实变函数期末考试卷A卷

华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期期末考试试卷（A 卷）（解答）课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。

共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、可数个可数集的并集是可数集。

（ 对 ）2、可测集E 上的非负可测函数必Lebesgue 可积。

（ 错 ）3、R n 上全体Lebesgue 可测集所组成的集类 具有连续势。

（ 错 ）4、非空开集的Lebesgue 测度必大于零。

（ 对 ）5、若()n f x （1n =，2，）和()f x 都为可测集E 上的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞=，..a e E ，则()()n f x f x ⇒，x E ∈。

（ 错 ）二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)1、单调收敛定理（即Levi 定理）答：设E 是Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)为E 上的非负可测函数，若{()n f x }是单调递增的，记()lim ()n n f x f x →∞=，则lim()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰。

2、R n中开集的结构定理答：R n中的任一非空开集总可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。

（或R n中的任一开集或为空集或可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。

）3、R n中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C .Caratheodory 定义）答：设n E R ⊂，如果对任意nT R ⊂，总有***()()c m T m T E m T E =⋂+⋂则称E 为R n 中的Lebesgue 可测集，或称E 是Lebesgue 可测的。

4、F .Riesz 定理（黎斯定理）答：设E 为Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)和()f x 都是E 上的几乎处处有限的可测函数，如果()()n f x f x ⇒ x E ∈，则存在{()n f x }的一个子列{()k n f x }，使得lim ()()k n k f x f x →∞=..a e 于E 。

华中师范大学2002——2003学年第二学期期（中、末）考试试卷（A 、B 卷）课程名称 实变函数 课程编号 42111300 任课教师 一、判断题（判断正确、错误，并改正。

共5题，共5×3=15分） 1、可数个有限集的并集是可数集。

.( × ) 改正：可数个有限集的并集不一定是可数集。

2、存在开集使其余集仍为开集。

（ √ ）3、若可测集列n E 单调递减，则 n n n n mE E m ∞→∞==lim 1。

( × )改正：若可测集列n E 单调递减，且存在0n ，使0n mE ＜∞ 则 n n n n mE E m ∞→∞==lim 1。

4、若E 是可测集，)(x f 是E 上的实函数，则)(x f 在E 上可测的充要条件是： ∀实数)(,b a b a < ，[]b f a x E <≤|都是可测集。

( × ) 改正：若E 是可测集，)(x f 是E 上的实函数，则)(x f 在E 上可测的充要条件是：∀实数a ，[]a f x E >|都是可测集。

5、若E 是可测集，)(x f 是E 上的非负可测函数，则)(x f 在E 上一定可积。

( × ) 改正：若E 是可测集，)(x f 是E 上的非负可测函数，则)(x f 在E 上不一定可积。

二、叙述题（共5题，共5×3=15分）专业 年级 学号1、集合的对等。

答：设A 、B 是两个集合，若A 、B 之间存在一一对应，则称A 与B 对等。

2、可测集。

答：设nR E ⊂，如果对任意nR T ⊂，总有T m *=)()(**c E T m E T m ⋂+⋂，则称E 为可测集。

3、可测集与σf 型集的关系。

答：设E 为可测集，则存在σf 型集F ，使E F ⊂且mF mE =、0)(=-F E m 。

4、叶果洛夫定理。

答：设+∞<mE ，{)(x f n }为E 上几乎处处有限的可测函数列，)(x f 也为E 上几乎处处 有限的可测函数，如果)()(x f x f n → a.e.于E ，则对任意0>ε，存在可测子集E E ⊂ε 使在εE 上，)(x f n 一致收敛于)(x f ，而εε<-)(E E m 。

华屮师范大学2002——2003学年第二学期期（中、末）考试试卷（A、R卷）课程名称实变函数课程编号42111300 任课教师_________题型判断题叙述题简答题解答题总分分值151********得分一、判断题（判断正确、错课，并改正。

共5题，共5X3=15分）1、可数个冇限集的并集是可数集。

.（X ）改正：可数个有限集的并集不一定是可数集。

2、存在开集使具余集仍为开集。

（V ）co3、若可测集列E“单调递减，则m A E n = limrnE, o( X )n=\ ns改正：若可测集列乞单调递减，且存在〃0,使加£心<008则m A E n = lim mE n <>n=\n—4、若E是可测集，/（兀）是£上的实函数，则/（x）在E上可测的充要条件是：0 实数a,b（a<b） , E[x\a<f<b]都是可测集。

