高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案新人教A版4

第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换一、教学内容及其分析本节内容《简单的三角恒等变换》选自人教A 版必修四第三章第二节,其中新任务是通过已知的两角和差公式及二倍角公式探索简单的三角恒等变换，通过简单运用，使学生初步理解简单的三角恒等变换的基本原则、方法. 本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.二、教学目标及学科素养分析课程目标：1、能用两角和与差的正弦、余弦，二倍角正弦、余弦公式进行简单的三角恒等变换，记住sin cos y a x b x ωω=+的化简方法.2、能正确的对形如sin()y A x ωϕ=+的三角函数性质进行讨论，能灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.3、能运用三角公式解决一些实际问题.4、通过三角恒等变换的训练，能够培养转化与化归的数学思想. 学科素养：1、 数学抽象：三角函数公式之间的内在联系；2、 逻辑推理：运用三角函数公式进行简单的三角恒等变换；3、 数学运算：利用三角函数公式进行计算和化简；4、 直观想象：让学生感受由特殊到一般的数学思想方法；5、 数学建模：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解转化、化归、换元等数学思想方法在数学中的应用.三、教学重难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，进行三角恒等变换，对形如sin()y A x ωϕ=+的三角函数性质进行讨论教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．对形如sin()y A x ωϕ=+三角函数的应用. 四、教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．五、教学过程探究一：形如sin()y A x ωϕ=+函数性质的探究三角函数主要刻画的是周期性质，随着周期变化，函数的图象发生变化，从而导致函数的相关性质而发生改变.问题1.求函数2sin(2)()6y x x R π=+∈的周期，最大值. 生：函数2sin(2)()6y x x R π=+∈的周期为T π=，最大值为2.问题2.求函数sin ()y x x x R =+∈的周期，最大值.生：函数sin ()y x x x R =+∈的最大值为2，周期为2T π=.学生也可能不会回答.师：通过第一章的学习我们已经对形如sin()y A x ωϕ=+的函数性质做了探究，今天再继续探究形如sin()y A x ωϕ=+的函数性质.只不过今天我们研究的函数没有直接给出sin()y A x ωϕ=+的形式，需要先将所给的函数式化简为sin()y A x ωϕ=+的形式，从而使三角函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用.这就是本节课我们学习的内容.问题.函数sin y x x =+如何化简为sin()y A x ωϕ=+的形式？提问学生回答：因为sin y x x =12(sin cos )22x x =+ 2(sin cos cos sin )33x x ππ=+2sin()3x π=+. 所以函数sin ()y x x x R =+∈的最大值为2，周期为2T π=.问题4.刚才所化简的函数是形如sin cos y a x b x ωω=+的函数，那么我们如何将形如sin cos y a x b x ωω=+的函数化简为sin()y A x ωϕ=+的形式呢？ 生：思考后讨论（2分钟），提问回答：sin cos )y a x b x x x ωωωω=+=+ 令cos ϕϕ==则sin cos y a x b x ωω=+cos cos sin )x x ωϕωϕ=+)x ωϕ=+.师：sin cos y a x b x ωω=+)x ωϕ+，其中tan b aϕ=.这个公式我们称为辅助角公式.现在我们利用这个公式解决下面的例题.例题：函数3sin ()22x x y x R =∈的周期为 .生：思考后，提问回答：3sin 22x x y =-1cos )222x x =-cos cos sin )2626x x ππ=-sin()26x π=-. 所以函数3sin ()22x x y x R =∈的周期为=4T π.。

3.2 简单的三角恒等变换自主学习知识梳理1．半角公式(1)S α2：sin α2＝__________；(2)C α2：cos α2＝________； (3)T α2：tan α2＝________________＝________________＝__________(有理形式)． 2．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，cos φ＝__________，sin φ＝______________其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定．自主探究1．试用cos α表示sin 2α2、cos 2α2、tan 2α2.2．证明：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.对点讲练知识点一 半角公式的应用例1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2的值．回顾归纳 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号．变式训练1 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2.知识点二 利用辅助角公式研究函数性质例2 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．回顾归纳 研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时，先化成f (x )＝A sin(ω′x ＋φ)＋B 的形式后，再解答．这是一个基本题型，许多题目化简后都化归为该题型．变式训练2 已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a (a ∈R )． (1)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(2)若函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的最大值与最小值的和为3，求实数a 的值．知识点三 三角函数在实际问题中的应用例3 如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．回顾归纳 利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围．变式训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示)．1．学习三角恒等变换，不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要立足于在推导过程中记忆和运用公式．2．形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，运用辅助角公式熟练化为一个角的一个三角函数的形式，即f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (φ由sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b2确定)进而研究函数f (x )性质． 如f (x )＝sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4， f (x )＝sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等.课时作业一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( ) A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2C ．－1＋cos α2 D. 1＋cos α22．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sin θ2的值为( ) A ．－105 B.105C ．－155 D.1553．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 5．函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4二、填空题6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是________． 7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是________．8．已知函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为________．三、解答题9．已知向量a ＝(sin(π2＋x )，3cos x )，b ＝(sin x ，cos x )，f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)如果三角形ABC 中，满足f (A )＝32，求角A 的值．10．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b (a >0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,4]，求常数a ，b 的值．§3.2 简单的三角恒等变换答案知识梳理1．(1)±1－cos α2 (2)± 1＋cos α2 (3)± 1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α 1－cos αsin α 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 自主探究1．解 ∵cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝1－2sin 2α2∴2sin 2α2＝1－cos α，sin 2α2＝1－cos α2. ① ∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2② 由①②得：tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．证明 ∵sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝tan α2. ∴tan α2＝sin α1＋cos α，同理可证：tan α2＝1－cos αsin α. ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 对点讲练例1 解 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π. ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35. 又5π4<θ2<3π2. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55. tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝2.变式训练1 解 ∵α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213. ∴cos α＝－35，cos β＝513. cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×513＋45×1213＝3365. 又∵π2<α<π，0<β<π2， ∴0<α－β<π.0<α－β2<π2. ∴cos α－β2＝1＋cos (α－β)2＝1＋33652＝76565. 例2 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2， 即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 变式训练2 解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋ sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ， 解不等式2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得y ＝f (x )的单调增区间是 ⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，－π3≤x ＋π6≤2π3，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1， ∴f (x )的值域是[－3＋a,2＋a ]．故(－3＋a )＋(2＋a )＝3，即a ＝3－1.例3 解 在直角三角形OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α. 在直角三角形OAD 中，DA OA＝tan 60°＝ 3.∴OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝⎝⎛⎭⎫cos α－33sin αsin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin 2α－36(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝13⎝⎛⎭⎫32sin 2α＋12cos 2α－36 ＝13sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－36. 由于0<α<π3，所以π6<2α＋π6<5π6， 所以当2α＋π6＝π2， 即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 变式训练3 解如图所示，连OC ， 设∠COB ＝θ，则0<θ<π4，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12＝22cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π4－12 ∴当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)， ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12(m 2)． 课时作业1．C 2.C3．C [由题可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b .]4．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )， 令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，5π6.] 5．B [f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝12sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12.∴T ＝π.] 6. 3解析 (1)y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π3＝32cos x －32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1时，y 有最大值 3. 7．－π6解析 3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6.∴φ＝－π6. 8．π解析 由a ＋1＝2，∴a ＝3，∴f (x )＝－3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，∴T ＝π. 9．解 (1)由题意知，f (x )＝sin x cos x ＋32＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)＋32 2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 最小正周期为π，单调增区间为[k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z . (2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. ∵f (A )＝32，∴sin(2A ＋π3)＝0， 又∵A ∈(0，π)，∴π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π或2π， ∴A ＝π3或5π6. 10．解 f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b＝2a ·1－cos 2x 2－3a sin 2x ＋b ＝－(3a sin 2x ＋a cos 2x )＋a ＋b＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. ∵a >0，∴f (x )max ＝2a ＋b ＝4，f (x )min ＝b －a ＝－5. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝4b －a ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－2.。

