专题24数学思想方法(押题专练)-2018年高考理数二轮复习精品资料(解析版)

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|1M x x =<，{}21x N x =>，则M N =（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|1x x <D ．∅【答案】A【解析】{}{}210x N x x x =>=>，{}|1M x x =<，{}|01MN x x ∴=<<．故选：A ．2．若双曲线221y x m-=的一个焦点为()3,0-，则m =（ ） A．B ．8 C ．9 D ．64【答案】B【解析】由双曲线性质：21a =，2b m =，219c m ∴=+=，8m =，故选B ．3．已知()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52 B ．52-C ．32-D ．12-【答案】B【解析】()()22log 111sin13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，223131sin log 1232f f ⎡⎤π⎛⎫⎛⎫⎢⎥∴+=⨯+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2115sin 5log 26422π⎛⎫⎛⎫=π++=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．4．已知曲线421y x ax =++在点()()11f --，处切线的斜率为8，则()1f -=（ ） A ．7 B ．－4C ．－7D ．4【答案】B 【解析】342y x ax '=+，428a ∴--=，6a ∴=-，()1114f a ∴-=++=-，故选B ．5．已知1=a ，2=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 BC．12D ．2【答案】D【解析】设a 与b 的夹角为θ，()⊥-a a b ，()20∴⊥-=-⋅=a a b a a b ，2cos 0θ-⋅=a a b ，cos 2θ∴=，∴向量a 在b 方向上的投影为cos 2θ⋅=a ，故选D ．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．163C ．203D ．8【答案】B班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V =⨯⨯=，故选B ．7．已知函数()()sin ωϕ=+f x A x (0,0,)2ωϕπ>><A 在一个周期内的图象如图所示，则4π⎛⎫= ⎪⎝⎭f （ ）A．2-B．2CD．【答案】C【解析】由图象可知，2A =，5ππππ2882T ω=-==，所以2ω=，由π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 得ππ22π82k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，解得π2π4k ϕ=+，k ∈Z ，因为π2ϕ<，所以π4ϕ=，所以πππ2sin 2444f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．8．已知正项数列{}n a 满足221120n n n n a a a a ++--=，则数列{}n b 的前n 项和为（ ） A ．n B ．()12n n - C ．()12n n +D ．()()122n n ++【答案】C【解析】由221120n n n n a a a a ++--=，可得：()()1120n n n n a a a a +++-=，又0n a >，∴12n n a a +=，∴112n n a a +⋅=，∴∴数列{}n b 的前n 项和()12n n +，故选：C ．9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（ ）A ．12B ．18C ．120D ．125【答案】C【解析】第一次运行：011a =+=，1i =为奇数，112S =+=，112i =+=； 第二次运行：123a =+=，2i =为偶数，326S =⨯=，213i =+=； 第三次运行：336a =+=，3i =为奇数，6612S =+=，314i =+=； 第四次运行：6410a =+=，4i =为偶数，1012120S =⨯=，415i =+=； 程序终止运行，输出120S =．故选C ．10．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）ABC ．41πD ．31π【答案】C【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -，正方体的棱长为4，A ，D 为棱的中点，根据几何体可以判断：球心应该在过A ，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO 的距离为x ，则到AD 的距离为4x -，(222R x ∴=+，()22224R x =+-，解得出：32x =，22341824R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，该多面体外接球的表面积为：2441R π=π，故选C ．11．某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为x ，CQ 的长度为关于x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】如图所示，设AOQ θ∠=，则弧长AQ x =，线段()CQ f x =，5xθ=， 作OH BQ ⊥于H 当Q 在半圆弧AQB 上运动时，1()2QOH θ∠=π-，2sin2cos 22BQ OQ OQ θθπ-=⨯=⨯，CQ ====即()f x =，由余弦函数的性质知当5=πx 时，即运动到B 点时y 有最小值10，只有A 选项适合，又由对称性知选A ，故选A ．12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232+>PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．71,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭D．⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】令x =c代入双曲线的方程可得2b y a=±=±，由|F 2Q |>|F 2A |，可得232a b a >，即为32a >22b =2(2c −2a )，即有c e a =<①， 又11232PF PQ F F +>恒成立，由双曲线的定义，可得223++>a PF PQ c c 恒成立， 由2F ，P ，Q 共线时，2PF PQ +取得最小值232a F Q =，可得3322ac a <+，即有76c e a =<②，由e >1，结合①②可得，e 的范围是71,6⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B ． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到．因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键．在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。

因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。

分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的考点，高考中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论．预测以后的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其导数与函数)，将有一道进行分类、求解的把关题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题．化归与转化的思想在高考中必然考到，主要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几何的问题转化为平面几何问题，解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题等，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法．一、函数与方程思想一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．可用函数与方程思想解决的相关问题．1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：(1)解方程或解不等式；(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；(4)构造方程或不等式求解问题．二、数形结合的数学思想数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。

第二单元 数学思想方法高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想．一、函数与方程思想已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列.阿凡题1083911(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．【解】 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，(列出方程) 解得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n ．(2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3，令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，(构造函数)则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16．本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出b n 的表达式，说明要求b n ≤k 恒成立时k 的最小值，只需求b n 的最大值，从而构造函数f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，利用函数求解．1．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：依函数图象，知y 的最大值为2，所以A ＝2．又T 2＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π12＝π2，所以T ＝π，又2πω＝π， 所以ω＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)． 将⎝⎛⎭⎫－π12，2代入可得sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝1， 故φ－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，又－π<φ<π，所以φ＝2π3．所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故选B ． 答案：B2．f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________． 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3．设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x 3在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4． 答案：4函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．二、数形结合思想——求解数学问题最快捷的途径设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是阿凡题1083912( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)【解析】 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0， ∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0． ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数， ∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1， 当x <0时，由f (x)>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A ． 【答案】 A本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f (－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x 的取值范围．3．(2017·南昌模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]解析：设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2．∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D ．