第四章 等效电路模型参数在线辨识
通过第三章函数拟合的方法可以确定钒电池等效电路模型中的参数，但是在实际运行过程中模型参数随着工作环境温度、充放电循环次数、SOC 等因素发生变化，根据离线试验数据计算得到的参数值估算电池SOC 可能会造成较大的估计误差。因此，在实际运行时，应对钒电池等效电路模型参数进行在线辨识，做出实时修正，提高基于模型估算SOC 的精度。
4.1 基于遗忘因子的最小二乘算法
参数辨识是根据被测系统的输入输出来，通过一定的算法，获得让模型输出值尽量接近系统实际输出值的模型参数估计值。根据能否实时辨识系统的模型参数，可以将常用的参数辨识方法分为离线和在线两类，离线辨识只能在数据采集完成后进行，不能对系统模型实时地在线调整参数，对于具有非线性特性的电池系统往往不能得到满意的辨识结果；在线辨识方法一般能够根据实时采集到的数据对系统模型进行辨识，在线调整系统模型参数。常用的辨识方法有最小二乘法、极大似然估计法和Kalman 滤波法等。因最小二乘法原理简明、收敛较快、容易理解和掌握、方便编程实现等特点，在进行电池模型参数辨识时采用了效果较好的含遗忘因子的递推最小二乘法。 4.1.1 批处理最小二乘法简介
假设被辨识的系统模型：
12121212()()()1n n n n b z b z b z y z G z u z a z a z a z
------+++==++++L L
（4-1） 其相应的差分方程为：
1
1
()()()n
n
i i i i y k a y k i b u k i ===--+-∑∑（4-2）
若考虑被辨识系统或观测信息中含有噪声，则被辨识模型式（4-2）可改写为：
1
1
()()()()n
n
i i i i z k a y k i b u k i v k ===--+-+∑∑（4-3）
式中，
()z k 为系统输出量的第k 次观测值；()y k 为系统输出量的第k 次真值，()y k i -为系统输出量的第k i -次真值；()u k 为系统的第k 个输入值，()u k i -为
系统的第k i -个输入值；()v k 为均值为0的随机噪声。
令：
1212()[(1),(2),,(),(1),(2),,(3)]
[,,,,,]
T
n n k y k y k y k n u k u k u k a a a b b b =-------=h θL L L L （4-4）
则式（4-3）可变换为：
()()()z k k v k =+h θ（4-5）
式中，θ为待估参数。 令1,2,k m =L ，则有
(1)(1)(0)(1)
(0)(1)(2)(2)(1)(2)(1)(2),()()(1)()(1)()m m z h y y n u u n z h y y n u u n z m h m y m y m n u m u m n ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢
⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦
Z H L L L L M M M M M M M M L L 1212[,,,,,],[(1),(2),,()]T T n n m a a a b b b v v v m ==θV L L L
于是，式（4-5）的矩阵形式为
m m m =+Z H θV （4-6）
最小二乘法的思想就是寻找一个θ的估计值ˆθ
，使得各次测量的(1,2,,)i Z i m =L 与由估计ˆθ确定的测量估计ˆˆi i Z =H θ之差的平方和最小，即 ˆˆˆ()()()min T m m m m J θ=--=Z H θZ H θ（4-7）
使()min J θ=的θ估计值记作ˆθ
，称作参数θ的最小二乘估计，其值为 1ˆ()T T m m m m
-=θH H H Z （4-8） 最小二乘估计虽然不能满足式（4-6）中的每个方程，使每个方程都有偏差，但是它使所有方程偏差的平方和达到最小，兼顾了所有方程的近似程度，使整体误差达到最小，有利于抑制测量误差。 4.1.2 递推最小二乘法简介
前面给出的批处理最小二乘法是拟合工具箱进行数据拟合遵循的基本原理，
可以进行简单的离线辨识。若每次处理的数据量较大，应用批处理最小二乘法时，不仅占用内存大，而且不能用于参数在线实时估计。而电池系统是强非线性系统，其参数受工作状态影响较大，需要利用输入输出数据在线估计模型参数。为了减少计算量，减少数据在计算机中所占的内存，更为了能够实时地辨识出电池系统的特性，在用最小二乘法进行参数估计时，把它转化成参数递推的估计。
所谓参数递推估计算法就是当辨识系统在运行时，每获得一次新的观测数据后，就是在上次估计结果的基础上，利用新引入的观测数据对上次估计的结果，
根据递推参数进行修正，从而递推地得到新的参数估计值。因此，递推最小二乘算法 (Recursive Least Squares ，RLS)能够随着新的观测数据的逐次引入，一次接着一次进行参数估计，直到参数估计值达到满意的精确程度，其基本思想可以概括为：
新的估计值ˆ()k θ
=旧的估计值ˆ(1)k θ-+修正项（4-9） 即新的估计值ˆ()k θ
是在旧的估计值ˆ(1)k θ-的基础上，利用新的观测数据对旧的估计值进行修正而得的。其具体实现如下：
1
ˆˆˆ()(1)()[()()(1)]()(1)()[()(1)()1]()(1)()()[()(1)()1]
T T T T k k k z k k k k k k k k k k k k k k k k -=-+--=--+=---+θ
θK h θK P h h P h P P K K h P h （4-10）
式中，k 时刻的参数估计值ˆ()k θ
等于1k -时刻的参数估计值ˆ(1)k -θ加上修正项，修正想正比于新息ˆ()()()(1)T z
k z k k k =--h θ%，其增益为()k K ，()k P 为数据协方差阵，是对称的正定阵。
要启动算法，必须为算法提供初始的ˆ()k θ
和()k P 的初始值。一般任意假设ˆ(0)θ
，而令(0)α=P I ，这里α为很大的正实数，I 为相应维数的单位阵。 递推最小二乘法具有简单实用、收敛可靠，且不需要验前统计知识等优点，并且当测量误差为白噪声时，递推最小二乘估计是无偏的、一致的和有效的，但它也存在以下缺点：
1.当模型噪声为有色噪声时，递推最小二乘估计不是无偏的、一致的和有效的估计；
2.递推算法随着数据的增长，会出现“数据饱和”现象。即随着数据的增长，增益矩阵()k K 将逐渐趋于零，以致递推算法失去修正能力，偏离真值。 为了克服“数据饱和”现象，采用降低旧数据影响的办法来修正该算法。针对电池系统的时变特性，在辨识算法中必须充分利用新数据所包含的信息，尽可能降低旧数据的影响，获得跟踪参数变化的实时估计。 4.1.3 遗忘因子递推最小二乘法简介
遗忘因子法就是为克服“数据饱和”现象和解决时变问题而提出的一种递推辨识方法，其基本思想是对旧数据加遗忘因子，降低旧数据信息在矩阵()k P 中的占有量，增加新数据信息的含量。具体实现公式如下：
1ˆˆˆ()(1)()[()()(1)]()(1)()[()(1)()]1
()[()()](1),01
T T T k k k z k k k k k k k k k k k k k μμμ
-=-+--=--+=
--<≤θ
θK h θK P h h P h P I K h P （4-11）
