高二数学必修五_第二章_等差等比数列练习题以及基础知识点总结_经典版

数学这个科目一直是同学们又爱又恨的科目，学的好的同学靠它来与其它同学拉开分数，学的差的同学则在化学上失分很多；在平时的学习和考试中同学们要善于总结知识点，这样有助高二数学必修五知识点总结1排列组合排列P------和顺序有关组合C-------不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法."排列"把5本书分给3个人，有几种分法"组合"1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n，m)表示.c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!_!);c(n，m)=c(n，n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!_2!_.._k!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m2008-07-0813：30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）一．数列的概念与简单表示法知识能否忆起1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝a n(n∈N*)．3.考点（一）由数列的前几项求数列的通项公式[例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A ．a n ＝1B ．a n ＝－1n＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝－1n －1＋32[自主解答] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinn π2可得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝1，a 4＝2，….[答案] C 由题悟法1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想以题试法写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)3,33,333,3 333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n－1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.（二）由a n 与S n 的关系求通项a n已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n＋1.[自主解答] (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1. 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎨⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2. 以题试法(2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝nn ＋1，则1a 5＝( )D ．30解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n n ＋1，则a 5＝15×6＝130. （三）数列的性质[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？[自主解答] (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小． 由题悟法1．数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；若a m ≤0，且a m ＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.以题试法3．(2012·江西七校联考)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值是( )A ．310B ．19解析：选C a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝119最大．二．等差数列及其前n 项和知识能否忆起一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．二、等差数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n2.三、等差数列的性质1．若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．在等差数列{a n }中，a k ，a 2k ，a 3k ，a 4k ，…仍为等差数列，公差为kd . 3．若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为n 2d . 4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列，且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．5．等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d .若其前n 项之和可以写成S n ＝An 2＋Bn ，则A ＝d2，B ＝a 1－d2，当d ≠0时它表示二次函数，数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．1.与前n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．(2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A .(3)利用二次函数的图象确定S n 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．考点等差数列的判断与证明[例1] 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．[自主解答] (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)，∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1， ∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．由题悟法1．证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．以题试法1．已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列． 解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则⎩⎨⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0.故S n ＝2n 2－4n . (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6. ∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．a n ＋1－a n ＝4， ∴数列{a n }是等差数列. 等差数列的基本运算典题导入[例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． [自主解答] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎨⎧ 2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.由题悟法1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．以题试法2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝3.则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44. (2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案：(1)44 (2)6等差数列的性质典题导入[例3] (1)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和S 9等于( )A ．66B ．99C ．144D ．297(2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( )A ．18B ．17C ．16D ．15[自主解答] (1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.所以S 9＝9a 1＋a 92＝9a 4＋a 62＝99.(2)设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.[答案] (1)B (2)A由题悟法1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．以题试法3．(1)(2012·江西高考)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.(2)(2012·海淀期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.(2)∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，解得193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7.答案：(1)35 (2)B三．等比数列及其前n 项和[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r . 特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)；a n ＝a m q n －m .1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 2．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误考点等比数列的判定与证明典题导入[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1． (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }( )A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列解析：选 A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log aa n ＋1a n ＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a >0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．等比数列的基本运算典题导入[例2] {a n }为等比数列，求下列各值： (1)a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求a n ； (2)已知a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q. 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎨⎧a 6－a 4＝a 1q 3q 2－1＝24， ①a 3a 5＝a 1q 32＝64. ②由②得a 1q 3＝±8，将a 1q 3＝－8代入①中，得q 2＝－2(舍去)． 将a 1q 3＝8代入①中，得q 2＝4，q ＝±2. 当q ＝2时，a 1＝1，∴a n ＝a 1qn －1＝2n －1.当q ＝－2时，a 1＝－1，∴a n ＝a 1q n －1＝－(－2)n －1.∴a n ＝2n －1或a n ＝－(－2)n －1.(2)∵a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15，∴⎩⎨⎧ a 3＝3，a 7＝12或⎩⎨⎧a 3＝12，a 7＝3.∴q 4＝a 7a 3＝4或14.∴q ＝±2或q ＝±22.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)． 因为a 2，a 4，a 8成等比数列， 所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )， 解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝32＋34＋…＋32n ＝91－9n1－9＝98(9n－1)． 等比数列的性质典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )C ．1D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3.log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74 ＝7log 33π3＝7π3，故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.[答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n)B ．16(1－2－n)(1－4－n)(1－2－n)解析：(1)选D 法一：由题意得⎩⎨⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， 解得⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎨⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎨⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5.故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)．练习题1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝n2n ＋1B ．a n ＝n2n －1C ．a n ＝n2n －3D ．a n ＝n2n ＋3答案：B2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49D ．64解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选A a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝n ＋12－n n ＋2n ＋1n ＋2＝1n ＋1n ＋2>0.4．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎨⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，则a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：545．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝32，则a 8＝________. 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q 2＝32，4p ＋q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14，q ＝2.则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝94.答案：941．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝( )C ．－32D ．－12解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12.3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176解析：选B S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －15．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12＝14n 2＋14n . 答案：1 14n 2＋14n1．(2011·江西高考){a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．72解析：选 B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48. 3．(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 25 解析：选 B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.4．(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25解析：选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，1为公差的等差数列．∴a 2n＝1＋(n －1)＝n .又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴n <5.即n <25.故n 的最大值为24.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为( )A ．5B ．6C ．4D ．7解析：选A 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5.6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －18．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案：39．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S nT n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 答案：194110．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.11．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，(1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 的前n 项和S n .解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1， 两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1， 故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列． (2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝n n ＋1.故a nT n＝n .∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．∴S n ＝n n ＋12.12．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值． 解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 即12a 11＋a 222＝0，故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又∵a 1＝31，∴d ＝－2， ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)法一：由(1)知S n ＝32n －n 2，故当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 法二：由S n ＝32n －n 2＝n (32－n )，欲使S n 有最大值，应有1<n <32，从而S n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256， 当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5， a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64B ．81C ．128D ．243解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2， 故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n1－2＝2n －1－12.答案：2 2n －1－125．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－21．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( ) A ．－12B ．1C ．－12或1解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )C ．4D ．2解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 11－241－2a 1×2＝152.3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)， 同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn＝( )或23D ．以上都不对解析：选 B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16.答案：168．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q ＝1－－253＝11.答案：119．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________.解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n ＝a 12n －1＝2n，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－14n .答案：213⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n1－4＝24n－13.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n－13＝22n ＋1＋13.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1. 当n ≥2时，有⎩⎨⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 11－3n1－3＝12a 1·3n－12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 由T 5＝105，a 10＝2a 5， 得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 11－q m 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m －148＝72m ＋1－748.。

