高中数学必修5：第一章《解三角形应用举例》教案1

§1.1.1 正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin bB c=，又si n1c C c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin ab=sin c=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

5.解三角形的实际应用举例教学目标班级：_____ 姓名：____________1.掌握利用正、余弦定理及其推论测距、测高的几种方法.2.了解数学建模思想，培养利用数学知识解决实际问题的能力.教学过程知识要点1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.2.仰角和俯角：在同一铅垂平面内，水平视线和目标视线的夹角，当目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.技能点拨一、测量可到达点A与不可到达点B之间的距离.方法：1.在可到达点A一侧再取一个点C，构造；2.测量AC距离，及AC的两个邻角的度数；(“角角边”型问题)3.利用正弦定理计算_____________________例1：海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C 岛和A岛成的视角，则B、C的距离为多少海里？练1：为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标记物C，测得，，m.求河的宽度CD.二、测量两个不可到达的点A 、B 之间的距离. 方法:1.在可到达一侧取两点C 、D ，构造三个三角形：；2.在中，测边CD 、、,“角边角”问题，利用正弦定理求AC.3.在中,测、，“角边角”问题，利用正弦定理求BC.4.在中,测，“边角边”问题， 利用余弦定理求AB.例2:如图,在四边形ABCD 中,已知CD AD ⊥,,,,,求BC 的长.三、测量俯仰角求底部不可到达的建筑的高度.方法：1.分别测量在C 、D 观测A 点的仰角ACB ∠、ADB ∠，及边CD.“角角边”问题，利用正弦定理求AC ； 2.在ABC Rt ∆中，求AB.例3：如图，在山根A 处测得山顶B 的仰角，沿倾斜角为的山坡向山顶走1000m 到达S 点，又测得山顶仰角，则山高BC 为______m.作业如图，在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为，已知建筑物底部高出地面D 点20m （即OB=20），求建筑物高度AB.DDA CDOBS。

1.2 解三角形应用举例（高度测量问题）（人教A版高中课标教材数学必修5）教学设计一、教学内容解析：本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第一章《解三角形》1.2《应用举例》的第一课时，测量一点或两点不可到达的距离问题. 力于让学生学习应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题，初步了解从实际背景中抽象数学模型，将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法.解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力.本节课的教学重点：1.通过对实际问题的解决，体会解三角形在生活中的广泛应用；2.通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法；3.结合用测量工具收集的数据，巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题.二、教学目标解析：（一）教学目标：1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关一点或两点不可到达的测量问题；3.在试验报告中测量角度、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用；4.通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想，培养学生的数学表达能力；5.创设问题情境、组织讨论交流提高学生参与学习的热情，通过小组合作学习方式，培养学生的合作意识和合作学习的能力，发展学生的创新意识和实践能力. （二）目标解析：1.高中数学学科素养包含数学抽象、逻辑推理、几何直观、数学运算、数据分析和数学建模六个方面，本节课重点培养学生的数学建模素养．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.本节课从实际背景出发，让学生亲自经历提出问题、建构模型、应用数学知识运算得到数学结果，反复检验得到符合实际的结果这样一个数学建模过程，培养学生数学建模素养；2.本节的例题是有关有关一点或两点不可到达的距离问题．由于不可到达，常常需要建构多个三角形，转化为一个或两个可到达的点所构成的三角形．本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要数学测量工具皮尺、经纬的使用与限制，二是要会选点构建三角形模型，在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题；3.用数学是学数学的出发点和归宿，通过设计操作实验，让学生体验数学在解决问题中的应用价值；4.将探究问题与解三角形运算相结合，引导学生既要关注实际背景，又要重视基础落实，同时创造更多的实践机会在“做数学”中落实基础；5.通过小组合作的方式完成测量任务，在课上以小组汇报的形式展示实验报告，以小组为单位进行讨论交流，培养学生合作学习的能力.三、学情分析：1.学生学习背景：我校属于区属市重点学校，学生知识基础较好，学校有丰富的社团活动，学生有小组活动经验，具有一定的动手能力和表达能力.2.学生知识储备：学生在初中已经学习过解直角三角形，能够通过建立直角三角形模型解决实际问题中的长度和角度的测量，在必修一中学生已经学习过数学建模的知识，了解建模的基本过程.在本章第一节学生学习了正弦定理和余弦定理，这些知识都将为本节课的学习奠定基础，在此基础上进一步向探究构建多个三角形的问题自然过渡.教学难点：从实际问题出发，在有限的工具下自行设计方案解决问题四、教学策略分析：本节课以数学实验为抓手，以问题探究为载体，为学生提供动手操做、动脑思考和主动交流的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在学生体验测量过程的基础上，通过学生动手实践、动手画图等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.通过小组交流，互相取长补短，提高合作意识.五、教学过程：引入：古有嫦娥奔月，那嫦娥“奔”了多远？古人没有去探究。

