2019年高考数学(北师大版理科)： 35 基本不等式及其应用

3.2 基本不等式-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.了解不等式的概念，并掌握基本不等式的证明方法。

2.能够运用基本不等式求解基础数学题目。

二、教学重点1.基本不等式的概念。

2.基本不等式的证明方法。

3.基本不等式的应用。

三、教学难点1.基本不等式的证明方法。

2.基本不等式的应用。

四、教学内容和方法1. 教学内容1.不等式的概念。

2.基本不等式的证明方法。

3.基本不等式的应用。

4.案例演练。

2. 教学方法1.讲授法。

2.案例演练法。

3. 具体步骤(1) 不等式的概念1.引入不等式的概念，并让学生了解不等式的基本性质。

2.提供一些例题，让学生掌握不等式的基础知识。

(2) 基本不等式的证明方法1.讲解基本不等式的证明方法，并让学生理解证明思路。

2.给出一些例题，让学生通过案例演练掌握证明方法。

(3) 基本不等式的应用1.讲解基本不等式的应用，并通过案例演练让学生掌握应用方法。

2.提供一些综合应用的例题，让学生能够运用所学知识解题。

五、教学评估1.进行课堂测试，测试学生对基本不等式的理解和掌握程度。

2.打分并评估学生的学习成果和教学效果。

六、教学进度安排本次课时为2学时，具体安排如下：1.第一学时：讲解不等式的概念和基本性质，并提供例题进行练习，时间1学时。

2.第二学时：讲解基本不等式的证明方法和应用，提供案例练习和综合例题进行讲解，时间1学时。

七、教学资源准备1.基本不等式的教材教辅。

2.讲解PPT。

3.相关练习题和测试题。

2a b +≤有哪些应用(0,0)2a b a b +>>的应用进行分类解析，供学习时参考. 一、证明不等式 例1．已知0,0,1a b a b c >>++=，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥证明：0,0,1a b a b c >>++=，所以1110a b c b c a a a +++-=-=≥>，1110a b c a c b b b +++-=-=≥>，1110a b c a b c c c +++-=-=≥>， 将以上三式相乘，得111(1)(1)(1)8.a b c---≥点评：创设条件，利用基本不等式a b +≥. 二、求最大（小）值例2．（1）若0,0x y >>，且281x y+=，则xy 有（ ） （A ）最大值64 （B ）最大值164（C ）最大值16 （D ）最小值是64 （2）在下面等号右侧两个分数的分母括号内，各填上一个自然数，并使这两个自然数的和最小：.)(9)(11+=解：（1）0,0x y >>，且281x y +=，所以281x y =+≥8≥，当且仅当28x y =，且281x y+=，即4,16x y ==时取等号，16xy ∴≥，选（D ）. （2）设这两个自然数分别是x ，y ，利用整体代换，得)91()(y x y x y x +⋅+=+)9(10y x x y ++=169210=⋅+≥yx x y ，当且仅当y x x y 9+，且191=+yx ，即12,4==y x 时，y x +最小，故应填的两个数分别为4和12. 点评：创设条件，利用基本不等式可求某些函数的最值.三、比较大小例3．设0a >，试比较1a -与11a-的大小解：1a -11(1)220a a a --=+-≥=，当且仅当1a =时取等号， 故1a -11a≥-，当且仅当1a =时取等号.另解：1a -211(1)20.aa a --=+-=≥ 点评：利用基本不等式，可以比较实数的大小.四、求参数的取值范围例4．在ABC ∆中，222sin sin 5sin A B C +=，则sin C 的取值范围是_____.解：由已知条件及正弦定理，得222sin sin 5sin A B C +=即2225a b c +=， 2222222444cos 225a b c c c C ab ab a b +-∴==≥=+，当且仅当a b =时取等号， 2161cos 25C ∴>≥，即21611sin 25C ∴>-≥，30sin .5C ∴<≤ 点评：利用基本不等式可以求某些参数的取值范围.五、解应用题例5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为40803m ，深为3m ，如果池底和池壁的造价每平方米分别为150元和120元，问怎样设计水池能使水池的总造价最低，最低总造价是多少元？解：设水池底面一边长为xm ，则另一边长为48003m x，水池的总造价为 48004800150120(2323)33S x x =⨯+⨯+⨯⨯1600240000720()x x=++240000720297600.≥+⨯= 当且仅当1600x x=，即40x =时，y 有最小值297600. 因此当水池的底面是边长为40米的正方形时，水池的总造价最低，最低为297600元. 跟踪练习：1．已知a 、b ，且满足1a b +=，则11a b+与4的大小关系是____. （A ）(2,)+∞ （B ）[2,)+∞ （C ）(4,)+∞ （D ）[4,)+∞2．（1999年全国卷改编）若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则a b +的取值范围是._______答案与略解1．由于1a b +=，1122 4.a b a b b a a b a b a b ++∴+=+=++≥+= 当且仅当12a b ==时取“=”号，故114a b +≥，（当且仅当12a b ==时取“=”号）. 2．设a b t +=，由2)2(b a ab +≤，得2()2t ab ≤，即233()2t a b ab -++=≤， 整理，得3t +233()2t t -+≤，。

