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数字图像处理-正交变换

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【精选】数字图像处理第3章

【精选】数字图像处理第3章

设定加权因子 ai 和 bi 的值，可以得到不同的变换。例如，当选定
a2 b1 切。
1 ，b2

0.1
，a1

a0
b0

0
，该情况是图像剪切的一种列剪
（a）原始图像
Digital Image Processing
（b）仿射变换后图像
3.1 图像的几何变换
◘透视变换 :
把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视 变换，也称为投影映射，其表达式为:

a2

b2
a1 b1
a0
b0


y

1
平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。
仿射变换具有如下性质：
（1）仿射变换有6个自由度（对应变换中的6个系数），因此，仿射变换后 互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能
保 证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。
1D-DFT的矩阵表示 ：
F (0)

F (1)


WN00 WN10

F (2)

WN20

F (N 1)
W
(N N
1)0
WN01 WN11 WN21
WN(N 1)1

W
0( N
N
1)
WN1(N 1)

第3章 图像变换
◆ 3.1 图像的几何变换 ◆ 3.2 图像的离散傅立叶变换 ◆ 3.3 图像变换的一般表示形式 ◆ 3.4 图像的离散余弦变换 ◆ 3.5 图像的离散沃尔什－哈达玛变换 ◆ 3.6 K-L变换 ◆ 3.7 本章小结

《数字图像处理》习题参考答案

《数字图像处理》习题参考答案

1《数字图像处理》 习题参考答案第1章概述1.1连续图像和数字图像如何相互转换？答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。

这样，数字图像可以用二维矩阵表示。

将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像 （连续图像）信号，再由模拟 /数字转化器（ADC ）得到原始的数字图像信号。

图像的数字化包括离散和量化两个主要步骤。

在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。

1.2采用数字图像处理有何优点？答：数字图像处理与光学等模拟方式相比具有以下鲜明的特点：1 •具有数字信号处理技术共有的特点。

（1）处理精度高。

（2）重现性能好。

（3）灵活性高。

2•数字图像处理后的图像是供人观察和评价的，也可能作为机器视觉的预处理结果。

3•数字图像处理技术适用面宽。

4 •数字图像处理技术综合性强。

1.3数字图像处理主要包括哪些研究内容？答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、编码、恢复、重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的 图像。

1.4讨论数字图像处理系统的组成。

列举你熟悉的图像处理系统并分析它们的组成和功能。

答：如图1.8,数字图像处理系统是应用计算机或专用数字设备对图像信息进行处理的 信息系统。

图像处理系统包括图像处理硬件和图像处理软件。

图像处理硬件主要由图像输入设备、图像运算处理设备（微计算机） 、图像存储器、图像输出设备等组成。

软件系统包括操作系统、控制软件及应用软件等。

1.5 常见的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？答.目前图像处理系统开发的主流工具为 Visual C++ （面向对象可视化集成工具）和 MATLAB 的图像t+W<住《l 塁希碎«IUIMEH 鼻爭■图1.8数字图像处理系统结构图处理工具箱（Image Processing Tool box ）。

数字图像处理数字图像处理第二章(第六讲)KL变换、其他正交变换

数字图像处理数字图像处理第二章(第六讲)KL变换、其他正交变换

第二章 常用的数学变换
2.6其他正交变换 —离散沃尔什-哈达玛变换(WHT)
1 1 1 1 1 1 1 1
1
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H8
1 22
1 1
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2.6其他正交变换 —离散沃尔什-哈达玛变换(WHT)
1893年法国数学家哈达玛总结前人研究只包含+1和-1的正交矩 阵结果，形成哈达玛矩阵，既简单又有规律
1923年美国数学家沃尔什提出Walsh函数，具有特点 函数取值仅有两个(0,1或-1，+1) 由Walsh函数构成的Walsh函数集，具备正交性和完备性
种是按照哈达玛排列来定义。由于哈达玛排序的沃尔什函数是由2n （n=0，1，2，…）阶哈达玛矩阵（Hadamard Matrix）得到的，而
哈达玛矩阵的最大优点在于它具有简单的递推关系， 即高阶矩阵可 用两个低阶矩阵的克罗内克积求得，因此在此只介绍哈达玛排列定 义的沃尔什变换。
第二章 常用的数学变换
0.443(60) 0.742(70) 0.376(62) 0.106(50)
119.53
国家级精品资源共享课
第二章 常用的数学变换
第二章 常用的数学变换
2.1 引言 2.2 空域变换 2.3 频率域变换 2.4 离散余弦变换 2.5 KL变换 2.6 其他正交变换
第二章 常用的数学变换

