6.3实数

人教版数学七年级下册教案6.3《实数》一. 教材分析《实数》是人教版数学七年级下册的一章内容，主要介绍了实数的概念、性质和运算。

本章内容包括有理数、无理数和实数的分类，以及实数的运算规则。

通过本章的学习，学生能够理解实数的概念，掌握实数的性质和运算规则，为后续的数学学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经学习了有理数的概念和运算规则，对数学运算有一定的基础。

但是，学生可能对无理数的概念和性质较为陌生，需要通过实例和讲解来加深理解。

此外，学生可能对实数的分类和运算规则有一定的困惑，需要通过具体的例题和练习来进行巩固。

三. 教学目标1.了解实数的概念和性质，能够对实数进行分类。

2.掌握实数的运算规则，能够进行实数的加减乘除运算。

3.能够运用实数的概念和运算规则解决实际问题。

四. 教学重难点1.实数的分类：有理数、无理数和实数的区别和联系。

2.实数的运算规则：实数的加减乘除运算规则。

五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过提问和举例引导学生思考和探索实数的概念和性质，通过具体的例题和练习来讲解和巩固实数的运算规则。

六. 教学准备1.PPT课件：实数的概念、性质和运算规则的讲解和例题。

2.练习题：针对实数的分类和运算的练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数的概念和运算规则，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）讲解实数的概念和性质，通过具体的例子来阐述实数的分类，如有理数、无理数和实数的区别和联系。

3.操练（20分钟）讲解实数的运算规则，通过具体的例题来演示和解释实数的加减乘除运算，引导学生进行思考和提问。

4.巩固（10分钟）学生进行实数的分类和运算的练习，教师进行个别指导和讲解，确保学生能够掌握实数的分类和运算规则。

5.拓展（10分钟）通过实际问题引导学生运用实数的概念和运算规则进行解决问题，培养学生的应用能力和创新思维。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结和回顾，强调实数的概念、性质和运算规则的重点和难点。

人教版数学七年级下册教学设计6.3《实数》一. 教材分析人教版数学七年级下册第6.3节《实数》是学生在学习了有理数和无理数的基础上，进一步对实数进行系统认识的一节内容。

本节内容主要包括实数的定义、实数与数轴的关系以及实数的分类。

通过本节课的学习，使学生了解实数的丰富性和广泛性，培养学生对实数的认识和理解。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数和无理数的基本概念，对数轴也有了一定的认识。

但学生在实数的分类方面可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，让学生充分理解实数的内涵和外延。

三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数与数轴的关系。

2.能够对实数进行分类，了解实数的丰富性和广泛性。

3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.实数的定义和实数与数轴的关系。

2.实数的分类和各类实数的特征。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣；通过案例分析，使学生直观地理解实数的概念；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和表达能力。

六. 教学准备1.准备与实数相关的案例和图片，以便在教学中进行展示和分析。

2.准备实数的分类表格，方便学生理解和记忆。

3.准备数轴的道具或图片，帮助学生直观地理解实数与数轴的关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数和无理数的概念，为新课的学习做好铺垫。

例如：“同学们，我们已经学习了有理数和无理数，那么你们能总结一下有理数和无理数的特征吗？”2.呈现（10分钟）教师通过PPT或板书，呈现实数的定义和实数与数轴的关系。

同时，结合案例和图片，使学生直观地理解实数的概念。

例如：“同学们，今天我们要学习的是实数。

实数包括有理数和无理数，它们都可以用数轴上的点来表示。

请大家观察这个数轴，找出一些特殊的点，并试着解释它们的含义。

”3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据实数的定义和实数与数轴的关系，对给定的实数进行分类。

人教版数学七年级下册6.3《实数》教学设计1一. 教材分析人教版数学七年级下册6.3《实数》是学生在掌握了有理数和无理数的概念之后，进一步对实数进行系统学习的开始。

本节内容主要包括实数的定义、实数与数轴的关系、实数的运算等。

通过本节课的学习，使学生对实数有一个清晰的认识，为后续的代数学习和解决实际问题打下基础。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了有理数和无理数的概念，对数轴也有了一定的了解。

