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华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期期末考试试卷（A 卷）（解答）课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。
共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、可数个可数集的并集是可数集。
（ 对 ）2、可测集E 上的非负可测函数必Lebesgue 可积。
（ 错 ）3、R n 上全体Lebesgue 可测集所组成的集类 具有连续势。
（ 错 ）4、非空开集的Lebesgue 测度必大于零。
（ 对 ）5、若()n f x （1n =，2，）和()f x 都为可测集E 上的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞=，..a e E ，则()()n f x f x ⇒，x E ∈。
（ 错 ）二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)1、单调收敛定理（即Levi 定理）答：设E 是Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)为E 上的非负可测函数，若{()n f x }是单调递增的，记()lim ()n n f x f x →∞=，则lim()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰。
2、R n中开集的结构定理答：R n中的任一非空开集总可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。
（或R n中的任一开集或为空集或可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。
）3、R n中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C .Caratheodory 定义）答：设n E R ⊂，如果对任意nT R ⊂，总有***()()c m T m T E m T E =⋂+⋂则称E 为R n 中的Lebesgue 可测集，或称E 是Lebesgue 可测的。
4、F .Riesz 定理（黎斯定理）答：设E 为Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)和()f x 都是E 上的几乎处处有限的可测函数，如果()()n f x f x ⇒ x E ∈，则存在{()n f x }的一个子列{()k n f x }，使得lim ()()k n k f x f x →∞=..a e 于E 。
华中师范大学2002——2003学年第二学期期（中、末）考试试卷（A 、B 卷）课程名称 实变函数 课程编号 42111300 任课教师 一、判断题（判断正确、错误，并改正。
共5题，共5×3=15分） 1、可数个有限集的并集是可数集。
.( × ) 改正：可数个有限集的并集不一定是可数集。
2、存在开集使其余集仍为开集。
（ √ ）3、若可测集列n E 单调递减，则 n n n n mE E m ∞→∞==lim 1。
( × )改正：若可测集列n E 单调递减，且存在0n ，使0n mE ＜∞ 则 n n n n mE E m ∞→∞==lim 1。
4、若E 是可测集，)(x f 是E 上的实函数，则)(x f 在E 上可测的充要条件是： ∀实数)(,b a b a < ，[]b f a x E <≤|都是可测集。
( × ) 改正：若E 是可测集，)(x f 是E 上的实函数，则)(x f 在E 上可测的充要条件是：∀实数a ，[]a f x E >|都是可测集。
5、若E 是可测集，)(x f 是E 上的非负可测函数，则)(x f 在E 上一定可积。
( × ) 改正：若E 是可测集，)(x f 是E 上的非负可测函数，则)(x f 在E 上不一定可积。
二、叙述题（共5题，共5×3=15分）专业 年级 学号1、集合的对等。
答：设A 、B 是两个集合，若A 、B 之间存在一一对应，则称A 与B 对等。
2、可测集。
答：设nR E ⊂，如果对任意nR T ⊂，总有T m *=)()(**c E T m E T m ⋂+⋂，则称E 为可测集。
3、可测集与σf 型集的关系。
答：设E 为可测集，则存在σf 型集F ，使E F ⊂且mF mE =、0)(=-F E m 。
4、叶果洛夫定理。
答：设+∞<mE ，{)(x f n }为E 上几乎处处有限的可测函数列，)(x f 也为E 上几乎处处 有限的可测函数，如果)()(x f x f n → a.e.于E ，则对任意0>ε，存在可测子集E E ⊂ε 使在εE 上，)(x f n 一致收敛于)(x f ，而εε<-)(E E m 。
华屮师范大学2002——2003学年第二学期期（中、末）考试试卷（A、R卷）课程名称实变函数课程编号42111300 任课教师_________题型判断题叙述题简答题解答题总分分值151********得分一、判断题（判断正确、错课，并改正。
共5题，共5X3=15分）1、可数个冇限集的并集是可数集。
.（X ）改正：可数个有限集的并集不一定是可数集。
2、存在开集使具余集仍为开集。
（V ）co3、若可测集列E“单调递减，则m A E n = limrnE, o( X )n=\ ns改正：若可测集列乞单调递减，且存在〃0,使加£心<008则m A E n = lim mE n <>n=\n—4、若E是可测集，/（兀）是£上的实函数，则/（x）在E上可测的充要条件是：0 实数a,b（a<b） , E[x\a<f<b]都是可测集。
（X ）改正：若£是可测集，/（Q是E上的实函数，则/（x）在E上可测的充耍条件是: 0实数a, E[x\f>a]都是可测集。
5、若E是可测集, /（兀）是E上的非负可测函数,则于（兀）在E上一定可积。
改正：若E是可测集, /（X）是E上的非负可测函数，则/（x）在E上不一定可积。
二.叙述题（共5题，共5X3=15分）1、集合的对等。
答：设A、B是两个集合，若A、BZ间存在一一对应，则称A与B对等。
2、可测集。
答：设E u R”,如果对任意T uR”,总有mV=/77*（Tn£） + m*（Tn£c）,则称E为可测集。
3、可测集与几型集的关系。
答：设E为可测集，则存在人型集F,使F uE且加E二加F、加（E — F） = O。
4、叶果洛夫定理。
答：设mE < +oo , { f n（x））为E上儿乎处处有限的可测函数列，/（兀）也为E上儿乎处处有限的可测函数，如果AU）^/（x） a.e.于E,则对任意£>0,存在可测了集E£^E 使在E&上,f n （兀）一致收敛于/*（兀），而m{E-E G）< 8 o5、九（兀）在可测集E上依测度收敛于/（兀）的定义。
2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就试卷 共 8 页 第 2 页得到列维定理的结论：。
浙江师范大学《实变函数》考试卷（A 卷）考试类别 闭卷（必修） 使用学生 数学13级 考试时间 90 分钟 出卷时间 2016/06/09说明:考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。