数字图像处理中的常用变换

数字图像处理中的常用变换

一、离散傅里叶变换1.离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。

在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。

即使对无限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。

在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

DFT将空域变换到频域，很容易了解到图像的各空间频域的成分。

DFT的应用十分广泛，如：图像的特征提取、空间频率域滤波、图像恢复和纹理分析等。

2.离散傅里叶变换的性质1）线性性质2）比例性质3）可分离性4）平移性质5）图像中心化6）周期性7）共轭对称性8）旋转不变性9）卷积定理10）平均值二、离散余弦变换1.离散余弦变换简介为了快速有效地对图像进行处理和分析，常通过正交变换将图像变换到频域，利用频域的特有性质进行处理。

传统的正交变换多是复变换，运算量大，不易实时处理。

随着数字图像处理技术的发展，出现了以离散余弦变换（DCT）为代表的一大类正弦型实变换，均具有快速算法。

目前DCT变换在数据压缩，图像分析，信号的稀疏表示等方面有着广泛的应用。

由于其变换矩阵的基向量很近似于托普利兹（Toeplitz ）矩阵的特征向量，而托普利兹矩阵又体现了人类语言及图像信号的相关特性，因此常被认为是对语音和图像信号的最佳变换。

对给定长度为N 的输入序列f(x)，它的DCT 变换定义为:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∑-=102)12(cos )()(2)(N x N x x f u C N u F μπ式中：1,,1,0u -=N ，式中的)(u C 的满足：⎪⎩⎪⎨⎧==其它1021)(u u C在数字图像处理中，通常使用二维DCT 变换，正变换为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N x N y N v y N u x y x f v C u C N v u F ππ 其逆变换IDCT 为:⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N u N v N v y N u x v u F v C u C N y x f ππ 式中：1,,1,0u -=N ，1,,1,0v -=N 。

数字图像处理PPT——第十章 图像的正交变换

数字图像处理PPT——第十章 图像的正交变换
F (u , v) = ∑∑ f ( x, y ) ⋅ e
x =0 y =0 M −1 N −1 M −1 N −1
图像处理
− j 2π xu M − j 2π yv N
⋅e
yv xu − j 2π ⎡ ⎤ − j 2π M N = ∑ ⎢ ∑ f ( x, y ) ⋅ e ⎥e x =0 ⎣ y =0 ⎦
f ( x, y )e
⇔ F (u − u0 , v − v0 )
xu0 yv0 − j 2π ( + ) M N
f ( x − x0 , y − y0 ) ⇔ F (u , v)e
二维DFT的主要性质
图像处理
旋转性 空间域函数旋转角度 θ 0 ，那么在变换 域此函数的Fourier也旋转同样的角度。 反之，若 F(u,v) 旋转某一角度，则 f (x, y) 在空间域也旋转同样角度。
−
j 2πux N
1 = N
N / 2 −1
∑ f ( x)W
x =0
N −1
ux N
1 2 = [ 2 N
N / 2 −1
∑
x =0
2 2 ux f (2 x)WN + N
∑
x =1
u f (2 x + 1)WN ( 2 x +1) ]
N 1 1 M −1 1 M −1 ux ux u MΔ [ ∑ f (2 x)WM + f (2 x + 1)WM WN ] ∑ 2 2 M x =0 M x =1 k 1 u W2kN = WN / 2 = [ Fe (u ) + WN Fo (u )] 2 0≤u≤M
−∞
j 2πux
du
x为时域变量，u为频率变量，以上公式称 为Fourier变换对。

数字图像处理图像变换实验报告

数字图像处理图像变换实验报告

实验报告实验名称:图像处理姓名:刘强班级:电信1102学号:1404110128实验一图像变换实验——图像点运算、几何变换及正交变换一、实验条件PC机数字图像处理实验教学软件大量样图二、实验目的1、学习使用“数字图像处理实验教学软件系统”,能够进行图像处理方面的简单操作;2、熟悉图像点运算、几何变换及正交变换的基本原理,了解编程实现的具体步骤;3、观察图像的灰度直方图,明确直方图的作用与意义;4、观察图像点运算与几何变换的结果,比较不同参数条件下的变换效果;5、观察图像正交变换的结果,明确图像的空间频率分布情况。

三、实验原理1、图像灰度直方图、点运算与几何变换的基本原理及编程实现步骤图像灰度直方图就是数字图像处理中一个最简单、最有用的工具,它描述了一幅图像的灰度分布情况,为图像的相关处理操作提供了基本信息。

图像点运算就是一种简单而重要的处理技术,它能让用户改变图像数据占据的灰度范围。

点运算可以瞧作就是“从象素到象素”的复制操作,而这种复制操作就是通过灰度变换函数实现的。

如果输入图像为A(x,y),输出图像为B(x,y),则点运算可以表示为:B(x,y)＝f[A(x,y)]其中f(x)被称为灰度变换(Gray Scale Transformation,GST)函数,它描述了输入灰度值与输出灰度值之间的转换关系。