但实数作为介于有理数和无理数之间的一个整体，其定义和性质还需要进一步引导和探究。

此外，实数与数轴的关系以及实数的运算对学生来说也是一个新的挑战。

三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数与数轴的关系。

2.掌握实数的运算规则，能进行实数的基本运算。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.实数的定义和性质。

2.实数与数轴的关系。

3.实数的运算规则。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题引导学生思考，通过案例让学生理解实数的定义和性质，通过小组合作学习法让学生在讨论中掌握实数与数轴的关系和实数的运算规则。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.数轴教具。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习有理数和无理数的概念，引导学生思考实数的定义。

同时，提出问题：“实数与数轴有什么关系？”激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT课件呈现实数的定义和性质，实数与数轴的关系，实数的运算规则。

结合案例，让学生直观地理解实数的内涵。

3.操练（10分钟）让学生在小组内进行实数的运算练习，如加、减、乘、除等。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（5分钟）选取一些典型练习题，让学生独立完成，检验对实数知识的掌握程度。

教师及时点评，指出错误并讲解。

5.拓展（5分钟）引导学生思考实数在实际生活中的应用，如面积、体积计算等。

让学生举例说明，培养解决实际问题的能力。

6.3实数1.理解实数的概念和分类.2.理解实数的相反数、绝对值以及与数轴的关系.3.初步理解实数的运算法则.借助于有理数知识的学习,尝试对实数进行分类,体验科学分类的标准.增强学生应用数学的意识,提高学生应用数学的能力.【重点】1.实数的概念分类.2.通过类比理解实数的相反数和绝对值.3.理解有理数的运算律继续适用于实数.【难点】无理数和数轴上的点一一对应.第课时1.理解无理数和实数的概念.2.能够对实数按照一定标准进行分类.在按不同标准给实数分类的过程中,培养学生的分类能力.增强学生应用数学的意识,提高学生应用数学的能力.【重点】 正确理解实数的概念. 【难点】 实数的分类.【教师准备】 实数的分类图示和教材图6.3-1,图6.3-2的投影图片 【学生准备】 复习平方根、立方根的相关知识.导入一:复习有理数分类的知识: (1)有理数是怎样的小数?(2)按照正负的标准怎么划分有理数? (3)有理数还可以怎样进行分类?[设计意图] 有理数的分类标准对于实数的分类有重要的借鉴意义,从小数的角度认识有理数,便于和无理数进行分类对比.导入二:我们知道,有理数包括整数和分数,其中整数可以看成是分母为1的分数,也就是说所有的分数都可以化成有限小数、循环小数的形式.除此之外,我们还知道有另外一种小数,这就是无限不循环小数.这样一种新的小数就呈现在我们面前,我们怎样称呼它们呢?[设计意图] 从小数的角度对比有限小数或无限循环小数与无限不循环小数之间的区别,为引入无理数的概念做准备.1.无理数.探究使用计算器计算,把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现? 3,-35,478,911,1190,59.发现:上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,即:3=3.0,-35=-0.6,478=5.875,911=0.8·1·,1190=0.12·,59=0.5·.归纳:任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.观察:很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数.下列说法正确的是 ( )A.无限小数就是无理数B.带根号的数都是无理数C.不能除尽的分数都是无理数D.无限不循环小数都是无理数〔解析〕 本题主要考查无理数的概念.A 不正确,如0.1·是无限小数,但0.1·是有理数;B 不正确,如√9带根号,但它是有理数;C 不正确,如13除不尽,但13是有理数.故选D .[知识拓展] (1)有理数是指有限小数和无限循环小数,而无理数包括:①开方开不尽的数,例如√2,√3等;②含有π的数,例如π,π2,π3等;③有特殊特征或有一定规律的无限小数,例如:0.101001000100001000001……(每两个相邻的1中间依次多1个0)等;④无限不循环小数.(2)无理数都是无限小数,但无限小数不都是无理数,无限循环小数是有理数. 2.实数及其分类. 思路一 出示问题: (1)什么是实数?(2)有理数有哪两种分类方法?(3)参照有理数的分类方法,怎样对无理数进行分类? (4)你能综合一下有理数和无理数的分类吗?