2011届高考理科数学必会知识点

2011年高考数学高频考点3、数列命题动向数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，它蕴含着高中数学的四大思想及累加（乘）法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法等基本数学方法；本部分内容在高考中的分值约占全卷的10％~15％，其中对等差与等比数列的考查是重中之重．近年来高考对数列知识的考查大致可分为以下三类：（1）关于两个特殊数列的考查，主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式以及前n 项和公式等，多以选择题、填空题形式出现，难度不大，属于中低档题；（2）与其他知识综合考查，偶尔结合递推数列、数学归纳法、函数方程、不等式与导数等知识考查，以最值与参数问题、恒成立问题、不等式证明等题型出现，一般难度比较大，多为压轴题，并强调分类讨论与整合、转化与化归等数学思想的灵活运用；（3）数列类创新问题，命题形式灵活，新定义型、类比型和探索型等创新题均有出现，既可能以选择题、填空题形式出现，也可能以压轴题形式出现．押猜题5已知b a b a +,,为等差数列ab b a ,,,为等比数列，且,1)(log 0<<ab m 则m 的取值范围是（ ）A ．1>mB ．8>mC ．81<<mD ．810><<m m 或解析 依题意得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠⋅=++=.0,0,,22b a ab a b b a a b 解得⎩⎨⎧==.4,2b a 所以,8log )(log m m ab =由18log 0<<m 得.8>m 故选B.点评 本题考查等差数列和等比数列的概念和性质，将简单对数不等式的解法融入其中考查体现了学科内知识的交汇性.押猜题6（理）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,41=a,2)1(2--+=n n na S n n *).,2(N n n ∈≥ （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足：,41=b 且*),(,2)1(21N n b n b b n n n ∈---=+求证：*),2(N n n a b n n ∈≥>；（3）求证：.)11()11)(11)(11(31544332e b b b b b b b b n n <+++++ 解析 （1）当*,3N n n ∈≥时，,2)1(2--+=n n na S n n,2)2)(1(2)1(11---+-=--n n a n S n n 两式相减得：,221)1(1⨯----=-n a n na a n n n *).,3(11N n n a a n n ∈≥=-∴-.3,1222221=∴-+=+a a a a可得，⎩⎨⎧∈≥+==*).,2(1),1(4N n n n n a n （2）①当2=n 时，,31422212a b b =>=-=不等式成立.②假设当*),2(N k k k n ∈≥=时，不等式成立，即.1+>k b k 那么，当1+=k n 时， ,222)1(2222)1(2)1(21+≥=-+>->-+-=---=+k k k b k b b b k b b k k k k k k 所以当1+=k n 时，不等式也成立.根据①、②可知，当*,2N n n ∈≥时，.n n a b >（3）设).,0(,)1ln()(+∞∈-+=x x x x f 则,01111)(<+-=-+='xx x x f ∴函数)(x f 在),0(+∞上单调递减，.)1ln(),0()(x x f x f <+∴<∴当*,2N n n ∈≥时，,1111+=<n a b n n ,2111)2)(1(11)11ln(11+-+=++<<+∴++n n n n b b b b n n n n 21114131)11ln()11ln()11ln(14332+-+++-<++++++∴+n n b b b b b b n n ,312131<+-=n .)11()11)(11(314332e b b b b b b n n <+++∴+ 点评 本题是数列、数学归纳法、函数、不等式等的大型综合题，衔接自然，叙述流畅，毫无拼凑的痕迹，情景新颖，具有较好的区分度，入口较宽，要求学生具有一定的审题、读题能力，一定的等价变形能力，同时还要求学生具有较高的数学素养和数学灵气.该题已达到高考压轴题的水准.（文）已知函数)(x f 对任意实数q p ,都满足：),()()(q f p f q p f ⋅=+且.31)1(=f（1）当∈n N *时，求)(n f 的表达式；（2）设∈=n n nf a n )((N *),n S 是数列}{n a 的前n 项的和，求证：43<n S ； （3）设∈+=n n f n nf b n ()()1(N *),设数列}{n b 的前n 项的和为n T ，试比较nT T T T 1111321++++ 与6的大小. 解析 （1）,31)1(),1()()1(=⋅=+f f n f n f ∈=+∴n n f n f )((31)1(N *), )(n f ∴是以31)1(=f 为首项，以31为公比的等比数列， ,)31(31)(1-⨯=∴n n f 即∈=n n f n ()31()(N *). （2）,)31(n n n a = ,)31()31)(1()31(3)31(2311132n n n n n S +-++⨯+⨯+⨯=- ① ,)31()31)(1()31(3)31(2)31(1311432++-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ② ①－②得：132)31()31()31()31(3132+-++++=n n n n S 1)31(311])31(1[31+---=n n n ,)31(])31(1[211+--=n n n .)31(2)31(4343n n n n S --=∴ ∈n N *,.43<∴n S （3）,31)()1(n n f n nf b n =+= ,6)1(2)1(31+=+⨯=∴n n n n T n).111(61+-=∴n n T n ).111(6)11141313121211(61111321+-=+-++-+-+-=++++∴n n n T T T T n ∈n N *,.61111321<++++∴nT T T T 点评 本题是函数与数列的交汇综合题，体现了在知识交汇点处设计试题的高考命题思想.其中第（1）问所用的“赋值法”，第（2）问所用的“错位相减法”，第（3）问所用的“裂项相消法”等是高考必考的重要方法和技巧.。

课时考点2 导数的概念及应用高考考纲透析：（理科）(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。

(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

（文科）(1)了解导数概念的某些实际背景。

(2)理解导数的几何意义。

(3)掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。

(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。

(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。

高考风向标：导数的概念及运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。

高考试题选：1.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）2. 设曲线x e y x(-=≥0）在点M （t,e --t ）处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为S （t ）. （Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）求S （t ）的最大值.3. 已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=，（Ⅰ）求导数)(x f '；（Ⅱ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[--2，2] 上的最大值和最小值； （Ⅲ）若)(x f 在（—∞，—2）和[2，+∞]上都是递增的，求a 的取值范围.热点题型1: 函数的最值已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a ,（I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．变式新题型1：已知]2,1[,6)(3-∈+-=x b ax ax x f 的最大值为3，最小值为29-，求b a ,的值。

加油！O(∩_∩)O2011高考数学知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n（）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔== （3）德摩根定律：()()()()()()C CC C C C UU U U UUA B A B A B A B==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。

）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。

）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_____________。

[]（答：，）a a -11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） 13. 反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈⇔=-()b a[][]∴====---f f a f b a f f b f a b111()()()()，14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？[]（，，则（外层）（内层）y f u u x y f x ===()()()ϕϕ[][]当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。

