高中数学经典解题技巧和方法平面向量

高中数学中的平面向量向量共线与垂直关系的判断技巧在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，而判断向量之间的关系则是解题中常见的问题之一。

其中，向量共线与垂直关系的判断是我们需要掌握的技巧之一，本文将介绍判断向量共线和垂直关系的方法和技巧。

1. 向量共线的判断向量的共线性是指两个或多个向量方向相同或相反的性质。

在判断向量共线性的过程中，我们可以使用以下两种方法：1.1 向量比值法向量a和向量b共线的充分必要条件是它们对应分量成比例。

设向量a=(x1, y1)，向量b=(x2, y2)，可以使用以下公式得到向量a向量b的比值：k = x1 / x2 = y1 / y2如果比值k存在，说明向量a和向量b共线；如果k不存在，则向量a和向量b不共线。

1.2 行列式法向量a和向量b共线的充分必要条件是它们的行列式值为0。

设向量a=(x1, y1)，向量b=(x2, y2)，则判断它们共线的条件为：|x1 y1||x2 y2| = 0如果行列式值为0，那么向量a和向量b共线；反之，如果行列式值不为0，则向量a和向量b不共线。

2. 向量垂直关系的判断向量的垂直关系是指两个向量之间的夹角为90°的性质。

判断向量垂直关系的方法有以下几种：2.1 向量点积法向量a和向量b垂直的充分必要条件是它们的点积为0。

设向量a=(x1, y1)，向量b=(x2, y2)，则判断它们垂直的条件为：a·b = x1 * x2 + y1 * y2 = 0如果点积为0，说明向量a和向量b垂直；反之，如果点积不为0，则向量a和向量b不垂直。

2.2 向量坐标法向量a和向量b垂直的充分必要条件是它们的坐标满足以下关系：x1 * x2 + y1 * y2 = 0如果坐标满足该关系，说明向量a和向量b垂直；反之，如果不满足该关系，则向量a和向量b不垂直。

3. 案例分析下面通过一个具体的案例来演示如何运用判断技巧。

案例：向量a=(3, 2)，向量b=(4, -6)，判断向量a和向量b的关系。

高中数学平面向量中的常见问题解析在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，也是许多学生在学习中遇到的难题。

本文将对高中数学平面向量中的常见问题进行解析，帮助学生更好地理解和应用该知识点。

一、向量的表示和运算在解析几何中，向量可以用有序数对表示。

例如，向量AB可以表示为向量→AB或者向量a，其中→AB=(x,y)或者a=(x,y)。

向量的运算包括加法、减法、数乘等。

向量的加法满足交换律和结合律，即若→AB+(→CD+→EF)=→AB+→CD+→EF。

二、向量的数量积向量的数量积也叫点积，用符号·表示。

数量积满足交换律和分配律，即→AB·→CD=→CD·→AB。

数量积的计算方法为：→AB·→CD=|→AB||→CD|cosθ，其中|→AB|和|→CD|分别表示向量→AB和→CD的模，θ表示两个向量的夹角。

三、向量的向量积向量的向量积也叫叉积，用符号×表示。

向量积的结果是一个向量，它的模长等于被乘向量的模与夹角的正弦乘积。

向量积的计算方法为：→AB×→CD=|→AB||→CD|sinθn，其中|→AB|和|→CD|分别表示向量→AB和→CD的模，θ表示两个向量的夹角，n为单位法向量。

四、平面向量的应用平面向量在几何中有广泛的应用。

常见的问题包括：向量共线、向量垂直、向量平行和向量的投影等。

1. 向量共线问题若两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的。

可以通过判断两个向量的比例关系来确定它们是否共线。

2. 向量垂直问题若两个向量的数量积为零，则它们是垂直的。

可以通过计算两个向量的数量积来判断它们是否垂直。

3. 向量平行问题若两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行的。

可以通过判断两个向量的比例关系来确定它们是否平行。

4. 向量的投影问题向量的投影表示一个向量在另一个向量上的投影长度。

可以通过计算向量的数量积和模长来求解向量的投影。

五、解题技巧和注意事项在解决高中数学平面向量中的问题时，有一些技巧和注意事项可以帮助学生更好地理解和应用知识点。

高中数学必备技巧平面向量的共线与垂直性质高中数学必备技巧：平面向量的共线与垂直性质在高中数学学习中，平面向量是一个重要的概念，它能够帮助我们更好地理解空间中的几何问题。

