【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第四章 三角函数、解三角形章末检测 理 新人教A版

第四章 三角函数与三角形一．基础题组1.（安徽省合肥市第八中学2016届高三阶段考试、理、7）已知2sin 21cos 2αα=+，则tan 2α=（ ）A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或0 【答案】D考点：倍角公式的应用。

2.(安徽省示范高中2016届高三第一次联考、理、5）若点()16,tan θ在函数2log y x =的图像上，则2sin 2cos θθ=（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知2tan log 164θ==，所以2sin 22sin 2tan 8cos cos θθθθθ===，故选D. 考点：倍角公式.3.(东北师大附中、吉林市第一中学校等2016届高三五校联考、理、6）若函数cos 2y x =与函数sin()y x ϕ=+在[0,]2π上的单调性相同，则ϕ的一个值为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】D 【解析】试题分析：易知x y 2cos =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，)sin(ϕ+=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈+ππππϕk k x 223,22，Z k ∈，经验证，得2πϕ=符合题意,故选D.考点：三角函数的单调性.4.（广东省广州六中等六校2016届高三第一次联考、理、3）已知coscos tan sin sin ααααα+=+则的值为 （ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．12D ．2【答案】D 【解析】试题分析：∵sin cos αα+=，∴2(sin cos )2αα+=，∴1sin cos 2αα=， ∴cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos ααααααααα+=+==. 考点：平方关系、商数关系.5.（广东省广州市荔湾区2016届高三调研测试、理、3）在ABC ∆中，45,105,o o A C BC ∠=∠== 则边长AC 为1- B.1 C.2 D. 【答案】B考点：正弦定理.6.（广东省惠州市2016届高三调研、理、5）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3,2,a b c A ===∠则＝（ ）． （A ）O 30 （B ）O 45 （C ）O 60 （D ）O 90 【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理2229471cos 22322b c a A bc +-+-===⨯⨯，又由(0,)A π∈，得603A π==︒，故选C ．考点：余弦定理.7.(海南省嘉积中学2015届高三下学期测试、理、5）若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】D 【解析】 试题分析：原式=6tan 2cos cos sin 22==αααα考点：三角函数的化简名师点睛：对于这类分式形式，上下是关于正弦和余弦的齐次形式，考虑上下同时除以x n cos ，转化为x tan 的形式求值.8.（广东省广州市荔湾区2016届高三调研测试、理、6）将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图形关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为B.12C.12-D.【答案】D考点：函数图像的变换，函数在某个区间上的最值问题.9.（黑龙江省大庆铁人中学2016届高三第一阶段考试、理、4）角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于( )C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：∵角α的终边过点(1,2)P -，∴||r OP ==，∴sinα== 考点：任意角的三角函数的定义.10.（广东省广州市荔湾区2016届高三调研测试、理、13）已知(0,)απ∈，4cos 5α=，则sin()πα-= ．【答案】35【解析】试题分析：根据同角三角函数关系式，结合角的取值范围，可求得3sin 5α=，根据诱导公式，可以求得3sin()sin 5παα-==. 考点：同角三角函数关系式，诱导公式.11.（广东省惠州市2016届高三调研、理、13）若3sin()25πα+=，则cos 2α= ． 【答案】725- 【解析】 试题分析：33sin()cos 255παα+=⇒=，则cos 2α=272cos 125α-=-． 考点：诱导公式、倍角公式与同角三角函数关系.12.（吉林省实验中学2016届高三上学期第一次模拟、理、17）四边形ABCD 的内角A 与内角C 互补，132AB ,BC ,CD AD ====.（Ⅰ）求角C 的大小及线段BD 长；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.【答案】（1）060C =，BD =；（2）试题解析：（1）由题设及余弦定理得：2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-∙∙=-，①，2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-∙∙=+，②，由①②得：1cos 2C =，故060C =，BD =（2）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =∙∙+∙，011(1232)sin 6022S =⨯⨯+⨯⨯=.考点：余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积. 13.（宁夏银川一中2015届高三模拟考试、理、17）如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？ 【答案】（1）302；（2）1339+ 【解析】试题分析：（1）（2）关键构造三角形，利用正余弦定理解决；(1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，所以AB =3在Rt △P AC 中，∠APC =30°，所以AC =33，在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°，利用勾股定理即可求得BC 长度；(2)∠DAC =90°－60°=30°，sin ∠DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ∠ACB =101033303==BCABsin ∠CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ∠ACB ·cos30°－cos ∠ACB ·sin30°10103=.2010)133()10103(121232-=-⋅- 2010)133()10103(1212-=-⋅-，在△ACD 中，据正弦定理得CDA AC DCA AD sin sin =，所以=AD 1339+ 试题解析：(1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米)在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =33(千米)…………3分 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°…….6分考点：三角函数实际应用二．能力题组1.（安徽省合肥市第八中学2016届高三阶段考试、理、4）把函数sin()3y x π=+图象上所有点向右平移3π个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得图象的解析式是sin()(0,)y x ωϕωϕπ=+><，则( )1.,23A πωϕ==- .2,3B πωϕ== .2,0C ωϕ== 2.2,3D πωϕ==【答案】C 【解析】试题分析：sin()3y x π=+图象上所有点向右平移3π个单位得到x x y sin )3)3sin((=-+=ππ的图像,再将所得图象的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得图象的解析式是x y 2sin =.故0.2==ϕω，选C 。

【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第四章 三角函数、解三角形阶段测试（六）理 新人教A 版(范围：§4.5～§4.8)一、选择题1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.34π B.54π C.74π D.54π或74π 答案 C解析 ∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0， 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β＝7π4. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30° B．60° C．120° D．150°答案 A 解析 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32， 又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.3．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4答案 D解析 由题得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1且n ∈N *)，则由余弦定理得3(n ＋1)＝20(n ＋2)² n ＋1 2＋n 2－ n ＋2 22n n ＋1， 化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N ＋，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－34答案 C解析 由2S ＝(a ＋b )2－c 2得2S ＝a 2＋b 2＋2ab －c 2，即2³12ab sin C ＝a 2＋b 2＋2ab －c 2， 所以ab sin C －2ab ＝a 2＋b 2－c 2， 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab sin C －2ab 2ab ＝sin C 2－1， 所以cos C ＋1＝sin C 2，即2cos 2C 2＝sin C 2cos C 2， 因为C ∈(0，π)，所以C 2∈(0，π2)，所以cos C 2≠0， 所以tan C 2＝2，即tan C ＝2tan C 21－tan 2C 2＝2³21－22＝－43. 5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里答案 C解析 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10.在Rt△ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)． 二、填空题6．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________． 答案 17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35， sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)²cos(α＋π6)＝2425， cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725， ∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4) ＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250. 7．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin π2－x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________. 答案 ± 3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4) ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4) ＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4) ＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝± 3.8．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )满足p ∥q ，则C ＝________.答案 π3解析 由题意得p ∥q ⇒4S ＝3(a 2＋b 2－c 2)，又S ＝12ab sin C ，所以2ab sin C ＝3(a 2＋b 2－c 2)⇒sin C ＝3(a 2＋b 2－c 22ab )⇒sin C ＝3cos C ⇒tan C ＝3，解得C ＝π3. 三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin x ²cos2φ2＋cos x sin φ－sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值． (1)求φ的值； (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .解 (1)f (x )＝2sin x ²1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x ＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)．因为f (x )在x ＝π处取最小值，所以sin(π＋φ)＝－1，所以sin φ＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π2. (2)由(1)，知f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x . 由f (A )＝32，得cos A ＝32. 因为角A 是△ABC 的内角，所以角A ＝π6. 由正弦定理a sin A ＝bsin B， 得1sin π6＝2sin B ，所以sin B ＝22. 因为b >a ，所以B ＝π4或B ＝3π4. 当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12； 当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12. 故C ＝7π12或C ＝π12. 10．设函数f (x )＝2sin 2(ωx ＋π4)＋2cos 2ωx (ω>0)的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3. (1)求函数f (x )的最大值，并求出此时的x 值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再沿y 轴翻折后得到，求y ＝g (x )的单调递减区间．解 (1)f (x )＝2sin 2(ωx ＋π4)＋2cos 2ωx ＝1－cos(2ωx ＋π2)＋1＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋2. 由题意知，函数f (x )的最小正周期为2π3，则2π2ω＝2π3， 故ω的值为32，所以函数f (x )＝2sin(3x ＋π4)＋2， 所以函数f (x )的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π3＋π12(k ∈Z )． (2)将y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位长度得h (x )＝2sin[3(x －π8)＋π4]＋2＝2sin(3x －π8)＋2的图象，再沿y 轴翻折后得到g (x )＝2sin(－3x －π8)＋2＝－2sin(3x ＋π8)＋2的图象，易知函数y ＝g (x )的单调递减区间，即为y ＝sin(3x ＋π8)的单调递增区间， 由2k π－π2≤3x ＋π8≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得2k π3－5π24≤x ≤2k π3＋π8(k ∈Z )． 故y ＝g (x )的单调递减区间为[2k π3－5π24，2k π3＋π8](k ∈Z )．。

专题四 三角函数、解三角形考点1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式1.(2016·全国Ⅲ，5)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825C.1D.16251.A tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.2.(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.42.C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin α·co s π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.]3.(2014·大纲全国，3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b3.C [∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a .又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C.]4.（2017•北京,12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα= ，则cos （α﹣β）=________．4.﹣ 方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，∴cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos 2α+sin 2α=2sin 2α﹣1= ﹣1=﹣ 方法二：∵sinα= ，当α在第一象限时，cosα= ，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣× + × =﹣：∵sinα= ，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣× + × =﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣5.（2017•新课标Ⅱ,14）函数f（x）=sin2x+ cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是________．5. 1 f（x）=sin2x+ cosx﹣=1﹣cos2x+ cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+ + =﹣（t﹣）2+1，当t= 时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1.考点2 三角函数的图象与性质1.（2017·天津,7）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A. ω= ，φ=B. ω= ，φ=﹣C. ω= ，φ=﹣D. ω= ，φ=1. A 由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）= ，得sin（φ+ ）=1．∴φ+ = ，k∈Z．取k=0，得φ= ＜π．∴，φ= ．故选A．2.（2017•新课标Ⅰ,9）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是（）A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C22. D 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C2，故选D．3.（2017•新课标Ⅲ,6）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（）A、f（x）的一个周期为﹣2πB、y=f（x）的图象关于直线x= 对称C 、f （x+π）的一个零点为x=D 、f （x ）在（ ，π）单调递减3. D A ．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A 正确， B ．当x=时，cos （x+ ）=cos （+ ）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x ）的图象关于直线x= 对称，故B 正确，C 当x= 时，f （ +π）=cos （ +π+ ）=cos =0，则f （x+π）的一个零点为x=，故C 正确， D ．当 ＜x ＜π时，＜x+ ＜，此时余弦函数不是单调函数，故D 错误，故选D.4.(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关 4.B [因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.]5.(2016·四川，3)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度5.D[由题可知,y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6,则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D.6.(2016·北京，7)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π36.A[点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ， 故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]7.(2016·全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.57.B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]8.(2016·全国Ⅱ，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C.x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 8.B [由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.]9.(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位9.B[∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位.]10.(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π610.D[易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1，由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.]11.(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x11.A [A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.]12.(2015·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.1012.C [由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.]13.(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z13.D [由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确.]14.(2015·安徽，10)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)14.A [由于f (x )的最小正周期为π,∴ω＝2,即f (x )＝A sin(2x ＋φ),又当x ＝2π3时,2x＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－11π6，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4，又∵－π2<5π6－4<π6<4－7π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4－7π6.又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.]15.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位15.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，故选C.]16.(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 16.B [将y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选B.]17.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B.πC.2πD.4π17.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]18.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .18.7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]19.(2016·全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.19.2π3[y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.]20.(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.20.π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32， ∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .]21.(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围；②证明：cos(α－β)＝2m25－1.21.解法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ).(2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5).②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。

