课 题
三角恒等变换与解三角形
课 时 共 3课时 本节第1 课时
选用教材 专题三
知识模块
三角函数、三角变换
与解三角形
课 型 复习
教学目标 熟练掌握三角恒等变换与解三角形 重 点 熟练掌握三角恒等变换与解三角形 难 点 熟练掌握三角恒等变换与解三角形 关 键 熟练掌握三角恒等变换与解三角形
教学方法 及课前准备
多媒体辅助教学 学生自主探究 讲练结合
教学流程
多媒体辅助教学内容 网络构建
考点溯源
[思考1] 两角和与差公式有哪些？
提示：(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β
1∓tan αtan β
.
[思考2] 二倍角公式有哪些？降幂公式呢？ 提示：(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝2cos 2
α－1＝1－2sin 2
α. (3)tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α. 复习知识点，用多媒体展示，带领学生对相
关知识进行回忆与记忆。

2021年高三数学总复习专题二第2讲三角变换、解三角形（2）教学案 教学内容：三角变换、解三角形（2）教学目标：1三角变换与求值；2.三角形中的三角函数教学重点：灵活运用三角变换公式解决三角函数问题；教学难点：在三角形中灵活运用三角变换公式解决三角函数问题；教学过程：一、基础训练1．在△ABC 中，若tan Atan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是________． 解析： 由tan A·tan B＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B 1－tan A·tan B ＝－1，即tan(A ＋B)＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22. 答案：22 2．(xx·大连模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin BcosC ＋csin Bcos A ＝12b ，且a ＞b ，则B 等于________． 解析：由条件得a b sin Bcos C ＋c b sin Bcos A ＝12， 复备栏由正弦定理，得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12， ∴sin(A ＋C)＝12，从而sin B ＝12， 又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6. 答案：π63．已知cos θ＝－725，θ∈(－π，0)，则sin θ2＋cos θ2＝_____________ 解析： 因为θ∈(－π，0)，所以sin θ＝－1－cos2θ＝－2425，因为sin θ<cos θ<0，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，－π2，θ2∈(－3π8，－π4)，所以－1<sin θ2<－22，0<cos θ2<22，故sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2＋cos θ2＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝－1＋sin θ＝－15. 答案：－154．(xx·南师指导卷)已知sin(α＋π6)＝13，则cos(2π3－2α)的值等于____________．解析：法一：因为2(α＋π6)＋2π3－2α＝π，所以 cos(2π3－2α)＝cos[π－(2α＋π3)]＝－cos(2α＋π3) ＝－[1－2sin2(α＋π6)]＝2sin2(α＋π6)－1＝2(13)2－1＝－79. 法二：由题意知sin(α＋π6)＝cos(π3－α)＝13， cos(2π3－2α)＝cos2(π3－α)＝2cos2(π3－α)－1＝－79. 答案：－79二、例题教学：例1、(xx·淮安指导卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A sin A ＋cos C sin C ＝1sin B . (1)求证：0<B≤π3 (2)若sin B ＝74，且BA →·BC →＝32，求|BC →＋BA →|的值． [解] (1)证明：cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos Asin C ＋cos Csin A sin Asin C ＝sin A ＋C sin Asin C ＝sin B sin Asin C ＝1sin B. 所以sin Asin C ＝sin2B ，由正弦定理可得，b2＝ac ，因为b2＝a2＋c2－2accos B≥2ac－2accos B ，所以cos B≥12，即0<B≤π3. (2)因为sin B ＝74，且b2＝ac ，所以B 不是最大角， 所以cos B ＝1－sin2B ＝1－716＝34. 所以32＝BA →·BC →＝accos B ＝34ac ，得ac ＝2，因而b2＝2， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ，所以a2＋c2＝5.所以|BC →＋BA →|2＝a2＋c2＋2BC →·BA →＝a2＋c2＋2accos B ＝8，即|BC →＋BA →|＝2 2.变式训练： (xx·南通模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b ＝4，BA →·BC →＝8.(1)求a2＋c2的值；(2)求函数f(B)＝3sin Bcos B ＋cos2B 的值域．解：(1)因为BA →·BC →＝8，所以accos B ＝8.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝a2＋c2－16，因为b ＝4，所以a2＋c2＝32.(2)因为a2＋c2≥2ac，所以ac≤16，所以cos B ＝8ac ≥12. 因为B ∈(0，π)，所以0<B≤π3. 因为f(B)＝3sin Bcos B ＋cos2B ＝32sin 2B ＋12(1＋cos 2B)＝sin(2B ＋π6)＋12， 由于π6<2B ＋π6≤5π6，所以sin(2B ＋π6)∈[12，1]，所以f(B)的值域为[1，32]． 例2、已知函数f(x)＝2 3sin xcos x ＋cos 2x.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，求函数f(x)的值域． 解： f(x)＝2 3sin xcos x ＋cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π6＋π6＝2. (2)因为0≤x≤π4，所以π6≤2x＋π6≤2π3，所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤2. 