课时分层训练(三十五) 基本不等式及其应用A组基础达标一、选择题1．“x≥1”是“x＋1x≥2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [x＋1x≥2⇔x＞0，所以“x≥1”是“x＋1x≥2”的充分不必要条件，故选A.]2．已知x，y＞0且x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为( )A．8 B．9 C．10 D．11B [∵x＋4y＝1(x，y＞0)，∴1x＋1y＝x＋4yx＋x＋4yy＝5＋⎝⎛⎭⎪⎫4yx＋xy≥5＋24yx·xy＝5＋4＝9⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x＝2y＝13时，取等号.]3．(2018·青岛质检)已知x＞1，y＞1，且lg x,2，lg y成等差数列，则x＋y有( )A．最小值20 B．最小值200C．最大值20 D．最大值200B [由题意得2×2＝lg x＋lg y＝lg(xy)，所以xy＝10 000，则x＋y≥2xy＝200，当且仅当x＝y＝100时，等号成立，所以x＋y的有最小值200，故选B.]4．设a＞0，若关于x的不等式x＋ax－1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )【79140196】A．16 B．9 C．4 D．2C [在(1，＋∞)上，x＋ax－1＝(x－1)＋ax－1＋1≥2(x－1)×a(x－1)＋1＝2a＋1(当且仅当x＝1＋a时取等号)，由题意知2a＋1≥5.所以2a ≥4，a≥2，a≥4.]5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A．60件B．80件C．100件D．120件B [每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x8元，则800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．]二、填空题6．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．[9，＋∞) [∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，∴ab－2ab－3≥0，∴(ab＋1)(ab－3)≥0，∴ab≤－1(舍去)或ab≥3.即ab≥9.]7．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab＞0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________．4 [∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2 (当且仅当a2＝2b2时“＝”成立)，∴a4＋4b4＋1ab≥4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab，由于ab＞0，∴4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎨⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.] 8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.【79140197】8 [年平均利润为y x ＝－x －25x ＋18＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋18，∵x ＋25x ≥2x ·25x ＝10，∴yx ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤18－10＝8， 当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，取等号．]三、解答题9．(1)当x<32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x<2，求函数y ＝x(4－2x)的最大值．[解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x2＋83－2x ＋32.当x<32时，有3－2x>0， ∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x2·83－2x ＝4，。

