2018版高中数学选修2-1学案：3-2-1直线的方向向量与平面的法向量 精品

第1课时 空间向量与平行关系[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．知识点一 直线的方向向量和平面的法向量知识点二 空间平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R )． (2)线面平行设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔a ⊥u ⇔a·u ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝λv ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R )．题型一 利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； (4)平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；(5)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8，12)，u ＝(0,2，－3)． 解 (1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面．(3)∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，即α⊥β.(4)∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，∴u·v ≠0且u ≠k v (k ∈R )，∴u 与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直．(5)∵a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)， ∴u ＝－14a ，∴u ∥a ，即l ⊥α.反思与感悟 (1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 跟踪训练1 设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________. 答案 4解析 ∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝1，λk ＝－2，∴λ＝－12，k ＝4.题型二 求平面的法向量例2 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解 如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝(12，1,0)，DS →＝(－12，0,1)．易知向量AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪训练2 已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量． 解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由题意知AB →＝(－1,1,0)，BC →＝(1,0，－1)．∵n ⊥AB →，n ⊥BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z .令x ＝1，则y ＝z ＝1.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．题型三 利用空间向量证明平行关系例3 在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：P A ∥平面EDB .证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设PD ＝DC ＝a .方法一 连接AC ，交BD 于点G ，连接EG ， 依题意得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a 2)．因为四边形ABCD 是正方形， 所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(a 2，a2，0)，所以EG →＝(a2，0，－a 2)．又P A →＝(a,0，－a )，所以P A →＝2EG →，这表明P A ∥EG . 而EG ⊂平面EDB ，且P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .方法二 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， DE →＝(0，a 2，a 2)，EB →＝(a ，a 2，－a 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧a2(y ＋z )＝0，a (x ＋y 2－z2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0. 令y ＝－1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1.所以n ＝(1，－1,1)，又P A →＝(a,0，－a )，所以n ·P A →＝(1，－1,1)·(a,0，－a )＝a －a ＝0. 所以n ⊥P A →.所以P A ∥平面EDB .方法三 假设存在实数λ，μ使得P A →＝λDE →＋μEB →， 即(a,0，－a )＝λ(0，a 2，a 2)＋μ(a ，a 2，－a2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝μa ，0＝λ·a 2＋μ·a 2＝a 2(λ＋μ)，－a ＝λ·a 2－μ·a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝1.所以P A →＝－DE →＋EB →， 所以P A ∥平面BDE .反思与感悟 通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行来证明线面平行，需要特别说明直线的方向向量不在平面内；通过证明平面的法向量与直线的方向向量垂直来证明直线与平面平行，求解法向量的赋值与运算一定要准确；本题应用共面向量定理证明线面平行转化为判定P A →＝λDE →＋μEB →中λ和μ是否存在的问题．跟踪训练3 如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．判断并说明P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD.解 ∵P A ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2， 如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (1，1,0)，D (0,2,0)． 不妨令P (0,0，t )，∴PF →＝(1,1，－t )，DF →＝(1，－1,0)， 设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PF →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z ＝1，解得x ＝y ＝t2，∴n ＝(t 2，t2，1)．设点G 的坐标为(0,0，m )，又E (12，0,0)，则EG →＝(－12，0，m )．要使EG ∥平面PFD ，只需EG →·n ＝0， 即(－12)×t 2＋0×t2＋m ×1＝0，即m －t4＝0，解得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求．利用向量法判断直线与平面平行例4 已知u 是平面α的一个法向量，a 是直线l 的一个方向向量，若u ＝(3,1,2)，a ＝(－2,2,2)，则l 与α的位置关系是________． 错解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u ⊥a ，所以l ∥α.错解分析 错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别．实际上，本例中由向量u ⊥a 可得l ⊂α或l ∥α. 正解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0. 所以u ⊥a ，所以l ⊂α或l ∥α. 答案 l ⊂α或l ∥α1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( ) A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行 D ．yOz 相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz . 3．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(－1,1,3) C ．(3,1,1) D ．(－3,0,1)答案 A解析 ∵A ，B 在直线l 上，∴AB →＝(1,1,3)，与AB →共线的向量(2,2,6)可以是直线l 的一个方向向量．4．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊂α C ．l ⊥α D ．l ⊂α或l ∥α答案 D解析 ∵a ·b ＝0，∴l ⊂α或l ∥α.5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号)①AB →；②AA 1→；③B 1B →；④A 1C 1→.答案 ②③解析 ∵AA 1⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ， ∴AA 1→与B 1B →可以作为平面ABC 的法向量．1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．。

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学习目标 1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置思考 在平面中，可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合．空间中一点的位置或点的集合怎样确定？梳理 用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l 上给定一个定点A 和它的一个方向向量a ，对于直线l 上的任意一点P ，则有AP →＝________或OP →＝________或OP →＝________(AB →＝a )，上面三个向量等式都叫做空间直线的______________．向量a 称为该直线的方向向量． (2)线段AB 的中点M 的向量表达式OM →＝__________________.知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔__________.2．已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔________________________________.3．已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得 α∥β或α与β重合⇔________________.知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，ν1和ν2分别是l 1和l 2的方向向量，则l 1⊥l 2⇔________，cos θ＝__________.2．求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v 1，v 2，所以cos 〈v 1，v 2〉＝v 1·v 2|v 1||v 2|.但要注意，两直线的夹角与〈v 1，v 2〉并不完全相同，当〈v 1，v 2〉为钝角时，应取其________作为两直线的夹角．类型一 空间中点的位置确定例1 已知点A (2，4，0)，B (1，3，3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝2. 求点P 和点Q 的坐标．反思与感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得．跟踪训练1 已知点A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝13，则点C 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫72，－12，52 B.⎝⎛⎭⎫38，－3，2 C.⎝⎛⎭⎫103，－1，73 D.⎝⎛⎭⎫52，－72，32 类型二 向量方法处理平行问题例2 如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点．求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12AD ′.反思与感悟 (1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理．(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．跟踪训练2 (1)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点，求证：MN ∥RS .(2) 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ∥平面BDE .类型三 两直线所成的角的求解例3 已知三棱锥O —ABC (如图)，OA ＝4，OB ＝5，OC ＝3，∠AOB ＝∠BOC ＝60°，∠COA ＝90°，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点．求直线MN 与AC 所成角的余弦值．反思与感悟 向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，故异面直线所成角的余弦值一定大于等于0. 跟踪训练3 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝BB 1＝2，E ，F 分别是面A 1B 1C 1D 1与面B 1BCC 1的中心，求异面直线AF 与BE 所成角的余弦值．1．若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，3，2)，则( ) A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定2．设l 1的方向向量a ＝(1，3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4，3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A ．1 B.52 C.12D ．33．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3)D ．(3，2，1)4．已知向量a ＝(4－2m ，m －1，m －1)，b ＝(4，2－2m ，2－2m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．3C ．1或3D ．以上答案都不正确5．已知直线l 1的一个方向向量为(－7，3，4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y ，8)，且l 1∥l 2，则x ＝__________，y ＝______.1．利用向量可以表示直线或点在直线上的位置．2．线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空间向量共线、共面定理．3．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．提醒：完成作业 第三章 3.2.1答案精析问题导学 知识点一思考 已知向量a ，在空间中固定一个基点O ，再作向量OA →＝a ，则点A 在空间中的位置就被向量a 唯一确定了，称向量a 为位置向量．梳理 (1)t a OA →＋t a (1－t )OA →＋tOB →向量参数方程 (2)12(OA →＋OB →)知识点二 1．v 1∥v 22．存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2 3．v 1∥β且v 2∥β 知识点三1．v 1⊥v 2 |cos 〈v 1，v 2〉| 2．补角 题型探究例1 解 (1)由已知，得PB →＝2AP →， 即OB →－OP →＝2(OP →－OA →)， OP →＝23OA →＋13OB →.设点P 坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2，4，0)＋13(1，3，3)，即x ＝43＋13＝53，y ＝83＋33＝113，z ＝0＋1＝1.因此，P 点的坐标是⎝⎛⎭⎫53，113，1. (2)因为AQ ∶QB ＝2，所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →)，OQ →＝－OA →＋2OB →， 设点Q 的坐标为(x ′，y ′，z ′)，则上式换用坐标表示， 得(x ′，y ′，z ′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)， 即x ＝0，y ＝2，z ′＝6. 因此，Q 点的坐标是(0，2，6)． 跟踪训练1 C例2 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ， 则AM →＝12(a ＋c )，AN →＝c ＋12(a ＋b )，因此MN →＝AN →－AM →＝12(b ＋c )．因为M 不在平面AD ′内， 所以MN ∥平面AD ′.又因为b ＋c ＝AD ′→ ，所以MN →＝12AD ′→，因此MN ∥AD ′，MN ＝12AD ′.跟踪训练2 (1)证明 方法一 设AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则 MN →＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N → ＝13c －a ＋12b ， RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c ，∴MN →＝RS →，∴MN →∥RS →，又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS . 方法二 如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得 M ⎝⎛⎭⎫3，0，43， N (0，2，2)，R (3，2，0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. ∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23， RS →＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23，MN →＝RS →， ∴MN →∥RS →，∵M ∉RS ，∴MN ∥RS .(2)证明 建立如图所示的空间直角坐标系．设AC ∩BD ＝N ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫22，22，0、(0，0，1)． ∴NE →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)、⎝⎛⎭⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →，且A ∉NE ，∴NE ∥AM . 又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .例3 解 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，直线MN 与AC 所成的角为θ，则 MN →＝ON →－OM →＝12(b ＋c )－12a＝12(b ＋c －a )，AC →＝c －a . ∴|MN →|2＝14(b ＋c －a )2＝14(|a |2＋|b |2＋|c |2＋2b·c －2a·b －2a·c ) ＝14(42＋52＋32＋15－20－0)＝454， |AC →|2＝(c －a )2＝|a |2＋|c |2－2a·c ＝42＋32－02＝25， MN →·AC →＝12(b ＋c －a )·(c －a )＝12(b·c ＋|c |2－a·b －2a·c ＋|a |2) ＝12⎝⎛⎭⎫152＋9－10－0＋16＝454. cos θ＝|cos 〈MN →，AC →〉|＝|MN →·AC →|MN →||AC →||＝454454×5＝3510.∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为3510.跟踪训练3 解 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，则A (2，0，0)，B (2，4，0)，C 1(0，4，2)，A 1(2，0，2)， ∴E (1，2，2)，F (1，4，1)， AF →＝(－1，4，1)， BE →＝(－1，－2，2)，∴|AF →|＝18＝32，|BE →|＝9＝3， AF →·BE →＝1－8＋2＝－5，∴cos 〈AF →，BE →〉＝－532·3＝－5218.∵异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2， 设AF 与BE 所成角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AF →，BE →〉|＝5218.当堂训练1．B 2.B 3.A 4.C 5.－14 6。