平面向量不仅有方向和大小，还有一些特殊的性质，其中包括共线与垂直性质。

本文将重点介绍平面向量的共线与垂直性质，并提供一些解题技巧。

一、共线性质1. 定义：设有两个非零向量a和b，如果存在实数k，使得a=kb，那么我们称向量a和b共线。

2. 共线判定：有两种判定方式可以确定向量的共线性：a) 坐标判定法：设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量b的坐标表示为(b₁, b₂)，则向量a和b共线的充要条件是a₁/b₁ = a₂/b₂。

b) 分向量判定法：设向量a的两个分向量为a₁和a₂，向量b的两个分向量为b₁和b₂，则向量a和b共线的充要条件是a₁/b₁ =a₂/b₂。

3. 共线向量的性质：如果向量a和b共线，则存在实数k，使得a=k(b₁, b₂)。

这意味着共线的向量具有相同的方向（平行或反平行）。

解题技巧：a) 确定向量的坐标或分向量，并利用坐标判定法或分向量判定法来判断是否共线。

b) 如果两向量的坐标或分向量比例相等，则可直接判断它们共线。

二、垂直性质1. 定义：设有两个非零向量a和b，如果a·b = 0，即它们的数量积为零，那么我们称向量a和b垂直。

2. 垂直判定：有两种判定方式可以确定向量的垂直性：a) 坐标判定法：设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量b的坐标表示为(b₁, b₂)，则向量a和b垂直的充要条件是a₁b₁ + a₂b₂ = 0。

b) 分向量判定法：设向量a的两个分向量为a₁和a₂，向量b的两个分向量为b₁和b₂，则向量a和b垂直的充要条件是a₁b₁ +a₂b₂ = 0。

3. 垂直向量的性质：如果向量a和b垂直，则它们的夹角为90°。

具体而言，如果向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量b的坐标表示为(b₁, b₂)，则向量a和b垂直的充要条件是a₁b₁ + a₂b₂ = 0。

高中三年数学掌握解析几何中的空间直线方程与平面方程求解技巧解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质及其相互关系。

在高中数学中，解析几何是一个重要的内容，学生需要掌握各种几何图形的方程求解技巧。

本文将重点探讨高中三年数学中解析几何中的空间直线方程与平面方程求解技巧，并分享一些实用的技巧和方法。

一、空间直线方程求解技巧在解析几何中，空间直线是由两个不重合的点确定的。

我们可以通过已知的条件来确定空间直线的方程，以下是几个常见情况的求解技巧：1.已知直线上一点和方向向量如果我们已知空间直线上的一点A和方向向量v，那么我们可以通过以下公式求解直线的方程：$$\begin{cases}x=x_0+tv_1 \\y=y_0+tv_2 \\z=z_0+tv_3 \\\end{cases}$$其中，$(x_0,y_0,z_0)$是直线上的一点A的坐标，$(v_1,v_2,v_3)$是直线的方向向量，t是参数。

通过该公式，我们可以方便地求解空间直线的方程。

2.已知直线上两点如果我们已知空间直线上的两个不重合的点A和B，那么我们可以通过以下公式求解直线的方程：$$\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{z-z_0}{z_1-z_0} $$其中，$(x_0,y_0,z_0)$和$(x_1,y_1,z_1)$分别是直线上的两个点A 和B的坐标。

通过该公式，我们可以方便地求解空间直线的方程。

二、平面方程求解技巧在解析几何中，平面是由三个不共线的点确定的。

我们可以通过已知的条件来确定平面的方程，以下是几个常见情况的求解技巧：1.已知平面上一点和法向量如果我们已知平面上的一点A和法向量n，那么我们可以通过以下公式求解平面的方程：$$n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0$$其中，$(x_0,y_0,z_0)$是平面上的一点A的坐标，$(n_1,n_2,n_3)$是平面的法向量。