（X ）改正：若£是可测集，/（Q是E上的实函数，则/（x）在E上可测的充耍条件是: 0实数a, E[x\f>a]都是可测集。

5、若E是可测集, /（兀）是E上的非负可测函数,则于（兀）在E上一定可积。

改正：若E是可测集, /（X）是E上的非负可测函数，则/（x）在E上不一定可积。

二.叙述题（共5题，共5X3=15分）1、集合的对等。

答：设A、B是两个集合，若A、BZ间存在一一对应，则称A与B对等。

2、可测集。

答：设E u R”,如果对任意T uR”,总有mV=/77*（Tn£） + m*（Tn£c）,则称E为可测集。

3、可测集与几型集的关系。

答：设E为可测集，则存在人型集F,使F uE且加E二加F、加（E — F） = O。

4、叶果洛夫定理。

答：设mE < +oo , { f n（x））为E上儿乎处处有限的可测函数列，/（兀）也为E上儿乎处处有限的可测函数，如果AU）^/（x） a.e.于E,则对任意£>0,存在可测了集E£^E 使在E&上,f n （兀）一致收敛于/*（兀），而m{E-E G）< 8 o5、九（兀）在可测集E上依测度收敛于/（兀）的定义。

2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。

考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。

请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。

2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。

3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。

4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。

5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就试卷 共 8 页 第 2 页得到列维定理的结论：。

浙江师范大学《实变函数》考试卷（A 卷）考试类别 闭卷（必修） 使用学生 数学13级 考试时间 90 分钟 出卷时间 2016/06/09说明:考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。

一 是非题（每小题2分，共20分）1. 无理数集是G δ型集。

2. 有限个可数集的乘积和可数个有限集的乘积都为可数集。

3. 设1E R ⊂，0mE =，则()0m E =。

4. n n n n n 1A {|A A }=A lim N n N x x ∞∞→∞===∈ 存在无穷多个，使。

5. 可数集的外测度一定等于零，不可数集合的外测度一定不等于零。

6. 设A,B q R ⊂且(A,B)>0d ，则***m (A B)=m (A)+m (B)⋃7. 设()()f x g x 与都为E q R ⊂上的不可测函数，则()+()f x g x 也为E 上的不可测函数。

8. 设()()f x g x 与都为E q R ⊂上的可积函数，若对E 中的任何可测子集A,都有A A()()f x dx g x dx =⎰⎰，则()=()f x g x a.e.于E 。

9. 设()(-+)f x ∞∞为，上连续函数，()g x 都为E q R ⊂上的处处有限可测函数，(())f g x 也为E 上可测函数。

10. 设Γ为[0,1]上的一族连续函数，则sup |f f ∈Γ{}必在[0,1]可测。

二 简答题（共16分）1. 叙述可测函数与连续函数的关系。

(6分)2. 叙述Riemann 积分，广义Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系。

（10分）三 计算题（共16分，注：必须有过程和理由，只有最后结果则只得1分）1. 求 +9220lim()sin ()1n n x R nx dx n x∞→∞+⎰。

(8分) 2. 设定义在D=[0,1][0,1]⨯的函数{12()x y x f x y ∈∉=Q Q ，，问f 在D 上是否Riemann 可积或Lebesgue 可积；如果可积，求出它们的积分。

实变函数期末考试卷A附件一东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 实变函数 考试学期 11-12-2 得分 适用专业 数学系 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 （开卷、半开卷请在此写明考试可带哪些资料） 卷无一. (10分)试叙述可数集的定义，并分别给出一个可数集合和一个不可数集的例子。

二. (10 分)叙述勒贝格外测度的定义，并证明可数集的外测度为零.三. (10分)设E 是可测集，证明存在E 的一列单调增加的闭子集列1E,n n F F +⊂⊂n 1,∀≥ 使得 n mE=lim nmF →∞.四. (10 分)(1)试给出有界闭区间上有界函数Riemann 可积的充分必要条件。

