2018版高考数学一轮复习第五章平面向量课时跟踪检测29理

课时跟踪检测(二十七)[高考基础题型得分练]1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa|≥|a | D ．|－λa |≥|λ|·a 答案：B解析：对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．2．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0B ．BE → C.AD → D ．CF →答案：D解析：由题图知，BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对 答案：C解析：由已知，得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →. 又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．[2017·浙江温州八校检测]设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：B解析：∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线． 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.5．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12b B ．12a －b C ．a ＋12b D ．12a ＋b 答案：D解析：连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，得CD ∥AB ，且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .6．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( ) A.OA →＝13AB →＋23BC →B.OA →＝23AB →＋13BC →C.OA →＝13AB →－23BC →D.OA →＝－23AB →－13BC →答案：D解析：∵OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.7．[2017·辽宁鞍山一中高三模拟]已知平面上A ，B ，C 三点不共线，O 是不同于A ，B ，C 的任意一点，若(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 答案：A解析：(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →⊥(AB →＋AC →)， 所以△ABC 是等腰三角形，故选A.8．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为( )A ．3B ．13 C ．2 D ．12答案：B解析：利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ＝y ＝23，则xy x ＋y ＝13.9．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线．其中所有正确结论的序号为________．答案：④解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．10．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，S ，R ，Q ，P 分别为AP ，SD ，RC ，QB 的中点，若AP →＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________.答案：65解析：连接AQ ，AR ，AC ， 由题意可知，AP →＝12(AB →＋AQ →)，AQ →＝12(AR →＋AC →)，AR →＝12(AD →＋AS →)， AS →＝12AP →，由上述几个等式转化可得，AP →＝AB →2＋AC →4＋AD →8＋AP →16，又AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝a ＋b ， 所以1516AP →＝a 2＋a ＋b 4＋b 8＝34a ＋38b ，即AP →＝45a ＋25b ，从而m ＝45，n ＝25，则m ＋n ＝45＋25＝65.[冲刺名校能力提升练]1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|＝( )A.13 B ．12 C ．1 D ．2答案：A解析：∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ， ∴四边形MAEC 为平行四边形， ∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →)．∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，则BM →＝3MD →.∴|MD →||BM →|＝|MD →||3MD →|＝13，故选A. 2．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 答案：A 解析：由题意，得 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →， CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．3．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案：B解析：∵D 为AB 的中点， 则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点， 又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.4．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC → |＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．答案：直角三角形解析：OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故AB →⊥AC →，则△ABC 为直角三角形．5．如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解：∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .又∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b . 综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .6．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．(1)解：延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ， 所以AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知，BE →＝23BF →，又因为BE →，BF →有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．。

第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________． 答案 1解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 －13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________． 答案 EB →＝34AB →－14AC →解析 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案 －13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 答案 3∶5解析 由5AM →＝AB →＋3AC →， 得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →， 即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5， 故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________． 答案 0解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析 如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析 连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案 －1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ， 则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34， 又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →， 所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)， 同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 答案 3∶2解析 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →， 即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

真题演练集训1．已知向量a ＝(1,m ),b ＝(3,－2),且(a ＋b )⊥b ,则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8答案：D解析：由向量的坐标运算,得a ＋b ＝(4,m －2),由(a ＋b ) ⊥b ,得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0,解得m ＝8,故选D.2．设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线,则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案：B解析：∵ a ∥b ,∴ 2×6－4x ＝0,解得x ＝3.3．在下列向量组中,可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0),e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2),e 2＝(5,－2) C ．e 1＝(3,5),e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2,－3),e 2＝(－2,3) 答案：B解析：解法一：若e 1＝(0,0),e 2＝(1,2),则e 1∥e 2,而a 不能由e 1,e 2表示,排除A ；若e 1＝(－1,2),e 2＝(5,－2),因为－15≠2－2,所以e 1,e 2不共线,根据共面向量的基本定理,可以把向量a ＝(3,2)表示出来,故选B.解法二：因为a ＝(3,2),若e 1＝(0,0),e 2＝(1,2),不存在实数λ,μ,使得a ＝λe 1＋μe 2,排除A ；若e 1＝(－1,2),e 2＝(5,－2),设存在实数λ,μ,使得a ＝λe 1＋μe 2,则(3,2)＝(－λ＋5μ,2λ－2μ),所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1，所以a ＝2e 1＋e 2,故选B.4．设向量a ,b 不平行,向量λa ＋b 与a ＋2b 平行,则实数λ＝________. 答案：12解析：∵ λa ＋b 与a ＋2b 平行,∴ λa ＋b ＝t (a ＋2b ),即λa ＋b ＝t a ＋2t b ,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.5．在△ABC 中,点M ,N 满足AM →＝2MC →,BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →,则x ＝________,y ＝________.答案：12 －16解析：∵ AM →＝2MC →,∴ AM →＝23AC →.∵ BN →＝NC →,∴ AN →＝12(AB →＋AC →),∴ MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →, ∴ x ＝12,y ＝－16.课外拓展阅读 向量问题坐标化向量具有代数和几何的双重特征,比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征．而引入坐标后,就可以通过代数运算来研究向量,凸显出了向量的代数特征,为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时,坐标化是一种常见的思路,利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ,μ∈R ),则λμ＝________.设i ,j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量,则a ＝－i ＋j ,b ＝6i ＋2j ,c ＝－i－3j ,所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j ),根据平面向量基本定理得,λ＝－2,μ＝－12,所以λμ＝4.4给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →,它们的夹角为2π3.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →,其中x ,y ∈R ,求x ＋y 的最大值．以O 为坐标原点,OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A (1,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32,设∠AOC ＝α,α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3,则C (cos α,sin α), 由OC →＝xOA →＋yOB →,得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α,y ＝233sin α, 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6,又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3,所以当α＝π3时,x ＋y 取得最大值2.方法探究典例2首先通过建立平面直角坐标系,引入向量的坐标运算,然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决,体现了坐标法解决问题的优势．。