§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．2．线性规划相关概念3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证． 知识拓展1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) 题组二 教材改编2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )答案 B解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B 中的阴影部分．3．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨) 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900. 题组三 易错自纠4．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C. 5．(2017·日照一模)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为( )A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，令m ＝2x ＋y ，则当m 取得最大值时，z ＝(2)2x ＋y 取得最大值．由图知直线m ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，m 取得最大值，所以z max ＝(2)2×1＋2＝4，故选D.6．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________． 答案 －1解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题典例 (2017·黄冈模拟)在平面直角坐标系中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14答案 B解析 对于集合B ，令m ＝x ＋y ，n ＝x －y ， 则x ＝m ＋n 2，y ＝m －n2，由于(x ，y )∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＋m －n2≤1，m ＋n 2≥0，m －n 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，m ＋n ≥0，m －n ≥0，因此平面区域B 的面积即为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，m ＋n ≥0，m －n ≥0所对应的平面区域(阴影部分)的面积，画出图形可知，该平面区域的面积为 2×⎝⎛⎭⎫12×1×1＝1，故选B. 命题点2 含参数的平面区域问题 典例若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．故选D.思维升华 (1)求平面区域的面积对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可． (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解． 跟踪训练 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )答案 C解析 由(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有选项C 符合题意． (2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 答案 A解析 由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．题型二 求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值典例(2017·全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A ．－15 B ．－9 C ．1 D ．9 答案 A解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A. 命题点2 求非线性目标函数的最值典例(2016·山东)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12 答案 C 解析 满足条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取得最大值，最大值为10.故选C.命题点3 求参数值或取值范围典例 (2018届广雅中学、东华中学等联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2≥y ，x －2≤2y ，x ＋y ≤2，若z ＝x －my (m >0)的最大值为4，则z ＝x －my (m >0)的最小值为________． 答案 －6解析 作出可行域如图阴影部分所示．目标函数化简得y ＝1m x －zm，因为m >0，故只可能在A ，B 处取最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2－y ＝0，x －2y －2＝0，解得B (－2，－2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2－y ＝0，x ＋y －2＝0，解得C (0,2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y －2＝0，解得A (2,0)，若目标函数z ＝x －my (m >0)过点A ，z ＝2不符合题意，所以过点B 时取得最大值，此时4＝－2＋2m ，解得m ＝3，z ＝x －my (m >0)过点C 时，z min ＝－6.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离； ②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．跟踪训练 (1)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6>0，y ≥12x －3，x ＋4y ≤12，则z ＝y －3x －2的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－13 C.⎣⎡⎦⎤－12，－13 D.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ 答案 B解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝y －3x －2表示点D (2,3)与平面区域内的点(x ，y )之间连线的斜率．因为点D (2,3)与点B (8,1)连线的斜率为－13且C 的坐标为(2，－2)，故由图知，z ＝y －3x －2的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－13，故选B.(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 答案 B解析 根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ，直线的斜率k ＝－a .当0<k ≤1，即－1≤a <0时，无选项满足此范围；当k >1，即a <－1时，由图形可知此时最优解为点(0,0)，此时z ＝0，不合题意；当－1≤k <0，即0<a ≤1时，无选项满足此范围；当k <－1，即a >1时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时z ＝2a ＋0＝4，得a ＝2.题型三 线性规划的实际应用问题典例某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图阴影部分所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元． 思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．跟踪训练 (2016·全国Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 答案 216 000解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N ＋，y ≥0，y ∈N ＋，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．线性规划问题考点分析线性规划是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有三类：①目标函数是线性的；②目标函数是非线性的；③已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题．典例若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，x －y ≥0，则z ＝2x ＋y 的取值范围是( )A ．[3,4]B ．[3,12]C ．[3,9]D ．[4,9]答案 C解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，x －y ≥0表示的可行域(如图阴影部分所示)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＝0，得A (1,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6＝0，x －y ＝0，得B (3,3)， 平移直线y ＝－2x ＋z ，当直线经过A ，B 时分别取得最小值3，最大值9， 故z ＝2x ＋y 的取值范围是[3,9]，故选C.1．下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，2x －y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，2x －y ＋4≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－2，2x －y ＋2≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－2，2x －y ＋4≤0答案 C解析 将原点坐标(0,0)代入2x －y ＋2，得2>0，于是2x －y ＋2≥0所表示的平面区域在直线2x －y ＋2＝0的右下方，结合所给图形可知C 正确．