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3。

2 简单的三角恒等变换(2）教学目标知识目标（学习目标）通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想,提高学生的推理能力。

能力目标理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.情感态度价值观通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力。

高考链接（高考考点）积化和差与和差化积是一种换元的体现,高考中体现这种思想教学重点1。

半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点。

教学重点认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力。

教学方法与教学准备多媒体,讲练结合教学设计教学内容教学策略学生活动和效果预测复习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2T α 半角公式: 先让学生默写三个倍角公式，特别注意2C α.半角公式学生口答公式教学内容 教学策略 学生活动和效果预测二、新课讲解 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦; (２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，(1)如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能,把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考,哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin （α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

3.2 简单的三角恒等变换学习目标.1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.知识点一.半角公式思考1.我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？答案.结果是cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2. 思考2.根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.答案.∵cos2α2＝1＋cos α2，∴cos α2＝± 1＋cos α2， 同理sin α2＝±1－cos α2，∴tan α2＝sinα2cosα2＝±1－cos α1＋cos α.思考3.利用tan α＝sin αcos α和倍角公式又能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？答案. tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cosα2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sinα2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.梳理知识点二.辅助角公式思考1.a sin x ＋b cos x 化简的步骤有哪些？ 答案.(1)提常数，提出a 2＋b 2得到a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2 sin x ＋b a 2＋b 2cos x .(2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ＝a a 2＋b2，sin θ＝b a 2＋b2(或sin θ＝a a 2＋b2，cos θ＝b a 2＋b 2).一般θ为特殊角⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x ＋sin θcos x )(或a 2＋b 2(sin θsin x ＋cosθcos x )).(3)化简、逆用公式得a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(或a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －θ)).思考2.在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？ 答案.θ所在的象限由a 和b 的符号确定. 梳理.辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).(其中tan θ＝ba)类型一.应用半角公式求值例1.已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.解.∵sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1，得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15. ∵5π4＜θ2＜3π2，∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思与感悟.(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子；②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手). 跟踪训练1.已知sin α＝－817，且π<α<3π2，求sin α2，cos α2和tan α2. 解.∵sin α＝－817，π<α<3π2，∴cos α＝－1517.又∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝ 1＋15172＝41717， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－15172＝－1717， tan α2＝sinα2cosα2＝－4.类型二.三角恒等式的证明例2.求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 证明.要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. ∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ， ∴左边＝右边， ∴原式得证.反思与感悟.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 跟踪训练2.证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明.∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan2α21＋tan2α2＝tan2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立.类型三.利用辅助角公式研究函数性质例3.已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 (x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合. 解.(1)∵f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝3sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12]＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12 (k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }.反思与感悟.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.跟踪训练3.已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合. 解.(1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π8，k ∈Z .类型四.三角函数在实际问题中的应用例4.如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ 、CR 正好落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.解.如图连接AP ，设∠PAB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ，则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ. 所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ) ＋8 100sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)， 则sin θcos θ＝t 2－12.所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002(t －109)2＋950. 故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时，S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002) m 2.反思与感悟.此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.跟踪训练4.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).解.连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12 ＝22cos(2θ－45°)－12. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S max ＝2－12(m 2). ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2.1.若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为(..)A.63 B.－63 C.±63 D.±33答案.A解析.由题意知α2∈(0，π2)，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2.已知tan θ2＝3，则cos θ等于(..)A.45B.－45C.415D.－35 答案.B解析.cos θ＝cos 2θ2－sin2θ2cos 2θ2＋sin2θ2＝1－tan2θ21＋tan2θ2＝1－321＋32＝－45.3.函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是(..)A.1B.2C.32D.3答案.C解析.f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴f (x )max ＝1＋12＝32，故选C.4.函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为 .答案.－1解析.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.5.化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α.(180°<α<360°)解.原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α24cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°，所以cos α2<0，所以原式＝cos α.1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a(或sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2).3.研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握，例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π3等. 课时作业一、选择题1.若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于(..)A.－12B.12 C.2 D.－2答案.A解析.∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴1＋tanα21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sinα2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sinα2cos α2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.2.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于(..)A.1B.2C.3D.4 答案.C解析.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.3.已知180°<α<360°，则cos α2的值等于(..)A.－ 1－cos α2 B. 1－cos α2 C.－ 1＋cos α2D.1＋cos α2答案.C4.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是(..)A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形答案.B解析.用降幂公式进行求解. 5.设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是π6，则ω的值为(..) A.12 B.－13 C.－23 D.2π3答案.A解析.f (x )＝32cos 2ωx ＋12sin 2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a ， 依题意得 2ω·π6＋π3＝π2⇒ω＝12. 6.设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝ 1－cos 50°2，则有(..) A.c <b <aB.a <b <cC.a <c <bD.b <c <a 答案.C解析.a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，∵y ＝sin x 在[0，π2]上是单调递增的， ∴a <c <b .7.已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2＜θ＜π)，则tan θ2等于(..) A.－13B.5C.－5或13D.－13或5 答案.B解析.由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1，解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ＜0，不符合π2＜θ＜π.∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5.二、填空题8.设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值为 .答案.－ 1－a2 解析.sin 2θ4＝1－cos θ22，∵θ∈(5π，6π)，∴θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，∴sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－ 1－a2.9.sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值为 .答案.34解析.原式＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°·cos 20°－cos 60°sin 20°)＝sin 220°＋sin 260°cos 220°－cos 260°sin 220°＝sin 220°＋34cos 220°－14sin 220°＝34sin 220°＋34cos 220°＝34.10.函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是 .答案.π解析.∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 三、解答题11.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，求cos α的值. 解.∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α ＝sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α ＝32sin α＋32cos α＝－435. ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. ∵－π2<α<0，∴－π3<α＋π6<π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6 ＝35×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33－410. 12.求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x . 证明.∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2 ＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x＝右边. ∴原等式得证.13.已知cos 2θ＝725，π2<θ<π， (1)求tan θ的值；(2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin (θ＋π4)的值. 解.(1)因为cos 2θ＝725， 所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725， 所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725， 解得tan θ＝±34， 因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34. (2)因为π2<θ<π，tan θ＝－34， 所以sin θ＝35，cos θ＝－45， 所以2cos 2θ2＋sin θ2sin (θ＋π4)＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ ＝1－45＋35－45＋35＝－4. 四、探究与拓展14.已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是 ，最小值是 . 答案.32.12解析.∵A ＋B ＝2π3， ∴cos 2A ＋cos 2B＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B ) ＝1－12cos(A －B )， ∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32； 当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12. 15.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性. 解.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增， 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减.。