一 是非题（每小题2分，共20分）1. 无理数集是G δ型集。
2. 有限个可数集的乘积和可数个有限集的乘积都为可数集。
3. 设1E R ⊂，0mE =，则()0m E =。
4. n n n n n 1A {|A A }=A lim N n N x x ∞∞→∞===∈ 存在无穷多个，使。
5. 可数集的外测度一定等于零，不可数集合的外测度一定不等于零。
6. 设A,B q R ⊂且(A,B)>0d ，则***m (A B)=m (A)+m (B)⋃7. 设()()f x g x 与都为E q R ⊂上的不可测函数，则()+()f x g x 也为E 上的不可测函数。
8. 设()()f x g x 与都为E q R ⊂上的可积函数，若对E 中的任何可测子集A,都有A A()()f x dx g x dx =⎰⎰，则()=()f x g x a.e.于E 。
9. 设()(-+)f x ∞∞为，上连续函数，()g x 都为E q R ⊂上的处处有限可测函数，(())f g x 也为E 上可测函数。
10. 设Γ为[0,1]上的一族连续函数，则sup |f f ∈Γ{}必在[0,1]可测。
二 简答题（共16分）1. 叙述可测函数与连续函数的关系。
(6分)2. 叙述Riemann 积分，广义Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系。
（10分）三 计算题（共16分，注：必须有过程和理由，只有最后结果则只得1分）1. 求 +9220lim()sin ()1n n x R nx dx n x∞→∞+⎰。
(8分) 2. 设定义在D=[0,1][0,1]⨯的函数{12()x y x f x y ∈∉=Q Q ，，问f 在D 上是否Riemann 可积或Lebesgue 可积；如果可积，求出它们的积分。
河 北 科 技 师 范 学 院
2009 – 2010学年第二学期 07级数学与应用数学专业
实变函数 试卷（A ）卷及答案
一、 判断题（每题2分，共20分）
1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。
（×）
2.必有比a 小的基数。
（√）
3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。
（√）
4.无限个开集的交必是开集。
（×）
5.若φ≠E ，则0*>E m 。
（×）
6.任何集n R E ⊂都有外测度。
（√）
7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。
（×）
8.可测集的所有子集都可测。
（×）
9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。
（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。
（×）
河
北
科技师范学院
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二、填空题（每空2分，共20分）
1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。
2.设1,1,,31,21,1R n
A ⊂⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧= ，则=0A φ ，='A }0{ 。
3.设
,2,1,0),1
1
,
11
(=++-
=n n n A n ，则=⋃∞=n n A 0
)1,1(- ，=⋂∞
=n n A 1
}0{ 。
4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则=mE 0 。
6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭 集。
7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。
8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。
三、计算题（每题10分，共20分）
1.计算dx nx x
n nx
R n ⎰
+∞
→1
3
2
2
21
sin
1)(lim 。
（提示：使用Lebesgue
控制收敛定理）
解：设nx x
n nx
x f n 3
2
2
21
sin
1)(+=
),2,1( =n ，则
（1） 因)(x f n 在]1,0[上连续，所以是可测的； （2）]1,0[,0)(lim ∈=∞
→x x f n n ；
（3）因为
x
nx
nx
x
n nx
nx x
n nx
2121sin
12
1
2
2
21
3
2
2
21
=
≤
+≤
+)(x F =
显然)(x F 在]1,0[上可积。
于是由Lebesgue 控制收敛定理，有
0sin
1)(lim sin
1)(lim 1
3
2
2
21
1
3
2
2
21=+=+⎰
⎰
∞
→∞
→dx nx x
n nx
L dx nx x
n nx
R n n
2. 设⎪
⎩⎪
⎨⎧=为有理数，
的无理数；为小于的无理数为大于x x x x x x f ,01,;1,)(2试计算⎰]
2,0[)(dx x f 。
解：因为有理数集的测度为零，所以
2
)(x
x f = ..e a 于]1,0[， x x f =)( ..e a 于]2,1[。
于是
⎰
⎰
⎰
+
=
]
2,1[]
1,0[]
2,0[)()()(dx
x f dx x f dx x f
dx x dx x ⎰
⎰
+
=2
1
1
2
6
112
33
1=+
=
四、证明题（每题8分，共40分）
1. 证明：)\()(\1
1n
n n n A A A A ∞
=∞
==
证明：)(\1
n n A A ∞
=(
A =n n A
∞
=1c
)
)(1
c
n n A A ∞
==
=)(1
c
n n A A ∞=
=)\(1
n n A A ∞
=
2. 设M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明
M
是至多可列集。
证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A 。
因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A 与开区间组成的集合M 是一一对应的。
则A 是有理数集的子集，故至多可列，所以M 也是至多可列集。
3. 证明：若0=*E m ，则E 为可测集。
证明：对任意点集T ，显然成立着
)()(c
E T m E T m T m *
*
*
+≤。
另一方面，因为0=*E m ，而E E T ⊂ ，所以E m E T m **≤)( ，于
是)(E T m *0=。
又因为c
E T T ⊃，所以)(c E T m T m **≥，从而
)()(c
E T m E T m T m *
*
*
+≥。
总之，)()(c E T m E T m T m ***+=。
故E 是可测集。
4. 可测集E 上的函数)(x f 为可测函数充分必要条件是对任何有理数
r ，集合])([r x f E <是可测集。
5. 证明区间],[b a 上的任何单调函数)(x f 为有界变差函数，并求全变差。