平面向量几何法解题技巧平面向量几何法是高中数学中的一项重要内容，它可以解决各种几何问题，包括线的垂直、平行、中点、角平分线等等。

本文将介绍平面向量几何法的基本概念、解题技巧以及应用实例，希望对读者有所帮助。

一、平面向量的基本概念平面向量是代表平面上的一定方向和大小的量，由一个有向线段和箭头来表示。

它可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x方向和y方向上的分量。

向量的大小表示为模长，一般用||AB||表示，其中AB 为向量的有向线段。

模长可以使用勾股定理计算：||AB||=√(a²+b²).向量的方向表示为方向角，它与x轴正方向的夹角记为α（0°≤α＜360°或0≤α＜2π），可以使用以下公式计算：α＝arctan(b/a) (a＞0)α＝π+arctan(b/a) (a＜0, b≥0)α＝-π+arctan(b/a) (a＜0, b＜0)α＝π/2 (a=0, b＞0)α＝-π/2 (a=0, b＜0)二、平面向量几何法的解题技巧1. 向量的加减两个向量的加法表示以一个向量为起点，以另一个向量为终点的有向线段，公式为：AB+BC=AC。

两个向量的减法则表示从一个向量的终点到另一个向量的起点的有向线段，例如：AC-AB=BC。

2. 向量的数量积向量的数量积是一个纯量（一个数），记作a·b，它定义为a和b的模长的乘积与它们夹角的余弦值的积，也就是a·b=||a||·||b||·cosα。

向量的数量积还可以用来求两个向量之间的夹角，公式为cosα=a·b/||a||·||b||。

3. 向量的叉积向量的叉积是一个向量，它表示的是由两个向量围成的平行四边形的面积和方向。

公式为：a×b=||a||·||b||·sinα·n，其中n为满足右手定则的单位向量，其方向与两个向量所在平面垂直，且a、b、n 组成一个右手系。

高中数学平面向量模长解题技巧引言：在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，涉及到平面几何、解析几何以及物理等多个领域。

而平面向量的模长是其中一个基本的概念，它代表了向量的长度或大小。

本文将介绍一些高中数学中常见的平面向量模长解题技巧，帮助学生更好地理解和应用这一概念。

一、模长的定义和性质模长是平面向量的一个重要性质，它可以通过向量的坐标表示或几何方法求解。

对于一个平面向量$\vec{AB}$，其模长记作$|\vec{AB}|$或$AB$，表示向量的长度或大小。

模长的计算公式为：$$|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$其中$(x_A,y_A)$和$(x_B,y_B)$分别是向量起点$A$和终点$B$的坐标。

模长具有以下性质：1. 非负性：模长始终大于等于零，即$|\vec{AB}|\geq 0$。

2. 零向量的模长为零：对于零向量$\vec{0}$，其模长为$|\vec{0}|=0$。

3. 向量的模长与方向无关：向量的模长与其方向无关，只与向量的起点和终点有关。

二、模长解题技巧1. 利用坐标计算模长当向量的起点和终点的坐标已知时，可以直接利用模长的计算公式求解。

例如，已知向量$\vec{AB}$的起点$A(2,3)$和终点$B(5,7)$，求向量$\vec{AB}$的模长。

解答：根据模长的计算公式，可得：$$|\vec{AB}|=\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$因此，向量$\vec{AB}$的模长为5。

2. 利用几何性质计算模长在某些情况下，可以利用几何性质来计算向量的模长。

例如，已知三角形$ABC$的顶点$A(1,2)$、$B(4,6)$和$C(7,2)$，求向量$\vec{AB}$和$\vec{AC}$的模长。

解答：根据模长的定义，可以利用两点之间的距离公式求解。

首先计算向量$\vec{AB}$的模长：$$|\vec{AB}|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$然后计算向量$\vec{AC}$的模长：$$|\vec{AC}|=\sqrt{(7-1)^2+(2-2)^2}=\sqrt{36}=6$$因此，向量$\vec{AB}$的模长为5，向量$\vec{AC}$的模长为6。

高中数学向量题型和解题方法由于向量集数形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，因此关于向量问题的解题方法自然也就多彩多样，解决向量问题时我们应该从多个维度去思考，哪种方法简单，我们就选择哪种方法。

今天我们就从五个方面：利用基本定义求解、利用基底求解、利用坐标或建立坐标系求解、利用几何法求解、利用代数法求解等分别介绍平面向量的解题方法和策略。

只有掌握了所有的这些方法，对于向量的学习才会真正做到融会贯通。

一、利用基本定义求解为了提高和培养孩子的数学学习兴趣，可让孩子读读这本书：二、利用基底求解基底法就是指利用平面向量基本定理，将所求向量转化为已知的两个不共线向量来求解问题。