2011年高考数学考试重点及大纲一、集合与简易逻辑1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．2．对集合，时，必须注意到“极端”情况：或；求集合的子集时是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集．3．对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为4．“交的补等于补的并，即”；“并的补等于补的交，即”．5．判断命题的真假关键是“抓住关联字词”；注意：“不…或‟即…且‟，不…且‟即…或‟”．6．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”．7．四种命题中“…逆‟者…交换‟也”、“…否‟者…否定‟也”．原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价．反证法分为三步：假设、推矛、得果．． 注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是…条件不变，仅否定结论‟所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题”8．充要条件二、函数1．指数式、对数式，，，，，，，，，，．2．（1）映射是“…全部射出‟加…一箭一雕‟”；映射中第一个集合中的元素必有像，但第二个集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且仅有下一个，但中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”．（2）函数图像与轴垂线至多一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可任意个．（3）函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像．3．单调性和奇偶性（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同．偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等．对于偶函数而言有：．（2）若奇函数定义域中有0，则必有．即的定义域时，是为奇函数的必要非充分条件．（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法（图像法）、特殊值法等等．（4）既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．（7）复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”．复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化。

2011高考数学知识点汇总精编——三角函数-高考生必备――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结三角函数1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。

2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示: (1α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上⇔2(k k αθπ=+∈Z ,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。

(答:25- ;536π-(2α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上⇔(k k αθπ=+∈Z . (3α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2(k k αθπ=-+∈Z . (4α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2(k k απθπ=-+∈Z . (5α终边与θ终边关于原点对称⇔2(k k απθπ=++∈Z .(6α终边在x 轴上的角可表示为:,k k Z απ=∈;α终边在y 轴上的角可表示为: ,2k k Z παπ=+∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称,则α=____________。

(答:Z k k ∈+,32ππ4、α与2α的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角,则2α是第_____象限角 (答:一、三5.弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22S lR R α==,1弧度(1rad57.3≈ . 如已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。

注意点及易错点归纳一．集合与简易逻辑1.注意集合的代表元素及元素的“确定性、互异性、无序性”。

例：集合A={x |)ln(x y -=}，集合{}65,62+-=x x B ，若A ∩B=∅，求x 的取值范围。

解：∵集合A 的代表元素为x (不为y ）∴)0,(-∞=A 0652≥+-⇒x x …① 又∵元素的“互异性”∴6652≠+-x x 052≠-⇒x x …②结合①②知，()()()()+∞⋃⋃⋃∞-∈,55,32,00,x 2.整数集Z 可以表示为{}整数，但不能表示为{}全体整数。

3.当讨论B A ⊆时，不要忘了讨论∅=A 的情况。

4.集合S 中A 的补集是有限集，则集合A 不一定是有限集。

{}0,,===+A C N A N S S 则例：5.点集与数集的交集是∅。

6. n 个元素组成的集合，其子集有n 2个，真子集有()12-n 个，非空子集有()12-n 个，非空真子集有()22-n 个。

7.)(B A C B C A C U U U ⋃=⋂ )(B A C B C A C U U U ⋂=⋃8.)()()(C A B A C B A ⋂⋃⋂=⋃⋂ )()()(C A B A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃ 9.)()()(B C A C B A C U U U ⋃=⋂ )()()(B C A C B A C U U U ⋂=⋃10.在原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，对角线命题必同真同假。

11.21≠≠y x 且⇔/3≠+y x ，即21≠≠y x 且是3≠+y x 的既不充分也不必要条件。

12.325≠≠⇒≠+y x y x 或13.设集合A 代表条件p ，集合B 代表条件q 。

若p 是q 的充分条件，则B A ⊆；又若p 是q 的必要条件，则A B ⊆。

即小范围推出大范围，大范围推不出小范围。

此时，亦不要忘了讨论∅=B A 或的情况。

14.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，不要混淆原命题的否命题和原命题的否定形式。

2011年高考数学复习重点知识点90条1． 已知集合A 、B ，当∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集时是否忘记∅？2． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n3． 反演律：B C A C B A C I I I ⋂=⋃)(，B C A C B A C I I I ⋃=⋂)(。

4． “p 且q ”的否定是“非p 或非q ”；“p 或q ”的否定是“非p 且非q ”。

5． 命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定。

6． 函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+，那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称()y f x a =+是偶函数；②若都有()()x b f x a f +=-，那么函数()x f y =的图象关于直线2b a x +=对称；函数()x a f y -=与函数()x b f y +=的图象关于直线2b a x -=对称； ③函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称；④若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是增函数；若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是减函数；⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；⑥函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的。