(2)给出一个Lebesgue 可积但Riemann 不可积的例子。

五. (10分)(1) 叙述依测度收敛的定义。

(2) 若在E 上，()()n f x f x ⇒, ()()n g x g x ⇒, 证明()f x 和()g x 在E 上几乎处处相等。

六.(10分)叙述有界变差函数和绝对连续函数的定义，并分别给出一个例子。

七.(10分)设n f (x)在 E 上Lebesgue 可积。

如果lim |()|0nE n f x dx →∞→⎰, 证明存在子列kn {f }在E 上几乎处处收敛于零。

八. (10分)(1)试叙述Fatou 引理;(2)求下列极限： 20arctan()lim 1n nx dxx +∞→∞+⎰九．设()f x 在[,]a b 上Lebesgue 可积。

(1) 若()x φ是[,]a b 上的有界可测函数，证明()()f x x φ在[,]a b 上是Lebesgue 可积的。

(2) 如果对[,]a b 上的任意有界可测函数()x φ，总有()()0baf x x dx φ=⎰成立. 证明()f x 在[,]a b 上几乎处处为零。

(3) 如果对任意连续函数()x φ总有 ()()0b a f x x dx φ=⎰成立，证明上述(2)中结论仍然成立。

实变函数期末考试卷A及参考答卷Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A）试卷共 8 页第 1 页考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。

考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。

请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。

2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。

3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f是L 可积的。

4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -，即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。