【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第四章 三角函数、解三角形章末检测 理 新人教A 版(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．tan 300°＋sin 450°的值为( )3－1．B 3＋1．A 3＋1．－D 3－1．－C 对称的是π3＝x 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线)·市某某区一调(2010．2( )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3sin ＝y ．B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6sin ＝y ．A ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6sin ＝y ．D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3sin ＝y ．C )(的最小正周期和最小值为x 23cos ＋x cos x 2sin ＋x 2sin ＝y ．函数3 A ．π，0B ．2π，02－2π，2．D 2－2．π，C 个单位长度，再把所π10的图象上所有的点向右平行移动x sin ＝y 将函数)·某某(2010．4得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10sin ＝y ．A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5sin ＝y ．B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10sin ＝y ．C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20sin ＝y ．D )(的值为θ2cos ，则2425＝)θπ－sin(为第二象限角，θ．已知5 45．±D 35．±C 45B.35A. 的图象关于直)φ＋x (f ＝y ，函数)R ∈x ( x cos 3＋x sin ＝)x (f 已知)·某某月考(2011．6线x ＝0对称，则φ的值可以是( )π6D.π4C.π3B.π2A.)(的值是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋αcos －⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π62sin ，则33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αcos ．已知7 2＋33．－B 2＋33A. －2＋33D.2－33C. 上⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4是奇函数，且在)θ＋x cos(23＋)θ＋x sin(2＝)x (f 使函数)·某某模拟(2011．8是减函数的θ的一个值是( )5π3D.4π3C.2π3B.π3A. )(为增函数的区间是])，π[0∈x (⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 2sin ＝y ．函数9 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6C. 的图象)π2<φ>0,0<ω，>0A ) (φ＋t ωsin(A ＝I 变化的函数)秒(t 随时间)安(I 电流强度10.)(秒时，电流强度是1100＝t 如图所示，则当A ．－5安B ．5安 安10．D 安35．C 个单位后与原图4π3的图象向右平移2＋)π3＋x ωsin(＝y ，函数>0ω设)·某某(2010．11象重合，则ω的最小值是( )3．D 32C.43B.23A. 12．(2010·某某)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0] 题123456789101112号 答 案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为________．14．(2010·全国Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝________.15．(2010·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.16．(2010·某某高三质检一)给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0；②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，22；③若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β.其中所有真命题的序号是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(2011·某某模拟)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一段，求其解析式．.14－x sin 212＝)x (g ，cos2x －sin2x 2＝)x (f 已知函数)·某某)(2010分(12．18 (1)函数f (x )的图象可由函数g (x )的图象经过怎样变化得出？(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值，并求使h (x )取得最小值的x 的集合．19．(12分)已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，函数f (x )＝a ·b －1.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)在给出的直角坐标系中，画出f (x )在区间[0，π]上的图象．的两个实根，求0＝2－x 4－2x 是方程βtan 、αtan 已知)·某某模拟)(2011分(12．20的值．)β＋α(23sin －)β＋α)cos(β＋α2sin(＋)β＋α(2cos21．(12分)(2011·某某模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；的值．⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π3sin ，求13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3f ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π2∈α若(2)φ(0<⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φsin 12－φcos x 2cos ＋φsin x sin 212＝)x (f 已知函数)·某某)(2010分(12．22.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，其图象过点)π< (1)求φ的值；)x (g ＝y ，纵坐标不变，得到函数12的图象上各点的横坐标缩短到原来的)x (f ＝y 将函数(2)上的最大值和最小值．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4在)x (g 的图象，求函数.]3－1°＝sin 90°＋tan 60°＝－sin 450°＋[tan 300 B ．1答案 是三角函数的最值点，代入检π3＝x ，即π3＝x ，又因对称轴为2＝2πT ＝ω由题意[ D ．2验只有选项D 的函数值为最大值1.]x23cos ＋x cos x 2sin ＋x 2sin ＝)x (f [ C ．3 ＝1＋sin 2x ＋(1＋cos 2x )，最小正周期为π，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 2＋2＝ .]2－2时，取得最小值为1＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 当 4．C为第一、三象限角．θ2为第二象限角，∴θ∵[ C ．5 的值有两个．θ2cos ∴ ，2425＝θsin ，可知2425＝)θπ－sin(由 .1825＝θcos ＋1＝θ222cos ∴.725＝－θcos ∴ .]35＝±θ2cos ∴ ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π32sin ＝)x (f [ D ．6 φπ，k ＋π2＝φ＋π3对称，即为偶函数，∴0＝x 的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ2sin ＝)φ＋x (f ＝y .]π6＝φ时，0＝k ，当Z ∈k ，π6π＋k ＝ 7．A 8.B⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 2sin ＝y ∵[ C ．9 ，⎝⎛⎭⎪⎫2x －π62sin ＝－ 的递增区间实际上是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 2sin ＝y ∴ 的递减区间，⎝⎛⎭⎪⎫2x －π62sin ＝u，)Z ∈k ( 3π2π＋k 2≤π6－x 2≤π2π＋k 2即 ．)Z ∈k ( 5π6π＋k ≤x ≤π3π＋k 解上式得 .5π6≤x ≤π3，得0＝k 令 .5π6≤x ≤π3，∴]，π[0∈x 又∵ .]⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6的增区间为])，π[0∈x ( ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 2sin ＝y 即函数 10．A [由题图知，1100＝1300－4300＝T 2，10＝A .π100＝2πT＝ω∴ ∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．为五点中的第二个点，⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10∵ .π2＝φ＋1300π×100∴ ，⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π610sin ＝I ∴.π6＝φ∴ ]安．5＝－I 秒时，1100＝t 当 是此函数周期的整数倍．又4π3个单位后与原图象重合，得4π3将函数向右平移[ C ．11.]32＝min ω，∴)Z ∈k (k 32＝ω，∴4π3＝k ·2πω，∴>0ω 12．A [由数形结合的思想，画出函数y ＝4sin(2x ＋1)与y ＝x 的图象，观察可知答案选A.]3413..2π3≥T 4，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－T 4，T 4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3上递增，如图，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤－T 4，T 4在)x (f ∵ 解析 .34＝max ω∴.34≤ω∴17．－14 ，3π2π＋k <2α<π＋πk 2为第三象限的角，α∵ 解析 .35＝－αcos 2，又)Z ∈k ( π3π＋k <4α<2π2π＋k 4∴ ，43＝－αtan 2，45＝αsin 2∴ .17＝－1＋tan 2α1－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2αtan ∴ 12．－15 ，43＝－αtan 2，得43＝－)α2π＋tan(由 解析 ，43＝－2tan α1－tan2α＝αtan 2又 是第二象限的角，α，又2＝αtan 或12＝－αtan 解得 .12＝－αtan 所以 16．①②，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π34cos ＝)x (f 代入5π12＝－x 将 解析 ，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π24cos ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π34cos ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12f 得 故①为真命题；在同一坐标系内画出y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象，f (x )＝min{sin x ，cosx }的图象为y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象中选取函数值小的各部分组成的图象，由f (x )的图象知②是真命题；.知③是假命题．故答案为①②π3<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6sin ，但π3>π6π＋2由 )分(2，……………………………………………………2＝A 由图象可知振幅 ．解17 ＝π，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π32＝T 又∵周期 )分(6，………………………………………………………………………2＝2ππ＝2πT ＝ω∴ ．)φ＋x sin(22＝y 此时函数解析式为 ，由”五点法“作图的第一个点知，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0又图象过点 )分(9……………………………………………………………….2π3＝－φ，∴0＝φ＋π3×2 ∴所求函数的解析式为)分(10…………………………………………………………………….⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3sin 2＝y ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin 12＝x cos 212＝)x (f (1) ．解18 )分(3………，…………………………………………………………………⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin 212＝ 个单位长度，再将所得的图象向π4的图象向左平移)x (g 的图象只需要把)x (f 所以要得到)分(6个单位长度即可． (1)4上平移 (2)h (x )＝f (x )－g (x ) 14＋x sin 212－x cos 212＝ )分(10…………………………………………………………………….14＋⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4cos 22＝ 时，)Z ∈k ( π＋πk 2＝π4＋x 2当 .1－224＝14＋22取得最小值－)x (h )分(12……………………………………….⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π＋3π8，k ∈Z 的集合为x 此时，对应的 2π2＝T ，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4sin 2＝x cos 2－x sin 2＝1－x cos x 2sin ＋x 22sin ＝)x (f (1) ．解19＝π，……………………………………………………………………………………………(3分)(6……………….2取得最大值)x(f时，函数)Z∈k(3π8π＋k＝x，即π2π＋k2＝π4－x2当分)(2)列表：π4－x2π4－0π2π3π27π4x0π83π85π87π8πy－10202－－1…………………………………………………………………………………………(9分)描点连线，得函数图象如图所示：…………………………………………………………………………………………(12分) 20．解由已知有tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝－2，………………………………(2分))分(5，………………………………………………………43＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝)β＋αtan(∴)β＋α(2n3si－)β＋α)cos(β＋α2sin(＋)β＋α(2coscos2α＋β＋2sinα＋βcosα＋β－3sin2α＋βcos2α＋β＋sin2α＋β＝(10…………………………………………………………1＋2tanα＋β－3tan2α＋β1＋tan2α＋β＝分))分(12……………………………………………………………….35＝－1＋2×43－3×1691＋169＝21．解(1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，)分(2…………………………………………………………………1.＝2πT＝ωπ，则2＝T∴∴f(x)＝sin(x＋φ)．)分(5，…………………………………………………)Z ∈k ( π2π＋k ＝φ是偶函数，∴)x (f ∵ )分(6．……………………………………………………x cos ＝)x (f ∴.π2＝φ≤π，∴φ≤0又 ，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos 由已知得(2) ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π2∈α∵ ，⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6∈π3＋α∴ )分(8 (22)3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin 则 ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3sin ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π3sin ∴ )分(12 (42)9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π32sin ＝－ φcos 12－φcos cos 2x ＋12＋φsin x sin 212＝)x (f (1) ．解22 )φcos x cos 2＋φsin x (sin 212＝ )分(3．…………………………………………………………………………)φ－x cos(212＝ ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12过点)x (f 又∵ ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φcos 12＝12∴ 1.＝)φ－π3cos(即 )分(6……………………………………………………………………….π3＝φπ知<φ0<由 .⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3cos 12＝)x (f 知(1)由(2) ．)π3－x s(4co 12＝)x (g ，纵坐标不变，变为12图象上所有点的横坐标缩短到原来的)x (f 将 ……………………………………………………………………………………………(8分).2π3≤π3－x 4≤π3，∴－π4≤x ≤0∵高考；12有最大值)x (g 时，π12＝x ，即0＝π3－x 4∴当 )分(12………………………………………….14有最小值－)x (g 时，π4＝x ，即2π3＝π3－x 4当。

基础巩固题组(建议用时：分钟)一、填空题.(·徐州检测)函数()＝的单调递增区间是.解析当π－＜－＜π＋(∈)时，函数＝单调递增，解得－＜＜＋(∈)，所以函数＝的单调递增区间是(∈).答案(∈).已知函数()＝(ω>)和()＝(＋φ)的图象的对称中心完全相同，若∈，则()的取值范围是.解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝，所以()＝，那么当∈时，－≤－≤，所以－≤≤，故()∈.答案.(·云南统一检测)已知函数()＝－，则()的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.解析因为()＝)－＝，所以最小正周期＝＝，相邻两条对称轴之间的距离为＝.答案.如果函数＝(＋φ)的图象关于点中心对称，那么φ的最小值为.解析由题意得＝＝＝，∴＋φ＝π＋，∈，∴φ＝π－，∈，取＝，得φ的最小值为.答案.(·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数()＝(ω＋φ)(ω≠)对任意都有＝，则等于.解析由＝可知函数图象关于直线＝对称，则在＝处取得最值，∴＝±.答案±.(·南通调研)函数＝＋的单调递增区间是.解析∵＝＋＝，由π－≤＋≤π＋(∈)，解得π－≤≤π＋(∈).∴函数的增区间为(∈)，又∈，∴单调增区间为.答案.函数＝( )＋－())的定义域为.解析要使函数有意义必须有＞，－()≥，))即＞，≥()，))解得∴π＜≤＋π(∈)，∴函数的定义域为.答案(∈).函数＝＋－的值域为.解析＝＋－，令＝，∈[－，]，则有＝＋－＝－，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当＝－及＝时，函数取最值，代入＝＋－，可得∈.答案二、解答题.已知函数()＝))＋.()若＝－，求函数()的单调增区间；()若∈[，π]时，函数()的值域是[，]，求，的值.解()＝(＋＋ )＋＝＋＋.()当＝－时，()＝－＋－.由π＋≤＋≤π＋(∈)，得π＋≤≤π＋(∈)，∴()的单调增区间为(∈).()∵≤≤π，∴≤＋≤，。