2011年高考数学_指数、对数函数—高考生必备基础知识指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场(★★★★★)设f (x )=log 2xx -+11,F (x )=x -21+f (x ). (1)试判断函数f (x )的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2)若f (x )的反函数为f －1(x ),证明：对任意的自然数n (n ≥3),都有f －1(n )>1+n n ; (3)若F (x )的反函数F －1(x ),证明：方程F －1(x )=0有惟一解.●案例探究［例1］已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：k OC =k OD .(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标.错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标.(1)证明：设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知：x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218x x x 3log 8x 2,所以OC 的斜率：k 1=118212log 3log x x x x =, OD 的斜率：k 2=228222log 3log x x x x =，由此可知：k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上. (2)解：由BC 平行于x 轴知：log 2x 1=log 8x 2 即：log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得：x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3，log 83).［例2］在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n位于函数y =2000(10a )x (0<a <1)的图象上，且点P n ,点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式；(2)若对于每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；(3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大？试说明理由.命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级题目.知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.解：(1)由题意知：a n =n +21,∴b n =2000(10a )21+n . (2)∵函数y =2000(10a )x (0<a <10)递减，∴对每个自然数n ,有b n >b n +1>b n +2.则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ,即(10a )2+(10a )－1>0,解得a <－5(1+2)或a >5(5－1).∴5(5－1)<a <10.(3)∵5(5－1)<a <10,∴a =7 ∴b n =2000(107)21+n .数列{b n }是一个递减的正数数列，对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1.于是当b n ≥1时，B n <B n －1,当b n <1时，B n ≤B n －1,因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1,由b n =2000(107)21+n ≥1得：n ≤20.8.∴n =20. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法有：(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.(3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )A.g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10－x +2)B.g (x )=21［lg(10x +1)+x ］,h (x )= 21［lg(10x +1)－x ］ C.g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2x D.g (x )=－2x ,h (x )=lg(10x +1)+2x 2.(★★★★)当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( )二、填空题3.(★★★★★)已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)02( )(log )0( 22x x x x .则f -－1(x －1)=_________.4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L 水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y =ae －nt ,那么桶2中水就是y 2=a －ae －nt ,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有8a . 三、解答题5.(★★★★)设函数f (x )=log a (x －3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，点Q (x －2a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点.(1)写出函数y =g (x )的解析式；(2)若当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1,试确定a 的取值范围.6.(★★★★)已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断21［f (x 1)+f (x 2)］与f (221x x +)的大小，并加以证明. 7.(★★★★★)已知函数x ,y 满足x ≥1,y ≥1.log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值范围.8.(★★★★)设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值. 参考答案难点磁场解：(1)由xx -+11>0,且2－x ≠0得F (x )的定义域为(－1，1)，设－1＜x 1＜x 2＜1,则F (x 2)－F (x 1)=(122121x x ---)+(11222211log 11log x x x x -+--+) )1)(1()1)(1(log )2)(2(212122112x x x x x x x x -++-+---=, ∵x 2－x 1>0,2－x 1>0,2－x 2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.因此F (x 2)－F (x 1)>0,F (x 2)>F (x 1),∴F (x )在(－1，1）上是增函数.(2)证明：由y =f (x )=x x -+11log 2得：2y =1212,11+-=-+y y x x x , ∴f －1(x )=1212+-x x ,∵f (x )的值域为R ，∴f -－1(x )的定义域为R . 当n ≥3时，f -1(n )>1221111221112121+>⇔+->+-⇔+>+-⇔+n n n n n n n n n n . 用数学归纳法易证2n >2n +1(n ≥3),证略.(3)证明：∵F (0)=21,∴F －1(21)=0,∴x =21是F －1(x )=0的一个根.假设F －1(x )=0还有一个解x 0(x 0≠21),则F -1(x 0)=0,于是F (0)=x 0(x 0≠21).这是不可能的，故F -1(x )=0有惟一解. 歼灭难点训练一、1.解析：由题意：g (x )+h (x )=lg(10x +1) ①又g (－x )+h (－x )=lg(10－x +1).即－g (x )+h (x )=lg(10－x +1) ②由①②得：g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2x . 答案：C2.解析：当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数.答案：B二、3.解析：容易求得f - －1(x )=⎩⎨⎧<-≥)1( 2)1( log 2x x x x ,从而： f －1(x －1)=⎩⎨⎧<-≥--).2( ,2)2(),1(log 12x x x x 答案：⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x 4.解析：由题意，5分钟后，y 1=ae－nt ,y 2=a －ae －nt ,y 1=y 2.∴n =51l n 2.设再过t 分钟桶1中的水只有8a ,则y 1=ae －n (5+t )=8a ,解得t =10.答案：10三、5.解：(1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x －2a ,y ′=－y .即x =x ′+2a ,y =－y ′. ∵点P (x ,y )在函数y =log a (x －3a )的图象上，∴－y ′=log a (x ′+2a －3a ),即y ′=log aa x -21,∴g (x )=log a ax -1. (2)由题意得x －3a =(a +2)－3a =－2a +2>0;a x -1=aa -+)3(1>0,又a >0且a ≠1,∴0＜a ＜1,∵|f (x )－g (x )|=|log a (x －3a )－log aax -1|=|log a (x 2－4ax +3a 2)|·|f (x )－g (x )|≤1,∴－1≤log a (x 2－4ax +3a 2)≤1,∵0＜a ＜1,∴a +2>2a .f (x )=x 2－4ax +3a 2在［a +2,a +3］上为减函数，∴μ(x )=log a (x 2－4ax +3a 2)在［a +2,a +3］上为减函数，从而［μ(x )］max =μ(a +2)=log a (4－4a ),［μ(x )］mi n =μ(a +3)=log a (9－6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解.由log a (9－6a )≥－1解得0＜a ≤12579-,由log a (4－4a )≤1解得0＜a ≤54, ∴所求a 的取值范围是0＜a ≤12579-. 6.解：f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(221x x +)2(当且仅当x 1=x 2时取“=”号)， 当a >1时，有log a x 1x 2≤log a (221x x +)2, ∴21log a x 1x 2≤log a (221x x +)，21(log a x 1+log a x 2)≤log a 221x x +, 即21[f (x 1)+f (x 2)］≤f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号) 当0＜a ＜1时，有log a x 1x 2≥log a (221x x +)2, ∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a 221x x +,即21［f (x 1)+f (x 2)］≥f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号）.7.解：由已知等式得：log a 2x +log a 2y =(1+2log a x )+(1+2log a y ),即(log a x －1)2+(log a y －1)2=4,令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0),k =u +v .在直角坐标系uOv 内，圆弧(u－1)2+(v －1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =－u +k 有公共点，分两类讨论. (1)当u ≥0,v ≥0时，即a >1时，结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2(1+2);(2)当u ≤0,v ≤0,即0＜a ＜1时，同理得到2(1－2)≤k ≤1－3.x 综上，当a >1时，log a xy 的最大值为2+22，最小值为1+3；当0＜a ＜1时，log a xy 的最大值为1－3，最小值为2－22.8.解：∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)( 21log x +3)≤0.∴－3≤21log x ≤－23.即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)－3,∴22≤x ≤8 即M ={x |x ∈［22,8］} 又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1.∵22≤x ≤8,∴23≤log 2x ≤3生于忧患，死于安乐《孟子•告子》舜发于畎亩之中，傅说举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士，孙叔敖举于海，百里奚举于市。

2011年高考数学总复习一、 函数1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。

二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。

用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()(（顶点式）。

2、 幂函数nmx y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数，m<n 时，其大致图象是3、 函数652+-=x x y 的大致图象是由图象知，函数的值域是)0[∞+，，单调递增区间是)3[]5.22[∞+，和，，单调递减区间是]35.2[]2(，和，-∞。

二、 三角函数1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=r y ，cos α=r x ，tg α=x y，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=yr 。

2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 22=+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ；倒数关系是：1=⋅ααctg tg ，1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα；相除关系是：αααcos sin =tg ，αααsin cos =ctg 。

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。

如：=-)23sin(απαcos -，)215(απ-ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。

