广东省“四校”高三数学上学期第二次联考试题理

广东省“四校”2024年高三数学试题考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =3．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．32C ．23D ．335．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F 到该渐近线的距离为3，则双曲线C 的实轴的长为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8557．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．328．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2eB ．4eC ．2ee - D ．4ee- 9．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．10．已知函数()cos 2321f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 11．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种12．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ）A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合},02|{},1log |{22≤--=<∈=x x x B x Z x A 则=B A （）A.｝，｛10B.｝｛1 C.｝｛1,0,1- D.}2101{，，，-2.已知21)sin(=+πα，则=+)2cos(πα()A.21B.21-C.23 D.23-3.“1>x 且1>y ”是“1>xy 且2>+y x ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，B A 、两点在河的同侧，且B A 、两点均不可到达.现需测B A 、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点D C 、，测得km CD 23=，同时在D C 、两点分别测得CDB ADB ∠=∠︒=30,,45,60︒=∠︒=∠ACB ACD 则B A 、两点间的距离为()A.23B.43C.36 D.466．已知函数)2cos(sin )6cos(4)(x x x x f ωπωω-++=，其中0>ω.若函数)(x f 在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为()A.310 B.21 C.23 D.2多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知ABC ∆中角B A ,的对边分别为,,b a 则可作为“b a >”的充要条件的是（)A.B A sin sin >B．B A cos cos <C．BA tan tan >D．BA 2sin 2sin >11.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论中正确结论为()A.若0k =，则()f x 有两个零点B.0k ∃<，使得()f x 有一个零点C.0k ∃<，使得()f x 有三个零点D.0k ∃>，使得()f x 有三个零点13.已知)(x f 定义域为]1,1[-,值域为]1,0[,且0)()(=--x f x f ,写出一个满足条件的)(x f 的解析式是14.已知函数22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为______四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题10分)已知ABC ∆中角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 满足.cos 3cos cos C C abB a c =+（1）求C sin 的值；（2）若23,2=+=c b a ，求ABC ∆的面积．18.(本小题12分)如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，现对这块地进行改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60︒角的线段DE 和DF （60,EDF ∠=︒F E ,分别在边AC AB ,上），与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上花草进行绿化改造，设BDE α∠=．（1）当︒=60α时，求花草绿化区域AEDF 的面积；（2）求花草绿化区域AEDF 的面积()S α的取值范围．已知函数()2ln xf x ea x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.21.(本小题12分)已知函数()ln(1)xf x e x =+（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设)(')(x f x g =，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞,有()()().f s t f s f t +>+22．(本小题12分)已知函数()axf x xe =.（1）求()f x 在[]0,2上的最大值；（2）已知()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，若存在12,x x R ∈，12x x <，使得()()12f x f x =，证明：21x x ee >.东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题标准答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题123456789101112B A A D D ACCABBCDABDACD三、填空题：（每小题5分，共20分）13.]1,1[|,|)(-∈=x x x f 或者]1,1[,2cos)(-∈=x xx f π或者21)(x x f -=或者...14.)62sin(2)(π+=x x f 15.2,1416.()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题17.【解析】（1）解法一：c cos B+bcosC ＝3a cos C ．由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ，....2分所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，..........3分由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ，则sin A ＝3sin A cos C ．因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13...........4分因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223...........5分解法二：因为c cos B+bcosC ＝3a cos C ．所以由余弦定理得c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 22ab，化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab 2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.（2）由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，.......7分及23,2=+=c b a ，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝18，即(a －b )2＋43ab ＝18.所以ab ＝12.......8分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×12×223＝4 2........10分18．【解析】（1）当60α= 时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 602ABC S km ∆=⨯⨯⨯= ，)2111sin 602BDE CDF S S km∆∆==⨯⨯=∴)22km -=................3分（2）方法一：由题意知：3090α<< ,BD=CD=1()())1sin 602ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=-+=+ ......4分在BDE ∆中，120BED α∠=- ，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-............5分在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠=由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=.............6分()()()()22sin 120sin sin 120sin sin sin 120sin 120sin BE CF αααααααα-+-∴+=+=-- ....................7分令21tan 23sin sin 21cos 23sin )120sin(+=+=-︒=ααααααt 3090α<< ⎪⎭⎫⎝⎛∈∴+∞∈∴2,21),33(tan t α.................10分)(1t f t t CF BE =+=+()上单调递增．，在上单调递减；在21)(1,21)(11)('2t f t f t t f ⎪⎭⎫⎝⎛∴-= )25,2[)(∈∴t f 即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭())sin 60BDE CDF S S CF BE CFα∆∆∴-+=+)BE CF +∈⎦即花草地块面积()S α的取值范围为⎝⎦..................12分方法二：由已知得++,++,BED B EDF FDC απαπ∠∠=∠∠=又,3B EDF π∠=∠=所以BED FDC ∴∠=∠，在BED ∆和CDF ∆中有：60,B C BED FDC︒∠=∠=∠=∠，BED CDF ∴∆∆ ，得CFBDDC BE =又D 是BC 的中点，11DC BD BE FC ∴==∴⋅=,且当E 在点A 时，12CF =，所以122CF <<，所以111211()222224S BE CF BE CF =⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=+，设CF x =，1BE x=，且122x <<，令1y x x =+，则()()2222+11111x x x y x x x '--=-==，112x ∴<<时，10,y y x x '<=+在112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，12x <<时，10,y y x x '>=+在(1,2)上单调递增，1x ∴=时，1y x x =+有最小值2，当12x =或2x =时，152y x x =+=，所以面积S 的取值范围是82⎛ ⎝⎦.19.【解析】（1）()3()cos()sin()sin sin cos cos sin 2f x x A x x A x A x π=+⋅-=-..........2分2sin cos sin cos sin x x A A x=-()sin 21cos 211sin cos cos cos 22222x x A A A x A -=⨯-⨯=-+-，...........4分故()max111cos 224f x A =-+=，故1cos 2A =.因为()0,A π∈，故3A π=...............5分（2）1111()cos cos 2cos 22323234f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故1()2(())cos 243g x f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，令()s g x =，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()g x 的图象如图所示：可得[]1,1s ∈-，............6分方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解又[]1,1s ∈-，下面考虑2410s ms -+=在[]1,1-上的解的情况.