第二节 三角函数的图象与性质考点一 三角函数的图象及其变换1．(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案 B2．(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析 易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1， 由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.答案 D3．(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，故选C.答案 C4．(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析 将y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选B. 答案 B5．(2013·四川，5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析 因为3T 4＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，所以T ＝π.由此可得T ＝2πω＝π，解得ω＝2，由图象知当x ＝5π12时，2×5π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3(k ∈Z )．又因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.答案 A6．(2012·浙江，4)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析 y ＝cos 2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应的图象为A 项． 答案 A7．(2011·辽宁，16)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________．解析 由题意，结合图象知函数周期T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×2＝π2，∴ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π(k ∈Z )及|φ|＜π2，得φ＝π4.∴f (x )＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.将点(0，1)代入上式，得1＝A tan π4，∴A ＝1，即f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24×2＋π4＝tan π3＝ 3.答案38．(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0，2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围；②证明：cos(α－β)＝2m25－1.解 法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x ．从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝kπ＋π2(k ∈Z )．(2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫25sin x ＋15cos x＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m的取值范围是(－5，5)．②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解． 所以sin(α＋φ)＝m5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，即α－β＝π－2(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－φ，即α－β＝3π－2(β＋φ)．所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin 2(β＋φ)－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52－1＝2m 25－1.法二 (1)解 同法一． (2)①解 同法一．②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解， 所以sin(α＋φ)＝m5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，即α＋φ＝π－(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)． 于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)] ＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ) ＝－cos 2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52＝2m 25－1.考点二 三角函数的性质及其应用1．(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.答案 A2．(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析 ∵T ＝2π2＝π，∴B 正确．答案 B3．(2013·大纲全国，12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数解析 [对于A 选项，因为f (2π－x )＋f (x )＝cos(2π－x )·sin 2(2π－x )＋cos x sin 2x ＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称，A 正确； 对于B 选项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin 2(π－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，故y ＝f (x )的图象关于x ＝π2对称，故B 正确；对于C 选项，f (x )＝cos x sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝2sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈[－1，1]，则h (t )＝2t －2t 3，t ∈[－1，1]，则h ′(t )＝2－6t 2，令h ′(t )＞0解得－33＜t ＜33，故h (t )＝2t －2t 3，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－33与对于D 选项，因为f (－x )＋f (x )＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故是奇函数，又f (x ＋2π)＝cos(2π＋x )·sin 2(2π＋x )＝cos x sin 2x ，故2π是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故D 正确． 综上知，错误的结论只有C ，故选C. 答案 C4．(2012·湖南，6)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析 f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x ＝32sin x －32cos x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6∈[－3，3]．故选B 项．答案 B5．(2012·新课标全国，9)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0，2]解析 由π2＜x ＜π得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin α在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤32π，解得12≤ω≤54，故选A.答案 A6．(2011·新课标全国，11)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增 解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ) ＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，∵周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数， ∴φ＋π4＝k π＋π2，φ＝k π＋π4，k ∈Z .又|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，易得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，故选A.答案 A7．(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z )f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .答案 π8．(2014·上海，1)函数y ＝1－2cos 2(2x )的最小正周期是________． 解析 y ＝1－2cos 2(2x )＝1－2×1＋cos 4x 2＝－cos 4x ，则最小正周期为π2.答案π29．(2015·北京，15)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22. 10．(2015·重庆，18)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减.。

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》测试卷及答案解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知点P (－4,3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)等于()A.35B.45C ．－35D ．－45答案A解析∵点P (－4,3)是角α终边上的一点，∴sin α＝35，∴sin(π－α)＝sin α＝35.故选A.2．函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为()A.3B ．2C ．23D ．4答案C解析由题意可知f (x )＝3sin x ＋3cos x＝x ＋12cos 23sin∵－1≤1，∴－23≤23sin23，故函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为2 3.故选C.3．cos 210°cos 75°－2cos 215°sin 15°等于()A.12B ．－22C ．－12D.22答案B解析根据相应公式可得cos 210°cos 75°－2cos 215°sin 15°＝－cos 30°cos 75°－sin 30°cos15°＝－(sin 15°cos 30°＋cos 15°sin 30°)＝－sin 45°＝－22，故选B.4．若角α满足＝35，则sin 2α等于()A.725B.1625C ．－725D ．－1625答案A解析α2cos 1＝2－1＝－725，又αsin 2α，所以sin2α＝725.5．(2019·佛山禅城区调研)已知tan α＝2，则sin 2α＋cos 2α等于()A.35B ．－35C ．－35或1D ．1答案D解析sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1tan 2α＋1，又∵tan α＝2，∴sin 2α＋cos 2α＝2×2＋122＋1＝1.故选D.6．(2019·惠州调研)为了得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需把函数y ＝sin x ()A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案B解析y ＝sin 2x ＝sin2＋π6，故应向右平移π12个单位长度．故选B.7．(2019·成都七中诊断)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，则A 的大小为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案C解析∵(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，∴由正弦定理可得(b ＋c )b ＝(a ＋c )(a －c )，整理可得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－12，∴由A ∈(0，π)，可得A ＝120°.故选C.8.函数y ＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ|象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点()A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案A解析观察图象知，A ＝1，T ＝π，ω＝2πT ＝2，即y ＝sin(2x ＋φ)得×π3＋0，结合|φ|≤π2，得φ＝π3，所以y ＝x 故选A.9．(2019·吉林通榆一中期中)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为()π－14，k πk ∈Zk π－14，2k πk ∈Z－14，k k ∈Zk －14，2k k ∈Z 答案D解析由题意可得函数的周期为2，∴2πω＝2，解得ω＝π，∴f (x )＝cos(πx ＋φ)，再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，f (x )＝x 令2k π≤πx ＋π4≤2k π＋π，可解得2k －14≤x ≤2k ＋34，∴f (x )的单调递减区间为2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.10．(2019·沈阳东北育才学校联考)函数f (x )＝(ω>0)在[0，π]内的值域为－1，12，则ω的取值范围为()A.23，43 B.0，43C.0，23D ．[0,1]答案A解析函数f (x )＝ω>0)，当x ∈[0，π]时，cos x ＋π3∈0，ωπ＋π3，由题意－1≤≤12，结合余弦函数的性质，则π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43，故ω的取值范围为23，43.故选A.11．(2019·赣州十四县(市)联考)在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1,1≤y ≤2，动点P 的轨迹所覆盖的面积为()A.1036 B.536 C.103D.203答案A解析如图以OA,2OB 为邻边作平行四边形OAED ，F 为AE 中点，根据题意知，P 点在以BF ，BD 为邻边的平行四边形上及其内部，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △AOB .在△ABC 中，cos ∠BAC ＝15，AC ＝6，BC ＝7，∴由余弦定理得，15＝AB 2＋36－492AB ·6，解得AB ＝5或AB ＝－135(舍去)，又O 为△ABC 的内心，∴内切圆半径r ＝2S △ABCa ＋b ＋c ，∴S △AOB ＝12·r ·|AB |，∴S △AOB ＝55＋6＋7·S △ABC ＝518×12×5×6×sin ∠BAC ＝256·1－125＝563，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为1063.故选A.12．(2019·荆州质检)函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋m x ＝π3对称，在区间0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则实数m 的取值范围是()A ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)答案D解析函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋mx ＝π3对称，即f (x )＝2cos x (sin x cos φ＋cos x sin φ)＋m＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＋sin φ＋m ＝sin(2x ＋φ)＋sin φ＋m ，当x ＝π3时，2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，即f (x )＝x －12＋m ，由三角函数的单调性可知在区间0，π2上，f (x )min ＝－1＋m ，f (x )max ＝12＋m ，若在区间0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则2f (x )min ＞f (x )max ＞0，－1＋m )>12＋m ，m >0，∴m >52D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·南充适应性考试)已知sin θ＝13，则cos 2θ＝________.答案79解析cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2＝79.14．已知＝－17，αsin ________．答案33＋410解析∵＝－17，α∴tan α＝＋π4＝－17＋11＋17＝34，∴sin α＝35，cos α＝45，∴＝32sin α＋12cos α＝33＋410.15．(2019·山师大附中模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝14，c ＝3，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的面积等于________．答案3154解析∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B，化简得sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0，∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π，∴A ＝B ，∴a ＝b .又∵cos C ＝14，c ＝3，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝14，解得a ＝b ＝6，且sin C ＝154，S △ABC ＝12ab sin C ＝3154.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m2cosn若m ·n ＝12，△ABC 的周长为a ＋4，△ABC 的面积为3，则a 的值是____．答案23解析根据题意，有sin 2A 1＋cos 2A2cos A2·1＋cos A 2＝12，整理得2sin A cos A 2cos 2A ·cos A sin A－2cos 2A 2＝12，从而求得cosA 2＝12A ∈(0，π)，所以A 2∈，所以A 2＝π3，所以A ＝2π3，根据题意有b ＋c ＝4，12bc sin 2π3＝3，即bc ＝4，根据余弦定理，可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ＝16－4＝2 3.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝2sin ＋3cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解f (x )＝1－2＋3cos 2x －1＝sin 2x ＋3cos 2x ＝x (1)令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .(2)方程移项得f (x )＝m ＋2，方程有两解等价于函数f (x )与函数y ＝m ＋2有两个交点，画出两函数在区间0，π2内的图象如图所示：由图象知3≤m ＋2<2，∴3－2≤m <0.18．(12分)(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间0，2π3上的取值范围．解(1)f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝ωx ＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝x ＋12.因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤x1，因此0≤x ＋12≤32，即f (x )的取值范围为0，3219．(12分)(2019·佛山禅城区调研)△ABC 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求角B ；(2)若cos A ＝35，试求cos C 的值．解(1)已知a ＝b cos C ＋c sin B ，由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B,sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，cos B sin C ＝sin C sin B ，因为在△ABC 中sin C >0，所以cos B ＝sin B ，因为sin B >0，所以cos B >0，所以tan B ＝sin Bcos B＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为cos A ＝35，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，由(1)可知A ＋C ＝3π4，所以C ＝3π4－A,cosC ＝cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ，cos C ＝22(sin A －cos A )＝210.20．(12分)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)>0，|φf (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A，求f (A )的取值范围．解(1)∵f (x )，∴f (x ＋π)＝－f (x )，∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝x ＋π3＋g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3，从而f (x )＝x (2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∴sin C ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵△ABC 是锐角三角形，∴0<C ＝2π3－A <π2，∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3，∴A (0,1]，即f (A )＝sinA (0,1]．21．(12分)已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b .(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b＝ωx ＋32＋b .(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f (x )＝x ＋32＋b ，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝x ＋32＋b ，∵x ∈0，7π12，∴2x ＋π6∈π6，4π3，∴当2x ＋π6∈π6，π2，即x ∈0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈π2，4π3，即x ∈π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝∴当0<f 0时，函数f (x )有且只有一个零点．即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴满足条件的b 2，3－32∪22．(12分)(2019·衡水中学考试)如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的一点，∠APC ＝60°，AB ＝23，AP ＋PB ＝4.(1)求BP 的长；(2)若AC ＝534，求cos ∠ACP 的值．解(1)由已知，得∠APB ＝120°，又AB ＝23，AP ＋BP ＝4，在△ABP 中，由余弦定理，得(23)2＝BP 2＋(4－BP )2－2×BP ×(4－BP )cos 120°，整理，得BP 2－4BP ＋4＝0.解得BP ＝2.(2)由(1)知，AP ＝2，所以在△ACP 中，由正弦定理得AC sin 60°＝AP sin ∠ACP，解得sin ∠ACP ＝2×32534＝45.因为2<534，所以AP <AC ，从而∠ACP <∠APC ，即∠ACP 是锐角，所以cos ∠ACP ＝＝35.。

