一次函数——分段函数

某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2后血液中的含药量最高，达每升6，接着逐步衰减，10后血液中的含药量为每升3，每升血液中的含药量随时间的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出≤2和≥2时，与之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4或4以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令≥4，分别求出的取值范围，便可得出这个药的有效时间． 【答案与解析】解：(1)由图知，≤2时是正比例函数，≥2时是一次函数．设≤2时，，把(2，6)代入，解得＝3， ∴ 当0≤≤2时，．设≥2时，，把(2，6)，(10，3)代入中，得，解得，即．当＝0时，有，． ∴ 当2≤≤18时，．(2)由于≥4时在治疗疾病是有效的，∴ ，解得． 即服药后得到为治病的有效时间， 这段时间为．【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．h mg h mg y mg x h x x y x mg mg y x x x x y kx =y kx =k x 3y x =x y k x b '=+y k x b '=+26103k b k b '+=⎧⎨'+=⎩38274k b ⎧'=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩32784y x =-+y 327084x =-+18x =x 32784y x =-+y 34327484x x ≥⎧⎪⎨-+≥⎪⎩42233x ≤≤43h 223h 224186()333h -==24．（2013•荆州）如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）分别求出第10天和第15天的销售金额；（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？考点：一次函数的应用分析：（1）分两种情况进行讨论：①0≤x≤15；②15＜x≤20，针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解；（2）日销售金额=日销售单价×日销售量．由于第10天和第15天在第10天和第20天之间，当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式为p=mx+n，由点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上，利用待定系数法求得p与x的函数解析式，继而求得10天与第15天的销售金额；（3）日销售量不低于24千克，即y≥24．先解不等式2x≥24，得x≥12，再解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有5天；然后根据p=﹣x+12（10≤x≤20），利用一次函数的性质，即可求出在此期间销售时单价的最高值．解答：解：（1）分两种情况：①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，∵直线y=k1x过点（15，30），∴15k1=30，解得k1=2，∴y=2x（0≤x≤15）；②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，∵点（15，30），（20，0）在y=k2x+b的图象上，∴，解得：，∴y=﹣6x+120（15＜x≤20）；综上，可知y与x之间的函数关系式为：y=；（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间，∴当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，∵点（10，10），（20，8）在z=mx+n的图象上，∴，解得：，∴p=﹣x+12（10≤x≤20），当x=10时，p=10，y=2×10=20，销售金额为：10×20=200（元），当x=15时，p=﹣×15+12=9，y=30，销售金额为：9×30=270（元）．故第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元；（3）若日销售量不低于24千克，则y≥24．当0≤x≤15时，y=2x，解不等式2x≥24，得x≥12；当15＜x≤20时，y=﹣6x+120，解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16，∴12≤x≤16，∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）；∵p=﹣x+12（10≤x≤20），﹣＜0，∴p随x的增大而减小，∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时p=﹣×12+12=9.6（元/千克）．故此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元．点评：此题考查了一次函数的应用，有一定难度．解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．23.（本小题满分8分）某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）.商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者制定了两种购房方案：方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）.方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）⑴请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式.⑵小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？⑶有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法.23.（8分）解：（1）1o当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：3000－（8－x）×20=20x＋2840 (元／平方米)2O当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：3000+（x－8）·40=40x＋2680(元／平方米) ∴{8)x (22840,20x 23)x (92680,40x ≤≤+≤≤+=y , x 为正整数 ………………………２分（2）由（1）知：1o 当2≤x ≤8时，小张首付款为 （20x ＋2840）·120·30%=36（20x ＋2840）≤36（20·8＋2840）=108000元＜120000元∴2～8层可任选 …………………………１分 2o当9≤x ≤23时，小张首付款为（40x ＋2680）·120·30%=36（40x ＋2680）元36（40x ＋2680）≤120000，解得：x ≤3116349= ∵x 为正整数，∴9≤x ≤16 …………………………１分综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。