实变函数历年考试真题汇总线号学订名装姓封级班密系卷院试陇东学院2022—2022学年第一学期实变函数(A)3.下列关系式中成立的是（）一．填空.（每空2分，共20分）①AB\\BA，②A\\BBA，③ABAB，1给出自然数集N与整数集Z之间的一一对应关系.④ABAB，⑤ABAB，其中A,B是二集合.2设A,B是两集合，AB是指.A.①②B.③④⑤C.③⑤D.①②③④⑤1某,y)y某,在R内求E,E，4.设ERn3E(in,某02,mE,fn(某)在E上几乎处处收敛于f(某).则().0,某0A．fn(某)在E上处处收敛于f(某);4.设f(某)某,某P,其中P是Cantor集,则e某,某[0,1]\\P.0,1f(某)d某________.B．存在fn(某)的子列fni(某),使得fni(某)在E上一致收敛于f(某).5.设ERn,则称E是L可测的是指:.C.fn(某)在E上一致收敛于f(某);6.设f(某)in某,某[0,2],则f(某);D.fn(某)在E上依测度收敛于f(某);f(某).5.设ERq为可测集，fn(某)是E上的一列非负可测函数，则（）7.称f(某)为可测集E上的简单函数是指AElimfnn(某)d某limfn(某)d某BnEElimfnn(某)d某limfn(某)d某nE8.设⑴mE;⑵fn(某)是E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶CElimf某)d某limnn(fn(某)d某DnEElimnfn(某)d某nlimEfn(某)d某lim三．判断题(每题2分，共10分)nfn(某)f(某)a.e.于E,且f(某)a.e.于E.则0,EE,使得1.mE0E是有限集或可数集.（）mE,而fn(某)在上一致收敛于f(某).2.若开集G1是开集G2的真子集,则mG1mG2（）二.选择（每题2分，共10分）3.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并（）1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是（）.4.设f(某),g(某)是可测集E上的可测函数,则f(某)g(某)也是E上的可测函数A.AB是可数；B.AB是不可数；C.ABc；D.ABB（）2.设E是任一可测集,则()．5.可测函数f(某)在E上L可积f(某)在E上L可积（）四．证明题(每题8分，共40分)A.E是开集;B.0,存在开集GE,使得m(G\\E);C.E是闭集;D.E是F设f(某)是(,)上的实值连续函数,则aR,E某f(某)a是型集或G型集.1.证明：第1页共6页一开集.q某某2.设ER,证明存在G型集GE,使得mGmE0,某为0，1及0,1中的无理数，是0,1上的可测函数4.设函数列fn(某)(n1,2,222某P,某,其中P是Cantor集,则f(某)d某________.某0,1e,某[0,1]\\P.)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(某)（即5.设ER,则称E是L可测的是指:.6.设f(某)co某,某[0,2],则f(某);n0,EE,使得fn(某)在E上一致收敛于f(某)且m(EE).）证明:fn在E上a.e.收敛于f.5.设mE0,f(某)在E上可积,如果对于任何有界可测函数(某),都有f(某).7.称f(某)为可测集E上的简单函数是指8.设⑴mE;⑵Ef(某)(某)d某0,则f(某)0a.e.于E.五．计算题(每题10分，共20分)3某,某Q[0,1],1．设f(某)问f(某)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？1,某Q[0,1].fn(某)是E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶limfn(某)f(某)a.e.于E,且f(某)a.e.于E.则0,EE,使得n若可积,则计算其积分值.2．limmE,而fn(某)在上一致收敛于f(某).二.选择.每题2分，共10分）1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是（）.A.AB是可数；B.AB是不可数；C.ABc；D.A设E是任一可测集,则()．n某in5某d某22n01n某1BB2.A.E是开集;B.0,存在开集GE,使得m(G\\E);C.E是闭集;D.E是F型集或G型集.3.下列关系式中成立的是（）①AB\\BA，②A\\BBA，③ABAB，陇东学院2022—2022学年第一学期实变函数论期末试题(B)一．填空.（每空2分，共20分）线第2页共6页④ABAB，⑤ABAB，其中A,B是二集合.2.证明:若E可测,则0,存在开集G,使EG,而m(GE)A.①②B.③④⑤C.③⑤D.①②③④⑤A．fn(某)在E上处处收敛于f(某);B．存在fn(某)的子列fni(某),使得fni(某)在E上一致收敛于f(某).4.设mA0，B为任一点集，则有m某(AB)m某B.5.设mE0,f(某)在E上可积,如果对于任何有界可测函数(某),都有C.fn(某)在E上一致收敛于f(某);D.fn(某)在E上依测度收敛于f(某);5.设ER为可测集，fn(某)是E上的一列非负可测函数，则（）qEf(某)(某)d某0,则f(某)0a.e.于E.五．计算题(每题10分，共20分)某,某Q0,1,2．设f(某)问f(某)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？若1,某Q0,1.可积,则计算其积分值.2．limAlimfEnn(某)d某limfn(某)d某BnElimfEnn(某)d某limfn(某)d某nEnEClimfEnn(某)d某limfn(某)d某DnElimfEnn(某)d某limfn(某)d某三．判断题(每题2分，共10分)1.mE0E是有限集或可数集.（）2.若开集G1是开集G2的真子集,则mG1mG2（）3.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并（）4.设f(某),g(某)是可测集E上的可测函数,则f(某)g(某)也是E上的可测函数（）25.可测函数f(某)在E上L可积f在E上L可积（）n某d某01n2某2n1四．证明题(每题8分，共40分)1.证明：设f(某)是(,)上的实值连续函数,则aR,E某f(某)a是一闭集.