一旦灰度变换函数确定,该点运算就完全确定下来了。

另外,点运算处理将改变图像的灰度直方图分布。

点运算又被称为对比度增强、对比度拉伸或灰度变换。

点运算一般包括灰度的线性变换、阈值变换、窗口变换、灰度拉伸与均衡等。

图像几何变换就是图像的一种基本变换,通常包括图像镜像变换、图像转置、图像平移、图像缩放与图像旋转等,其理论基础主要就是一些矩阵运算,详细原理可以参考有关书籍。

实验系统提供了图像灰度直方图、点运算与几何变换相关内容的文字说明,用户在操作过程中可以参考。

下面以图像点运算中的阈值变换为例给出编程实现的程序流程图,如下:2、图像正交变换的基本原理及编程实现步骤数字图像的处理方法主要有空域法与频域法,点运算与几何变换属于空域法。

《数字图像处理》教学大纲

《数字图像处理》教学大纲

《数字图像处理》课程教学大纲Digital Image Processing一、课程说明课程编码：045236001 课程总学时（理论总学时/实践总学时）：51（42/9），周学时：3，学分：3，开课学期：第6学期。

1．课程性质：专业选修课2．适用专业：电子信息与技术专业3．课程教学目的和要求《数字图像处理》是信号处理类的一门重要的专业选修课，通过本课程的学习，应在理论知识方面了解和掌握数字图像的概念、类型，掌握数字图像处理的基本原理和基本方法：图像变换、图像增强、图像编码、图像的复原和重建。

并通过实验加深理解数字图像处理的基本原理。

4．本门课程与其他课程关系本课程的先修课程为：数字信号处理和应用5．推荐教材及参考书推荐教材：阮秋琦，《数字图像处理学》（第二版），电子工业出版社，2007年参考书（1）姚敏等，《数字图像处理》，机械工业出版社，2006年（2）何东健，《数字图像处理》（第二版），西安电子工业出版社，2008年（3）阮秋琦，《数字图像处理基础》，清华大学出版社，2009年（4） (美)Rafael C. Gonzalez著，阮秋琦译，《数字图像处理》（第二版），电子工业出版社，2007年6．课程教学方法与手段主要采用课堂教学的方式，通过多媒体课件进行讲解，课外作业，答疑辅导。

并辅以适当的实验加深对数字图像处理的理解。

7．课程考核方法与要求本课程为考查课课程的实验成绩占学期总成绩的50%，期末理论考查占50%；考查方式为笔试。

8．实践教学内容安排实验一：图像处理中的正交变换实验二：图像增强实验三：图像复原详见实验大纲。

二、教学内容纲要与学时分配（一）数字图像处理基础(3课时)1．主要内容：图像处理技术的分类，数字图像处理的特点，数字图像处理的主要方法及主要内容，数字图像处理的硬件设备，数字图像处理的应用，数字图像处理领域的发展动向2．基本要求：了解图像处理技术的分类和特点，数字图像处理的主要方法及主要内容，熟悉数字图像处理的硬件设备。

第3章 图像处理中的正交变换

第3章 图像处理中的正交变换

3. 周期性 傅立叶变换和反变换均以N为周期，即：
F(u,v)=F(u+N,v)= F(u,v+N)=F(u+N,v+N) (3-24)
周期性表明： 尽管F(u,v）对无穷多个u和v的值重复出现， 但只要根据任意周期内的N个值就可以从F(u,v） 得到f(x,y)。即只需一个周期内的变换就可以将 F(u,v）完全确定。 对于f(x,y)在空间域里也同样成立。
1 M 1N 1 ux vy f ( x, y ) = ∑ F (u, v) exp j 2 M + N ∑ MN u=0 =0 x = 0,1,2,, M 1 y = 0,1,2,, N 1
(3—15)
在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情 况下总是 M N 。因此，二维离散傅里叶变换多采 用下面两式形式。
(3—17) 式中符号 F (u , v) 可称为空间频率。
a) 原始图像
b) 离散傅立叶频谱
图3-5 二维图像及其离散傅立叶频谱的显示
在图3-5b中可以看到图像的低频能量（反映景物的概貌）都集 中在中心部分，而高频能量（反映景物的细节）集中在四周，这样 就便于以后对图像频谱进行各种处理（如滤波、降噪等）。
4. 共轭对称性
如果
F (u , v)
是
f ( x , y ) 的傅里叶变换， * (u,v) F
是 f ( x , y ) 傅里叶变换的共轭函数， 那么
F (u, v) F * (u,v)
（3－25）
5. 旋转性
如果空间域函数旋转的角度为 0 ，那么在 变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度， 即
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1.可分离性 式（3－16）和（3－17）可以分离成如下形式：