注意：如果图形中有向量垂直，我们就以互相垂直的向量作为基底。

三、利用坐标或建立坐标系求解利用坐标或建立坐标系求解就是建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解。

实际上，坐标法具有天然的优势，有时能轻松解决较为复杂的问题，特别是后面我们要学习的向量在立体几何中的应用。

四、利用几何法求解几何法就是把向量问题利用平面几何的思想和方法，转化为几何问题。

这就需要我们对所学习的平面几何基本图形性质十分清楚。

我们学习到的基本平面图形主要有三角形、四边形、圆、椭圆、双曲线、抛物线等。

每种图形的基本定义、定理、性质甚至推论我们都要了如指掌，转化使用时才会得心应手。

五、利用代数法求解所谓代数法就是将题目中的已知条件和所求结论，利用代数的方法，通过代数运算解决问题。

比如我们学过的完全平方、基本不等式、函数解析式等，通过转化，在这里都会有很巧妙的应用。

以上就是高中数学向量题型和解题方法。

高中数学向量题型详解和解答技巧在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有着广泛的应用，而且在物理等其他学科中也具有重要的作用。

掌握好向量的性质和运算规则，对于解答数学题目至关重要。

本文将详细解析高中数学中的向量题型，并给出解答技巧，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。

一、向量的基本概念和性质在开始解答向量题目之前，我们首先需要了解向量的基本概念和性质。

向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

向量的大小叫做向量的模，通常用|AB| 或 ||AB|| 表示。

向量的方向可以用有向线段的方向来表示，也可以用角度来表示。

在向量的运算中，我们常常会用到向量的加法、减法和数量乘法。

向量的加法满足交换律和结合律，即 A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)；向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即 A-B=A+(-B)；向量的数量乘法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA。

二、向量的坐标表示和运算在解答向量题目时，我们通常会用坐标表示向量。

对于平面上的向量，我们可以用两个有序实数表示，称为向量的坐标。

例如，向量 AB 的坐标可以表示为 (x2-x1, y2-y1)。

在进行向量的运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。

向量的加法和减法可以直接对应坐标的加法和减法，即 (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)，(x1,y1)-(x2, y2)=(x1-x2, y1-y2)。

向量的数量乘法也可以直接对应坐标的数量乘法，即k(x, y)=(kx, ky)。

三、向量的共线和垂直性质在解答向量题目时，我们经常会遇到判断向量共线和垂直的情况。

两个向量共线的条件是它们的方向相同或相反，即向量 A=kB 或 A=-kB。

两个向量垂直的条件是它们的数量积为零，即 A·B=0。

根据共线和垂直的性质，我们可以解决一些与共线和垂直相关的题目。

例如，已知向量 A 和向量 B 的坐标分别为 (2, 3) 和 (-1, 2)，求证向量 A 和向量 B 垂直。

高中数学中常见的平面向量问题求解平面向量是高中数学中一种重要的概念，广泛运用于解决各种几何和代数问题。

在本文中，将介绍几个常见的平面向量问题，并给出详细的解题过程和方法。

一、向量的表示和运算在解决平面向量问题之前，首先需要了解向量的表示和运算方法。

平面向量通常用有序对表示，如向量AB可以表示为→AB=(x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)分别表示向量的初始点和终点。

平面向量之间可以进行加法、减法、数量乘法和向量的数量积运算。

二、向量共线和垂直1. 向量共线若两个向量→AB和→CD平行或反平行，则可以判断它们共线。

要判断两个向量共线，可以比较它们的分量比例，如果两个向量的x和y 分量的比例相等，即(x2-x1)/(y2-y1)=(x4-x3)/(y4-y3)，则可以判断两个向量共线。

