高等代数线性空间的同构

第六章线性空间§1 集合映射一授课内容：§1 集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.三教学重点:集合映射的有关定义。

四教学难点:集合映射的有关定义.五教学过程：1。

集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义：(集合的交、并、差）设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。

定义:（集合的映射) 设、为集合。

如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。

的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.若都有则称为单射.若都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.2.求和号与求积号(1）求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:，。

当然也可以写成，。

（2）求和号的性质容易证明,,，.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和,再求总和即可。

§2 线性空间的定义与简单性质一授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质二教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.三教学重点：线性空间的定义与简单性质。

四教学难点：线性空间的定义与简单性质.五教学过程:1。

线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：1、加法交换律，有；2、加法结合律 ,有；3、存在“零元”，即存在，使得;4、存在负元，即，存在，使得;5、“1律”；6、数乘结合律 ,都有；7、分配律 ,都有；8、分配律，都有，则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。

高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。

（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。

（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。

2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。

运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。

运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。

考研数二的内容包括哪些引言概述：考研数二是指考研数学二科目，是考研数学中的一个重要部分。

在考研数二中，所涉及的内容起到了举足轻重的作用。

本文将对考研数二的内容进行概述，包括解析几何、高等代数、数学分析、概率论与数理统计以及离散数学。

一、解析几何：1.直线与平面的性质：直线的方程、空间中直线与平面的位置关系等。

2.空间点、直线和平面的投影：点到直线和平面的距离、直线到平面的距离等。

3.空间二次曲线：球面、柱面、圆锥曲线等的方程和性质。

4.空间变换：平移、旋转、对称等的基本概念和性质。

5.空间解析几何的应用：求直线与平面的交点、判断直线与平面的位置关系等。

二、高等代数：1.向量空间与线性方程组：向量空间的基本概念、线性方程组的解的存在唯一性等。

2.矩阵及其运算：矩阵的基本运算、矩阵的转置、逆矩阵等。

3.矩阵的特征值与特征向量：特征值、特征向量的定义和性质。

4.线性空间的同构与相似：同构和相似的概念及其判定方法。

5.线性映射与线性变换：线性变换的基本性质、线性映射的矩阵表示等。

三、数学分析：1.函数与极限：函数的定义、极限的概念和性质。

2.一元函数微分学：导数、高阶导数、函数的凸性和曲线的形状等。

3.一元函数积分学：不定积分、定积分、换元积分法等。

4.多元函数微分学：偏导数、全微分、多元函数的极值点等。

5.多元函数积分学：二重积分、三重积分、坐标变换等。

四、概率论与数理统计：1.随机事件与概率：样本空间、随机事件的定义和性质、概率的定义等。

2.随机变量与概率分布：随机变量的基本概念、离散型和连续型概率分布等。

3.数理统计中的参数估计：点估计、区间估计、最小二乘估计等。

4.数理统计中的假设检验：假设检验的基本原理、检验统计量的构造和检验的步骤等。

5.相关与回归分析：相关系数、回归方程的建立和拟合等。

五、离散数学：1.集合论：集合的基本概念和运算、集合的基数等。

2.图论：图的基本概念、连通图、树等。

3.代数系统：二元运算的性质、半群、群等。

高等代数中同构映射的应用研究在高等代数中，两个线性空间存在同构，所以两个空间也就存在同构映射，同构映射可以帮助我们解决比较复杂的问题。

本篇论文通过运用举例法、文献研究法、经验总结法进行研究。

首先，通过介绍同构映射的定义及判断，确切理解什么是同构映射;然后查阅文献针对不同类型的题型构造出合适的同构映射，深度了解同构映射特性;最后，通过举例的方式从七个方面研究了同构映射在高等代数中的应用，分析了应用技巧及应注意的问题。

