高中数学第3章指数函数和对数函数3.4.1对数及其运算课后篇巩固提升含解析北师大版必修

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3。

4.1 第2课时对数的运算性质(建议用时:45分钟)[学业达标］一、选择题1。

log242＋log243＋log244等于（)A．1 B．2C．24 D.错误!【解析】log242＋log243＋log244＝log24(2×3×4）＝log2424＝1。

故选A。

【答案】A2。

化简错误!log612－2log6错误!的结果为( )A．6 2 B．12错误!C．log6 3 D.错误!【解析】原式＝log612－log62＝log6错误!＝log6错误!。

故选C.【答案】C3. 方程（lg x)2＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2lg 3＝0的两根的积x1x2＝（）A．lg 2＋lg 3 B．lg 2lg 3C.16D．－6【解析】∵lg x1＋lg x2＝－(lg 2＋lg 3），∴lg(x1x2）＝－lg 6＝lg 6－1＝lg 错误!，∴x1x2＝错误!。

故选C。

【答案】C4。

已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（)A．a＝b<c B．a＝b〉cC．a<b<c D．a>b>c【解析】a＝log23＋log23＝log23错误!，b＝log29－log2错误!＝log2错误!＝log23错误!>1，又c＝log32〈1，故a＝b〉c。

5.1对数函数的概念 5.2对数函数y=log2x的图像和性质课后篇巩固提升1.下列各组函数中,表示同一函数的是()A.y=和y=()2B.|y|=|x|和y3=x3C.y=log a x2和y=2log a xD.y=x和y=log a a x解析:对于A,定义域不同;对于B,对应法则不同;对于C,定义域不同;对于D,y=log a a x⇔y=x.答案:D2.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的反函数是g(x),且g=-1,则f-=()A.B.2 C.D.解析:由已知得g(x)=log a x.又g=log a=-1,于是a=4,因此f(x)=4x,故f--.答案:C3.已知函数f(x)=log2x,且f(m)>0,则m的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.R解析:结合f(x)=log2x的图像(图略)可知,当f(m)>0时,m>1.答案:C4.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则当x<0时,f(x)=()A.-log2xB.log2(-x)C.log x2D.-log2(-x)解析:设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x).∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴当x<0时,f(x)=-log2(-x).答案:D5.已知函数y=log2x,其反函数y=g(x),则g(x-1)的图像是()解析:由题意知g(x)=2x,所以g(x-1)=2x-1,故选C.答案:C6.设a,b,c均为正数,且2a=lo a,=lo b,=log2c,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c解析:由函数y=2x,y=,y=log2x,y=lo x的图像可得出a<b<c.答案:A7.导学号85104071已知函数f(x)=若f(a)=,则实数a的值为()A.-1B.C.-1或D.1或-解析:当a>0时,log2a=,则a=;当a≤ 时,2a=,即2a=2-1,则a=-1.综上,a=-1或a=.答案:C8.设f(x)是对数函数,且f()=-,那么f()= .解析:设对数函数f(x)=log a x(a>0,a≠1).由条件得log a=-,即log a=-,则a=.因此f(x)=lo x.所以f()=lo=lo -=-.答案:-9.函数f(x)=log2x在区间[a,2a](a>0)上的最大值与最小值之差为. 解析:∵f(x)=log2x在区间[a,2a]上是增加的,∴f(x)max-f(x)min=f(2a)-f(a)=log22a-log2a=1.答案:110.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图像恒有两个不同的交点,则a的取值范围是.解析:如图所示,需使函数f(x)的图像与直线y=a恒有两个不同的交点,则a∈(0,1].答案:(0,1]11.导学号85104072已知函数f(x)=|log2x|.(1)若f(m)=3,求m的值;(2)若a≠b,且f(a)=f(b),求ab的值.解:(1)由f(m)=3,得|log2m|=3,即log2m=3或log2m=-3,解得m=8或m=.(2)∵a≠b,且f(a)=f(b),不妨设a<b,∴|log2a|=|log2b|,则-log2a=log2b,∴log2a+log2b=0,∴log2ab=0,故ab=1.。

