高二数学培优题组一

高二数学人教版选择性必修第一册全册考试复习必刷检测卷（培优版）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．（2021·全国高二课时练习）已知M 、N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且MP =2PN ，设向量OA a =，OB b =，OC c =，则OP =（）A ．111666a b c++B ．111333a b c++C ．111633a b c++D ．111366a b c++2．（2021·重庆市清华中学校高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为底面1111D C B A 内一动点，则EA EC ⋅的取值范围是（）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．（2021·四川仁寿一中高二月考）已知点P 为直线1y x =+上的一点，,M N 分别为圆221:(4)(1)4C x y -+-=与圆222:(4)1C x y +-=上的点，则||||PM PN +的最小值为（）A ．5B ．6C ．2D ．14．（2021·黑龙江让胡路·大庆中学高二月考）已知圆O 的圆心在坐标原点，且与直线22y x =+相切，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点（）A ．48,99⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．24,99⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,05．（2021·怀仁市大地学校高中部高二月考）已知曲线C ：221mx ny +=（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上B ．若m =n >0，则C 是圆，其半径为r =1C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为n y x m=±D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线6．（2021·全国高二单元测试）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点，,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．347．（2021·浙江温州·高二期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆．已知(0,0)O ，(3,0)A ，圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足||2||PA PO =，则r 的取值可以为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2021·全国高二课时练习）如图，设1F ，2F 是双曲线()22210xy a a-=>的左、右焦点，过点2F 作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点A ，若12AF F △的面积为54，离心率满足12e <<，则双曲线的方程为（）A ．2215x y -=B ．2214x y -=C ．2213x y -=D ．2212x y -=二、三、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

第一章 空间向量与立体几何本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列四个结论正确的是 （ ）A ．任意向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线C ．空间中任意向量,,a b c 都满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．已知向量()()1,1,,2,,4a x b x ==-，若25x <，则,a b 为钝角 【答案】B【解析】0a b ⋅=则0a =或0b =或0,0a b ≠≠，a b ⊥，故A 错误； 若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，即()()1233OC OA OB OC -=-， 所以1233AC CB =，化简得：2AC CB =，则A ，B ，C 三点共线，B 正确；设()()()1,1,1,2,2,1a b c ===。