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个三维目标一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．师思考：∠C的大小与它的对边A B的长度之间有怎样的数量关系？生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式 关系．如右图，在 △R t ABC 中，设 BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 a b c a b c=sin A ，=sin B ，又 sin C =1= ,则ccc sinA sinB simCc.从而在直角三角形 ABC 中，a b csinA sinB simC推进新课 [合作探究].师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边 A B 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则a b c b a b c ，同理，可得 .从而 sinA sinB sinC sinB sinA sinB sinC.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b c sinA sinB sinC师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令 BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明a b csinA sinB sinC这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知 BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结 BO 并延长交圆于 B ′, 设 BB ′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′，∴sin C =sin B ′=sinC sinBc2R∴csinC2R同理,可得a b2R,2R sinA sinB∴a b csinA sinB sinC2R这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式a b csinA sinB sinC点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫[知识拓展师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢生向量的数量积的定义式A·B=|A||B|C osθ,其中θ为两向量的夹角师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢生可以通过三角函数的诱导公式s inθ=Co s(90°-θ)进行转化师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得AC CB AB而添加垂直于AC的单位向量j是关键,为了产生j与AB、ACCB、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点点评:(1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用向量法证明过程(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于CB-A,j与的夹角为90°-C AC,则 j 与AB的夹角为由向量的加法原则可得AC CB AB为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到j (AC CB)j AB 由分配律可得AC j CB j AB∴|j|AC Co s90°+|j|CB Co s(90°-C)=|j|AB Co s(90°-A∴A sin C=C sin A∴a c sinA sinC另外,过点C作与CB 垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB的夹角为c b90°+B,可得sinC sinB(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与A C的夹角为90°-C,j与AB的夹角为90°-Ba b c ∴sinA sinB sinC(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与AC垂直的单位向量j,则j 与AB的夹角为A-90°,j与CB的夹角为90°-C由AC CB AB ,得j·AC C B=j·AB即A·Co s(90°-C)=C·Co s(A- ∴A sin C=C sin A∴a c sinA sinC另外,过点C作与C B垂直的单位向量j,则j与AC 的夹角为90°+C,j与AB夹角为90°+B.同理,可得b c sinB sinC∴a b csimA sinB sinC（形式1）综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使A=ksin A，B=ksin B，C=ksin C；（2）a b c sinA sinB sinC等价于a b c b a c, ,sinA sinB sinC sinB sinA sinC(形式我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如a bsinAsinB.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P的例1就属于此类问题②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如s inA ab sinB．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结［例题剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9c m,解三角形分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B,若求边C,再利用正弦定理即可解：根据三角形内角和定理，C=180°-(A+B)=180°-根据正弦定理，b= c=a s inB42.9sin81.8sinA sin32.0oa s inC42.9sin66.2sinA sin32.0ooo≈80.1(c m)≈74.1(c[方法引导(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器【例2】在△ABC中，已知A=20c m，B=28c m，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1c m）．分析:此例题属于B sin A＜a＜b的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性解：根据正弦定理，sin B=bsinA28sin40 a 20o因为0°＜B＜180°，所以B≈64°或B（1）当B≈64°时，C=180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°，C=a s inC20sin76sinA sin40oo≈30(c4（2）当B≈116°时，C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°，C =a s inC20sin24sinA sin40oo≈13(c[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会变式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).