课堂效果落实
.若(－)，()在直线上，则直线的一个方向向量为( )
．() ．()
．() ．()
解析：＝(＋－－)＝()，、、、四个选项中，只有项中的方向向量与共线．
答案：
．若＝(，－)是平面α的一个法向量，则下列向量中是平面α的法向量的是( )
．(，－) ．()
．(－，－) ．(－，－)
解析：显然，选项中的向量(－，－)与＝(，－，)共线．
答案：
．设平面α的法向量为(，－)，平面β的法向量为(－，－，)，若α∥β，则等于( )
．．－
．．－
解析：由α∥β知，α的法向量与β的法向量平行，即
＝＝，解得＝.
答案：
．若平面α、β的法向量分别为＝(，－)，＝(－，－)，则( ) . α∥β. α⊥β
. α与β斜交 . 以上均正确
解析：与不平行也不垂直，∴α与β斜交．
答案：
．在正方体—中，是的中点，为底面的中心，求证：
是平面的法向量．
解：建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为，则
()，()，()，()，()，于是＝()，＝(－)，＝(－)，
∴·＝－＋＝，·＝－＋＝.
∴⊥，⊥，即⊥，⊥.
∵∩＝，
∴⊥平面，即是平面的法向量．。

3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量1．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点) 2．会用待定系数法求平面的法向量．(难点) 3．平面法向量的设法．(易错点)[基础·初探]教材整理1 直线的方向向量阅读教材P 99上半部分，完成下列问题．我们把直线l 上的向量e (e ≠0)以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量．已知直线l 过A (3,2,1)，B (2,2,2)，且a ＝(2,0，x )是直线l 的一个方向向量，则x ＝________.【解析】 AB →＝(－1,0,1)，由题意知，a ∥AB →，则存在实数λ，使a ＝λAB →，即(2,0，x )＝λ(－1,0,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，x ＝λ，∴λ＝－2，x ＝－2.【答案】 －2教材整理2 平面的法向量阅读教材P 99中间部分，完成下列问题．如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量．1．平面α内一条直线l 的方向向量为a ＝(2,3，－1)，平面α的法向量为n ＝(－1,1，m )，则m ＝________.【解析】 易知a·n ＝0，即－2＋3－m ＝0，解得m ＝1. 【答案】 12．已知A (1,0,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，则平面ABC 的法向量为________.【导学号：09390079】【解析】 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AB →＝z ＝0，n ·AC →＝－x ＋y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝0， 即n ＝(1,1,0)，则平面ABC 的一个法向量为(1,1,0)． 【答案】 (1,1,0)(答案不惟一)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]12为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.(2)在空间直角坐标系中，已知点A (2,0,1)，B (2,6,3)，P 是直线AB 上一点，且满足AP ∶PB ＝3∶2，则直线AB 的一个方向向量为________，点P 的坐标为________．【精彩点拨】 (1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)AB →即是直线AB 的一个方向向量，利用AP →＝35AB →求点P 的坐标． 【解析】 (1)由l 1∥l 2可知，向量(－7,3,4)和(x ，y,8)共线，所以x －7＝y 3＝84，解得x ＝－14，y ＝6.(2)AB →＝(0,6,2)是直线AB 的一个方向向量． 由AP ∶PB ＝3∶2，得AP →＝35AB →.设P (x ，y ，z )，则(x －2，y ，z －1)＝35(0,6,2)， 即x －2＝0，y ＝185，z －1＝2·35， 解得x ＝2，y ＝185，z ＝115，所以直线AB 的一个方向向量是(0,6,2)，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，115.【答案】 (1)－14 6 (2)(0,6,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，1151．应注意直线AB 的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．ABCD ，SA＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SBA 与平面SCD 的法向量．图3-2-1【精彩点拨】 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n ，再利用待定系数法求解．【自主解答】 ∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SBA 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，有n ⊥DC →，n ⊥DS →，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12. n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，12.1．利用待定系数法求平面法向量的步骤2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.[再练一题]1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量．【解】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，1.设平面AMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝y ＋12z ＝0，n ·AN →＝－x ＋12y ＋z ＝0，令y ＝2，∴x ＝－3，z ＝－4，∴n ＝(－3,2，－4).11111图3-2-2求证：D 1F →是平面ADE 的法向量．【精彩点拨】 要证明D 1F →是平面ADE 的法向量，只需证明D 1F ⊥平面ADE 即可．【自主解答】 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，所以AD →＝(－1,0,0)，D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，所以AD →·D 1F →＝(－1,0,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝0， AE →·D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝0， 所以AD →⊥D 1F →，AE →⊥D 1F →，又AD ∩AE ＝A ， 所以D 1F →⊥平面ADE ，从而D 1F →是平面ADE 的法向量．用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.[再练一题]2．如图3-2-3所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．图3-2-3(1)指出直线MN 的一个以A 为起点的方向向量；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN →为平面PCD 的一个法向量． 【解】 (1)取PD 的中点E ，连结NE ，AE ，因为N 是PC 的中点， 所以NE ∥DC ，NE ＝12DC .又DC ∥AB ，DC ＝AB ，AM ＝12AB ， 所以AM ∥12CD ，AM ＝12CD . 所以NE ∥AM ，NE ＝AM .所以四边形AMNE 是平行四边形，所以MN ∥AE . 所以AE →为直线MN 的一个以A 为起点的方向向量． (2)证明：在Rt △P AD 中，∠PDA ＝45°， 所以AP ＝AD ，所以AE ⊥PD ， 又因为MN ∥AE ，所以MN ⊥PD . 因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又因为CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ， 因为AE ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AE .又因为MN ∥AE ，所以CD ⊥MN ，又因为CD ∩PD ＝D ， 所以MN ⊥平面PCD .所以MN →为平面PCD 的一个法向量．[探究共研型]探究1 【提示】 (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．(2)与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)给定空间中任意一点A 和非零向量a ，就可以确定惟一一条过点A 且平行于向量a 的直线．(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．探究2 过空间任意一定点P ，能否作出平面α的法向量？能作几条？ 【提示】 由于过空间任意一点P ，有且仅有一条直线PO 垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．由于直线PO 的方向向量有无数个，因此，过点P 的平面α的法向量也有无数个．探究3 求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？【提示】 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．探究4 依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？【提示】 不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x ，y ，z 中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．探究5 利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？ 【提示】 (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系． (1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；(2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝()2，2，－1. 【精彩点拨】 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． 【自主解答】 (1)∵u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12，∴u ·ν＝(－1,1，－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0，∴u ⊥ν，故α⊥β. (2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u ·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [再练一题]3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)． 【解】 (1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)， ∴a ·b ＝8－6－2＝0， ∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9,0)， ∴ν＝－3u ， ∴ν∥u ，即α∥β.[构建·体系]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量AB →是直线l 的一个方向向量，则向量BA →也是l 的一个方向向量．( )(2)若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量k a 也是直线l 的一个方向向量．( )(3)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( ) (4)一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．( ) (5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．若点A (0,1,2)，B (－1,0,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为________.【导学号：09390080】【解析】 AB →＝(－1，－1,0)，即为l 的一个方向向量． 【答案】 (－1，－1,0)3．若向量a ＝(x,2,1)，b ＝(1，y,3)都是直线l 的方向向量，则x ＋y ＝________. 【解析】 据题意可知，a ∥b ，故存在实数λ，使a ＝λb ，即(x,2,1)＝λ(1，y,3)，即x ＝λ，2＝λy,1＝3λ，解得λ＝13，y ＝6，x ＝13，x ＋y ＝13＋6＝193.【答案】 1934．若直线l ⊥α，且l 的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，则m 为________．