§4对数知识点一对数的有关概念[填一填](1)一般地，如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．(2)以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数记作lg N.(3)以e为底的对数叫作自然对数，N的自然对数记作ln N.[答一答]1．对数概念的理解？提示：(1)对数是一种数，对数式log a N可看作一记号，表示关于x的方程a x＝N(a>0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0，且a≠1)幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算．(2)对数符号log a N只有在a>0，a≠1，且N>0时才有意义，而对数值b＝log a N，可以为任意的实数．知识点二对数的运算性质[填一填]如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n·log a M(n∈R)．[答一答]2．如何正确运用对数的运算法则？ 提示：(1)运算中常见的错误有： log a (MN )＝log a M ·log a N . log a M N ＝log a M log a N .log a N n ＝(log a N )n .log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．(2)注意前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是M ，N 都是正数这一条件，否则M ，N 中有一个小于或等于0，就导致log a M 或log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0与M ·N >0并不等价．(3)要注意运算法则的逆用． 知识点三 换底公式[填一填]log b N ＝log a N log a b(a 、b >0，a 、b ≠1，N >0)．[答一答]3．如何准确的应用换底公式？提示：(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题． 如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用． ①log a b ＝1log b a ，②log am b n ＝nmlog a b .1．对数log a N 中规定a >0，a ≠1的原因2.对对数的三点说明(1)对数式是指数式的另一种表现形式，是求指数式中幂指数的一种运算方式，因此指数式和对数式之间可以互相转化，即a b ＝N ⇔b ＝log a N .(2)对数通过符号log a N 表达，log a N 是一个整体，不是表示log a 和N 的乘积，字母a 和N 都有相应的意义和范围要求．(3)对数表示的是一个可正、可负也可为零的实数.类型一 对数式与指数式的互化【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19； (2)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；【解】 (1)log 319＝－2.规律方法 指数运算与对数运算是一对互逆运算，在对数式log a N ＝x 与指数式a x ＝N (a >0，且a ≠1)的互化过程中，要特别注意a ，x ，N 的对应位置．将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式． (1)54＝625; (2)；(3)3a ＝27; (4)log 101 000＝3. 解：(1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(3)∵3a ＝27，∴log 327＝a . (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000. 类型二 利用对数的运算法则进行计算【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)(lg5)2＋lg2·lg50.【思路探究】 (1)对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算；(2)对于含有对数式的多项式运算问题：①可以将式中真数的积、商、幂、方根运用运算性质化为对数的和、差、积，然后化简求值；②可以将式中的对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．【解】 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg2＋1－lg2＝1.(3)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝1.规律方法(1)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用．(2)对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．解：类型三换底公式的应用【例3】已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值．(用含a，b的式子表示)【思路探究】(1)利用换底公式可以把题目中不同底数的对数化成同底数的对数，应用对数性质进行计算；(2)题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化．【解】 解法1：因为18b ＝5，所以log 185＝b ， 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a .解法2：因为log 189＝a ，所以18a ＝9.又因为18b ＝5， 所以45＝5×9＝18b ·18a ＝18a ＋b .令log 3645＝x ， 则36x ＝45＝18a ＋b ，即36x ＝(183×183)x ＝18a ＋b ，所以(1829)x ＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a. 规律方法 用已知对数表示未知对数，就是把表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质，但应注意运用性质只有在同底的情况下才能运算．(1)log 916·log 881的值为( C ) A ．18 B.118 C.83D.38解析：原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.解析：＝lg2lg3＋lg5lg3＝1lg3＝log 310. (3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． 解：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83) ＝⎝⎛⎭⎫log 32＋log 32log 39·⎝⎛⎭⎫log 23log 24＋log 23log 28＝⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32·⎝⎛⎭⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54. 类型四 对数方程的解法 【例4】 解下列方程： (1)log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1； (2)3lg x －2－3lg x ＋4＝0；【思路探究】 根据对数方程的特点，将对数方程化为一般代数方程并求解． 【解】 (1)由原方程得log 2(x ＋1)＝log 4(x ＋4)＋1， ∴log 2(x ＋1)2＝log 2[4(x ＋4)]，∴(x ＋1)2＝4(x ＋4)，解得x ＝5或x ＝－3， 经检验x ＝－3为增根，应舍去． 故原方程的解为x ＝5. (2)设3lg x －2＝y ，则原方程可化为y －y 2＋2＝0，解得y ＝－1或y ＝2. ∵3lg x －2≥0，因此，y ＝－1为增根，应舍去． 由3lg x －2＝2，得lg x ＝2，∴x ＝100.经检验，x ＝100为原方程的解．(3)等式两边取常用对数得[(lg x )3－2lg x ]lg x ＝lg0.1，(lg x )4－2(lg x )2＋1＝0，∴[(lg x )2－1]2＝0，(lg x )2＝1，lg x ＝±1， ∴x ＝10或x ＝110.规律方法 解对数方程就是将其转化成同底的对数式，或利用换元法将其转化成一元二次方程求解，在转化或化归的过程中，不是同解变形的，必须把所求的解代入原方程进行检验．对数方程的题型与解法： 名称 题型解法基本型 log a f (x )＝b 将对数式转化为指数式f (x )＝a b 同底数型 log a f (x )＝log a φ(x ) 转化为f (x )＝φ(x )(必须验根)需代换型F (log a x )＝0换元，令t ＝log a x 转化为关于t 的代数方程解下列关于x 的方程： (1)log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )； (2)12(lg x －lg3)＝lg5－12lg(x －10)； 解：(1)由log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )得2x ＋1＝3x ， 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x ＋1>0,3x >0.故x ＝1. (2)原方程可化为lgx3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0， 解得x ＝15或x ＝－5，检验：当x ＝－5时，x3<0，x －10<0，此时根式无意义，舍去；当x ＝15时，满足题意，故x ＝15.——易错误区—— 因忽略真数的范围致误【错解】 0或4或2【正解】 4 由已知得lg(xy )＝lg(x －2y )2， 从而有xy ＝(x －2y )2整理得x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，所以x ＝y 或x ＝4y . 但由x >0，y >0，x －2y >0① 得x >2y >0.所以x ＝y 应舍去，故xy ＝4.【错因分析】 1.在①处忽略对数式本身的限制条件导致得到增解0. 2．在②处，计算时因对数的运算法则不熟导致运算错误． 【防范措施】 1.注意对数运算法则的适用条件对数运算法则的适用条件是同底且真数均大于零，如本例中真数“x －2y >0”，隐含着x >2y .2．熟练掌握对数的运算法则已知2log 3x －y 2＝log 3(xy )(x >y >0)，则xy＝3＋2 2. 解析：由题意有x >y ，xy >0且(x －y2)2＝xy .所以x 2－6xy ＋y 2＝0，所以(x y )2－6(x y )＋1＝0.所以xy ＝3±2 2.因为x >y >0，所以x y >1，所以xy＝3＋2 2.一、选择题1．当a >0，a ≠1时，下列结论正确的是( C ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①② B ．②④ C ．②D ．①②③④解析：①M ≤0时不对；②正确；③应为M ＝±N ；④M ＝0时不对． 2．已知x ，y 为正实数，则( D )解析：10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y 故A 错，B 、C 公式不对，D 项10ln x y ＝10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y .选D.3．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1解析：log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33)＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A.二、填空题4．2log 525＋3log 264－8ln1＝22.解析：原式＝2×2＋3log 226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22. 5．log 6[log 4(log 381)]＝0.解析：log 6[log 4(log 381)]＝log 6[log 4(log 334)]＝log 6(log 44)＝log 61＝0.三、解答题6．求下列各式的值．(1)log 1627·log 8132； (2)log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－5)． 解：(1)原式＝lg27lg16·lg32lg81＝lg33lg24·lg25lg34＝3lg34lg2·5lg24lg3＝1516.。