即函数f(x)的值域为[1,2]．变式训练：已知函数f(x)＝2cos2x ＋2 3sin xcos x.课后反思：(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，若f(C)＝2, 2sin B ＝cos(A －C)－cos(A ＋C) ，求tan A 的值．解：(1)f(x)＝2cos2x ＋2 3sin xcos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)因为f(C)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12.因为0＜C ＜π，所以π6<2C ＋π6<2π＋π6，所以2C ＋π6＝5π6，C ＝π3.因为2sin B ＝cos(A －C)－cos(A ＋C)＝2sin Asin C ，所以sin Acos C ＋cos Asin C ＝sin Asin C.则tan A ＝sin C sin C －cos C ＝sin π3sin π3－cos π3＝3＋32.巩固练习：完成专题强化训练的练习。

第2讲 三角恒等变换与解三角形「考情研析」 三角恒等变换和利用正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考的必考内容.1.三角恒等变换主要考查：①两角和与差的正弦、余弦、正切公式；②二倍角公式、半角公式的应用；③辅助角公式的应用． 2.解三角形问题主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．1.知识串联2．结论记忆 (1)常见公式变形辅助角公式：①a sin α＋b cos α＝□01a 2＋b 2sin_(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a ；②sin 2α＝□022tan α1＋tan 2α，cos2α＝□031－tan 2α1＋tan α；(用tan α表示) ③tan α□04sin 2α1＋cos 2α＝□051－cos 2αsin 2α．(用2α的正弦、余弦表示)(2)三角形中的三角函数关系①sin (A ＋B )＝□06sin_C ； ②cos (A ＋B )＝□07－cos_C ； ③sin A ＋B 2＝□08cos_C 2； ④cos A ＋B 2＝□09sin_C2． (3)在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A □10>sin B ⇔cos A □11<cos B . (4)三角形的面积公式：(R ，r 分别为△ABC 的外接圆、内切圆的半径，p 为半周长)S ＝12ab sin C ＝□1212bc _sin_A ＝□1312ca _sin_B＝abc4R ＝2R 2sin A sin B sin C＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）＝pr .考向1 三角恒等变换例1 (1)(2022·东北三省三校二模)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则sin 2x ＝( )A.－35 B ．35 C ．－13 D ．13答案 C解析 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，所以1－tan x 1＋tan x ＝2×1＋tan x 1－tan x ，解得tan x＝－3±22，sin 2x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x tan 2x ＋1.当tan x ＝－3－22时，2tan xtan 2x ＋1＝－2×（3＋22）18＋122＝－13；当tan x ＝－3＋22时，2tan x tan 2x ＋1＝－2×（3－22）18－122＝－13. 综上所述，sin2x ＝－13.故选C.(2)已知0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2－π4＝33，则sin α的值为________，α－β的值为________．答案4－26 π4解析 因为0<α<π2，所以π4<α＋π4<3π4，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫223－13＝4－26.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2－π4＝33，所以sin β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π2＝cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2－π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2－π4－1＝2×13－1＝－13，又因为－π2<β<0，所以cos β＝1－sin 2β＝223，由前面sin α的求解过程可知，cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝4＋26，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝4＋26×223＋4－26×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝22.因为0<α<π2，－π2<β<0，则0<α－β<π，所以α－β＝π4.(1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin 2α2，cos 2α2时，常逆用二倍角的余弦公式降幂．(2)常见的“变角”技巧：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，α＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中的角，选择恰当变角技巧．提醒：对于三角函数的给值求角问题，应选择在该角所在范围内单调的函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．1．(2022·潍坊一模)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且3cos2α＋sin α＝1，则( ) A ．sin (π－α)＝23 B ．