3.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.知识点一半角公式思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？答案结果是cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin2α2＝cos2α2－sin2α2.思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sinα2，cosα2，tanα2.答案∵cos2α2＝1＋cos α2，∴cosα2＝±1＋cos α2，同理sinα2＝±1－cos α2，∴tanα2＝sinα2cosα2＝±1－cos α1＋cos α.思考3 利用tan α＝sin αcos α和倍角公式又能得到tanα2与sin α，cos α怎样的关系？答案 tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cos αsin α.梳理sinα2＝±1－cos α2，cosα2＝±1＋cos α2，tanα2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α .知识点二 辅助角公式思考1 a sin x ＋b cos x 化简的步骤有哪些？ 答案 (1)提常数，提出a 2＋b 2得到a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2 sin x ＋b a 2＋b 2cos x .(2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ＝a a 2＋b2，sin θ＝b a 2＋b2(或sin θ＝a a 2＋b2，cos θ＝b a 2＋b 2).一般θ为特殊角⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x ＋sin θcos x )(或a 2＋b 2(sin θsin x ＋cosθcos x )).(3)化简、逆用公式得a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(或a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －θ)).思考2 在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？ 答案 θ所在的象限由a 和b 的符号确定. 梳理 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).(其中tan θ＝b a)类型一 应用半角公式求值例1 已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.解 ∵sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1，得cos2θ2＝1＋cos θ2＝15. ∵5π4＜θ2＜3π2，∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思与感悟 (1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子；②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).跟踪训练1 已知sin α＝－817，且π<α<3π2，求sin α2，cos α2和tan α2.解 ∵sin α＝－817，π<α<3π2，∴cos α＝－1517.又∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝ 1＋15172＝41717， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－15172＝－1717， tan α2＝sinα2cosα2＝－4.类型二 三角恒等式的证明例2 求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. ∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ， ∴左边＝右边， ∴原式得证.反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 跟踪训练2 证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明 ∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tanα21＋tan 2 α2＋1－tan2α21＋tan 2α2＝tan2α2＋2tan α2＋11＋tan2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立.类型三 利用辅助角公式研究函数性质例3 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 (x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合. 解 (1)∵f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝3sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12]＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12 (k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }.反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.跟踪训练3 已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合. 解 (1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π8，k ∈Z .类型四 三角函数在实际问题中的应用例4 如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ 、CR 正好落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.解 如图连接AP ，设∠PAB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ，则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ. 所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ) ＋8 100sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)， 则sin θcos θ＝t 2－12.所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002(t －109)2＋950. 故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时，S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002) m 2.反思与感悟 此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.跟踪训练4 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).解 连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12 ＝22cos(2θ－45°)－12. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S max ＝2－12(m 2). ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2.1.若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B.－63 C.±63 D.±33答案 A解析 由题意知α2∈(0，π2)，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2.已知tan θ2＝3，则cos θ等于( ) A.45 B.－45 C.415 D.－35 答案 B解析 cos θ＝cos 2θ2－sin2θ2cos 2θ2＋sin 2θ2＝1－tan2θ21＋tan 2θ2＝1－321＋32＝－45.3.函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A.1B.2C.32D.3答案 C解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴f (x )max ＝1＋12＝32，故选C.4.函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为 .答案 －1解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.5.化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α.(180°<α<360°)解 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α24cos2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cosα2⎝⎛⎭⎪⎫sin2α2－cos2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cosα2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2.因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°，所以cosα2<0，所以原式＝cos α.1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝ba(或sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2).3.研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sin x±cos x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x±π4；sin x±3cos x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x±π3等.课时作业一、选择题1.若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A.－12B.12C.2D.－2答案 A解析∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴1＋tanα21－tan α2＝1＋sinα2cosα21－sinα2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sinα2cos α2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.2.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.3.已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A.－ 1－cos α2 B. 1－cos α2 C.－ 1＋cos α2D.1＋cos α2答案 C4.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形答案 B解析 用降幂公式进行求解.5.设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是π6，则ω的值为( )A.12B.－13C.－23D.2π3 答案 A 解析 f (x )＝32cos 2ωx ＋12sin 2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a ， 依题意得 2ω·π6＋π3＝π2⇒ω＝12.6.设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.c <b <a B.a <b <c C.a <c <b D.b <c <a答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°) ＝sin 24°，b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，∵y ＝sin x 在[0，π2]上是单调递增的，∴a <c <b . 7.已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2＜θ＜π)，则tan θ2等于( ) A.－13B.5C.－5或13D.－13或5答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1，解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ＜0，不符合π2＜θ＜π.∴m ＝0舍去，故m ＝8， sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5.二、填空题8.设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值为 .答案 －1－a 2解析 sin 2θ4＝1－cosθ22，∵θ∈(5π，6π)，∴θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 9.sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值为 . 答案 34解析 原式＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°·cos 20°－cos 60°sin 20°)＝sin 220°＋sin 260°cos 220°－cos 260°sin 220° ＝sin 220°＋34cos 220°－14sin 220°＝34sin 220°＋34cos 220°＝34. 10.函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是 .答案 π 解析 ∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.三、解答题11.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，求cos α的值. 解 ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α ＝sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝－435. ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.∵－π2<α<0，∴－π3<α＋π6<π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝35×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33－410. 12.求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x .证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx2cosx2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cosx 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x＝右边.∴原等式得证.13.已知cos 2θ＝725，π2<θ<π，(1)求tan θ的值； (2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin (θ＋π4)的值.解 (1)因为cos 2θ＝725，所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725， 所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725， 解得tan θ＝±34，因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34.(2)因为π2<θ<π，tan θ＝－34，所以sin θ＝35，cos θ＝－45，所以2cos 2θ2＋sin θ2sin (θ＋π4)＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ＝1－45＋35－45＋35＝－4.四、探究与拓展14.已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是 ，最小值是 .答案 32 12解析 ∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B ) ＝1＋cos 2π3·cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时， 原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.15.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性. 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减.。