2. 向量垂直若两个向量→AB和→CD垂直，则可以判断它们的数量积为0。

要判断两个向量垂直，可以计算它们的数量积，如果数量积为0，即(→AB)·(→CD)=0，则可以判断两个向量垂直。

三、向量的模和方向角1. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作|→AB|或AB。

计算向量的模可以使用勾股定理，即|→AB|=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

向量的模满足非负性和三角不等式，即|→AB|≥0，|→AB|+|→BC|≥|→AC|。

2. 向量的方向角向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角，通常用α表示。

计算向量的方向角可以使用反正切函数，即α=arctan((y2-y1)/(x2-x1))。

四、向量叉乘和面积向量叉乘是一种运算，用于求解向量之间的关系和面积。

向量→AB和→CD的叉乘可以表示为(→AB)×(→CD)，其结果是一个向量，垂直于→AB和→CD构成的平面，并且模等于两个向量的模的乘积乘以它们所夹的夹角的正弦值。

五、平面向量的应用平面向量在几何和代数问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景。

平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点，涉及面广，难度较大。

下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。

一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最大值。

（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根，即|a|=√((a_x+a_y))。

2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最小值。

（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根，即|a|=√((a_x-a_y))。

二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的夹角的最值为：1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时，它们的夹角最大，此时θ=π。

2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时，它们的夹角最小，此时θ=0。

三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b，它们的和向量c=a+b。

则向量c的模长最值为：1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最大，此时|c|=2|a|。

2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最小，此时|c|=0。

高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。

5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。

平面向量5类解题技巧(“爪子定理”、系数和(等和线)、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题)技法01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如AD =xAB +yAC 条件的应用(“爪子定理”)“爪”字型图及性质：(1)已知AB ,AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在x ,y ，使得AD =xAB +yAC 。

则B ,C ,D 三点共线⇔x +y =1当0<x +y <1，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当x +y >1，则D 与A 位于BC 两侧x +y =1时，当x >0,y >0，则D 在线段BC 上；当xy <0，则D 在线段BC 延长线上(2)已知D 在线段BC 上，且BD :CD =m :n ，则AD =n m +n AB +m m +nAC1(全国·高考真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC =3CD ，则()A.AD =-13AB +43ACB.AD =13AB -43ACC.AD =43AB +13ACD.AD =43AB -13AC 2(2023江苏模拟)如图，在△ABC 中，AN =13NC ，P 是BN 上的一点，若AP =mAB +211AC ，则实数m 的值为()A.911 B.511 C.311 D.2111(2022·全国·统考高考真题)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA =m ，CD =n ，则CB =()A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n2(全国·高考真题)在△ABC 中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足BD =2DC ，则AD =()A.23b +13c B.53c -23b C.23b -13c D.13b +23c 3(2020·新高考全国1卷·统考高考真题)已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点(如图所示)，设AB =a ，AD =b ，则EF 等于()A.12a +bB.12a -bC.12b -aD.12a +b 4(全国·高考真题)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =()A.34AB -14AC B.14AB -34AC C.34AB +14AC D.14AB +34AC 5(江苏·高考真题)设D 、E 分别是ΔABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC . 若DE =λ1AB +λ2AC (λ1,λ2为实数)，则λ1+λ2的值是技法02系数和(等和线)的应用及解题技巧近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用知识迁移如图，P 为ΔAOB 所在平面上一点，过O 作直线l ⎳AB ，由平面向量基本定理知：存在x ,y ∈R ，使得OP =xOA +yOB下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x +y 的值①若P ∈l 时，则射线OP 与l 无交点，由l ⎳AB 知，存在实数λ，使得OP =λAB 而AB =OB -OA ，所以OP =λOB -λOA ，于是x +y =λ-λ=0②若P ∉l 时，(i )如图1，当P 在l 右侧时，过P 作CD ⎳AB ，交射线OA ，OB 于C ,D 两点，则ΔOCD ∼ΔOAB ，不妨设ΔOCD 与ΔOAB 的相似比为k由P ,C ，D 三点共线可知：存在λ∈R 使得：OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +k (1-λ)OB所以x +y =kλ+k (1-λ)=k(ii )当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P ，由(i )的分析知：存在存在λ∈R 使得：OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +(1-λ)OB 所以OP =-kλOA +-(1-λ)OB于是x +y =-kλ+-k (1-λ)=-k 综合上面的讨论可知：图中OP 用OA ,OB 线性表示时，其系数和x +y 只与两三角形的相似比有关。