【解析】 ∵(m,2,4)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12λ，2＝λ，4＝2λ，∴m ＝1.【答案】 15．如图3-2-4，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，求平面ABC 1的一个法向量．图3-2-4【解】 法一：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)．∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)，∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)，则⎩⎨⎧n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．法二：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)，∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)， 则⎩⎨⎧n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知a ＝(1,4,3)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.【解析】 由l 1∥l 2，得13＝4x ＝3y ，解得x ＝12，y ＝9. 【答案】 12 92．设直线l 1的方向向量为a ＝(2，－1,2)，直线l 2的方向向量为b ＝(1,1，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________.【解析】 ∵l 1⊥l 2，∴2－1＋2m ＝0，∴m ＝－12. 【答案】 －123．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x －2－8＝0，所以x ＝－10.【答案】 －104．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM →·n ＝0的点M 的轨迹是________．【解析】 AM →·n ＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念． 【答案】 过点A 且与向量n 垂直的平面5．已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是________．【解析】 因为|a |＝6，所以4＋16＋x 2＝36，即x ＝±4，当x ＝4时，a ＝(2,4,4)，由a·b ＝0，得4＋4y ＋8＝0，解得y ＝－3，此时x ＋y ＝4－3＝1；当x ＝－4时，a ＝(2,4，－4)，由a·b ＝0，得4＋4y －8＝0，解得y ＝1，此时x ＋y ＝－4＋1＝－3.综上，得x ＋y ＝－3或x ＋y ＝1. 【答案】 －3或16．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________. 【导学号：09390081】【解析】 设单位法向量n 0＝(x ，y ，z )，AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)．由n 0·AB →＝0，且n 0·AC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，y －x ＝0，z －x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33，y ＝33，z ＝33，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－33，y ＝－33，z ＝－33.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－337．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，则平面α的一个法向量是________．【解析】 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)． 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． 【答案】 (2,1,0)8．已知点A ，B ，C 的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则点P 的坐标为________．【解析】 ∵A (0,1,0)，B (－1,0,1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，∴AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，P A →＝(－x,1，－z )． ∵P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，∴P A →·AB →＝(－x,1，－z )·(－1，－1,1)＝0， P A →·AC →＝(－x,1，－z )·(2,0,1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，z ＝－23，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－23.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，－23二、解答题9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，证明：DB 1→是平面A 1BC 1的法向量． 【证明】 建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，于是DB 1→＝(1,1,1)，BA 1→＝(0，－1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)，由于DB 1→·BA 1→＝－1＋1＝0，DB 1→·BC 1→＝－1＋1＝0.∴DB 1→⊥BA 1→，DB 1→⊥BC 1→，∵BA 1∩BC 1＝B ，∴DB 1⊥平面A 1BC 1，即DB 1→是平面A 1BC 1的法向量．10．已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，建立空间直角坐标系如图3-2-5.AB ＝3，BC ＝4，AA 1 ＝2，图3-2-5(1)求平面B 1CD 1的一个法向量；(2)设M (x ，y ，z )是平面B 1CD 1内的任意一点，求x ，y ，z 满足的关系式． 【解】 (1)在题图所示的空间直角坐标系A -xyz 中各点坐标为B 1(3,0,2)，C (3,4,0)，D 1(0,4,2)，由此得B 1C →＝(0,4，－2)，CD 1→＝(－3,0,2)， 设平面B 1CD 1的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )， 则a ⊥B 1C →，a ⊥CD 1→，从而a ·B 1C →＝0，a ·CD 1→＝0， 所以0·x ＋4·y －2·z ＝0，－3·x ＋0·y ＋2·z ＝0， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，3x －2z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝z 2，x ＝2z3.不妨取z ＝6，则y ＝3，x ＝4.所以a ＝(4,3,6)就是平面B 1CD 1的一个法向量． (2)由题意可得，B 1M →＝(x －3，y ，z －2)， 因为a ＝(4,3,6)是平面B 1CD 1的一个法向量， 所以a ⊥B 1M →，从而a ·B 1M →＝0，即4(x －3)＋3y ＋6(z －2)＝0,4x ＋3y ＋6z ＝24，所以满足题意的关系式是4x ＋3y ＋6z ＝24.[能力提升]1．若不重合的两个平面的法向量分别是a ＝(3，－3，－3)，b ＝(－1,1,1)，则这两个平面的位置关系是________．【解析】 ∵a ＝(3，－3，－3)，b ＝(－1,1,1)， ∴a ＝－3b ，a ∥b . ∴这两个平面平行． 【答案】 平行2．已知平面α内有一个点A (－1,1,0)，α的一个法向量为n ＝(－1,1,1)，则下列各点中，在平面α内的是________(填序号)．①(1,3,2)；②(0,0,2)；③(1,2,1)；④⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，23. 【解析】 设平面α内任意点P (x ，y ，z )，则AP →＝(x ＋1，y －1，z )，故n ·AP →＝－x －1＋y －1＋z ＝0，即x －y －z ＋2＝0，把各点坐标代入检验，可知②③符合．【答案】 ②③3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的结论是________. 【导学号：09390082】【解析】 AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ；AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，∴2－1≠32≠4－1，所以AP →与BD →不平行． 【答案】 ①②③4．如图3-2-6，四棱锥P -ABCD 中，PD ＝AD ＝DC ，底面ABCD 为正方形，E 为PC 的中点，F 在PB 上，问F 在何位置时，PB →为平面DEF 的一个法向量？图3-2-6【解】 建系如图，设DA ＝2， 则D (0,0,0)，P (0,0,2)，C (0,2,0)． ∴E (0,1,1)，∵B (2,2,0)， ∴PB →＝(2,2，－2)． 设F (x ，y ，z )，PF →＝λPB →， ∴(x ，y ，z －2)＝λ(2,2，－2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ，y ＝2λ，z －2＝－2λ，∴F (2λ，2λ，2－2λ)， ∴DF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．∵PB →·DF →＝0，∴4λ＋4λ－2(2－2λ)＝0，∴λ＝13，∴F为PB的一个三等分点(靠近P点)．。

3.5 平面的法向量学习目标1. 掌握平面的法向量的概念;2. 掌握利用平面的法向量解决一些简单的立体几何问题．学习过程一、课前准备复习：如何判断线面的垂直？复习2：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，a ·b ＝ ；若两个向量垂直，则需满足什么条件？二、新课导学1.平面：① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平面α上的任一点P ,,a b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得OP xa yb =+. ② 空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.2.平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n 叫做平面α的法向量.试试： .1.如果,a b 都是平面α的法向量，则,a b 的关系 .2.向量n 是平面α的法向量，向量a 是与平面α平行或在平面内，则n 与a 的关系是 .反思：1. 一个平面的法向量是唯一的吗？2. 平面的法向量可以是零向量吗？3.向量表示平行、垂直关系：设直线,l m的方向向量分别为,a b，平面,αβ的法向量分别为,u v，则①l∥m⇔a∥b a kb⇔=②l∥α⇔a u⇔⋅=⊥0a u③α∥β⇔u∥v.⇔=u kv例：用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.变式：1.在空间直角坐标系中,已知()()()A B C,试求平面ABC的一个法向3,0,0,0,4,0,0,0,2量.2.设,u v分别是平面,αβ的法向量，判断平面,αβ的位置关系：①()()=-=--；u v1,2,2,2,4,4②()()=-=--.u v2,3,5,3,1,4三、总结提升1. 空间平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性质.求平面的法向量步骤：1.设平面的法向量为(,,)n x y z =；2.找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；3.根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组；4.解方程组,取其中的一个解,即得法向量.当堂检测1. 设()()2,2,5,6,4,4u v =-=-分别是平面,αβ的法向量，则平面,αβ的位置关系是 .2. 已知n α⊥，下列说法错误的是（ ）A. 若a α⊂，则n a ⊥B.若//a α，则n a ⊥C.若,m α⊥，则//n mD.若,m α⊥，则n m =3.下列说法正确的是（ ）A.平面的法向量是唯一确定的B.一条直线的方向向量是唯一确定的C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量D.若m 是直线l 的方向向量，//l α，则//m α4. 已知()()1,0,1,0,3,1AB AC =-=-，能做平面ABC 的法向量的是（ ）A. ()1,2,1B.11,,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()1,0,0 D. ()2,1,3 5. 在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：1DB 是平面1ACD 的一个法向量.。