cos (π－α)＝－23 C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－53D ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－53答案 A解析 ∵3cos 2α＋sin α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴3(1－2sin 2α)＋sin α＝1，即6sin 2α－sin α－2＝0，∴sin α＝23或sin α＝－12(舍去)，∴cos α＝53，sin (π－α)＝sin α＝23，cos (π－α)＝－cos α＝－53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝53，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－23.故选A.2．求值：cos 220°－sin 220°cos155°1－sin 40°＝________．答案 － 2 解析 原式＝cos 220°－sin 220°－cos25°（cos 20°－sin 20°）2＝cos 220°－sin 220°－cos25°（cos 20°－sin 20°）＝cos 20°＋sin 20°－cos （45°－20°） ＝cos 20°＋sin 20°－22（cos 20°＋sin 20°）＝－ 2.考向2 利用正弦定理、余弦定理解三角形例2 (1)(2022·广西模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形非直角三角形B ．直角三角形非等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 答案 D解析 ∵c ＝a cos B ，根据余弦定理可得c ＝a a 2＋c 2－b 22ac ，化简可得c 2＋b 2＝a 2，∴△ABC 为直角三角形，又b ＝a sin C ＝a ×ca ＝c ，故△ABC 为等腰直角三角形．故选D.(2)(2022·温州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，1tan A ＝1tan B ＋1tan C ，sin 2B －cos 2C ＝－14，则A ＝________，△ABC 的面积是________．答案 π6 32解析因为1tan A ＝1tan B ＋1tan C ，所以cos A sin A ＝cos B sin B ＋cos Csin C ＝sin C cos B ＋sin B cos C sin B sin C ＝sin （B ＋C ）sin B sin C ＝sin Asin B sin C ，所以cos A ＝sin 2A sin B sin C ＝a 2bc ＝b 2＋c 2－a22bc ，所以b 2＋c 2＝3a 2，即sin 2B ＋sin 2C＝3sin 2A ，因为sin 2B －cos 2C ＝sin 2B ＋sin 2C －1＝－14，所以sin 2B ＋sin 2C ＝3sin 2A ＝34，所以sin A ＝12，由1tan A ＝1tan B ＋1tan C 可知A 为锐角，A ＝π6，又bc ＝a 2cos A ＝23，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝32.1．解三角形问题的求解策略已知条件 解题思路两角A ，B 与一边a由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可先求出角C 及b ，再求出c两边b ，c 及其夹角A 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C三边a ，b ，c由余弦定理可求出角A ，B ，C两边a ，b 及其中一边的对角A由正弦定理a sin A ＝bsin B 可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过asin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况2.判定三角形形状的两种常用途径 角化边利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断边化角通过正弦定理、余弦定理，化边为角，利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行判断提醒：(1)使用正弦定理时易忘比值还等于2R ，即a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径).(2)在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．1．(2022·西安模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，cos B ＝277，b ＝2，则a ＝( )A ． 3B ． 5C ．3D ．7答案 D解析 因为A ＝π3，cos B ＝277，b ＝2，所以sin B ＝217，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝2×32217＝7.故选D.2．(2022·贵州模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，sin A ＝32，a cos A ＋ccos C ＝4b ，则△ABC 的面积为________．答案3解析 因为a cos A ＋c cos C ＝4b ，由正弦定理得sin A cos A ＋sin Ccos C ＝4sin B ，即sin A cos C ＋sin C cos Acos A cos C ＝4sin B ，所以sin (A ＋C )＝sin B ＝4sin B cos A cos C ，因为sin B >0，所以cos A cos C ＝14，因为sin A ＝32且A 为锐角，所以cos A ＝12，则cos C ＝12，所以△ABC 为等边三角形且a ＝2，所以△ABC 的面积S ＝34a 2＝ 3.考向3 正弦定理、余弦定理的实际应用例3 某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，CD ，CE 为路灯灯杆，CD ⊥AB ，∠DCE ＝2π3，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN ＝π3.已知CD ＝4 m ，CE ＝2 m ，那么当点M ，D 重合时，路灯在路面的照明宽度MN ＝________ m.答案732解析当点M ，D 重合时，由余弦定理知EM ＝DE ＝CD 2＋CE 2－2CD ·CE cos ∠DCE ＝27 m ，所以cos ∠CDE ＝CD 2＋DE 2－CE 22CD ·DE＝5714.因为∠CDE ＋∠EMN ＝π2，所以sin ∠EMN ＝cos ∠CDE ＝5714.又因为cos ∠EMN ＞0，所以cos ∠EMN ＝1－sin 2∠EMN ＝2114.