答案：D4．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________．解析：集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m ＞0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1．答案：[)2－1，＋∞运用数形结合思想分析解决问题的3原则(1)等价性原则，在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则，在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．(3)简单性原则，找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．三、分类与整合思想——求解数学问题最简便的技巧分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值.阿凡题1083913 【解】 ①若∠PF 2F 1＝90°． 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72． ②若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2． 综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2．(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论． (2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．5．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率是( )A ．32 B ． 5 C ．32或52D ．32或 5 解析：因为m 是2和8的等比中项，所以m 2＝2×8＝16，所以m ＝±4． 当m ＝4时，圆锥曲线y 24＋x 2＝1是椭圆，其离心率e ＝c a ＝32；当m ＝－4时，圆锥曲线x 2－y 24＝1是双曲线，其离心率e ＝c a ＝51＝5．综上知，选项D 正确． 答案：D6．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12B ．12C ．0D ．－12或0解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k 的值为0或－12．答案：D7．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的极值． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 因为f ′(x )＝1－a x ＝x －ax(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． 当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .因为当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x ) >0，所以f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上：当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．四、转化与化归思想——求解数学问题最普遍的方法转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF与FQ 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q等于阿凡题1083915( )A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a【解析】 由x 2＝1a y (a >0)知抛物线开口向上，故过焦点F 作一条在特殊位置的直线即平行于x 轴的直线交抛物线于P 、Q ，则|PF |＝|FQ |＝12a ，即1p ＋1q＝4a ．【答案】 C本题将一般问题特殊化，即简洁又准确，事半功倍，这种解法对解选择题和填空题较为有效．8．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2解析：命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1．答案：C9．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．解析：由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.(主次转化)对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(－1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1．故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0． 答案：⎝⎛⎭⎫－23，1 10．已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 22a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析：原不等式即x 22a ≥1＋x2－1＋x (x ≥0)，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为(t 2－1)22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝(t －1)22对t ≥1恒成立， 所以(t ＋1)2a ≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4． 答案：41．转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．2．转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法．转化与化归思想是一切数学思想方法的核心．。

1、如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，2π]上有解，求a 的取值范围．方法二 令t ＝sin x ，由x ∈(0，2π]，可得t ∈(0,1]． 将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设f (t )＝t 2＋t －1－a .其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－21，如图所示．因此f (t )＝0在(0,1]上有解等价于f(1≥0，f(0<0，即1－a≥0，－1－a<0，所以－1<a ≤1. 故a 的取值范围是(－1,1]．2、设函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋a －1，已知不等式1≤f (x )≤417对一切x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋a －1 ＝1－sin 2x ＋sin x ＋a －1 ＝－(sin x －21)2＋a ＋41.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝21时，函数有最大值f (x )max ＝a ＋41，当sin x ＝－1时，函数有最小值f (x )min ＝a －2. 因为1≤f (x )≤417对一切x ∈R 恒成立， 所以f (x )max ≤417且f (x )min ≥1， 即a －2≥1，，解得3≤a ≤4， 所以a 的取值范围是[3,4]．3、已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．4、设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． (1)若＝6，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．解 (1)依题意得椭圆的方程为4x2＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝1＋4k22.① 由＝6知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝71(6x 2＋x 1)＝75x 2＝1＋4k210； 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝1＋2k 2. 所以1＋2k 2＝1＋4k210， 化简得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝32或k ＝83.5．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则a 、b 满足的关系式为________． 答案 b 2＝3a 2解析 (a ＋b i)3＝(a ＋b i)2(a ＋b i) ＝a 3＋3a 2b i －3ab 2－b 3i ＝(a 3－3ab 2)＋(3a 2b －b 3)i ， 因(a ＋b i)3是实数且b ≠0， 所以3a 2b －b 3＝0⇒b 2＝3a 2.6．满足条件AB ＝2，AC ＝BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________． 答案 2解析 可设BC ＝x ，则AC ＝x ， 根据面积公式得S △ABC ＝x ，由余弦定理计算得cos B ＝4x 4－x2， 代入上式得S △ABC ＝x 24－x2＝16128－(x2－122.由x ，2x ＋x>2，得2－2<x <2＋2. 故当x ＝2时，S △ABC 最大值为2.7．设a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时，a 的取值的集合为________．8．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ， 由x2＋(y －a2＝a ，y ＝x2，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0， 则由题意得a －1≥0，a>0解得a ≥1.9．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 答案 {x |－7<x <3}解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝x2＋4x ，x ＜0.x2－4x ，x≥0，再求f (x )<5的解，由x2－4x<5，x≥0，得0≤x ＜5；由x2＋4x<5，x<0，得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝3π. (1)若△ABC 的面积等于，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．11．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)设数列{b n }的通项b n ＝anan ＋11，记S n 是数列{b n }的前n 项和，若n ≥3时，有S n ≥m 恒成立，求m 的最大值． 解 (1)∵{a n }是等差数列， a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144， ∴S 10＝145，∴S 10＝210(a1＋a10，∴a 10＝28，∴公差d ＝3. ∴a n ＝3n －2(n ∈N *)．12．已知椭圆C ：a2x2＋b2y2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为310时，求k 的值． 解 (1)由题意得a2＝b2＋c2，2，解得b ＝. 所以椭圆C 的方程为4x2＋2y2＝1.(2)由＝1，y2得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1＋2k24k2， x 1x 2＝1＋2k22k2－4. 所以MN ＝ ＝＝1＋2k2(1＋k2(4＋6k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离 d ＝1＋k2|k|，所以△AMN 的面积为S ＝21MN ·d ＝1＋2k24＋6k2. 由1＋2k24＋6k2＝310，解得k ＝±1. 所以，k 的值为1或－1.13．设关于θ的方程cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β. (1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．解 (1)原方程可化为sin (θ＋3π)＝－2a ，作出函数y ＝sin (x ＋3π)(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件 是3即－2＜a ＜－或－＜a ＜2.14．设有函数f (x )＝a ＋和g (x )＝34x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a的取值范围． 解 f (x )≤g (x )，即a ＋≤34x ＋1， 变形得≤34x ＋1－a ，令y 1＝，①y 2＝34x ＋1－a .②15. 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－或x >， 由f ′(x )<0，解得－<x <，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间为(－，)． (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，16.