陇东学院2022—2022学年第二学期实变函数论期末试题(A)一．填空.（每空2分，共20分）线第3页共6页A.E是开集B.0,存在开集GE,使得m(G\\E)1.给出0,1与0,10之间的一一对应关系.C.E是闭集D.E是F型集或G型集2.设A1n0,1n,n1,2,.则limnAn.3.设En是一列可测集合,且E1E2En,则有().3.设E是平面上单位正方形[0,1][0,1]中坐标都是有理数的点组成的集合,则A.mEmEnmElimn;B.mEnlimmEn;__________.n1nn1n4.设E1是[0,1]中的全部有理点,则E1在R1内的E1,E1C.mEnlimnmEn;D.mEnlimmEn.n1n1nE.4.设fn(某)在E上依测度收敛于f(某).则().5.举出一个在[0,1]上Lebegue可积但不Riemann可积的函数A．fn(某)在E上处处收敛于f(某)f(某)______.B．fn(某)在E上几乎处处收敛于f(某)6.设ERn,则称E是L可测的是指:.C.fn(某)在E上一致收敛于f(某);7.设f(某)是定义在可测集ERn上的广义实值函数,则称f(某)在E上是可测的是指:.D.存在fn(某)的子列fni(某),使得fni(某)在E上几乎处处收敛于f(某)8.设f(某)是可测集ERn上的可测函数,若Ef(某)d某与Ef(某)d某中至少有5.设ERq为可测集，fn(某)是E上的一列非负可测函数，则()一个是有限数,则f(某)在E上的L积分定义为AElimf(某)d某limd某B)d某limnnnEfn(某)Elimfnn(某fn(某)d某nEEf(某)d某.C某)d某Elimf某)d某limDnn(nEfn(某)d某Elimnfn(某)d某nlimEfn(二.选择.每题2分，共10分）三．判断题(每题2分，共10分)1.设E11.不是A的聚点必不是A的内点（）1是(0,1)中的无理点集,E2是R中的有理点集,E3是(0,1),P是康托集,其2.mE0则E是至多可数集.（）中基数最小的是().3.设E是可测集,A是可数集,则m(EA)mE（）A.E1B.E2C.PD.E34.设f(某)是可测集E上的可测函数,则f(某)也是E上的可测函数（）2.设E是任一可测集,则()．5.设f(某)是E上的有界可测函数,则f(某)在E上L可积（）第4页共6页四．证明题(每题8分，共40分)1.证明：A\\BCA\\BA\\C2.设f(某)是,上的实值连续函数,则对于任意常数a,E某f(某)a总是一闭集.3.设mA0，B为任一点集，则有m某(AB)m某Bq4.设ER为可测集,f(某)为E上的非负可测函数.若1.给出0,1与,之间的一一对应关系.222.设A,B是两集合，AB是指.3.E(某,y)某y1,在R内求E,E，4.设ER,则称点集E是L可测的是指: n222Ef(某)d某0,则.5.设f(某)是定义在可测集E上的广义实值函数,则称f(某)在E上是可测的是指:.f(某)0a.e.于E5.设函数列fn(某)(n1,2,)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(某),即6.称f(某)为可测集E上的简单函数是指:7.设ERq为可测集，f(某)为E上的可测函数，若一个有限，则称f(某)在E上；若f(某)在E上.0,EE,使得fn(某)在E上一致收敛于f(某)且m(EE).证明:fn在E上a.e.收敛于f.Ef(某)d某与Ef(某)d某中至少五．计算题(每题10分，共20分)某2,某Q0,1,1.设f(某)问f(某)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积.1,某0,1Q，吗？若可积,则计算其积分值.2．limEf(某)d某与Ef(某)d某都有限，则称8.设ERq为可测集，(某)为E上的非负可测简单函数，即n某con某d某01n2某2n1(某)cii1kEi且E(某)，E1,E2,,Ek为互不相交的可测集，Ei1ki，Ei(某)是Ei上的特征函数，则(某)d某.E二.选择（.每题2分，共10分）1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是.（）A.AB是可数；B.AB是不可数；C.ABc；D.ABB陇东学院2022—2022学年第二学期变函数论期末试题(A)一．填空.（每空2分，共20分）线2.设E是任一可测集,则()A.E是开集;B.0,存在开集GE,使得m(G\\E);C.E是闭集;D.E是F型集或G型集.第5页共6页3.设A,B是二集合.下列关系式中成立的是（）3．设S1,S2为可测点集，S1S2,且mS1，则mS2\\S1mS2mS1.4.设f(某)是E上的可测函数，并且f(某)g(某)a.e.于E，则g某也是E上的可测函数.5.设mE0,f(某)在E上可积,如果对于任何有界可测函数(某),都有A.AB\\BAB.A\\BBAC.ABABD.ABAB4.设En是一列可测集合,单调递减,且mE1,则有().Ef(某)(某)d某0,则f(某)0a.e.于E.A.mE;B.nlimmEnmEnlimmEn;五．计算题(每题10分，共20分)n1nn1n3．设f(某)某,某P,1,某0,1\\P，其中P为cantor集，EC.mnlimmEn;D.mEnlimmEn.勒贝格可积吗？若可积,则计算其积分值.n1nn1n2．lim1n某n01n2某2d某5.设ERq为可测集，fn(某)是E上的一列非负可测函数，当某E时对于任一自然数n，有fn(某)fn1(某)，令nlimfn(某)f(某),某E，则（）AElimf某)d某limnn(Efn(某)d某B(某)d某limnElimfnnEfn(某)d 某nCElimf)d某lim)d某nn(某)d某limEfn(某)d某DnEf(某nEfn(某三．判断题(某”每题2分，共10分)1.任何无限集合必有可数真子集..（）2.设E为R1的可测子集,若mE0,则mE0.（）3.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并（）4.若f(某)是可测集E上的L可积函数,则f(某)是E上的有界函数.（）5.可测函数f(某)在E上L可积f在E上L可积（）四．证明题(每题8分，共40分)1.证明:AB(AB).2.设f(某)是(,)上的实值连续函数,则aR,则E某f(某)a是一开集.第6页共6页问f(某)在[0,1]上黎曼可积吗？。