等差与等比数列的综合问题【知识概述】一、两种数列综合考查有以下几种命题方式：1.嵌套式：将一种数列嵌套在另外一种数列中作为一个知识点进行考查；2.拼盘式：在一个综合问题中，将两种数列像一个拼盘一样拼在一起，来综合考查这两种数列的各种概念与性质3.引申式：将等差数列或者等比数列进行引申，将它与其他的数学知识产生联系，从而在考查数列知识的同时考查数学的其他相关知识二、等差数列与等比数列在一定情况下可以互相转换1.若{}n a 为等差数列{}(0,1)n a a a a ⇔>≠为等比数列；2.若{}n a 为等比数列{log }(0,1)a n a a a ⇔>≠为等差数列.【学前诊断】1．[难度] 易已知等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则4a = .2．[难度] 中设{}n a 为等差数列，{}n b 是各项都是正数的等比数列，111a b ==, 243a a b +=，243b b a =，求及{}n b 的前10项的和10S 及10T .3．[难度] 中设{}n a 是等差数列，1()2n a n b =，已知b 1＋b 2＋b 3＝821，b 1b 2b 3＝81. （1）求证：数列{b n }是等比数列；（2）求等差数列{a n }的通项a n .【经典例题】{}n a例1．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37,S =且1233,3,4a a a ++构成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）令31ln ,1,2n n b a n +==…, 求数列{}n b 的前n 项和n T .例2．已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和2n n T b =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设 2n n n c a b =，证明：当且仅当n ≥3时，1n c +< n c .例3．已知等差数列的公差d 不为0，设，（1）若 ，求数列的通项公式；（2）若成等比数列，求q 的值；（3）若.例4．已知数列{}n a 中，112a =,点*1(,2)()n n n a a n +-∈N 在直线y x =上. （1）令11n n nb a a +=--,求证数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项；（3）设n S ，n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和,是否存在实数λ使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭等差数列？ 若存在，试求出λ，若不存在,则说明理由.【本课总结】}{n a 121-+++=n n n q a q a a S *1121,0,)1(N n q q a q a a T n n n n ∈≠-++-=-- 15,1,131===S a q }{n a 3211,,,S S S d a 且=*2222,1)1(2)1(1,1N n q q dq T q S q q n n n∈--=+--±≠）证明（1.等差和等比数列是两个基本的数列模型，是高考的重点和热点，将两种数列综合在一起进行考查是常见的命题形式，难度低中等，但若是在等差、等比数列的基础上引申和创新的问题，则一般难度较大，对考生的观察理解能力和灵活利用所学知识分析和解决问题的能力要求较高，命题的规律则通常是以一种类型数列为主导，兼顾另一种数列的相关知识，如中项公式等，目的是从基本量的角度给出确定数列的条件.解决等差数列与等比数列综合问题的关键，是能够熟练、准确和综合的运用相关的知识.注重总结常见问题的题型特征和命题规律以及相应的解题方法，并能比较深刻的理解和掌握问题中所蕴含的数学思想方法.2.请同学们体会如何将两种特殊数列进行综合，如何把他与其它的知识进行综合，不同的综合方式构成了不同难度的试题形式，当等差数列和等比数列综合的时候，要对这两个数列的基本知识进行很好的把握，把问题做适当的分解，便可以获得恰当的解题方法【活学活用】1．[难度] 中公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 .2. [难度] 中已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项;（2）求数列{}2n a 的前n 项和n S3. [难度] 难已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3655a a =，2716a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：*312123()2222n n n b b b b a n =++++∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S。