则不满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，C 错误；()()1,1,,2,,4a x b x ==-，则()()1,1,2,,42452a b x x x x x ⋅=⋅-=-++=-，令520x -<得：25x <，当1124xx ==-时，2x =-，此时,a b 反向， 要想,a b 为钝角，则25x <且2x ≠-，故D 错误. 故选：B2．直角梯形ABCD 中，,4,2,,AB DC AB CD AD BC AB E ===⊥∥是边AB 的中点，将三角形ADE 沿DE 折叠到1A DE 位置，使得二面角1A DE B --的大小为120，则异面直线1A D 与CE 所成角的余弦值为（ ）A ．14B C D ．34【答案】D建如图所示空间直角坐标系，得)11,0A -，()()()0,0,2,0,0,0,0,2,2D E C ，所以()()13,1,2,0,2,2A D EC =-=，所以11123cos ,48A D EC A D EC A D EC⋅+===. 故选：D3．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-【答案】B【解析】1121132322MN MA AB BN OA OB OA BC OA OB OC OB =++=+-+=-++-211322OA OB OC =-++，又OA a =，OB b =，OC c =，∴211322MN a b c =-++,故选：B ．4．以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0【答案】B对于A 选项，设()()()1,1,00,1,11,0,1m n =+，所以，110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解；对于B 选项，因为()()()2,2,403,0,021,1,2=⋅+，故B 选项中的三个向量共面； 对于C 选项，设()()()1,2,31,3,22,3,1x y =+，所以，2133223x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解；对于D 选项，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，所以，013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾.故选：B.5．如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++【答案】B【解析】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++故选：B6．设P ABC -是正三棱锥，G 是ABC 的重心，D 是PG 上的一点，且PD DG =，若PD x yPB z PA PC =++，则(),,x y z 为（ ）A ．512,,633⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．111,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．111,,633⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．111,,363⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为三棱锥P ABC -是正三棱锥，G 是ABC 的重心， 所以1111112()()3333333AG AB AC PB PA PC PA PB PC PA =+=-+-=+-， 因为D 是PG 上的一点，且PD DG =， 所以12PD PG =， 因为PG PA AG =+， 所以111222PD PG PA AG ==+ 1111222333PA PB PC PA ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭11112663PA PB PC PA =++-111666PA PB PC =++, 因为PD x yPB z PA PC =++，所以16x y z ===，所以(),,x y z 为111,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：B7．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为CD ，CB 的中点，分别沿AE ，AF 将三角形ADE ，ABF 折起，使得点B ，D 恰好重合，记为点P ，则AC 与平面PCE 所成角等于（ ）A ．6πB ．4π C ．3πD ．512π 【答案】A【解析】由题意得,PA PF PA PE ⊥⊥，因为正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为CD ，CB 的中点， 所以1PE PF CE CF ====，所以222222EF CE CF PE PF =+==+， 所以PE PF ⊥所以P A ，PE ，PF 三线互相垂直，故以PE ，PF ，P A 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0P ，()1,0,0E ，()0,0,2A ，()0,1,0F ，设(),,C x y z ，则(,,2),(1,,),(,1,)AC x y z EC x y z FC x y z =-=-=-由AC =1EC =，1FC =，得222222222(2)8,(1)1,(1)1x y z x y z x y z ++-=-++=+-+=，解得222,,333C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则222,,,(1,0,0)333PC PE ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，则22203330n PC x y z n PE x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩，令1z =，则()0,1,1n =， 因为228,,333AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以AC 与平面PCE 所成角的正弦值1cos ,22n AC n AC n AC⋅===，因为AC 与平面PCE 所成角为锐角， 所以AC 与平面PCE 所成角为6π， 故选：A8．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．34D ．23【答案】A【解析】设上底面圆心为1O ，下底面圆心为O ，连接1,,OO OC OB 以O 为原点，分别以1,,OC OB OO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 则11(1,0,0),(0,2,0),(0,1,2),(2,0,2),C A B D 则11(1,0,2),(0,1,2)CD AB ==- 1111114cos ,55CD AB CD AB CD AB ⋅===⋅又异面直线所成角的范围为π(0,2⎤⎥⎦故异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为45故选：A一、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（ ）A ．当P 为1BD中点时，APC ∠为锐角B ．存在点P ，使得1BD ⊥平面APCC ．AP PC +的最小值D ．顶点B 到平面APC 【答案】ABD【解析】：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系， 设()101BP BD λλ=≤≤，则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2A B C D ， 则()11,1,2BD =--，故()1,,2BP BD λλλλ==--， 则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=--，()()()1,0,0,,21,,2CP CB BP λλλλλλ=+=+--=--，对于A ，当P 为1BD 中点时，则11,,122AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,122CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则11,,122PA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,,122PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1cos 03PA PC APC PA PC⋅∠==>⋅， 所以APC ∠为锐角，故A 正确； 当1BD ⊥平面APC ，因为,AP CP ⊂平面APC ，所以11,BD AP BD CP ⊥⊥， 则11140140BD AP BD CP λλλλλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得16λ=，故存在点P ，使得1BD ⊥平面APC ，故B 正确；对于C ，当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值， 由B 得，此时16λ=， 则151,,663AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，511,,663CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以306AP CP ==即AP PC +C 错误； 对于D ，()()0,1,0,1,1,0AB AC =-， 设平面APC 的法向量(),,n x y z =， 则有()0120n AC x y n AP x z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，可取()2,2,21n λλλ-，则点B 到平面APC 的距离为cos ,12AB n AB AB n nλ⋅⋅==当0λ=时，点B 到平面APC 的距离为0，当01λ<≤时，==≤，当且仅当12λ=时，取等号，所以点B 到平面APC，故D 正确. 故选：ABD.10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别是CD ，11A B ，1DD ，BC 的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．E ，F ，M ，N 四点共面B ．BD 与EF 所成的角为3πC ．在线段BD 上存在点P ，使1PC ⊥平面EFMD ．在线段1A B 上任取点Q ，三棱锥Q EFM -的体积不变 【答案】ABD【解析】以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设2AB =，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,2,2C ，()0,1,0E ，()2,1,2F ，()0,0,1M ，()1,2,0N ，设DE xDF yDM zDN =++，则()()()()0,1,02,1,20,0,11,2,0x y z =++，所以20,21,20,x z x z x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1,32,32,3x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩故1x y z ++=，即E ，F ，M ，N 四点共面，选项A 正确；因为()2,2,0DB =．()2,0,2EF =，所以1cos ,28DB EF DB EF DB EF⋅===⋅， 所以BD 与EF 所成的角为3π，选项B 正确； 假设在线段BD 上存在点P ，符合题意.设()01DP DB λλ=≤≤，则()1112,22,2PC DC DP DC DB λλλ=-=-=--，若1PC ⊥平面EFM ，则10PC ME ⋅=，10PC MF ⋅=．因为()0,1,1ME =-，()2,1,1MF =，所以2220,42220,λλλ--=⎧⎨-+-+=⎩，此方程组无解，所以在线段BD 上不存在点P ，使1PC ⊥平面EFM ，选项C 错误； 因为()10,2,22A B ME =-=，所以1A B ME ∥，又1A B ⊄平面EFM ，ME ⊂平面EFM ，所以1A B ∥平面EFM ，故1A B 上的所有点到平面EFM 的距离均相等，即在线段1A B 上任取点Q ， 三棱锥Q EFM -的体积不变，选项D 正确． 故选：ABD11．关于空间向量，下列说法正确的是（ ）A ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l m ⊥B ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =--，平面α的法向量为()0,1,1b =，则l α∥C ．平面α，β的法向量分别为()1,1,2a =-，11,0,2b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则αβ∥D ．若对空间内任意一点O ，都有111236OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面【答案】AD【解析】对于A ，直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2110a b ⋅=--=，则l m ⊥，故正确对于B ，直线l 的方向向量为()0,1,1a =--，平面α的法向量为()0,1,1b =， 所以a b =-，则l α⊥，故错误；对于C ，平面α，β的法向量分别为()1,1,2a =-，11,0,2b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()11,0,1,1,21102⎛⎫⋅=⨯-=-+= ⎪⎝⎭a b ，a b ⊥，则αβ⊥，故错误；对于D ，111236OP OA OB OC =++，得1111236++=，则P ，A ，B ，C 四点共面，故正确.故选：AD.12．已知点P 为正方体1111ABCD A B C D -内及表面一点，若AP BD ⊥，则（ ） A ．若//DP 平面1AB C 时，则点P 位于正方体的表面 B ．若点P 位于正方体的表面，则三棱锥C APD -的体积不变 C ．存在点P ，使得BP ⊥平面11B CDD ．AP ，CD 的夹角π3π,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】AD【解析】：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AA BD ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ， 所以BD ⊥平面11ACC A ，又AP BD ⊥，所以点P 在平面11ACC A 上（包括边界），又11//DA CB ，1DA ⊄平面1AB C ，1CB ⊂平面1AB C ，所以1//DA 平面1AB C ， 同理可得11//A C 平面1AB C ，1111AC A D A ⋂=，111,A C A D ⊂平面11AC D ， 所以平面11//AC D 平面1AB C ，因为//DP 平面1AB C ，D ∈平面11AC D ，所以DP ⊂平面11AC D ，又平面11AC D ⋂平面1111ACC A C A =，所以11P C A ∈，即P 位于正方体的表面，故A 正确； 对于B ，设P 到平面ADC 的距离为h ，则13C APD P ACD ADCV V Sh --==⋅显然当11P C A ∈和1P AA ∈（不包括1A 点）时h 不一样，则三棱锥C APD -的体积不一样，故B 错误；如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()10,1,1C ，所以()11,1,1AC =-，()10,1,1CD =-，()11,0,1CB =，所以110AC CD ⋅=，110AC CB ⋅=，即11AC CD ⊥，11AC CB ⊥， 11CD CB C ⋂=，11,CD CB ⊂平面11B CD ，所以1AC ⊥平面11B CD ，若BP ⊥平面11B CD ，则1//BP AC ，显然在平面11ACC A 上（包括边界）不存在点P ，使得1//BP AC ，故C 错误；因为设(),,P x y z ，()1,,AP x y z =-，()1,1,0DB =，所以10AP DB x y ⋅=-+=，即1y x =-， 又()0,1,0CD =-，所以AP CD y ⋅=-，1CD =，(AP x =，设所以AP，CD的夹角为θ，则cos θ==当0y =时cos 0θ=，2πθ=，当0y ≠时cos θ=222z y⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭≥ 所以0<≤，所以cos 0θ≤<，因为[]0,θπ∈，所以3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上可得3,24ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确；故选：AD三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知梯形ABCD 和矩形CDEF ．在平面图形中，112AB AD DE CD ====，CD AE ⊥．现将矩形CDEF 沿CD 进行如图所示的翻折，满足面ABCD 垂直于面CDEF ．设2EN NC =，EP PB μ=，若AP ∥面DBN ，则实数μ的值为______．【答案】3【解析】易得,CD DE CD DA ⊥⊥，又面ABCD ⊥面CDEF ，面ABCD面CDEF EF =，又AD ⊂面ABCD ，则AD ⊥面CDEF ，又DE ⊂面CDEF ，则AD DE ⊥，以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,1,0,1,0,0,0,0,10,2,0D B A E C ，又()2212410,,333333DN DE EN DE EC DE DC DE DE DC ⎛⎫=+=+=+-=+= ⎪⎝⎭，同理可得11,,111111DP DE EP DE EB DE DB μμμμμμμμμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪++++++⎝⎭，设面DBN 的法向量为(),,n x y z =，则041033n DB x y n DN y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，则()1,1,4n =--，又11,,111AP AD DP μμμμ⎛⎫=+=- ⎪+++⎝⎭， 又AP ∥面DBN ，则140111AP n μμμμ⋅=+-=+++，解得3μ=. 故答案为：3.14．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，AB =N 为侧面11BCC B 上一动点（不含边界），且满足1D N CN ⊥.记直线1D N 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的取值范围为_________.【答案】13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析：建立如图所示空间直角坐标系：则()()10,0,4,0,3,0D C ，设(),3,N x z ，所以()()1,3,4,,0,D N x z CN x z =-=，因为1D N CN ⊥，所以22140D N CN x z z ⋅=+-=， 则224x z z =-+，因为0x <2043z z <-+<， 解得01z <<或34z <<，易知平面11BCC B 的一个法向量为()0,1,0n =， 所以11sin D N n D N nx θ⋅===⋅则cos ,tan θθ==所以tan θ=∈13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.15．如图，锐二面角l αβ--的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC BD ==，CD =则锐二面角l αβ--的平面角的余弦值是___________.【答案】23【解析】设锐二面角l αβ--的平面角为θ，AC CD B A BD =-++，则2222222=36+16+3672cos =40AC AB BD AC AB AC BD A C B D D B θ=++-⋅-⋅+⋅-，则2cos 3θ=.故答案为：2316．如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点(不含端点)，有下列结论：∴平面A 1D 1P ∴平面A 1AP ；∴多面体1D CDP -的体积为定值； ∴直线D 1P 与BC 所成的角可能为3π； ∴APD 1能是钝角三角形.其中结论正确的序号是___________(填上所有序号). 【答案】∴∴∴【解析】对于∴，正方体1111ABCD A B C D -中，111A D AA ⊥，11A D AB ⊥，1AA AB A =，11A D ∴⊥平面1A AP ，11A D ⊥平面11D A P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，故∴正确；对于∴，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面1CDD 的距离1BC =， ∴三棱锥1D CDP -的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=，为定值，故∴正确；对于∴，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，1(0D ，0，1)，(1,1,0)B ，(0C ，1，0)，设(1P ，a ，)b ，(01,01)a b <<<<，1(1D P =，a ，1)b -，(1,0,0)BC =-，1cos D P <，110||||1D P BC BC D P BC >==<，12=-，所以22(1)3a b +-=， 01a <<，01b <<，所以22(1)3a b +-<，所以假设不成立，故∴错误；对于∴，见上图，由题得1(1,0,0),(0,0,1)A D ,设(1,,1),(01)P y y y -<<， 所以1(0,,1),(1,,)PA y y PD y y =--+=--，所以21112(21)cos ,||||||||y y y yPA PD PA PD PA PD --<>==，当102y <<时，1cos ,0PA PD <><，即1APD ∠是钝角.此时APD 1是钝角三角形. 故∴正确. 故答案为：∴∴∴四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在圆锥PO 中，已知2,PO O =的直径2AB =，点C 是AB 的中点，点D 为AC 中点.(1)证明：AC ⊥平面POD ；(2)求二面角A PC B --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】(1)连接OC ，如图所示：因为,OA OC D =为AC 的中点，所以AC OD ⊥. 又PO ⊥底面,O AC ⊂底面O ，所以AC PO ⊥.因为,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD (2)以O 为坐标原点，,,OB OC OP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：则()()()()1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2A B C P -.()()()1,0,2,0,1,2,1,1,0AP CP BC ==-=-设平面APC 的一个法向量为()1111,,x n y z =，则有1100n AP n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020x z y z +=⎧⎨-+=⎩， 令11z =，则112,2x y =-=，所以()12,2,1n =-设平面BPC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则有2200n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令22y =，则222,1x z ==，所以()22,2,1n = 所以1212121cos ,94n n n nn n ⋅===.所以12sin ,1n n =故二面角A PC B -- 18（12分）如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体.(1)设11BAC △的重心为O ，求证：直线OD ⊥平面11BA C ；(2)设E ､F 分别是棱AD ､11D C 上的点，且1DED F a ==，M 为棱AB 的中点，若异面直线DM 与EF a 的值. 【答案】(1)证明见解析；． 【解析】【分析】 (1)设1111AC B D N =，连接1DB ，首先1DD ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111DD AC ⊥， 又1111B D A C ⊥，1111DD B D D =，111,DD B D ⊂平面11BDD B ，所以11A C ⊥平面11BDD B ，而1B D ⊂平面11BDD B ，所以111AC B D ⊥， 同理11A B B D ⊥，1111A C A B A =，111,A C A B ⊂平面11A BC ，所以1B D ⊥平面11A BC ， 连接BN 交1B D 于O ，因为11DA DB DC ==，所以O 是等边11A BC 的中心也是重心， 所以DO ⊥平面11A BC ，(2)如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(,0,0)E a ，1(1,,0)2M ，(0,,1)F a ，1(1,,0)2DM =，(,,1)EF a a =-，由题意cos ,1DM EF DM EF DM EF⋅<>===解得：a =． 19（12分）如图，在四棱锥P −ABCD 中，平面P AD ∴平面ABCD ，点E 为PC 的中点，AB ∴CD ，CD ∴AD ，CD ＝2AB ＝2，P A ＝AD ＝1，P A ∴AD ．(1)证明：BE ∴平面PCD ；(2)求二面角P −BD −E 的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)13【解析】(1)证明：取PD 的中点F ，连接AF ，EF ，则//EF CD ，12EF CD =．又//AB CD ，12AB CD =，所以//EF AB ，EF AB =，所以四边形ABEF 为平行四边形，所以//AF BE ． 因为1PA AD ==，PF FD =，所以AF PD ⊥． 所以BE PD ⊥．．．．．．因为平面P AD ∴平面ABCD ，PA AD ⊥， 所以P A ∴平面ABCD ，所以PA AB ⊥，．．．．．．所以PB BC ==又点E 为PC 的中点，所以BE PC ⊥．．．．． 又PC PD D ⋂=，所以BE ∴平面PCD ． (2)以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），P （0，0，1），B （1，0，0），D （0，1，0），C （2，1，0），E （1，12，12）． ．．．．． 于是()()111,0,1,1,1,0,0,,22PB BD BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭设平面PBD 的法向量为()1111,,n x y z =，则110n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11110x z x y -=⎧⎨-+=⎩．取11x =．得()11,1,1n =…………设平面EBD 的法向量为()2222,n x y z =，则2200n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222110220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩取21x =．得()21,1,1n =-．…………所以1212121cos ,3n n n n n n ⋅〈==〉， 所以二面角P −BD −E 的余弦值为13.20（12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC⊥，且122BC CD AB ===，取AB 的中点O ，连结OD ，并将AOD △沿着OD 翻折，翻折后AC =,M N 分别是线段,ADAB 的中点，如图（2）.(1)求证：AC OM ⊥；(2)求平面OMN 与平面OBCD 夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】(1)连接OC ，//ABCD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，O 为AB 中点， ∴四边形ODCB 为正方形，OC ∴=，翻折后，AC =((2222222OA OC AC ∴+=+==，OA OC ∴⊥；又OA OD ⊥，OC OD O =，,OC OD ⊂平面OCD ，OA ∴⊥平面OCD ，CD ⊂平面OCD ，OA CD ∴⊥，又CD OD ⊥，OA OD O =，,OA OD ⊂平面OAD ，CD平面OAD ，OM ⊂平面OAD ，CD OM ∴⊥；OA OD =，M 为AD 中点，OM AD ∴⊥，又CDAD D =，,CD AD ⊂平面ACD ，OM ∴⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，AC OM ∴⊥. (2)以O 为坐标原点，,,OD OB OA 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,1M ，()0,1,1N ，()1,0,1OM ∴=，()0,1,1ON =；z 轴⊥平面OBCD ，∴平面OBCD 的一个法向量()0,0,1m =； 设平面OMN 的法向量(),,n x y z =，则00OM n x z ON n y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =，解得：1y =，1z =-，()1,1,1n ∴=-；1cos ,3m n m n m n⋅∴<>==⋅即平面OMN 与平面OBCD 21（12分）在四棱锥P ABCD -中，已知侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ，90ADC ∠=︒，3AB AD ==，4CD =，点M ，N 分别在线段AB 和PD 上，且2AM DNMB NP==． (1)求证：//PM 平面ACN ；(2)设二面角P CD A --大小为θ，若cos 3θ=，求直线AC 和平面PAB 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)5 【解析】(1)连接MD ，交AC 于点E ，连接NE ；2AM MB =，223AM AB ∴==，//AB CD ，12AM ME CD DE ∴==， 又2DN NP =，ME PN DE DN ∴=，//NE PM ∴， 又NE ⊂平面ACN ，PM ⊄平面ACN ，//PM ∴平面ACN .(2)取CD 中点F ，连接,PF MF ；作PO MF ⊥，垂足为O ；PCD 为正三角形，PF CD ∴⊥；2AM DF ==，//AM DF ，∴四边形AMFD 为平行四边形，//AD FM ∴， 又90ADC ∠=，CD FM ∴⊥，又PF FM F =，,PF FM ⊂平面PFM ， CD 平面PFM ；PO ⊂平面PFM ，CD PO ∴⊥，又PO FM ⊥，CD FM F =，,CD FM ⊂平面ABCD ，PO ∴⊥平面ABCD ； 作//OG CD ，交BC 于点G ，则OG FM ⊥，以O 为坐标原点，,,OM OG OP 正方向为,,x y z 轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，PF CD ⊥，MF CD ⊥，PFO ∴∠即为二面角P CD A --的平面角，又PF =cos PFO ∠=cos 2OF PF PFO ∴=∠=，OP ∴=则(P ，()2,2,0C -，()1,2,0A -，()1,1,0B ，()3,4,0AC ∴=-，(AP =-，(1,BP =--， 设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则200AP n x y BP n x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，解得：x =0y =，()22,0,1n ∴=；设直线AC 和平面PAB 所成角为θ，62sin cos ,535AC n AC n AC n θ⋅∴=<>===⨯⋅，故直线AC 和平面PAB 22．（12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，DA ⊥平面PAB ，E 是DA 的中点．(1)若PB 的中点是M ，求证：//EM 平面PCD ；(2)若,2,⊥===PA PB PA AD AB PCE 与平面PAB 所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】(1)如图所示： 取PC 的中点F ，连接EM ，DF ，FM ，因为四边形ABCD 为矩形，E 是AD 的中点，所以1,//2DE BC DE BC =，1,//2=FM BC FM BC ，所以,//DE FM DE FM =， 所以四边形DEMF 是平行四边形，所以//EM DF ，又EM ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，所以//EM 平面PCD .(2)由AD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()0,0,0,0,2,1,2,0,2P E C ，所以 ()()0,2,1,2,0,2PE PC ==，设平面PCE 的一个法向量为 (),,n x y z =， 则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩P P n n E C ，即 20220y z x z +=⎧⎨+=⎩， 令 1z =，得11,,12n ⎫⎛=-- ⎪⎝⎭， 易知平面P AB 的一个法向量为 ()0,0,1m =， 则 12cos ,31⋅==⋅+n mn m n m ，设平面PCE 与平面PAB 所成二面角为()0,πθθ⎡⎤∈⎣⎦， 所以5sin ,3n m θ==.。