若2160m ∆=-=，则4m =-或4m =（舍）当4m =-时，方程的解为12s =-，此时1cos 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭仅有一解，故方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有一个解，舍...........8分若2160m ∆=->，则4m <-或4m >,此时2410s ms -+=在R 有两个不同的实数根)(,2121s s s s <，当4m <-时，则120,0s s <<，要使得方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解，则1210,10s s -≤<-≤<.令()241h s s ms =-+，则()()41010800m h m h <-⎧⎪-≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪>⎪⎩，解得54m -≤<-............12分综上，m 的取值范围为：[)5,4--.20.【解析】（1）()f x 的定义域为()0,,+∞()22(0)xaf x e x x'=->.....1分当a ≤0时，()()0f x f x ''>，没有零点；......2分.当0a >时，因为2xe 单调递增，ax-单调递增，所以()f x '在()0,+∞单调递增，...3分当b 满足0＜b＜4a 且b＜14时，即若41,1<≥b a 时，0424241(')('<-≤-=<e a e f b f;若414,10<<<<a b a 时，042424(')('2<-<-=<e e a f b f a;则()0f b '<...5分另法：0→x 时),0( ,022>-∞→-→a xa e x所以-∞→→)(',0x f x 且)('x f 在)0(∞+，上是连续的,所以必存在b 使得()0f b '<,又()0f a '>即有0)(')('<b f a f ,故当0a >时()f x '存在唯一零点.……6分（2）当0a >时由（1），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0；当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0...........7分故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ......8分由于=)('0x f 02020x ae x -=，............9分所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+......11分故当0a >时，()221f x a a na≥+.……12分21．【解析】（1）因为)1ln()(x e x f x+=,所以0)0(=f ，即切点坐标为)0,0(，..1分又11)1[ln()(xx e x f x+++=',∴切线斜率1)0(='=f k ∴切线方程为x y =.....3分（2）令]11)1[ln()()(xx e x f x g x+++='=则])1(112)1[ln()(2x x x e x g x+-+++='.......................4分令2)1(112)1ln()(x x x x h +-+++=,则0)1(1)1(2)1(211)(3232>++=+++-+='x x x x x x h ,∴)(x h 在),0[+∞上单调递增，.........6分∴01)0()(>=≥h x h ∴0)(>'x g 在),0[+∞上恒成立∴)(x g 在),0[+∞上单调递增..7分（3）解：待证不等式等价于)0()()()(f t f s f t s f ->-+，令)0,()()()(>-+=t x x f t x f x m ，只需证)0()(m x m >..........8分∵)1ln()1ln()()()(x e t x ex f t x f x m x tx +-++=-+=+)()(1)1ln(1)1ln()(x g t x g xe x e t x e t x e x m x x t x tx -+=+-+-+++++='++.........10分由（2）知]11)1[ln()()(xx e x f x g x+++='=在),0[+∞上单调递增，∴)()(x g t x g >+...........11分∴0)(>'x m ∴)(x m 在),0(+∞上单调递增，又因为0,>t x ∴)0()(m x m >，所以命题得证.....12分22.【解析】（1）()()()1ax ax f x xe ax e ''==+，.............1分当0a ≥时，则10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立.所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增.则()f x 的最大值为()()2max 22a f x f e ==；.........2分当0a <时，令10ax +=，即1x a=-当()10,2a -∈，即12a <-时，当10,x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时()0f x ¢>，()f x 在10,a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增.当1,2x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时()0f x '<，()f x 在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，()max 11f x f a ea ⎛⎫=-=-⎪⎝∴ ⎭.3分当[)12,a -∈+∞即102a -≤<时，10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增.则()f x 的最大值为()()2max 22a f x f e ==；........4分综上所述：当12a ≥-时()()2max 22a f x f e ==；当12a <-时()max11f a ea f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭...5分（2）因为()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，所以()()110a f a e '=+=，则1a =-，即()()1x f x x e -'=-.当1x <时，()0f x ¢>，则()f x 在(),1∞-上单调递增当1x >时，()0f x '<，则()f x 在()1,+∞上单调递减.又因为0x <时有()0f x <；0x >时有()0f x >，根据图象可知，若()()12f x f x =，则有1201x x <<<；......7分要证21x x e e >，只需证211ln x x >-；...............8分又因为101x <<，所以11ln 1x ->；因为()f x 在()1,+∞上单调递减，从而只需证明()()()1211ln f x f x f x =<-，只需证()()()1111ln 1ln 11111ln 1ln 1ln x x x x x x e e x e eex ---<--==.只需证()1111ln 1,01x e x x -+<<<.......................10分设()()()1ln ,0,1th t e t t -=+∈，则()11tte h t t--'=.由()f x 的单调性可知,()()11f t f e≤=.则1t te e -≤，即110t te --≥.所以()0h t '>，即()h t 在()0,1t ∈上单调递增.所以()()11h t h <=.从而不等式21x x e e >得证............12分。

“四校”2015—2016学年度高三第二次联考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

⒉做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

⒌考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：柱体体积公式：V Sh = （其中S 为底面面积，h 为高）锥体体积公式：13V Sh =（其中S 为底面面积，h 为高） 球的表面积、体积公式：2344,3S R V R ==ππ （其中R 为球的半径）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数12iz i-+=（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 2．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x 2+2x+3}，则（∁R M ）∩N= （ ）A ． {x|0＜x ＜1}B ． {x|x ＞1}C ． {x|x≥2}D ． {x|1＜x ＜2}3、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2 ...960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落人区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C 的人数为 （ ） A. 15 B. 10 C. 9 D. 7 4.设{n a } 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，且12380a a a =，则111213a a a ++等于（ ）A ．120B ． 105C ． 90D ．755.由2y x =和23y x =-所围成图形面积是 （ ）A.B.C.D.6．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2+的离心率为 （ ）A ．B ．C ． 或D ． 或7．定义某种运算S a b =⊗，运算原理如图所示，则131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为 （ ）A ．15B ．13C ．8D ．4第7题图 第8题图8.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 （ ） A ．54 B.27 C.18 D.9 9. .如图，已知△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上且满足AM MC ＝MP PB ＝2，若|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，则AP →·BC →的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C.23 D ．－113第9题图第10题图 10．如图,在平行四边ABCD 中,=90.,2AB 2 +BD 2 =4,若将其沿BD 折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥A —BCD的外接球的表面积为 （ ） A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π11. 抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则的最大值为 （ ）A ．B ． 1C ．D ． 212.已知定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，对()0,x ∀∈+∞，都有()3log 4f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则函数()()()1'13g x f x f x =----的零点所在区间是 （ ）A . ()4,5B . ()3,4C . ()2,3D .()1,2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.93)1(x x x +的展开式中的常数项为________． 14.若数列{}n a 是正项数列，)(3...221*∈+=+++N n n n a a a n ，则=++++1 (322)1n a a a n _____．15．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为_______．16.在对边分别为、、中，内角C B A ABC ∆a 、b 、c,若其面S==--2,)(22ASin c b a 则_______． 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1cos 2a C cb -=. (1)求角A 的大小;(2)若1a =,求ABC ∆的周长的取值范围.18、(本小题满分12分) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数） 频率[60,70) 9x [70,80) y 0.38 [80,90) 160.32[90,100) z s合 计p1（1）求出上表中的,,,,x y z s p 的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；②记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AC BD ⊥于O ，E 为线段PC 上一点，且AC BE ⊥， （1）求证：//PA 平面BED ；（2）若AD BC //，2=BC ，22=AD ，3=PA 且CD AB =求PB 与面PCD 所成角的正弦值。