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2空间线面关系的判定（一）【学习目标丨1•掌握空间点、线、面的向量表示2理解直线的方向向量与平面的法向量的意义; 会用待定系数法求平面的法向量 3能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的 平行问题•IT 问题导学 ----------------------------知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？梳理（1）用向量表示直线的位置条件直线l 上一点A表示直线l 方向的向量a （即直线的）形式在直线l 上取AB = a ,那么对于直线1上任意 点P , 定存在头数t , 使得AP =作用 疋位置 点A 和向量a 可以确疋直线的3章空间向量与立体几何 32空间向量的应用(2) 用向量表示平面的位置①通过平面a上的一个定点0和两个向量a和b来确定:②通过平面a上的一个定点A和法向量来确定:(3) 直线的方向向量和平面的法向量(4) 空间中平行关系的向量表示设直线I, m的方向向量分别为a, b,平面a, B的法向量分别为v,则知识点二利用空间向量处理平行问题思考⑴设V i = (a i, b i, C i), V2 = @2, b2, C2)分别是直线l i, 12的方向向量若直线l i// I2,则向量v i, v2应满足什么关系.(2) 若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3) 用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论题型探究类型一求直线的方向向量、平面的法向量例i如图，四棱锥P —ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面ABCD , E为PD的中点.AB=AP = i, AD = 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(i) 设向量：设平面的法向量为n = (x, y, z).⑵选向量：在平面内选取两个不共线向量AB, A C.n AB= 0,(3) 列方程组：由f - 列出方程组•n AC= 0n AB=0,(4) 解方程组：f —n AC= 0.(5) 赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).(6) 得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB丄平面ABCD , △ PAB 是边长为1的正三角形，ABCD是菱形./ ABC = 60° E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.类型二利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCD-A I B I C I D I的棱长为2, E、F分别是BB i、DD 1的中点，求证:(1) FCj/ 平面ADE ;(2) 平面ADE //平面B i C i F.反思与感悟禾U用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪训练2 如图，在四棱锥P —ABCD中，FA丄平面ABCD , PB与底面所成的角为45° 底面ABCD 为直角梯形，/ ABC = Z BAD = 90° FA= BC= ^AD = 1,问在棱PD上是否存在当堂训练一点E,使CE//平面PAB?若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由1•若点A( —1,0,1), B(1,4,7)在直线I上，则直线I的一个方向向量的坐标可以是____________ .2. 已知向量n= (2,—3,1)是平面a的一个法向量，则下列向量中能作为平面a的法向量的是_______ •(填序号)① n 1= (0, —3,1);② n = ( —2,0,4);③n3= (—2,—3,1):④ n4= (—2,3,—1).3. 已知向量n= (—1,3,1)为平面a的法向量，点M(0,1,1)为平面内一定点P(x, y, z)为平面内任一点，贝U x, y, z满足的关系式是________ .4. 若直线I / a,且I的方向向量为(2, m,1)，平面a的法向量为1, 1, 2，则m为_________________5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为__________ .厂《规律与方法■------------------------------- 11 .应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直⑵证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3) 证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.2.证明面面平行的方法设平面a的法向量为n1 = (a1, b1, c”，平面B的法向量为n2=他,b2, C2)，贝U a//价nJ n2(a1, b1, &)= k(a2, b2, C2)(k€ R).答案精析问题导学知识点一思考(1)点：在空间中，我们取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量0P来表示•我们把向量0P称为点P的位置向量.⑵直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量②对于直线I上的任一点P,在直线上取AB = a,则存在实数t，使得AP = tAB.(3)平面：①空间中平面a的位置可以由a内两条相交直线来确定•对于平面a上的任一点P ,a, b是平面a内两个不共线向量，则存在有序实数对(x, y)，使得OP = x a + y b.②空间中平面a的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示梳理⑴方向向量tAB位置一点(2) ②方向向量(3)非零方向向量n⑷a // b a 卫=0 kv(k€ R)知识点二思考(1)由直线方向向量的定义知若直线l i/ I2,则直线I l, I2的方向向量共线，即丨1〃12?V1 // V2? V i = ”2(入€ R).(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行(3) 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行题型探究例1解因为PA丄平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB, AD , AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0, . 3, 0),3 1E(0, 2，2)，B(1,0,0), C(1, 3, 0),f：：、: 3 1 f 一于是AE = (0, —, 2), AC = (1 , .3, 0). 设n = (x , y , z)为平面ACE 的法向量，n A C = 0, x+ 3y = 0，则-即3 1 nn AE = 0,2『+ 2= 0，，一萌y , 所以z =- 3y ,令 y =— 1，则 x = z = 3.所以平面ACE 的一个法向量为 n = ( 3,— 1, .3). 引申探究解 如图所示，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,1), C(1, .3, 0),所以 PC = (1 , .3,— 1), 即为直线PC 的一个方向向量• 设平面PCD 的法向量为n = (x , y , z).因为 D(0, 3, 0)，所以 PD = (0, ,3, — 1).n PC = 0, x + ,3y — z = 0,由即n PD = 0,. ■3y— z= 0,|x = 0, 所以令y = 1,则z = .3.z = 3y ,所以平面PCD 的一个法向量为 n = (0,1,. 3). 跟踪训练1 解连结PF , CF , AC.因为PA = PB , F 为AB 的中点，所以 PF 丄AB ,又因为平面PAB丄平面ABCD，平面PAB A平面ABCD = AB, PF?平面PAB. 所以PF丄平面ABCD，因为AB = BC, / ABC = 60°所以△ ABC是等边三角形，所以CF丄AB.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示FD = (—1 ,,0).由题意得F(0,0,0)，P(0,0，甲)，D( —1，，0)，C(0,甲，0)，E(0, -^, ¥). 所以FE = (0，屮，^)，设平面DEF的法向量为m = (x, y, z).m FE = 0, 则Tm FD = 0,z=—y,所以」X=尹则x= 3, z= —2.所以平面DEF的一个法向量为m= ( ,3, 2,—2).例2 证明⑴建立如图所示的空间直角坐标系 D —xyz，则有D(0,0,0), A(2, 0,0), C(0,2,0), C i(0,2,2), E(2, 2,1), F(0,0,1), B i(2,2,2),所以FC i= (0,2,1), DA = (2,0,0), AE = (0,2,1).设n 1 = (X1, y1, Z1)是平面ADE的法向量,则m 丄DA, n 1X A E ,[n i DA = 2x i= 0,即f -I n i AE = 2y i + z i = 0,x i = 0,得|z i = —2y i,令z i= 2，则y i=—1,所以n i = (0,—1,2).因为FC i n i = —2+ 2= 0,所以F C i± n i.又因为FC i?平面ADE ,所以FC i〃平面ADE.⑵因为C7S = (2,0,0)，设n2= (X2, y2, z0是平面B i C i F的一个法向量•由血丄FC i,血丄—£,|n2 FC i = 2y2 + z2= 0,得一!n e C i B i= 2x2= 0,(X2= 0,得|z2=—2y2.令Z2= 2，得y2=—i,所以n2= (0,—i,2),因为n i= n2,所以平面ADE //平面B i C i F.跟踪训练2 解分别以AB, AD , AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.••• P(0,0,i), C(i,i,0), D(0,2,0),设存在满足题意的点E(0, y, z),则PE = (0, y, z—1),PD = (0,2, —1),•/ PE // PD, ••• y x (—1) —2(z—1) = 0, ••• Ai) = (0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE = (—1 , y—1, z), CE //平面FAB,•CE 丄AD, ••• (—1, y—1, z) (0,2,0) = 0.1•y = 1,代入①得z=-,•E是PD的中点，•存在E点，当点E为PD中点时，CE //平面PAB.当堂训练1.(2,4,6) 2•④ 3.x—3y—z+ 4= 0 4• —8 5.(1,1,1)(答案不惟一)。

直线的方向向量与平面的法向量学习目标：1．理解直线的方向向量和平面的法向量；2．会用待定系数法求平面的法向量。

学习重点：直线的方向向量和平面的法向量学习难点：求平面的法向量学习过程一、创设情景 1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？二、建构数学1、直线的方向向量我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量。

2、平面的法向量如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量。

三、数学运用1、在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：1DB 是平面1ACD 的法向量。

证：设正方体棱长为1，以1,,DD 为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -。

)1,1,1(1=DB ，)0,1,1(-=AC ，)1,0,1(1-=AD ，01=⋅DB ，所以DB ⊥1。

同理11AD DB ⊥。

所以⊥1DB 平面ACD 。

从而1DB 是平面1ACD 的法向量。

2、在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A e =，),,(z y x M 为平面α内任意一点，求z y x ,,满足的关系式。