已知实数x ，y 满足x ＋2y －3≥0，y≥0，则x y的最大值为________． 答案 2解析 画出不等式组x ＋2y －3≥0，y≥0，对应的平面区域Ω为图中的四边形ABCD ，x y ＝x －0y －0表示的平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率，显然OA 的斜率最大．17.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值． 解18．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当K (m,0)是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系．解 (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－2p， 由题意得4＋2p＝5，所以p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，圆M 的圆心为点(0,2)，半径为2. 当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4， 此时，直线AK 与圆M 相离； 当m ≠4时，由(1)知A (4,4)，则直线AK 的方程为y ＝4－m 4(x －m )， 即4x －(4－m )y －4m ＝0， 圆心M (0,2)到直线AK 的距离 d ＝16＋(m －42|2m ＋8|， 令d >2，解得m >1.所以，当m >1时，直线AK 与圆M 相离； 当m ＝1时，直线AK 与圆M 相切； 当m <1时，直线AK 与圆M 相交．19．设关于x 的函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )＝21的a的值，并求此时函数的最大值．当2a >1，即a >2时，函数y 在t ∈[－1,1]上是单调递减，所以f (a )＝f (1)＝－4a ＋1＝21，解得a ＝81，这与a >2矛盾；当－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝－2a2－2a －1＝21，即a 2＋4a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－3，因为－2≤a ≤2，所以a ＝－1.所以y ＝2t 2＋2t ＋1，t ∈[－1,1]，所以当t ＝1时，函数取得最大值y max ＝2＋2＋1＝5.20．已知a 是实数，函数f (x )＝(x －a )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值．①写出g (a )的表达式；②求a 的取值范围，使得－6≤g (a )≤－2.解 (1)函数的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝＋x x －a ＝x 3x －a (x >0)．若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )有单调递增区间[0，＋∞)．若a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝3a ，当0<x <3a 时，f ′(x )<0，当x >3a 时，f ′(x )>0.f (x )有单调递减区间[0，3a ]，有单调递增区间(3a ，＋∞)．21.已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得8a1＋28d ＝－4，3a1＋3d ＝6，解得d ＝－1.a1＝3，故a n ＝3－(n －1)＝4－n .(2)由(1)可得b n ＝n ·q n －1， 于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1. 若q ≠1，将上式两边同时乘以q ，得qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n . 两式相减，得(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1 ＝nq n－q －1qn －1＝q －1nqn ＋1－(n ＋1qn ＋1. 于是，S n ＝(q －12nqn ＋1－(n ＋1qn ＋1.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝2n(n ＋1.综上，S n ＝ (q≠1.nqn ＋1－(n ＋1qn ＋122.设F 1、F 2为椭圆9x2＋4y2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF2PF1的值．23.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，求a 的值．解 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝25(舍)．(3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.24.设集合A ＝{x ∈R |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．25．f (x )＝31x 3－x ，x 1，x 2∈[－1,1]时，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤34.证明 ∵f ′(x )＝x 2－1，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0，∴f (x )在[－1,1]上递减．故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝32，最小值为f (1)＝－32，即f (x )在[－1,1]上的值域为[－32，32]．所以x 1，x 2∈[－1,1]时，|f (x 1)|≤32，|f (x 2)|≤32，即有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x 1)|＋|f (x 2)|≤32＋32＝34.即|f (x 1)－f (x 2)|≤34.26．已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝e 1f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋21＋31＋…＋n 1>ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝e 1f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝x 1－1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.27.已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，即U ＝{m |m ≤－1或m ≥23}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则x1x2＝2m ＋6≥0，所以，使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |≤－1}．28.设F 1，F 2分别是双曲线a2x2－b2y2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(＋)·＝0，O 为坐标原点，且||＝||，则该双曲线的离心率为________．答案 ＋129.已知函数f (x )＝31x 3＋34x 2＋a 2x (0<a <1，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围．解 因为f ′(x )＝x 2＋38x ＋a 2＝32(x ＋a －2)，所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝32，x 2＝2－a .由0<a <1，知1<2－a <2.所以令f ′(x )>0，得x <32，或x >2－a ；令f ′(x )<0，得32<x <2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增．所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝6a (2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max a 2.因为当0<a ≤52时，31－6a ≥32a ；当52<a <1时，32a >31－6a ，由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，得2f (x )min >f (x )max (x ∈[1,2])．所以当0<a ≤52时，必有2×6a (2－a )2>31－6a ，结合0<a ≤52可解得1－22<a ≤52；当52<a <1时，必有2×6a (2－a )2>32a ，结合52<a <1可解得52<a <2－.综上，知所求实数a 的取值范围是1－22<a <2－.30.是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋85a －23在闭区间[0，2π]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，则说明理由．当0≤2a ≤1，即0≤a ≤2时，t ＝2a 函数有最大值，y max ＝4a2＋85a －21＝1，解得a ＝23或a ＝－4(舍去)；当2a <0，即a <0时，函数y ＝－(t －2a )2＋4a2＋85a －21在t ∈[0,1]上单调递减，∴t ＝0时，函数有最大值y max ＝85a －21＝1，解得a ＝512>0(舍去)，综上所述，存在实数a ＝23使得函数有最大值．。

高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先学习此部分．带着方法去复习，这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果．一、函数与方程思想方法一点坐标代入函数(方程)法模型解法点坐标代入函数(方程)法是指把点“放到”函数图象中去“入套”，通过构造方程求解参数的方法．此方法适用于已知函数或函数图象，给出满足条件的点坐标，求其中的参数问题．破解此类题的关键点：①点代入函数，把所给点坐标代入已知函数的解析式中，得到关于参数的方程或不等式．②解含参方程，求解关于参数的方程或不等式．③检验得结论，得出参数的值或取值范围，最后代入方程或不等式进行检验．典例1 函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a )，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2或12D.12解析 因为函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，且y ＝log a x 的图象过点(a ，a )， 所以a ＝log a a ，所以a a＝a ，所以a ＝12，检验易知当a ＝12时，函数有意义．故选D.答案 D思维升华 应用此方法的易错点是忘记检验，在解出方程后，一定要回头望，把所求的解代入原函数中检验是否有意义．跟踪演练1 函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，3a )，则a 的值为_____． 答案 13解析 因为函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象过点(a ，3a )，所以3a ＝a a， 即13a ＝a a，所以a ＝13.经检验知a ＝13符合要求．方法二 平面向量问题的函数(方程)法 模型解法平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．破解此类题的关键点：①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)．②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题． ③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论．典例2 已知a ，b ，c 为平面上的三个向量，又a ，b 是两个相互垂直的单位向量，向量c 满足|c |＝3，c·a ＝2，c·b ＝1，则对于任意实数x ，y ，|c －x a －y b |的最小值为______．解析 由题意可知|a |＝|b |＝1，a·b ＝0，又|c |＝3，c·a ＝2，c·b ＝1，所以|c －x a －y b |2＝|c |2＋x 2|a |2＋y 2|b |2－2x c·a －2y c·b ＋2xy a·b ＝9＋x 2＋y 2－4x －2y ＝(x －2)2＋(y －1)2＋4， 当且仅当x ＝2，y ＝1时，|c －x a －y b |2min ＝4， 所以|c －x a －y b |的最小值为2. 答案 2思维升华 平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．跟踪演练2 已知e 1，e 2是平面上两相互垂直的单位向量，若平面向量b 满足|b |＝2，b·e 1＝1，b·e 2＝1，则对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|的最小值为________． 答案2解析 |b －(x e 1＋y e 2)|2＝b 2＋x 2e 21＋y 2e 22－2x b·e 1－2y b·e 2＋2xy e 1·e 2＝22＋x 2＋y 2－2x －2y ＝(x －1)2＋(y －1)2＋2≥2，当且仅当x ＝1，y ＝1时，|b －(x e 1＋y e 2)|2取得最小值， 此时|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值 2. 