第四章 三角函数与三角形一．基础题组1. 【辽宁省大连市2015年高三第一次模拟考试数学理4】已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为（ ）（A ）12（B ）1 （C （D ）2 【答案】C考点：余弦定理、三角形面积公式.2.【双鸭山市第一中学2015届高三第四次模拟理4】已知2)tan(-=-απ,则=+αα2cos 2cos 1（ ）A ．-3 B. 52 C ．3 D. 25- 【答案】D考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系；3.二倍角公式.3.【云南省2015届高三第一次复习统测数学理4】下列函数，有最小正周期的是（ ） A.sin ||y x = B.cos ||y x = C.tan ||y x = D.2(1)y x =+ 【答案】B. 【解析】试题分析：A ：sin 0sin ||sin 0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，不是周期函数；B ：cos ||cos y x x ==，最小正周期2T π=；C ：tan 0tan ||tan 0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，不是周期函数；D ：20(1)1y x =+=，无最小正周期．考点：1.三角函数的周期性；2.周期函数的判定.4.【黑龙江哈尔滨第九中学2015届高三第三次高考模拟理3】=-︒︒170sin 110cos 3A. 2- B ． 2 C ．4 D ． 4- 【答案】D考点：三角函数求值.5.【长春市普通高中2015届高三质量监测（三）数学理4】已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为（ ）A.12B. 1C.D. 2【答案】C. 【解析】试题分析：∵222a b c bc =+-，∴1cos 2A =，∴3A π=，又4bc =，∴ABC ∆的面积为1sin 2bc A =，故选C ． 考点：正余弦定理解三角形.6.【辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟考试数学理3】 在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ， 30=∠B ，且ABC ∆的面积为23，则=∠C ( ) A ． 30 B ． 45 C ． 60D ． 75【答案】C考点：三角形的面积公式.7.【辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟考试数学理6】 将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．43π B ．4πC ．0D ．4π- 【答案】B 【解析】试题分析：由题设知18f π⎛⎫=±⎪⎝⎭ ，即sin 14πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭当34πϕ=时， 3sin sin sin 0444πππϕπ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4πϕ=时，sin sin sin 14442ππππϕ⎛⎫⎛⎫+=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0ϕ= 时，sin sin 44ππϕ⎛⎫+==⎪⎝⎭当4πϕ=- 时，sin sin sin 00444πππϕ⎛⎫⎛⎫+=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.考点：三角函数的图象.8.【吉林市第一中学校2015届高三3月“教与学”质量检测（一）理4】两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 A ．akmB.akm 2C ．akm 2D.akm 3【答案】D 【解析】试题分析：由图可知，0120=∠ACB ，由余弦定理得，BCAC AB BC AC ACB ⋅-+=∠2cos 2222122222-=-+=aAB a a ，解之得：akm AB 3=，故应选D .考点：1.在实际问题中建立三角函数模型；2.余弦定理；9.【宜昌一中2015年高考适应性考试（一）理4】函数2cos ()2y x π=+的单调递增区间( )A ．(,)2k k k Z πππ+∈ B. (,)2k k k Z ππππ++∈C. (2,2)k k k Z πππ+∈D. (2,22)k k k Z πππ+∈ 【答案】A考点：三角函数的图像和性质10.【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷（二）理4】函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）（A ）向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度 （C ）向右平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度【答案】C考点：三角函数的图象平移.11.（东北育才学校高中部2014-2015学年度高三第八次模拟考试理9）下列对于函数()3cos 2,(0,3)f x x x π=+∈ 的判断正确的是 （ ）A.函数()f x 的周期为πB.对于,a R ∀∈ 函数()f x a + 都不可能为偶函数C.0(0,3)x π∃∈ ,使0()4f x =D.函数()f x 在区间5[,]24ππ内单调递增【答案】C 【解析】试题分析：因为()3cos 2f x x =+在R 上的周期为π，但在(0,3)π上无周期；当32a π=时，函数33()3cos 2,(,)22y f x a x x ππ=+=-∈-为偶函数；当0,2x ππ=时， 0()4f x =；当[,],2[,2]2x x ππππ∈∈，函数()f x 单调递增，而当55[,],2[2,]42x x ππππ∈∈，函数()f x 单调递减；因此选C.考点：三角函数性质12. 【黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三下学期第四次模拟理8】将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是 （ ）.A sin 4y x = .B sin y x = .C sin(4)6y x π=- .D sin()6y x π=-【答案】D考点：三角函数的图象变换.13.【甘肃省天水市第一中学2015届高三5月中旬仿真考试数学理6】一个大风车的半径为8m ，12min 旋转一周，它的最低点0p 离地面2m ，风车翼片的一个端点P 从P o 开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是（ ） A ．106sin 8)(+-=t t h πB ．106cos 8)(+-=t t h πC ．86sin8)(+-=t t h πD ．86cos8)(+-=t t h π【答案】B 【解析】试题分析：如下图所示，10h OD =-，而28sin8sin 126OD t t ππ==，所以108sin 6h t π=-，故选A.考点：三角函数的应用.14.【辽宁省锦州市2015届高三质量检测（二）数学理9】△ABC 各角的对应边分别为a ， b ，c ， 满足1b ca c a b+≥++， 则角A 的范围是 （A ）(0,]6π（B ）(0,]3π（C ）[,)3ππ （D ）[,)6ππ【答案】B考点：余弦定理15.【2015年辽师大附中高三年级模拟考试理8】ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，b A B c C B a 21cos sin cos sin =+，且b a > ，则B ∠= （ ） A. 6π B. 3π C.32π D.65π【答案】 A考点：正弦定理的应用。

考点规范练24解三角形基础巩固1.(2016东北三省四市二模)在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为()A. B.π C.2π D.4π2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cos B=()A. B.C. D.3.(2016全国丙卷,理8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A. B.C.-D.-4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30°B.45°C.60°D.75°5.(2016山西朔州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=4,则△ABC的面积的最大值为()A.4B.2C.2D.6.在△ABC中,若三边长a,b,c满足a3+b3=c3,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上均有可能7.(2016山东临沂一模)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=sin A-sin B,则角C=.8.(2016山东师大附中模拟)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.9.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h 能截住该走私船?能力提升11.(2016山西阳泉高三模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c212.(2016内蒙古包头一模)如图,已知AB是圆O的直径,AB=2,点C在直径AB的延长线上,BC=1,点P是圆O上半圆上的动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧,记∠POB=x,将△OPC和△PCD的面积之和表示成x的函数f(x),则y=f(x)取最大值时x的值为()A. B. C. D.π〚导学号37270444〛13.(2016河北衡水武邑中学冲刺)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果△ABC的面积等于8,a=5,tan B=-,那么=.〚导学号37270445〛14.(2016河南商丘三模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc,(1)求角A的大小;(2)设函数f(x)=sin x+2cos2,a=2,f(B)=+1时,求边长b.〚导学号37270447〛高考预测15.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a sin A sin B+b cos2A=a.(1)求;(2)若c2=a2+b2,求角C.〚导学号37270448〛参考答案考点规范练24解三角形1.B解析在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,故C=180°-A-B=60°.设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=,解得R=1,故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π.2.B解析在△ABC中,a,b,c成等比数列,且c=2a,则b=a,cos B=故选B.3.解(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cos A===-,故选C.(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=设∠DAC=α,则∠BAC=α+∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=AD.∴sin α=,cos α=∴cos∠BAC=cos=cos αcos-sin αsin=(cos α-sin α)==-,故选C.4.B解析依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.5.A解析∵在△ABC中,,∴(2a-c)cos B=b cos C.∴(2sin A-sin C)cos B=sin B cos C.∴2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin(B+C)=sin A.∴cos B=,即B=由余弦定理可得16=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,因此,△ABC的面积S=ac sin B=ac≤4,故选A.6.A解析由题意可知c>a,c>b,即角C最大,所以a3+b3=a·a2+b·b2<ca2+cb2,即c3<ca2+cb2,所以c2<a2+b2.根据余弦定理,得cos C=>0,则0<C<,即三角形为锐角三角形.7解析在△ABC中,=sin A-sin B,=a-b.∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=∴C=8解析由题意及正弦定理,可知,即,故∠ADB=45°.所以A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=2sin 60°=9解析在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,则sin α=,所以tan α=10.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=,所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.11.B解析∵b2+c2-a2=bc,∴cos A=,∴A=30°.∵b=a,∴sin B=sin A=,∴B=60°或B=120°.当B=60°时,C=90°,此时△ABC为直角三角形,得到a2+b2=c2,2a=c;当B=120°时,C=30°,此时△ABC为等腰三角形,得到a=c;故选B.12.A解析∵S△OPC=OP·OC·sin x=sin x,PC2=12+22-2·1·2·cos x=5-4cos x,S△PCD=PC2·sin(5-4cos x),∴f(x)=sin x+(5-4cos x)=2sin故当x-,即x=时,f(x)有最大值,故选A.13解析在△ABC中,∵tan B=-,∴sin B=,cos B=-又S△ABC=ac sin B=2c=8,∴c=4,∴b=14.解(1)在△ABC中,∵b2+c2-a2=bc,∴cos A=∵0<A<π,∴A=(2)∵f(x)=sin x+2cos2=sin x+cos x+1=sin+1,∴f(B)=sin+1=+1,∴B=,即,∴b=15.解(1)∵a sin A sin B+b cos2A=a,∴sin2A sin B+sin B cos2A=sin A,即sin B(sin2A+cos2A)=sin A,∴sin B=sin A,(2)设b=5t(t>0),则a=3t,于是c2=a2+b2=9t2+25t2=49t2,即c=7t.由余弦定理得cos C==-故C=。