一、选择题1．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()220f f f -<<B ．()()()220f f f <-<C ．()()()202f f f -<<D ．()()()022f f f <-<2．已知向量a 、b 、c 满足a b c +=，且::1:1:2a b c =a 、b 夹角为（ ） A ．4π B ．34π C ．2π D ．23π 3．将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ）A ．54π-B ．4π-C ．4π D ．34π 4．非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60° D ．45°5．已知P （14，1），Q （54，－1）分别是函数()()cos f x x ωϕ=＋0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ-=（ ） A ．54π-B ．54πC ．－34π D ．34π 6．已知a R ∈，则“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”是“α是第三象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．4B ．23C ．2D ．38．已知函数()(0,0)y sin x ωθθπω=+<为偶函数，其图象与直线1y =的某两个交点横坐标为1x 、2x ，若21x x -的最小值为π，则（ ） A ．2,2πωθ==B ．1,22==πωθ C ．1,24==πωθ D ．2,4==πωθ9．将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2 B ．1 C ．12 D ．1410．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．D ．11．已知角6πα-的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边过点()5,12P -， 则7cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A ．17226-B ．7226-C ．226D ．22612．已知4sin 5α，并且α是第二象限的角，那么tan()απ+的值等于 A ．43-B ．34-C ．34D ．4313．已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π214．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25-B ．3C ．3-D ．2515．设0002012tan15cos 22,,21tan 15a b c ===+，则有（ ） A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、填空题16．已知24sin 225θ=，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______________.17．已知向量a ，b 满足1a =，且()2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．18．已知角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，则cos 21sin 2θθ=+________________．19．函数()211sinsin (0)222x f x x ωωω=+->，若函数()f x 在区间x ∈(),2ππ内没有零点，则实数ω的取值范围是_____20．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.21．在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是__________．22．设(1,3,2)a =-，(2,+1,1)b m n =-，且a //b ，则实数m n -=_____．23．为得到函数2y sin x =的图象,要将函数24y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移至少__________个单位. 24．已知已知sin π3()25α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于__________25．已知向量()()121a b m =-=，，，，若向量a b +与a 垂直，则m =______． 三、解答题26．已知点(2,0)A -,(1,9)B ,(,)C m n ，O 是原点. （1）若点,,A B C 三点共线，求m 与n 满足的关系式； （2）若AOC ∆的面积等于3，且AC BC ⊥,求向量OC . 27．已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=. （1）求向量a 与b 的夹角θ；（2）若()1c ta t b =+-，且0b c ⋅=，求实数t 的值及c . 28．已知函数()2sin 22cos 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调增区间； （2）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 29．已知圆．（1）求过点(3,0)Q 的圆C 的切线l 的方程；（2）如图，(1,0),A M 定点为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2,0,AM AP NP AM =⋅=求N 点的轨迹．30．如图所示,函数()2cos (,0.0)2y x x R πωθωθ=+∈>≤≤的图象与y 轴交于点()0,3,且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值； (2)已知点πA ,02⎛⎫⎪⎝⎭,点P 是该函数图象上一点,点00(,)Q x y 是PA 的中点,当003,,22y x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，求0x 的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．C4．A5．B6．B7．A8．A9．B10．C11．B12．A13．A14．D15．A二、填空题16．【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式求得再由两角差的余弦函数的公式即可求解【详解】由即则又由所以又由【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的17．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小18．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求19．【解析】分析：先化简函数f(x)再求得再根据函数在区间内没有零点得到不等式组最后解不等式组即得w的范围详解：由题得f(x)=因为所以当或时f(x)在内无零点由前一式得即由k=0得K取其它整数时无解同20．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定21．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量22．8【解析】由题意得23．【解析】函数的解析式：则要将函数的图象向右平移至少个单位点睛：由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0ω＞0)(x∈R)的图象要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序24．【解析】由题意得25．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得：三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0，∴ω=2ππ=2．又∵当x=23π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×23π +φ=2kπ+32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6π，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6π）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6π﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6π）＜0， f （0）=Asin 6π=Asin 56π＞0， 又∵32π＞6π﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选：B ．2．C解析：C 【解析】 【分析】对等式a b c +=两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出0a b ⋅=，由此可求出a 、b 的夹角. 【详解】等式a b c +=两边平方得2222a a b b c +⋅+=，即2222cos a b b c a θ+⋅+=，又::1:1:a b c =0a b ⋅=，a b ∴⊥，因此，a 、b 夹角为2π，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量夹角的计算，同时也考查平面向量数量积的运算律以及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】试题分析：()1sin()cos()sin 2222y x x x ϕϕϕ=++=+将其向右平移8π个单位后得到：11sin 2sin 22824y x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若为偶函数必有：()42k k Z ππϕπ-=+∈，解得：()34k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，D 正确，1k =-时，B 正确，当2k =-时，A 正确，综上，C 错误. 考点：1.函数的图像变换；2.函数的奇偶性.4．A解析：A 【解析】 【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角. 【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-222222||a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．B解析：B 【解析】【分析】由点P,Q 两点可以求出函数的周期，进而求出ω，再将点P 或点Q 的坐标代入，求得ϕ，即求出ωϕ-． 【详解】 因为512244πω⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以ωπ=，把1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入方程()cos y x πϕ=+，得 ()24k k Z ϕππ=-+∈，因为2πϕ<，所以5,44ππϕωϕ=--=，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式．6．B解析：B 【解析】 【分析】 先化简“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”，再利用充要条件的定义判断. 【详解】 因为cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以-sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上的角.α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角，α是第三象限角一定能推出α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角，所以“cos 02πα⎛⎫+>⎪⎝⎭”是“α是第三象限角”的必要非充分条件. 故答案为：B. 【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法.7．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．8．A解析：A 【解析】分析：首先根据12x x -的最小值是函数的最小正周期，求得ω的值，根据函数是偶函数，求得θ的值，从而求得正确的选项.详解：由已知函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<为偶函数，可得2πθ=，因为函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<的最大值为1，所以21x x -的最小值为函数的一个周期，所以其周期为T π=，即2=ππω，所以=2ω，故选A.点睛：该题考查的是有关三角函数的有关问题，涉及到的知识点有函数的最小正周期的求法，偶函数的定义，诱导公式的应用，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.9．B解析：B 【解析】 将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ，即ω=–31–22k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ． 10．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．考点：平面向量数量积的运算．11．B解析：B【解析】分析：利用三角函数的定义求得66cos sin ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 结果，进而利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．详解：由三角函数的定义可得512,613613cos sin ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则773cos cos cos 12661264ππππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭33=cos cos sin sin 6464ππππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭512=1313⎛⎛⎫--= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12．A解析：A 【解析】 【分析】由诱导公式可得()tan tan παα+=，由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．即可得到答案 【详解】 ∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，，35cos α∴-＝ ， ∴tanα＝43-，则么()4tan tan 3παα+==-. 故选A ． 【点睛】本题考查给值求值问题．掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．13．A解析：A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值 【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x且123ππω⨯=，求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题14．D解析：D 【解析】 【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ．【点睛】 本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．A解析：A 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式化简a ，分子分母同乘以2cos 15结合二倍角的正弦公式化简b ，利用降幂公式化简c ，从而可得结果. 【详解】()sin 302sin28a =︒-︒=︒ ，222sin15cos15sin 30cos 15cos 15b ==+sin28a >=sin25sin28,c a b a c ==︒<︒=∴>>，故选A.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式求得再由两角差的余弦函数的公式即可求解【详解】由即则又由所以又由【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的解析：75【解析】 【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得249(cos sin )25θθ+=，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解． 【详解】 由24sin 225θ=，即242sin cos 25θθ=， 则2222449(cos sin )cos 2sin cos sin 12525θθθθθθ+=++=+=， 又由02πθ<<，所以cos 0,sin 0θθ>>，7cos()cos sin 45πθθθ-=+=．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小 解析：120︒【解析】 【分析】先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】因为1a =，且()2a a b ⋅-=，所以2-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=- 因此112πcos ,,1223a b a b a b a b⋅-===-∴=⨯⋅. 【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅；二是坐标公式cos θ=；三是几何方法，从图形判断角的大小.18．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求解析：17-【解析】分析：由角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，求出,cos sin θθ的值，利用2cos 212sin 1212cos sin sin θθθθθ-=++，将,cos sin θθ的值代入即可得结果. 详解：角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，43,cos 55y x sin r r θθ∴====， 那么216712cos 212sin 1252543491212cos 7125525sin sin θθθθθ-⨯--====-+++⨯⨯，故答案为17-. 点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式，属于中档题.给值求值问题，求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.19．【解析】分析：先化简函数f(x)再求得再根据函数在区间内没有零点得到不等式组最后解不等式组即得w 的范围详解：由题得f(x)=因为所以当或时f(x)在内无零点由前一式得即由k=0得K 取其它整数时无解同解析：][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】分析：先化简函数f(x) )24wx π=-,再求得(,2),444wx w w πππππ-∈--再根据函数()f x 在区间x ∈ (),2ππ内没有零点得到不等式组，最后解不等式组即得w 的范围. 详解：由题得f(x)=1cos 1111sin sin cos )222224wx wx wx wx wx π-+-=-=-, 因为x ∈ (),2ππ，所以(,2),444wx w w πππππ-∈--当(,2)(2,2),44w w k k k z πππππππ--⊆+∈或(,2)(2,2),44w w k k k z πππππππ--⊆-∈时，f(x)在(),2ππ内无零点，由前一式得24,224k w w k πππππππ⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩即152,48k w k +≤≤+由k=0得1548w ≤≤， K 取其它整数时无解，同理，由后一式，解得1(0,]8w ∈， 综上，w 的取值范围是][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦. 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键有两点，其一是分析得到当(,2)(2,2),44w w k k k z πππππππ--⊆+∈或(,2)(2,2),44w w k k k z πππππππ--⊆-∈时，f(x)在(),2ππ内无零点，其二是进一步转化得到不等式组解不等式组. 20．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定解析：)【解析】分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得22233cos 22VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ， 连接,,VD CD VC，则VD VC ==VDC ∠是二面角V AB C --的平面角， 可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<，在三角形VDC 中由余弦定理可得，2222cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22a a VDC =-∠22030VC a VC <<⇒<<，即VC的取值范围是()，为故答案为().点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.21．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量解析：[1,9] 【解析】设,BM BC CN CD λλ==，则()()··AM AN AB BM AD DN =++，也即是()()··1AM AN AB BC AD DC λλ⎡⎤=++-⎣⎦，化简得到·98AM AN λ=-，其中[]0,1λ∈，故[]·1,9AM AN ∈，填[]1,9．点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量，它们的模长和夹角已知，则其余的向量可以用基底向量去表示，数量积也就可以通过基底向量间的运算去考虑；（2）坐标法：建立合适的坐标系，把数量积的计算归结为坐标的运算；（2）靠边靠角转化：如果已知某些边和角，那么我们在计算数量积时尽量往这些已知的边和角去转化．22．8【解析】由题意得解析：8 【解析】 由题意得2115,3,8132m n m n m n +-==∴==--=- 23．【解析】函数的解析式：则要将函数的图象向右平移至少个单位点睛：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0ω＞0)(x ∈R)的图象要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序解析：8π 【解析】 函数的解析式：sin 2sin 248y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则要将函数24y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移至少8π个单位. 点睛：由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位．24．【解析】由题意得解析：4-5【解析】 由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255ααααα=∈∴=+=-=- 25．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得： 解析：7【解析】利用平面向量的加法公式可得：()1,3a b m +=-+，由平面向量垂直的充要条件可得：()()()()1,31,2160a b a m m +⋅=-+⋅-=--++=， 解方程可得：7m =.三、解答题 26．（1）360n m --=（2）()4,3OC =或()5,3OC =- 【解析】 【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m ,n 满足的关系式即可； (2)由题意首先求得n 的值，然后求解m 的值即可确定向量的坐标. 【详解】（1）()3,9AB =，()2,AC m n =+， 由点A ，B ，C 三点共线，知AB ∥AC ， 所以()3920n m -+=，即360n m --=； （2）由△AOC 的面积是3，得1232n ⨯⨯=，3n =±， 由AC BC ⊥，得0AC BC ⋅=，所以()()2,1,90m n m n +⋅--=，即22920m n m n ++--=, 当3n =时，2200m m +-=， 解得4m =或5m =-， 当3n =-时，2340m m ++=，方程没有实数根， 所以()4,3OC =或()5,3OC =-． 【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.27．（1）23πθ=；（2）35t =，c =63. 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积，代值计算即可； （2）由数量积为0，代入计算即可. 【详解】（1）因为()()23261a b a b -⋅+= 故2244361a a b cos b θ-⋅-=解得：12cos θ=-因为[]0,θπ∈，所以23πθ=. （2）0b c ⋅= 则()()10b ta t b ⋅+-=()210ta b t b ⋅+-=化简得：159t = 解得：35t = 此时3255c a b =+ 23255a b ⎫+⎪⎭ 224122525a b a b ++⋅【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.28．（1）()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）512⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】 化简()f x 解析式.（1）根据三角函数单调区间的求法，求得函数()f x 的单调增区间；（2）根据三角函数值域的求法，求得函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【详解】 依题意()()ππsin 2cos cos 2sin 1cos 266f x x x x =--+33sin 2cos 2122x x =--π3sin 213x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）由πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，所以()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）由于π02x ≤≤，所以ππ2π2333x -≤-≤，所以π53sin 21,3132x ⎛⎫⎡⎤--∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为5,312⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查三角函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题.29．（1），（2）【解析】 【分析】 【详解】（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为，即； 由得，解得， 从而所求的切线方程为，．（2）∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|． 又∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆． 且椭圆长轴长为焦距2c=2．∴点N 的轨迹是方程为30．(1)πθ6=.ω2=.(2)023x π=，或034x π=. 【解析】试题分析：(1)由三角函数图象与y 轴交于点(3可得3cos 2θ=，则6πθ=.由最小正周期公式可得2ω=.(2)由题意结合中点坐标公式可得点P 的坐标为0232x π⎛-⎝.代入三角函数式可得053cos 46x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合角的范围求解三角方程可得023x π=，或034x π=. 试题解析：(1)将0,3x y ==()2cos y x ωθ=+中，得3cos θ=， 因为02πθ≤≤，所以6πθ=.由已知T π=，且0ω>，得222T ππωπ===. (2)因为点()00,0,,2A Q x y π⎛⎫⎪⎝⎭是PA 的中点， 03y =P 的坐标为0232x π⎛- ⎝.又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，且02x ππ≤≤，所以053cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且075194666x πππ≤-≤， 从而得0511466x ππ-=，或0513466x ππ-=，即023x π=，或034x π=.。

