下载文档原格式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式2. 3．正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α．(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2．思考：用tan α能表示sin 2α和cos 2α吗？ [提示] 可以．sin 2α＝2sin αcos α＝2tan α1＋tan 2α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α. 1.⎝⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝()A ．－32B ．－12C ．12D ．32D [原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.]2．sin 15°cos 15°＝ ．14 [sin 15°cos 15°＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 3．12－cos 2π8＝ ．－24 [12－cos 2π8＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2π8＝－12cos π4＝－24.]4．若tan θ＝2则tan 2θ＝ ． －43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.]给角求值【例1】 (1)cos 412－sin 412等于( )A ．－12B ．－32C ．12D ．32(2)求下列各式的值．①1－2sin 2750°； ②2tan 150°1－tan 2150°； ③cos π5cos 2π5. (1)D[原式＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π12＋sin 2π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.](2)[解] ①原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos ()4×360°＋60° ＝cos 60°＝12.②原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.③原式＝2sin π5cos π5cos2π52sinπ5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°.[解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.给值求值、求角问题1．公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪些主要变形？提示：主要变形有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cosα)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．如何在倍角公式中用2α±π2＝2(α±π4)解题？提示：(1)sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α； (2)cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α；(3)cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.【例2】 (1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．思路点拨：(1)⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－2α＝π2，用诱导公式联系求解．(2)用余弦二倍角公式和诱导公式求解． [解](1)∵sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝1－2cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.(2)∵0＜x ＜π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos 2x －sin 2x 22（cos x －sin x ）＝2(cos x ＋sin x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413.1．若本例(2)中的条件不变，则sin 2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值是什么？[解]sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22cos x －22sin x ＝513， 平方得sin 2x ＝119169，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，所以sin 2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝119169×1312＝119156.2．若本例(2)中的条件变为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝512，其他条件不变，结果如何？[解] 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝512，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝512cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，又sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1， 故可解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413.解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．(2)当遇到π4±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等．化简、证明问题【例3】 (1)化简：tan θ＋1＋tan θ－1＝ ．(2)证明：3tan 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）＝－4 3. 思路点拨：(1)通分变形．(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan 2θ [原式＝tan θ－1＋tan θ＋1（tan θ＋1）（tan θ－1）＝2tan θtan 2θ－1＝－2tan θ1－tan 2θ＝－tan 2θ.] (2)证明：左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°（2cos 212°－1）＝23⎝⎛⎭⎪⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin （12°－60°）sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边，所以原等式成立．] 证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．2．求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ； (2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.[证明] (1)左边＝1＋cos （2A ＋2B ）2－1－cos （2A －2B ）2＝cos （2A ＋2B ）＋cos （2A －2B ）2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B )＝cos 2A cos 2B ＝右边， ∴等式成立．(2)法一：左边＝cos 2θ⎝⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边． 法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n 是α2n ＋1的二倍(n ∈N *)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos 2α2.1．