第四章三角函数、解三角形第19讲弧度制、任意角的三角函数1. C2. A3. A 【解析】设扇形的半径为r cm，因为扇形的周长为12 cm，圆心角为4rad，所以2r＋4r＝12，得r＝2，所以此扇形的面积S＝12×4×22＝8(cm2)．4. C 【解析】由π4<α<π2，知cos α<sin α<1<tan α，所以cos α－sin α<0，sin α－tanα<0故点P位于第三象限．5. A 【解析】点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，所以∠QOx＝2π3，所以Q⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos2π3，sin2π3，即Q⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，故选A.6. B 【解析】由题知“弓”所在弧长l＝π4＋π4＋π8＝5π8，其所对圆心角α＝5π854＝π2，两手之间距离d＝2×1.25≈1.768.7. BC8. ABC 【解析】若P(5t，－12t)(t>0)为α终边上一点，则cos α＝5t(5t)2＋(－12t)2＝5t13t＝513，A正确．因为sin α＋cos α＝23，所以1＋2sin αcos α＝49，所以2sin αcos α＝－59<0.因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以△ABC必为钝角三角形，B正确．由题知sin α＝cos β＝1，所以cos α＝0，所以cos α·cos β＝0，C正确．因为cos2α＋sin2α＝19＋49<1，所以D错误．9. AC 【解析】 因为角α的终边经过点(1,22)，所以sin α＝223，cosα＝13，所以f (cos α)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝log 313＝－1，f (sin α)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223＝log 3223<0，所以f (f (cos α))＝f (－1)＝2－1＝12，f (f (sin α))＝2log 3223.故选AC. 10.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z【解析】因为在[0,2π)内，终边落在阴影部分的角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，56π，所以所求角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z .11.154【解析】由题意，根据给出的计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角α＝lr ＝308＝154(弧度)．12. ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，1 【解析】 由已知得β＝α－π3，x 1＝cos α，x 2＝cosβ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3，所以x 2－x 1＝cos β－cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3－cos α＝－12cos α＋32sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6， 因为π2<α<π，所以π3<α－π6<5π6，所以sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，1，所以x 2－x 1的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，1. 13. 【解答】 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4， 即第一次相遇时所用的时间为4 s.设第一次相遇时，相遇点为C ，则∠COx ＝π3·4＝4π3，则P 点走过的弧长为4π3·4＝16π3，Q 点走过的弧长为2π3·4＝8π3.x C ＝4cos 4π3＝－2，y C ＝4sin 4π3＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)． 14. 【解答】(1)因为角α的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边经过点A (4，y 0)，其中y 0≠0，所以cos α＝416＋y20＝255，所以y 0＝±2.(2) 若y 0＝－4，则tan α＝－44＝－1，2sin α＋3cos αcos α－4sin α＝2tan α＋31－4tan α＝15.15. 【解答】 (1) 因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2) 当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．第20讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1. A2. D3. A4. A【解析】1＋2sin (π－3)cos (π＋3)＝1－2sin 3cos 3＝sin23－2sin 3cos 3＋cos23，由于sin 3＞0＞cos 3，所以原式＝sin 3－cos 3.故选A.5. B 【解析】 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ2＋π2＝13，所以cos θ2＝13， 所以θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2，所以1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.6. D 【解析】tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＋π2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＋π2＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4，又α是第一象限角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝35，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4是第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝45，则原式＝－43. 7. ABD8. ABD 【解析】 对于A ，sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ，正确； 对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－C 2＝cos C 2，正确； 对于C ，若A ＝60°，B ＝45°，C ＝75°，则sin B ＝22>12＝cos A ，故C 错误；对于D ，cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，由C 为锐角，可得cosC >0，cos(A ＋B )＝－cos C <cos C ，正确．故选ABD.9. BD 【解析】 设t ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4， 由0≤α≤π2，得π4≤α＋π4≤3π4，则1≤t ≤2，又由(sin α＋cos α)2＝t 2，得2sin αcos α＝t 2－1，所以f (α)＝g (t )＝t2－1－2t ＋1＝t －1－2t ＋1，又因为函数y ＝t －1和y ＝－2t ＋1在[1，2]上单调递增，所以g (t )＝t －1－2t ＋1在[1，2]上为增函数，g (t )min ＝g (1)＝－1，g (t )max ＝g (2)＝1－2.10. －15 【解析】 因为tan(π－α)＝－23，所以tan α＝23，所以cos (－α)＋3sin (π＋α)cos (π－α)＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15.11. －75 －24175 【解析】 由已知，得sin x ＋cos x ＝15，则sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.因为(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0，所以cos x >0，sin x －cos x <0，故sinx －cos x ＝－75.sin 2x ＋2sin2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin xcos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175. 12. －3或13【解析】 由2sin α＋cos α＝102，得(2sin α＋cosα)2＝52，即4sin 2α＋4sin αcos α＋cos 2α＝52.所以4sin2α＋4sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝52，所以4tan2α＋4tan α＋1tan2α＋1＝52，即3tan 2α＋8tan α－3＝0，解得tan α＝－3或tan α＝13.13. 【解答】 (1) 因为cos(π＋α)＝45＝－cos α，所以cos α＝－45.因为tanα>0，所以α为第三象限角，sin α＝－1－cos2α＝－35，故tan α＝sin αcos α＝34.(2) 2sin (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (2π－α)＋cos (－α)＝2sin α＋cos αcos α＋cos α＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝54.14. 【解答】 (1) tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝tan π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α1＋tan π4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝－3.因为tan α<0，所以角α的终边在第二象限或第四象限，所以点A 在第二象限或第四象限． (2) 由B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫35，－45知tan β＝－43，则 原式＝－sin αcos β＋3cos αsin βcos αcos β＋3sin αsin β＝－tan α＋3tan β1＋3tan αtan β＝－－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43×31＋3×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝713. 15. 【解答】 由题知原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0， 所以a ≥4或a ≤0.因为⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以a 2－2a －1＝0，解得a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)． 所以sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－2. (1) cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ＝sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝(1－2)×[1－(1－2)]＝2－2. (2) tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.第21讲 三角恒等变换1. C2. A3. D 【解析】 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos2α2cos2α·sin α＝cos α.4. A 【解析】 因为sin α＝－45，α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3π2，2π，所以cos α＝35.又因为sin (α＋β)cos β＝2，所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝613. 5. A 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－2α＝－cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－α－1＝2×116－1＝－78.6. C 【解析】 因为sin 2A 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π3＝5－1510，所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55. 因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin2A ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552＝－255. 由sin B ＝1010，且B 为钝角，可得cos B ＝－1－sin2B ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫10102＝－31010. 所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－31010－55×1010＝22. 又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，故A ＋B ＝7π4.7. BC 【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－116π＝sin π6＝12. A 选项中，2cos 215°－1＝cos 30°＝32，不相等；B 选项中，cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12，相等；C 选项中，2sin 15°sin 75°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，相等；D 选项中，tan 30°＋tan 15°1－tan 30°tan 15°＝tan 45°＝1，不相等．故选BC.8. BC 【解析】 对于A ，1－cos 2α1＋cos 2α＝1－(1－2sin 2α)1＋2cos 2α－1＝sin2αcos2α＝tan2α＝|tan α|，由1－cos 2α1＋cos 2α≥0，解得－1<cos 2α≤1，即2α≠π＋2k π(k ∈Z )，解得α≠π2＋k π(k ∈Z )，故A 错误；对于B ，因为α∈(0，π)，所以1＋cos (π＋2α)2·1cos α＝1－cos 2α2·1cos α＝sin2α·1cos α＝|sin α|cos α＝sin αcos α＝tan α，故B 正确；对于C ，1－cos 2αsin 2α＝2sin2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α，故C 正确；对于D ，sin 2α1－cos 2α＝2sin αcos α2sin2α＝cos αsin α≠tan α，故D 错误．故选BC.9. CD 【解析】 f (x )＝sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3－14 ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin x ＋32cos x －14＝12sin 2x ＋32sin x cos x －14 ＝14(1－cos 2x )＋34sin 2x －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6. 作出函数f (x )的图象如图所示．(第9题)在一个周期内考虑问题，易得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝π2，5π6≤n ≤7π6或⎩⎪⎨⎪⎧π2≤m ≤5π6，n ＝7π6满足题意，所以n －m 的值可能为区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，2π3内的任意实数，所以A ，B 可能，C ，D 不可能．10. 3【解析】 因为tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－12，所以tanα＝12.因为tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝tan β－121＋12·tan β＝1，解得tan β＝3.11.12【解析】sin 110°sin 20°cos2155°－sin2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. 12. 210 【解析】 由tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α(1－tan α)tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α) ＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1)＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α－22＝2·tan α＋1tan2α＋1－22，将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π4＝210. 13. 【解答】 (1) 由题意知OA ＝OM ＝1， 因为S △OAM ＝55和α为锐角，所以sin α＝255，cos α＝55.又点B 的纵坐标是210，所以sin β＝210，cos β＝－7210， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－7210＋255×210＝－1010. (2) 因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552－1＝－35，sin 2α＝2sin αcos α＝2×255×55＝45， 所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π.因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2. 因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝－22，所以2α－β＝－π4.14. 【解答】 方案一：选条件①.因为tan α＝43，所以sin αcos α＝43. 由平方关系sin 2α＋cos 2α＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝437，cos α＝17或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－437，cos α＝－17.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝437，cos α＝17.因为cos(α＋β)＝－13，由平方关系得sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β)＝1，解得sin 2(α＋β)＝89.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以0<α＋β<π， 所以sin(α＋β)＝223，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－13×17＋223×437＝86－121.方案二：选条件②.因为7sin 2α＝2sin α，所以14sin αcos α＝2sin α， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以sin α≠0，所以cos α＝17.由平方关系sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝4849.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以sin α＝437. 以下同方案一． 方案三：选条件③.因为cos α2＝277，所以cos α＝2cos 2α2－1＝17.由平方关系sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝4849.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以sin α＝437. 以下同方案一．15. 【解答】 (1) 因为f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋2， 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，所得函数的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＋π6＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋2，故所得图象对应函数的最小正周期为2π2＝π. (2) 因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－π6，5π6， 令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝±1，得2x －π6＝π2，所以x ＝π3， 即x ＝π3为所求函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2上的对称轴．令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝0，得2x －π6＝0，所以x ＝π12， 所以函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2上的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，2. 由于2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－π6，5π6，则只需2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π2，所以x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3. 故函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2上的单调增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3. 第22讲 三角函数的图象和性质 第1课时 三角函数的图象和性质1. C2. B3. B4. A 【解析】 因为f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，所以x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝±1，所以π6×ω＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z ，所以T ＝π3k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，所以π6<T 4≤π2－π6，所以2π3<T ≤4π3，所以2π3<π3k ＋1≤4π3(k ∈Z )，所以－112≤k <16，又因为k ∈Z ，所以k ＝0，所以T ＝π. 5. A 【解析】 f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π12＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2ωx －π6.又因为f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π12的图象关于直线x ＝π4对称，所以2ω×π4－π6＝k π(k ∈Z )，即ω＝2k ＋13(k ∈Z )．因为ω>0，所以ω的最小值为13.故选A. 6. A 【解析】 已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝12k π＋π3，k ∈Z ，即f (x )的对称轴方程为x ＝12k π＋π3，k ∈Z .因为f (x )的最小正周期为T ＝π，0≤x ≤43π3，当k ＝0时，可得y 轴右侧第一条对称轴x ＝π3，当k ＝28时，可得x ＝43π3，所以f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，43π3上有29条对称轴，根据正弦函数的性质可知，函数f (x )＝4sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6与y ＝3的交点有29个，即x 1，x 2关于x ＝π3对称，x 2，x 3关于x ＝5π6对称，…，即x 1＋x 2＝2π6×2，x 2＋x 3＝5π6×2，…，x 28＋x 29＝2×83π6，将以上各式相加得x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x 28＋x 29＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π6＋5π6＋…＋83π6＝(2＋5＋8＋…＋83)×π3＝1 190π3. 7. ABC 【解析】 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的最小正周期为π，故A 错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝32≠0，故B 错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，11π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3，3π2，此时f (x )单调递减，故C 错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×5π12－π3＝1，观察其图象，易知5π12是f (x )的一个极大值点，故D 正确．8. ABD 【解析】 由f (x )＝sin[cos x ]＋cos[sin x ]， 对于A ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝sin 0＋cos 1＝cos 1，故A 正确；对于B ，因为f (x ＋2π)＝sin[cos(x ＋2π)]＋cos[sin(x ＋2π)]＝sin[cos x ]＋cos[sinx ]＝f (x )，所以f (x )的一个周期是2π，故B 正确；对于C ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2时，0<sin x <1,0<cos x <1， 所以f (x )＝sin[cos x ]＋cos[sin x ]＝sin 0＋cos 0＝1，故C 错误； 对于D ，f (0)＝sin[cos 0]＋cos[sin0]＝sin1＋cos0＝sin1＋1>22＋1>2，故D 正确．故选ABD.9. ACD 【解析】 当x ∈[0,2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π5，2πω＋π5.因为f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点，所以5π≤2πω＋π5<6π，所以125≤ω＜2910，故D 正确；由5π≤2πω＋π5<6π，知ωx ＋π5∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π5，2πω＋π5时，令ωx ＋π5＝π2，5π2，9π2时取得极大值，A 正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，B 不正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π10时，ωx ＋π5∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π5，(ω＋2)π10.若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π10上单调递增，则(ω＋2)π10≤π2，即ω≤3，又125≤ω＜2910，故C 正确． 10.－1【解析】因为f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋θ＋π4，又因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝0，从而θ＋π4＝k π，k ∈Z ，θ＝k π－π4，k ∈Z ，故f (θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π4＝－1. 11. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π2－π6，k π2＋π12(k ∈Z ) 【解析】 由题知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6，由2k π－π2≤4x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π2－π6≤x ≤k π2＋π12，k ∈Z ，即函数y ＝cos 4x ＋3sin4x 的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π2－π6，k π2＋π12(k ∈Z )．12. (－∞，－4]【解析】 f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4.13. 【解答】 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋a ＋b . (1) 当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2) 因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－ 22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，所以a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.14. 【解答】 (1) 因为f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3cos x ＋3＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin x －32cos x cos x ＋3＝2sin x cos x －23cos 2x ＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，即函数y ＝f (x )与直线y ＝m 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的图象有两个不同的交点，在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的图象，如图所示．(第14题)由图象可知，当且仅当m∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解x 1，x 2，且x 1＋x 2＝2×5π12＝5π6，故tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－tan π6＝－33.15. 【解答】 若选①：因为f (0)＝sin(0＋φ)＝sin φ＝12，所以φ＝π6＋2k π或φ＝5π6＋2k π，k ∈Z .因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π6.此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6. 当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，ωx ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，ωπ2＋π6， 要使得函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是单调的，则需ωπ2＋π6≤π2，所以ω≤23.因为ω＞0，所以0＜ω≤23. 若选②：因为f (x )≤f (0)恒成立，所以f (x )max ＝f (0)＝sin φ＝1. 因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π2.此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π2＝cos ωx . 因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，ωx ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，ωπ2， 要使得函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是单调的， 则需ωπ2≤π，所以ω≤2.因为ω＞0，所以0＜ω≤2.若选③：因为f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3ω，0中心对称，所以ω·π3ω＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－π3＋k π，k ∈Z ，因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝－π3.此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3. 因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，ωx －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，ωπ2－π3. 要使得函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是单调的，则需ωπ2－π3≤π2，所以ω≤53.因为ω＞0，所以0＜ω≤53. 第2课时 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象1. A 【解析】 将函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度，可得y ＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2π3的图象，令2x ＋2π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，则平移后的图象的对称轴方程为x ＝k π2－π12(k ∈Z )，故选A.2. D 【解析】 把y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得y ＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x 的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的解析式为y ＝－sin(2×2x )＝－sin 4x ，所以y ＝－sin 4x ＝－2sin 2x cos 2x ＝f (x )cos 2x ，所以f (x )＝－2sin 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝－2sin π3＝－3.故选D.3.A【解析】T ＝2π2＝π，由题意知f (x )＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，只有A 符合，故选A.4. D 【解析】 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪ 31⎪⎪⎪⎪sin ωx cos ωx ＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，将f (x )的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2cos⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋2ωπ3＋π6，又因为该函数为偶函数，所以2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k 2－14，k ∈Z ，当k ＝1时，ω取得最小值是54，故选D. 5. A【解析】 因为A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为π12，所以T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3＋φ，即－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π2，所以φ＝π3.故选A.6. B 【解析】 由图可知，14T ＝π3－π12＝π4，解得T ＝π，由T ＝2πω＝π，得ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3＋φ＝1，所以2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，故φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6. g (x )＝2mf (x )＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6＝4m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－4x ＝4m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝－2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6－m 2＋2m 2＋1.因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12，5π12，所以2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6∈[0,1]． ①当m ＜0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝0时，g (x )取得最大值1，与已知不符； ②当0≤m ≤1时，当且仅当sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝m 时，g (x )取得最大值2m 2＋1，由已知得2m 2＋1＝32，解得m ＝12.③当m ＞1时，当且仅当sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝1时，g (x )取得最大值4m －1，由已知得4m －1＝32，解得m ＝58，矛盾．舍去．综上所述，m ＝12.7. AC【解析】 由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫54－14＝2，故A 正确；因为函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫54，0，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＋54＋kT 2＝34＋k (k ∈Z )，故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故B 不正确；由图可知，当14－T 4＋kT ≤x ≤14＋T 4＋kT (k ∈Z )，即2k －14≤x ≤2k ＋34(k∈Z )时，f (x )是减函数，故C 正确；若A ＞0，则最大值是A ，若A ＜0，则最大值是－A ，故D 不正确．8. ABC【解析】 对于A ，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π12个单位长度得y ＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，故A 正确；对于B ，将y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移11π12个单位长度得y ＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －11π12＋π3＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －3π2＝cos 2x 的图象，故B 正确；对于C ，将C 2关于x 轴对称得y ＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象，再沿x 轴方向向右平移5π12个单位长度得y ＝－sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －5π12＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2＝cos2x 的图象，故C 正确；对于D ，C 3的图象向左平移π12个单位长度得y ＝－sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＋π3＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－cos2x 的图象，故D 错误．故选ABC.9.AC【解析】因为直线x ＝π4是f (x )＝sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2<φ<π2图象的一条对称轴，所以3×π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，则φ＝－π4＋k π(k ∈Z )．因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π4，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －π4.对于A ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12－π4＝sin3x ，因为sin(－3x )＝－sin 3x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12为奇函数，故A 正确；对于B ，令－π2＋2k π≤3x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π12＋2k π3≤x ≤π4＋2k π3(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12，π4上单调递增，故B 错误；对于C ，若|f (x 1)－f (x 2)|＝2，则|x 1－x 2|最小为半个周期，即2π3×12＝π3，故C 正确；对于D ，函数f (x )的图象向右平移π4个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－π4＝sin(3x －π)＝－sin 3x 的图象，故D 错误．故选AC. 10.3【解析】 y ＝f (x )＋g (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＋π6＋sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，故y ∈[－3，3]．11. 13 【解析】 由f (x )是偶函数，φ∈(0，π)，可得φ＝π2，则f (x )＝A cosωx ，易知g (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ωx ＋ωπ6.由g (x )图象的相邻对称中心之间的距离为2π，得T ＝2π12ω＝4π，即ω＝1，故g (x )＝Acos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π6.又y ＝g (x )的图象在其某对称轴处对应的函数值为－2，A >0，所以A ＝2，故g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π6，当x ∈[0，π]时，x 2＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，2π3，所以g (x )max ＝2cos π6＝3. 12.9【解析】由题知g (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π4上单调递增，所以有⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＋π6≥2k π－π2，π4ω＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －4≤ω≤8k ＋43，k ∈Z .由12k －4≤8k ＋43可得k ≤43.当k ＝1时，ω∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤8，283，所以正整数ω的最大值是9. 13. 【解答】 (1) 由图象知，A ＝2，又T4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1. 所以f (x )＝2sin(x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6. (2) 当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，2π3， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，1，即f (x )∈[－3，2]．14. 【解答】 (1) 依题意，BC ＝π＝T2，故T ＝2π，故ω＝2πT ＝1.将A (0,1)，代入得M ·sin π6＝1，故M ＝2.(2) 由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6， 依题意，g (x )＝f (x )·cos x ＝cos x ·2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋12.当π6≤x ≤π2时，π2≤2x ＋π6≤7π6，－12≤sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6≤1，故0≤g (x )≤32，所以函数g (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上的最大值为32，最小值为0. 15. 【解答】 (1) 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0<ω<3，所以ω＝2. (2) 由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.第23讲 正弦定理与余弦定理 第1课时 正弦定理与余弦定理1. B 【解析】 因为a sin A＝b sin B，所以sin B ＝b asin A ＝2418sin45°＝223.又因为a <b ，所以B 有两个解，即此三角形有两解．2. C 【解析】由cos A ＝35，A ∈(0，π)，得sin A ＝45.又B ＝45°，故sin B ＝cos B ＝22，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝7210，由正弦定理得b ＝csin B sin C ＝57.3. D 【解析】 因为BC ＝10，CD ＝2，△CBD 的面积为1，所以S △CBD ＝12×2×10×55.若∠DCB 为钝角，则90°＜∠DCB ＜120°，32＜sin ∠DCB ＜1，因为sin ∠DCB ＝55＜32，所以∠DCB 不可能为钝角，所以cos ∠DCB ＝255.由余弦定理得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CD ·CB cos ∠DCB ＝4，解得BD ＝2，在△CBD 中，由余弦定理得cos ∠BDC ＝－22，所以∠BDC ＝135°，∠ADC ＝45°，在△ADC 中，由正弦定理得ACsin 45°＝2sin 60°，所以AC ＝233.故选D.(第3题)4. A 【解析】 由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝4b 2cos C ， 则cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝4b2cos C 2ab ＝2ba cos C .因为△ABC 为斜三角形，所以cos C ≠0，所以a ＝2b .因为S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ，所以12b ·2b sin C ＝12b ·b sin C 2＋12b ·2b sin C2，即2sinC ＝4sin C 2cos C 2＝3sin C2.因为C ∈(0，π)，所以C2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以sin C 2≠0，所以cos C 2＝34，所以cos C ＝2cos2C 2－1＝2×916－1＝18.5. A 【解析】 因为在△ABC 中，a 2＋b 2＝2 021c 2， 由正弦定理可得sin 2A ＋sin 2B ＝2 021sin 2C ，再由余弦定理可得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝2 020c22ab ＝1 010sin2Csin Asin B ，所以sin A sin B cos C ＝1 010sin 2C ， tan Ctan A ＋tan Ctan B ＝sin Ccos A cos Csin A ＋sin Ccos B cos Csin B＝sin Csin Bcos A ＋sin Asin Ccos B sin Asin Bcos C ＝sin Csin (A ＋B )1 010sin 2C＝sin2C1 010sin2C ＝11 010. 6. ACD 【解析】 因为b 2－bc －2c 2＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4， 因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，由正弦定理csin C ＝asin A，得sin C ＝csin A a＝108，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.7. ACD 【解析】 由a cos A＝b cos B＝c cos C，利用正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B＝sin Ccos C，即tan A ＝tan B ＝tan C ，得A ＝B ＝C ，△ABC 是等边三角形，A 正确；由正弦定理可得sinA cosA ＝sinB cosB ，即sin2A ＝sin2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，△ABC 是等腰或直角三角形，B 不正确；由正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B ，sin A ＝sin B ，则A ＝B ，△ABC 是等腰三角形，C 正确；由余弦定理可得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＜0，角C 为钝角，D 正确，故选ACD.8. ACD 【解析】 因为(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11， 所以可设⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9x ，a ＋c ＝10x ，b ＋c ＝11x(其中x ＞0)，解得a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x ，所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，所以A 正确；由上可知，c 边最大，所以三角形中角C 最大， 又cos C ＝a2＋b2－c22ab＝(4x )2＋(5x )2－(6x )22×4x ×5x ＝18＞0，所以角C 为锐角，所以B 错误；由上可知，a 边最小，所以三角形中角A 最小， 又cos A ＝c2＋b2－a22cb ＝(6x )2＋(5x )2－(4x )22×6x ×5x ＝34，所以cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，所以cos 2A ＝cos C . 由三角形中C 角最大且角C 为锐角可得2A∈(0，π)，C∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以2A ＝C ，所以C 正确； 由正弦定理得2R ＝c sin C ，又sin C ＝1－cos2 C ＝378，所以2R ＝6378，解得R ＝877，所以D 正确．故选ACD.9. 63 【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 又因为b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，所以36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，所以c ＝23，a ＝43，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝63.10. π3 (2，＋∞) 【解析】 由余弦定理得cos B ＝a2＋c2－b22ac ， 所以a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ．又因为S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，所以12ac sin B ＝34×2ac cos B ，所以tan B ＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.又因为C 为钝角，所以C ＝2π3－A >π2，所以0<A <π6.由正弦定理得c a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A＝12＋32·1tan A .因为0<tan A <33，所以1tan A>3， 所以c a >12＋32×3＝2，即c a>2.所以ca的取值范围是(2，＋∞)．11. 3 【解析】 因为b (2－cos A )＝a (cos B ＋1)， 所以2b －a ＝b cos A ＋a cos B ， 由余弦定理得b cos A ＋a cos B ＝b ·b2＋c2－a22bc ＋a ·a2＋c2－b22ac ＝c ，所以2b －a ＝c ，即a ＋c ＝2b ，又a ＋c ＝4，所以b ＝2. 由余弦定理得cos B ＝a2＋c2－42ac ＝(a ＋c )2－2ac －42ac ＝12－2ac 2ac ＝6ac －1， 所以sin B ＝1－cos2B ＝－36a2c2＋12ac ，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac－36a2c2＋12ac ＝3ac －9≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋c 22－9＝3，当且仅当a ＝c 时等号成立，所以△ABC 面积的最大值为3.12. 【解答】 若选择①b 2＋2ac ＝a 2＋c 2： 由余弦定理得cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝2ac 2ac ＝22，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝bsin Asin B＝2·sin π322＝3，因为A ＝π3，B ＝π4，所以C ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.若选择②a cos B ＝b sin A ：由正弦定理得sin A cos B ＝sin B sin A ， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝cos B ，tan B ＝1. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝bsin Asin B＝2·sin π322＝3，因为A ＝π3，B ＝π4，所以C ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.若选择③sin B ＋cos B ＝2：则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π4＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，5π4， 所以B ＋π4＝π2，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝bsin Asin B＝2·sinπ322＝3，因为A ＝π3，B ＝π4，所以C ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.13. 【解答】 (1) 若选条件①，因为3b ＝a (sin C ＋3cos C )，所以由正弦定理得3sin B ＝sin A (sin C ＋3 cos C )，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以3(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ＋3sin A cos C ， 即3cos A sin C ＝sin A sin C ，因为sin C ≠0，所以tan A ＝3. 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.若选条件②，因为2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，所以由正弦定理得2sin A cos A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos A ＝sin(B ＋C )＝sin A ，因为sin A ≠0，所以cos A ＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.若选条件③，因为a cos C ＋12c ＝b ，所以由正弦定理得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin A cos C ＋12sin C ＝sin A cosC ＋cos A sin C ，即cos A sin C ＝12sin C ．因为sin C ≠0，所以cos A ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.所以不管选择哪个条件，都有A ＝π3.(2) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为a ＝3，A ＝π3，即b 2＋c 2－bc ＝3，因为b 2＋c 2≥2bc ，所以2bc －bc ≤3，即bc ≤3，当且仅当b ＝c 时等号成立．所以bc 的最大值为3.所以S ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334.故面积S 的最大值为334.14. 【解答】 (1) 若选①，由正弦定理得sin Bsin A ＝cos B ＋13sin A ，因为sin A ≠0，所以3sin B －cos B ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫B －π6＝12， 因为0＜B ＜π，所以－π6＜B －π6＜5π6，所以B －π6＝π6，所以B ＝π3.若选②，因为2b sin A ＝a tan B,2b sin A ＝asin Bcos B ，由正弦定理可得2sin B sin A ＝sin A ·sin Bcos B，。

