河北省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(一)

河北省邯郸市2017-2018学年高二数学上学期期中试题考试范围 必修五，简易逻辑；考试时间：120分钟；注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x |x 2-2x -3＜0}，集合B={x |12+x ＞1}，则∁B A=（ ） A. [3，+∞） B. （3，+∞）C. （-∞，-1]∪[3，+∞）D. （-∞，-1）∪（3，+∞）2.已知等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 9=20，则4a 5-a 7=（ ）A. 20B. 30C. 40D. 503.在△ABC 中，若acos C+ccos A=bsin B ，则此三角形为（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形4.已知命题p ：（x -3）（x +1）＞0，命题q ：x 2-2x +1＞0，则命题p 是命题q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.在公差不为零的等差数列{a n }中，2a 5-a 72+2a 9=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则log 2（b 5b 9）=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 86.下列函数中，最小值为4的是（ ）A.y =log 3x +4log x 3B. y =x x e e -+4C. y =sinx +（0＜x ＜π）D. y =x +7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5=5，那么2+2的最小值为（ ）A. 4B. 2C. 2D.8.已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，则实数a的取值范围是（）A. {a|-1≤a≤1}B. {a|a≤-1}C. {a|a≤-1或a≥1}D. {a|a≥1}9.若a＜b＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②；③；④a2＜b2中，正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b-c=2acos C，sin C=，则△ABC的面积为（）A. B. C.或 D.或11.定义为n个正数P1，P2…P n的“均倒数”，若已知正整数数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，又b n=，则++…+=（）A. B. C. D.12.给出下列命题：①命题“若b2-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题；②命题“在△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a＞b＞0，则”的逆否命题；④“若m≥1，则mx2-2（m+1）x+（m+3）＞0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为（）A. ①②③B. ①②④C. ②④D. ①②③④第II卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是 ______ ．14.如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为 ______ 米．15.若变量x ，y 满足约束条件，则的最大值为 ______ ．16.设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对任意p 、q ∈N *，都有a p +q =a p +a q ，则f （n ）=（n ∈N *）的最小值为 ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知数列{a n }是公比为2的等比数列，且a 2，a 3+1，a 4成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =a n +log 2a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.在△ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且sin （+A ）=．（1）求tan A 及角B 的值；（2）设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =5，求b ，c 的值．19.（1）若x ＞0，y ＞0，且+=1，求xy 的最小值．（2）已知x ＞0，y ＞0，满足x +2y =1，求的最小值．20.解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax )0(>a ．21.命题p ：不等式x 2-（a +1）x +1＞0的解集是R ．命题q ：函数f （x ）=（a +1）x 在定义域内是增函数．若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．22.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，)(212*N n a S n n ∈-=，数列}{n b 满足,11=b 点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上.(1)求数列}{n a ，}{n b 的通项n a ，n b ；(2)令n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ；(3)若0>λ，求对所有的正整数n 都有nn a b k 2222>+-λλ成立的k 的范围．答案和解析【答案】1.A2.A3.C4.A5.C6.B7.A 8.A 9.C 10.C 11.C 12.A13.-214.15.316.17.解：（Ⅰ）由题意可得2（a3+1）=a2+a4，即2（2a2+1）=a2+4a2，解得：a2=2．∴a1==1．∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-1．（Ⅱ）b n=a n+log2a n+1=2n-1+n，T n=b1+b2+b3+…+b n=（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）==．18.解：（Ⅰ）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，则B=，∵sin（+A）=，∴cos A=，∴sin A==，∴tan A==；（Ⅱ）由正弦定理可得=，∴b==7，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A，即25=49+c2-11c，解得c=3或c=8，∵cos A=＞cos，∴A＜，∴C＞，∴c=3舍去，故c=8．19.解：（1）∵x＞0，y＞0，且+=1∴：1=+=，可得：，当且仅当8x=2y，即x=4，y=16时取等号．那么：xy≥64故：xy的最小值是64：．（2）∵x＞0，y＞0，x+2y=1，那么：=（）（x+2y）=1+≥3+2=3+．当且仅当x=y，即x=，y=时取等号．故：的最小值是：3+．20.解：由ax2-（a+1）x+1＜0，得（ax-1）（x-1）＜0；∵a＞0，∴不等式化为，令，解得；∴当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜}；当a=1时，原不等式的解集为∅；当a＞1时，原不等式的解集为．21.解：∵命题p：不等式x2-（a+1）x+1＞0的解集是R∴△=（a+1）2-4＜0，解得-3＜a＜1，∵命题q：函数f（x）=（a+1）x在定义域内是增函数．∴a+1＞1，解得a＞0由p∧q为假命题，p∨q为真命题，可知p，q一真一假，当p真q假时，由{a|-3＜a＜1}∩{a|a≤0}={a|-3＜a≤0}当p假q真时，由{a|a≤-3，或a≥1}∩{a|a＞0}={a|a≥1}综上可知a的取值范围为：{a|-3＜a≤0，或a≥1}22. (1)解:,当时，,,是首项为，公比为2的等比数列.因此,当时,满足,所以.因为在直线上，所以,而,所以.(2)解: ，③因此④③-④得：，.(3)证明:由(1)知,数列为单调递减数列；当时，.即最大值为1.由可得，而当时，当且仅当时取等号，.【解析】1. 解： A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}，C B A=[3，+∞）．故选A．根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得C B A．此题是个基础题．考查对集合的理解和二次函数求值域以及对数函数定义域的求法，集合的补集及其运算．2. 解：∵等差数列{a n}中，a1+a3+a9=20，∴a1+a1+2d+a1+8d=3a1+10d=20，4a5-a7=4（a1+4d）-（a1+6d）=3a1+10d=20．故选：A．利用等差数列通项公式列出方程组，能求出结果．本题考查等差数列的通项公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．3. 解：在△ABC中，由acos C+ccos A=bsin B以及正弦定理可知，sin A cos C+sin C cos A=sin2B，即sin（A+C）=sin B=sin2B．∵0＜B＜π，sin B≠0，∴sin B=1，B=．所以三角形为直角三角形．故选：C．由已知以及正弦定理可知sin A cos C+sin C cos A=sin2B，化简可得sin B=sin2B，结合B的范围可求B=，从而得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．4. 解：由p：（x-3）（x+1）＞0，得x＜-1或x＞3，∴命题q：x2-2x+1＞0，解得x≠1，显然前者可以推出后者，后者不能推出前者．故选：A．先分别化简，再根据定义或者集合之间的包含关系可以求解．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．5. 解：∵公差不为零的等差数列{a n}中，2a5-a72+2a9=0，∴，∴a7=4，∵数列{b n}是等比数列，且b7=a7，∴b7=4，，∴log2（b5b9）=log216=4．故选：C．由已知条件推导出b7=4，，由此能求出log2（b5b9）．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列、对数性质的合理运用．6. 解：A.0＜x＜1时，y＜0，不正确B．∵e x＞0，∴=4，当且仅当x=ln2时取等号，正确．C．令sinx=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，y′=1-＜0，因此函数f（t）在（0，1）上单调递减，∴f（t）＞f（1）=5，不正确．D．x＜0时，y＜0，不正确．故选：B．A.0＜x＜1时，y＜0，即可判断出正误；B．由e x＞0，利用基本不等式的性质即可判断出正误．C．令sinx=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，利用导数研究其单调性即可判断出正误．D．x＜0时，y＜0，即可判断出正误．本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 解：由等差数列的前n项和公式S5==5，即a1+a5=2，由＞0，＞0+≥•==22=4，当且仅当=，即a1=a5=1，取“=”，∴+的最小值4，故选：A．根据等差数列的前n项和，S5==5，即a1+a5=2，根据基本不等式的性质知+≥•==22=4，即可求得+的最小值4．本题考查等差数列前n项和公式，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．8. 解：由z=ax+y得y=-ax+z，直线y=-ax+z是斜率为-a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（-3，3），C（3，-3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=-a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足-a≥k BC=-1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=-a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得-a≤k BA=1∴-1≤a＜0，综上a∈[-1，1]故选：A．由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论进行求解．本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．9. 解：对于①，根据不等式的性质，可知若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故正确，对于②若a＜b＜0，两边同除以ab，则＜，即＜，故正确，对于③若a＜b＜0，则＞0，＞0，根据基本不等式即可得到；故正确，对于④若a＜b＜0，则a2＞b2，故不正确，故选：C根据不等式的性质即可判断．本题考查不等式的性质，属于基础题．10. 解：∵2b-c=2acos C，∴由正弦定理可得2sin B-sin C=2sin A cos C，∴2sin（A+C）-sin C=2sin A cos C，∴2cos A sin C=sin C，∴cos A=∴A=30°，∵sin C=，∴C=60°或120°A=30°，C=60°，B=90°，a=1，∴△ABC的面积为=，A=30°，C=120°，B=30°，a=1，∴△ABC的面积为=，故选：C．2b-c=2acos C，利用正弦定理，求出A；sin C=，可得C=60°或120°，分类讨论，可得三角形面积．本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．11. 解：∵=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1），∴n≥2时，a n=n（2n+1）-（n-1）（2n-1）=4n-1．n=1时，a1=3，对于上式也成立．∴a n=4n-1．∴b n==n．∴==．则++…+=+…+=1-=．故选：C．=，可得a1+a2+…+a n=n（2n+1），利用递推关系可得a n=4n-1．可得b n==n.==．再利用裂项求和方法即可得出．本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 解：①命题“若b2-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题是“若b2-4ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实根”，是正确的；②命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题是“△ABC是等边三角形，则AB=BC=CA”，是正确的；③命题“若a＞b＞0，则”是正确的，∴它的逆否命题也是正确的；④命题“若m≥1，则mx2-2（m+1）x+（m+3）＞0的解集为R”的逆命题是“若mx2-2（m+1）x+（m+3）＞0的解集为R，则m≥1，∵不等式的解集为R时，∴的解集为m＞1，∴逆命题是错误的；∴正确命题有①②③；故选：A根据题意，按照要求写出命题①、②、③、④的否命题、逆命题或逆否命题，再判定它们是否正确．本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假的判定问题，是基础题．13. 解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤-2，当且仅当，即a=b=-1时取等号，∴a=b=-1时，a+b取最大值-2．故答案为：-2．由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．该题考查基本不等式在求函数最值中的运用，属基础题，熟记基本不等式的使用条件是解题关键．14. 解：设AB=hm，则BC=h，BD=h，则h-h=20，∴h=m，故答案为．利用AB表示出BC，BD．让BD减去BC等于20即可求得AB长．本题主要考查了三角函数的定义，根据三角函数可以把问题转化为方程问题来解决．15. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则的几何意义为动点P到定点Q（-1，-2）的斜率，由图象可知当P位于A（0，1）时，直线AQ的斜率最大，此时z==3，故答案为：3．作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．16. 解：∵对任意p、q∈N*，都有a p+q=a p+a q，令p=n，q=1，可得a n+1=a n+a1，则-a n=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2．∴S n=2n+=n+n2．则f（n）===n+1+-1，令g（x）=x+（x≥1），则g′（x）=1-=，可得x∈[1，时，函数g（x）单调递减；x∈时，函数g（x）单调递增．又f（7）=14+，f（8）=14+．∴f（7）＜f（8）．∴f（n）=（n∈N*）的最小值为．故答案为：．对任意p、q∈N*，都有a p+q=a p+a q，令p=n，q=1，可得a n+1=a n+a1，则-a n=2，利用等差数列的求和公式可得S n．f（n）===n+1+-1，令g（x）=x+（x≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.（ I）由题意可得2（a3+1）=a2+a4，由公比为2，把a3、a4用a2表示，求得a2，进一步求出a1，数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）利用已知条件转化求出数列的通项公式，然后求解数列的和即可．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．18.（Ⅰ）根据等差数列的性质可得B=，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出tan A．（Ⅱ）根据正弦定理求出b，再根据余弦定理求出c．本题考查了正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．19.（1）利用基本不等式的性质即可得出．（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．20.由a＞0，把不等式化为，求出不等式对应方程的实数根，讨论两根的大小，写出对应不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．21.由题意可得p，q真时，a的范围，分别由p真q假，p假q真由集合的运算可得．本题考查复合命题的真假，涉及一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，属基础题．22. 本题考查了数列求和,等差数列的通项公式,错位相减法和不等式恒成立问题. (1)利用数列求和中的的关系得,再利用等差数列的通项公式得结论. (2)利用错位相减法计算得结论. (3)利用不等式恒成立问题得结论.。

2017～2018学年度第一学期高二期中考试文科数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若直线过圆的圆心,则的值为( )A. -1B. 1C. 3D. -3【参考答案】B分析:圆x2＋y2＋2x-4y＝0的圆心为(-1,2)代入直线3x＋y＋a＝0,解方程求得a的值.解答:圆x2＋y2＋2x-4y＝0的圆心为(-1,2),代入直线3x＋y＋a＝0得:-3＋2＋a＝0,∴a＝1,故选C。

本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法,用待定系数法求参数的取值范围2. 设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是( )A. 若方程有实根,则B. 若方程有实根,则C. 若方程没有实根,则D. 若方程没有实根,则【参考答案】D知识考查点:四种命题.3. 命题“存在,”的否定是( )A. 不存在,B. 存在,C. 对任意的,D. 对任意的,【参考答案】D特称命题的否定是全称命题,所以为“对任意的,”,故选D。

4. 若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【参考答案】C由题意可得,解得,选D.直线与圆位置关系一般用圆心到直线距离d与半径关系来判断:当d>r时,直线与圆相离,当d＝r时,直线与圆相切,当d<r时,直线与圆相交。

5. 设是两个不同的平面,是直线且.“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【参考答案】B充分性:若,则存在过直线的平面与不平行,所以充分性不成立；必要性:若,则平面内的任意直线都与平行,则必要性成立,所以是必要不充分条件。

故选B。

6. 圆和圆的位置关系是( )A. 相交B. 相离C. 外切D. 内切【参考答案】A两圆的方程可化为,两圆心距离.由两圆之间位置关系的判定可知两圆相交.故本题答案选.7. 已知直线,平面,且,,给出下列四个命题:①若,则；②若,则；③若,则；④若,则.其中正确的命题个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【参考答案】B【试题解析】对①,若∥,又,所以.又,,正确；对②,、可以平行,也可以相交,故错；对③,若,则、有可能平行,也有可能异面,也有可能相交,故错；对④,若∥,因为,所以.又,所以.正确.知识考查点:空间直线与平面的位置关系.8. 已知条件,条件直线与圆相切,则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【参考答案】B:,解得,所以是的必要不充分条件,根据逆否关系同真假,则是的必要不充分条件。

2017-2018学年度第一学期高二期中考试文科数学试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 若直线过圆’厂2■■: \ ■的圆心，则的值为（）A. -1B. 1C. 3D. -3【答案】B【解析】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0,解方程求得a的值.2 2解答：圆x +y +2x-4y=0的圆心为（-1, 2）,代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0,「. a=1,故选Co点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围2. 设：：：E I-;，命题"若•，则方程.■ x' ：■ ■ :■- =「:有实根”的逆否命题是（）A. 若方程:;有实根，则•B. 若方程• J ：…='二有实根，则C. 若方程V- .■- :没有实根，则•D. 若方程:没有实根，则-【答案】D【解析】试题分析：原命题的逆否命题是：若方程/ + x-m = 0没有实根，则m 0 ,故选D.考点：四种命题.3. 命题“存在：-, ”的否定是（）A.不存在 _______________________B.存在儿，C.对任意的!，::叮 ___________D.对任意的!,【答案】D【解析】特称命题的否定是全称命题,所以为对任意的比ER, 故选D。