4、 函数B x A y ++=)s i n (ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

2011高考数学总复习-高考生必读必会2011高考数学总复习（基础知识）-高考生必读必会23复习目标:1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.重点题型分析:例1．解关于x 的不等式:)()(232R a x a a a x ∈+<+解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a 2)<0 （下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a 2⇒a 2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 x ∈(a 2, a).（2）当a<a 2⇒a 2-a>0即a<0或a>1时，不等式的解为:x ∈(a, a 2)（3）当a=a 2⇒a 2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x 2<0或(x-1)2<0不等式的解为 x ∈∅.45④01000440002<⇒⎩⎨⎧><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><a a a a a a a a 或∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根，aa a aa a a x )1(12)1(22,1-±-=-±-=此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:))1(1,)1(1(a a a a a a ----+-.⑤φ∈⇒⎩⎨⎧≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<⇒⎩⎨⎧≤<a a a a a a a 1000440002∆综上:当0≤a<1时，解集为（-∞，+∞）. 当a>1时，解集为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . 当a=1时，解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞).当a<0时，解集为))1(1,)1(1(a a a a a a ----+-. 例3．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R)(西城2003’一模 理科）解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1]. (2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>12aa ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a.6当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在.② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<12a a ，即-2<a<0时，不等式解为]1,2[-a 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -.当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上:a=0时，x ∈(-∞,-1).a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a .-2<a<0时，x ∈]1,2[-a .a<-2时，x ∈]2,1[a -.a=-2时，x ∈{x|x=-1}.评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为:10:能不分则不分； 20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.例4．已知函数f(x)=cos 2x+asinx-a 2+2a+5.有最大值2，求实数a 的取值.7解:f(x)=1-sin 2x+asinx-a 2+2a+5.6243)2(sin 22++---=a a a x令sinx=t, t ∈[-1,1].则6243)2()(22++---=a a a t t f (t ∈[-1,1]). (1)当12>a 即a>2时，t=1，2533max=++-=a a y解方程得:22132213-=+=a a 或（舍）.(2)当121≤≤-a 时，即-2≤a ≤2时，2a t =,262432max=++-=a a y,解方程为:34-=a 或a=4（舍）. (3)当12-<a 即a<-2时， t=-1时，y max=-a 2+a+5=2 即 a 2-a-3=0 ∴ 2131±=a , ∵ a<-2, ∴2131±-=a 全都舍去.综上，当342213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2.例5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明:15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .证明:（1）当q=1时，S n =na 1从而 0)1()2(2121211212<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n（2）当q ≠1时，qq a S nn--=1)1(1， 从而8.0)1()1()1)(1(2122121221212<-=-----=-⋅++++n n n n n n n q a q q a q q a S S S由（1）（2）得:212++<⋅n n nS S S .∵ 函数xy 5.0log =为单调递减函数.∴ 15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S SS . 例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=ab， ∴ b=2.∴555222==+==a a a b a c e .（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或. 评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7．解关于x 的不等式 1512)1(<+--x x a . 解:原不等式 012)1(55<⇔+--x x a90)]2()1)[(2(022)1(012)1(<----⇔<--+-⇔<+--⇔a x a x x a x a x x a⎪⎩⎪⎨⎧>----<-⎪⎩⎪⎨⎧<---->-⎩⎨⎧<--=-⇔0)12)(2(01)3(0)12)(2(01)2(0)21)(2(01)1(a ax x a a a x x a x a 或或由(1) a=1时，x-2>0, 即 x ∈(2,+∞). 由(2)a<1时，012>--a a，下面分为三种情况. ①⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<012121a a a a a 即a<1时，解为)12,2(aa--. ②0012121=⇒⎩⎨⎧=<⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--<a a a aaa 时，解为∅.③ ⎪⎩⎪⎨⎧<--<2121a a a ⇒ ⎩⎨⎧><01a a 即0<a<1时，原不等式解为:)2,12(aa --.由（3）a>1时，aa --12的符号不确定，也分为3种情况.①⎩⎨⎧≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->012121a a a aa ⇒ a 不存在.②⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->012121a a aa a 当a>1时，原不等式的解为:),2()12,(+∞---∞ aa. 综上:10a=1时，x ∈(2,+∞).a<1时，x ∈)12,2(a a-- a=0时，x ∈∅.0<a<1时，x ∈)2,12(aa-- a>1时，x ∈),2()12,(+∞---∞ aa . 评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:10:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 30:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记. 课后练习:1．解不等式2)385(log 2>+-x x x2．解不等式1|)3(log ||log |3121≤-+x x3．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M. （1）当a=4时，求集合M:（2）若3∈M ，求实数a 的取值范围.4．在x0y 平面上给定曲线y 2=2x, 设点A 坐标为(a,0), a ∈R ，求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写成d=f(a)的函数表达式.参考答案:1. ），（），（∞+235321 2.]4943[， 3. (1) M 为），（），（2452 ∞- (2)),9()35,(+∞-∞∈ a 4. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==时当时当1||112)(a a a a a f d .2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。

2011届高考数学知识点总结1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .3.包含关系A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ .5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x NM f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m i n m a x m ax ()(),()(),()2b f x f f x f p f qa=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质 （1）n a =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rsa a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a am nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ). 40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s ()2(1s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d=||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量Ｍ =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为Ｍ=(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（４）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式 （1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0a x b yc ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA CBb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0A x B yC ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px = .102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB = ⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD = 且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD xAB yAC =+⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤o o）为异面直线a b ,所成角，,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅= (m为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅= 或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+ (当且仅当90θ= 时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB = =.135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式dd =d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯ . 151.排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 152.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+; （2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n nA A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 153.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ . 157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、...个相等，则其分配方法数有!...!!! (2)11c b a m C C C N m mn n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n = 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!!...21211m n n n n p n p n n n p C C C N m m=⋅=-.159．“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为1111()![(1)]2!3!4!!n f n n n =-+-+- . 推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!(1)()!(1)()!m m m m ppmm mmf n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--+--++--12341224![1(1)(1)]p m p m m m m m m mp m n n n n n nC C C C C C n A A A A A A =-+-+-+-++- .160．不定方程2n x x x m = 1+++的解的个数(1)方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）的正整数解有11m n C --个. (2) 方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）的非负整数解有 11n m n C +--个.(3) 方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）满足条件i x k ≥(k N *∈,21i n ≤≤-)的非负整数解有11(2)(1)m n n k C +----个.(4) 方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）满足条件i x k ≤(k N *∈,21i n ≤≤-)的正整数解有12222321(2)11121221(1)n m n m n k n m n k n m n kn n n n n n C C C C C C C +--+---+---+---------+-+- 个.161.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=. 162.等可能性事件的概率()mP A n=. 163.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．164.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 165.独立事件A ，B 同时发生的概率 P(A ·B)= P(A)·P(B).166.n 个独立事件同时发生的概率P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k kn k n n P k C P P -=-168.离散型随机变量的分布列的两个性质。

高考數學知識、方法、能力總結1. 對於集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

如：集合{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，lg |),(lg |lg |======中元素各表示什麼？ 2.的特殊情况。

本身和空集运算时，不要忘记集合进行集合的交、并、补∅ 注重借助於數軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性質：（1）{}；的所有子集的个数是，……，，集合n n a a a 221 （2）；，若B B A A B A B A ==⇔⊆（3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值範圍。

()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命題的四種形式及其相互關係是什麼？ （互為逆否關係的命題是等價命題。

）原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7. 對映射的概念瞭解嗎？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？ （一對一，多對一，允許B 中有元素無原象。