因为∠MEN ＝π3，所以sin ∠ENM ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－∠EMN ＝sin 2π3cos ∠EMN －cos 2π3sin ∠EMN ＝277，所以在△EMN 中，由正弦定理可知，MN sin ∠MEN ＝EM sin ∠ENM，解得MN ＝732 m ．用解三角形的知识解决实际问题的常见类型及解题思路(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解已知条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．提醒：注意实际问题情境对角取值范围的限制．如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点距离地面的高度AB (AB 与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物CD ，测得CD 的高度为h ，并从C 点测得A 点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD 之间的地面上的点E 处测得A 点、C 点的仰角分别为75°和30°(其中B ，E ，D 三点共线).该学习小组利用这些数据估算得AB 约为60米，则CD 的高h 约为________米．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A ．11B ．20.8C ．25.4D ．31.8答案 C解析 由题意知∠AEB ＝75°，∠CED ＝30°，则∠AEC ＝75°，∠ACE ＝60°，∠CAE ＝45°，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 75°＝60sin 75°，在△ACE 中，AE sin ∠ACE ＝CE sin ∠CAE ，则CE ＝206sin 75°，则CD ＝12CE ＝106sin 75°，∵sin 75°＝sin (45°＋30°)＝6＋24，∴CD ＝4066＋2＝60－203≈60－20×1.73＝25.4(米).故选C.『真题检验』1．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin β，则( )A ．tan (α－β)＝1B ．tan (α＋β)＝1C ．tan (α－β)＝－1D ．tan (α＋β)＝－1答案 C解析 由已知得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，所以tan (α－β)＝－1.故选C.2．(2022·全国甲卷)已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB 取得最小值时，BD ＝________．答案3－1解析设CD＝2BD＝2m＞0，则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB＝m2＋4＋2m，在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD cos ∠ADC＝4m2＋4－4m，所以AC2AB2＝4m2＋4－4mm2＋4＋2m＝4（m2＋4＋2m）－12（1＋m）m2＋4＋2m＝4－12（m＋1）＋3m＋1≥4－122 （m＋1）·3m＋1＝4－23，当且仅当m＋1＝3m＋1，即m＝3－1时，等号成立．所以当ACAB取得最小值时，m＝3－1.『金版押题』3．中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色，长方形，长宽比例为3∶2，旗面左上方缀五颗黄色正五角星，四颗小星环拱在一颗大星的右面，并各有一个角尖正对大星的中心点．如图是旗面左上方部分，图中每个小方格均为正方形，则图中角α的正切值是________．答案2147解析如图，设一个小正方形的边长为1，|OP |＝22＋72＝53，|OQ |＝12＋72＝52，|PQ |＝3，由余弦定理得cos α＝53＋50－92×53×52＝475106，∴tan α＝（5106）2－47247＝2147.专题作业一、单选题1．(2022·丰台区一模)在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，cos B ＝74，则A ＝( ) A ．π6 B ．π3 C ．5π6 D ．π6或5π6答案 A解析 因为a ＝2，b ＝3，cos B ＝74，所以sin B ＝1－cos 2B ＝34，由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ，所以sin A ＝a sin B b ＝2×343＝12，又b >a ，可得A 为锐角，所以A ＝π6.故选A.2．(2022·广西模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α2－cos α＝tan α2，则tan α＝( )A ．33 B ． 3 C ．34 D ．62 答案 B解析 因为sin α2－cos α＝tan α2，所以sin α2cos α2＝2sin α2cos α22－cos α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sinα2≠0，所以2－cos α＝2cos 2α2，即2－cos α＝1＋cos α，所以cos α＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝π3，tan α＝ 3.故选B.3．(2022·包头二模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝135°，a ＝2c ，b ＝35，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．6C ．92D ．72答案 C解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，B ＝135°，a ＝2c ，b ＝35，∴45＝2c 2＋c 2－2×2c 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，解得c ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×32×3×22＝92.故选C.4．(2022·衡阳二模)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割数约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案 C解析 ∵m ＝2sin18°，m 2＋n ＝4，∴n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，∴m n2cos 227°－1＝2sin18°4cos 218°1＋cos54°－1＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2.