下列说法错误的是( )A ．6α是3α的倍角，3α是3α2的倍角B ．二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角C ．存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立D ．对任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2αD [A 正确，β中二倍角的正弦、余弦公式适用任意角，正切公式的适用范围是α，2α≠k π＋π2(k ∈Z )，故B 对，D 错；C 中若α＝k π(k ∈Z )时等式成立．]2．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝ ． 6 [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.] 3．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是 ．3 [∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3， ∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.] 4．已知π2＜α＜π，cos α＝－45. (1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解] (1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π， 所以sin α＝35， 所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝725， 所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.。
《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计高一A 组 韩慧芳年级：高一 科目：数学 内容：二倍角的正弦、余弦、正切公式 课型：新课一、教学目标1、知识目标：（1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题.(2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用）,使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。
2、能力目标:通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。
3、情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。
在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。
二、教学重难点、关键1、教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用.3、关键：二倍角的理解三、学法指导学法：研讨式教学四、教学设想：1、问题情境复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 思考：在这些和角公式中，如果令βα=，会有怎样的结果呢？2、建构数学公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=;()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-;22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看,倍角公式给出了αα与2的三角函数之间的关系。
二倍角的正弦、余弦和正切公式教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.学法与教学用具学法：研讨式教学教学过程：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值． 解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-tan 2α=-（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（五）作业：15034.P T T -。
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式〔一〕【三维目标】●知识与技能：通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.●过程与方法:通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一根本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用，进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高分析问题、解决问题的能力 ●情感态度与价值观：理解转化的变形，认识事物的相关性以及善于发现和勇于探索的科学精神。
【重点难点】重点：二倍角公式的推导与应用；难点：二倍角公式的灵活运用；【复习导入】1、两角和〔差〕的正弦、余弦和正切公式：()=+βαcos()=-βαcos()=+βαsin()=-βαsin()=+βαtan 〔条件：〕 ()=-βαtan 〔条件：〕 2、求以下各式的值：0000000000015tan 45tan 115tan 45tan )3(5.7sin 5.37cos 5.7cos 5.37sin )2(69sin 24sin 69cos 24cos )1(+--+200000225.22tan 15.22tan 2)6(75sin 75cos 75cos 75sin )5(12sin 12cos )4(-+-ππ【新知探究】1、二倍角的正弦在公式()S αβ+中令βα=可得sin 2α= 记作 .2、二倍角的余弦在公式()C αβ+中令βα=可得cos 2α= 记作 . 由同角三角函数的根本关系式22sin cos 1αα+=得2cos α= ，2sin α= ，代入2C α得cos 2α= = . 上述式子变形得1cos 2α+= ，1cos 2α-= ； 2cos α= ，2sin α= .3、二倍角的正切在公式()T αβ+中令βα=可得tan 2α= 记作 .注意：)(224)(222Z k k k Z k k k ∈+≠+≠⇒∈⎪⎩⎪⎨⎧+≠+≠ππαππαππαππα且 【预习自测】求以下各式的值：〔1〕︒︒5.22cos 5.22sin 2 〔2〕8sin 8cos 22ππ-〔3〕︒-15sin 212 〔4〕175cos 22-︒〔5〕︒︒-30tan 130tan 22 【典型例题】例1、5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．变式一、παπα128,548cos <<-=，求4tan ,4cos ,4sin ααα的值. 变式二、53)sin(=-πα，求α2cos 的值. 变式三、312tan =α，求αtan 的值. 变式四、求以下各式的值：（1）︒︒15cos 15sin 〔2〕24cos 24sin 22ππ-〔3〕2115cos 2-︒ 〔4〕2√3tan 15°+tan 215° 【课堂小结】：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.【课后作业】：1、54sin =α，)2,0(πα∈，求αα2cos ,2sin 的值. 2、︒<<︒-=270180,33cos ϕϕ，求ϕϕϕ2tan ,2cos ,2sin 的值. 3、31tan ,71tan ==βα，求)2tan(βα+的值. 4、),2(,sin 2sin ππααα∈-=，求αtan 的值.5、将αα3cos ,3sin 分别用ααcos ,sin 表示.6、化简以下各式：（1）2)cos (sin αα+ 〔2〕αα44sin cos - 〔3〕θθtan 11tan 11+-- （4〔5〕222cos 12tan()sin ()44x x x ππ--+。
第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式一、学习目标 1.知识与技能(1)掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用. (2)能用两角差的余弦公式化简、求值.(重点) 2.过程与方法通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质.3.情感、态度与价值观通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力.二、教学重点难点重点：灵活运用两角差的余弦公式. 难点：用向量推导两角差的余弦公式. 三、专家建议通过对两角差的余弦公式的推理，变形应用的学习，以及两角差的余弦公式的正用、逆用和变用的学习，从而培养发现思维能力，变异思维能力，分析问题解决问题的能力，强化数学探究意识，掌握转化与化归的数学思想方法。