5.2 导数的运算考点一 初等函数求导【例1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ （4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x = （6）11x y x +=-【答案】(1)2()68f x x x =-+ (2)2()2f x x x a '=-+ (3)()sin 1f x x '=-+ (4)1()23f x x x'=--+ (5)cos y x '= (6)22(1)y x '=--【解析】（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ ，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则 'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.【一隅三反】1．（2020·西藏高二期末（文））求下列函数的导数.（1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x=+；（3）322354y x x x =-+-.【答案】（1）22sin cos y x x x x '=+（2）211y x x'=-（3）2665y x x '=-+【解析】（1）2sin y x x =22sin cos y x x x x '=+（2）n 1l y x x =+211y x x'=-（3）322354y x x x x =-+-2665y x x '=-+2．（2020·通榆县第一中学校高二月考（理））求下列函数的导数：（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e x y x =.【答案】（Ⅰ）14sin x x x+-；（Ⅱ）()233e xx x +.【解析】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得()212(ln )(cos )4sin y x x x x x x'=++=+-'''.（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得()()()3323e e 3e x xx y x x xx ''=+=+'.3．（2020·山东师范大学附中高二期中）求下列函数在指定点的导数：（1）4ln(31)y x =++ ，1x =； （2）2cos 1sin x y x=+，π2x =．【答案】（1）12x y ='=（2）21ln 2x y π==+'【解析】（1）321231y x x -'=-++，12x y ='=（2）21sin y x+'=，21ln2x y π==+'考点二 复合函数求导【例2】．（2020·凤阳县第二中学高二期末（理））求下列函数的导数：（1）2=e x y ；（2）()313y x =-.【答案】（1）22x e ；（2）29(13)x --或281549y x x '=-+-．【解析】（1）2'22e (2)e 22e x x x y x =⋅=⋅='；（2）()()22'313(13)913y x x x =--=--'．或281549y x x '=-+-． 【一隅三反】1．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考（理））求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，；(2)(ln y x =+；(3)11x x e y e +=-；(4)2)2(+5y xsin x ＝．【答案】（1）()1'221n y n x -=+；（2）'y =；（3）()221xxe y e-'=-；（4）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.【解析】(1)()()()11'2121'221n n y n x x n x ⋅－－＝＋＋＝＋；（2）1y ⎛=+= ⎝'（3）∵12111xx xe y e e +==+--∴()()222211xxx xe e y e e'-=-=--；（4）()()2sin 254cos 25y x x x =+'++.2．（2020·横峰中学高二开学考试（文））求下列各函数的导数：（1）ln(32)y x =-；（2）()212x x f x ee e -+=++（3）y【答案】（1）332y x '=-；（2）21()2x x f x e e -+'=-+.（3）y '=【解析】（1）因为ln(32)y x =-令32t x =-，ln y t =所以()()1332ln 332y x t t x '''=-⋅=⋅=-（2）()21221,()2x x x x f x e f x ee e e -+-+∴'=-+++= .（3）令212t x =-，则12y t =，所以112211()(4)22y t t t x -'''==⋅=-=；考点三 求导数值【例3】．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()3(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=A ．12-B ．12C ．1-D ．e【答案】A【解析】()()31ln f x xf x '=+ ，求导得()()131f x f x''=+，则()()1311f f ''=+，解得()112f '=-.故选：A.【一隅三反】1．（2020·广东湛江·高二期末（文））已知函数()cos x f x x =，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭'（ ）A ．2π-B ．2πC ．3πD ．3π-【答案】A【解析】()cos x f x x = ，()2sin cos x x x f x x --'∴=，因此，2sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭'-==- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2020·四川高二期中（理））若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．6πC ．3πD ．π【答案】B【解析】因为()()20sin 1f x x f x ''=-+，所以令0x =，则()01f '=，所以()2sin 1f x x x '=-+，则66f ππ⎛⎫'=⎪⎝⎭，故选： B.3．（2020·广西桂林·高二期末（文））已知函数2()f x x x =+，则()1f '=（ ）A ．3B ．0C ．2D ．1【答案】A【解析】由题得()21(1)3f x x f ''=+∴=，.故选：A 考点四 求切线方程【例4】．（2020·郸城县实验高中高二月考（理））已知曲线31433y x =+（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程【答案】（1）440x y --=；（2）20x y -+=或440x y --=．【解析】（1）∵2y x '=，∴在点()2,4P 处的切线的斜率2|4x k y ='==，∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为()442y x -=-，即440x y --=．（2）设曲线31433y x =+与过点()2,4P 的切线相切于点30014,33A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线的斜率020|x x k y x =='=，∴切线方程为()320001433y x x x x ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，即23002433y x x x =⋅-+．∵点()2,4P 在该切线上，∴2300244233x x =-+，即320340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴()()()2000014110x x x x +-+-=，∴()()200120x x +-=，解得01x =-或02x =．故所求切线方程为440x y --=或20x y -+=．【一隅三反】1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考（文））曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-【答案】A【解析】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A.2．（2020·河南高三其他（理））曲线()21ln 22y x x =-在某点处的切线的斜率为32-，则该切线的方程为（）A ．3210x y +-=B ．3210x y ++=C ．6450x y +-=D ．12870x y +-=【答案】D【解析】求导得1y x x '=-，根据题意得132y x x '=-=-，解得2x =-（舍去）或12x =，可得切点的坐标为11,28⎛⎫⎪⎝⎭，所以该切线的方程为131822y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得12870x y +-=.故选：D.3．（2020·北京高二期末）过点P （0，2）作曲线y ＝1x 的切线，则切点坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（2，12）C ．（3，13）D ．（0，1）【答案】A【解析】设切点001(,)x x ,022001112(0)y x x x x '=-∴-=--Q 01x ∴=,即切点(1,1)故选：A4．（2020·吉林洮北·白城一中高二月考（理））已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4．(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【答案】（1）x －y －4＝0（2）x －y －4＝0或y ＋2＝0【解析】(1)∵f′(x)＝3x 2－8x ＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0．(2)设切点坐标为(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∵f′(x 0)＝3x 02－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 02－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∴x 03－4x 02＋5x 0－2＝(3x 02－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0．考点五 利用切线求参数【例5】．（2020·全国高三其他（理））已知曲线()ln xy e ax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，则k =（）A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】D【解析】令()()ln xy f x eax x ==-，则()()1ln x xf x e ax x e a x'=-+-（，所以()12f ea e ='-，因为曲线()ln xy eax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，所以该切线过原点，所以()12f ea e ae ='-=，解得1a =，即k e =.故选：D.【一隅三反】1．（2020·岳麓·湖南师大附中月考）已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______.【答案】12-【解析】因为函数()2ln x f x ax x =-，所以()21ln 2xf x ax x-'=-，又因为曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，所以()1122f a '=-=，解得12a =-，故答案为：12-2．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））曲线(1)x y ax e =+在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a ＝_____.【答案】1【解析】 (1)x y ax e =+，∴(1)x y ax a e '=++ 012x y a =∴=+='，1a \=.故答案为：1.3．（2020·山东莱州一中高二月考）已知直线y x b =+是曲线3x y e =+的一条切线，则b =________.【答案】4【解析】设()3xf x e =+，切点为()00,+3xx e ，因为()xf x e '=，所以01x e =，解得00x =，所以0034y e =+=，故切点为(0,4)，又切点在切线y x b =+上，故4b =.故答案为：4。