图像处理中正交变换方法对比汇总

图像处理中正交变换方法对比汇总

目录1课程设计目的 (1)2课程设计要求 (1)3 正交变换的概述 (1)3.1 信号的正交分解 (1)3.2 正交变换的定义 (2)3.3 正交变换的分类 (3)3.4 正交变换的标准基 (3)3.4.1 一维DFT的标准基 (3)3.4.2 二维DFT (5)3.4.3 正交变换的标准基图像 (6)3.5 正交变换在图像处理中的应用 (7)4 傅里叶变换 (8)4.1 傅里叶变换的定义及基本概念 (9)4.2 傅里叶变换代码 (13)4.3 傅里叶变换与逆变换结果 (14)5 离散余弦变换 (14)5.1 离散余弦变换的定义 (14)5.2 离散余弦变换代码 (17)5.3 离散余弦变换与逆变换结果 (17)6 小波变换 (18)6.1概述 (18)6.2 小波变换的基本理论 (18)6.3 小波变换代码 (20)6.4 小波变换结果 (21)7 结论 (21)8 参考文献 (22)图像处理中正交变换方法对比1课程设计目的(1) 理解正交变换的基本概念及分类。

(2) 掌握傅立叶变换及逆变换的基本原理方法。

(3) 掌握离散余弦变换的基本原理方法。

(4) 掌握小波变换的基本原理及方法。

(5) 学会利用matlab 软件进行数字图像处理与分析2课程设计要求（1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。

（2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。

（3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。

（4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。

3 正交变换的概述3.1 信号的正交分解完备的内积空间称为希尔伯特空间。

折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。

某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即X=∑=Nn n n a 1φ （式3-1） 式（3-1）中a 1 , a 2 , ⋯, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。

数字图像处理 第三讲 正交变换

数字图像处理 第三讲 正交变换

正交变换
6、二维卷积定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
7、相关定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G * (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
二维离散傅立叶变换对可表示为：
ux vy f ( x, y) exp j 2 N x 0 y 0 u, v 0,1,2,, N 1 1 F (u, v) N
N 1 N 1
ux vy F (u, v) exp j 2 N u 0 v 0 x, y 0,1,2,, N 1 1 f ( x, y ) N

x 0 y 0
N 1 N 1
ux vy f ( x, y) exp j 2 N exp j 2 mx ny x 0 y 0 当m，n为整数时， j 2 mx ny 为单位值 exp
N 1 N 1
正交变换
8、平均值 二维离散函数的平均值定义为：
1 f ( x, y ) 2 N
f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
将u=0,v=0代入二维离散傅立叶变换式中有：
1 F 0,0 2 N
f ( x, y) f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
u mN x v nN y f ( x, y ) exp j 2 N
F (u mN , v nN ) F (u , v)

图像的正交变换.

图像的正交变换.

•
•
}
•
::FFT(fRData,fIData,fftWidth,-1);
•
for(j=0;j<fftWidth;j++)
•
{
•
ptrRData[j+i*fftWidth]=fRData[j];
•
ptrIData[j+i*fftWidth]=fIData[j];
•
}
•
}
• //转置 列 FFT
•
for(i=0;i<fftWidth;i++){
从实际操作来说，图像变换就是对原图像函数 寻找一个合适的变换核的数学问题。
• 数字图像处理的方法主要有两类：空间域处理 法和频域法。
• 空域法指对直接像素点及其值进行处理。
• 频域法是指先将图像变换到频域，再进行滤波 等处理，然后再经逆变换回到空间域，得到处 理后的图像。
• 图像正交变换用于图像特征提取、图像增强、 图像复原、图像压缩和图像识别等。
f (x, y) F (u.v)
正变换

F (u, v)

1 MN
M 1 N 1 x0 y0
f
(x,
y) exp
j2 ( ux
M

vy N
)

u 0,1, 2, , M 1


v 0,1, 2, , N 1

反变换
f
(x,
y)
e N
W WW441000
W401 W411
W402 W412
W403 W413


1 1
1 j
1 1

数字图像处理-正交变换

数字图像处理-正交变换
表示。 ❖ RGB图像
➢ 图像的灰度为该点的R、G、B值，直接存放在图像 灰度矩阵中。
➢ 一般每个像素需要用3×8＝24bit位来表示。 ➢ 其色彩可为224 ，一般称为真彩图像。 ❖ 其他图像－还有图像的透明因子，每个像素需要32bit 来表示。
1.3 数字图像处理的研究内容
从计算机处理的角度可以由高到低将数 字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图 像处理的所有应用领域。
2.1 图像变换的表达式－正交变换
二维变换：N×N的二维函数f(x,y)
N 1 N 1
F (u,v)
f (x, y)u,v (x, y), 0 u, v N 1
x0 y0
N 1 N 1
f (x, y)
F (u,
v)
* u,v
( x,
y),
0
x,
y
N
1
u0 v0
u,v (x, y)
2.1 图像变换的表达式－正交变换
正交变换的变换核为正交函数。 满足正交性：AT A AAT I 。 满足完备性：函数集合中的函数可以完
整的对其他函数进行分解表达。 正交完备性意味着所有的正交函数都存
在于完备函数集中，无论是在时域还是 在变换域中其能量都是相同的，可以将 函数分解成正交函数的表达形式。
1.1 数字图像
❖ 矩阵中每一个元素称为像素(pixel)，其值 称为图像的灰度或亮度(intensity)，是离 散的。
❖ 矩阵的维数或大小称为图像的分辨率。 ❖ 无论是灰度还是分辨率，量化时一般都
取2的整数幂。 ❖ 一般地，彩色图像可以采用红(R)、绿(G)、
蓝(B)三个矩阵表示或混合表示。
1.2 数字图像的种类
图