4. 若直线匚-丫十.-■?与圆：：；/：_「=「有公共点，则实数的取值范围是（）A. | - ■ IB. | 打C. | .■■.! ID. -J'：.-【答案】C|a卜1|厂【解析】由题意可得•，，解得' ：i I，选D.【点睛】直线与圆位置关系一般用圆心到直线距离d与半径关系来判断：当d>r时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d<r时，直线与圆相交。

2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣23．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=04．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P ﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．7．若有以下说法：①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥．其中正确的说法序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=09．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B 截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．19．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB，E，F分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF与棱PC交于点M，求的值．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学mn试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：圆心C1：（0，0），C2：（2，﹣2），半径R=1，r=1，则|C1C2|===4＞1+1，即圆C1与C2的位置关系是相离，故选：A．【点评】本题主要考查圆与圆位置关系的判断，结合圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣2【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m的值．【解答】解：∵空间平面向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）=λ （2，m，﹣m）=（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．3．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=0【分析】当过点P的直线过圆心时，截得的弦长正是圆的直径，为弦长最长的情况，进而根据圆的方程求得圆心坐标，根据圆心和点P的坐标求得所求直线的方程．【解答】解：依题意可知过点P和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆方程得（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆心为（1，﹣2）．又P（2，1）和圆心（1，﹣2），可求出过点P和圆心的直线的斜率为k==3∴过点P和圆心的直线方程为y﹣1=3（x﹣2），整理得3x﹣y﹣5=0故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．4．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．【解答】解：圆C（x+1）2+y2=4的圆心C（﹣1，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心M（2，1），半径R=3．∴|CM|==，R﹣r=3﹣2=1，R+r=3+2=5．∴R﹣r＜＜R+r．∴两圆相交．故选：C．【点评】本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】判断原命题的真假，即可得到逆否命题的真假，判断逆命题的真假即可得到否命题的真假，即可得到结果．【解答】解：命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，显然不正确，如果这无数条直线是平行线，两个平面可能平行；所以原命题是假命题；则逆否命题是假命题；命题的逆命题是：平面α与β平行，则平面α内有无数条直线与平面β平行，是真命题，所以否命题也是真命题，故真命题的个数是2．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断，四种命题的真假关系，直线与平面，平面与平面平行的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P ﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC 上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC 为球O 的直径，当三棱锥P ﹣ABC 的体积最大时，△ABC 为等腰直角三角形，P 在面ABC 上的射影为圆心O ，过圆心O 作OD ⊥AB 于D ，连结PD ，则∠PDO 为二面角P ﹣AB ﹣C 的平面角，在△ABC △中，PO=2，OD=BC=，∴，si nθ=．故选：C ．【点评】本题考查了与球有关的组合体，关键是要画出图形，找准相应的线线、线面位置关系．属于难题．7．若有以下说法： ①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥． 其中正确的说法序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④【分析】根据向量相等的定义，可得①正确；根据单位向量的定义，得到②不正确；根据向量加法法则，可得不等式|+|≤||+||恒成立，从而③正确；根据零向量与任意非零向量平行，可得④不正确．由此即可得到本题的答案．【解答】解：根据定义，大小相等且方向相同的两个向量相等． 因此相等向量的模相等，故①正确； 因为单位向量的模等于1，而方向不确定．所以若和都是单位向量，则不一定有=成立，故②不正确；根据向量加法的三角形法则，可得对于任意的和，都有|+|≤||+||成立，当且仅当和方向相同时等号成立，故③正确；若=，则有∥且∥，但是∥不成立，故④不正确．综上所述，正确的命题是①③故选：A．【点评】本题给出关于向量概念的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了向量的定义、单位向量和向量的加减法法则等知识，属于中档题．8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=0【分析】由题意可得所求直线为垂直于直线3x+4y+2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得斜率，进而可得方程．【解答】解：由直线和圆的位置关系可得：线段AB的垂直平分线是垂直于直线3x+4y+2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得所求直线的向量为，故方程为：y﹣（﹣2）=（x﹣0），即4x﹣3y﹣6=0故选：A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，得出直线过圆心且垂直于已知直线，是解决问题的关键，属中档题．9．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【点评】本题是中档题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解．【解答】解：根据题意：直线方程为：y=x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2=2，故选：A．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，是常考题型，属中档题．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B 截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．【分析】设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，根据平面A1BC1是正三角形，所求截面的面积是该正三角形的内切圆面积，由此求出内切圆的半径和面积，即可求出内接球半径a和体积．【解答】解：设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1是边长为2a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△A1BC1内切圆的半径是a×tan30°=a，则所求的截面圆的面积是π×a×a=a2=a=1•13=．∴该小球的体积为V球=故选：B．【点评】本题考查了正方体和它的内接球几何结构特征的问题，关键是想象出截面图的形状，是中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=2．【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2，圆心到直线的距离为：=，所以|AB|=2=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=0，可得tanθ=．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．【分析】先求出乙图中水的体积，然后求出甲图中水的高度即可．【解答】解：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起得图丙，V=S•2a﹣（S）•2a=aS．则V水=V柱﹣设图甲中水面的高度为x，则S•x=aS，得x=a．故答案为：【点评】本题考查棱柱的体积，考查学生的转化思想，空间想象能力，是基础题．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．【分析】首先由向量相等得到四边形OMPN为平行四边形，可得到线段MN和线段OP的重点重合，并设这两条线段的重点为点Q（x 0，y0），可得出点P的坐标，并将点P的坐标代入直线方程，可得到点Q所在直线方程为kx﹣y+2=0，其次利用勾股定理得到CQ=，转化为圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式列有关k的不等式解出k的取值范围即可．【解答】解：易知，圆心C的坐标为（1，0），设线段MN的中点为点Q（x0，y0），由于，所以四边形OMPN为平行四边形，则点Q也是线段OP的中点，则点P的坐标为（2x0，2y0），点P在直线kx﹣y+4=0上，则有2kx0﹣2y0+4=0，化简得kx0﹣y0+2=0，所以，点Q在直线kx﹣y+2=0上，由于点Q是线段MN的中点，所以，CQ⊥MN，且CQ=，可视为圆心C到直线kx﹣y+2=0上一点的距离等于，所以，圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离，即，化简得2k2﹣4k﹣1≥0，解得或，故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，主要是将向量的关系进行转化，其次就是将两点间的距离转化为点到直线的距离，是解本题的关键，属于难题．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．【分析】由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的侧棱长4cm，上下底面正三角形的高为2cm，由此能求出该三棱柱的表面积和体积．【解答】解：由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=CC′=4cm，（2分）正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2cm．（4分）∴正三角形ABC的边长为|AB|==4．（6分）∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=48+8（cm2）．（10分）AA′|=×42×sin60°×4=16（cm3）．体积为V=S底•|故这个三棱柱的表面积为（48+8）cm2，体积为16cm3．（14分）【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的体积、表面积的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．【分析】由题意，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，利用弦长公式求解弦长为；可得a的值，即得求圆C的方程．【解答】解：圆心在直线x﹣3y=0上，与y轴相切，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，圆心到直线y=x的距离d=弦长=2，即9a2﹣2a2=7．∴a2=1，即a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9【点评】本题考查圆的方程，解题时要注意点到直线的距离公式和勾股定理的合理运用．结合图形进行求解会收到良好的效果．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．【分析】（1）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，证明QM∥AD，利用直线与平面平行的判定定理证明QM∥面PAD．（2）设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC =V P﹣ACD，通过证明以及计算即可求点D到平面PAM的距离．【解答】解：（1）当点Q为棱PB的中点时，QM∥面PAD，证明如下…（1分）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以，在菱形ABCD中AD∥BC可得QM∥AD…（3分）又QM⊄面PAD，AD⊂面PAD所以QM∥面PAD…（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（Ⅰ）可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 即PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高．…（7分）在Rt △POC 中，，，在△PAC 中，PA=AC=2，，边PC 上的高AM=，所以△PAC 的面积，…（9分）设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 得 …（10分），又，所以，…（11分）解得，所以点D 到平面PAM 的距离为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，等体积的方法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，PA=AB ，E ，F 分别为PB ，PD 的中点． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AE 所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求的值．【分析】（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，则O 为底面正方形ABCD 中心．连接PO ，推导出PO ⊥AC ，BD ⊥AC ，由此能证明AC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）由OA ，OB ，OP 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，利用向量法能求出异面直线PC 与AE 所成角的余弦值．（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，求出平面AEMF的法向量，利用向量法能求出．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO．因为P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD．（1分）所以PO⊥AC．（2分）又BD⊥AC，且PO∩BD=O，（3分）所以AC⊥平面PBD．（4分）（Ⅱ）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为PB=AB，所以Rt△POB≌Rt△AOB．所以OA=OP．（6分）设OA=2．所以A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，﹣1，1）．所以=（﹣2，1，1），=（﹣2，0，﹣2）．（7分）所以|cos＜＞|==．即异面直线PC与AE所成角的余弦值为．（9分）（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，则==（﹣2λ，0，﹣2λ），（10分）所以==（﹣2﹣2λ，0，2﹣2λ）．设平面AEMF的法向量为=（x，y，z），又=（﹣2，﹣1，1），所以，即所以y=0．令x=1，z=2，所以=（1，0，2）．（12分）因为AM⊂平面AEF，所以=0，（13分）即﹣2﹣2λ+2（2﹣2λ）=0，解得，所以．（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查线段比值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查运用意识，是中档题．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．【分析】（1）设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．由圆C1过点M （2，﹣2），求出λ=1，由此能求出圆C1的方程．（2）设圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，由圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，能求出圆C2的方程．【解答】解：（1）∵圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4，∴设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．∵圆C1过点M（2，﹣2），∴（4+4﹣12）+λ（4+4﹣4）=0，解得λ=1，∴圆C1的方程是x2+y2﹣3x﹣2=0．（2）∵圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，且圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，∴﹣1=0，解得λ=2，∴圆C2的方程是x2+y2﹣2x﹣=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥DC，PD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值．（III）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，∴AD⊥DC，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．解：（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，2，﹣1），设直线AC与PB所成角为θ，则cosθ===．∴直线AC与PB所成角的余弦值为．（III）A（0，0，0），M（0，1，），C（1，1，0），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，1，），=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面ACM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，2），设平面BCM的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，2），设二面角A﹣MC﹣B的平面角为α，则cosα===．∵二面角A﹣MC﹣B是钝二面角，∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。

年高二上学期期中考试数学试题2017.11本试卷分I 卷选择题（60分）II 卷非选择题（90分）,满分150分，时间120分钟第I 卷（选择题60分）一．选择题：本大题共12个小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝()A.15B.59C.53D ．1 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于()A ．8B ．10C ．12D ．144. 如图从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于()1)m －2180(．B 1)m －3240(．A 1)m＋330(．1)m D －3120(．C 5.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B＝23，则A ＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π66．已知等差数列{a n }的公差为－2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，则a 2＝()A ．－4B ．－6C ．－8D ．87．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟8．若a >b >0，c ＜d ＜0，则一定有()A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d9.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝()A ．15B ．12C ．－12D ．－1510. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11. 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则()A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞012. 若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0的周长，则2a ＋1b 的最小值是()A ．2－2B.2－1C ．3＋22D ．3－2 2第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题横线上 13. 已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.14.已知不等式(k －2)x 2－2(k －2)x －4＜0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 15. 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．16．在△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，则B 的取值范围是________． 三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解不等式f (1)>0 ,求a 的范围(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 18.（本小题满分12分）。