方法三 不等式恰成立问题函数(方程)法 模型解法含参不等式恰成立问题函数(方程)法是指通过构造函数，把恰成立问题转化为函数的值域问题，从而得到关于参数的方程的方法．破解此类题的关键点：①灵活转化，即“关于x 的不等式f (x )<g (a )在区间D 上恰成立”转化为“函数y ＝f (x )在D 上的值域是(－∞，g (a ))”；“不等式f (x )>g (a )在区间D 上恰成立”转化为“函数y ＝f (x )在D 上的值域是(g (a )，＋∞)”．②求函数值域，利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域． ③得出结论，列出参数a 所满足的方程，通过解方程，求出a 的值．典例3 关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立，则a 的取值集合为________．解析 关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x－12x 2－1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －94，＋∞.因为g ′(x )＝e x(x －1)－12x 2＋1x2， 令φ(x )＝e x(x －1)－12x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，则φ′(x )＝x (e x－1)． 因为x ≥12，所以φ′(x )>0，故φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 所以φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－e 2>0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－18－112＝2e －94， 所以a －94＝2e －94，解得a ＝2e ，所以a 的取值集合为{2e}． 答案 {2e}思维升华 求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方程；而含参不等式恒成立问题一般转化为最值问题．跟踪演练3 关于x 的不等式x ＋4x－1－a 2＋2a >0在(2，＋∞)上恰成立，则a 的取值集合为__________．答案 {－1,3}解析 关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a >0在(2，＋∞)上恰成立⇔函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上的值域为(a 2－2a＋1，＋∞)．由f (x )＝x ＋4x，x ∈(2，＋∞)，可得f ′(x )＝1－4x 2＝x 2－4x2>0，所以f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上为单调递增函数，所以f (x )>f (2)＝4.又关于x 的不等式x ＋4x>a 2－2a ＋1在(2，＋∞)上恰成立，所以a 2－2a ＋1＝4，解得a ＝－1或a ＝3.方法四 解析几何问题的函数(方程)法 模型解法解析几何问题的函数(方程)法是解决解析几何问题中比较常见的一种方法，通过函数(方程)法把解析几何问题代数化，利用函数或方程进行求解，其关键是根据题意，构造恰当的函数或建立相应的方程解决问题．破解此类题的关键点：①代数化，把直线、圆、圆锥曲线以及直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系等转化为代数问题，构造函数解析式或方程．②函数(方程)应用，利用函数的相关性质或方程思想来求解含有参数的解析几何问题． ③得出结论，结合解析几何中的限制条件和函数(方程)的结论得出最终结论．典例4 已知直线l 过定点S (4,0)，与x 24＋y 23＝1(x ≠±2)交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P ′，连接P ′Q交x 轴于点T ，当△PQT 的面积最大时，直线l 的方程为_____． 解析 设直线l 的方程为x ＝ky ＋4(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋4，x 24＋y23＝1，消去x 得(3k 2＋4)y 2＋24ky ＋36＝0，Δ＝576k 2－4×36(3k 2＋4)＝144(k 2－4)>0，即k 2>4.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ′(x 1，－y 1)． 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－24k 3k 2＋4， ①y 1y 2＝363k 2＋4， ②直线P ′Q 的方程为y ＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)－y 1， 令y ＝0，得x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝(ky 1＋4)y 2＋y 1(ky 2＋4)y 1＋y 2＝2ky 1y 2＋4(y 1＋y 2)y 1＋y 2，将①②代入上式得x ＝1， 即T (1,0)，所以|ST |＝3， 所以S △PQT ＝|S △STQ －S △STP |＝12|ST ||y 1－y 2|＝32(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 3k 2＋42－4×363k 2＋4 ＝18k 2－43k 2＋4＝18k 2－43(k 2－4)＋16 ＝183k 2－4＋16k 2－4≤334，当且仅当k 2＝283，即k ＝±2213时取等号．故所求直线l 的方程为x ＝2213y ＋4或x ＝－2213y ＋4. 答案 x ＝2213y ＋4或x ＝－2213y ＋4思维升华 直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．跟踪演练 4 椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)，若两条曲线没有公共点，则r 的取值范围是______________． 答案 (0,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞ 解析 方法一 联立C 1和C 2的方程，消去x ， 得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0，①方程①可变形为r 2＝－54y 2＋2y ＋10，把r 2＝－54y 2＋2y ＋10看作关于y 的函数．由椭圆C 1可知，－2≤y ≤2，因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2,2]的情况下，求函数r 2＝f (y )＝－54y2＋2y ＋10的值域．由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝545，可得f (y )的值域是r 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，545，即r ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3305， 它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞.方法二 联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0. ①两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，y 2∉[－2,2]．若没有实数根，则Δ＝4－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54×(10－r 2)<0，解得r >3305或r <－3305⎝ ⎛⎭⎪⎫由于r >0，则r <－3305舍去.若两个根y 1，y 2∉[－2,2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，其图象的对称轴方程为y ＝45∈[－2,2]．则⎩⎪⎨⎪⎧φ(2)＝9－r 2>0，φ(－2)＝1－r 2>0，又r >0，解得0<r <1.因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞.。

1．如下图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为________．【答案】9 3【解析】由三视图可知，该几何体是斜四棱柱，四棱柱底面是矩形，长3，宽3，四棱柱的高h ＝22－12＝3，∴体积V ＝3×3×3＝9 3.2.已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为________．【答案】12π【解析】由已知得：BC ＝22，球O 的半径R ＝22＋1＝3，故其表面积S ＝4πR 2＝4π·(3)2＝12π.3.已知椭圆x 24＋y 23＝1，A 、C 分别是椭圆的上、下顶点，B 是左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则∠BDF 的余弦值是________．【答案】7144.设0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是________(填序号)． ①a 1b 1＋a 2b 2 ②a 1a 2＋b 1b 2 ③a 1b 2＋a 2b 1 ④12【答案】①【解析】取a 1＝13，b 1＝14，则a 1b 1＋a 2b 2＝112＋12＝712>12，a 1a 2＋b 1b 2＝59144<12，a 1b 2＋a 2b 1＝512<12，故最大的是a 1b 1＋a 2b 2.5.已知函数y ＝f (x )，对任意的两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)成立，且f (0)≠0，则f (－2014)·f (－2013)·…·f (2013)·f (2014)的值是________．【答案】1【解析】f (x )为抽象函数，只知满足条件f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，且f (0)≠0，故可取满足此条件的特殊函数来求解．令f (x )＝2x ，则对任意的两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)成立，f (0)＝20＝1，f (－2014)·f (2014)＝f (0)＝1，f (－2013)·f (2013)＝f (0)＝1，…，所以f (－2014)·f (－2013)·…·f (2013)·f (2014)＝1.6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高相交于点H ，若OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.【答案】1【解析】如图在Rt △ABC 中，外接圆圆心O 为斜边AB 的中点，垂心H 即为C 点，由已知OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)＝mOC →，则m ＝1.7．直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线，若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．【答案】438.已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A 、B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.【答案】12 【解析】如图．设MN 与椭圆的交点为D ，由中位线定理． |AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)由椭圆的定义知|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6. ∴|AN |＋|BN |＝12.9.向量OB →＝(1,0)，OA →＝(3＋cos θ，1＋sin θ)，则OA →与OB →夹角的取值范围是________． 【答案】[0，π3]【解析】依题意在坐标系中B (1,0)、A (3＋cos θ，1＋sin θ)，点A 在圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆周上运动，如图，当A 点为切点M 时，OA →与OB →的夹角取最大值，容易求得为π3；当A 点为切点N 时，夹角取最小值0，故取值范围是[0，π3]．学科@网10．不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________． 【答案】(－∞，－12]∪[12，＋∞)由图可知A (－2,0)，B (2,0)，故k AC ＝0－－1－2－0＝－12，k BC ＝0－－12－0＝12.要使直线和半圆有公共点，则k ≥12或k ≤－12.所以k 的取值范围为(－∞，－12]∪[12，＋∞)．11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac ＝b 2－a 2，A ＝π6，则B ＝________.【答案】π312．a ＝ln 12012－12012，b ＝ln 12013－12013，c ＝ln 12014－12014，则a 、b 、c 的大小关系为________．【答案】a >b >c【解析】令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x .当0<x <1时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数． ∵1>12012>12013>12014>0，∴a >b >c . 