分析:此题属于A≥B这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形解：已知B<A,所以B<A,因此B也是锐角∵sin B=bsinA50sin38 a 60o∴B∴C=180°-(A+B)=180°-∴C =a s in C 60sin111o sinA sin38o[方法引导同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B所受限制而求出角B的两个解,进而求出边C的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解变式二：在△ABC中,已知A＝28,B＝20,A＝120°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).分析:此题属于A为钝角且A>B的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B后,利用三角形内角和为180°排除角B为钝角的情形解：∵sin B=bsinA20sin120 a 28o∴B≈38°或B≈142°(舍去∴C =180°-（A+B）∴C=a s inC28sin22sinA sin120≈12.[方法引导]此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：1.在△ABC中(结果保留两个有效数字)，(1)已知 C =3,A =45°,B =60°，求 B(2)已知 B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求 A解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，b c sinB sin C，∴B =csinB 3 s in60 sin Csin75(2)∵a b sinA sinB，∴A =bsinA 12sin30sinB sin 120点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的 学生进行在黑板上解答,以增强其自信心2.根据下列条件解三角形(角度精确到 1°,边长精确到 (1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A (3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A解： (1) ∵a b sinA sinB∴sin A =a s inB 20sin30b 11∴A ≈65°，A1 2当 A ≈65°时，C =180°-(B +A )=180°-(30°+65°)=85°， 111bsinC 11sin 85 ∴C = 1sinsinB sin30当 A ≈115°时，C =180°-(B +A )=180°-2 22bsin C 11sin 35 ∴C = 2sinB sin30(2)∵sin B =bsinA 20sin45a 28∴B ≈30°，B1 2 由于 A +B =45°+150°＞180°,故 B ≈150°应舍去(或者由 B ＜A 知 B ＜A ,故 B 应为锐角 2 2∴C =180°-(45°+30°)=105°∴C=a s inC 28sin 105 sinA sin45(3)∵b csinB sinC∴sin B =bsinC 39sin 115c 54∴B ≈41°,B1 2由于 B ＜C ,故 B ＜C ,∴B ≈139°应舍去2∴当 B =41°时，A =180°-1 2A =csinA54sin24 sinC sin115(4) sin B=bsinA28sin120a 20=1.212＞∴本题无解点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形布置作业（一）课本第10页习题1.1第1、2题（二）预习内容：课本P～P余弦定理5 8[预习提纲(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识(2)余弦定理如何与向量产生联系(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题板书设计正弦定理1.正弦定理证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:a b csinA sinB sinC(1)平面几何法已知两角和一边(2)向量法(2)已知两边和其中一边的对角1.1.2余弦定理从容说课课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程2.余弦定理在解三角形时的应用思路3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．教具准备投影仪、幻灯片两张第一张:课题引入图片(记作A如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a第二张:余弦定理(记作1.1.2B余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C形式二:co s A=b2c2a2c2a2b2a2b2,co s B=,co s C=2bc 2ca 2abc2三维目标一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3.能利用计算器进行运算二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在△R t ADC内求解解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在△R t CDB中,根据勾股定理可得A2=CD2+BD2∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD又∵在Rt△ADC中,AD=B·CO s A∴a2=b2+c2-2ab c os A类似地可以证明b2=c2+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2ab c os C另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式形式一a2=b2+c2-2bcco s Ab2=c+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2abco s C形式二cosA cosB bc22c22bca22caab22cosC a2b22abc2师在余弦定理中,令C=90°时,这时c o s C=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用[合作探究2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢生向量数量积的定义式a·b=|a||b|co sθ,其中θ为A、B的夹角师在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造CBCA这一数量积以使出现CO s C.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提(2)向量法证明余弦定理过程如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b由向量加法的三角形法则，可得∴AC AB BCAC AC (AB BC)(AB BC)AB22AB BC BC2AB 2AB BC cos(180B)BC2c22accosB a2,B即B2=C2+A2-2AC COBC AC AB由向量减法的三角形法则，可得∴BC BC(AC AB) (AC AB)AC22AC AB AB 2AC 2AC AB cosAAB2b22bccosA c2即a2=b2+c2-2bcco s AAB AC CB AC BC 由向量加法的三角形法则,可得∴AB AB (AC BC) (AC BC) AC22AC BC BC2 AC 22AC BC cosCBC2b22ba cosC a2,2 2即 c 2=a 2+b 2-2abco s C [方法引导(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC与A B属于同起点向量,则夹角为 A ; AB 与 BC 是首尾相接,则夹角为角 B 的补角 180°-B ; 则夹角仍是角 C[合作探究A C与 是同终点,师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能 否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：cosAb2c 2 a 2a 2 c 2b 2b 2 a 2c 2,cosB,cosC2bc2ac2ba师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则 co s C =0，这时 c 2=a 2+b 2 .