对数的运算性质及换底公式[A 组 学业达标]1．下列式子中恒成立的是(假定各式均有意义)( ) A ．log a x ·log a y ＝log a (x ＋y ) B ．(log a x )n ＝n log a x C 、log a x n ＝log a n x D 、log a xlog ay ＝log a x －log a y解析：∵log a (x ·y )＝log a x ＋log a y ，故A 不正确; ∵log a x n ＝n log a x ，故B 不正确; ∵log a x －log a y ＝log a xy ，故D 不正确; ∵log a x n ＝1n log a x ＝log a nx ，故C 正确． 答案：C 2．计算：＋log 32－log 36的结果是( )A ．162－1B ．4C ．3D ．1解析：原式＝＋log 326＝4＋log 313＝4－1＝3、答案：C3．若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 15等于( ) A 、2a ＋b 1－a ＋bB 、2a ＋b1＋a ＋bC 、a ＋2b 1－a ＋bD 、a ＋2b1＋a ＋b解析：lg 12lg 15＝lg 3＋lg 4lg3＋lg 5＝lg 3＋2lg 2lg 3＋(1－lg 2)＝2a ＋b 1－a ＋b、答案：A4．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 3 6等于( ) A 、a ＋b a B 、a ＋b b C 、a a ＋b D 、b a ＋b解析：log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋bb 、 答案：B5．某种食品因存放不当受到细菌的侵害．据观察，此食品中细菌的个数y 与经过的时间t (min)满足关系y ＝2t ，若细菌繁殖到3个，6个，18个所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则有( ) A ．t 1·t 2＝t 3 B ．t 1＋t 2＞t 3 C ．t 1＋t 2＝t 3D ．t 1＋t 2＜t 3解析：由题意，得2t 1＝3,2t 2＝6,2t 3＝18，则t 1＝log 23，t 2＝log 26，t 3＝log 218，所以t 1＋t 2＝log 23＋log 26＝log 218＝t 3、 答案：C6．计算：log 43·log 98＝________、解析：原式＝log 43·log 98＝lg 3lg 4·lg 8lg 9＝lg 3·3lg 22lg 2·2lg 3＝34、 答案：347．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝________、 解析：原式＝－log 53·log 56log 53·log 5x log 56＝－log 5x 、∴－log 5x ＝2，即log 5x ＝－2，∴x ＝5－2＝125、答案：1258．如果关于lg x 的方程lg 2x ＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7·lg 5＝0的两个根是lg α，lg β，则αβ的值是________．解析：由题意，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝lg 135， ∴lg(αβ)＝lg 135，∴αβ＝135、答案：1359．计算：(1)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎪⎫322; (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25; (3)log a na ＋log a 1a n ＋log a 1n a、解析：(1)原式＝log 78－log 79＋log 798＝log 78－log 79＋log 79－log 78＝0、 (2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋2lg 5 ＝lg 2·lg 100＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2、 (3)原式＝1n ＋(－n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ＝－n 、10．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，求log abc x 的值． 解析：∵log a x ＝2，∴log x a ＝12、同理，log x b ＝13， log x c ＝16、∴log abc x ＝1log x (abc )＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝112＋13＋16＝1、 [B 组 能力提升]11．若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y (x ＞2y ＞0)，则yx 的值为( ) A ．4 B ．1或14 C ．1或4 D 、14 解析：∵2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y (x ＞2y ＞0)， ∴lg(x －2y )2＝lg xy ，∴(x －2y )2＝xy ， ∴x 2－5xy ＋4y 2＝0，∴(x －y )(x －4y )＝0， ∴x ＝y 或x ＝4y 、∵x －2y ＞0，且x ＞0，y ＞0，∴x ≠y ，∴y x ＝14、 答案：D12．已知(a ＞0)，则log 23a ＝________、解析：法一：∵，∴log a 49＝23，∴2log a 23＝23，∴log a 23＝13，、答案：313．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________． 解析：原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 33x 、 ∴x 2－10＝3x ，解得x ＝－2或x ＝5、 检验知，方程的解为x ＝5、 答案：x ＝514．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得两根14，18;乙写错了常数c ，得两根12，64、求这个方程的真正根． 解析：原方程变形为(log 2x )2＋b log 2x ＋c ＝0，① 由于甲写错了常数b ，得到的根为14和18，所以c ＝log 214·log 218＝6、由于乙写错了常数c ，得到的根为12和64， 所以b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212＋log 264＝－5、故方程①为(log 2x )2－5log 2x ＋6＝0，解得log 2x ＝2或log 2x ＝3， 即x ＝22或x ＝23，所以，这个方程的真正根为x ＝4或x ＝8、 15．已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645、 解析：法一：由18b ＝5，得log 185＝b ，又log 189＝a ， 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 1818×2×99＝log 189＋log 185log 18182－log 189＝a ＋b 2－a 、 法二：a ＝log 189＝lg 9lg 18＝2lg 3lg 2＋2lg 3，所以lg 2＝2(1－a )lg 3a① 又18b＝5，则b ＝log 185＝lg 5lg 18＝lg 5lg 2＋2lg 3，所以lg 5＝2ba lg 3② log 3645＝lg 45lg 36＝lg 9＋lg 52lg 2＋2lg 3＝2lg 3＋lg 52lg 2＋2lg 3，将①、②两式代入上式并化简整理，得log 3645＝a ＋b2－a、。