[设计意图] 第(1)问是让学生自我概括实数的定义;第(2)问是为学生进行实数分类做准备,为学生进行实数分类提供方法指导;第(3)(4)问是引导学生尝试不同方法对实数进行分类.问题处理:(1)找学生回答问题,并让学生举例说明.(2)学生讨论后老师总结.有理数有两种分类方法,一是根据定义划分,即划分为有限小数和无限循环小数;二是根据正负划分为正有理数、0、负有理数.(3)鼓励学生尝试对无理数进行分类,仍然提示学生从定义和正负的标准进行分类.从定义角度,无理数是无限不循环小数;从正负的角度分为正无理数和负无理数.学生在参照有理数对无理数分类的时候,容易错分为正无理数、负无理数和0,纠正学生这种错误的分类方法,并让学生对这个错误进行讨论.(4)仍然是从学生对有理数和无理数的划分经验出发,鼓励学生按照定义和正负的标准对实数进行分类. 思路二(1)实数的概念:有理数和无理数统称实数. (2)实数的分类: ①按定义分:实数{有理数:有限小数或无限循环小数无理数:无限不循环小数②按实数的符号性质分: 实数{正实数{正有理数正无理数0负实数{负有理数负无理数追问:按照定义划分和按照符号性质划分,两种方式的优缺点是什么? [知识拓展] (1)一个数要么是有理数,要么是无理数,不存在交叉的情况.(2)实数的分类标准不是唯一的,不论哪种分类方法,都要把实数作为一个整体,做到不重不漏.把下列各数填入相应的集合内.π,16,5.2,49,0.8080080008…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1),14,√3,√643,-52,√49,√163,π6. 整数集合{ …}; 负分数集合{ …}; 正数集合{ …}; 负数集合{ …}; 有理数集合{ …}; 无理数集合{…}.处理方式:学生交流讨论完成,老师提醒学生要注意避免遗漏的现象,并肯定学生给出的正确答案.实数{有理数{整数分数}有限小数或无限循环小数无理数→无限不循环小数1.下列实数中是无理数的为 ( ) A.3.14B.13C.√3D.√9解析:根据无理数的概念,无理数是无限不循环小数,其中有开方开不尽的数即可判定选择项.A,B,D 中3.14,13,√9=3是有理数,C 中√3是无理数.故选C .2.下列说法错误的是 ( ) A.实数可以分为有理数和无理数 B.实数可以分为正实数、零、负实数 C.无理数都是无限不循环小数 D.无理数都是带根号的数解析:根据无理数、实数的定义即可对各选项进行判定.A .实数可以分为有理数和无理数是正确的,不符合题意;B .实数可以分为正实数、零、负实数是正确的,不符合题意;C .是正确的,不符合题意;D .π是无理数,不带根号,故无理数都是带根号的数的说法错误,符合题意.故选D .3.下列说法错误的是 ( ) A.√16的平方根是±2 B.√2是无理数 C.√-273是有理数 D.√22是分数解析:A .√16的平方根是±2,故选项说法正确;B .√2是无理数,故选项说法正确;C .√-273=-3是有理数,故选项说法正确;D .√22不是分数,它是无理数,故选项说法错误.故选D .4.请在横线上任意写出一个无理数,使得下面的不等式成立:-3< <-2(只需写一个). 解析:答案不唯一,如因为4<5<9,所以2<√5<3,所以-3<-√5<-2.故可填-√5.第1课时1.无理数 例12.实数及其分类例2一、教材作业【必做题】教材第57页习题6.3第1题.【选做题】教材第57页习题6.3第2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是()A.不存在最小的实数B.有理数是有限小数C.无限小数都是无理数D.带根号的数都是无理数,0.74,π中,无理数有()2.在实数0,√2,-13A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知a为实数,则下列四个数中一定为非负实数的是 ()A.aB.-aC.a2D.-|-a|4.已知数0.101001000100001…,它的特点是:从左向右看,相邻的两个1之间依次多一个0,这个数是有理数还是无理数?为什么?5.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根及立方根中,哪些是有理数?哪些是无理数?【能力提升】6.下列说法正确的是()A.a一定是正数是有理数B.20113C.2√2是有理数D.平方等于自身的数只有17.在-7.5,√15,4,√83,-π,0.1·5·,23中,无理数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.请你任意写出三个无理数: .9.面积为1π的圆,它的半径长是有理数还是无理数?为什么? 10.把下列各数分别填在相应的集合中. -1112,√23,-√4,0,-√0.4,√83,π4,0.2·3·,3.14.【拓展探究】11.把下列各数写入相应的集合中.-2,0,10%,π,-13,√16,-√253,3.14,0.2·3·,0.1010010001,-√3,0.212112…(两个2之间依次增加一个1). (1)整数集合:{…};(2)有理数集合:{…}; (3)无理数集合:{…}.12.在旧房改造工程中,小明家分到一套新居室,他想用100块正方形地砖铺满30 m 2的客厅.