2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A ＝{x |lgx ≤0}，B ＝{x ||x ﹣1|≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．AB ．BC ．∁R AD ．∁R B2．已知向量a →=（﹣3，m ），b →=（1，﹣2），若b →∥（a →−b →），则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣4C ．0D ．63．若函数f （x ）={a x−3，x ≥4−ax +4，x ＜4（a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(0，1)∪(1，54]B ．(1，54]C ．(0，45]D ．[45，1)4．若复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则z 的虚部为（ ） A ．−√2iB ．−√22C ．√22i D ．√225．数列{a n }满足a 1＝2019，且对∀n ∈N *，恒有a n+3=a n +2n ，则a 7＝（ ） A ．2021B ．2023C ．2035D ．20376．如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB ∥α，设α与SM 交于点N ，则SM SN的值为（ ）A ．43B ．32C ．23D ．347．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，且f （x ）为偶函数，f(π6)=−2，3f （x ）cos x +f '（x ）sin x ＞0，则不等式f(x +π2)cos 3x +12＞0的解集为（ ）A ．(−π3，+∞)B ．(−2π3，+∞) C ．(−2π3，π3) D ．(π3，+∞)8．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届高三级11月四校联考数学试题 佛山市第一中学、广州市第六中学 汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分 选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （ ）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=， 所以{|01}A B x x =< ≤=A ， 故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（ ）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（ ）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数， 根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ． 故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为 （ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（ ） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（ ）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥， 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==， 又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（ ）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>， 可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增， 又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−， 可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<， 注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ， 可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ， 所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=， 则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<， 所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ， 即4652S S S +=，故C 错误； 对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确； 故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（ ）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确； 故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（ ）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误； 且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误； 由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（ ） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =， 令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ， 令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立， 可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=， 所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−， 由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−， 是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −， 则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−， 则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确； 对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −， 则112247−=f f f ， 因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ， 即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分 非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解． 【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△， 所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=． 所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=， 若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++， 对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−， 因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <， 即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增， 所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈． 故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值． 【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式． （2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值． 【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】 将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象， 因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ， 因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， 所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=， 所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】 因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−， 的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =， 此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =， 当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点， 又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=， 又201e e F =− <，()2e e 1F =， 作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<， 所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围； （2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2） 【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥， 当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ， 当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增， 当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ， 可知()g x ′在π0,2内单调递增， 因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =， 当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>； 所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减； 综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增， 所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−， 又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ， 因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥， 则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=， 即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立， 即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ， 当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立； 当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ， 即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ， 相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ， 为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ； 综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