3. 2简单的三角恒等变换（导学案）课前预习学案一、 预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、 的三角恒等变换。

二、 预习内容：1、回顾复习以下公式并填空：2、阅看课本 P139---141 例 1、2、3。

三、提出疑惑：课内探究学案一、 学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式， 积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆） ，进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训 练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

学习难点：认识三角变换的特点， 并能运用数学思想方法指导变换过程的设计， 不断提高从整体上把握变换过程的能力。

二、 学习过程：探究一：半角公式的推导（例1）请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、 2a 与a 有什么关系？ a 与a /2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的 应用。

2、 半角公式中的符号如何确定？ 3 、二倍角公式和半角公式有什么联系？4、代数变换与三角变换有什么不同？探究二：半角公式的推导（例 2）请同学们阅看例2,思考以下问题，并进行小组讨论。

COS ( a + 3 )=Cos( sin( t an(sin( tan( a + 3 )= a + 3 )=sin2a=ta n2cos2a =a - 3 )= a - 3 )= a - 3 )= a =余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单1、两角和与差的正弦、 余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？2 、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？ 3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例 3）请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。

1、 例3的过程中应用了哪些公式？2、 如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin （ w x+ $ ）的函数？并求y=as in x+bcosx 的周期，最大值和最小值.课后练习与提高、选择题:1 .已知 cos ( a + 3 ) cos ( a —3)=-，则 cos2 a — Sin 2 卩的值为()3C2.在△ ABC 中，若 sin A sin B =cos 2 ，则△ ABC 是()C. 不等边三角形D.直角三角形V3口3. sin a +sin 3 =—— (cos 3 — cos a ), 且 a €( 0,n 3等于（）三、反思、总结、归纳：sin a /2= cos a /2=tansina cos 3 =cos a sin 3 =cos a cos 3 = sin a sin 3 =sin0 +sin $ = sin 0 -sin $ =cos 0 +cos $ =cos0 -cos $ =四、当堂检测：课本 p143 习题3.2 A 组 1、 (3) (7) 2、(1) B 组a /2=A .B .C. D.A. 等边三角形B. 等腰三角形,3^( 0 ,n)，贝U a — 3A. — 2 nB.—n c.上 D. 2 n3333二、填空题4. sin20 ° cos70° +sin10° sin50 ° =5.已知a —3 = 2 n，且cos a +cos卩：=1，则cos ( a+ 3 )等于33三、解答题.5 sin — x6.已知f ( X)=—1+ J , x€( 0,n).2 X2 2sin2(1)将f (x)表示成cosx的多项式；(2)求f (x)的最小值.谍后练习琴芳答案；—S选择题m 比E 3, D二、埴空題:4. 1 5. -I4 P三、解答题Sr r 3rsinsin—2 cos —smx * Y5. 解(1) fM =------ 2 ------ L = ----- 2------- =2cos —cos—YoarfooQjMosY——1.”勺.K * . s 222 sin—2511122⑵(r) -2(8Sl+£) 2—芝，且一1 £CCIS.\<L二当匚曲戶一—时！J'(A")取寻眾小值一2.寧EL；! 4F 客。