请你想一想正方形地砖的边长是否为有理数,请你与同伴交流,并估计正方形地砖的边长(精确到0.1 cm). 【答案与解析】1.A(解析:根据实数中的有关概念可知:A .不存在最小的实数,故选项正确;B .有理数不仅包括有限小数,还有无限循环小数,故选项错误;C .无限不循环小数才是无理数,故选项错误;D .带根号且开方开不尽的数才是无理数,故选项错误.故选A .)2.B(解析:无理数就是无限不循环小数.初中范围内学习的无理数有π,2π等、开方开不尽的数以及像0.1010010001…等有这样规律的数.由此即可判定选择项.在实数0,√2,-13,0.74,π中无理数有√2,π,共2个.故选B .) 3.C4.解:这个数是无理数,因为这个数是无限不循环小数,属于无理数.5.解:平方根是无理数的有2,3,5,6,7,8,10,是有理数的有1,4,9.立方根是无理数的有2,3,4,5,6,7,9,10,是有理数的有1,8.6.B(解析:A .a 可以代表任何数,故A 不一定是正数,故A 错误;B .20113属于分数,分数是有理数,故B 正确;C .√2是无理数,故2√2也是无理数,故C 错误;D .0的平方也等于自身,故D 错误.故选B .) 7.B(解析:无理数就是无限不循环小数.可以判定无理数有√15,-π,共2个,故选B .) 8.答案不唯一,如√3,√53,π等9.解:无理数.理由如下:由题意得πr 2=1π,解得r 2=1π2.因为r 大于0,所以r =1π,故面积为1π的圆半径长是无理数. 10.解:有理数集合:-1112,-√4,0,√83,0.2·3·,3.14;无理数集合:√23,-√0.4,π4.11.(1)-2,0,√16 (2)-2,0,√16,10%,-13,3.14,0.2·3·,0.1010010001 (3)π,-√253,-√3,0.212112(两个2之间依次增加一个1)12.解:设地砖边长为a cm,30 m 2=300000 cm 2,100a 2=300000,所以a 2=3000,因为542=2916,552=3025,分数的平方是分数,所以a 不是有理数,a ≈54.8.本课时的学习理念是通过类比有理数学习进行的,在给出无理数的定义和对实数进行分类的过程中都注意了方法的类比,降低了学习的难度,提升了学生的学习兴趣,深化了学生对类比思想的认识.受知识内容的影响,本课时的教学过渡环节略有欠缺,存在突然提出问题和交代知识的现象.例题设置的容量比较大,容易淡化学生学习的重点.加强导入环节的设计,使整个课堂活动融为一体;缩减两个例题的容量,突出重点知识的巩固和训练;在实数分类的过程中,对分类的方法和注意给予必要的提示.把下列各数分别填入相应的集合内.(-25)2,π,0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0),√(-7)2,-√15,-|-3|,√-93,√10,-√121,0.3·1·, √23.(1)有理数集合:{…}; (2)无理数集合:{…}; (3)正实数集合:{…}; (4)负实数集合:{…}.〔解析〕 本题考查实数的概念.由定义先找出无理数,填入无理数集合,其余是有理数,再按正、负分类,填入相应的集合,注意0既不是正数,也不是负数.解:(1)有理数集合:(-25)2,√(-7)2,-|-3|,-√121,0.3·1·,….(2)无理数集合:π,0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0),-√15,√-93,√10, √23,….(3)正实数集合:(-25)2,π,0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0),√(-7)2,√10,0.3·1·, √23….(4)负实数集合:-√15,-|-3|,√-93,-√121,….第课时1.知道实数与数轴上的点一一对应.2.学会比较两个实数的大小.3.了解实数范围内相反数和绝对值的意义.了解实数的绝对值、相反数等概念.知道实数和数轴上的点一一对应,进一步掌握数形结合的思想方法.体会数形结合思想,进一步增强学生应用数学的意识.【重点】1.实数与数轴上点的一一对应关系.2.实数的相反数与绝对值的意义.【难点】实数与数轴上点的一一对应关系.【教师准备】教材图6.3-1,图6.3-2的投影图片.【学生准备】复习数轴、相反数、绝对值的概念.导入一:我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点是否都表示有理数呢?无理数可以用数轴上的点来表示吗?[设计意图]通过设问开门见山地直接进入课时学习,便于迅速集中学生的注意力.导入二:以前我们学习有理数时,知道所有的有理数都可以在数轴上找到表示它的点,但数轴上的点并不都表示有理数.如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O',点O'对应的数是多少?[设计意图]通过数形结合的演示,帮助学生感知数轴上的点存在着与实数的对应关系.1.实数与数轴.(1)感知数轴表示无理数.师:刚才的圆从数轴原点滚动一周到达点O',滚动的距离是多少呢?生:3.14(部分同学会说到π).