故选C. 5．(2022·唐山二模)已知0<α<β<2π，函数f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若f (α)＝f (β)＝1，则cos (β－α)＝( )A ．2325 B ．－2325 C ．35D ．－35答案 B解析 ∵0<α<β<2π，函数f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，f (α)＝f (β)＝1，∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝15，∴α－π6为锐角，β－π6为钝角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝265，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝－265，则cos(β－α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－2425＋125＝－2325.故选B.6．说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成．尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位．如图，宝塔山的坡度比为7∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在山坡A 处测得∠CAD ＝15°，从A 处沿山坡往上前进66 m 到达B 处，在山坡B 处测得∠CBD ＝30°，则宝塔CD 的高为( )A ．44 mB ．42 mC ．48 mD ．46 m答案 A解析 由题可知∠CAD ＝15°，∠CBD ＝30°，则∠ACB ＝15°.所以BC ＝AB ＝66 m ．设宝塔山的坡角为θ，则由题可得tan θ＝73，则cos θ＝34，在△BCD 中，∠BDC ＝θ＋π2，由正弦定理，得CDsin 30°＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，即CD 12＝66cos θ＝6634.解得CD ＝44 m ，故宝塔CD 的高为44 m ．故选A.7．(2022·盐城一模)已知α＋β＝π4(α>0，β>0)，则tan α＋tan β的最小值为( ) A ．22 B ．1 C ．－2－2 2 D ．－2＋2 2答案 D解析 因为α＋β＝π4(α>0，β>0)，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，tan αtanβ∈(0，1)，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β≥1－⎝⎛⎭⎪⎫tan α＋tan β22，当且仅当α＝β＝π8时取等号，解得tan α＋tan β≥22－2或tan α＋tan β≤－22－2(舍去).故选D.8．(2022·衡阳二模)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b ＋3c )sin (A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，设D 是BC 边的中点，且△ABC 的面积为1，则AB →·(DA→＋DB →)＝( ) A ．2 B ．2 3 C ．－2 3 D ．－2 答案 B解析 ∵(b ＋3c )sin (A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，∴由正弦定理可得(b ＋3c )b ＝(a ＋c )·(a －c )，整理可得b 2＋c 2－a 2＝－3bc ，∴由余弦定理可得cos A ＝－32，由A ∈(0，π)，可得A ＝5π6，又△ABC 的面积为1，即12bc sin 5π6＝1，∴bc ＝4，∴AB →·(DA →＋DB →)＝(DB →－DA →)·(DA→＋DB →)＝DB →2－DA →2＝CB →24－（AB →＋AC →）24＝（AB →－AC →）24－（AB →＋AC →）24＝－4AB →·AC →4＝－AB →·AC→＝－bc cosA ＝2 3.故选B.二、多选题9．下列说法正确的有( )A ．∃α，β，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀α，β，有sin (α＋β)sin (α－β)＝sin 2α－sin 2βC ．∃α，β，使得cos(α＋β)＝cos α＋cos βD ．∀α，β，有cos (α＋β)cos (α－β)＝cos 2α－cos 2β 答案 ABC解析 对于A ，取α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β＝0，A 正确；对于B ，sin (α＋β)sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β＝sin 2α－sin 2β，B 正确；对于C ，当α＝π3，β＝－π3时，cos(α＋β)＝cos α＋cos β＝1，C 正确；对于D ，cos (α＋β)cos (α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β≠cos 2α－cos 2β，D 错误．故选ABC.10．(2022·泰安三模)已知函数f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π＋5π12(k ∈Z ) C ．函数f (x )的图象可由y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 D ．方程f (x )＝－32在[0，10]内有7个根 答案 ACD解析 f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32(1＋cos 2x )＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，T ＝2π2＝π，A 正确；令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，B 错误；y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得y ＝sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，C 正确；由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－32，得2x －π3＝4π3＋2k π或2x －π3＝5π3＋2k π，k ∈Z ，所以x ＝5π6＋k π或x ＝π＋k π，k ∈Z ，x ∈[0，10]内的根有0，5π6，π，11π6，2π，17π6，3π，共7个，D 正确．