13.如图，已知球O 的球面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．【答案】6π【解析】如图，以DA 、AB 、BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.14．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx 的最大值为________．【答案】3＋2 2【解析】设yx＝k ，则可转化为直线kx －y ＝0与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点时k 的取值范围，用代数法(Δ≥0)或几何法(d ≤r )解决．15.已知P (x ，y )是椭圆x 216＋y 29＝1上的一个动点，则x ＋y 的最大值是________．【答案】516．已知a 、b 是正实数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的取值范围是________． 【答案】[6，＋∞)【解析】∵a 、b 是正实数且ab ＝a ＋b ＋3，故a 、b 可视为一元二次方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两个根，其中a ＋b ＝m ，ab ＝m ＋3，要使方程有两个正根，应有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4m －12≥0，m >0，m ＋3>0.解得m ≥6，即a ＋b ≥6，故a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)．17.已知x >0，比较x 与ln(1＋x )的大小，结果为________． 【答案】x >ln(1＋x )【解析】解法一：令x ＝1，则有1>ln2， ∴x >ln(1＋x )．解法二：令f (x )＝x －ln(x ＋1)． ∵x >0，f ′(x )＝1－11＋x ＝x 1＋x >0，又因为函数f (x )在x ＝0处连续， ∴f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 从而当x >0时， f (x )＝x －ln(1＋x )>f (0)＝0. ∴x >ln(1＋x )．解法三：在同一坐标系中画出函数y ＝x 与y ＝ln(1＋x )的图象，可见x >0时，x >ln(1＋x )．18．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值为________．【答案】 2【解析】将此三棱锥补成正方体，如图所示．连接CM ，过点O 作ON ⊥CM 于N ，则ON ⊥平面ABC ．∴OM 与平面ABC 所成的角是∠OMC ．在Rt △OMC 中，tan ∠OMC ＝OC OM ＝OC22OC ＝2，即OM 与平面ABC 所成角的正切值为 2.19．sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α的值等于________． 【答案】1220．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________．【答案】1【解析】依题意，可取一个特殊的等差数列：13,11,9,7,5,3,1，－1，－3，其中a 5＝5，a 3＝9满足条件．可求得S 9＝S 5＝45，故S 9S 5＝1.21．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2xx >02x ＋1 x ≤0的零点个数为________个．【答案】3【解析】依题意，在x >0时可以画出y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图象，可知两个函数的图象有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，所以函数f (x )有3个零点．22.已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．【答案】21223．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为函数y ＝f (x )的导函数，则f ′(0)＝________． 解析：∵f (x )＝(2x ＋1)e x ，∴f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， ∴f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：324．在平面直角坐标系中，点A ，点B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：由题意，以AB 为直径的圆过坐标原点O (0，0)，当O (0，0)到直线2x ＋y －4＝0距离为圆的直径时，圆C 的面积最小． 由点到直线的距离2r ＝|2×0＋0－4|22＋12＝45，因此r ＝25，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.答案：4π525．若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________． 解析：∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2，又f (2)＝f (0)＝0，因此f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2. 学科@网 答案：－226．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：用正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．答案：①②④27．如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为________．28．知函数f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可以画出函数f (x )在[－3，4]上的图象，如图所示，函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点，即y ＝f (x )与y ＝a 有10个交点，由图可知实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12。

《数学思想方法和常用的解题技巧》巩固训练一、选择题1．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )．A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q解析 取a ＝100，b ＝10，此时P ＝ 2，Q ＝32＝lg 1 000，R ＝lg 55＝lg 3 025，比较可知P <Q <R . 答案 B2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )． A ．8 B ．10 C ．12D ．2＋log 35解析 用特殊法．由条件，联想到构造一等比数列3，3，…，3，…，可知B 正确． 答案 B3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 当x >0时，可作出y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象如图所示．由图示可得函数f (x )＝lnx －x 2＋2x (x >0)有两个零点．当x <0时，f (x )＝2x ＋1有零点x ＝－12.综上，可得f (x )有3个零点．答案 D4．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由0<x <π2，得0<sin x <1，故由x sin x <1，可得x sin 2x <x sin x <1，即“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要条件；而若x sin 2x <1，则x sin x <1sin x ，但1sin x>1，故不能得到x sin x <1，所以“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要而不充分条件．答案 B5．函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )．解析 函数有意义，需使e x －e －x≠0，故得其定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，故排除C ，D ；又因为y ＝e x＋e －xe x －e －x ＝e 2x＋1e 2x－1＝1＋2e 2x －1，所以，当x >0时，函数为减函数，故选A. 答案 A6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( )．A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝512πD ．x ＝π3解析 由2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，代入验证可知使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝±1，只有x ＝512π，选C.答案 C7．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( )．A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析 令m ＝0，由f (x )＝0，得x ＝13，适合，排除A ，B.令m ＝1，由f (x )＝0，得x ＝1；适合，排除C. 答案 D8．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，且直线m ，n 不重合，由下列三个条件：①m ∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③m ⊂γ，n ∥β.能推得m ∥n 的条件是( )． A ．①或② B ．①或③ C ．只有②D ．②或③解析 构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②；取平面α为平面ADD ′A ′，平面β为平面ABCD ，则直线m 为直线AD .因m ∥γ，故可取平面γ为平面A ′B ′C ′D ′，因为n ⊂γ且n ∥β，故可取直线n 为直线A ′B ′.则直线AD 与直线A ′B ′为异面直线，故m 与n 不平行．因此，可排除A ，C ，D ，选B.答案 B9．若动点P ，Q 在椭圆9x 2＋16y 2＝144上，且满足OP ⊥OQ ，则中心O 到弦PQ 的距离OH 必等于 ( )． A.203 B.234 C.125D.415解析 选一个特殊位置(如图)，令OP ，OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2＝16，b 2＝9，得OP ＝4，OQ ＝3，则OH ＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案C 正确．答案 C10．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( )． A ．－5 B ．1 C ．2D ．3解析 如图阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域．而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0,1)，故看作该直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，则可行域不是一个封闭区域；当a ＝1时，封闭区域的面积是1；当a ＝2时，封闭区域的面积是32；当a ＝3时，封闭区域的面积恰好为2.答案 D11．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的周期是4π，所以排除A ；对于函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，而cos2×π3＋π3＝－1，故x ＝π3是此函数的对称轴，但此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，所以排除B ；对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期为π，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，故x ＝π3是此函数的对称轴，又由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，知此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数，故选C.答案 C12．设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )． A ．－1<a <0 B ．0<a <1 C ．1<a <3D ．3<a <6解析 取a ＝±12，代入原不等式得3x 2－8bx ＋4b 2>0，解得x <23b 或x >2b ，不符合条件，从而排除A ，B.取a ＝4代入原不等式得15x 2＋2bx －b 2<0，解得－b 3<x <b5，0<b <5，解集中的整数解少于3个，从而排除D ，故选C. 答案 C 二、填空题13．已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确的序号)．解析 用正方体ABCDA 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点． 答案 ①②④14．