由此可知 余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的 平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对 的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知， 余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变 成可定量计算的公式了．师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片 1.1.2B通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到 ,利用余弦定理,可以解决以下两类有 关三角形的问题(1)已知三边,求三个角这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本 P 例 4 属这类情况8(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形 所产生的判断取舍等问题接下来,我们通过例题来进一步体会一下 ［例题剖析］【例 1】在△ABC 中，已知 B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到 1°，边长 精确到 1 c m ）解：根据余弦定理，a 2 =b 2+c 2-2bcco s A =602+342 -2·60·34co s41°≈3 600+1 156-所以 A ≈41 c 由正弦定理得 sin C =csinA 34 sin41 34 0.656≈a 41 41因为 C 不是三角形中最大的边，所以 C 是锐角.利用计数器可得 C B =180°-A -C =180°-41°-【例 2】在△ABC 中，已知 a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形BC解：由余弦定理的推论,得co s A =co s B =bc 22c 2 a 2 87.82 161.72 134.6 2bc 2 87.8 161.7a 2b 2 134.62 161.72 87.8 2ca 2 134.6 161.722≈0.554 3,A≈0.839 8,BC =180°-(A +B )=180°-[知识拓展 补充例题：【例 1】在△ABC 中,已知 a =7,b =10,c =6,求 A 、B 和 C .(精确到分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的 形式二解：∵cosA b2c 2 a 2 102 62 72 2bc 2 10 60.725∴A∵c os C =a2b 2c 2 72 102 62 113 2ab 2 7 10 140∴C∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理 ,即三角形内角和为 180°,可用余弦定理求出 两角,第三角用三角形内角和定理求出(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算【例 2】在△ABC 中,已知 a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效 数字,角度精确到分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在 第三边求出后其余角求解有两种思路 :一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角 ,二是 利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据 1.1.1 斜三角形求解经验,若用正弦定理需 对两种结果进行判断取舍,而在 0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好 解：由 c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′, 得 c∵c os A =b2c 2 a 2 3.696 2 4.297 2 2.730 2bc 2 3.696 4.2972∴A∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲通过例 2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边 用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦【例 3】在△ABC 中,已知 A =8,B =7,B =60°,求 C 及 分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角 A ,再结合三角形内角和定理求出角 C ,再利用△SABC正弦定理求出边 C ,而三角形面积由公式 S = △ABC12ac sin B 可以求出若用余弦定理求 C ,表面上缺少 C ,但可利用余弦定理 b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于 C 的方程,亦 能达到求 C 的目的 下面给出两种解法解法一:由正弦定理得8 7sinA sin60∴A =81.8°,A = 1 2∴C =38.2°,C1 27 c 由sin60 sin C,得 c =3,c 1 2= △∴S ABC 1 1 ac sinB 6 3 或 = 2 2ac sinB 10 3 2 解法二:由余弦定理得 b 2=c +a 2-2caco s B∴72=c +82-2×8×cco 整理得 c 2-8c解之,得 c =3,c =5. = 12 △∴S ABC[教师精讲]1 1 ac sinB 6 3 或 S =2 2ac sinB 10 3 2 在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味 之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程 的观点去解决,故解法二应引起学生的注意综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围 ;已知三边求角或已 知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的 解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之课堂练习1.在△ABC 中(1)已知 c =8,b =3,b =60°,求 A(2)已知 a =20,b B =29,c =21，求 B (3)已知 a =33,c =2,b =150°,求 B (4)已知 a =2,b =2，c =3+1,求 A解： (1)由 a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得 a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A(2)由cosBc2a 2b 2202 212 292 ,得 c osB2ca2 20 21.∴B(3)由 b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得 b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b(4)由cosAb2c 2 a 2 2bc ,得cosA( 2)2 ( 3 1)2 22 2 2( 3 1)2 2.∴A评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式 ,要求学生注意运算的准确性及解题 效率2.根据下列条件解三角形(角度精确到 (1)a =31,b =42,c (2)a =9,b =10,c△S ABC1 △ABC 1。