1、 如图A 、B 、C 、D 为四个村庄,要修筑三条公路,将这四个村庄连接起来,则不同的修筑方案共有( )A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种2、 一圆周上有9个点,以这9个点为顶点作三个三角形,当这三个三角形的边互不相交时,我们把它称为一种构图．则满足这样条件的构图共有 ( )A. 3种B. 6种C. 9种D. 12种3、从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？4、从10,,4,3,2,1 这10个自然数中，每次取出不同的两个，使它们乘积是6的倍数，则不同的取法有__________种。

排列组合问题-思维方法5、设4321,,,x x x x 为自然数1，2，3，4的一个全排列，且满足643214321=-+-+-+-x x x x ，则这样的排列有 个.6、 某年数学竞赛邀请了一位来自X 星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题目就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题：然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9、8、7、4、3、2、1、5、6、10的次序答题），这样所有题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n 种，则n 的值为（ ）A. 512B. 511C. 1024D. 10237、（2010理14）以集合{},,,U a b c d =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1),U ∅都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或B A ⊆，那么共有_________种不同的选法8、如图，甲从A 到B ，乙从C 到D ，两人每次都只能向上或者向右走一格. 如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有_____对.（用数字作答）9、将前12个正整数构成的集合{}1,2,,12M =中的元素分成1234,,,M M M M 四个三元子集，使得每个三元子集中的三个数都满足：其中一个数等于另外两数之和，试求不同的分法种数.10、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么有____种不同的安全存放的方法．10、如图，用四种不同颜色给图中的,,,,,A B C D E F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）种 DAC BA、288种B、264种C、240种D、168种。

八 等比数列的性质及应用(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知等比数列{a n }中，a 3a 13＝16，则a 8的值等于( ) A ．4 B ．8 C ．±4 D ．±8【解析】选C.因为a 28 ＝a 3a 13＝16，所以a 8＝±4. 2．已知等比数列{}a n 满足a 5＋a 8＝2，a 6·a 7＝－8，则q 3＝( ) A ．－12 B ．－2 C ．－12 或－2 D ．2【解析】选C.由等比数列的性质可知，a 5·a 8＝a 6·a 7＝－8，又因为a 5＋a 8＝2，所以a 5＝4，a 8＝－2，或a 5＝－2，a 8＝4，所以q 3＝a 8a 5＝－2或－12 .3．(2020·全国Ⅰ卷)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( )A ．12B ．24C ．30D ．32 【解析】选D.设等比数列{}a n 的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＝a 1⎝⎛⎭⎫1＋q ＋q 2 ＝1，a 2＋a 3＋a 4＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝a 1q ⎝⎛⎭⎫1＋q ＋q 2 ＝q ＝2，因此，a 6＋a 7＋a 8＝a 1q 5＋a 1q 6＋a 1q 7＝a 1q 5⎝⎛⎭⎫1＋q ＋q 2 ＝q 5＝32. 4．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215 【解析】选B.设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29， C ＝a 3a 6a 9…a 30，则A ，B ，C 成等比数列， 公比为q 10＝210，由条件得A·B·C ＝230， 所以B ＝210，所以C ＝B·210＝220.5．若1，a ，3成等差数列，1，b ，4成等比数列，则ab 的值为( ) A ．±12 B ．12 C ．1 D ．±1 【解析】选D.由题知2a ＝1＋3， 所以a ＝2.由b 2＝4得b ＝±2，所以a b ＝±1.6．某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2020年1月1日投入10万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，到2030年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为( )参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71 A ．14.8万元 B ．15.5万元 C ．16.3万元 D ．17.1万元【解析】选C.由题意知，该家庭2021年1月1日本金加收益和为10·(1＋5%)＝10×1.05，2022年1月1日本金加收益和为10×1.052，2023年1月1日本金加收益和为10×1.053……2030年1月1日本金加收益和为10×1.0510≈10×1.63＝16.3.所以到2030年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为16.3万元． 二、填空题(每小题5分，共10分)7．等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝2，则a 4＝________，a n ＝________． 【解析】a 4＝a 1q 3＝3×23＝24，a n ＝a 1q n －1＝3×2n －1. 答案：24 3×2n －18．若等差数列{}a n 和等比数列{}b n 满足a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，则a 5b 5＝________.【解析】设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则d ＝2－1＝1，q ＝21 ＝2，所以a 5＝a 1＋4d ＝5，b 5＝b 1×q 4＝16，故a 5b 5＝80. 答案：80三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2 ，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋1a 5 ，求{a n }的通项公式． 【解析】设数列{a n }的公比为q(q>0).因为a 1＋a 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2 ， 所以a 1＋a 1q ＝2·1＋q a 1q ，即a 1＝2a 1q .①又因为a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋1a 5 ，所以a 3(1＋q ＋q 2)＝64·q 2＋q ＋1a 3q 2 ，即a 3＝64a 3q 2 .②联立①②，解得q ＝2，a 1＝1，故a n ＝2n －1(n ∈N *).10．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小． 【解析】(1)因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2 a n ＋1a n＝log 2q(q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q. (2)因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2. 又因为a 1＞1，所以b 1＝log 2a 1＞0， 又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎨⎧b 3＝2，b 5＝0， 即⎩⎨⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0， 解得⎩⎨⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋(－1)n （n －1）2＝9n －n 22 . 又因为d ＝log 2q ＝－1，所以q ＝12 ，b 1＝log 2a 1＝4， 即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N *). (3)由(2)知，a n ＝25－n ＞0， 当n≥9时，S n ＝n （9－n ）2 ≤0， 所以当n≥9时，a n ＞S n .又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12 ，a 7＝14 ，a 8＝18 ，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10， S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4，所以当n ＝3，4，5，6，7，8时，a n <S n ； 当n ＝1，2或n≥9，n ∈N *时，a n ＞S n .(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知数列{}a n 中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则a 10＝( ) A ．2 045 B ．1 021 C ．1 027 D ．2 051【解析】选A.因为a n ＋1＝2a n ＋3，变形为a n ＋1＋x ＝2(a n ＋x)⇒a n ＋1＝2a n ＋x ⇒x ＝3，即a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋3 为等比数列，首项为4，公比为2. 所以a n ＋3＝4·2n －1所以a n ＝4·2n －1－3＝2n ＋1－3， 所以a 10＝2 045.2．若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则mn 的值是( ) A ．4 B ．2 C ．12 D ．14【解析】选D.由题意可知1是方程的1个根，若1是方程x 2－5x ＋m ＝0的根，则m ＝4，另一根为4，设x 3，x 4是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，则x 3＋x 4＝10，这四个数的排列顺序只能为1，x 3，4，x 4，公比为2，x 3＝2，x 4＝8，n ＝16，mn ＝14 ；若1是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，另一根为9，则n ＝9，设x 2－5x ＋m ＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝5，无论什么顺序均不合题意．3．已知等比数列{a n }满足a n >0，且a 5·a 2n －5＝22n (n≥3)，则当n≥3时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．2nB ．2n 2C ．n 2D ．n【解析】选C.log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3·…·a 2n －1) ＝log 2(a 1a 2n －1)n2＝log 2(a 5a 2n －5)n 2＝log 2(22n )n 2＝log 22n 2＝n 2.4．等比数列{a n }的各项均为正数，已知向量a ＝(a 4，a 5)，b ＝(a 7，a 6)，且a ·b ＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．5 D ．2＋log 25【解析】选C.向量a ＝(a 4，a 5)，b ＝(a 7，a 6)，且a ·b ＝4，所以a 4a 7＋a 5a 6＝4， 由等比数列的性质可得：a 1a 10＝…＝a 4a 7＝a 5a 6＝2，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1a 2·a 10)＝log 2(a 1a 10)5＝log 225＝5. 二、填空题(每小题5分，共20分)5．在3和一个未知数间填上一个数，使这三个数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是________．【解析】设此三数为3，a ，b ，则⎩⎨⎧2a ＝3＋b ，（a －6）2＝3b ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝15，b ＝27，所以这个未知数为3或27.答案：3或276．在12 和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．【解析】设插入的3个数依次为a ，b ，c ，即12 ，a ，b ，c ，8成等比数列，由等比数列的性质可得b 2＝ac ＝12 ×8＝4，因为a 2＝12 b>0，所以b ＝2(负值舍去).所以这3个数的积为abc ＝4×2＝8. 答案：87．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝__________．【解题指南】解答本题首先要注意b 1·b 2·b 3·…·b 20＝a 2a 1 ·a 3a 2 ·a 4a 3 ·…·a 21a 20 ＝a 21a 1 ＝a 21，另外要注意根据b 10·b 11＝2用等比数列性质求b 1·b 2·b 3·…·b 20. 【解析】因为b n ＝a n ＋1a n，所以b 1＝a 2a 1，b 2＝a 3a 2，b 3＝a 4a 3 ，…，b 20＝a 21a 20.以上各式相乘，得b 1·b 2·b 3·…·b 20＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a 21a 20＝a 21a 1＝a 21，因为数列{b n }为等比数列，所以b 1·b 20＝b 2·b 19＝b 3·b 18＝…＝b 10·b 11＝2， 所以a 21＝b 1·b 2·b 3·…·b 20＝210＝1 024. 答案：1 0248．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158 ，a 8a 9＝－98 ，则1a 7 ＋1a 8 ＋1a 9 ＋1a 10 ＝________.【解析】因为a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158 ，a 8·a 9＝a 7·a 10＝－98 ， 所以1a 7 ＋1a 8 ＋1a 9 ＋1a 10＝a 8a 9a 10＋a 7a 9a 10＋a 7a 8a 10＋a 7a 8a 9a 7a 8a 9a 10 ＝a 8a 9（a 10＋a 9＋a 8＋a 7）a 7a 8a 9a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 7a 10＝158－98 ＝－53 . 答案：－53【一题多解】因为a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158 ，a 8a 9＝－98 ，所以a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a9＝－53 ， 即a 7a 8a 9 ＋1a 9 ＋1a 8 ＋a 10a 8a 9 ＝－53 . 又a 7a 10＝a 8a 9，所以a 7a 7a 10 ＋1a 9 ＋1a 8 ＋a 10a 7a 10 ＝－53 .所以1a 7 ＋1a 8 ＋1a 9 ＋1a 10 ＝－53 .答案：－53三、解答题(每小题10分，共30分)9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n(n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3的值．(2)设b n ＝a n ＋3，证明数列{b n }为等比数列，并求通项公式a n . 【解析】(1)由已知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－3×1，解得a 1＝3， 当n ＝2时，S 2＝2a 2－3×2＝a 1＋a 2，解得a 2＝9， 当n ＝3时，S 3＝2a 3－3×3＝a 1＋a 2＋a 3，解得a 3＝21. (2)因为S n ＝2a n －3×n ， 所以S n ＋1＝2a n ＋1－3×(n ＋1)， 两式相减得a n ＋1＝2a n ＋3，所以b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3 ＝（2a n ＋3）＋3a n ＋3 ＝2，又因为b 1＝a 1＋3＝6，所以{b n }是首项为6，公比为2的等比数列， b n ＝6×2n －1，所以a n ＝b n －3＝6×2n －1－3＝3(2n －1).【补偿训练】设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数． (1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值． 【解析】(1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1. 经验证，n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝2kn －k ＋1.(2)因为a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，所以a 22m ＝a m ·a 4m ，即(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)，整理得mk(k －1)＝0.因为对任意的m ∈N *成立，所以k ＝0或k ＝1.10．已知数列{}a n 的通项公式a n ＝2n －6⎝⎛⎭⎫n ∈N * .(1)求a 2，a 5；(2)若a 2，a 5分别是等比数列{}b n 的第1项和第2项，求数列{}b n 的通项公式．【解析】(1)因为a n ＝2n －6⎝⎛⎭⎫n ∈N * ，所以a 2＝－2，a 5＝4，(2)由题意知：等比数列{}b n 中，b 1＝a 2＝－2，b 2＝a 5＝4，公比q ＝b 2b 1 ＝－2，等比数列{}b n 的通项公式b n ＝b 1·q n －1＝(－2)·(－2)n －1＝(－2)n .11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋5n ，数列{b n }中，b 1＝8，64b n ＋1－b n ＝0，问是否存在常数c ，使得对任意的正整数n(n ∈N *)，a n ＋log c b n 恒为常数m ？若存在，求出常数c 和m 的值；若不存在，请说明理由．【解题指南】先求出a n 与b n ，假设存在c 与m ，利用n 的任意性建立c ，m 的方程，判断解是否存在． 【解析】因为S n ＝3n 2＋5n ，所以当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋2， 而a 1＝S 1＝8适合上式．所以a n ＝6n ＋2， 由64b n ＋1－b n ＝0得b n ＋1b n＝164 ，所以{b n }是首项为8，公比为8－2的等比数列． 所以b n ＝8×(8－2)n －1＝83－2n . 假设存在常数c 和m ，使a n ＋log c b n ＝m 恒成立， 则6n ＋2＋log c 83－2n ＝m ，即(6－2log c 8)n ＋(2＋3log c 8)＝m ，对任意n ∈N *恒成立．所以⎩⎨⎧6－2log c 8＝0，2＋3log c 8＝m ， 解得⎩⎨⎧c ＝2，m ＝11. 所以存在常数c ＝2，使得对任意n ∈N *，恒有a n ＋log c b n ＝11.【补偿训练】设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1.(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23 是等比数列． (3)当a 1＝76 时，求数列{a n }的通项公式及项的最值．【解析】(1)由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝a n ＋1a n ，αβ＝1a n ．代入6(α＋β)－2αβ＝3得6a n ＋1a n －2a n＝3， 所以a n ＋1＝12 a n ＋13 .(2)因为a n ＋1＝12 a n ＋13 ，所以a n ＋1－23 ＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －23 . 若a n ＝23 ，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0可化为 23 x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0， 此时Δ＝(－2)2－4×2×3＜0，所以a n ≠23 ，即a n －23 ≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23 是公比为12 的等比数列． (3)当a 1＝76 时，a 1－23 ＝12 ， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23 是首项为12 ， 公比为12 的等比数列， 所以a n －23 ＝12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12 n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 n ， 所以{a n }的通项公式为a n ＝23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 n ， n ＝1，2，3，….由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 在(0，＋∞)上单调递减知 当n ＝1时，a n 的值最大，最大值为a 1＝76 .。