数学系 2005级 本科《实变函数》期末（A ）试题2007 — 2008 学年 第二学期 考试时间 120分钟 满分100分一、判断题。

（2分×10=20分）1、设E 为R 1真子集，且m *E =0，则E 必是可数集。

（ ）2、若m *E =0,则E 是可测集。

（ ）3、若)(x f 在可测集E 上黎曼可积，则必在E 上lebegue 可积。

（ ）4、若()x f 在上E 可测，并且i iE E =，则()x f 在E i 上可测。

（ ）5、设i E 是单调减少的可测集列，则lim (lim )k k k k mE m E →∞→∞=。

（ ）6、任何点集E 上的常数函数()x f 是可测函数。

（ ）7、若()f x 在E 上可测，则()f x 在E 上可测。

（ ）8、若..a e n f f →于E ，则f f n ⇒于E 。

（ ） 9、若()f x 在E 上可积，则()f x 在E 的任何可测子集上可积。

（ ） 10、若,0)(*=E m 则0)(*=E m . （ ）二、选择填空：（4分×10=40分）1. 下列集合中可数集合是（ ）.A 全体有理数集;B 全体无理数集;C [0,1];D 全体实数列集. 2. 下列集合中势为ℵ的集合是（ ）A 全体整数集；B 全体代数数集；C 全体有理数集；D 全体实数集。

3．如果E 为闭集，且E 不含内点，则A 必是（ ）. A. 完备集；B. 稠密集；C. 疏朗集；D. 自密集 4. 下列集合中测度不为0的集合是（ ）. A.Cantor 三分集； B.非空开集；C.R 1上全体孤立点集；D.[0，1]中有理点集 5. Cantor 三分集（ ）.A. 是可列集B. 势为ℵC. 是开集D. 稠密集 6. 当R n 中两集合对等时，则这两集合（ ）. A. 势相同且外测度相等 B. 势相同但外测度不相等 C. 势不相同但外测度相等 D. 势相同但外测度不一定相等 7．函数D (x )的定义如下：.]10[,,]10[,10)(中无理数时，为当中有理数时，为当x x x D ⎩⎨⎧= 则D (x )在[0，1]上( ).A 几乎处处为0;B 几乎处处连续;C 是L —可测函数;D 是L —可测但L —不可积函数.8.()()E x f x f n 于⇒是()()E x f x f e a n 于−→−..的（ ）.A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充分必要条件；D.非充分非必要条件9.设}sin .);,{(1xy x y x E =∈=R ,则='E （ ） A }sin .);,{(1x y x y x =∈R ; B φ; C {}11,0),(≤≤-=y x y x ;D {} 11,0),(≤≤-=y x y x {}xy x y x 1sin .);,(=∈R . 10.设2121(0,),(0,)(1,2,)n n A A n n n-===，集列{}k A 的上极限集和下极限集分别为：（ ）A ()φ和+∞,0;B ()φ和n ,0;C φ）和，∞+0[;D φ和),0[n .三、计算题。

上单调函数的不连续点所成之集的测度等于n上的广11 ()k E f ak∞=≥+=_________.7．设f是[a上的单调函数，则8．设f是可测集E上的非负可测函数，则_________.9．区间[是[,]()()()()a b F b F a L F x dx '-=⎰的充要条件是： F (x )是[a ,b ]上的 函数。

二、选择题（本题共8小题，每小题2分，满分16分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号（答题框）内）1．设{k A } 是一集合列，则下述等式中正确的是 ( )A.1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===； B. 1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===C.1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===； D. 1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===。