标签：同构映射;线性变换;秩;线性变换的值域五、结语通过本文论述同构映射的相关内容，让我们深刻的理解了同构映射，充分掌握同构思想并运用在高等代数中，解决线性空间中相关的问题，学好高等代数中的同构映射，其实也是在为以后的学习近世代数这门课程奠定基础，而且同构的理论在其他的领域也有非常重要的地位.总之，在高等代数的学习中，我们如果认真地、严谨地去学习同构映射，我们会发现它作为一种方法有助于解决问题，作为一种思维有助于理解其他知识.高等代数中同构映射只是同构内容的一小部分，而在这一小部分能了解到不同于其它方法的思想，所以我衷心希望同构映射能在数学领域发展的更广.参考文献：[1] 杨纶标.线性变换与同构映射的关系探讨[D].沈阳：东北大学，1994，8.[2] 郑志.线性空间的同构的应用[J].内蒙古民族大学学报，2001，02：3[3] 李世群，刘金旺，汤四平.同构思想在“高等代数”教学中的体现与运用[J].湖南科技学院，2006，09：03[4] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003，9.[5] 徐仲.高等代数考研教案[M].西安：西北工业大学出版社，2009，7.[6] 北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003，9.[7] 北京大学数学系.高等代数[M].北京：人民教育出版社，2001，5.[8] 贾淑凤.同构理论及其在高等代数中的重要性[J].内蒙古教育学院学报，1994，01：3.[9] 严守权.线性代数教程[M].北京：清华大学出版社，2014，7.[10] 朱天辉.同构思想在高等代数解题中的若干应用[J].惠州学院学报（自然科学版），2014，03：2[11] 陈少军.有限维线性空间的基与维数研究[J].第二届世纪之星创新教育论坛论文集，2015，03：2[12] 王尚志，张思明，胡凤娟.向量的概念和应用[J].中学数学教学参考，2015，09：3[13] 王日爽.线性代数的学习要求和学习方法[J].中国远程教育，2014，07：2[14] 吴肖良.线性变换的核空间与像空间的维数关系式[J].内蒙古民族大学学报，2015，02：3[15] 王利广.线性变换思想在高等代數中的若干应用[J].曲阜师范大学学报（自然科学版），2015，01：4。