广东省华附、省实、广雅、深中2022届高三上学期四校联考数学参考答案一、单项选择题：三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．π4 14．4 15．827 16．(n 2−2n +3)⋅2n+1−6一、单选题1．设集合A ={y ∣y =√1−x},B ={−1,0,1}，则A ∩B =（ ） A ．{1} B ．{0,1} C ．{−1,0} D ．{−1,0,1}【答案】B2．已知复数i(,)z a b a b R =+∈，且3(1i )2i z +=+，则a b +=（ ） A ．12 B ．32C ．1D ．2【答案】D3．已知命题p:∃x ，y ∈R ，sin(x +y)=sinx +siny ；命题q:∀x ，y ∈R ，sinx ⋅siny ⩽1，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p ∧q B ．¬p ∧q C ．p ∧(¬q) D ．¬(p ∨q)【答案】A【解析】当x =0,y =π2时，sin(x +y)=sinx +siny 成立所以命题p 为真命题，则¬p 是假命题； 因为∀x ，y ∈R ，所以sinx ≤1,siny ⩽1，则sinx ⋅siny ⩽1，故命题q 为真命题，则¬q 是假命题； 所以p ∧q 是真命题，¬p ∧q 是假命题， p ∧(¬q)是假命题，¬(p ∨q)是假命题，故选：A 4．声强级L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：L =10lg(I 10−12)，若女高音的声强级是75dB ，普通女性的声强级为45dB ，则女高音声强是普通女性声强的（ ） A ．10倍 B ．100倍 C ．1000倍 D ．10000倍【答案】C【解析】设女高音声强为I 1，普通女性声强为I 2，则101g (I 110−12)=75，所以I 110−12=107.5①，10lg(I210−12)=45，所以I 210−12=104.5②，则①÷②得：I1I 2=1000，故女高音声强是普通女性声强的1000倍.故选：C5．等差数列{a n }中，a 1=1，公差为d(d ∈Z)，a 3+λa 9+a 15=17，λ∈(−1,0)，则公差d 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．−1 D ．−2【答案】A【解析】a 3+λa 9+a 15=a 1+2d +λ(a 1+8d )+a 1+14d =(2+λ)a 1+(16+8λ)d =17，整理得：(8d +1)λ=15−16d ，由于d ∈Z ，所以8d +1≠0，故λ=15−16d 8d+1，则λ=15−16d 8d+1∈(−1,0)，若8d +1>0，解得：1516<d <2，由于d ∈Z ，所以d =1；若8d +1<0，解得：{d >2d <1516，此时无解，综上：公差d 的值为1,故选：A6．函数())1f x x =+，定义域为R 的函数()g x 满足()()2g x g x −+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ，则61()i i i x y =+=∑（ ）A ．0B ．6C ．12D ．24【答案】B【解析】由g(−x)+g(x)=2得y =g(x)的图象关于(0,1)对称，同时函数f(x)=ln(√x 2+1−x)+1定义域也为R ，且f(−x)+f(x)=ln(√x 2+1+x)+1+ln(√x 2+1−x)+1 =ln [(√x 2+1+x)(√x 2+1−x)]+2=ln (x 2+1−x 2)+2=2 即f(−x)+f(x)=2，故也关于(0,1)对称，则函数f(x)=ln(√x 2+1−x)+1与y =g(x)图象的交点关于(0,1)对称， 则不妨设关于点(0,1)对称的坐标为(x 1，y 1)，(x 6，y 6)，则x 1+x 62=0，y 1+y 62=1，则x 1+x 6=0，y 1+y 6=2，同理可得：x 2+x 5=0，y 2+y 5=2，x 3+x 4=0，y 3+y 4=2， 即∑(x i +y i )6i=1=3×(0+2)=6，故选：B ．7．在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角∠PMQ 最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米【答案】C【解析】由题意知，PB =8,QB =12，设∠PMB =α,∠QMB =β,BM =x ，则tanα=8x ,tanβ=12x，所以tan∠PMQ =tan (β−α)=12x −8x 1+12x ⋅8x=4x x 2+96=4x+96x≤2√x⋅x=2√6，当且仅当x =96x，即x =√96时取等号，又因为√96≈10，所以BM 大约为10米. 故选：C. 8．倾斜角为π3的直线经过双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且AF⃑⃑⃑⃑⃑ =λFB ⃑⃑⃑⃑⃑ (λ⩾5)，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ） A ．[43,+∞)B ．(1,43]C ．(1,2)D ．[43,2)【答案】D【解析】设l 为双曲线的右准线，过A 、B 作AD ，BE 垂直于l ，D ，E 为垂足， 过A 作AG ⊥EB 于G ， 根据双曲线的第二定义，得|AD|=|AF |e，|BE|=|BF|e，∴|AF|=e|AD|，|BF|=e|BE|， ∵ AF⃑⃑⃑⃑⃑ =λFB ⃑⃑⃑⃑⃑ (λ⩾5)， ∴|AF⃑⃑⃑⃑⃑ |=λ|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |， ∴|AD|=λ|BE|，∴|AB|=|AF|+|BF|=(1+λ)e|BE|， ∴|BG|=λ|AD|−|BE|=(λ−1)|BE|， ∴cos∠ABG =|BG||AB|=(λ−1)|BE|(λ+1)e|BE|，∴ecos∠ABG =λ−1λ+1，∴e =2(λ−1)λ+1=2−4λ+1，∵λ⩾5，则λ+1⩾6，可得0<4λ+1⩽23， ∴43≤2−4λ+1<2，∴ 43⩽e <2，即离心率的取值范围是[43，2). 故选：D ．二、多选题9．已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α || β，l || β，则l || α B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α || β C ．若l ⊥α，l ||β，则α⊥β D ．若α⊥β，l || β，则l ⊥α【答案】BC【解析】对于A ，若α//β，l//β，则l//α或l ⊂α，故A 不正确；对于B ，若l ⊥α，l ⊥β，则α//β，故B 正确；对于C ，若l ⊥α，l//β，过l 的平面γ与β相交，设交线为m ， ∵l//β，l ⊂γ，β∩γ=m ，则l//m ，∵l ⊥α，则m ⊥α，∵m ⊂β，故α⊥β，故C 正确； 对于D ，若α⊥β，l//β，则l 与α不一定垂直，故D 不正确； 10．设x >0，x,y ∈R ，则（ ） A ．“x >y ”⇒“x >|y|”B ．“x <y ”⇒“x <|y|”C ．“x ≥|y|”⇒“x +y ≥|x +y|”D ．“x >y ”⇒“x +|y|≥|x +y|”【答案】BCD【解析】A ：当x =1,y =−2时，x >|y|不成立，故错误； B ：由y >x >0，则x <|y|成立，故正确；C ：x >0且x ≥|y|，即x ≥y ≥−x ，则x +y ≥0，故x +y =|x +y|恒成立，故正确；D ：当x >0>y 时，x +|y|>|x +y|，当x >y ≥0时，x +|y|=|x +y|，故正确；11．已知抛物线C:y 2=4x ，圆F:(x −1)2+y 2=14(F 为圆心），点P 在抛物线C 上，点Q 在圆F 上，点A(−1,0)，则下列结论中正确的是（ ）A ．|PQ|的最小值是12 B ．|PF||PA|的最小值是√22C ．当∠PAQ 最大时，|AQ |=√152D ．当∠PAQ 最小时，|AQ |=√152【答案】ABC【解析】A. |PQ|的最小值是|PF|的最小值减去圆的半径，又|PF|的最小值是1，所以|PQ|的最小值是1-12=12，故正确；B. 设P (4t 2,4t )，则|PF |2=(4t 2−1)2+(4t )2=16t 4+8t 2+1， |PA |2=(4t 2+1)2+(4t )2=16t 4+24t 2+1， 所以|PF |2|PA|2=16t 4+8t 2+116t 4+24t 2+1=1−16t 216t 4+24t 2+1=1−1616t 2+24+1t2≥1−2√16t 2⋅1t 2+24=12， 当且仅当16t 2=1t 2，即t =±12时，等号成立，所以|PF||PA|的最小值是√22，故正确；C.如图所示：当∠PAQ 最大时，直线AQ 与圆相切，则|AQ |=√22−14=√152，故正确；D.当∠PAQ 最小时为0∘，即P ，A ，Q 共线，则|AQ |∈[32,52]，故错误； 12．设函数f(x)={−x 2−2x,x ⩽0|lnx |,x >0，则下列命题中正确的是（ ）A ．若方程f(x)=a 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4的取值范围是(0,1)B ．若方程f(x)=a 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是(0,+∞)C ．若方程f(x)=ax 有四个不同的实根，则a 的取值范围是(0,1e )D ．方程f 2(x)−(a +1a )f(x)+1=0的不同实根的个数只能是1，2，3，6【答案】AD【解析】对于A ：作出f(x)的图像如下：若方程f(x)=a 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则0<a <1，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，则x 1，x 2是方程−x 2−2x −a =0的两个不等的实数根，x 3，x 4是方程|lnx|=a的两个不等的实数根，所以x 1x 2=a ，−lnx 3=lnx 4，所以lnx 4+lnx 3=0，所以x 3x 4=1， 所以x 1x 2x 3x 4=a ∈(0,1)，故A 正确；对于B ：由上可知，x 1+x 2=−2，−lnx 3=lnx 4=a ，且0<a <1， 所以x 3x 4=1，所以x 3∈(1e ,1)，x 4∈(1,e )，所以x 3+x 4=1x 4+x 4∈(2,1+1e)，所以x 1+x 2+x 3+x 4∈(0,1+1e)，故B 错误；对于C ：方程f(x)=ax 的实数根的个数，即可函数y =f(x)与y =ax 的交点个数，因为y =ax 恒过坐标原点，当a =0时，有3个交点，当a <0时最多2个交点，所以a >0， 当y =ax 与y =lnx(x >1)相切时，设切点为(x 0,lnx 0)， 即y ′=1x ，所以y ′|x=x 0=1x 0=lnx 0x 0，解得x 0=e ，所以y ′|x=x 0=1e ，所以a =1e，所以当y =ax 与y =lnx(x >1)相切时， 即a =1e时，此时有4个交点， 若f(x)=ax 有4个实数根，即有4个交点，当a >1e时由图可知只有3个交点，当0<a <1e时，令g (x )=lnx −ax ，x ∈(1,+∞)，则g ′(x )=1x−a =1−ax x，则当1<x <1a 时g ′(x )>0，即g (x )单调递增，当x >1a 时g ′(x )<0，即g (x )单调递减，所以当x =1a 时，函数取得极大值即最大值，g (x )max =g (1a )=−lna −1>0，又g (1)=−a <0及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当x 无限大时g (x )<0，即g (x )在(1,1a )和(1a ,+∞)内各有一个零点，即f(x)=ax 有5个实数根，故C 错误； 对于D ：f 2(x)−(a +1a )f(x)+1=0，所以[f(x)−a][f(x)−1a]=0，所以f(x)=a或f(x)=1a，由图可知，当m>1时，f(x)=m的交点个数为2，当m=1，0时，f(x)=m的交点个数为3，当0<m<1时，f(x)=m的交点个数为4，当m<0时，f(x)=m的交点个数为1，所以若a>1时，则1a∈(0,1)，交点的个数为2+4=6个，若a=1时，则1a=1，交点的个数为3个，若0<a<1，则1a>1，交点有4+2=6个，若a<0且a≠−1时，则1a <0且a≠1a，交点有1+1=2个，若a=−1=1a，交点有1个，综上所述，交点可能由1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故D正确；三、填空题13．