高二数学必修5知识点总结1. 数列的概念与性质数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的集合。

数列的性质包括等差数列和等比数列。

等差数列是指数列中相邻数之间的差值相等，而等比数列是指数列中相邻数之间的比值相等。

2. 等差数列的项数、和与通项公式等差数列的项数可以通过项与首项和公差之间的关系计算得出。

等差数列的和可以通过求首项、末项和项数之和乘以项数除以2来计算。

等差数列的通项公式可以通过首项、公差和项数来计算。

3. 等比数列的项数、和与通项公式等比数列的项数可以通过项与首项和公比之间的关系计算得出。

等比数列的和可以通过求首项乘以公比的项数次方减去1，再除以公比减去1来计算。

等比数列的通项公式可以通过首项、公比和项数来计算。

4. 数列的应用数列在实际问题中的应用非常广泛。

例如，利用数列可以描述物理学中的运动问题，经济学中的增长问题以及计算机科学中的算法问题等等。

数列在求和、平均数、中位数等方面都有重要作用。

5. 平面向量的基本概念与性质平面向量是指具有大小和方向的量，常用箭头表示。

平面向量有加法和数乘运算，满足交换律、结合律和分配律。

平面向量可以表示为有序数对或两点之间的差向量。

6. 平面向量的线性运算与应用平面向量的线性运算包括加法和数乘。

加法即两个向量相加，数乘即向量与实数的乘积。

平面向量的应用包括力的合成与分解、向量的投影、向量的模长等等。

7. 平面向量的数量积及其运算平面向量的数量积也称为内积或点积，它表示两个向量之间的夹角关系，并具有一个实数值。

平面向量的数量积可以通过两个向量的模长乘积与夹角的余弦值来计算。

数量积的运算包括交换律、结合律和分配律。

8. 平面向量的坐标表示方式平面向量的坐标表示方式是通过向量的终点在坐标系中的位置来表示，并且可以用有序数组表示。

平面向量的坐标表示方式可以简化向量的运算和表示，方便与其他数学概念和计算相结合。

9. 复数的基本概念与运算复数是由实部和虚部组成的数，可表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i 为虚数单位。