— 1 — 高中数学知识点精析高中数学 知识点精析2. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.注：特殊圆的方程：①与x 轴相切的圆方程222)()(b b y a x =±+-)],(),(,[b a b a b r -=或圆心②与y 轴相切的圆方程222)()(a b y a x =-+± )],(),(,[b a b a a r -=或圆心 ③与x 轴y 轴都相切的圆方程222)()(a a y a x =±+± )],(,[a a a r ±±=圆心 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422 F E D -+时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）.②方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.③圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A （用向量可征）.4. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔ 5. 直线和圆的位置关系：设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ；— 2 — 高中数学知识点精析圆心),(b a C 到直线l 的距离22BA C Bb Aa d +++=.①r d =时，l 与C 相切；附：若两圆相切，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++02222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线方程. ②d r <时，l 与C 相交；附：公共弦方程：设 有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D . ③d r >时，l 与C 相离.附：若两圆相离，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++02222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为圆心21O O 的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-0)()(222C Bx Ax r b y a x 用代入法，得关于x （或y ）的一元二次方程，其判别式为∆，则：l ⇔=∆0与C 相切； l ⇔∆0 与C 相交； l ⇔∆0 与C 相离.注：若两圆为同心圆则011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 相减，不表示直线.6. 圆的切线方程：圆222r y x =+的斜率为k 的切线方程是r k kx y 21+±=过圆022=++++F Ey Dx y x上一点),(00y x P 的切线方程为：0220000=++++++F y y E x x Dy y x x . ①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出⇒k 切线方程.7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：:0:222222111221=++++=++++F y E x D y x C F y E x D y xC— 3 — 高中数学知识点精析ABCD 四类共圆. 已知O Θ的方程022=++++F Ey Dx y x …① 又以ABCD 为圆为方程为2))(())((k b x y y a x x x A A =--+--…②4)()(222b y a x R A A -+-=…③，所以BC 的方程即③代②，①②相切即为所求.第四部分 三角函数1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|ββ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{Z k k ∈+⨯=,45180|ββ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域— 4 — 高中数学知识点精析（一）基本关系公式组二 公式组三x x k x x k x x k x x k c o t)2c o t (t a n )2t a n (c o s)2c o s (sin )2sin(=+=+=+=+ππππxx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x c o t)2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ x x x x x x x x c o t)c o t (t a n )t a n(c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ （二）角与角之间的互换公式组一 公式组二βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n 22s i n= βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2t a n 1t a n 22t a n -=公式组一sin x ·csc x =1tan x =xxcos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =x x sin cos 1+tan 2x =sec 2xtan x ·cot x =1 1+cot 2x =csc 2x =1— 5 — 高中数学知识点精析βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2c o s12s i n αα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2c o s12c o s αα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五 2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan1cos 22αα+-= 2tan 12tan 2tan 2ααα-=42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-— 6 — 高中数学知识点精析注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则(f y -=. ②x y sin =与x y cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .2tanxy =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)c o s(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,21ππ+k ）；)ta n (ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα. ⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].— 7 — 高中数学知识点精析⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=Tx y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（212cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩ab b a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22.第五部分 向量与解三角形1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.注意：①若b a,为单位向量，则b a=. （⨯） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向.②若b a=，则a ∥b . （√）2. ①()aμλ=()aλμ ②()a a aμλμλ+=+ ③()b a b aλλλ+=+④设()()R y x b y x a ∈==λ,,,,2211 ()2121,y y x x b a ++=+()2121,y y x x b a --=-()21,y x a λλλ= 2121y y x x b a +=⋅ 2121y x a += （向量的模，针对向量坐标求模）⑤平面向量的数量积：θcos b a b a ⋅=⋅ ⑥a b b a⋅=⋅ ⑦()()()b a b a b aλλλ⋅=⋅=⋅ ⑧()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+注意：①()()c b a c b a⋅⋅=⋅⋅不一定成立；cb b a ⋅=⋅c a=.y=|cos2x +1/2|图象— 8 —②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.③长度为0的向量叫零向量，记0 ，0 与任意向量平行，0的方向是任意的，零向量与零向量相等，且00=-. ④若有一个三角形ABC ，则0；此结论可推广到n 边形.⑤若a n a m=（R n m ∈,），则有n m =. （⨯） 当a等于0时，0==a n a m ，而n m ,不一定相等.⑥a ·a=2||a ，||a =2a（针对向量非坐标求模），||b a⋅≤||||b a⋅. ⑦当0 ≠a 时，由0=⋅b a不能推出0 ≠b ，这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b=0. ⑧若∥，∥，则∥（×）当等于时，不成立.3. ①向量b与非零向量．．．．a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a bλ=（平行向量或共线向量）.当,0 λ与共线同向：当,0 λ与共线反向；当则为,与任何向量共线.注意：若b a ,= （×）若是的投影，夹角为θ，则=⋅θcos ，=θcos （√）②设a=()11,y x ，()22,y x b =a∥b⇔=-⇔01221y x y x b a b a =⋅⇔=λa⊥b 001221=+⇔=⋅⇔y y x x b a③设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则A 、B 、C 三点共线⇔∥⇔=λ（0≠λ）⇔（1212,y y x x --）=λ（1313,y y x x --）（0≠λ） ⇔（12x x -）·（13y y -）=（13x x -）·（12y y -） ④两个向量a、b 的夹角公式：222221212121cos y x y x y y x x +⋅++=θ⑤线段的定比分点公式：（0≠λ和1-） 设 P 1P =λPP 2 （或P 2P λ1P P ），且21,,P P P 的坐标分别是),(),,(,,2211y x y x y x ）（，则推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y B— 9 — 高中数学知识点精析推广2λMB则λλ++=1PB PA （λ对应终点向量）.三角形重心坐标公式：△ABC的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G,： 注意：在△ABC 中，若0为重心，则=++，这是充要条件. ⑥平移公式：若点P ()y x ,按向量a=()k h ,平移到P‘()'',y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=k y y hx x '' 4. ⑪正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则R CcB b A a 2s i n s i n s i n ===. ⑫余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab a b c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222⑬正切定理：2tan2tanB A BA ba b a -+=-+⑭三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式]⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.如图：图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=Pr图2中的I 为S △ABC 的一个旁心，S △=1/2（b+c-a ）r a图1 图2 图3图4 附：三角形的五个“心”；B I A BCDEF IAB C DE F r ar ar abc aa b c C ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x— 10 — 高中数学知识点精析重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑮已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即2cb a ++] 则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ） ②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=c s -=1/2（a+b-c ）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =c b a abc b a ++=-+2（如图3）. ⑯在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！⑰在△ABC 中，D 是BC上任意一点，则DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222. 