3.2 简单的三角恒等变换1.知识与技能(1)利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.(2)通过三角恒等变形将形如a sin x+b cos x的函数转化为y=A sin(x+φ)的函数.2.过程与方法经历半角公式、积化和差公式、和差化积公式的推导过程,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促进学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.3.情感、态度与价值观引导学生以已有的公式为依据,以推导半角公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力.三角函数的和积互化(1)三角函数的积化和差公式及推导sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)],cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)],cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].下面对这组公式进行推导:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,(S(α+β))sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,(S(α-β))cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,(C(α+β))cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β))(S(α+β))+(S(α-β)),(S(α+β))-(S(α-β)),(C(α+β))+(C(α-β)),(C(α+β))-(C(α-β)),得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β,cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β,cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β,即sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)],①cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)],②cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],③sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)],④公式①、②、③、④叫做积化和差公式.(2)三角函数的和差化积公式sin α+sin β=2sin·cos,sin α-sin β=2cos·sin,cos α+cos β=2cos·cos,cos α-cos β=-2sin·sin.下面给出这组公式的推导:在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.为了用起来方便,在积化和差的公式中,如果令α+β=θ,α-β=φ,则α=,β=.把这些值代入积化和差的公式①中,就有sin·cos==(sin θ+sin φ).∴sin θ+sin φ=2sin·cos.同样可得:sin θ-sin φ=2cos·sin, cos θ+cos φ=2cos·cos,cos θ-cos φ=-2sin·sin.这四个公式叫做和差化积公式.。

13.2.1二倍角公式教学目标： 12能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明教学重点：二倍角公式的推导 教学过程sin15cos15×o o 的求值问题？一、复习引入复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：),(,sin cos cos sin )sin(R R ∈∈+=+βαβαβαβα )(βα+S=+)sin(αα),(,sin sin cos cos )cos(R R ∈∈-=+βαβαβαβα )(βα+C =+)cos(αα ),2,,(,tan tan 1tan tan )tan(Z k k ∈+≠+-+=+ππβαβαβαβαβα)(βα+T=+)tan(αα二、讲解新课(一) 二倍角公式的推导在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式： sin 2________________α= 简记为_____________.cos 2________________α=简记为_____________又可写成________________.________________.=⎧⎨=⎩tan 2________________α= 简记为_____________.（二）公式的变形应用21sin 2_______________(_________).α±==1cos 2_______;1cos 2_______.αα+=-= 22sin _______.cos _______.αα⇒==（三）相对2倍角(倍角的相对性)sin 2________________α=cos 2________________α=sin α= cos α= （利用2α表示） cos4α= __________________ cos3_________.α=（利用32α表示）. sin2α=__________________ （22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用）例1不查表．求下列各式的值(公式的逆用) （１） 15cos 15sin ； （２）8sin 8cos 22ππ-；（３）5.22tan 15.22tan 22-； （４）75sin 212-． （5）22cos 112π-= （6）求cos 20cos 40cos60cos80o o o o 的值例2求值（１）)125cos 125)(sin 125cos 125(sin ππππ-+（２）2sin 2cos 44αα- （３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例3若tan θ = 3，求sin2θ- cos2θ的值三、课后提升1、已知12cos13α=，)2,0(πα∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值 ?2、已知5tan12α=，3(,)2παπ∈，求tan2α的值。

3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[提出问题]问题1：在公式C (α＋β)，S (α＋β)和T (α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？ 提示：成立．问题2：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos 2α＝cos 2α－sin 2α，sin 2α＝2sin αcos α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [导入新知]二倍角公式[化解疑难] 细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．[例1] (1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.[解] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.[类题通法] 化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[活学活用]化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.答案：(1)tan 2θ (2)1[例2] (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4＝5，2≤α<2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[解] (1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin2α＋π2＝2sin α＋π4cos α＋π4＝2×－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250. (2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴原方程可化为1－2cos 2α＋π4＝－cos α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.[类题通法]解决条件求值问题的方法条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．[活学活用]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4α的值． 答案：－4292．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，求锐角α. 答案：π6[例3] A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域． [解] (1)由题意得a ·b ＝3sin A －cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]， 因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32.当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3. 所以所求函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.[类题通法]二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[活学活用](福建高考节选)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.求函数g (x )的解析式．答案：(1)2π (2)g (x )＝10sin x －89.二倍角的配凑问题[典例] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x 的值．[解] 原式＝2sin x cos x －2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x x －sin xcos x －sin xcos x＝2sin x cos x ＝sin 2x .或原式＝sin 2x －2sin x cos x ·sin xcos x1－tan x＝sin 2x －sin 2x tan x1－tan x＝sin 2x －tan x1－tan x＝sin 2x .∵2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2，∴sin 2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2 ＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1 ＝2×925－1＝－725，∴原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725＝725.[多维探究]1．解决上面典例要注意角“2x ”与“π4＋x ”的变换方法，即sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；常见的此类变换，还有： (1)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(2)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .2．倍角公式中的“倍角”是相对的．对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，3α是3α2 的二倍角等．在解决此类问题时，有时二倍角关系不是很明显，需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现．[活学活用]1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________.答案：－792．计算：cos 2π7·cos 4π7·cos 6π7＝________.答案：183．计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________. 答案：1164．求值：＋3－cos 20°cos 80°1－cos 20°.答案： 2[随堂即时演练]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215°答案：B2．化简1＋sin 100°－1－sin 100°＝( ) A ．－2cos 50° B ．2cos 50° C ．－2sin 50° D ．2sin 50°答案：B3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 答案：－434．函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的最小正周期为________． 答案：π5．已知α为第二象限角，且sin α＝154， 求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值． 答案：－ 2[课时达标检测]一、选择题 1．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝35，则cos 2x 的值为( )A ．－725 B.1425C ．－1625 D.1925答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设－3π<α<－5π2，化简1－α－π2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2答案：C4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3 答案：D 5．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74 D.34答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 答案：1－ 27．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，则1cos 2α＋tan 2α＝________. 答案：78．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．答案：459三、解答题9．已知α为锐角，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2. (1)求tan α的值；(2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α2α－cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010， 所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010.10．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：∵f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35.又∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.11．设函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12；(2)若f (α)＝53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求角α. 解：f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ＝53cos 2x ＋53sin 2x －2sin 2x －43sin 2x ＝53－2sin 2x －23(1－cos 2x ) ＝33－2sin 2x ＋23cos 2x ＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ×12－cos 2x ×32＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝33－4sin π2＝33－4.(2)由f (α)＝53，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－32， 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 得2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π3， ∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.。

3.2简单的三角恒等变换教学目的：能运用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换，包括浓度导出积 化和差、和差化积、半角公式，但不要求记住公式。