2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=（）A．（0，3） B．[0，3） C．（3，+∞）D．（0，+∞）2．（5分）已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（）A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣23．（5分）设数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，则a20=（）A．317B．318C．319D．3204．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=，则sinA=（）A．B．C．D．5．（5分）若a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，则（）A．a≥b＞c B．a≥c≥b C．b＞a＞c D．b≥a＞c6．（5分）已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点，且M经过点（1，﹣），则M的方程为（）A．B．C．=1 D．=17．（5分）若公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，则d=（）A．B．C．D．8．（5分）已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A．5B．9 C．6D．109．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，则“a3＞5”是“S3+S9＞93”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=n（2n﹣1）a n，且a1=1，则S n=（）A．B．C．D．11．（5分）如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°．若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛C的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．海里12．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）若椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，则其长轴长为．15．（5分）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，bsinA=6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是．16．（5分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，a1=1，a n+1（S n+S n+1）=n，则S16=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距为8，且经过点A（﹣1，3）；（2）焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为．18．（12分）已知p：∃x∈R，m≥﹣cos2x+2sinx+3；q：∀x∈R，函数f（x）=lg （mx2﹣mx+1）有意义．（1）若p∨q为真，求m的取值范围；（2）若（￢p）∧q为真，求m的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA．（1）求A的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．20．（12分）用硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，这个纸盒的长，宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n=2﹣（n≥2），记b n=．（1）证明：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n a n+1+a n+a n+1+1}的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）经过原点的直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AM⊥x轴于点M，连接BM并延长交椭圆C于N，证明：以线段BN为直径的圆经过点A．2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=（）A．（0，3） B．[0，3） C．（3，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），则A∩B=（0，3）．故选：A．2．（5分）已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（）A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣2【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p是∃x0＜0，x0＞﹣2，故选：C．3．（5分）设数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，则a20=（）A．317B．318C．319D．320【解答】解：数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，∴{a n}设一3为首项，以3为公比的等比数列，∴a n=3n，∴a20=320，故选：D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：由于：，则：=，又a=2c，利用正弦定理：，解得：，故选：D．5．（5分）若a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，则（）A．a≥b＞c B．a≥c≥b C．b＞a＞c D．b≥a＞c【解答】解：∵a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，∴a﹣b=（2x2+1）﹣（x2+2x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0，即a≥b，b﹣c=（x2+2x）﹣（﹣x﹣3）=x2+3x+3=（x+）2+＞0，即b＞c，综上可得：a≥b＞c，故选：A．6．（5分）已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点，且M经过点（1，﹣），则M的方程为（）A．B．C．=1 D．=1【解答】解：椭圆x2=1在长轴上的顶点（0，±2）．所求椭圆的焦点坐标为：（0，±2），设椭圆M的方程为：（m＞n＞0），由题意可得，m2﹣n2=4，，解得：m2=6，n2=2，即有椭圆M的方程为：．故选：B．7．（5分）若公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，则d=（）A．B．C．D．【解答】解：∵公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，∴a1=3a﹣1+2a=5a﹣1，a2=（3a﹣1）×4+2a×2=16a﹣4，a3=（3a﹣1）×9+2a×3=33a﹣9，∵a1，a2，a3成等差数列，∴2a2=a1+a3，即2（16a﹣4）=（5a﹣1）+（33a﹣9），解得a=，∴d=a2﹣a1=（3a﹣1）×4+4a﹣（3a﹣1+2a）=11a﹣3==．故选：B．8．（5分）已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A．5B．9 C．6D．10【解答】解：F是椭圆C：的左焦点，如图，设椭圆的右焦点为F′，则|PF|+|PF′|=6；F′（2，0），|PF′|==，∴|PA|+|PF|=|PA|+6﹣|PF′|=6+|PA|﹣|PF′|；由图形知，当P在直线AF′上时，||PA|﹣|PF′||=|AF′|=，∴|PA|+|PF|的最大值为6+，故选：C．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，则“a3＞5”是“S3+S9＞93”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设公差是d，若a2=1，a3＞5，则d＞3，故S3+S9=3a2+9（a2+3d）=12+27d＞12+27×3=12+81=93，充分性成立，反之，令a3=4.5，也能推出S3+S9＞93，故S3+S9＞93时，推不出a3＞5，必要性不成立，故选：A．10．（5分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=n（2n﹣1）a n，且a1=1，则S n=（）A．B．C．D．【解答】解：∵S n=n（2n﹣1）a n，n≥2时，S n﹣1=（n﹣1）（2n﹣3）a n﹣1，∴a n=n（2n﹣1）a n﹣（n﹣1）（2n﹣3）a n﹣1，化为：=．∴a n=•…•••×1=．∴S n=n（2n﹣1）•=，n=1时也成立．故选：C．11．（5分）如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°．若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛C的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．海里【解答】解：在△ABC中，AB=8，∠BAC=30°，∠ABC=105°，∴∠ACB=45°，由正弦定理得：，即，解得AC=4+4，设小船继续航行2（﹣1）海里到达D处，则AD=2+6，在△ACD中，由余弦定理得：CD2=（4+4）2+（2+6）2﹣2（4+4）（2+6）×=16+8，∴CD==2（+1）．故选：C．12．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意：|OA|=|OF2|=2|OM|=c，可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒==，∵AF1+AF2=2a，∴．由⇒，∴．则椭圆C的离心率为：，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为﹣1．【解答】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由z=4x﹣y得y=4x﹣z，平移直线y=4x﹣z，由图象可知当直线y=4x﹣z经过点A时，此时z最小，由，解得A（1，5），此时z=4×1﹣5=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）若椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，则其长轴长为．【解答】解：椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2，椭圆长轴长为：2=2．故答案为：2．15．（5分）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，bsinA=6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是．【解答】解：△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，则：A+B+C=180°，解得：B=60°，由于：bsinA=6sinB，则：，解得：a=6．若符合条件的三角形有两解，则：a＞b≥asinB，即：，故答案为：．16．（5分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，a1=1，a n+1（S n+S n+1）=n，则S16= 11．【解答】解：∵a n+1（S n+S n+1）=n，∴（S n+1﹣S n）（S n+S n+1）=n，∴﹣=n，∴=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+12=+1．则=+1=121，S16＞0．∴S16=11．故答案为：11．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距为8，且经过点A（﹣1，3）；（2）焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为．【解答】解：（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上，且焦距为8，即c=4，则椭圆的焦点为（0，4）和（0，﹣4），又由椭圆经过点A（﹣1，3），则2a=+=6，则a=3，又由c=4，则b2=a2﹣c2=2，则要求椭圆的方程为+=1；（2）根据题意，要求椭圆的短轴长为8，即2b=8，则b=4，离心率为，则有e2===1﹣=，解可得a2=25；则要求椭圆的方程为：+=1．18．（12分）已知p：∃x∈R，m≥﹣cos2x+2sinx+3；q：∀x∈R，函数f（x）=lg （mx2﹣mx+1）有意义．（1）若p∨q为真，求m的取值范围；（2）若（￢p）∧q为真，求m的取值范围．【解答】解：令g（x）=﹣cos2x+2sinx+3=（sinx+1）2+1，显然g（x）≥1，故p为真时，m≥1；m=0时，f（x）=lg1有意义，m≠0时，只需，解得：0＜m＜4，故q为真时，0≤m＜4，（1）若p∨q为真，则m≥0；（2）若（￢p）∧q为真，则p假q真，则，故m∈[0，1]．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA．（1）求A的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA，利用正弦定理：sinAsinB=3sinBcosA，解得：tanA=3，则：A=arctan3．（2）由tanA=3，解得：sinA=，cosA=，由于：a=7，b=5，利用正弦定理：，解得：sinB=，则：cosB=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．所以：=．20．（12分）用硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，这个纸盒的长，宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值．【解答】解：硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，设这个纸盒的长，宽各为x和y时，则：4xy=80，解得：xy=20．则表面积S=xy+2（4x+4y）≥20+32，当且仅当x=y=2时表面积的最小值为20+32．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n=2﹣（n≥2），记b n=．（1）证明：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n a n+1+a n+a n+1+1}的前n项和S n．【解答】解：（1）根据题意，数列{a n}满足a n=2﹣，则有a n+1=3﹣=，变形可得=+，由于b n=，即b n=b n﹣1+，b1==，数列{b n}为等差数列，其首项为，公差为；（2）有（1）可得：b n=，即=，则a n=﹣1，则a n a n+1+a n+a n+1+1=（﹣1）（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+1==9（﹣）；则S n=9（1）+9（﹣）+9（﹣）+…+9（﹣）=9（1﹣）=．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）经过原点的直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AM⊥x轴于点M，连接BM并延长交椭圆C于N，证明：以线段BN为直径的圆经过点A．【解答】解：（1）∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．∴椭圆C的标准方程为：．（2）证明：设直线AB的方程为：y=kx，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则M（x1，0），k=∴k BM==∴可设直线BN方程为：y=由得，x B+x N=﹣x1+x N=⇒x N=，y N==，∴，∴=﹣+k2x12==0．∴AB⊥AN，即以线段BN为直径的圆经过点A．。

2017－2018 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至 4至6 页。

共150分。

考试时间120分钟。

共60 注意事项：应位置和涂在答题卡上；不能将题直接答在试卷上。

一、选择题（共12）1．已知命题12,:≤+∈∃x R x p A 、012,>+∈∃x R x012>+x C 、012,≥+∈∃x R x012≥+x 2．抛物线28y x =A ．1 B ．．3．已知条件:|1|2p x +>，条件p ⌝是⌝ ）A ．充分不必要条件BC ．充要条件 D4．函数()22ln f x x x =- ) A. (0,1) B. (1，＋∞)－5．执行如图所示的程序框图，输出的 ）A ．B ．2C ．﹣D 26．某学校有体育特长生25人，用分层抽样的方法从）（单位：厘米）[34，36），36，A.45B.60C.75D.9010．已知函数()y xf x ='的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数））(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) B. 240x y +-= D. 280x y +-= ()f x 满足：()()0xf x f x '+<且(1)1f =，则不等式第Ⅱ卷（共 90分）5分，共20分。

)110"a x -+<是假命题，则实数的取值范围是 ． ()2,0，则k =____________． ()120f x x -+，则()1f '=_______．16．设函数23()252x f x x x =--+，若对任意[1,2]x ∈-，都有()f x m >，则实数m 的取值范围是______________．三、解答题：共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知()():32,:110p x q x m x m -≤-+--≤，若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．18．某校高三年级进行了一次学业水平测试，用系统抽样的方法抽取了50名学生的数学成绩，准备进行分析和研究．经统计，成绩的频率分布直方图如图：；(1)估计成绩在80分以下的学生比例；(2)请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数(精确到0.01)．19.椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点P ，1F 为椭圆的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，定点A （﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若△AMN 面积为MN 的方程．20．已知函数()22ln f x x a x =+．（1）若函数()f x 的图象在()()2,2f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（2）若函数()()2g x f x x=+在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围．21．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B . ⑴求实数a 的取值范围；⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB → ，求a 的值．22．已知函数()()ln 1f x x a x =+-， a R ∈．（I ）求()f x 的单调区间；（II ）若对任意的()0,x ∈+∞，都有()22f x a ≤-，求实数a 的取值范围．四、附加题(共两题，第一题5分，第二题15分，共20分)23. 已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,1,2,3,2x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是( )A. (－∞，1]B. [1，＋∞)C. (－∞，2]D. [2，＋∞)24．设,,,x y R i j ∈分别为直角坐标系中与x 轴、y 轴正半轴同方向的单位向量,若向量(2),a xi y j =++(2),b xi y j =+-且||||8a b +=.(Ⅰ)求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设抛物线3122+-=x y 的顶点为P ,焦点为F .直线l 过点P 与曲线C 交于B A ,两点,是否存在这样的直线l ,使得以AB 为直径的圆过点F ,若存在,求出直线方程；若不存在,请说明理由？黄骅中学2017－2018年度高中二年级第一学期期中考试数学（文科）参考答案一、选择题：每小题5分，共60分．1. B 2．C 3．A 4．A 5．A 6．C7．B 8．C 9．D 10．C 11．D 12．B二、填空题：每小题5分，共20分．13． 14．1 15．2e 16．（－∞，27）三、解答题：共6小题，共70分．17．（本小题满分10分）解：由题意p ：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.∴p ⌝：x ＜1或x ＞5.q ：m －1≤x≤m＋1，∴q ⌝：x ＜m －1或x ＞m ＋1.又∵p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件， ∴或∴2≤m≤4. 因此实数m 的取值范围是[2,4]．18．（本小题满分12分）(1)因为（0.004+0.006+0.02+0.03）×10＝0.6，所以估计成绩在80分以下的学生比例为60%. （6分）(2)由频率分布直方图，可知[70,80)这一组对应的小长方形最高，估计众数为75分．设中位数为(70＋x )分，则0.04＋0.06＋0.2＋0. 03x ＝0.5，解得x ≈6.67，估计中位数为76.67分．45×0.04＋55×0.06＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.24＋95×0.16＝76.2，估计平均数为76.2分． （12分）19．（本小题满分12分）解：（1）由题意可得：=1， =，又a 2=b 2+c 2，联立解得：a 2=6，b 2=2，c=2．∴椭圆C 的方程为：．………………5分（2）F （2，0）．设直线MN 的方程为：my=x ﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m 2+3）y 2+4my ﹣2=0．∴y 1+y 2=﹣，y 1y 2=，………………8分∴|y 1﹣y 2|===．则S △AMN ==3×=3，解得m=±1．∴直线MN 的方程为：y=±（x ﹣2）．………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由已知f'（2）=1，解得a=﹣3． …………………4分（2）由得，由已知函数g （x ）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x ）≤0在[1，2]上恒成立， 即在[1，2]上恒成立．…………………6分 即在[1，2]上恒成立 令，在[1，2]上……8分 所以h （x ）在[1，2]为减函数.， 所以…………………12分21．（本小题满分12分） 解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0. 依题意⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 所以 0＜a ＜2且a ≠1. …………………4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)． 由此得x 1＝512x 2. …………………8分 由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a ＞0，解得a ＝1713. …………………12分22．（本小题满分12分）解：（I ）()11'(0)ax f x a x x x-=-=>， 当0a ≤时， ()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()'0f x >，则10x a <<．则()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． …………………4分 （II ） 当0a ≤时，因为()1022f a =>-，所以不会有()0,x ∀∈+∞， ()22f x a ≤-． …………………6分当0a >时，由（I ）知， ()f x 在()0,+∞上的最大值为111ln 1ln 1f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以()0,x ∀∈+∞， ()22f x a ≤-等价于1ln 122f a a a a ⎛⎫=-+-≤- ⎪⎝⎭．即l n 10a a +-≥． …………………8分设()()ln 1ln 1g x x x x x =+-=--，由（I ）知()g x 在()0,+∞上单调递增．又()1ln1110g =+-=，所以ln 10a a +-≥的解为1a ≥．故()0,x ∀∈+∞， ()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[)1,+∞． …………………12分四、附加题23、A （5分）解：由题意得()()f x g x min min ≥,因为函数4f(x)=x+x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以()()f x 15min f ==因此252,1a a ≥+≤,选A.24、解：（1）∵||||8a b +=8， 由两点间的距离公式得：（即动点到两定点的距离之和为定值）2211612y x += 5分 （2）因抛物线方程为：)3(122--=y x ，故)0,0(),3,0(F P . 当直线x l ⊥轴时，不合题意。

2019秋——全国一考区高二期中考试数学试卷1.执行如图的程序框图，已知输出的．若输入的，则实数的最大值为()A.B.C.D.2.若集合，，则集合()A.B.C.D.3.已知向量，，向量在方向上的投影为．若，则的大小为()A.B.C.D.4.设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为()A. AB. BC. CD. D5.设定义域为的函数若关于的方程有个不同的实数解，则()A.B. 或C. 或D.6.函数的图象中相邻对称中心的距离为，若角的终边经过点，则图象的一条对称轴为()A.B.C.D.7.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程为()A.B.C.D.8.函数与的图象所有交点的横坐标之和为()A.B.C.D.9.执行如图的程序框图，则输出的值为()A.B.C.D.10.若变量，满足约束条件，则的最大值为()A.B.C.D.11.九章算术中一文：蒲第一天长尺，以后逐日减半；莞第一天长尺，以后逐日增加一倍，则()天后，蒲、莞长度相等？参考数据：，，结果精确到．(注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的倍．)A.B.C.D.12.已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是()A.B.C.D.13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于________．14.已知是等比数列，，，则________．15.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则角的大小为________．16.若从正八边形的个顶点中随机选取个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．17. 在中，，，的对边分别为，，，若．（1）求角；（2）如果，求面积的最大值．18. 已知等差数列满足，．（1）求数列的通项公式．（2）令，求数列的最大项和最小项．19. 已知数列的前项和满足：(为常数，且，)．（1）证明：成等比数列．（2）设，若数列为等比数列，求的值．（3）在满足条件的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．参考答案1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】A13.【答案】14.【答案】115.【答案】16.【答案】17.（1）【答案】见解析17.（2）【答案】见解析18.（1）【答案】见解析18.（2）【答案】见解析19.（1）【答案】见解析19.（2）【答案】见解析19.（3）【答案】见解析。