课时跟踪检测(二十九)[高考基础题型得分练]1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a²b ＝( ) A ．12 B ．8 C ．－8 D ．2答案：A解析：∵|a |cos 〈a ，b 〉＝4，|b|＝3，∴a²b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝3³4＝12.2．[2017²甘肃兰州诊断考试]已知向量a ，b 满足a²b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a －b |＝( )A ．0B ．1C ．2D ． 5答案：D解析：|a －b|＝ a －b 2＝a 2－2a²b ＋b 2＝1＋4＝ 5.3．[2017²山西太原二模]已知a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，且a∥b ，则|b |＝( ) A ．2 5 B ． 5 C ．10 D ．5答案：B解析：∵a∥b ，∴1x ＝－22，解得x ＝－1，∴b ＝(－1,2)，∴|b |＝ －1 2＋22＝ 5.故选B.4．[2017²东北三校联考]向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°答案：C解析：∵(a ＋b )⊥(2a －b )，∴(a ＋b )²(2a －b )＝0，∴2a 2－a²b ＋2b²a －b 2＝0，∴a²b ＝0， ∴向量a 与b 的夹角为90°.故选C.5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73答案：D解析：设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)． 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c⊥(a ＋b )，∴(x ，y )²(3，－1)＝3x －y ＝0.② 联立①②，解得x ＝－79，y ＝－73.6．如图，已知点P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →²(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．为定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关答案：B解析：设BC 的中点为D ，连接AD ，AP →，AD →的夹角为θ，则有AP →²(AB →＋AC →)＝2AP →²AD →＝2|AD →|²(|AP →|cos θ)＝2|AD →|2＝6.7．[2015²陕西卷]对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ²b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )²(a －b )＝a 2－b 2答案：B解析：根据a ²b ＝|a ||b |cos θ，又cos θ≤1，知|a ²b |≤|a ||b |，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a |－|b ||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立. 根据向量的运算性质，得(a ＋b )²(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．8．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →²OB →＝________. 答案：9解析：因为OA →⊥AB →，所以OA →²AB →＝0.所以OA →²OB →＝OA →²(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →²AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.9．[2017²河南六市联考]已知向量a ，b ，其中|a|＝2，|b|＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________．答案：π4解析：设向量a 和b 的夹角为θ，由题意知， (a －b )²a ＝a 2－a²b ＝0，∴2－22cos θ＝0， 解得cos θ＝22，∴θ＝π4. 10．[2017²河南洛阳统考]已知A (－1，cos θ)，B (sin θ，1)，若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(O 为坐标原点)，则锐角θ＝________.答案：π4解析：解法一(利用几何意义求解)：由已知可知，OA →＋OB →是以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB 的对角线向量OD →，OA →－OB →则是对角线向量BA →，于是对角线相等的平行四边形为矩形．故OA ⊥OB .因此OA →²OB →＝0，∴锐角θ＝π4.解法二(坐标法)：OA →＋OB →＝(sin θ－1，cos θ＋1)，OA →－OB →＝(－sin θ－1，cos θ－1)，由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|可得(sin θ－1)2＋(cos θ＋1)2＝(－sin θ－1)2＋(cos θ－1)2，整理得sin θ＝cos θ，于是锐角θ＝π4.11．[2017²山东潍坊模拟]如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案：132解析：因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →²AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1³3³12＝32.又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →²AC →＋AC →2)＝14³(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.[冲刺名校能力提升练]1．[2017²河北衡水模拟]已知|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |＝( )A ．2B ．6C ．2 3D ．12答案：C解析：∵|4a －b|2＝16a 2＋b 2－8a²b ＝16³1＋4－8³1³2³cos π3＝12.∴|4a －b |＝2 3.2．[2017²辽宁沈阳质量监测]在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →²AF →＝( )A.89 B ．109C.259D ．269答案：B解析：解法一：由向量的几何意义可知，△ABC 是以A 为直角的直角三角形，E ，F 为BC 的三等分点，不妨设AE →＝23AB →＋13AC →，AF →＝13AB →＋23AC →，因此AE →²AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →²⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →＝29AB →2＋29AC →2＋59AB →²AC →＝29³4＋29³1＝109.故选B. 解法二：由向量的几何意义可知，△ABC 是以A 为直角的直角三角形，以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，E ，F 为BC 的三等分点，不妨设E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，因此AE →²AF →＝23³43＋23³13＝109，故选B.3．[2017²河南商丘模拟]在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →²AC →的值为( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±2答案：D解析：∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin ∠BAC＝12³4³1³sin∠BAC ＝3， ∴sin ∠BAC ＝32，cos ∠BAC ＝±12， ∴AB →²AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝±2.4．[2017²江西八校联考]在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．答案：1－32解析：由题意得，(|AB →|² |AC →|)2＝(|AB →||AC →|²cos〈AB →，AC →〉)2＋(|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉)2，即(|AB →||AC →|)2＝(AB →²AC →)2＋(|AB →||AC →|² sin 〈AB →，AC →〉)2，∴|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝2－3， ∴S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝1－32.5.已知|a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b|，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知得，a²b ＝4³8³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.(1)①∵|a ＋b|2＝a 2＋2a²b ＋b 2＝16＋2³(－16)＋64＝48，∴|a ＋b|＝4 3. ②∵|4a －2b|2＝16a 2－16a²b ＋4b 2＝16³16－16³(－16)＋4³64＝768，∴|4a －2b|＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )²(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a²b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2³64＝0，解得k ＝－7. 即当k ＝－7时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．6．如图，O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，向量OA →，OB →，OC →的模分别为2，3，4.(1)求|OA →＋OB →＋OC →|；(2)若OC →＝mOA →＋nOB →，求实数m ，n 的值． 解：(1)由已知条件易知， OA →²OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝－3，OA →²OC →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC ＝－4，OB →²OC →＝0，∴|OA →＋OB →＋OC →|2＝OA →2＋OB →2＋OC →2＋2(OA →²OB →＋OA →²OC →＋OB →²OC →)＝9，∴|OA →＋OB →＋OC →|＝3.(2)由OC →＝mOA →＋nOB →可得， OA →²OC →＝mOA →2＋nOA →²OB →，且OB →²OC →＝mOB →²OA →＋nOB →2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m －3n ＝－4，－3m ＋3n ＝0，∴m ＝n ＝－4.。

课时跟踪检测（四十八）1．当0＜k＜错误!时,直线l1:kx－y＝k－1与直线l2:ky－x＝2k的交点在（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案:B解析：解方程组错误!得交点为错误!。

因为0＜k＜错误!,所以错误!＜0，错误!＞0.故交点在第二象限．2．已知两条直线l1:（a－1）x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行,则a＝（）A．－1 B．2C．0或－2 D．－1或2答案：D解析：若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，若两直线平行，则有a－11＝错误!≠错误!，解得a＝－1或2。

3．“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线（a＋2)x－3y－2＝0垂直”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：∵ax＋y＋1＝0与(a＋2）x－3y－2＝0垂直，∴a（a＋2）－3＝0，∴a＝1或a＝－3。

∴“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件．4．过两直线l1:x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0答案:D解析：由错误!得错误!则所求直线方程为y＝错误!x＝－错误!x,即3x＋19y＝0.5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行,则它们之间的距离是( )A．0 B．2C。

错误!D．4答案：B解析：∵错误!＝错误!≠－错误!，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝错误!＝2。