教学重点：用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换。

教学难点： 例4的教学是本课的难点。

教学过程一、复习提问二倍角公式的正弦、余弦、正切。

二、新课在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的例1、求证：α+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222证明：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2cos 12sin 2α-=α 2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得： 12cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3︒以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1︒左边是平方形式，只要知道2α角终边所在象限，就可以开平方。

2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切 3︒上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin补充：万能公式：求证：2tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 例2、求证： （1）sin αcos β＝21［sin （α＋β）+sin （α－β）］ （2）sin θ＋sin ϕ＝22cos 2sin ϕθφθ-+ 例3、求函数y ＝sinx ＋3cosx 的周期，最大值和最小值。

解：y ＝sinx ＋3cosx＝2（x x cos 23sin 21+） ＝2（3sin cos 3cossin ππx x +） ＝2)3sin(π+x所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为－2。

3.2 简单的三角恒等变换疱工巧解牛知识•巧学一、半角的三角函数1.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α=2cos 2α-1中，以α代替2α，以2α代替α，将得出sin2α=± 2cos 1α-，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan +-±=，我们称之为半角公式，它们是用单角的余弦函数表示半角的弦函数与切函数的.其正负号的选取由2α所在的象限确定.2.对于半角的切函数，还可写成αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=，我们可从同角的三角函数的商数关系出发，逆用二倍角公式去证明，即ααααααααcos 1sin 2cos 22cos22sin2cos2sin 2tan2+=∙==.同理，可把2cos2sin2tanααα=的分子、分母同乘以2sin 2α，即可化成αααsin cos 12tan -=.也可从半角的切函数αααcos 1cos 12tan 2+-=出发，把被开方数转化成一个完全平方的形式，通过开方求值.由于2222)cos 1(sin )cos 1()cos 1)(cos 1(cos 1cos 12tan αααααααα+=++-=+-=， ∴|tan2α|=ααcos 1|sin |+.∵sin α=2sin 2αcos 2α=2tan 2α·cos 22α，∴sin α与2tan α同号.又∵1+cos α>0，∴αααcos 1sin 2tan +=.同理，若把ααcos 1cos 1+-的分子、分母同乘以1-cos α，可转化成αααsin cos 12tan -=.我们也把αααcos 1sin 2tan +=，αααsin cos 12tan -=称之为半角公式，它是用单角的正、余弦函数表示半角的切函数的.3.对于半角公式，也必须明确“半角”是相对而言，不能认为2α才是半角.如2α是4α的半角、23α是3α的半角；反之，2α、2α分别是4α、α的倍角.正是根据这个思想，才由二倍角公式得出了半角公式.学法一得 关于半角正切的三个公式：公式αααsin cos 12tan-=不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：αααcos 1cos 12tan+-±=和αααcos 1sin 2tan+=的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π(k∈Z )，而第一个公式除α≠(2k+1)π(k∈Z )之外，还必须有α≠2k π(k∈Z ).当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用.误区警示 当2α所在的象限无法确定时，应保留根号前面的正、负两个符号；当α或2α的大小确定时，应根据2α所在的象限，确定根号前的正负号.二、积化和差公式 1.公式：sin αcos β=21［sin(α+β)+sin(α-β)］； cos αsin β=21［sin(α+β)-sin(α-β)］; cos αcos β=21［cos(α+β)+cos(α-β)］;sin αsin β=21-［cos(α+β)-cos(α-β)］.2.公式推导：积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.如第一个公式，可以由S (α+β)+S (α-β)产生，因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β，所以sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，两边同除以2即得，其他公式同理可以由两角和与差的正余弦公式获得.3.公式特点；同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角. 记忆要诀 积化和差公式可按如下方法记忆： (1)“+”两角的正弦、余弦的积都可化为21［f(α-β)±f(α+β)］的形式. (2)如果两角的函数同为正弦或余弦，则“f”表示余弦；如果一个为正弦一个为余弦，则“f”表示正弦.(3)当左边含有余弦函数时，右边中间取“+”，否则取“-”. 三、和差化积公式1.公式：sinx+siny=2cos 2sin2yx y x -+； sinx-siny=2sin 2cos 2yx y x -+; cosx+cosy=2cos 2cos 2yx y x -+; cosx-cosy=2sin 2sin 2yx y x -+-.2.公式推导：在积化和差公式中，令α+β=x,α-β=y ，从而α=2y x +，β=2yx -，将上述值代入公式，即有=--++-++=-+)]22sin()22[sin(212cos 2sin yx y x y x y x y x y x)sin (sin 21y x +,所以sinx+siny=2cos2sin 2yx y x -+，这就是和差化积公式中的第一个，其他公式同理可得.3.三角函数的和差化积公式与积化和差公式实质上是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式.辨析比较 ①积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想.②只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式.如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积.③另外对三角函数的和差化积可以理解为代数中的因式分解.因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用. 四、辅助角公式一般地，通过三角变换，可把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为y=22b a + sin(x+θ)，其中sin θ=22ba b +，cos θ=22ba a +的形式.证明：如图3-2-1，设点P(a ，b)是角θ终边上一点，则cos θ=22ba a +，sin θ=22ba b +.图3-2-1于是)cos sin (222222x ba b x ba ab a y ++++==22b a +(cos θsinx+sin θcosx)=22b a +sin(x+θ). 其中sin θ=22ba b +，cos θ=22ba a +.特别地，当ab=±1，±33，±3时，θ是一特殊角，θ所在的象限由点P(a ，b)所在的象限唯一确定，可先由tan φ=|ab|找到一个符合条件的锐角，再由诱导公式导出一个符合条件的角.学法一得 利用上述公式可把形如asinx+bcosx 的三角函数式转化成一个角的一个函数的形式，对我们研究函数的最值、周期、单调区间、对称中心、对称轴等都是大有裨益的. 