师:非常准确地说,这个距离是3.14吗?生:应该是π.师:既然原点到点O'的距离是π,那么在数轴上点O'表示的数是什么,这个数是有理数还是无理数?生:表示π,是无理数.师:刚才的问题说明,数轴上的点可以表示π这个有理数,那么数轴上的点还能表示其他的无理数吗?生:(不同说法)师:我们还是按照刚才的办法,借助图形说话吧.(2)数轴与实数一一对应.如图所示,正方形OCAD是边长为1个单位长度的正方形,等我们学习了勾股定理后,会知道它的对角线OA长为√2,以O为圆心,OA长为半径画弧交数轴于A',A″,则A'表示的数即为√2,A″表示的数即为-√2.总结:数轴上还有许许多多这样表示无理数的点,所以数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,因此可以说数轴上任何一点所表示的数都是一个实数;反过来,任何一个实数在数轴上都能找到表示它的点.所以说实数和数轴上的点一一对应.下列说法中正确的有()①每个实数都可以用数轴上的一个点来表示;②在数轴上表示不相等的两个实数的点也不相同;③数轴上的每个点都表示一个有理数;④数轴上的每个点都表示一个实数,且不同的点所表示的实数也不相等;⑤有理数与数轴上的点一一对应;⑥每个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.A.2个B.3个C.4个D.5个〔解析〕数轴上的每个点均与一个实数相对应,故①②④⑥均正确.有理数均可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点除了表示有理数外,还表示无理数,故③⑤是错的.故选C.2.实数的大小和有关概念.问题:(1)利用数轴,我们怎样比较两个有理数的大小?这种比较方法对实数也适用吗?总结:在数轴上表示的数,右边的数总比左边的大.这个结论在实数范围内也成立.(2)怎样表示一个实数的相反数和绝对值?总结:数a 的相反数是-a ,这里a 表示任意一个实数.一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即设a 表示一个实数,则有|a |={a,当a >0时;0,当a =0时;-a,当a <0时.(3)我们还有什么方法可以比较两个实数的大小呢?两个正实数,绝对值较大的值也较大;两个负实数,绝对值大的值反而小;正数大于零,负数小于零,正数大于负数.(教材例1)(1)分别写出-√6,π-3.14的相反数;(2)指出-√5,1-√33分别是什么数的相反数; (3)求√-643的绝对值;(4)已知一个数的绝对值的√3,求这个数.〔解析〕 数a 的相反数是-a ,也就是说两个数是相反数是互相的.绝对值要注意实数的非负性,对于含义字母的绝对值必须进行说明或讨论.一个数和它的相反数的绝对值是相等的.解:(1)因为-(-√6)=√6, -(π-3.14)=3.14-π,所以-√6,π-3.14的相反数分别是√6,3.14-π. (2)因为-(-√5)=√5,-(1−√33)=√33-1, 所以-√5,1-√33分别是√5,√33-1的相反数. (3)因为√-643=-√643=-4, 所以|√-643|=|-4|=4. (4)因为|√3|=√3,|-√3|=√3, 所以绝对值为√3的数为√3和-√3.[知识拓展] 对于某些带根号的无理数,我们可以通过以下方法比较:①比较平方的大小;②比较被开方数的大小;③直接用计算器估计数的大小,进行比较.1.实数和数轴上的点是一一对应的.2.有理数大小比较的方法同样适用于实数.3.数a 的相反数是-a ;|a |={a(a >0),正实数的绝对值等于它本身,0(a =0),0的绝对值是0,-a(a <0),负实数的绝对值等于它的相反数.1.和数轴上的点一一对应的数是 ( ) A.整数B.有理数C.无理数D.实数解析:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.故选D . 2.-√5的相反数是 ( ) A.√5 B.-√5 C.-√55D.√55解析:实数相反数的意义与有理数相反数的意义相同,在一个数前面加上“-”,就是该数的相反数,由此即可求解.根据相反数的定义得-√5的相反数是-(-√5)=√5.故选A .3.√3-2的相反数是 ,√3-2的绝对值是 .解析:√3-2的相反数是-(√3-2),即2-√3.√3-2的绝对值是|√3-2|=2-√3. 答案:2-√3 2-√34.求下列各数的相反数、倒数和绝对值. (1)√13; (2) √-8273.解:(1)√13的相反数是-√13,倒数是√13,√13. (2) √-8273=-23,所以 √-8273的相反数是23,倒数是-32,绝对值是23.第2课时1.实数与数轴 例12.实数的大小和有关概念 比较大小 相反数 绝对值 例2一、教材作业【必做题】教材第57页习题6.3第3题.【选做题】教材第57页习题6.3第6题.二、课后作业【基础巩固】1.下列语句不正确的是()A.有理数可以用数轴上的点表示B.数轴上的点表示有理数C.无理数可以用数轴上的点表示D.实数与数轴上的点是一一对应2.下列命题中,正确的是()A.相反数等于本身的数只有0,1B.倒数等于本身的数只有1C.平方等于本身的数有+1,0,-1D.