四、教学方法自学-训练-点拨-练习-总结 五、教学过程 ●课堂探究知识点 两角差的余弦公式 【问题导思】1.单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？【提示】A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β). OA →与OB →的夹角是α－β.2.你能用哪几种方法计算OA →·OB →的数量积？【提示】 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. 3.根据上面的计算可以得出什么结论？ 【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 两角差的余弦公式●典例剖析类型1 运用公式求值例1.求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°.【思路探究】 (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解. (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决.【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. (2)原式＝cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.【总结提升】1.两角差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.2.在两角差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.【变式训练】求值：cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°.【解】cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝1 2.类型2 给值求值例2.设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cosα＋β2的值.【思路探究】由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦.只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围.用两角和与差的三角函数公式展开即得结论. 【自主解答】∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2.又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23.∴sin(α－β2)＝1－cos2(α－β2)＝459，cos(α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527.【总结提升】1.利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解.2.在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 2α＝[(β＋α)－(β－α)]等. 【变式训练】α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值. 【解】∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2， ∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2， ∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 类型3 给值求角例3.已知α，β均为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，求角β的值.【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值.再由β＝(α＋β)－α求出cos α，从而可以根据β的范围求出β的值.【自主解答】 ∵0＜α＜π2，cos α＝17. ∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sin α，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12. 又∵0＜β＜π2，∴β＝π3.【总结提升】解答给值求角问题的步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围； (3)根据角的范围写出所求的角.特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内.【变式训练】已知sin α＝16，cos β＝13，且α，β均为锐角，求cos(α-β)的值.【解】∵sin α＝16，cos β＝13，且α，β均为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫162＝356，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.∴cos(α-β)＝cos αcos β+sin αsin β＝356×13+16×223＝.●课堂小结对公式C (α－β)的理解：(1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开.因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角，完全可以把α，β视为一个“代号”，将公式记作cos(△－□)＝cos△cos□＋sin△sin□.(2)公式C(α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦.②把所得的积相加.六、板书设计两角差的余弦公式七．当堂检测1.(2014·天水高一检测)cos 15°＝()A.6－22 B.6＋22C.6－24 D.6＋24【解析】cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，故选D.【答案】 D2.(2014·乐清高一检测)化简sin(x＋y)sin(x－y)+cos(x＋y)cos(x－y)的结果为()A.sin 2xB.cos 2yC.－cos2yD.－sin 2x【解析】原式＝cos[(x＋y)-(x－y)]＝cos 2y，故选B.【答案】 B3.(2014·青岛高一检测)已知sin θ＝－513，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 【解析】 ∵sin θ＝－513且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴cos θ＝－1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θ·sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－1213＝－17226.【答案】 －172264.已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值. 【解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角， ∴sin β＝31010，cos α＝255. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵sin α＜sin β，∴α＜β. ∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.。
《二倍角的正弦余弦正切公式》教案教案：二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标：1.理解二倍角的概念，并掌握二倍角的正弦、余弦和正切的定义；2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导方法；3.能够应用二倍角公式解决相关的数学问题。