解：由题意可得),,(000z z y y x x ---=，0=⋅，即0),,(),,(000=---⋅z z y y x x C B A ，化简得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 。

3、课堂练习已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =-，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--。

（1）求证：AP 是平面ABCD 的法向量；（2）求平行四边形ABCD 的面积。

（1）证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0AP AB ⋅=--⋅--=， (1,2,1)(4,2,0)0AP AD ⋅=--⋅=，∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又AB AD A =，AP ⊥平面ABCD ， ∴AP 是平面ABCD 的法向量；（2）||(2)AB ==2||4AD ==， ∴(2,1,4)(4,2,0)6AB AD ⋅=--⋅=，∴cos(,)AB AD ==，∴sin BAD ∠==∴||||sin ABCD S AB AD BAD =⋅∠=四、回顾总结1、直线的方向向量与平面法向量的概念；2、求平面法向量的方法。

第3课时空间向量与空间角[学习目标] 1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．知识点一两条异面直线所成的角设两条异面直线a，b所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|a·b||a||b|，范围(0°，90°]．知识点二直线和平面所成的角设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin θ＝|a·b||a||b|，范围[0°，90°]．知识点三二面角的平面角设二面角αlβ的锐二面角大小为θ，且两个半平面的法向量分别为a，b，则cos θ＝|a·b||a||b|，范围(0°，180°]．题型一两条异面直线所成角的向量求法例1如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．解以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝|A 1B →·C 1D →||A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.反思与感悟 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围．跟踪训练1 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上的动点．若异面直线AD 1与EC 所成角为60°，试确定此时动点E 的位置．解 以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设E (1，t,0)(0≤t ≤2)，则A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)，D 1A →＝(1,0，－1)，CE →＝(1，t －2,0)， 根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t －2)＋0＝2×1＋(t －2)2·cos 60°， 所以t ＝1，所以点E 的位置是AB 的中点． 题型二 直线与平面所成角的向量求法例2 已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，M 为A 1B 1的中点，求BC 1与平面AMC 1所成角的正弦值．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，M (0，a2，2a )，C 1(－32a ，a2，2a )，B (0，a,0)， 故AC 1→＝(－32a ，a 2，2a )，AM →＝(0，a 2，2a )，BC 1→＝(－32a ，－a 2，2a )．设平面AMC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n ＝0，AM →·n ＝0，∴⎩⎨⎧－32ax ＋a2y ＋2az ＝0，a 2y ＋2az ＝0，令y ＝2，则z ＝－22，x ＝0.∴n ＝(0,2，－22)． 又BC 1→＝(－32a ，－a 2，2a )，∴cos 〈BC 1→，n 〉＝BC 1→·n |BC 1→||n |＝－a －a 3a ×92＝－269.设BC 1与平面AMC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈BC 1→，n 〉|＝269.反思与感悟 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．跟踪训练2 如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥P －ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．(1)证明 在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点， 所以AB ∥DE .又因为AB ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .(2)解 因为P A ⊥底面ABCDE ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，BC →＝(1,1,0)，AB →＝(1,0,0)，AF →＝(0,1,1)． 设平面ABF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1，所以n ＝(0，－1,1)． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6，设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)， 即(u ，v ，w －2)＝λ(2,1，－2)， 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ.因为n 是平面ABF 的一个法向量，所以n ·AH →＝0，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0.解得λ＝23，所以点H 的坐标为(43，23，23)．所以PH ＝(43)2＋(23)2＋(－43)2＝2. 题型三 二面角的向量求法例3 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D －AF －E 与二面角C －BE －F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥EFDC ；(2)求二面角E －BC －A 的余弦值.(1)证明 由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC ，又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)解 过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G －xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D －AF －E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1，4，0)， B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3).由已知，AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC ，又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF ，由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C －BE －F 的平面角，∠CEF ＝60°，从而可得C (－2，0，3).所以EC →＝(1，0，3)，EB →＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4，0，0). 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0.所以可取 n ＝(3，0，－3).设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0.同理可取m ＝(0，3，4)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角E －BC －A 的余弦值为－21919.反思与感悟设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2. (3)计算：求n 1与n 2所成锐角θ，cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.跟踪训练3 如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求二面角AA 1DB 的余弦值．解 如图所示，取BC 中点O ，连接AO .因为△ABC 是正三角形，所以AO ⊥BC ，因为在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1中点为O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0)． 设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AD →＝(－1,1，－3)，AA 1→＝(0,2,0)． 因为n ⊥AD →，n ⊥AA 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0，得⎩⎨⎧－x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，所以⎩⎨⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0,1)为平面A 1AD 的一个法向量． 又因为AB 1→＝(1,2，－3)，BD →＝(－2,1,0)，BA 1→＝(－1,2，3)，所以AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0， AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1，又BD ∩BA 1＝B ，BD ⊂平面A 1BD ，BA 1⊂平面A 1BD ，所以AB 1⊥平面A 1BD ， 所以AB 1→是平面A 1BD 的一个法向量，所以cos 〈n ，AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32·22＝－64，又因为二面角A —A 1D —B 为锐角， 所以二面角A — A 1D —B 的余弦值为64.1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则直线l 与平面α所成的角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 A解析 由cos 〈m ，n 〉＝－12知，直线l 与平面α所成的角为90°－60°＝30°.2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．90°答案 C解析 ∵cos 〈m ，n 〉＝12＝22， ∴二面角的大小为45°或135°.3．在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75°答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，∴AB 1→⊥C 1B →.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23 B.33 C.23 D.63答案 D解析 设正方体的棱长为1，建系如图．则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)． 平面ACD 1的一个法向量为DB 1→＝(1,1,1)． 又BB 1→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33.故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－(33)2＝63. 5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________．答案925解析 如图，建立空间直角坐标系．由已知得A 1(4,0,0)，B (4,4,3)，B 1(4，4,0)，C (0,4,3)． ∴A 1B →＝(0,4,3)，B 1C →＝(－4,0,3)， ∴cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝925.利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．。

3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤．知识点一直线与平面所成的角思考斜线和平面所成的角具有什么性质？梳理(1)直线与平面所成的角(2)最小角定理知识点二二面角及理解思考如何找二面角的平面角？梳理(1)二面角的概念①二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的______，每个半平面叫做二面角的______，如图中的α，β.②二面角的记法：棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l—β.如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A—l—B，也可记作2∠l.③二面角的平面角：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关．④直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．⑤二面角的范围是[0°，180°]．(2)用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法①如图，分别在二面角α—l—β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则〈n1，n2〉等于该二面角的平面角．②如图，设m1⊥α，m2⊥β，则角〈m1，m2〉与该二面角大小相等或互补．类型一求直线与平面的夹角例1已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．反思与感悟用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．跟踪训练1如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面AB－CD的夹角θ的余弦值．类型二求二面角例2在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．反思与感悟(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．跟踪训练2若P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝1，BC＝2，求锐二面角A－PB－C 的余弦值．1．在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α的值是()A.32 B.22 C.104 D.642．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为__________．3．正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为________．4．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．1．线面角可以利用定义在直角三角形中解决．2．线面角的向量求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a|·|n|.提醒：完成作业第三章 3.2.3～3.2.4答案精析问题导学 知识点一思考 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角，且cos θ＝cos θ1cos θ2.(如图) 梳理 (1)90° 0° 射影(2)cos θ＝cos θ1·cos θ2 射影 最小的角 知识点二 思考 (1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识． (2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．梳理 (1)①两个半平面 棱 面 题型探究例1 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)， A 1(0，0，2a )， C 1⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，方法一 取A 1B 1的中点M ， 则M (0，a2，2a )，连接AM ，MC 1，有MC 1→＝(－32a ，0，0)，AB →＝(0，a ，0)，AA 1→＝(0，0，2a )．∴MC 1→·AB →＝0，MC 1→·AA 1→＝0， ∴MC 1→⊥AB →，MC 1→⊥AA 1→， 则MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1. 又AB ∩AA 1＝A ， ∴MC 1⊥平面ABB 1A 1.∴∠C 1AM 是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角． 由于AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，AM →＝(0，a 2，2a )，∴AC 1→·AM →＝0＋a 24＋2a 2＝9a 24， |AC 1→|＝ 3a 24＋a 24＋2a 2＝3a ， |AM →|＝a 24＋2a 2＝32a ， ∴cos 〈AC 1→，AM →〉＝9a 243a ×3a 2＝32. ∵〈AC 1→，AM →〉∈[0°，180°]， ∴〈AC 1→，AM →〉＝30°，又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.方法二 AB →＝(0，a ，0)，AA 1→＝(0，0，2a )， AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a .设侧面ABB 1A 1的法向量为n ＝(λ，y ，z )， ∴n ·AB →＝0且n ·AA 1→＝0. ∴ay ＝0且2az ＝0. ∴y ＝z ＝0.故n ＝(λ，0，0)． ∴cos 〈AC 1→，n 〉＝n ·AC 1→|n ||AC 1→|＝－λ2|λ|，∴|cos 〈AC 1→，n 〉|＝12.又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.跟踪训练1 解 由题设条件知，以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示).设AB ＝1，则A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (1，1，0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0，0，1)， ∴AS →＝(0，0，1)， CS →＝(－1，－1，1)．显然AS →是底面的法向量，它与已知向量CS →的夹角β＝90°－θ， 故有sin θ＝cos β＝AS →·CS →|AS →||CS →|＝11×3＝33，∵θ∈[0°，90°]， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝63. 例2 解 方法一 如图，以A 为原点，分别以AC ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝AB ＝a ，AC ＝b ，连接BD 与AC 交于点O ，取AD 中点F ，连接EF ，EO ，FO ，则C (b ，0，0)，B (0，a ，0)． ∵BA →＝CD →，∴D (b ，－a ，0)，P (0，0，a )， ∴E ⎝⎛⎭⎫b 2，－a 2，a 2，O ⎝⎛⎭⎫b2，0，0， OE →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a 2，AC →＝(b ，0，0)． ∵OE →·AC →＝0，∴OE →⊥AC →，OF →＝12BA →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，0，OF →·AC →＝0. ∴OF →⊥AC →.∴∠EOF 等于平面EAC 与平面ABCD 的夹角(或补角)． cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →|OE →||OF →|＝22.∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°. 方法二 建系如方法一， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴AP →＝(0，0，a )为平面ABCD 的法向量， AE →＝⎝⎛⎭⎫b 2，－a 2，a 2，AC →＝(b ，0，0)． 设平面AEC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2x －a 2y ＋a 2z ＝0，bx ＝0.∴x ＝0，y ＝z .∴取m ＝(0，1，1)， cos 〈m ，AP →〉＝m ·AP →|m ||AP →|＝a 2·a ＝22.∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°.跟踪训练2 解 如图所示建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，1，0)， C (0，1，0)，P (0，0，1)，故AP →＝(0，0，1)，AB →＝(2，1，0)，CB →＝(2，0，0)，CP →＝(0，－1，1)， 设平面P AB 的法向量为 m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝0，m ·AB →＝0⇒⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(0，0，1)＝0，(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0⇒⎩⎨⎧z ＝0，2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－2，故m ＝(1，－2，0)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·CP →＝0⇒⎩⎨⎧(x ′，y ′，z ′)·(2，0，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·(0，－1，1)＝0⇒⎩⎨⎧2x ′＝0，－y ′＋z ′＝0.令y ′＝－1，则z ′＝－1， 故n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33.∴锐二面角A －PB －C 的余弦值为33. 当堂训练1．D 2.45°或135° 3.33 4.27。