2017-2018学年河北省承德市高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选（本大题共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣12．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1＜03．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）双曲线﹣=1的一个焦点坐标为（）A．（3，0） B．（0，3） C．（2，0） D．（0，2）5．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b6．（5分）已知点（1，﹣2）在抛物线y=ax2的准线上，则a的值为（）A．B．﹣ C．8 D．﹣87．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，），则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．8．（5分）给定命题p：若x∈R，则；题q：若x≥0，则x2≥0．则下列各命题中，假命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）9．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）“m=1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P为C上的一点，若|PF|=5，则△POF的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．36 B．16 C．20 D．24二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．14．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是．15．（5分）P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（7，8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为．16．（5分）已知下列命题：①命题“∀x∈R，x2+3＜5x”的否定是“∃x∈R，x2+3＜5x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；③“a＞2015”是“a＞2017”的充分不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是．三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知条件p：|1﹣|≤3；条件q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0）若￢p是q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．18．（12分）已知双曲线E：．（1）若m=4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围．19．（12分）已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．20．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：函数f（x）=lg[x2﹣2（m+1）x+m（m+1）]的定义域为R，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．21．（12分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（I）求椭圆C的离心率；（II）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．22．（12分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．2017-2018学年河北省承德市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选（本大题共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1【解答】解：命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是“若a≤b，则a﹣1≤b﹣1”．故选：C．2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，故选：C．3．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）双曲线﹣=1的一个焦点坐标为（）A．（3，0） B．（0，3） C．（2，0） D．（0，2）【解答】解：根据题意，双曲线﹣=1中，其焦点在y轴上，a=2，b=，则c==3，其焦点坐标为（0，±3）；故选：B．5．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误；若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误；若，则，即a＜b，选项D正确．故选：D．6．（5分）已知点（1，﹣2）在抛物线y=ax2的准线上，则a的值为（）A．B．﹣ C．8 D．﹣8【解答】解：点（1，﹣2）在抛物线y=ax2的准线上，可得准线方程为：y=﹣，即﹣，解得a=．故选：A．7．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，），则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，∵双曲线=1的一条渐近线过点（2，），∴（2，）在y=x上，即=，即=，则双曲线的离心率e=====，故选：B．8．（5分）给定命题p：若x∈R，则；题q：若x≥0，则x2≥0．则下列各命题中，假命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：对于命题p：若x∈R，则；显然当x≤0时，不成立，故p假对于命题q：若x≥0，则x2≥0．显然q真∴利用复合命题的真假判定p∨q为真，（￢p）∨q为真，（￢p）∧q为真，（￢p）∧（￢q）为假故选：D．9．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，要求双曲线与﹣y2=1有相同的渐近线，可以设其方程为：﹣y2=k，又由其焦点为（0，6），则其焦点在y轴上且c=6，必有k＜0，故其标准方程为：﹣=1，则有c2=（﹣k）+（﹣2k）=36，解可得k=﹣12；故要求双曲线的标准方程为：﹣=1；故选：B．10．（5分）“m=1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：﹣y+1=0，x﹣1=0，此时两条直线垂直；当m=时，两条直线分别化为：x+2=0，6x+y﹣6=0，此时两条直线不垂直；当m≠0，时，两条直线分别化为：，y=，若此时两条直线垂直，则，解得m=﹣1．综上可得：直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直的充要条件是：m=0或﹣1．因此“m=1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直”的既不充分也不必要条件．故选：D．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P为C上的一点，若|PF|=5，则△POF的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：F（1，0），设P（m，n），则|PF|=m+1=5，∴m=4，∴n=±4，∴S==2．△POF故选：B．12．（5分）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．36 B．16 C．20 D．24【解答】解：∵椭圆的方程：，则a=6，b=4，c==2．由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a=12，由勾股定理可知：|PF1|2+|PF2|2=（2c）2=80，∴|PF1||PF2|=32．∴△PF1F2的面积=|PF1||PF2|=16．△PF1F2的面积为16，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：14．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p=2，∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），由题得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为x±y=0，∴F到其渐近线的距离d==．故答案为：．15．（5分）P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（7，8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为9．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为：直线x=﹣1，∴|PQ|=|PF|﹣1连结MF，则|PM|+|PF|的最小值为|MF|==10．∴|PM|+|PQ|的最小值为10﹣1=9．故答案为：9．16．（5分）已知下列命题：①命题“∀x∈R，x2+3＜5x”的否定是“∃x∈R，x2+3＜5x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；③“a＞2015”是“a＞2017”的充分不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是②．【解答】解：①命题“∀x∈R，x2+3＜5x”的否定是“∃x∈R，x2+3≥5x”，故错误；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，则￢p，￢q均为真命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”，正确；③“a＞2015”是“a＞2017”的必要不充分条件，故错误；④“若xy=0，则x=0且y=0”为假命题，故其逆否命题为假命题，故错误；故答案为：②．三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知条件p：|1﹣|≤3；条件q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0）若￢p是q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．【解答】解：条件P中不等式解得﹣3≤x≤9，条件q中的不等式解得x＜1﹣m或x＞1+m，若￢p是q的充分非必要条件，可以推出￢q是p的充分非必要条件，分析可得：，解得0＜m≤4．18．（12分）已知双曲线E：．（1）若m=4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵双曲线E：．∴m=4时，双曲线方程转化为：，∴a=2，b=，c==3，∴双曲线的焦点坐标为F1（﹣3，0），F2（3，0），双曲线的顶点坐标A1（﹣2，0），A2（2，0），双曲线的渐近线方程为：y=．（2）∵双曲线E：，∴==1+，∵，∴，解得5＜m＜10，∴实数m的取值范围是（5，10）．19．（12分）已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：∵p：∀x∈R，不等式恒成立，∴（x﹣）2+，即，解得：；q：椭圆的焦点在x轴上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，由p∧q为真知，p，q皆为真，解得．20．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：函数f（x）=lg[x2﹣2（m+1）x+m（m+1）]的定义域为R，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）命题q：即不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，∴△=4（m+1）2﹣4m（m+1）＜0，解得m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得m＞2或﹣2≤m＜﹣1．∴实数m的取值范围是m＞2或﹣2≤m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）21．（12分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（I）求椭圆C的离心率；（II）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为．所以a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．故椭圆C的离心率e=．（II）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），其中x0≠0．因为OA⊥OB，所以=0，即tx0+2y0=0，解得t=．又x02+2y02=4，所以|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=++4=（0≤4）．因为（0≤4）．，当时等号成立，所以|AB|2≥8．故线段AB长度的最小值为2．22．（12分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．【解答】解：（1）由题意可得：=1，=，又a2=b2+c2，联立解得：a2=6，b2=2，c=2．∴椭圆C的方程为：．（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得：+=1，解得y=±．==2≠3，舍去．则S△AMN②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x ﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．∴y1+y2=﹣，y1•y2=，∴|y1﹣y2|===．==3×=3，解得m=±1．则S△AMN∴直线MN的方程为：y=±（x﹣2）．。