高中数学向量求解技巧总结向量是数学中的重要概念，应用广泛且常常出现在高中数学中。

掌握向量求解技巧对于解题非常重要。

以下是高中数学向量求解技巧的总结。

一、向量的表示方法1. 位置向量表示：设A为平面内的点，则点A与原点O之间的位移向量称为点A的位置向量，记作OA或a。

2. 坐标表示：在直角坐标系中，向量可以表示为有序实数对或有序实数n元组(a1, a2, ..., an)。

3. 单位向量表示：向量的方向相同，但长度为1，称为单位向量，常用字母u表示。

二、向量的运算法则1. 向量的加法：向量a与向量b的和称为向量c，记作c=a+b。

向量加法满足交换律、结合律和分配律。

2. 向量的数乘：向量a与实数k相乘，得到向量b，称向量b是向量a的k倍，记作b=ka。

数乘运算满足结合律和分配律。

3. 向量的减法：向量a与向量b的差称为向量c，记作c=a-b。

向量减法可以通过向量加法和数乘得到。

三、向量的性质1. 相等的向量：两个向量的模长相等且方向相同，则这两个向量相等。

2. 零向量：模长为0的向量称为零向量，用0表示，任何向量与零向量相加等于自身。

3. 反向向量：两个向量的模长相等且方向相反，则这两个向量互为反向向量，记作-a。

4. 平行向量：两个非零向量的方向相同或相反，则这两个向量平行。

5. 相互垂直的向量：两个向量的数量积为0，则这两个向量相互垂直。

四、向量的数量积1. 两个向量a与b的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦的乘积，即a·b=|a||b|cosθ。

2. 垂直向量的性质：若两个向量的数量积为0，则这两个向量相互垂直。

3. 夹角公式：根据数量积的定义可以推导出夹角公式cosθ=a·b/|a||b|。

五、向量的叉乘1. 两个向量a与b的叉乘结果记作c=a×b，得到一个新的向量c。

2. 叉乘的模长公式：|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角。

高中数学向量解题技巧必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。

下面是小编给大家整理的一些高中数学向量解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。

高二数学向量重点学习方法高二数学向量重点-向量公式：1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根号(x平方+y平方)3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)那么向量P1P2={x2-x1,y2-y1｝|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]4.向量a={x1,x2｝向量b={x2,y2｝向量a.向量b=|向量a|.|向量b|.Cosα=x1x2+y1y2Cosα=向量a.向量b/|向量a|.|向量b|(x1x2+y1y2)=————————————————————根号(x1平方+y1平方).根号(x2平方+y2平方)5.空间向量：同上推论(提示：向量a={x,y,z｝)6.充要条件：如果向量a⊥向量b那么向量a.向量b=0如果向量a//向量b那么向量a.向量b=±|向量a|.|向量b|或者x1/x2=y1/y27.|向量a±向量b|平方=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a.向量b=(向量a±向量b)平方高二数学向量重点-三角函数公式：1.万能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)2.辅助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a3.三倍角公式sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]4.积化和差sina.cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa.sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa.cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina.sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/25.积化和差sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]高考数学平面向量易错点分析1.数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。

高中数学平面向量投影与垂直分解技巧在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在物理和工程学中扮演着重要的角色。

平面向量的投影和垂直分解是解决问题的常用技巧，本文将介绍这两个技巧的应用和解题方法。

一、平面向量的投影投影是指将一个向量在某个方向上的分量。

在平面向量中，我们可以将一个向量投影到另一个向量上，以求得它在另一个向量上的分量。

举个例子，假设有两个向量a和b，我们想要求向量a在向量b上的投影。

首先，我们需要计算向量b的单位向量，记作u。

单位向量是指长度为1的向量，它的方向与原向量相同。

计算公式为u = b / |b|，其中|b|表示向量b的模。

接下来，我们可以使用向量的点乘来求向量a在向量b上的投影。

投影的计算公式为P = a · u，其中P表示向量a在向量b上的投影。

例如，假设有向量a(3, 4)和向量b(2, 1)，我们可以先计算向量b的单位向量u(2/√5, 1/√5)，然后计算投影P = a · u = (3, 4) · (2/√5, 1/√5) = (6/√5, 4/√5)。