已知向量a⃗，b⃑⃗满足a=(4,0)，b⃑⃗=(m,1)，|a|=a⃗⋅b⃑⃗，则a⃗与b⃑⃗的夹角为___________.【答案】π4【解析】由题意，向量a=(4,0)，b⃑⃗=(m,1)，因为|a⃗|=a⃗⋅b⃑⃗，可得4m+0×1=4，解得m=1，即b⃑⃗=(1,1)，可得|b⃑⃗|=√2，所以cos⟨a ,b⃑⟩=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ |⋅|b⃑|=4×√2=√22，又因为⟨a ,b⃑⟩∈[0,π]，所以⟨a ,b⃑⟩=π4.故答案为：π4.14．曲线y=lnx−2x 在x=1处的切线的倾斜角为α，则sinα+cosαsinα−2cosα=___________.【答案】4【解析】f′(x)=1x +2x2，tanα=f′(1)=3，sinα+cosαsinα−2cosα=tanα+1tanα−2=3+13−2=4．15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的23（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h 的比值为______. 【答案】827【解析】设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r ，高为h ， 左侧倒圆锥形沙堆的体积V 1=13π(2r 3)22ℎ3=881πr 2ℎ，右侧圆锥形沙堆的体积V 2=13πr 2ℎ′， 由V 1=V 2得ℎ′=827ℎ. 故答案为：827.16．已知数列{a n }满足a 1=2，n 2⋅a n+1=2(n +1)2⋅a n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n =___________. 【答案】(n 2−2n +3)⋅2n+1−6【解析】由n 2⋅a n+1=2(n +1)2⋅a n 得a n+1(n+1)2=2×a n n 2，又a 112=2，所以数列{ann 2}是等比数列，公比为2， 所以ann 2=2×2n−1=2n ，即a n =n 2⋅2n ．S n =1×2+22×22+32×23+⋯+n 2×2n ，（1）（1）×2得2S n =1×22+22×23+⋯+(n −1)2×2n +n 2×2n+1，（2）（1）－（2）得：−S n =1×2+3×22+5×23+⋯+(2n −1)×2n −n 2×2n+1，（3） （3）×2得：−2S n =1×22+3×23+5×24+⋯+(2n −3)×2n +(2n −1)×2n+1−n 2×2n+2，（4） （3）－（4）得：S n =2+2×22+2×23+⋯+2×2n −(2n −1)×2n+1+n 2×2n+1 =2+8(1−2n−1)1−2−(2n −1)×2n+1+n 2×2n+1=(n 2−2n +3)×2n+1−6．故答案为：(n 2−2n +3)⋅2n+1−6．四、解答题17．已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+． (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对于集合A 、B ，定义集合{A B x x A −=∈且}x B ∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A 、B ，将集合A B −的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ．【答案】(1)a n =3n +1，b n =2n ；(2)S 30=1632【解析】(1)设等差数列{a n }公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0)， ∵b n+2=b n+1+2b n ，∴q 2=q +2，解得q =2或q =−1<0（舍去）. 又b 1=2，所以b n =2×2n−1=2n . 所以a 3=b 3+2=10，d =a 3−a 13−1=10−42=3，所以，a n =a 3+(n −3)d =10+3(n −3)=3n +1. (2)∵a 30=91，a 33=100，又b 6=64<121<b 7=128， 所以S 30中要去掉数列{b n }的项最多6项，数列{b n }的前6项分别为2、4、8、16、32、64，其中4、16、64三项是数列{a n }和数列{b n }的公共项，所以{c n }前30项由{a n }的前33项去掉{b n }的b 2=4，b 4=16，b 6=64这3项构成. S 30=(a 1+a 2+⋯+a 33)−(b 2+b 4+b 6)=33×(4+100)2−(4+16+64)=1632.18．已知四边形ABCD ，A ，B ，C ，D 四点共圆，AB =5，BC =2，cos∠ABC =−45．(1)若sin∠ACD =√55，求AD 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值． 【答案】(1)5；(2)15√2+7【解析】(1)在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos∠ABC=52+22−2×5×2×(−45)=45，得AC =3√5. 因为cos∠ABC =−45, 0<∠ABC <π，所以sin∠ABC =35. 因为A,B,C,D 四点共圆，所以∠ABC 与角∠ADC 互补， 所以sin∠ADC =35，cos∠ADC =45，在△ACD ，由正弦定理得：ADsin∠ACD =ACsin∠ADC ， 所以AD =AC⋅sin∠ACD sin∠ADC=3√5×√5535=5.(2)因为四边形ABCD 的周长为DC +DA +BC +BA =DC +DA +7， 在△ACD 中，由余弦定理得：AC 2=DA 2+DC 2−2DA ⋅DC ⋅cos∠ADC ， 即45=DA 2+DC 2−85DA ⋅DC =(DA +DC)2−185DA ⋅DC≥(DA +DC)2−185(DA+DC 2)2=110(DA +DC)2∴(DA +DC)2≤450, ∴DA +DC ≤15√2， 当且仅当DA =DC =15√22时，(DA +DC)max =15√2，所以四边形ABCD 周长的最大值为15√2+7.19．移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到2×2列联表如下：(1)按年龄35岁以下（含35岁）是否使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设使用移动支付的人数为X ，求X 的分布列及期望.(2)用这100位市民使用移动支付的频率代替全市市民使用移动支付的概率，从全市随机中选出10人，则使用移动支付的人数最有可能为多少？ 【答案】(1)分布列见解析，125；(2)6【解析】(1)根据分层抽样知使用移动支付的人数为8人，不使用移动支付的有2人，则X 的可能值为1，2，3， P(X =1)=C 81C 22C 103=115，P(X =2)=C 82C 21C 103=715，P(X =3)=C 83C 20C 103=715，分布列为E(X)=1×115+2×715+3×715=125.(2)从全市随机选出10人，设使用移动支付的人数为Y ，则Y~B(10,35)，且P(Y =k)=C 10k(35)k (25)10−k (k ∈N,0≤k ≤10). 由{C 10k (35)k (25)10−k≥C 10k−1(35)k−1(25)11−kC 10k (35)k (25)10−k ≥C 10k+1(35)k+1(25)9−k ， 解得285≤k ≤335，因为k ∈N ∗，所以k =6，故使用移动支付的人数最有可能为6.20．如图所示的几何体中，△ABE ，△BCE ，△DCE 都是等腰直角三角形，AB =AE =DE =DC ，且平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE .(1)求证：AD ||平面BCE ； (2)求二面角B −AD −E 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)13【解析】(1)证明：分别取EB,EC 的中点O,H ，连接AO,DH,OH ，设AB =AE =DE =DC =1，则EB =EC =√2， ∵AB =AE,BO =OE,∴AO ⊥BE ，又平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE ∩平面BCE =BE,AO ⊂平面ABE ， ∴AO ⊥平面BCE ， 同理可证DH ⊥平面BCE ， ∴AO//DH ，又因为AO =DH =√22，所以四边形AOHD 是平行四边形，∴AD//OH ， 又∵AD ⊄平面BCE,OH ⊂平面BCE ， ∴AD//平面BCE ；(2)如图，取BC 的中点为F ，则OF ⊥BE ，以点O 为坐标原点，OB,OF,OA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,√22),B (√22,0,0),D (−√22,√22,√22),E (−√22,0,0)，则BA⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√22,0,√22),BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√2,√22,√22)， 设平面ABD 的一个法向量为m ⃑⃑⃗=(x,y,z )， 则{−√22x +√22z =0−√2x +√22y +√22z =0⇒{−x +z =0−2x +y +z =0，令x =1，得平面ABD 的一个法向量为m ⃑⃑⃗=(1,1,1). 则AE⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√22,0,−√22),DE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−√22,−√22)， 设平面ADE 的一个法向量为n ⃑⃗=(a,b,c )， 则{−√22a −√22c =0−√22b −√22c =0⇒{a +c =0b +c =0，令a =1，得平面ADE 的一个法向量为n⃑⃗=(1,1,−1)， 设二面角B −AD −E 的大小为θ，则|cos θ|=|m ⃑⃑⃑⃗⋅n ⃑⃗||m⃑⃑⃑⃗||n ⃑⃗|=√3×√3=13，观察可知θ为锐角，所以二面角B −AD −E 的余弦值为13.21．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F (c,0)在直线√3x +y −2√3=0上，且离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A (−a,0)，B (a,0)，过点A 的直线与椭圆C 交于另一点P （异于点B ），与直线x =a 交于一点M ，∠PFB 的角平分线与直线x =a 交于点N ，是否存在常数λ，使得BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λBM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x216+y212=1；(2)存在，λ=12，理由见解析【解析】(1)因为右焦点F(c,0)在直线√3x+y−2√3=0上，所以√3c−2√3=0,∴c=2∵e=ca =2a=12,∴a=4,∴b2=16−4=12.所以椭圆C的方程为x216+y212=1.(2)存在，λ=12，理由如下：因为A(−4,0),B(4,0),F(2,0)，设M(4,y1),N(4,y2),P(x0,y0). 显然y1y2>0.可设直线AP的方程为x=my−4(m≠0)，因为点M在这条直线上，则my1=8,m=8y1.联立{x=my−43x2+4y2=48，得(3m2+4)y2−24my=0的两根为y0和0，∴y0=24m3m2+4,∴x0=my0−4=12m2−163m2+4.∵k PF=y0x0−2=24m3m2+412m2−163m2+4−2=4mm2−4=8y116−y12,k NF=y22.设∠BFN=θ,则∠PFB=2θ,∴tan2θ=2tanθ1−tan2θ=y21−(y22)2=4y24−y22=4mm2−4.∴8y116−y12=4y24−y22，∴(2y2−y1)(y1y2+8)=0，因为y1y2>0，所以2y2−y1=0,∴y2=12y1.故存在常数λ=12，使得BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λBM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .22．