2．设f (x )是E 上的可测函数，则对任意实数a ，有 ( )A. E [x ; f (x ) >a ]是开集；B. E [x ; f (x ) ≥ a ]是闭集；C. E [x ; f (x ) >a ]是可测集；D. E [x ; f (x ) = a ]是零测集。

3．下列断言中错误的是 ( )A. 有理点集为零测集；B. Cantor 集为零测集；C. 零测集的子集是零测集；D. 无穷个零测集的并是零测集。

4．设f (x )为可测集E 上的可测函数，若()Ef x dx <+∞⎰，则下列断言错误的是 ( )A. f (x )在E 上L-积分存在；B. f (x )在E 上L-可积；C. f (x )在E 上未必L-可积；D. f (x )在E 上.有限。

5．设{}k f 是nE ⊂上的可测函数列，lim ()k k f x →∞存在，则lim ()k k f x →∞是 （ ）A.简单函数；B.连续函数；C.可测函数；D.单调函数。

湖南科技学院二○一一年下学期期末考试数学与应用数学 专业 2008 年级 实变函数论 试题考试类型：闭卷 试卷类型：A 卷 考试时量：120分钟（每小题3分，共计18分）1.下列集合中基数最小的是（ ）（A ）单调函数的不连续点集 （B ）1R 中的无理数集 （C ）Lebesgue 可测集 （D ）集合[0,1]2. 设E 是[0,1]中的无理点集,则下列说法中正确的是（ ） （A ）0E μ= （B ）E 是[0,1]的稠密子集 （C ）E 是不可测集 （D ）E 是可数集3. 设E 是(0,1)中的有理点集,则'E 是（ ）（A ）(0,1)中的无理点集 （B ）集合(0,1)（C ）集合[0,1] （D ）(0,1)中的有理点集4. 设,()mE f x <+∞与()g x 都在E 上可积,则下列结论中正确的是（ ）（A ）()()f x g x ⋅在E 上可积 （B ）()()f xg x 在E 上可积 （C ）|()||()|f x g x ⋅在E 上可积 （D ）()()f x g x -在E 上可积5. 下列关于Cantor 集C 说法错误的是（ ）（A ）C 是闭集不是开集 （B ）C 是[0,1]的稠密子集 （C ）C 是Lebesgue 零测集 （D ）C 与[0,1]对等6. 若0mE =，则E 是（ ）（A ）可数集 （B ）有界集 （C ）不可数集 （Ｄ）可测集二、判断题（每小题2分，共计12分）正确的在括号中划“√”,错误的在括号中划“×”.1.若,A B 可测，A B A B ⊂≠且，则.mA mB <（ ）2.若E 与它的真子集对等，则E 一定是有限集.（ ）3.点集111{1,,,,,}23E n= 是闭集.（ ） 4.若0mE =,则0mE =.（ ）5.()f x 在[,](L)a b 可积,则()f x 在[,](R)a b 可积，且[,](L)()d a b f x x =⎰[,](R)()d a b f x x ⎰.（ ）6.设E 是可测集，则存在G δ型集F ,使得,F E ⊂且()0m E F -=.（ ）三、填空题（每小题（空）3分，共计24分）1. 设1111{0,1,,,,,}R ,23B n=⊂ 则B =, B =.2. （Riesz ）设n f f μ−−→于E ,则存在{}n f 的子列{},k n f 使得.3. 设1,[0,1],(,)1(),0,n x x n m f x m m x ⎧∈==⎪=⎨⎪⎩且为[0,1]中的无理数则[0,1]()d f x x =⎰.4. 设,(),0,x e x f x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数则[0,1]()d f x x =⎰.5. 设B 是开区间(0,2)中的无理点全体，则mB =.6.设3{:},(1,2,),2n A x n x n n =≤≤+= 则limsup n n A →∞=，liminf n n A →∞=.四、计算题（每小题9分，共计18分）1.求极限1(0,1)d lim(1)n n ntt tn→∞+⎰2. 设P 是Cantor 集,32ln(1)(),[0,1]x x Pf x xx P ⎧+∈=⎨∈-⎩求（L ）10()d .f x x ⎰五、证明题（6分+6分+7分+9分，共计28分）1. 证明：()()().A B C A B A C --=-2.设()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数，则()f x 的不连续点最多有可数多个.3. 设R ,nE ⊂若0m E *=,证明：E 可测且0mE =.4. 证明：当mE <∞时,E 上的非负可测函数()f x 的积分()d Ef x x <∞⎰的充要条件是2[2].kkk mE f ∞=≥<∞∑。