第3章 正交变换(08) 数字图像处理课件_820

第3章 正交变换(08) 数字图像处理课件_820

相位谱
E (u ) |F (u )|2 R 2 (u ) I2 (u ) 能量谱或功率谱
第3章 图像信号的正交变换
2. 二维DFT
很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。二维离 散傅立叶变换对定义为
M1N1
j2(uxv y)
F[f(x,y)]F(u,v)
f(x,y)e M N
x0 y0
F1[F(u,v)]f(x,y)
第3章 图像信号的正交变换
3.4.1 一维离散余弦变换
一维DCT定义如下：
F(u)C (u) 2N1f(x)co(2sx1)u
Nx0
2N
一维DCT的变换核定义为
g(x,u)C(u) 2co(2sx1)u
N 2N
1
C(u)
2
u0
1
其他
式中，u, x=0, 1, 2, …, N－1。
第3章 图像信号的正交变换
(3-2)
完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。
第3章 图像信号的正交变换
3.2 离散傅 立 叶 变 换
3.2.1 当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x) （1） 具有有限个间断点； （2） 具有有限个极值点； （3） 绝对可积。
则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。 在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。
第3章 图像信号的正交变换
通常傅立叶变换为复数形式， F (u )R (u )j( Iu )
式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。也可表 示成指数形式：
F(u)=|F(u) |ejφ(u)
其中
| F(u) | R2(u) I 2(u)
频谱或幅度谱
(u) arctan I (u)

第四章数字图像的变换域处理

第四章数字图像的变换域处理
>>FＣ＝fｆtshiｆt(Ｆ);
Lｅnａ图像的移动后的频谱结果显示于图4.２中，对比图４．２与图４.１(ｂ),可以看出其移动效果。
例4.1利用卷积定理计算两个矩阵Ａ、B的卷积
>>[M,N]=size(Ａ);
>>[P，Q]=sｉze(B）;
>＞p1=M+Ｐ－1;
>＞q1=N＋Ｑ-1;
＞>A1=fft２（Ａ,p1,q1);
>>T=dｃtｍtx(n）;
函数返回值T为 的变换核矩阵，对于 的方阵Ａ,可以使用矩阵运算Ｂ=T*A＊D’计算其DCT变换。
例4．3利用Ｄcｔmtx（)函数编程实现对Lｅna图片计算其离散余弦变换。
＞＞f=imreaｄ('E:＼mａｔlab7\leｎａ.bmｐ＇);
＞>g＝ｒgｂ２gray(f);
一维离散线性变换可以表示为变换矩阵形式,对于一个 的向量 ，其离散线性变换可以表示为:
(4-２1)
其中, 为变换结果， 为 的变换矩阵，如果 矩阵是非奇异的,其逆矩阵 存在,其逆变换可以表示为:
(4－２2)
如果逆矩阵 等于变换矩阵的 共轭转置，有
（4-23）
则称 矩阵为酉矩阵，对应的变换为酉变换。离散傅里叶变换的也可写成式(4－２1）的矩阵表示,变换矩阵 为:
>>B1=fft2(B,ｐ1,q1）;
>>C=A1.*B1;
>＞C1=ifft2(C）;
其中ffｔ2(A,p1,q1）是将图像Ａ扩展为 矩阵后再计算其傅里叶变换。
４.２离散余弦变换
4.2.1离散余弦变换
离散余弦变换(Dｉscｒete CoｓｉnｅＴrａnsform, DCT)的变换基矢量为余弦函数,一维离散余弦变换的基矢量为:

第3章 图像处理中的正交变换

第3章 图像处理中的正交变换
6
第二章 数字图像处理基础
（2）若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号， 平方可积。可以表示为： 意味着f(x)可以由无
f ( x) anun ( x)
n 0
穷级数来表示
对任意小的ε＞0，存在充分大的N， t 0 T 2 f ( x) f ( x) dx
t0
反变换核
显然，这两个变换核应该满足正交性和完 备性。
12
第二章 数字图像处理基础
3.1 傅里叶变换
• 傅里叶变换
利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换 到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通）， 然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤 波。
• 低通滤波：在频率域中抑制高频信号 • 高通滤波：在频率域中抑制低频信号
即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点（0，0） 移至显示屏的中心点只要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子再进行傅 里叶变换即可实现。 例题：利用(-1)x+y对单缝图像f(x,y)进行调制，实现把频谱 坐标原点移至屏幕正中央的目标。
A A AA I
T T
10
第二章 数字图像处理基础
一维正交变换
对于一向量f，用上述正交矩阵进行运算：
g = Af
若要恢复f，则:
f A gA g
T
1
以上过程称为正交变换。 我们把原为A-1可以用AT来代替的A阵称为正 交矩阵。
11
第二章 数字图像处理基础
二维正交变换 • N×N二维函数可以类似于一维
第二章 数字图像处理基础
三、 二维离散傅里叶变换的性质 • 基本性质：
1.线性
f1 x, y F1 u, v c1 f1 x, y c2 f 2 x, y c1F1 u, v c2 F2 u, v f 2 x, y F2 u, v