教师姓名学生姓名年级高二上课时间学科数学课题名称排列组合问题-思维方法排列组合问题-思维方式思维方法一、正难则反----总体淘汰策略例1、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.尤其含“至多”或“至少”的排列组合问题，多使用总体淘汰法试一试、1、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．A．140种B．80种C．70种D．35种2、.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.共有，其中满足“对所有”都的不同排列有．,n n (),2,n a n n *≥∈,n,,a中0k2、中日围棋擂台赛中，双方都出4名队员，按事先安排好的顺序出场，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，直到某一方获胜为止。

问：中方获胜的所有可能出现的比赛过程有__________种。

思维方法六、条件复杂穷举策略例9、奥运火炬传递在A 、B 、C 、D 、E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是_________A. B.21 C.22 D.23试一试、将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数随机分给甲、乙、丙三人，每人三个数，则每个人手中的三个数都能构成等差数列的分法为_______________树图策略例10．人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过4次传球后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______20.63对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图，表格会收到意想不到的结果一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决,n 呢？}{}{}1212,,,,,,,,,n n n a B b b b C c c c ==，若C 中的元素满足条件：n c <，)1,2,3,,n =，则称M 为“完并集合”，对于“完并集合”1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是___________2、（2016文11）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_____1、5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的小火车，小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的有________种情形2、从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的选法有____种3、从六个字母A B C D E F 、、、、、中任取4个作排列，其中A 在B 前的排法共有多少种？4、一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2个人之间至少有2个空位,共有 种不同的坐法.5、如下图所示，平面被分成六个区域，进行六染色，旋转后重合视为同一种，求染法总数．{}1,2,3,4,5a {}1,2,3b b a >分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略。

高二数学人教版选择性必修第一册全册考试复习必刷检测卷（培优版）全解全析1．C 由题意，22()33OM MP OM MN O OM ON OM P =+=+=+-=23ON +13OM =23×12(OB +OC )+13×12OA =111633a b c++故选：C 2．A解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，设(),,1E x y 则[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，所以()1,,1EA x y =---，(),1,1EC x y =---，所以()()22221111111222EA EC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----+=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，所以211024x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，211024y ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以1,12EA EC ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，故选：A3．C如图所示，由圆221:(4)(1)4C x y -+-=，可得圆心1(4,1)C ，半径为12r =，圆222:(4)1C x y +-=，可得圆心2(0,4)C ，半径为21r =，可得圆心距125C C ==，所以12||||52PM PN r r +≥--=，当12,,,,M N C C P 共线时，取得最小值，故||||PM PN +的最小值为2.故选：C.4．A由点P 是直线290x y +-=上的任一点，所以设()92P m m -,，因为圆22:4O x y +=的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，所以OA PA ⊥，OB PB ⊥，则点A 、B 在以OP 为直径的圆C 上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，则圆心C 的坐标是92,22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且半径的平方是()222924m m r -+=，所以圆C 的方程是()22229292224m m m m x y -+-⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由224x y +=，两式相减，可得()9240m x my -+-=，即公共弦AB 所在的直线方程是()9240m x my -+-=，即()() 2940m y x x -+-=，由20940y x x -=⎧⎨-=⎩，解得48,99x y ==，所以直线AB 恒过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭.故选： A.5．D 【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 错误；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 错误；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 错误；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确.故选： D.6．A 【详解】作图，由题意得(),0A a -、(),0B a 、(),0F c -，设()0,E m ，由//PF OE 得MF AF OEAO=，则()m a c MF a-=①，又由//OE MF ，得12OE BO MF BF=，则()2m a c MF a +=②，由①②得1()2a c a c -=+，即3a c =，则13c e a ==，故选：A.7．A 【详解】设动点(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，又点P 是圆C ：()()22220y x r r +=->上有且仅有的一点，所以两圆相切.圆()2214x y ++=的圆心坐标为()1,0-，半径为2，圆C ：()()22220y x r r +=->的圆心坐标为()20,，半径为r ，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，23r +=，得1r =，当两圆内切时，23r -=，0r >，得=5r ．故选：A.8．B设双曲线的渐近线OA 的倾斜角为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan a θ=，在等腰三角形2AOF 中，根据正弦定理可得：2sin sin 2OA OF θθ=，得2cos cOA θ=，所以122221tan 152sin 2224AF F c a SOA OF a θθ+=⨯⨯⨯⨯===，解得2a =或12，又1e <<e 1a >，从而2a =，所以双曲的方程为2214xy -=，故选：B ．【点睛】本题目比较巧妙的地方在于借助渐近线的倾斜角，得到倾斜角与a 的关系，结合解三角形的方法来表示三角形的面积，求出a 的值；题目也可以用渐近线方程直接求解9．AB对于A ：向量,a b 同向时，a b a b -≠+，故A 错误；对于B ：需要强调0b ≠r r，故B 错误；对于C ：因为2231+-=，则由共面定理知P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；对于D ：{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，故,,a b b c c a +++也不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故D 正确；故选：AB 10．BCD对于A 中，当直线过原点时，此时直线在坐标轴上的截距相等，但不能用方程1x ya a+=表示，所以A 不正确；对于B 中，由圆224x y +=，可得圆心坐标为(0,0)C ，半径为2r =，则圆心C到直线:0l x y -=的距离为1d =，所以圆C 上有且仅有3个点到直线l 的距离都等于1，所以B 正确；对于C 中，由圆22120C :x y x ++=，可得圆心坐标为1(1,0)C -，半径为11r =，由圆222480C :x y x y m +--+=，可得圆心坐标为2(2,4)C，半径为2r =可得圆心距125C C =，要使得圆1C 与2C 恰有三条公切线，则15=且200m ->，解得4m =，所以C 正确；对于D 中，设(,)P m n ，可得142m n+=，以OP 为直径的圆的方程为220x y mx ny +--=，两圆的方程作差，可得直线AB 的方程为1mx ny +=，消去n 可得()2102y m x y -+-=，令0,2102yx y -=-=，解得11,42x y ==，即直线AB 经过定点11(,42，所以D 正确.故选：BCD 11．AD 【详解】设,AB n →→的夹角为()0πθθ≤≤，由题意得11cos 3||||||AB nAB n AB n n ABθ→→→→→→→→⋅⋅==⋅=-⋅，∴sin 3θ=，①当双曲线的焦点在x 轴上时，其渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，∴点(0)2，到渐近线的距离为sin ||n d θ→==⋅，整理得2218b a =，∴c e a ==②当双曲线的焦点在y 轴上时，其渐近线方程为ay x b=±，即0ax by ±=，∴点(0)2，到渐近线的距离为42sin 3||n d θ→==⋅=，整理得228b a =，∴3c e a ==，综上双曲线的离心率为324或3.故选：AD.12．BCD 【详解】12OF F P c O O ===，12PF PF ∴⊥124cos 5F QF ∠=,设1||4,||5PQ m FQ m ==则1||3PF m =又11||||||4PQ FQ PF a ++=，12m =3m ∴=12|||PF PF ∴==12||2F F ∴=，即1,c e ==A 不正确；当点M 在y 轴上时三角形12MF F 面积的最大，此时1211222S F F OM ==⨯=,所以B 正确；因为12|||PF PF ==所以22124PF PF +=，故C 正确；圆228:9G x y +=，13r b =<=，圆在椭圆内部，所以点M 在椭圆内部，所以D 正确.故选：BCD 13．32解：由题意，翻折后1AD AB BC CD ====，BD =在翻折后的图形中，取BD 的中点O ，连接,AO CO ，则2AO CO ==则,AO BD CO BD ⊥⊥，所以AOC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以2AOC π∠=，即AO CO ⊥，所以1AC =，又因AO CO O =，所以BD ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥，则22||BP BP =211()22BA BC BD =-+21()2CA BD =+221||||4CA BD CA BD =++⋅94=，所以32BP =.故答案为：32.14．[)4,+∞解：设|34||349|z x y a x y =-++--=，故|34||349|x y a x y -++--可以看作点(,)P x y 到直线:340m x y a -+=与直线:3490l x y --=距离之和的5倍，|34||349|x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，∴这个距离之和与点P 在圆上的位置无关，如图所示：可知直线m 平移时，P 点与直线m ，l 的距离之和均为m ，l 的距离，即此时圆在两直线内部，当直线m 与圆()()22321x y -+-=1，化简得|1|5a +=，解得4a =或6a =-（舍去），4a ∴≥，即[)4,a ∈+∞．故答案为：[)4,+∞．15．①③④解：(4,0)A ，(0,2)B ，∴过A 、B 的直线方程为142xy+=，即240x y +-=，圆22(5)(5)16x y -+-=的圆心坐标为(5,5)，圆心到直线240x y +-=的距离4d ，∴点P 到直线AB 的距离的范围为44]+，5<，∴41<，4105+<，∴点P 到直线AB 的距离小于10，但不一定大于2，故①正确，②错误；如图，当过B 的直线与圆相切时，满足PBA ∠最小或最大(P 点位于1P 时PBA ∠最小，位于2P 时PBA ∠最大），此时||BC ==||PB ∴==，故③④正确．故选：①③④．16【详解】由22CBF CF B ∠∠=，设2CB CF m ==，由双曲线的定义得122CF CF a -=，所以12BF a =，24BF a =，又因为过1F 的直线与by x a=-垂直，所以112tan F C a k BF F b=∠=，则12cos bBF F c∠=，在12BF F △中，由余弦定理得222222121212124416cos 28BF BF F F a c a b BF F BF BF ac c+-+-∠===⋅，令1a =，则2220b b --=，解得1b =所以c =则e =，17．（1）证明：把直线l 的方程改写成：()()72100x y m x y +-++-=，由方程组702100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点(3，4).圆C 的方程可写成()()221225x y -+-=，所以圆C 的圆心为(1，2)，半径为5.因为定点(3，4)到圆心(1，2)5=<，即点(3，4)在圆内，所以过点(3，4)的直线l 总与圆相交，即不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交（2）设直线l 与圆交于A 、B 两点.当直线l 过定点M (3，4)且垂直于过点M 的圆C 的半径时，l 被截得的弦长|AB|最短.因为2AB =此时1114231AB CMk k =-=-=---，所以直线AB 的方程为()413y x -=--，即70x y +-=.故直线l 被圆C 截得的弦长最小值为l 的方程为70x y +-=.18．（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB Ì平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，PD ⊂Q 平面PAD ，所以AB PD ⊥.又因为PA PD ⊥，AB PA A ⋂=，所以PD ⊥平面PAB .因为PD ⊂平面PDC ，所以平面PDC ⊥平面PAB ；（2）取AD 的中点O ，连接PO 、CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥.又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO CO ⊥.因为AC CD =，所以CO AD ⊥.以点O 为坐标原点，OC 、OA 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由题意得()0,1,0A 、,1,02B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭、)C 、()0,1,0D -、()0,0,1P ，所以()0,1,1PA =-，)1PC =-uu u r，1PB ⎫=-⎪⎪⎝⎭uu r .设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00n PB n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30230x y z z +-=⎪⎪-=⎩，令2x =，则23z =3y =，所以(3,3n =.所以，3114cos ,38192n PA n PA n PA⋅<>==-=-⨯⋅，则直线PA 与平面PBC 11419．（1）圆222x y r +=与直线380x -=相切，∴圆心O 到直线的距离为22841(3)d r -==+-，∴圆O 的方程为：2216x y +=．若直线l 的斜率不存在，直线l 为2x =-，此时直线l 截圆所得弦长为43若直线l 的斜率存在，设直线l 为：()62y k x =+，则有2226431621k ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪+⎭⎝⎭，解得：612k =此时直线l 为26100x +-=，则所求的直线l 为2x =-或26100x +-=．（2）证明：由题意知，()40M ，，设直线MA ：()14y k x =-，与圆方程联立得：()122416y k x x y ⎧=⋅-⎨+=⎩，消去y 得：()()2222111181610k x k x k +-+-=，()21211611M A k x x k -∴=+，()2121411A k x k -∴=+，12181A k y k -=+，因为123k k ⋅=-，用13k -换掉1k 得到B 点坐标，21213649B k x k -∴=+，121249B k y k =+，则()1122111222111221124891434136491AB k k k k k k k k k k k +++==----++，∴直线AB 的方程为21112221118444131k k k y x k k k ⎛⎫-+=- ⎪+-+⎝⎭，整理得：()121423k y x k =--，则直线AB 恒过定点为()20，．20．（1）由题意知22222191,41,2,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：设()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由于A ，B 为椭圆C 上的点，所以2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减得()()()()1212121243x x x x y y y y +-+-=-，所以()()120121*********x x x y y k x x y y y +-==-=--+.又00k y x =，故134k k =-，为定值.21．（1）抛物线C 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）存在直线1)y x =+或1)3y x =-+．【详解】（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以132p +=,解得4p =,所以28y x =，即准线方程为2x =-.（2）显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(1)y k x =+(0)k ≠,1122(,),(,)A x y B x y .联立得28(1)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2222(28)0k x k x k +-+=.由224(28)40k k ∆=-->,解得k <.所以k <且0k ≠.由韦达定理得212282k x x k -+=,121=x x .直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--,又1D x =-,所以2232D y y x -=-,所以223(1,)2y D x ---,因为//DE AF ,所以直线DE 与直线AF 的斜率相等又(4,3)E k --,所以221133232y k x y x -+-=--.整理得121222y y k x x =+--,即1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--,化简得121211122x x x x ++=+--,121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++,即12+7x x =.所以2282=7k k -,整理得289k =,解得3k =±.经检验,3k =±符合题意.所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x =+或1)y x =+．22．（1）2214x y +=；（2）是，()T .（1）由△12F PF3450x y -+=相切.∴121221PF F S c b b ⎧=⋅⋅=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，解得1b =，c =2a =，则椭圆C 的方程是2214x y +=.（2）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.法一：当直线l 斜率不存在时，以PQ 为直径的圆的方程为：223x y +=，恒过定点()0.当直线l 斜率存在时，设()1y k x =-，()0k ≠.由()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222148440k x k x k +-+-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+.又M 是椭圆C 的右顶点，则()2,0M .由题意知：直线AM 为()1122y y x x =--，故11(0,22y x P --.直线BM 为：()2222y y x x =--，故2220,2y Q x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.若以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点()0,0N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立.又1012,2y PN x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2022,2y QN x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，∴21201222022y y PN QN x x x ⋅=+⋅=--恒成立.又()()()2221212122224484222424141414k k k x x x x x x k k k ---=-++=-⨯+=+++()()()222221212121222244831111141414k k k y y k x k x k x x x x k k k k ⎛⎫--=--=-++=-+= ⎪+++⎝⎭.∴()()22222120002122124143042214k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+，解得0x =故以PQ 为直径的圆过x轴上的定点()0.法二：设1x my =+，代入2214x y +=得()224230m y my ++-=.12224m y y m +=-+，12234y y m =-+直线AM ：()1122y y x x =--，令0x =得11112221y y y x my --==+-，即1120,1y P my ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，同理得2220,1y Q my ⎛⎫- ⎪-⎝⎭设以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0T t ，有PT QT ⊥，即0PT QT ⋅=，则()21221212401y y t m y y m y y +=-++，将12y y +、12y y 代入得230t -=，t =()T .。