3.4.1 对数及其运算一．教学目标：1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系 .2. 过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 .3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.二．重点与难点：（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：推导对数性质的三．学法与教法：（1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现（2）教法：探究交流，讲练结合。

四．教学过程（一）、提出问题思考：（P 72思考题）13 1.01x y =⨯中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？ 即：1820301.01, 1.01, 1.01,131313x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？ 象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.（二）、新课探析1、对数的概念一般地，若(0,1)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =a 叫做对数的底数，N 叫做真数.举例：如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数. 1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数. 提问：你们还能找到那些对数的例子2、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a ＞0，且a ≠1（2）log x a a N N x =⇔=指数式⇔对数式幂底数←a →对数底数指 数←x →对数幂 ←N →真数说明：对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程xa N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算. 例题：例1（P 73例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）54=645 （2）61264-=（3）1() 5.733m = （4）12log 164=- （5）10log 0.012=- （6）log 10 2.303e = 注：（5）、（6）写法不规范，等到讲到常用对数和自然对数后，再向学生说明.（让学生自己完成，教师巡视指导）巩固练习：P 74 练习 1、23．对数的性质：①提问：因为a ＞0，a ≠1时，log x N a a N x =⇔=则 由１、a 0=1 ２、a 1=a 如何转化为对数式②负数和零有没有对数？ ③根据对数的定义，log a N a =？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）由以上的问题得到① 011,a a a ==Q （a ＞0，且a ≠1）② ∵a ＞0，且a ≠1对任意的力，10log N 常记为lg N .恒等式：log a N a=N 4、两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.说明：在例1中，10log 0.010.01,log 10ln10e 应改为lg 应改为.例2：求下列各式中x 的值（1）642log 3x =- （2）log 86x = （3）lg100x = （4）2ln e x -= 分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x . 解：（1）2223()323331(64)(4)4416x --⋅--=====（2）111166366628,()(8)(2)2x x =====所以 （3）21010010,2x x ===于是（4）222ln ,ln ,e x x e e -=-==-x 由得即e所以2x =-（三）、课堂练习：P 74 练习3、4补充练习：1. 将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值 .（1）125-=（2）x = （3）1327x = （4）1()644x = （5）lg0.0001x = （6）5ln e x =2．求log log log ,a b c b c N a ⋅⋅∈+的值(a,b,c R 且不等于1，N ＞0）.3．计算31log 53的值.（四）、归纳小结：对数的定义log (b N a a N b a =⇔=＞0且a ≠1）1的对数是零，负数和零没有对数对数的性质 log 1a a = a ＞0且a ≠1log a N a N =（五）、作业：P 86 习题 2.2 A 组 1、2 P 88 B 组 1五、教后反思：。