投影的应用非常广泛，例如在力学中，我们可以将一个力向量分解为平行和垂直于某个方向的分量，以便更好地分析和计算。

二、平面向量的垂直分解垂直分解是指将一个向量分解为与另一个向量垂直的两个分量。

在平面向量中，我们可以将一个向量分解为与另一个向量垂直的两个分量，以求得它在两个方向上的分量。

举个例子，假设有两个向量a和b，我们想要将向量a分解为与向量b垂直的两个分量。

首先，我们需要计算向量b的单位向量，记作u。

接下来，我们可以使用向量的点乘和叉乘来求得两个分量。

垂直分解的计算公式为a = a1 + a2，其中a1表示向量a在向量b上的投影，a2表示向量a在与向量b垂直的方向上的分量。

投影的计算公式为a1 = a · u，分量的计算公式为a2 = a - a1。

高中数学必备技巧平面向量的数量积与向量积高中数学必备技巧：平面向量的数量积与向量积高中的数学学习中，平面向量是一个重要而基础的概念。

平面向量的数量积和向量积在解决问题和计算过程中起着至关重要的作用。

本文将介绍平面向量的数量积和向量积以及它们的应用技巧。

一、平面向量的数量积1. 定义：对于平面内的两个向量 a 和 b，数量积（又称点积或内积）的结果是一个标量，记作 a·b。

具体计算公式为：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模长（即长度），θ 表示 a 和b 之间的夹角。

通过数量积，我们可以得到向量之间的夹角大小和它们的相互关系。

2. 性质：数量积具有以下几个重要的性质：（1）a·b = b·a （数量积满足交换律）（2）a·a = |a|^2 （向量的自身与自身的数量积等于它的模长的平方）（3）如果 a·b = 0，那么 a 和 b 互相垂直（数量积为零意味着两个向量垂直）（4）如果 a·b > 0，那么 a 和 b 夹角为锐角（数量积大于零意味着两个向量的夹角为锐角）（5）如果 a·b < 0，那么 a 和 b 夹角为钝角（数量积小于零意味着两个向量的夹角为钝角）这些性质可以在解决问题中起到指导作用，帮助我们判断向量之间的关系。

二、平面向量的向量积1. 定义：平面向量的向量积（又称叉积或外积）是平面内两个向量所确定的平行四边形的有向面积。

向量积的结果是一个向量，记作 a x b。

具体计算公式为：a xb = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模长，θ 表示 a 和 b 之间的夹角，n 表示与平面同一方向的单位向量。

通过向量积，我们可以得到一个新的向量，它与给定的两个向量都垂直，并符合右手定则。

快速解决平面向量题目的技巧解决平面向量题目的技巧在学习平面向量时，很多学生常常觉得题目难以解决，因为涉及到复杂的计算和概念。

然而，只要我们掌握一些解题技巧，就能够快速解决这类问题。

本文将介绍一些快速解决平面向量题目的技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、向量的加减运算在解决平面向量题目时，向量的加减运算是非常基础也是重要的一步。

我们可以使用三角形法则或平行四边形法则来进行运算。

1. 三角形法则三角形法则适用于解决两个向量相加的问题。

即将两个向量的起点和终点相连接，构成一个三角形，那么连接起点和三角形的终点的向量就是所要求的向量。

例如，已知向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx， By)，我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。

其中，Cx = Ax + Bx，Cy = Ay + By。

2. 平行四边形法则平行四边形法则适用于解决两个向量相减的问题。

即将两个向量的起点相连，形成一个平行四边形，那么连接起点和平行四边形的对角线的向量就是所要求的向量。

例如，已知向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx， By)，我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。

其中，Cx = Ax - Bx，Cy = Ay - By。

二、向量的数量积和向量积除了向量的加减运算外，向量的数量积和向量积也是平面向量题目中常见的计算方法。

这两个概念在解决平面向量问题时非常重要。

1. 向量的数量积向量的数量积又称点积，表示为A·B。

计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角。

在解决平面向量问题时，我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们的关系，例如判断是否正交、平行或夹角大小等。

2. 向量的向量积向量的向量积又称叉积，表示为A×B。

计算公式为A×B=|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示单位法向量。

高考向量题型和解题方法
高考向量题型主要涉及向量的基本概念、运算、共线、垂直、平行、共面向量以及它们的线性运算、数量积等。

下面是向量的一些基本解题方法：
1.正确理解向量概念及运算，掌握向量加减法、数乘、数量积的
运算及性质，能用向量语言表述直线间的位置关系，并解决一些简单的实际问题。