数字图像处理 第四章 图像的正交变换

数字图像处理 第四章 图像的正交变换

cos sin
F (, ) 2 f (r, )e j 2 rcos( ) rdrd 00
将图像旋转 θ 角度时
F(, 0)
0
2 f (r, )e2 j rcos[( 0 )]rdrd
0
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
原图
原图的频谱
将原图旋转
旋转 θ 后图像的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
- j 2 ( u0 x v0 y )
DFT ( f (x, y) e M N )
f (x, y) e M N e
MN
x0 y0
M 1 N 1
j 2 ( (u u0）x (v v0 ) y )
f (x, y) e
M
N
x0 y0
F (u u0 , v v0 )
当
u0
M 2
, v0
4.1.1 傅里叶变换的定义
原始图像
图像的傅立叶频谱
如果频谱图的亮点在中心区域比较集中，说明图像含有较多的低频分量； 如果频率图的亮点在边缘部分比较集中，则说明图像含有较多的高频分量。
4.1.1 傅里叶变换的定义
图像的幅度谱
图像的相位谱
4.1.1 傅里叶变换的定义
人为加入噪声后的图像
人为加入噪声后图像的频谱
（五）、尺度变换性 给定标量 a，则有下式成立：
af x, y aF u,v
图像尺度上的变化不影响图像的频谱分布。
4.1.2
(a)原始图像
(b)将原始图像放大1.5倍后的图像
(c)原始图像频谱
(d)将原始图像放大1.5倍后图像的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（六）、离散卷积定理

(完整版)数字图像处理简答题

(完整版)数字图像处理简答题

1. 图像处理的主要方法分几大类?答：图字图像处理方法分为大两类：空间域处理（空域法）和变换域处理（频域法）。

空域法：直接对获取的数字图像进行处理。

频域法：对先对获取的数字图像进行正交变换，得到变换系数阵列，然后再进行处理，最后再逆变换到空间域，得到图像的处理结果2. 图像处理的主要内容是什么?答：图形数字化（图像获取）：把连续图像用一组数字表示，便于用计算机分析处理。

图像变换：对图像进行正交变换，以便进行处理。

图像增强：对图像的某些特征进行强调或锐化而不增加图像的相关数据。

图像复原：去除图像中的噪声干扰和模糊，恢复图像的客观面目。

图像编码：在满足一定的图形质量要求下对图像进行编码，可以压缩表示图像的数据。

图像分析：对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，从而获得所需的客观信息。

图像识别：找到图像的特征，以便进一步处理。

图像理解：在图像分析的基础上得出对图像内容含义的理解及解释，从而指导和规划行为。

3. 名词解释：灰度、像素、图像分辨率、图像深度、图像数据量。

答：灰度:使用黑色调表示物体,即用黑色为基准色，不同的饱和度的黑色来显示图像.像素：在卫星图像上，由卫星传感器记录下的最小的分立要素(有空间分量和谱分量两种)。

通常，表示图像的二维数组是连续的，将连续参数 x,y ，和 f 取离散值后，图像被分割成很多小的网格，每个网格即为像素 图像分辨率：指对原始图像的采样分辨率，即图像水平或垂直方向单位长度上所包含的采样点数。

单位是“像素点/单位长度”图像深度是指存储每个像素所用的位数,也用于量度图像的色彩分辨率.图像深度确定彩色图像的每个像素可能有的颜色数,或者确定灰度图像的每个像素可能有的灰度级数.它决定了彩色图像中可出现的最多颜色数,或灰度图像中的最大灰度等级（图像深度：位图图像中，各像素点的亮度或色彩信息用二进制数位来表示，这一数据位的位数即为像素深度，也叫图像深度。

