高中数学经典解题技巧：平面向量
一、向量的有关概念及运算
解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点：
（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻
（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=
（，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ）
A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0=
B. a ⊙b = b ⊙a
C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b
D. (a ⊙b )2222()a b a b +⋅=
【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决
问题的能力.
【思路点拨】根据所给定义逐个验证.
【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B.
【方法技巧】自定义型信息题
1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.
2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性
二、与平面向量数量积有关的问题
解题技巧：与平面向量数量积有关的问题
1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥⇔=⇔+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。
2．求长度问题：2||a a a =，特别地2211221212(,),(,),||()()A x y B x y AB x x y y =-+-则。
3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据
1212
2
22
21122cos(,).||||x x y y a b a b a b x y x y +==++
例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅等于（ ）
A 、-16
B 、-8
C 、8
D 、16
【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.
【思路点拨】由于C ∠=90，因此选向量CA ，CB 为基底.
【规范解答】选D .AB AC ⋅=(CB-CA)·(-CA)=-CB ·CA+CA 2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）.
2. （2010·广东高考文科·Ｔ5）若向量a =(1,1)，b =(2，5)，c =(3，x)满足条件(8a —b )·c =30，则x=( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】 先算出8a b -，再由向量的数量积列出方程，从而求出.x
【规范解答】选C . 8a b -8(1,1)(2,5)(6,3)=-=，所以(8)(6,3)(3,)a b c x -⋅=⋅
30=. 即：18330x +=，解得：4x = ，故选C .
三、向量与三角函数的综合
例3．在直角坐标系
)..20)(,sin (),0,8(),2,1(,R a ∈≤
≤-=t t k B A xOy πθθ又点已知向量中
（I ）若OB AB OA AB 求向量且|,|||,=⊥a ； （II ）若向量a 与向量AB 共线，当.,4sin ,4OB OA t k ⋅>求时取最大值为且θ
【解析】（1）028sin ,),,8sin (=++-∴⊥-=t k AB t k AB θθa …………2分 又2
2)8sin (64|,|||t k AB OA +-=∴=θ 解得4016540165sin sin 55,8585
55k k t t θθ⎧⎧+-==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩
或 ………………4分 4016585()OB +∴=或4016585OB -= …………6分 （II ）16sin 2,+-=∴θk t AB 共线与向量a ………………8分
k
k k k t 32)4(sin 2sin )16sin 2(sin 2+--=+-=∴θθθθ k
t k k k 32sin ,4sin ,140,4取最大值为时又θθ=∴<<∴> …………10分
)8,4(,6,8,432====OB k k πθ此时得由 (8,0)(4,8)32OA OB ∴⋅=⋅= ………………12分 注：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。
例4．（2010·重庆高考理科·Ｔ2）已知向量a ，b 满足0,1,2a b a b •===，则2a b -=（ ）
A ．0
B ．22
C ．4
D ．8 【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.
【思路点拨】根据公式2
a a =进行计算，或数形结合法，根据向量的 三角形法则、平行四边形法则求解. 【规范解答】选B （方法一）222
242a b a b a a b b -=-=-⋅+2() 40422=-+=；（方法二）数形结合法：由条件0a b •=知，以向量
a ，
b 为邻边的平行四边形为矩形，又因为1,2a b ==，所以2=2a ，
则2a b -是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为22，如图所示.
【方法技巧】方法一：灵活应用公式2
a a =， 方法二：熟记向量0a
b a b ⊥⇔•=及向量和的三角形法则
例5．（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ8）△ABC 中，点D 在
边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a ,
CA = b , 1,2a b ==， 则CD =（ ）
（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35
b 【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。
【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD= CB:CA =1:2
这样可以用向量a , b 表示CD 。
【规范解答】 选B ，由题意得AD:DB=AC ；CB=2:1,AD=32AB,所以CD =CA +AD =b +23
AB =a +13
b 【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则
例6．（2010·浙江高考文科·Ｔ13）已知平面向量,,1,2,(2),αβαβααβ==⊥-则2αβ+的值是 。