二、教学内容：1.二倍角的概念和定义；2.二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导；3.二倍角公式的应用。
三、教学步骤：步骤一：引入知识（10分钟）1.引导学生回顾正弦、余弦、正切公式；2.提问：你知道什么是角的二倍角吗？请举个例子。
步骤二：二倍角的概念和定义（10分钟）1.明确角的二倍角的定义：角的二倍角是角度大小是原角的两倍的角；2.引导学生通过几何图形理解二倍角的概念；3.提问学生：如何表示角的二倍角？步骤三：二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导（20分钟）1.讲解二倍角的正弦公式的推导过程：根据正弦的定义，sin2θ = 2sinθcosθ，sinθ = ±√(1 -cos^2(θ))，将sinθ代入sin2θ = 2sinθcosθ的式子中，推导出sin2θ的表达式；2.讲解二倍角的余弦公式的推导过程：根据余弦的定义，cos2θ = cos^2(θ) - sin^2(θ)，将sinθ和cosθ用tan(θ/2)表示，利用三角恒等式cos^2(θ) = 1/(1 +tan^2(θ/2))和sin^2(θ) = tan^2(θ/2)/(1 + tan^2(θ/2))，将cos^2(θ)和sin^2(θ)代入cos2θ = cos^2(θ) - sin^2(θ)的式子中，推导出cos2θ的表达式；3.讲解二倍角的正切公式的推导过程：根据正切的定义，tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2(θ))，将t anθ用sinθ/cosθ表示，化简得到tan2θ的表达式。
步骤四：二倍角公式的应用（30分钟）1.通过例题引导学生理解和应用二倍角公式；2.给学生分发练习题，让学生独立解答并进行讲解、讨论；3.布置作业：完成练习题，总结课堂所学内容。
第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步学习化归思想方法．基础梳理一、二倍角的正弦、余弦、正切公式α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β中，令β＝α，在公式sin()得到sin 2α＝2sin_αcos_α，这就是二倍角的正弦公式；α＋β＝cos αcos β－sin αsin β中，令β＝α，在公式cos()得到cos 2α＝cos2α－sin2α，这就是二倍角的余弦公式，其变形形式有：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； 在公式tan ()α＋β＝tan α＋tan β1－tan αtan β中，令β＝α，得到tan 2α＝2tan α1－tan α，这就是二倍角的正切公式．练习1：2sin 15°cos 15°＝12．练习2：cos 2α2－sin 2α2＝cos_α．练习3：2tan 2α1－tan 22α＝tan_4α． 思考应用1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角是否为任意角？解析：注意 tan 2α＝2tan α1－tan 2α这个公式，因为要使tan 2α，tan α有意义，即2α≠π2＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)还有1－tan 2α≠0即tan α≠±1从而推出α≠π4＋k π(k ∈Z)综上所述α≠π4＋k π2且α≠π2＋k π(k ∈Z)而公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角．二、二倍角公式中应注意的问题(1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解．如8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角，α3是α6的二倍角等等．又如α＝2×α2，α2＝2×α4，…，α2n ＝2×α2n ＋1等等．(2)当α＝k π＋π2()k ∈Z 时，tan α的值不存在，这时求tan 2α的值可用诱导公式求得．(3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sin π3≠2sin π6.(4)公式的逆用变形． 升幂公式： 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin2α2，1±sin 2α＝()sin α±cos α2．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．思考应用2．试应用二倍角的正弦、余弦公式化简并讨论函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1的奇偶性与周期性．解析：∵y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，∴函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1为奇函数， 且其最小正周期T ＝2π2＝π.自测自评1．若sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α是(C )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 解析：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425<0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725<0，∴角α是第三象限角．故选C.2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则tan 2α分析：由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值．解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.3.sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是(A ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：原式＝12sin 40°cos 310°＝sin 40°2cos ⎝⎛⎭⎫270°＋40° ＝sin 40°2sin 40°＝12.故选A. 4．已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝－247． 解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2 x＝－247.基础提升1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是(A ) A ．π B.π2 C.π4D ．2π解析：∵y ＝cos 2x ，∴函数的最小正周期T ＝π.故选A. 2．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果是(B )A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12解析：原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.故选B. 3．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的结果是(B ) A.12sin 2x B.12cos 2x C ．－12cos 2x D ．－12sin 2x解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x ＋cos π4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x －cos π4sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x ＋22sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos 2x .故选B. 4．已知cos α＝－35，且π<α<3π2，则cos α2＝ (B )A.55 B ．－55 C.255 D ．－255解析：∵cos α＝2cos2α2－1，∴cos2α2＝1＋cos α2＝15. ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2＝－15＝－55.故选B. 5．