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ )(3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是______，取得最小值时，x 的取值集合为______________．答案 2 {x |x ＝6k π，k ∈Z }解析 ∵－1≤cos 13x ≤1，∴f (x )min ＝4－2×1＝2，此时的cos 13x ＝1，13x ＝2k π，∴x ＝6k π，k ∈Z .2．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为____________________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z解析 sin x －cos x >0，即sin x >cos x .画出y ＝sin x 及y ＝cos x 在[0,2π]上的图象如图．由图象知原函数的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z .3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝________. 答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3， ∴ω＝32.4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 (x ∈[－π，0])的单调递减区间是______________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3解析 ∵由题意知2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，∴k π＋π6≤x ≤k π＋2π3 (k ∈Z )．又x ∈[－π，0]，∴－5π6≤x ≤－π3.5．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的零点，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,2)解析 令f (x )＝0，则m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，故－π6≤2x －π6≤5π6，设2x －π6＝t ，则m ＝2sin t ，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，根据题意并结合函数图象(图略)可知m 的取值范围是[1,2).题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为____________． (2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间[0，π2]上的值域为________． (3)函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为___________________．答案 (1)⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) (2)⎣⎡⎦⎤－32，3 (3)1－22解析 (1)由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. (3)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴t ＝－22时，y min ＝1－22. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________________．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为____________． 答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π(k ∈Z )，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是________________． (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) (2)⎣⎡⎦⎤12，54 解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． (2)由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是______________．答案 (1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)⎣⎡⎦⎤32，74 解析 (1)由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.题型三 三角函数的周期性、对称性命题点1 周期性例3 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为________． 答案 ①②③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2， 故周期为π的有：①②③. 命题点2 求对称轴、对称中心例4 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则关于函数f (x )的图象，下列叙述正确的有________(填正确的序号)． ①关于直线x ＝π12对称；②关于直线x ＝5π12对称；③关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称； ④关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称．(2)已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________. 答案 (1)② (2)－π6解析 (1)由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴⎪⎪⎪⎪2π3＋k π＜π2， ∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴①、③错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴②正确，④错误．(2)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ，又x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， ∴k ＝0时，x 0＝－π6.命题点3 由对称性求参数例5 若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为________． 答案 2解析 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________． (2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为________．答案 (1)2或－2 (2)－33解析 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3， 解得a ＝－33.4．三角函数的对称性、周期性、单调性典例 (1)(2015·四川改编)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是________(填正确的序号)． ①y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ②y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ③y ＝sin 2x ＋cos 2x ④y ＝sin x ＋cos x(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，且|φ|<π2，则f (x )的单调递减区间为________________．(3)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为________．思维点拨 (1)逐个验证所给函数是否满足条件；(2)根据图象先确定函数的周期性，然后先在一个周期内确定f (x )的减区间；(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可．解析 (1)对于①，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意． (2)由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. ∴π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. 答案 (1)① (2)⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (3)－1或3温馨提醒 (1)研究三角函数的性质时一定要做到心中有图，充分利用数形结合思想； (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与对称轴的交点是最值点．[方法与技巧]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．3．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解． [失误与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，下列说法正确的是________(填正确的序号)． ①f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增； ②f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减； ③f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增； ④f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减． 答案 ②解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减． 2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． 答案 2－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________． 答案 2解析 根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4ω， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2.4．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是___________________． ①是奇函数；②在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减； ③⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心； ④最小正周期为π. 答案 ③解析 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，①错误； 在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，②错误； 最小正周期为π2，④错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝0， ∴⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心，③正确．5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是__________． 答案 [0,1]解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析 由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z )． 8．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.9．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2 x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10．(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________________．答案 [k π－3π8，k π＋π8]，(k ∈Z )解析 由f (π8)＝－2得，f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2， 所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .12．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________． 答案 32解析 ∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.13．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 14.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________. 答案3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3. 15．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b ,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