证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=① 在△ABC中，由余弦定理有 BCAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222②，②代入①，化简 可得，DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222（斯德瓦定理） ①若AD 是BC 上的中线，2222221a cb m a -+=； ②若AD 是∠A 的平分线，()a p p bc cb t a -⋅+=2，其中p 为半周长； ③若AD 是BC 上的高，()()()c p b p a p p ah a ---=2，其中p 为半周长.⑱△ABC 的判定：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A + ∠B =2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A + ∠B ＜2π 2c ＞⇔+22b a △ABC为锐角△⇔∠A + ∠B ＞2π 附：证明：abc b a C 2cos 222-+=，得在钝角△ABC 中，222222,00cos c b a c b a C +⇔-+⇔⑲平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.)2=DACB图5— 11 — 高中数学知识点精析第六部分 数列①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).⑬看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )① 注①：i. ac b =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即ac b =、b 、c 等比数列.ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要.— 12 — 高中数学知识点精析注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个.③n n cq a =(q c ,为非零常数).④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列. ⑭数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22122 →2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --；②若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1+=n n a a S S 偶奇；③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇得到所求项数到代入12-⇒n n .3. 常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n [注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()11095-=⇒n n a .4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：⑪生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：.)1(1])1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-— 13 — 高中数学知识点精析⑫银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+. ⑬分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m mm mm m mr r ar x r r x r a x r x r x r x r a 5. 数列常见的几种形式：⑪n n n qa pa a +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②若21x x ≠可设n n n x c x c a 2211.+=，若21x x =可设nn x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c .⑫r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.①转化等差，等比：1)(11-=⇒-+=⇒+=+++P rx x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=⇒--1111)(1)1( r r P a P n n +++⋅+=--Pr 211 .③用特征方程求解：⇒⎭⎬⎫+=+=-+相减，r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=⇒-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a ）（. ④由选代法推导结果：PrP P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=--111111112121）（，，. 6. 几种常见的数列的思想方法：⑪等差数列的前n 项和为n S ，在0 d 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法：— 14 — 高中数学知识点精析一是求使0,01 +≥n n a a ，成立的n 值；二是由n d a n dS n )2(212-+=利用二次函数的性质求n 的值.⑫如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (2)1)12,...(413,211n n -⋅ ⑬两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.第七部分 不等式1. ⑪平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：2112a b a b+≥+（当a =b 时取等）特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ ⑫含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： ①3322a b a b ab +≥+②3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---⇒3333a b c abc ++≥（等式即可成立0 c b a ++，时取等或0=++==c b a c b a ）；3a b c ++≤⇒33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭3333a b c ++≤ 2)(31c b a ac ba ab +++≤++（时取等c b a ==）⑬绝对值不等式：123123(0)a a a a a a ab a b a b ab ++≤++-≤-≤+≥时,取等⑭算术平均≥几何平均（a 1、a 2…a n 为正数）：12n a a a n+++≥ （a 1=a 2…=a n 时取等）⑮柯西不等式：设),,,2,1(,n i R b a i i =∈则))(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++— 15 — 高中数学知识点精析等号成立当且仅当nn b a b a b a === 2211时成立.（约定0=i a 时，0=i b ） 例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++. ⑯常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n nn n n n n n n n-==-≥++--1)n ==≥2. 常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==- ③111||||||()2x x x xxx+=+≥与同号，故取等第八部分 导数1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为―改变量‖，因为x ∆可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑪函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续.— 16 — 高中数学知识点精析事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑫如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒ ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑪函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则— 17 — 高中数学知识点精析)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.⑫常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x c o s )(s i n'= 1')(-=n n nx x （R n ∈） x x s i n )(c o s '-=— 18 — 高中数学知识点精析II. x x 1)(ln '= e xx a a l o g 1)(l o g '=x x e e =')( a a a x x ln )('=III. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=.②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''第九部分 立体几何 一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向） 二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.— 19 — 高中数学知识点精析4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[)180,0∈θ） （直线与直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角() 90,0∈θ）（直线与平面所成角[] 90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”） [注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交） 3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）12方向相同12方向不相同— 20 — 高中数学知识点精析4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ●若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA . ● 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） 5. ⑪垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）] ⑫射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”） 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系. 5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OBPM OA PM⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ为锐角取加，POAaP αβθM AB O— 21 — 高中数学知识点精析θ为钝取减，综上，都取加则必有⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ）7. ⑪最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图）⑫最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱.⑪①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑫{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}.{直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑬棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是．．．．．．矩形．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑭平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1co s co s co s 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面图1θθ1θ2图2— 22 — 高中数学知识点精析可以为矩形）②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行）③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件） 2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.⑪①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α）附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =.注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑫棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. ⑬特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面l ab c。