3. 2.1 直线的方向向量与平面的法向量［学习目标］1•理解直线的方向向量与平面的法向量的意义 量.h 知识梳理自主学习知识点一直线的方向向量 直线I 上的向量e (e z 0)以及与e 共线的非零向量叫做直线 I 的方向向量. 知识点二平面的法向量n 丄a,此时，我们把向量 n 叫做平面a 的法向量. 思考 1. 平面的法向量有无数个，它们之间有何关系? 答案相互平行.2.一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等? 答案 不惟一，它们相互平行，但不一定相等.歹题型探究题型一 直线的方向向量及其应用例1设直线X 的方向向量为a = (1,2, - 2)，直线l 2的方向向量为b = (-2,3, m)，若^丄^, 则 m = _______ . 答案 2解析 由题意，得 a 丄 b ,所以 a b = (1,2,- 2) (-2,3, m)=- 2+ 6 — 2m = 4 — 2m = 0,所以 m = 2.反思与感悟 若h 丄—，则I1与I2的方向向量垂直；若 h 〃丨2,则h 与I2的方向向量平行.第3朮喘冊向诫与花体儿何3.2空间向量的应用如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 a,那么称向量n 垂直于平面 a,记作2会用待定系数法求平面的法向重点突破跟踪训练1若直线l i , I 2的方向向量分别是 a = (1 , - 3,— 1), b = (8,2,2)，贝U l i 与I ?的位置关系是 答案垂直 解析 因为 a b = (1, — 3, — 1) (8,2,2) = 8— 6— 2 = 0,所以 a 丄 b ,从而 h 丄 题型二求平面的法向量例2如图所示，在四棱锥 S — ABCD 中，底面是直角梯形，/ ABC 1=90° SA 丄底面 ABCD ，且SA = AB = BC = 1 , AD =刁 建立适当的 空间直角坐标系，求平面 SCD 与平面SBA 的一个法向量.解如图，以A 为原点，以AD , AB , AS 分别为x , y , z 轴的正方向 建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0), D(1, 0,0), C(1,1,0), S(0,0,1),~》 1则 DC = (^, 1,0),T1DS = (— 2，0,1).T 1易知向量AD =(2，0,0)是平面SAB 的一个法向量. 设n = (x , y , z)为平面SDC 的法向量,T 1 n DC = 2x + y = 0,则T1n DS = — §x + z = 0, 取 x = 2，贝y y =— 1, z = 1,•••平面SDC 的一个法向量为(2,— 1,1). 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤: (1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC , AB ;(2) 设平面的法向量为 n = (x , y , z);n AC = 0,(3) 联立方程组T并求解;[n AB = 0,y = — 2x , 即 1z= ?x.(常数不能(4) 所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数为0)便可得到平面的一个法向量.跟踪训练2 已知A(1,0,1), B(0,1,1), C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量.解设平面ABC的法向量为n= (x, y, z),由题意知A B= (—1,1,0), B C=(1,0,—1)., , n A B=—X+ y = 0,t n 丄AB, n 丄BC, /•n BC= x—z= 0,x = y,解得令x= 1,则y= z= 1.x = z.•••平面ABC的一个法向量为n= (1,1,1).题型三证明平面的法向量例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E, F分别是BB1, CD的中点.求证：D?F是平面ADE的法向量.证明如图，以D为坐标原点，DA, DC , DD1分别为x, y, z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则1 1D(0,0,0), D1(0,0,1), A(1,0,0) , E(1,1 , 2), F(0, Q, 0),所以A D = (—1,0,0) , D?F = (0 , 2, —1),f 1AE = (0,1 , Q),~f ~f 1所以AD D1F = (—1,0,0) (• , 2 , —1) = 0 ,f f 1 1AE D1F = (0,1, 2)(0 , 2 , —1) = 0 ,所以A D丄D T F , A E丄D T F ,又AD n AE = A , 所以D1F丄平面ADE ,从而D i F是平面ADE的法向量.反思与感悟用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.跟踪训练3 已知正方体ABCDA i B i C i D i的棱长为1,在BC、DD i上是否存在点E、F，使B i E是平面ABF的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在,请说明理由.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1), B(1,1,1), B i(1,1,0),设F(0,0, h), E(m,1,1),则AB = (0,1,0), E h E = (m—1,0,1), F A= (1,0,1 —h).T AB E h E= 0, ••• AB 丄E1E.若吐是平面ABF 的法向量，则E?E F A= m—1+ 1—h= m—h= 0, ••• h = m.即卩E、F满足D1F = CE时，B1E是平面ABF的法向量.故存在，且E、F满足D1F = CE.易错点利用向量法判断直线与平面平行例4 已知u是平面a的一个法向量，a是直线I的一个方向向量，若u = (3,1,2) ,a= (—2,2,2),则I与a的位置关系是__________ .错解因为u a = (3,1,2)(亠2,2,2)=3 X (—2) + 1X 2+ 2 X 2 = 0,所以u丄a,所以I //a错因分析错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别. 实际上，本例中由向量u丄a可得I? a或I // a正解因为u a = (3,1,2) (—2,2,2)=3 X (—2) + 1X 2+ 2 X 2 = 0.所以u丄a,所以I? a或I// a答案I? a或I // a自查自纠1 .已知a = (2,4,5), b= (3, x, y)分别是直线l i、|2的方向向量•右11 / S,贝V x = ____________y= ________ .答案6 15解析由l i/ I2得,3 = 4= 5解得x= 6, y= 152. 在正方体ABCD —A i B i C i D i的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A iB i CD的法向量的是_______________________ .答案AD i或C T B或D T A或BC i3. 若a= (i,2,3)是平面丫的一个法向量，贝U下列向量中能作为平面丫的法向量的是________①(0,i,2) ②(3,6,9) ③(—I , - 2,3) ④(3,6,8)答案② 解析向量(i,2,3)与向量(3,6,9)共线.I …4. ____________________________________________________________________________ 若直线I // a,且I的方向向量为(2, m,i)，平面a的法向量为(I , 0, 2),则m= ______________________答案—8I解析■/ I // a,平面a的法向量为(I , 2 2), •- (2 , m,i) •, 2, 2) = 0.I二 2 + 尹+ 2= O.「. m =—8.5. 在直三棱柱ABC —A i B i C i中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是 ________ .(填序号)①AB :②总仁③弗：④A1C I.答案②③ 解析•/ AA i丄平面ABC , B i B±平面ABC, ••• AA i与B i B可以作为平面ABC的法向量. 「课堂小结-----------------------I. 直线的方向向量的应用利用方向向量可以确定空间中的直线•若有直线I，点A为直线上的点，向量a是I的方向t,使AP = tAB,这I上的任意点.向量，在直线I上取AB = a，则对于直线I上任意一点P,—定存在实数样，点A和向量a不仅可以确定直线I的位置还可以具体地表示出直线2. 平面的法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解, 一般步骤如下：(1) 设出平面的法向量为n= (x, y, z).(2) 找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a= (a i, b i, C i), b= (a2, b2, C2).|n a= 0,(3) 根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组|n b= 0.(4) 解方程组，取其中的一组解，即得法向量.。