第四章章末综合检测(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)(检测范围：第四章) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a ，b 且AB →＝a ＋2b ， BC →＝－5a ＋6b ， CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是 A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析 A 由题意BD →＝2a ＋4b ＝2AB →，故A ，B ，D 共线． 2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A ．PA →＋PB →＝0 B. PC →＋PA →＝0 C ．PB →＋PC →＝0D. PA →＋PB →＋PC →＝0 解析 B 因为B C →＋B A →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，故选B.3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD →解析 A 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →. 4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝ 5.若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 C a ＋b ＝(－1，－2)＝－a ，所以a 与c 的夹角即a ＋b 与c 的夹角的补角．设a＋b 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ＋b ·c |a ＋b||c|＝525×5＝12，故θ＝π3，则a 与c 的夹角为2π3.5．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A ．1 B.13 C.12 D.23解析 A如图，过C 作CE ⊥x 轴于点E ，则|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.故选A.6．(2013·湖南十二校联考)平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB →－BC →)·(AD →－CD →)＝0，则三角形ABC 是( )A ．直角三角形 B.等腰三角形 C ．等腰直角三角形D.等边三角形解析 B (AB →－BC →)·(AD →－CD →)＝(AB →－BC →)·(AD →＋DC →)＝(AB →－BC →)·AC →＝(AB →－BC →)·(AB →＋BC →)＝|AB →|2－|BC →|2＝0，故|AB →|＝|BC →|，即△ABC 是等腰三角形．7．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y的值为 ( )A ．2 B.－2i C ．－4D.2i解析 D 由x i －y ＝－1＋i 得x ＝1，y ＝1，所以(1＋i)x ＋y＝(1＋i)2＝2i ，故选D.8．如图所示，非零向量OA →＝a ，OB →＝b ，且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa (λ≠0)，则λ＝( )A.a·b|a|2B.a·b|a||b|C.a·b|b| D.|a||b|a·b解析 A BC →⊥OA →，即BC →⊥OC →⇒(OC →－OB →)·OC →＝0⇒|OC →|2－OB →·OC →＝0，即λ2|a |2－λa·b ＝0，解得λ＝a·b|a|2. 9．(2013·济南模拟)设a 是实数，且a 1＋i ＋1－i2是实数，则a ＝( )A.12 B.－1 C ．1D.2解析 B 因为a 1＋i ＋1－i 2＝a－2＋1－i 2＝a ＋12－a ＋12i 是实数，所以a ＝－1. 10．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是 A ．圆 B.椭圆 C ．双曲线D.抛物线解析 D ∵PA →＝(－2－x ，－y )， PB →＝(3－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2，∴(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，化简得y 2＝x ＋6.11．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a ，b 的夹角为 ( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析 B 由a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，得b ＝(4,2)－2(1,1)＝(2,0)．设向量a ，b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b |a||b|＝222＝22，θ＝π4.12．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，满足2OA →＋AB →＋AC →＝0(其中O 为坐标原点)，又|AB →|＝|OA →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A ．1 B.－1 C.12D.－12解析 C 由2OA →＋AB →＋AC →＝(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝OB →＋OC →＝0， 得OB →＝－OC →，即O ，B ，C 三点共线．又|AB →|＝|OA →|＝1，故向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos π3＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．在边长为1的等边△ABC 中，D 为BC 边上一动点，则AB →·AD →的取值范围是________． 解析 因为D 在BC 上，所以设BD ＝x,0≤x ≤1，则BD →＝xBC →.所以AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝1＋x cos 120°＝1－12x ，因为0≤x ≤1，所以12≤1－12x ≤1，即AB →·AD →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 14．如果复数z ＝2－b i1＋i (b ∈R )的实部和虚部互为相反数，则b 的值等于________．解析 z ＝－b －＋－＝2－b 2－2＋b 2i ，由2－b 2＝2＋b2，得b ＝0. 【答案】 015．(2013·洛阳质检)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________.解析 a －2b ＝⎝⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2·(16＋x )，整理得x 2＝16，又x >0，所以x ＝4.【答案】 416．对于n 个向量a 1，a 2，…，a n ，若存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1a 1＋k 2a 2＋…＋k n a n ＝0成立，则称向量a 1，a 2，…，a n 是线性相关的．按此规定，能使向量a 1＝(1,0)，a 2＝(1，－1)，a 3＝(2,2)是线性相关的实数k 1，k 2，k 3的值依次为________(只需写出一组值即可)．解析 根据线性相关的定义，得k 1(1,0)＋k 2(1，－1)＋k 3(2,2)＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＋2k 3＝0，－k 2＋2k 3＝0，令k 3＝1，则k 2＝2，k 1＝－4， ∴k 1，k 2，k 3的一组值为－4,2,1. 【答案】 －4,2,1三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)如图，在任意四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，证明：AB →＋DC →＝2EF →.解析 因为F 为BC 的中点，所以BF →＋CF →＝0，连接AF ，DF ，则有AB →＋DC →＝AB →＋DC →＋BF →＋CF →＝AB →＋BF →＋DC →＋CF →＝AF →＋DF →. 而AF →＝AE →＋EF →，DF →＝DE →＋EF →， 又E 为AD 的中点，所以AE →＋DE →＝0. 所以AF →＋DF →＝AE →＋EF →＋DE →＋EF →＝2EF →， 所以AB →＋DC →＝2EF →.18．(12分)计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2；(2)2＋4i ＋2；(3)1＋i 1－i ＋i 3. 解析 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2＝4i 2＋2＝－42i＝2i. (2)2＋4i ＋2＝2＋4i2i＝2－i. (3)1＋i 1－i＋i 3＝＋2－＋＋i 3＝2i 2＋i 3＝i －i ＝0.19．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32x ，sin 32x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a·b 及|a ＋b|；(2)若f (x )＝a·b －|a ＋b|，求f (x )的最大值和最小值．解析 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0.∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1.∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.20．(12分)如图所示，AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)． (1)若BC →∥DA →，求x 与y 之间的关系式；(2)在(1)条件下，若AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积． 解析 (1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )． 又BC →∥DA →且BC →＝(x ，y )，∴x (2－y )－y (－x －4)＝0， 即x ＋2y ＝0.①(2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)，又AC →⊥BD →， ∴AC →·BD →＝0.即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， ②联立①②化简，得y 2－2y －3＝0， ∴y ＝3或y ＝－1.故当y ＝3时，x ＝－6，此时AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)，∴S ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16；当y ＝－1时，x ＝2，此时AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)， ∴S ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.21．(12分)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示：0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →、BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数． 解析 (1)AO →＝－OA →， ∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.22．(14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解析 (1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)，过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理，得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0. ①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝16(－8k 2－6k )＞0， 解得－34＜k ＜0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①得，x 1＋x 2＝－k －1＋k2. ② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4，③而P (0,2)，Q (6,0)，PQ →＝(6，－2)，∴OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)． 将②③代入上式，解得k ＝－34，又k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，∴不存在符合题意的常数k .。

真题操练集训π31．若 cos 4 － α＝ 5，则 sin 2α ＝ ()71 A. 25B. 517C ．－ 5D ．－ 25答案： Dπππ2分析：因为 cos 4 － α ＝ cos4 cosα＋ sin4 ·sinα ＝ 2 (sin α＋ cos α)33 2187＝ 5，所以 sinα ＋ cos α ＝5 ，所以 1＋ sin 2α ＝ 25，所以 sin 2 α＝－ 25，应选 D.ππ1＋ sin β2．设 α ∈ 0， 2 ， β∈ 0， 2，且 tan α ＝ cos β ，则 ()ππA ．3α － β＝ 2B ．2α － β ＝ 2π π C ．3α ＋ β＝ 2 D ．2α ＋ β ＝ 2答案： Btan1＋ sin β分析：解法一：由 α ＝ cos β ，得sin α 1＋ sin βcos α ＝ cos β ，即 sinα cos β ＝cosα ＋cos αsinβ ，π∴sin( α －β ) ＝ cos α ＝ sin2 － α .π π ∵α ∈ 0， 2 ， β ∈ 0， 2 ，π π ππ∴α － β ∈ － 2 ， 2 ， 2 － α ∈ 0， 2 ，∴由 sin( α－ β ) ＝ sin π － α ，得2ππα－ β ＝ 2 － α ，∴ 2α － β ＝ 2 .1＋ sin β 1＋ cos π－ β解法二： tan2α ＝cos β ＝ sin π－ β22cos 2 π － β＝42 β ＝ cotπ －βπβ π4 22sin4 － 2 cos 4 － 2＝tanπ π βtan πβ2 － 4－24 ＋ 2 ，π β∴α ＝ k π ＋ 4 ＋ 2 ， k ∈ Z∴ 2α － β ＝2k π ＋ π， k ∈Z. 2π当 k ＝ 0 时，知足 2α－ β ＝ 2 ，应选 B.3．已知 2cos 2x ＋ sin 2 x ＝ A sin( ω x ＋ φ ) ＋ b ( A >0) ，则 A ＝ ________， b ＝ ________.答案：2 1分析：因为 2cos 2x ＋ sin 2x ＝ 1＋cos 2 x ＋ sin 2x ＝ 2sin 2x ＋π4 ＋ 1，所以 A ＝ 2，b ＝ 1.π π π4．已知函数 f ( x ) ＝ 3sin( ωx ＋ φ ) ω ＞0，－ 2 ≤ φ ＜ 2 的图象对于直线x ＝ 3 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 π .(1) 求 ω 和 φ 的值；(2) 若 fα3 π＜ α ＜2π3π＝ 3 ，求 cos α ＋ 2的值．2 4 6解： (1) 因为 f ( x ) 的图象上相邻两个最高点的距离为π ，所以 f ( x ) 的最小正周期 T ＝ π，2π进而 ω＝ T ＝ 2.π又因为 f ( x ) 的图象对于直线 x ＝ 3 对称，ππ所以2× 3＋φ ＝ k π＋ 2 ， k ＝ 0，± 1，± 2， .因为－ π 2≤ φ＜ π 得2k ＝0，所以 φ ＝π2－2π3 ＝－ π6 .(2) 由 (1) 得 fα3sin2·α π 32＝2－＝ 4 ，6π 1所以 sin α － 6 ＝ 4.由π6 ＜ α ＜2π3 得 0＜α － π6 ＜π2 ，所以 cos α － π＝ 1－ sin 2α － π66＝1－ 1 2＝15.44所以 cos3π＝ sinα ＝sin ππα ＋ 2 α － 6 ＋ 6π ππ π＝sin α － 6 cos 6 ＋ cos α － 6 sin61 3 15 1＝ ×2 ＋×24 43＋ 15＝8.课外拓展阅读给值求角忽略角的范围致误已知 α ，β 为三角形的两个内角，1 5 3 cos α ＝ ，sin( α ＋ β ) ＝，则 β ＝ ________.7141∵ 0<α <π ，cos α ＝7，1 24 3 ∴sinα ＝1－ 7＝ 7 .5 3又∵ sin( α＋ β ) ＝，145 3 2 11∴cos( α ＋β ) ＝－1－14＝－ 14.3∴sinβ ＝sin ＝ sin( α ＋ β )cos α － cos( α ＋ β)sin α＝ 2 .π2π 又∵ 0<β <π，∴ β ＝ 3 或 3 .(1)不可以依据题设条件减小 α ，β 及 α ＋ β 的取值范围，在由同角基本关系式求 sin( α＋ β ) 时不可以正确判断符号，产生两角解．(2) 结论处应由 cos β 的值确立β 的取值，由 sin β 确立结论时易出现两解而造成失误．124 3 ππ因为 0<α<π ，cos α ＝7，所以 sin α ＝ 1－ cos α ＝ 7 ，故 3 <α < 2 . 又因为 0<α533π2π＋β <π， sin(α＋β ) ＝14 <2，所以 0<α＋β < 3或3 <α＋β <π.ππ2π由3 <α < 2，知3 <α＋β <π，所以 cos( α＋β ) ＝－1－ sin 211α ＋β＝－14，所以 cos β＝ cos1＝cos( α＋β )cosα＋sin(α ＋β )sinα ＝，2π又 0<β <π，所以β＝3 .π3答题启迪利用三角函数值求角时，要充足联合条件，确立角的取值范围，再选用适合的三角函数进行求值，最后确立角的详细取值．。