绝对值等于本身的数只有0和正数3.在数轴上表示-√6的点到原点的距离为.4.如图,A是硬币圆周上一点.假设硬币的直径为1个单位长度,若将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点A'重合,则点A'对应的实数是.5.写出下列各数的相反数和绝对值.(1)√2-1.41;(2)2-√5.【能力提升】6.下列各组数中互为相反数的是 ()A.-2和√(-2)23B.-2和√-8C.-2和-√22D.|-√2|和√27.如图,数轴上的点P表示的数可能是 ()A.√5B.-√5C.-3.8D.-√108.如图,“以数轴的单位长度为边长作一个正方形,以数轴的原点O为圆心,以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点A”,该图说明数轴上的点并不都表示.9.已知数轴上两点A,B到原点的距离是√2和2,求线段AB的长度.【拓展探究】10.实数a,b在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则化简|a|-|a+b|的结果为 ()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b的值.11.已知x,y互为倒数,c,d互为相反数,a的绝对值为3,z的算术平方根是5,求(c+d)(c-d)+xy+√za【答案与解析】1.B(解析:根据有理数、无理数、实数与数轴上点的关系对各选项分析判断后利用排除法求解.A.有理数可以用数轴上的点表示,故本选项正确;B.数轴上的点既可以表示有理数,也可以表示无理数,故本选项错误;C.无理数可以用数轴上的点表示,故本选项正确;D.实数与数轴上的点是一一对应的,故本选项正确.故选B.)2.D(解析:根据倒数、相反数、平方以及绝对值的意义判断即可得到结果.A.相反数等于本身的数只有0,本选项错误;B.倒数等于本身的数有1和-1,本选项错误;C.平方等于本身的数有0,1,本选项错误;D.绝对值等于本身的数有0和正数,本选项正确,故选D.)3.√6(解析:由于数轴上的点到原点的单位长度数即为它到原点的距离,由此即可解决问题.因为表示-√6的点距离原点有√6个单位长度,所以它到原点的距离为√6.)4.π+1(解析:将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点A'重合,则转过的距离是圆的周长π,因而点A'对应的实数是π+1.)5.解:(1)√2-1.41的相反数为-(√2-1.41)=-√2+1.41,绝对值为|√2-1.41|=√2-1.41.(2)2-√5的相反数为-(2-√5)=-2+√5,绝对值为|2-√5|=-(2-√5)=-2+√5.6.A(解析:根据算术平方根、立方根的性质、绝对值的规律分别化简即可作出判断.A.-2和√(-2)2互为相反数,本选项正确.故本题应选A.)7.B(解析:A,B,C,D根据数轴所表示的数在-2和-3之间,然后结合选项分析即可求解.A.√5为正数,不符合题意,故选项错误;B.因为-√9<-√5<-√4,所以-√5符合题意,故选项正确;C.-3.8在-3的左边,不符合题意,故选项错误;D.-√10<-√9,那么-√10在-3的左边,不符合题意,故选项错误.故选B.)8.有理数(解析:因为四边形OBCD是边长为1的正方形,所以OC=√2,所以OA=OC=√2,因为√2是无理数,所以该图说明数轴上的点并不都表示有理数.)9.解:因为到原点的距离实际表示这个数的绝对值,而A,B到原点的距离是√2和2,所以点A表示的数为√2或-√2,点B表示的数为2或-2.那么AB=2-√2或AB=2-(-√2)=2+√2或AB=√2-(-2)=2+√2或AB=-√2-(-2)=2-√2.综上可知线段AB的长度为2+√2或2-√2.10.C(解析:由题设可知a<0,a+b<0,|a|-|a+b|=-a-[-(a+b)]=-a+a+b=b,故应选C.)11.解:因为x,y互为倒数,所以xy=1,因为c,d互为相反数,所以c+d=0,因为a的绝对值为3,所以a=±3,因为z的算术平方根是5,所以z=25.当a=3时,(c+d)(c-d)+xy+√za =0+1+53=83;当a=-3时,(c+d)(c-d)+xy+√za=0+1-53=-23.体现数形结合思想和类比思想是本课时自始至终贯彻的一个教学理念.在数轴上的点可以表示有理数的问题中,突出的是数形结合思想;在比较实数大小、相反数、绝对值问题上,体现的是类比思想.这两种教学思想的贯彻,使本课时的教学有了准确的定位和方向.处理无理数可以在数轴上表示的问题中,教师的演示和讲解略多,没有给学生更多的动手操作的时间.教材例1可以让学生自己尝试独立去完成,不必老师详细地讲解.在教材“探究”问题的教学中,可以让学生深入思考怎样在数轴上表示含有π的无理数,这样更能加深学生对无理数可以在数轴上表示的认识.处理在数轴上表示√2的时候,可以让学生进一步思考如何表示其他的带有根号的无理数,这样更能深化学生对数轴可以表示所有无理数的认识.1.实数的有关性质.(1)a与b互为相反数⇔a+b=0.(2)a与b互为倒数⇔ab=1.(3)|a|≥0.(4)互为相反数的两个数的绝对值相等,如|√2|=|-√2|.