图像深度越深，能够表现的颜色数量越多，图像的色彩也越丰富。

正交(FFT)变换图像处理

正交(FFT)变换图像处理

X [0] X [1] X [2] X [3] X [4] X [5] X [6] X [7]
x[2] x[4] x[6] x[6] x[1] x[1]
x[3] x[5] x[5] x[3] x[7] x[7]
W80
1
W X12[1] W8 4
X21[0]
W
0 8
X21[1] 1
W81 X2[1]
0 0 W4 8 21 1
FFT的算法原理
FFT 不是一种新的变换，它只是DFT的一种改进算法。 它分析了DFT中重复的计算量，并尽最大的可能使之减 少，从而达到快速计算的目的。 把时间序列 x（n）按照 n 的奇偶进行分组计算的 FFT 算法又称为按时间分组的 FFT 算法。而如果将频率序 列 X（m）按照 m 的奇偶进行分组而进行计算的算法， 则称为按照频率分组的 FFT 算法。 将时域序列逐次分解为一组子序列，利用旋转因子 WPN 的特性，由子序列的 DFT 来实现整 个序列的 DFT，从 而提高 DFT 的运算效率，也就实现了快速傅立叶变换。 设输入序列长度为 N=2M(M 为正整数)，将该序列的频 域的输出序列 X(k)(也是 M 点序 列)，按其频域顺序 的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按频率抽取 的FFT算法。也称为 Sander-Tukey 算法。 FFT蝶式流程图算法
利用傅里叶变换等正交变换算法进行 图像处理
正交变换(1/3)
数字图像处理的方法主要分为两大类： 一个是空间域处理（或称空域法）; 一个是频域法（或称变换域法）。 在频域法处理中最为关键的预处理便是变换处理。 这种变换一般是线性变换，其基本线性运算式 是严格可逆的，并且满足一定的正交条件，因 此，也将其称作酉变换。目前，在图像处理技 术中正交变换被广泛地运用于图像特征提取、 图像压缩、图像增强、图像复原、图像识别以 及图像编码等处理中。 所谓正交变换如下所述：
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F (u, v) R(u, v) jI (u, v) F (u, v) e j (u ,v )
幅度谱: 相位谱:
F (u , v) R 2 (u , v) I 2 (u , v)
I (u, v) (u, v) tg R(u, v)
1
能量谱:
E (u, v) R (u, v) I (u, v)




矩阵中每一个元素称为像素(pixel)，其值 称为图像的灰度或亮度(intensity)，是离 散的。 矩阵的维数或大小称为图像的分辨率。 无论是灰度还是分辨率，量化时一般都 取2的整数幂。 一般地，彩色图像可以采用红(R)、绿(G)、 蓝(B)三个矩阵表示或混合表示。
1.2 数字图像的种类
数字图像处理
1 基本概念

模拟图像处理


包括光学处理和电子学处理。如照相、电视 图像等的处理； 速度快，但精度不高。 利用计算机或其他硬件对图像进行处理。 精度高，但是速度较慢。

数字图像处理

1.1 数字图像
从物理的角度来看，一幅图像记录的是 物体辐射能量的空间分布。
I f ( x, y, , t ) I f ( x, y)
几种基本数字图像类型：



二值图像 灰度图像 索引图像 RGB图像(真彩图像) 其他图像
1.2 数字图像

二值图像:

图像的灰度级别仅有2个，即0和1。 通常用于文字图像。 每个像素只用1bit表示。 图像灰度通常有较大的取值范围，常用的为256级 ，即灰度值域为[0,255]。 0表示黑色，255表示白色，其他灰度为从黑到白的 变化情况。 每个像素所需的字节数根据其灰度的变化范围不同 二不同。256级灰度图像每个像素需用8bit表示。

学习内容



正交变换 复原和增强 图像编码 图像分割 形态学处理 图像识别
2 图像的正交变换
2.1 图像正交变换


数字图像是一个二维信号，可以写成代 数形式，也可写成实数矩阵形式。 可以采用初等变换找到同型矩阵：
F PfQ

f P FQ
1
1
数字图像的变换要求能从反变换中完整 地恢复过来。正交变换是满足完整反变 换要求的一种变换。
4
w w 1
4 0
w2 e w e
3
j

2 3 4
w w
5 6 7
1 2 3
j
w w w w
j
4. FFT举例
f ( x) 0 0 0 11 0 0 0 , N 8, 求F（u）
F（u） 1 0 0 1
-1 -1
f（x） 0 0 0 1 1 0 0 0
如果不考虑波长和时间的因素，则图像的 一般表达形式为：
1.1 数字图像