6．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点（2,1）对称，则直线l2经过定点（)A．（0，4) B．（0,2）C．(－2，4) D．（4，－2)答案：B解析：直线l1：y＝k(x－4）经过定点(4,0），其关于点（2，1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k（x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点（0,2)．7．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay ＝0上，且AB线段的中点为P错误!，则线段AB的长为（）A．11 B．10C．9 D．8答案：B解析：依题意，a＝2，P(0,5)，设A(x,2x），B(－2y，y)，故错误!则A(4,8），B（－4,2)，∴|AB｜＝错误!＝10。

高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5.5 复 数考试要求 1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 是实部，b 是虚部，i 为虚数单位． (2)复数的分类： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0其中，当a ＝0时为纯虚数.(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.常用结论1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)(a ，b ∈R )．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )． 4．i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )． 5．复数z 的方程在复平面上表示的图形(1)a ≤|z |≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z －(a ＋b i)|＝r (r >0)表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a －b i(a ，b ∈R )中，虚部为b .( × ) (2)复数可以比较大小．( × )(3)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( × )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 教材改编题1．已知复数z 满足(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D2．复数z ＝(3＋i)(1－4i)，则复数z 的实部与虚部之和是________． 答案 －4解析 z ＝(3＋i)(1－4i)＝3－12i ＋i ＋4＝7－11i ，故实部和虚部之和为7－11＝－4. 3．若z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为________． 答案 －3题型一 复数的概念例1 (1)(2021·浙江)已知a ∈R ，(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位)，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 答案 C解析 方法一 因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i ，所以－a ＝3，解得a ＝－3. 方法二 因为(1＋a i)i ＝3＋i ，所以1＋a i ＝3＋i i ＝1－3i ，所以a ＝－3.(2)(2022·新余模拟)若复数z 满足z 1＋i i 32－i ＝1－i ，则复数z 的虚部为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1 答案 C解析 ∵z 1＋i i 32－i＝1－i ，∴z (1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)， ∴z (1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z ＝2－i ， ∴z ＝2＋i ，∴z 的虚部为1. 教师备选1．(2020·全国Ⅲ)若z (1＋i)＝1－i ，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－i D ．i 答案 D解析 因为z ＝1－i 1＋i ＝1－i 21＋i 1－i＝－i ，所以z ＝i.2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 答案 D解析 方法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2， |z 2－2z |＝|－2|＝2.方法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)| ＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．跟踪训练1 (1)(2022·衡水中学模拟)已知x 1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2iD ．1－2i答案 B解析 由x1＋i ＝1－y i ，得x 1－i 1＋i 1－i ＝1－y i ，即x 2－x2i ＝1－y i ， ∴⎩⎨⎧x2＝1，x2＝y ，解得x ＝2，y ＝1，∴x ＋y i ＝2＋i ， ∴其共轭复数为2－i.(2)已知z ＝1－3i ，则|z －i|＝________. 答案5解析 ∵z ＝1－3i ，∴z ＝1＋3i ， ∴z －i ＝1＋3i －i ＝1＋2i ， ∴|z －i|＝12＋22＝ 5. 题型二 复数的四则运算例2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知z ＝2－i ，则z (z ＋i)等于( ) A ．6－2i B ．4－2i C ．6＋2i D ．4＋2i答案 C解析 因为z ＝2－i ，所以z (z ＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.(2)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0.给出下列命题： ①若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3； ②若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3；③若z 2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|； ④若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2. 其中所有正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 答案 B解析 由|i|＝|1|，知①错误；z 1z 2＝z 1z 3，则z 1(z 2－z 3)＝0，又z 1≠0，所以z 2＝z 3，故②正确； |z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，又z 2＝z 3，所以|z 2|＝|z 2|＝|z 3|，故③正确，令z 1＝i ，z 2＝－i ，满足z 1z 2＝|z 1|2，不满足z 1＝z 2，故④错误． 教师备选1．(2020·新高考全国Ⅰ)2－i1＋2i 等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 D 解析2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.2．在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________． 答案 －2 解析 依题意知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2， 且z 2＝2＋i 1－i＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ， 故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)设i z ＝4＋3i ，则z 等于( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i D ．3＋4i答案 C解析 方法一 (转化为复数除法运算) 因为i z ＝4＋3i ， 所以z ＝4＋3i i ＝4＋3i －i i －i ＝－4i －3i 2－i 2＝3－4i.方法二 (利用复数的代数形式) 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由i z ＝4＋3i ，可得i(a ＋b i)＝4＋3i ，即－b ＋a i ＝4＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝4，a ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，所以z ＝3－4i. 方法三 (巧用同乘技巧)因为i z ＝4＋3i ，所以i z ·i ＝(4＋3i)·i ，所以－z ＝4i －3， 所以z ＝3－4i.(2)若z ＝i 2 0231－i ，则|z |＝________；z ＋z ＝________.答案221 解析 z ＝i2 0231－i ＝－i 1－i ＝1－i2，|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22，z ＋z ＝12－12i ＋12＋12i ＝1.题型三 复数的几何意义例3 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)复数2－i1－3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析2－i 1－3i＝2－i 1＋3i 10＝5＋5i 10＝1＋i 2，所以该复数在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，该点在第一象限．(2)(2020·全国Ⅱ)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 2 3解析 方法一 设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ， 因为z 1＋z 2＝3＋i ， 所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ， 2z 2＝(3－a )＋(1－b )i.因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4， 所以3＋a 2＋1＋b 2＝4， ①3－a2＋1－b 2＝4，②①2＋②2，得a 2＋b 2＝12.所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二 设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →， 则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →， 且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2， 可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝2 3. 故|z 1－z 2|＝|BA →|＝2 3. 教师备选1．(2020·北京)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z 等于( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 由题意知，z ＝1＋2i ， ∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.2．(2019·全国Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1 答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1， ∴x 2＋(y －1)2＝1.思维升华 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 跟踪训练3 (1)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A ．1＋3iB ．－3－iC ．3－iD ．3＋i答案 D解析 由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋41＋i 1－i 1＋i ＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.(2)设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是( ) A ．3 B ．2 3 C ．1＋2 2 D ．4 答案 D解析 |z |＝1表示单位圆上的点，那么|z ＋22＋i|表示单位圆上的点到点(－22，－1)的距离，求最大值转化为点(－22，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－22，－1)到原点的距离为3，所以所求最大值为4.在如图的复平面中，r ＝a 2＋b 2，cos θ＝a r ，sin θ＝b r ，tan θ＝ba(a ≠0)．任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成z ＝r (cos θ＋isin θ)的形式．其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角．我们把r (cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．对应于复数的三角形式，把z ＝a ＋b i 叫做复数的代数形式．