已知函数f(x)=2x−2(a+2)√x+alnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数g(x)=f(x2)−2(a+1)lnx的图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)，且0<x1<x2，设x0=λx1+μx2，其中常数λ､μ满足条件λ+μ=1，μ⩾λ>0，g′(x)为函数g(x)的导函数，试判断g′(x0)的正负，并说明理由.【答案】(1)答案见解析；(2)g′(x0)>0，理由见解析【解析】(1)由题意，函数f(x)=2x−2(a+2)√x+alnx(a∈R)的定义域为(0,+∞)，可得f′(x)=2√x +ax=(√x−1)(2√x−a)x,(x>0)，①当a≤0时，可得2√x−a>0，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增；②当a=2时，可得f′(x)=2(√x−1)2x≥0在(0,+∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；③当0<a <2时，当x ∈(0,a 24)时，f ′(x )>0；当x ∈(a 24,1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1+∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(a 24,1)递减，在(0,a 24),(1+∞)递增； ④当a >2时，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,a 24)时，f ′(x )>0； 当x ∈(a 24,+∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1,a 24)递减，在(0,1),(a 24,+∞)递增. 综上，当a ≤0时，f (x )在(0,1)递减，在(1,+∞)递增；当a =2时，f (x )在(0,+∞)上单调递增：当0<a <2时，f (x )在(a 24,1)递减，在(0,a 24),(1,+∞)递增： 当a >2时，f (x )在(1,a 24)递减，在(0,1),(a 24,+∞)递增. (2)因为g (x )=f (x 2)−2(a +1)ln x =2[x 2−(a +2)x −ln x ],(x >0)， 可得g ′(x )=2[2x −(a +2)−1x ]，则g ′(x 0)=2[2x 0−(a +2)−1x 0]， 因为函数y =g (x )的图象与x 轴交于两点A (x 1,0),B (x 2,0)，且0<x 1<x 2.所以{x 12−lnx 1=(a +2)x 1x 22−lnx 2=(a +2)x 2，两式相减得(x 12−x 22)−(ln x 1−ln x 2)=(a +2)(x 1−x 2)， 因为x 1−x 2≠0，所以a +2=(x 1+x 2)−lnx 1−ln x 2x1−x 2， 所以g ′(x 1+x 22)=2[(x 1+x 2)−(a +2)−2x 1+x 2]=2[ln x 1−ln x 2x 1−x 2−2x 1+x 2] =2x 1−x 2[(ln x 1−ln x 2)−2(x 1−x 2)x 1+x 2]=2x 1−x 2[ln x 1x 2−2(x 1x 1−1)x 1x 2+1]，令t =x 1x 2，因为0<x 1<x 2，可得0<t <1，令u (t )=ln t −2(t−1)t+1，可得u ′(t )=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2， 又由0<t <1，所以u ′(t )>0，所以u (t )在(0,1)上是増函数，则u (t )<u (1)=0， 所以ln x 1x 2−2(x 1x 2−1)x 1x 2+1<0， 又因为2x 1−x 2<0，所以g ′(x 1+x 22)>0， 因为x 0=λx 1+μx 2,λ+μ=1,μ≥λ>0，所以μ≥12≥λ>0，所以x 0−x 1+x 22=(1−μ)x 1+μx 2−x 1+x 22=(μ−12)(x 2−x 1)≥0，所以x 0≥x 1+x 22， 因为g ′(x )在(0,+∞)上单调遌增，所以g ′(x 0)≥g ′(x 1+x 22)>0，所以g ′(x 0)>0.。

广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试数学本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的学校、姓名、班级、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡名题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z 满足()22i i z -=-，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合{}23830A x x x =--≤，{}1B x x =>，定义集合{},A B x x A x B -=∈∉且，则A B -=（）A.1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]1,33.已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，则“()f x ，()g x 为周期函数”是“()()f x g x +为周期函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知1F ，2F 是椭圆1C ：()22221x y a b a b +=>>的两个焦点，双曲线2C ：222213x y m m -=的一条渐近线l 与1C 交于A ，B 两点.若12F F AB =，则1C 的离心率为（）A.2 B.21-1-5.在8331x ⎛+++ ⎝的展开式中，所有有理项的系数之和为（）A.84B.85C.127D.1286.已知{}n a 是等差数列，数列{}n na 是递增数列，则（）A.10a > B.20a < C.30a > D.40a <7.如图，直线1y =与函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象的三个相邻的交点为A ，B ，C ，且AB π=，2BC π=，则()f x =（）A.22sin 33x π⎛⎫+⎪⎝⎭ B.2sin 2x π⎛⎫+⎪⎝⎭C.2sin 333x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.sin 32x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭8.半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体ABCD EFGH -就是一个半正多面体，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面ABCD 与平面EFGH 之间的距离为（）C.112D.102二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第二次联考试题数 学本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上。

每小题5分，共40分）1. 已知集合},13|{},2|| |{>∈=≤∈=xN x B x Z x A 则=B A （ ） A.{1} B.{1,2} C.{1,2,3} D.{-1,0,1}2. 若不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x -<<，则二次函数224y bx x a =++在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为A.1,7--B.0,8-C.1,1-D.1,7-3. 已知ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是( ). 1,2,4A a b A π===. 2,1,4B a b A π===. 2,3,6C a b A π=== 2. 4,3,3D a b A π===4. 已知),0(πβα∈、且1010cos ,21tan -==βα,则=+βα( )355A. B. C. D.4464ππππ5. 已知条件0 1,22<>+∈∀m q m x x R x p ：；：，那么的是q p ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是( ) ()x x f x e x f x xx f e e e e x f x xx x x 2sin cos )( D. 21)1ln()( C. 11ln )( B. )( A.=-+=+-=+-=--7. 已知函数()20.5(1)f x log x x =++，若0.50.50.60.6,log 0.6,log 5a b c -===，则()()()A. f a f b f c << ()()()B. f c f b f a << ()()()C. f c f a f b <<()()()D. f b f a f c <<8. 已知函数,0,10,ln )(2⎩⎨⎧≤->=x x x x x x f 若函数k x f x g -=)()(有三个零点，则( ) 11A. 1B. 1C.0D.0e k k e k k e e-<≤-<<-<<-<<二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选项，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分，总分20分）9. 已知平面向量，)1,2(),,1(=-=AC k AB 若ABC ∆是直角三角形，则k 的可能取值是( ) 7 .D 5 .C 2 .B 2 .A -10.已知函数)42sin(2)(π+=x x f ，则A. ()4f x π+是奇函数B. ()f x 的最小正周期为πC. ()f x 的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D. ()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 11. 已知函数x x e e x f cos sin )(-=，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是A. ()f x 不是周期函数B. ()f x 关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. ()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 D. ()f x 在区间()0,π内有且只有一个零点12. 若函数2()()xF x ae x a R =-∈有两个极值点12,x x ，且12x x <，则下列结论中正确的是1A. 01x <<B. a 的取值范围是2,e⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭211C. x x e>12D. ln ln 0x x +<三、填空题 (每小题 5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上.) 13. 函数()()(0,0,||)2f x Asin x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，已知A B 、分别是最高点、最低点，且满足OA OB ⊥（O 为坐标原点），则()f x =______14. 已知,0a R b ∈>，若,a b 满足11a e lnb -=+，则a b -的最大值为________15. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的 “帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1，3，6，10，依次构成的数列的第n 项，则129111a a a +++的值为16. 如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分。

2020届广东省六校联盟高三上学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|230}, {|21}x P x x x Q x =--<=>，则P Q =( )A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <-C ．{|03}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C【解析】化简集合,P Q ，即可得结果. 【详解】2{|230}{|13}, {|21}{|0}x P x x x x x Q x x x =--<=-<<=>=>,P Q ∴={|03}x x <<。