已知函数f (x )＝ln x －ax.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )<x 2，∴ln x －a x<x 2，又x >1， ∴a >x ln x －x 3，令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0恒成立，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递减．∴h (x )<h (1)＝－2<0. ∴即g ′(x )<0∴g (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )<g (1)＝－1.∴a >－1.答案 (－1，＋∞)15．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p ，q ，则1p ＋1q为________．解析 若用常规方法，运算量很大，不妨设PQ ∥x 轴，则p ＝q ＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .答案 4a16．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的命题：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确命题的序号是________． 解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝－f (x ＋1)＝－(－f (x ))＝f (x )，所以函数f (x )是周期函数，它的一个周期为2，所以命题①正确；由f (x ＋1)＝－f (x )，令x ＝－12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，而函数f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，解得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.根据函数f (x )在[－1,0]上为增函数及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，作出函数f (x )在[－1,0]上的图象，然后根据f (x )为偶函数作出其在[0,1]上的图象，再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示 .由函数的图象显然可判断出命题②⑤正确，而函数f (x )在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，所以命题③④是错误的．综上，命题①②⑤是正确的． 答案 ①②⑤ 三、解答题17．设函数f (x )＝x －2x－a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝3时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )的单调性．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝3时，f ′(x )＝1＋2x 2－3x ＝x 2－3x ＋2x2＝x －1x －2x2.令f ′(x )＝0，解得x ＝1或2.f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值在x ＝2处取得极小值，f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2，令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8，①当|a |≤22时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <－22时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞) 上，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >22时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，且都大于0，f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：x (0，x 1) x 1(x 1，x 2) x 2(x 2，＋∞) f (x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值f (x )在 ⎛⎪⎫0，a －a 2－8， ⎛⎪⎫a ＋a 2－8，＋∞上单调递增，在 ⎛⎪⎫a －a 2－8，a ＋a 2－8上单调递减．综上，当a ≤22时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >22时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减．18．已知各项均为正数的等差数列{a n }的公差d 不等于0.a 1＝2，设a 1，a 3，a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n b n }的前n 项和T n ；(2)将数列{a n }中与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1(n ≥2，n ∈N *)的值．解 因为a 1，a 3，a 7成等比数列，{a n }是公差d ≠0的等差数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，整理得a 1＝2d .又a 1＝2，所以d ＝1，b 1＝a 1＝2，q ＝b 2b 1＝a 3a 1＝a 1＋2da 1＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1，b n ＝b 1·q n －1＝2n ，所以a n b n ＝(n ＋1)·2n .(1)用错位相减法，可求得{a n b n }的前n 项和T n ＝n ·2n ＋1.(2)新的数列{c n }的前2n－n －1项和为数列{a n }的前2n－1项和减去数列{b n }的前n 项和， 所以S 2n －n －1＝2n－12＋2n2－21－2n1－2＝(2n－1)(2n －1－1)，所以S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1＝1.19．已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x (a ∈R )．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求正数a 的值，并求出f (x )在[0,4]上的最值； (2)若f (x )在区间(0,2)上不单调，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1， 由题意，f ′(1)＝0，即a 2－2a ＝0， 解得a ＝0(舍去)或a ＝2.当a ＝2时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)， 令f ′(x )>0，解得x <1或x >3；令f ′(x )<0， 解得1<x <3.f (x )的增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，减区间为(1,3)．于是f (x )在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减；在[3,4]上单调递增，因此f (x )在[0,4]上的最大值为max{f (1)，f (4)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，43＝43；f (x )在[0,4]上的最小值为min{f (0)，f (3)}＝min {}0，0＝0.(2)函数f (x )在区间(0,2)上不单调⇔函数f ′(x )在(0,2)内存在零点，而f ′(x )＝0的两根为a －1，a ＋1，所以0<a －1<2，或0<a ＋1<2，即1<a <3或－1<a <1，所以实数a 的取值范围是(1,3)∪(－1,1)．20．如图所示，已知直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线x ＝a 2上的射影依次为点D ，K ，E .(1)若抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程； (2)连接AE ，BD ，证明：当m 变化时，直线AE ，BD 相交于一定点． (1)解 由题意，易知b ＝3，椭圆C 的右焦点F (1,0)， 则c ＝1，所以a ＝2.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由题意，知F (1,0)，K (a 2,0)．先探索：当m ＝0时，直线l ⊥x 轴，此时四边形ABED 为矩形，由对称性，知AE ，BD 相交于FK 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.猜想：当m 变化时，直线AE ，BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (a 2，y 1)，E (a 2，y 2)． 首先证明当m 变化时，直线AE 过定点N .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2a 2＋y2b2＝1，消掉x ，得(a 2＋b 2m 2)y 2＋2mb 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.则Δ＝4a 2b 2(a 2＋m 2b2－1)>0(a >1)，且y 1＋y 2＝－2mb 2a 2＋b 2m 2，y 1y 2＝b 21－a2a 2＋b 2m 2.又k AN ＝－y 1a 2－12－my 1，k EN ＝－y 21－a22，所以k AN －k EN ＝－y 1a 2－12－my 1－－y 21－a22- 11 - ＝a 2－12y 1＋y 2－my 1y 21－a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1 ＝a 2－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2mb 2a 2＋b 2m 2－m ·b 21－a 2a 2＋b 2m 21－a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1 ＝2m 1－a2b 2－2m 1－a 2b 21－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1a 2＋b 2m 2＝0. 所以k AN ＝k EN .所以A ，E ，N 三点共线．同理可证B ，D ，N 三点共线．所以当m 变化时， 直线AE ，BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.。

1、如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．2、设函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋a －1，已知不等式1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．3、已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.(1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．4、设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．5．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则a 、b 满足的关系式为________．6．满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________．7．设a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时，a 的取值的集合为________．8．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．9．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．11．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)设数列{b n }的通项b n ＝1a n a n ＋1，记S n 是数列{b n }的前n 项和，若n ≥3时，有S n ≥m 恒成立，求m 的最大值．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．13．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围；(2)求α＋β的值．14．设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．15. 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．16.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则y x的最大值为________． 17.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形P ACB 面积的最小值．18．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当K (m,0)是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系．