第二章数列1、等差数列与等比数列知识要点名称等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q表示。

表示法a1,a1+d,a1+2d, …, a1+(n-1)d,…a1,a1q,a1q2, …,a1q n-1, …中项定义如果a 与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。

如果a 与b 中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

性质若A是a与b的等差中项，则A=2ba+若G是a与b等比中项，则bGGa=求法等差中项A=2ba+等比中项G=ab±注意：等比中项不一定存在，若存在有两个。

递推公式五个条件的关系式通项公式求和公式S n=S n=S n=性质设{a n}是等差数列，则⑴dmnaamn)(-+=⑵qpnmaaaaqpnm+=++=+则若,⑶,,,2kmkmmaaa++成等差，公差为kd⑷S n,S2n-S n,S3n-S2n, …成等差，公差为dn2。

设{a n}是等比数列，则⑴⑵⑶,,,2kmkmmaaa++成等比，公比kq。

⑷S n,S2n-S n,S3n-S2n, …成等比，公比为nq。

判断方法⑴daann=-+1(d为常数,n∈N*)⑵11n2+-+=nnaaa(2≥n,n∈N*)⑶),(都是常数bkbknan+=)⑷S n=An2+Bn(A,B为常数)⑴(q为常数,n∈N*)⑵⑶⑷前项和S n与通项a n 的关系na=⎩⎨⎧≥-=-2,1,11nssnsnn2、在等差数列{}n a 中：（1）若项数为n 2，则nd S S =-奇偶nn a a S S 1+=奇偶（2）若数为12+n 则，1+=-n a S S 偶奇nn S S 1+=偶奇， )12(112+=++n a S n n 3、在等比数列{}n a 中：（1）若项数为n 2，则q S S =奇偶（2）若数为12+n 则，q S a S =-偶奇14、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件 答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。

1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。

教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。

作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。

等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。

与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。

最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。

2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。

教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。

随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。

通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。

三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。

教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。

通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。

教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2ba A +=或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1nn S aS a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N，则()2121n n Sn a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．523．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( )A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．53、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ）A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝519、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q --+++=，则其前n 项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 （ ）A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ） A. 0991>+a a B. 0991<+a a C. 0991=+a a D. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。

等比数列一．知识点梳理：1、等比数列的概念、有关公式和性质: （1）定义： 1{}(n n na a q a +⇔=为等比数列常数）(2)通项公式: k n k n n q a qa a --==11(3)求和公式: ⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na s n n n(4)中项公式: ab G =2推广：m n m n n a a a +-⨯=2(5)性 质： a 、若m+n=p+q 则 q p n m a a a a =;b 、若}{n k 成等差数列 （其中N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。

c 、n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。

d 、11a a qn n =- ， mn mn a a q=- )(n m ≠ 2. 判断和证明数列是等比数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证1nn a a -为同一常数； (2)通项公式法；(3)中项公式法:验证212,n n n a a a n N ++=∈都成立；(4) 若{a n }为等差数列，则{n a a }为等比数列（a>0且a ≠1）；若{a n }为正数等比数列，则{log a a n }为等差数列（a>0且a ≠1）。