2．(2018届贵州黔东南州联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝3x －4y ＋3的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫43，13 B.⎝⎛⎦⎤43，13 C.⎣⎡⎭⎫43，3 D ．(3,13)答案 A解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y ＋3，得y ＝34x ＋3－z4，平移直线y ＝34x ，当经过点A (2，－1)，B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 的取值为13，43，所以z ∈⎣⎡⎭⎫43，13，故选A.3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 答案 B 解析由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43 D ．3答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝(m ＋1)23＝43，∴m ＝1或m ＝－3，又∵当m ＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m ＝1.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元 答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶， 则根据题意得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .设获利z 元，则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图阴影部分．画出直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0. 平移直线l ，从图中可知，当直线l 过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)， ∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.6．(2018·枣庄月考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，ω＝y ＋1x 的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图像可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.故选D.7．(2017·开封一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,2] B ．(－4,2) C ．[－4,1] D ．(－4,1) 答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a 2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值，故选B.8．(2017·河北“五个一名校联盟”质检)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是________． 答案 4解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1,3)，则d ＝12＋32＝10， 此时|AB |min ＝214－10＝4.9．(2017·全国Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．答案 －1解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)． ∴z min ＝3－4＝－1.10．(2018·广州模拟)若满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y －3)≥0，0≤x ≤a 的点(x ，y )组成的图形的面积是5，则实数a 的值为________． 答案 3解析 不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，0≤x ≤a ，画出平面区域如图所示，平面区域为△ABC ，△ADE ，A (1,2)，B (a ，a ＋1)，C (a,3－a )， 面积为S ＝12(2a －2)(a －1)＋12×2×1＝5，解得a ＝3或a ＝－1(舍去)．11．(2017·衡水中学月考)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为____________． 答案 1解析 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x 得A 点坐标为(1,2)．∴m 的最大值为1.12．(2018届江苏横林高级中学模拟)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2，则z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为________． 答案 2解析 画出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分所示)，目标函数z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内一点到点A (－1,1)的距离的平方，根据图像可以看出，点A (－1,1)到可行域内一点距离的最小值为点A (－1,1)到直线x －y ＝0的距离d ＝|－1－1|2＝2，则d 2＝2，则z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为2.13．(2017·石家庄二模)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( )A ．－1B ．－52＋17C.13 D ．－75答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3,2)的连线的斜率，由图可知，当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min＝1－125＝－75，故选D.14．(2018届衡水联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤t ，x ≥π6，y ≥0，其中t >π2，若sin(x ＋y )的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤5π6，7π6解析 作出可行域如图阴影部分所示，设z ＝x ＋y ，作出直线l ：x ＋y ＝z ，当直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫π6，0时，z 取得最小值π6；当直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫π6，t －π2时，z 取得最大值t －π3.即π6≤x ＋y ≤t －π3，当x ＋y ＝π2时，sin(x ＋y )＝1. 当x ＋y ＝π6或5π6时，sin(x ＋y )＝12.所以π2≤t －π3≤5π6，解得5π6≤t ≤7π6.15．已知f (m )＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0,1]时，f (m )≤1恒成立，则a ＋b 的最大值是________． 答案 73解析 f (m )＝(3m －1)a ＋b －2m ＝(3a －2)m －a ＋b ， ∵当m ∈[0,1]时，f (m )≤1恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝－a ＋b ≤1，f (1)＝2a ＋b －2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≥0，2a ＋b －3≤0. 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0，2a ＋b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝23，b ＝53，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，53.令z ＝a ＋b ，则b ＝－a ＋z ，由图可知，当直线b ＝－a ＋z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，即z 有最大值，且z max ＝23＋53＝73，即a ＋b 的最大值是73.16．(2017·湖北七市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －5≤0，y ≥112x 4＋14，则yx的最小值为________． 答案 13解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －5≤0，y ≥112x 4＋14表示的平面区域如图中阴影部分所示，y x 表示可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，设k ＝yx ，由可行域可知，k 取得最小值时曲线y ＝112x 4＋14与直线y ＝kx 相切，设此时切点为P (x 0，y 0)， 由y ＝112x 4＋14，可得y ′＝13x 3，所以切线方程为y －y 0＝13x 30(x －x 0)，又y 0＝112x 40＋14，所以切线方程可化为y ＝13x 30x －13x 40＋112x 40＋14，即y ＝13x 30x －14x 40＋14，又该切线过原点O (0,0)，所以x 40＝1，所以x 0＝1，切线的斜率为13x 30＝13，则⎝⎛⎭⎫y x min ＝13.。