典题•热题知识点一 半角公式的应用 例1 已知sin2 010°=-21，求sin1 005°，cos1 005°，tan1 005°的值. 解：∵2 010°=5×360°+210°是第三象限的角， ∴cos2 010°=232010sin 12-=︒--. 又∵1 005°=2×360°+285°是第四象限的角，∴232223122010cos 11005sin +-=+-=︒--=︒， 232223122010cos 11005cos -=-=︒+=︒， )32(1)32(32321005cos 1005sin 1005tan 2+-=+-=-+-=︒︒=︒.例2 求12tan,8cosππ的值.解：由于4221222124cos 18cos2+=+=+=ππ， ∴22242218cos+=+=π. 由于22)32(32322312316cos 16cos112tan-=+-=+-=+-=πππ， ∴3212tan-=π.例3 已知sin2α=1312-，π＜2α＜23π，求tan α.解：∵π＜2α＜23π，∴2π＜α＜43π.由135)1312(1sin 12cos 22-=---=--=αα，得23131213512sin 2cos 1tan -=-+=-=ααα或23135113122cos 12sin tan -=--=+=ααα； 或23135113512cos 1cos 1tan -=-+-=+2--=ααα. 方法归纳 ①已知角α所在的象限，则2α所在的象限是角α的平分线及其反向延长线所在的象限.当α位于一、二象限时，2α位于一、三象限；当α位于三、四象限时，2α位于二、四象限.②已知单角的弦函数，求半角的切函数时，使用公式αααcos 1sin 2tan+=或αααsin cos 12tan -=可避开符号的讨论.③若角α的倍角2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把2α与2α的角的函数值连在一起. 知识点二 积化和差公式的应用 例4 求下列各式的值：(1)12sin 125cosππ；(2)2cos50°cos70°-cos20°. 解：(1) )]12125sin()12125[sin(2112sin 125cos ππππππ--+=4321)231(21)3sin 2(sin 21-=-=-=ππ. 巧解提示:26cos 1265cos1125cos 125cos 125cos 12sin 125cos2πππππππ-=+=== 43212231-=-=. (2)原式=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos20° =cos120°+cos20°-cos20°=cos120°=-cos60°=21-.例5 求证：(1)sin80°cos40°=︒+40sin 2143； (2)sin37.5°sin22.5°=41-+21cos15°. 证明：(1)左边=21［sin(80°+40°)+sin(80°-40°)］ =21(sin120°+sin40°)=2143+sin40°=右边，所以原式成立. (2)左边=-21［cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)］ =21-(cos60°-cos15°)=2141+-cos15°=右边，所以等式成立.方法归纳 ①只有同名或异名弦函数积的形式，才能积化和差，它也实现了角的重组，出现了(α±β)这样的角.②在积化和差的过程中，构成积的两个因式的顺序不同时，使用的公式也不同，但最终结果是相同的.③三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式都是化归思想中的等价化归在实际问题中的应用.知识点三 和差化积公式的应用 例6 求下列各式的值: cos75°-cos15°；(2)︒-︒︒-︒40cos 20cos 40sin 20sin .解：(1)cos75°-cos15°21575sin21575sin2︒-︒︒+︒-= =-2sin45°sin30°=2221222-=⨯⨯-. 巧解提示:c os75°-cos15°=cos(45°+30°)-cos(45°-30°)=-2sin45°sin30°=22-. (2)原式=32123)10sin(30sin 2)10sin(30cos 224020sin24020sin 224020sin24020cos 2-=-=︒-︒-︒-︒=︒-︒︒+︒-︒-︒︒+︒. 例7 求证:(1)cos40°-cos80°=3sin20°；(2))(21sin )(21sin )sin(sin sin y x y x y x y x +-=+-. 证明：(1)左边=28040sin28040sin 2︒-︒︒+︒-=-2sin60°sin(-20°)=3sin20°=右边.所以原式成立.(2)右边)(21cos )(21sin 2)(21cos )(21sin 2y x y x y x y x +++-= )sin(sin sin )sin()sin(sin )sin()]()[(21sin )]()[(21sin y x y x y x y x y x y x y x y x y x +-=+-+=+++-+++-==左边.所以原式成立.方法归纳 ①只有系数绝对值相等的同名弦函数的和、差的形式才能化积，化积后实现了角的重组， 出现了2ϕθ±这样的角.②在运用积化和差或和差化积公式化简三角函数式时，若解析式中存在三个或三个以上因式，当进行积化和差时，应选择两角的和或差是特殊角的形式相结合；当进行和差化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他角一致的因式相组合. ③积化和差与和差化积公式与同角的三角函数的基本公式、诱导公式、两角和差与二倍角公式、半角公式一样，也是进行三角恒等变换的工具.例8 求函数y=sin 4x+32sinxcosx-cos 4x 的最小正周期与最小值，并写出该函数在［0，π］上的单调增区间.思路分析：本题考查三角函数的基础知识.根据题设结构特征，先用a 2-b 2=(a+b)(a-b)，再用asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+φ)求解.解：y=sin 4x-cos 4x+32sinxcosx=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2(23sin2x-21cos2x)=2sin(2x-6π). 该函数的最小正周期是π，最小值是-2.令2k π-2π≤2x -6π≤2k π+2π，得k π-6π≤x≤k π+3π，k∈Z . 取k=0，得-6π≤x≤3π；取k=1，得3465ππ≤≤x .由于0≤x≤π，所以该函数在［0，π］上的增区间是［0，3π］或［65π，π］.例9 设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cosx ，1)，b =(cosx ，3sin2x)，x∈R . (1)若f(x)=1-3且x∈［3π-，3π］，求x ； (2)若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|＜2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值. 思路分析：本小题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.解：(1)依题设，f(x)=2cos 2x+3sin2x=1+cos2x+3sin2x=1+2(21cos2x+23sin2x)=1+2sin(2x+6π).由1+2sin(2x+6π)=1-3，得sin(2x+6π)=23-.∵-3π≤x≤3π，∴-65622πππ≤+≤-x .∴2x+6π=3π-，即x=-4π-.(2)函数y=2sin2x 的图象按向量c =(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象. 由(1)得f(x)=2sin2(x+12π)+1. ∵|m|＜2π，∴m=12π-，n=1. 方法归纳 ①为使辅助角公式形式最简，可通过提取公因式22b a +或22b a +-使辅助角θ是一锐角的形式.辅助角公式是化特殊为一般的化归思想的具体运用，它把y=asin ωx+bcos ωx 的函数式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，以进一步研究函数的性质. ②一般地，函数y=asin ωx+bcos ωx ，x∈R 的最大值是22b a +，最小值是22b a +-；周期是ωπ2=T ；可把化简后的解析式y=22b a +sin(ωx+φ)的“ωx+φ”，ω>0视为一个整体，结合初等三角函数的性质求单调区间. 问题•探究 思想方法探究问题 积化和差与和差化积公式在形式上非常相似，其实质是一类公式的正用或逆用，那么在使用这些公式时，通常怎样变化？探究过程:积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.探究结论:在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.。