当3π<α<4π时，化简1＋cos α2－ 1－cos α2(A ) A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 B ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4 D ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4解析：1＋cos α2－1－cos α2＝cos2α2－sin 2α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，∵3π<α<4π， ∴3π2<α2<2π， ∴sin α2<0，cos α2>0.∴原式＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＋π4.故选A. 巩固提高6．已知三角形的一个内角α满足sin α＋cos α＝34，则三角形的形状是(B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 解析：∵sin α＋cos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1， ∴1＋sin 2α＝916，∴sin 2α＝－716<0，又α是三角形的一个内角，故α是钝角． 故选B.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解析：∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35 ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425.又由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35，得2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4－1＝－725，即cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－725，∴sin 2α＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π4＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－2425×22－725×22＝－31250. 8．已知sin α＋cos α＝33(0<α<π)，求cos 2α的值．解析：∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， 2sin αcos α＝－23，又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝53，∴sin α－cos α＝153.∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－153×33＝－53. 9．已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1()x ∈R .(1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数的图象可由y ＝sin x ()x ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解析：(1)y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14⎝⎛⎭⎫2cos 2x －1＋14＋34·()2sin x cos x ＋1 ＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2x sin π6＋sin 2x cos π6＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54. 所以y 取最大值时，只需2x ＋π6＝π2＋2k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z ， 即x ＝π6＋k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z . 所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z.(2)将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的图象； ②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ④把得到的图象向上平移54个单位长度，得到函数 y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54的图象． 综上得到y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1⎝⎛⎭⎫x ∈R 的图象．1．利用同角三角函数基本关系式求值常有两类题：一类是已知角α的某个三角函数值，求其他三角函数值．解法是直接利用三角函数基本关系式求解．另一类是已知tan α的值，求关于sin α，cos α的齐次分式的值的问题，比如求sin α＋cos αsin α－cos α的值，因为cos α≠0，所以用cos α除之，将待求式化为关于tan α的表达式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成待求式的求值．2．关于化简与证明：(1)sin 2α＋cos 2α＝1及()sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α是常用的技巧；同时应注意正切化两弦．(2)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明．。
课题：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计教材：人教A版高中数学·必修4一、教学内容解析本节课是人教A版教材必修4中第三章第一节的内容本节课要求学生了解二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，并能掌握和灵活运用该组公式三角恒等变换为提高学生的推理、运算能力提供了新的平台，三角恒等变换一章的学习有着丰富的实际背景，又与向量的学习密不可分，同时在解三角形中有着广泛的运用本节课是两角和与差公式的特殊化，又为后续半角公式等知识的基础，在本章中起着承上启下的作用通过本节课的学习研究，进一步完善了学生的知识体系，更好地发展学生的推理能力和运算能力，培养学生运用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题的能力，同时还能加强学生的应用意识，激发学生的学习兴趣因此，本节课的学习至关重要二、教学目标设置【知识与技能】（1）了解二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导过程；（2）掌握并能灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式；【过程与方法】经历二倍角公式的推导过程，体会数学规律的探索以形成，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，发展其推理、运算能力【情感态度与价值观】从课堂学习中体会数学源于生活又服务于生活，体验数学学习的乐趣，培养学生善于发现问题、勇于探索问题的精神，激发其学习兴趣三、学生学情分析【学生已有的认知基础】在学本章之前学生已经学习了三角函数的有关知识，对三角有了一定的认识学习本节课前，也已经掌握了两角和与差公式的推导过程，并能完成一些简单的运算，能促进学生对二倍角公式的理解，因此学生能较为轻松地学习二倍角虽然学生对于二倍角公式的推导没有太大的难度，但对于公式的灵活运用学生还具有一定的难度【达成目标所需要的认知基础】要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺,学生还要有一定的类比、迁移的能力，同时应具备较好的推理、运算能力，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯本节课我针对本校学生设计，学生大部分基础一般，自主学习能力差，虽然能领悟一些基本的数学思想方法，但还没有形成完整的数学学习思维习惯，对公式的灵活运用能力还有待提高【难点及突破策略】重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及其应用；难点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的灵活运用；突破策略：在教学过程中，通过精心设置问题，引导学生类比已掌握的规律，探索二倍角公式的推导过程；同时，在公式的运用方面，通过设置正用、逆用、变用，由浅入深，层层递进，以求突破公式的灵活运用四、教学策略分析本节课采用以引导发现为主要教学方法，将启发式作为主要教学模式，结合多媒体辅助教学通过合作交流、类比探索，让学生在学习中提高发现问题，分析问题及解决问题的能力，变要我学为我要学，真正成为课堂的主人为了最大程度发挥学生的主观能动性，我还将采用小组合作交流、同学纠正补充、教师完善总结的学习方法五、教学过程（一）创设情境、引入新课在ABC ∆BC AC2==（如图），求角A 的正弦值。