高二数学培优直线与圆综合一、填空题1．对于直线l 上任意一点),(y x A ，点)3,24(y x y x B ++仍在直线l 上，则直线l 的方程为 ．2.若方程0lg 6=++-+m y x y x 表示一条直线，则实数m 的取值范是 ．3.直线2:-=x y l ，点)1,1(-A 和点)1,1(B ，在直线l 上的点P ，使得APB ∠最大，则P 点的坐标为 ．4.1122(,),(,)M x y N x y 不同两点，直线:0++=l ax by c ，1122ε++=++ax by c ax by c，以下命题中正确的序号为_________。

（1）不论ε为何值时，点N 都不在直线l 上；（2）若ε=1，则直线MN 与直线l 平行；（3）若1ε=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）1ε>，则点M 、N 在直线l 的同色且直线l 与线段MN 的延长线相交。

5.（1）22(4cos 32)(3sin 132)t t θθ+-+++的最小值为 。

（2的最小值为 ．6.已知长方形的四个顶点)1,0(),1,2(),0,2(),0,0(D C B A ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到AB DA CD ,,上的点432,,P P P .若4P 与0P 重合，则θtan = ．7.已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A 、4- B1C、6- D8.（1）已知圆122=+y x 和直线m x y +=2相交于B A ,且OB OA ,与x 轴正方向所成的角是α和β，则=+)sin(βα ．（2）直线a y x 1=+与圆a ay x 21222+-=+有公共点),(n m ，且mn t =，则t 的取值范围是二、解答题1.已知圆C ：x 2+y 2+2x -3=0．（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，求证：2111x x +为定值；（3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大．2.已知点G （5，4），圆C 1：（x -1）2+（x -4）2=25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E 、F 两点，线段EF 的中点为C ．（1）求点C 的轨迹C 2的方程；（2）若过点A （1，0）的直线l 1与C 2相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ；又l 1与l 2：x +2y +2=0的交点为N ，求证|AM|•|AN|为定值．3.已知点C （1，0），点A ，B 是⊙O ：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足0=⋅，设M 为弦AB 的中点．求点M 的轨迹T 的方程；4.已知平面直角坐标系上一动点(,)P x y 到点(2,0)A -的距离是点P 到点(1,0)B 的距离的2倍。