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容． 例1、试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()s i n y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 作业：157158P P - 14T T -《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明： 二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。

3.2 简单的三角恒等变换1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理 半角公式阅读教材P 139～P 140例2以上内容，完成下列问题. sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cosα2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sinα2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos α2＝1＋cos α2.( ) (2)存在α∈R ，使得cos α2＝12cos α.( )(3)对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立.( )(4)若α是第一象限角，则tan α2＝1－cos α1＋cos α.( )【解析】 (1)×.只有当－π2＋2k π≤α2≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π＋4k π≤α≤π＋4k π(k ∈Z )时，cos α2＝1＋cos α2. (2)√.当cos α＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立. (3)×.当α＝2k π(k ∈Z )时，上式成立，但一般情况下不成立. (4)√.若α是第一象限角，则α2是第一、三象限角，此时tan α2＝1－cos α1＋cos α成立.【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√[小组合作型]化简求值问题(1)已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2；(2)化简：＋sin α＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°).【精彩点拨】 (1)①cos θ＝－35→tan θ2＝±1－cos θ1＋cos θ→tan θ2的值；②cos θ＝－35→tan θ2＝1－cos θsin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫或tan θ2＝sin θ1＋cos θ→tan θ2的值. 对于(1)的思考要注意符号的选择.(2)化α为α2，消去数值1，再升幂判断α2的范围，然后化简得结论.【自主解答】 (1)法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，即θ2是第二象限角，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝1－cos θsin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cosα2－cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2－cos α－cosα2＝cos α.1.解决给值求值问题的方法及思路(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题.(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用.2.三角函数化简的思路及原则：(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑： ①运用公式之后能否出现特殊角；②运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件.(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致.[再练一题] 1.(1)已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2等于( ) A.2－ 5 B.2＋ 5 C.5－2D.±(5－2)(2)已知π<α<3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α. 【导学号：00680075】【解析】 (1)因为sin α＝55>0，cos α＝255>0， 所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限，所以tan α2>0，故tan α2＝1－cos α1＋cos α＝1－2551＋255＝5－2. 【答案】 C(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin α2>0，∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.三角恒等式的证明(1)求证：1＋2cos 2θ－cos 2θ＝2； (2)求证：2sin x cos xx ＋cos x －x －cos x ＋＝1＋cos xsin x.【精彩点拨】 (1)可由左向右证：先把左边cos 2θ降幂化为同角后整理可证. (2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化. 【自主解答】 (1)左边＝1＋2cos 2θ－cos 2θ＝1＋2×1＋cos 2θ2－cos 2θ＝2＝右边.所以原等式成立. (2)左边＝2sin x cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin 2x 2＝cos x2sin x2＝2cos2x22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x ＝右边.所以原等式成立.三角恒等式证明的五种常用方法： (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简. (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”.(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.[再练一题] 2.求证：α＋βα－βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α.【证明】 法一：左边 ＝αcos β＋cos αsin βαcos β－cos αsinβsin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β ＝1－tan 2βtan 2α＝右边， ∴原等式成立.法二：右边＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β ＝αcos β＋cos αsin βαcos β－cos αsinβsin 2αcos 2β＝α＋βα－βsin 2αcos 2β＝左边，∴原等式成立.三角函数在实际问题中的应用如图3­2­1所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？图3­2­1【精彩点拨】 设∠AOB ＝α→建立周长l α→求l 的最大值【自主解答】 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大.1.解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.2.在求解过程中，要注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角α)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响.[再练一题]3.有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地，使其一边AD 落在圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？【解】 如图所示，设∠AOB ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，∴S ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin 2θ.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2θ∈(0，π).因此，当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2.这时点A ，D 到点O 的距离为22a ， 矩形ABCD 的面积最大值为a 2.[探究共研型]三角恒等变换与三角函数图象性质的综合探究1 如何求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )的最小正周期？ 【提示】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－π4＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －512π＋1，所以函数的最小正周期T ＝π.探究2 研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时应首先把函数f (x )化简成什么形式再解答？【提示】 研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时，先化成f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)＋c 的形式再解答.已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性.【精彩点拨】 利用三角公式化简函数式，写为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再讨论函数的性质.【自主解答】 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4， 即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π8，π2上单调递减.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式，借助辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k )的形式，将ωx ＋φ看作一个整体研究函数的性质.[再练一题]4.已知函数f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.【解】 (1)f (x )＝－sin 2x －cos 2x ＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2.1.若cos α＝23，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.66 B.－66 C.306D.－306【解析】 由题意知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝306. 【答案】 C2.已知cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，则sin α2等于( ) A.55B.－55C.45D.255【解析】 由题知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，∴sin α2>0，sin α2＝1－cos α2＝55. 【答案】 A3.已知sin α－cos α＝－54，则sin 2α的值等于( )A.716B.－71611 C.－916D.916【解析】 由sin α－cos α＝－54， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2516，所以sin 2α＝－916. 【答案】 C4.函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________. 【解析】 ∵y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π. 【答案】 π5.求证：4sin θcos 2θ2＝2sin θ＋sin 2θ. 【证明】 法一：左边＝2sin θ·2cos 2θ2＝2sin θ(1＋cos θ) ＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ＋sin 2θ＝右边，所以原式成立.法二：右边＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(1＋cos θ)＝2sin θ·2cos 2 θ2＝4sin θcos 2θ2＝左边， 所以原式成立.。