3. 1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式三维目标1.通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用，进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高分析问题、解决问题的能力.3.通过本节学习，引导领悟寻找数学规律的方法，培养的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 教学过程(问题导入) 1、 若sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.并总结思想方法。
2、①请试着用sin α 或cos α,表示sin2α，cos2α。
②请试着用tan α表示tan 2α。
（新知讲解）这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.公式说明：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式. （Ⅴ）二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式. （应用示例）例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值.练习1、已知cos8α=54-,8π<α<12π,求sin 4a ,cos 4a ,tan 4a 的值。
《二倍角的正弦余弦正切公式》教案教案：《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学目标：1.理解二倍角的概念和基本性质；2.学习和掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；3.运用二倍角的公式解题。
教学内容：1.二倍角的概念和基本性质；2.二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导；3.二倍角公式的应用。
教学过程：第一步：导入新知1.引导学生回顾正弦、余弦、正切函数的定义和性质；2.提问：你知道什么是角的倍数吗？角的二倍数是什么？为什么要研究二倍角呢？第二步：理解二倍角的概念和基本性质1.引导学生思考：角的二倍数就是两个角之和等于该二倍数的角，即2θ；2.引导学生举例，如角θ=30°，则2θ=60°，角θ=45°，则2θ=90°；3.引导学生总结二倍角的性质：二倍角的度数是原角的二倍，且二倍角的三角函数可以用原角的三角函数表示。
第三步：学习和掌握二倍角的公式1.导出二倍角的正弦公式：通过绘制单位圆的二倍角所在弧，可以推导出sin 2θ =2sinθcosθ；2.导出二倍角的余弦公式：通过绘制单位圆的二倍角所在弧，可以推导出cos 2θ = cos²θ - sin²θ；3.导出二倍角的正切公式：将sin 2θ = 2sinθcosθ和cos 2θ = cos²θ - sin²θ相除，得到tan 2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)；4.引导学生通过课堂推导，巩固二倍角的正弦、余弦、正切公式。
第四步：运用二倍角的公式解题1.教师出示一道二倍角公式的应用题，引导学生分析题意和给定的条件；2.指导学生使用二倍角的公式计算，并注意使用适当的三角函数；3.检查计算结果，并进行讲解。
第五步：练习和巩固1.指导学生完成若干道二倍角公式的应用题，并互相交流、校对答案；2.师生共同讨论解题思路和方法，澄清疑惑；3.总结二倍角的正弦、余弦、正切公式的使用技巧和注意事项。
第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、学习目标1.知识与技能1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换.(重点、难点)2.过程与方法经历二倍角公式的探究过程，培养学生发现数学规律的思维方法，分析问题和解决问题的能力，体会化归与转化的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对二倍角公式的探究学习，培养学生的探索精神和应用意识，体会数学的科学价值和应用价值，不断提高自身的文化修养.二、教学重点难点重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式.难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、专家建议通过对二倍角推理，变形应用的学习，要特别加强二倍角公式的正用、逆用和变用的学习，从而培养发现思维能力，变异思维能力，分析问题解决问题的能力，强化数学探究意识，掌握转化与化归的数学思想方法。
四、教学方法自学-训练-点拨-练习-总结五、教学过程●课堂探究探究点一二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导问题1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？答sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan2α.问题2根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答∵cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.探究点二余弦的二倍角公式的变形形式及应用二倍角的余弦公式cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形较多，应用灵活．其中sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2称作降幂公式，1－cos α2＝sin 2α2，1＋cos α2＝cos 2α2称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．练习1：函数f(x)＝3sin xcos x ＋cos 2x －12的最小正周期是．解析∵f(x)＝32sin 2x ＋12(2cos 2x －1)＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin 2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π．练习2：函数f(x)＝cos 2x ＋4sin x 的值域是．解析f(x)＝cos 2x ＋4sin x ＝1－2sin 2x ＋4sin x＝－2sin 2x ＋4sin x ＋1＝－2(sin x －1)2＋3. 当sin x ＝1时，f(x)max ＝3；当sin x ＝－1时，f(x)min ＝－5.●新知展示1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝，sin α2cos α2＝；(2)C 2α：cos 2α＝＝＝；(3)T 2α：tan 2α＝.2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝，sin 2α2cos α＝；(2)(sin α±cos α)2＝；(3)sin 2α＝，cos 2α＝；(4)1－cos α＝,1＋cos α＝.●典例剖析类型一利用二倍角公式给角求值例1 .求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8；(3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)sin 10°sin 50°sin 70°. 【分析】第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值；第(2)题需将所求式变形逆用二倍角公式化简求值；(3)逆用二倍角的正切公式求解；(4)利用互余关系把正弦变成余弦，逆用二倍角公式化简、求值.【解析】(1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.