学习资料§4对数第1课时对数及其运算内容标准学科素养1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质．2。

掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程.精确概念定义熟练等价转化提升数学运算授课提示：对应学生用书第49页［基础认识]知识点一对数的概念预习教材P78－79，思考并完成以下问题解指数方程:3x＝错误!,可以化为3x＝，所以x＝错误!，那么你会解3x＝2吗？提示:不会,因为2难以化为以3为底的指数式,因而需要引入对数概念．知识梳理对数的概念(1）对数的概念一般地,如果a(a＞0,a≠1）的b次幂等于N，即a b＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．（2)对数与指数的关系当a＞0,且a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.知识点二常用对数和自然对数错误!结合教材P79例1和例2，你认为指数式与对数式互化应分哪几步？提示：第一步：将指（对）数式写成规范形式;第二步:依对数的定义实现互化．知识梳理常用对数和自然对数（1)常用对数：通常将以10为底的对数叫作常用对数,并把log10N记为lg N。

(2)自然对数:在科学技术中常使用以无理数e＝2。

718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数,并把log e N记为ln N。

知识点三对数的基本性质错误!(1）lg 10，lg 100，lg 0.01,ln 1,ln e分别等于多少？提示:1,2，－2,0,1。

(2）为什么对数式x＝log a N中规定底数a＞0且a≠1？提示：由于对数式x＝log a N中的a来自于指数式a x＝N中的a,所以当规定了a x＝N中的a ＞0，且a≠1时，对数式x＝log a N中的a也受到相同的限制．（3)为什么负数和零没有对数？提示：由于a x＝N＞0，所以x＝log a N中的N＞0。

知识梳理对数的基本性质(1)负数和零没有对数．（2)log a1＝0（a＞0，a≠1)．（3）log a a＝1(a＞0,a≠1）．思考：1.当a,N在什么范围取值时对数式log a N有意义？提示：a＞0且a≠1,N＞0.2．幂运算和对数运算有什么关系？提示：在关系式a x＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N,求x，就是对数运算,两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．任何指数式都可以直接化为对数式吗？提示：并不是任何指数式都可以直接化为对数式，如（－2）2＝4,就不能直接写成log－24＝2，只有符合a＞0且a≠1，N＞0时，才有a x＝N⇔x＝log a N.［自我检测］1．2x＝3化为对数式是（)A．x＝log32 B．x＝log23C．2＝log3x D．2＝log x3解析:∵2x＝3,∴x＝log23。

3.4.1 对数及其运算教法选择根据教材及学情特点，本课以“尝试指导，效果回授”教学法为主，辅之于讨论法和自学辅导法。

以问题为主线，活动为载体，力求创设有效的教学情境, 引导学生在在观察中思考，在思考中探索，在探索中发现，在发现中收获，在收获中创新，在创新中升华，通过具有一定层次梯度的问题序列，多角度、全方位训练学生思维的聚敛性和发散性。

为增大课堂容量，“注重信息技术与数学课程的整合”（课标语），可借助多媒体辅助教学,为学生的教学探究与教学思维提供支持。

教具准备：PPT 演示文稿；学具准备：教科书，课堂练习本。

创设情境，导入新课1、庄子：一尺木垂，日取其丰，不世不竭，问题：①取４次还有多长？怎样计算？②取多少次还有０.125尺?2、如果2000年我国国民生产总值a 亿，如果每年增长8.2%， 那么经过多少年国民生产总值是2000年的2倍？处理：问题1①由学生口答，教师根据学生回答情况板书①161214=⎪⎭⎫⎝⎛，并揭示运算实质。