一、单选题1的倾斜角是（ ）30y --=A ．B ．C ．D ．30°60︒120︒150︒【答案】B【分析】根据直线一般方程得直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率得关系可得倾斜角的大小.【详解】得直线的斜率30y --=k =又直线的倾斜角为，且，所以α[)0,180α∈︒︒tan α=60α=︒故选：B. 2．已知向量，且，那么（ ）(1,2,1),(3,,)a b x y =-= //a b ||b =A ．B ．C ．D ．6918【答案】A【分析】根据题意，设，即，，，2，，分析可得、的值，进而由向量模b ka = (3x )(1y k =-1)x y 的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，向量，2，，，，，且， (1a =- 1)(3b = x )y //a b 则设，即，，，2，，b ka = (3x )(1y k =-1)则有，则，，3k =-6x =-3y =-则，，，故(3b = 6-3)-||b = 故选：A ．3．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是，的中点，则ABCD BC AD 的值为（ ） AE AF ⋅A ．1B ．C ．D 1214【答案】C【分析】先得到该空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，再根据空间向量的基本定理得到，利用空间向量的数量积运算法则计算出答案. 1122AE AB AC =+ 【详解】此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为1，因为点E ，F 分别是，的中点，BC AD 所以， 1122AE AB AC =+ 所以 11112222AE AF AB AC AF AB AF AC AF ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭. 111111111cos 60cos 60222222224AB AF AC AF =⋅︒+⋅︒=⨯⨯+⨯⨯=故选：C4．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为2:4D y x =F l P D P l A ，若，则（ ）PA AF =PF =A ．2B ．C ．D ．4【答案】D【分析】画出图像，利用抛物线的定义求解即可.【详解】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，()1,0F :1l x =-x C P D 由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形， PA AF PF ==PAF △解法1：因为轴，所以直线斜率，,3APF π∠=AP A x PF k =):1PF y x =-由解得，舍去， 241)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(3,P 1,3P ⎛ ⎝所以. 3142P p PF x =+=+=解法2：在中，，则.Rt ACF A 2,60CF AFC ∠== 4AF =解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.F FB AP ⊥B B AP 2AB =4AP =故选：D.5．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，1111ABCD A B C D -O ABCD ,E F 11,BB DD 则下列结论正确的是（ ）A ．//1AO EF B ．1A O EF ⊥C ．//平面1AO 1EFB D ．平面1A O ⊥1EFB 【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，1111ABCD A B C D -令，是底面的中心，分别是的中点，12,2(0,0)AB a DD b a b ==>>O ABCD ,E F 11,BB DD 则，，11(,,0),(2,0,2),(2,2,),(2,2,2),(0,0,)O a a A a b E a a b B a a b F b 1(,,2)OA a a b =- ，1(2,2,0),(0,0,)FE a a EB b == 对于A ，显然与不共线，即与不平行，A 不正确；1OA FE 1AO EF 对于B ，因，则，即，B 正确；12()2020OA FE a a a a b ⋅=⋅+-⋅+⋅= 1OA FE ⊥ 1A O EF ⊥对于C ，设平面的法向量为，则，令，得， 1EFB (,,)n x y z = 12200n EF ax ay n EB bz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =(1,1,0)n =- ，因此与不垂直，即不平行于平面，C 不正确；120OA n a ⋅=> 1OA n 1AO 1EFB 对于D ，由选项C 知，与不共线，即不垂直于平面，D 不正确.1OA n 1AO 1EFB 故选：B6．若实数满足，则的最大值为（ ） ,x y 2220x y x ++=1y x -A． B CD ．212【答案】B【分析】设，当直线与圆相切时取得最值，然后可建立方1y k x =-0kx y k --=()2211x y ++=1y x -程求解.【详解】由可得，其表示的是圆心在，半径为的圆， 2220x y x ++=()2211x y ++=()1,0-1设，其表示的是点与点连线的斜率， 1y k x =-(),x y ()1,0由可得， 1y k x =-0kx y k --=当直线与圆相切时取得最值， 0kx y k --=()2211x y ++=1y x-，解得k =所以 1y x -故选：B7．某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下： 学生数 平均支出（元） 方差男生 9 406 女生 635 4据此估计该班学生每周购买零食的支出的总体方差为（ ）A ．10 B ．11.2 C ．23D ．11.5【答案】B【分析】由均值和方差公式直接计算．【详解】全班学生每周购买零食的平均费用为， ()94063538115x ⨯⨯+⨯==方差. ()()22296640384353811.21515s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦故选：B.8．2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm ，上口直径为cm ，下口直径为25cm ，最小横截面的直径为20cm ，则该双曲线的离心率1003为（ ）A ．B ．2C ．D ． 7473135【答案】D【分析】设双曲线的标准方程为，利用已知条件确定的值，即可求解 ()222210,0x y a b a b -=>>,a b 【详解】设双曲线的标准方程为， ()222210,0x y a b a b-=>>则由题意最小横截面的直径为20cm ，可知，10a =设点， ()5025,,,50,032A t B t t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 ()22225025006251,1,900400t b tb --=-=解得，32,24t b ==所以， 135e ===故选：D二、多选题9．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ）A ．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件B ．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C ．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件D ．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件【答案】BD【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．【详解】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，可能结果有：二个红球，一个红球一个黑球，二个黑球；对于，“至少一个红球”和“至少有一个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故错误； A A 对于，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故正确；B B 对于，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，但是可以同时都不发生，是互斥事件，C 但不是对立事件，故错误；C 对于，“至少一个黑球”和“都是红球”不能同时发生，但是一定有一个要发生，是对立事件，D 故正确．D 故选：．BD 10．若曲线C 的方程为，则（ ） ()2222102x y m m m +=>-A ．当时，曲线C 表示椭圆，离心率为 m =12B ．当时，曲线C 表示双曲线，渐近线方程为m =y =C ．当时，曲线C 表示圆，半径为1 1m =D ．当曲线C 表示椭圆时，焦距的最大值为4【答案】BC【分析】根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的得离心率，得焦,,a b c 距判断AD ，双曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B ，由圆的标准方程判断C ．【详解】选项A ，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则m 2211322x y +=232a=212b =，离心率为，A 错； 2221c a b =-=c e a ===选项B ，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B m 2213x y -=2203x y -=y =正确；选项C ，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C 正确；1m =221x y +=选项D ，曲线C 表示椭圆时，或，22222002m m m m ⎧->⎪>⎨⎪≠-⎩201m <<212m <<时，，，，201m <<222a m =-22b m =222222(0,2)c a b m =-=-∈时，，，，212m <<22a m =222b m =-222222(0,2)c a b m =-=-∈所以，即，无最大值．D 错．2(0,2)c ∈c∈故选：BC ．11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的1111ABCD A B C D -夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1AC =B ．平面BD ⊥1ACCC ．向量与的夹角是60°1B C 1AA D ．直线与AC1BD 【答案】AC【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．【详解】解：对于， 111:A AC AB BC CC AB AD AA =++=++∴22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅， 363636266cos60266cos60266cos60216=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=所以错误；1||AC A 对于:B 11()()AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅- ，所以，即， 22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =⋅-+⋅+⋅--⋅= 10AC DB ⋅= 1AC DB ⊥，所以，即，因为2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-==--= 0AC BD ⋅= AC BD ⊥，平面，所以平面，选项正确；1AC AC A ⋂=1,AC AC ⊂1ACC BD ⊥1ACC B 对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项C 1B C 1BB 18060120︒-︒=︒1B C 1AA 120︒C错误；对于，11:D BD AD AA AB =+- AC AB AD =+ 所以，()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅1||BD ∴=同理，可得||AC = ，11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+=+-++-=所以，所以选项正确．111cos ||||AC BD BD AC AC BD ⋅<⋅>==⋅ D 故选：AC ．12．已知的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆C ()2222:10x y C a ba b+=>>1F 2F )P 外，点Q 在椭圆C 上，则下列说法中正确的有（ ）A ．椭圆C 的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎭B ．已知，当椭圆C时，的最大值为3 ()0,2E -QE C ．存在点Q 使得120QF QF ⋅= D ．的最小值为11212QF QF QFQF +⋅【答案】ACD【分析】易得，再根据点在椭圆C 外，可得，从而可求得的范围，再根=2a )P 22114b +>2b 据离心率公式即可判断A ；根据离心率求出椭圆方程，设点，根据两点的距离公式结合椭(),Q x y 圆的有界性即可判断B ；当点Q 位于椭圆的上下顶点时取得最大值，结合余弦定理判断12F QF ∠是否大于等于即可判断C ；根据12F QF ∠90︒结合基本不等式即可判断D. ()1212121212111114QF QF QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⋅⎝⎭【详解】解：根据题意可知，=2a 则椭圆方程为， 22214x y b+=因为点在椭圆C 外， )P 所以，所以， 22114b+>22b <所以，22102b a <<则离心率，故A 正确；c ea ⎫==⎪⎪⎭对于B ，当椭圆C2c c a ==所以， 21c b ==所以椭圆方程为，2214x y+=设点，(),Q x y 则， )11QE y ==-≤≤当时，，故B 错误；23y =max QE =对于C ，当点Q 位于椭圆的上下顶点时取得最大值， 12F QF ∠此时，1212,2QF QF a F F c ===， 2222222212121222122442cos 102222QF QF F F a c b a b F QF QF QF a a +---∠====-<即当点Q 位于椭圆的上下顶点时为钝角， 12F QF ∠所以存在点Q 使得为直角， 12F QF ∠所以存在点Q 使得，故C 正确；120QF QF ⋅= 对于D ，， 1224QF QF a +==则 ()1212121212111114QF QF QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⋅⎝⎭， 12211122144QF QF QF QF ⎛⎛⎫ =++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝当且仅当，即时，取等号， 1221QF QF QF QF =122QF QF ==所以的最小值为1，故D 正确.1212QF QF QF QF +⋅故选：ACD.三、填空题13．某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为___________. 【答案】52【分析】利用分层抽样的性质直接求解． 【详解】解：由分层抽样的性质得： 女生应该抽取：．1000480100521000-⨯=故答案为：52．14．已知两直线，．若直线与，不能构成三1:240l x y -+=2:4350l x y ++=3:260l ax y +-=1l 2l 角形，求实数__________． =a 【答案】或或1-832-【分析】分别讨论或或过与的交点时，即可求解.31l l ∥32l l ∥3l 1l 2l 【详解】由题意可得，①当时，不能构成三角形，此时：，解得：；31l l ∥()212a ⨯-=⨯1a =-②当时，不能构成三角形，此时：，解得：；32l l ∥342a ⨯=⨯83a =③当过与的交点时，不能构成三角形，此时：3l 1l 2l 联立与，得，解得，1l 2l 2+4=04+3+5=0x y x y -⎧⎨⎩=2=1x y -⎧⎨⎩所以与过点，将代入得：，解得； 1l 2l ()2,1-()2,1-3l (2)2160a ⨯-+⨯-=2a =-综上：当或或时，不能构成三角形.1a =-832-故答案为：或或.1-832-15．已知圆，圆.动圆与外切，与内切，则动圆的221:(1)1C x y -+=222:(1)25C x y ++=M 1C 2C M 圆心的轨迹方程为___________.【答案】22198x y +=【分析】根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案.【详解】圆的圆心为，半径为1，221:(1)1C x y -+=1(1,0)C 圆的圆心为，半径为5，222:(1)25C x y ++=2(1,0)C -设动圆圆心为，半径为， (,)M x y r 则，， 1||1MC r =+2||5MC r =-于是，1212||||6||2MC MC C C +=>=动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，∴M 1(1,0)C 2(1,0)C -，，， 3a ∴==1c 2228b a c =-=的轨迹方程为，M ∴22198x y +=故答案为：22198x y +=16．如图，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两E ()220y px p =>F F E A B 点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点．若四边形的面AB M x C MN y ⊥N CMNF积等于7，则的方程为________.E【答案】24y x =【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求AB CMNF 出，得到抛物线方程.2p =【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且．,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭AB 2p y x =-CMNF FC NM ∥设，，，则， ()11,A x y ()22,B x y 00(,)M x y 1212221212122122AB y y y y p k y y x x y y p p --====-+-所以，所以． 122y y p +=0y p =作轴于点，则．MK x ⊥K MK p =因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以AB FMC A FK MK KC p ===，， 32pMN OF FK =+=2FC p =所以四边形的面积为， CMNF 132722p p p ⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭解得，2p =故抛物线的方程为.E 24y x =故答案为：24y x =四、解答题17．已知直线：与直线：，. 1l ()280m x my ++-=2l 40mx y +-=m ∈R (1)若，求m 的值；12l l ⊥(2)若点在直线上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程. ()1,P m 2l 【答案】(1)或0； 3-(2)或. 20x y -=10x y -+=【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m 的值；（2）先将点代入中求出，再分截距为0和截距不为0两种情况进行求解. ()1,P m 2l =2m 【详解】（1）由题意得：，解得：或0， ()20m m m ++=3m =-经检验，均满足要求，所以或0；3m =-（2）将点代入中，，解得：， ()1,P m 2l 40m m +-==2m 因为直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，当两截距均为0时，设直线l 为，代入，可得， =y kx ()1,2P =2k 此时直线l 为；20x y -=当两截距不为0时，设直线l 为，代入，可得， 1x yn n+=-()1,2P 1n =-故此时直线l 为；10x y -+=综上：直线l 的方程为或.20x y -=10x y -+=18．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是34，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．11214(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．【答案】(1)；3283、(2). 1532【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，根据独立事件概率的求法列方程组计算即可；,,A B C （2）由（1）结合题意可知所求事件为，其概率利用互斥事件与独立事件的概ABC ABC ABC ++率求法计算即可.【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确=A =B =C 这道题”，由于相互独立，所以和相互独立，,,A B C A C 则，解得，()()()()()()()()()()()3=41==11=121==4P A P AC P A P C P A P C P BC P B P C ⋅--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩()()3=82=3P B P C ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为.32,83（2）因为相互独立，且相互互斥， ,,A B C ,,ABC ABC ABC 所以()()()()P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++， 3333232151114834834833223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为． 153219．已知圆心为C 的圆经过两点，且圆心C 在直线上 ()()1,1,2,2A B -:10l x y -+=(1)求圆C 的标准方程．(2)若直线PQ 的端点P 的坐标是，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程()5,6【答案】(1) ()()222325x y +++=(2) ()()2225122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求AB l 得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程.C （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹M Q Q C M 方程.【详解】（1）线段的中点的坐标为，AB D 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭直线的斜率为， AB 21321--=--所以线段的垂直平分线的斜率为，AB 13所以线段的垂直平分线的方程为，AB 1131,12323y x y x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由解得，所以， 11310y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩3,2x y =-=-()3,2C --,5=所以圆的标准方程为.C ()()222325x y +++=（2）设，由于是线段的中点，， (),M x y M PQ ()5,6P 所以，()25,26Q x y --将点的坐标代入原的方程得， Q C ()()2222532625x y -++-+=整理得点的轨迹方程为：. M ()()2225122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭20．某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将2021100分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示[)30,50[)50,70[)70,90[)90,110[)110,130[]130,1506的频率分布直方图：(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分； (2)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；80(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组[)50,70[)70,90中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进552行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 21[)50,70【答案】(1)分； 93(2)分； 115(3). 710【分析】先利用频率之和为，计算出，进而求出平均值即可；()110.01a =利用百分位数的运算方法，求出成绩的第百分位数；()280利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽人，分别记为，，需在分()3[)50,7021A 2A [)70,90数段内抽人，分别记为，，，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率. 31B 2B 3B 【详解】（1）解：由， 0.005200.005200.0075200.0220200.0025201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=得. 0.01a =数学成绩在：频率， [)30,500.0050200.1⨯=频率，[)50,700.0050200.1⨯=频率， [)70,900.0075200.15⨯=频率，[)90,1100.0200200.4⨯=频率，[)110,1300.0100200.2⨯=频率，[]130,1500.00252000.5⨯=样本平均值为：， 400.1600.1800.151000.41200.21400.0593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=可以估计样本数据中数学成绩均值为分，93据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．93（2）解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为， ()11100.10.10.150.40.75+++=在分以下所占比例为1300.750.20.95+=因此，第百分位数一定位于内，由，80[)110,1300.80.75110201150.950.75-+⨯=-可以估计样本数据的第百分位数约为分，80115据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分. 80115（3）解：由题意可知，分数段的人数为 (人)，[)50,701000.110⨯=分数段的人数为 (人)．[)70,901000.1515⨯=用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，5[)50,7021A ，需在分数段内抽人，分别记为，，，2A [)70,9031B 2B 3B 设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，21[)50,70A 则样本空间共包含个样本点 {}12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B Ω=10而的对立事件包含个样本点 A {}121323,,A B B B B B B =3所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为()310P A =()()7110P A P A =-=21[)50,70． 71021．如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．111ABC A B C -ABC 2O AB（1）证明：平面；CO ⊥11ABB A（2）若直线与平面与平面夹角的余弦1B C 11ABB A 11A BC 1ABC 值．【答案】（1）证明见解析；（2）． 57【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面1OB CO 11ABB A 1B C 11ABB A ，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公12BB =O 式计算大小可得答案．【详解】（1）是正三角形，为的中点，ABC O AB ．CO AB ∴⊥又是直三棱柱，111ABC A B C - 平面ABC ，1AA ∴⊥． 1AA CO ∴⊥又，1AB AA A ⋂=平面．CO ∴⊥11ABB A （2）连接，由（1）知平面， 1OB CO ⊥11ABB A ∴直线与平面所成的角为， 1B C 11ABB A 1CB O ∠1tan CB O ∴∠=是边长为2的正三角形，则ABC A CO =．1OB ∴=在直角中，， 1B BO A 1OB =1OB =．12BB ∴=建立如图所示坐标系，则，，，，．()1,0,0B ()1,0,0A -()11,2,0A -()11,2,0B (10,C ，，设平面的法向量为，则，即()12,2,0BA ∴=- (11,BC =- 11A BC (),,m x y z = 11·0·0m BA m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得平面的法向量为．22020x y x y -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩11ABC )1m =- ，，设平面的法向量为，则，即()2,0,0AB = ()11,2,3AC = 1ABC (),,n x y z = 1·0·0n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，解得平面的法向量为． 20230x x y z =⎧⎨++=⎩1ABC ()0,2n = 设平面与平面夹角为，则11A BC 1ABC θ．5cos 7m n m n θ⋅==⋅平面与平面夹角的余弦值为．11A BC 1ABC 5722．已知椭圆C ：的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段22221x y a b +=()0a b >>RS ，C． (1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，，且总存在实数，使得(2,0)P R λ∈，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明PA PB PF PA PB λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭理由．【答案】(1)；2212x y +=(2)l 恒过定点. ()1,0【分析】（1）线段RS 为通径时最短，再根据的关系即可求解；,,a b c （2）联立直线AB 的方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，整理式子即得结0PA PB k k +=果.【详解】（1）由线段RS，22b a=又，所以，解得 c a =22212a b a -=222,1,a b ⎧=⎨=⎩所以C 的标准方程为．2212x y +=（2）由， PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭可知PF 平分，∴．APB ∠0PA PB k k +=设直线AB 的方程为，，，x my t =+()11,A my t y +()22,B my t y +由得， 2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2222220m y mty t +++-=，即，()22820m t ∆=-+>222m t >-∴，，12222mt y y m -+=+212222t y y m -=+∴， 1212022PA PBy y k k my t my t +=+=+-+-∴，∴，()()1212220my y t y y +-+=()()222220m t t mt ---⋅=整理得，∴当时，上式恒为0， ()410m t -=1t =即直线l 恒过定点．()1,0Q 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学mn试卷（理科）一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣23．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=04．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．7．若有以下说法：①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥．其中正确的说法序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=09．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．19．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB，E，F分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF与棱PC交于点M，求的值．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学mn试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：圆心C1：（0，0），C2：（2，﹣2），半径R=1，r=1，则|C1C2|===4＞1+1，即圆C1与C2的位置关系是相离，故选：A．【点评】本题主要考查圆与圆位置关系的判断，结合圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣2【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m 的值．【解答】解：∵空间平面向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）=λ （2，m，﹣m）=（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．3．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=0【分析】当过点P的直线过圆心时，截得的弦长正是圆的直径，为弦长最长的情况，进而根据圆的方程求得圆心坐标，根据圆心和点P的坐标求得所求直线的方程．【解答】解：依题意可知过点P和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆方程得（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆心为（1，﹣2）．又P（2，1）和圆心（1，﹣2），可求出过点P和圆心的直线的斜率为k==3∴过点P和圆心的直线方程为y﹣1=3（x﹣2），整理得3x﹣y﹣5=0故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．4．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．【解答】解：圆C（x+1）2+y2=4的圆心C（﹣1，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心M（2，1），半径R=3．∴|CM|==，R﹣r=3﹣2=1，R+r=3+2=5．∴R﹣r＜＜R+r．∴两圆相交．故选：C．【点评】本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】判断原命题的真假，即可得到逆否命题的真假，判断逆命题的真假即可得到否命题的真假，即可得到结果．【解答】解：命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，显然不正确，如果这无数条直线是平行线，两个平面可能平行；所以原命题是假命题；则逆否命题是假命题；命题的逆命题是：平面α与β平行，则平面α内有无数条直线与平面β平行，是真命题，所以否命题也是真命题，故真命题的个数是2．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断，四种命题的真假关系，直线与平面，平面与平面平行的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C．【点评】本题考查了与球有关的组合体，关键是要画出图形，找准相应的线线、线面位置关系．属于难题．7．若有以下说法：①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥．其中正确的说法序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④【分析】根据向量相等的定义，可得①正确；根据单位向量的定义，得到②不正确；根据向量加法法则，可得不等式|+|≤||+||恒成立，从而③正确；根据零向量与任意非零向量平行，可得④不正确．由此即可得到本题的答案．【解答】解：根据定义，大小相等且方向相同的两个向量相等．因此相等向量的模相等，故①正确；因为单位向量的模等于1，而方向不确定．所以若和都是单位向量，则不一定有=成立，故②不正确；根据向量加法的三角形法则，可得对于任意的和，都有|+|≤||+||成立，当且仅当和方向相同时等号成立，故③正确；若=，则有∥且∥，但是∥不成立，故④不正确．综上所述，正确的命题是①③故选：A ．【点评】本题给出关于向量概念的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了向量的定义、单位向量和向量的加减法法则等知识，属于中档题．8．圆x 2+y 2+4y=0与直线3x +4y +2=0相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x ﹣3y ﹣6=0B ．4x +3y +6=0C ．3x +4y +8=0D ．4x ﹣3y ﹣2=0【分析】由题意可得所求直线为垂直于直线3x +4y +2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得斜率，进而可得方程．【解答】解：由直线和圆的位置关系可得：线段AB 的垂直平分线是垂直于直线3x +4y +2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得所求直线的向量为，故方程为：y ﹣（﹣2）=（x ﹣0），即4x ﹣3y ﹣6=0故选：A ．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，得出直线过圆心且垂直于已知直线，是解决问题的关键，属中档题．9．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【点评】本题是中档题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解．【解答】解：根据题意：直线方程为：y=x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2=2，故选：A．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，是常考题型，属中档题．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．【分析】设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，根据平面A1BC1是正三角形，所求截面的面积是该正三角形的内切圆面积，由此求出内切圆的半径和面积，即可求出内接球半径a和体积．【解答】解：设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1是边长为2a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△A1BC1内切圆的半径是a×tan30°=a，则所求的截面圆的面积是π×a×a=a2=a=1•13=．∴该小球的体积为V球=故选：B．【点评】本题考查了正方体和它的内接球几何结构特征的问题，关键是想象出截面图的形状，是中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=2．【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2，圆心到直线的距离为：=，所以|AB|=2=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=0，可得tanθ=．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．【分析】先求出乙图中水的体积，然后求出甲图中水的高度即可．【解答】解：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起得图丙，V=S•2a﹣（S）•2a=aS．则V水=V柱﹣设图甲中水面的高度为x，则S•x=aS，得x=a．故答案为：【点评】本题考查棱柱的体积，考查学生的转化思想，空间想象能力，是基础题．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．【分析】首先由向量相等得到四边形OMPN为平行四边形，可得到线段MN和线段OP 的重点重合，并设这两条线段的重点为点Q（x0，y0），可得出点P的坐标，并将点P的坐标代入直线方程，可得到点Q所在直线方程为kx﹣y+2=0，其次利用勾股定理得到CQ=，转化为圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式列有关k的不等式解出k的取值范围即可．【解答】解：易知，圆心C的坐标为（1，0），设线段MN的中点为点Q（x0，y0），由于，所以四边形OMPN为平行四边形，则点Q也是线段OP的中点，则点P的坐标为（2x0，2y0），点P在直线kx﹣y+4=0上，则有2kx0﹣2y0+4=0，化简得kx0﹣y0+2=0，所以，点Q在直线kx﹣y+2=0上，由于点Q是线段MN的中点，所以，CQ⊥MN，且CQ=，可视为圆心C到直线kx﹣y+2=0上一点的距离等于，所以，圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离，即，化简得2k2﹣4k﹣1≥0，解得或，故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，主要是将向量的关系进行转化，其次就是将两点间的距离转化为点到直线的距离，是解本题的关键，属于难题．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．【分析】由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的侧棱长4cm，上下底面正三角形的高为2cm，由此能求出该三棱柱的表面积和体积．【解答】解：由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=CC′=4cm，（2分）正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2cm．（4分）∴正三角形ABC的边长为|AB|==4．（6分）∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=48+8（cm2）．（10分）AA′|=×42×sin60°×4=16（cm3）．体积为V=S底•|故这个三棱柱的表面积为（48+8）cm2，体积为16cm3．（14分）【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的体积、表面积的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．【分析】由题意，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，利用弦长公式求解弦长为；可得a的值，即得求圆C的方程．【解答】解：圆心在直线x﹣3y=0上，与y轴相切，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，圆心到直线y=x的距离d=弦长=2，即9a2﹣2a2=7．∴a2=1，即a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9【点评】本题考查圆的方程，解题时要注意点到直线的距离公式和勾股定理的合理运用．结合图形进行求解会收到良好的效果．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．【分析】（1）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，证明QM∥AD，利用直线与平面平行的判定定理证明QM∥面PAD．（2）设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC =V P﹣ACD，通过证明以及计算即可求点D到平面PAM的距离．【解答】解：（1）当点Q为棱PB的中点时，QM∥面PAD，证明如下…（1分）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以，在菱形ABCD中AD∥BC可得QM∥AD…（3分）又QM⊄面PAD，AD⊂面PAD所以QM ∥面PAD…（2）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离， 由（Ⅰ）可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 即PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高．…（7分）在Rt △POC 中，，，在△PAC 中，PA=AC=2，，边PC 上的高AM=，所以△PAC 的面积，…（9分）设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 得 …（10分），又，所以，…（11分）解得，所以点D 到平面PAM 的距离为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，等体积的方法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，PA=AB ，E ，F 分别为PB ，PD 的中点． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AE 所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求的值．【分析】（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，则O 为底面正方形ABCD 中心．连接PO ，推导出PO ⊥AC ，BD ⊥AC ，由此能证明AC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）由OA，OB，OP两两互相垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出异面直线PC与AE所成角的余弦值．（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，求出平面AEMF的法向量，利用向量法能求出．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO．因为P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD．（1分）所以PO⊥AC．（2分）又BD⊥AC，且PO∩BD=O，（3分）所以AC⊥平面PBD．（4分）（Ⅱ）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为PB=AB，所以Rt△POB≌Rt△AOB．所以OA=OP．（6分）设OA=2．所以A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，﹣1，1）．所以=（﹣2，1，1），=（﹣2，0，﹣2）．（7分）所以|cos＜＞|==．即异面直线PC与AE所成角的余弦值为．（9分）（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，则==（﹣2λ，0，﹣2λ），（10分）所以==（﹣2﹣2λ，0，2﹣2λ）．设平面AEMF的法向量为=（x，y，z），又=（﹣2，﹣1，1），所以，即所以y=0．令x=1，z=2，所以=（1，0，2）．（12分）因为AM⊂平面AEF，所以=0，（13分）即﹣2﹣2λ+2（2﹣2λ）=0，解得，所以．（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查线段比值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查运用意识，是中档题．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．【分析】（1）设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．由圆C1过点M（2，﹣2），求出λ=1，由此能求出圆C1的方程．（2）设圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，由圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，能求出圆C2的方程．【解答】解：（1）∵圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4，∴设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．∵圆C1过点M（2，﹣2），∴（4+4﹣12）+λ（4+4﹣4）=0，解得λ=1，∴圆C1的方程是x2+y2﹣3x﹣2=0．（2）∵圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，且圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，∴﹣1=0，解得λ=2，∴圆C2的方程是x2+y2﹣2x﹣=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥DC，PD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值．（III）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣MC ﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，∴AD⊥DC，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．解：（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，2，﹣1），设直线AC与PB所成角为θ，则cosθ===．∴直线AC与PB所成角的余弦值为．（III）A（0，0，0），M（0，1，），C（1，1，0），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，1，），=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面ACM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，2），设平面BCM的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，2），设二面角A﹣MC﹣B的平面角为α，则cosα===．∵二面角A﹣MC﹣B是钝二面角，∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。