课题：第12章一次函数12．2一次函数（5）——分段函数年级班姓名：学习目标：1、巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．3、让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．学习重点：建立函数模型．学习难点：灵活运用数学模型解决实际问题.一、学前准备1.某市出租车的计价方式是:开始3km内收费6元,以后每增加1km(不足1km,以1km计)加收1元.(1)写出乘车路程xkm与收费y元的关系式.(2)小明乘车5.6km,应付多少钱?(3)小飞乘车付了15元,他乘车走了多少路?2.某地长途汽车客运公司规定，旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（公斤）的一次函数，其图象如图所示.求:(1)y与x之间的函数关系式(2)旅客最多可免费携带行李的公斤数。

行李票费用（元）行李重量（公斤）练一练:1.某校办工厂现年产值是30万元，如果每增加1000元投资，一年可增加2500元产值。

那么总产值y（万元）与增加的投资额x（万元）之间的函数关系式为。

电话所需付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系式的图象。

当t ≥2时，该图象的解析式为；从图象中可知，通话2分钟需付电话费元；通话7分钟需付电话费元；二、探究活动(一)师生探究·解决问题例1：为了节约用水，某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过8m3时,每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费; 超过8m3时, 超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费.设一户每月用水量为xm3,应缴水费y元.(1)给出y关于x的函数关系式(2)画出上述函数函数图象(3)该市一户某月用水量为5 m3或10 m3时,求应缴水费(4)该市一户某月缴水费26.6元,求该户这月用水量(二)独立思考·巩固升华1. 小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用15分钟返回家里。

一次函数是初中数学的重要内容之一，而分段函数则是其中一种特殊的函数形式。

分段函数是指在一个定义域内，函数表达式在不同区间内不同的情况。

下面是一个初中一次函数分段函数的典例题：
题目：已知一次函数y = kx + b 的图像与x 轴交于点A（2，0），与y 轴交于点B（0，4），且当x ＞2时，y 的取值范围为1≤y≤9。

（1）求一次函数表达式；
（2）在x 轴上求点P，使△ABP 是等腰三角形，写出点P 的坐标；
（3）在坐标平面内，是否存在点C，使△ABC的面积为8？如果存在，求出点 C 的坐标；如果不存在，请说明理由。

解：（1）由题意可知，一次函数表达式为y = kx + b。

将点A（2，0）和点B（0，4）代入表达式中，可得：
0 = 2k + b
4 = b
解得：k = -2，b = 4
因此，一次函数表达式为y = -2x + 4。

（2）根据题目要求，要在x 轴上求出点P，使△ABP 是等腰三角形。

①若点P 在点 A 的右侧，则线段AP 为腰。

当△ABP 是等腰三角形时，点P 的坐标为（2 + ，0）。

②若点P 在点 B 的左侧，则线段BP 为腰。

当△ABP 是等腰三角形时，点P 的坐标为（0 -，4）。

③若点P 在点A、B 之间，则线段AB 为底。

当△ABP 是等腰三角形时，点P 的坐标为（2 -，0）或（2 + ，0）。

综上所述，满足条件的点P 的坐标为（2 + ，0）或（0 -，4）或（2 -，0）或（2 + ，0）。

（3）在坐标平面内存在点C，使△ABC的面积为8。

此时，C点的坐标为（6，-4）或（-2，8）。

八年级主备人：孙金莲集体备课时间： 5.8个人授课时间：序号：sx14课题：一次函数———分段函数学生姓名：学案序号：一目标导学，引入新课亲爱的同学，通过本节课的学习，相信你一定可以达成下列目标：（1）能利用一次函数的性质和图像解决简单的数学问题，发展学生的数学应用意识。

（2）根据题目条件确定分段函数关系式，解决实际问题．（3）能把实际问题抽象成数学问题，运用数学知识于实际问题中。

二自主学习，合作交流通过自主学习教材P94~95的内容，尝试完成下列思考，培养你的自主学习能力：１．“黄金1号”玉米种子的价格为5元/㎏，如果一次购买2㎏以上的种子，超过2㎏部分的种子价格打8折。

（1）填表：２．从A地向B 地打长途电话，通话时间不超过3min收费2元，超过3min后每分钟加收1元。

写出通话费用y（单位：元）关于通话时间x（单位：min）的函数关系式。

有10元时，打一次电话最多可以通话多长时间？（通话时间取整数，不足1min的通话时间按1min 计算）３．小组交流上面学习过程中的收获。

三．疑难点拔，因势利导下面学习材料，将由教师与你一起完成，并要求由此形成规范的过程书写和优化的思考方法。

甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间，两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元的价格部分打7折。