问题1②及问题2引导学生按照解决数学问题的常规步骤尝试建构方程，并板书如下②?125.021=⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x③()=⇒=⇒=+x a a xx 2082.12%2.81？ 诱导：式②③与式①有什么不同？如何求x 呢？（教师结合学生对前一问题的回答，因势利导，揭示②③的本质——已知底数和幂的值，求指数，说明这就是本节课要研究的内容，接着引入并板书课题）诱导尝试，探究新知1、引导观察，探获本质——建构对数概念（1）诱导： 125.021=⎪⎭⎫ ⎝⎛x2082.1=x中x 分别等于多少？目前大家没有学过这种运算，可以定义一种新运算，（边叙述边板书：如果x⎪⎭⎫⎝⎛=21125.0，那么x 叫作以21为底0.125的对数，记作：x =125.0log 21）；你们能模仿描述定义2082.1=x中的x 吗？试试！（学生尝试描述，教师根据学生描述板书）问题1：你们还能举出类似例子，并模仿表述吗？（处理方法同上）问题2：你们能结合以上实例给出一般性的结论吗？（一名学生回答，发动其他学生参与补充）（板书）定义：一般地，如果a(a ＞0,a ≠1)的b 次幂等于N ，即N a b=，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作：b aN=log 中a 叫作对数的底数，N 叫作真数。

3.4.1 对数及其运算教学目标：1、理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能；运用对数运算性质决有关问题。

培养学生分析、综合解决问题的能力；培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度。

2、通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质；让学生归纳整理本节所学的知识。

3、学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性。

教学重点难点：重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用。

难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用。

教学过程：4.1 对数及其运算（第1课时）一、引入：在上一节，我们研究细胞分裂时，曾归纳出，第x次分裂后，细胞的个数xy2=给定细胞分裂次数x，可求出细胞个数y。

在实际问题中，又常常需要由细胞分裂若干次后的个数y，计算分裂的次数x。

2000年我国国民经济生产总值为a亿元，如果按平均每年增长8.2%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的2倍。

假设经过x年，国民经济生产总值是2000年2倍，依题意，有aa x2%)2.81(=+即2 082.1=x指数x取何值时满足这个等式呢？我们经常遇到这类已知底数和幂的值，求指数的问题。

这就是我们接下来要学习的对数问题。

二、讲授新课：1 对数（1）、定义：一般地，如果)1,0(≠>aaa的b次幂等于N，即Na b=，那么数b叫作以a 为底N 的对数，记作b N a=log 其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数。

实质上，对数表达式不过是指数函数式x a y =的另一种表达形式。

例如， 81log 481334==与这两个式子表达的是同一关系。

学习资料对数及其运算[A 组 学业达标］1．在M ＝log （x －3)(x ＋1)中,要使式子有意义，x 的取值范围为（ ）A ．（－∞，3］B ．（3，4）∪(4，＋∞）C ．(4，＋∞）D ．(3，4）解析：由⎩⎨⎧ x ＋1＞0，x －3＞0，x －3≠1，解得x ＞3,且x ≠4。

答案：B2．方程的解是( )A.错误!B.错误!C.错误! D ．9解析：∵＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝错误!.答案：A3．若log a 错误!＝c (a ＞0,且a ≠1，b ＞0）,则有( )A ．b ＝a 7cB ．b 7＝a cC ．b ＝7a cD ．b ＝c 7a 解析：∵log a 7，b ＝c ，∴a c ＝错误!.∴（a c )7＝(错误!）7。

∴a 7c ＝b 。

答案:A4．有以下四个结论：①lg （lg 10)＝0;②ln （ln e ）＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e x 。

其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析：∵lg 10＝1,ln e ＝1，∴①②正确．由10＝lg x 得x ＝1010，故③错；由e ＝ln x 得x ＝e e ，故④错．答案：C5．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )解析：由指对互化的关系:a x＝N⇔x＝log a N可知A、B、D都正确；C中log39＝2⇔9＝32.答案：C6．方程log2（1－2x)＝1的解x＝________.解析：∵log2（1－2x)＝1＝log22，∴1－2x＝2,∴x＝－错误!。

经检验满足1－2x＞0。

答案：－错误!7．已知log3[log3（log4x）］＝0，则x＝________。

解析：log3［log3(log4x）］＝0⇒log3（log4x)＝1⇒log4x＝3⇒x＝43⇒x＝64。

答案：648．的值等于________．解析：25。

学 习 资 料 专 题§4.1 对数及其运算（第二课时）一．教学目标1. 知识与技能： 对数的运算性质的理解与应用，会用对数的运算性质进行简单的计算，化简.2.过程与方法： 通过学生的自主探究，研究对数的运算性质，提高学生自主学习的能力.3.情感态度价值观：通过运用对数的运算性质计算、化简，提高学生的运算能力，加强学生学习数学的规则意识.二.教学重、难点重点：对数运算性质的应用.难点：化简,求值技巧.三．教学方法启发引导法四．教学过程.（一）复习回顾上节课，我们学习对数的定义，由对数的定义可得：1.对数的定义log b a a N b N =⇔= （0a >且1a ≠，0N >）2.对数的基本性质（1）log 10a =(2)log 1a a = （0a >且1a ≠）(3)log a N a N = （0a >且1a ≠，0N >）(4)log b a b a = （0a >且1a ≠）二、新知探究 接下来我们用指对数互化的思想，结合指数的运算性质来推导有关对数的运算性质。