解三角形应用举例授课类型：新授课●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。

另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。

只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验●教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目●教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。

在ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h 、h 、h ，那么它们如何用已知边和角表示？生：h =bsin C =csin Bh =csin A =asin Ch =asin B =bsina A 师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h =bsin C 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absin C ，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=bcsin A, S=acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、在ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm ）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;∆a b c a b c 21a 212121∆2︒（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

解三角形应用举例教学目标一、知识与技能1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、方位角等2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题3、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题4、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题5、掌握三角形的面积公式的简单推导和应用二、教学重点1、分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法；2结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；3、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系；4、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.三、教学难点1、实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图；2、能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；3、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题；4、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.四、教学过程解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.［例题剖析］【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B两点的距离.(精确到0.1 m)解：根据正弦定理，得ABCACACB AB ∠=∠sin sin ， ︒︒=︒-︒-︒︒=∠∠=∠∠=54sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55sin sin 55sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB ≈65.7(m).答:A 、B 两点间的距离为65.7米.【例2】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处，设连杆AB 长为340 mm ，曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A 0A ）.（精确到1 mm ）解：（如图）在△ABC 中，由正弦定理可得34080sin 85sin sin ︒⨯==AB C BC A ≈0.246 2. 因为BC ＜AB ，所以A 为锐角.∴A =14°15′，∴ B ＝180°-（A ＋C ）＝85°45′. 又由正弦定理，9848.05485sin 340sin sin '︒⨯==C B AB AC ≈344.3(m m ). ∴A 0A =A 0C –AC =(AB +BC )-AC =(340+85)-344.3=80.7≈81(mm). 答：活塞移动的距离为81 mm ．【例3】AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ,AB =A E+h=ac sinα+h=)sin(sin sin βαβα-a +h.【例4】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD (精确到1 m).解：在△ABC 中,∠BCA =90°+β,∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α. 根据正弦定理,)90sin()sin(ββα+︒=-AB BC =，所以)sin(cos )sin()90sin(βαββαβ-=-+︒=BC BC AB .在Rt △ABD 中,得BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式,得934sin 0454sin 150cos 3.27)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'︒'︒'︒='︒-'︒'︒'︒=BD ≈177(m),CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m).【例5】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上,行驶5 km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD .解：在△ABC 中, ∠A =15°,∠C =25°-15°=10°,根据正弦定理,︒︒===10sin 15sin 5sin sin ,sin sin C A AB BC C AB A BC ,≈ 7.452 4(km), CD =BC ×t a n ∠DBC =BC ×t a n8°≈1 047(m).答:山的高度约为1 047米.课堂练习用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD 间的距离为A ,测角仪的高度为B ,求气球的高度.分析:在Rt △EG A 中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△E AC 中有较多已知条件,故可在△E AC 中考虑E A 边长的求解,而在△E AC 中有角β,∠E AC =180°-α两角与AC =BD =A 一边,故可以利用正弦定理求解E A . 解：在△AC E 中,AC =BD =A ,∠AC E=β,∠A E C =α-β,根据正弦定理,得)sin(sin βαβ-=a AE .在Rt △A EG 中，EG=A Esinα=)sin(sin sin βαβα-a .∴EF=EG+b =b a +-)sin(sin sin βαβα.答:气球的高度是b a +-)sin(sin sin βαβα.【例6】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ,然后从B 出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C .如果下次航行直接从A 出发到达C ,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile)解：在△ABC 中，∠ABC =180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理，,137cos 0.545.6720.545.67cos 22222︒⨯⨯⨯-+=∠⨯⨯-+=ABC BC AB BC AB AC ≈113.15.根据正弦定理,,sin sin ABC ACCAB BC ∠=∠,15.113137sin 0.54sin sin ︒=∠=∠AC ABC BC CAB ≈0.325 5, 所以∠CAB ≈19.0°,75°-∠CAB =56.0°.答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.[知识拓展]1.如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里到C 处，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ABC 中，BC =30，B =30°， ∠ACB =180°-45°=135°, ∴A =15°.由正弦定理知B AC A BC sin sin =,∴︒=︒30sin 15sin 30AC. ∴21561515cos 6015sin 30sin 30+=︒=︒︒=AC .∴A 到BC 所在直线的距离为AC ·sin45°=（156+152）·22=15（3+1）≈40.98＞38（海里）， ∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险． 