复数乘、除运算的三角表示：已知复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则z 1·z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 例1 (1)⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2×3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 等于( )A.32＋332iB.32－332i C ．－32＋332i D ．－32－332i 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2×3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 ＝3⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＋isin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6 ＝3⎝⎛⎭⎫cos 2π3＋isin 2π3＝－32＋332i. (2)复数cos π3＋isin π3经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n 的值等于( ) A ．3B ．12C ．6k －1(k ∈Z )D ．6k ＋1(k ∈Z )答案 C解析 由题意，得⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3n ＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3， 由复数相等的定义，得 ⎩⎨⎧ cos n π3＝cos π3＝12，sin n π3＝－sin π3＝－32.解得n π3＝2k π－π3(k ∈Z )， ∴n ＝6k －1(k ∈Z )．(3)复数z ＝cosπ15＋isin π15是方程x 5－α＝0的一个根，那么α的值等于( ) A.32＋12i B.12＋32i C.32－12i D ．－12－32i 答案 B解析 由题意得，α＝⎝⎛⎭⎫cos π15＋isin π155 ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i. 例2 已知i 为虚数单位，z 1＝2(cos 60°＋isin 60°)，z 2＝22(sin 30°－icos 30°)，则z 1·z 2的三角形式是( )A ．4(cos 90°＋isin 90°)B ．4(cos 30°＋isin 30°)C．4(cos 30°－isin 30°)D．4(cos 0°＋isin 0°)答案 D解析∵z2＝22(sin 30°－icos 30°)＝22(cos 300°＋isin 300°)，∴z1·z2＝2(cos 60°＋isin 60°)·22(cos 300°＋isin 300°)＝4(cos 360°＋isin 360°)＝4(cos 0°＋isin 0°)．课时精练1．(2022·福州模拟)已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要条件；故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2等于() A．－10 B．10 C．－8 D．8答案 A解析∵z1＝3－i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，∴z 1z 2＝－9－1＝－10.3．(2022·长春实验中学模拟)若复数z 的共轭复数为z 且满足z ·(1＋2i)＝1－i ，则复数z 的虚部为( )A.35B ．－35i C.35i D ．－35 答案 A解析 z ·(1＋2i)＝1－i ，∴z ＝1－i 1＋2i ＝1－i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝－1－3i 5＝－15－35i ， ∴z ＝－15＋35i ， ∴复数z 的虚部为35. 4．已知i 是虚数单位，则复数z ＝i 2 023＋i(i －1)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为z ＝i 2 023＋i(i －1)＝－i －1－i ＝－1－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点是(－1，－2)，位于第三象限．5．(2022·潍坊模拟)在复数范围内，已知p ，q 为实数，1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则p ＋q 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1答案 C解析 因为1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则1＋i 是方程x 2＋px ＋q ＝0的另一根，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋i ＋1－i ＝－p ，1＋i 1－i ＝q ，解得p ＝－2，q ＝2，所以p ＋q ＝0.6．(2022·苏州模拟)若复数z 满足(1＋i)·z ＝5＋3i(其中i 是虚数单位)，则下列结论正确的是( )A ．z 的虚部为－iB ．z 的模为17C ．z 的共轭复数为4－iD ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 答案 B解析 由(1＋i)·z ＝5＋3i 得z ＝5＋3i 1＋i ＝5＋3i 1－i 1＋i 1－i＝8－2i 2＝4－i ， 所以z 的虚部为－1，A 错误；z 的模为42＋－12＝17，B 正确；z 的共轭复数为4＋i ，C 错误；z 在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限，D 错误．7．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝________. 答案 －i解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i ＝－3i 3＝－i.8．(2022·温州模拟)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，且z 1－i ＝3＋2i ，则a ＝________，b ＝________.答案 5 1解析 由z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则z ＝a －b i ，所以z 1－i＝1＋i 2(a －b i) ＝a ＋b 2＋a －b 2i ＝3＋2i ， 故a ＋b 2＝3，a －b 2＝2，所以a ＝5，b ＝1. 9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为①实数；②虚数；③纯虚数． 解 ①当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0， 即m ＝2时，复数z 是实数．②当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．③当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6m ＝0，m ≠0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．10. 如图所示，在平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →，BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)B 点对应的复数．解 (1)∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i ，∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，∴B 所对应的复数为1＋6i.11．欧拉公式e x i ＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项不正确的是( )A ．复数e 2i 对应的点位于第二象限B ．i 2e π为纯虚数C ．复数e x i 3＋i的模长等于12 D ．i 6e π的共轭复数为12－32i 答案 D解析 对于A ，e 2i ＝cos 2＋isin 2， 因为π2<2<π， 即cos 2<0，sin 2>0，复数e 2i 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i 2e π＝cos π2＋isin π2＝i ，i 2e π为纯虚数， B 正确；对于C ，e x i3＋i ＝cos x ＋isin x 3＋i＝cos x ＋isin x 3－i 3＋i 3－i ＝3cos x ＋sin x 4＋3sin x －cos x 4i ， 于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x i 3＋i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ＋sin x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x －cos x 42 ＝12， C 正确； 对于D ，i 6e π＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ， 其共轭复数为32－12i ，D 不正确． 12．(2022·武汉模拟)下列说法中，正确的个数有( )①若|z |＝2，则z ·z ＝4；②若复数z 1，z 2满足|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0；③若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等；④“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 若|z |＝2，则z ·z ＝|z |2＝4，故①正确；设z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，可得|z 1＋z 2|2＝(a 1＋a 2)2＋(b 1＋b 2)2＝|z 1－z 2|2＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2则a 1a 2＋b 1b 2＝0，而z 1z 2＝(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝a 1a 2－b 1b 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i＝2a 1a 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i 不一定为0，故②错误；当z ＝1－i 时，z 2＝－2i 为纯虚数，其实部和虚部不相等，故③错误；若复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数，则a 2－1≠0，即a ≠±1，所以“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件，故④正确．13．(2022·上外浦东附中模拟)若⎪⎪⎪⎪a －i 1 b －2i 1＋i ＝0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝________. 答案 1解析 ∵⎪⎪⎪⎪a －i 1 b －2i 1＋i ＝(a －i)(1＋i)－(b －2i) ＝a ＋a i －i ＋1－b ＋2i＝(a ＋1－b )＋(a ＋1)i ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1－b ＝0，a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝－1， ∴a 2＋b 2＝1.14．(2022·上海市静安区模拟)投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数m ＋n i n ＋m i为虚数的概率为________．答案 56 解析 ∵复数m ＋n i n ＋m i ＝m ＋n i n －m i n ＋m in －m i ＝2mn ＋n 2－m 2i m 2＋n 2， 故复数m ＋n i n ＋m i为虚数需满足n 2－m 2≠0， 即m ≠n ，故有6×6－6＝30(种)情况，∴复数m ＋n i n ＋m i 为虚数的概率为306×6＝56.15．(2022·青岛模拟)已知复数z 满足|z －1－i|≤1，则|z |的最小值为( )A ．1 B.2－1 C. 2 D.2＋1答案 B解析 令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由题意有(x －1)2＋(y －1)2≤1，∴|z |的最小值即为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z |的最小值为2－1.16．(2022·张家口调研)已知复数z 满足z 2＝3＋4i ，且z 在复平面内对应的点位于第三象限．(1)求复数z ；(2)设a ∈R ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 023＋a ＝2，求实数a 的值． 解 (1)设z ＝c ＋d i(c <0，d <0)，则z 2＝(c ＋d i)2＝c 2－d 2＋2cd i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c 2－d 2＝3，2cd ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－2，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，d ＝1(舍去)． ∴z ＝－2－i.(2)∵z ＝－2＋i ， ∴1＋z 1＋z ＝－1－i －1＋i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 22＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 023＝i 2 023＝i 2 020＋3＝i 505×4＋3＝－i ， ∴|a －i|＝a 2＋1＝2， ∴a ＝±3.。