指数的运算性质 p q p q a a a+⋅= 在上式中 设 p a M =， q a N = 则有 p q MN a+=将指数式转化为对数式可得： log a p M = log a q N = log a p q MN +=∴ log log log a a a M N MN += （0M > 0N > 0a >且1a ≠） 这就是对数运算的加法法则，用语言描述为：两个同底对数相加，底不变，真数相乘。

请同学们猜想：两个同底对数相减，结果又如何？log log log a a aM M N N -= 证明如下：∵ log log log log a a a a M M N N N N=+- log ()log a a M N N N=⋅- log log a a M N =- 对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课后篇巩固提升1.设a=(35)25,b=(25)35,c=(25)25,则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a解析:∵y=x25在(0,+∞)上是增加的,∴a>c.∵y=(25)x(x∈R)为减函数,∴c>b.∴a>c>b.答案:A2.方程2x=x2的实根的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:在同一坐标系中分别画出函数y=2x与y=x2的图像(图略),由图像可知两函数图像在(-∞,0)上有且仅有一个交点,在(0,+∞)上,两函数图像有2个交点(2,4)和(4,16),故原方程共有3个实根.答案:C3.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好()A.指数函数:y=2tB.对数函数:y=log2tC.幂函数:y=t3D.二次函数:y=2t2解析:由图可知函数在第一象限内是一个增函数,并且增长速度较快,且图像过点(2,4),(4,16),因此利用指数函数模型拟合较好.答案:A4.已知函数f(x)=5x,g(x)=2x,当x∈R时,有()A.f(x)>g(x)B.g(x)>f(x)C.f(x)=g(x)D.f(x),g(x)与x的取值有关在同一直角坐标系中画出函数f(x)=5x,g(x)=2x的图像,如图所示,由于函数f(x)=5x的图像在函数g(x)=2x的图像的上方,则f(x)>g(x).答案:A5.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷,0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是()A.y=0.2xB.y=110(x2+2x)C.y=2x10D.y=0.2+log16x解析:当x=3时,否定A;当x=1时,否定B;当x=2时,否定D.答案:C6.当0<x<1时,f(x)=x2,g(x)=x12,h(x)=x-2的大小关系是()A.h(x)<g(x)<f(x)B.h(x)<f(x)<g(x)C.g(x)<h(x)<f(x)D.f(x)<g(x)<h(x)在同一坐标下作出函数f(x)=x2,g(x)=x12,h(x)=x-2的图像,由图像知,D正确.答案:D7.函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则Δy1Δy2(填“>”“=”或“<”).解析:由这两个函数的图像可知,指数函数增长的快些,所以Δy1<Δy2.答案:<8.导学号85104077当12<a<1时,若x=log2a,y=log3a,z=-2a,则x,y,z之间的大小关系是.解析:画出函数y=log2x,y=log3x,y=-2x的图像(图略),由图像可知,当12<a<1时,log3a>log2a>-2a,即y>x>z.答案:y>x>z9.(信息题)在直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫格点.若函数y=f(x)的图像恰好经过k个格点,则称函数y=f(x)为k阶格点函数,则下列函数中为一阶格点函数的序号是.①y=x2;②y=x-1;③y=e x-1;④y=log2x.解析:显然①④都有无数个格点;②有两个格点(1,1),(-1,-1);而③y=e x-1除了(0,0)外,其余点的坐标都与e有关,所以不是整点,故③符合.答案:③10.已知一个驾驶员喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒以后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少,为了保障交通安全,某地交通规则规定,驾驶员血液中的酒精含量不得大于0.08 mg/mL.问若喝了少量酒的驾驶员至少过几个小时后才能驾驶?解:设喝酒x小时后才能驾驶,在x小时后,血液中的酒精含量为0.3×(1-50%)x=0.3×0.5x(mg/mL).依题意得0.3×0.5x≤0.08,∴0.5x≤0.080.3=415,∴x≥lg 4 15lg0.5=lg4-lg15lg1-lg2≈2(小时),即大约2小时后,驾驶员才能驾车.11.导学号85104078有时可用函数f(x)={0.1+15ln xx-x,x≤6, x-4.4x-4,x>6描述学习次数对某学科知识的掌握程度,其中x(x∈N+)表示对某学科知识的学习次数,f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.(1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.(1)证明:当x ≥7时,f (x+1)-f (x )=(x +1)-4.4(x +1)-4−x -4.4x -4=0.4(x -3)(x -4).而当x ≥7时,函数y=(x-3)(x-4)是增加的,且(x-3)(x-4)>0.故f (x+1)-f (x )是减少的. 所以当x ≥7时,掌握程度的增长量f (x+1)-f (x )总是下降. (2)解:由题意,可知0.1+15lnxx -6=0.85, 整理得x x -6=e 0.05,解得a=e 0.05e 0.05-1·6≈20.50×6=123.0,123.0∈(121,127].由此可知,该学科是乙学科.。