2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣32．（5分）若，若∥，则（）A．x=1，y=1 B．C．D．3．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）4．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切5．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A1﹣BC﹣D的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．135°7．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．9．（5分）如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE10．（5分）过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x ﹣2）2+（y﹣1）2=511．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，且AB=BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．4πC．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）12．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=．13．（5分）若平面α的一个法向量=（2，1，1），直线l的一个方向向量为=（1，2，3），则α与l所成角的正弦值为．14．（5分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．15．（5分）若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（Ⅰ）求该几何体的体积V；（Ⅱ）求该几何体的面积S．17．（12分）（Ⅰ）已知圆经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）两点，若圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，求圆M的方程；（Ⅱ）求过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1）的圆N的方程．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．19．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，CD 的中点．（Ⅰ）求证：D1F⊥平面ADE；（Ⅱ）求异面直线EF与BD1所成角的余弦值．20．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角余弦值；（Ⅲ）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选：B．2．（5分）若，若∥，则（）A．x=1，y=1 B．C．D．【解答】解：∵，且∥，可设=λ，则（1，﹣2y，9）=λ（2x，1，3），即，解得λ=3，x=，y=﹣．故选：C．3．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选：C．4．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【解答】解：圆O 1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选：B．5．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确．②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误．④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，正确；故选：B．6．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A1﹣BC﹣D的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：由AB⊥BC，A1B⊥BC，得∠A1BA是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，在△ABA1中，∠ABA1=二面角D1﹣BC﹣D的大小为．故选B．7．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：=（1﹣t﹣2，1﹣t﹣t，t﹣t）=（﹣t﹣1，1﹣2t，0）==（﹣t﹣1）2+（1﹣2t）2=5t2﹣2t+2∴当t=时，有最小值∴的最小值是故选：C．8．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选：C．9．（5分）如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【解答】解：BE⊥AC，DE⊥AC⇒AC⊥平面BDE，故平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE．故选：C．10．（5分）过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x ﹣2）2+（y﹣1）2=5【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|==2，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是（，），即（2，1），则△ABP的外接圆方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，且AB=BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．4πC．D．【解答】解：作△ABC的外接圆，过点C作外接圆的直径CM，连接PM，则PM为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，如图所示；∵AB=BC=CA=2，∴CM==；又PC⊥平面ABC，∴PC⊥CM，∴PM2=PC2+CM2=22+=，∴三棱锥P﹣ABC的外接球面积为S外接球=4πR2=π•=．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）12．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=2．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．13．（5分）若平面α的一个法向量=（2，1，1），直线l的一个方向向量为=（1，2，3），则α与l所成角的正弦值为．【解答】解：∵平面α的一个法向量=（2，1，1），直线l的一个方向向量为=（1，2，3），∴α与l所成角θ的正弦值为：sinθ=|cos＜＞|===．故答案为：．14．（5分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为=．故答案为：15．（5分）若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3] ．【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣，即y﹣3=﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，或b=1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．三、解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（Ⅰ）求该几何体的体积V；（Ⅱ）求该几何体的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由三视图知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥，∴该几何体的体积V==64．（Ⅱ）该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形，且其高为h1==4，另外两个侧面也是全等的等腰三角形，这两个侧面的高为==5，∴该几何体的面积S=2（）+8×6=88+24．17．（12分）（Ⅰ）已知圆经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）两点，若圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，求圆M的方程；（Ⅱ）求过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1）的圆N的方程．【解答】解：（Ⅰ）AB的中点为（0，﹣4），直线AB的斜率为=，∴线段AB的中垂线方程为y=﹣2x﹣4，即2x+y+4=0．联立方程组，解得x=﹣1，y=﹣2，即所求圆的圆心M（﹣1，﹣2），∴圆的半径，∴圆M的方程为（x+1）2+（y+2）2=10．（Ⅱ）设圆N的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆N过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1），∴列方程组得解得D=﹣2，E=2，F=﹣3，∴圆N的方程为x2+y2﹣2x+2y﹣3=0．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．【解答】（本题满分12分）（Ⅰ）证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD．∵矩形ACC1A1中，O是A1C的中点，又点D是BC的中点，∴△A1BC中，OD∥A1B．∵OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1；…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知O是A 1C的中点，故点A1到平面ADC1的距离与点C到平面ADC1的距离相等，设为h．∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴AD⊥CC1，BC⊥CC1，∴AD⊥平面BCC1B1，AD⊥DC1．在Rt△C 1CD中，，则，；在Rt△ACD中，；…（8分）∵三棱锥C﹣ADC1与三棱锥C1﹣ACD的体积相等，即，∴，解得．即点A1到平面ADC1的距离为．…（12分）19．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，CD 的中点．（Ⅰ）求证：D1F⊥平面ADE；（Ⅱ）求异面直线EF与BD1所成角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，CD 的中点．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则D1（0，0，2），F（0，1，0），A（2，0，0），D（0，0，0），E（2，2，1），=（0，1，﹣2），=（2，0，0），=（2，2，1），•=0，=0+2﹣2=0，∴D1F⊥DA，D1F⊥DE，∵DA∩DE=D，∴D1F⊥平面ADE．（Ⅱ）B（2，2，0），=（﹣2，﹣1，﹣1），=（﹣2，﹣2，2），设异面直线EF与BD1所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线EF与BD1所成角的余弦值为．20．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．【解答】（本题满分12分）解：证明：（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，由，得，∴直线l恒过定点P（3，1）．…（4分）（Ⅱ）∵P（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，∴，∴P点在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…（8分）解：（Ⅲ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有k l•k PC=﹣1，而，k PC=﹣，∴=﹣1，解得m=﹣．…（12分）21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角余弦值；（Ⅲ）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．【解答】因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．（Ⅰ）证明：因，，故，∴AP⊥DC由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：因∴，∴cos＜＞=（Ⅲ）设平面AMC、平面BMC的法向量分别为，由，取；，由，取cos＜＞=．平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值为．。