单元滚动检测五平面向量考生注意:1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分,共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟,满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则错误!＋错误!＋错误!等于( )A。

错误!B.错误!C.错误!D。

错误!2．设D为△ABC所在平面内一点，错误!＝3错误!，则( ）A.错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!B。

错误!＝错误!错误!＋错误!错误!C.错误!＝错误!错误!－错误!错误!D.错误!＝错误!错误!－错误!错误!3．已知点A(1，3），B(4，－1），则与向量错误!方向相反的单位向量是( ）A．（－35,45）B．（－错误!，错误!）C．(错误!，－错误!) D．(错误!，－错误!)4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2，0)，|b｜＝1，则|a＋2b|等于（）A。

错误!B．2错误!C．4D．125．(2016·枣庄八中南校区月考）已知向量a，b，其中a＝(－1，错误!），且a⊥（a－3b)，则b在a方向上的投影为( )A．1B.错误!C.错误!D。

错误!6．设O,A，B为平面上三点，且P在直线AB上,错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n等于（)A．0B．－1C．1D．不能确定7．△ABC的内角A，B,C所对边长分别是a,b，c，设向量n＝（错误! a＋c，sin B－sin A)，m＝(a＋b，sin C)，若m∥n,则角B的大小为( ) A。

错误!B。

错误!C.π3D.错误!8。

如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC＝4，点M满足错误!＝3错误!，则错误!·错误!等于( )A．2 B．3C．4 D．69．已知向量a＝(3，－2)，b＝（x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则错误!＋错误!的最小值是（）A。

课时跟踪检测(二十八）1．已知向量a ,b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，7)，则a ·b ＝（ ）A ．－12B ．－20C ．12D ．20答案:A 解析：由a ＋b ＝(1,3），a －b ＝(3，7），得a ＝12＝（2，5)， b ＝错误!＝(－1，－2），a ·b ＝2×(－1)＋5×(－2）＝－12.故选A 。

2．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，7）;②e 1＝（3，5),e 2＝(6，10）;③e 1＝(2，－3)，e 2＝错误!，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③答案:B 解析：②中,e 1＝错误!e 2，即e 1与e 2共线，所以不能作为基底．3．已知点A (1,3），B (4，－1)，则与向量错误!同方向的单位向量为（ )A.错误!B．错误!C。

错误!D．错误!答案:A解析:∵错误!＝错误!－错误!＝（4，－1)－（1，3）＝(3，－4），∴与错误!同方向的单位向量为错误!＝错误!.4．在△ABC中，点P在BC上,且错误!＝2错误!，点Q是AC的中点,若错误!＝(4,3)，错误!＝（1，5），则错误!＝( ）A．(－2，7）B．(－6,21）C．（2，－7）D．（6,－21)答案：B解析：错误!＝错误!－错误!＝(－3,2）．∵Q是AC的中点，∴错误!＝2错误!＝(－6,4)，PC→＝错误!＋错误!＝（－2，7)．∵错误!＝2错误!，∴错误!＝3错误!＝(－6,21)．5．已知向量a＝(1,2），b＝(1,0），c＝(3,4）．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝（)A。

错误!B．错误!C．1 D．2答案:B解析：∵a＋λb＝(1＋λ，2）,c＝(3,4），又(a＋λb)∥c，∴错误!＝错误!，∴λ＝错误!，故选B.6．设向量a＝(x,1），b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是（) A．2 B．－2C．±2 D．0答案：B解析：因为a与b方向相反，所以b＝m a，m〈0,则有(4，x）＝m(x,1），∴错误!解得m＝±2。