高中数学必修1(北师版)第三章3.4对数知识点总结含同步练习与答高中数学必修1(北师版)第三章,与最新教材完全匹配,知识点总结含同步练习与答案高中数学必修1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案第三章指数函数和对数函数 3.4对数一、知识清单对数的概念与运算二、知识讲解1.对数的概念与运算描述：对数一般地，如果ax= N(a 0, a≠ 1),那么数x叫作以a为底N的对数，记作x= loga N,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.也即ax= N x= loga N,其中 a 0, a≠ 1 .对数的性质根据对数的定义，有( a 0, a≠ 1 ):①负数与零没有对数；② 1的对数等于0,即loga 1= 0;③底数的对数等于1,即loga a= 1;④ loga ax= x;⑤ aloga N= N (N 0) .常用对数以10为底的对数叫做常用对数，常用“ lg”表示(即“ log10”).自然对数以e为底的对数叫做自然对数( e是无理数，e= 2.***** ),常用“ ln”表示(即“ loge”).对数的运算性质①积的对数等于对数的和：loga (M N )= loga M+ loga N (a 0且a≠ 1);②商的对数等于对数的差：loga M= loga M loga N (a 0且a≠ 1);③幂的对数等于幂指数与幂的对数的积：loga M n= nloga M (a 0且a≠ 1)换底公式N .loga N=例题：logb N (a 0且a≠ 1, b 0且b≠ 1, N 0) . logb a3 1 1;(2)ln x=;(3)x= lg;(4)log5 (log2 x)= 0. 2 2 10 3 2 3解：(1)由logx 27=,得x 2= 27,所以x= 27 3= 3 2= 9 . 2 1 1 1 (2)由ln x=,得e 2= x,所以x= e 2=√e . 2 1 1 (3)由x= lg,得10x=,得x= 1. 10 10= 1=2(1)logx 27= 将下列对数式化成指数式，并求x的值：高中数学必修1(北师版)第三章,与最新教材完全匹配,知识点总结含同步练习与答案(4)由log5 (log2 x)= 0,得log2 x= 1,所以x= 2 1= 2 .计算下列各式的值. (1)lg 5 2+10102 lg 8+ lg 5 lg 20+ (lg 2)2;3 (2)2(lg√2 )2+ lg√2× lg 5+√(lg√2 )2 lg 2+ 1;(3)log2 3×log3 5× log5 16;解：(1)原式= 2 lg 5+ 2 lg 2+ lg 5(2 lg 2+ lg 5)+ (lg 2)2= 2 lg 10+ (lg 5+ lg 2)2= 2+ (lg 10)2= 2+ 1= 3.(2)原式= lg√2× (2 lg√2+ lg 5)+√(lg√2 1)2 = lg√2× (lg 2+ lg 5)+ (1 lg√2 )= lg√2+ 1 lg√2= 1.(3)原式=lg 3 lg 5 lg 16 l g 16 lg 2 4××=== 4. lg 2 lg 3 lg 5 lg 2 lg 2 10,求logba loga b值；3(1)已知a b 1,loga b+ logb a= (2)设3 a= 4 b= 36,求2 1的值；+ a b (3)已知log18 9= a,18b= 5,用a, b表示log36 45的值. 1解：(1)令loga b= x,则logb a=,则x (logb a loga b)2= (=(=(2 1 x) x10 2 ) 4 3 64= . 9 logb a loga b=2 1+ x) 4 x又因为a b 1,0 loga b 1,logb a 1.所以logb a loga b 0,所以8 . 3 (2)(方法一)对3 a= 4 b= 36取以e为底的对数,得ln 3 a= ln 4 b= ln 36,即a ln 3= b ln 4= ln 36,所以1 ln 3 1 ln4=,= a ln 36 b ln 36高中数学必修1(北师版)第三章,与最新教材完全匹配,知识点总结含同步练习与答案于是2 1 2 ln3 ln 4+=+ a b ln 36 ln 36 ln 3 2+ ln 4= ln 36 ln 36= ln 36= 1.(方法二)由3 a= 36,得a= log3 36,所以1 1= log36 3 .同理= log36 4,所以a b2 1+= a b===2 log36 3+ log36 4 log36 9+ log36 4 log36 36 1.(3)因为log18 9= a,18b= 5,所以log18 5= b,于是log36 45=log18 45 log18 (9× 5)= log18 36 log18 (18× 2) log18 9+ log18 5= 1+ log18 2 log18 9+ log18 5= 18 1+ log18 9 log18 9+ log18 5 a+b== . 2log18 9 2 a高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。