二. 典型例题：【例1】若数列}{n a 中，211,3n n a a a ==+且（n 是正整数），则数列的通项=n a练习:1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设}{n a 是公比为q 的无穷等比数列,下列}{n a 的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n 为大于1的整数, S n 为}{n a 的前n 项和.2．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( )A ．3B ．4C ．5D ．63．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )A ．64B ．81C ．128D ．2434．等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝8，则a 5＝( )A ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－325．已知{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，a n >0，m ＝a 5＋a 6，k ＝a 4＋a 7，则m 与k 的大小关系是( )A ．m >kB ．m ＝kC ．m <kD ．m 与k 的大小随q 的值而变化6．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12 B.22 C. 2D ．27．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝±3，ac ＝98. 数列}{n a 的前n 项和=+++-=22221,12n nn a a a S 则_______________9. 已知a + b + c , b + c －a , c + a －b , a + b －c 成等比数列, 公比为q , 求证： (1) q 3 + q 2 + q = 1 ; (2) q = ca .【例2】 已知数列111{},1,3(2)n n n n a a a a n --==+≥,写出数列{}n a 的通项公式练习：1、各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－122、若a ，b ，c 成等比数列，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )A ．必有两个不等实根B ．必有两个相等实根C ．必无实根D ．以上三种情况均有可能3. 设数列{}n a 的各项为正数，若对任意的正整数,n n a 与2的等差中项等于其前n 项和n s 与2的等比中项， 求{}n a 的通项公式.【例3】(错位相减)求和：(1)132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S …练习：1. 在等比数列{}n b 中，S 4=4，S 8=20，那么S 12=2．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，那么a 4＋a 5＝( )A ．27B ．27或－27C ．81D ．81或－813．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．2154．如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列 5．在等比数列{a n }中，a 5a 7＝6，a 2＋a 10＝5.则a 18a 10等于( )A ．－23或－32 B.23 C.32D.23或326．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－47．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项8．等比数列{a n}中，a1<0，{a n}是递增数列，则满足条件的公比q的取值范围是__________．9．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10的值为__________．10．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．11．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．能力拓展提升一、选择题12．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c()A．成等差数列不成等比数列B．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列13．在数列{a n}中，a1＝2，当n为奇数时，a n＋1＝a n＋2；当n为偶数时，a n＋1＝2a n －1，则a12等于()A．32 B．34C ．66D ．6414．已知公差不为零的等差数列的第k 、n 、p 项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为( )A.n －p k －nB.p －n p －kC.n －k n －pD.k －p n －p15．若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则mn 的值是( )A ．4B ．2 C.12 D.14二、填空题16．a 、b 、c 成等比数列，公比q ＝3，又a ，b ＋8，c 成等差数列，则三数为__________． 17．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．三、解答题18．某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元．如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值的增长率都相同，求原计划中每年的产值．19.(2010～2011·山东临清实验高中高二期中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f (x )＝2x －1的图象上，数列{b n }满足b n ＝log 2a n －12(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，当T n 最小时，求n 的值；(3)求不等式T n<b n的解集．参考答案例题1、9n-1练习1、1、42、B[解析] 98·(23)n －1＝13，∴(23)n －1＝827＝(23)3∴n ＝4.3、A [解析] ∵{a n }是等比数列，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，∴设等比数列的公比为q ，则a 2＋a 3＝(a 1＋a 2)q ＝3q ＝6，∴q ＝2. ∴a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝3a 1＝3，∴a 1＝1，∴a 7＝a 1q 6＝26＝64.4、A [解析] a 4＝a 1q 3＝q 3＝8，∴q ＝2，∴a 5＝a 4q ＝16.5、C [解析] m －k ＝(a 5＋a 6)－(a 4＋a 7)＝(a 5－a 4)－(a 7－a 6) ＝a 4(q －1)－a 6(q －1)＝(q －1)(a 4－a 6) ＝(q －1)·a 4·(1－q 2)＝－a 4(1＋q )(1－q )2<0(∵a n >0，q ≠1)． 6、B [解析] 设公比为q ，由已知得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，即q 2＝2， 因为等比数列{a n }的公比为正数，所以q ＝2，故a 1＝a 2q ＝12＝22，故选B.7、B [解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－bb 2＝ac ＝9c 2＝－9b，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥0，a ≠0，∴a 2>0，∴b <0，∴b ＝－38、 a n =S n -S n-1=2n -1-[2n-1 -1]=2n -2n-1=2n-1，a n 2是以a 12=1为首项，4为公比的等比数列；S=4n -1/3 9、（1）a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 组成公比为q 的等比数列，所以q 3=(a+b-c)/(a+b+c) ，q 2=(c+a-b)/(a+b+c) q=(b+c-a)/(a+b+c)，q 3+q 2+q=(a+b-c)/(a+b+c)+(c+a-b)/(a+b+c)+(b+c-a)/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1 （2）因为a+b+c ，b+c-a ，c+a-b ，a+b-c 成等比数列，公比为q 所以(c+a-b)/(b+c-a)=q, (a+b-c)/(c+a-b)=q ∴q=[(c+a-b)+ (a+b-c)]/[(b+c-a) +(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.例题2、 解a n -a n-1=3n-1 将n=2,3,4,5代入得：a ₂-a ₁=3¹a ₃-a ₂=3² a ₃-a ₄=3³ ............... a n -a n-1=3n-1将上面的式子相加得：a n -a 1 = 3¹+3²+3³+.......+3n-1a n = 1+3¹+3²+3³+.......+3n-1=(1/2)(3ⁿ-1)练习1、C [解析] ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1， ∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1，∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋12. ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4(a 3＋a 4)q ＝1q＝5－12.2、C [解析] ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac >0. 又∵Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，∴方程无实数根．3、（a n +2）/2=√(2S n ) S n =（a n +2）2/8 S n+1=（a n+1+2）2/8 a n+1=S n+1-S n =a n+12/8+a (n+1)/2-a n 2/8-a n /2a n+12/8-a (n+1)/2-a n 2/8-a n /2=0 a n+12-4a n+1-a n 2-4a n =0 a (n+1)=a n +4 a n =-2+4n例题3、 xS n =x+3x 2+5x 3+7x 4+...+(2n-3)x(n-1)+(2n-1)x n ①因为 S n =1+3x+5x 2+7x 3+9x 4+...+(2n-1)x (n-1) ② ②-①得,(1-x)S n =1+2[x+x 2+x 3+x 4+.....+x n-1]-(2n-1)x n (1-x)S n =1+2[(x-x n )/(1-x)]-(2n-1)x n (1-x)S n =1+(2x-2x n )/(1-x)-2nx n +x n (1-x)S n =1+2x/(1-x)-2x n /(1-x)-2nx n +x n (1-x)S n =1+2x/(1-x)+{1-2n-2/(1-x)}x n S n ={1+(2x)/(1-x)+[1-2n-2/(1-x)]x n }/(1-x)练习1、在等比数列中，依次每k 项之和仍成等比数列。