实变函数一、 判断题（每题2分，共20分）1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。

（×）2.必有比a 小的基数。

（√）3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。

（√）4.无限个开集的交必是开集。

（×）5.若φ≠E ，则0*>E m 。

（×）6.任何集n R E ⊂都有外测度。

（√）7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。

（×）8.可测集的所有子集都可测。

（×）9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。

（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。

（×）1.设E 为点集，E P ∉，则P 是E 的外点.（ × ）2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ）3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=则1()lim ().n n n n m E m E ∞→∞==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ）5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.（ × ）二、填空题（每空2分，共20分）1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。

2.设1,1,,31,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ，则=0A φ ，='A }0{ 。

3.设 ,2,1,0),11,11(=++-=n n n A n ，则=⋃∞=n n A 0 )1,1(- ，=⋂∞=n n A 1 }0{ 。

4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。

5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则mE 0 。

6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭 集。

7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。

浙江师范大学2016-2017学年第一学期《实变函数》期末试卷——A 卷考试类别:考试(必修)使用学生:数学14级考试时间:90分钟考试日期:2017/01/11⋆说明:考生应将全部答案都写在答题纸上,否则作无效处理.（一）填空题（每空2分,共20分）.1.设A n =¦(1+1k)k1≤k ≤n ©,则lim n →∞A n =,lim n →∞A n =.2.设E =¦(x ,y ,z ) x 2+y 2+z 2<1©⊂R 3,则m (E )=,∂E =,E ′=.3.设E ⊂R n .根据定义,E 的外测度m ∗(E )=;E 为可测集是指;非负可测函数f (x )在E 上的Lebesgue 积分为.4.设有集合列A k,令B =∞Y k =1A k =A 1×A 2×···×A k ×···,若A k =2(∀k ≥1),则B =.5.设m (E )<∞,且f k (x )依测度收敛于0,则limk →∞ZE11+|f k (x )|dx =.（二）辨析题（以下各论述若正确请证明,若不正确请说明原因.每小题6分,共18分）.1.黎曼函数为R (x )=(1q,x =pq∈(0,1)∩Q ,其中p ,q ∈N 且(p ,q )=1,0,x =0,1和x ∈(0,1)\Q ,则R (x )在[0,1]上可测.2.函数列f k (x )=χ(0,k )(x )在E =(0,+∞)上几乎处处收敛,“基本上”一致收敛(近一致收敛),且依测度收敛.3.设E ⊂R n,则m ∗(E )=inf ¦m (G ) G 为R n 中开集,且G ⊃E ©.（三）简答与计算题（每小题7分,共14分）.1.请叙述可测函数与连续函数的区别与联系,不必证明.12.计算:limk →∞Z(0,+∞)1(1+x k )k·x 1kdx .（四）证明题（注:从以下六题中选四题作答,每题12分,共48分）.1.若f (x )是可测集E 上的实值函数,证明:f (x )在E 上可测⇐⇒对于R 中的任一开集G ,f −1(G )是可测集.2.若f k (x )在E 上同时依测度收敛于f (x )与g (x ),则f (x )与g (x )几乎处处相等.3.设f (x )在E 上非负可测,若ZEf (x )dx =0,则f (x )=0,a .e .x ∈E .4.设f k (x )为E 上的可积函数列.若存在E 上可积函数F (x ),使得|f k (x )|≤F (x ),a .e .x ∈E ,则ZE lim k →∞f k (x )dx ≥limk →∞ZEf k (x )dx .5.若 E k是R n 中递增可测集合列,f (x )是E 上非负可测函数,E =∞[k =1E k ,则Z Ef (x )dx =limk →∞ZE kf (x )dx .6.设f (x )和f k (x )(k ≥1)都是R 上可积函数.若ZR|f k (x )−f (x )|dx ≤1k 2(k ≥1),则 f k (x ) 在R 上几乎处处收敛于f (x ).2。