（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y 关于x 的函数关系式；（2）在同一坐标系中画出（1）中函数图像（3）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？四．练习检测，自我反思通过下面独立练习，你将可以自查本次课学习目标的达成水平，并由此作好后续学习调整。

１ 教材P95练习 2（直接写在教材空白处）２ 某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准。

居民每月应交水费y （元）是用水量x （吨）的函数，其图象如图所示：（1） 分别写出50≤<x 和5>x 时，y 与x 的函数解析式； （2） 若某用户居民该月用水3.5吨，问应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？五．拓展延伸，个性发展如果上面学习内容，你已经非常熟悉，请尝试完成下列计算：某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元／克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元／克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．⑴ 分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y （元）和重量x （克）之间的函数关系式；⑵ 李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？补充作业（《新观察》P95-96）六．学后反思，自我小结：。

分段函数1、二段型分段函数1、1正比例函数与一次函数构成得分段函数解答这类分段函数问题得关键,就就是分别确定好正比例函数得解析式与一次函数得解析式。

例1某家庭装修房屋,由甲、乙两个装修公司合作完成,选由甲装修公司单独装修3天,剩下得工作由甲、乙两个装修公司合作完成.工程进度满足如图1所示得函数关系,该家庭共支付工资8000元.(1)完成此房屋装修共需多少天？(2)若按完成工作量得多少支付工资,甲装修公司应得多少元？例2、一名考生步行前往考场, 10分钟走了总路程得,估计步行不能准时到达,于就是她改乘出租车赶往考场,她得行程与时间关系如图2所示(假定总路程为1),则她到达考场所花得时间比一直步行提前了( )A.20分钟Ｂ.22分钟Ｃ.24分钟 D.26分钟例3、某公司专销产品A,第一批产品A上市40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后得市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中图(3)中得折线表示得就是市场日销售量与上市时间得关系;图(4)中得折线表示得就是每件产品A得销售利润与上市时间得关系.(1)试写出第一批产品A得市场日销售量y与上市时间t得关系式;(2)第一批产品A上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润就是多少万元？1、2一次函数与一次函数构成得分段函数例4、为了鼓励小强做家务,小强每月得费用都就是根据上月她得家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取得.若设小强每月得家务劳动时间为x小时,该月可得(即下月她可获得)得总费用为y元,则y(元)与x(小时)之间得函数图像如图5所示.(1)根据图像,请您写出小强每月得基本生活费;父母就是如何奖励小强家务劳动得？(2)若小强5月份希望有250元费用,则小强4月份需做家务多少时间？1、3常数函数与一次函数构成得分段函数例5、有甲、乙两家通迅公司,甲公司每月通话得收费标准如图6所示;乙公司每月通话收费标准如表1所示.(1)观察图6,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额就是元;甲公司用户通话100分钟以后,每分钟得通话费为元;(2)李女士买了一部手机,如果她得月通话时间不超过100分钟,她选择哪家通迅公司更合算？如果她得月通话时间超过100分钟,又将如何选择？2、三段型分段函数例6 如图7,矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,M就是CD得中点,点P在矩形得边上沿A→B →C→M运动,则△APM得面积y与点P经过得路程x之间得函数关系用图象表示大致就是下图中得( )3、四段型分段函数例7、星期天,小强骑自行车到郊外与同学一起游玩,从家出发2小时到达目得地,游玩3小时后按原路以原速返回,小强离家4小时40分钟后,妈妈驾车沿相同路线迎接小强,如图11,就是她们离家得路程y(千米)与时间x(时)得函数图像。

一次函数中的分段函数
在函数自变量不同的取值范围内所对应的函数关系也不相同，我
们这样的函数称为分段函数。

学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点：⑴要特别注意相应的自变量变化区间。

在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。

⑵分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线。

其中每条线段（射线）代表某一个阶段的
情况。

⑶分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行
认识和理解。

尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义。

一、分段计费问题
例 1.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收
费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（b＞a）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示．。