高二数学数列知识点总结一、数列的概念1. 数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的。

2. 通项公式：表示数列中第n项的公式，通常表示为 \( a_n \)。

3. 序列的分类：根据数列的项是否有限，分为有限数列和无限数列。

二、等差数列1. 等差数列的定义：每一项与它的前一项的差是常数的数列。

2. 公差：等差数列中相邻两项的差。

3. 通项公式：\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中 \( a_1 \) 是首项，\( d \) 是公差。

4. 求和公式：\( S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] \)。

三、等比数列1. 等比数列的定义：每一项与它的前一项的比是常数的数列。

2. 公比：等比数列中相邻两项的比。

3. 通项公式：\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)，其中 \( a_1 \) 是首项，\( q \) 是公比。

4. 求和公式：\( S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \)，当\( |q| < 1 \) 时。

四、数列的极限1. 极限的定义：数列的项随着项数的增加趋近于某个值。

2. 极限的性质：唯一性、有界性、保号性。

3. 极限的运算法则：加法、减法、乘法、除法。

五、无穷数列1. 无穷等比数列的极限：\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 当\( |q| < 1 \)。

2. 级数的收敛与发散：根据部分和的性质判断级数是否收敛。

六、递推数列1. 递推关系式：用前一项或前几项来定义数列中下一项的表达式。

2. 递推数列的求解：通过递推关系式求解数列的通项公式。

七、数学归纳法1. 原理：通过证明基础情况和归纳步骤来证明与自然数相关的命题。

2. 应用：证明数列的性质、计算数列的和等。

八、典型例题分析1. 等差数列和等比数列的性质应用。

2. 利用数列极限解决实际问题。

等差等比数列基础知识点（一）知识归纳: 1. 概念与公式：①等差数列: 1°.定义: 若数列 称等差数列； 2°.通项公式:3°.前n 项和公式: 公式:②等比数列：1°.定义若数列 （常数）, 则 称等比数列； 2°.通项公式:3°.前n 项和公式: 当q=1时 2. 简单性质:1°.若 是等差数列, 则 2°.若 是等比数列, 则 ②中项及性质:1°.设a, A, b 成等差数列, 则A 称a 、b 的等差中项, 且 2°.设a,G ,b 成等比数列, 则G 称a 、b 的等比中项, 且 ③设p 、q 、r 、s 为正整数, 且 一、 1°.若 是等差数列, 则 二、 2°.若 是等比数列，则三、 选择题1.在等差数列 中, ,且 , , 成等比数列, 则 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n（B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a2.已知 成等比数列, 且 分别为 与 、 与 的等差中项, 则 的值为 （ ） （A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 3.若两个等差数列 、 的前 项和分别为 、 , 且满足 , 则 的值为 （ ） （A ）97 （B ）78 （C ）2019 （D ）874.已知数列 的前 项和为 ,则数列 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60二、填空题5.各项都是正数的等比数列 , 公比 ,成等差数列, 则公比 = 6、已知等差数列 , 公差 , 成等比数列, 则 = 7、已知数列{}n a 满足n na S 411+=,则n a =四、 解答题8、已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等, 且都等于 , , , ,求 。

第二章 数列 2.5 等比数列的前n 项和 第2课时 等差、等比数列的综合应用A 级 基础巩固一、选择题1．数列a n ＝1n （n ＋1），其前n 项之和为910，则项数n 为( )A ．12B ．11C ．10D ．9 答案：D2．数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( )A.13B.512C.12D.712 解析：因为a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，所以b n ＝1a n ＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3＋13×4＋…＋111×12＝12－112＝512.答案：B3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则该数列的前________项之和等于9.( )A ．99B ．98C ．97D ．96解析：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n（n ＋1－n ）（n ＋1＋n ）＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝ (2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝9⇒n ＋1＝100，所以n ＝99.答案：A4．数列12×5，15×8，18×11，…，1（3n －1）·（3n ＋2），…的前n 项和为( )A.n3n ＋2 B.n 6n ＋4 C.3n 6n ＋4D.n ＋1n ＋2解析：因为1（3n －1）·（3n ＋2）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －1－13n ＋2，得前n 项和 S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13n ＋2＝n6n ＋4. 