19．设关于x 的函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )＝12的a 的值，并求此时函数的最大值．20．已知a 是实数，函数f (x )＝x (x －a )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值．①写出g (a )的表达式；②求a 的取值范围，使得－6≤g (a )≤－2.21.已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .22.设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF 1PF 2的值．23.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，求a 的值．24.设集合A ＝{x ∈R |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．25．f (x )＝13x 3－x ，x 1，x 2∈[－1,1]时，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43.26．已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)．27.已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．28.设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，O 为坐标原点，且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则该双曲线的离心率为________．29.已知函数f (x )＝13x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (0<a <1，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围．30.是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间[0，π2]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，则说明理由．。

二、数形结合思想方法一 函数图象数形沟通法 模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象． ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化． ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．典例1 设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．8解析 ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数， ∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1.∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )为单调减函数；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )为单调增函数，∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C. 答案 C思维升华 由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．跟踪演练1 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( ) A ．－7 B ．－6 C ．－3 D ．－1答案 A解析 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. 方法二 几何意义数形沟通法 模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义． ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．典例2 如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx的最大值为( ) A.12 B.33 C.32D. 3 解析 方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而y x ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0，0)的连线的斜率． 所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大，此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan∠AOM ＝AM OA ＝3，故y x的最大值为3，故选D. 答案 D思维升华 解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有 (1)比值——可考虑直线的斜率． (2)二元一次式——可考虑直线的截距． (3)根式分式——可考虑点到直线的距离． (4)根式——可考虑两点间的距离．跟踪演练2 设点P (x ，y )满足：301011x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－，－＋，，，≤≥≥≥则y x －x y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D ．[－1,1]答案 B解析 作出不等式组301011x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－，－＋，，，≤≥≥≥所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y x，f (t )＝t －1t，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t－1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.方法三 圆锥曲线数形沟通法 模型解法圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解．③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．典例3 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)解析 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x 得x 0＝14，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，故选A.答案 A思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．跟踪演练3 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.。

高考思想方法训练于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16解析：由题易知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝6，故选A.答案：A5．已知函数f (x )＝2x 2－ax ＋ln x 在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．(4，＋∞) D．[4，＋∞)解析：函数的定义域为(0，＋∞)，因为f (x )＝2x 2－ax ＋ln x ，所以f ′(x )＝4x －a ＋1x＝1x(4x 2－ax ＋1)．由函数在区间(0，＋∞)上不单调可知f ′(x )＝0有两个正根，即4x 2－ax ＋1＝0有两个正根．故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝－a2－4×4×1>0，x 1＋x 2＝a 4>0，x 1x 2＝14>0，解得a >4.所以a 的取值范围为(4，＋∞)． 答案：C6．(2017·昆明市质检)(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．96 B ．64 C ．32 D ．16解析：(1＋2x )3的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 3(2x )r ＝2r C r 3x r ，(2－x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 424－k(－x )k ＝(－1)k 24－k C k 4x k，所以(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数为20C 03·(－1)·23C 14＋2C 13·(－1)0·24C 04＝64.答案：B7．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M8．已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤2e ，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e，e ＋1e解析：设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时，f ′(x )＝1－x x ≥0，f (x )是增函数，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e ，a ；设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e yy (y ＋2)，则g (y )在[－1,0)单调递减，在[0,1]单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，存在唯一的y ∈[－1,1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e ，a ⊆[0，e]，解得1e ≤a ≤e.答案：A9．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意知，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.答案：110．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由约束条件作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋2y －4＝0，解得B (2,1)．在x －y －1＝0中取y ＝0得A (1,0)． 由ax ＋y ≤4得y ≤－ax ＋4， 要使ax ＋y ≤4恒成立，则平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方， 若a ＝0，则不等式等价于y ≤4，此时满足条件， 若－a >0，即a <0，平面区域满足条件，若－a <0，即a >0时，要使平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可，即2a ＋1≤4，得0<a ≤32.综上a ≤32.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，3211．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为________．解析：由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 12．(2017·陕西八校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点．若AF →＝mFB →，则m 的值为________．解析：由题意知F (1,0)，由⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝13，y 1＝－233⎝ ⎛⎭⎪⎫233舍去，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝23－23舍去.由A 在x 轴上方，知A (3,23)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，则AF →＝(－2，－23)，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－233，因为AF →＝mFB →，所以m ＝3.答案：313．(2017·太原市模拟题)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，a ＝2b cos B ，b ≠c .(1)证明：A ＝2B ；(2)若a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，求A . 解析：(1)证明：∵a ＝2b cos B ，且a sin A ＝bsin B，∴sin A ＝2sin B cos B ＝sin2B ，∵0<A <π，0<B <π，∴sin A ＝sin2B >0，∴0<2B <π， ∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，则B ＝C ，b ＝c ，这与“b ≠c ”矛盾，∴A ＋2B ≠π， ∴A ＝2B .