第四章 三角函数、解三角形 第一节 弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式3.任意角的三角函数[小题体验]1．(教材习题改编)将－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，则使|θ|最小的θ值为________．解析：∵－11π4＝－3π4＋(－2π)，∴θ＝－3π4.答案：－3π42．(教材习题改编)如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)为________． 解析：因为75°＝5π12，330°＝11π6，故集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪11π6＋2k π<α<5π12＋2π＋2k π，k ∈Z ， 即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π6<α<2k π＋5π12，k ∈Z. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π6<α<2k π＋5π12，k ∈Z 3．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，所以θ的终边只能位于第四象限．答案：四4．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x.[小题纠偏]1．下列命题正确的是________．①小于90°的角都是锐角；②第一象限的角都是锐角；③终边相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角．答案：④2．已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ＝________，tan θ＝________.解析：由题意，得r ＝3＋m 2，∴m3＋m2＝24m . ∵m ≠0，∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.答案：－64 ±1533．若α是第一象限角，则α3是第________象限角． 解析：∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，∴k 3·360°<α3<k3·360°＋30°，k ∈Z. 当k ＝3n 时，有n ·360°<α3<n ·360°＋30°，k ∈Z ，∴α3为第一象限角． 当k ＝3n ＋1时，有n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°，k ∈Z ，∴α3为第二象限角． 当k ＝3n ＋2时，有n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°，k ∈Z ，∴α3为第三象限角． 综上可知，α3为第一、二、三象限角．答案：一、二、三考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有________(填序号)．解析：－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确； －315°＝－360°＋45°，从而④正确． 答案：②③④2．(易错题)若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．解析：∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．答案：一、三3．若角α与8π5终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z)，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．又α4∈[0,2π]，所以k可取的所有值为0,1,2,3，故α4可取的所有值为2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π104．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°， 得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出k α或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置，如“题组练透”第2题易错．考点二 扇形的弧长及面积公式 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案：4或12．(易错题)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm.解析：设扇形的半径为r cm ，如图． 由sin 60°＝6r，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.答案：833π3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 解：设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋r θ＝40. 又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100. 当且仅当r ＝10时，S max ＝100， 此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝αr ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12αr 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第2题．考点三 三角函数的定义常考常新型考点——多角探明[命题分析]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数值的符号判定；(2)由角的终边上一点的P 的坐标求三角函数值； (3)由三角函数的定义求参数值．[题点全练]角度一： 三角函数值的符号判定 1．若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是第________象限角． 解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号， 则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． 答案：三角度二：由角的终边上一点P 的坐标求三角函数值2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－353．(2016·苏州调研)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m 4，则m ＝________.解析：由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. ∴sin α＝m r＝2m 4＝m 22， ∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5. 答案：± 5角度三：由三角函数的定义求参数值4．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：由三角函数的定义知tan α＝－6x ，于是－6x ＝－35，解得x ＝10.答案：105．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.答案：(－2,3][方法归纳]应用三角函数定义的3种求法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为________cm 2. 解析：∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．答案：80π2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．解析：因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．答案：二3．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：∵2 010°＝67π6＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.答案：－5π64．(2016·南京六校联考)点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第________象限． 解析：因为sin 2 015°＝sin(11×180°＋35°) ＝－sin 35°＜0，cos 2 015°＝cos(11×180°＋35°) ＝－cos 35°＜0，所以点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第三象限． 答案：三5．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________． 解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.答案：－π32．(2016·宿迁模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于________．解析：因为r ＝2＋－2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos 2. 答案：－cos 23．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________．解析：设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ， ∴α＝ 3. 答案： 34．(1)已知扇形周长为10，面积是4，则扇形的圆心角为________． (2)已知扇形周长为40，若扇形面积最大，则圆心角为________． 解析：(1)设圆心角为θ，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8.(舍去)故扇形圆心角为12.(2)设圆心角为θ，半径为r ， 则2r ＋r θ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100， 当且仅当r ＝10时，S max ＝100. 此时圆心角θ＝2. 答案：(1)12(2)25．(2016·镇江调研)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故 cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.答案：－356．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)8．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 9．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋－3k2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10 k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.10．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝l r＝2时， 扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若A 是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A2是第________象限角．解析：因为A 是第三象限角，所以2k π＋π<A <2k π＋3π2(k ∈Z)，所以k π＋π2<A 2<k π＋3π4(k ∈Z)，所以A2是第二、四象限角． 又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A2，所以sin A2<0， 所以A2是第四象限角．答案：四2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．解析：由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限， 又角θ与角α的终边相同， 所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1. 答案：－13．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α.2．诱导公式[小题体验]1．(教材习题改编)若α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－815，解得sin α＝±817.因为α为第二象限角，所以sin α>0，所以sin α＝817.答案：8172．(教材习题改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θ＝________.解析：原式＝cos θ－－cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2. 答案：－23．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是________．解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.答案：24．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝________；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3＝________. 答案：(1)22(2) 31．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]1．已知α为第四象限角，且 sin(π－α)＝－13，则tan α＝________.解析：由 sin(π－α)＝－13，得 sin α＝－13.因为α在第四象限，所以 cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝223，则 tan α＝sin αcos α＝－13223＝－24.答案：－242．若sin(3π＋θ)＝13，则sin θ＝________.答案：－133．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)＝________； (2)sin[α＋n ＋π]＋sin[α－n ＋π]α＋2n πα－2n π(n ∈Z)＝______.解析：因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又因为α是第四象限角， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋n ＋π]＋sin[α－n ＋π]α＋2n πα－2n π＝n π＋π＋α＋－2n π－π＋αnπ＋α－2n π＋α＝π＋α＋－π＋αsin αcos α＝－sin α－π－αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.答案：(1)32(2)－4考点一 三角函数的诱导公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．sin 210°cos 120°的值为________．解析：sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.答案：142．(2016·淮安模拟)已知角α终边上一点M 的坐标为(3，1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是________．解析：由题可知，cos α＝32，sin α＝12，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12cos α－32sin α＝0.答案：03．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.解析：∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α＋2sinαsin α＋2sinα＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 答案： 3[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．考点二 同角三角函数的基本关系题点多变型考点——纵引横联已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.求tan α的值．[解] 法一： 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0. ∴sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.[类题通法]同角三角函数基本关系式的应用技巧[越变越明][变式一] 保持母题条件不变， 求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值． 解：由母题可知：tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2 ＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.(2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825. [变式二] 若母题条件变为“sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5”， 求tan α的值．解：法一：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.法二：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2.[变式三] 若母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 求sin α＋cos α的值．解：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. [破译玄机]1．三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值．2．三角形中常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝sin C 2等．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝________.解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45.答案：452．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ＝________.解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.答案：π33．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.答案：－134．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－435．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·南师附中检测)角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (1,2)，则sin(π－α)的值是________．解析：因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (1,2)，所以sin α＝255，sin(π－α)＝sin α＝255.答案：2552．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α的值等于________．解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 答案：－253．(2016·苏北四市调研)cos 350°－2sin 160°－＝________.解析：原式＝－－－－＋＝cos 10°－－－－＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.答案： 3 4．已知f (α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝________. 解析：∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.答案：－125．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α＝__________.解析：∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 答案：326．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：07．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝________.解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 答案：－3348．(2016·南通调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________.解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案：09．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f (0)＝1.(1)求A 的值；(2)若f (α)＝－15，α是第二象限角，求cos α.解：(1)由f (0)＝1，得A sin π4＝1，A ×22＝1，∴A ＝ 2.(2)由(1)得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin x ＋cos x .由f (α)＝－15，得sin α＋cos α＝－15，∴sin α＝－cos α－15，即sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos α－152，∴1－cos 2α＝cos 2α＋25cos α＋125，cos 2α＋15cos α－1225＝0，解得cos α＝35或cos α＝－45.∵α是第二象限角，∴cos α<0， ∴cos α＝－45.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α＋1，且f (2 013)＝2，则f (2 015)＝________.解析：因为f (2 013)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 013＋α＋1＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 006π＋π2＋α＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＋1＝cos α＋1＝2，所以cos α＝1. 所以f (2 015)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2×2 015＋α＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π＋π2＋α＋1＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＋1＝－cos α＋1＝0. 答案：03．已知f (x )＝cos2n π＋x2n π－xcos2n ＋π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫503π1 007的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 2k π＋x2k π－xcos2k ＋π－x ]＝cos 2x ·sin 2－xcos 2π－x ＝cos 2x －sin x2－cos x2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， f (x )＝cos 2k ＋π＋x ]·sin 2k ＋π－x ]cos2k ＋＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋π＋x 2[2k π＋π－x cos 2k ＋π＋π－x＝cos2π＋x2π－xcos 2π－x＝－cos x 2sin 2x－cos x2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫503π1 007＝sin2π2 014＋sin 21 006π2 014＝sin 2π2 014＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 014 ＝sin2π2 014＋cos 2π2 014＝1. 第三节 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表中k ∈Z).[小题体验]1．(教材习题改编)函数y ＝2sin x －1的定义域为______________________． 解析：由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z) 2．(教材习题改编)使函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3取最小值时x 的集合为________________．解析：要使函数取最小值，则2x －2π3＝2k π＋π(k ∈Z)，知x ＝k π＋5π6，k ∈Z.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π6，k ∈Z3．(教材习题改编)函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x ＝π2时，函数取到最大值2.答案：[1,2]4．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为______________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________． 解析：由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22.答案：－222．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为____________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)3．函数y ＝lg sin(cos x )的定义域为________． 解析：由sin(cos x )>0⇒2k π<cos x <2k π＋π(k ∈Z)． 又－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.故所求定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z考点一 三角函数的定义域与值域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3答案：2－ 32．(易错题)函数y ＝1tan x －1的定义域为______________．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋kx ，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 4．(易错题)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.[谨记通法]1．三角函数定义域的2种求法(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第2题易忽视．(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域． 2．三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数，如“题组练透”第4题．考点二 三角函数的单调性重点保分型考点——师生共研[典例引领]写出下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]；(2)f (x )＝|tan x |；(3)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. 解：(1)由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z.又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.(3)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，函数f (x )是增函数．因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.[由题悟法]求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[即时应用]1．(2016·宿迁调研)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．解析：由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.答案：32考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性常考常新型考点——多角探明[命题分析]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．常见的命题角度有： (1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数对称性的应用．[题点全练]角度一：三角函数的周期1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________． 解析：T ＝2π|－2|＝π.答案：π2．(2016·南京调研)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或3角度二：求三角函数的对称轴或对称中心3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的对称轴为________．解析：由题意得，2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝π8＋k π2(k ∈Z)即为函数f (x )的对称轴．答案：x ＝π8＋k π2(k ∈Z)4．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心是________．解析：2x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，所以x ＝k π4－π6，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π4－π6，0(k ∈Z)角度三：三角函数对称性的应用5．(2015·南京四校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为________．解析：πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)⇒ωmin ＝2.答案：26.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为________．解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.答案：34[方法归纳]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数y ＝cos x －32的定义域为________． 解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) 2．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． 解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， 故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． 答案：[－9,1]3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．解析：由题意知，T ＝π4，所以πω＝π4，所以ω＝4，所以f (x )＝tan 4x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.答案：04．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是____________． 解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z)5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝______.解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：53π4＋2k π(k ∈Z) 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是_______________________________. 解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 2．(2016·苏锡常镇四市调研)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝2sin 2x ，令2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，解得函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)3．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是________．解析：因为y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，所以ω<0且π|ω|≥π，则－1≤ω<0. 答案：[－1,0)4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝________.解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π125．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.答案：326．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. 答案：2或－27．(2015·南通调研)已知f 1(x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋x cosx ，f 2(x )＝sin x sin(π＋x )，若设f (x )＝f 1(x )－f 2(x )，则f (x )的单调增区间是________．解析：由题意知，f 1(x )＝－cos 2x ，f 2(x )＝－sin 2x ，f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，令2x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z)，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z)，故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z)。