2.理解两个向量的共线与共面向量定理，会用它们解题。

3.掌握两个向量的垂直的条件，会用它们解题。

4.掌握用平面向量数量积的坐标运算解决线性运算问题的方法。

5.理解平面向量的线性运算是平面向量背景深厚的概念之一，掌
握它所蕴涵的代数与几何的桥梁作用。

6.掌握平面向量数量积的坐标运算及几个结论：两个向量的数量
积等于它们对应坐标的乘积的和，即运用解决垂直、平行、共线等问题的工具。

通过以上方法，可以更好地解决高考向量题型。

但需要注意的是，这些方法只是一些基本的解题技巧，具体情况还需要具体分析，灵活运用。

解题技巧如何巧妙解决平面向量的模长与夹角问题在数学学科中，平面向量的模长与夹角是一个经常出现的问题。

解决这类问题，需要掌握一些巧妙的技巧和方法。

本文将介绍一些解题技巧，以帮助读者更好地解决平面向量的模长与夹角问题。

一、平面向量的模长计算技巧在计算平面向量的模长时，一些特殊的技巧可以大大简化计算过程。

首先，对于平面上的向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，其模长可以通过勾股定理来进行计算。

即模长|AB| = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)。

通过这个公式，我们可以将平面上两点的坐标代入，得到向量的模长。

其次，如果两个向量的坐标给定为A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要计算它们之间的距离，可以将两个向量相减，得到新的向量C(x2-x1, y2-y1)，然后计算向量C的模长。

即|AB| = |C| = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)。

另外，如果两个向量的坐标给定为A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要计算它们的模长平方和，可以使用平方差公式进行计算。

即|AB|² = (x2-x1)² + (y2-y1)²。

通过掌握这些计算技巧，我们可以更快速、准确地计算平面向量的模长。

二、平面向量的夹角计算技巧在计算平面向量的夹角时，可以运用一些几何和代数的技巧来解决。

首先，对于两个非零向量A和B，它们的夹角θ可以通过内积公式来计算。

即cosθ = (A·B) / (|A| |B|)，其中(A·B)表示向量A和B的内积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长。

通过这个公式，我们可以得到夹角θ的值。

其次，如果两个向量A和B的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要计算它们之间的夹角θ，可以通过求解方程来进行计算。

具体来说，在平面上建立两个以A和B为起点，长度分别为|A|和|B|的向量。

平面向量知识点总结平面向量是高中数学中的重要概念之一，是解决平面几何问题的数学工具。

本文将对平面向量的概念、运算、线性组合、共线与共面、平行与垂直、向量投影、平面的方程、向量积等知识点进行总结，并介绍一些相关的解题技巧。

一、概念1. 定义：平面向量是具有大小和方向的量，一般用有向线段表示。

2. 向量的模：向量的模表示向量的长度，用||AB||或 |AB| 表示。

3. 零向量：长度为零，没有方向的向量，记作0。

4. 平移：向量可以表示平面上的平移，即通过向量的起点和终点来表示移动的方向和距离。

二、运算1. 向量的加法：设有向线段AB和AC，以A为起点，AB的终点是B，AC的终点是C，则向量AB加上向量AC等于以A为起点，以C为终点的向量AD。

2. 向量的减法：向量的减法可以理解为向量加法的逆运算，即向量A减去向量B等于向量A加上向量B的相反向量。

3. 向量的数乘：向量的数乘是指用实数k乘以一个向量A，得到的结果是长度为k倍的向量，且方向与A相同（当k大于0）或相反（当k小于0）。

4. 向量的点乘：设A、B为两个向量，其夹角为θ，两个向量的点乘结果等于AB的模乘以BC的模乘以θ的余弦值，即A·B=|AB|×|BC|×cosθ。

三、线性组合线性组合是指对多个向量进行数乘和加法运算得到的结果。

对于向量a1、a2、...、an和实数k1、k2、...、kn，它们的线性组合可以表示为k1a1 + k2a2 + ... + knan。

四、共线与共面1. 共线：若两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；若两个向量的方向不同，则它们是不共线的。

2. 共面：若三个向量都在同一个平面内，则它们是共面的；若三个向量不在同一个平面内，则它们是不共面的。

五、平行与垂直1. 平行：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行的。

2. 垂直：若两个向量的点乘结果为0，则它们是垂直的。

即A·B=0，其中A和B为两个向量。