基本不等式及应用(教案)A一、知识梳理：1、基本不等式(1)重要不等式:如果a,b ,那么+2ab.当且仅当a=b时,等号成立.(2)基本不等式: 如果a,b>0.那么可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、重要结论：（1）a+ 2 （a）1（2）a+2（a）1（3）、（4）、+ab+bc+ca（5）、（ a,b>0.）（6）、+3、如果a,b ,那么(不等式证明选讲内容)4、推广：对于n个正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数.即二、题型探究探究一：利用基本不等式求最值：例1：（1）x,y ,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值；（2）x,y , xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2即：和定，积最大；积定，和最小。

应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。

例1：解答下列问题（1）已知x，求x+的最小值；（2）已知0，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值；（3）求函数y=（4）已知x，且x+y=1，求+。

探究二：基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：（1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数；（2）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；（3）、在定义域内，求出函数的最值；（4）、正确写了答案。

例2：某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/ 平方米,房屋侧面的造价为150元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。

（1）、把房屋总选价y表示为x的函数，并写出该函数的定义域；（2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？三、方法提升基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式为正值）、定（“和”或“积”为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。

新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题2.2 基本不等式及其应用【考纲解读与核心素养】1. 掌握基本不等式ab b a ≥+2(a ，b ＞0)及其应用. 2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1．重要不等式当a 、b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立．2．基本不等式当a >0，b >0时有ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立． 3．基本不等式与最值已知x 、y 都是正数．(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．4.常用推论（1）22ab 2a b +≤（,R a b ∈）（2）2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ （3）20,0)112a b a b a b +≤≤>>+ 【典例剖析】高频考点一 ：利用基本不等式证明不等式例1. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥【答案】见解析【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【方法技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【变式探究】1.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝， ∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b . ∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b=，即1a=b=2时取“＝”． ∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 2.求证:47(3)3a a a +≥>- 【答案】见解析【解析】证明:443333a a a a +=+-+--由基本不等式和3a >得4433333a a a a +=+-+≥--=237= 当且仅当433a a =--即5a =时取等号. 高频考点二：利用基本不等式求最值例2. （2019年高考天津卷文）设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92 【解析】(1)(21)2212525x y xy y x xy xy xy xy xy++++++===+. 因为0,0,24x y x y >>+=， 所以2422x y x y +=≥⋅，即22,02xy xy ≤<≤，当且仅当22x y ==时取等号成立.又因为192255=22xy +≥+⨯， 所以(1)(21)x y xy ++的最小值为92. 例3．（浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考）若实数、满足，且，则的最小值是__________，的最大值为__________．【答案】2【解析】实数、满足，且，则，则，当且仅当，即时取等号，故的最小值是2，，当且仅当，即时取等号 故的最大值为，故答案为：2，．【规律方法】利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如(0)a y x a x=+>的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【变式探究】1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n +的最小值为（ ） A ．223+ B ．32+ C ．222+ D ．3 【答案】A【解析】由题意，因为12=+n m ，则111122()(2)332322n m n m m n m n m n m n m n+=+⋅+=++≥+⋅=+， 当且仅当2n m m n =，即2n m =时等号成立， 所以11m n+的最小值为223+，故选A. 2.设当________时，取到最小值．【答案】【解析】 因为，所以，当且仅当时取等号， 故当时，取得最小值是，故答案是.【总结提升】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．高频考点三：基本不等式的实际应用例4. （2017·江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 .【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【规律方法】1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！【变式探究】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（ ）A.6B.2C.4D.22【答案】C【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以2EB x =，22AE y =．AB EB AE =+222x y +≥2222x y ⋅＝2xy ，即2xy 4xy ≤，所以绿地面积最大值为4，故选C ．高频考点四：基本不等式的综合运用例5. （2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-（m R ∈）．（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；（2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[11]D -⊆，，求m 的取值范围． 【答案】（1）3m ≥；（2）1|11x x m ⎧⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭.；（3）3m ≥. 【解析】（1）①当10m +=即1m =-时，()2f x x =-，不合题意； ②当10m +≠即1m ≠-时，()()210{4110m m m m +>∆=-+-≤，即21{340m m >--≥，∴1{33m m m >-≤-≥，∴m ≥ （2）()f x m ≥即()2110m x mx +--≥即()()1110m x x ⎡⎤++-≥⎣⎦①当10m +=即1m =-时，解集为{|1}x x ≥②当10m +>即1m >-时，()1101x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭∵1011m -<<+，∴解集为1{|1}1x x x m ≤-≥+或 ③当10m +<即21m -<<-时，()1101x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭ ∵21m -<<-，所以110m -<+<，所以111m ->+ ∴解集为1{|1}1x x m ≤≤-+ （3）不等式()0f x ≥的解集为D ，[]1,1D -⊆，即对任意的[]1,1x ∈-，不等式()2110m x mx m +-+-≥恒成立，即()2211m x x x -+≥-+恒成立，因为210x x -+>恒成立，所以22212111x x m x x x x -+-≥=-+-+-+恒成立， 设2,x t -=则[]1,3t ∈，2x t =-， 所以()()2222131332213x t t x x t t t t t t-===-+-+---++-，因为3t t+≥，当且仅当t =时取等号，所以22313x x x -≤=-+，当且仅当2x =所以当2x =22max11x x x ⎛⎫-+= ⎪-+⎝⎭所以233 m例6．设函数（Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ）因为函数的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递减，所以，∴.（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得，即，所以.所以.∵，则当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为.【总结提升】基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．【变式探究】1．(2019·北京海淀模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1) D．(－22－1,22－1)【答案】B【解析】由f(x)＞0得32x－(k＋1)3x＋2＞0，解得k＋1＜3x＋23x.而3x＋23x≥22(当且仅当3x＝23x，即x＝log32时，等号成立)，∴k＋1＜22，即k＜22－1.2.（天津市河北区2019届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列中，若，n*∈N，满足，则的最小值为__________．【答案】1【解析】设等比数列公比为，则首项由得：，则：，，，,m n*∈N，.则（当且仅当，即时取等号）.故填.。