第2课时 空间向量与垂直关系[学习目标] 1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系．知识点 空间垂直关系的向量表示题型一 证明线线垂直问题例1 如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．求证：EF ⊥BC .证明 由题意，以点B 为坐标原点，在平面DBC 内过点B 作垂直于BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过点B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B (0,0,0)，A (0，－1，3)，D (3，－1,0)，C (0,2,0)，因而E (0，12，32)，F (32，12，0)，所以EF →＝(32，0，－32)，BC →＝(0,2,0)，因此EF →·BC →＝0.从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，垂足为A ，AB ⊥AD 于A ，AC ⊥CD 于C ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证AE ⊥CD .证明 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则A (0,0,0)，P (0,0,1)． ∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形． ∴C (12，32，0)，E (14，34，12)．设D (0，y,0)，由AC ⊥CD 得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D (0，233，0)，∴CD →＝(－12，36，0)．又AE →＝(14，34，12)，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD . 题型二 证明线面垂直问题例2 如图所示，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 方法一 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)， E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)． AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． 而EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2) ＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，AB 1⊂平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .方法二 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵ AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1， 同理，EF ⊥B 1C .又AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1⊂平面B 1AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .反思与感悟 本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .证明 方法一 如图取D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2， 则O (1,1,0)，A 1(2,0,2)， G (0,2,1)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，∴OA 1→＝(1，－1,2)，OB →＝(1,1,0)，BG →＝(－2,0,1)， 而OA 1→·OB →＝1－1＋0＝0，OA 1→·BG →＝－2＋0＋2＝0.∴OA 1→⊥OB →，OA 1→⊥BG →， 即OA 1⊥OB ，OA 1⊥BG ，而OB ∩BG ＝B ，∴OA 1⊥平面GBD .方法二 同方法一建系后，设面GBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧BG →·n ＝0BD →·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋z ＝0－2x －2y ＝0， 令x ＝1得z ＝2，y ＝－1，∴平面GBD 的一个法向量为(1，－1,2)， 显然A 1O →＝(－1,1，－2)＝－n ， ∴A 1O →∥n ，∴A 1O ⊥平面GBD . 题型三 证明面面垂直问题例3 如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .证明 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E (12，12，12)，连接AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为(12，12，0)．因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝(0,0，12)，所以OE →＝12AS →，所以OE →∥AS →.又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .反思与感悟 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．跟踪训练3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .解 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E (0,0，12)，故AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)．设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n ＝(1,1,0)． 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0.令c＝4，得a＝1，b＝－1.故n2＝(1，－1,4)．因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于()A．5 B．4 C．－4 D．－5答案 D解析∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于() A．－2 B．2 C．6 D．10答案 D解析∵l1⊥l2，∴a·b＝0，∴－2×3－2×2＋m＝0，∴m＝10.3．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)答案 A解析∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，∴n1·n2＝0，故选A.4．若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为()A．l与α斜交B．l⊂αC．l∥αD．l⊥α答案 D解析∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0，－2)，∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.5．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________. 答案－4解析∵α⊥β，∴a·b＝0，∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.1.利用空间向量解决立体几何问题的“三个基本步骤”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明．。