单元素养检测(一)(第四章)(120分钟 150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝52 ，S 10＝15，则a 7＝( ) A ．12 B ．1 C ．32 D ．2【解析】选 A.方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝52，S 10＝10a 1＋10×92d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝92，d ＝－23，所以a 7＝a 1＋6d ＝92 ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23 ＝12 . 方法二：因为S 10＝10（a 1＋a 10）2 ＝15，所以a 1＋a 10＝3， 又a 4＋a 7＝a 1＋a 10，a 4＝52 ，所以52 ＋a 7＝3，解得a 7＝12 .2．在等比数列{a n }中，若a 4，a 3，a 5成等差数列，则数列{a n }的公比为( ) A ．0或1或－2 B ．1或2 C ．1或－2D ．－2【解析】选C.因为a 4，a 3，a 5成等差数列， 所以2a 3＝a 4＋a 5，又因为等比数列{a n }， 即2＝q ＋q 2，解得q ＝1或q ＝－2.3．(2020·全国Ⅱ卷)数列{}a n 中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】选C.取m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ，又a 1＝2， 所以a n ＋1a n＝2，所以{}a n 是等比数列，则a n ＝2n ，所以a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝2k ＋1⎝⎛⎭⎫1－2101－2＝2k ＋11－2k ＋1＝215－25，所以k ＝4.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＋a 6＝6，则S 12＝( ) A ．15 B ．30 C ．45 D ．60【解析】选C.由题意，等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＋a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＋a 6＝6，则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3 ＝63 ＝2，所以a 7＋a 8＋a 9＝12，a 10＋a 11＋a 12＝24，则S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＋a 12＝45. 5．在数列{}a n 中，若a 1＝1，a 2＝12 ，2a n ＋1 ＝1a n ＋1a n ＋2 (n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n【解析】选A.因为2a n ＋1 ＝1a n ＋1a n ＋2⎝⎛⎭⎫n ∈N * ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，又1a 2 －1a 1＝2－1＝1，所以1a n ＝1＋(n －1)＝n ，所以a n ＝1n .【补偿训练】1.在a 和b 两数之间插入5个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( ) A ．b －a5 B ．b －a6 C ．a －b6D ．b －a 7【解析】选B.在a 和b 两数之间插入5个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则这个数列共有7项，所以d ＝b －a7－1＝b －a6 .2．在等比数列{}a n 中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则a 1a17a 9的值为( )A ．2 2B ．4C ．±2 2D ．±4【解析】选A.a 3·a 15＝8，a 3＋a 15＝6， 故a 1a 17a 9 ＝a 3·a 15a 3·a 15＝a 3·a 15 ＝8 ＝2 2 .6．已知在各项为正数的等比数列{}a n 中，a 2与a 8的等比中项为8，则4a 3＋a 7取最小值时，首项a 1＝( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1【解析】选C.因为a 2a 8＝82＝a 25 ⇒a 5＝8，设公比为q(q>0)，所以4a 3＋a 7＝4a 5q 2 ＋a 5q 2＝32q 2 ＋8q 2≥232q2×8q 2＝32， 当且仅当32q 2 ＝8q 2，即q 2＝2时取等号， 此时a 1＝a 5q 4 ＝2.7．在正项等比数列{a n }中，若a 6，3a 5，a 7依次成等差数列，则{a n }的公比为( ) A ．2 B ．12 C ．3 D ．13 【解析】选A.由题意知2×3a 5＝a 6＋a 7， 又{a n }为正项等比数列，所以6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6， 且q>0，所以q 2＋q －6＝0， 所以q ＝2或q ＝－3(舍).8．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64【解析】选D.由已知有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，则a n ＋2a n＝2，所以数列{a n }的奇数项、偶数项均是公比为2的等比数列，由a 1a 2＝2可以求出a 2＝2，所以数列{a n }的项分别为1，2，2，4，4，8，8，16，16，32，32，…，而b n ＝a n ＋a n ＋1，所以b 10＝a 10＋a 11＝32＋32＝64.二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．在数列{a n}中，n∈N*，若a n＋2－a n＋1a n＋1－a n＝k(k为常数)，则称{a n}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为()A．k不可能为0B．等差数列一定是“等差比数列”C．等比数列一定是“等差比数列”D．“等差比数列”中可以有无数项为0【解析】选AD.由等差比数列的定义可知，等差比数列的公比不为0，所以A 正确；当等差数列的公差为0即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以选项B不正确；当{a n}是等比数列时，当公比q＝1时，{a n}不是等差比数列，所以选项C不正确；数列0，1，0，1，…是公比为－1的等差比数列，该数列中有无数多个0，所以选项D正确．10．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，且a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，记{a n}的前n项积为T n，则下列选项中正确的选项是()A．0<q<1 B．a6>1C．T12>1 D．T13>1【解析】选ABC.由于等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，且a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，所以(a6－1)(a7－1)<0，由题意得a6>1，a7<1，所以0<q<1.因为a6a7＋1>2，所以a6a7>1，T12＝a1·a2·…·a11·a12＝(a6a7)6>1，T13＝a137<1.11．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是()A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 19＝0【解析】选ACD.2a 1＋3a 3＝S 6，所以2a 1＋3a 1＋6d ＝6a 1＋15d ，所以a 1＋9d ＝0，即a 10＝0，A 正确；当d<0时，S n 没有最小值，B 错误； S 12－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝5a 10＝0， 所以S 12＝S 7，C 正确；S 19＝（a 1＋a 19）×192 ＝19a 10＝0，D 正确．【补偿训练】已知等比数列{a n }中，满足a 1＝1，q ＝2，则( )A ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递减数列C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{log 2a n }是递减数列【解析】选BC.a n ＝2n －1，A.1a n ＝12n －1 ，1a n ＋11a n ＝2n －12n ＝12 ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为12 的等比数列，不是等差数列，故不正确；B ．由A 可知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12 的等比数列，所以是递减数列，故正确；C ．log 2a n ＝n －1，log 2a n ＋1－log 2a n ＝n －(n －1)＝1，所以{log 2a n }是等差数列，故正确；D.由C 可知{log 2a n }是公差为1的等差数列，所以是递增数列，故D 不正确．12．已知各项均为正项的等比数列{a n }，a 1>1，0<q<1，其前n 项和为S n ，下列说明正确的是( ) A ．数列{ln a n }为等差数列 B ．若S n ＝Aq n ＋B ，则A ＋B ＝0C ．S n ·S 3n ＝S 22nD ．记T n ＝a 1·a 2·…·a n ，则数列{T n }有最大值【解析】选ABD.由题可知，a n ＝a 1q n －1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q；对A ，ln a n ＝ln a 1q n －1＝ln a 1＋(n －1)ln q ，ln a n ＋1＝ln a 1q n ＝ln a 1＋n ln q ，ln a n ＋1－ln a n ＝ln q ，A 对；对B ，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－a 11－q q n＋a 11－q，又S n ＝Aq n＋B ，则A ＋B ＝－a 11－q ＋a 11－q＝0，B 对；对C ，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，S 3n ＝a 1（1－q 3n ）1－q，S n ·S 3n ＝a 21 （1－q n ）（1－q 3n）（1－q ）2， S 2n ＝a 1（1－q 2n ）1－q ，S 22n ＝a 21 （1－q 2n ）2（1－q ）2，很明显S n ·S 3n ≠S 22n ，C 错误；对D ，T n ＝a 1·a 2·…·a n ，由于数列a 1>1，0<q<1，故数列为单调递减数列，总存在从某一项开始使得a k ＝a 1q k －1∈(0，1)，故T k －1＝a 1·a 2·…·a k －1有最大值，故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 4＝b 4＝8，则a 3＋b 3＝________.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由a 4－a 1＝3d ＝7⇒d ＝73 ⇒a 3＝173 ，q 3＝b 4b 1＝8⇒q ＝2，b 3＝4，则a 3＋b 3＝173 ＋4＝293 . 答案：29314．数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn(A≠0)，若a 1＝1，a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 3＝________.【解析】由S n 的解析式知，{a n }为等差数列，设公差为d ，则1，1＋d ，1＋4d 成等比数列，故(1＋d)2＝1＋4d ，即d 2－2d ＝0，解得d ＝0或d ＝2，若d ＝0，a n ＝1，S n ＝n ，与A≠0矛盾，故d ＝2，a 3＝1＋2d ＝5. 答案：515．已知F(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 －1是R 上的奇函数．a n ＝f(0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －1n ＋f(1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．【解析】因为F(x)＋F(－x)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12 ＝2，即若a ＋b ＝1，则f(a)＋f(b)＝2.于是由a n ＝f(0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －1n ＋f(1)(n ∈N *)，得2a n ＝[f(0)＋f(1)]＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －1n ]＋…＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋[f(1)＋f(0)]＝2n ＋2，所以a n ＝n ＋1. 答案：a n ＝n ＋116．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－n （n 是奇数），12n ＋n 2（n 是偶数）， 则它的前4项和为________．【解析】S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝12 ＋12×2＋22 ＋123 ＋12×4＋42 ＝1924 . 答案：1924四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知等差数列{a n }前三项的和为－9，前三项的积为－15. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .【解析】(1)设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ， 所以(－3－d)(－3)(－3＋d)＝－15，得d 2＝4，d ＝±2. 所以a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7.(2)由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝⎩⎨⎧7－2n ，n≤3，2n －7，n≥4，①n≤3时，S n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝5＋（7－2n ）2n ＝6n －n 2； ②n≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋6n ，n≤3，n 2－6n ＋18，n≥4.18．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，数列{a n ＋1－3a n }是首项为9，公比为3的等比数列． (1)求a 2，a 3.(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 的前n 项和S n .【解析】(1)因为数列{a n ＋1－3a n }是首项为9，公比为3的等比数列，所以a n ＋1－3a n ＝9×3n －1＝3n ＋1，所以a 2－3a 1＝9，a 3－3a 2＝27，所以a 2＝12，a 3＝63. (2)因为a n ＋1－3a n ＝3n ＋1，所以a n ＋13n ＋1 －a n3n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是首项为13 ，公差为1的等差数列， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 的前n 项和S n ＝n 3 ＋n （n －1）2 ＝3n 2－n6 . 19．(12分)(2021·全国乙卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．【解析】(1)由已知可得2S n ＋1b n＝2， b n b n －1＝S n (n≥2)⇒2b n －1b n ＋1b n ＝2(n≥2)⇒2b n －1＋1＝2b n (n≥2)⇒b n －b n －1＝12 (n≥2)，b 1＝32 .故{b n }是以32 为首项，12 为公差的等差数列．(2)由(1)知b n ＝32 ＋12 (n －1)＝n ＋22 ，则2S n ＋2n ＋2 ＝2⇒S n ＝n ＋2n ＋1. n ＝1时，a 1＝S 1＝32 .n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1 －n ＋1n ＝－1n （n ＋1）. 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，－1n （n ＋1），n≥2. 20．(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2 ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．【解析】(1)①若n ＝1，a 1＝S 1＝1，②若n≥2，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2 －（n －1）2＋（n －1）2＝n ， 综上，{a n }的通项公式为a n ＝n ，n ∈N *.(2)由(1)及已知，b n ＝2a n ＋(－1)n a n ＝2n ＋(－1)n n ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 所以T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝(21－1)＋(22＋2)＋(23－3)＋(24＋4)＋…＋[22n －1－(2n －1)]＋(22n ＋2n) ＝(21＋22＋23＋24＋…＋22n －1＋22n )＋(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n] ＝21－22n ×21－2＋n ＝22n ＋1＋n －2，所以{b n }的前2n 项和为T 2n ＝22n ＋1＋n －2，n ∈N *.21．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 18∶S 9＝7∶8.(1)求证：S 3，S 9，S 6依次成等差数列；(2)a 7与a 10的等差中项是否是数列{a n }中的项？如果是，是{a n }中的第几项？如果不是，请说明理由．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，若q ＝1， 则S 18＝18a 1，S 9＝9a 1，S 18∶S 9＝2∶1≠7∶8.所以q≠1.所以S 18＝a 11－q (1－q 18)，S 9＝a 11－q(1－q 9)， S 18∶S 9＝1＋q 9.所以1＋q 9＝78 ，解得q 3＝－12 ，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 13 . 所以S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝32 ×a 11－q， S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝34 ×a 11－q. S 9＝a 11－q (1－q 9)＝98 ×a 11－q. 因为S 9－S 3＝－38 ×a 11－q ，S 6－S 9＝－38 ×a 11－q， 所以S 9－S 3＝S 6－S 9.所以S 3，S 9，S 6依次成等差数列．(2)a 7与a 10的等差中项等于a 7＋a 102 ＝14a 1－18a 12＝a 116 . 设a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第n 项，则a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213 n －1 ＝a 116 ， 化简得(－2)－n －13 ＝(－2)－4，则－n －13 ＝－4，解得n ＝13.所以a 7与a 10的等差中项在数列{a n }中是第13项．22．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －2，{b n }为等差数列，b 3＝a 2，b 2＋b 6＝10.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{a n (2b n －3)}的前n 项和T n .【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2＝a 1， 解得a 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －2)－(2a n －1－2)， 变形得a n ＝2a n －1，所以等比数列{a n }的a 1＝2，公比q ＝2， 通项公式a n ＝2×2n －1＝2n ，对于{b n }，b 3＝a 2＝4，b 2＋b 6＝2b 4＝10， 即b 4＝5，公差d ＝b 4－b 3＝1，通项公式b n ＝b 3＋(n －3)×d ＝n ＋1，(2)由(1)知，a n ＝2n ，b n ＝n ＋1， a n (2b n －3)＝(2n －1)·2n ，所以T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n ，① 2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －1)×2n ＋1，② ①－②得－T n ＝2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)×2n ＋1， 所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.【补偿训练】已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ·a n ＋1 的前n 项和为n 2n ＋1 .(1)求数列{a n }的通项公式．(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)由题意设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 1>0，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ·a n ＋1 的前n 项和为S n ， 因为1a n ·a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1a n －1a n ＋1 ， S n ＝1d [⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3 ＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a n －1a n ＋1 ] ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 1 －1a n ＋ 1 ＝n a 21 ＋ a 1 dn＝n 2n ＋ 1， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(a n ＋1)·2a n ＝n×4n .T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋n×4n ， 则4T n ＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋n×4n ＋1， 两式相减得－3T n ＝4＋42＋43＋…＋4n －n×4n ＋1 ＝4（1－4n ）1－4－n×4n ＋1＝1－3n 3 ×4n ＋1－43 ，3n－19×4n＋1＋49.所以T n＝。