第二节 基本不等式及其应用[考纲传真] (教师用书独具)1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(对应学生用书第95页)[基础知识填充]1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．几个重要的不等式(注意逆应用)(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值q 那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． [知识拓展]1.2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a＞0，b＞0)．2．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)＞A在区间D上恒成立⇔f(x)min＞A；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)＜B在区间D上恒成立⇔f(x)max＜B.(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)＞A成立⇔f(x)max＞A；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)＜B成立⇔f(x)min＜B.(3)恰成立问题：不等式f(x)＞A恰在区间D上成立⇔f(x)＞A的解集为D；不等式f(x)＜B恰在区间D上成立⇔f(x)＜B的解集为D.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的．()(2)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．()(3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．()(4)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(5)函数f(x)＝cos x＋4cos x，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.()(6)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充分不必要条件．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)√2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为() A．80B．77C．81 D．82C[∵x＞0，y＞0，∴x＋y2≥xy，即xy≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.]3．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－4C [∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号． ∴f (x )有最大值－4.] 4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4 C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]5．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， 则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.](对应学生用书第95页)(1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________． (2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________.【导学号：79140194】(1)116 (2)1 (3)5 [(1)法一：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1，∴1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立． ∴ab ≤14，∴ab ≤116.∴ab 的最大值为116. 法二：∵4a ＋b ＝1，∴ab ＝14·4a ·b ≤14⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝116， 当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12(满足a ＞0，b ＞0)时，等号成立，∴ab 的最大值为116.(2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋212y 5x ·3x 5y ＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.]a 2＋4＋4ab ＋4b 2a ＋2b 的最小值为( )A.14 B ．1 C ．2D ．4(2)(2017·山东高考)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．(3)(2017·四川乐山一中月考)设0＜x ＜32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．(1)D (2)8 (3)92 [(1)a 2＋4＋4ab ＋4b 2a ＋2b ＝a ＋2b ＋4a ＋2b≥2(a ＋2b )·4a ＋2b＝4，当且仅当a ＋2b ＝4a ＋2b ，即a ＋2b ＝2时等号成立，则a 2＋4＋4ab ＋4b 2a ＋2b 的最小值为4.故选D.(2)∵直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b ＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24a b ·ba ＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.(3)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立． ∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92.]某化工企业2017年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备． [解] (1)由题意得， y ＝100＋0.5x ＋(2＋4＋6＋…＋2x )x，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N ＋)． (2)由基本不等式得： y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元D ．240元C [设底面相邻两边的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．](1)(2017·河南平顶山一模)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥15 B ．a ＞15 C ．a ＜15D ．a ≤15(2)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.(1)A (2)36 [(1)∵对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，∴对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ，而对x ∈(0，＋∞)，xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥15. (2)∵x ＞0，a ＞0， ∴f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值． 又∵f (x )在x ＝3时取得最小值， ∴a ＝4×32＝36.][跟踪训练] (1)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8(2)已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________.【导学号：79140195】(1)B (2)2 [(1)(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a＞0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立．所以a ≥4，故选B. (2)依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即x＋22xyx＋y的最大值为2.又λ≥x＋22xyx＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.]。

专题2.2 基本不等式及其应用1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=的（ ） AB C D ．最小值是3【答案】B 【解析】 由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=， =≤3a c =. 故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案. 【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤， 练基础反过来，若16ab ≤，则2ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号， 所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2ab a b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件， 故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+ ，则ABC 的三个内角大小为（ ） A ．60A B C === B ．90,45A B C === C ．120,30A B C === D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C ==. 【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）. 而ABC 的面积是1sin 2S bc A =, 所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ， 因为A 为三角形内角，所以90A =︒. 又因为b=c ，所以90,45A B C ===. 故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（ ）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩， 因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤， 因此xy 的最小值是1-， 故选：D5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。