数字图像可以理解为图像物体的一种数字化表 示形式。对连续图像可以进行空间和幅度抽样， 得到数字图像。 在空间和幅度上对图像进行抽样：
对每个像素点进行灰度级 m 量化：G=2 常取 m= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12bit
F (u , v ) a (u , x ) f ( x, y ) a (v, y )
x 0 y 0 N 1 N 1
a (u , x )( f ( x, y ) a (v, y ))
x 0 y 0
N 1
N 1
即可将二维变换进行分解计算，分别对行和列进 行计算，简化计算过程。
-1
x3(5) x3(6)
x(6)
x(7)
x2(6) x2(7)
w3 -1
x3(7)
2.2 .3 离散傅立叶变换
3. 如何提高FFT的速度？ （1）减少乘法次数；（2）基4、基8算法；（3）实数FFT； （4）硬件实现（DSP芯片，FFT集成块） 因为：
w 1
0
w1 e
j
2 N
e
j

j

4
1 j
1 e
j

4
w0 1
其中：
w e
1
j

4
w w
2
e e

2 3 4
j
2 2
2
I (u ) (u ) arctg[ ] R (u )
能量谱：
E (u) F (u) R (u) I (u)
2 2 2
2.2.2 二维傅立叶变换
1. 二维连续函数傅立叶变换（2D FT） 定义: 若f(x,y)是连续图像函数
正变换:
F (u, v)


x方向，抽样M行 y方向，每行抽样N点 整个图像共抽样MN个像素点
一般取 M=N=2n=64，128，256， 对应的灰度级为: 512，1024，2048 64,128,256,512,1024,204 8,4096级
1.1 数字图像

数字图像常用矩阵来表示：
f ( x, y )
f (0,1) f (0,0) f (1,0) f (1,1) f ( x, y ) f ( N 1,0) f ( N 1,1)
x 0,1, , N 1
f (0, N 1) f (1, N 1) f ( N 1, N 1)
NN
f (i, j ) 0 ~ 255,
y 0,1, , N 1 (灰度级256，设灰度量化为8bit ）
1.1 数字图像
1.3 数字图像处理的研究内容
从计算机处理的角度可以由高到低将数 字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图 像处理的所有应用领域。
图 像 分 析 中级
图像处理
图像理解
低级
高级
1.3 数字图像处理的研究内容

数字图像处理是一门交叉学科，研究方法上， 与数学、物理学、生理学、心理学、电子学、 计算机科学相互借鉴；研究范围上，与计算机 图形学、模式识别、计算机视觉相互交叉。

f ( x, y) exp j 2 (ux vy)dxdy F (u, v) exp j 2 (ux vy)dudv
反变换:
Hale Waihona Puke f ( x, y)


变换对:
f ( x, y) F (u, v)
2.2.2 二维傅立叶变换
2. 幅度谱、相位谱、能量谱 一般F(u,v)是复函数,即:
1.3 数字图像处理的研究内容

图像重建
由原始图像数据进行不同目的的图像显示。如二维 图像重建三维图像。

图像分割与特征提取
图像分割是指将一幅图像的区域根据分析对象进行 分割。 图像的特征提取包括了形状特征、纹理特征、颜色 特征等等。

图像分析和理解
对图像中的不同对象进行分类、识别和描述、解释。
1.3 数字图像处理的研究内容
mn WN 2
mn X ( m) x ( n)WN N 1 2 n 0 N 1 2 n0
mn mn x1 (n)WN x2 (n)WN n 0 n 0
N 1 2
N 1 2

m m x (2n)WN 2 n x(2n 1)WN (2 n 1) N 1 2 n 0 N 1 2 n 0
F (u ) exp j 2uxdu
傅立叶反变换：



2.2.1 一维傅立叶变换
如果f ( x) 为实函数，傅立叶变换用复数表示：
F (u) R(u) jI (u)
用指数形式表示：
F (u) F (u) e
傅立叶谱： 相角：
j (u )
F (u) [R (u) I (u)]
w
-1 -1 -1
x3(0)
x3(1) x3(2)
-1
x4(0) x4(1) x4(2)
x(1)
x(2) x(3) f(x) x(4) x(5)
w2
x3(3) x3(4)
x4(3)
x4(4) x4(5) x4(6) x4(7)
F(u)
x1(4) x1(5)
x1(6) w2 x1(7)
w2
-1
-1 -1
图像 图像处理 图像
客 观 世 界
计 算 机 视 觉
计算机图形学 数据 图像理解
图像分析
模 式 识 别
（转换） 图像理解 （人） 符号
新理论 新工具 新技术
1.3 数字图像处理的研究内容



图像正交变换 采用各种图像变换方法对图像进行间接处 理。有利于减少计算量并进一步获得更有效的 处理。 图像增强与复原 加强图像的有用信息，消弱干扰和噪声。 把退化、模糊了的图像复原。模糊的原因 有许多种，最常见的有运动模糊，散焦模糊等 等。 图像编码 简化图像的表示，压缩表示图像的数据， 以便于存储和传输。
mn mn x (2n)W N x (2n 1)W N N X 1 ( m) X 2 ( m) Wm 2 2
2.2.3 离散傅立叶变换
2. 快速傅立叶变换流程图
x(0) x1(0) x1(1) x1(2) x1(3)
-1 -1 -1
基2、时间抽取算法，N=8
x2(0)
x2(1) x2(2) x2(3) x2(4) x2(5) 1
1 1 1 -1 -1
w2
-1 -1
2
0
2
1 e
j
3 4
-1
1 j 1 j
1 e 1 e
1 j
1 e

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