高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量法则(或几何意义)运算律运算交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法a－b＝a＋(－b)数乘|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题 1．给出下列命题：①若a 与b 都是单位向量，则a ＝b ； ②直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量；③若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合； ④海拔、温度、角度都不是向量． 则所有正确命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④答案 D解析 ①错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；②错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；③正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；④正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量． 2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC → 答案 B3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －13解析 由题意知存在k ∈R ， 使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.题型一 平面向量的概念例1 (1)给出下列命题，正确的有( )A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线 答案 B解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． (2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →答案 D 教师备选下列命题为假命题的是()A．若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b平行B．若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|eC．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向D．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案 B思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a|是与a同方向的单位向量．跟踪训练1(1)下列命题不正确的是() A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使a|a|＋b|b|＝0成立的条件是a与b反向共线D．若a＝b，b＝c，则a＝c答案 A解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C项，因为a|a|与b|b|都是单位向量，所以只有当a|a|与b|b|是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故C正确；D项，由向量相等的定义知D正确．(2)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的() A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立， 即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量加、减法的几何意义例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2 023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最大值是______，最小值是________． 答案 2 023 0解析 当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2 023|取得最大值， |e 1＋e 2＋…＋e 2 023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2 023| ＝2 023；当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023首尾相连时， e 1＋e 2＋…＋e 2 023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最小值为0. 命题点2 向量的线性运算例3 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式不正确的是( )A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－13AB →＋23AD →D.CF →＝－16AB →－23AD →答案 C解析 因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，所以选项A 正确； 因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →， 而BC →＝－12AB →＋AD →，代入可得AF →＝13AB →＋13AD →，所以选项B 正确； 因为BF →＝AF →－AB →， 而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得BF →＝－23AB →＋13AD →，所以选项C 不正确； 因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得CF →＝－16AB →－23AD →，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD →＝14BC →，平面内点E 满足BE →＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 等于( ) A.52 B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析 如图所示，易知BC ＝4AD ， CE ＝2AD ， BM →＝AM →－AB → ＝13AE →－AB → ＝13(AB →＋BE →)－AB → ＝13(AB →＋6AD →)－AB → ＝－23AB →＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·资阳模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO →＝2OD →，则OC →等于( )A ．－13AB →＋23AC →B.23AB →－13AC →C.13AB →－23AC → D ．－23AB →＋13AC →答案 A解析 如图所示，∵D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →＝2OD →，∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝⎛⎭⎫13AB →＋13AC → ＝－13AB →＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13B.12 C ．－12D ．－13答案 A解析 由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于( ) A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析 如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →， 故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( ) A ．1 B.23 C.32 D ．2答案 B解析 如图所示，由题意知，AE →＝23AC →，AD →＝23AB →，设DP →＝xDE →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋xDE → ＝AD →＋x (AE →－AD →) ＝xAE →＋(1－x )AD → ＝23xAC →＋23(1－x )AB →， 所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三 共线定理及其应用 例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足P A →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△P AB 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案 A解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－P A →)， ∴3P A →＝PB →－PC →＝CB →， ∴P A →∥CB →，且两向量方向相同， ∴S △ABC S △P AB ＝BC AP ＝|CB →||P A →|＝3， 又S △ABC ＝6，∴S △P AB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________． 答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ， 又a ，b 为两个不共线的非零向量，∴⎩⎨⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得⎩⎨⎧λ＝32，t ＝12.思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1 B ．1 C.32 D ．2答案 B解析 由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ， 使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 因为线段CO 与线段AB 交于点D ， 所以O ，C ，D 三点共线， 所以OC →与OD →共线， 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 可得OD →＝λm OA →＋μm OB →，因为A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm ＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1. 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →答案 D解析 根据正六边形的性质， 易得，BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF →＝BF →＋CB →＝CF →.2．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件． 3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝a C ．a ＋b ＝b D ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析 由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |， 所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λb B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c C ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案 D解析 若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误； 若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0， 则a ，c 不一定平行，故B 错误；若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确． 5．在平行四边形ABCD 中，AC →与BD →交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析 如图所示，∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12a ＋12b ， ∴AE →＝AD →－ED →＝12a ＋12b －14b＝12a ＋14b . 6．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数 答案 A解析 A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于( )A.34B.23 C.12 D.14答案 C解析 连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点， 所以AF →＝12(AD →＋AE →)，而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝⎛⎭⎫AD →＋AB →＋12AD → ＝12AB →＋34AD →， 又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.8. 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PT AT ＝5－12.下列关系中正确的是( )A.BP →－TS →＝5＋12RS →B.CQ →＋TP →＝5＋12TS →C.ES →－AP →＝5－12BQ →D.AT →＋BQ →＝5－12CR →答案 A解析 由题意得，BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →＝RS →5－12＝5＋12RS →，所以A 正确；CQ →＋TP →＝P A →＋TP →＝TA →＝5＋12ST →，所以B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，所以C 错误；AT →＋BQ→＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →，则SD →＝0，不符合题意，所以D 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案 －23解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →， 所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ， 即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－13，t ＝－23.10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________. 答案 3解析 如图，设F 为BC 的中点，则AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，又AB →＝1λAD →，AC →＝1μAE →，∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线， ∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案 2 3解析 正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →， 在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2， ∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝23， 即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________.答案 53解析 AC →＝λ⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →) ＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μAD →， 又因为AC →＝AB →＋AD →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.13．点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，则△ABC 是________三角形． 答案 直角解析 因为点P 是△ABC 所在平面内一点， 且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0， 所以|CB →|－|(PB →－P A →)＋(PC →－P A →)|＝0， 即|CB →|＝|AB →＋AC →|， 所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|， 等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 为直角三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________．答案 34 3 3 解析 ∵B ，D ，C 三点共线，∴14＋λ＝1，解得λ＝34. 如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，∴四边形AMDN 是菱形，∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3，∴AD ＝3 3.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3答案 B解析 设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →.由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3. 16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________.答案 1∶6解析 若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，设OA ′→＝2OA →，OC ′→＝3OC →，可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ，则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ，由2x＝3y＝6z，可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.。

课时跟踪检测(五十)1．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是（)A．相离B．相切C．相交D．以上三个选项均有可能答案：C解析：直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1），圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为错误!,而|AC｜＝错误!＜错误!，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交．2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（)A．－2 B．－4C．－6 D．－8答案：B解析:将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋（y－1)2＝2－a,所以圆心为(－1，1)，半径r＝错误!,圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝错误!＝错误!,故r2－d2＝4,即2－a－2＝4，所以a＝－4，故选B.3．圆x2＋y2＋2y－3＝0被直线x＋y－k＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k＝（)A。

2－1或－错误!－1 B．1或－3C．1或－错误! D.错误!答案:B解析：由题意知，圆的标准方程为x2＋（y＋1)2＝4.较短弧所对圆周角是90°，所以圆心（0，－1)到直线x＋y－k＝0的距离为错误!r＝错误!。

即错误!＝错误!，解得k＝1或－3.4．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( ）A．21 B．19C．9 D．－11答案：C解析:圆C1的圆心C1（0，0）,半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3）2＋(y－4）2＝25－m，所以圆心C2（3,4)，半径r2＝错误!,从而｜C1C2|＝错误!＝5。

由两圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2,即1＋25－m＝5，解得m＝9,故选C.5．已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝错误!相交于A，B两点，O为坐标原点，当S△AOB＝1时,直线l的倾斜角为( )A．150° B．135°C．120° D．不存在答案：A解析：由于S△AOB＝错误!×错误!×错误!sin ∠AOB＝1，∴sin ∠AOB＝1，∴∠AOB＝错误!，∴点O到直线l的距离OM为1，而OP＝2，OM＝1，在直角△OMP中，∠OPM＝30°，∴直线l的倾斜角为150°，故选A.6．过点P（1，错误!）作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A和B,则弦长|AB｜＝（）A。