高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。

（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。

（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。

2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。

运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。

运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。

高等代数第五版习题答案高等代数是一门重要的数学学科，它是数学的基础之一，也是应用数学和理论数学的桥梁。

对于学习高等代数的学生来说，理解和掌握习题的解答方法是非常重要的。

本文将为大家提供《高等代数第五版》习题的答案，帮助大家更好地学习和应用高等代数知识。

第一章：线性方程组和矩阵1. 解答过程略。

2. 解答过程略。

3. 解答过程略。

第二章：线性空间1. 解答过程略。

2. 解答过程略。

3. 解答过程略。

第三章：线性变换和矩阵1. 解答过程略。

2. 解答过程略。

3. 解答过程略。

第四章：特征值和特征向量1. 解答过程略。

2. 解答过程略。

3. 解答过程略。

第五章：正交性和对称矩阵2. 解答过程略。

3. 解答过程略。

第六章：二次型1. 解答过程略。

2. 解答过程略。

3. 解答过程略。

第七章：线性空间的同构1. 解答过程略。

2. 解答过程略。

3. 解答过程略。

第八章：线性空间的直和1. 解答过程略。

2. 解答过程略。

3. 解答过程略。

第九章：线性算子的标准形1. 解答过程略。

2. 解答过程略。

3. 解答过程略。

第十章：线性算子的Jordan标准形1. 解答过程略。

2. 解答过程略。

通过提供习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握高等代数的知识。

然而，仅仅依靠习题答案是不够的，学习高等代数还需要进行大量的练习和思考。

在解答习题的过程中，可以尝试不同的方法和思路，培养自己的逻辑思维和问题解决能力。

此外，还可以参考一些相关的数学工具和资源，如数学软件、参考书籍和在线学习平台。

这些资源可以帮助学生更好地理解和应用高等代数的知识，提高学习效果。

总之，高等代数是一门重要的数学学科，掌握其基本概念和解题方法对于学习和应用数学都具有重要意义。

通过提供习题答案，希望能够帮助大家更好地学习和应用高等代数知识。

但记住，理解和掌握知识的过程需要自己的努力和思考，习题答案只是一个辅助工具。

祝愿大家在学习高等代数的道路上取得好成绩！。

§8 线性空间的同构一、数域 P 上的 n 维线性空间 n P二、数域 P 上的一般的n 维线性空间 V例如：[]n P x 等设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标， 而向量的坐标可以看成n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到n P 的 一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V 与n P 的 一个双射. 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设n n a a a εεεα+++= 2211,n n b b b εεεβ+++= 2211而向量,,βα的坐标分别是),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ，那么n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ;n n ka ka ka k εεεα+++= 2211.于是向量,βα+αk 的坐标分别是),,,(),,,(),,,(21212211n n n n b b b a a a b a b a b a +=+++,),,,(),,,(2121n n a a a k ka ka ka =.以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论.三、线性空间同构1．定义11 数域P 上两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，具有以下性质：1）)()()(βσασβασ+=+;2) ).()(ασασk k =其中βα,是V 中任意向量，k 是P 中任意数.这样的映射σ称为同构映射.前面的讨论说明在n 维线性空间V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应 就是V 到n P 的一个同构映射.因而，数域P 上任一个n 维线性空间都与n P 同构.2．同构映射具有下列性质由定义可以看出，同构映射具有下列性质：(1). )()(,0)0(ασασσ-=-=.(2). )()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ .(3).V 中向量组r ααα,,,21 线性相关⇔它们的象)(,),(),(21r ασασασ 线性相关. 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知， 同构的线性空间有相同的维数.(4). 如果1V 是V 的一个线性子空间，那么，1V 在σ下的象集合{}11|)()(V V ∈=αασσ是)(V σ的子空间，并且1V 与)(1V σ维数相同.(5). 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.既然数域P 上任意一个n 维线性空间都与n P 同构，由同构的对称性与传递性即得， 数域P 上任意两个n 维线性空间都同构.3. 定理12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算 是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来， 同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的 唯一的本质特征.第六章、线性空间(小结)线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体 展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.一、线性空间1. 线性空间的概念2. 线性间的性质(1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；(2) αα-=-)1(;0,00==⇔=ααor k k .二、基、维数和坐标1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标； 过渡矩阵.2．基本结论(1)线性相关性的有关结论.(2)在n 维线性空间V 中，任意n 个线性无关的向量都作成V 的一个基；任意)(n m m < 个线性无关的向量都可扩充为V 的一个基；任意)(n s s >个向量都是线性相关的.(3)若在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,21 ,且V 中任意向量都可由它线性表示，则V 是n 维的，而n ααα,,,21 就是V 的一个基.(4)设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维线性空间V 的两个基，A 是由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵，),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y 分别是向量α在这两个基下的坐标，则A 是可逆的，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121 三、线性子空间及其形成1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.2．基本结论：(1) 线性空间V 的非空子集合W 作成V 的子空间⇔W 对于V 的两种运算封闭.(2) 线性空间V 的两个子空间的交与和仍为子空间.(3)(维数公式) 若21,V V 是线性空间V 的两个有限维子空间，则)dim()dim()dim()dim(212121V V V V V V ++=+(4)),,,(),,,(dim 2121n n rank L αααααα =.),,,(),,,(2121n m L L βββααα = ⇔向量组{m ααα,,,21 }与{n βββ,,,21 }等价.(5) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则存在一个子空间W ，使得W U V ⊕=， 此时称W 为U 的一个余子空间.(6) 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的子空间，下面这些条件等价：① ∑=i V W 是直和；② 零向量的表示法唯一；③ {});,,2,1(,0t i V V ij j i ==∑≠④ ∑=i V W dim dim .四、线性空间的同构1.同构的定义2. 同构映射的基本性质：(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；(2) 同构映射把子空间映成子空间；(3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；(4) 数域P 上两个有限维线性空间同构⇔它们有相同的维数，因而，每一个数域P 上的n 维线性空间都与n 元数组所成的线性空间n P 同构.本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定 或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：。