(5)正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.(6)非负数有平方根.(7)任意实数都有一个立方根.2.实数中的非负数的四种形式及性质.(1)形式:①|a|≥0;②a2≥0;③√a≥0(a≥0);④√a中a≥0.(2)性质:①非负数有最小值,为零;②有限个非负数之和仍然是非负数;③若几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.比较下列各对实数的大小.(1)-√10和-3.1; (2)π和3.14;(3)0.16和√0.16; (4)-5和√(-5)2;3.(5)√2和√3〔解析〕本题考查实数大小的比较.按照实数大小的比较法则进行比较,同时个别题也需要一些技巧.解:(1)因为3.12=9.61<10,所以|-√10|>|-3.1|,所以-√10<-3.1.(2)因为π≈3.142,所以π>3.14.(3)因为√0.16=0.4,0.4>0.16,所以√0.16>0.16.(4)因为√(-5)2=√25=5,5>-5,所以√(-5)2>-5.3)6=9,8<9,(5)因为(√2)6=8,(√33.所以√2<√3第课时了解有理数的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立,能熟练地进行简单的实数运算.在实数运算时,根据问题的要求取其近似值,转化为有理数进行计算.在知识的学习过程中,感受事物之间的相互联系.【重点】实数的运算法则.【难点】实数的混合运算.导入一:讨论下列各式错在哪里.1.-32×3÷√9=9×3÷3=9.2.√(1-√2)2=1-√2.3.|√5-√6|=√5-√6.4.当x=±√2时,x 2-2x-2=0.[设计意图]通过寻找算式的错误,感受实数的运算法则和性质与有理数的运算法则和性质的一致性.导入二:实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开方运算,任意一个实数都可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等还同样适用吗?[设计意图]根据学生以往的学习经验直接提出问题,帮助学生迅速建立起知识之间的联系.1.实数运算律.教师出示运算律名称,让学生用字母表示.(1)加法交换律:a+b=b+a.(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).(3)乘法交换律:ab=ba.(4)乘法结合律:(ab)c=a(bc).(5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.问题:(1)写出的字母如果代表实数,运算律还成立吗?(2)分别举例说明你对运算律的理解.(3)分母不为0的条件仍适用实数吗?问题提示:(1)仍然成立;(2)在这里学生所列举的事例要做出限制,要求学生利用无理数进行举例,这样才能加深对实数运算律的理解;(3)分母不为0的条件仍适用于实数.2.例题讲解.(教材例2)计算下列各式的值.(1)(√3+√2)-√2;(2)3√3+2√3.解:(1)(√3+√2)-√2=√3+(√2-√2)(加法结合律)=√3+0=√3.(2)3√3+2√3=(3+2)√3(分配律)=5√3.(教材例3)计算(结果保留小数点后两位).(1)√5+π;(2)√3·√2.解:(1)√5+π≈2.236+3.142≈5.38. (2)√3·√2≈1.732×1.414≈2.45. 总结:在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算.[知识拓展] (1)在实数范围内,开平方运算不能无条件进行,只有正数和0可以开平方,负数不能开平方. (2)在学习实数的运算法则及运算律时,采用了类比思想,类比有理数的运算法则及运算律来学习掌握.实数的运算律(1)加法交换律:a +b =b +a. (2)加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c ). (3)乘法交换律:ab =ba. (4)乘法结合律:(ab )c =a (bc ). (5)乘法分配律:a (b +c )=ab +ac.1.估计√10+1的值是 ( ) A.在2和3之间 B.在3和4之间 C.在4和5之间 D.在5和6之间解析:应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求的无理数的范围.因为32=9,42=16,所以3<√10<4,所以√10+1在4到5之间.故选C .2.若x ,y 为实数,且|x +2|+√y -2=0,则(x y)2015的值为 ( )A.1B.-1C.2D.-2解析:因为|x +2|+√y -2=0,所以x =-2,y =2,所以(x y)2015=(-1)2015=-1.故选B .3.如图是一个简单的数值运算程序,若输入x 的值为√16,则输出的数值是 .输入x取平方根输出解析:√16=4,依题意得到程序为:±√x =±√4=±2.故填±2. 4.计算.(1)|√3-π|-|√2-√3|. (2)√-273+15×√25-√(-2)33.。