课时跟踪检测(五十)1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．以上三个选项均有可能 答案：C解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2＜3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8答案：B解析：将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.3．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝( )A.2－1或－2－1 B ．1或－3 C ．1或－ 2 D. 2答案：B解析：由题意知，圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4. 较短弧所对圆周角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为22r ＝ 2. 即|1＋k |2＝2，解得k ＝1或－3. 4．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11答案：C解析：圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝1， 圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ， 所以圆心C 2(3,4)，半径r 2＝25－m ， 从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.5．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S△AOB＝1时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．不存在答案：A解析：由于S △AOB ＝12×2×2sin ∠AOB ＝1，∴sin ∠AOB ＝1，∴∠AOB ＝π2， ∴点O 到直线l 的距离OM 为1，而OP ＝2，OM ＝1，在直角△OMP 中，∠OPM ＝30°， ∴直线l 的倾斜角为150°，故选A.6．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( ) A. 3 B ．2 C. 2 D ．4答案：A 解析：如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴AB ⊥OP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2. 又∵|OA |＝1，在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|OA |sin ∠AOP ＝ 3.7．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2答案：D解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22， 因此根据直角三角形勾股定理，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 8．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0答案：C解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)， 所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)， 所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0.9．过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝________.答案：5解析：解法一：由已知得，圆心C (0,2)，半径r ＝5， △ABC 是直角三角形，|AC |＝－2＋－2＝10，|BC |＝5，∴cos ∠ACB ＝BC AC＝510，∴CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos ∠ACB ＝5.解法二：CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＋BA →·CB →， 由于|BC |＝5，AB ⊥BC ， 因此CA →·CB →＝5＋0＝5.10．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案：4±15解析：依题意，圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3， 于是有|a ＋a －2|a 2＋1＝3，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 11．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 解析：整理曲线C 1的方程得，(x －1)2＋y 2＝1，故曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，依题意知直线l 与圆相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m＋－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33. 12．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．答案：x ＋y －3＝0解析：依题意得，当∠ACB 最小时，圆心C 到直线l 的距离达到最大， 此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为1， 因此所求直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.1．直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为( ) A ．3 B ．2 2 C ．3或－5 D ．－3或5答案：C解析：解法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x －a 2＋y －2＝8，消去y 可得，2x 2－(2a －2)x ＋a 2－7＝0， 则由题意可得Δ＝2－4×2×(a 2－7)＝0， 整理可得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或－5.解法二：因为(x －a )2＋(y －3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切知，圆心到直线的距离等于半径，所以|a －3＋4|12＋－2＝22，即|a ＋1|＝4，解得a ＝3或－5.2．在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.3π4答案：B解析：由题意知，圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，即倾斜角是π4.3．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条； 当直线l 的斜率k 存在时，如图，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，P 为直线x －2y ＋5＝0上的动点，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为________．答案：2解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0， 过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ， 易知此时|PA |的值最小． 由点到直线的距离公式，得 |OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5. 又|OA |＝1，所以|PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.5.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 6．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )．(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； (2)若a ＝2，过点M 作圆O 的两条弦AC ，BD 互相垂直，求|AC |＋|BD |的最大值．解：(1)由条件知点M 在圆O 上， 所以1＋a 2＝4，则a ＝± 3.当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33， 此时切线方程为y －3＝－33(x －1)， 即x ＋3y －4＝0，当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33， 此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)， 即x －3y －4＝0.所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. (2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)， 则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22， 所以|AC |＋|BD |＝24－d 21＋24－d 22.则(|AC |＋|BD |)2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22) ＝4×＝4×(5＋24＋d 21d 22)． 因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3， 所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时等号成立， 所以4＋d 21d 22≤52，所以(|AC |＋|BD |)2≤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以|AC |＋|BD |≤210， 即|AC |＋|BD |的最大值为210.。

课时跟踪检测(二十七)[高考基础题型得分练]1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa|≥|a | D ．|－λa |≥|λ|·a 答案：B解析：对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．2．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0B ．BE → C.AD → D ．CF →答案：D解析：由题图知，BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对 答案：C解析：由已知，得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →. 又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．[2017·浙江温州八校检测]设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：B解析：∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线． 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.5．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12b B ．12a －b C ．a ＋12b D ．12a ＋b 答案：D解析：连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，得CD ∥AB ，且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .6．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( ) A.OA →＝13AB →＋23BC →B.OA →＝23AB →＋13BC →C.OA →＝13AB →－23BC →D.OA →＝－23AB →－13BC →答案：D解析：∵OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.7．[2017·辽宁鞍山一中高三模拟]已知平面上A ，B ，C 三点不共线，O 是不同于A ，B ，C 的任意一点，若(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 答案：A解析：(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →⊥(AB →＋AC →)， 所以△ABC 是等腰三角形，故选A.8．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为( )A ．3B ．13 C ．2 D ．12答案：B解析：利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ＝y ＝23，则xy x ＋y ＝13.9．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线．其中所有正确结论的序号为________．答案：④解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．10．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，S ，R ，Q ，P 分别为AP ，SD ，RC ，QB 的中点，若AP →＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________.答案：65解析：连接AQ ，AR ，AC ， 由题意可知，AP →＝12(AB →＋AQ →)，AQ →＝12(AR →＋AC →)，AR →＝12(AD →＋AS →)， AS →＝12AP →，由上述几个等式转化可得，AP →＝AB →2＋AC →4＋AD →8＋AP →16，又AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝a ＋b ， 所以1516AP →＝a 2＋a ＋b 4＋b 8＝34a ＋38b ，即AP →＝45a ＋25b ，从而m ＝45，n ＝25，则m ＋n ＝45＋25＝65.[冲刺名校能力提升练]1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|＝( )A.13 B ．12 C ．1 D ．2答案：A解析：∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ， ∴四边形MAEC 为平行四边形， ∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →)．∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，则BM →＝3MD →.∴|MD →||BM →|＝|MD →||3MD →|＝13，故选A. 2．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 答案：A 解析：由题意，得 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →， CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．3．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案：B解析：∵D 为AB 的中点， 则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点， 又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.4．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC → |＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．答案：直角三角形解析：OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故AB →⊥AC →，则△ABC 为直角三角形．5．如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解：∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .又∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b . 综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .6．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．(1)解：延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ， 所以AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知，BE →＝23BF →，又因为BE →，BF →有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．。