故选:C 【点睛】本题考查集合间的运算，准确化简是解题的关键，属于基础题. 2．“00m n >>且”是“0mn >”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件【答案】A【解析】根据充分、必要条件的判断方法，即可得正确答案. 【详解】若00m n >>且，则0mn >成立；若0mn >，则,m n 同号，所以00m n >>且不成立， “00m n >>且”是“0mn >”成立的的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题. 3．已知0.230.3log 0.3, log 0.2, 0.3a b c ===，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】B【解析】根据对数函数的函数值的正负、单调性，以及指数函数的单调性，即可得出正确答案. 【详解】30.30.3log 0.30,log 0.2log 0.31a b =<=>=，0.200<0.30.31c =<=，a c b ∴<<.故选:B 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性，比较数的大小，属于基础题.4．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

广东省2023-2024学年四校联考高三上学期数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}02A x x =，{}20B x x x =->，则图中的阴影部分表示的集合为A.{|12}x x x >或B.{|012}x x x <<<或C.{}12x x < D.{}12x x < 2．在等差数列{}n a 中，若86a =，110a =，则2a =（）A.16B.18C.20D.223．已知sin+=5πα（），则sin(2)2πα+的值为（）A.45 B.45-C.35D.35-5．命题“∀1≤x ≤2，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A ．a ≥4B ．a ≥5C ．a ≤4D ．a ≤56.已知函数()f x 满足()ln ()0(xf x x f x '+>其中()f x '是()f x 的导数)，若12()a f e =，()b f e =，2()c f e =，则下列选项中正确的是()A.42c b a<< B.24b c a<< C.24a b c<< D.42a c b<<7.若函数2()31x f x x x ke =+++恰有两个零点，则实数k 的取值范围为（）A.5(,0]e- B.2(,)e +∞ C.25[0,){}e e ⋃- D.5(,{0}e-∞-⋃8.若直角坐标平面内A ，B 两点满足：①点A ，B 都在函数()f x 的图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点(,)A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”，点对(,)A B 与(,)B A 可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数1(0)()ln (0)ax x f x x x -⎧=⎨>⎩恰有两个“姊妹点对”，则实数a 的取值范围是（）A.20a e -<B.20a e -<<C.10a e -<<D.10a e -< 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若a b <，则22a b < B.若110a b <<，则11a b a b->-C.若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为11{|}32x x -<<，则10a b +=-D.函数212()log (45)f x x x =-++在区间(32,2)m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为4[,3]310.在数列{}n a 中，11a =，且对任意不小于2的正整数n ，1212a a ++ (11)1n n a a n -+=-恒成立，则下列结论正确的是（）A.*()n a n n N =∈ B.105a = C.2a ，4a ，8a 成等比数列 D.12a a ++ (224)n n n a +++=11.下列四个命题中，错误的是()A.“1m”是“关于x 的方程2210mx x ++=有两个实数解”的必要不充分条件B.命题“x ∃∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对x ∀∉R ，均有210x x ++ ”C.若0x >，则函数y =+的最小值是2D.若函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =-有极值0，则2a =，9b =或1a =， 3.b =12.已知1x ，2x 分别是函数()2x f x e x =+-和()ln 2g x x x =+-的零点，则（）A.122x x +=B.12e ln 2xx +=C.122x x >D.22123x x +<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=，*.n N ∈若其前k 项和为126，则k =__________.15．已知定义在R 上的函数f (x)满足：对任意x ，y R ∈都有f (x y)f (x)f (y)+=+，且当x 0>时，f(x)0>,x x 1x x f (k 2)f (482)0+⋅+-->对任意x [1,2]∈-恒成立，则实数k 的取值范围是．17.(本小题10分)已知曲线()32113y f x x ax bx -==++在点()()0,0f 处的切线的斜率为3，且当3x =时，函数()f x 取得极值．（1）求函数在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数的极值；（3）若存在[]0,3x ∈，使得不等式()0f x m -≤成立，求m 的取值范围．18.(本小题12分)已知角θ的终边上一点()1,p y，且sin 2θ=-，（1）求tan θ的值；（2）求cos()cos()2sin()cos()πθθππθθπ-----++的值．（3）若,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且10sin +10αθ=（），求cos α的值．19.(本小题12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 的前n 项积为n T，且2.nnn T +=(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n n a b 的前n 项和.n M 20.(本小题12分)已知函数2()(2)(x f x x x e e =-为自然对数的底数).(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 在区间[0,]m 上的最大值和最小值．21.(本小题12分)广东某中学校园内有块扇形空地OPQ ，经测量其半径为60m ，圆心角为.3π学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD ，初步设计方案1如图1所示.(1)取PQ 弧的中点E ，连接OE ，设BOE α∠=，试用α表示方案1中矩形ABCD 的面积，并求其最大值;(2)你有没有更好的设计方案2来获得更大的篮球场面积若有，在图2中画出来，并证明你的结论.22.(本小题12分)已知函数()ln f x x a x =-(R)a ∈.(1)当e a <时，讨论函数()f x 零点的个数；(2)当(1,)x ∈+∞时，()ln e a xf x ax x x ≥-恒成立，求a 的取值范围.广东省2023-2024学年四校联考高三上学期数学试卷（二）答案231xx x e ---与y k =7.C【解答】解：由题意知x 2+3x +1+ke x=0有两个不同的解，即y =有两个不同的交点，记231()x x x g x e ---=，则22(2)(1)()x xx x x x g x e e +-+-'==，当2x <-时，()0g x '>，()g x 单调递增;当21x -<<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当2x =-时，函数()g x 有极大值2e ，当1x =时，函数()g x 有极小值5.e-又因为x →-∞时，()0;g x x <→+∞时，()0g x <，且()0g x →，如下图：5}e时，函数()f x 恰有两个零【解答】解：由题意知函数()数形结合可知k ∈[0,e 2)U {-点.8.B()()10ln 0ax x f x x x ⎧-⎪=⎨>⎪⎩恰有两个“姊妹点对”，等价于函数()ln f x x =，0x >与函数()1g x ax =+，0x 的图象恰好有两个交点，所以方程ln 1x ax =+，即ln 10x ax --=在(0,)+∞上有两个不同的解.构造函数()ln1h x x ax =--，则1()h x a x'=-，当0a 时，()0h x '>，函数()h x 区间(0,)+∞上单调递增，不符合题意；当0a >时，令()0h x '>，解得10x a <<，所以函数()h x 在区间1(0,)a上单调递增，令()0h x '<，解得1x a >，所以函数()h x 在区间1(,)a+∞上单调递减，所以1(0h a>，解得20a e -<<，又()ln 10h e e ae ae =--=-<，所以函数()h x 在1(,)e a上有且仅有一个零点，令()ln 1M x x =-，则12()2M x x x-'=-=，令()0M x '>，解得04x <<，所以函数()M x 在(0,4)上单调递增，令()0M x '<，解得4x >，所以函数()M x 在区间(4,)+∞上单调递减.所以max ()(4)ln 430M x M ==-<，所以()ln 1(4)0M x x M =-<，即ln 1.x <+又22222222()ln 1110h a a a a a a =-⨯-<+-⨯-=<，所以函数()h x 在212(,a a 上有且仅有一个零点.可得112x综上可得0<a <e -2.12.ABD【解答】解：函数f (x )=e x +x -2的零点为x 1，函数g (x )=ln x +x -2的零点为x 2，e x =-，22ln 2x x =-，由x y e =与其反函数ln y x =关于直线y x =对称，x y e =与直线2y x =-的交点为11(,2)x x -，ln y x =与直线2y x =-的交点为22(,2)x x -，可得122x x =-，即122x x +=，故A 正确；直线2y x =-与直线y x =垂直，则点11(,)xx e 和22(,ln )x x 也关于直线y x =对称，则有12ln x x =，则有1121ln 2x x e x e x +=+=，故B 正确；又(1)ln11210g =+-=-<，3313ln ln 02222g ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，112213ln 22 2.25022g e ==+->-=，所以232x <<，则122222(2)ln x x x x x x =-=，因为ln y x x =，32x ⎛∈ ⎝，1ln 0y x '=+>，所以ln y x x =在32⎛ ⎝上单调递增，所以1222ln 2x x x x =<=，故C 错误；由上可知122233ln ln 22x x x x =>，因为331127127ln ln1ln 02222828e⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，所以331ln 222>，即1212x x >，则()222121212122423x x x x x x x x +=+-=-<，令2x t =，所以x 12+x 22<3，故D 正确.15.解：(1)令x =y =0，得f (0+0)=f (0)+f (0)，所以f (0)=0.证明：令y =-x ，得f (x -x )=f (x )+f (-x )=f (0)=0，所以f (-x )=-f (x )，所以f (x )为奇函数．由题知：f (k ⋅2x )+f (4x +1-8x -2x )>0=f (0)，即f (k ⋅2x +4x +1-8x -2x )>f (0)，又y =f (x )是定义在R 上的增函数，所以k ⋅2x +4x +1-8x -2x >0对任意x ∈[-1,2]恒成立，所以k ⋅2x >2x +8x -4x +1，即k >1+22x -2x +2，1[,4]2t ∈，则2()41g t t t =-+，所以max ()k g t >，当4t =时，max ()(4)161611g t g ==-+=，所以 1.k >16.