答案：B5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n项和为S n ，则使S n <－5成立的正整数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值31解析：a n ＝log 2n ＋1n ＋2，所以S n ＝a 1＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫23·34·…·n ＋1n ＋2＝log 22n ＋2，令S n <－5，则log 22n ＋2<－5，所以n ＋2>26＝64，所以n >62，故n 的最小值为63. 答案：B 二、填空题6．数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1（n 为正奇数）2n －1（n 为正偶数），则它的前n 项和S n＝________．解析：易知数列{a n }的奇数项为以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．(1)当n 为奇数时，奇数项有n ＋12项，偶数项有n －12项，所以S n ＝1－4n ＋121－4＋（n －1）×32＋n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －12－12·4＝2n ＋1－13＋n 2－n2；(2)当n 为偶数时，奇数项、偶数项各有n2项，所以S n ＝1－4n 21－4＋n 2×3＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n2－12×4＝2n －13＋n 2＋n 2.答案：⎩⎨⎧2n ＋1－13＋n 2－n2（n 为奇数），2n－13＋n 2＋n2（n 为偶数）7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2(n 2＋3)－2，那么log 23是这个数列的第________项．解析：令a n ＝log 23⇒log 2(n 2＋3)－2＝log 23⇒n 2＋3＝12，所以n 2＝9，n ＝3.答案：38．下列命题中正确命题为________(填序号)．①常数列一定是等比数列；②等比数列前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q (其中a 1为首项，q 为公比)；③前n 项和S n 为n 的二次函数的数列一定是等差数列；④0不可能是任何等比数列的一项．答案：④ 三、解答题9．已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 3－1的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝a n (n ∈N *)，求{b n }的通项公式b n .解：(1)由题意，得2a 2＝a 1＋a 3－1， 即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－1，整理得2q ＝q 2. 又q ≠0，解得q ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)当n ＝1时，b 1＝a 1＝1； 当n ≥2时，nb n ＝a n －a n －1＝2n －2， 即b n ＝2n －2n ，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2n ，n ≥2.10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －5（n 为奇数），4n （n 为偶数），求S n .解：①当n 为奇数时，S n ＝[1＋13＋…＋(6n －5)]＋(42＋44＋…＋4n －1)＝ （1＋6n －5）2·n ＋12＋42（4n －1－1）42－1＝ （n ＋1）（6n －4）4＋4n ＋1－1615＝（n ＋1）（3n －2）2＋4n ＋1－1615.②当n 为偶数时，S n ＝[1＋13＋…＋(6n －11)]＋(42＋44＋…＋4n －1＋4n )＝n （3n －5）2＋4n ＋2－1615.B 级 能力提升1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解析：因为a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ， 所以a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .答案：A2．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________．解析：因为{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，所以q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2，所以a n ＝12(－2)n －1，所以|a n |＝2n －2，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12（1－2n ）1－2＝2n －12. 答案：2n －123．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11， 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3， 即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n＝3(n ＋1)·2n ＋1， 又T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（2n －1）2－1－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2 所以T n ＝3n ·2n ＋2。