2017-2018学年河北省保定市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）双曲线x2﹣y2=3的焦距为（）A．2 B．4 C．2 D．122．（5分）命题“∀x＞5，log5x＞1”的否定是（）A．∃x0≤5，log5x0＞1 B．∃x0≤5，log5x0≤1C．∀x＞5，log5x≤1 D．∃x0＞5，log5x0≤13．（5分）变量x，y之间的一组相关数据如表所示：x4567y8.27.8 6.6 5.4若x，y之间的线性回归方程为=x+12.28，则的值为（）A．﹣0.96 B．﹣0.94 C．﹣0.92 D．﹣0.984．（5分）设P为双曲线=1上一点F1，F2，分别为左、右焦点，若|PF1|=5，则|PF2|=（）A．1 B．1或9 C．3或7 D．95．（5分）“a＞log23”是“a＞log210”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）上一点（4，1）到其焦点的距离d=（）A．4 B．5 C．7 D．87．（5分）在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：现将参赛选手按成绩由好到差编为1﹣25号，再用系统抽样方法从中选取5人，一张纸选手甲的成绩为85分，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的最小值为（）A．89 B．90 C．86 D．888．（5分）设双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，给出下列两个命题：p：若点（1，2）在C的一条渐近线上，则e=，q：若点（1，2）在C 上，则e的取值范围为（1，），那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为（）A．﹣4 B．﹣7 C．﹣22 D．﹣3210．（5分）据全球权威票房网站Mojo数据统计，截至8月20日14时，《战狼2》国内累计票房50亿，截至目前，《战狼2》中国市场观影人次达1.4亿，这一数字也创造了全球影史“单一市场观影人次”的新记录，为了解《战狼2》观影人的年龄分布情况，某调查小组随机统计了100个此片的观影人的年龄（他们的年龄都在区间[10，60]内），并绘制了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这100人年龄的中位数为（）A．33 B．34 C．35 D．3611．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，），B（0，﹣），P为函数y=图象上一点，若|PB|=2|PA|，则cos∠APB=（）A．B．C．D．12．（5分）已知P为椭圆C：=1上任意一点，A（，0），动点M满足|MA|=，且PM⊥AM，则|PM|的最小值为（）A．3 B．4 C． D．2二、填空题：苯大题共4个小题，每小题5分，共20分，吧答案填在答题卡中的横线上（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是．14．（5分）已知A（1，1），B（3，m），若m为区间[2，9]上任意选取的一个实数，则直线AB的斜率大于2的概率为．15．（5分）P为椭圆=1上一点，F1，F2分别为左右焦点，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则△PF1F2的面积为．16．（5分）直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且抛物线交于A，B两点，若=5，则直线l的斜率为．三、解答题：苯大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共6小题，满分70分）17．（10分）设命题p：∃x0∈（1，+∞），sin2x0=1，q：∀x∈（0，+∞），+81x ≥a．（1）若a=10，判断命题￢p，p∨q，p∧q的真假，并说明理由；（2）设命题r：：∃x0∈R，x02+2x0+a﹣9≤0，判断r成立是q成立的什么条件，并说明理由．18．（12分）已知椭圆M与椭圆N：=1有相同的焦点，且椭圆M过点（0，2）（1）求M的长轴长（2）设直线y=x+2与M交于A，B两点（A在B的右侧），O为原点，求．19．（12分）为了了解甲、一两个工厂生产的轮胎的宽度说法达标，分别从两厂随机个选取了10个轮胎，经每个轮胎的宽度（单位mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎（i）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率？（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（﹣1，3），求d+|MD|的最小值；（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，），求直线l的方程．21．（12分）已知动点P（x，y）的轨迹为曲线C，且•=0，其中Q（﹣4，y），O（0，0）（1）若直线x=4交曲线C于P1，P2两点，求△P1OP2的面积（2）点M为曲线C上一点，国点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B两点（A，B都异于M），过点F（1，0）且与AB垂直的直线l 与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．22．（12分）如图所示，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆E经过点（，1），已知点Q（0，2），过点P（0，1）的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，B′与B关于y轴对称．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：Q，A，B′三点共线．2017-2018学年河北省保定市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）双曲线x2﹣y2=3的焦距为（）A．2 B．4 C．2 D．12【解答】解：根据题意，双曲线x2﹣y2=3的标准方程为﹣=1，其中a=b=，则c==，其焦距2c=2；故选：C．2．（5分）命题“∀x＞5，log5x＞1”的否定是（）A．∃x0≤5，log5x0＞1 B．∃x0≤5，log5x0≤1C．∀x＞5，log5x≤1 D．∃x0＞5，log5x0≤1【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x＞5，log5x＞1”的否定是：“∃x0＞5，log5x0≤1”．故选：D．3．（5分）变量x，y之间的一组相关数据如表所示：x4567y8.27.8 6.6 5.4若x，y之间的线性回归方程为=x+12.28，则的值为（）A．﹣0.96 B．﹣0.94 C．﹣0.92 D．﹣0.98【解答】解：由题意得：=5.5，=7，故样本中心点是（5.5，7），故7=5.5+12.28，解得：=﹣0.96，故选：A．4．（5分）设P为双曲线=1上一点F1，F2，分别为左、右焦点，若|PF1|=5，则|PF2|=（）A．1 B．1或9 C．3或7 D．9【解答】解：根据题意，双曲线的方程为=1，其中a==2，c==又由P是双曲线上一点，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=4，又由|PF1|=5，则|PF2|=1或9，又由|PF2|＞c﹣a=﹣2，故||PF2|=9；故选：D．5．（5分）“a＞log23”是“a＞log210”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵log23＜log210”∴“a＞log23”是“a＞log210”必要不充分条件，故选：B．6．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）上一点（4，1）到其焦点的距离d=（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：根据题意，抛物线x2=2py（p＞0）经过点（4，1），则有16=2p，解可得p=8，则抛物线的标准方程为：x2=16y，其焦点坐标为（0，4），点（4，1）到其焦点的距离d==5；故选：B．7．（5分）在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：现将参赛选手按成绩由好到差编为1﹣25号，再用系统抽样方法从中选取5人，一张纸选手甲的成绩为85分，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的最小值为（）A．89 B．90 C．86 D．88【解答】解：将参赛选手按成绩由好到差分为5组，第一组（80，81，82，83，85），第二组（86，86，86，86，88），第三组（89，90，92，93，94），第四组（95，95，95，97，99），第五组（100，100，105，106，107），甲的编号为第一组的第5个，则其余4名选手的成绩分别为88、94、99、107；所以被选取的其余4名选手成绩的最小值为88．故选：D．8．（5分）设双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，给出下列两个命题：p：若点（1，2）在C的一条渐近线上，则e=，q：若点（1，2）在C 上，则e的取值范围为（1，），那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：若点（1，2）在C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则b=2a，c=a，e=，故p是真命题；若点（1，2）在C：=1（a＞0，b＞0）上，则b＞2a，c＞a，e＞，故q是假命题；故命题p∧q，（￢p）∧q，（￢p）∧（￢q）均为假，p∧（￢q）为真，故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为（）A．﹣4 B．﹣7 C．﹣22 D．﹣32【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得i=2，满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S=S+4，i=3满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S=S+4﹣9，i=4满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S=S+4﹣9+16，i=5满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S=S+4﹣9+16﹣25，i=6不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+4﹣9+16﹣25=﹣18，故解得：S=﹣4．故选：A．10．（5分）据全球权威票房网站Mojo数据统计，截至8月20日14时，《战狼2》国内累计票房50亿，截至目前，《战狼2》中国市场观影人次达1.4亿，这一数字也创造了全球影史“单一市场观影人次”的新记录，为了解《战狼2》观影人的年龄分布情况，某调查小组随机统计了100个此片的观影人的年龄（他们的年龄都在区间[10，60]内），并绘制了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这100人年龄的中位数为（）A．33 B．34 C．35 D．36【解答】解：由已知中的频率分布直方图可得：前两组的频率为（0.014+0.024）×10=0.38，前三组的频率为（0.014+0.024+0.028）×10=0.66，故数据的中位数在第三组，其值为：30+×10≈34，故选：B．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，），B（0，﹣），P为函数y=图象上一点，若|PB|=2|PA|，则cos∠APB=（）A．B．C．D．【解答】解：∵P为函数y=图象上一点，∴P是双曲线y2﹣x2=1（y≥1）上一点，∴A（0，），B（0，﹣）是双曲线y2﹣x2=1的焦点，∵|PB|=2|PA|，∴|PB|﹣|PA|=|PA|=2，∴|PB|=4，|PA|=2，|AB|=2，∴cos∠APB===．故选：C．12．（5分）已知P为椭圆C：=1上任意一点，A（，0），动点M满足|MA|=，且PM⊥AM，则|PM|的最小值为（）A．3 B．4 C． D．2【解答】解：∵A（，0），动点M满足|MA|=，∴点M的轨迹为以点A为圆心，为半径的圆，∵PM⊥AM，即PM为圆的切线，∴当PA最小时，切线长PM最小，设P（x，y），则有=1PA2=（x﹣）2+y2=，当x=时，PA2最小为此时|PM|=，故选：B．二、填空题：苯大题共4个小题，每小题5分，共20分，吧答案填在答题卡中的横线上（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是若x2≤1，则x≤1．【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是命题“若x2≤1，则x≤1”，故答案为：若x2≤1，则x≤114．（5分）已知A（1，1），B（3，m），若m为区间[2，9]上任意选取的一个实数，则直线AB的斜率大于2的概率为．【解答】解：A（1，1），B（3，m），∴直线AB的斜率为k==；令＞2，解得m＞5；又m∈[2，9]，∴直线AB的斜率大于2的概率为P==．故答案为：．15．（5分）P为椭圆=1上一点，F1，F2分别为左右焦点，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则△PF1F2的面积为4．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为=1，其中a==4，b==2，c==2，则|F1F2|=2c=4，P为椭圆=1上一点，则|PF1|+|PF2|=2a=8，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则|PF1||PF2|=16，解可得：|PF1|=|PF2|=4，即△PF1F2为周长为4的等边三角形，其面积S=×4×4×=4；故答案为：4．16．（5分）直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且抛物线交于A，B两点，若=5，则直线l的斜率为±．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由若=5，可得y1=﹣5y2，解得或，∴m=（﹣+）=﹣，或（﹣）=，即斜率为±故答案为：±．三、解答题：苯大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共6小题，满分70分）17．（10分）设命题p：∃x0∈（1，+∞），sin2x0=1，q：∀x∈（0，+∞），+81x ≥a．（1）若a=10，判断命题￢p，p∨q，p∧q的真假，并说明理由；（2）设命题r：：∃x0∈R，x02+2x0+a﹣9≤0，判断r成立是q成立的什么条件，并说明理由．【解答】解：（1）命题p：∃x0∈（1，+∞），sin2x0=1，则p为真命题，则￢p为假命题，q：∀x∈（0，+∞），+81x≥2=9，当且仅当x=时取等号，故a≤9，故q：∀x∈（0，+∞），+81x≥10为假命题，∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，（2）∃x0∈R，x02+2x0+a﹣9≤0，则4﹣4（a﹣9）≥0，解得a≤10，故r成立是q成立的必要不充分条件18．（12分）已知椭圆M与椭圆N：=1有相同的焦点，且椭圆M过点（0，2）（1）求M的长轴长（2）设直线y=x+2与M交于A，B两点（A在B的右侧），O为原点，求．【解答】解：（1）由椭圆N：=1，得c=，即椭圆M的两焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），又椭圆M过点（0，2），∴椭圆M的短半轴长b=2，则长半轴长a=，∴M的长轴长2a=；（2）由（1）知椭圆M：．如图：联立，解得A（0，2），B（）．∴=0×．19．（12分）为了了解甲、一两个工厂生产的轮胎的宽度说法达标，分别从两厂随机个选取了10个轮胎，经每个轮胎的宽度（单位mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎（i）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率？（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？【解答】解：（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为：=（195+194+196+193+194+197+196+195+193+197）=195（cm），乙厂这批轮胎宽度的平均值为：=（195+196+193+192+195+194+195+192+195+193）=194（cm）．（2）①从甲厂提供的10个轮胎中有6个轮胎是标准轮胎，从中随机选取1个，所选的轮胎是标准轮胎的概率p=．②甲厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，平均数为=（195+194+196+194+196+195）=195，方差为：=[（195﹣195）2+（194﹣195）2+（196﹣195）2+（194﹣195）2+（196﹣195）2+（195﹣195）2]=，乙厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，平均数为=（195+196+195+194+195+195）=195，方差为：=[（195﹣195）2+（196﹣195）2+（195﹣195）2+（194﹣195）2+（195﹣195）2+（195﹣195）2]=，∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，∴乙厂的轮胎相对相对更好．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（﹣1，3），求d+|MD|的最小值；（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，），求直线l的方程．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4），可得p=2，抛物线的准线方程为x=﹣1，d+|MD|=|MF|+|MD|≥|DF|==，∴d+|MD|的最小值为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，两式相减得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∴直线l的斜率k==6，故直线l的方程为y﹣=6（x﹣2），即18x﹣3y﹣35=0．21．（12分）已知动点P（x，y）的轨迹为曲线C，且•=0，其中Q（﹣4，y），O（0，0）（1）若直线x=4交曲线C于P1，P2两点，求△P1OP2的面积（2）点M为曲线C上一点，国点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B两点（A，B都异于M），过点F（1，0）且与AB垂直的直线l 与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．【解答】解：（1）由•=0，可得：﹣4x+y2=0，化为：y2=4x．联立，解得x=4，y=±4．∴|P1P2|=8，∴△P1OP2的面积S==16．（2）设直线l的方程为：my=x﹣1，D（x1，y1），E（x2，y2）．联立，可得：y2﹣4my﹣4=0，△＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴|DE|=8==，解得：m=±1．设A（x3，y3），B（x4，y4），M（x0，y0）．则=±1，+=0，=4x0，=4x3，=4x4．联立化为：y3+y4=±4，y3+y4=﹣2y0，解得，．∴M（1，±2）．22．（12分）如图所示，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆E经过点（，1），已知点Q（0，2），过点P（0，1）的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，B′与B关于y轴对称．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：Q，A，B′三点共线．【解答】（1）解：由题意可得，解得a2=4，b2=2．∴椭圆E的方程为；（2）证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，B′三点共线．当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），，，，，∵x1（y2﹣2）+x2（y1﹣2）=x1（kx2﹣1）+x2（kx1﹣1）=2kx1x2﹣（x1+x2）=．∴与共线，则Q，A，B′三点共线．第21页（共21页）。

2017-2018学年河北省张家口市高二（上）期中数学试卷（文科）一、1．（3分）椭圆=1的右焦点为（）A．（﹣1，0）B．（1，0） C．（﹣，0）D．（，0）2．（3分）命题“?x0＞0，x02﹣2x0﹣7＞0”的否定是（）A．?x0?0，x02﹣2x0﹣7?0 B．?x0＞0，x02﹣2x0﹣7?0C．?x＞0，x2﹣2x﹣7＞0 D．?x＞0，x2﹣2x﹣7?03．（3分）如图是2016年某大学在自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（）A．85，84 B．87，85 C．87，84 D．84，874．（3分）椭圆=1上一点到两个焦点的距离之和为（）A．2 B．4 C．2 D．2＞0”是“ａ+b2＞0”的（）5．（3分）已知a，b∈R，则“ａA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）给出命题：“若a n+1=a n+1，则数列{a n}是等差数列”，对原命题，逆命题，否命题、逆否命题而言，其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．47．（3分）如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率，以下结论正确的是（）A．2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速有上升的趋势B．相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加C．相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率明显增加D．相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率明显增加8．（3分）若m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆=1的焦距为整数的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10≡3（mol7），如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的n=（）A．33 B．39 C．45 D．7510．（3分）已知O为原点，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线AB于点D，若直线OD的斜率是直线AB的斜率的3倍，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．（3分）已知直线l交椭圆+=1于A、B两点，且线段AB的中点为（﹣1，﹣1），则l的斜率为（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．12．（3分）给出下列3个命题p1：二进制数10111对应的十进制数为24．p2：“ｘ≠1或y≠3”是“xy≠3”的必要不充分条件．p3：若lga+lgb=0，则a+b?2．那么，下列命题为真命题的是（）A．p2∧p3B．p1∨（￢p3）C．p1∧p2D．（￢p2）∧p3二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）椭圆=1的长轴长为．14．（5分）2017年某企业员工有200人参加“郊区植树”活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示，现要从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取32人，则在地3组抽取的人数为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y都是区间（0，2）内任意选取的一个实数，则输出的结果是1的概率为．16．（5分）设D为椭圆x2+=1上任意一点，A（0，﹣2），B（0，2），延长AD 至点P，使得|PD|=|BD|，则点P的轨迹方程为．三、解答题;本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6小题，满分70分）17．（10分）设p：若x=a，则x2=4，q：若x＞a，则2x＞1．（1）写出p的逆否命题；（2）若p∧q为真，求a的值．18．（12分）已知到A，B的坐标分别为（1，0），（﹣1，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣，求动点P的轨迹方程，并指出点P的轨迹是什么？19．（12分）为了研究美国人用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了7为用餐顾客进行调查，得样本数据如下：3240508663100133消费（单元：美元）56798912小费（单元：美元）相关公式：==，=﹣参考数据：32×5+40×6+86×9+63×8+100×9+133×12=4524322+402+502+862+632+1002+1332=44178（1）求小费y（单位：美元）关于消费x（单位：美元）的线性回归方程=x+（其中的值精确到0.001）（2）试用（1）中的回归方程估计当200美元时，要付多少美元的小费（结构精确到整数）？20．（12分）设命题p：?x0∈（1，+∞），使得5+|x0|=6，q：?x∈（0，+∞），（+x）（+x）？a．（1）若a=9，判断命题￢p，p∨q，（￢p）∧q的真假，并说明理由；（2）设命题r：?x0∈R，x02+2x0+a﹣9?0，判断r成立是q成立的什么条件，并说明理由．21．（12分）已知椭圆M：=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），设椭圆N 的焦点恰为椭圆M短轴上的顶点，且椭圆N过点（，）（1）求N的方程（2）若直线y=x﹣2与椭圆N交于A，B两点，求|AB|．22．（12分）如图所示，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆E经过点（，1），已知点Q（0，2），过点P（0，1）的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，B′与B关于y轴对称．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：Q，A，B′三点共线．。