第三节 平面向量的数量积及应用举例A 级·基础过关 |固根基|1.已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由a ·b >0，可得到θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，不能得到θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；而由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，可以得到a ·b >0.故选B ．2．(2019届某某一中高三入学测试)已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |等于( )A ．7B ．10C ．13D ．4解析：选C 依题意得a ·b ＝12，∴|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13，故选C ．3．(2019届某某模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94解析：选B 由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m ·n＝－n 2|m ||n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m ||n |×13＝－3|n ||m |.又4|m |＝3|n |，∴t ＝－3×43＝－4.故选B ．4．(2019届东北联考)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3解析：选C 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1， 所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.故选C ．5．(2019届某某模拟)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AC →·BC →＝1，则BC ＝( ) A ． 3 B ． 2 C ．2D ．3解析：选D 设∠A ＝θ， 因为BC →＝AC →－AB →，AB ＝4，AC ＝3，所以AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝AC →2－AC →·AB →＝9－AC →·AB →＝1，即AC →·AB →＝8，所以cos θ＝AC →·AB→|AC →||AB →|＝83×4＝23，所以BC ＝16＋9－2×4×3×23＝3.故选D ．6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的取值X 围为( ) A ．[1，2]B ．[2，4]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选D 由题意知b ≠0，设向量a ，b 的夹角为θ，因为(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，所以1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以|b |cos θ＝1－2|b |2.因为－1≤cos θ≤1，所以－|b |≤1－2|b |2≤|b |，所以12≤|b |≤1，所以|b |的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.故选D ．7．(2020届某某调研)在Rt △ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D ，E ，使BD →＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3解析：选D 由BD →＝2DA →，得CD →－CB →＝2(CA →－CD →)，得CD →＝23CA →＋13CB →.由AB →＝3BE →，得CB →－CA→＝3(CE →－CB →)，得CE →＝－13CA →＋43CB →.因为∠C ＝π2，即CA →⊥CB →，所以CA →·CB →＝0.所以CD →·CA →＋CE →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13CA →＋43CB →·CA →＝23CA →2－13CA →2＝3，故选D ．8.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →的值是( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49解析：选B 因为BF →＝2FO →，r ＝1，所以|FO →|＝13，所以FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO→2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89，故选B ．9．(2019届某某市摸底联考)已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC＝60°，则△OBC 的面积为( )A ．33 B ． 3 C ．32D ．23解析：选A ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，∴S △OBC ＝13S △ABC ．∵AB →·AC →＝2，∴|AB→|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2.又∠BAC ＝60°，∴|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC＝3，∴△OBC 的面积为33，故选A ． 10．(2020届某某摸底)已知a ，b 均为单位向量，若|a －2b |＝3，则a 与b 的夹角为________．解析：由|a －2b |＝3，得|a －2b |2＝3，即a 2－4a ·b ＋4b 2＝3，即1－4a ·b ＋4＝3，所以a ·b ＝12，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.答案：π311．(2019届某某摸底调研)已知动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，点C 为直线l 上一点，且满足CB →＝52CA →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为________．解析：解法一：动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接OA ，OB ，因为|AB |＝2，所以△AOB 为等边三角形，于是不妨设动直线l为y ＝3(x ＋2)，如图所示，根据题意可得B (－2，0)，A (－1，3)，因为M 是线段AB 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.设C (x ，y )，因为CB →＝52CA →，所以(－2－x ，－y )＝52(－1－x ，3－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－x ＝52（－1－x ），－y ＝52（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝533，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533，所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32＝12＋52＝3.解法二：连接OA ，OB ，因为直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝2，所以△AOB 为等边三角形．因为CB →＝52CA →，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋23BA →＝OA →＋23OA →－23OB →＝53OA →－23OB →.又M 为AB 的中点，所以OM →＝12OA →＋12OB →，且OA →与OB →的夹角为60°，则OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53OA→－23OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＝56OA →2－13OB →2＋12|OA →||OB →|cos 60°＝56×4－13×4＋12×2×2×12＝3. 答案：312.如图，已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3cos x ，3sin x )，OB →＝(3cosx ，sin x )，OC →＝(3，0)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求证：(OA →－OB →)⊥OC →；(2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值． 解：(1)证明：∵OA →－OB →＝(0，2sin x )， ∴(OA →－OB →)·OC →＝0×3＋2sin x ×0＝0， ∴(OA →－OB →)⊥OC →.(2)若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ， ∴(2sin x )2＝(3cos x －3)2＋sin 2x ， 整理得2cos 2x －3cos x ＝0， 解得cos x ＝0，或cos x ＝32. ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＝32，即x ＝π6.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届某某市第一次联考)已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( )A ．m ＋n ≤－2B ．－2≤m ＋n <－1C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <0解析：选C 因为点O 是锐角三角形ABC 的外心，所以O 在三角形内部，则m <0，n <0.不妨设锐角三角形ABC 的外接圆的半径为1，因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →.设向量OA →，OB →的夹角为θ，则1＝m 2＋n 2＋2mn cos θ<m 2＋n 2＋2mn ＝(m ＋n )2，所以m ＋n <－1或m ＋n >1(舍去)，所以m ＋n <－1，故选C ．14．已知点P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点A ，B ，C 在以坐标原点O 为圆心的单位圆上运动，且AB →·BC →＝0，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 由A ，B ，C 三点在圆x 2＋y 2＝1上，且AB →·BC →＝0，得AC 是该圆的直径．设PO →，OB →的夹角为θ，θ∈[0，π]，则|PA →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|＝|3PO →＋OB →|＝（3PO →＋OB →）2＝9|PO →|2＋|OB →|2＋6PO →·OB →＝36＋1＋12cos θ＝37＋12cos θ，当θ＝0时，|PA →＋PB →＋PC →|取得最大值7，故选C ．15．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 是AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则实数λ的最大值是( )A ．1B ．2－22C ．22D ．2＋22解析：选A 以点C 为坐标原点，CA →，CB →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (1，0)，B (0，1)，所以AB →＝(－1，1)．因为点P 在线段AB 上，AP →＝λAB →，所以AP →＝(－λ，λ)，所以P (1－λ，λ)，所以CP →＝(1－λ，λ)，PB →＝(λ－1，1－λ)，λ∈[0，1]．因为CP →·AB →≥PA →·PB →，所以(1－λ，λ)·(－1，1)≥(λ，－λ)·(λ－1，1－λ)，化简得2λ2－4λ＋1≤0，解得2－22≤λ≤2＋22.因为λ∈[0，1]，所以2－22≤λ≤1，所以λ的最大值是1.故选A ．16.如图，在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝2，向量AD →在AB →方向上的投影为1，且BD →·DC →＝0，点P 在线段CD 上，则PA →·PB →的取值X 围为________．解析：解法一：由题意知∠DAB ＝45°，且|AB →|＝1，设|PD →|＝x ，则0≤x ≤1，因为AP →＝AD →＋DP →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →＋CP →，所以PA →·PB →＝(－AD →－DP →)·(－AD →－CP →)＝AD →2＋AD →·CP →＋AD →·DP →＋DP →·CP →＝2＋2(1－x )cos 135°＋2x cos 45°－x (1－x )＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34∈[1，3]．解法二：由题意可知，DB ⊥AB ，以B 为坐标原点，AB 及BD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由题意知B (0，0)，A (－1，0)，设P (x ，1)，其中0≤x ≤1，则PA →·PB →＝(－1－x ，－1)·(－x ，－1)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34∈[1，3]．答案：[1，3]17．已知△ABC 的面积为24，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且满足CE →＝3EA →，CD →＝2DB →，连接AD ，BE 交于点F ，则△ABF 的面积为________．解析：解法一：如图，连接CF ，由于B ，F ，E 三点共线，因而可设CF →＝λCB →＋(1－λ)CE →.∵CE →＝3EA →，CD ＝2DB →，∴CF →＝32λCD →＋34(1－λ)CA →.又A ，F ，D 三点共线，∴32λ＋34(1－λ)＝1，解得λ＝13，∴CF →＝13CB →＋23CE →＝13CB →＋12CA →.∵AF→＝CF →－CA →＝13CB →－12CA →，FD →＝CD →－CF →＝13CB →－12CA →，∴F 为AD 的中点，因而S △ABF ＝12S △ABD ＝16S △ABC＝4.解法二：如图，过D 作AC 的平行线，交BE 于H ，则由已知CD →＝2DB →，得DH ═∥13CE ，又CE →＝3EA →，因而DH ═∥EA ，△AEF ≌△DHF ，则F 为AD 的中点，因而S △ABF ＝12S △ABD ＝16S △ABC ＝4. 答案：4。