(2)∵a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，∴a 2＋c 2－b 22ac＝sin C ，由余弦定理得cos B ＝sin C ，∵0<B <π，0<C <π，∴C ＝π2－B 或C ＝π2＋B .①当C ＝π2－B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，得A ＝π2，B ＝C ＝π4，这与“b ≠c ”矛看，∴A ≠π2；②当C ＝π2＋B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝A ＋2B ＋π2＝2A ＋π2＝π，得A ＝π4，B ＝π8，C ＝5π8， ∴A ＝π4.14．(2017·洛阳市统考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n－3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1， ∴a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. ∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2. (2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， ∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数n －32，n 为偶数.15．设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x ，m >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥1时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数． 解析：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋mx －mx.当0<x <m 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， 当x >m 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上，函数f (x )的单调递增区间是[m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m ]． (2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，问题等价于求函数F (x )的零点个数．F ′(x )＝－x －1x －mx，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32>0，F (4)＝－ln4<0，所以F (x )有唯一零点．当m >1时，若0<x <1或x >m ，则F ′(x )<0，若1<x <m ，则F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m＋12>0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)<0， 所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．16．(2017·合肥市质检)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．解析：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1，。

二、数形结合思想典例1 设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y－3)2＝a 2，a >0}且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值．分析 根据点集M ，N 中方程的特点，联想两个方程所表示的曲线，以形助数．解 如图，集合M 表示以O (0,0)为圆心，r 1＝2a 为半径的上半圆，集合N 表示以O ′(1，3)为圆心，r 2＝a 为半径的圆．∵M ∩N ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公共点．当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小；内切时，a 最大． ∵OO ′＝2，∴外切时，2a ＋a ＝2，a ＝22＋1＝22－2. 内切时，2a －a ＝2，a ＝22＋2.∴a 的最大值为22＋2，a 的最小值为22－2.点评 本题巧妙地转化为圆与圆的位置关系问题，可谓是极具创新性的解题，避免常规方法中的繁杂与高难度，又能通过图形非常直观地加以处理方程的问题，真正达到数形结合的最佳效果．典例2 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．分析 建立坐标系，用轨迹法． 解析 设c ＝(x ，y )，则2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )，由(2a －c )·(3b －c )＝0，有 (2－x )(－3－x )＋(2－y )(3－y )＝0， 化简整理得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132， 即向量c 的坐标(x ，y )在以M ⎝⎛⎭⎫－12，52为圆心，r ＝132为半径的圆上． 从而求|c |的最大值，即圆⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132上的点到坐标原点距离的最大值， 又坐标原点在此圆上，所以|c |的最大值为2r ＝26. 答案26点评 设点研究得出点的轨迹方程，从几何角度得到点在圆上，再寻找最值，体现了数形结合思想的典型运用．典例3 若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．分析 这个问题从表面上看是方程与不等式的问题，如果用求根公式得出小根在0和1之间，大根在1和2之间来解不等式组是很麻烦的，并且不易解出．如果我们根据题意，通过满足条件的函数图象，由根的分布情况分析函数值的大小问题，解不等式组得到相应的实数k 的取值范围．解 设函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，结合草图可知，函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，1＋k －2＋2k －1<0，4＋2k －2＋2k －1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k >12，k <23，k >14，即12<k <23，所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，23. 点评 利用函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象来研究相应的方程与不等式的问题，可以化代数问题为几何问题，通过图形非常直观地处理相应的问题．思路清晰，简单易懂． 从上面的例题可以看出数形结合思想解题思路如下：1．“形”中觅“数”．以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合．2．“数”上构“形”．以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法．3．用图形分析的方法解决问题，一方面要发挥图形的直观、形象地作用，另一方面则要注意画图的准确性、完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成． 跟踪演练1．(2017·江苏启东模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则∑n ＝12 017f ⎝⎛⎭⎫n π6＝________.答案 1解析 由题意得T 4＝2π4ω＝5π12－π6⇒ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，|φ|<π2⇒φ＝π6， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为f ⎝⎛⎭⎫n π6＝sin ⎝⎛⎭⎫n π3＋π6，周期为6，一个周期的和为零，所以∑n ＝12 017f ⎝⎛⎭⎫n π6＝f (1)＝sin π2＝1. 2．(2017·江苏宿迁中学月考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos πx |，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为________． 答案 6解析 根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3， 则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos πx |， 所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos πx ，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎡⎦⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象如图所示，有5个交点．所以h (x )总共有6个零点．3．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有两个不同的实根α，β. (1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．解 方法一 (1)设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则由题设知，直线l ：3x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1有两个不同的交点A (cos α，sin α)和B (cos β，sin β)，所以原点到直线l 的距离小于半径1， 即d ＝|0＋0＋a | r(3 2＋12)＝|a |2<1，所以－2<a <2. 又因为α，β∈(0,2π)，α≠β. 所以直线l 不过点(1,0)， 即3＋a ≠0，即a ≠－3， 即a ∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA ＝α，∠xOB ＝β，作OH ⊥AB ，垂足为H ，则∠xOH ＝α＋β2，因为OH ⊥AB ， 所以k AB ·k OH ＝－1， 所以tanα＋β2＝33， 因为α＋β2∈(0,2π)，所以α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二 (1)原方程可化为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝－a 2， 作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象，由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知，当－3<a <2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象交于C ，D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3，当－2<a <－3，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫32，1时，直线y ＝－a 2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象交于A ，B 两点， 由对称性知α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3.综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.4．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x .(1)当a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数； (2)当a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为2.解 (1)当a ＝2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f x ，y ＝g x ，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ，整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝x 3＋x 2－x －2 x ≠1 ，令y ′＝3x 2＋2x －1＝0，得x 1＝－1，x 2＝13，得到极值点分别在－1和13处，且极大值、极小值都是负值，图象如图，故交点只有一个．即y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数为1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f x ，y ＝gx ，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ，整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝hx ＝x 3＋x 2－xx ≠1， 对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，h (－1)＝1，h ⎝⎛⎭⎫13＝－527， 画出草图如图．当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故当a ＝－527时恰有两个公共点．。