答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．2.如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O ，甲、乙分别在O X 、O Y 上，起初甲在离O 点3千米的A 点，乙在离O 点1千米的B 点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y 方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离； （3）什么时候两人的距离最短？ 解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2=OA 2+OB 2-2OA ·OBco s60°=32+12-2×3×1×21=7, ∴起初，两人的距离是7千米．（2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ， 则A P=4t,B Q=4t, 当0≤t≤43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)co s60°=48t 2-24t+7; 当t ＞43时,PQ 2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)co s120°=48t 2-24t+7, 所以，PQ =48t 2-24t+7． （3）PQ 2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4, ∴当t =41时，即在第15分钟末，PQ 最短． 答：在第15分钟末，两人的距离最短．【例7】 在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1 c m 2）. （1）已知A =14.8 c m,C =23.5 c m,B =148.5°; （2）已知B =62.7°,C =65.8°,B =3.16 c m;（3）已知三边的长分别为A =41.4 c m,B =27.3 c m,C =38.7 c m.解：（1）应用B ac S sin 21=，得 S=21×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(c m 2). (2)根据正弦定理，BCb c C c B b sin sin ,sin sin ==, BAC b A bc S sin sin sin 21sin 212==. A = 180°-(B + C )= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,︒︒︒⨯⨯=7.62sin 5.51sin 8.65sin 16.3212S ≈4.0(c m 2). (3)根据余弦定理的推论，得4.417.3823.274.417.382cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.769 7,227697.01B cos 1sinB -≈-=≈0.638 4,应用B ac S sin 21=得S=21×41.4×38.7×0.6384≈511.4(c m 2). 【例8】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 c m 2）？ 解：设A =68 m,B =88 m,C =127m,根据余弦定理的推论，68127288681272cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.753 2,27532.01sin -=B ≈0.657 8,应用S=21ac sin B ,S=21×68×127×0.657 8≈2 840.38(m 2). 答：这个区域的面积是2 840.38 m 2． 【例9】在△ABC 中，求证：（1）CBA c b a 222222sin sin sin +=+; （2）a 2+b 2+c 2=2（bcco s A +caco s B +abco s C ）. 证明：（1）根据正弦定理，可设k Cc B b A a ===sin sin sin , 显然 k≠0，所以左边=CBA C kB k A k c b a 222222222222sin sin sin sin sin sin +=+=+=右边. （2）根据余弦定理的推论，右边=)222(2222222222abc b a ab ca b a c ca bc a c b bc-++-++-+=(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2+c 2=左边. [知识拓展]如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠BCD =75°，∠ACB =∠BDC =45°，DC =3，求：(1)AB 的长;(2)四边形ABCD 的面积.解：（1）因为∠BCD =75°,∠ACB =45°， 所以∠ACD =30°. 又因为∠BDC =45°，所以∠DAC =180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以AD =DC =3. 在△BCD 中，∠CBD =180°-（75°+ 45°）=60°，所以22660sin 75sin 3,60sin 75sin +=︒︒=︒=︒BD DC BD .在△ABD 中，AB 2=AD 2+ BD 2-2×AD ×BD ×co s75°= 5,所以,得AB =5.(2)S △ABD =21×AD ×BD ×sin75°=4323+.同理，S △BCD =433+.所以四边形ABCD 的面积4336+=S .备课资料1.半角定理在△ABC 中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系:p c p b p a p a p A ))()((12tan----=, p c p b p a p b p B ))()((12tan----=, pc p b p a p c p C ))()((12tan----=, 其中p =21（a +b +c ). 证明:2cos2sin 2tan A A A =, 因为sin 2A ＞0,co s 2A＞0,所以bcc b a c b a bc c b a bc a c b A A 4))((4)()21(212cos 12sin 22222+--+=--=-+-=-=. 因为p =21(a +b +c ), 所以a -b +c =2(p -b ),a +b -c =2(p -c ).所以bcc p b p A ))((2sin--=. 而bc a c b A A 2)1(212cos 12cos 222-++=+=bca p p bca cb ac b bc a c b )(4))((4)(22-=-+++=-+所以p c p b p a p a p a p p c p b p bca p p bc c pb p A A A ))()((1)())(()())((2cos2sin2tan----=---=----=. 所以pc p b p a p a p A ))()((12tan----=. 同理,可得pc p b p a p b p B ))()((12tan----=, pc p b p a p c p C ))()((12tan---=-=.从上面的证明过程中,我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式:bca p p A bc c pb p A )(2cos ,))((2sin-=--=. 同理可得.)(2cos )(2cos ,))((2sin ,))((2sinabc p p Cac b p p B ab b p a p C ac c p a p B -=-=--=--= 2.用三角形的三边表示它的内角平分线设在△ABC 中(如右图),已知三边a 、b 、c ,如果三个角A 、B 和C 的平分线分别是t A 、t B 和t C ，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：)(2a p bcp cb t a -+=;)(2b p acp c a t b -+=;)(2c p abp ba t c -+=.证明：设AD 是角A 的平分线，并且BD =x ，DC =y,那么，在△ADC 中，由余弦定理，得t A 2=b 2+y 2-2byco s C ,① 根据三角形内角平分线的性质，得yxb c =, 所以yyx b b c +=+. 因为x+y=a , 所以yab bc =+. 所以cb aby +=.② 将②代入①,得C cb abb c b ab b t a cos )(2)(222+-++= =]cos )(22[)(22222C c b a a bc c b c b b +-++++. 因为bcc b a C 2cos 222-+=,所以]2)(22[)(222222222ab c b a c b a bc c b a c b b t a-+•+-++++==))(()()2()(22222a c b c b a c b bc a bc c b c b bc -++++=-+++=),()(4)(22)(22a p bcp c b a p p c b bc -•+=-••+所以)(2a p bcp cb t a -+=. 同理,可得)(2,)(2c p abp ba tb p acpc a t c b -+=-+=.这就是已知三边求三角形内角平分线的公式. 3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在△ABC 中,已知三边a 、b 、c ,那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是))()((c p b p a p p abcR ---=.证明: 因为A bc S A a R sin 21,sin 2==,11 所以bc S A 2sin =. 所以))()((4sin 2c p b p a p p abc S abc A a R ---===. 五、课堂小结在实际问题的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案．。