贾士伟编2011.4目录第一部分三角函数、平面向量 (1)第二部分数列与极限 (12)第三部分立体几何 (24)第四部分排列组合、概率与统计 (45)第五部分解析几何 (54)第六部分函数与导数 (70)第七部分其它部分 (80)第一章三角函数、平面向量一、考纲要求（一）三角函数1、考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα，tanαcotα=1．正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．2、考试要求：（1）了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．（2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．（二）平面向量1、考试内容：向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离．平移．2、考试要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（6）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．二、必记公式（一）三角函数部分1、同角三角函数的基本关系平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα=倒数关系：1cot tan =⋅αα口诀：奇变偶不变，符号看象限；用途是转化形如2k α±的角.3、两角和与差的正弦、余弦和正切⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-=-⋅-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⋅=-⋅-⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin( 4、倍角公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=⋅=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin5、辅助角公式：sin cos )a b αααϕ±=±，其中0,0,a b ϕ>>为锐角，且tan b aϕ=其目的是统一函数名称.6自己对照课本准确填写. （二）三角形部分 1、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径). 2、余弦定理：22222222()22cos ,cos b c bc a b c a a b c bc A A +--+-=+-==等，3、面积公式：1111sin sin sin 2222a S ah ab C bc A ca B ====.（三）向量部分1、几个概念：零向量、单位向量(与AB共线的单位向量是||AB AB ±)、平行(共线)向量(无传递性，是因为有0)、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a在b 上的投影是cos ,a b a a b b⋅=<>=∈R).2、两非零向量平行(共线)的充要条件//a b a b λ⇔= 22()(||||)a b a b ⇔⋅=12120x x y y ⇔+=.两个非零向量垂直的充要条件0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-12120x x y y ⇔+=.特别：零向量和任何向量共线. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!3、三点A B C 、、共线⇔ AB AC、共线；向量 PA PB PC 、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=；中点坐标公式121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 122MP MP MP P +=⇔ 为12PP 的中点； 设ABC ∆三顶点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则重心123123(,)33x x x y y y G ++++. 4、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，cos ||||a b a b θ⋅=注意：,a b <>为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向； ,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <>为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向 0a b ⋅< 是,a b <>为钝角的必要非充分条件.5、三角形的四心：（1）1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心；特别0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心. （2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；（3）()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的内心. （4）222PA PB PC P ==⇔ 为ABC ∆的外心；三、经典回放（一）三角函数的概念、图象和性质例1、（2011届五校第一次联考）已知：33(cos ,sin ),22a x x = (cos ,sin ),22x xb =-3,.22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(1)+的取值范围；(2)求：函数x x f ++=sin 2)(的最小值.【解】(1) ||a b +==20,12c o s 1,32≤+≤∴≤≤-≤≤x x ππ(2)()2sin 2sin 2cos f x x x x ==-)4x π=-由5444x πππ≤-≤，得当32x π=时，()f x 取得最小值 2.-练习、 已知向量3(sin ,),(cos ,1).2a xb x ==-（1）当//a b 时，求22cos sin 2x x -的值；（2）求b b a x f ⋅+=)()(在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）2013；（2）1[]22-例2、在ABC ∆中，1,2,AB AC BC ==∈，记AB AC 与的夹角为θ.（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数2()2sin ()24f πθθθ=+-的最大值和最小值.【解】(1)由余弦定理知：2222125cos 2124a a θ+--==⨯⨯，又a ∈，所以10cos 2θ≤≤，又0[,]32ππθπθ∈⇒∈（，）即为θ的取值范围；（Ⅱ）2()2sin ()22sin(2)143f ππθθθθ=+-=-+，因为2[,]23233ππππθθ∈⇒≤≤，所以2sin(2)13πθ≤-≤，因此max ()3f θ=，()1f min θ=+.例3、(2009陕西卷理) 已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[,]122x ππ∈，求()f x 的值域. 【解】（1）由最低点为2(,2)3M π-得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π，即T π=，222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故（2）7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈ 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=即2x π=时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]例4、（2010天津理）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值.【解】（1）由2()cos 2cos 1f x x x x =+-，得2()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+所以函数()f x 的最小正周期为π因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，又(0)1,2,162f f f ππ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为-1（Ⅱ）由（1）可知00()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭又因为06()5f x =，所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦从而04cos 265x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭所以0000cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2、解三角形例5、在ABC ∆中，已知内角A BC 、、所对的边分别为a b c 、、，向量m (2sin ,B =，n 2(cos 2,2cos 1)2BB =-，且m //n . （1）求锐角B 的大小；（2）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值.【解】（1）tan 2B =3B π=（2）22222cos 422a c b ac b B ac ac ac+--=≥⇒≤ 练习1、 （2011贵阳适应性考试一）已知A B 、是ABC ∆的两个内角，c o s s i n 22A B A B a i j +-=+ ，其中i j 、为相互垂直的单位向量，若||a =（1）试问tan tan A B 是否为定值？若是，请求出；否则请说明理由.（2）求tan C 的最大值，并求此时三角形的三个内角A B C 、、的大小.【答案】（1）1tan tan 3A B =（2）max (tan )C =，此时2.63A B C ππ===, 练习2、（2009全国Ⅱ）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B .【答案】由3cos()cos 2A CB -+=，易想到先将()B AC π=-+代入3cos()cos 2A C B -+=得3cos()cos()2A C A C --+=.然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin4A C =；又由2b ac =，利用正弦定理进行边角互化，得2sin sin sin B A C =，进而得sin 2B =.故233B ππ=或.大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23B π=时，由1cos cos()2B AC =-+=-，进而得3cos()cos()212A C A C -=++=>，矛盾，应舍去.也可利用若2b a c =则b a b c ≤≤或从而舍去23B π=.不过这种方法学生不易想到.练习3、 （2010全国Ⅱ）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ．【答案】25练习4、如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数)20()sin(πϕϕω<≤++=B x A y ，则温度变化曲线的函数解析式为 .【答案】310sin()2084y x ππ=++ 练习5、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）A 、向左平移4π个长度单位 B 、向右平移4π个长度单位 C 、向左平移2π个长度单位 D 、向右平移2π个长度单位【答案】B练习6、在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， AC 的取值范围为【答案】2， )3,2(练习7、如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，BC BD，1AD =，则AC AD ⋅ = .BC练习8、（2009全国Ⅱ）若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为A ．16B.14C.13D.12【答案】6tan tan[(]ta )6446n y x y x x πππππωωω⎛⎫⎛⎫=+→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位164()662k k k Z ππωπωπ+=∴=+∈∴-， 又min102ωω>∴= .故选D 例6、（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若3ABC S ∆=求,a c . 【解】(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立).即 2C A B =+, 得3C π=，所以.23B A π+=又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=（舍去） 得5,412A B ππ==(2)1sin 32ABC S ac B ∆===+ 又sin sin a c A C =, 即22=，得a c ==例7、（2007全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．【解】（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5s i n 3x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y 取得最大值 例8、（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b【解】解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C = 则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc +-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+…………………………………①又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB C c=，故4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =.第二章 数列与极限一、考纲要求 （一）数列 1、考试内容： 数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 2、考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题. （二）极限 1、考试内容：数学归纳法．数学归纳法的应用． 数列的极限．函数的极限．极限的四则运算．函数的连续性． 2、考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则．会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 二、必记公式1、数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n 项和公式的关系：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥(必要时请分类讨论).注意：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ；121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ . 2、等差数列{}n a 中：（1）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-；p q m n p q m n a a a a +=+⇒+=+. （2）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22n d dS n a n =+-， 3、等比数列{}n a 中：（1）11n n a a q -=n m m a q -=； p q m n p q m n b b b b +=+⇒⋅=⋅.（2）111 (1)(1) (1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩.三、经典回放（一）数列通项公式的求法数列是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点.