故选ACD.11．(2022·石家庄二模)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列条件能判断△ABC 是钝角三角形的有( )A ．a ＝2，b ＝3，c ＝4B ．AB →·BC →＝－2a C ．sin A －sin B sin C ＋sin B ＝c a ＋bD ．b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C 答案 AC解析 对于A ，因为a 2＋b 2－c 2＝4＋9－16＝－3<0，故cos C <0，即C 为钝角，A 符合题意；对于B ，因为AB →·BC →＝－2a <0，故cos (π－B )＝－cos B <0，所以B 为锐角，其他角无法确定，B 不符合题意；对于C ，sin A －sin B sin C ＋sin B ＝a －b c ＋b ＝c a ＋b ，整理得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，故A 为钝角，C 符合题意；对于D ，因为b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，由正弦定理，得sin 2B sin 2C ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B sin C cos B cos C ，所以sin B sin C ＝cos B cos C ，所以cos (B ＋C )＝0，所以B ＋C ＝π2，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形，D 不符合题意．故选AC.12．(2022·福建模拟)若α，β满足sin α＝－12，cos (α－β)＝12，则β可以是( ) A ．π6 B ．π2 C ．5π6 D ．π答案 AC解析 由sin α＝－12，得α＝2k π－π6或α＝2k π－5π6，k ∈Z ，当α＝2k π－π6，k∈Z 时，∵cos (α－β)＝12，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π6－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝12，则π6＋β＝2m π＋π3或π6＋β＝2m π－π3，m ∈Z ，得β＝2m π＋π6或β＝2m π－π2，m ∈Z ，当m ＝0时，β＝π6成立；当α＝2k π－5π6，k ∈Z 时，∵cos (α－β)＝12，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－5π6－β＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋β＝12，则5π6＋β＝2m π＋π3或5π6＋β＝2m π－π3，m ∈Z ，得β＝2m π－π2或β＝2m π－7π6，m ∈Z ，当m ＝1时，β＝5π6成立．故选AC.三、填空题13．(2022·湖南新高考教研联盟第一次联考)tan 67.5°×(1－tan 222.5°)＝________．答案 2解析 tan67.5°×(1－tan 222.5°)＝sin67.5°cos 67.5°×(1－tan 222.5°)＝1－tan 222.5°tan22.5°＝2tan 45°＝2.14．(2022·重庆二模)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边AB 、直角边BC ，AC ，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，点D 在以AC 为直径的半圆上．已知以直角边AC ，BC 为直径的半圆的面积之比为3，sin ∠DAB ＝45，则cos ∠DNC ＝________．答案243－750解析 因为以直角边AC ，BC 为直径的半圆的面积之比为3，所以AC ∶BC ＝3，所以∠CAB ＝π6.设∠DAB ＝α，则π6<α<π2，且∠DNC ＝2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝2α－π3，由已知得sin α＝45，则cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，sin2α＝2425.所以cos ∠DNC ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos 2αcos π3＋sin 2αsin π3＝243－750.15．(2022·濮阳一模)如图，在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝6，∠ACB ＝2π3，点E 在边AB 上，且∠ACE ＝∠BCE ，将射线CB 绕着C 逆时针方向旋转π6，并在所得射线上取一点D ，使得CD ＝3－1，连接DE ，则△CDE 的面积为________．答案 33－5解析 由AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ，得AC 2＋2AC －2＝0，解得AC ＝3－1.因为BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB，所以sin ∠BAC ＝22，∠BAC ＝π4，所以sin ∠AEC ＝sin (∠ACE ＋∠BAC )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝6＋24.又因为CE sin ∠BAC ＝AC sin ∠AEC ，所以CE ＝4－2 3.因为∠ECD＝∠BCE ＋∠BCD ＝π2，所以S △CDE ＝12CE ·CD ＝33－5.16. (2022·石嘴山模拟)顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观．如图所示，△ABC 是黄金三角形，AB ＝AC ，作∠ABC 的平分线交AC 于点D ，易知△BCD 也是黄金三角形．若BC ＝1，则AB ＝________；借助黄金三角形可计算sin 234°＝________．答案5＋12 －5＋14解析 由题可得∠A ＝∠ABD ＝∠DBC ＝36°，∠C ＝∠BDC ＝72°，所以△ABC ∽△BCD ，得AB BC ＝BCCD ，且AD ＝BD ＝BC ＝1.设AB ＝AC ＝x ，则CD ＝x －1，所以x 1＝1x －1，解得x ＝5＋12(负值舍去).因为sin 234°＝sin (180°＋54°)＝－sin 54°＝－cos 36°，在△ABC 中，根据余弦定理可得cos 36°＝x 2＋x 2－12x 2＝5＋14，所以sin 234°＝－5＋14.。