课题: §1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin bB c=，又sin 1c C c==,A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

新编人教版精品教学资料1.2 应用举例教材分析三维目标知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题•过程与方法通过将实际问题建立数学模型，使学生充分认识到建立数学模型的重要性，进行测量，掌握数学术语及数学作图方法，体会数学的严谨性情感态度与价值观数学来源于生活，又应用于生活，一方面，三角形知识广泛应用于实际问题中，另一方面，实际问题的解决又推动了三角形的进一步完善和发展，通过亲自动手测量，写出实习报告等体会到数学市有用的，我能用数学，也能用好数学教学重点分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图.教学建议解三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识. 对于解三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决. 学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题•例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题•对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决•对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题.导入新课一湖北省十堰市郧县柳坡镇马蹄沟村，是一个世代被大山阻隔的小山村，在无法承载贫穷重负和生命重压之下，毅然决然以一己之力，用比较落后的方式，开始了一段长达五年的艰难的开山之旅。

他们经历了令人难以想象的风险，终于打通了一条长400米的隧洞，从而大大拉近了闭塞小山村与现代大都市的时代距离。

高中新课标必修5第一章 解三角形 教案讲义一 正弦定理和余弦定理以及其应用一、知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。

二、知识引入与讲解：Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R例1．（1）、已知∆ABC 中，∠A 060=，a 求sin sin sin a b cA B C++++ (=2)（2）、已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3）Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：例2．（1）、在∆ABC 中，已知=ac 060=B ，求b 及A （=b60.=A ）（2）、在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

例3．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

分析：由余弦定理可知 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）解：222753>+，即222a b c >+， ∴ABC 是钝角三角形∆。

练习： （1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。

（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。

（答案：（1）ABC 是钝角三角形∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）例4．在∆ABC 中，060A =，1b =，面积为2，求sin sin sin a b cA B C++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin abAB=sin cC==sin sin sin a b cA B C++++解：由1sin 2S bc A ==得2c =，则2222cos a b c bc A =+-=3，即a =从而sin sin sin a b c A B C ++++2sin aA==例题5、某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。

1高中数学必修5第一章-解三角形全章教案(整理)课题: §1．1．1正弦定理如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。

从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a bA B =， C 同理可得sin sin cbCB=，b a从而sin sin a b A B =sin cC = A c B练习：已知∆ABC中，sin:sin:sin1:2:3A B C=，求::a b c练习：1.在∆ABC中，已知045C=，10A=，030c=cm，解三角形。

2.在∆ABC中，已知060B=，20A=，045c=cm，解三角形。

3.在∆ABC中，已知20=a cm，102b=，030B=，解三角形。

4.在∆ABC中，已知102c=，20B=，解三角形。

b=cm，045补充：请试着推理出三角形面积公式（利用正弦）课题: §1.1.2余弦定理如图1．1-4，在∆ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和∠C，求边c用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C=+- (图1．1-5)同理可证 2222cos ab c bc A=+- 2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