【解答】解：()2(ln 1)f x x a x '=-+，若函数2()ln f x x ax x =-在2(,2)e上不单调，则方程()0f x '=在2(,2)e上有根即方程2ln 1x a x =+在2(,2)e上有根且方程的根是函数()f x '的变号零点，令2()ln 1xg x x =+，则22ln ()(ln 1)x g x x '=+，2(,1)x e∈时，()0g x '<，()g x 递减，(1,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 递增，又(1)2g =，24()ln 2g e e =，4(2)ln 21g =+，由244(2)()0ln 21ln 2g g e e -=->+，得4()(2,),ln 21g x ∈+故4(2,),ln 21a ∈+故答案为：4(2,).ln 21+(0)3,(3)690,f b f a b ''==⎨=-++=................117.解：(1)f '(x )=x 2-2ax +b ，结合题意可得⎧⎩分解得23a b =⎧⎨=⎩，经检验符合题意，...............................................3分故()3212313f x x x x =-++.所以在点()()0,0f 处的切线方程为31y x =+..............................................4分（2）由(1)知()24 3.f x x x '=-+令()0f x '>，解得3x >或1x <，令()0f x '<，解得13x <<，故()f x 在()(),1,3,-∞+∞上单调递增，在[]1,3上单调递减，...................................6分所以()()713f x f ==极大值，()()31f x f ==极小值；...................................7分（3）()f x 在[]0,3上有极大值，无极小值，又因为()01f =，()31f =，.所以1m ≥............................................9分故m 取值取值范围是是[)1+∞， (10)分218.【答案】解：(1)角θ的终边上一点p (1,y )，且sin θ=-得所以θ为第四象限角，则y<0，........................................1分所以由sin θ=y =........................................3分所以tan θ＝－ 3.........................................4分(2)因为tan θ＝－3，所以cos() cos ()sin cos 2sin +cos +sin cos =πθθπθθπθθπθθ----－＋（）（）－.......................................6分＝tan θ＋1tan θ－1＝－3＋1－3－1＝2－ 3.........................................8分（3）因为,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且10sin +10αθ=（）得+(0,)2παθ∈，所以cos +10αθ==（），...........................10分[]cos cos +-cos +cos sin +sin 1=+1021023103020ααθθαθθαθθ==+∙∙所以（）（）（）（-=.....................11分...........................................................12分19.【答案】解：(1)当1n =时，111;a S ==..........................................................1分当2n 时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，...........................................................2分经检验，当1n =时，满足21n a n =-，因此2 1.n a n =-......................................3分当1n =时，113;bT ==.....................................4分当2n 时，()2221113n nn n nn n n n T b T +-+--====，......................................5分n n(2)由(1)知(21)3n n n a b n =-⨯，23133353(21)3n n M n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，......................................7分23413133353(23)3(21)3n n n M n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，......................................8分两式相减得2341232(3333)(21)3n n n M n +-=+⨯++++--⨯ ......................................9分119332(21)313n n n ++-=+⨯--⨯-......................................10分16(22)3n n +=---⨯，......................................11分故13(1)3.n n M n +=+-⨯.........................................................12分20.【答案】解：2(1)()(2)x f x x x e =-，求导得2()(2).x f x e x '=-.........................................................1分因为0x e >，令2()(2)0x f x e x '=->，即220x ->，解得x <或x >，令2()(2)0x f x e x '=-<，即220x -<，解得x <<，........................................................4分∴函数()f x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减．..........5分(2)①当0m <()f x在[上单调递减，()f x ∴在区间[0,]m 上的最大值为(0)0f =，()f x 在区间[0,]m 上的最小值为2()(2).m f m m m e =-......................................................7分②2m <时，()f x在[上单调递减，在)+∞上单调递增，且(0)(2)0f f ==，()f x ∴在区间[0,]m 上的最大值为(0)0f =，()f x在区间[0,]m 上的最小值为(2f =-.................................9分③当2m >时，()f x在[上单调递减，在)+∞上单调递增，且()0(0)f m f >=，()f x ∴在区间[0,]m 上的最大值为2()(2)m f m m m e =-，()f x 在区间[0,]m上的最小值为(2f =-..................................11分综上所述，当0m <(0)0f =，最小值为2()(2).m f m m m e =-2m < 时，最大值为(0)0f =，最小值为(2f =-当2m >时，最大值为2()(2)m f m m m e =-，最小值为(2f =-...12分21.【答案】解：(1)如图所示，取PQ 弧的中点E ，连接OE ，设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而,M N 分别为AD ，BC 的中点.设,06BOE παα∠=<<，在Rt ONB ∆中，60sin ,60cos BN ON αα== (1)分tan6DMOM απ===，所以60cos MN ON OM αα=-=-，即60cos AB αα=-，而2120sin BC BN α==，.................................2分故矩形ABCD的面积()3600cos 2sin S AB BC ααα=⋅=-⋅ (3)分)23600(2sin cos )3600[sin 21cos 2]ααααα=-=-3600(sin 227200sin 23πααα⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，.................................5分因为06πα<<，所以023πα<<，所以22.333πππα<+<.................................6分故当232ππα+=，即12πα=时，S取得最大值，此时3600(2S =，所以矩形ABCD面积的最大值为23600(2m -； (7)分(2)如图所示，在半径OP 上截取线段AB 为矩形的一边，作得矩形.ABCD 设,03BOC πθθ∠=<<，可得60sin ,60cos CB OB θθ==，则tan6OA CB πθ==，.................................8分所以()(60cos )60sin S OB OA CB θθθ=-⨯=-⨯⨯2333600(sin cos )1800(sin 2cos 2)60033θθθθθ=-=+-1(2cos 2)3223θθ=+-6πθ=+-.................................10分因为03πθ<<，可得52666πππθ<+<，所以当262ππθ+=时，即6πθ=时，S 有最大值为即教室面积的最大值为2..................................11分现将两种方案的最大值进行比较大小：因为3600(2600(120-=-<，所以方案2更合算..................................12分22.【详解】（1）由()ln f x x a x =-得()x af x x-'=，(X>0)当0a =时，()0f x x =>恒成立，所以函数()f x 无零点，................................1分当0<a 时，()0f x '>，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且x 无限趋近于0时，()0f x <，又(1)10f =>，故()f x 只有1个零点；................................2分当0e a <<时，令()0f x '>，解得x a >，令()0f x '<，解得0x a <<，故()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增；所以当x a =时，()f x 取得最小值()ln (1ln )f a a a a a a =-=-，当0e a <<时，()0f a >，所以函数()f x 无零点，................................4分综上所述，当0e ≤<a 时，()f x 无零点，当0<a 时，()f x 只有一个零点；.....................5分（2）由已知有ln ln e a x x a x ax x x -≥-，所以e ln ln x a x x a x a x x +≥+⋅，所以ln e ln (ln )e x a x x x a x a x +≥+⋅，..................................6分构造函数()e xg x x x =+，则原不等式转化为()()ln g x g a x ≥在(1,)x ∈+∞上恒成立，......7分()g x '()1e 1x x =++，记()()1e 1x x x ϕ=++，所以()()e 2x x x ϕ=+'，令()0x ϕ'>，解得2x >-，令()0x ϕ'<，解得<2x -，...故()ϕx 在区间(,2)-∞-上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增，所以21()(2)10e x ϕϕ≥-=->，所以()0g x '>，即()g x 单调递增，..................................8分所以ln x a x ≥在(1,)x ∈+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)x ∈+∞上恒成立，...................................9分令()ln x h x x=，(1)x >，则()2ln 1()ln x h x x '-=，令()0h x '>，解得e x >，令()0h x '<，解得1e x <<，..................................10分故()h x 在(1,e)单调递减，(e,)+∞单调递增，则()h x 的最小值为e(e)e lneh ==，...........11分所以a 的取值范围是(,e]-∞..................................12分。