3.2.2空间线面关系的判定1．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(重点) 2．向量法证明空间平行与垂直．(重点、难点)3．向量法证明线面平行．(易错点)[基础·初探]教材整理向量法判定线面关系阅读教材P101例1以上的部分，完成下列问题．设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( )(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．【解析】 ∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2. 【答案】 垂直3．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．【解析】 ∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α. 【答案】 垂直4．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________. 【导学号：09390083】 【解析】 ∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β. 【答案】 平行[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]11111AC ，A 1C 1的中点，求证：图3-2-7(1)BO 1∥OD 1； (2)BO 1∥平面ACD 1； (3)平面A 1BC 1∥平面ACD 1. 【精彩点拨】画图→建系→求相关点坐标→求相关向量坐标→判断向量关系→确定线面关系【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有：D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2，2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，O 1(1,1,2)，O (1,1,0)．(1)由上可知BO 1→＝(－1，－1,2)，OD 1→＝(－1，－1,2)， ∴BO 1→＝OD 1→，∴BO 1→∥OD 1→，又直线BO 1与OD 1无公共点，∴BO 1∥OD 1.(2)法一：由上可知，AC →＝(－2,2,0)，AD 1→＝(－2,0,2)， ∴BO 1→＝－12AC →＋AD 1→， ∴BO 1→，AC →，AD 1→共面，∴BO 1→∥平面ACD 1，又BO 1⊄平面ACD 1， ∴BO 1∥平面ACD 1.法二：设平面ACD 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2y ＝0，－2x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴BO 1→·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝0， ∴BO 1→⊥n .又∵BO 1⊄平面ACD 1， ∴BO 1∥平面ACD 1.(3)法一：∵BC 1→＝(－2,0,2)，AD 1→＝(－2,0,2)， ∴BC 1→∥AD 1→，又BC 1与AD 1不重合， ∴BC 1∥AD 1，又BC 1⊄平面ACD 1， ∴BC 1∥平面ACD 1.又由(1)知，BO 1∥平面ACD 1.∵BC 1，BO 1⊂平面A 1BC 1，且BC 1∩BO 1＝B ， ∴平面A 1BC 1∥平面ACD 1.法二：设平面A 1BC 1的一个法向量为n ′＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ′·A 1B →＝0，n ′·BC 1→＝0，可求得n ′＝(1,1,1)，∴n ′＝n ，∴平面ACD 1∥平面A 1BC 1.1．证明线面平行常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面． (2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行． (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 2．证明面面平行常用的方法(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面． (2)证明两个平面的法向量平行．(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．[再练一题]1．如图3-2-8所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点，求证：MN ∥平面A 1BD .图3-2-8【证明】 法一：如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)． 设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，从而可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)， ∴MN →·n ＝0，∴MN →⊥n .∵MN ⊄平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .法二：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→.∵MN ⊄平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .法三：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12D 1A 1→－12D 1D →＝12(DB →＋BA →)－12(D 1A 1→＋A 1D →)＝12DB →＋12BA →－12D 1A 1→－12A 1D →＝12DB →＋12DA 1→＋12(BA →－DA →)＝12DB →＋12DA 1→＋12BD →＝12DA 1→＋0·DB →，∴MN →可用DA 1→与DB →线性表示，故MN →与DA 1→和DB →是共面向量，∵MN ⊄平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝图3-2-9 AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.【精彩点拨】建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系【自主解答】AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴C⎝⎛⎭⎪⎫12，32，0，E⎝⎛⎭⎪⎫14，34，12.设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得AC→·CD→＝0，即y＝233，则D⎝⎛⎭⎪⎫0，233，0，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1. 又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n . ∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；(2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．[再练一题]2．在例2中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．【解】 由例2，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例2知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m ⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .[探究共研型]【提示】 向量法判定线面关系与传统法比较起来，优点在于：以算代证，用定量计算代替了定性分析，避免了繁琐的逻辑论证过程，对视图能力、空间想象能力要求稍低，降低了解决问题的难度．探究2 用向量方法证明平行、垂直问题的一般步骤是什么？ 【提示】 (1)建立空间图形与空间向量的联系； (2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题．探究3向量方法如何解决与平行、垂直有关的探究问题？【提示】在立体几何中，经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立，或某一结论成立时需要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题．这些问题都属探索性问题，解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难，我们借助向量将“形”转化为“数”，把点、线、面的位置数量化，通过对代数式的运算就可得出相应的结论．这样可以把许多几何问题进行类化，公式化，使问题的解决变得有“法”可依，有路可寻．如图3-2-10所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．图3-2-10(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面P AC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面P AC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．【精彩点拨】根据条件建立空间直角坐标系，把空间线面的位置关系问题转化为向量间的关系问题，通过向量的计算得出结论．【自主解答】(1)证明：连结BD，设AC交BD于O，则AC⊥BD.由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设底面边长为a ，则高SO ＝62a ，于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，OC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0，故OC ⊥SD ，从而AC⊥SD .(2)棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC .理由如下：由已知条件知DS →是平面P AC 的一个法向量，且DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0，设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a (1－t )，62at ，而BE →·DS →＝0，∴－12a 2＋32a 2t ＝0，∴t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →. 而BE 不在平面P AC 内，故BE ∥平面P AC . [再练一题]3．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．图3-2-11【解】 假设在线段AB 上存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ，建立如图所示的空间直角坐标系．设AC ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，c 2，A (a,0,0)，A 1(a,0，c )，B (0，b,0)．设M (x 0，y 0,0)，且0≤x 0≤a,0≤y 0≤b ，则DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 2，c 2，CA 1→＝(a,0，c )，CM →＝(x 0，y 0,0)，设平面A 1MC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·CA 1→＝ax ＋cz ＝0，n ·CM →＝x 0x ＋y 0y ＝0，令x ＝1，则z ＝－a c ，y ＝－x 0y 0，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－x 0y 0，－a c .若DE ∥平面A 1MC ，则n ·DE →＝bx 02y 0－a 2＝0，即bx 0－ay 0＝0.①又AM →＝λMB →，即(x 0－a ，y 0,0)＝λ(－x 0，b －y 0,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－a ＝λ(－x 0)，y 0＝λ(b －y 0)，解得bx 0＋ay 0－ab ＝0.② 由①②解得x 0＝a 2，y 0＝b 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，0，所以存在点M 为线段AB 的中点时，使DE ∥平面A 1MC .[构建·体系]1．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是________(填序号)．①n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1)；②n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1)；③n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1)；④n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2)．【解析】 两个平面垂直时，其法向量也垂直，只有①中的两个向量垂直． 【答案】 ①2．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________.【解析】由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0，解得x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 【答案】 (－64，－26，－17)3．两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1与l 2的位置关系是________．【解析】 ∵v 2＝－2v 1，∴v 1∥v 2，又l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. 【答案】 平行4．下列命题中，正确的是________(填序号)．①若n 1，n 2分别是平面α，β的一个法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β ⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的一个法向量，a 与平面α共面，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 【解析】 ②③④一定正确，①中两平面有可能重合． 【答案】 ②③④5．如图3-2-12, 在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .图3-2-12【证明】 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.∴PB →＝(1,1，－1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF→＝(x ，y ，z －1)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －12，z －12.∵EF →⊥PB →，∴x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫z －12＝0，即x ＋y －z ＝0.①又∵PF →∥PB →，可设PF →＝λPB →，∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－16，16.(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DE →＝0⇒12y 1＋12z 1＝0，n 1·EB →＝0⇒x 1＋12y 1－12z 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝z 1，y 1＝－z 1.取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)． ∵P A →＝(1,0，－1)，∴P A →·n 1＝0. 又∵P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB .(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0⇒13x 2－16y 2＋16z 2＝0，n 2·DE →＝0⇒12y 2＋12z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝－z 2.取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)，∴PB →＝－n 2. ∴PB →∥n 2，∴PB ⊥平面EFD .我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若两平面α，β的法向量分别为u ＝(2，－3,4)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，－43，则α与β的位置关系是________．【解析】 ∵u ＝－3ν，∴u ∥ν，∴α∥β. 【答案】 平行2．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．【解析】 ∵α⊥β，∴－x －2－8＝0，∴x ＝－10. 【答案】 －103．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，则B 1C 与平面ODC 1的关系是________. 【导学号：09390084】【解析】 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →，∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又∵B 1C 不在平面ODC 1内，∴B 1C ∥平面ODC 1.【答案】 平行4．若AB →＝λCD →＋μCE →(λ，μ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．【解析】 ∵AB →＝λCD →＋μCE →(λ，μ∈R )，∴AB →与CD →，CE →共面，∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE .【答案】 AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )等于________．【解析】 AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4.BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP →·BC →＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，46．如图3-2-13，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1B 1上任意一点，则DP 与BC 1始终________(填“垂直”或“平行”)．图3-2-13【解析】 因为DP →·C 1B →＝(DA 1→＋A 1P →)·C 1B →＝(CB 1→＋A 1P →)·C 1B →＝CB 1→·C 1B →＋A 1P →·C 1B →＝A 1P →·C 1B →＝A 1P →·(C 1C →＋CB →)＝A 1P →·C 1C →＋A 1P →·CB →＝0，所以DP →⊥C 1B →，即DP 与BC 1始终垂直． 【答案】 垂直7．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是________三角形．【解析】 求得AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，因为AC →·BC →＝0，所以AC →⊥BC →，所以△ABC 是直角三角形．【答案】 直角8．如图3-2-14所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点，则AM 与PM 的位置关系为________．图3-2-14【解析】 以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，依题意，可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)，M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)，AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)，∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .【答案】 垂直 二、解答题9．已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PD ⊥底面ABCD ，图3-2-15且PD ＝DA ＝CD ＝2AB ＝2，M 点为PC 的中点． (1)求证：BM ∥平面P AD ；(2)在平面P AD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD .【解】 (1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，CD ⊥AD .所以以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D -xyz (如图所示)．由于PD ＝CD ＝DA ＝2AB ＝2，所以D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，M (0,1,1)，所以BM →＝(－2,0,1)，DC →＝(0,2,0)，因为DC ⊥平面P AD ，所以DC →是平面P AD 的法向量，又因为BM →·DC →＝0，且BM ⊄平面P AD ，所以BM ∥平面P AD .(2)设N (x,0，z )是平面P AD 内一点，则MN →＝(x ，－1，z －1)，DP →＝(0,0,2)，DB →＝(2,1,0)，若MN ⊥平面PBD ，则⎩⎪⎨⎪⎧2(z －1)＝0，2x －1＝0，即⎩⎨⎧x ＝12，z ＝1，所以在平面P AD内存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，使MN ⊥平面PBD .10．如图3-2-16所示，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：图3-2-16(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .【证明】 以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，(1)法一：令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量， 则⎩⎨⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)． ∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM →，又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD . 法二：∵PD →＝(0,1，－2)，P A →＝(23，4，－2)， 令CM →＝xPD →＋yP A →，则⎩⎪⎨⎪⎧32＝23y ，0＝x ＋4y ，32＝－2x －2y ，方程组有解为⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝14，∴CM →＝－PD →＋14P A →，由共面向量定理知CM →与PD →，P A →共面．又∵CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .(2)取AP 的中点E ，连结BE ，则E (3，2,1)， BE →＝(－3，2,1)， ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A ， ∴BE ⊥平面P AD .又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .[能力提升]1．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是________________．【导学号：09390085】【解析】 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线．又AB →与CD →没有公共点．∴AB ∥CD .【答案】 平行2.如图3-2-17，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．图3-2-17【解析】 以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，平面PBC的一个法向量n ＝(0,1,1)．∵EF →＝－12n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面PBC . 【答案】 垂直3．已知空间两点A (－1,1,2)，B (－3,0,4)，直线l 的方向向量为a ，若|a |＝3，且直线l 与直线AB 平行，则a ＝________.【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，∵AB →＝(－2，－1,2)，且l 与AB 平行，∴a ∥AB →， ∴x －2＝y －1＝z 2，∴x ＝2y ，z ＝－2y . 又∵|a |＝3，∴|a |2＝x 2＋y 2＋z 2＝4y 2＋y 2＋4y 2＝9，∴y ＝±1，∴a ＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．【答案】 (2,1，－2)或(－2，－1,2)4．如图3-2-18所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝a ，∠ABC ＝60°，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE ＝a ，点M 在线段EF 上．当EM 为何值时，AM ∥平面BDF ？证明你的结论．图3-2-18【解】 法一：当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，以点C 为原点，CA ，CB ，CF 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，B (0，a,0)，A (3a,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，－12a ，0，F (0,0，a )，E (3a,0，a )，因为AM ⊄平面BDF ，所以AM ∥平面BDF ⇔AM →与FB →，FD →共面，所以存在实数m ，n ，使AM →＝mFB →＋nFD →，设EM →＝tEF →.因为EF →＝(－3a,0,0)，EM →＝(－3at,0,0)，所以AM →＝AE →＋EM →＝(－3at,0，a )，又FD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，－a ，FB →＝(0，a ，－a )，从而(－3at,0，a )＝m (0，a ，－a )＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，－a成立，需⎩⎪⎨⎪⎧－3at ＝32an ，0＝ma －12an ，a ＝－am －an ，解得t ＝13，所以当EM＝33a 时，AM ∥平面BDF .法二：当EM＝33a时，AM∥平面BDF，在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连结FN，则CN∶NA＝1∶2，因为EM＝33a，而EF＝AC＝3a，所以EM∶MF＝1∶2，所以MF綊AN，所以四边形ANFM是平行四边形，所以AM∥NF，又因为NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，所以AM∥平面BDF.。