河北省邯郸市2017-2018学年高二数学上学期期中试题（BC 部）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分 1．已知命题:,20x p x R ∀∈>，那么命题p ⌝为（ ） A ．,20x x R ∃∈< B ．20x x R ∀∈<, C ．,20x x R ∃∈≤D ．20x x R ∀∈,≤2．原命题：若a +b ≥2，则a ,b 都不小于1．则原命题与其逆命题的真假是（ ） A ．原命题真，逆命题真 B ．原命题假，逆命题真 C ．原命题真，逆命题假D ．原命题假，逆命题假3．在等比数列}{n a 中, ,8,1641=-=a a 则=7a （ ） A.4- B.4± C ．2- D ．2±4．已知以方程F (x ，y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上，则下列说法正确的有（ ） A ．方程F (x ，y )=0的曲线是C B ．曲线C 的方程是F (x ，y )=0C ．不在曲线C 上的点的坐标不是方程F (x ，y )=0的解D ．曲线C 上的点的坐标都是方程F (x ，y )=0的解{}1234105.1,23,456,78910,( ).505 .510 .610 .750n a a a a a a A B C D ==+=++=+++=数列中,则6．设0,0a b >>，则下列不等式中不恒成立的是（ ）A ．11()()4a b a b++≥ B ．3322a b ab +>C ．22222a b a b ++≥+ D ≥7．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，这个椭圆方程为（ ）A .191222=+y xB .112919122222=+=+y x y x 或 C ．112922=+y x D ．以上都不对8．已知函数()2,1{,1x a x f x x a x -≤=-+>，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. ()1,2D. (]0,19. ,1,(42)(0,0)7161.5 . 6 .7.8y x x y x y z a x y b a b y a bA B C D ≤⎧⎪+≤=++>>⎨⎪≥-⎩+已知满足约束条件若的最大值为，则的最小值为（ ）22121210. ,1,,126( ).4 .6 .8 .x y F F P PF F P A B C D +=∆已知焦点为的椭圆为椭圆上一点则使得为直角三角形的点共有个不确定11．已知椭圆1422=+y x 的左右顶点分别为M ，N ，P 为椭圆上任意一点，且直线PM 的斜率取值范围是]2,21[，则直线PN 的斜率的取值范围是（ ） A ．]8,2[B ．]2,8[--C ．]21,81[D ．]81,21[--12．已知点P 是椭圆13422=+y x 上一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，M 为12PF F ∆的内心，若2211MPF F MF MPF S S S ∆∆∆λ-=成立，则λ的值为（ ） A ．32 B ．12 CD ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分2212121213.16054o x y P F F F PF F PF +=∠=∆已知点在椭圆上，、是焦点，若，则的面积是________.2214.4936(1,1) .l x y A B AB l +=已知直线与椭圆相交于、两点，弦的中点坐标为则直线的方程是1221215. .F F F P F PF ∆设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为16.以下五个命题中：①若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件； ③“1=a 是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件；④曲线192522=+y x 与曲线221(09)925x y k k k+=<<--有相同的焦点； ⑤设A ，B 为两个定点，若动点P 满足PB PA -=10，且6=AB ，则PA 的最大值为8；其中真命题的序号是 .（填上所有真命题的序号）三．解答题：（17题10分，其余12分）解答应写出文字说明，演算步骤．17.(1,0) 4 1:2,.M F x M -=-点与定点的距离和它到定直线的距离的比是求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形18．已知命题p ：方程22167+=+-x y m m表示椭圆，命题q ： 2,2210x R mx mx m ∃∈++-≤， （1）若命题q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真， q ⌝为真，求实数m 的取值范围.{}{}{}11212319. ,2,420(2)(1)1111(2)log 1,n 1-=--=≥=+++++<L n n n n n n n n n na n S a S S n ab a T b T T T T 已知数列前项和为且满足求数列的通项公式；令为的前项和.求证：．20. 已知椭圆2241x y +=及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为12e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12F F 、分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A B 、，求1F AB ∆的面积的最大值.22.已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列． 设*1423log ()n n b a n N +=∈，数列{}n c 满足.n n n c a b =⋅（1）求证：数列{}n b 成等差数列； （2）求数列{}n c 的前n 项和;n S （3）若n c 2114m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．邯郸市一中2016-2017第一学期期中试题高二数学答案1-12 CBACA BBCCB DD； 14.4x+9y-13=0；1；16. ②⑤()2222117. ,523412 14310=+=+=∴±K K K K K K K K M x y x y x y 解：设点的坐标为（） 分化简得：即：8分轨迹为焦点为，长轴长为4的椭圆 10分18．（1）∵命题q 为真，当0m > 时， ()2044210101m m m m m ∆≥⇒≥-⇒≤≤∴<≤；当0m ≤ 时，不等式恒成立.综上， 1m ≤ . ．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）若p 为真，则6017067267+>⎧⎪->⇒-<<≠⎨⎪+≠-⎩m m m m m m且 ， ∵若p q ∨为真， q ⌝为真，∴p q 为真为假∴11,67,172>-<<≠∴<<m m m m ．．．．．．．．．．．．．． 12分19.（1）当n ≥3时，可得S n -4S n -1-2-（S n -1-4S n -2-2）=0． ∴a n =4a n -1， (n ≥3) 又因为a 1=2，代入表达式可得a 2=8，满足上式． 所以数列{a n }是首项为a 1=2，公比为4的等比数列，故：1222124222n n n n a ---=⨯=⨯=．．． 6分 2123(22)(2)log 12,(1)921111(1)1111111111(1)()2231111121+=+===+∴==-++⎛⎫∴++++=-+-++- ⎪+⎝⎭=-<+L L K K K ．．．．．．．．．分， 分n n n n n n n b a n T n n T n n n n T T T T n n n20解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ．…………6分 （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ． 解得0=m ．方程为x y =．…………12分21.解：（1）由题意可得222212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分解得2,a b ==故椭圆的标准方程为22143x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）设()()1122,,,A x y B x y ，112121212F AB S F F y y y y ∆=⋅-=- ………………6分 由题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，所以，12122269,3434m y y y y m m --+==++．．．．．．．．．8分 又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故0∆>，即()()22636340,m m m R ++>∈．则112121212∆=⋅-=-=F ABS F F y y y y ．．．．．10分令t =1t ≥，则121241313F ABt S t t t∆===++，令()13f t t t =+，由函数的性质可知，函数()f t在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上是单调递增函数，即当1t ≥时，()f t 在[)1,+∞上单调递增， 因此有()()413f t f ≥=，所以13F AB S ∆≤， 即当1t =，即0m =时，1F AB S ∆最大，最大值为3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分22.（1）由已知可得，n n n qa a )41(11==-， n b n n 3)41(log 3241==+ 23-=∴n b n 13n n b b +∴-=}{n b ∴为等差数列，其中11,3b d ==.．．．．．．．．．．．．．． 4分 23234123411(2)(32)()4111114()7()(32)()44441111111()4()7()(35)()(32)()4444443111111+3[()()()()](32)()444444411()1164 =+34nn n n nn n n n n n n c a b n S n S n n S n ++==-=⋅+⋅+⋅++-=⋅+⋅+⋅++-+-=++++---两式相减得L L L 111221(32)() =()()81433414n n n n n S n ++--∴-+-．．．．分1111max 1222211(3)(32)() 9()(1)441 2 () 411411144450-5 1.12n n n n n n n n n n n c n c c n c c c c c c c c m m n m m m m m m ++++=--=--=≥<∴===≤+-+-≥∴+-≥≤≥当n=1时当n 时若对一切正整数恒成立，则即可即或．．．．．．．．．．．．．．分。

2017-2018学年第一学期高二数学期中考试试题一、选择题1．若三次函数()3f x mx x =-在()-∞+∞，上是减函数，则m 的取值范围是（ ）A ．()0-∞，B ．()1-∞，C ．(]0-∞，D ．(]1-∞，2．若()21ln 2f x x m x =-+在()1,+∞是减函数，则m 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. ()1,+∞ C. [)1,+∞ D. (),1-∞3．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，方程组，只有一组解的概率是（ ） A. B. C. D. 4．设函数212ln (0)f x x x x x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，则()1f '=（ ） A. 2 B. -2 C. 5 D. 5-5．设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则6．已知双曲线的一条渐近线为，则它的离心率为（ ） A. B. C. D.7．将函数()()ln 10y x x =+≥的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（(]0,θα∈），得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ）A. πB. 2πC. 3πD. 4π8．91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（ ） A. -36 B. 36 C. -84 D. 849．在ABC 中， ()2,4AB =， ()1,3AC =，则CB = ( )A. ()3,7B. ()3,5C. ()1,1D. ()1,1--10．在 中，若，则角的值为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°11．“”是“”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12．已知向量()2,1a =， (),2b x =-，若//a b ，则a b +等于（ ）A. ()2,1--B. ()2,1C. ()3,1-D. ()3,1-二、填空题13．已知，，则的值为____．14．若直线过点，则的最小值等于__________．15．已知数列{}n a 的前n 项和构成数列{}n b ，若()2134n n b n =-+，则数列{}n a 的通项公式________.16．已知集合＋，若1∈A ，则A ＝________.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形， //AB CD ， 90ABC ∠=︒，2AB CD =， BC =， ABP ∆是等边三角形，且侧面APB ⊥底面ABCD ， ,E F。

定州市2017-2018学年度第一学期期中考试高二理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线34222-=-y x 的渐近线方程为（ ） A ．x y 2±= B ．x y 2±= C ．x y 22±= D ．x y 21±= 2.以下判断正确的是（ ） A ．命题“若b a >，则ba 11<”为真命题 B ．命题“01,0200<-+∈∃x x R x ”的否定是“01,2>-+∈∀x x R x ” C ．“)(2Z k k ∈+=ππϕ”是“函数)sin()(ϕω+=x x f 是偶函数”的充要条件 D ．命题“在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >”为假命题3.分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是（ ） A ．甲应付1094151钱 B ．乙应付1092432钱 C ．丙应付1095616钱 D ．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少4.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1421,,A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A ．7B ．8 C. 9 D ．10 5.已知113:,:<+≥x q k x p ，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．),2(+∞ C. ),1[+∞ D ．]1,(--∞6.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线x y 42=的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点)1,3(M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ） A ．34-B ．34 C. 34± D ．916- 7.如图在ABC ∆中，在线段AB 上任取一点P ，恰好满足32>∆∆ABC PBC S S 的概率是（ ）A ．32 B ．94 C. 91 D ．31 8.双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为2，则ab 312+的最小值是（ ）A ．332 B ．33C. 2 D ．1 9.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为b a ,，记b a m +=，则（ ） A ．事件“2=m ”的概率为181 B ．事件“11>m ”的概率为181C.事件“2=m ”与“3≠m ”互为对立事件 D ．事件“m 是奇数”与“b a =”互为互斥事件10.把离心率215+=e 的双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 称之为黄金双曲线，若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆O ，则圆O 与黄金双曲线（ ）A ．无交点B ．有1个交点 C. 有2个交点 D ．有4个交点 11. 2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》，某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在],19,15[],14,10[],24,20[]34,30[],29,25[的爱看比例分别为%%,30%,20%,18%,10t ，现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段，如12代表17],14,10[代表]19,15[，根据前四个数据求得x 关于爱看比例y 的线性回归方程为)%68.4(-=∧kx y ，由此可推测t 的值为（ ） A ．33 B ．35 C. 37 D ．3912.设21,F F 为椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 与双曲线2C 的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点21,F MF M ∆是以线段1MF 为底边的等腰三角形，若双曲线2C 的离心率]4,23[∈e ，则椭圆1C 的离心率取值范围是（ ）A ．]95,94[B ．]83,0[ C. ]94,83[ D ．]1,95[第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.原命题“若3-≤x ，则0<x ”的逆否命题是 ． 14.比较两数的大小：)4(1000 )2(111111．15.抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，其准线l 与双曲线19422=-y x 相交于B A 、两点，若FAB ∆为等边三角形，则p 等于 ． 16.下列命题中①已知点)0,3(),0,3(B A -，动点P 满足||2||PB PA =，则点P 的轨迹是一个圆； ②已知3||||),0,2(),0,2(=--PN PM N M ，则动点P 的轨迹是双曲线右边一支； ③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；④在平面直角坐标系内，到点)1,1(和直线32=+y x 的距离相等的点的轨迹是抛物线； ⑤设定点)2,0(),2,0(21-F F ，动点P 满足条件)0(4||||21>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是椭圆.正确的命题是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知命题:p 直线032=+-y x 与抛物线)0(2≠=m mx y 没有交点；已知命题:q 方程12522=+-my m x 表示双曲线；若q p ∨为真，q p ∧为假，试求实数m 的取值范围.18. 已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于B A ,两点. （1）求证：OB OA ⊥；（2）当AB 的弦长等于10时，求k 的值.19. 某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.（1）求分数在)60,50[的频率及全班人数；（2）求分数在)90,80[之间的频数，并计算频率分布直方图中)100,80[间距形的高； （3）若要从分数在)100,80[之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在)100,90[之间的概率. 20. 已知圆4)1(:22=+-y x C ，点),(b a .（1）若a 是从3,2,1三个数中任取的一个数，b 是从2,1,0三个数中任取的一个数，求点),(b a 在圆C 内的概率；（2）若a 是从区间]3,1[任取的一个数，b 是从区间]2,0[任取的一个数，求点),(b a 在圆C 外的概率.21. 已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，O 为原点，P )55,2(-在椭圆上，线段1PF 与y 轴的交点N 满足)(211→→→+=OF OP ON .（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点2F 作直线l 交椭圆于B A ,两点，交y 轴于M 点，若→→→→==2221,BF MB AF MA λλ，求21λλ+.22.已知21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左、右焦点，离心率为21，N M ,分别是椭圆的上、下顶点，222-=⋅→→NF MF . （1）求椭圆E 的方程；（2）过)2,0(M 作直线与E 交于B A ,两点，求三角形AOB 面积的最大值（O 是坐标原点）.试卷答案一、选择题1-5: ACBCD 6-10:ADADD 11、12：BC二、填空题13.若0≥x ，则3->x 14. > 15. 23 16.①②③三、解答题17.解：若直线032=+-y x 与抛物线)0(2≠=m mx y 没有交点， 由032=+-y x 得32-=y x ，代入)0(2≠=m mx y 得)32(2-=y m y ， 得0322=+-m my y .则由01242<-=∆m m ，解得30<<m ，若方程12522=+-my m x 表示双曲线，则0)25(<-m m ， 得0<m 或25>m ， 若q p ∨为真，q p ∧为假，则q p ,一真一假，若p 真q 假，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<25030m m 得250≤<m ，若p 假q ，则⎪⎩⎪⎨⎧<>≤≥02503m m m m 或或得0<m 或3≥m ， 综上所述m 的取值范围是0<m 或3≥m 或250≤<m . 18.解：（1）由方程组⎩⎨⎧+=-=)1(2x k y x y ，消去x 后，整理得02=-+k y ky ，设0),,(),,(2211≠k y x B y x A ，由韦达定理知：121-=y y .因为B A 、在抛物线x y -=2上，222121,x y x y -=-=，所以212221x x y y =.则11212211-==⋅=⋅y y x y x y k k OB OA ， 所以OB OA ⊥.（2）连接AB ，由（1）知1,12121-=-=+y y ky y ， )1(4)1(114)(11||11||22212212212---+=-++=-+=k k y y y y k y y k AB 10411122=++=kk 则10)41)(11(22=++k k 即06)1(5)1(222=-+k k得0)11)(61(22=-+k k所以1,112±==k k.19.解：（1）分数在)60,50[的频率为08.010008.0=⨯， 由茎叶图知：分数在)60,50[之间的频数为2，∴全班人数为2508.02=. （2）分数在)90,80[之间的频数为32225=-； 频率分布直方图中)90,80[间的矩形的高为012.010/253=. （3）将)90,80[之间的3个分数编号为)100,90[,,,321a a a 之间的2个分数编号为21,b b ，在)100,80[之间的试卷中任取两份的基本事件为：),,(),,(3121a a a a ),,(),,(),,(),,(),,(2212322111b a b a a a b a b a ),,(),,(2313b a b a),(21b b 共10个，其中，至少有一个在)100,90[之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在)100,90[之间的概率是7.0107=. 20.解：（1）用数对),(b a 表示基本事件，则其所有可能结果有：),2,1(),1,1(),0,1(),0,3(),2,2(),1,2(),0,2()2,3(),1,3(共9个.事件=A {点),(b a 在圆C 内}，其结果为：)1,2(),0,2(),1,1(),0,1(共4个， 所以94)(=A P . （2）所有可能结果}2031|),{(⎩⎨⎧≤≤≤≤=Ωb a b a 表示的区域图中正方形ABCD ，事件={点),(b a 在圆C 外}表示的区域为图中阴影部分，所以412224122)(2π⋅=⨯⨯-⨯=B P.21.解：（1）因为)(211→→→+=OF OP ON 知N 为1PF 中点，而O 又为21F F 中点，所以ON 为P F F 21∆的中位线，又由于21F F ON ⊥，所以211F F PF ⊥，由P 坐标可知)0,2(2F ，所以P F F Rt F F 2121),0,2(),0,2(∆-中，由勾股定理得559||1=PF ，又因为55||2=PF ，所以552||||221=⇒=+=a PF PF a .易得椭圆的标准方程为：1522=+y x （2）设),0(),,(),,(32211y M y x B y x A 显然直线l 存在斜率， 故设l 的方程为：)2(-=x k y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=15)2(22y x x k y 联立得052020)15(2222=-+-+k x k x k15520,1520,022212221+-=+=+>∆k k x x k k x x ，又→→→→==2221,BF MB AF MA λλ ，将各点坐标代入得：2221112,2x x x x -=-=λλ 10415520)1520(2155202)1520(24)(22)(2222222222221212121221121-=++-++-+--+=+++--+=-+-=+∴k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x λλ. 22. 解：（1）由题知，),0(),,0(),0,(2b N b M c F -22,2222222-=-∴-=-=⋅∴→→b a b c NF MF ，①222243,21,21a c a b a c a c e =-=∴=∴==，② ①②联立解得3,422==b a ，∴椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）设),(),,(2211y x B y x A ，显然直线AB 斜率存在，设其方程为2+=kx y 。