高考试卷中一般都有一道关于数列的解答题，而数列解答题中求通项公式是一个常考内容.下通过典型例题介绍常见数列通项公式的求法. 1、公式法（1）如果已知一个数列是等差（等比）数列，那么就可以直接利用公式进行求解； （2）如果已知数列{}n a 的前n 项和n S ，那么就可以利用11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧⎪=⎨=⎪⎩进行求解，需要注意的是，在用这个公式时不要漏掉1n =的情况，并认真分析是分段写还是综合写. 2、迭代法由递推公式求通项公式，常用到迭代法（包括迭加法、迭乘法）. （1）迭加法对于形如1()n n a a f n -=+的数列，可以利用恒等式112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ，将n a 转化为相邻两项差的关系，进而求解，这种方法称为迭加法.例1、在数列{}n a 中，1112,ln(1)n n a a a n+==++，求n a 【解】由题意可得：1ln,21n n na a n n --=≥- 1122112()()()n n n n n n a a a a a a a a ---∴≥=-+-++-+ 当时12lnln ln 212112ln()2121ln 2n n n n n n n n n -=++++---=+--=+ 可验证当1n =时，也成立， 故ln 2,*n a n n N =+∈ （2）迭乘法对于形如1()n n a a f n -= 的数列，可以利用迭乘恒等式121121n n n n n a a a a a a a a ---=，将n a 转化为相邻两项除的关系，进而求解，这种方法称为迭乘法.例2、已知数列{}n a 中，111,(2)1n n a n a n a n -==≥-，求n a 【解】 当2n ≥时，121121n n n n n a a a a a a a a ---=121121n n n n n -==-- 可验证当1n =时，也成立，故,*n a n n N =∈注意：在使用迭代法时一定要验证1n =的情形. 3、构造法当数列中的递推关系比较复杂，不能利用公式法或迭代法时，我们可以考虑构造一个新的数列，先求出新数列的通项，再求原数列的通项公式，这种方法称为构造法.分析高考真题可以发现，有些构造法是我们必须会的，有些难度的构造法题目会给与提示，下面举例说明. （1）待定系数法对于形如1(,n n a pa q p q -=+是常数）的数列，可以构造一个等比数列{}n a λ+（其中，λ可以通过待定系数法求得），先求出n a λ+，进而得到通项n a . 例3、已知数列{}n a 中，111,323n n a a a +==+，求n a 【解】由1323n n a a +=+得，1213n n a a +=+………………………………① 设12()3n n a t a t ++=+，整理得12133n n a a t +=-……………………②将②与①对比得3t =-因此{3}n a -可以看作首项是132a -=-，公比为23的等比数列.所以1232()3n n a --=- ，故1232()3n n a -=- （2）取倒数法对于形如1nn n ra a pa q+=+的数列，两边取倒数变形为111n n n n pa q q p a ra r a r ++==+ ，构造新数列1{}na ，就可以转化为待定系数法求数列通项. 例4、由111,(*)31nn n a a a n N a +==∈+给出的数列{}n a 的第34项为 . 【解】由131n n n a a a +=+得：1113n na a +=+所以1{}n a 是首项为111a =，公差为3的等差数列； 于是34111(341)3a a =+- ，解得341100a =. （3）代换法对于形如：1()(0)n n a pa f n p +=+≠的数列，可以两边同时除以1n p +，变形为：111()n n n n n a a f n p p p +++=+，把{}nna p 看作新数列，通常就可以用迭加法求得通项. 例5、在数列{}n a 中，111,22n n n a a a +==+，求n a 【解】等式122n n n a a +=+两边同时除以12n +得：111222n n n n a a ++=+ 所以数列{}2n na 是首项为11122a =，公差为12的等差数列； 于是1111(1)2222n n a a n =+-= ，故12n n a n -= . （4）其他构造方式通过构造新数列求通项的方法有多种，一般来说，对于高考只要掌握上面六种就行了，其他类型的构造法一般题目都会给与提示.例6、已知数列{}n a 满足12211,3,32n n n a a a a a ++===-,*()n N ∈,（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式. 【解】Ⅰ）证明：由2132n n n a a a ++=-得2112()n n n n a a a a +++-=-所以{}1n n a a +-是公比为1的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ），1121()22n n n n a a a a -+-=-= ，用迭加法得：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+121222121n n n--=++++=- 4、数学归纳法当一个数列的递推关系很复杂，用上面的各种方法都行不通时，可以考虑写出数列的前几项，再猜想数列的通项公式，最后用数学归纳法证明，这种先猜后证的方法也是重要的方法.例7、在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列.试求{}{},n n a b 的通项公式.【解】由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． 用数学归纳法证明：①当1n =时，由上可得结论成立． ②假设当n k =时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当1n k =+时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．所以当1n k =+时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =+=+，对一切正整数都成立．在上面总结了常见数列通项公式的求法：公式法，迭代法，构造法，数学归纳法等，事实上，求数列通项是一个难点，因为求通项还有其他多种方法，不过对于解决中档的高考题，上面的方法足矣. （二）数列求和的常用方法（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），②等比数列求和公式（三种形式），③1123(1)2n n n ++++=+ ，22221123(1)(21)6n n n n ++++=++ ，2135(21)n n ++++-= ，2135(21)(1)n n +++++=+ .（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++， ②1111()()n n k k n n k =-++， ③2211111()1211k k k k <=---+， 211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++--， ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++ ，⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++,⑥-<<,⑦1(2)n n n a S S n -=-≥. （三）典型例题例8、在数列{}).,2(322,311*∈≥++=-=-N n n a a a a n n n n 且中， （1）的值；求32,a a （2）设{}是等差数列；证明：n nn n b N n a b ),(23*∈+=（3）求数列{}..n n S n a 项和的前【解】（1）),,2(322,311*∈≥++=-=-N n n a a a n n n 且 1322212=++=∴a a.13322323=++=a a （2）证法一：对于任意,*∈N n ()[]3221232311111--=+-+=-+++++n n n n n n n n n a a a a b b =()[]13322111=-+++n n ，∴数列{}n b 是首项为0233231=+-=+a ，公差为1的等差数列. 证法二：（等差中项法） （3）由（2）得，,1)1(023⨯-+=+n a nn ).(32)1(*∈-⋅-=∴N n n a n n()[]321)322()321(332-⋅-++-⨯+-⨯+-=∴n n n S ， 即().321232221432n n S n n -⋅-++⨯+⨯+⨯= 设(),21232221432n n n T ⋅-++⨯+⨯+⨯= 则(),2123222121543+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n T 两式相减得，()1432212222+⋅--++++=-n n n n T,2)1(21)21(411+-⋅----=n n n 整理得，,2)2(41+⋅-+=n n n T从而).(32)2(41*+∈-⋅-+=N n n n S n n练习、 数列{}n a 中，111,(*)2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，其前n 项和为n S . （1）设1n nb na =，求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求lim .n n S →∞【答案】（2）111n S n =-+，lim 1.n n S →∞= 例9、（2008全国Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．【解】（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+， 由此得1132(3)n n n n S S ++-=-．因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．①（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ， 于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．例10、（2010全国Ⅱ）已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+ ．（Ⅰ）求limnn na S →∞；（Ⅱ）证明：12222312n n a a a n+++…＞． 【解】（Ⅰ）1limlim n n n n n n n a S S S S -→∞→∞-=1lim(1)n n n S S -→∞=-11lim n n nS S -→∞-，1111limlim 133n n n nS n S n -→∞→∞-=⋅=+，所以2lim3n n na S →∞=.（Ⅱ）当1n =时，112631a S ==>； 当1n >时，1222212n a a a n +++ 112122212n n S S a S S n ---=+++ 121222222221111111()()()1223(1)n n nS S S S S n n n n -=-⋅+-⋅++-⋅+⋅>- 2233.n n n n n+=⋅> 所以，当1n ≥时，12222312nn a a a n +++…＞．例11、（2009全国Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式.【解】（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=- ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列． （II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n n a n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅ 例12、（2009全国Ⅰ）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++（I ）设n n ab n=，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 【解】（I ）由已知有1112n n n a a n n +=++112n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1122n n b -=-(*n N ∈) （II ）由（I ）知122n n n a n -=-, ∴n S =11(2)2nk k k k -=-∑111(2)2n nk k k kk -===-∑∑而1(2)(1)nk k n n ==+∑,又112nk k k-=∑是一个典型的错位相减法模型，易得1112422nk n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 练习、（2009重庆）设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．【答案】12n +例13、（2007全国Ⅱ）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数． 【解】（1）由132342n n a a n --==，，，，…， 整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一： 由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n n b b +-2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，， 因为132nn a a +-=，所以1n n b a ++==．由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭两边开平方得32na a -<即 1n n b b n +<，为正整数．第三章 直线、平面、简单几何体一、考纲要求 1、考试内容：平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理． 两个平面的位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积． 直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离． 直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球． 2、考试要求：（1）理解平面的基本性质.会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形的直观图．能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系．（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理．掌握三垂线定理及其逆定理． （3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．（4）了解空间向量的基本定理．理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算．（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念．对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离．掌握直线和平面垂直的性质定理．掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理． （8）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念． （9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图． （10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图． （11）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式、体积公式． 二、必记公式（一）空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面 1、平行直线①公理4：平行于同一直线的两条直线②等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 2、异面直线：①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做②公垂线：和两条异面直线 的直线叫做两条异面直线的公垂线。