(2)原式＝1－2cos2π82＝－2cos2π8－12＝－12cosπ4＝－24.(3)原式＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝18·sin 160°sin 20°＝18.【小结】对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式.【变式训练】求下列各式的值.(1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50°.【解】(1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝212cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.类型二利用二倍角公式给值求值例2.已知sin(π4－x)＝513，0<x<π4，求cos 2x cos π4＋x的值.【分析】求cos(π4－x)的值→求cos(π4＋x)→利用cos 2x ＝sin(π2－2x)求值→代入计算【解析】∵0<x<π4，∴π4－x ∈(0，π4).又∵sin(π4－x)＝513，∴cos(π4－x)＝1213. 又cos 2x ＝sin(π2－2x)＝2sin(π4－x)cos(π4－x)＝2×513×1213＝120169，cos(π4＋x)＝sin[π2－(π4＋x)]＝sin(π4－x)＝513，∴原式＝120169513＝2413.【小结】1.条件求值问题常有两种解题途径：(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.2.当遇到π4±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.【变式训练】(2014·扬州高一检测)已知sin π4＋α·sin π4－α＝16，且α∈(π2，π），求sin 4α的值.【解】∵π4＋α＋π4－α＝π2，∴sin π4－α＝cos π4＋α. ∵sin π4＋αsin π4－α＝16，∴2sin π4＋αcos π4＋α＝13，∴sin π2＋2α＝13.∴cos 2α＝13.又∵α∈π2，π，∴2α∈(π，2π).∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－223. ∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429. 类型三二倍角公式的综合应用(1)化简：1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ；(2)化简：1＋sin 10°－1－sin 10°；(3)化简：2cos 2α－12tan π4－α·sin 2π4＋α.【分析】(1)化2θ为θ，消去1→提公因式，约分→通分整理→结论(2)1±sin 10°＝(sin 5°±cos 5°)2. (3)处理好2α与π4－α与π4＋α的关系.【解析】(1)法一1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ＝2cos 2θ－2sin θcos θ2sin 2θ－2sin θcos θ＝2cos θcos θ－sin θ2sin θsin θ－cos θ＝－1tan θ，∴原式＝－1tan θ.法二1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin 2θ＋cos 2θ1－sin 2θ－cos 2θ＝sin θ－cos θ2＋cos 2θ－sin 2θsin θ－cos θ2－cos2θ－sin 2θ＝sin θ－cos θsin θ－cos θ－cos θ－sin θsin θ－cos θsin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ＝－2cos θ2sin θ＝－1tan θ，∴原式＝－1tan θ.(2)1＋sin 10°－1－sin 10°＝1＋2sin 5°cos 5°－1－2sin 5°cos 5°＝cos 5°＋sin 5°2－cos 5°－sin 5°2＝(cos 5°＋sin 5°)－(cos 5°－sin 5°) ＝2sin 5°. ∴原式＝2sin 5°. (3)原式＝cos 2α2sin π4－αcos π4－α·cos 2π4－α＝cos 2α2sin π4－αcos π4－α＝cos 2αsin π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.【小结】1.对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值.(2)使三角函数种数尽量少.(3)使三角函数式中的项数尽量少.(4)尽量使分母不含有三角函数.(5)尽量使被开方数不含三角函数.2.化简的方法：(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角.(2)降幂或升幂.(3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin2θ. 【变式训练】化简下列各式. (1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝________；(2)化简：sin α＋cos α－1sin α－cos α＋1sin 2α.【解析】(1)∵α∈π4，π2，∴sin α＞cos α，∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α＝sin2α－2sin αcos α＋cos 2α＝sin α－cos α2＝sin α－cos α.【答案】(1)sin α－cos α(2)原式＝2sin α2cos α2－2sin 2α22sin α2cos α2＋2sin2α24sin α2cos α2cos α＝cos α2－sin α2cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝cos 2α2－sin 2α2sinα2cos α2cos α＝cos αsinα2cos α2cos α＝tanα2●课堂小结1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2 ·α2n ＋1(n ∈N *). 2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2.六、板书设计3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式倍角公式七．当堂检测学习目标（1）理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系.（2）掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换.(重点、难点)探究点1 探究点2 注意事项：1 2．3．4.典例分析例1 例2 例3学生练习小结：作业当堂检测反馈1.12sin π12cos π12的值等于()A.14B.18C.116D.12【解析】原式＝14sin π6＝18.【答案】B2.下列各式中，值为32的是()A.2sin 15°－cos 15°B.cos 215°－sin 215°C.2sin 215°－1 D.cos 215°＋sin 215°【解析】A ：2sin 15°－cos 15°≠32，B ：cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，C ：2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32，D ：cos 215°＋sin 215°＝1.故选B. 【答案】B3.(2014·广州高一模拟)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为________. 【解析】由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－13，则1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝－132＋11＋2×－13＝103.【答案】1034.(2014·盐城高一检测)证明：1＋sin 2α2cos2α＋sin 2α＝12tan α＋12.【证明】左边＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α2cos2α＋2sin αcos α＝sin α＋cos α22cos αsin α＋cos α＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边.所以1＋sin 2α2cos2α＋sin 2α。