解三角形的应用举例（一）设计一、课题：1.2解三角形的应用举例二、教材的地位与作用：本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。

在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。

三、学情分析：通过正弦定理、余弦定理的学习，学生对解斜三角形已经有了直观地认识，能够从图形中找到解三角形的方法。

但学生对正弦定理和余弦定理适用条件缺乏清晰的概念。

因此，本节课遵循学生由具体到抽象，由感性到理性的认知规律，引导学生通过自己的数学实践活动，从实际问题提取数学模型，经历发展和创造过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识，激发学生的学习兴趣。

四、教学目标：基于新课程标准的要求及对教材内容的具体分析，我制定了本节课的教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。

过程与方法：首先通过巧妙的答疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——回归实际”的教学过程，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

五、教学重、难点：教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图；六、教法、学法设计：教法设计：基于我的学情分析，我创设发生在学生身边的问题情境，激发学生学习本节知识的兴趣，从抽象的测量距离问题入手，到进一步解决具体的测量问题。

以启发引导式教学为主；遵循从理论到实际的认识世界的一般思路，先利用生活中实际问题激发学生的学习兴趣，然后让学生操作实践、合作交流、自主探究，最后总结提升。

正余弦定理应用举例教学设计一、教材分析本课是解三角形中1.2正余弦定理应用举例。

因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。

本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。

（一）教学重点1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。

2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。

（二）教学难点1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。

2.用应用数学的思想解决实际问题。

二、学情分析学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中学生，也已经具有了必要的生活经验。

因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。

让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。

三、学习目标学生能够利用正余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题；能够运用正余弦定理解决一些实际问题，提高用数学方法解决实际问题的能力；探索利用数学工具解决实际问题的方法，体会数学在现实生活中的应用。

四、教学手段计算机，ppt，黑板板书。

五、教学时间：45分钟六、教学过程（设计）老师提问：他们在干什么？在点赞吗？学生回答：。

老师根据学生回答引入测量--正余弦定理应用举例一方面从而引入通过图片，快速的集中学生的注意力，为听课做准备；第二位同学：展示诗歌归纳总结复习解三角，不用怕；正弦余弦搞定它。

角角边，边边角；正弦一用全知道。

边边边，边角边，余弦上场也求饶。

古有九章算术，今有正余两招！首先，PPT介绍本次应用举例测量工具：卷尺、皮尺、望远镜测量仪等，再次介绍上次课的任务安排。

活动1：请第一小组同学介绍测量明湖湿地公园宽度第一：介绍明湖湿地公园的文化背景第二：介绍该小组测量过程（PPT图片展示）第三：根据测量数据改编成一道数学题目介绍给大家求个解。

：例1：如图，为了测量明湖宽度，在一岸边选定两点A，弦B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝37°，∠CBA＝70°，应AB＝200m，则这条河的宽度为多少m？同学们解法一、解法二、解法三。

《解三角形应用举例》教案（1）教学目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.2．通过解决“测量平面上两个不能到达的地方的之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.3．进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.4．激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.教学重点难点1．重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；2．难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.教法与学法1．教法选择：“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”；2．学法指导：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣启发提问1 ∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2 运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答.解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D CD =a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA ∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得)sin(δγ+a sin(γa三、思维拓展，课堂交流②两点能相互看到，但不能到达③两点都不能到达课堂检测：四、归纳小结，课堂延展1．教材地位分析解三角形应用举例是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程，本节主要介绍了正弦定理和余弦定理在测量距离中的应用.教材首先通过例1提出了如何测量从一个可到达点和一个不之间的距离，进一步通过例2解决了两个不可到达点之间的距离问题.本节课是解三角形应用举例形第一阶段.2．学生现实状况分析通过正弦定理、余弦定理的学习，学生对解斜三角形已经有了直观地认识，能够从图形中找到解三角形的方法.但学生对正弦定理和余弦定理适用条件缺乏清晰的概念.因此，本节课遵循学生由具体到抽象，由感性到理性的认知规律，从学生已有的经验出发，设计一系列有意义的数学活动，让学生去探索、去实验、去发现，进一步认识正弦定理和余弦定理，体验三角形在生活中的作用.。