人教版七年级数学下册说课稿6.3 第2课时《实数》一. 教材分析人教版七年级数学下册第6.3节《实数》是学生在学习了有理数和无理数的基础上，对实数概念的进一步拓展。

本节课主要介绍了实数的分类，包括有理数、无理数和零。

同时，学生还将学习实数与数轴的关系，以及实数的运算规则。

教材通过丰富的实例和练习，帮助学生理解和掌握实数的概念和性质，培养学生的数学思维能力。

二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经学习了有理数和无理数的基本概念，对数的运算有一定的了解。

但是，对于实数的分类和实数与数轴的关系，可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解实数的分类，掌握实数与数轴的关系，熟练运用实数的运算规则进行计算。

2.过程与方法目标：通过观察实例，学生能够自主探究实数的性质，培养学生的观察能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学与实际生活的紧密联系，培养学生的学习兴趣和合作意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：实数的分类，实数与数轴的关系，实数的运算规则。

2.教学难点：实数的分类，实数与数轴的关系，实数的运算规则的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生主动探究，培养学生的数学思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件，生动展示实数的性质和运算规则，提高学生的学习兴趣。

六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数和无理数的概念，引导学生思考实数的分类，激发学生的学习兴趣。

2.实数的分类：引导学生观察实例，发现实数的分类规律，总结实数的分类。

3.实数与数轴的关系：通过数轴展示实数的位置，引导学生理解实数与数轴的对应关系。

4.实数的运算规则：讲解实数的加减乘除运算规则，并通过练习让学生熟练掌握。

5.巩固练习：设计具有代表性的练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固学习成果。