数列复习《等差、等比数列的判断与证明》考情分析：学习目标：1．理解等差、等比数列的概念，并掌握等差、等比数列的判断与证明．2．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差或等比的有关知识解决相应的问题．3．学会观察、掌握分析问题的能力，及化归的数学思想．重点：等差、等比数列的判断与证明.难点：等差、等比数列的证明及综合应用．方法：启发，讲评，练习相结合．学习过程：一、课前案二、课堂案2.检查：(1)在数列中，已知，其中，则______ ．(2)已知数列满足，，那么( )A. 32B.C. 16D.3.举例：(典例分析)例1数列满足，，．Ⅰ设，证明是等差数列；解题关键：例2 (2017课标全国Ⅰ,17)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3= -6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n，并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.解题关键：注意事项：4.变式：变式1. (2018课标全国Ⅰ,17)已知数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n. 设b n=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{b n}是不是等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.变式2.若正数a，b，c成公差不为零的等差数列，则第2页，共4页A. ， ， 成等差数列B. ， ， 成等比数列C. ， ， 成等差数列D. ， ， 成等比数列提问：若把题目改为“若正数a ，b ，c 成等比数列，则 ”，答案为5.总结：判断或证明一个数列是等差或等比数列的基本方法： （1）定义法：（2）中项公式法： 应注意的问题：证明数列{a n }为等差（等比）数列时,不能仅仅因为前三项满足中项公式，就判断该数列{a n }为等差（等比）数列，局部不能说明整体。

6.练习：已知数列{}n a ，其前n 项和为2n 37S n n(n N )22*=+∈. Ⅰ 求数列 的通项公式，并证明数列 是等差数列Ⅱ 如果数列 满足n 2n log b a =，试证明数列{b n }是等比数列，并求其前n 项和 ．三、巩固案 7.迁移：(1)已知数列 满足 ， ，则 _____．(2)已知正项数列{}n a 满足2211n 6n n n+a a a a +=-，若12a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =(3)已知 的前n 项和为 ，且满足，则数列 的通项公式是______ ．(4)（2016课标全国Ⅱ，17）已知数列的前n项和，其中．Ⅰ证明是等比数列，并求其通项公式；Ⅱ若，求．第4页，共4页。

数列复习课
一、教学目的
1.系统掌握等差数列，等比数列的有关概念，公式以及相关性质
2.了解并掌握数列的通项公式与前n项和之间的关系
3.数列前n项和的求解
二、知识要点
1.等差数列的定义，通项公式，等差数列的等差中项及性质，等差
数列的前n项和公式及性质
2.等比数列的定义，通项公式，等比数列的等比中项及性质，等比
数列的前n项和公式及性质
三、方法总结
1、数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想，数形结合的思想
2、等差等比数列中，知三求二体现了方程组的思想，整体思想，有时用到换元
3、求等比数列前n项和时体现了分类讨论的思想
四、复习具体知识（采用提问的方式，由学生自己回顾总结）
1、等差数列
定义：
通项公式：
前n项和公式：
等差中项：
等差数列的性质：前n项和性质：2、等比数列
定义：
通项公式：
前n项和公式：等比中项：
等比数列的性质：前n项和性质：3、已知，求
4、数列求和方法公式法
倒序相加法
错位相减法
拆项法
裂项相消法
5、例题讲解。